university-logo
Plan
Régulateur PID
Octobre 2010
1 / 35
university-logo
Plan
Plan
1 Mise en contexte
2 Actions proportionnelle, intégrale et dérivée
3 Ajustement par les méthodes de Ziegler-Nichols
4 Quand utiliser un régulateur PI ou PID
5 Récapitulation
2 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Motivation
Structure de régulateur la plus utilisée (95 pourcents desrégulateurs dans les procédés industriels)Développée initialement par des expériences; approche paressais et erreurs
P: action proportionnelle à l’erreur de réglage (la plus naturelle)I: action par intégration ; permet d’annuler l’erreur statique (pourune référence constante); dégrade généralement la réponsetransitoireD: action dérivée permet d’améliorer la réponse transitoiregrâceà l’effet d’anticipation
Fonction de transfert de base:
Dbf (p) = kp +kI
p+
kDppTf + 1
Pôle de filtrage introduit notamment pour rendre la fonctiondetransfert propre→ réalisable en pratique
4 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Objectif
Comprendre le rôle des différentes actionsP, I et D
Introduire une méthode heuristique d’ajustement des paramètreskP, kI , kD et sensibiliser à ses limitations
5 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Régulateur proportionnel (1)
Loi de réglage
u(t) = kP e(t) soit Dbf (p) =U(p)
E(p)= kP
kP gain proportionnel
Bande proportionnelle (proportionnal band):Pb
Définition: plage d’erreur dans laquelleumin ≤ u(t) ≤ umax
ou encoreumax − umin = kPPb
Si l’on considèreumax − umin = 100%, alors
kP =100Pb
7 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Régulateur proportionnel (2)
Effet dans une rétroaction unitaire sur un système du 1er ordre ?Effet dans une rétroaction unitaire sur un système du 2e ordre
Système régléG(p) = bp2+a1p+a2
Fonction de transfert de la boucle fermée :T (p) = b kPp2+a1p+a2+kPb
Possibilité de modifier la pulsation naturelle du système mais passon facteur d’amortissementSystème de type 0→ erreur statique d’autant plus faible quekP
grandAugmentation de la fréquence naturelle mène à diminution del’amortissement (cfa1 = 2ζωn constant)
8 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Régulateur à actions proportionnelle et intégrale (PI)
Loi de réglage
u(t) = kPe(t) + kI
∫ t
0e(τ)dτ
Fonction de transfert du régulateur
Dbf (p) =U(p)
E(p)= kP +
kI
p
Boucle fermée obtenue pour un système réglé du premier ordreSystème réglé:Y(p) = K
1+pτ(U(p) + W(p))
Régulateur :U(p) = kP(R(p) − Y(p)) + kIp (R(p) − Y(p))
Boucle fermée :
Y(p) =K(kPp + kI)
τp2 + (KkP + 1)p + KkIR(p)+
Kpτp2 + (KkP + 1)p + KkI
W(p)
9 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Régulateur à actions proportionnelle et intégrale (PI)
Boucle fermée obtenue pour un système réglé du premier ordre(suite)
Possibilité de choisirkP etkI pour obtenir des pôles complexesconjugués avec la pulsation naturelle et l’amortissement requis:ωn =
√
KkI/τ et ζ = KkP+12τωn
Noter le zéro à l’origine au numérateur de la fonction de transfertentreW(p) etY(p) et le gain statique unitaire de la fonction detransfert entreY(p) et R(p) → erreur statique nulle vis-à-visd’une référence constante et pour une perturbation constanteSystème de type 1 vis-à-vis de la référence et de la perturbation(noter l’action par intégration en amont de la perturbation)
10 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Régulateur à actions proportionnelle et intégrale (PI)
Boucle fermée obtenue pour un système réglé du deuxième ordre
Système réglé:Y(p) = bp2+a1p+a2
(U(p) + W(p))Equation caractéristique du système en boucle fermée
1 + Dbf (p)G(p) = 1 +kPp + kI
pb
p2 + a1p + a2= 0
soitp3 + a1p2 + (a2 + kPb)p + bkI = 0
Possibilité de fixer deux coefficients sur troisMêmes propriétés de précision que dans le cas du système dupremier ordre (à démontrer comme exercice)
11 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée(PID)
