COURS MAGISTRAL CONDENSE
CIRCUITS LOGIQUES
Par MASSALA MBOYI Gilles Yowel
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CIRCUTS LOGIQUES
Table des matières INTRODUCTION ..................................................................................................................................................... 1
Chapitre 1 : SYSTEME DE NUMÉRATION ............................................................................................................ 2
1.1 Introduction ........................................................................................................................................ 2
1.2 Système binaire .................................................................................................................................. 3
1.3 Le transcodage ................................................................................................................................... 4
1.4 Le DCB (Décimal Codé Binaire) ....................................................................................................... 5
1.5 Le code Grey ........................................................................................................................................ 5
Chapitre 2 : ALGEBRE DE BOOLE ......................................................................................................................... 7
CONCLUSION : ..................................................................................................................................................... 12
Additionneur......................................................................................................................................................... 14
Semi-additionneur ............................................................................................................................................ 14
Fonctions logiques : ........................................................................................................................................ 14
Additionneur complet ....................................................................................................................................... 14
Fonctions logiques : .............................................................................................................................................. 14
Démultiplexeur ..................................................................................................................................................... 17
Décodeur ............................................................................................................................................................... 17
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CIRCUTS LOGIQUES
INTRODUCTION
On appelle circuit logique (ou circuit combinatoire) un ensemble de
portes logiques reliées entre elles pour répondre à une expression algébrique. Il s'agit
donc d'aller transcrire en schéma électrique l'expression algébrique que l'on a simplifiée
grâce aux lois de composition.
Un circuit combinatoire est défini par une ou plusieurs fonctions logiques.
Dans la suite de notre travail, nous allons donner un aperçu sur l’ensemble des
propriétés et théorèmes qui permettent de calculer (convertir, simplifier) ces fonctions
logiques.
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CIRCUTS LOGIQUES
Chapitre 1 : SYSTEME DE NUMÉRATION
1.1 Introduction Un système de numération est un ensemble de règles qui régissent une, voire plusieurs
numérations données. Les systèmes de numérations binaire et hexadécimal sont très
utilisés dans les domaines de l'électronique et de l'informatique. Tout programmeur se
doit de les connaître en plus des systèmes décimal et octal.
Définition : La base est le nombre qui sert à définir un système de numération.
La base du système décimal est dix alors que celle du système octal est huit.
Quelle que soit la base numérique employée, elle suit la relation suivante :
où bi (chiffre de la base de rang i) et ai (puissance de la base a d'exposant de rang i).
Exemple : base 10
1986 = (1 × 103) + (9 × 102) + (8 × 101) + (6 × 100)
Propriété : On veut représenter les entiers naturels à l’aide d’un nombre fini de
symboles appelés chiffres.
Soit un entier b ≥ 2 et un entier a, nous allons admettre le théorème suivant :
Si b ∈ ℕ et b > 1, alors ∀ a ∈ ℕ il existe un développement unique de la forme :
a = rnbn + rn-1bn-1 +… + r1b1 + r0b0 = ∑ 𝒏𝒊=𝟎 ribi, avec 0 ≤ ri < b ;
On dit que l’on a représenté a dans le système de numération de base b et on
convient d’écrire :
a = rnrn-1…r1r0
Exemple : 423(8) = 4x82 + 2x81 + 3x80 = 275(10)
Remarque1 : Si b est une base choisie, tout nombre a s’exprime à l’aide de b symboles
qui représentent les nombres strictement inferieurs à b. ces symboles sont appelés
chiffres.
- Si b = 10 on utilise les symboles : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ; on parle de base
décimale.
- Si b = 2 on utilise les chiffres : {0, 1} ; on parle de base binaire.
- Si b = 8, on utilise les chiffres : {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ; on parle de base octale.
- Si b = 16, on utilise les chiffres (symboles) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E,
F} ; on parle de base hexadécimale.
