Problema Inverso de Divisores elementales para MatricesNo Negativas
Jaime Alfaro
Universidad Católica del Norte
December 9, 2014
Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 1 / 21
Ejemplo Forma Canónica de Jordan
ExampleSea A la siguiente matriz
A=
2666666664
4 0 1 01 1 1 �10 �2 3 �1�1 2 �1 4
3777777775
Su polinomio caracteristico es P4(λ) = (λ� 3)4 y, por tanto, λ1 = 3 conm1 = 4 es el único valor de A. Si B = A� 3I4 tenemos
B =
26641 0 1 01 �2 1 �10 �2 0 �1�1 2 �1 1
3775 B2 =
26641 �2 1 �10 0 0 0�1 2 �1 10 0 0 0
3775 B3 = O4
es decir, B es nilpotente con índice de nilpotencia p = 3.Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 2 / 21
Ejemplo Forma Canónica de Jordan
Example (!)Dado que rg(B) = 2, rg(B2) = 1 y rg(B3) = 0 veri�camos
n1 = dim[KerB ] = 4� 2 = 2n2 = dim[KerB2] = 4� 1 = 3n3 = dim[KerB3] = 4� 0 = 4n4 = dim[KerB4] = 4� 0 = 4
y
d1 = n1 = 2
d2 = n2 � n1 = 1d3 = n3 � n2 = 1d4 = n4 � n3 = 0.
Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 3 / 21
Ejemplo Forma Canónica de Jordan
Example (!)Por tanto, el número de bloques elementales de la matriz J(B) es 2 lo quese comprueba de la siguiente forma
d1 � d2 = 1
d2 � d3 = 0
d3 � d4 = 1
donde tenemos un bloque de orden 3 y un bloque de orden 1. Así lamatriz J(B)
J(B) =
26640 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0
3775y como B = A� 3I4Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 4 / 21
Ejemplo Forma Canónica de Jordan
Example (!)entonces tenemos
J(A) = J(B) + 3I4 =
26643 1 0 00 3 1 00 0 3 00 0 0 3
3775que es la Forma Canónica de Jordan de A.La base ßde R4 de la cual son la columna de la matriz M y viene dadapor los vectores
v1Bv1B2v1 v2
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Ejemplo Forma Canónica de Jordan
Example (!)con v1, v2 2 R4 no nulos tales que
v1 /2 Ker(B2)
v2 2 Ker(B2), v2 2 Ker(B) y v2 /2B2v1
�Por consiguiente, como
Ker(B) = f(x1, x2, x3, x4) 2 R4 : x1 + x3 = 0, 2x2 + x4 = 0gKer(B2) = f(x1, x2, x3, x4) 2 R4 : x1 � 2x2 + x3 � x4 = 0g
podemos elegir
v1 = (1, 0, 0, 0)
Bv1 = (1, 1, 0,�1)B2v1 = (1, 0,�1, 0)
Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 6 / 21
Ejemplos Forma Canónica de Jordan
Example (!)y un posible elección del vector v2 es
v2 = (0, 1, 0,�2).
Por tanto nuestra base sera
B = fB2v1,Bv1, v1, v2g
y, en efecto, tenemos
M =
26641 1 1 00 1 0 1�1 0 0 00 �1 0 �2
3775 y M�1 =
26640 0 �1 00 2 0 11 �2 1 �10 �1 0 �1
3775Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 7 / 21
Ejemplos de Pertubación
Example (!)
