DATA PROCESSINGSlide n. 1
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSING
Dott. Ing. VINCENZO SURACIANNO ACCADEMICO 2012-2013
Corso di AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSINGSlide n. 2
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
STRUTTURA DEL NUCLEO TEMATICO:1. INTRODUZIONE AL DATA PROCESSING2. STIMA DEL VALORE MEDIO
DATA PROCESSINGSlide n. 3
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
INTRODUZIONEAL DATA PROCESSING
DATA PROCESSING 4
SEGNALEANALOGICO
SEGNALEDIGITALE
SCHEDAINPUT
DISPOSITIVO DI ELABORAZIONE
DATAPROCESSING
OSCILLATOREA FREQUENZA
COSTANTE
CONVERTITOREANALOGICO
DIGITALE
SCHEMA COSTRUTTIVOSCHEMA COSTRUTTIVO
ACQUISIZIONE DATI
BANDA PASSANTE ACCORDATAAL PASSO DI
CAMPIONAMENTO
AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSING 5
SEGNALEANALOGICO
SEGNALEDIGITALE
SCHEDAINPUT
DISPOSITIVO DI ELABORAZIONE
DATAPROCESSING
OSCILLATOREA FREQUENZA
COSTANTE
FILTROPASSA BASSO
CONVERTITOREANALOGICO
DIGITALE
SCHEMA COSTRUTTIVOSCHEMA FUNZIONALE
ACQUISIZIONE DATIAUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSING 6
tempo
tempo
tempo
tempo
SEGNALE UTILE
DISTURBO
RUMORE
VARIABILEMISURATA
CONTIENE INFORMAZIONIUTILI PER VALUTARELβAZIONE DI CONTROLLO O LβEFFETTO DELLβAZIONE DI CONTROLLO
POTREBBE CONTENERE INFORMAZIONI UTILIZZABILI PER LA GESTIONE O PER LA DIAGNOSTICA
IN GENERE NON CONTIENEINFORMAZIONI UTILI
tempo
UTILE AL FINE DELLACARATTERIZZAZIONEDEL FUNZIONAMENTO
ANDAMENTO DEL VALORE MEDIO
AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSING 7
tempo
tempo
tempo
tempo
SEGNALE UTILE
DISTURBO
RUMORE
VARIABILEMISURATA
CONTIENE INFORMAZIONIUTILI PER VALUTARELβAZIONE DI CONTROLLO O LβEFFETTO DELLβAZIONE DI CONTROLLO
POTREBBE CONTENERE INFORMAZIONI UTILIZZABILI PER LA GESTIONE O PER LA DIAGNOSTICA
IN GENERE NON CONTIENEINFORMAZIONI UTILI
tempo
UTILE AL FINE DELLACARATTERIZZAZIONEDEL FUNZIONAMENTO
ANDAMENTO DEL VALORE MEDIO
AD ESEMPIO
APPROSSIMAZIONE DOVUTA ALLA DIGITALIZZAZIONE DI UN SEGNALE ANALOGICO
VARIAZIONE DELLA PRES-SIONE O DELLA PORTATA DOVUTA ALLE OSCILLA-ZIONI DELLβOTTURATORE DI UNA SERVOVALVOLA
ANDAMENTO DELLA VARIA-BILE DI COMANDO ELABO-RATA DA UN REGOLATORE NEL CONTROLLO A LIVELLO DI CAMPO
AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSING 8
CAMPIONAMENTOE QUANTIZZAZIONE
STIMA DELVALORE MEDIO
SEGNALE UTILE
RUMORE E/ODISTURBO
STIMA DELLADERIVATA PRIMA
SCELTA DEL PASSO DI ACQUISIZIONESE TROPPO FITTO VIENE ESALTATOIL RUMORE DI DIGITALIZZAZIONE
PASSO DI ACQUISIZIONE
SE TROPPO RADO VENGONO PERSE LE INFOMAZIONI CONTENUTE NEL SEGNALE UTILE
ELABORAZIONION-LINE
SEGNALE ANALOGICO
DATIACQUISITI
AUTOMAZIONE 1
STIMA DELLADERIVATA SECONDA
DATA PROCESSINGSlide n. 9
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
CALCOLO DEL VALORE MEDIOMETODO OFF-LINE
DATA PROCESSINGSlide n. 10
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA ARITMETICAβ’ Il calcolo della MEDIA ARTIMETICA di un insieme di dati Γ¨ una operazione
a posteriori, ossia che puΓ² venire effettuata solo dopo che sono disponibili tutti i dati di cui si vuole calcolare il valore medio;
β’ Lβespressione analitica risulta:
π (π )= 1πβπ=1π
π₯ π MEDIAARITMETICA
DATA PROCESSINGSlide n. 11
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA ARITMETICAβ’ Se per il calcolo della media aritmetica si usa un dispositivo di calcolo
numerico bisogna tenere conto della lunghezza di parola finita (8-64 bit);β’ Il valore della sommatoria puΓ² assumere valori troppo elevati (overflow)
per essere rappresentato con la lunghezza di parola del dispositivo di calcolo.