Remarque2 : Quel que soit le nombre b pris pour base, le nombre b admet dans cette
base le développement suivant : b(10) = 1xb1 + 0xb0 et s’écrit donc b(10) = 𝟏𝟎̅̅̅̅ b
Exemple : 8(10) = 𝟏𝟎̅̅̅̅ 8 = 10(8)
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CIRCUTS LOGIQUES
La correspondance entre base 2, base 10, base 16 et base 8 est indiquée dans le tableau
ci-après :
Base 2 Base 10 Base 16 Base 8
0000 0 0 0
0001 1 1 1
0010 2 2 2
0011 3 3 3
0100 4 4 4
0101 5 5 5
0110 6 6 6
0111 7 7 7
1000 8 8 10
1001 9 9 11
1010 10 A 12
1011 11 B 13
1100 12 C 14
1101 13 D 15
1110 14 E 16
1111 15 F 17
1.2 Système binaire
Le système binaire est le système de numération utilisant la base 2. On nomme
couramment bit (de l'anglais binary digit, soit « chiffre binaire ») les chiffres de la
numération binaire positionnelle. Un bit peut prendre deux valeurs, notées par
convention 0 et 1.
Tout nombre écrit dans ce système vérifie la relation suivante :
(10110)2 = 1 × 24 + 0 × 23 + 1 × 22 + 1 × 21 + 0 × 20
(10110)2 = 1 × 16 + 0 × 8 + 1 × 4 + 1 × 2 + 0 × 1
Donc : (10110)2 =(22)10
Tous les systèmes de numération de position obéissent aux règles que nous venons de
voir.
EXERCICE D’APPLICATION
Trouver l’équivalent décimal des nombres suivants :
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CIRCUTS LOGIQUES
44(8) 1011(2) 10B(16) 3,51(3)
1.3 Le transcodage On appelle transcodage le processus de passage d’un système à base b1 à un autre
système à base b2.
Exemple :
12,75 = 1 * 101 +2 * 100 + 7 * 0,1 + 5 * 0,01
10,101(2) = 1 * 21 + 0 * 20 + 1 * 2-1 + 0 * 2-2 + 1 * 2-3
Remarque : Pour les nombres décimaux, lorsqu’on les multiplie par la base, la virgule
est décalée vers la droite et lorsqu’on les divise par la base la virgule est décalée vers la
gauche.
a) Passage de la base 10 à la base 2
Pour passer de la base 10 à la base 2, il existe plusieurs méthodes parmi lesquelles : la
multiplication, la soustraction, la division successive,...
14(10) = 7 x 2 + 0
= (3 x 2 x 1) x 2 + 0
= 3 x 22 + 1 x 2 + 0
= (1 x 2 + 1) x 22 + 1 x 2 + 0
= 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20
= 1110(2)
11(10) = 5 x 21 + 1 x 20
= (2 x 2 + 1) x 2 + 1 x 20
= 1 x 23 + 0 x 22 + 1 x 21 + 1 x 20
= 1011(2)
11,25 = 1011,01(2)
b) Passage de la base 16 à la base 2
Pour rappel, pour convertir un nombre de la base 16 à la base 2, il suffit de convertir
chaque chiffre par son équivalent en binaire code sur 4 bit.
Exemple : AF5 = 1010 1111 0101 avec A = 1010, F = 1111, 5=0101
13(10) = ??
13(10) = 1101(2)
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CIRCUTS LOGIQUES
c) Passage de la base 2 aux bases 8 et 16
Pour faire cette conversion, il suffit de faire un regroupement par bloc de 3 pour la base
8, et bloc de 4 pour la base 16.
101011(2) = 101 011
= 53(8)
101011(2) = 0010 1011
= 2B(16)
1100101(2) = 001 100 101
= 145(8)
1100101(2) = 0110 0101
= 65(16)
1.4 Le DCB (Décimal Codé Binaire)
Le code BCD (Binary Coded Decimal) qui signifie Décimal codé binaire permet de
représenter un chiffre décimal de 0 à 9 par un ensemble de 4 bits. Un objet mot de 16
bits peut ainsi contenir un nombre exprimé sur 4 chiffres (0 < N < 9999).
Exemple de codage BCD :
Le mot %MW5 exprimé en BCD "2450" correspond à la valeur binaire :
0010 0100 0101 0000, avec :
0010 = 2
0100 = 4
0101 = 5
0000 = 0
1.5 Le code Grey Le code Gray est un code construit de telle façon qu'à partir du chiffre 0 chaque nombre
consécutif diffère du précédent immédiat d'un seul digit (chiffre, symbole, …).
