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FONCTION EXPONENTIELLE ET FONCTION LOGARITHME
I. DĂ©finition de la fonction exponentielle PropriĂ©tĂ© et dĂ©finition : Il existe une unique fonction f dĂ©rivable sur â telle que đ! = đ et đ(0) = 1. Cette fonction sâappelle fonction exponentielle et se note exp. ConsĂ©quence : exp(0) = 1 Avec la calculatrice, il est possible d'observer l'allure de la courbe reprĂ©sentative de la fonction exponentielle : Remarque : On verra dans le paragraphe II. que la fonction exponentielle est croissante. Mais sa croissance est trĂšs rapide, ainsi exp(21) dĂ©passe le milliard. Pour des valeurs de x de plus en plus grandes, la fonction exponentielle prend des valeurs de plus en plus grandes. PropriĂ©tĂ© : La fonction exponentielle est strictement positive sur â. II. Ătude de la fonction exponentielle 1) DĂ©rivabilitĂ© PropriĂ©tĂ© : La fonction exponentielle est dĂ©rivable sur â et (exp đ„)! = exp đ„ 2) Variations PropriĂ©tĂ© : La fonction exponentielle est strictement croissante sur â. En effet, (exp đ„)! > 0 car (exp đ„)! = exp đ„ > 0. 3) Courbe reprĂ©sentative
On dresse le tableau de variations de la fonction exponentielle :
x ââ +â (exp đ„)! +
exp đ„ +â 0
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III. PropriĂ©tĂ© de la fonction exponentielle 1) Relation fonctionnelle ThĂ©orĂšme : Pour tous rĂ©els x et y, on a : exp(đ„ + đŠ) = exp đ„ exp đŠ Remarque : Cette formule permet de transformer une somme en produit et rĂ©ciproquement. Corollaires : Pour tous rĂ©els x et y, on a :
a) exp(âđ„) = !
"#$% ou encore exp đ„ exp(âđ„) = 1
b) exp(đ„ â đŠ) = "#$%"#$&
c) exp(đđ„) = (exp đ„)" avec đ â â DĂ©monstration du a et b : a) exp đ„ exp(âđ„) = exp(đ„ â đ„) = exp 0 = 1 b) exp(đ„ â đŠ) = exp4đ„ + (âđŠ)5
= exp đ„ exp(âđŠ) = exp đ„ !
"#$& = "#$%"#$&
2) Le nombre e
DĂ©finition : L'image de 1 par la fonction exponentielle est notĂ©e e. On a ainsi exp 1 = đ Remarque : Avec la calculatrice, on peut obtenir une valeur approchĂ©e de e.
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Notation nouvelle : exp đ„ = exp(đ„ Ă 1) = (exp 1)# = đ# On note pour tout x rĂ©el, exp đ„ = đ#
Comme đ, le nombre e est un nombre irrationnel, c'est Ă dire qu'il s'Ă©crit avec un nombre infini de dĂ©cimales sans suite logique. Ses premiĂšres dĂ©cimales sont : e â 2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274⊠Le nombre e est Ă©galement un nombre transcendant. On dit quâun nombre est transcendant sâil nâest solution dâaucune Ă©quation Ă coefficients entiers. Le nombre â2 par exemple, est irrationnel mais nâest pas transcendant puisquâil est solution de lâĂ©quation đ„$ = 2. Un tel
nombre est dit «algĂ©brique». Le premier Ă sâintĂ©resser de façon sĂ©rieuse au nombre e est le mathĂ©maticien suisse Leonhard Euler (1707 ; 1783), ci-dessus. Câest Ă lui que nous devons le nom de ce nombre. Non pas quâil sâagisse de lâinitiale de son nom mais peut ĂȘtre car e est la premiĂšre lettre du mot exponentiel. Dans « Introductio in Analysin infinitorum » publiĂ© en 1748, Euler explique que :
đ = 1 + !!!
+ !(!
+ !)!
+ ⊠Rappelons que par exemple 5! se lit "factorielle 5" et est Ă©gal Ă 1 x 2 x 3 x 4 x 5. Par cette formule, il obtient une estimation de e avec 18 dĂ©cimales exactes. Nous devons aussi Ă Euler la dĂ©monstration de lâirrationalitĂ© de e. Avec cette nouvelle notation, on peut ainsi rĂ©sumer l'ensemble des propriĂ©tĂ©s de la fonction exponentielle : PropriĂ©tĂ©s : Pour tous rĂ©els x et y, on a : a) đ% = 1 et đ& = đ b) đ# > 0 et (đ#)! = đ#
c) đ#'( = đ#đ( đ#)( = *!
