บทที่ 1ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (12 ชั่วโมง)

1.1 สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (2 ช่ัวโมง)1.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (5 ช่ัวโมง)1.3 บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (5 ช่ัวโมง)

ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเปนทฤษฎีบทที่มีความสําคัญบทหนึ่งในเรขาคณิต สาระของบทนี้นักเรียนจะไดทราบถึงสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับ ทั้งในแงของความสัมพันธของความยาวของดานและพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก บทพิสูจนของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีหลายวิธี สําหรับในบทนี้จะยังไมใชการพิสูจนอยางเปนทางการตามหลักคณิตศาสตร แตไดเลือกแสดงแนวการพิสูจนวิธีหนึ่งในลักษณะเปนกิจกรรมบนพื้นฐานความรูเกี่ยวกับการแปลงทางเรขาคณิตที่นักเรียนเคยเรียนมาแลว ในกิจกรรมเสนอแนะยังไดเสนอแนวการพิสูจนเชิงกิจกรรมอีกวิธีหนึ่งไวใหครูไดนํามาใหนักเรียนไดเรียนรูเพิ่มเติมไดอีก

สาระของการนําทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับไปใชในการแกปญหา จํากัดขอบเขตเฉพาะรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของดานเปนจํานวนตรรกยะ สําหรับความยาวของดานที่เปนจํานวนอตรรกยะจะไดเรียนในบทตอไป ดังนั้นในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอนครูจึงควรระมัดระวังในการใหโจทยเพิ่มเติมดวย

ผลการเรียนรูท่ีคาดหวังรายป1. อธิบายความสัมพันธตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับได2. ใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับในการใหเหตุผลและแกปญหาได

3. ตระหนักถึงความสมเหตุสมผลของคําตอบที่ได

2

แนวทางในการจัดการเรียนรู

1.1 สมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (2 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ

1. เขียนสมการแสดงความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2. นําความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไปใชใน การแกปญหา

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.1

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูใหนักเรียนสังเกตอาคารเรียนหรือส่ิงกอสรางใกลเคียงแลวนําสนทนาเกี่ยวกับรูปเรขาคณิตที่พบในโครงสรางของอาคารนั้น ๆ จะเห็นวามีรูปสี่เหล่ียม รูปสามเหลี่ยม ซ่ึงเปนการนําไปสูการคนหาสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

2. สําหรับกิจกรรม “ลองวัดดูซิ” ครูควรใหนักเรียนลงมือปฏิบัติจริงและเติมคําตอบลงในชองวาง แลวใหนักเรียนชวยกันคาดการณสรุปความสัมพันธของความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเปนสูตร c2 = a2 + b2 เมื่อ a, b แทนความยาวของดานประกอบมุมฉาก และ c แทนความยาวของดานตรงขามมุมฉาก สําหรับนําไปใชในการหาความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่ตองการ นักเรียนอาจใชเครื่องคํานวณชวยในการหาคําตอบก็ได

3. กิจกรรม “เขียนไดหรือไม” นําเสนอไวเพื่อใหนักเรียนไดสํารวจ สังเกตและลงมือปฏิบัติดวยตนเองโดยใชสมบัติของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากมาเขียนแสดงความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมในรูปสมการ ครูควรทบทวนความรูทางคณิตศาสตรที่เกี่ยวของ เชน เร่ืองเลขยกกําลังที่มีเลขชี้กําลังเปนสอง โดยช้ีใหนักเรียนสังเกตวา กําลังสองของจํานวนเต็ม เศษสวนและทศนิยมมีคาเปนจํานวนบวกเสมอ แตฐานของเลขยกกําลังของจํานวนเหลานั้นอาจเปนจํานวนบวกหรือจํานวนลบก็ได และเนื่องจากฐานของเลขยกกําลังเหลานี้เปนความยาวของดานของรูปสามเหลี่ยมจึงเปนจํานวนลบไมได เชน c2 = 49 เมื่อ c แทนความยาวของดาน c ตองเปนจํานวนบวกเทานั้น นั่นคือc = 7 4. ครูอาจใชกิจกรรมเสนอแนะ 1.1 มาเปนปญหาสนทนาตามแนวคําถามที่ใหไว เพื่อใหนักเรียนเห็นการใชความสัมพันธของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากแกปญหาในชีวิตจริง

