Alustatud 24. veebruar 2015
2.4 Vektorid ja tensorid kõverjoonelistes koordinaatides
2.4.1 Baasid 𝐞𝜶 ja 𝐞𝜶
Päris kena ülevaade on Wikipedias. Sealt on näiteks pärit pildid
Selle kursuse vasted neile kahele pildile on
Baas 𝐞𝛼 on puutujabaas e. põhibaas baasvektoritega punktis x piki vastavaid
koordinaatjooni 𝑞𝛼 koordinaadi kasvamise suunas.
Baas 𝐞𝛼 on kaasbaas (cobasis) e. normaalbaas. Siin on iga baasvektor 𝐞𝑗 risti
kahele ülejäävale koordinaatjoonele 𝑞𝑗−1 ja 𝑞𝑗+1 paigutatud tasandiga ehk
mis samaväärne – on risti põhibaasi vektoritega 𝐞𝑗−1 ja 𝐞𝑗+1 (eeldame
indeksite j-1, j , j+1 tsüklilist ümberpaigutust).
Vektorite skalaarkorrutis, ristseis ja vektori norm
Järgnevas läheb skalaarkorrutist ja selle omadusi vaja. Seepärast defineerime
siin skalaarkorrutise nii nagu see analüütilises geomeetrias sisse tuuakse --
koordinaatsüsteeme ja baasi mõistet kasutamata. Ruumi loeme eukleidiliseks,
nii et ei teki probleeme vektori pikkuse ega vektoritevahelise nurga
määranguga esialgses ristkoordinaadistikus.
Ühes ja samas punktis {𝑥, 𝑦, 𝑧} antud kahe vektori 𝐚 ja b skalaarkorrutis 𝐚 ⋅ 𝐛
on arv (skalaar), mis leitakse valemist 𝐚 ⋅ 𝐛 = a b cos γ , kus a ja b on
vektorite 𝐚 ja b pikkused ja γ on nendevaheline nurk.
Vektori 𝐚 norm on tema pikkus |𝐚| = 𝑎 = √𝐚 ⋅ 𝐚 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦
2 + 𝑎𝑧2 .
Kaks vektorit on risti, kui nendevaheline nurk on 90o (𝛾 = 𝜋/2 ).
Meie jaoks oluline, et (isegi eukleidilises ruumis) ei ole kõverjoonelistele
koordinaatidele ehitatud baasid ortogonaalsed.
Koordinaatjoonte ja –pindade kaldnurksuse tõttu ei ole ei baas ega kaasbaas ortogonaalsed:
𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = e𝛼e𝛽 cos 𝛾𝛼𝛽 ≠ 0,
𝛼 ≠ 𝛽
𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = e𝛼e𝛽 cos 𝛾𝛼𝛽≠ 0, 𝛼 ≠ 𝛽
Küll aga kehtib baaside biortogonaalsus, s.t. kaasbaas ja põhibaas on ortogonaalsed vastastikku:
𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 0, 𝛼 ≠ 𝛽 Üldiselt on baaside valik mitteühene, on erinevaid võimalusi.
On võimalik valida baasvektorid ühikulise pikkusega
|𝐞𝛼| = e𝛼 = 1, |𝐞𝛽| = e𝛽 = 1,
kuid levinum on biortonormaalne valik
𝐞𝑗 ⋅ 𝐞𝑗 = 1 , 𝑗 = 1,2,3.
See viimane realiseerub ka sel juhul, kui seome baasvekorid kõverjoonelistes
koordinaatides teisenduse jakobiaanidega [saab tehtud allpool veidi edasi].
2.4.2 Vektorite ja tensorite esitamine
Vaatame suvalist vektorit
𝐚(𝑥𝛼) = 𝐚(𝑞𝛽) nii nagu ta
eukleidilises ruumis defineeritud on – suunaga sirglõik. Ja et ta sõltub koordinaatidest, siis on see vektorväli
Vektori esitamine baasis käib nagu muiste paralleellükke, trapetsireegli ehk kolmnurgareegli
kohaselt 𝐚 = 𝑎𝛼𝐞𝛼 = 𝑎𝛽𝐞𝛽
Seega, ühel ja samal vektoril on kaks esitust ja kaks komplekti koordinaate
- kovariantsed koordinaadid {𝑎𝛼}, mis on selle vektori koordinaadid kaasbaasis
- kontravariantsed koordinaadid {𝑎𝛽}, mis on selle koordinaadid põhibaasis.
________________________________________________________________
Üldistus tensoritele vektorite 𝐚 ja 𝐛 otsekorrutise 𝐓 = 𝐚 ∗ 𝐛 näitel.
𝐓 = 𝐚 ∗ 𝐛 = 𝐞𝛼𝑎𝛼𝑎𝛽𝐞𝛽 = 𝐞𝛼𝑇𝛼𝛽𝐞𝛽, 𝑇𝛼𝛽
= 𝑎𝛼𝑎𝛽
Siin 𝑇𝛼𝛽 on otsekorrutisena moodustatud tensori kovariantsed komponendid
mõlema indeksi järgi.
Analoogiliselt saame kontravariantsed komponendid
𝐓 = 𝐚 ∗ 𝐛 = 𝐞𝛂𝑎𝛼𝑎𝛽𝐞𝛃 = 𝐞𝛂𝑇𝛼𝛽𝐞𝛃, 𝑇𝛼𝛽 = 𝑎𝛼𝑎𝛽
Edasi on võimalik saada kaks komplekti segakomponent-esitusi.
________________________________________________________________
Välja arvatud mõned üldised omadused, on seni baasi ja kaasbaasi valik olnud
olematu või meie suva. Näiteks on lahtine isegi küsimus kumba baasi
eelistada ja kas on vektoreid/tensoreid, mille puhul üks või teine on
eelistatavam.
Osutub, et on tõesti kaks suurt vektorite rühma/perekonda, kus selline
eristamine on loomulik.
Need on gradientvektorid ja nihkevektorid.