*" đ)# =
!*!
(đ#)" = đ"#, avec đ â â.
MĂ©thode : DĂ©river une fonction exponentielle
Vidéo https://youtu.be/XcMePHk6Ilk Dériver les fonctions suivantes :
a) đ(đ„) = 4đ„ â 3đ# b) đ(đ„) = (đ„ â 1)đ# c) â(đ„) = *!
%
a) đâČ(đ„) = 4 â 3đ# b) đ!(đ„) = 1 Ă đ# + (đ„ â 1)đ# = đ# + đ„đ# â đ# = đ„đ#
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c) ââČ(đ„) = *!Ă%,*!Ă!
%# =
*!(%,!)%#
MĂ©thode : Simplifier les Ă©critures
Vidéo https://youtu.be/qDFjeFyA_OY Simplifier l'écriture des nombres suivants :
đŽ = *$Ă*%&
*%' đ” = (đ*))+ Ă đ), đ¶ =
!(*%()#
+ /*&0
%)
*#Ă*%* đ· =
/*#!0(
*(!+)Ă*%!%)
PropriĂ©tĂ©s : Pour tous rĂ©els a et b, on a : a) đ- = đ. âș đ = đ b) đ- < đ. âș đ < đ MĂ©thode : RĂ©soudre une Ă©quation ou une inĂ©quation
Vidéo https://youtu.be/dA73-HT-I_Y Vidéo https://youtu.be/d28Fb-zBe4Y
a) RĂ©soudre dans â l'Ă©quation đ#!), â đ)$# = 0. b) RĂ©soudre dans â l'inĂ©quation đ/#)& â„ 1. a) đ#!), â đ)$# = 0 âș đ#!), = đ)$# âș đ„$ â 3 = â2đ„ âș đ„$ + 2đ„ â 3 = 0 Î = 2$ â 4 Ă 1 Ă (â3) = 16
Donc đ„ = ,(,â!2(Ă!
= â3 ou đ„ = ,(3â!2(Ă!
= 1
Les solutions sont â3 et 1.
đŽ = *$Ă*%&
*%'
= *$%&
*%'
= *(
*%'
= đ,)()*)
= đ2
đ” = (đ*))+ Ă đ),
= đ*Ă()+) Ă đ),
= đ),% Ă đ),
= đ),%),
= đ),,
đ¶ = !
(*%()# +
/*&0%)
*#Ă*%*
= !
*%(Ă# +
*&Ă(%))
*#%*
= !*%*
+ *%&
*%&
= đ+ + 1
đ· = /*#!0
(
*(!+)Ă*%!%)
= *#!Ă(
*(!+)%!%)
= **!
*#!
= đ+#)$#
= đ/#
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b) đ/#)& â„ 1 âș đ/#)& â„ đ% âș 4đ„ â 1 â„ 0
âș đ„ â„ !4
L'ensemble des solutions est l'intervalle M&/ ; +âM.
MĂ©thode : Ătudier une fonction exponentielle
VidĂ©o https://youtu.be/_MA1aW8ldjo Soit f la fonction dĂ©finie sur â par đ(đ„) = (đ„ + 1)đ#. a) Calculer la dĂ©rivĂ©e de la fonction f. b) Dresser le tableau de variations de la fonction f. c) DĂ©terminer une Ă©quation de la tangente Ă la courbe au point dâabscisse 0. d) Tracer la courbe reprĂ©sentative de la fonction f en s'aidant de la calculatrice. a) đ!(đ„) = đ# + (đ„ + 1)đ# = (đ„ + 2)đ# b) Comme đ# > 0, đ!(đ„) est du signe de đ„ + 2. f est donc dĂ©croissante sur l'intervalle ]ââ;â2] et croissante sur l'intervalle [â2; +â[. On dresse le tableau de variations :
x ââ â2 +â đ!(đ„) â 0 +
đ(đ„) âđ)$
c) đ(0) = 1 et đâČ(0) = 2 Une Ă©quation de la tangente Ă la courbe en 0 est donc : đŠ = đ!(0)(đ„ â 0) + đ(0), soit : đŠ = 2đ„ + 1 d)
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IV. Fonctions de la forme đĄ ⌠đ!" 1) Variations PropriĂ©tĂ© : La fonction đĄ ⌠đ45, avec đ â â â {0}, est dĂ©rivable sur â. Sa dĂ©rivĂ©e est la fonction đĄ ⌠đđ45. DĂ©monstration : On rappelle que la dĂ©rivĂ©e dâune fonction composĂ©e đĄ ⌠đ(đđĄ + đ) est đĄ ⌠đđâČ(đđĄ + đ). En considĂ©rant đ(đĄ) = đ5, đ = đ et đ = 0, on a : (đ45)! = đđ45. Exemple : Soit đ(đĄ) = đ)/5 alors đâČ(đĄ) = â4đ)/5. PropriĂ©tĂ© : Si k > 0 : la fonction đĄ ⌠đ45 est strictement