En l'exprimant autrement nous pouvons également dire que l'on change un seul bit à la
fois quand un nombre est augmenté d'une unité.
Le code Gray est fréquemment utilisé dans les capteurs angulaires ou de
positionnement, mais aussi lorsque l'on désire une progression numérique binaire sans
parasite transitoire. Le code Gray sert également dans les tableaux de Karnaugh utilisés
lors de la conception de circuits logiques.
Dans le système binaire, les calculs s’effectuent comme dans le système décimal. Ainsi,
l’addition 1100 + 1010 donne 10110. En posant le calcul comme on le fait à l’école et en
additionnant de droite à gauche, on a :
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CIRCUTS LOGIQUES
0 + 0 = 0
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 0 avec la retenue 1
Exemple : 100110 = 110101
La construction du code Gray pour les nombres de 0 à 15 est représentée par le tableau suivant :
FIGURE 1 : CONSTRUCTION DU CODE GRAY
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CIRCUTS LOGIQUES
Chapitre 2 : ALGEBRE DE BOOLE
L'algèbre de Boole, ou calcul booléen, est la partie des mathématiques qui s'intéresse à
une approche algébrique de la logique, vue en termes de variables, d'opérateurs et
de fonctions sur les variables logiques, ce qui permet d'utiliser des techniques
algébriques pour traiter les expressions à deux valeurs du calcul des propositions. Elle
fut lancée en 1854 par le mathématicien britannique George Boole. Aujourd'hui,
l'algèbre de Boole trouve de nombreuses applications en informatique et dans
la conception des circuits électroniques.
Elle fut utilisée la première fois pour les circuits de commutation
téléphonique par Claude Shannon.
On appelle B l'ensemble constitué de deux éléments appelés valeurs de vérité {VRAI,
FAUX}. Cet ensemble est aussi noté :
B = {0,1}
B = (⊥,⊤)
On a donc ∀ x ∈ B, ⊤ ⇔ 1 et ⊥ ⇔ 0.
On privilégiera dans la suite la notation B = {0,1}.
Sur cet ensemble on peut définir deux lois (ou opérations ou foncteurs), les lois ET et OU
et une transformation appelée complémentaire, inversion ou contraire.
Pour l'ensemble des exemples et propriétés suivantes, {a,b,c} ⊂ B.
Définition : Soit a, b, c ∈ B = {0, 1} ;
Les axiomes de l’algèbre de Boole :
Un axiome est une proposition considérée évidente, admise sans démonstration.
Les axiomes de l’algèbre de Boole sont :
1- Associativité :
a + (b + c) = (a + b) + c
a.(b.c) = (a.b).c
2- Commutativité :
a + b = b + a
a.b = b.a
3- Distributivité :
a.(b + c) = (a.b) + (a.c)
a + (b.c) = (a + b).(a + c)
4- Élément neutre :
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CIRCUTS LOGIQUES
a + 0 = 0 + a = a
a.1 = 1.a = a
5- Complémentation :
a +�̅� = 1
a.�̅� = 0
Propriétés : Soient a et b deux variables :
1) Involution
�̿� = a
2) Idempotence
a + a = a
a.a = a
3) Absorption
a + ab = a
a.(ab) = a
4) Théorème de Morgan
𝑎 + 𝑏 ̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅̅ = �̅�. �̅�
𝑎. 𝑏 ̅̅ ̅̅ ̅ = �̅� + �̅�
5) Inclusion
ab + a�̅� = a
(a + b)(a + �̅�) = a
6) Allègement
a(�̅�+b) = ab
a + �̅�b = a + b
7) Élément absorbant
a.0 = 0
a + 1 = 1
Démonstration :
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CIRCUTS LOGIQUES
1) Involution
�̿� = a
a.�̅� = 0
