Calcolo delle probabilità

Progetto lauree scientifiche

Università dell’Insubria

Facoltà di Matematica

Como

Paola BertoncelloNatalina Drappo

Introduzione

alla probabilitàdefinizioni

Probabilità discreta

Variabile aleatoria

Evento elementare

Spazio campionario

in cui l’insieme dei valori assumibili dai risultati sia finito o numerabile

Analisi degli esiti di esperimenti aleatori

Grandezza i cui valori siano i possibili esiti di un esperimento

Risultato del lancio

Mano di poker

Esito di un esperimento aleatorio

Insieme degli eventi elementari

EventoSottoinsieme dello spazio

campionario

testa testa TT

TT, TC, CT, CC

TT, TC, CT

di due monete

Probabilità classica di un evento E

_____________P(E)= Casi favorevoliCasi possibili

Proprietà

E = esce almeno una testa IEI = 3

Ω = spazio campionario del lancio di due

I Ω I = 4

P(E) = ¾monete

0≤P(E) ≤1

P(Ec)=1-P(E)

Ec= non esce alcunatesta

IEcI = 1 P(Ec) = 1/4

E כ F → P(E) > P(F)

F= esce una testa = TC, CT

IFI=2 P(F)=1/2TTCC TC

CT

ΩE

F

Strumenti matematici per lo studio della probabilità

Disposizione semplice

Selezione ordinata di k elementi di un insieme finito di dimensione n

Elenco degli studenti seduti nella prima fila

Primi tre classificati di una gara

Problema: quante disposizioni si presentano nell’estrazione di due palline da un sacchetto che ne contiene 4 diverse?

Soluzione: 4 possibilità per la prima pallina

per ogni scelta della prima ci sono 3 possibilità per la seconda

per ogni scelta delle precedenti ci sono 2 possibilità per la terza

Numero di disposizioni semplici: 4 ·3 · 2 = 24

Regola:

Altri esempi e relative soluzioni:

• Il numero di modi in cui disporre 4 alunni in prima fila in una classe di 25 studenti è 25 · 24 · 23 · 22 = 303600

• le possibili disposizioni dei numeri della prima cinquina della tombola sono 90 · 89 · 88 ·87 · 86 > 5 1010

Il numero di k-disposizioni semplici di n elementi è n · (n-1) ·… · (n-k+1)

Usando il fattoriale di n, definito come n!=n · (n-1) · (n-2) · ….. · 1 ottengo:

D k,n =_____n!

(n-k)!

Disposizione con ripetizione

Elenco di k elementi ordinati di un insieme di dimensione n per cui è prevista la ripetizione

Pin del telefonoLancio di tre dadi

Problema: quanti prefissi telefonici si possono scrivere con tre cifre?

Soluzione:

9 possibilità per la prima cifra

Per ogni scelta della prima cifra ho 9 possibilità per la seconda

Per ogni scelta delle prime due cifre ho 9 possibilità per la terza

Disposizioni con ripetizione: 9 · 9 · 9 = 93

Altri esempi e relative soluzioni:

Regola:

• Il numero di colonne possibili del totocalcio è 313 = 1594323

• il numero di targhe che si può ottenere con 4 numeri e 2 cifre finali è 104 · 262 = 6760000

Il numero di k-disposizioni con ripetizione di n elementi è D k,n = nk

… nota

• il numero di password di 8 cifre che si possono scrivere con cifre alfanumeriche maiuscole e minuscole senza caratteri speciali è (10+26x2)8

Permutazione (semplice)

Possibile ordinamento di un insieme finito di elementi

È una n-disposizione semplice di n elementi

Ordine di arrivo ad una garaPosizione dei libri in una libreria

Problema: in quanti modi posso distribuire i 25 studenti di una classe?

Soluzione: partendo dal primo banco, per il quale ho 25 possibilità, ad ogni scelta successiva ho uno studente in meno a disposizione, per cui ho

25 · 24 · 23 · …..2 · 1 = 25!

RegolaLe permutazioni di n elementi sono Pn = n!

Estrazioni del lotto

Combinazioni

Raggruppamenti di k elementi di un insieme di dimensione n

= possibili sottoinsiemi

Studenti interrogati

Problema: quante scelte ha un professore se interroga 4 persone in una classe di 25?