Gradientvektorid ’eelistavad’ kaasbaasi, kuna nihkevektorid ’eelistavad’
põhibaasi. Jutumärke on kasutatud seetõttu, et nii gradient kui nihe on
tõelised vektorid eukleidilises 3-ruumis ning mõlemaid saab esitada suvalises
kaldrööpses baasis nende ’eelistusi’ küsimata.
Tegelikult on ’eelistuse’ taga pigem see, et gradient defineerib loomuliku
kaasbaasi, kuna nihe defineerib loomuliku põhibaasi iga konkreetse
kõverjoonelise koordinaadistiku korral.
2.4.3 Gradient ja kaasbaas
Arvutame gradiendi kui vektori
funktsioonist 𝑓(𝑥𝛼) = 𝑓[𝑞𝛽(𝑥𝛼)] :
kus
defineerib kaasbaasi 𝐞𝛼 kui skalaari 𝑞𝛼(𝑥, 𝑦, 𝑧) gradiendi. See ongi see kaasbaasi ’loomulik’ valik, millest ennist rääkisime.
𝑔𝑟𝑎𝑑𝑥 = ∇(x)
Niisiis:
(1a)
(tegelikut piisab gradiendi kui vektori tähisena sümbolist 𝛁, kuna valemite
kontekstist on näha, milliste muutujate järgi oatuletised arvutatakse).
Paneme tähele, et kuna lähtebaas on eukleidilises ruumis, siis langeb ta kokku
oma kaasbaasiga
𝐢𝛼 = 𝐢𝛼 .
Valemiga (1a) antud uue kaasbaasi 𝐞𝛼 esitus vana kaasbaasi 𝐢𝛼 kaudu kehtib
ka siis, kui juba lähtekoordinaadistik {𝑥𝛼} on kõverjooneline.
Seega, uus kaasbaas avaldub vana kaudu pöördteisenduse jakobiaani
vahendusel. Siit on ka näha, miks pöördteisenduse jakobiaani (Maple’i
tähistustes qJx) signatuur on [1,-1].
2.4.4 Nihe ja põhibaas
Vaatame suvalist väikest nihet ruumipunktis 𝐱, mida kirjeldab nihkevektor
d𝐱.
Saame esitada esialgses baasis
𝐝𝐱 = 𝐢𝛼𝑑𝑥𝛼
kus 𝑑𝑥𝛼 on nihe piki telge nr 𝛼.
Põhibaasi tekke illustratsiooniks
d𝐱(1𝑏) ja d𝐱(2) on elementaarnihke vektorid piki vastavaid koordinaatjooni
Samad nihked 𝑑𝑥𝛼 esitatuna uutes koordinaatides nihete 𝑑𝑞𝛽 kaudu on
𝑑𝑥𝛼 = 𝑥𝛼 ,𝛽 𝑑𝑞𝛽. Seega
𝐝𝐱 = 𝐢𝛼𝑑𝑥𝛼 = 𝐢𝛼𝑥𝛼,𝛽 𝑑𝑞𝛽 = 𝐞𝛽𝑑𝑞𝛽,
kus
𝐞𝛽 = 𝐢𝛼𝑥𝛼,𝛽 = 𝑥,𝛽 𝛼 𝐢𝛼 (1b)
defineerib invariantselt1 põhibaasi kõverjoonelistes koordinaatides {𝑞𝛼} .
’Invariantselt’ – reeperiteisendus (1b) jääb jõusse ka siis, kui lähtekoordinaadid
{𝑥𝛼} on kõverjoonelised ja 𝐢𝛼 on (mitteortogonaalne normeerimata)
põhibaas selles.
Seega, uus põhibaas avaldub vana põhibaasi kaudu otseteisenduse jakobiaani
vahendusel. Siit on ka näha, miks pöördteisenduse jakobiaani {𝑥,𝛽 𝛼 } (Maple’i
tähistustes xJq) tensorsignatuur on [-1,1].
1 Vast. Wikipediale on invariantne objekti (Vektor,Tensor) omadus, mis säilib koordinaatteisendustel. Näit
vektori pikkus on invariantne suvalistel koordinaatteisendustel. Nii et siin ei ole päris õige kasutus.
2.4.5 Baaside näiteid
Silindriline koordinaadistik
𝐞𝛼 = 𝑞𝛼,𝛽 𝐢𝛽 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛽
𝛼 𝐢𝛼
𝐞𝑟 = 𝐢𝑥 cos 𝜃 + 𝐢𝑦 sin 𝜃
𝐞𝜃 = −𝐢𝑥sin𝜃
𝑟+ 𝐢𝑦
cos𝜃
𝑟
𝐞𝑧 = 𝐢𝑧
𝐞𝑟 = 𝐢𝑥 cos 𝜃 + 𝐢𝑦 sin 𝜃
𝐞𝜃 = −𝐢𝑥𝑟sin𝜃 + 𝐢𝑦𝑟 cos𝜃
𝐞𝑧 = 𝐢𝑧
Sfääriline koordinaadistik
𝐞𝛼 = 𝑞𝛼 ,𝛽 𝐢𝛽 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛽
𝛼 𝐢𝛼
𝐞𝑟 = 𝐢𝑥 cos 𝜑 sin 𝜃+ 𝐢𝑦 sin 𝜑 sin 𝜃+ 𝐢𝑧 cos 𝜃
𝐞𝜑 = −𝐢𝑥sin𝜑
𝑟 sin 𝜃+ 𝐢𝑦
cos𝜑
𝑟 sin 𝜃
𝐞𝑟 = 𝐢𝑥 cos 𝜑 sin 𝜃 + 𝐢𝑦 sin 𝜑 sin 𝜃
+ 𝐢𝑧 cos 𝜃
𝐞𝜑 = −𝐢𝑥𝑟sin𝜑 sin 𝜃
+ 𝐢𝑦𝑟 cos𝜑 sin 𝜃
𝐞𝜃 = 𝐢𝒙cos𝜑 cos 𝜃
𝑟
+ 𝐢𝒚sin𝜑 cos 𝜃
𝑟
− 𝐢𝑧 sin 𝜃
𝑟
𝐞𝜃 = 𝐢𝑥𝑟cos𝜑 cos 𝜃+ 𝐢𝑦𝑟 sin𝜑 cos 𝜃 −𝐢𝑧𝑟 sin 𝜃
Rõhukoordinaadid
𝐞𝛼 = 𝑞𝛼,𝛽 𝐢𝛽 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛽
𝛼 𝐢𝛼
𝑞𝐽𝑥 = {𝑞𝛼,𝛽 } =
[Valemid (8’’) p. 2.3.6 ja (8’’’) punktis 2.3.4]
[Valem (7’’) punktis 2.3.6]
𝐞𝑥 = 𝐢𝑥 , 𝐞𝑦 = 𝐢𝑦 𝐞𝑥 = 𝐢𝑥 + 𝐢𝑧𝑧,𝑥
𝐞𝑝 = 𝐞3 = 𝐢𝒙𝑝𝑧′,𝑥𝑛𝐻
+ 𝐢𝒚𝑝𝑧′,𝑦
𝑛𝐻− 𝐢𝑧
𝑝
𝑛𝐻
= 𝛁(𝒙)𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐞𝑦 = 𝐢𝑦 + 𝐢𝑧𝑧,𝑦
𝐞𝑝 = 𝐢𝑧𝑧,𝑝 = −𝐢𝑧
𝑛𝐻
𝑝
2.4.6 Biortonormaalsus
Esitused (1a) ja (1b):
(1a):
(1b): 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛽 𝛼 𝐢𝛼
-- s.o. kaas- ja põhibaasi esitamine Cartesiuse koodinaatide ortonormaalse
baasi kaudu Jakobiaanide vahendusel teeb mõnegi asja lihtsamaks, aga alles
siis, kui oleme veendunud, et (1a) ja (1b) on biortonormaalsed s.t.
