AULA – TRIGONOMETRIATransformações Trigonométricas
2. ANO – TURMA APROF. RENATO
Conceitos Básicos em Trigonometria
Trigonometria na Circunferência1
Seno, Cosseno e Tangente de Ângulos Notáveis
Em um triângulo retângulo, temos que:
A Circunferência Trigonométrica
Trigonometria na Circunferência1
A circunferência trigonométrica fica dividida em quatro partes congruentes, de
acordo com os quadrantes ( Q ) do plano cartesiano associado a ela.
A Circunferência Trigonométrica
Arcos Trigonométricos
Trigonometria na Circunferência1
Note que os arcos de 0°, 90°, 180°, 270° ou 360°estão sobre os eixos
coordenados. Os arcos trigonométricos que estão sobre os eixos
não pertencem a qualquer um dos quatro quadrantes.
Razões Trigonométricas na Circunferência
Seno e Cosseno de um Arco Trigonométrico
Trigonometria na Circunferência1
No triângulo OPQ temos OQ = 1 (medida do raio da circunferência trigonométrica).
Assim, podemos encontrar seno e cosseno do ângulo interno de medida .
PQ PQ
OQ
PQ sen
1 sen sen
OP OP
OQ
OP cos
1 cos cos
Razões Trigonométricas na Circunferência
Seno e Cosseno de um Arco Trigonométrico
Trigonometria na Circunferência1
Dado um arco trigonométrico de medida
de extremidade Q( xQ, yQ ), temos:
e sen = yQcos = xQ
Nesse caso, o eixo x é chamado de eixo dos
cossenos e o eixo y, de eixo dos senos.
Transformações Trigonométricas
Fórmulas de Adição e Subtração de Dois Arcos
Trigonometria na Circunferência1
• Cosseno da soma de dois arcos:
cos ( + ) = cos cos – sen sen
• Cosseno da diferença de dois arcos:
cos ( – ) = cos cos + sen sen
Transformações Trigonométricas
Fórmulas de Adição e Subtração de Dois Arcos
Trigonometria na Circunferência1
• Seno da soma de dois arcos:
sen ( + ) = sen cos + sen cos
• Seno da diferença de dois arcos:
sen ( – ) = sen cos – sen cos
Transformações Trigonométricas
Fórmulas de Adição e Subtração de Dois Arcos
Trigonometria na Circunferência1
• Tangente da soma de dois arcos:
tgtg1
tgtg)(tg
• Tangente da diferença de dois arcos:
tgtg1
tgtg)(tg
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Trigonometria na Circunferência1
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Trigonometria na Circunferência1
Transformações Trigonométricas
Arco Duplo
Trigonometria na Circunferência1
• Cosseno do arco duplo:
cos 2 = cos2 – sen2
• cos 2 = 2 cos2 – 1
• cos 2 = 1 – 2 sen2
Transformações Trigonométricas
Arco Duplo
Trigonometria na Circunferência1
• Seno do arco duplo:
sen 2 = 2 sen cos
• Tangente do arco duplo:
2tg1
tg 22tg
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Trigonometria na Circunferência1
Resolução de Triângulos Quaisquer
Lei dos Senos
Trigonometria na Circunferência1
Para todo triângulo, a razão entre a medida de qualquer um dos lados e
o seno do ângulo oposto a esse lado é igual ao dobro da medida do raio
da circunferência circunscrita a esse triângulo.
rABACBC
2sensensen
Resolução de Triângulos Quaisquer
Lei dos Cossenos
Trigonometria na Circunferência1
Em todo triângulo, o quadrado da medida de um lado é igual à soma dos
quadrados dos outros dois menos o dobro do produto do cosseno do ângulo
oposto pelas medidas dos lados adjacentes a ele.
a2 = b2 + c2 – 2bc cos
b2 = a2 + c2 – 2ac cos
c2 = a2 + b2 – 2ab cos
a2 = b2 + c2 – 2bc cos
b2 = a2 + c2 – 2ac cos
c2 = a2 + b2 – 2ab cos
Exercícios Resolvidos
Trigonometria na Circunferência1
EXERCÍCIO RESOLVIDO
Trigonometria na Circunferência1