Alustatud 24. veebruar 2015

2.4 Vektorid ja tensorid kõverjoonelistes koordinaatides

2.4.1 Baasid 𝐞𝜶 ja 𝐞𝜶

Päris kena ülevaade on Wikipedias. Sealt on näiteks pärit pildid

Selle kursuse vasted neile kahele pildile on

Baas 𝐞𝛼 on puutujabaas e. põhibaas baasvektoritega punktis x piki vastavaid

koordinaatjooni 𝑞𝛼 koordinaadi kasvamise suunas.

Baas 𝐞𝛼 on kaasbaas (cobasis) e. normaalbaas. Siin on iga baasvektor 𝐞𝑗 risti

kahele ülejäävale koordinaatjoonele 𝑞𝑗−1 ja 𝑞𝑗+1 paigutatud tasandiga ehk

mis samaväärne – on risti põhibaasi vektoritega 𝐞𝑗−1 ja 𝐞𝑗+1 (eeldame

indeksite j-1, j , j+1 tsüklilist ümberpaigutust).

Vektorite skalaarkorrutis, ristseis ja vektori norm

Järgnevas läheb skalaarkorrutist ja selle omadusi vaja. Seepärast defineerime

siin skalaarkorrutise nii nagu see analüütilises geomeetrias sisse tuuakse --

koordinaatsüsteeme ja baasi mõistet kasutamata. Ruumi loeme eukleidiliseks,

nii et ei teki probleeme vektori pikkuse ega vektoritevahelise nurga

määranguga esialgses ristkoordinaadistikus.

Ühes ja samas punktis {𝑥, 𝑦, 𝑧} antud kahe vektori 𝐚 ja b skalaarkorrutis 𝐚 ⋅ 𝐛

on arv (skalaar), mis leitakse valemist 𝐚 ⋅ 𝐛 = a b cos γ , kus a ja b on

vektorite 𝐚 ja b pikkused ja γ on nendevaheline nurk.

Vektori 𝐚 norm on tema pikkus |𝐚| = 𝑎 = √𝐚 ⋅ 𝐚 = √𝑎𝑥2 + 𝑎𝑦

2 + 𝑎𝑧2 .

Kaks vektorit on risti, kui nendevaheline nurk on 90o (𝛾 = 𝜋/2 ).

Meie jaoks oluline, et (isegi eukleidilises ruumis) ei ole kõverjoonelistele

koordinaatidele ehitatud baasid ortogonaalsed.

Koordinaatjoonte ja –pindade kaldnurksuse tõttu ei ole ei baas ega kaasbaas ortogonaalsed:

𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = e𝛼e𝛽 cos 𝛾𝛼𝛽 ≠ 0,

𝛼 ≠ 𝛽

𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = e𝛼e𝛽 cos 𝛾𝛼𝛽≠ 0, 𝛼 ≠ 𝛽

Küll aga kehtib baaside biortogonaalsus, s.t. kaasbaas ja põhibaas on ortogonaalsed vastastikku:

𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 0, 𝛼 ≠ 𝛽 Üldiselt on baaside valik mitteühene, on erinevaid võimalusi.

On võimalik valida baasvektorid ühikulise pikkusega

|𝐞𝛼| = e𝛼 = 1, |𝐞𝛽| = e𝛽 = 1,

kuid levinum on biortonormaalne valik

𝐞𝑗 ⋅ 𝐞𝑗 = 1 , 𝑗 = 1,2,3.

See viimane realiseerub ka sel juhul, kui seome baasvekorid kõverjoonelistes

koordinaatides teisenduse jakobiaanidega [saab tehtud allpool veidi edasi].

2.4.2 Vektorite ja tensorite esitamine

Vaatame suvalist vektorit

𝐚(𝑥𝛼) = 𝐚(𝑞𝛽) nii nagu ta

eukleidilises ruumis defineeritud on – suunaga sirglõik. Ja et ta sõltub koordinaatidest, siis on see vektorväli

Vektori esitamine baasis käib nagu muiste paralleellükke, trapetsireegli ehk kolmnurgareegli

kohaselt 𝐚 = 𝑎𝛼𝐞𝛼 = 𝑎𝛽𝐞𝛽

Seega, ühel ja samal vektoril on kaks esitust ja kaks komplekti koordinaate

- kovariantsed koordinaadid {𝑎𝛼}, mis on selle vektori koordinaadid kaasbaasis

- kontravariantsed koordinaadid {𝑎𝛽}, mis on selle koordinaadid põhibaasis.

________________________________________________________________

Üldistus tensoritele vektorite 𝐚 ja 𝐛 otsekorrutise 𝐓 = 𝐚 ∗ 𝐛 näitel.

𝐓 = 𝐚 ∗ 𝐛 = 𝐞𝛼𝑎𝛼𝑎𝛽𝐞𝛽 = 𝐞𝛼𝑇𝛼𝛽𝐞𝛽, 𝑇𝛼𝛽

= 𝑎𝛼𝑎𝛽

Siin 𝑇𝛼𝛽 on otsekorrutisena moodustatud tensori kovariantsed komponendid

mõlema indeksi järgi.

Analoogiliselt saame kontravariantsed komponendid

𝐓 = 𝐚 ∗ 𝐛 = 𝐞𝛂𝑎𝛼𝑎𝛽𝐞𝛃 = 𝐞𝛂𝑇𝛼𝛽𝐞𝛃, 𝑇𝛼𝛽 = 𝑎𝛼𝑎𝛽

Edasi on võimalik saada kaks komplekti segakomponent-esitusi.

________________________________________________________________

Välja arvatud mõned üldised omadused, on seni baasi ja kaasbaasi valik olnud

olematu või meie suva. Näiteks on lahtine isegi küsimus kumba baasi

eelistada ja kas on vektoreid/tensoreid, mille puhul üks või teine on

eelistatavam.

Osutub, et on tõesti kaks suurt vektorite rühma/perekonda, kus selline

eristamine on loomulik.

Need on gradientvektorid ja nihkevektorid.

