7/27/2019 Bab Vii Sistem Derajat Kebebasan Banyak1
1/11
BAB VII
SISTEM DERAJAT KEBEBASAN BANYAK
(MULTI DEGREE OF FREEDOM)
Persamaan gerak dari suatu sistem dapat diturunkan sebagai berikut :
( )11111221xmxkxxkm =
( ) 02212111=++ xkxkkxm
( ) ( )221222332xmxxkxxkm =
( ) 0332321222=++ xkxkkxkxm
( ) ( )332333443xmxxkxxkm =
( ) 0443432333=++ xkxkkxkxm
( ) ( )nnnnnnnnn
xmxxkxxkm = 2111
( ) 01121
=++ nnnnnnnnn xkxkkxkxm
Persamaan gerak ini kalau ditulis dalam bentuk matrix :
0
0
00
00
2
1
21
22221
11211
2
1
2
1
=
+
nnnnn
n
n
nn
x
x
x
kkk
kkk
kkk
x
x
x
m
m
m
dimana :
k11 = k1 + k2; k12 = k21 = -k2; k13 = k14 = k1n = 0
k22 = k2 + k3; k23 = k32 = -k3; k24 = k25 = k2n = 0
k33 = k3 + k4; k34 = k43 = -k4; k35 = k3n = 0
atau :
kii = ki + ki+1; ki,i+1 = ki+1,i = -ki+1
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MTREKAYASA GEMPA
7/27/2019 Bab Vii Sistem Derajat Kebebasan Banyak1
2/11
kij lainnya = 0
Persamaan gerak di atas bisa juga ditulis sebagai berikut :
[ ] ( ) [ ] ( ) 0=+ xkxM dimana :
M adalah matrix massa (matrix diagonal)
K adalah stiffness matrix (matrix bujur sangkar)
xi adalah displacement tiap-tiap massa (matrix kolom)
ix adalah percepatan tiap-tiap massa (matrix kolom)
Asumsi solusinya adalah harmonis dengan periode yang sudut fasenya sama :
( ) ( ) == ntniintii AxAx coscos2
Disubstitusikan ke dalam persamaan di atas diperoleh
{ } ( ) 0cos2 = ntn AKM
Bentuk tersebut di atas hanya akan mempunyai solusi bila harga determinant
dari matrix sama dengan nol
02 =KMn
Harga determinant ini kalau diselesaikan akan kita peroleh harga-harga circular
natural frequency dari tiap-tiap mode n derajat kebebasan ada n buah n.
Bentuk ini hanya akan mudah dihitung bila derajat kebebasan (degree of
freedom) dari sistem masih kecil n 3 menghitung harga determinant dari marix
n x n dimana n > 3 cukup sulit, kecuali dibantu dengan komputer.
Contoh VII.1 :
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MTREKAYASA GEMPA
7/27/2019 Bab Vii Sistem Derajat Kebebasan Banyak1
3/11
Free Body Diagram
( )
( ) ( )101221111
1111122
111
=+
=
=
xxkxkxm
xmxkxxk
amFm x
( )
( ) ( )20
12222
22122
222
=+
=
=
xxkxm
xmxxk
amFm x
Anggap solusi adalah harmonis dengan sudut fasenya sama
( ) ( ) == tAxtAx nnn coscos2
1111
( ) ( ) == tAxtAx nnfasesudut
n coscos2
2222
Substitusikan ke dalam persamaan 1 & 2 di dapat
( ) ( ) ( ) 0cos112211
2
11=+ tAAkAkmA nn
( ) ( ) ( ) 0cos2122
2
22=+ tAAkmA nn
Atau
( ) ( ) 01221
2
121=+ AkAmkk n
( ) ( ) 022
2
2212=+ AmkAk n
( )( )2
121
2
2
11
nmkk
k
A
A
+=
( )(
2
2
22
2
12
k
mk
A
A n=
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MTREKAYASA GEMPA
7/27/2019 Bab Vii Sistem Derajat Kebebasan Banyak1
4/11
maka :
( )( )
2
2
22
2
121
2
k
mk
mkk
kn
n
=
+
( )( )222
2
121
2
2 nnmkmkkk +=
( ){ } ( ) 022212
2
22112
4
21=++++ kkkkmkkmkmm nn
( )0
21
212
1
21
2
24 =+
+
+mm
kk
m
kk
m
knn
, persamaan ini disebut persamaan
frequency, sebagai contoh : k1 = k2 = k ; m1 = m2 = m
02
2
2
24 =+
+
m
k
m
k
m
k
nn
03
2
2
24 =+m
k
m
knn
==
= 5
2
35
22
3
2
493
2
2
2
2
2
m
k
m
k
m
km
k
m
k
m
k
n
m
k
m
kn
38.0
2
5
2
321 =
=
m
kn
38.01 =
m
k
m
kn
62.22
5
2
322
=
+=
m
kn
62.22=
( )
( )
==
==tAx
tAx
A
A
m
k
n
n
n
122
121
2
1
1
cos
cos62.062.038.0
( )
( )
==
==tAx
tAx
A
A
m
k
n
n
n
222
221
2
1
2
cos
cos62.162.162.2
Contoh VII.2 :
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MTREKAYASA GEMPA
7/27/2019 Bab Vii Sistem Derajat Kebebasan Banyak1
5/11
Portal dua tingkat dengan massa balok m1 = 2m, m2 = m, massa kolom
diabaikan, kekakuan kolom EI dan kekakuan balok dianggap tak terhingga
dibandingkan terhadap kekakuan kolom.