3

1.2 ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (4 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ

1. เขียนความสัมพันธของพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัสได 2. หาความยาวของดานใดดานหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เมื่อกําหนดความยาวของดาน สองดานใหโดยใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก – 1.2 ค

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ในหัวขอนี้จะกลาวถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัสในรูปของความสัมพันธของพื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยการสรางรูปและใหแนวการพิสูจน บทพิสูจนของทฤษฎีบทพีทาโกรัสไดมีผูพิสูจนไวหลายวิธี แนวการพิสูจนที่เสนอไวในกิจกรรม “หมุนแลวเห็น” เปนตัวอยางเพื่อแสดงวาทฤษฎีบทพีทาโกรัสเปนจริง ครูอาจแสดงดวยภาพหรือใชส่ืออุปกรณทํากิจกรรมใหนักเรียนมองเห็นภาพการหมุนรูปอยางเปนรูปธรรม แสดงใหเห็นจริงโดยวาดรูปบนแผนโปรงใส แลวสาธิตการหมุนใหนักเรียนดูพรอมกับการใชคําถามตามลําดับขั้นตอนใหนักเรียนชวยกันสรุปผล หรือครูอาจมอบหมายงานเปนกลุมใหนักเรียนใชกระดาษแข็งตัดตามรูปศึกษากิจกรรมและตอบคําถามตามลําดับที่ใหไวในหนังสือเรียน หลังจากนั้นอาจใหตัวแทนกลุมสาธิตใหเพื่อนดูหนาชั้น พรอมกับสรุปผลตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ครูอาจเลือกกิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก – 1.2 คใหนักเรียนทําบางกิจกรรมเพิ่มเติมตามความเหมาะสมและความพรอมของนักเรียน 2. สําหรับกิจกรรม “คิด” มีเจตนาใหนักเรียนหาความยาวของดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสโดยอาศัยความสัมพันธของดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ครูอาจชี้ใหนักเรียนสังเกตความยาวของรัศมีของวงกลม เพื่อนําไปสูความยาวของดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่ลอมรอบครึ่งวงกลมบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากนั้น 3. กิจกรรม “ยังมีอีกไหม” มีเจตนาใหนักเรียนสังเกตเห็นความสัมพันธของพื้นที่ของรูปเรขาคณิตอื่น ๆ บนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส ครูอาจแบงนักเรียนเปนกลุมโดยใหนักเรียนสรางรูปเรขาคณิตอื่น ๆ บนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แลวหาพื้นที่เพื่อตรวจสอบดูวามีความสัมพันธกันแบบทฤษฎีบทพีทาโกรัสหรือไม และใหแตละกลุมนําผลที่ไดมาอภิปรายหนาชั้น 4. เพื่อความสะดวกในการสรางโจทยเพิ่มเติมใหกับนักเรียน ครูอาจหาความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีความยาวแตละดานเปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 ชุดอื่น ๆ ที่แตกตางจากจํานวนที่นักเรียนคุนเคย จากสูตรตอไปนี้

4

กําหนดให c เปนดานตรงขามมุมฉาก a และ b เปนดานประกอบมุมฉากของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

กรณีท่ี 1 ถา n เปนจํานวนคี่ที่มากกวา 1 และให a = n จะได b = 21 n 2

− และ

c = 21 n 2 +

a = n b = 21 n2

− c = 21 n 2 + a : b : c

3 4 5 3 : 4 : 55 12 13 5 : 12 : 137 24 25 7 : 24 : 259 40 41 9 : 40 : 4111 60 61 11 : 60 : 6113 84 85 13 : 84 : 85...

.

.

....

.

.

.

กรณีท่ี 2 ถา n เปนจํานวนเต็มที่มากกวา 1 และให a = 2n จะได b = n2 – 1 และ c = n2 + 1

n a = 2n b = n2 – 1 c = n2 + 1 a : b : c2 4 3 5 4 : 3 : 5 หรือ 3 : 4 : 53 6 8 10 6 : 8 : 10 หรือ 3 : 4 : 54 8 15 17 8 : 15 : 175 10 24 26 10 : 24 : 26 หรือ 5 : 12 : 136 12 35 35 12 : 35 : 357 14 48 50 14 : 48 : 50 หรือ 7 : 24 : 258 16 63 65 16 : 63 : 65...

