บทที่ 5ความเทากันทุกประการ (14 ชั่วโมง)
5.1 ความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต (2 ช่ัวโมง) 5.2 ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม (1 ช่ัวโมง) 5.3 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน (3 ช่ัวโมง)
5.4 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม (3 ช่ัวโมง)5.5 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน (2 ช่ัวโมง)
5.6 การนําไปใช (3 ช่ัวโมง)
เนื้อหาสาระที่นําเสนอในบทนี้ ตองการใหนักเรียนเขาใจและสามารถใชบทนิยามและสมบัติตาง ๆเกี่ยวกับความเทากันทุกประการในการใหเหตุผลเบื้องตนทางเรขาคณิต โดยเสนอในลักษณะเชื่อมโยงกับความรูเร่ืองการแปลงทางเรขาคณิตที่นักเรียนไดเรียนแลว ในเรื่องความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมมีจุดประสงคใหนักเรียนสามารถบอกไดวามีเงื่อนไขอยางไร รูปสามเหลี่ยมสองรูปจึงจะเทากันทุกประการในขั้นแรกจะใชวิธีลอกรูปไปทับกัน เพื่อใหนักเรียนมีความเขาใจวาการที่รูปสามเหลี่ยมสองรูปจะเทากันทุกประการไดนั้น รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปจะตองทับกันสนิท ในขั้นตอไปจึงจะกลาวถึงเงื่อนไขที่จะบอกใหทราบวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการหรือไม โดยไมตองอาศัยการลอกรูปหรือนํารูปไปทับกันแตจะอาศัยความสัมพันธตามเงื่อนไขที่กําหนดของดานและมุมของรูปสามเหลี่ยมสองรูปในการพิจารณา
การใชสัญลักษณแสดงความสัมพันธของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่จะนําไปสรุปเปนความเทากันทุกประการ จะตองเปนไปตามเงื่อนไขของความสัมพันธของรูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้น จะเขียนสลับตําแหนงกันไมได เชน รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน เขียนแทนดวย ด.ม.ด. จะเขียนเปน ด.ด.ม. ไมได เพราะไมเปนไปตามขอตกลง
การนําเสนอเนื้อหาในบทนี้ยังมีตัวอยางใหนักเรียนเห็นความเชื่อมโยงของบทเรียนกับชีวิตจริง เพื่อนําสาระความรูไปอธิบายและแกปญหาได
ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป 1. ระบุดานและมุมคูที่มีขนาดเทากันของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการ 2. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน เทากันทุกประการ 3. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม เทากันทุกประการ 4. ระบุไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน เทากันทุกประการ 5. ใชสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมในการใหเหตุผลได
74
แนวทางในการจัดการเรียนรู
5.1 ความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกเงื่อนไขที่ทําใหรูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการได 2. บอกสมบัติของความเทากันทุกประการได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูทบทวนเรื่องการแปลงทางเรขาคณิตเกี่ยวกับการสะทอน การเลื่อนขนาน และการหมุน ซ่ึงเปนตัวอยางของการเคลื่อนที่รูปเรขาคณิตบนระนาบ โดยที่ระยะหางระหวางจุดสองจุดใด ๆ ของรูปนั้นไมเปลี่ยนแปลง เพื่อนําเขาสูบทนิยามของความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิตบนระนาบ ซ่ึงกลาววา“รูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ เคลื่อนที่รูปหนึ่งใหทับอีกรูปหนึ่งไดสนิท” การนําบทนิยามนี้ไปใชตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต จึงอาจทําไดโดยใชกระดาษลอกลายลอกรูปหนึ่งแลวนําไปทับอีกรูปหนึ่ง 2. เพื่อเสริมสรางความเขาใจเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต ครูอาจใชตัวอยางที่มีอยูในชีวิตจริง เชน รูปที่ไดจากการถายเอกสาร รูปเรขาคณิตสองรูปในแตละขางของแกนสมมาตรของรูปสมมาตรบนเสน ซ่ึงสามารถตรวจสอบความเทากันทุกประการไดโดยการพับรูปตามแนวแกนสมมาตรไดดังรูป
3. สมบัติของความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรงและความเทากันทุกประการของมุมเปนพื้นฐานที่สําคัญของการศึกษาเกี่ยวกับความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ในเรื่องสมบัติของความเทากันทุกประการของสวนของเสนตรง ครูควรย้ําใหนักเรียนเห็นวา“ถาสวนของเสนตรงสองเสนเทากันทุกประการ แลวสวนของเสนตรงทั้งสองเสนนั้นยาวเทากัน และถาสวนของเสนตรงสองเสนยาวเทากัน แลวสวนของเสนตรงทั้งสองเสนนั้นเทากันทุกประการ” ในการนําสมบัตินี้ไปใช จึงไดวา AB ≅ CD และ AB = CD สามารถใชแทนกันได สําหรับในเรื่องสมบัติของ
75