croissante. Si k < 0 : la fonction đĄ ⌠đ45 est strictement dĂ©croissante. DĂ©monstration : On a : (đ45)! = đđ45 Or, đ45 > 0 pour tout rĂ©el t et tout entier relatif k non nul. Donc le signe de la dĂ©rivĂ©e đĄ ⌠đđ45 dĂ©pend du signe de k. Si k > 0 alors la dĂ©rivĂ©e est strictement positive est donc la fonction đĄ ⌠đ45 est strictement croissante. Si k < 0 alors la dĂ©rivĂ©e est strictement nĂ©gative est donc la fonction đĄ ⌠đ45 est strictement dĂ©croissante. 2) ReprĂ©sentation graphique
MĂ©thode : Ătudier une fonction đĄ ⌠đ45 dans une situation concrĂšte
VidĂ©o https://youtu.be/lsLQwiB9Nrg Suite Ă une infection, le nombre de bactĂ©ries contenues dans un organisme en fonction du temps (en heures) peut ĂȘtre modĂ©lisĂ© par la fonction f dĂ©finie sur [0 ; 10]
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et telle que đ!(đĄ) = 0,14đ(đĄ). 1) Montrer que la fonction f dĂ©finie sur [0 ; 10] par đ(đĄ) = đŽđ%,&/5 convient. 2) On suppose que đ(0) = 50000. DĂ©terminer A. 3) DĂ©terminer les variations de f sur [0 ; 10]. 4) a) Ă l'aide de la calculatrice, donner un arrondi au millier prĂšs du nombre de bactĂ©ries aprĂšs 3h puis 5h30. b) Ă l'aide de la calculatrice, dĂ©terminer au bout de combien de temps le nombre de bactĂ©ries a-t-il doublĂ©. Arrondir Ă lâheure prĂšs. 1) đ!(đĄ) = đŽ Ă 0,14đ%,&/5 = 0,14 Ă đŽđ%,&/5 = 0,14đ(đĄ). La fonction f dĂ©finie sur [0 ; 10] par đ(đĄ) = đŽđ%,&/5 vĂ©rifient bien lâĂ©galitĂ© đ!(đĄ) = 0,14đ(đĄ) donc elle convient. 2) đ(0) = đŽđ%,&/Ă% = đŽđ% = đŽ. Donc, si đ(0) = 50000, on a : đŽ = 50000. Une expression de la fonction f est donc : đ(đĄ) = 50000đ%,&/5. 3) Comme đ = 0,14 > 0, on en dĂ©duit que la fonction đ„ ⌠đ%,&/5 est strictement croissante sur [0 ; 10]. Il en est de mĂȘme pour la fonction f. 4) a) đ(3) = 50000đ%,&/Ă, = 50000đ%,/$ â 76000 đ(5,5) = 50000đ%,&/Ă*,* = 50000đ%,77 â 108000 AprĂšs 3h, lâorganisme contient environ 76 000 bactĂ©ries. AprĂšs 5h30, lâorganisme contient environ 108 000 bactĂ©ries. b) Le nombre de bactĂ©ries a doublĂ© Ă partir de 100 000 bactĂ©ries, soit au bout d'environ 5h.
V. Limites de la fonction exponentielle
1) Limites aux bornes PropriĂ©tĂ©s : lim#â'9
đ# = +â et lim#â)9
đ# = 0 DĂ©monstration :
Vidéo https://youtu.be/DDqgEz1Id2s
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- La suite (đ") est une suite gĂ©omĂ©trique de raison đ > 1. Donc, on a : lim
"â'9đ" = +â.
Si on prend un rĂ©el đ quelconque (aussi grand que lâon veut), il exsite un rang đ& Ă partir duquel tous les termes de la suite dĂ©passent đ, soit : đ"" > đ. La fonction exponentielle Ă©tant strictement croissante, on a Ă©galement, pour tout đ„ > đ&: đ# > đ"". Donc, pour tout đ„ > đ&, on a : đ# > đ"" > đ. Ainsi, tout intervalle ]đ; +â[ contient toutes les valeurs de đ#, dĂšs que đ„ est suffisamment grand. Soit : lim
#â'9đ# = +â.
