Ejemplo saaaaaa

Problema Inverso de Divisores elementales para MatricesNo Negativas

Jaime Alfaro

Universidad Católica del Norte

December 9, 2014

Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 1 / 21

Ejemplo Forma Canónica de Jordan

ExampleSea A la siguiente matriz

A=

2666666664

4 0 1 01 1 1 �10 �2 3 �1�1 2 �1 4

3777777775

Su polinomio caracteristico es P4(λ) = (λ� 3)4 y, por tanto, λ1 = 3 conm1 = 4 es el único valor de A. Si B = A� 3I4 tenemos

B =

26641 0 1 01 �2 1 �10 �2 0 �1�1 2 �1 1

3775 B2 =

26641 �2 1 �10 0 0 0�1 2 �1 10 0 0 0

3775 B3 = O4

es decir, B es nilpotente con índice de nilpotencia p = 3.Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 2 / 21


Example (!)Dado que rg(B) = 2, rg(B2) = 1 y rg(B3) = 0 veri�camos

n1 = dim[KerB ] = 4� 2 = 2n2 = dim[KerB2] = 4� 1 = 3n3 = dim[KerB3] = 4� 0 = 4n4 = dim[KerB4] = 4� 0 = 4

y

d1 = n1 = 2

d2 = n2 � n1 = 1d3 = n3 � n2 = 1d4 = n4 � n3 = 0.



Example (!)Por tanto, el número de bloques elementales de la matriz J(B) es 2 lo quese comprueba de la siguiente forma

d1 � d2 = 1

d2 � d3 = 0

d3 � d4 = 1

donde tenemos un bloque de orden 3 y un bloque de orden 1. Así lamatriz J(B)

J(B) =

26640 1 0 00 0 1 00 0 0 00 0 0 0

3775y como B = A� 3I4Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 4 / 21


Example (!)entonces tenemos

J(A) = J(B) + 3I4 =

26643 1 0 00 3 1 00 0 3 00 0 0 3

3775que es la Forma Canónica de Jordan de A.La base ßde R4 de la cual son la columna de la matriz M y viene dadapor los vectores

v1Bv1B2v1 v2



Example (!)con v1, v2 2 R4 no nulos tales que

v1 /2 Ker(B2)

v2 2 Ker(B2), v2 2 Ker(B) y v2 /2B2v1

�Por consiguiente, como

Ker(B) = f(x1, x2, x3, x4) 2 R4 : x1 + x3 = 0, 2x2 + x4 = 0gKer(B2) = f(x1, x2, x3, x4) 2 R4 : x1 � 2x2 + x3 � x4 = 0g

podemos elegir

v1 = (1, 0, 0, 0)

Bv1 = (1, 1, 0,�1)B2v1 = (1, 0,�1, 0)


Ejemplos Forma Canónica de Jordan

Example (!)y un posible elección del vector v2 es

v2 = (0, 1, 0,�2).

Por tanto nuestra base sera

B = fB2v1,Bv1, v1, v2g

y, en efecto, tenemos

M =

26641 1 1 00 1 0 1�1 0 0 00 �1 0 �2

3775 y M�1 =

26640 0 �1 00 2 0 11 �2 1 �10 �1 0 �1

3775Universidad Católica del Norte (UCN) NIEDP December 9, 2014 7 / 21

Ejemplos de Pertubación

Example (!)

donde

M�1BM=

2666666664

0 0 �1 00 2 0 11 �2 1 �10 �1 0 �1

3777777775

2666666664

1 0 1 01 �2 1 �10 �2 0 �1�1 2 �1 1

3777777775

2666666664

1 1 1 00 1 0 1�1 0 0 00 �1 0 �2

3777777775=J (B )

M�1AM=

2666666664

0 0 �1 00 2 0 11 �2 1 �10 �1 0 �1

3777777775

2666666664

4 0 1 01 1 1 �10 �2 3 �1�1 2 �1 4

3777777775

2666666664

1 1 1 00 1 0 1�1 0 0 00 �1 0 �2

3777777775=J (A)