vastastikku ortogonaalsed ja lisaks on indeksite ühtimisel erinimeliste
baasvektorite skalaarkorrutis võrdne ühega).
Tõestame selle omaduse
𝐞𝛂 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑞𝛼,𝛾 𝐢𝛾 ⋅ 𝑥,𝛽 𝛿 𝐢𝛿 = 𝑞𝛼,𝛾 (𝐢𝛾 ⋅ 𝐢𝜇)𝑥𝜇 ,𝛽
ja kuna (𝐢𝛾 ⋅ 𝐢𝜇) = 𝛿𝜇 𝛾
, siis
𝐞𝛂 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑞𝛼,𝛾 𝛿𝜇 𝛾
𝑥𝜇 ,𝛽 = 𝑞𝛼,𝛾 𝑥𝛾 ,𝛽
= 𝛿𝛽 𝛼
[vt. punkt 2.1: (2) ]. Niisiis
𝐞𝛂 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝐞𝛽 ⋅ 𝐞𝛂 = 𝛿𝛽 𝛼 (2)
NB! me kogu aeg oleme eeldanud, et oskame arvutada vektorite
skalaarkorrutist tavalises eukleidilises ruumis. Siin on lisaks kasutatud ära
põhi- ja kaasbaasi esitamine reeperis {𝐢𝛾}.
2.4.7 Vektori komponentide teisenemine baasiteisendustel
Esitustest (1a) ja (1b):
(1a):
(1b): 𝐞𝛼 = 𝑥,𝛼 𝛽
𝐢𝛽 võib saada ka vektorite ko- ja kontravariantsete komponentide teisenemise
eeskirjad vanast baasist uude siirdumisel ja vastupidi.
Selleks vaatame vektori esitust nii uues kui vanas baasis:
𝑎′𝛼𝐞𝛼 = 𝑎𝛼𝐢𝛼 , (1c)
𝑎𝛼′ 𝐞𝛼 = 𝑎𝛼𝐢𝛼 , (1d)
kus 𝑎′𝛼, 𝑎𝛼′ on vektori komponendid uues baasis, ja 𝑎𝛼, 𝑎𝛼 on
needsamad esialgses baasis.
NB! esitused (1c), (1d) ei eelda, et algbaasid 𝐢𝛼, 𝐢𝛼 oleksid ortonormaalsed,
seetõttu hakkavad ka järgnevad valemid kehtima suvalistel kõverjoonelistel
koordinaatteisendustel ühest kõverjoonelisest koordinaadistikust teise
siirdumisel.
Kui asendame (1c):-s 𝐞𝛼 (1b):-st, saame 𝐢𝛼 kordajaid võrdsustades
𝑎𝛼 = 𝑥𝛼 ,𝛾 𝑎′𝛾. (3a)
Analoogiliselt, asendades (1d):-s 𝐞𝛼 (1a):-st, saame 𝐢𝛼 kordajaid võrdsustades
𝑎𝛽 = 𝑞,𝛽𝛼 𝑎𝛼
′ . (3b)
Valemid (3a), (3b) annavad vektori vanad koordinaadid, kui uued on teada.
Edasi kasutame P 2.1 valemit (2) , mis seob teisenduse ja pöördteisenduse
jakobiaanid
𝑥,𝑖 𝛽
𝑞,𝛽 𝑗
= 𝛿𝑖 𝑗
ehk pikalt 𝜕𝑞𝑗
𝜕𝑥𝛽
𝜕𝑥𝛽
𝜕𝑞𝑖 = 𝛿𝑖𝑗 . (3c)
Korrutades (3a) 𝑞,𝛼 𝑗
-ga ja summeerides üle 𝛼, on (3c) abil tulemuseks
𝑎′𝑗 = 𝑞𝑗 ,𝛼 𝑎𝛼 . (3d)
Analoogiliselt annab (3b) korrutamine 𝑥,𝛽 𝑗
-ga ja summeerimine üle 𝛽
𝑎𝑗′ = 𝑥,𝑗
𝛽𝑎𝛽 . (3e)
Valemid (3d), (3e) annavad vektori uued koordinaadid vanade kaudu.
Need valemid ütlevad ka et baaside vahel peavad kehtima (1a) ja (1b)
pöördseosed
𝐢𝑗 = 𝑥 𝑗 ,𝛼 𝐞𝛼 , 𝐢𝑗 = 𝑞,𝑗 𝛼 𝐞𝛼 , (3f)
(mida on võimlik saada vahetult (1a), (1b)’st (3c) abil).