ความเทากันทุกประการของมุม ครูควรย้ําใหนักเรียนเห็นวา “ถามุมสองมุมเทากันทุกประการ แลวมุมทั้งสองมุมนั้นมีขนาดเทากัน และ ถามุมสองมุมมีขนาดเทากัน แลวมุมทั้งสองมุมนั้นเทากันทุกประการ”และครูควรชี้แจงขอตกลงเกี่ยวกับการใชสัญลักษณแทนความเทากันของขนาดของมุมวา ตอไปนี้จะใช ∧A =
∧B แทน )Am(
∧ = )Bm(
∧
4. กิจกรรม “สมบัติอ่ืน ๆ ของความเทากันทุกประการ” เปนการแสดงใหเห็นวาความเทากันทุกประการเปนความสัมพันธสมมูล (eguivalence relation) กลาวคือมีสมบัติสะทอน สมบัติสมมาตรและสมบัติถายทอด ซ่ึงเปนพื้นฐานสําคัญที่นําไปใชในการพิสูจนทางเรขาคณิตเกี่ยวกับความเทากันทุกประการ
5. หลังจากที่นักเรียนไดศึกษาตัวอยางหนา 205 – 206 และทําแบบฝกหัด 5.1 แลว นักเรียนจะไดแนวคิดวา “รูปเรขาคณิตสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อรูปเรขาคณิตทั้งสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน(same shape) และมีขนาดเทากัน (same size)” ความรูความเขาใจในเรื่องนี้ นกัเรยีนสามารถนาํไปใชตรวจสอบความเทากนัทกุประการของรปูสามเหลีย่มและรูปหลายเหลีย่มอืน่ ๆ โดยการพจิารณาจากรปูรางและขนาดของรูป 6. ครูอาจจัดกิจกรรมเพิ่มเติมที่เปนการนําความรูเกี่ยวกับความเทากันทุกประการมาใช เชนการสรางรูปใหเทากันทุกประการโดยเขียนรูปที่ตองการบนกระดาษแผนหนึ่งเพื่อเปนแบบ แลวนํากระดาษแผนนั้นไปวางซอนบนกระดาษอีกแผนหนึ่ง เมื่อตัดกระดาษตามแบบที่เขียนไว จะไดรูปสองรูปที่เทากันทุกประการ
76
5.2 ความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม (1 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการ ก็ตอเมื่อ ดานคูที่สมนัยกันและมุมคูที่สมนัย กันของรูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปนั้น มีขนาดเทากันเปนคู ๆ 2. บอกดานคูที่ยาวเทากันและมุมคูที่มีขนาดเทากันของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการ ได
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูอาจเริ่มตนบทเรียนโดยทบทวนบทนิยามของความเทากันทุกประการของรูปเรขาคณิต เพื่อนํามาใชสํารวจ คนหา สมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม จากการลงมือปฏิบัติโดยใชกระดาษลอกลายลอกรูปสามเหลี่ยมรูปหนึ่งไปทับรูปสามเหลี่ยมอีกรูปหนึ่ง จากสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ครูควรเชื่อมโยงใหนักเรียนเห็นวาการตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูป ในเบื้องตนนี้เราตองตรวจสอบความเทากันถึง 6 คู ไดแก การตรวจสอบวาดานคูที่สมนัยกัน 3 คู แตละคูยาวเทากันหรือไม และมุมคูที่สมนัยกัน 3 คู แตละคูมีขนาดเทากันหรือไม ครูอาจหาตัวอยางเพิ่มเติม โดยกําหนดรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการใหสองรูป แลวใหนักเรียนคะเนดวยสายตาเพื่อหาดานคูที่สมนัยกัน และมุมคูที่สมนัยกัน เพื่อนําเขาสูการทําแบบฝกหัด 5.2ขอ 1 เชน
จากรูปมีดานคูที่สมนัยกันยาวเทากันและมุมคูที่สมนัยกันมีขนาดเทากัน ดังนี้ AB = CD, BD = DB, DA = BC
DBA∧
= BDC∧
, ADB∧
= CBD∧
และ BAD∧
= DCB∧
2. ครูย้ําเกี่ยวกับการเขียนสัญลักษณแสดงรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการ ซ่ึงนิยมเขียนตัวอักษรเรียงตามลําดับของมุมคูที่สมนัยกันและดานคูที่สมนัยกัน เพื่อใหนักเรียนเกิดความเคยชินในการเขียนและการนําไปใช เชน
A B
CD
77
ในที่นี้ควรเขียน ∆ ABC ≅ ∆ DEF หรืออยางใดอยางหนึ่งคือ ∆ BCA ≅ ∆ EFD และ∆ CAB ≅ ∆ FDE 3. ในการทําแบบฝกหัดขอ 2 หนา 210 อาจแนะใหนักเรียนเขียนดานคูที่สมนัยกันยาวเทากันและมุมคูที่สมนัยกันมีขนาดเทากัน โดยไมตองเขียนรูปกอน เพื่อเปนการฝกการนึกภาพในจินตนาการ ถาทําไมไดจึงใหเขียนรูป เชน เมื่อกําหนดให
∆ EAT ≅ ∆ FAT
จะได ∆ EAT ≅ ∆ FAT ดานคูที่สมนัยกัน คือ EA = FA, AT = AT และ TE = TF
และมุมคูที่สมนัยกันคือ TAE∧
= TAF∧
, ETA∧
= FTA∧
และ AET∧
= AFT∧
ซ่ึงสามารถเขียนแสดงตัวอยางของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากันทุกประการไดดังนี้
4. กิจกรรม “ความเทากันทุกประการของรูปหลายเหลี่ยม” เปนการขยายฐานความรูจากความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมไปสูรูปหลายเหลี่ยมอื่น ๆ
5.3 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน เทากันทุกประการ 2. นําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน ไปใชอางอิงในการพิสูจน
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูควรย้ําใหนักเรียนเห็นวาการตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปตองตรวจสอบการเทากันของความยาวของดานที่สมนัยกัน 3 คู และการเทากันของขนาดของมุมคูที่สมนัย
A B
C
D E
F
E F
A
T
78
