Fonctions de plusieurs variables
Résumé de cours
31 décembre 2014
Soit n ∈ N∗ . Rn est muni de sa structure euclidienne canonique .
1 Fonction réelle de plusieurs variable et graphe
Dé�nition 1. Pour ce cours , nous appellerons fonction réelle de n variables, toute fonction dé�nie de Rn a valeursdans R.
Dé�nition 2. On appelle fonction polynomiale à n variable , toute fonction, f dé�nie sur Rn telle que
∀(x1, ..., xn) ∈ Rn f(x1, ..., xn) = P (x1, ..., xn)
où P ∈ R[X1, ..., Xn].
Ex :f : R4 → R (x1, x2, x3, x4) 7→ x10
1 x84 + 3x3 + 2x2x4
Dé�nition 3. Soit f : Rn → ROn appelle graphe de f l'ensemble Gf de Rn+1 tel que
Gf = {(x1, ..., xn, f(x1, ..., xn))|(x1, ..., xn) ∈ Rn}
Ex :f : R2 → R (x, y) 7→ x2cos(x, y)
f unc t i on z=f (x , y )z=x^2 ∗ cos ( x+y ) ;
endfunct ionfunc t i on graph1 ( )
x=[ −10 :1 :10 ] ;y=x ;c l f ;f p l o t 3d (x , y , f ) ;
endfunct ion
1
0
−10
10
−5
50
−10
10
−5
5
0
−100
100
−80
−60
−40
−20
20
40
60
80
XY
Z
f unc t i on z=g (x , y )z=3∗x+2∗y ;
endfunct ionfunc t i on graph2 ( )
x=[ −30 :1 :30 ] ;y=x ;c l f ;f p l o t 3d (x , y , g ) ;
endfunct ion
2
0
−20
20
−30
−10
10
30
0
−20
20
−30
−10
10
30
0
−100
100
−150
−50
50
150
XY
Z
Dé�nition 4. Soit f : Rn → ROn appelle ensemble de niveau λ de f l'ensemble {x ∈ Rn |f(x) = λ}
Rq : sur R2 on parle plutôt de ligne de niveau.
Dé�nition 5. Soit V un sous espace vectoriel de Rn.
1. On appelle sous espace a�ne de direction V , un ensemble ensemble J tel que
J = {a+ v|v ∈ V }
où a est un élément de Rn.
2. Si de plus V est un hyperplan on dit que J est un hyperplan a�ne.
Propriété 1. J ∈ Rn
Si J est un hyperplan a�ne ssi ∃a = (a1, ..., an) ∈ Rn − {0Rn} et c ∈ R tel que J = {(x1, ..., xn) ∈ Rn|a1x1 + ...+anxn + c = 0}La direction de J est vect(a)⊥.
f unc t i on graph3 ( )x=[ −30 :1 :30 ] ;y=x ;
f o r i =1:61f o r j =1:61
3
z ( i , j )=−x ( i )−y ( j )+20end
end
c l f ;p lot3d (x , y , z ) ;
endfunct ion
0
−20
20
−30
−10
10
30
0
−20
20
−30
−10
10
30
0
−40
−20
20
40
60
80
XY
Z
2 Continuité des fonctions de plusieurs variables
2.1 Limites et continuité
Dé�nition 6. f : Rn → R et (a, l) ∈ D × R. On dé�nit la limite l de f en a de la manière suivante :
limx→a
f(x) = l⇐⇒ ∀ε > 0, ∃r > 0 tq ∀x ∈ Rn − {a}||x− a|| ≤ r ⇒ |f(x)− l| ≤ ε
Propriété 2. f et g deux fonctions réelles dé�nies sur Rn. Soit a ∈ Rn si f et g admettent une limite en a alors :
1. ∀λ ∈ R f + λg admet une limite en a et lima
(f + λg) = limaf + λ× lim
ag .
2. f × g admet une limite en a et lima
(f × g) = limaf × lim
ag
3. Si limag 6= 0, alors
f
gadmet une limite en a et lim
a
f
g=
limaf
limag
4
Dé�nition 7. Soient f : Rn → R et a ∈ D1. f est continue en a ⇐⇒ lim
x→af(x) = f(a)
2. f est continue en a ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃r > 0 tq ∀x ∈ Rn ||x− a|| ≤ r,⇒ |f(x)− f(a)| ≤ ε3. f est continue sur D ssi f est continue en tout point de D.
Notation : f est continue en a ⇐⇒ f est C0 en a.
Exemple : Soit la fonction f : R2 → R dé�nie par
(x, y) 7→ x2y2
x2 + y2si (x, y) 6= (0, 0)
(x, y) 7→ 0 sinon
|f(x, y)| ≤ (x2 + y2)(x2 + y2)
x2 + y2≤ ‖(x, y)‖2 (où ‖ · ‖ est la norme 2).