- lim#â)9
đ# = lim#â)9
&:#$
= lim;â'9
&:%
, en posant đ = âđ„
Or, lim;â'9
đ; = +â, donc : lim;â'9
&:%= 0, comme limite dâun quotient.
Soit : lim#â)9
đ# = 0. MĂ©thode : DĂ©terminer la limite d'une fonction contenant des exponentiels
Vidéo https://youtu.be/f5i_u8XVMfc Calculer les limites suivantes :
a) lim#â'9
đ„ + đ),# b) lim#â)9
đ&)1đ„
a) lim
#â'9â3đ„ = ââ
- Donc, comme limite de fonction composĂ©e : lim#â'9
đ),# = 0 En effet, lim
;â)9đ; = 0, en posant đ = â3đ„
- Or, lim#â'9
đ„ = +â DâoĂč : lim
#â'9đ„ + đ),# = +â comme limite dâune somme.
b) lim
#â)9
1đ„ = 0, donc : lim
#â)91 â 1
đ„ = 1
Donc, comme limite de fonction composĂ©e : lim#â)9
đ&)"$ = đ& = đ.
2) Croissance comparée des fonctions exponentielles et puissances Propriétés (croissances comparées) : a) lim
#â'9
đđ„đ„ = +â et pour tout entier n, lim
#â'9
đđ„đ„đ = +â
b) lim#â)9
đ„ đ# = 0 et pour tout entier n, lim#â)9
đ„" đ# = 0 DĂ©monstration au programme du a :
Vidéo https://youtu.be/_re6fVWD4b0
- On pose đ(đ„) = đ# â %#
(.
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On a : đ!(đ„) = đ# â đ„ On calcule la dĂ©rivĂ©e de la dĂ©rivĂ©e đ!: (đ!(đ„))âČ = đ# â 1. Et on note đ!!(đ„) = (đ!(đ„))âČ = đ# â 1 (Voir chapitre « ConvexitĂ© ») Pour tout đ„ strictement positif, đ!!(đ„) = đ# â 1 > 0. On dresse alors le tableau de variations :
x 0 +â đ!!(đ„) +
đ!(đ„) 1
Signe de đ!(đ„) +
đ(đ„) 1
On en dĂ©duit que pour tout x strictement positif, đ(đ„) > 0 et donc đ# > %#
(.
Soit encore : *!
%> %(
. Comme lim
#â'9
đ„2 = +â, on en dĂ©duit par comparaison de limites que lim
#â'9
đđ„đ„ = +â.
- Dans le cas général, on a :
đ#
đ„" =ađ
$&b
"
đ„" = cđ$&
đ„ d
"
= c1đ Ă
đ$&
#"
d
"
Or : lim#â'9
:$&$&= +â car on a vu que lim
;â'9
đđđ = +â.
Donc : lim#â'9
&"Ă :
$&$&= +â, car đ est positif.
Et donc lim#â'9
e&"Ă :
$&$&f"
= +â, comme produit de n limites infinies.
Soit : lim#â'9
đđ„đ„đ = +â
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Remarque : Dans le cas de limites infinies, la fonction exponentielle impose sa limite devant les fonctions puissances. Sa croissance est plus rapide. Exemple : Comparaison de la fonction exponentielle et de la fonction đ„ ⌠đ„/ dans diffĂ©rentes fenĂȘtres graphiques. On constate que pour đ„ suffisamment grand, la fonction exponentielle dĂ©passe la fonction đ„ ⌠đ„/ (voir graphique suivant). MĂ©thode : Calculer une limite par croissance comparĂ©e
Vidéo https://youtu.be/GoLYLTZFaz0 Calculer la limite suivante : lim
#â'9
đđ„+đ„đđ„âđ„2
Le dĂ©nominateur, par exemple, comprend une forme indĂ©terminĂ©e de type "âââ". Levons l'indĂ©termination :
đ# + đ„đ# â đ„$ =
đ#
đ# Ă1 + #
:$
1 â #!
:$
=1 + #
:$
1 â #!
:$
Or, par croissance comparée : lim
#â'9
đđ„đ„ = lim
#â'9
đđ„đ„2 = +â.
Donc : lim#â'9
đ„đđ„ = lim
#â'9
đ„2đđ„ = 0, comme inverse de limites.
Donc, lim#â'9
1+ đ„đđ„
1âđ„2đđ„= &
&= 1 et donc lim
#â'9
đđ„+đ„đđ„âđ„2 = 1.