( )
2
12
2
6
h
xxEIM
= ;
2
1
1
6
h
EIxM =
Free Body Diagram
( )
( ) ( )10
2424
12111
113
12
3
1
111
=+
=
+
=
xxkkxxm
xmh
xxEIh
xEI
amFm
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MTREKAYASA GEMPA
7/27/2019 Bab Vii Sistem Derajat Kebebasan Banyak1
6/11
( )
( ) ( )20
24
12222
223
12
222
=+
=
=
xxkxm
xm
h
xxEI
amFm
dimana :3
24
h
EIk =
m1 = 2m ; m2 = m
maka :
( ) ( ) 0211211=+ xxkkxxm
( ) ( ) 021222=+ xxkxm
Anggap solusinya :
( ) ( ) == tAxtAx nnn coscos2
1111
( ) ( ) == tAxtAx nnn coscos2
2222
Substitusikan pada persamaan (1) dan (2) menghasilkan
( ) ( ) 0211211
2 =+ AAkkAAmn
( ) ( ) 02122
2 =+ AAkAmn
( ) ( )2
2
1
21
2
220221
n
nmk
k
A
AkAAmk
==
( ) ( )k
mk
A
AAmkkA
n
n
2
2
1
2
2
102
==+
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MTREKAYASA GEMPA
7/27/2019 Bab Vii Sistem Derajat Kebebasan Banyak1
7/11
k
mk
mk
k n
n
2
222
=
( )( ) ( ) 22222 222nnn
mkmkmkk ==
24222242 kmkmk
nn=+
0422242 =+ kkmm
nn
0422
2
24 =+m
k
m
knn ............... persamaan frequency
2
242
2
2
2
2
2 m
k
m
k
m
k
n
=
m
k
m
k
m
k
m
kn
293.022
112
2
121
=
==
m
k
m
k
m
k
m
kn
707.122
112
2
122
=
+=+=
707.0
2
1
1=
A
A
n
707.0
2
1
2=
A
A
n
Mode 1 Mode 2
Contoh VII.3 :
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MTREKAYASA GEMPA
7/27/2019 Bab Vii Sistem Derajat Kebebasan Banyak1
8/11
Portal 3 tingkat dengan EI kolom yang sama, m1 = 3m, m2 = 3m, m3 = m,
kekakuan balok dianggap tak terhingga dibandingkan dengan kekakuan kolom,
massa kolom diabaikan. Tentukan circular natural frequency dan normal
modenya.
2
1
1
6
h
xIEM = ;
( )2
12
2
6
h
xxIEM
= ;
( )2
23
3
6
h
xxIEM
=
Namakan :3
24
h
EIk =
Free Body Diagram :
( )111211xmxxkxkm =+
023 211 =+ xkxkxm (1)
( ) ( )2223122xmxxkxxkm =+
023 3212 =+ xkxkxkxm (2)
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MTREKAYASA GEMPA
7/27/2019 Bab Vii Sistem Derajat Kebebasan Banyak1
9/11
( )33233xmxxkm =
0323 =+ xkxkxm (3)
Misalkan :
( ) =nt
Ax cos11
( ) =ntn
Ax cos2
11
( ) =nt
Ax cos22
( ) =ntn
Ax cos2
22
( ) =nt
Ax cos33
( ) =ntn
Ax cos2
33
Dari persamaan (1), (2) dan (3)
023211
2 =+ AkAkAmn
0233212
2 =+ AkAkAkAmn
0323
2 =+ AkAkAmn
( ) ( ) 0032321
2 =+ AAkAmkn
(1a)
( ) 03232
2
1=+ AkAmkkA n (2a)
( ) ( ) 00 32
21 =+ AmkAkA n (3a)
( )( )
( )0
0
32
032
2
2
2
=
n
n
n
mkk
kmkk
kmk
( ) ( ) ( ) 035232 22242222 =+++ nnnn mkkkkmmkkmk
( ) ( ) ( ) 0353222342222
=+++ nnnn mkkmmkkmk
09153610222363422242223 =+++nnnnnn
mkkmmkmkmkmkk
0921126342223 =+nnn
mmkmkk
092112642
23
=
+
nnn
m
k
m
k
m
k
012219
3
2
2
46 =
+
m
k
m
k
m
knnn
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MTREKAYASA GEMPA
7/27/2019 Bab Vii Sistem Derajat Kebebasan Banyak1
10/11
namakan xn =2
; am
k =
0122193223 =+ axaxax
Dengan trial and error, didapat :
ax 487.11 = m
kn
487.12
1=
m
kn
487.11=
Persamaan di atas dibagi dengan (x 1.487a) didapat :
0671.0619.7922 =+ axax
( )
18
156.24619.7619.722
3,2
aaax
=
ax 10.02 =
ax 75.03 =
m
k
m
knn
1.01.02
2
2==
m
k
m
knn
75.075.03
2
3==
Jika disusun dari kecil ke besar
m
k
m
k
m
knnn
487.1;75.0;1.02
3
2
2
2
1===
Mencari mode shape
m
kn
1.02
1= , disubstitusikan ke dalam persamaan (1a), (2a) dan (3a)
didapat :
1.7 A1 A2 = 0 A2 = 1.7 A1
-A1 -1.7 A2 A3 = 0 A3 = 1.89 A1
A1 : A2 : A3 = 1 : 1.7 : 1.89
m
kn
75.02
2=
A1 : A2 : A3 = 1 : -0.25 : -0.94
m
kn
487.12
3=
A1 : A2 : A3 = 1 : -2.461 : 5.056
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MTREKAYASA GEMPA
7/27/2019 Bab Vii Sistem Derajat Kebebasan Banyak1
11/11
Mode 1 Mode 2 Mode 3
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Ria Catur Yulianti ST.MTREKAYASA GEMPA