β’ Il valore del termine 1/n puΓ² assumere valori troppo piccoli (underflow) per essere compatibile con la lunghezza di parola.
π (π )= 1πβπ=1π
π₯ πOVER-FLOW
UNDER-FLOW
ESEMPIO HALF 16-bit
Underflow = 5.96 Γ 10β8
Overflow = 65504
DATA PROCESSINGSlide n. 12
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
CALCOLO DEL VALORE MEDIOMETODO ON-LINE
DATA PROCESSING 13
COME CALCOLARE LβANDAMENTO DEL VALORE MEDIO ?
la media aritmetica puΓ² essere calcolata solo per un numero limitato (n) di valori campionati.
Interessa allora effettuare una stima ricorsiva calcolando la media:
β’ minimizzando ad ogni passo la varianza dellβerrore di stima, media adattativa
media aritmetica
tempo
ampi
ezza
β’ su un numero prefissato di valori digitalizzati, media mobile β’ aggiornandone il valore ad ogni passo, media pesata
AUTOMAZIONE 1
DATA PROCESSINGSlide n. 14
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA MOBILEβ’ Il metodo piΓΉ semplice e intuitivo per risolvere il problema dellβoverflow
e dellβunderflow consiste nel limitare a k il numero degli elementi utilizzati per il calcolo del valore medio. In questo modo n puΓ² essere grande a piacere.
β’ Lβespressione analitica della media mobile al passo j risulta:
MEDIA MOBILEπ ( π )= 1π β
π= π
π+πβ1
π₯ π1β€ j β€πβπ+1
DATA PROCESSINGSlide n. 15
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA MOBILEβ’ Il valore di k dati e la durata del transitorio di algoritmo dipendono dalle
caratteristiche statistiche dei dati. In particolare dipendono dalla varianza.β’ A regime la media mobile presenta una dispersione di ampiezza limitata
e con andamento di tipo periodico.β’ Tale approccio richiede una occupazione di memoria di k dati su cui
viene calcolata in forma ricorsiva la media mobile.
ππππβπ β¦ππ
ππ+πππβ¦ππ
ππππβπ β¦ ππβπ+π
PASSO 1
PASSO 2
PASSO n-k+1
REGISTRO DI MEMORIA DI k VALORI
β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦β¦.
DATA PROCESSINGSlide n. 16
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
STIMA DEL VALORE MEDIOMETODO ON-LINE
RICORSIVO
DATA PROCESSINGSlide n. 17
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATAβ’ Per risolvere il problema dellβoccupazione di memoria si puΓ² stimare la
media al passo attuale j conoscendo il valore della media stimato al passo precedente (j-1).
β’ Lβespressione analitica della media pesata al passo j risulta:
MEDIA PESATA
οΏ½ΜοΏ½ ( π )=π ( πβ1)+πΌ(π₯ ( π)β οΏ½ΜοΏ½ ( πβ1))
1β€ j β€π οΏ½ΜοΏ½ (0 )=π 0
DATA PROCESSINGSlide n. 18
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATAβ’ Il valore di a va fissato sulla base della varianza dei dati di cui calcolare la
media.
β’ Da a dipendono sia la durata del transitorio di algoritmo sia lβinevitabile dispersione della stima del valore medio.
β’ Dopo che Γ¨ esaurito il transitorio di algoritmo, la media pesata presenta una dispersione di ampiezza limitata con andamento di tipo periodico.
β’ La media pesata puΓ² essere vista come un sistema controllato con modalitΓ di controllo a controreazione.