Soluzione:

Il numero di 4-disposizioni di 25 elementi è 25!/21!

Le disposizioni con gli stessi elementi in cui cambia solo l’ordine corrispondono alla stessa composizione

Il loro numero corrisponde al numero di permutazioni: sono 4!

Le combinazioni sono 25!____

21!4!

Altri esempi e relative soluzioni:

Regola:

• Il numero di combinazioni vincenti del SuperEnalotto è

Il numero di sottoinsiemi di k elementi di un insieme di dimensione n è n!

(n-k)!k!C k,n =

______

______ 90!

84!6!

Definisco coefficiente binomiale il valore

( )n k (n-k)!k!

______n!=

Probabilità compostadefinizioni

X, Y variabili indipendenti

A, B eventi indipendenti

I Ωx J Ωy si ha

A ∩ ∩A

P(I J) = P(I) · P(J)∩

P(A B) = P(A) · P(B)∩

Dico due variabili o due eventi indipendenti se il verificarsi del primo non influenza il verificarsi del secondo.

Ossia se tutti i possibili eventi della prima sono indipendenti dai possibili eventi della seconda

A =TT, TC B = TC, CC

X = esito lancio del primo dado Y = esito lancio del secondo dado

TT TCCCCT

Regole

con E ∩ F = Φ ho

Dati due eventi E e F

P(E F) = P(E) + P(F) - P(E∩F)

∩

P(E F) = P(E) + P(F)

∩

TTTTTC

TCC

CCC

CTT

TCT

CTC

CCT

E

FΩ

E = esattamente due teste

F = la prima è testa

E = esattamente due teste

F = esattamente una testa

CTC

CCT

TCC

TTT

CCCCTT

TCT

TTC

Ω

FE

Nota: nel caso di tre eventi

P(E F G) = P(E) + P(F) + P(G) - P(E∩F) - P(E∩G) - P(F∩G) +

∩ ∩

+ P(E∩F∩G)

Diagramma ad albero

struttura di oggetti (foglie) e collegamenti (rami) orientati

Ogni foglia può discendere da un solo predecessore(padre)

Ad ogni foglia possono seguire diversi oggetti (figli)

Lancio di tre dadiT C

T CT C

VV

T C

V V V V

T C T C T C

I possibili esiti si trovano percorrendo tutti i rami dalla radice alla cima

Si consideri un evento costituito da eventi elementari che siano fasi successive di un esperimento

Principio di moltiplicazione

Sia E l’evento che si ottiene percorrendo un ramo dell’albero dalla radice alla cima ed ei gli eventi elementari corrispondenti alle foglie del percorso di E

P(E) = P(ei)

Probabilità di un codice alfanumerico del tipo aabc con a:±1 b:cifra c:lettera

1 -1 ½

1 -1 -1 1 ½

0 1 2 3 … 9 1/10

a b … yw z 1/26

P(-1,1,9,y)= ½ ½ 1/10 1/26

=

···

__1

1040

Probabilità condizionata

e inversaP(F|E) = Probabilità che l’evento F si realizzi nell’ipotesi

che l’evento E si sia già realizzato

F = due esiti su tre sono testaE = il primo esito è testa

P(F)=3/8 P(F|E)=2/4

TTTTTC

TCC

CCC

CTT

TCT

CTC

CCT

E

FΩ

TTCTCT

E

F

= Ω

TCC

TTT

RegolaP(F|E)=

P(F∩E)P(E)

_______

Nota:

F è indipendente da E se (def.) P(F|E) = P(F)

se sostituisco trovo P(E) · P(F) = P(E∩F)

P(F∩E)=2

Riferendosi all’esercizio precedente

P(E)= 4 P(F|E)= 2/4

Problema della probabilità inversa

Problema:

L’urna I contiene 3 palline rosse e 2 blu, l’urna II contiene 1 pallina rossa e 1 blu. Pesco ad occhi chiusi una pallina rossa: Quale è la probabilità che provenga dall’urna 1?

Soluzione Uso il diagramma ad albero:r

b

Evento elem.