Action dérivée proportionnelle à la pente de l’erreure(t) (action anticipative)
Loi de réglage
u(t) = kPe(t) + kI
∫ t
t0
e(τ )dτ + kDde(t)
dt
Fonction de transfert du régulateur
Dbf (p) =U(p)
E(p)= kP +
kI
p+ kDp
Donne une réponse brusque lors d’un changement abrupt de référence→souvent utile de placer l’action dérivée dans la rétroaction
u(t) = kPe(t) + kI
∫ t
0e(τ )dτ − kD
dy(t)dt
12 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée(PID)
Figure:Schémas fonctionnels sans ou avec dérivée de la référence [Franklinet al., 2010]
13 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée(PID)
Système réglé:Y(p) = bp2+a1p+a2
(U(p) + W(p))
Boucle fermée dans le cas où l’action dérivée porte sure(t)
Y(p) =b(p2kD + pkP + kI)
DEN(p)R(p) +
bpDEN(p)
W(p)
où DEN(p) = p3 + (a1 + bkD)p2 + (a2 + bkP)p + bkI
Possibilité d’assigner arbitrairement les 3 racines deDEN(p) parchoix dekP, kI et kD
Boucle fermée dans le cas où l’action dérivée porte sury(t)
Y(p) =b(pkP + kI)
DEN(p)R(p) +
bpDEN(p)
W(p)
Propriétés de précision similaires au régulateur PI14 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée(PID)
Rôle du pôle de filtrageAssure que le régulateur soit réalisableEvite l’amplification du bruit de mesureConsidéronsv(t) = α sinωOtContribution dans l’action dérivée :kD
dv(t)dt = αkDω0 cosωOt
Effet d’autant plus important queω0 grandeFiltrage du terme dérivé
Dbf (p) = kp +ki
p+
kDppTf + 1
Valeur de bonne pratique:Tf = kDkPN avecN entre 8 et 20
15 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée(PID)
Autre paramétrisation courante
Dbf (p) = kP
(
1 +1
pTI+
pTD
1 + pTD/N
)
Equivalence:Constante de temps de l’action par intégrationTI = kP/kI
Constante de temps de l’action dérivéeTD = kD/kP
N entre 8 et 20
16 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Régulateur à actions proportionnelle, intégrale et dérivée(PID)
Illustration des effets P, I et D; régulation de vitesse d’unmoteur àcourant continu [Franklin et al., 2010](a) Réponse à un échelon de perturbation(b) Réponse à un échelon de consigne
17 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Méthode basée sur la réponse indicielle(1)
Représentation de la réponse indicielle sous la forme d’un système intégrateuravec temps mortY(p)
U(p) = Ae−pL
Lp
Ajustement des paramètres du régulateur pour obtenir une réponse avec unfacteur de décroissanced égal à 0.25
19 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Méthode basée sur la réponse indicielle(2)
Règles d’ajustement des paramètresPour un régulateur proportionnel
kP = 1/A
Pour un régulateur PI{
kP = 0.9/ATI = 3L
Pour un régulateur PID
kP = 1.2/ATI = 2LTD = L/2
20 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Méthode basée sur la réponse indicielle (3)
Exemple d’application au système décrit parG(p) = 1(p+1)3
A = 0.218, L = 0.806→ kP = 5.50,Ti = 1.61, Td = 0.403[Aström et Hagglund, 1995]
21 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Méthode basée sur la réponse indicielle (4)
Faible amortissement card = 0.25 équivaut àζ ≃ 0.21
Dépassement indiciel important
Meilleure réponse vis-à-vis d’une perturbation abrupte (enéchelon) que vis-à-vis d’un échelon de consigne
22 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Méthode de la sensibilité ultime (1)
Boucle fermée à rétroaction unitaire; régulateur proportionnelAugmenter le gain du régulateur jusqu’à l’apparition d’uneoscillationentretenue (une paire de pôles sur l’axe imaginaire pour la boucle fermée)→ Gain ultimekP = Ku; Période ultimeTu
Figure:Expérience pour la détermination deTu et Ku [Franklin et al., 2010]
23 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Méthode de la sensibilité ultime (2)
Règles d’ajustement des paramètresPour un régulateur proportionnel
kP = 0.5Tu
Pour un régulateur PI{
kP = 0.4Ku
TI = 0.8Tu
Pour un régulateur PID
kP = 0.6Ku
TI = 0.5Tu
TD = 0.125Tu
24 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Méthode de la sensibilité ultime (3)