กันอีก 3 คู และแนะนําวาในบทเรียนตอไปนี้เราสามารถตรวจสอบการเทากันของความยาวของดานหรือขนาดของมุมเพียง 3 คู ตามเงื่อนไขที่กําหนด ก็เปนการเพียงพอที่จะสรุปวารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทากันทุกประการ
ครูแนะนํารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – มุม – ดาน โดยใชกิจกรรม “สํารวจดาน – มุม – ดาน” ใหนักเรียนสํารวจวารูปสามเหลี่ยมสองรูปเทากันทุกประการหรือไม จากการลงมือปฏิบัติโดยใชวิธีลอกรูปไปทับกันเพื่อเชื่อมโยงสูกรณีทั่วไปที่วา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบดาน – มุม – ดาน จะเทากันทุกประการ” ครูควรย้ําวา “รูปสามเหลี่ยมทั้งสองรูปดังกลาวนี้ มีดานยาวเทากันสองคู และมุมที่มีขนาดเทากันนั้นตองเปนมุมที่อยูในระหวางดานคูทีย่าวเทากนั จงึจะเปนเงือ่นไขที่เพยีงพอทีจ่ะสรปุวารูปสามเหลีย่มสองรปูนัน้เทากนัทกุประการ” ครูใหนักเรียนชวยกันยกตัวอยางรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีดานยาวเทากันสองคู และมุมที่มีขนาดเทากันไมเปนมุมที่อยูในระหวางดานคูที่ยาวเทากัน เชน
จากรูป เห็นไดชัดวา ∆ ABC และ ∆ DEF ไมเทากันทุกประการ2. ในหัวขอนี้นักเรียนจะฝกการใหเหตุผลแบบนิรนัยดวยการพิสูจนอยางเปนแบบแผน โดยไม
เนนการใชตาราง จากโจทยปญหาการพิสูจนครูอาจแนะนําใหดําเนินการดังนี้ 1) นักเรียนอานและทําความเขาใจโจทยปญหา ดวยการพิจารณาวาโจทยกําหนดอะไรใหบางและโจทยตองการใหพิสูจนอะไรโดยนํามาเขียนแสดงใน “กําหนดให” และ “ตองการพิสูจนวา” ตามลําดับ 2) ในการพิสูจน ครูอาจใชคําถามใหนักเรียนวิเคราะหยอนกลับจาก “ตองการพิสูจนวา”ผนวกกบั “บทนยิาม/สมบตั”ิ เพือ่หาเหตผุลเชือ่มโยงยอนกลับสู “กาํหนดให” การตอบคาํถามของนกัเรยีนจะทําใหไดแนวทางในการเขียนแสดงการพิสูจน ซ่ึงนักเรียนจะตองพิจารณาวา มีขอมูลใดบางจากที่ระบุใน“กําหนดให” ที่นํามาใชไดผนวกกับ “บทนิยาม/สมบัติ” ที่นักเรียนเคยศึกษามาแลว นํามาเขียนอธิบายเชื่อมโยงสูขอสรุปตามที่ระบุไวใน “ตองการพิสูจนวา” ขอแนะนําดังกลาวขางตนแสดงไดดวยแผนภาพ ดังนี้
F
D EA B
C
79
การวิเคราะหยอนกลับ การเขียนแสดงการพิสูจน
ตัวอยาง จากแบบฝกหัด 5.3 ขอ 6 ขอมูลจากโจทยนํามาเขียน “กําหนดให” และ “ตองการพิสูจนวา”ไดดังนี้ กําหนดให BC = AD และ CBA∧ = DAB∧
ตองการพิสูจนวา AC = BD และ CAB∧ = DBA∧
ในการวิเคราะหยอนกลับ ครูใชการถามตอบจาก “ตองการพิสูจนวา” ไปสู “กําหนดให” และสมบัติของรูป ไดดังแผนภาพตอไปนี้
A B
DC
กําหนดให
วิเคราะห “เหตุ” ที่ทําใหเกิด “ผล”
บทนิยาม/สมบัติขอสรุปตามที่ระบุในตองการพิสูจนวา กําหนดให
อธิบาย ใหเหตุผล
บทนิยาม/สมบัติ
ขอสรุปตามที่ระบุในตองการพิสูจนวา
BC = ADCBA
∧
= DAB∧
และ AB เปนดานรวม
กําหนดให กําหนดให
∆ ABC ≅ ∆ BAD
AC = BDCAB
∧
= DBA∧ ตองการพิสูจนวา
80
จากแผนภาพขางตน เขียนแสดงการพิสูจนจาก “กําหนดให” ไปสู “ตองการพิสูจนวา” ไดดังนี้พิสูจน พิจารณา ∆ ABC และ ∆ BAD BC = AD (กําหนดให) CBA∧ = DAB∧ (กําหนดให) AB = BA ( AB เปนดานรวม) ดังนั้น ∆ ABC ≅ ∆ BAD (ด.ม.ด.) จะได AC = BD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) และ CAB∧ = DBA∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
3. ครูควรฝกใหนักเรียนใชการวิเคราะหยอนกลับในการพิสูจนทางเรขาคณิต ซ่ึงสวนใหญจะทําใหนักเรียนสามารถพิสูจนไดดวยตนเอง การฝกดังกลาวในระยะแรก ครูควรใชการถามตอบเพื่อเปนแนวทางกอน หลังจากนั้นจึงใหนักเรียนวิเคราะหดวยตนเอง
5.4 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม เทากันทุกประการ 2. นําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม ไปใชอางอิงในการพิสูจน
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูแนะนํารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม และใหนักเรียนสํารวจวา รูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทากันทุกประการหรือไม โดยใชกิจกรรม “สํารวจมุม – ดาน – มุม” กิจกรรมนี้จะทําใหนักเรียนคุนเคยกับรูปสามเหลี่ยมที่สัมพันธกันแบบ ม.ด.ม. และเชื่อมโยงสูสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมที่วา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ มุม – ดาน – มุม จะเทากันทุกประการ” ซ่ึงเปนอีกเงื่อนไขหนึ่งในการตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม ที่พิจารณาจากความเทากันของขนาดของมุมสองคู และความยาวของดานซึ่งเปนแขนรวมของมุมทั้งสองเทานั้น
81
5.5 รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน (2 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกไดวารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน เทากันทุกประการ 2. นําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน ไปใชอางอิงในการพิสูจน