Gradientvektorid ’eelistavad’ kaasbaasi, kuna nihkevektorid ’eelistavad’

põhibaasi. Jutumärke on kasutatud seetõttu, et nii gradient kui nihe on

tõelised vektorid eukleidilises 3-ruumis ning mõlemaid saab esitada suvalises

kaldrööpses baasis nende ’eelistusi’ küsimata.

Tegelikult on ’eelistuse’ taga pigem see, et gradient defineerib loomuliku

kaasbaasi, kuna nihe defineerib loomuliku põhibaasi iga konkreetse

kõverjoonelise koordinaadistiku korral.

2.4.3 Gradient ja kaasbaas

Arvutame gradiendi kui vektori

funktsioonist 𝑓(𝑥𝛼) = 𝑓[𝑞𝛽(𝑥𝛼)] :

kus

defineerib kaasbaasi 𝐞𝛼 kui skalaari 𝑞𝛼(𝑥, 𝑦, 𝑧) gradiendi. See ongi see kaasbaasi ’loomulik’ valik, millest ennist rääkisime.

𝑔𝑟𝑎𝑑𝑥 = ∇(x)

Niisiis:

(1a)

(tegelikut piisab gradiendi kui vektori tähisena sümbolist 𝛁, kuna valemite

kontekstist on näha, milliste muutujate järgi oatuletised arvutatakse).

Paneme tähele, et kuna lähtebaas on eukleidilises ruumis, siis langeb ta kokku

oma kaasbaasiga

𝐢𝛼 = 𝐢𝛼 .

Valemiga (1a) antud uue kaasbaasi 𝐞𝛼 esitus vana kaasbaasi 𝐢𝛼 kaudu kehtib

ka siis, kui juba lähtekoordinaadistik {𝑥𝛼} on kõverjooneline.

Seega, uus kaasbaas avaldub vana kaudu pöördteisenduse jakobiaani

vahendusel. Siit on ka näha, miks pöördteisenduse jakobiaani (Maple’i

tähistustes qJx) signatuur on [1,-1].

2.4.4 Nihe ja põhibaas

Vaatame suvalist väikest nihet ruumipunktis 𝐱, mida kirjeldab nihkevektor

d𝐱.

Saame esitada esialgses baasis

𝐝𝐱 = 𝐢𝛼𝑑𝑥𝛼

kus 𝑑𝑥𝛼 on nihe piki telge nr 𝛼.

Põhibaasi tekke illustratsiooniks

d𝐱(1𝑏) ja d𝐱(2) on elementaarnihke vektorid piki vastavaid koordinaatjooni

Samad nihked 𝑑𝑥𝛼 esitatuna uutes koordinaatides nihete 𝑑𝑞𝛽 kaudu on

𝑑𝑥𝛼 = 𝑥𝛼 ,𝛽 𝑑𝑞𝛽. Seega

𝐝𝐱 = 𝐢𝛼𝑑𝑥𝛼 = 𝐢𝛼𝑥𝛼,𝛽 𝑑𝑞𝛽 = 𝐞𝛽𝑑𝑞𝛽,

kus

𝐞𝛽 = 𝐢𝛼𝑥𝛼,𝛽 = 𝑥,𝛽 𝛼 𝐢𝛼 (1b)

defineerib invariantselt1 põhibaasi kõverjoonelistes koordinaatides {𝑞𝛼} .

’Invariantselt’ – reeperiteisendus (1b) jääb jõusse ka siis, kui lähtekoordinaadid

{𝑥𝛼} on kõverjoonelised ja 𝐢𝛼 on (mitteortogonaalne normeerimata)

põhibaas selles.

Seega, uus põhibaas avaldub vana põhibaasi kaudu otseteisenduse jakobiaani

vahendusel. Siit on ka näha, miks pöördteisenduse jakobiaani {𝑥,𝛽 𝛼 } (Maple’i

tähistustes xJq) tensorsignatuur on [-1,1].

1 Vast. Wikipediale on invariantne objekti (Vektor,Tensor) omadus, mis säilib koordinaatteisendustel. Näit

vektori pikkus on invariantne suvalistel koordinaatteisendustel. Nii et siin ei ole päris õige kasutus.

2.4.5 Baaside näiteid

Silindriline koordinaadistik

𝐞𝛼 = 𝑞𝛼,𝛽 𝐢𝛽 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛽

𝛼 𝐢𝛼

𝐞𝑟 = 𝐢𝑥 cos 𝜃 + 𝐢𝑦 sin 𝜃

𝐞𝜃 = −𝐢𝑥sin𝜃

𝑟+ 𝐢𝑦

cos𝜃

𝑟

𝐞𝑧 = 𝐢𝑧

𝐞𝑟 = 𝐢𝑥 cos 𝜃 + 𝐢𝑦 sin 𝜃

𝐞𝜃 = −𝐢𝑥𝑟sin𝜃 + 𝐢𝑦𝑟 cos𝜃

𝐞𝑧 = 𝐢𝑧

Sfääriline koordinaadistik

𝐞𝛼 = 𝑞𝛼 ,𝛽 𝐢𝛽 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛽

𝛼 𝐢𝛼

𝐞𝑟 = 𝐢𝑥 cos 𝜑 sin 𝜃+ 𝐢𝑦 sin 𝜑 sin 𝜃+ 𝐢𝑧 cos 𝜃

𝐞𝜑 = −𝐢𝑥sin𝜑

𝑟 sin 𝜃+ 𝐢𝑦

cos𝜑

𝑟 sin 𝜃

𝐞𝑟 = 𝐢𝑥 cos 𝜑 sin 𝜃 + 𝐢𝑦 sin 𝜑 sin 𝜃

+ 𝐢𝑧 cos 𝜃

𝐞𝜑 = −𝐢𝑥𝑟sin𝜑 sin 𝜃

+ 𝐢𝑦𝑟 cos𝜑 sin 𝜃

𝐞𝜃 = 𝐢𝒙cos𝜑 cos 𝜃

𝑟

+ 𝐢𝒚sin𝜑 cos 𝜃

𝑟

− 𝐢𝑧 sin 𝜃

𝑟

𝐞𝜃 = 𝐢𝑥𝑟cos𝜑 cos 𝜃+ 𝐢𝑦𝑟 sin𝜑 cos 𝜃 −𝐢𝑧𝑟 sin 𝜃

Rõhukoordinaadid

𝐞𝛼 = 𝑞𝛼,𝛽 𝐢𝛽 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛽

𝛼 𝐢𝛼

𝑞𝐽𝑥 = {𝑞𝛼,𝛽 } =

[Valemid (8’’) p. 2.3.6 ja (8’’’) punktis 2.3.4]