.

.

....

.

.

....

หมายเหตุ สําหรับสูตรดังกลาวนี้ ครูไมควรนําไปสอน ในที่นี้ใหไวเปนความรูสําหรับครูเพื่อ นําไปใชในการสรางโจทยอ่ืน ๆ

5

1.3 บทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส (4 ชั่วโมง)จุดประสงค ใหนักเรียนสามารถ 1. เขียนบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสได 2. นําทฤษฎีบทและบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัสมาใชในการแกปญหาได

เอกสารแนะนําการจัดกิจกรรม แบบฝกหัดเพิ่มเติม 1.3

ขอเสนอแนะในการจัดกิจกรรมการเรียนการสอน 1. ครูนําสนทนาเกี่ยวกับการสรางมุมฉากดวยเครื่องมือในปจจุบันและชี้ใหนักเรียนเห็นวาในสมัยโบราณสรางมุมฉากโดยใชเชือก 13 ปมอยางไร ครูอาจเตรียมส่ืออุปกรณเชือก 13 ปม มาใหนักเรียนลองตรวจสอบกับมุมโตะของครูหรือของนักเรียน เพื่อดูวาการจัดขึงเชือกใหเปนรูปสามเหลี่ยมเมื่อใหความยาวของดานเปน 3, 4 และ 5 หนวย แลวไดมุมมีขนาดเทากับขนาดมุมฉากของโตะจริงหรือไม 2. สําหรับกิจกรรม “ลองทําดู” มีเจตนาใหนักเรียนสํารวจวา ถารูปสามเหลี่ยมใดมีความสัมพันธของความยาวของดานเปนแบบ c2 = a2 + b2 เมื่อ a, b และ c แทนความยาวของดาน แลวรูปสามเหลี่ยมนั้นจะเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเสมอเพื่อนําเขาสูบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส และนําไปใชในการตรวจสอบวา รูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวของดานทั้งสามตามที่กําหนดใหเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือไม 3. เพื่อเปนการทําความเขาใจเกี่ยวกับขอความของทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ครูอาจใหนักเรียนสังเกตวาขอความใดเปนเหตุหรือส่ิงกําหนดให และขอความใดเปนผล ซ่ึงจะเห็นวาสวนที่เปนเหตุของทฤษฎีบทคือสวนที่เปนผลของบทกลับ สวนที่เปนเหตุของบทกลับคือสวนที่เปนผลของทฤษฎีบท 4. การพิสูจนบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตองการใหนักเรียนเห็นการพิสูจนเทานั้น ไมตองนํามาวัดผล 5. สําหรับกิจกรรม “ลองคาดการณ” มีเจตนาเสนอไวเพื่อใหนักเรียนไดขอสรุปความสัมพันธเกี่ยวกับความยาวของดานและขนาดของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยม นอกเหนือจากทฤษฎีบทของพีทาโกรัส นักเรียนอาจหาขอคาดการณไดจากการสังเกตหรือจากการสรางรูปสามเหลี่ยมตามเงื่อนไขของโจทยก็ได

6. สําหรับแบบฝกหัด 1.3 ขอ 3 ครูควรแนะนําใหนักเรียนวาดรูปสามเหลี่ยมประกอบการคํานวณ และขอ 7 ควรวาดรูปตามขนาดที่กําหนดใหเพื่อสํารวจเสนทแยงมุมทั้งสองเสนวายาวเทากันหรือไม

6

7. สําหรับแบบฝกหัดเพิ่มเติม 1.3 มีเจตนาใหเปนแบบฝกหัดระคน เพื่อฝกทักษะการนําความรูเร่ืองทฤษฎีบทพีทาโกรัสและบทกลับไปใชในการแกโจทยปญหา ควรใหนักเรียนทําหลังจบบทเรียนแลวเพื่อเปนการประเมินตนเอง อาจมีโจทยบางขอที่คอนขางซับซอน ครูควรพิจารณาเลือกเปนบางขอใหนักเรียนทําตามความเหมาะสม

คําตอบแบบฝกหัดและคําตอบกิจกรรมคําตอบกิจกรรม “ลองวัดดูซิ”

1. 1) 5 2) 4 3) 6.5 4) 10 5) 13 2.