𝑎. �̅�̅̅ ̅̅ ̅ = 0̅
�̅� + �̅̅� = 1
�̅� + a = 1
Par identification �̅̅� = a
2) Idempotence
a + a = a
= a.a = a.1 + a.1 (élément neutre)
= a(1 + 1) (distributivité)
= a.1
= a (élément neutre)
Ou encore
a.0 = (a + 0)(a + 0) (élément neutre)
= a + (0.0) (distributivité)
= a + 0 (élément neutre)
= a
3) Absorption
a + ab = a.1 + ab
= a (1 + b) (élément absorbant)
= a.1 (élément neutre)
= a
Ou encore
a + ab = (a + a).(a + b)
= a.(a + b)
= (a + 0).(a + b)
= a + (0.b)
= a
4) Théorème de Morgan
a + b̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅ = a̅.b̅
On considère X et Y tels que :
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CIRCUTS LOGIQUES
X = a + b et Y = a̅.b̅
Nous allons calculer : {𝑋 + 𝑌 = 1𝑋. 𝑌 = 0
X + Y = a + b + a̅ + b̅
= a + (a̅ + b).(b + b̅)
= (a + a̅ + b).(a + b + b̅)
= (1 + b).(1 + a)
= 1.1
= 1
X.Y = (a + b).(a̅.b̅)
= (a.a̅.b̅) + (a̅.b̅. b)
= (0.b̅) + (a.0)
= 0.0
= 0
X et Y sont complémentaires donc :
Y = X̅ (1)
X = Y̅ (2)
(1) ⇒ a̅.b̅ = a + b̅̅ ̅̅ ̅̅ ̅
5) Inclusion
ab + ab̅ = a
= (a + b).(a + b̅)
= a.a
= a
6) Allègement
a.( a̅ + b) = (a + 0).( a̅ + b)
= (a + bb̅).( a̅ + b)
= (a + b).(a + b̅).( a̅ + b)
= (a + b).(a + b̅).(a + b).( a̅ + b)
= a(b + b̅).b(a + a̅)
= a(.1).(b.1)
= a.b
7) Elément absorbant
a.0 = 0
= a.(a.a̅) (Associativité)
= (a.a).a̅ (Idempotence)
= a.a̅ (Complémentation)
= 0
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CIRCUTS LOGIQUES
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CIRCUTS LOGIQUES
CONCLUSION :
En somme, Un système de numération est un ensemble de règles qui régissent une, voire
plusieurs numérations données. L'algèbre de Boole étant un domaine commun à trois
disciplines, on rencontre des notations différentes pour désigner un même objet.
Cette partie permet de bien assimiler les notions transmises par l’enseignant, sur les
circuits logiques en général et en particulier sur le système de numération et l’algèbre de
Boole.
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CIRCUTS LOGIQUES
CIRCUITS COMBINATOIRES USUELS
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CIRCUTS LOGIQUES
Additionneur
logigramme
Le multiplexeur
A B R0 R1 S
0 0 0 0 0
0 0 1 0 1
0 1 0 0 1
0 1 1 1 0
1 0 0 0 1
1 0 1 1 0
1 1 0 1 0
1 1 1 1 1
TABLEAU 2
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CIRCUTS LOGIQUES
Log2 (entrées)
= = Log2 (x)
n bits de
sélections
2n entrées bits de données
Table de vérité
S1 S0 F
0 0 E0
0 1 E1
1 0 E2
1 1 E3
TABLEAU 3
Fonction logique
F = ∑misi
F = S0S1E0 + S0S1E1 + S0S1E2 +S0S1E3
Table de verité
A B R0 R1 S
0 0 0 0 e0 0
0 0 1 0 e1 1
0 1 0 0 e2 1
MUX
MUX Une Sortie
N bits de selection
2n
entrées
Bits de
Données
16
CIRCUTS LOGIQUES
0 1 1 1 e3 0
1 0 0 0 e4 1
1 0 1 1 e5 0
1 1 0 1 e6 0
1 1 1 1 e7 1 TABLEAU 4
Le logigramme
Pour représenter une fonction a n variables on utilise un multiplexeur. 2n les
entrées de la fonction F deviennent des bits de sélection du multiplexeur
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CIRCUTS LOGIQUES
Démultiplexeur Représentation du démultiplexeur
Une entrée
Décodeur
Table de vérité
E1 E2 S0 S1 S2 S3
0 0 1 0 0 0
0 1 0 1 0 0
1 0 0 0 1 0
1 1 0 0 0 1
TABLEAU 5
fonctions logiques
S0 =
S1 = E0
S2 = E1
S3 = E0.E1
2n sorties
Bits de sélections