2.4.8 Vektori komponentide arvutus
Et vektorid ja tensorid on baasis esitatavad ja seda ühtmoodi hästi nii
põhibaasis kui kaasbaasis, sai juba läbi vaadatud. Suvalist kaldbaasi saab
kasutada vektori 𝐚 esitamiseks, vt. 2.4.2:
𝐚 = 𝑎𝛼𝐞𝛼 = 𝑎𝛽𝐞𝛽 (4a)
ja küsimus on ainult selles, kuidas leida komponendid 𝑎𝛼 ja/või 𝑎𝛽.
Selleks, et leida vektori 𝐚 kontravariantsed komponendid, tuleb see
projekteerida vastavatesse baasidesse. Korrutame selleks (4a) esmalt 𝐞𝑗-ga:
𝐞𝑗 ⋅ 𝐚 = 𝑎𝛼(𝐞𝑗 ⋅ 𝐞𝛼) = 𝑎𝛽(𝐞𝑗 ⋅ 𝐞𝛽) = 𝑎𝑗 .
Paneme tähele, et vektori esitamisel komponentides on kõikjal ja alati
summeeritud ikka ja ainult erinimelisi indekseid.
Siit valem vektori kontravariantsete komponentide arvutamiseks
𝑎𝑗 = 𝐞𝑗 ⋅ 𝐚 (4b)
Lisaks on meil seos kontravariantsete komponentide 𝑎𝑗 arvutamiseks 𝑎𝛼-de
kaudu
𝑎𝑗 = 𝐺𝑗𝛼𝑎𝛼 . (4c)
Sümmeetriline teist järku tensor 𝐆 kannab meetrilise tensori nime. Seejuures
𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 (4d)
on tema kontravariantsed koordinaadid ehk ka kontravariantne maatriks.
Tensor 𝐆 baasvektorite kaudu esitatuna on (analoogiliselt vektori esitusele)
𝐆 = 𝐞𝛼 𝐺𝛼𝛽𝐞𝛽 = 𝐞𝛼(𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽)𝐞𝛽 (4e)
Operatsioon (4c) on vektori indeksite tõstmine.
Korrutame nüüd (4a) skalaarselt 𝐞𝑗-ga:
𝐞𝑗 ⋅ 𝐚 = 𝑎𝛽(𝐞𝑗 ⋅ 𝐞𝛽) = 𝑎𝛼(𝐞𝑗 ⋅ 𝐞𝛼) = 𝑎𝑗 . (5a)
Seega vektori kovariantsete komponentide arvutamiseks on valem
𝑎𝑗 = 𝐞𝑗 ⋅ 𝐚 (5b)
ning lisaks saame valemi vektori kovariantsete komponentide arvutamiseks
kontravariantsetest
𝑎𝑗 = 𝐺𝑗𝛼𝑎𝛼 (5c)
kus
𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 (5d)
on meetrilise tensori kovariantsed komponendid, ehk ka kovariantne
maatriks.
Tensor täies ulatuses on kontravariantses e. kaasbaasis analoogiliselt (4e)-le
𝐆 = 𝐞𝛼𝐺𝛼𝛽𝐞𝛽 = 𝐞𝛼(𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽)𝐞𝛽 (5e)
Kui (4c) oli vektori indeksite tõstmine, siis (5c) on vektori indeksite
langetamine. Nende kahe operatsiooni järjestikune rakendamine annab
𝑎𝑗 = 𝐺𝑗𝛼𝑎𝛼 = 𝐺𝑗𝛼𝐺𝛼𝛽a𝛽
kust {𝑎𝑗} suvalisuse tõttu järeldub
𝐺𝑗𝛼𝐺𝛼𝑘 = 𝛿𝑘𝑗 . (6)
Seega maatriks 𝐺𝑗𝛼 on maatriksi 𝐺𝛼𝑘 pöördmaatriks ja vastupidi.
Analoogiliselt vektoritega saab meetrilise tensori ko- ja kontravariantseid
maatrikseid kasutada suvalist järku tensorite indeksite tõstmiseks ja
langetamiseks. See on rakendatav ka meetrilisele tensorile endale, kusjuures
tulemus on (6), mis ütleb, et meetrilise tensori segaesitus on ühikmaatriks.
Lisaks saab maatrikseid 𝐺𝛼𝛽 ja 𝐺𝛼𝛽 kasutada ka puutujabaasist
normaalbaasi siirdumiseks ja vastupidi :
𝐞𝛼 = 𝐺𝛼𝛽𝐞𝛽, 𝐞𝛼 = 𝐺𝛼𝛽𝐞𝛽
(tõestada iseseisvalt).
2.4.9 Vektorite skalaarkorrutis ja norm
Vektorite skalaarkorrutise ja normi tõime sisse eukleidilise ruumis esialgsetes
ristkoordinaatides. Vektorite esitamine baasides ja baasvekotite
skalaarkorrutiste (s.o. meetrilise tensori komponentide) teadmine võimaldab
skalaarkorrutise arvutada suvalistes kõverjoonelistes koordinaatides.
Vektorite
𝐚 = 𝑎𝛼𝐞𝛼 = 𝑎𝛽𝐞𝛽 𝐛 = 𝑏𝛼𝐞𝛼 = 𝑏𝛽𝐞𝛽 (7a)
komponentide teadmisel saab moodustada nende skalaarkorrutise koguni
neljal erineval moel
𝐚 ⋅ 𝐛 = 𝑎𝛼𝑏𝛼 = 𝑎𝛽𝑏𝛽 = 𝑎𝛼𝐺𝛼𝛽𝑏𝛽 = 𝑎𝛽𝐺𝛽𝛼𝑏𝛼 . (7b)
Tõestamiseks on piisav panna esitused (5a)’st valemi (5b) vasemale poolele ja
kasutada baaside biortogonaalsust ning indeksite tõstmist (4c) ja langetamist
(4e).