DATA PROCESSINGSlide n. 19
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
οΏ½ΜοΏ½ ( πβ1 )
οΏ½ΜοΏ½ ( πβ1 )
οΏ½ΜοΏ½ ( π )π₯ ( π )π₯ ( π+1 ) πΌ
jj+1 j-1
DATA PROCESSINGSlide n. 20
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
οΏ½ΜοΏ½ ( πβ1 )
οΏ½ΜοΏ½ ( πβ1 )
οΏ½ΜοΏ½ ( π )π₯ ( π )π₯ ( π+1 ) πΌ
DATA PROCESSINGSlide n. 21
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATAβ’ Il sistema da controllare Γ¨ caratterizzato da un comportamento dinamico
assimilabile a quello di un integratore, in cui il valore al passo attuale X(j) Γ¨ ottenuto come somma del valore relativo al passo precedente X(j-1) e dellβincremento al passo attuale, ossia (x(j)-X(j-1)), moltiplicato per il guadagno a.
DATA PROCESSINGSlide n. 22
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATAβ’ Per assicurare la stabilitΓ della procedura e per ridurre sia la durata del
transitorio di algoritmo sia lβoscillazione residua, lβunica possibilitΓ Γ¨ quella di agire sul valore da assegnare al guadagno a.
DATA PROCESSINGSlide n. 23
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
EQUIVALENZA MEDIA PESATA β MEDIA ARITMETICAβ’ Se si fa variare il guadagno a ad ogni passo j, ed in particolare si pone:
=
=
=
πΌ=1/ π
DATA PROCESSINGSlide n. 24
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
EQUIVALENZA MEDIA PESATA β MEDIA ARTMETICAβ’ Pertanto al passo j=n avremo:
DATA PROCESSINGSlide n. 25
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
EQUIVALENZA MEDIA PESATA β MEDIA ARTMETICAβ’ Notiamo che al passo n-1, si ha:
=
=
DATA PROCESSINGSlide n. 26
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
EQUIVALENZA MEDIA PESATA β MEDIA ARTMETICA
β’ Sostituendo la seconda nella prima si ha:
οΏ½ΜοΏ½ (π )=[πβ2π ] π (πβ2 )+ 1π π₯ (πβ1 )+ 1π π₯ (π )
DATA PROCESSINGSlide n. 27
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
EQUIVALENZA MEDIA PESATA β MEDIA ARTMETICAβ’ Effettuando h sostituzioni si ottiene:
β’ Effettuando h = n-1 sostituzioni, si ottiene la media aritmetica:
οΏ½ΜοΏ½ (π )=[πβhβ1π ] π (πβhβ1 )+ 1πβπ=1h+1
π₯ (πβπ+1 )
οΏ½ΜοΏ½ (π )= 0π π (0 )+ 1πβπ=1π
π₯ (πβπ+1 )=1πβπ=1π
π₯ (π )=π (π)
DATA PROCESSINGSlide n. 28
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATAβ’ Se
allβaumentare di j il valore di 1/j raggiungere valori che non possono essere rappresentati nel dispositivo di calcolo a causa della limitata lunghezza di parola (underflow).
β’ Occorre allora imporre un minimo al valore che puΓ² essere raggiunto dal guadagno a.
β’ Se tale valore viene fissato fin dal primo passo della procedura ricorsiva, lβandamento della media pesata presenta, oltre al transitorio di algoritmo, anche una oscillazione di tipo periodico.
πΌ=1/ π
DATA PROCESSINGSlide n. 29
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
STIMA DEL VALORE MEDIOMETODO ON-LINE
RICORSIVOMINIMIZZAZIONE ERRORE STIMA
DATA PROCESSINGSlide n. 30
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA ADATTATIVAβ’ Per ridurre gli effetti del transitorio di algoritmo si applica una
procedura di stima ricorsiva del valore medio basata sulla minimizzazione ad ogni passo dellβerrore di stima, chiamata media adattativa..
β’ Lβespressione analitica della media adattativa al passo n risulta:
ππ=ππβ 1+πΌ (π₯π2βππβ 1 )
πΎ (π)=ππβ1
ππ+ππβ1
ππ=ππβ1+πΎ (π) (π₯πβππβ1 )ππ=πΎ (π )ππ
DATA PROCESSINGSlide n. 31
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA ADATTATIVAβ’ Il valore della media calcolato ad ogni passo n Γ¨ influenzato da un errore di
misura e da un errore di stima:
β’ Conviene allora ricavare ad ogni passo quel valore che rende minima la varianza dellβerrore di stima.