[Valem (7’’) punktis 2.3.6]

𝐞𝑥 = 𝐢𝑥 , 𝐞𝑦 = 𝐢𝑦 𝐞𝑥 = 𝐢𝑥 + 𝐢𝑧𝑧,𝑥

𝐞𝑝 = 𝐞3 = 𝐢𝒙𝑝𝑧′,𝑥𝑛𝐻

+ 𝐢𝒚𝑝𝑧′,𝑦

𝑛𝐻− 𝐢𝑧

𝑝

𝑛𝐻

= 𝛁(𝒙)𝑝(𝑥, 𝑦, 𝑧)

𝐞𝑦 = 𝐢𝑦 + 𝐢𝑧𝑧,𝑦

𝐞𝑝 = 𝐢𝑧𝑧,𝑝 = −𝐢𝑧

𝑛𝐻

𝑝

2.4.6 Biortonormaalsus

Esitused (1a) ja (1b):

(1a):

(1b): 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛽 𝛼 𝐢𝛼

-- s.o. kaas- ja põhibaasi esitamine Cartesiuse koodinaatide ortonormaalse

baasi kaudu Jakobiaanide vahendusel teeb mõnegi asja lihtsamaks, aga alles

siis, kui oleme veendunud, et (1a) ja (1b) on biortonormaalsed s.t.

vastastikku ortogonaalsed ja lisaks on indeksite ühtimisel erinimeliste

baasvektorite skalaarkorrutis võrdne ühega).

Tõestame selle omaduse

𝐞𝛂 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑞𝛼,𝛾 𝐢𝛾 ⋅ 𝑥,𝛽 𝛿 𝐢𝛿 = 𝑞𝛼,𝛾 (𝐢𝛾 ⋅ 𝐢𝜇)𝑥𝜇 ,𝛽

ja kuna (𝐢𝛾 ⋅ 𝐢𝜇) = 𝛿𝜇 𝛾

, siis

𝐞𝛂 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑞𝛼,𝛾 𝛿𝜇 𝛾

𝑥𝜇 ,𝛽 = 𝑞𝛼,𝛾 𝑥𝛾 ,𝛽

= 𝛿𝛽 𝛼

[vt. punkt 2.1: (2) ]. Niisiis

𝐞𝛂 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝐞𝛽 ⋅ 𝐞𝛂 = 𝛿𝛽 𝛼 (2)

NB! me kogu aeg oleme eeldanud, et oskame arvutada vektorite

skalaarkorrutist tavalises eukleidilises ruumis. Siin on lisaks kasutatud ära

põhi- ja kaasbaasi esitamine reeperis {𝐢𝛾}.

2.4.7 Vektori komponentide teisenemine baasiteisendustel

Esitustest (1a) ja (1b):

(1a):

(1b): 𝐞𝛼 = 𝑥,𝛼 𝛽

𝐢𝛽 võib saada ka vektorite ko- ja kontravariantsete komponentide teisenemise

eeskirjad vanast baasist uude siirdumisel ja vastupidi.

Selleks vaatame vektori esitust nii uues kui vanas baasis:

𝑎′𝛼𝐞𝛼 = 𝑎𝛼𝐢𝛼 , (1c)

𝑎𝛼′ 𝐞𝛼 = 𝑎𝛼𝐢𝛼 , (1d)

kus 𝑎′𝛼, 𝑎𝛼′ on vektori komponendid uues baasis, ja 𝑎𝛼, 𝑎𝛼 on

needsamad esialgses baasis.

NB! esitused (1c), (1d) ei eelda, et algbaasid 𝐢𝛼, 𝐢𝛼 oleksid ortonormaalsed,

seetõttu hakkavad ka järgnevad valemid kehtima suvalistel kõverjoonelistel

koordinaatteisendustel ühest kõverjoonelisest koordinaadistikust teise

siirdumisel.

Kui asendame (1c):-s 𝐞𝛼 (1b):-st, saame 𝐢𝛼 kordajaid võrdsustades

𝑎𝛼 = 𝑥𝛼 ,𝛾 𝑎′𝛾. (3a)

Analoogiliselt, asendades (1d):-s 𝐞𝛼 (1a):-st, saame 𝐢𝛼 kordajaid võrdsustades

𝑎𝛽 = 𝑞,𝛽𝛼 𝑎𝛼

′ . (3b)

Valemid (3a), (3b) annavad vektori vanad koordinaadid, kui uued on teada.

Edasi kasutame P 2.1 valemit (2) , mis seob teisenduse ja pöördteisenduse

jakobiaanid

𝑥,𝑖 𝛽

𝑞,𝛽 𝑗

= 𝛿𝑖 𝑗

ehk pikalt 𝜕𝑞𝑗

𝜕𝑥𝛽

𝜕𝑥𝛽

𝜕𝑞𝑖 = 𝛿𝑖𝑗 . (3c)

Korrutades (3a) 𝑞,𝛼 𝑗

-ga ja summeerides üle 𝛼, on (3c) abil tulemuseks

𝑎′𝑗 = 𝑞𝑗 ,𝛼 𝑎𝛼 . (3d)

Analoogiliselt annab (3b) korrutamine 𝑥,𝛽 𝑗

-ga ja summeerimine üle 𝛽

𝑎𝑗′ = 𝑥,𝑗

𝛽𝑎𝛽 . (3e)

Valemid (3d), (3e) annavad vektori uued koordinaadid vanade kaudu.

Need valemid ütlevad ka et baaside vahel peavad kehtima (1a) ja (1b)

pöördseosed

𝐢𝑗 = 𝑥 𝑗 ,𝛼 𝐞𝛼 , 𝐢𝑗 = 𝑞,𝑗 𝛼 𝐞𝛼 , (3f)

(mida on võimlik saada vahetult (1a), (1b)’st (3c) abil).