Vektori skalaarkorrutis iseendaga defineerib vektori pikkuse ruudu e. normi
ruudu
𝑎2 = |𝐚|𝟐 = 𝐚 ⋅ 𝐚 = 𝑎𝛼𝑎𝛼 = 𝑎𝛼𝐺𝛼𝛽𝑎𝛽 = 𝑎𝛽𝐺𝛽𝛼𝑎𝛼 . (7c)
Olgu 𝐝𝐱 infinitesimaalne (elementaarne) nihe ruumis, millele vastaku nihked
𝑑𝑞𝛼 piki koordinaatjooni. Siis saame elementaarnihke pikkuse ruuduks e. -
mis on seesama - kahe lähedase punkti vahelise kauguse ruuduks
𝑑𝑥2 = |𝐝𝐱|𝟐 = 𝑑𝑞𝛼𝐺𝛼𝛽𝑑𝑞𝛽 . (7d)
Sisuliselt määrab see valem kauguse kahe (lähedase) punkti vahel
kõverjooneliste koordinaatide kasutamisel. Siit saab ka selgeks, miks tensorit
𝐆 nimetatakse meetriliseks tensoriks.
Seni eeldasime (ja nii eeldame ka p. 2.4.9 järgnevates näidetes), et
kõverjoonelised koordinaadid on sisse viidud eukleidilisse kolmruumi. Kui see
aga nii ei ole, ja kui ruum on algselt kõver koordinaatidega
{𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑎𝑡𝑖𝑑𝑒 𝑞𝛼}, siis piisab selle kõverjoonelise ruumi kirjeldamiseks
täielikult tensorvälja 𝐺𝛼𝛽(𝑞𝑗) teadmisest.
2.4.10 Meetriline tensor ilmutatult
Tavakoordinaatides {x,y,z} on
𝑑𝑞𝛼 = {𝑑𝑥𝛼} = {𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧},
𝐺𝛼𝛽 = 𝐢𝛼 ⋅ 𝐢𝛽 = 𝛿𝛼𝛽 , (8a)
nii et
(𝑑𝑥)2 = |𝐝𝐱|𝟐 = 𝑑𝑥𝛼𝛿𝛼𝛽 𝑑𝑥𝛽 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2,
mis on kauguste arvutamise põhivalem eukleidilises ruumis.
Seejuures ei pea nihe olema elementaarne, vaid see võib olla lõplik nihe 𝚫 𝐱
pikkusega |𝚫 𝐱|.
Teades baasvektorite esitusi (1a) ja (1b) ortonormaalses algbaasis{𝐢𝛼} = {𝐢𝛼} ,
saab anda meetrilise tensori ilmutatud esituse kõverjoonelistes
koordinaatides.
Nii saame (5d)’st lähtudes (1b) abil
𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛼 𝛾
𝐢𝛾 ⋅ 𝐢𝜇𝑥𝜇 ,𝛽 = 𝑥,𝛼 𝛾
𝑥𝛾 ,𝛽 .
(8b)
Kuna (4d) annab (1a) abil
𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑞𝛼 ,𝛾 𝐢𝛾 ⋅ 𝐢𝜇𝑞,𝜇𝛽 = 𝑞𝛼,𝛾 𝑞,𝛾
𝛽 . (8c)
Nii et 𝐺𝛼𝛽 avaldub otseteisenduse jakobiaani korrutisena transponeeritud
iseendaga, kuna 𝐺𝛼𝛽 oa analoogiliselt avalduv pöördteisenduse jakobiaani
kaudu.
Paneme tähele, et meetrilise tensori esitamisel jakobiaanide korrutisena
toimub summeerimine üle samanimeliste indeksite.
(8c) ja (8b)-st järeldub, et 𝐺𝛼𝛽 ja 𝐺𝑗𝛼 determinantidele kehtivad
det(𝐺𝛼𝛽) ≡ |𝐺𝛼𝛽| = 𝐷2 , det(𝐺𝛼𝛽) ≡ |𝐺𝛼𝛽| = 1/𝐷2 , (8d) sest ruutmaatriksite korrutise determinant on tegurite determinantide
korrutis.
Järgnevates tabelites on toodud G ko- ja kontravariantsed esitused erinevates
kõverjoonelistes koordinaatides (silindriline, sfääriline, rõhukoordinaadistik). G
komponentide arvutus vastavalt valemeile (8b) ja (8c) on teostatud Maple’is,
vt. Ülesanded 3.1 – 3.3 allpool.
Ristkoordinaadistik x,y,z [vt. ka valem (8a)]
𝐺𝛼𝛽 = 𝐢𝛼 ⋅ 𝐢𝛽 = 𝛿𝛼𝛽 = 𝐺𝛼𝛽 = 𝐢𝛼 ⋅ 𝐢𝛽 = 𝛿𝛼𝛽,
Elementaarintervalli pikkuse ruut
|𝐝𝐱|𝟐 = 𝑑𝑥𝛼𝐺𝛼𝛽 𝑑𝑥𝛽
Ristkoordinaatides
|𝐝𝐱|𝟐 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2
Silindrilised koordinaadid r, θ, z , (arvutus: G-silinder.mws)
𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛼 𝛾
𝑥𝛾,𝛽 𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑞𝛼,𝛾 𝑞,𝛾𝛽,
Ülemine rida ülal on nagu Maple tensorid esitab, keskmine on siinsetes tähistes,
kõige all on vastavad determinandid
Elementaarintervalli pikkuse ruut silindrilistes koordinaatides
|𝐝𝐱|𝟐 = 𝑑𝑥𝛼𝐺𝛼𝛽 𝑑𝑥𝛽 = 𝑑𝑟2 + 𝑟2𝑑𝜃2 + 𝑑𝑧2
Ülesanne 3.1. Arvutada G-silinder.mws abil ülaltoodud (sinised) meetrilise
tensori esitused
Sfäärilised koordinaadid 𝑟, 𝜑, 𝜃
𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛼 𝛾
𝑥𝛾 ,𝛽 𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑞𝛼,𝛾 𝑞,𝛾𝛽,
Elementaarintervalli pikkuse ruut sfäärilistes koordinaatides
|𝐝𝐱|𝟐 = 𝑑𝑥𝛼𝐺𝛼𝛽 𝑑𝑥𝛽 = 𝑑𝑟2 + 𝑟2 sin2 𝜃 𝑑𝜑2 + 𝑟2𝑑𝜃2
Ülesanne 3.2 Leia Maple’iga meetrilise tensori esitused sfäärilistes
koordinaatides ja tööfail (leppenimega G-sfäär.mws) saada: [email protected]
Rõhukoordinaadid 𝑥, 𝑦, 𝑝
𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛼 𝛾
𝑥𝛾 ,𝛽 𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑞𝛼 ,𝛾 𝑞,𝛾𝛽,
Maple tulemused html-formaadis:
Siinsetes tähistes
Ülesanne 3.3 Leia Maple’iga meetrilise tensori esitused rõhukoordinaatides ja
tööfail (leppenimega G-xyp.mws) saada: [email protected]
Diagonaalsus tähendab vastavate koordinaatjoonte (resp. -pindade)
ristiolemist igas ruumipunktis ja avaldub reeperite {𝑒𝛼} ja {𝑒𝛼} sisemises
ortogonaalsuses ja vastastikuses rööpsuses.