ขอท่ี a b c a2 b2 c2 a2 + b2

1 3 4 5 9 16 25 252 2.4 3.2 4 5.76 10.24 16 163 2.5 6 6.5 6.25 36 42.25 42.254 6 8 10 36 64 100 1005 5 12 13 25 144 169 169

จากตารางสามารถบอกความสัมพันธของความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไดวา c2 = a2 + b2

คําตอบกิจกรรม “เขียนไดหรือไม”

1. d2 = e2 + f2

2. x2 = y2 + z2

3. p2 = q2 + r2

4. 102 = 62 + a2

5. 252 = b2 + 242

6. x2 = 52 + 122

7

คําตอบแบบฝกหัด 1.1

1. 1) 15 2) 61

3) 29 4) 1.7 5) 1.3 6) 5

27 หรือ 7.4 2. 1) 16 2) 25

3) 0.5 4) 2.0

3. 1) 36 2) 132

3) 9 4) 10.8

คําตอบกิจกรรม “หมุนแลวเห็น”

1. พื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ABCD = a2

พื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส BEFG = b2

2.

จากรูปจะได 1) ∆ HEF เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เพราะมี FEH

∧ เปนมุมฉาก

2) HE = a หนวย เนื่องจาก AE = AB + BE = a + b แต AH = b หนวย (กําหนดให)

D C

a

A B E

G Fb

423

1

Hb

c

8

ดังนั้น HE = AE – AH = a + b – b นั่นคือ HE = a หนวย 3) EF = b หนวย EF เปนดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส BEFG ที่มีดานยาวดานละ b หนวย 4) ∆ DAH ≅ ∆ HEF (ด.ม.ด.) 5) HF = c หนวย (ดานคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะยาวเทากัน)

3. 1)

∧1 =

∧2 (มุมคูที่สมนัยกันของรูปสามเหลี่ยมที่เทากันทุกประการ จะมีขนาดเทากัน)

2) ∧1 +

∧3 = 90o

3) ∧2 +

∧3 = 90o

4) FHD∧

= 90o

4.

1) ใช 2) ใช 3) เปนมุมฉาก

เนื่องจาก IFG∧

= HFE∧

= ∧4 ( IFG

∧ เปนภาพที่ไดจากการหมุน HFE

∧)

เนื่องจาก HFG∧

+ HFE∧

= 90o (ขนาดของมุมภายในของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส) ดังนั้น HFG

∧ + IFG

∧ = 90o (สมบัติของการเทากัน)

นั่นคือ IFH∧

เปนมุมฉาก

D C

a

A B E

G Fb

4

2

3

1

H

c

2

I3

1

4

9

4) เปนมุมฉาก เนื่องจาก IDC

∧ =

∧1 ( IDC

∧ เปนภาพที่ไดจากการหมุน AH

∧D )

และ CDA∧

= ∧1 + CDH

∧ = 90o (ขนาดของมุมภายในของรูป

ส่ีเหล่ียมจัตุรัส) ดังนั้น IDH

∧ = IDC

∧ + CDH

∧(สมบัติของการเทากัน)

จะได IDH∧

= CDA∧

= 90o (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ IDH

∧ เปนมุมฉาก

5) เปนมุมฉาก เนื่องจาก GIF

∧ =

∧2 ( GIF

∧ เปนภาพที่ไดจากการหมุน

FHE∧

) และ CID

∧ =

∧3 ( CID

∧เปนภาพที่ไดจากการหมุน

DHA∧

) GIF

∧ + CID

∧ =

∧2 +

∧3 (สมบัติของการเทากัน)

เนื่องจาก ∧2 +

∧3 = 90o (ผลที่ไดจากขอ 3 ขอยอย 3))

ดังนั้น GIF∧

+ CID∧

= 90o (สมบัติของการเทากัน) นั่นคือ FID

∧ เปนมุมฉาก

5. DHFI เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส เพราะ DHFI มี FHD∧

= IFH∧

= IDH∧

= FID∧

= 90o

และ DH = HF = FI = ID = c หนวย 6. จากการหมุน ∆ HEF และหมุน ∆ DAH แสดงใหเห็นวารูปสี่เหล่ียมจัตุรัส DHFI ประกอบขึ้นมา จากรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ABCD และรูปสี่เหล่ียม BEFG โดยแบงเปนชิ้นสวนตามที่กําหนดใหและนํามา เรียงตอกัน ดังรูป