Donc, soit ε > 0, ∀x ∈ R2 r {0}, si ‖(x, y)− (0, 0)‖ ≤√ε alors |f(x, y)| ≤ ε.
Par conséquent, f est continue en (0, 0).
Propriété 3. Encadrement :Soient f : Rn → R, g : Rn → R où a ∈ Rn.Si sur un voisinage de a |f(x)| ≤ |g(x)| alors
limx→a
g(x) = 0 ⇒ limx→a
f(x) = 0
Propriété 4. Traduction séquentielle :
Soient f : Rn → R , l ∈ R et a ∈ Rn
limx→a
f(x) = l⇔pour toute suite (xn)n∈N telle que ‖xn − a‖ → 0,
on a |f(xn)− l| → 0.
Propriété 5. Soient f :
{Rn → Rx 7→ ‖x‖
et fi :
{Rn → R(x1, . . . xn) 7→ xi
.
Les applications f, f1, . . . , fn sont continues sur Rn.
Théorème 1.
1. Une combinaison linéaire de fonctions C0 en x0 ( resp sur D) est C0 en x0 ( resp sur Rn).
2. Le produit de fonctions C0 en x0 ( resp sur Rn) est C0 en x0 ( resp sur Rn).
3. Soient f et g deux fonctions C0 en x0 ( resp sur Rn), avec g telle que g(x0) 6= 0( g ne s'annulant par sur
Rn), alorsf
gest C0 en x0 ( resp sur Rn).
Propriété 6. :Les fonctions polynomiales à n variables sont C0 sur Rn et les fonctions rationnelles de n variables sont de classeC0 sur leur domaine de dé�nition.
Théorème 2. Les compositionsSoient f une fonction dé�nie sur Rn à valeurs dans R et (p, n) ∈ N∗.
1. Soit I un intervalle de R et f1, ..., fn n fonctions dé�nies sur I à valeurs dans R.
g :
{I → Rt 7→ f(f1(t), ..., fn(t))
� Soient to ∈ I , l ∈ R et a = (a1, .., an) ∈ R
∀i ∈ [|1, n|] limt→to
fi(t) = ai et limx→a
f(x) = l ⇒ limt→to
g(t) = l
� Soient to ∈ I et a = (f1(to), .., fn(to)) Si ∀i ∈ [|1, n|] fi est continue en to et f continue en a alors g estcontinue en a.
� Si ∀i ∈ [|1, n|] fi est continue sur I et f continue sur Rn alors g est continue sur I
2. Supposons que f(Rn) = I un intervalle de R. Soit h une application dé�nie sur I à valeurs dans R. Ondé�nit
g :
{Rn → Rx 7→ h(f(x))
5
� Soient a ∈ Rn et (l,m) ∈ R2
limx→a
f(x) = l et limt→l
h(t) = m⇒ limx→a
g(x) = m
� Soit a ∈ Rn si f continue en a et h continue en f(a) alors g est continue en a.� Si f est continue sur Rn et h continue sur I alors g est continue sur D.
3. Soient f1, ..., fn n fonctions dé�nies sur Rp à valeurs dans R.alors on peut dé�nir
g :
{Rp → Rt 7→ f(f1(t), ..., fn(t))
� Soient to ∈ Rp , l ∈ R et a = (a1, .., an) ∈ Rn
∀i ∈ [|1, n|] limt→to
fi(t) = ai et limx→a
f(x) = l ⇒ limt→to
g(t) = l
� Soient to ∈ Rp et a = (f1(to), .., fn(to)) Si ∀i ∈ [|1, n|] fi est continue en to et f continue en a alors gest continue en a.
� Si ∀i ∈ [|1, n|] fi est continue sur Rp et f continue sur Rn alors g est continue sur Rp
Dé�nition 8. : Soit f : Rn → R où D ⊂ Rn.On dit que f est majorée ssi ∃M ∈ R tel que ∀x ∈ Rn f(x) ≤MOn dit que f est minorée ssi ∃m ∈ R tel que ∀x ∈ Rn f(x) ≥ mOn dit que f est bornée ssi f est majorée et minorée ssi ∃M ∈ R+∗ tel que ∀x ∈ Rn |f(x)| ≤M
2.2 Applications partielles
Dé�nition 9. Soit f : Rn → R et a = (a1, . . . , an) ∈ Rn.Les n applications fa,j dé�nies pour tout t ∈ R par fa,j(t) = f(a1, . . . , aj−1, t, aj+1, . . . , an) sont appelées applica-tions partielles de f en a.