Kui z’ on kõikidel rõhutasemetel tõkestatud (s.o. ei kasva 𝑝 ⇒ 0 juures
tõkestamatult), siis on mõistlik kasutusele võtta horisontaalne vektor
𝛃 = 𝛁ℎ 𝑧 = 𝛁ℎ 𝑧′ = 𝐞𝑥𝑧,𝑥′ + 𝐞𝑦𝑧,𝑦
′ , (9)
𝛽𝑥 = 𝑧,𝑥′ , 𝛽𝑦 = 𝑧,𝑦
′ ,
β = |𝛃|.
kus 𝑧’ on sisse toodud punktis2.3.4.
NB! kuna z’ on esitatud rõhukoordinaatides, siis on siindefineeritud 𝛁ℎ (h = horisontaalne)
’horisontaalne’ gradient arvutatud tegelikult rõhukoordinaatsüsteemis fikseeritud p korral.
𝛃 füüsikaline sisu: −𝑔𝛃 on horisontaalselt mõjuv jõud, mis on horisontaalse
rõhujõu ekvivalent rõhukoorinaatides.
Vektori 𝛃 näol on tegu dimensioonitu väike suurusega. Aeglastel voolamistel
(alati v.a. lööklaineline paisumine ja voolamine trombide telje lähedal) on
|𝛃| < 0.001.
Kõrvuti väikese parameetriga 𝛼 tiheduse 𝑛 =1
1+𝛼 koosseisus on vektori 𝛃
pikkus β teine väike parameeter rõhukoordinaat-dünaamikas.
Meetriline tensor 𝛃 kasutamisega
Täisesitus
{𝐺𝛼𝛽} = (G1)
{𝐺𝛼𝛽} = (GI1)
{𝐺𝛼𝛽} ja {𝐺𝛼𝛽} on vastastikku pöördmaatriksid iga 𝐻, 𝑛, 𝑝 ja 𝛃 korral
𝛃 väiksus lubab rõhukoordinaatide meetrilisi tensoreid lihtsustada, aga
seejuures peab olema ettevaatlik, et säiliks maatriksite vastastikune
pöördmaatriksiteks olemise omadus
Pannes nulliks ruutliikmed 𝛽𝑥2 = (𝑧′,𝑥 )2, 𝛽𝑦
2 = (𝑧′,𝑦 )2
, 𝛽𝑥𝛽𝑦 = 𝑧′,𝑥⋅ 𝑧′,𝑦 , saame
{𝐺𝛼𝛽} ≈ (G2)
{𝐺𝛼𝛽} ≈ (GI2)
Lähendamised leidsid aset nii vasemal kui paremal.
On lihtne veenduda , et siin (G2) ja (GI2) ei ole enam üksteise pöördmaatriksid.
Võime lugeda ühe täpseks ja siis arvutada teise. Näiteks võime aluskeks võtta (GI2), kuna sel
juhul säilivad täpse kontravariantse maatriksi (GI1) kaks esimest rida, mis määravad
potentsiaalse jõu (selles tuleb juttu edaspidi) horisontaalsed komponendid.
Vastava kovariantse maatriksi aproksimatsiooni leidmise võiks pakkuda harjutusülesandeks.
Kuna 𝛃 on enamasti väga väike, siis on mõistlik – kui juba lähendamiseks läheb – asendada
kõik beta’d nullidega, nagu alljärgnevas tehakse.
Nullides kõik 𝛽𝑥 , 𝛽𝑦-d sisaldavad elemendid, saame diagonaalsed esitused {𝐺𝛼𝛽} ≈ (G3)
{𝐺𝛼𝛽} ≈ (GI3)
Ilmselt on käesoleval juhul üks maatriks taas täpselt teise pöördmaatriksiks.
Näiteks elementaarintervalli pikkuse ruut rõhukoordinaatides diagonaalsel
juhul tuleb
|𝐝𝐱|𝟐 = 𝑑𝑥𝛼𝐺𝛼𝛽 𝑑𝑥𝛽 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + (𝐻𝑛
𝑝 )
2
𝑑𝑝2
Need lihtsustused meetrilises tensoris võimaldavad edaspidi lihtsustusi ka
dünaamikavõrrandites.
2.4.11 Vektorkorrutis
Definitsiooni kohaselt eukleidilises ruumis vektorite 𝐚 ja 𝐛 vektorkorrutis
𝐜 = 𝐚 × 𝐛 on selline vektor, mis on risti mõlema vektoriga: 𝐜 ⋅ 𝐚 = 0,
𝐜 ⋅ 𝐛 = 0, moodustab nendega parempoolse kolmiku (a pööramine b poole on
päripäeva kui vaatame c suunas) ning tema pikkus on määratud valemiga
𝑐 = |𝐜| = | 𝐚 × 𝐛| = 𝑎 𝑏 sin 𝛾
kus 𝛾 on vektorite 𝐚 ja 𝐛 vaheline nurk.
Enamasti on vektorid antud baasis ja pakub huvi nende korrutise esitamine
samas baasis.