Dc

A B E

F

H

I

C

Gc

10

คําตอบกิจกรรม “คิด”

พื้นที่ของรูปสี่เหล่ียม PQRS = 12 × 12 = 144 ตารางหนวย

คําตอบแบบฝกหัด 1.2

1. 13 เซนติเมตร 2. 7.2 กิโลเมตร 3. 84 ตารางเซนติเมตร 4. 1) 17 หนวย 2) 60 ตารางหนวย 3) ประมาณ 7.06 หนวย 5. 22 ฟุต 6. 1) 6 เมตร 2) มากกวา 2.5 เมตร 7. 24 ฟุต

คําตอบกิจกรรม “ยังมีอีกไหม”

ยังมีอีกเชน 1. รูปวงกลมที่แตละรูปมีเสนผานศูนยกลางเปนดานของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 2. รูปสามเหลี่ยมดานเทาบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก 3. รูปหกเหลี่ยมดานเทามุมเทาบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

11

คําตอบกิจกรรม “ลองทําดู”

a2 + b2 เทากับ c2

หรือไม∆ ABC เปน ∆ มุมฉาก

หรือไมขอ a b c a2 + b2 c2

เทา ไมเทา เปน ไมเปน(1)(2)(3)(4)(5)(6)

66976

1.4

8121213

6.253.6

10131514

7.254

36 + 6436 + 14481 + 14449 + 169

36 + 39.0251.96 + 12.96

100169225196

52.562516

(7) 212 6 2

16 425 + 36 4

169

(8) 4 6.5 8.5 16 + 42.25 72.25

คําตอบกิจกรรม “ลองคาดการณ”

1. c2 < a2 + b2 แลว BCA∧

< 90o

2. c2 > a2 + b2 แลว BCA∧

> 90o

คําตอบแบบฝกหัด 1.3

1. ขอ 1) ขอ 4) และ ขอ 6) 2. 1) ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจาก AB2 = 242 + 182 = 900 AC2 = 242 + 322 = 1600 จะได AB2 + AC2 = 900 + 1600 = 2500 เนื่องจาก BC2 = (18 + 32)2 = 2500

ดังนั้น BC2 = AB2 + AC2

นั่นคือ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

A

CB3218

24

12

2) ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

เนื่องจาก AB2 = 252 + 602 = 4,225 AC2 = 602 + 1442 = 24,336 จะได AB2 + AC2 = 4,225 + 24,336 = 28,561 เนื่องจาก BC2 = (25 + 144)2 = 28,561 ดังนั้น BC2 = AB2 + AC2

นั่นคือ ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

3. ความยาวที่กําหนดใหในขอ 3) ทําให ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก เนื่องจาก AD2 = AC2 – CD2

= 32 – 2.42 = 3.24 ดังนั้น AD = 1.8

เนื่องจาก BD2 = CB2 – CD2

= 42 – 2.42 = 10.24 ดังนั้น BD = 3.2 AB = AD + DB = 1.8 + 3.2 = 5

จะได AB2 = 25 และ AC2 + CB2 = 32 + 42 = 25 ดังนั้น AB2 = AC2 + CB2

นั่นคือ ∆ ABC เปนสามเหลี่ยมมุมฉาก

4. ประมาณ 43.45 เซนติเมตร 5. 210 ตารางหนวย 6. 6 ฟุต 7. ไมเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ส้ันกวา 15 เซนติเมตร

A

CB14425

60

A D B

C

2.4 43

13

กิจกรรมเสนอแนะ แบบฝกหัดเพิ่มเติมและคําตอบ

14

กิจกรรมเสนอแนะ 1.1

กิจกรรมนี้เปนกิจกรรมเกี่ยวกับความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ใหเห็นการนําความสัมพันธระหวางความยาวของดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉากไปใชในการแกปญหา

ปญหา รถยนตสามคันจอดขนานฟุตบาทเรียงกันดังภาพ รถคันสีน้ําเงินจะตองอยูหางจากรถคันสี แดงมากนอยเพียงใด จึงจะสามารถนํารถคันสีเหลืองออกมาไดโดยไมเกิดความเสียหายและไมตอง เล่ือนรถคันหนาและรถคันหลัง

