面積速度~運動方程式中心力が作用するモデルを考える
となる。
方向の式に着目し、
( )f r
r
( )rma f r= −
0ma =
2
22 0
dr d dm r
dt dt dt
+ =
210
d dm r
r dt dt
=
2 .d
r constdt
=
o
m運動方程式は
a を代入すると 一般的な極座標表示 (加速度)
22
2r
d r da r
dt dt
= −
2
22
dr d da r
dt dt dt
= +
190704-01
面積速度~運動方程式面積速度:
よって、面積は
動径によって面積が描かれる速さは
S
t
動径ベクトルが単位時間に描く面積
r r+
Q
r
Po
Q
P
o
面積 oPQ に着目すると
( )1
sin2
S r r r = +
t
or
Q
P
とみなすことができる。
r r+
( )sinr r +
を無限小にした時の
の極限値で与えられる。
190704-02
面積速度~運動方程式この極限を考えると この式と、
従って、
となる。
21.
2
dS dr const
dt dt
= =
どんな中心力であっても
面積速度が一定である。
ケプラーの第2法則
方向の運動方程式を
となる。
( )
0 0
1sin
2lim limt t
r r rS
t t
→ →
+
=
0
11 sin
2limt
rr r
r
t
→
+ =
2
0
1 sinlim 1
2t
rr
t r
→
= +
21
2
dS dr
dt dt
=
2 .d
r constdt
=
比較すると
21.
2
dS dr const
dt dt
= =
190704-03
面積速度~万有引力太陽のまわりを回る惑星のモデルを考える
となる。
方向の式に着目し、
( )f r
r
2r
Mmma G
r= −
0ma =
2
22 0
dr d dm r
dt dt dt
+ =
210
d dmr
r dt dt
=
2 ( .)d
mr L constdt
=
o
m
運動方程式は
a を代入すると一般的な極座標表示 (加速度)
22
2r
d r da r
dt dt
= −
2
22
dr d da r
dt dt dt
= +
M
太陽の質量を 、惑星の質量を とする。mM
190704-04
面積速度~万有引力面積速度を考えると r一方、
示していて、ケプラーの第2法則に
と表される。sin
dv dmv mgl
dt dt
= −
が得られる。これは面積速度が一定であることを
方向の運動方程式は
相当する。の円であると近似する。
21
2
dS dr
dt dt
=
2 dmr L
dt
=
212 2
2
dS dm m r
dt dt
=
2
dS L
dt m=
22
2 2
d r d Mmm r G
dt dt r
− = −
22
2 2 2
d r L Mmm r G
dt mr r
− = −
2
2 3 2
d r L Mmm G
dt mr r− = −
実際の惑星の軌道は楕円であるが、
円からのずれが小さいことを考慮し、
軌道を半径 a
190704-05
面積速度~万有引力よって、 従って、
は
となり
が得られる。
公転周期
と表される。
となる。この式は
と変形でき、これは
に相当することを意味している。
0dr
dt=
2
3 2
L MmG
ma a=
2 2L GMm a=
T
2 2 22
2
a a m aT
dS L L
dt m
= = =
2
2
2m aT
GMm a
=
3
22
aGM
=
ケプラーの第3法則
「惑星の周期の二乗は長半径の三乗に比例する」
22 34
T aGM
=
190704-06
万有引力~エネルギー質量 両辺に
r
vr
m
の
運動方程式は
と表される。
とする。
2
dv Mm rm G
dt r r= −
となる。
天体と人工衛星の距離を
drv
dt=
でまわっている。
の天体のまわりを質量M m人工衛星が速度 v
r
( )f rM
( )dv r
m f rdt r
= −
の内積を取ると
2
dv Mm rm G
dt r
drv
dt r = −
2 2
3
1 1
2 2
d Mm dm v G r
dt r dt
= −
2
3
1 12
2 2
d Mm drmv G r
dt r dt
= −
21
2
d d Mmmv G
dt dt r
=
210
2
d Mmmv G
dt r
− =
190704-07
万有引力~エネルギー途中計算について
と表される。
ここで と書き変えると
と表される。
( )d dv dv
v v v vdt dt dt
= +
( )cos0 2d dv
v v vdt dt
=
( )22
d dvv v
dt dt=
2 2v v=
21
2
dv dv v
dt dt
=
( )d dr dr
r r r rdt dt dt
= +
( )cos0 2d dr
r r rdt dt
=
( )22
d drr r
dt dt=
ここで と書き変えると2 2r r=
21
2
dr dr r
dt dt
=
190704-08
万有引力による位置エネルギー
万有引力~エネルギー従って、
となり、エネルギー保存則が成立する。
210
2
d Mmmv G
dt r
− =
21.