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน ครูแนะนํารูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน และใหนักเรียนสํารวจวารูปสามเหลี่ยมสองรูปนั้นเทากันทุกประการหรือไม โดยใชกิจกรรม “สํารวจดาน – ดาน – ดาน” เพื่อใหนักเรียนคุนเคยกับรูปสามเหลี่ยมที่สัมพันธกันแบบ ด.ด.ด. และเชื่อมโยงสูสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมที่วา “รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีความสัมพันธกันแบบ ดาน – ดาน – ดาน จะเทากันทุกประการ” ซ่ึงเปนอีกเงื่อนไขหนึ่งในการตรวจสอบความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากความยาวที่เทากันของดานสามคูเทานั้น โดยไมตองพิจารณาจากขนาดของมุม
5.6 การนําไปใช (3 ชั่วโมง)จุดประสงค นักเรียนสามารถ 1. บอกสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วได 2. นําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่สัมพันธกันแบบใดแบบ หนึ่งคือ ดาน – มุม – ดาน มุม – ดาน – มุม และดาน – ดาน – ดาน ไปใชอางอิงในการ พิสูจนและแกปญหาได
เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 5.6
ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในการจัดกิจกรรมเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ครูควรยกตัวอยางรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วที่อยูในสิ่งแวดลอมรอบตัว เพื่อนําเขาสูบทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วบนระนาบ ที่กลาววา“รูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีดานสองดานยาวเทากัน” 2. สําหรับกิจกรรม “สํารวจรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว” มีเจตนาใหนักเรียนสํารวจและคนหาสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วดวยตนเอง โดยใชคําถามเปนกรอบในการกระตุนใหนักเรียนคนหาคําตอบ และนําสมบัติของความเทากันทุกประการมาใชในการอธิบายใหเหตุผล นอกจากนี้ครูควรแนะนําใหนักเรียนแยกแยะระหวางบทนิยามกับสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว เชน “มุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมี
82
ขนาดเทากัน” เปนสมบัติไมใชบทนิยาม แตอยางไรก็ตามนักเรียนสามารถนําทั้งบทนิยามและสมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วไปใชอางอิงในการพิสูจนได 3. ในตัวอยางที่ 2 ของหัวขอนี้ไดแสดงการนําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมไปใชในการพิสูจนการสรางพื้นฐานบางขอทางเรขาคณิตที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว เพื่อเปนการยืนยันวาผลจากการสรางนั้นเปนจริง รูปแบบการเขียนแสดงคําตอบของโจทยปญหาเกี่ยวกับการสรางในช้ันนี้จะประกอบดวย รูปที่สราง กําหนดให ตองการสราง วิธีสราง ตองการพิสูจนวา และ พิสูจน สําหรับการพิสูจน ขอมูลที่นํามาใชอางเหตุผลในโจทยปญหาเกี่ยวกับการสรางมีความแตกตางจากโจทยปญหาการพิสูจนทั่วไป กลาวคือ สามารถนํากําหนดให บทนิยาม/สมบัติ และ ขั้นตอนในวิธีสรางมาเชื่อมโยงเปนเหตุผล เพื่อนําไปสูขอสรุปตามที่ตองการ 4. เพื่อใหนักเรียนเห็นความเชื่อมโยงของเนื้อหาสาระเรื่องความเทากันทุกประการกับชีวิตจริง ครูอาจใหนักเรียนทํากิจกรรมเสนอแนะ 5.6 เพิ่มเติม
คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “สมบัติอื่น ๆ ของความเทากันทุกประการ”
1. เทากันทุกประการ2. เทากันทุกประการ3. เทากันทุกประการ
คําตอบกิจกรรม “ทําอยางไร”
83
80o
30o
A
70o
B C
D80o
30o70o
E F
คําตอบแบบฝกหัด 5.1
1. เปนจริง เพราะ ความเทากันทุกประการ มีสมบัติถายทอด2. เปนจริง เพราะ ความเทากันทุกประการ มีสมบัติสมมาตร3. เปนจริง เพราะ รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน มีดานยาวเทากัน วางทับกันได สนิท จึงเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่เทากันทุกประการ4. ไมเปนจริง เพราะ รูปสี่เหล่ียมผืนผาสองรูปที่มีพื้นที่เทากันอาจมีความกวางและความยาวไมเทากัน จึงไมจําเปนตองเปนรูปที่เทากันทุกประการดังตัวอยาง ABCD และ PQRS
5. ไมเปนจริง เพราะ รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขนาดของมุมเทากันสามคู ไมจําเปนตองมีความยาว ของดานเทากัน ดังตัวอยาง ∆ ABC และ ∆ DEF