Ejemplo Perturbación

ExampleSea T y S de la forma

T =

247 4 20 �2 �60 �3 �5

35 y S =

241 3 21 1 51 4 7

35donde S�1 es

S�1 =

24 1 1 �1213 � 5

13313

� 313

113

213

35


Ejemplo Perturbación

Example (!)por lo tanto241 3 2

1 1 51 4 7

35247 4 20 �2 �60 �3 �5

3524 1 1 �1213 � 5

13313

� 313

113

213

35 =24 15313 105

13 � 16713

15213

12713 � 188

1321213

15913 � 280

13

35donde claramente STS�1 2 CS724 15313 105

13 � 16713

15213

12713 � 188

1321213

15913 � 280

13

3524111

35 =24777

35


Ejemplo Teorema de Brauer

ExamplesSea A la siguiete matriz24 1 2 0

0 2 0�2 �2 �1

35 con autovalores 2, 1,�1,y el vector xT = (1, 0,�1) correspondiente al autovalor a 1 y seaq = (2, 4,�3) entonces

A+ xqT =

24 1 2 00 2 0�2 �2 �1

35+24 10�1

35 �2 4 �3�=

24 3 6 �30 2 0�4 �6 2

35


Ejemplo Teorema de Brauer

Example (!)La cual tiene autovalores

2, 1+ xT q,�1

2, 1+�1 0 �1

� 24 24�3

35 ,�12, 1+ 5,�12, 6,�1


Ejemplo Teorema de Rado

ExampleSea A la matriz

A =

24 1 2 00 2 0�2 �2 �1

35 con autovalores 2, 1,�1,

vamos a pertubar los dos primeros autovalores donde

x1 =

24�1� 121

35! 2

x2 =

24�101

35! 1


Example (!)

Por lo tanto sea X =� jx1j

jx2j

�y C =

�3 �1 42 1 �3

�, entonces

A+ XC =

24 1 2 00 2 0�2 �2 �1

35+24�1 �1� 12 01 1

35 �2 �1 42 1 �2

�

=

24 1 2 00 2 0�2 �2 �1

35+24�4 0 �2�1 1

2 �24 0 2

3524�3 2 �2�1 5

2 �22 �2 1

35,tiene como autovalores 3,� 3

2 ,�1,


Example (!)lo cual los primeros autovalores son de la matriz

D + CX =

�2 00 1

�+

�2 �1 42 1 �2

� 24�1 �1� 12 01 1

35=

�2 00 1

�+

� 52 2� 92 �4

�� 92 2� 92 �3

�


Ejemplo Suleimanova Complejo

Example

Sea Λ = f9,�2,�2,�1+ i ,�1+ i ,�1� i ,�1� ig dado.Construiremos una matriz no negativa con espectro Λ y divisoreselementales (λ� 9), (λ+ 2)2, (λ+ 1� i)2, (λ+ 1+ i)2. Usando la Sde�nida , C = E23 + E56 y ε = 1, tenemos

B 0=S D S�1=S

266666666666664

9 0 0 0 0 0 00 �2 0 0 0 0 00 0 �2 0 0 0 00 0 0 �1 �1 0 00 0 0 1 �1 0 00 0 0 0 0 �1 �10 0 0 0 0 1 �1

377777777777775S�1


Ejemplo Suleimanova Complejo

Example (!)y

B=B 0+SCS�1=

2666666666666666666664

9 0 0 0 0 0 010 �2 1 0 0 0 011 0 �2 0 0 0 011 0 0 �1 �1 0 08 0 0 1 �1 1 011 0 0 0 0 �1 �19 0 0 0 0 1 �1

3777777777777777777775.