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VI. Définition de la fonction logarithme népérien
En 1614, un mathĂ©maticien Ă©cossais, John Napier (1550 ; 1617) ci-contre, plus connu sous le nom francisĂ© de Neper publie « Mirifici logarithmorum canonis descriptio ». Dans cet ouvrage, qui est la finalitĂ© dâun travail de 20 ans, Neper prĂ©sente un outil permettant de simplifier les calculs opĂ©ratoires : le logarithme. Neper construit le mot Ă partir des mots grecs « logos » (logique) et arithmos (nombre). Toutefois cet outil ne trouvera son essor quâaprĂšs la mort de Neper. Les mathĂ©maticiens anglais Henri Briggs (1561 ; 1630) et William Oughtred (1574 ; 1660) reprennent et prolongent les travaux de Neper. Les mathĂ©maticiens de lâĂ©poque Ă©tablissent alors des tables de logarithmes de plus en plus prĂ©cises. LâintĂ©rĂȘt dâĂ©tablir ces tables logarithmiques est de permettre de substituer une multiplication par une addition (paragraphe II). Ceci peut paraĂźtre dĂ©risoire aujourdâhui, mais il faut comprendre quâĂ cette Ă©poque, les calculatrices nâexistent Ă©videmment pas, les nombres dĂ©cimaux ne sont pas dâusage courant et les opĂ©rations posĂ©es telles que nous les utilisons ne sont pas encore connues. Et pourtant l'astronomie, la navigation ou le commerce demandent dâeffectuer des opĂ©rations de plus en plus complexes. La fonction exponentielle est continue et strictement croissante sur â, Ă valeurs dans ]0; +â[. D'aprĂšs le thĂ©orĂšme des valeurs intermĂ©diaires, pour tout rĂ©el đ de ]0; +â[ l'Ă©quation đ# = đ admet une unique solution dans â.
DĂ©finition : On appelle logarithme nĂ©pĂ©rien d'un rĂ©el strictement positif đ, l'unique solution de l'Ă©quation đ# = đ. On la note ln đ. La fonction logarithme nĂ©pĂ©rien, notĂ©e ln, est la fonction :
ln â¶]0; +â[ ⶠâ đ„ ⌠ln đ„
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Remarques : - Les fonctions đđ„đ et đđ sont des fonctions rĂ©ciproques l'une de l'autre. - Les courbes reprĂ©sentatives des fonctions đđ„đ et đđ sont symĂ©triques par rapport Ă la droite d'Ă©quation đŠ = đ„. - Dans le domaine scientifique, on utilise la fonction logarithme dĂ©cimale, notĂ©e log, et dĂ©finie par :
log đ„ = <= %<=!>
ConsĂ©quences : a) Pour đ„ > 0 : đŠ = ln đ„ â đ„ = đ( b) ln 1 = 0 ; ln đ = 1 ; ln 1đ = â1 c) ln đ# = đ„ d) Pour đ„ > 0 : đ<= # = đ„ DĂ©monstrations :
a) Par dĂ©finition b) - đ% = 1 donc dâaprĂšs a. : ln 1 = 0
- đ& = đ donc dâaprĂšs a. : ln đ = 1 - đ)& = 1
đ donc dâaprĂšs a. : ln 1đ = â1 c) Si on pose đŠ = đ#, alors đ„ = ln đŠ = ln đ# d) Si on pose đŠ = ln đ„, alors đ„ = đ( = đ<= #
VII. PropriĂ©tĂ©s de la fonction logarithme nĂ©pĂ©rien 1) Relation fonctionnelle ThĂ©orĂšme : Pour tous rĂ©els x et y strictement positifs, on a : ln(đ„ Ă đŠ) = ln đ„ + ln đŠ DĂ©monstration : đ<=(#Ă() = đ„ Ă đŠ = đ<= # Ă đ<= ( = đ<= #'<=( Donc : ln(đ„ Ă đŠ) = ln đ„ + ln đŠ