6. เปนจริง เพราะ รูปสามเหลี่ยมดานเทาสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน มีดานยาวเทากัน วางทับกันไดสนิท จึงเปนรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ7. เปนจริง เพราะ รูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทาสองรูปนั้น มีรูปรางเหมือนกัน มีดานยาวเทากันกับ รัศมีของวงกลมเดียวกัน วางทับกันไดสนิท จึงเปนรูปหกเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ8. ไมเปนจริง เพราะ รูปสี่เหล่ียมสองรูปที่มีดานยาวเทากันทั้งสี่ดานอาจเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสและเปน รูปสี่เหล่ียมขนมเปยกปูน ซ่ึงมีขนาดของมุมไมเทากัน จึงไมจําเปนตองเปน รูปสี่เหล่ียมที่เทากันทุกประการ
20 ตารางหนวย 4
5P Q
RS
20 ตารางหนวย 210A B
CD
84
คําตอบแบบฝกหัด 5.21. 1) AB กับ XY
∧
A กับ ∧
X BC กับ YZ และ
∧
B กับ ∧
Y AC กับ XZ
∧
C กับ ∧
Z
2) PQ กับ PS RQP∧
กับ RSP∧
PR กับ PR และ RPQ∧
กับ RPS∧
QR กับ SR QRP
∧
กับ SRP∧
3) MP กับ NP OMP∧
กับ ONP∧
PO กับ PO และ MOP∧
กับ NOP∧
MO กับ NO OPM
∧
กับ OPN∧
4) XO กับ YO OXA∧
กับ OYB∧
AO กับ BO และ AOX∧
กับ BOY∧
AX กับ BY OAX∧
กับ OBY∧
2.1) AB = ED CAB
∧
= FED∧
BC = DF และ CBA
∧
= FDE∧
AC = EF BCA
∧
= DFE∧
2) TO = GU PTO∧
= NGU∧
OP = UN และ POT
∧
= NUG∧
TP = GN OPT
∧
= UNG∧
3) BI = BO GBI∧
= YBO∧
IG = OY และ GIB
∧
= YOB∧
BG = BY IGB
∧
= OYB∧
85
4) CA = RA TCA∧
= TRA∧
AT = AT และ TAC
∧
= TAR∧
TC = TR ATC
∧
= ATR∧
คําตอบกิจกรรม “ความเทากันทุกประการของรูปหลายเหลี่ยม”
AC กับ RS ∧
A กับ ∧
R CK กับ SE
∧
C กับ ∧
S KB กับ EH และ
∧
K กับ ∧
E BL กับ HO
∧
B กับ ∧
H LA กับ OR
∧
L กับ ∧
O
คําตอบกิจกรรม “สํารวจ ดาน – มุม – ดาน”
รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กําหนดใหในแตละขอเทากันทุกประการ
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 5.3
1. เทากันทุกประการ เพราะ ∆ WSN และ ∆ ENS มีความสัมพันธแบบ ด.ม.ด.
2.
เนื่องจาก PS = RS (กําหนดให) QPS
∧
= QRS∧
(กําหนดให) PQ = RQ (กําหนดให) ดังนั้น ∆ PQS ≅ ∆ RQS (ด.ม.ด.)
N E
SW
S Q
P
R
86
3.
เนื่องจาก AC = DO (กําหนดให) BCA
∧
= EOD∧
(กําหนดให)BC = EO (กําหนดให)
ดังนั้น ∆ ACB ≅ ∆ DOE (ด.ม.ด.)
4.
เนื่องจาก NK = LM (ดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาวเทากัน) LKN
∧
= NML∧
(มุมภายในแตละมุมของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส มีขนาด 90o)
KL = MN (ดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาวเทากัน)ดังนั้น ∆ NKL ≅ ∆ LMN (ด.ม.ด.)
5.
เนื่องจาก AD = BC (ดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาวเทากัน) DAM
∧
= CBM∧
(มุมภายในแตละมุมของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส มีขนาด 90o)
AM = BM (กําหนดใหจุด M เปนจุดกึ่งกลางของ AB )จะได ∆ ADM ≅ ∆ BCM (ด.ม.ด.)
A
D
EO
CB
K L
MN
A M B
CD
87
ดังนั้น DM = CM (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)
และ MDA ∧ = MCB ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
6. ดูรายละเอียดหนา 80 – 81
7.
เนื่องจาก AP = CP (กําหนดให BD แบงครึ่ง AC ที่จุด P) BPA
∧
= DPC∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน)
BP = DP (กําหนดให AC แบงครึ่ง BD ที่จุด P)จะได ∆ ABP ≅ ∆ CDP (ด.ม.ด.)
ดังนั้น AB = CD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)
และ PBA∧
= PDC∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) ในทํานองเดียวกันจะพิสูจนไดวา AD = CB และ PAD
∧
= PCB∧
8. 12 เซนติเมตร จากกําหนดใหจะพิสูจนไดวา ∆ AIP ≅ ∆ ARL (ด.ม.ด.) จะได AP = AL เนื่องจาก AP = 12 เซนติเมตร ดังนั้น AL = 12 เซนติเมตร
A B
CD
P
A
P R I L
88
คําตอบกิจกรรม “สํารวจ มุม – ดาน – มุม”
รูปสามเหลี่ยมสองรูปที่กําหนดใหในแตละขอ เทากันทุกประการ
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 5.4
1. เทากันทุกประการ เพราะ ∆ ABC และ ∆ DEF มีความสัมพันธแบบ ม.ด.ม.
2.
เนื่องจาก TRA∧
= CIP∧
(กําหนดให) RT = IC (กําหนดให)
RTA∧
= ICP∧
(กําหนดให) ดังนั้น ∆ ART ≅ ∆ PIC (ม.ด.ม.)
3.
เนื่องจาก OAB∧
= OCD∧
(กําหนดให) AO = CO (กําหนดให)
BOA∧
= DOC∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) จะได ∆ AOB ≅ ∆ COD (ม.ด.ม.) ดังนั้น BO = DO (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)
A
C
B
E
F
D
IAPR
T C
OA
B D
C
89
4.
เนื่องจาก EDA∧
= SKA∧
(กําหนดให) AD = AK (กําหนดให)
EAD∧
= SAK∧
(กําหนดให) จะได ∆ ADE ≅ ∆ AKS (ม.ด.ม.) ดังนั้น AE = AS (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)
5.
เนื่องจาก TQP∧ = SRP
∧
(กําหนดให) PQ = PR (กําหนดให)
TPQ∧
= SPR∧
( TPQ∧
เปนมุมรวม) ดังนั้น ∆ PQT ≅ ∆ PRS (ม.ด.ม.)
6.