2.4.8 Vektori komponentide arvutus

Et vektorid ja tensorid on baasis esitatavad ja seda ühtmoodi hästi nii

põhibaasis kui kaasbaasis, sai juba läbi vaadatud. Suvalist kaldbaasi saab

kasutada vektori 𝐚 esitamiseks, vt. 2.4.2:

𝐚 = 𝑎𝛼𝐞𝛼 = 𝑎𝛽𝐞𝛽 (4a)

ja küsimus on ainult selles, kuidas leida komponendid 𝑎𝛼 ja/või 𝑎𝛽.

Selleks, et leida vektori 𝐚 kontravariantsed komponendid, tuleb see

projekteerida vastavatesse baasidesse. Korrutame selleks (4a) esmalt 𝐞𝑗-ga:

𝐞𝑗 ⋅ 𝐚 = 𝑎𝛼(𝐞𝑗 ⋅ 𝐞𝛼) = 𝑎𝛽(𝐞𝑗 ⋅ 𝐞𝛽) = 𝑎𝑗 .

Paneme tähele, et vektori esitamisel komponentides on kõikjal ja alati

summeeritud ikka ja ainult erinimelisi indekseid.

Siit valem vektori kontravariantsete komponentide arvutamiseks

𝑎𝑗 = 𝐞𝑗 ⋅ 𝐚 (4b)

Lisaks on meil seos kontravariantsete komponentide 𝑎𝑗 arvutamiseks 𝑎𝛼-de

kaudu

𝑎𝑗 = 𝐺𝑗𝛼𝑎𝛼 . (4c)

Sümmeetriline teist järku tensor 𝐆 kannab meetrilise tensori nime. Seejuures

𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 (4d)

on tema kontravariantsed koordinaadid ehk ka kontravariantne maatriks.

Tensor 𝐆 baasvektorite kaudu esitatuna on (analoogiliselt vektori esitusele)

𝐆 = 𝐞𝛼 𝐺𝛼𝛽𝐞𝛽 = 𝐞𝛼(𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽)𝐞𝛽 (4e)

Operatsioon (4c) on vektori indeksite tõstmine.

Korrutame nüüd (4a) skalaarselt 𝐞𝑗-ga:

𝐞𝑗 ⋅ 𝐚 = 𝑎𝛽(𝐞𝑗 ⋅ 𝐞𝛽) = 𝑎𝛼(𝐞𝑗 ⋅ 𝐞𝛼) = 𝑎𝑗 . (5a)

Seega vektori kovariantsete komponentide arvutamiseks on valem

𝑎𝑗 = 𝐞𝑗 ⋅ 𝐚 (5b)

ning lisaks saame valemi vektori kovariantsete komponentide arvutamiseks

kontravariantsetest

𝑎𝑗 = 𝐺𝑗𝛼𝑎𝛼 (5c)

kus

𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 (5d)

on meetrilise tensori kovariantsed komponendid, ehk ka kovariantne

maatriks.

Tensor täies ulatuses on kontravariantses e. kaasbaasis analoogiliselt (4e)-le

𝐆 = 𝐞𝛼𝐺𝛼𝛽𝐞𝛽 = 𝐞𝛼(𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽)𝐞𝛽 (5e)

Kui (4c) oli vektori indeksite tõstmine, siis (5c) on vektori indeksite

langetamine. Nende kahe operatsiooni järjestikune rakendamine annab

𝑎𝑗 = 𝐺𝑗𝛼𝑎𝛼 = 𝐺𝑗𝛼𝐺𝛼𝛽a𝛽

kust {𝑎𝑗} suvalisuse tõttu järeldub

𝐺𝑗𝛼𝐺𝛼𝑘 = 𝛿𝑘𝑗 . (6)

Seega maatriks 𝐺𝑗𝛼 on maatriksi 𝐺𝛼𝑘 pöördmaatriks ja vastupidi.

Analoogiliselt vektoritega saab meetrilise tensori ko- ja kontravariantseid

maatrikseid kasutada suvalist järku tensorite indeksite tõstmiseks ja

langetamiseks. See on rakendatav ka meetrilisele tensorile endale, kusjuures

tulemus on (6), mis ütleb, et meetrilise tensori segaesitus on ühikmaatriks.

Lisaks saab maatrikseid 𝐺𝛼𝛽 ja 𝐺𝛼𝛽 kasutada ka puutujabaasist

normaalbaasi siirdumiseks ja vastupidi :

𝐞𝛼 = 𝐺𝛼𝛽𝐞𝛽, 𝐞𝛼 = 𝐺𝛼𝛽𝐞𝛽

(tõestada iseseisvalt).

2.4.9 Vektorite skalaarkorrutis ja norm

Vektorite skalaarkorrutise ja normi tõime sisse eukleidilise ruumis esialgsetes

ristkoordinaatides. Vektorite esitamine baasides ja baasvekotite

skalaarkorrutiste (s.o. meetrilise tensori komponentide) teadmine võimaldab

skalaarkorrutise arvutada suvalistes kõverjoonelistes koordinaatides.

Vektorite

𝐚 = 𝑎𝛼𝐞𝛼 = 𝑎𝛽𝐞𝛽 𝐛 = 𝑏𝛼𝐞𝛼 = 𝑏𝛽𝐞𝛽 (7a)

komponentide teadmisel saab moodustada nende skalaarkorrutise koguni

neljal erineval moel

𝐚 ⋅ 𝐛 = 𝑎𝛼𝑏𝛼 = 𝑎𝛽𝑏𝛽 = 𝑎𝛼𝐺𝛼𝛽𝑏𝛽 = 𝑎𝛽𝐺𝛽𝛼𝑏𝛼 . (7b)

Tõestamiseks on piisav panna esitused (5a)’st valemi (5b) vasemale poolele ja

kasutada baaside biortogonaalsust ning indeksite tõstmist (4c) ja langetamist

(4e).