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Remarque : Cette formule permet de transformer un produit en somme. Ainsi, celui qui aurait Ă effectuer 36 x 62, appliquerait cette formule, soit : log(36 x 62) = log(36) + log(62) â 1,5563 + 1,7924 (voir table ci-contre) Lâaddition Ă©tant beaucoup plus simple Ă effectuer que la multiplication, on trouve facilement : log(36 x 62) â 3,3487 En cherchant dans la table, le logarithme Ă©gal Ă 3,3487, on trouve 2232, soit : 36 x 62 = 2232. 2) ConsĂ©quences Corollaires : Pour tous rĂ©els x et y strictement positifs, on a : a) ln 1đ„ = â ln đ„
b) ln đ„đŠ = ln đ„ â ln đŠ
c) lnâđ„ = 12 ln đ„
d) ln đ„" = đ ln đ„, avec đ entier relatif DĂ©monstrations : a) ln 1đ„ + ln đ„ = ln a1đ„Ăđ„b = ln 1 = 0 donc ln 1đ„ = â ln đ„
b) ln đ„đŠ = ln ađ„ Ă 1đŠb = ln đ„ + ln 1đŠ = ln đ„ â ln đŠ
c) 2 lnâđ„ = lnâđ„ + lnâđ„ = ln4âđ„ Ă âđ„5 = ln đ„ donc ln âđ„ = 12 ln đ„
d) On dĂ©montre ce rĂ©sultat par rĂ©currence le cas oĂč đ est un entier naturel. L'initialisation est triviale. La dĂ©monstration de l'hĂ©rĂ©ditĂ© passe par la dĂ©composition :
ln đ„4'& = ln(đ„4 Ă đ„) = ln đ„4 + ln đ„ = đ ln đ„ + ln đ„ = (đ + 1) ln đ„ MĂ©thode : Simplifier une expression contenant des logarithmes
Vidéo https://youtu.be/HGrK77-SCl4
Simplifier les expressions suivantes :
đŽ = ln43 â â55 + ln43 + â55 đ” = 3 ln 2 + ln 5 â 2 ln 3đ¶ = ln đ$ â ln2đ
đŽ = ln43 â â55 + ln43 + â55 đ” = 3 ln 2 + ln 5 â 2 ln 3 đ¶ = ln đ$ â ln $
:
= ln43 â â5543 + â55 = ln 2, + ln 5 â ln 3$ = 2 ln đ â ln 2 + ln đ
= ln(9 â 5)= ln 4 = ln 23Ă532
= ln 409 = 2 â ln 2 + 1 = 3 â ln 2
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3) Ăquations et inĂ©quations PropriĂ©tĂ©s : Pour tous rĂ©els đ„ et đŠ strictement positifs, on a : a) ln đ„ = ln đŠ âș đ„ = đŠ b) ln đ„ < ln đŠ âș đ„ < đŠ MĂ©thode : RĂ©soudre une Ă©quation ou une inĂ©quation avec des logarithmes
Vidéo https://youtu.be/lCT-8ijhZiE Vidéo https://youtu.be/GDt785E8TPE Vidéo https://youtu.be/_fpPphstjYw
1) RĂ©soudre dans I les Ă©quations et inĂ©quations suivantes : a) ln đ„ = 2, đŒ = ]0; +â[ b) đ#'& = 5, đŒ = â c) 3 ln đ„ â 4 = 8, đŒ = ]0; +â[ d) ln(6đ„ â 1) â„ 2, đŒ = q&
+ ; +âM
e) đ# + 5 > 4đ#, đŒ = â 2) a) RĂ©soudre dans â l'Ă©quation suivante : ln(đ„ â 3) + ln(9 â đ„) = 0 b) RĂ©soudre dans â l'inĂ©quation suivante : ln(3 â đ„) â ln(đ„ + 1) †0 1) a) ln đ„ = 2 ln đ„ = ln đ$ đ„ = đ$ b) đ#'& = 5 đ#'& = đ<= * đ„ + 1 = ln 5 đ„ = ln 5 â 1 c) 3 ln đ„ â 4 = 8 3 ln đ„ = 12 ln đ„ = 4 ln đ„ = ln đ/ đ„ = đ/ d) ln(6đ„ â 1) â„ 2 ln(6đ„ â 1) â„ ln đ$ 6đ„ â 1 â„ đ$ 6đ„ â„ đ$ + 1
đ„ â„ *#3!2
L'ensemble solution est donc lâintervalle sđ2+16 ; +âs.
e) đ# + 5 > 4đ# đ# â 4đ# > â5
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â3đ# > â5
đ# <53
đ# < đ<='(
đ„ < ln53
L'ensemble solution est donc lâintervalle qââ;ln *
,M.