Théorème 3. Soit f :→ Rn, a = (a1, . . . , an) ∈ Rn. Si f est C0 en a, alors ∀j ∈ [[1, n]],fa,j est continue en a.
(La réciproque est fausse)
2.3 Dérivées partielles
Dé�nition 10. On considère f : Rn → Rn
Soit a = (a1, . . . , an) ∈ Rn et j ∈ [[1, n]].
On dit que f admet une jieme dérivée partielle en a (ou f est dérivable par rapport à xj en a) si la jieme application
partielle est dérivable en aj , c'est-à-dire si limt→aj
fa,j(t)− f(a)
t− ajexiste, ou encore si lim
h→0
f(a1, . . . , aj−1, aj + h, aj+1, . . . , an)− f(a)
hexiste.
On note ∂j(f)(a) ou∂f
∂xj(a) cette limite.
Si f admet une jieme dérivée partielle en tout point a de U alors on note ∂j(f) la fonction{U → Ra 7→ limt→aj
fa,j(t)−f(a)t−aj
Dé�nition 11. Soit a ∈ Rn et f une application de Rn dans R telle que, pour tout j ∈ [[1, n]], f admet une jieme
dérivée partielle en a, ∂j(f)(a).On appelle gradient de f en a, et on note ∇f(a) le vecteur (∂1(f)(a), . . . , ∂n(f)(a)).
Dé�nition 12. Soit f une application de Rn dans R. f est dite de classe C1 sur U si et seulement si, pour toutj ∈ [[1, n]], f admet une jieme dérivée partielle ∂j(f) qui est C0 sur Rn.
Propriété 7. :Les fonctions polynomiales à n variables sont C1 sur Rn et les fonctions rationnelles de n variables sont de classeC1 sur leur domaine de dé�nition.
6
Propriété 8. Soien f et g deux applications de Rn dans R de classe C1 sur Rn et a ∈ Rn
1. ∀λ ∈ R f + λg est de classe C1 sur Rn et ∇(f + λg)(a) = ∇f(a) + λ×∇g(a) .
2. f × g est de classe C1 sur Rn et ∇(f × g)(a) = f(a)×∇g(a) + g(a)∇f(a)
3. Si g(a) 6= 0, alorsf
gest est de classe C1 sur un voisinage de a et ∇f
g(a) =
g(a)∇f(a)− f(a)∇g(a)
g(a)2
Théorème 4. CompositionsSoit f : Rn → R de classe C1 sur Rn.
1. Soit I un intervalle de R.Soient u1 : I → R, . . . , un : I → R On suppose que u1, . . . , un sont de classe C1 sur leurs ensemblesrespectifs.
Alors g :
{I → Rt 7→ f(u1(t), . . . , un(t))
est de classe C1 sur I
et ∀t ∈ I, g′(t) =
n∑i=1
∂f
∂xi(u1(t), . . . , un(t))× u′i(t) =< ∇f(u1(t), ..., un(t)), (u′1(t), ..., u′n(t)) >
2. Soit h une application de classe C1 sur un intervalle I tel que f(Rn) ⊂ I à valeurs dans R. On dé�nit
g :
{I → D
x 7→ h(f(x))
g est de classe C1 sur Rn et ∀a ∈ Rn
∇h(a) = h′(f(a))∇f(a)
3. f1, ..., fn n fonctions dé�nies sur Rp à valeurs dans R de classe C1 sur Rp.
g :
{Rp → Rt 7→ f(f1(t), ..., fn(t))
g est de classe C1 sur Rp et ∀i ∈ [|1, p|] et ∀a ∈ O
∂i(g)(a) =
n∑j=1
∂j(f)((f1(a), ...., fn(a))) ∂ifj(a)
Dé�nition 13. Soit f : Rn → R. Soit a ∈ Rn.On dit que f admet unDL1 en a (ou que f est di�érentiable en a) si et seulement si il existe une fonction ε : Rn → Rvéri�ant lim
h→(0,...,0)ε(h) = 0 et un vecteur (α1, . . . , αn) ∈ Rn, tels que
∀h ∈ Rn f(a+ h) = f(a) +
n∑i=1
αihi + ‖h‖ ε(h)
Dfa :
Rn → R
(h1, . . . , hn) 7→n∑
i=1
αihiest appelée la di�érentielle de f en a.
Nota : l'application h 7→ hi est notée dxi et on a ainsi Dfa =
n∑i=1
αidxi.
Théorème 5. Dfa ∈ L(Rn,R), c'est une forme linéaire.
Théorème 6. Soit f : Rn → R C1 sur Rn.