เนื่องจาก BDA∧ = ACB
∧
(กําหนดให) DB = CA (กําหนดให)
DBA∧
= CAB∧
(กําหนดให)
D E S K
A
P
S T
RQ
D C
BA
90
A B
E
CFD
50o
50o
30 ซม.
30 ซม.
จะได ∆ ADB ≅ ∆ BCA (ม.ด.ม.)
ดังนั้น BAD∧
= ABC∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
7.
เนื่องจาก FAD∧ = EAB
∧
(กําหนดให) AD = AB (ดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสยาวเทากัน)
FDA∧
= EBA∧
(มุมภายในแตละมุมของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส มีขนาด 90 องศา) จะได ∆ ADF ≅ ∆ ABE (ม.ด.ม.) ดังนั้น AF = AE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)
8. ความคิดของรานคาถูกตอง
เมื่อให ∆ ABO และ ∆ DCO แทนรูปใบพัด แตละขางและจุด O เปนจุดหมุนของใบพัด
OBA∧
= OCD∧
= 50o (กําหนดให) BO = CO = 30 ซม. (กําหนดให)
BOA∧
= COD∧
(ถาเสนตรงสองเสนตัดกัน แลวมุมตรงขาม มีขนาดเทากัน) ดังนั้น ∆ ABO ≅ ∆ DCO (ม.ด.ม.) นั่นคือ แบบใบพัดสองขางมีขนาดเทากัน
BO
AC
D
91
คําตอบกิจกรรม “สํารวจ ดาน – ดาน – ดาน”
รูปสามเหลี่ยมสองรูปในแตละขอเทากันทุกประการ
แนวการพิสูจนแบบฝกหัด 5.5
1.
เนื่องจาก AB = CD (กําหนดให) DA = BC (กําหนดให)
BD = DB ( BD เปนดานรวม)จะได ∆ ABD ≅ ∆ CDB (ด.ด.ด)ดังนั้น BD แบงรูปสี่เหล่ียม ABCD ออกเปนรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่เทากัน
ทุกประการ
2.
เนื่องจาก AC = BD (กําหนดให) BC = AD (กําหนดให)
AB = BA ( AB เปนดานรวม)จะได ∆ ABC ≅ ∆ BAD (ด.ด.ด)
ดังนั้น BCA∧
= ADB∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
D
CB
A
C
A B
D
92
3.
เนื่องจาก AB = AC (กําหนดให) BD = CD (กําหนดให)
AD = AD ( AD เปนดานรวม)จะได ∆ ABD = ∆ ACD (ด.ด.ด)
ดังนั้น DAB∧
= DAC∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ AD แบงครึ่ง CAB
∧
4.
เนื่องจาก CT = MN (กําหนดให) AT = AN (กําหนดให)
AC = AM (กําหนดให)จะได ∆ ACT ≅ ∆ AMN (ด.ด.ด)
ดังนั้น TAC∧
= NAM∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
A
D
B C
C
T
A
N
M
93
5.
เนื่องจาก PS = QR (กําหนดให) PR = QS (กําหนดให)
SR = RS (SR เปนดานรวม)จะได ∆ PSR ≅ ∆ QRS (ด.ด.ด)
ดังนั้น RSP ∧ = SRQ ∧ (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) เนื่องจาก RSP ∧ = 100o (กําหนดให) ดังนั้น SRQ ∧ = 100o (สมบัติถายทอด)
คําตอบกิจกรรม “สํารวจรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว”
กิจกรรมที่ 11. เทากันทุกประการ เพราะ มีความสัมพันธแบบ ด.ม.ด.2. เทากัน เพราะ มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน3. เทากัน เพราะ ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน4. เทากัน เพราะ มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน5. เทากัน 6. 180o เพราะ BDA
∧
+ CDA∧
= CDB∧
ที่เปนมุมตรงมีขนาด 180 o
7. BDA∧
= 90o เพราะ เนื่องจาก BDA
∧
= CDA∧
จะได B)D2(A∧
= BDA∧
+ CDA∧
= 180 o (สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น BDA∧
= 2180 = 90 o
8. AD ตั้งฉากกับ BC เพราะ BDA∧
มีขนาด 90 o
Q
S R
P
94
กิจกรรมที่ 21. ∆ ABD ≅ ∆ ACD เพราะ มีความสัมพันธแบบ ด.ด.ด.2. เทากัน เพราะ มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน3. AD ตั้งฉากกับ BC เพราะ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว และ AD แบงครึ่ง CAB
∧
ที่เปนมุมยอด จึงมีผลเปนไปตามขอ 8 ของกิจกรรมที่ 1
คําตอบและแนวการพิสูจนแบบฝกหัด 5.6
1. 13, 13 เซนติเมตร หรือ 10, 16 เซนติเมตร แนวคิด กรณีท่ี 1 ถาใหฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วยาว 10 เซนติเมตร จะไดความยาวของดานประกอบมุมยอดแตละดานเปน 13 เซนติเมตร
กรณีท่ี 2 ถาใหดานประกอบมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วยาวดานละ 10 เซนติเมตร จะไดความยาวของฐานเปน 16 เซนติเมตร
2. 64, 64 องศา หรือ 52, 76 องศา แนวคิด กรณีท่ี 1 ถาใหมุมยอดของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาด 52 องศา
จะไดมุมที่ฐานมีขนาดมุมละ 252 180 − = 64oA
52o
B C
A
B C10 ซม.
B C10 ซม.
A
95
กรณีท่ี 2 ถาใหมุมที่ฐานของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วมีขนาดมุมละ 52 องศา จะไดขนาดของมุมยอดเปน 180 – 2(52) = 180 – 104 = 76o
3. มี 3 รูป แนวคิด เนื่องจาก มีสมบัติประการหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมกลาววา “ผลบวกของความยาวของดานสองดาน ของรูปสามเหลี่ยมยาวกวาดานที่สาม” ดังนั้น ความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่วที่มีความยาวรอบรูป 16 หนวย จึงมีได ดังนี้
ความยาวของดานประกอบมุมยอด(หนวย)
ความยาวของฐาน(หนวย)
765
765
246
4.