Vektori skalaarkorrutis iseendaga defineerib vektori pikkuse ruudu e. normi

ruudu

𝑎2 = |𝐚|𝟐 = 𝐚 ⋅ 𝐚 = 𝑎𝛼𝑎𝛼 = 𝑎𝛼𝐺𝛼𝛽𝑎𝛽 = 𝑎𝛽𝐺𝛽𝛼𝑎𝛼 . (7c)

Olgu 𝐝𝐱 infinitesimaalne (elementaarne) nihe ruumis, millele vastaku nihked

𝑑𝑞𝛼 piki koordinaatjooni. Siis saame elementaarnihke pikkuse ruuduks e. -

mis on seesama - kahe lähedase punkti vahelise kauguse ruuduks

𝑑𝑥2 = |𝐝𝐱|𝟐 = 𝑑𝑞𝛼𝐺𝛼𝛽𝑑𝑞𝛽 . (7d)

Sisuliselt määrab see valem kauguse kahe (lähedase) punkti vahel

kõverjooneliste koordinaatide kasutamisel. Siit saab ka selgeks, miks tensorit

𝐆 nimetatakse meetriliseks tensoriks.

Seni eeldasime (ja nii eeldame ka p. 2.4.9 järgnevates näidetes), et

kõverjoonelised koordinaadid on sisse viidud eukleidilisse kolmruumi. Kui see

aga nii ei ole, ja kui ruum on algselt kõver koordinaatidega

{𝑘𝑜𝑜𝑟𝑑𝑖𝑛𝑎𝑎𝑡𝑖𝑑𝑒 𝑞𝛼}, siis piisab selle kõverjoonelise ruumi kirjeldamiseks

täielikult tensorvälja 𝐺𝛼𝛽(𝑞𝑗) teadmisest.

2.4.10 Meetriline tensor ilmutatult

Tavakoordinaatides {x,y,z} on

𝑑𝑞𝛼 = {𝑑𝑥𝛼} = {𝑑𝑥, 𝑑𝑦, 𝑑𝑧},

𝐺𝛼𝛽 = 𝐢𝛼 ⋅ 𝐢𝛽 = 𝛿𝛼𝛽 , (8a)

nii et

(𝑑𝑥)2 = |𝐝𝐱|𝟐 = 𝑑𝑥𝛼𝛿𝛼𝛽 𝑑𝑥𝛽 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2,

mis on kauguste arvutamise põhivalem eukleidilises ruumis.

Seejuures ei pea nihe olema elementaarne, vaid see võib olla lõplik nihe 𝚫 𝐱

pikkusega |𝚫 𝐱|.

Teades baasvektorite esitusi (1a) ja (1b) ortonormaalses algbaasis{𝐢𝛼} = {𝐢𝛼} ,

saab anda meetrilise tensori ilmutatud esituse kõverjoonelistes

koordinaatides.

Nii saame (5d)’st lähtudes (1b) abil

𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛼 𝛾

𝐢𝛾 ⋅ 𝐢𝜇𝑥𝜇 ,𝛽 = 𝑥,𝛼 𝛾

𝑥𝛾 ,𝛽 .

(8b)

Kuna (4d) annab (1a) abil

𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑞𝛼 ,𝛾 𝐢𝛾 ⋅ 𝐢𝜇𝑞,𝜇𝛽 = 𝑞𝛼,𝛾 𝑞,𝛾

𝛽 . (8c)

Nii et 𝐺𝛼𝛽 avaldub otseteisenduse jakobiaani korrutisena transponeeritud

iseendaga, kuna 𝐺𝛼𝛽 oa analoogiliselt avalduv pöördteisenduse jakobiaani

kaudu.

Paneme tähele, et meetrilise tensori esitamisel jakobiaanide korrutisena

toimub summeerimine üle samanimeliste indeksite.

(8c) ja (8b)-st järeldub, et 𝐺𝛼𝛽 ja 𝐺𝑗𝛼 determinantidele kehtivad

det(𝐺𝛼𝛽) ≡ |𝐺𝛼𝛽| = 𝐷2 , det(𝐺𝛼𝛽) ≡ |𝐺𝛼𝛽| = 1/𝐷2 , (8d) sest ruutmaatriksite korrutise determinant on tegurite determinantide

korrutis.

Järgnevates tabelites on toodud G ko- ja kontravariantsed esitused erinevates

kõverjoonelistes koordinaatides (silindriline, sfääriline, rõhukoordinaadistik). G

komponentide arvutus vastavalt valemeile (8b) ja (8c) on teostatud Maple’is,

vt. Ülesanded 3.1 – 3.3 allpool.

Ristkoordinaadistik x,y,z [vt. ka valem (8a)]

𝐺𝛼𝛽 = 𝐢𝛼 ⋅ 𝐢𝛽 = 𝛿𝛼𝛽 = 𝐺𝛼𝛽 = 𝐢𝛼 ⋅ 𝐢𝛽 = 𝛿𝛼𝛽,

Elementaarintervalli pikkuse ruut

|𝐝𝐱|𝟐 = 𝑑𝑥𝛼𝐺𝛼𝛽 𝑑𝑥𝛽

Ristkoordinaatides

|𝐝𝐱|𝟐 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + 𝑑𝑧2

Silindrilised koordinaadid r, θ, z , (arvutus: G-silinder.mws)

𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛼 𝛾

𝑥𝛾,𝛽 𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑞𝛼,𝛾 𝑞,𝛾𝛽,

Ülemine rida ülal on nagu Maple tensorid esitab, keskmine on siinsetes tähistes,

kõige all on vastavad determinandid

Elementaarintervalli pikkuse ruut silindrilistes koordinaatides

|𝐝𝐱|𝟐 = 𝑑𝑥𝛼𝐺𝛼𝛽 𝑑𝑥𝛽 = 𝑑𝑟2 + 𝑟2𝑑𝜃2 + 𝑑𝑧2

Ülesanne 3.1. Arvutada G-silinder.mws abil ülaltoodud (sinised) meetrilise

tensori esitused

Sfäärilised koordinaadid 𝑟, 𝜑, 𝜃

𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛼 𝛾

𝑥𝛾 ,𝛽 𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑞𝛼,𝛾 𝑞,𝛾𝛽,

Elementaarintervalli pikkuse ruut sfäärilistes koordinaatides

|𝐝𝐱|𝟐 = 𝑑𝑥𝛼𝐺𝛼𝛽 𝑑𝑥𝛽 = 𝑑𝑟2 + 𝑟2 sin2 𝜃 𝑑𝜑2 + 𝑟2𝑑𝜃2

Ülesanne 3.2 Leia Maple’iga meetrilise tensori esitused sfäärilistes

koordinaatides ja tööfail (leppenimega G-sfäär.mws) saada: room@ut.ee

Rõhukoordinaadid 𝑥, 𝑦, 𝑝

𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑥,𝛼 𝛾

𝑥𝛾 ,𝛽 𝐺𝛼𝛽 = 𝐞𝛼 ⋅ 𝐞𝛽 = 𝑞𝛼 ,𝛾 𝑞,𝛾𝛽,

Maple tulemused html-formaadis:

Siinsetes tähistes

Ülesanne 3.3 Leia Maple’iga meetrilise tensori esitused rõhukoordinaatides ja

tööfail (leppenimega G-xyp.mws) saada: room@ut.ee

Diagonaalsus tähendab vastavate koordinaatjoonte (resp. -pindade)

ristiolemist igas ruumipunktis ja avaldub reeperite {𝑒𝛼} ja {𝑒𝛼} sisemises

ortogonaalsuses ja vastastikuses rööpsuses.

Kui z’ on kõikidel rõhutasemetel tõkestatud (s.o. ei kasva 𝑝 ⇒ 0 juures

tõkestamatult), siis on mõistlik kasutusele võtta horisontaalne vektor

𝛃 = 𝛁ℎ 𝑧 = 𝛁ℎ 𝑧′ = 𝐞𝑥𝑧,𝑥′ + 𝐞𝑦𝑧,𝑦

′ , (9)

𝛽𝑥 = 𝑧,𝑥′ , 𝛽𝑦 = 𝑧,𝑦

′ ,

β = |𝛃|.

kus 𝑧’ on sisse toodud punktis2.3.4.

NB! kuna z’ on esitatud rõhukoordinaatides, siis on siindefineeritud 𝛁ℎ (h = horisontaalne)

’horisontaalne’ gradient arvutatud tegelikult rõhukoordinaatsüsteemis fikseeritud p korral.

𝛃 füüsikaline sisu: −𝑔𝛃 on horisontaalselt mõjuv jõud, mis on horisontaalse

rõhujõu ekvivalent rõhukoorinaatides.

Vektori 𝛃 näol on tegu dimensioonitu väike suurusega. Aeglastel voolamistel

(alati v.a. lööklaineline paisumine ja voolamine trombide telje lähedal) on

|𝛃| < 0.001.

Kõrvuti väikese parameetriga 𝛼 tiheduse 𝑛 =1

1+𝛼 koosseisus on vektori 𝛃

pikkus β teine väike parameeter rõhukoordinaat-dünaamikas.

Meetriline tensor 𝛃 kasutamisega

Täisesitus

{𝐺𝛼𝛽} = (G1)

{𝐺𝛼𝛽} = (GI1)

{𝐺𝛼𝛽} ja {𝐺𝛼𝛽} on vastastikku pöördmaatriksid iga 𝐻, 𝑛, 𝑝 ja 𝛃 korral

𝛃 väiksus lubab rõhukoordinaatide meetrilisi tensoreid lihtsustada, aga

seejuures peab olema ettevaatlik, et säiliks maatriksite vastastikune

pöördmaatriksiteks olemise omadus

Pannes nulliks ruutliikmed 𝛽𝑥2 = (𝑧′,𝑥 )2, 𝛽𝑦

2 = (𝑧′,𝑦 )2

, 𝛽𝑥𝛽𝑦 = 𝑧′,𝑥⋅ 𝑧′,𝑦 , saame

{𝐺𝛼𝛽} ≈ (G2)

{𝐺𝛼𝛽} ≈ (GI2)

Lähendamised leidsid aset nii vasemal kui paremal.

On lihtne veenduda , et siin (G2) ja (GI2) ei ole enam üksteise pöördmaatriksid.

Võime lugeda ühe täpseks ja siis arvutada teise. Näiteks võime aluskeks võtta (GI2), kuna sel

juhul säilivad täpse kontravariantse maatriksi (GI1) kaks esimest rida, mis määravad

potentsiaalse jõu (selles tuleb juttu edaspidi) horisontaalsed komponendid.

Vastava kovariantse maatriksi aproksimatsiooni leidmise võiks pakkuda harjutusülesandeks.

Kuna 𝛃 on enamasti väga väike, siis on mõistlik – kui juba lähendamiseks läheb – asendada

kõik beta’d nullidega, nagu alljärgnevas tehakse.

Nullides kõik 𝛽𝑥 , 𝛽𝑦-d sisaldavad elemendid, saame diagonaalsed esitused {𝐺𝛼𝛽} ≈ (G3)

{𝐺𝛼𝛽} ≈ (GI3)

Ilmselt on käesoleval juhul üks maatriks taas täpselt teise pöördmaatriksiks.

Näiteks elementaarintervalli pikkuse ruut rõhukoordinaatides diagonaalsel

juhul tuleb

|𝐝𝐱|𝟐 = 𝑑𝑥𝛼𝐺𝛼𝛽 𝑑𝑥𝛽 = 𝑑𝑥2 + 𝑑𝑦2 + (𝐻𝑛

𝑝 )

2

𝑑𝑝2

Need lihtsustused meetrilises tensoris võimaldavad edaspidi lihtsustusi ka

dünaamikavõrrandites.

2.4.11 Vektorkorrutis

Definitsiooni kohaselt eukleidilises ruumis vektorite 𝐚 ja 𝐛 vektorkorrutis

𝐜 = 𝐚 × 𝐛 on selline vektor, mis on risti mõlema vektoriga: 𝐜 ⋅ 𝐚 = 0,

𝐜 ⋅ 𝐛 = 0, moodustab nendega parempoolse kolmiku (a pööramine b poole on

päripäeva kui vaatame c suunas) ning tema pikkus on määratud valemiga

𝑐 = |𝐜| = | 𝐚 × 𝐛| = 𝑎 𝑏 sin 𝛾

kus 𝛾 on vektorite 𝐚 ja 𝐛 vaheline nurk.

Enamasti on vektorid antud baasis ja pakub huvi nende korrutise esitamine

samas baasis.