Kui esitame vektorid 𝐚 ja 𝐛 kaasbaasis (e. normaalbaasis) {𝐞𝛼} :
𝐚 = 𝑎𝛼𝐞𝛼, 𝐛 = 𝑏𝛽𝐞𝛽 ,
siis saame
𝐜 = 𝑎𝛼𝐞𝛼 × 𝐞𝛽𝑏𝛽 = 𝑎𝛼𝐞𝛼 × 𝐞𝛽𝑎𝛽 . (10a)
Kehtivad võrdused
𝐞𝛂 × 𝐞𝛃 = D̅εαβγ𝐞𝛄 =1
Dεαβγ𝐞𝛄 (10b)
𝐞𝛼 × 𝐞𝛽 = 𝐷𝐞𝛾 , (10c)
kus D on otseteisenduse jakobiaani determinant,
eeldusel et {𝛼, 𝛽, 𝛾} = {1,2,3}, {3,1,2}või {2,3,1}. Indeksite järjekorra
vahetamisel neis kolmikutes ilmub paremale miinusmärk. Korduvate indeksite
korral peab olema vasemal ja paremal samaselt null.
Levi-Civita sümbolite abil saame samad valemid esitada
𝐞𝛼 × 𝐞𝛽 = 1
𝐷 휀𝛼𝛽𝛾 𝐞𝛾 (10d)
𝐞𝛼 × 𝐞𝛽 = 𝐷 휀𝛼𝛽𝛾 𝐞𝛾 (10e)
kus ( vt ka sissejuhatav loeng) Levi-Civita (LC) sümbolid on
Kuna toodud LC esitus on sõltumata koordinaatidest ja kõverjoonelisust kõikides
taustsüsteemides ühesugune, siis
LC ei ole tensor (isegi pseudotensoriks nimetamine on segadusttekitav) – sest ei allu
tensorite teisenemiseeskirjale baasivahetusel;
Indeksite alla või üles paigutamine on suvaline ja ei muuda midagi (ainult
summeerimistel, kus reeglina eelistame erimärgilisi indekseid, on soovitav valida LC
indeksite paiknemine ’kus paremini sobib’ reegli järgi;
ei kehti indeksite tõstmise ja laskmise reegel 휀𝑗𝛼𝛽 = 𝐺𝑗𝑘𝐺𝛼𝜇𝐺𝛽𝜈휀𝑘𝜇𝜈 (lillaks tehtud,
näitamaks et see on vale oletus).
Toodud vektorseostega (10a) – (10e) on ekvivalentsed baasvektorite
vektorkorrutiste projektsioonid samasse baasi:
(𝐞𝛼 × 𝐞𝛽)𝛾 = 𝐞𝛾 ⋅ (𝐞𝛼 × 𝐞𝛽) =1
𝐷휀𝛼𝛽𝛾 , (10f)
(𝐞𝛼 × 𝐞𝛽)𝛾 = (𝐞𝛼 × 𝐞𝛽) ⋅ 𝐞𝛾 = 𝐷휀𝛼𝛽𝛾 . (10g)
Toodud valemites D on koordinaatteisenduse (otseteisenduse) jakobiaani
determinant.
See, et 𝐞α × 𝐞β on kolineaarne 𝐞γ-ga: 𝐞α × 𝐞β ↑↑ 𝐞γ ja et analoogiline
kolineaarsus kehtib kaasvektorite puhul 𝐞α × 𝐞β ↑↑ 𝐞γ, on selge
geomeetrilistest kaalutlustest. Küsimus on võrdeteguris – korrektne oleks
tõestada, et see on vastavalt 1/D ja D. Veendume selles valemi (10d puhul).
Kasutades esitust (1b): 𝐞j = x,j α 𝐢α
saame näiteks α = 1, β = 2, γ = 3 korral
(𝐞1 × 𝐞2) ⋅ 𝐞3 = (𝑥,1 𝛼 𝐢𝛼 × 𝑥,2
𝛽𝐢𝛽) ⋅ 𝑥,3
𝛾 𝐢𝛾 =
= (𝐢𝛼 × 𝐢𝛃) ⋅ 𝐢𝛾𝑥,1 𝛼 𝑥,2
𝛽𝑥,3
𝛾 = 휀𝛼𝛽𝛾𝑥,1
𝛼 𝑥,2 𝛽
𝑥,3 𝛾
= 𝐷 ,
kus on kasutatud ära (𝐢α × 𝐢β) ⋅ 𝐢γ = εαβγ ja seda, et kolmekordne summa
εαβγx,1 α x,2
βx,3
γ langeb tõesti kokku koordinaatide otseteisenduse Jakobiaani
determinandi arvutamise eeskirjaga.
27.04.16: teisendusmaatriksi J kasutamisel saab selle tulemuse kirjutada ka
kujule
εαβγ
∂xα
∂q1
∂xβ
∂q2
∂xγ
∂q3= εαβγJ1
αJ2β
J3γ
= D
Kuna segakorrutis ei muutu indeksite tsüklilisel ümbertõstmisel, siis on see
tulemus sama indeksite α, β, γ tsüklilisel roteerimisel.
Analoogiline on juhtumi D̅ = 1/D käsitlus (selle vahega, et siis saame (𝐞𝟏 × 𝐞𝟐) ⋅ 𝐞𝟑 =
휀𝛼𝛽𝛾𝑗 ̅𝛼1 𝑗 ̅𝛽
2 𝑗 ̅𝛾3 = �̅� )
Niisiis
(𝐞1 × 𝐞2) ⋅ 𝐞3 = 𝐷, 𝐞1 ⋅ (𝐞2 × 𝐞3) =1
𝐷 (10h)
kuskil elementaarruumala arvutuse juures on need valemid juba kasutust
leidnud. Rakenduste jaoks on olulised ka valemid
D = εαβγJ1αJ2
βJ3
γ , �̅� =
1
𝐷= 휀𝛼𝛽𝛾𝑗 ̅
𝛼
1𝑗 ̅
𝛽
2𝑗 ̅
𝛾
3 .