Exemple d’application au système décrit parG(p) = 1(p+1)3
Ku = 8, Tu = 3.63→ kp = 4.8, TI = 1.81, TD = 0.45 [Aström etHagglund, 1995]
25 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Méthode de la sensibilité ultime (4)
kP généralement plus faible par la méthode de la sensibilitéultime que par l’approche basée sur la réponse indicielle→
dépassement indiciel plus faible mais encore fort important
kP important→ faibles marges de stabilité
Requiert mise en oscillation de la boucle fermée
26 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Quand utiliser un régulateur PI
Action dérivée peu fréquemment utilisée pour la régulationdesprocédés industriels
Approprié pour les systèmes réglés dont le comportementtransitoire est proche de celui d’un système du premier ordre
Approprié pour les systèmes d’ordre supérieur s’il n’est pasnécessaire d’atteindre des performances élevées
28 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Quand utiliser un régulateur PID
Approprié pour les systèmes réglés dont le comportementtransitoire est proche de celui d’un système du deuxième ordre
Intérêt de l’action dérivée apparaît en particulier quand lesconstantes de temps sont significativement différentes (ex:régulation de température)
Pour les systèmes d’ordre supérieur à 2, l’action dérivée permetd’améliorer la rapidité de la réponse par rapport à la réponseobtenue avec un PI. L’amélioration du facteur d’amortissementpermet d’augmenter le gain proportionnel
29 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Quand un régulateur plus sophistiqué est-il requis ? (1)
Sytème d’ordre élevé et performances exigentesExemple :G(p) = 1
(p+1)3
Comparaison des résultats obtenus par un régulateur PID et un régulateur detype RST (régulateur à deux degrés de liberté) [Aström et Hagglund, 1995]
30 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Quand un régulateur plus sophistiqué est-il requis ? (2)
Sytème avec un temps mort important par rapport à sa constante de tempsdominanteExemple : dy(t)
dt = −0.5y(t) + 0.5u(t − 4)Comparaison des résultats obtenus par un régulateur PI et unprédicteur deSmith [Astrom et Hagglund, 1995]
31 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Quand un régulateur plus sophistiqué est-il requis ? (3)
Systèmes avec modes oscillants peu amortis
Régulateur PID peut suffire si il y a une seule paire de pôlescomplexes conjugués peu amortis dans la bande passantesouhaitée pour la boucle fermée
Besoin d’un ajustement deTI et deTD spécifique (voirultérieurement utilisation d’un correcteur ”notch”)
32 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Récapitulation
Augmenter le gain proportionnel réduit l’erreur staitique, maisun grand gain déstabilise presque toujours la boucle ferméeetsollicite fortement les actionnneurs (cf bruit de mesure)L’action par intégration annule l’erreur statique vis-à-vis d’uneperturbation constante et/ou d’une référence constante mais a uneffet déstabilisantL’action dérivée augmente l’amortissement et a un effetstabilisantLoi de réglage PID
U(p) =
(
kP +kI
p+ kDp
)
E(p)
ou
U(p) = kP
(
1 +1
TIp+ TDp
)
E(p)
34 / 35
university-logo
Mise en contexteActions proportionnelle, intégrale et dérivée
Ajustement par les méthodes de Ziegler-NicholsQuand utiliser un régulateur PI ou PID
Récapitulation
Récapitulation
Méthode de Ziegler Nichols permet un premier ajustementrapide sur la base du relevé de la réponse indicielle du systèmeréglé ou d’une expérience en boucle fermée
Méthode de Ziegler Nichols résulte en une boucle fermée avecun amortissement faible et de faibles marges de stabilité
Méthode heuristique plus performante : méthodeκ-τ [Aström etHagglund, 1995]
Meilleures performances que la régulation PID possibles pour unsystème réglé d’ordre élevé, un système avec temps mortimportant ou un système avec modes oscillants peu amortis
35 / 35