2) a) Ensemble de dĂ©finition : đ„ â 3 > 0 et 9 â đ„ > 0 Soit : đ„ > 3 et đ„ < 9 LâĂ©quation est dĂ©finie sur lâintervalle ]3; 9[. On restreint donc la recherche des solutions Ă cet intervalle. ln(đ„ â 3) + ln(9 â đ„) = 0 ln(đ„ â 3)(9 â đ„) = 0 ln(đ„ â 3)(9 â đ„) = ln 1 (đ„ â 3)(9 â đ„) = 1 âđ„$ + 12đ„ â 27 = 1 âđ„$ + 12đ„ â 28 = 0 â= 12$ â 4 Ă (â1) Ă (â28) = 32
đ„ =â12 + â32
â2 = 6 â 2â2đđąđ„ =â12 â â32
â2 = 6 + 2â2
Les solutions sont donc 6 â 2â2 et 6 + 2â2 car elles appartiennent bien Ă lâensemble de dĂ©finition ]3; 9[. b) Ensemble de dĂ©finition : 3 â đ„ > 0 et đ„ + 1 > 0 Soit : đ„ < 3 et đ„ > â1 LâinĂ©quation est dĂ©finie sur ]â1; 3[. On restreint donc la recherche des solutions Ă cet intervalle. ln(3 â đ„) â ln(đ„ + 1) †0 ln(3 â đ„) †ln(đ„ + 1) 3 â đ„ †đ„ + 1 2 †2đ„ 1 †đ„ L'ensemble solution est donc ]â1; 3[ â© [1; +â[ soit [1; 3[. VIII. Ătude de la fonction logarithme nĂ©pĂ©rien 1) ContinuitĂ© et dĂ©rivabilitĂ© PropriĂ©tĂ© : La fonction logarithme nĂ©pĂ©rien est continue sur ]0; +â[.
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PropriĂ©tĂ© : La fonction logarithme nĂ©pĂ©rien est dĂ©rivable sur ]0; +â[ et (ln đ„)! = !%
.
DĂ©monstration :
Vidéo https://youtu.be/wmysrEq4XIg
Rappel : 4đ>(#)5! = đąâČ(đ„)đ>(#) En posant : đą(đ„) = ln đ„, on a : 4đ<= #5! = (ln đ„)âČđ<= # Or 4đ<= #5! = (đ„)! = 1. Donc : (ln đ„)âČđ<= # = 1
Soit : (ln đ„)âČ = !
*67!
Soit encore : (ln đ„)âČ = !%
. Exemple :
Vidéo https://youtu.be/yiQ4Z5FdFQ8
DĂ©river la fonction suivante sur l'intervalle ]0; +â[ : đ(đ„) = ?lnđ„@2
đ„
đâČ(đ„) =2 Ă &
#Ă ln đ„ Ă đ„ â (ln đ„)$ Ă 1
đ„$
=2 ln đ„ â (ln đ„)$
đ„$
= ln đ„2 â ln đ„đ„$
2) Variations PropriĂ©tĂ© : La fonction logarithme nĂ©pĂ©rien est strictement croissante sur ]0; +â[. DĂ©monstration :
Pour tout rĂ©el đ„ > 0, (ln đ„)! = !% > 0
3) ConvexitĂ© PropriĂ©tĂ© : La fonction logarithme nĂ©pĂ©rien est concave sur ]0; +â[. DĂ©monstration :
Pour tout rĂ©el đ„ > 0, (ln đ„)! = !%
.
(ln đ„)!! = â !%#
< 0 donc la dĂ©rivĂ©e de la fonction đđ est strictement dĂ©croissante sur ]0; +â[ et donc la fonction logarithme nĂ©pĂ©rien est concave sur cet intervalle.
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4) Limites aux bornes Propriétés : lim
#â'9ln đ„ = +â et lim
#â%ln đ„ = ââ
On dresse le tableau de variations de la fonction logarithme népérien :
x 0 +â (ln đ„)! +
ln đ„ +â ââ
5) Tangentes particuliĂšres Rappel : Une Ă©quation de la tangente Ă la courbe đ¶A au point d'abscisse đ est : đŠ = đ!(đ)(đ„ â đ) + đ(đ). Dans le cas de la fonction logarithme nĂ©pĂ©rien, l'Ă©quation est de la forme : đŠ = 1
đ (đ„ â đ) + ln đ. - Au point d'abscisse 1, l'Ă©quation de la tangente est đŠ = 1
1 (đ„ â 1) + ln 1 soit : đŠ = đ„ â 1. - Au point d'abscisse e, l'Ă©quation de la tangente est đŠ = 1
đ (đ„ â đ) + ln đ soit :
đŠ = 1đ đ„.