2
Mmmv G const
r− =
21.
2
Mmmv G const
r
+ − =
運動エネルギー
となる
エネルギーの式について、
基準点について
210
2
Mmmv G
r
+ − =
の点を基準として扱う。r = 無限遠
r
r
MmG
r−
r2
MmG
r
( )f r
( )U r
o
o
190704-09
力学基礎演習
4.7.5 ポテンシャルエネルギー問題34 48ページ
190704-10
万有引力〜例題
地球の表面上で物体に水平方向に初速度
例題
すると物体は地表すれすれに円運動した。
但し、エネルギー保存則が成立するモデルとする。
を求めよ。
M
地球の表面上で物体に上空方向に初速度
G
r
o
1v
R
を与えた。
すると物体は無限遠方に飛び去った。
として、万有引力定数を地球の半径を 、地球の質量
1v
このような運動をする為の2v の条件を求めよ。
1v
を与えた。2v
以下の問いに答えよ。
r
o
2v
190704-11
万有引力〜例題
極座標における運動方程式
例題
より、力学的エネルギー保存則を導け。
22
2 2
d r d Mmm r G
dt dt r
− = −
( )f r
r
o
mM
190704-12
惑星のモデル〜例題
質量
例題
近日点 遠日点1v
万有引力定数を
1r
2r での速さを
2. 面積速度を求め、
1 2 1 2, , ,v v r r1. 角運動量から の関係式を求めよ。
とする。
の関係式を求めよ。
2vG として以下の問いに答えよ。
の太陽のまわりを楕円軌道上で運動している。の惑星が質量m Mでの速さを
1r 2v
1 2 1 2, , ,v v r r
3. 近日点と遠日点でのエネルギーの関係を記述せよ。
2r
1v
190704-13
運動方程式から導かれる関係
仕事とエネルギーの関係
力積と運動量の関係モーメントと角運動量の関係
運動方程式 ma = F2
1
2 2
2 1
1 1
2 2
x
x
mv mv Fdx− =
B Ap p Fdt− = ( )d
r p r Fdt
=
dLN
dt=
角運動量 モーメント
で積分t
で積分x
で外積r左側から
190704-14
設定した軸の向きに注意しながらの の部分を書き込む
・問題文で指定されている場合はそれを利用する・指定が無い場合は自分で都合の良い方向を正とする・一般的には運動の進行方向を正に取ると良いことが多い・直線的な運動は1つ、平面的は2つ、立体的は3つの軸を設定する
まず、モデルの設定の図を書く①作図をする
②軸を設定する
③物体に作用する力の矢印を書き込む
④運動方程式を軸ごとに立てる
力の見つけ方の手順は1. 場の力 (主に重力)2. 接触力3. 慣性力の順で探し出す
ma F= F
力学の問題を考える手順190704-15
で積分dv F
dt m=
v =
t
積分定数は初期条件が決める
で積分t
x =
力学の問題を考える手順
速度、変位を求めるどの物理量の関係が必要か検討する
運動方程式を立てるdv
m Fdt
=
解ける
解くことが困難
仕事とエネルギーの関係
力積と運動量の関係
モーメントと角運動量の関係
2
1
2 2
2 1
1 1
2 2
x
x
mv mv Fdx− =
B Ap p Fdt− =
( )d
r p r Fdt
=
dLN
dt=
で積分tで積分x
で外積r左側から
回転の運動方程式
190704-16
力学の講義を終えて
・剛体の運動・慣性モーメント
・加速度 / 速度 / 変位・ニュートンの運動の法則・仕事とエネルギー・エネルギー保存則・運動量と力積・運動量保存則・力のモーメント・角運動量・角運動量保存則・円運動・単振動 / 単振り子・万有引力の法則・ケプラーの法則
取り扱った内容 取り扱っていない内容
190704-17