1) เทากัน เนื่องจาก AC = AD (กําหนดให) จะได ∆ ACD เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (มีดานยาวเทากันสองดาน) ดงันัน้ DCA
∧
= CDA∧
(มมุทีฐ่านของรปูสามเหลีย่มหนาจัว่ มขีนาดเทากนั) DCA
∧
= BCF∧
(ถาเสนตรงสองเสนตดักนัแลว มมุตรงขามมี และ CDA
∧
= EDG∧
ขนาดเทากนั) นั่นคือ BCF
∧
= EDG∧
(สมบัติถายทอด)
B E
A
C DF G
A
52o52o
B C
96
2) เทากัน เนื่องจาก ACB∧
+ DCA∧
= ADE∧
+ CDA∧
= 180o (แตละคูเปนมมุตรง มขีนาด 180 องศา) และ DCA
∧
= CDA∧
(มมุทีฐ่านของรปูสามเหลีย่มหนาจัว่มขีนาดเทากนั)
ดังนั้น ACB∧
= ADE∧
(สมบตัขิองการเทากนั)
5.
เนือ่งจาก AB = AC (ดานของรปูสามเหลีย่มดานเทายาวเทากนั) จะได ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว ดังนั้น CBA
∧
= BCA∧
(มมุทีฐ่านของรปูสามเหลีย่มหนาจัว่มขีนาดเทากนั) ในทํานองเดียวกันจะได CAB
∧
= BCA∧
ดังนั้น CBA∧
= CAB∧
= BCA∧
(สมบตัขิองการเทากนั) นั่นคือ มุมภายในแตละมุมของรูปสามเหลี่ยมดานเทามีขนาดเทากัน
6.
เนือ่งจาก DBA∧
= DBC∧
(กาํหนดให) BD = BD ( BD เปนดานรวม)
BDA∧
= BDC∧
= 90o (กาํหนดให) จะได ∆ ABD ≅ ∆ CBD (ม.ด.ม.) ดังนั้น AB = CB (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)
นั่นคือ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (บทนิยามของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว)
A
B C
C
D
A
B
97
7.
1) เนือ่งจาก AB = AC (กาํหนดให) DBA
∧
= ECA∧
(กาํหนดให) DB = EC (กาํหนดให) จะได ∆ ABD ≅ ∆ ACE (ด.ม.ด.) ดังนั้น AD = AE (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน)
2) เนือ่งจาก DB = EC (กาํหนดให) จะได DB + BC = EC + CB (สมบัติของการเทากัน)
ดังนั้น DC = EB เนื่องจาก AC = AB (กําหนดให) AD = AE (ผลที่ไดจากขอ 1)) จะได ∆ ACD ≅ ∆ ABE (ด.ด.ด.)
8.
เนือ่งจาก ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว และ CE เปนเสนแบงครึ่ง BCA
∧
ที่เปนมุมยอด (กําหนดให) ดังนั้น CE แบงครึ่งและตั้งฉากกับฐาน AB (สมบัติของรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว) จะได AE = BE และ CEA
∧
= CEB∧
= 90o
เนื่องจาก DE = DE ( DE เปนดานรวม) จะได ∆ ADE ≅ ∆ BDE (ด.ม.ด.)
D
A
CB E
A BE
C
D
98
A
CB D
E
P
RQ M
N
ดังนั้น EDA∧
= EDB∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) และ AD = BD (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยม ที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน) นั่นคือ ∆ ADB เปนรูปสามเหลี่ยมหนาจั่ว (มีดานยาวเทากันสองดาน)
9. กําหนดให CBA∧
มีขนาดพอสมควร ดังรูป
แนวการสราง RQP∧
ใหมีขนาดเทากับขนาดของ CBA∧
1. ลาก QR 2. ใชจดุ B เปนจดุศนูยกลาง รัศมพีอสมควร เขยีนสวนโคงตดั BC และ BA ทีจ่ดุ D และ จดุ E ตามลาํดบั 3. ใชจดุ Q เปนจดุศนูยกลาง รัศม ี BD เขยีนสวนโคงตดั QR ทีจ่ดุ M 4. ใชจดุ M เปนจดุศนูยกลาง รัศม ี DE เขยีนสวนโคงตดัสวนโคงในขอ 3 ทีจ่ดุ N 5. ลาก QP ผานจดุ N จะได RQP
∧
มีขนาดเทากับขนาดของ CBA∧
99
แนวการพิสูจนวา RQP∧
= CBA∧
ลาก MN และ DE QM = BD (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)
QN = BE (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)MN = DE (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)
จะได ∆ MQN ≅ ∆ DBE (ด.ด.ด.)