Alors f est di�érentiable en tout point de Rn et
∀a ∈ Rn Dfa :
Rn → R
(h1, . . . , hn) 7→n∑
i=1
∂i(f)(a)× hi
7
C'est-à-dire que : ∀h ∈ Rn f(a+ h) = f(a) +
n∑i=1
∂f
∂xi(a)× hi + ◦(‖h‖)
Remarque : Dfa(h) = 〈∇f(a), h〉
Et donc : ∀h ∈ Rn f(a+ h) = f(a) + 〈∇f(a), h〉+ ◦(‖h‖)
ou encore :x ∈ Rn, f(x) = f(a) + 〈∇f(a), x− a〉+ ◦(‖x− a‖)
Conséquence du théorème : Si f est C1 sur Rn alors f est C0 sur Rn.
Dé�nition 14. : Hyperplan a�ne tangent au graphe :Soit f : Rn → R, telle que f soit C1 sur Rn.
ta :
{Rn → Rx 7→ f(a)+ < ∇f(a), x− a >
ta est la fonction a�ne tangente à f en a et le graphe de cette fonction est l'hyperplan a�ne tangent au graphe def en a.
2.4 Les dérivées directionnelles et conséquences
Dé�nition 15. :Soient f : Rn → R et a ∈ Rn et u ∈ Rn u 6= 0Rn .
g :
{R→ Rt 7→ f(a+ tu)
Si g est dérivable en 0 alors on dit que f admet une dérivée partielle première en a dans la direction u. On la notesouvent f ′u(a) On a donc
f ′u(a) = limh→0
f(a+ hu)− f(a)
h
Propriété 9. Soient f : Rn → R de classe C1 sur Rn et a ∈ Rn et u ∈ Rn u 6= 0Rn .et
g :
{R→ Rt 7→ f(a+ tu)
1. g est de classe C1 sur R. et∀t ∈ R g′(t) = 〈∇f(a+ tu), u〉
En particulier g′(0) = 〈∇f(a), u〉2.
|f ′u(a)| ≤ ||∇f(a)||||u||
3 Extremums d'une fonction
3.1 Extremuns globaux et locaux
Dé�nition 16. Soient (a, r) ∈ Rn × R+∗.
1. On appelle boule ouverte de centre a et de rayon r et on note
B(a, r) = {x ∈ Rn|||x− a|| < r}
2. On appelle boule fermée de centre a et de rayon r et on note
B(a, r) = {x ∈ Rn|||x− a|| ≤ r}
Dé�nition 17. Soit a ∈ Rn et f : Rn → R.
1. On dit que f admet unmaximum local (resp. unminimum local) en a s'il existe un r > 0 tel que ∀x ∈ B(a, r),f(x) ≤ f(a) (resp. f(x) ≥ f(a)).
On dit que f admet un extremum local en a si f admet un maximum local ou un minimum local en a.
8
2. On dit que f admet un maximum local strict (resp. un minimum local stric) en a s'il existe un r > 0 tel que∀x ∈ B(a, r)− {a}, f(x) < f(a) (resp. f(x) > f(a)).
On dit que f admet un extremum local en a si f admet un maximum local ou un minimum local en a.
Dé�nition 18. Soit f : Rn → R de classe C1.
On appelle point critique de f tout point a ∈ Rn tel que ∀i ∈ [[1, n]], ∂i(f)(a) = 0. ie ∇f(a) = 0
Théorème 7. Soit f : Rn → R de classe C1 .
Si f admet un extremum en a, alors a est un point critique. La réciproque est fausse et un point critique qui n'estpas un extremum local s'appelle un point selle ou col.
f unc t i on z=g (x , y )z=x∗y ;
endfunct ionfunc t i on graph4 ( )
x=[ −30 :1 :30 ] ;y=x ;c l f ;f p l o t 3d (x , y , g , alpha=45, theta =45);
endfunct ionfunc t i on graph5 ( )
x=[ −30 :1 :30 ] ;y=x ;c l f ;f p l o t 3d (x , y , g , ) ;
endfunct ionfunc t i on z=h(x , y )
z=x^2+y^2;endfunct ionfunc t i on graph6 ( )
x=[ −30 :1 :30 ] ;y=x ;c l f ;f p l o t 3d (x , y , h ) ;
endfunct ion
9
0 −2020
−30−1010300−2020
−30 −10 10 30
0
−1 000
1 000
−800
−600
−400
−200
200
400
600
800
XY
Z
10
0 −2020
−30−1010300−20
20−30 −10 10 30
0
−1 000
1 000
−800
−600
−400
−200
200
400
600
800
XY
Z
11
0 −2020
−30−1010300−20
20−30 −10 10 30
0
1 000
200
400
600
800
1 200
1 400
1 600
1 800
XY
Z
Propriété 10. Soit f : Rn → R et f de classe C1 de Rn dans R.Si f admet un point critique en a, alors toute les dérivées directionnelles sont nulles en a.
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