Entonces

A=B+e(�8,2,2,1,1,1,1)=

2666666666666666666664

1 2 2 1 1 1 12 0 3 1 1 1 13 2 0 1 1 1 13 2 2 0 0 1 10 2 2 2 0 2 13 2 2 1 1 0 01 2 2 1 1 2 0

3777777777777777777775

tiene los divisores elementales prescritos.


Ejemplo

Examples

Sea (λ� 7.5), (λ� 5), (λ� 1)2, (λ+ 4)2, (λ+ 6)2 divisores elementalesdados. Luego, sea Λ = f7.5, 5, 1, 1,�4,�4,�6g yΓ = f7, 5, 1, 1,�4,�4,�6g. En (Soto, Rojo Moro Y Borobia Teorma 3.1,Ejemplo 5.2) muestra que Γ es el espectro de una matriz simetrica nonegativa

B =

2666666666664

0 6p1010

p1010

p1010

p1010

p1010

6 0p1010

p1010

p1010

p1010

p1010p

1010

p1010 0 3+

p5

23�p5

23�p5

23+p5

2p1010

p1010

3+p5

2 0 3+p5

23�p5

23�p5

2p1010

p1010

3�p5

23+p5

2 0 3+p5

23�p5

2p1010

p1010

3�p5

23�p5

23+p5

2 0 3+p5

2p1010

p1010

3+p5

23�p5

23�p5

23+p5

2 0


Ejemplo

Examples (!)Ya que B 0 es irreducible, entonces para cualquier δ > 0.

B = B 0 +δ

vT vvvT , donde vT=

�12

p10 1

2

p10 1 1 1 1 1

�es el

autovector de Perron de B 0. B es una matriz positiva con espectro Λδ =f7+ δ, 5, 1, 1,�4,�4,�6g y con cualquier divisores elemental prescrito.En particular, para δ =

12tenemos

B =

266666666664

18

498

18

p10 1

8

p10 1

8

p10 1

8

p10 1

8

p10

498

18

18

p10 1

8

p10 1

8

p10 1

8

p10 1

8

p10

18

p10 1

8

p10 1

2031+10

p5

2031�10

p5

2031�10

p5

2031+10

p5

2018

p10 1

8

p10 31+10

p5

20120

31+10p5

2031�10

p5

2031�10

p5

2018

p10 1

8

p10 31�10

p5

2031+10

p5

20120

31+10p5

2031�10

p5

2018

p10 1

8

p10 31�10

p5

2031�10

p5

2031+10

p5

20120

31+10p5

2018

p10 1

8

p10 31+10

p5

2031�10

p5

2031�10

p5

2031+10

p5

20120


Ejemplo

Examples (!)y SBS�1 = diagf7.5, 5, 1, 1,�4,�4,�6g , donde las columnas de S sonautovectores de B, es la FCJ de B. Si denotamos aC = E34 + E56, entonces la matriz positiva

A = B +120SCS�1

=

2666666666666666666666664

18

498

18

p10 1

8

p10 1

8

p10 1

8

p10 1

8

p10

498

18

18

p10 1

8

p10 1

8

p10 1

8

p10 1

8

p10

18

p10 1

8

p10 9+

p3

200309+101

p5

200137�49

p5

100309�101

p5

200209+97

p5

20018

p10 1

8

p10 311+99

p5

20011+

p5

200311+101

p5

200311�101

p5

200153�50

p5

10018

p10 1

8

p10 77�25

p5

50313+99

p5

2004�p5

25154�51

p5

100313�99

p5

20018

p10 1

8

p10 315�99

p5

200305�103

p5

20031+10

p5

20120

155+51p5

10018

p10 1

8

p10 307+99

p5

200156+49

p5

100307�101

p5

20078+25

p5

50350

3777777777777777777777775

Example.


Ejemplo

Example (!)tiene divisores elementales (λ� 7.5), (λ� 5), (λ� 1)2, (λ+ 4)2, (λ+ 6)2.


Documents

Ejemplo saaaaaa