Seosed (10d) ja (10e) näitavad, et (10a)-ga esitatud vektor 𝐜 on otstarbekas
esitada põhibaasis 𝐜 = 𝑐𝛾 𝐞𝛾 = 𝑐𝛾 𝐞𝛾 nii et
𝐜 = 𝑐𝛾 𝐞𝛾 = 𝑎𝛼𝐞𝛼 × 𝐞𝛽𝑏𝛽, (11a)
𝐜 = 𝑐𝛾𝐞𝛾 = 𝑎𝛼 𝐞𝛼 × 𝐞𝛽𝑏𝛽. (11b)
Korrutades esimese valemi vektoriga 𝐞𝑖, saame
𝐞𝑖 ⋅ (𝑐𝛾 𝐞𝛾) = 𝐞𝑖 ⋅ (𝑎𝛼𝐞𝛼 × 𝐞𝛽𝑏𝛽) ⇒
𝑐𝛾(𝐞𝑖 ⋅ 𝐞𝛾) = 𝑎𝛼 𝐞𝑖 ⋅ (𝐞𝛼 × 𝐞𝛽)𝑏𝛽 ⇒
𝑐𝑖 =1
𝐷휀𝑖𝛼𝛽 𝑎𝛼𝑏𝛽 , (11c)
mis on vektorkorrutise kontravariantne esitus korrutatavate vektorite
kovariantsete komponentide kaudu.
Täiesti analoogiliselt võib saada sama vektori 𝐜 kovariantsed komponendid
(11b)-st
𝑐𝑖 = 𝐷휀𝑖𝛼𝛽 𝑎𝛼𝑏𝛽
, (11d)
mis on vektorkorrutise kovariantne esitus korrutatavate vektorite
kontravariantsete komponentide kaudu.
Indeksite allalaskmine (11c) vasemal poolel koos samaaegse tõstmisega
paremal poolel toob võrdluses (11b)- ga seosele
휀𝑖𝑗𝑘 = 1
𝐷2𝐺𝑖𝛼𝐺𝑗𝛽𝐺𝑘𝛾휀𝛼𝛽𝛾 =
1
𝐷2𝐺𝑖𝛼𝐺𝑗𝛽𝐺𝑘𝛾휀𝛼𝛽𝛾. (12)
See ei ole indeksite laskmine ega tõstmine, sest LC sümbolite 휀 väärtused on ette teada ja
ühesugused kõikides koordinaadistikes. On lihtne veenduda, et indeksite i,j,k
kokkulangemisel vasemal saame paremal samaselt nulli. Erinevatele i,j,k
kombinatsioonidele vastavad seosed on aga tsüklilise ümbertõstmisega toodavad ühtsele
algseisundile i = 1, j=2, k=3, mil saame
1
𝐷2 𝐺1𝛼𝐺1𝛽𝐺3𝛾휀𝛼𝛽𝛾 = 1
𝐺1𝛼𝐺1𝛽𝐺3𝛾휀𝛼𝛽𝛾 = 𝐷2. (12’)
On kerge kontrollida, et
𝐺1𝛼𝐺1𝛽𝐺3𝛾휀𝛼𝛽𝛾 = det(𝐺𝛼𝛽) ≡ |𝐺𝛼𝛽| (12’’)
Seega oleme tõestanud seose, mida juba varasemast teame (vt 6’’)
det(𝐺𝛼𝛽) ≡ |𝐺𝛼𝛽| = 𝐷2 (12’’’)
Seega (12) puhul on tegu samasusega (kehtib suvalise meetrilise tensori korral).
2.4.12 Elementaarruumala arvutus
Saadud seos (10e) võimaldab tõestada punktis 2.3.3 lubatud
elementaarruumala valemi dV = 𝐷 𝑑𝑞1𝑑𝑞2𝑑𝑞3, sidudes selle kovariantse
baasi segakorrutisega (𝐞1 × 𝐞2) ⋅ 𝐞3. Selleks on vaja tõestada valem
dV = 𝐷 𝑑𝑞1𝑑𝑞2𝑑𝑞3 = (13)
= (𝐞1 × 𝐞2) ⋅ 𝐞3 𝑑𝑞1𝑑𝑞2𝑑𝑞3 = (𝐝𝐪(1) × 𝐝𝐪(2)) ⋅ 𝐝𝐪(3)
kusjuures võrdus 𝐷 = (𝐞1 × 𝐞2) ⋅ 𝐞3 on tõestatud , vt. (10h).
Tegelikult on eukleidilises ruumis segakorrutise (𝐚 × 𝐛) ⋅ 𝐜 võrdumine neile
kolmele vektorile ehitatud rööptahuka ruumalaga nö üldtuntud tõsiasi, aga
vaatame tõestuse veelkord üle.
Vaatame nihetele
𝐝𝐪(𝐢) = 𝐞𝑖𝑑𝑞𝑖, i = 1,2,3 ehitatud rööptahukat. Selle tahuka ruumala on põhja pindala 𝑑𝑆 korda kõrgus 𝑑ℎ.
dV = 𝑑ℎ ⋅ 𝑑𝑆 Põhja pindala on
𝑑𝑆 = 𝑑𝑞1𝑑𝑞2 sin 𝜑 =
= 𝐢3 ⋅ (𝐝𝐪(1) × 𝐝𝐪(2))
Seega 𝐝𝐪(1) × 𝐝𝐪(2) = 𝐢3 𝑑𝑆, kus 𝐢3 on 𝐞3 suunaline ühikvektor, mis on risti {𝑞1, 𝑞2} tasandiga, st on risti rööptahuka põhjaga. Tahuka kõrgus on
𝑑ℎ = 𝐢3 ⋅ 𝐝𝐪(3) mis võimaldab esitada
𝐝𝐪(3) = 𝐢3𝑑ℎ + 𝐝𝐪′ kus 𝐝𝐪′ asub tahuka põhja tasandis (on risti 𝐢3, 𝐞3- ga)
Seega 𝐝𝐪(3) ⋅ (𝐝𝐪(1) × 𝐝𝐪(2)) = = (𝐢3𝑑ℎ + 𝐝𝐪′ ) ⋅ 𝐢3 𝑑𝑆) =
= 𝑑ℎ ⋅ 𝑑𝑆 = 𝑑𝑉 . SOTT
Lõpetatud 6. aprill 2015