Esercizi svolti e commentati
Equazioni differenziali
y
unf " ti
µFHI
" "
¥kFe
×
mi Htt pyltttkyltt = FHI
Yiusyye E gentile
Equazioni differenziali ordinarie del
primo ordine ( EDO E)
Sono equazioni differenziali della forma :
Metodi risolutivi :
µ'
= flyigki →
"
variabili separabili"
y ! alxiytbki →
"
variazione delle costanti "
i )"
Variabili Separabili"
Y= fiyi qui
e) Cerco le soluzioni costanti dell'eg.me
differenziale ossia i valori I di yte
.
fiyi= o.
In tal caso diremo che
4=5 è soluzione costantedella
equazione ,
2) Per y # I separo le variabili i
È = fiyigcxi ⇒ fa,= guida ⇒
| ft,=) guide ⇒ ftp.GKI te
dove Fly ) è una primitiva di fy )
e Glx ) è una primitiva di jki .
A questo punto ricavo la y :
y = F-i( GIN te )
.
il"
Variazione delle costanti"
y'
IN = aut y t bki
Esercizio 1
Risolvere la seguente equazione differenziale :
Y'
-3×4=0
° Svolgimento
y'
-3×4=0 ⇒ y'
= ¥27
1) Cerco le soluzioni costanti :
Y = o è soluzione costante dell'equazione ,
2) Pery # o separiamo le variabili
È = 3×4 ⇒ Ho=)sede ⇒ln 3¥ te ⇒
⇒
*È"
⇒
yiè:{ ⇒ y.ee"
avendo tolto il modulo dal momento che
la costante e è incognita .
Formule utilizzate :
| f- dy =
lnlyltelgba = e ⇒ be =
apologia=p
ab.ae =abte
Esercizio 14
Risolvere il seguente problema di Cauchy :
{ It I = È(6) = 1
° Svolgimento
Riscrivo l' equazione differenziale :
Y'
= - ÷ , y t ¥alx )
bk )
L' equazione differenziale è della forma
y'
= alxiy t bki i la soluzione dell' annesso
problema di Cauchy esiste unica.
Risolvo l' equazione differenziale .
La soluzione dell' equazione differenzialeè data da :
qui = la " ' [ Ct fbixièa " dx )
con
Andre di.
Calcoliamo i vari termini della soluzione :
Aei =/ dx = - ) dy = - luke - site , =
8= - ln (2×1-3) fui
Il modulo è stato eliminato dal momento
che la Condizione al contorno qui = 1 è
data per × > - E lx -
. r ).
| bei è" "
di =/ È ètlnlzxtsildx=
= ) È,
ehi " × » ) dx = ) Ie lzxtsidx =
= s ) dx= s ) de
Il denominatore ha due zeri di molteplicità
algebrica i :
= # + È :a '
=
=( AtB) xtz A - ZB
( x - 2) ( xtz )
Per il principio di identità dei polinomi :
{At B = a ⇒ A = 2 - B ⇒ A = 2- fa ⇒ A. È
2A - ZB =3 ⇒ 4 - 2 B - ZB =3 ⇒ - 4 D= -1 ⇒ D= È
Equazioni differenziali di Bernoulli
Un'equazione differenziale del I ordine è detta
di Bernoulli se è della forma :
Y'
IN = alxiyixitblxiycxi'
o, più brevemente
,
y'
= any t blu y'
.
Per risolvere tale equazione differenziale procediamo
nel seguente modo :
1) divido Tutto per y'
( assumendo y # o se ero )
%a= alxiy
' - atblx ,
2)pongo zlxi = = y
' - a
3) deriva Zlx ) :
Esercizio 5
Risolvere il seguente problema di Cauchy :
{Y
'= y -
zxy'
7111 = 1
° Svolgimento
Risolvo l'equazione differenziale .
E'
un'equazione differenziale di Bernoulli.
Assumendo y'
to ⇒ y # o,
divido Tutto per
ys :
y'
I= § - zx
Pongo Z IN = fa .
Derivando si ha Z'
IN =- ZY
-3. y
'= - 2% ,
da
cui ff,=
-
È¥ .
Sostituendo nell' equazione
differenziale si ha
- Z'
¥ = Zlx ) - 2 × ⇒ Z'
lx ) = - 2 Zlx ) t 4 X.
Risolvo tale equazione differenziale con
il metodo di variazione delle costanti :
2-'
I × ) = - 2 Z l × ) t 4 X- -
a lei blx )
Zlx ) : la " ' [ Ct fbcx, e-a ' " dx )
,con
Aki = falxidx
A KI = ) - 2 dx = - 2 x te
| bui e- " "
dx = ) 4x e"
dx ⇒ Risolvo per
parti :
figIi
4 × - ) 4 dx = zxe"
- 4 te =
Equazioni differenziali del I ordine a
coefficienti costanti
Sono equazioni differenziali delle forma
ay"
tby '
tey = fui ,a
,b. CEIR
Vediamo come si risolvono.
1) Risolvo l'equazione omogenea
associata
ay"
t by '
tey i o
La soluzione è un' esponenziale della forma
YKI - Cèx
Sostituendo Tale soluzione nell' equazione
omogeneaotteniamo un'equazione algebrica :
Esercizio 2
Risolvere la seguente equazione differenziale :
y"
vi ty LH = It 1
• Svolgimento1) Risolvo l' equazione omogenea
associata :
y"
t y= o yn
e"
I t 1 = o ⇒ d' = - i ⇒ Ì= il ⇒ i = I i
La soluzione dell' omogenea è data dai
Yak ) = Ci cose lei t la sink )
2) Cerco la soluzione particolare
fui = è te è un polinomio di è grado .
Poiche '
nell' equazione differenziale compareil termine
"
y"
,cerchiamo la particolare fui come un
polinomio di è grado :
[ lei = Lo t di X t 22 X?
Per determinare i coefficienti ao, ai ,
ar
sostituiamo fui nell' equazione differenziale .
[ lei = Lo t di X t 22 X?
]'
vi = di t 222 X
y"
lei = 2 a 2
Sostituendo nell' equazione differenziale di
partenza si ha :
2 22 t do t 21 X t RZX?
= Xl t 1
22 X?
t 21 X t ho t 222 = X?
t 1
Equazioni differenziali ordinarie di ordine
maggiore o uguale a z.
Ln Ylntlx , tanti" "
IN t. . .tazy
"kit di Y'
kit Roy IN = fu
1) Risolvo l' equazione omogenea
any"
tanti yn.it . . . t azy"
t di y'
t ao Y= o
Sappiamo che le soluzioni sono della
forma qui ~ e"
da cui i
an t anni In-
it. . . t ha It and t Lo = o
Risolvendo l' equazione trovo i valori di
li a
ognunodi tali i corrisponde una
soluzione dell' equazione differenziale .
• Se
diha molteplicità algebrica pari
a 1 la soluzione corrispondente èYilx) = Coeli ×
• se di ha molteplicità algebrica m
la soluzione associata è :
Yi le ) = ( Cit liti × t. . .
+ Citm. , ×
" ' ) ehi ×
-Sonom Termini
• Se di sono soluzioni complesse coniugate ,
cioè della forma di = µ
,
± in
←Parte Reale Parte
immaginaria
la soluzioneomogenea
associata è
Yi vi = µ"
( le cos lwxlt la sinlwx ) )
La soluzione omogenea Totale è
data dalla somma delle soluzioni
associate a Tutti i hi.