Kui esitame vektorid 𝐚 ja 𝐛 kaasbaasis (e. normaalbaasis) {𝐞𝛼} :

𝐚 = 𝑎𝛼𝐞𝛼, 𝐛 = 𝑏𝛽𝐞𝛽 ,

siis saame

𝐜 = 𝑎𝛼𝐞𝛼 × 𝐞𝛽𝑏𝛽 = 𝑎𝛼𝐞𝛼 × 𝐞𝛽𝑎𝛽 . (10a)

Kehtivad võrdused

𝐞𝛂 × 𝐞𝛃 = D̅εαβγ𝐞𝛄 =1

Dεαβγ𝐞𝛄 (10b)

𝐞𝛼 × 𝐞𝛽 = 𝐷𝐞𝛾 , (10c)

kus D on otseteisenduse jakobiaani determinant,

eeldusel et {𝛼, 𝛽, 𝛾} = {1,2,3}, {3,1,2}või {2,3,1}. Indeksite järjekorra

vahetamisel neis kolmikutes ilmub paremale miinusmärk. Korduvate indeksite

korral peab olema vasemal ja paremal samaselt null.

Levi-Civita sümbolite abil saame samad valemid esitada

𝐞𝛼 × 𝐞𝛽 = 1

𝐷 휀𝛼𝛽𝛾 𝐞𝛾 (10d)

𝐞𝛼 × 𝐞𝛽 = 𝐷 휀𝛼𝛽𝛾 𝐞𝛾 (10e)

kus ( vt ka sissejuhatav loeng) Levi-Civita (LC) sümbolid on

Kuna toodud LC esitus on sõltumata koordinaatidest ja kõverjoonelisust kõikides

taustsüsteemides ühesugune, siis

LC ei ole tensor (isegi pseudotensoriks nimetamine on segadusttekitav) – sest ei allu

tensorite teisenemiseeskirjale baasivahetusel;

Indeksite alla või üles paigutamine on suvaline ja ei muuda midagi (ainult

summeerimistel, kus reeglina eelistame erimärgilisi indekseid, on soovitav valida LC

indeksite paiknemine ’kus paremini sobib’ reegli järgi;

ei kehti indeksite tõstmise ja laskmise reegel 휀𝑗𝛼𝛽 = 𝐺𝑗𝑘𝐺𝛼𝜇𝐺𝛽𝜈휀𝑘𝜇𝜈 (lillaks tehtud,

näitamaks et see on vale oletus).

Toodud vektorseostega (10a) – (10e) on ekvivalentsed baasvektorite

vektorkorrutiste projektsioonid samasse baasi:

(𝐞𝛼 × 𝐞𝛽)𝛾 = 𝐞𝛾 ⋅ (𝐞𝛼 × 𝐞𝛽) =1

𝐷휀𝛼𝛽𝛾 , (10f)

(𝐞𝛼 × 𝐞𝛽)𝛾 = (𝐞𝛼 × 𝐞𝛽) ⋅ 𝐞𝛾 = 𝐷휀𝛼𝛽𝛾 . (10g)

Toodud valemites D on koordinaatteisenduse (otseteisenduse) jakobiaani

determinant.

See, et 𝐞α × 𝐞β on kolineaarne 𝐞γ-ga: 𝐞α × 𝐞β ↑↑ 𝐞γ ja et analoogiline

kolineaarsus kehtib kaasvektorite puhul 𝐞α × 𝐞β ↑↑ 𝐞γ, on selge

geomeetrilistest kaalutlustest. Küsimus on võrdeteguris – korrektne oleks

tõestada, et see on vastavalt 1/D ja D. Veendume selles valemi (10d puhul).

Kasutades esitust (1b): 𝐞j = x,j α 𝐢α

saame näiteks α = 1, β = 2, γ = 3 korral

(𝐞1 × 𝐞2) ⋅ 𝐞3 = (𝑥,1 𝛼 𝐢𝛼 × 𝑥,2

𝛽𝐢𝛽) ⋅ 𝑥,3

𝛾 𝐢𝛾 =

= (𝐢𝛼 × 𝐢𝛃) ⋅ 𝐢𝛾𝑥,1 𝛼 𝑥,2

𝛽𝑥,3

𝛾 = 휀𝛼𝛽𝛾𝑥,1

𝛼 𝑥,2 𝛽

𝑥,3 𝛾

= 𝐷 ,

kus on kasutatud ära (𝐢α × 𝐢β) ⋅ 𝐢γ = εαβγ ja seda, et kolmekordne summa

εαβγx,1 α x,2

βx,3

γ langeb tõesti kokku koordinaatide otseteisenduse Jakobiaani

determinandi arvutamise eeskirjaga.

27.04.16: teisendusmaatriksi J kasutamisel saab selle tulemuse kirjutada ka

kujule

εαβγ

∂xα

∂q1

∂xβ

∂q2

∂xγ

∂q3= εαβγJ1

αJ2β

J3γ

= D

Kuna segakorrutis ei muutu indeksite tsüklilisel ümbertõstmisel, siis on see

tulemus sama indeksite α, β, γ tsüklilisel roteerimisel.

Analoogiline on juhtumi D̅ = 1/D käsitlus (selle vahega, et siis saame (𝐞𝟏 × 𝐞𝟐) ⋅ 𝐞𝟑 =

휀𝛼𝛽𝛾𝑗 ̅𝛼1 𝑗 ̅𝛽

2 𝑗 ̅𝛾3 = �̅� )

Niisiis

(𝐞1 × 𝐞2) ⋅ 𝐞3 = 𝐷, 𝐞1 ⋅ (𝐞2 × 𝐞3) =1

𝐷 (10h)

kuskil elementaarruumala arvutuse juures on need valemid juba kasutust

leidnud. Rakenduste jaoks on olulised ka valemid

D = εαβγJ1αJ2

βJ3

γ , �̅� =

1

𝐷= 휀𝛼𝛽𝛾𝑗 ̅

𝛼

1𝑗 ̅

𝛽

2𝑗 ̅

𝛾

3 .