β’ CiΓ² Γ¨ ottenuto applicando al calcolo ricorsivo della stima del valore medio la metodologia su cui si basa il filtro di Kalman.
π₯π=πβ+πποΏ½ΜοΏ½ (π )=πβ+ππ
VALORE MISURATO AL PASSO n
STIMA DELLA MEDIA AL PASSO n
MEDIA ESATTA (INCOGNITA)
ERRORE DI MISURA AL PASSO n
ERRORE DI STIMA AL PASSO n
DATA PROCESSINGSlide n. 32
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA ADATTATIVA - ASSUNZIONIβ’ Lβerrore di misura e lβerrore di stima sono variabili aleatorie assimilabili a
rumore bianco a media nulla, ovvero:β’ non presentano periodicitΓ ; β’ non introducono un errore costante (bias).
β’ Lβerrore di misura e lβerrore di stima non sono correlati, pertanto il valore atteso del loro prodotto ha valore nullo.
ππππ
ERRORE DI MISURA AL PASSO n
ERRORE DI STIMA AL PASSO n
DATA PROCESSINGSlide n. 33
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVAβ’ Riprendendo la relazione della media pesata, con peso adattativo,
otteniamo:
β’ Sostituendo nella formula lβerrore di stima e di misura, si ottiene:
β’ Semplificando, si ottiene:
οΏ½ΜοΏ½ (π)=π (πβ1)+πΎ (π)(π₯ (π)β οΏ½ΜοΏ½ (πβ1))
πβ+ππ=πβ+ππβ1+πΎ (π ) ( (πβ+ππ )β ( πβ+ππβ 1) )
ππ=ππβ1+πΎ (π ) (ππβππβ 1 )
DATA PROCESSINGSlide n. 34
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVAβ’ Ricordando che errore di misura e di stima sono variabili aleatorie a valor
medio nullo, la loro varianza Γ¨ il valore atteso del loro quadrato.
β’ Il quadrato dellβerrore di stima Γ¨
DATA PROCESSINGSlide n. 35
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVAβ’ Ricordando che errore di misura e di stima sono variabili aleatore
indipendenti, il valore atteso del prodotto Γ¨ nullo.
β’ La varianza dellβerrore di stima Γ¨:
β’ Posti: si ottiene:
πΈ [ππ2 ]=πΈ [ππβ12 ]+πΎ (π)2πΈ [ππ2 ]+πΎ (π)2πΈ [ππβ 12 ]β2πΎ (π)2πΈ [ππππβ1 ]+2πΎ (π )πΈ [ππππβ1 ]β2πΎ (π)πΈ [ππβ 12 ]πΈ [ππ2 ]=πππΈ [ππ2 ]=ππ
ππ=ππβ1+πΎ (π )2ππ+πΎ (π )2ππβ 1β2πΎ (π)ππβ 1
DATA PROCESSINGSlide n. 36
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVAβ’ Per minimizzare la varianza dellβerrore di stima rispetto a K(n) si dovrΓ
porre:
β’ Ovvero:
πππ
ππΎ (π)=0
πΎ (π )=ππβ 1
ππ+ππβ1
DATA PROCESSINGSlide n. 37
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVAβ’ Sostituendo
β’ Nella equazione:
β’ Si ottiene:
πΎ (π )=ππβ 1
ππ+ππβ1
ππ=ππβ1+πΎ (π )2ππ+πΎ (π )2ππβ 1β2πΎ (π)ππβ 1
ππ=ππβ1+πΎ (π )ππβ 1
ππ+ππβ1(ππ+ππβ 1 )β2πΎ (π) ππβ1
DATA PROCESSINGSlide n. 38
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVAβ’ Continuando:
β’ Sostituendo nuovamente si ottiene:
ππ=ππβ1+πΎ (π )ππβ 1β2πΎ (π) ππβ1
ππ=ππβ1βπΎ (π )ππβ 1=ππβ1 (1βπΎ (π ) )
ππ=ππβ1(1β ππβ 1
ππ+ππβ1)=ππβ1(ππ+ππβ1βππβ 1
ππ+ππβ 1)
ππ=ππ ( ππβ1
ππ+ππβ 1)=πΎ (π)ππ ππ=πΎ (π)ππ
DATA PROCESSINGSlide n. 39
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA PESATA ADATTATIVAβ’ Per determinare la varianza dellβerrore di misura viene applicata la
relazione ricorsiva che fornisce la stima del suo valore medio.