6) Courbe reprĂ©sentative Valeurs particuliĂšres : ln 1 = 0 ln đ = 1
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IX. Croissance comparée des fonctions logarithme et puissances Propriétés (croissances comparées) : a) lim
#â'9
lnđ„đ„ = 0 et pour tout entier naturel non nul đ, lim
#â'9
lnđ„đ„đ = 0
b) lim#â%
đ„ln đ„ = 0 et pour tout entier naturel đ, lim#â%
đ„"ln đ„ = 0 DĂ©monstration du b. dans les cas oĂč n = 1 :
VidĂ©o https://youtu.be/LxgQBYTaRaw En posant đ = ln đ„, on a : đ„ = đ; Or, si đ„ tend vers 0, alors đ = ln đ„ tend vers ââ. Donc : lim
#â%đ„ln đ„ = lim
;â)9đ;Ă đ = 0 par croissance comparĂ©e de la fonction
exponentielle et des fonctions puissances. Remarque : Les fonctions puissances imposent leur limite devant la fonction logarithme népérien. Méthode : Déterminer une limite par croissance comparée
Vidéo https://youtu.be/lA3W_j4p-c8 Vidéo https://youtu.be/OYcsChr8src
đ) lim#â'9
đ„ â ln đ„ đ) lim#â'9
ln đ„đ„ â 1
a) Il s'agit d'une forme indéterminée de type " ". Levons l'indétermination :
đ„ â ln đ„ = đ„ x1 âln đ„đ„ y
Comme lim
#â'9
lnđ„đ„ = 0, donc : lim
#â'91 â lnđ„đ„ = 1.
Et donc lim#â'9
đ„ a1 â lnđ„đ„ b = +â comme limite dâun produit.
Soit : lim#â'9
đ„ â ln đ„ = +â.
b) Il s'agit d'une forme indéterminée de type " ".
Levons l'indĂ©termination : ln đ„đ„ â 1 =
<= ##
#)&#
=<= ##
1 â &#
Comme lim
#â'9
lnđ„đ„ = 0 et lim
#â'91 â 1đ„ = 1, on a, comme limite dâun quotient :
â â â
ââ
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lim#â'9
<=##
1 â &#
=01 = 0
Soit : lim#â'9
lnđ„đ„â1 = 0.
X. Ătudes de fonctions contenant des logarithmes MĂ©thode : Ătudier les variations d'une fonction contenant des logarithmes
VidĂ©o https://youtu.be/iT9C0BiOK4Y 1) DĂ©terminer les variations de la fonction đ dĂ©finie sur ]0; +â[ par đ(đ„) = 3 â đ„ + 2 ln đ„ 2) Ătudier la convexitĂ© de la fonction đ. 1) Sur ]0; +â[, on a :
đ!(đ„) = â1 +2đ„ =
2 â đ„đ„
Comme đ„ > 0, đ!(đ„) est du signe de 2 â đ„. La fonction f est donc strictement croissante sur ]0; 2] et strictement dĂ©croissante sur [2; +â[. On dresse le tableau de variations :
x 0 2 +â đ!(đ„) âȘâȘ + 0 â
đ(đ„) 1 + 2 ln 2
đ(2) = 3 â 2 + 2 ln 2 = 1 + 2 ln 2 2) Sur ]0; +â[, on a :
đ!!(đ„) =â1 Ă đ„ â (2 â đ„) Ă 1
đ„$ =âđ„ â 2 + đ„
đ„$ =â2đ„$ < 0
La fonction đâČ est donc dĂ©croissante sur ]0; +â[. On en dĂ©duit que la fonction f est concave sur ]0; +â[. MĂ©thode : Ătudier la position relative de la courbe de la fonction logarithme et de la droite dâĂ©quation y = x
VidĂ©o https://youtu.be/0hQnOs_hcss Ătudier la position relative de la courbe de la fonction logarithme et de la droite dâĂ©quation đŠ = đ„.
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On considĂšre la fonction g dĂ©finie sur ]0; +â[ par đ(đ„) = đ„ â ln đ„.
đ!(đ„) = 1 â1đ„ =
đ„ â 1đ„
Comme đ„ > 0, đ!(đ„) est du signe de đ„ â 1. On a Ă©galement : đ(1) = 1 â ln 1 = 1 On dresse ainsi le tableau de variations :
x 0 1 +â đ!(đ„) âȘâȘ â 0 +
đ(đ„) 1
On en dĂ©duit que pour tout đ„ de ]0; +â[, on a đ(đ„) = đ„ â ln đ„ â„ 1 > 0 soit đ„ > ln đ„. La fonction logarithme est situĂ©e en dessous de la droite dâĂ©quation đŠ = đ„.
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