ดังนั้น NQM∧
= EBD∧
หรือ RQP
∧
= CBA∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)
10. กําหนดให AB ยาวพอสมควร ดังรูป
แนวการสราง CD ใหแบงครึ่ง AB ที่จุด O 1. ใชจุด A และจุด B เปนจุดศูนยกลาง รัศมียาวพอสมควร เขียนสวนโคงตัดกันที่จุด C และจุด D 2. ลาก CD ตัด AB ที่จุด O จะได CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O
แนวการพิสูจนวา CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O
A B
D
C
A BO
100
ลาก AC , BC , AD และ BD เนื่องจาก AC = BC (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)
AD = BD (รัศมีของวงกลมเดียวกัน ยาวเทากัน)CD = CD ( CD เปนดานรวม)
จะได ∆ ACD ≅ ∆ BCD (ด.ด.ด.) ดังนั้น OCA
∧
= OCB∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) CO = CO ( CO เปนดานรวม) และมีอยูแลววา AC = BC จะได ∆ AOC ≅ ∆ BOC (ด.ม.ด.) ดังนั้น AO = BO (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) ดังนั้น CD แบงครึ่ง AB ที่จุด O
11. ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมรูปวาว ตามแนวการพิสูจน ดังนี้
เนื่องจาก AO = AO ( AO เปนดานรวม)
DOA∧
= BOA∧
= 90o (กําหนดให) DO = BO (กําหนดให) จะได ∆ ADO ≅ ∆ ABO (ด.ม.ด.) ดังนั้น AD = AB (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน) ในทํานองเดียวกันจะพิสูจนไดวา CD = CB ดังนั้น ABCD เปนรูปสี่เหล่ียมรูปวาว
A
BD
C
O
101
11. สายลวดทั้งสองเสนยาวเทากัน และมุมที่สายลวด ทั้งสองเสนทํากับพื้นดินมีขนาดเทากัน ตามแนว การพิสูจนจากแบบจําลองดังนี้ สราง ∆ QPR โดยมี QS แทนเสาไฟฟาซึ่งตั้งฉาก กับ PR
เนื่องจาก PS = RS (กําหนดให)
QSP∧
= QSR∧
= 90o (กําหนดให) QS = QS ( QS เปนดานรวม) จะได ∆ PQS ≅ ∆ RQS (ด.ม.ด.) ดังนั้น PQ = RQ (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะยาวเทากัน)
และ SPQ∧
= SRQ∧
(มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากัน ทุกประการ จะมีขนาดเทากัน) นั่นคือ สายลวดทั้งสองเสนยาวเทากัน และมุมที่สายลวดทั้งสองเสนทํากับพื้นดินมีขนาด เทากัน
คําตอบกิจกรรม “ทราบหรือไม”
ชางสํารวจใชความสัมพันธแบบ ม.ด.ม.
P R
Q
S
P R
Q
S
102
คําตอบกิจกรรม “โครงสรางของรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหลี่ยม”
ตัวอยางคําตอบ ปฏิทินตั้งโตะ โครงสรางเสาไฟฟาแรงสูง โครงสรางสะพานขามแมน้ํา โตะรองรีดผา ฯลฯ
103
กิจกรรมเสนอแนะและคําตอบ
104
กิจกรรมเสนอแนะ 5.6
กิจกรรมนี้มีจุดประสงคใหนักเรียนสามารถนําสมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมไปใชแกปญหาและอธิบายเหตุการณในชีวิตประจําวัน
ปญหาที่ 1 ซอมผนังหอง ริมผนังหองแหงหนึ่งเวาแหวงหลุดหายไปเปน รูปสามเหลี่ยม ดังรูป ถาวัดความยาวของดานสองดานของชองรูปสามเหลี่ยม และมุมในระหวางดานสองดานนี้ จะไดขอมูลที่เพียงพอสําหรับ นําไปใชเพื่อตัดแผนไมรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการกับชอง
รูปสามเหลี่ยมไดหรือไม
ปญหาที่ 2 สรางโครงหลังคา ชางกอสรางสรางแบบของโครงหลังคาชุดหนึ่งไว แลวสรางโครงหลังคาชุดอื่น ๆ ดวยการวัดความยาวของทอเหล็ก สามชิ้นและตําแหนงบนทอที่จะนําทอเหล็กมาประกอบกันเปน โครงรูปสามเหลี่ยมเทานั้น โดยไมวัดขนาดของมุมเลย โครงหลัง คาที่สรางไดแตละชุดเทากันทุกประการกับแบบของโครงหลังคา หรือไม เพราะเหตุใด
ปญหาที่ 3 หาความกวางของสระน้ํา มีสระน้ําอยูกลางทุงนา ใหนักเรียนนําเสนอแนวคิด ในการหาความกวางของสระน้ํา (ตามแนวเสนประ) โดยใช สมบัติของความเทากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยม
105
คําตอบกิจกรรมเสนอแนะ 5.6
ปญหาที่ 1 ซอมผนังหอง แผนไมรูปสามเหลี่ยมที่ตัดไดกับรูปสามเหลี่ยมบนผนังหองที่เวาแหวง เทากันทุกประการ ดวยสมบัติ ด.ม.ด.
ปญหาที่ 2 สรางโครงหลังคา โครงหลังคารูปสามเหลี่ยมเทากันทุกประการดวยสมบัติ ด.ด.ด.
ปญหาที่ 3 หาความกวางของสระน้ํา (ขนาดของ AB )ตัวอยางคําตอบ
1. ลาก AC ยาวพอสมควร ให O เปนจุดกึ่งกลางของ AC2. ลาก BO ตอ BO ถึง D ให BO = OD3. ลาก CD จะได AB = CD ซ่ึงสามารถหาความยาว CD ไดจากการวัดโดยตรง การแสดงวา AB = CD ทําไดโดยพิจารณา ∆ ABO และ ∆ CDO ซ่ึงมี AO = CO,
BOA ∧ = DOC∧ และ BO = DO จากการสราง ดังนั้น ∆ ABO ≅ ∆ CDO (ด.ม.ด.) ผลที่ตามมาคือAB = CD เพราะเปนดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ ตัวอยางคําตอบที่นําเสนอนี้ใชเพียงเครื่องมือวัดระยะทางโดยไมตองใชเครื่องมือวัดขนาดของมุมนักเรียนอาจนําเสนอคําตอบอยางอื่น เชน ใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยมที่สัมพันธกันแบบ ม.ด.ม. โดยกําหนดให OBA∧ = ODC∧ และ BO = OD ก็เพียงพอตอการพิสูจนวา ∆ ABO ≅ ∆ CDO
A
B
O
D
C