ππ=ππβ1+πΌ (π₯π2βππβ1 ) 0.1<πΌ<0.001
DATA PROCESSINGSlide n. 40
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
STIMA DEL VALORE MEDIOESEMPIO COMPARATIVO
DATA PROCESSINGSlide n. 41
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
ESEMPIO COMPARATIVOβ’ Consideriamo un segnale utile COSTANTE (0.5), a cui si aggiunge un
rumore bianco con escursione Β±0.5. Il segnale complessivo Γ¨ rappresentato in figura in blu. In rosso compare la media aritmetica.
DATA PROCESSINGSlide n. 42
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FINESTRA CON 200 DATI
.6
.3
.4
.5
FINESTRA CON 50 DATI
.7
FINESTRA CON 100 DATI
.6
.3
.4
.5
.7
.6
.3
.4
.5
.7
MEDIA MOBILE
TRANSITORIO DI ALGORITMO
OSCILLAZIONI PERIODICHE
A REGIME
NECESSITΓ FILTROPASSA BASSO
MEDIA ARITMETICA MEDIA MOBILE
MEDIA ARITMETICA MEDIA MOBILE
MEDIA ARITMETICA MEDIA MOBILE
DATA PROCESSINGSlide n. 43
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
.3
.4
.5
.6
.7
.3
.4
.5
.6
.7
.3
.4
.5
.6
.7
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
K= .05
K= .025
K= .01
MEDIA ARITMETICA MEDIA PESATA
MEDIA ARITMETICA MEDIA PESATA
MEDIA ARITMETICA MEDIA PESATA
a=.050
a=.025
a=.010
MEDIA PESATA
TRANSITORIO DI ALGORITMO
OSCILLAZIONI PERIODICHE
A REGIME
NECESSITΓ FILTROPASSA BASSO
DATA PROCESSINGSlide n. 44
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
.3
.4
.5
.6
.7
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
0.5
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000
.05
.10
VARIANZA DELLβERRORE DI STIMA
GUADAGNO
MEDIA ARITMETICA MEDIA ADATTATIVA MEDIA ADATTATIVA
PERICOLO DIUNDEFLOW
DATA PROCESSINGSlide n. 45
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
MEDIA ARITMETICA MEDIA ADATTATIVA
MEDIA ADATTATIVACON GUADAGNO LIMITATO INFERIORMENTE
.3
.4
.5
.6
0 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000 8000 9000 10000
.7
K > .001
DATA PROCESSINGSlide n. 46
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
ESTRAZIONE DEL SEGNALE UTILEAUTOCORRELAZIONE
DATA PROCESSINGSlide n. 47
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
SEGNALE UTILE, DISTURBO E RUMORE
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1ANDAMENTO DEL SEGNALE UTILE
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5ANDAMENTO DEL DISTURBO
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5ANDAMENTO DEL RUMORE
t (sec)
DATA PROCESSINGSlide n. 48
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
SEGNALE MISURATO
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
ANDAMENTO DEI DATI DI PROVA
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1ANDAMENTO DEL SEGNALE UTILE
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5ANDAMENTO DEL DISTURBO
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-0.5
0
0.5ANDAMENTO DEL RUMORE
t (sec)
DATA PROCESSINGSlide n. 49
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5ANDAMENTO DEI DATI DI PROVA E DEL LORO VALORE MEDIO
t (sec)
0 5 10 15 20 25 300
0.1
0.2
ARMONICHE DEI DATDI PROVA
ordine della armonica
CONTENUTO ARMONICO DELSEGNALE MISURATO
NON SI CAPISCE QUALE SIALA BANDA DEL SEGNALE !!!
DATA PROCESSINGSlide n. 50
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5-0.1
0
0.1
0.2ANDAMENTO DELLA AUTOCORRELAZIONE
t (sec)
0 5 10 15 20 25 30
0
0.02
0.04
0.06ARMONICHE DELLA AUTOCORRELAZIONE
ordine della armonica
CONTENUTO ARMONICODEL SEGNALE UTILE !!!