donde
M�1BM=
2666666664
0 0 �1 00 2 0 11 �2 1 �10 �1 0 �1
3777777775
2666666664
1 0 1 01 �2 1 �10 �2 0 �1�1 2 �1 1
3777777775
2666666664
1 1 1 00 1 0 1�1 0 0 00 �1 0 �2
3777777775=J (B )
M�1AM=
2666666664
0 0 �1 00 2 0 11 �2 1 �10 �1 0 �1
3777777775
2666666664
4 0 1 01 1 1 �10 �2 3 �1�1 2 �1 4
3777777775
2666666664
1 1 1 00 1 0 1�1 0 0 00 �1 0 �2
3777777775=J (A)
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Ejemplo Perturbación
ExampleSea T y S de la forma
T =
247 4 20 �2 �60 �3 �5
35 y S =
241 3 21 1 51 4 7
35donde S�1 es
S�1 =
24 1 1 �1213 � 5
13313
� 313
113
213
35
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Ejemplo Perturbación
Example (!)por lo tanto241 3 2
1 1 51 4 7
35247 4 20 �2 �60 �3 �5
3524 1 1 �1213 � 5
13313
� 313
113
213
35 =24 15313 105
13 � 16713
15213
12713 � 188
1321213
15913 � 280
13
35donde claramente STS�1 2 CS724 15313 105
13 � 16713
15213
12713 � 188
1321213
15913 � 280
13
3524111
35 =24777
35
Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 10 / 21
Ejemplo Teorema de Brauer
ExamplesSea A la siguiete matriz24 1 2 0
0 2 0�2 �2 �1
35 con autovalores 2, 1,�1,y el vector xT = (1, 0,�1) correspondiente al autovalor a 1 y seaq = (2, 4,�3) entonces
A+ xqT =
24 1 2 00 2 0�2 �2 �1
35+24 10�1
35 �2 4 �3�=
24 3 6 �30 2 0�4 �6 2
35
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Ejemplo Teorema de Brauer
Example (!)La cual tiene autovalores
2, 1+ xT q,�1
2, 1+�1 0 �1
� 24 24�3
35 ,�12, 1+ 5,�12, 6,�1
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Ejemplo Teorema de Rado
ExampleSea A la matriz
A =
24 1 2 00 2 0�2 �2 �1
35 con autovalores 2, 1,�1,
vamos a pertubar los dos primeros autovalores donde
x1 =
24�1� 121
35! 2
x2 =
24�101
35! 1
Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 13 / 21
Example (!)
Por lo tanto sea X =� jx1j
jx2j
�y C =
�3 �1 42 1 �3
�, entonces
A+ XC =
24 1 2 00 2 0�2 �2 �1
35+24�1 �1� 12 01 1
35 �2 �1 42 1 �2
�
=
24 1 2 00 2 0�2 �2 �1
35+24�4 0 �2�1 1
2 �24 0 2
3524�3 2 �2�1 5
2 �22 �2 1
35,tiene como autovalores 3,� 3
2 ,�1,
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Example (!)lo cual los primeros autovalores son de la matriz
D + CX =
�2 00 1
�+
�2 �1 42 1 �2
� 24�1 �1� 12 01 1
35=
�2 00 1
�+
� 52 2� 92 �4
�� 92 2� 92 �3
�
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Ejemplo Suleimanova Complejo
Example
Sea Λ = f9,�2,�2,�1+ i ,�1+ i ,�1� i ,�1� ig dado.Construiremos una matriz no negativa con espectro Λ y divisoreselementales (λ� 9), (λ+ 2)2, (λ+ 1� i)2, (λ+ 1+ i)2. Usando la Sde�nida , C = E23 + E56 y ε = 1, tenemos
B 0=S D S�1=S
266666666666664
9 0 0 0 0 0 00 �2 0 0 0 0 00 0 �2 0 0 0 00 0 0 �1 �1 0 00 0 0 1 �1 0 00 0 0 0 0 �1 �10 0 0 0 0 1 �1
377777777777775S�1
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Ejemplo Suleimanova Complejo
Example (!)y
B=B 0+SCS�1=
2666666666666666666664
9 0 0 0 0 0 010 �2 1 0 0 0 011 0 �2 0 0 0 011 0 0 �1 �1 0 08 0 0 1 �1 1 011 0 0 0 0 �1 �19 0 0 0 0 1 �1
3777777777777777777775.