สื่ออุปกรณ รถยนตจําลอง 3 คัน หรือกระดาษแข็งรูปสี่เหล่ียมมุมฉาก 3 แผน แทนรถยนต

แนวการดําเนินกิจกรรม ครูอาจจําลองภาพการจอดรถขนานฟุตบาท ดังรูป แลวใหนักเรียนชวยกันอภิปรายจนไดขอสรุปวา รถคันสีน้ําเงินจะตองอยูหางจากรถคันสีแดงมากกวาความยาวของเสนทแยงมุมของรถคันสีเหลืองดังรูป

15

กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ก

กิจกรรมนี้มีเจตนาใหนักเรียนเห็นแนวการพิสูจนทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกวิธีหนึ่ง

อุปกรณ กระดาษตัดเปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เทากันทุกประการ 8 รูป โดยใหดานตรงขาม มุมฉากยาว c หนวย ดานประกอบมุมฉากยาว a และ b หนวย และรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่มี ดานยาว a, b และ c หนวย อยางละหนึ่งรูป

1. ครูนํารูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหล่ียมที่ตัดไวในขอ 1 มาประกอบกันเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสสองรูปที่เทากันทุกประการ ดังรูปที่ 1 และรูปที่ 2

2. ใหนักเรียนชวยกันอภิปรายวาพื้นที่ของรูปที่ประกอบแลวในรูปที่ 1 และรูปที่ 2มีความสัมพันธกันอยางไร

c

a

bc

a

ab

b c

a

a

b

b

ab

b

a

รูปที่ 1 รูปที่ 2

a

b

ba

16

ครูอาจใชคําถามดังตอไปนี้ 1) รูปที่ 1 และรูปที่ 2 เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสหรือไม [เปน]

2) รูปที่1 และรูปที่ 2 มีพื้นที่เทากันหรือไม เพราะเหตุใด [เทากัน เพราะวาทั้งสองรูปเปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่มีความยาวของดานเปน a + b หนวย เทากัน] 3) รูปที่ 1 และรูปที่ 2 แตละรูปมีรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่เทากันทุกประการอยูกี่รูป [4 รูป] 4) เมื่อหักพื้นที่รูปสามเหลี่ยมทั้งหมดออกจากรูปที่ 1 และรูปที่ 2 พื้นที่ของรูปที่เหลือเทากัน หรือไม เพราะเหตุใด [เทากัน เพราะโดยสมบัติของการเทากัน] 5) พื้นที่ของรูปที่ 1 ที่เหลือเปนเทาไร และพื้นที่ของรูปที่ 2 ที่เหลือเปนเทาไร [c2 และ a2 + b2 ] 6) พื้นที่ของรูปที่เหลือทั้งสองรูปมีความสัมพันธกันอยางไร [c2 = a2 + b2] 7) ผลที่ไดในขอ 6) เปนไปตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัสหรือไม [เปน]

เมื่อนักเรียนไดแนวคิดจากคําถามขางตนแลว ครูควรใหนักเรียนชวยกันสรุปความสัมพันธที่ไดดังนี้ จะไดรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสสองรูปมีความยาวดานละ a + b หนวย พื้นที่ของ จัตุรัสรูปที่ 1 = พื้นที่ของ จัตุรัสที่มีดานยาว c + พื้นที่ของ ∆ มุมฉาก 4 รูป (a + b)2 = c2 + (4 × 2

1 ab) = c2 + 2ab

พื้นที่ของ จัตุรัสรูปที่ 2 = พื้นที่ของ จัตุรัสที่มีดานยาว a + พื้นที่ของ จัตุรัสดานยาว b + พื้นที่ของ ∆ มุมฉาก 4 รูป (a + b )2 = a2 + b2 + (4 × 2

1 ab) = a2 + b2 + 2ab

เนื่องจาก พื้นที่ของ จัตุรัสรูปที่ 1 เทากับพื้นที่ของ จัตุรัสรูปที่ 2 ดังนั้น c2 + 2ab = a2 + b2 + 2ab

นั่นคือ c2 = a2 + b2 (สมบัติของการเทากัน)

เมื่อนักเรียนมองเห็นภาพรวมของความสัมพันธระหวางพื้นที่ของรูปทั้งสองแลว ครูควรใหนักเรียนพิจารณาหาเหตุผลที่จะสรุปวารูปที่ 1 และรูปที่ 2 เปนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสไดดวยเหตุผลใด

17

ครูควรใชคําถามเพื่อเชื่อมโยงไปสูขอสรุป ดังนี้ 1) จากรูปที่ 1 นักเรียนบอกเหตุผลไดหรือไมวา รูปที่นํามาตอกันทําใหดานที่ยาว a หนวย และ b หนวย ตอกันเปนสวนของเสนตรงที่ยาว a + b หนวย [แนวคิด เนื่องจาก

∧1 +

∧2 = 90o และ

∧3 +

∧4 = 90o

ดังนั้น (∧1 +

∧2 ) + (

∧3 +

∧4 ) = 90 + 90

= 180o

เนื่องจาก ∆ ABC ≅ ∆ CDE จะได

∧1 =

∧4 และ

∧2 =

∧3

ดังนั้น 2(∧1 + ∧3 ) = 180

แลว ∧1 + ∧3 =

2180

= 90o

และ ∧1 + ∧3 + ∧5 = 90 + 90

= 180o

แสดงวา BC ตอกับ CD แลวได DCB∧

เปนมุมตรง นั่นคือ BD ยาวเทากับ a + b หนวย]

2) จากรูปที่ 2 นักเรียนบอกเหตุผลไดหรือไมวา รูปที่นํามาตอกันทําใหดานที่ยาว a และ b หนวย ตอกันเปนสวนของเสนตรงที่ยาว a + b หนวย

[แนวคิด เนื่องจาก ∧1 = 90o (เปนมุมของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสที่มี

ดานยาว a หนวย) และ

∧2 = 90o (เปนมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก)

ดังนั้น ∧1 +

∧2 = 90 + 90

= 180o

แสดงวา BC ตอกับ CD แลวได DB∧C เปนมุมตรง

นั่นคือ BD ยาวเทากับ a + b หนวย

2

ab C D

A

E

B1 35

4

ba

A

B C D

E

1 2ba

18

กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ข

กิจกรรมนี้เพื่อเจตนาใหนักเรียนไดเห็นความสัมพันธตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัส

ใหนักเรียนทํากิจกรรมตามลําดับขั้นตอนตอไปนี้ 1. สรางรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งรูป กําหนดความยาวของดานทั้งสามตามใจชอบ

2. สรางรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก

3. ลากเสนทแยงมุมของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 2 ใหตัดกันที่จุด O 4. บนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 2 ลากเสนขนานกับดานของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 1 ผานจุด O ดังรูป

1

3

2

3

1

2

a

dc

b

O

19

5. ตัดกระดาษในรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 2 เปนรูปสี่เหล่ียมรูป a รูป b รูป c และ รูป d 6. ตัดรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส 3 7. นํารูปที่ตัดไดในขอ 4 และ ขอ 5 ทั้งหมด 5 รูปมาเรียงซอนบนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสรูป 1 โดยแตละชิ้นไมมีสวนใดซอนกันเลย 8. สามารถวางไดเต็มรูป 1 พอดีหรือไม [จัดไดพอดี] ดังรูป

9. นักเรียนคิดวากิจกรรมนี้ไดขอสรุปวาอยางไร [พื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานตรงขามมุมฉาก เทากับผลบวกของพื้นที่ของ รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานประกอบมุมฉาก]

b

c

d

a 3

20

กิจกรรมเสนอแนะ 1.2 ค

กิจกรรมนี้ใชเพื่อใหนักเรียนไดเห็นความสัมพันธตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัส

ใหนักเรียนทํากิจกรรมตามลําดับขั้นตอนตอไปนี้ 1. สราง ∆ ABC มี BCA

∧ เปนมุมฉาก

2. สรางรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังรูป

3. ลาก IJ // AB ตัด AH ที่จุด J 4. ตอ EA มาทางจุด A ตัด CG ที่จุด K 5. ลาก JN // AK ตัด BC ที่จุด N จะไดรูปสามเหลี่ยมและรูปสี่เหล่ียม 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 ดังรูป

D

E

A

B

F

G C

H I

21

6. ตัดรูป 1 2 3 4 และ 5 นํารูปทั้งหามาจัดเรียงลงบนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบน ดาน AB โดยแตละชิ้นไมมีสวนใดซอนกันเลย 7. สามารถวางรูปทั้งหารูปบนรูปสี่เหล่ียมจัตุรัส ABDE ไดพอดีหรือไม [จัดไดพอดี] ดังรูป