π=2π π/πARMONICA DI ORDINE n
π TEMPO DIOSSERVAZIONEDEI DATI
SPETTRO DI DENSITΓ DI ENERGIA
CONTENUTO ARMONICO DELLA
AUTOCORRELAZIONEDEL SEGNALE
MISURATO
DATA PROCESSINGSlide n. 51
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
RICOSTRUZIONE CON 3 ARMONICHE
t (sec)
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.5
1
RICOSTRUZIONE CON 10 ARMONICHE
t (sec)
VERIFICADEL
CONTENUTO ARMONICO DELLA
AUTOCORRELAZIONEDEL SEGNALE
MISURATO
3 ARMONICHE
10 ARMONICHE
DATA PROCESSINGSlide n. 52
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
ESTRAZIONE DEL SEGNALE UTILEFILTRI PASSA-BASSO
DATA PROCESSINGSlide n. 53
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRO PASSA BASSO IDEALEβ’ Un filtro passa-basso ideale dovrebbe:
1. LASCIARE INALTERATE LE FREQUENZE (IN MODULO E FASE) ENTRO LA BANDA DEL SEGNALE UTILE (BANDA PASSANTE DEL FILTRO)
2. ATTENUARE MASSIMAMENTE LE FREQUENZE OLTRE LA BANDA DEL SEGNALE UTILE (BANDA PASSANTE DEL FILTRO)
DATA PROCESSINGSlide n. 54
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRO PASSA-BASSO IDEALE
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Mag
nitu
de (d
B)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-90
-45
0
45
90
Pha
se (d
eg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
BANDA SEGNALE UTILE
FILTRO PASSA BASSO IDEALE
DATA PROCESSINGSlide n. 55
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
INTRODUCERITARDO DI FASE
IN BANDA
FILTRI DI BUTTERWORTHβ’ Esistono vari filtri in grado di fornire ottime prestazioni come filtri passa-
basso. Ad es. il FILTRO DI BUTTERWORTH
DATA PROCESSINGSlide n. 56
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSELβ’ Per capire come funzionano i filtri di Bessel, chiediamoci che forma
dovrebbe avere la funzione di trasferimento del filtro passa basso ideale.
β’ Il filtro deve avere un guadagno k e una distorsione di fase il piΓΉ possibile Β«piattaΒ» al variare delle frequenze nella banda passante.
β’ Passando nel dominio di Laplace
π’ (π‘ ) FILTRO DIBESSEL
π£ (π‘ ) π£ (π‘ )=ππ’ (π‘β πΏ)
π» (π )=π (π )π (π )
=ππβ π πΏ
DATA PROCESSINGSlide n. 57
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSELβ’ Ricordando le espressioni del seno iperbolico e del coseno iperbolico:
β’ Esplicitiamo lβesponenziale presente nella funzione di trasferimento:
π» (π )=ππβ π πΏ= πhπ ππ (π πΏ )+ hπππ (π πΏ )
hπ ππ (π )=ππ βπβ π 2
πππ h (π )=ππ +πβ π 2
DATA PROCESSINGSlide n. 58
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSELβ’ Lo sviluppo in serie di Taylor del seno e del coseno iperbolico sono:
β’ Blocchiamo ad n lo sviluppo in serie.
hπ ππ (π )=π + π 3
3 !+π 55 !
+β¦+π 2h+1
(2h+1 ) !+β¦
πππ h (π )=1+ π 2
2 !+π 44 !
+β¦+π 2h
(2h )!+β¦
hπ ππ (π )β βh=0
π π 2h+ 1(2h+1 )!
πππ h (π )β βh=0
π π 2h(2h )!
DATA PROCESSINGSlide n. 59
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSELβ’ Sostituendo nella funzione di trasferimento:
β’ Si puΓ² dimostrare che:
π» (π )β π»π (π )= π
βh=0
π (π πΏ )2h+1
(2h+1 ) !+βh=0
π (π πΏ )2h
(2h )!
π»π (π )=π΅0 (π )π΅π (π ) dove
DATA PROCESSINGSlide n. 60
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSELβ’ Passando nel dominio della frequenza:
β’ Questa funzione di trasferimento ha un guadagno costante e una fase che varia linearmente con la pulsazione:
β’ La velocitΓ di fase Γ¨ costante e puΓ² essere scelta piccola a piacere, per avere una variazione di fase minima allβinterno della banda passante:
π ( ππ )=ππΏ
ππ ( π π )ππ =πΏ
π» ( ππ )=ππβ π ππΏ
DATA PROCESSINGSlide n. 61
Suraci A.A. 2012/2013 AUTOMAZIONE 1
FILTRI DI BESSELI filtri di Bessel hanno un buon comportamento passa-basso.
I filtri di Bessel hanno la massima linearitΓ nella risposta in fase (nella banda passante).