Entonces
A=B+e(�8,2,2,1,1,1,1)=
2666666666666666666664
1 2 2 1 1 1 12 0 3 1 1 1 13 2 0 1 1 1 13 2 2 0 0 1 10 2 2 2 0 2 13 2 2 1 1 0 01 2 2 1 1 2 0
3777777777777777777775
tiene los divisores elementales prescritos.
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Ejemplo
Examples
Sea (λ� 7.5), (λ� 5), (λ� 1)2, (λ+ 4)2, (λ+ 6)2 divisores elementalesdados. Luego, sea Λ = f7.5, 5, 1, 1,�4,�4,�6g yΓ = f7, 5, 1, 1,�4,�4,�6g. En (Soto, Rojo Moro Y Borobia Teorma 3.1,Ejemplo 5.2) muestra que Γ es el espectro de una matriz simetrica nonegativa
B =
2666666666664
0 6p1010
p1010
p1010
p1010
p1010
6 0p1010
p1010
p1010
p1010
p1010p
1010
p1010 0 3+
p5
23�p5
23�p5
23+p5
2p1010
p1010
3+p5
2 0 3+p5
23�p5
23�p5
2p1010
p1010
3�p5
23+p5
2 0 3+p5
23�p5
2p1010
p1010
3�p5
23�p5
23+p5
2 0 3+p5
2p1010
p1010
3+p5
23�p5
23�p5
23+p5
2 0
3777777777775Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 18 / 21
Ejemplo
Examples (!)Ya que B 0 es irreducible, entonces para cualquier δ > 0.
B = B 0 +δ
vT vvvT , donde vT=
�12
p10 1
2
p10 1 1 1 1 1
�es el
autovector de Perron de B 0. B es una matriz positiva con espectro Λδ =f7+ δ, 5, 1, 1,�4,�4,�6g y con cualquier divisores elemental prescrito.En particular, para δ =
12tenemos
B =
266666666664
18
498
18
p10 1
8
p10 1
8
p10 1
8
p10 1
8
p10
498
18
18
p10 1
8
p10 1
8
p10 1
8
p10 1
8
p10
18
p10 1
8
p10 1
2031+10
p5
2031�10
p5
2031�10
p5
2031+10
p5
2018
p10 1
8
p10 31+10
p5
20120
31+10p5
2031�10
p5
2031�10
p5
2018
p10 1
8
p10 31�10
p5
2031+10
p5
20120
31+10p5
2031�10
p5
2018
p10 1
8
p10 31�10
p5
2031�10
p5
2031+10
p5
20120
31+10p5
2018
p10 1
8
p10 31+10
p5
2031�10
p5
2031�10
p5
2031+10
p5
20120
377777777775Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 19 / 21
Ejemplo
Examples (!)y SBS�1 = diagf7.5, 5, 1, 1,�4,�4,�6g , donde las columnas de S sonautovectores de B, es la FCJ de B. Si denotamos aC = E34 + E56, entonces la matriz positiva
A = B +120SCS�1
=
2666666666666666666666664
18
498
18
p10 1
8
p10 1
8
p10 1
8
p10 1
8
p10
498
18
18
p10 1
8
p10 1
8
p10 1
8
p10 1
8
p10
18
p10 1
8
p10 9+
p3
200309+101
p5
200137�49
p5
100309�101
p5
200209+97
p5
20018
p10 1
8
p10 311+99
p5
20011+
p5
200311+101
p5
200311�101
p5
200153�50
p5
10018
p10 1
8
p10 77�25
p5
50313+99
p5
2004�p5
25154�51
p5
100313�99
p5
20018
p10 1
8
p10 315�99
p5
200305�103
p5
20031+10
p5
20120
155+51p5
10018
p10 1
8
p10 307+99
p5
200156+49
p5
100307�101
p5
20078+25
p5
50350
3777777777777777777777775
Example.
Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 20 / 21
Ejemplo
Example (!)tiene divisores elementales (λ� 7.5), (λ� 5), (λ� 1)2, (λ+ 4)2, (λ+ 6)2.
Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 21 / 21