8. กิจกรรมนี้จะไดขอสรุปวาอยางไร [พื้นที่ของรูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานตรงขามมุมฉาก เทากับผลบวกของพื้นที่ของ

รูปสี่เหล่ียมจัตุรัสบนดานประกอบมุมฉาก]

42

1

53

D

E

A

B

F

G C

H I

4

N1

23

5

K

J

22

แบบฝกหัดเพิ่มเติม 1.3

1. จงใชทฤษฎีบทพีทาโกรัสตอบคําถามในแตละขอตอไปนี้ 1) จากรูป a เทากับเทาไร 2) จากรูป b เทากับเทาไร

[a = 7] [b = 12]

3) จากรูป ความยาวรอบรูปของ 4) จากรูป c เทากับเทาไร ∆ ABC เปนเทาไร

[12] [c = 3]

5) จากรูป d เทากับเทาไร เมื่อพื้นที่ของสี่เหล่ียมมุมฉากเทากับ 168 ตารางหนวย

[d = 25]

6) จากรูป c เทากับเทาไร

[c = 25]

2524

a

13b

5

13

124

c

7d

5

4

A B

C

12

15

16

c

23

7) จากรูป พื้นที่ของสวนที่แรเงาเปนเทาไร

[51 ตารางเซนติเมตร]

2. จากรูป ∆ ABF และ ∆ DCF เปนรูปสามเหลี่ยม มุมฉาก มี CF = 5 หนวย, CD = 3 หนวย และ AF = 12 หนวย จงหาความยาวของ AB และ BF

[9 หนวย และ 15 หนวย]

3. จากรูป ∆ ABC มี AB , BC และ AC ยาว 16, 30 และ 34 หนวย ตามลําดับ BD ตั้งฉากกับ AC จงหาความยาวของ BD

[ 17214 หนวย]

4. จากรูป DFBC เปนรูปสี่เหล่ียมดานขนาน มี DC = 11 หนวย, EF = 9 หนวย และ BC = 15 หนวย จงหาพื้นที่ของ DFBC

[132 ตารางหนวย]

5. จากรูป ทรงสี่เหล่ียมมุมฉาก มี AB = 16 หนวย BG = 21 หนวย และ FG = 12 หนวย จงหาความยาวของ AF [29 หนวย]

3 ซม.8 ซม.

15 ซม.

16 34

C

DA

B 30

A B

CD 11

15

9E F

AD

E FG

C

H

21

16 B

12

D

CF

A

B

125

3

24

A12 5

B C

6. จากรูป ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี AC = 17 หนวย, CB = 8 หนวย ∆ ACD เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มี AC = CD จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงา [84.5 ตารางหนวย]

7. จากรูป BCDE เปนรูปสี่เหล่ียมผืนผา มี CD , AE และ AC ยาว 8, 18 และ 26 หนวย จงหาพื้นที่ของ สวนที่แรเงา [96 ตารางหนวย]

8. จากรูป ∆ ABC เปนรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก มีดานประกอบมุมฉากยาว 5 และ 12 หนวย มีรูปครึ่งวงกลมอยูบนดานทั้งสามของ ∆ ABC จงหาพื้นที่ของสวนที่แรเงา [30 ตารางหนวย] [แนวคิด ครูอาจใหนักเรียนวาดภาพครึ่งวงกลมบนดาน BC จะไดวงกลมที่มี BC เปน เสนผานศูนยกลาง แลวกําหนด 1 , 2 , 3 , 4 , 5 และ 6 แทน พื้นที่แตละสวนดังแสดงในภาพ

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได 1 + 2 + 4 + 5 = 6 แต 2 + 3 + 4 = 6 (เปนพื้นที่คร่ึงวงกลมของ วงกลมเดียวกัน)

A

C

D

B

E

A 17 C

8

B

D

A

B C

12

3

6

5

4

25

ดังนั้น 1 + 2 + 4 + 5 = 2 + 3 + 4 (สมบัติของการเทากัน) แต 1 + 5 = 3 (นําพื้นที่ที่เทากันมาลบ ทั้งสองขางของสมการ) นั่นคือ พื้นที่สวนที่แรเงารวมกัน เทากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซ่ึงเทากับ 2

1 × 5 × 12 = 30 ตารางหนวย]