P(e1)

½

½

I

IIr

b

2/5

3/5

½

½

3/10

1/5

1/4

1/4

P(b)=9/20

P(r)=11/20

Costruisco il diagramma inverso:

P(e2) P(Ei) i=1…4

b

r

I

II

II

I

9/20

11/20

x = 4/9

5/9

6/11

5/11

Come trovare x : la probabilità dei rami equivalenti dei due alberi è uguale, quindi:

9/20 · x = P(E2) = 1/5

3/10

1/5

1/4

1/4

P(b∩I)P(b) P(I|b)

Il problema corrisponde alla ricerca della probabilità dell’urna I condizionata all’aver pescato b

P(II|r) = 5/11

P(I|r) = 6/11

P(II|b) = 5/9

P(I|b) = 4/9

Formula di Bayes

Problema:

Si consideri un esperimento in due fasi e si voglia calcolare la probabilità di un evento elementare Hi al primo stadio nota la probabilità dell’evento E al secondo stadio

Regola

P(Hi|E) = ________________P(E|Hi) · P(Hi)

Σ P(E|Hk) · P(Hk)

m

k 1

= __________P(E|Hi) · P(Hi)

P(E)

Probabilità discreta

e continuadefinizioni

Dato uno spazio campionario discreto Ω

def. probabilità su Ω una qualsiasi funzione

P : Ω [0,1]

che soddisfi

P(Ω) = 1

P( Ak) = P(Ak)

1kUk

1

*

* Finito o numerabile

1)

2)

Probabilità classica Ω finito o numerabile con Ω = wi

IΩI = dimensione (o la cardinalità) di Ω

P(E) = IEIIΩI___ E Ω

Aכ

definizione equivalente alla probabilità classica:

Sia m(x) una funzione m : Ω [0,1]

con

P(Ω) = 1

x

m(x) =1

detta funzione di distribuzione di Ω

Sia E un sottoinsieme di Ω

definisco P(E) := m(x) Ex

P : Ω [0,1]

con

Le proprietà sono quelle già viste

. le trasmettiamo dagli insiemi agli elementi

per il caso numerabile le somme diventano serie

studio della convergenza

(esistenza di una somma finita)

X = lunghezza della corda di una circonferenza unitaria

Ω = ( 0,2] Si voglia P(E) con E = ( ,2]3

Scelgo un sistema di coordinate per il punto medio: rettangolari del con origine nel centro della circonferenza

M: (x,y) (x,y) [-1,1] x [-1,1] con x2 +y2 ≤ 1

L’Hp corrisponde a X ≥ lato del triangolo equilatero .

M è interno alla circonferenza di raggio ½

Caso continuo

Nota:

Se ho uno spazio campionario sottoinsieme di IR2 e ipotizzo che tutti i suoi punti siano equiprobabili

posso associare ad una superficie una probabilità equivalente alla sua area

P(E) = =1/4 ______π(½)2

π(1)2

Paradosso di Bertrand:

P(E) =

1/4

1/2

1/3

M:(ρ;θ)

M:(x;y)

A:(1;α) B:(1;β)

Nota: Area e integrale

definizione F(x) funzione di distribuzione cumulativa di X se

)),((:)(:)( xPxXPxFX IRIRxFX :)(

Proprietà

)(xFX è monotona non decrescente

0)(lim

xFx X 1)(

lim

xF

x X

)(xFX è continua da destra:

)()(lim

tFxFtx XX

definizione

f(x) funzione di densità di X se f: IR IR e vale

P(a ≤ x ≤ b) =b

a

dxxf )( ba, IR

Scelta la variabile X non è detto che esista f(x)

+

f(x) non è una probabilità.

P(X E) = E

dxxf )( purché l’integrale esista

Proprietà

Sia X una variabile aleatoria con funzione di densità f(x)

Teorema

Rappresenta la funzione di distribuzione cumulativa di X,

x

dttfxF )()(

e si ha )()( xfxFdx

d

Da ciò potremmo introdurre un diversa

definizione di funzione densità: f: IR IR +

x

xFdttf )()( 1)(

dxxf

t.c.

Esempi significativi di distribuzioni e densità

Distribuzione uniforme discreta

Sia X una variabile aleatoria con spazio campionario Ω di dimensione n

La distribuzione è rappresentata dalla funzione m(x) = 1/n = costante

continuaDistribuzione uniforme

Attenzione!

Sia Ω numerabile e m(x) = costante

E

dxxm )( diverge

Funzione di densità gaussiana

fx =______1

2

2

2

2

)(

x

e

012

FINE