Seosed (10d) ja (10e) näitavad, et (10a)-ga esitatud vektor 𝐜 on otstarbekas

esitada põhibaasis 𝐜 = 𝑐𝛾 𝐞𝛾 = 𝑐𝛾 𝐞𝛾 nii et

𝐜 = 𝑐𝛾 𝐞𝛾 = 𝑎𝛼𝐞𝛼 × 𝐞𝛽𝑏𝛽, (11a)

𝐜 = 𝑐𝛾𝐞𝛾 = 𝑎𝛼 𝐞𝛼 × 𝐞𝛽𝑏𝛽. (11b)

Korrutades esimese valemi vektoriga 𝐞𝑖, saame

𝐞𝑖 ⋅ (𝑐𝛾 𝐞𝛾) = 𝐞𝑖 ⋅ (𝑎𝛼𝐞𝛼 × 𝐞𝛽𝑏𝛽) ⇒

𝑐𝛾(𝐞𝑖 ⋅ 𝐞𝛾) = 𝑎𝛼 𝐞𝑖 ⋅ (𝐞𝛼 × 𝐞𝛽)𝑏𝛽 ⇒

𝑐𝑖 =1

𝐷휀𝑖𝛼𝛽 𝑎𝛼𝑏𝛽 , (11c)

mis on vektorkorrutise kontravariantne esitus korrutatavate vektorite

kovariantsete komponentide kaudu.

Täiesti analoogiliselt võib saada sama vektori 𝐜 kovariantsed komponendid

(11b)-st

𝑐𝑖 = 𝐷휀𝑖𝛼𝛽 𝑎𝛼𝑏𝛽

, (11d)

mis on vektorkorrutise kovariantne esitus korrutatavate vektorite

kontravariantsete komponentide kaudu.

Indeksite allalaskmine (11c) vasemal poolel koos samaaegse tõstmisega

paremal poolel toob võrdluses (11b)- ga seosele

휀𝑖𝑗𝑘 = 1

𝐷2𝐺𝑖𝛼𝐺𝑗𝛽𝐺𝑘𝛾휀𝛼𝛽𝛾 =

1

𝐷2𝐺𝑖𝛼𝐺𝑗𝛽𝐺𝑘𝛾휀𝛼𝛽𝛾. (12)

See ei ole indeksite laskmine ega tõstmine, sest LC sümbolite 휀 väärtused on ette teada ja

ühesugused kõikides koordinaadistikes. On lihtne veenduda, et indeksite i,j,k

kokkulangemisel vasemal saame paremal samaselt nulli. Erinevatele i,j,k

kombinatsioonidele vastavad seosed on aga tsüklilise ümbertõstmisega toodavad ühtsele

algseisundile i = 1, j=2, k=3, mil saame

1

𝐷2 𝐺1𝛼𝐺1𝛽𝐺3𝛾휀𝛼𝛽𝛾 = 1

𝐺1𝛼𝐺1𝛽𝐺3𝛾휀𝛼𝛽𝛾 = 𝐷2. (12’)

On kerge kontrollida, et

𝐺1𝛼𝐺1𝛽𝐺3𝛾휀𝛼𝛽𝛾 = det(𝐺𝛼𝛽) ≡ |𝐺𝛼𝛽| (12’’)

Seega oleme tõestanud seose, mida juba varasemast teame (vt 6’’)

det(𝐺𝛼𝛽) ≡ |𝐺𝛼𝛽| = 𝐷2 (12’’’)

Seega (12) puhul on tegu samasusega (kehtib suvalise meetrilise tensori korral).

2.4.12 Elementaarruumala arvutus

Saadud seos (10e) võimaldab tõestada punktis 2.3.3 lubatud

elementaarruumala valemi dV = 𝐷 𝑑𝑞1𝑑𝑞2𝑑𝑞3, sidudes selle kovariantse

baasi segakorrutisega (𝐞1 × 𝐞2) ⋅ 𝐞3. Selleks on vaja tõestada valem

dV = 𝐷 𝑑𝑞1𝑑𝑞2𝑑𝑞3 = (13)

= (𝐞1 × 𝐞2) ⋅ 𝐞3 𝑑𝑞1𝑑𝑞2𝑑𝑞3 = (𝐝𝐪(1) × 𝐝𝐪(2)) ⋅ 𝐝𝐪(3)

kusjuures võrdus 𝐷 = (𝐞1 × 𝐞2) ⋅ 𝐞3 on tõestatud , vt. (10h).

Tegelikult on eukleidilises ruumis segakorrutise (𝐚 × 𝐛) ⋅ 𝐜 võrdumine neile

kolmele vektorile ehitatud rööptahuka ruumalaga nö üldtuntud tõsiasi, aga

vaatame tõestuse veelkord üle.

Vaatame nihetele

𝐝𝐪(𝐢) = 𝐞𝑖𝑑𝑞𝑖, i = 1,2,3 ehitatud rööptahukat. Selle tahuka ruumala on põhja pindala 𝑑𝑆 korda kõrgus 𝑑ℎ.

dV = 𝑑ℎ ⋅ 𝑑𝑆 Põhja pindala on

𝑑𝑆 = 𝑑𝑞1𝑑𝑞2 sin 𝜑 =

= 𝐢3 ⋅ (𝐝𝐪(1) × 𝐝𝐪(2))

Seega 𝐝𝐪(1) × 𝐝𝐪(2) = 𝐢3 𝑑𝑆, kus 𝐢3 on 𝐞3 suunaline ühikvektor, mis on risti {𝑞1, 𝑞2} tasandiga, st on risti rööptahuka põhjaga. Tahuka kõrgus on

𝑑ℎ = 𝐢3 ⋅ 𝐝𝐪(3) mis võimaldab esitada

𝐝𝐪(3) = 𝐢3𝑑ℎ + 𝐝𝐪′ kus 𝐝𝐪′ asub tahuka põhja tasandis (on risti 𝐢3, 𝐞3- ga)

Seega 𝐝𝐪(3) ⋅ (𝐝𝐪(1) × 𝐝𝐪(2)) = = (𝐢3𝑑ℎ + 𝐝𝐪′ ) ⋅ 𝐢3 𝑑𝑆) =

= 𝑑ℎ ⋅ 𝑑𝑆 = 𝑑𝑉 . SOTT

Lõpetatud 6. aprill 2015