정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ

정답과풀이

=x› -2x‹ -13x¤ +14x+48

따라서 a=-13, b=48이므로

a+b=-13+48=35

답⃞ 35

4x‹ +y‹ =(x+y)‹ -3xy(x+y)

=3‹ -3xy¥3

=27-9xy

=45

이므로 xy=-2

(x-y)¤ =(x+y)¤ -4xy=3¤ -4(-2)=17이므로

x-y='1å7

따라서

x¤ -y¤ =(x+y)(x-y)

=3_'1å7=3'1å7

답⃞ 3'1å7

5x¤ +y¤ +z¤ =(x+y+z)¤ -2(xy+yz+zx)

=2¤ -2(xy+yz+zx)

=16

이므로

xy+yz+zx=-6

따라서

x¤ y¤ +y¤ z¤ +z¤ x¤

=(xy+yz+zx)¤ -2xyz(x+y+z)

=(-6)¤ -2_(-4)_2

=52

답⃞ 52

6다항식 f(x)를다항식 g(x)로나누었을때의몫이 x-2이고,

나머지가 3x+3이므로

f(x)=g(x)(x-2)+3x+3

=(x-2)g(x)+3(x-2)+9

=(x-2){ g(x)+3}+9

따라서다항식 f(x)를 x-2로나누었을때의나머지는 9이다.

답⃞ 9

EBS 올림포스수학Ⅰ2

12(X+A+B)=3(A-B)에서

2X+2A+2B=3A-3B이므로

2X=3A-3B-2A-2B

2X=A-5B

2X=(x¤ +3xy-2y¤ )-5(3x¤ -xy+2y¤ )

=x¤ +3xy-2y¤ -15x¤ +5xy-10y¤

=-14x¤ +8xy-12y¤

따라서 X=-7x¤ +4xy-6y¤

답⃞ ③

2(2x+3)¤ (3x¤ +2x+1)¤ ={(2x+3)(3x¤ +2x+1)}¤

=(6x‹ +13x¤ +8x+3)¤

에서 A=6x‹ +13x¤ +8x+3이라고하면주어진식은 A¤이므

로 x›항은

(다항식 A의삼차항)_(다항식 A의일차항)

+(다항식 A의이차항)_(다항식 A의이차항)

+(다항식 A의일차항)_(다항식 A의삼차항)

따라서

6x‹ ¥8x+13x¤ ¥13x¤ +8x¥6x‹ =(48+169+48)x›

=265x›

이므로 x›의계수는265이다.

답⃞ ③

3(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)+24

={(x+1)(x-2)} {(x+3)(x-4)}+24

=(x¤ -x-2)(x¤ -x-12)+24

=(x¤ -x)¤ -14(x¤ -x)+48

=x› -2x‹ +x¤ -14x¤ +14x+48

Ⅰ. 다항식

다항식의연산01

유제 본문 8̀~1̀0̀쪽

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

=2(a¤ +2ab+b¤ +c¤ -2cd+d¤ )

이므로서로다른항의개수는 6이다.

답⃞ ④

04(a-2)(a¤ -2a+4)(a+2)(a¤ +2a+4)

={(a+2)(a¤ -2a+4)} {(a-2)(a¤ +2a+4)}

=(a‹ +2‹ )(a‹ -2‹ )

=afl -2fl

=(a‹ )¤ -64

=3¤ -64

=-55

답⃞ ⑤

05(a+b+c)(a+b-c)=

a¤ +ab-ac+ba+b¤ -bc+ca+cb-c¤

=

a¤ +2ab+b¤ -c¤ =2ab

a¤ +b¤ =c¤

따라서삼각형 ABC는 c가빗변인직각삼각형이다.

답⃞ ⑤

06a¤ -b¤ ='3, ab=-;2!;이므로

(a‹ -b‹ )(a‹ +b‹ )

=afl -bfl

=(a¤ -b¤ )‹ +3a¤ b¤ (a¤ -b¤ )

=('3 )‹ +3{-;2!;}2_'3

=3'3+

=

답⃞ ③

07a+b+c=3, a¤ +b¤ +c¤ =7이므로

15'34

3'34

(a¤ +2ab+b¤ )-(a¤ -2ab+b¤ )2

(a+b)¤ -(a-b)¤2

정답과풀이 3

유형확인

01 -x¤ -2x+2 02 ④ 03 ④ 04 ⑤05 ⑤ 06 ③ 07 ⑤ 08 ① 09 ①

본문 11̀~1̀2̀쪽

01A+2B=-3x¤ -2x+5 yy`㉠

3A-B=5x¤ -6x-6 yy`㉡

3_㉠-㉡에서

3(A+2B)-(3A-B)

=3(-3x¤ -2x+5)-(5x¤ -6x-6)

7B=-9x¤ -6x+15-5x¤ +6x+6

=-14x¤ +21

이므로 B=-2x¤ +3 yy`㉢

㉢을㉠에대입하면

A+2(-2x¤ +3)=-3x¤ -2x+5

A=-3x¤ -2x+5-2(-2x¤ +3)

=-3x¤ -2x+5+4x¤ -6

=x¤ -2x-1

따라서

A+B=(x¤ -2x-1)+(-2x¤ +3)

=-x¤ -2x+2

답⃞ -x¤ -2x+2

02(2x‹ -x¤ +3x-5)(ax¤ +3x+1)의전개식에서 x¤의계수는

(-1)_1+3_3+(-5)_a=8-5a이므로

8-5a=3에서

a=1

x의계수는 3_1+(-5)_3=-12이므로 b=-12

따라서 a+b=1+(-12)=-11

답⃞ ④

03a+b=A, c-d=B로놓으면

(a+b-c+d)¤ +(a+b+c-d)¤

=(A-B)¤ +(A+B)¤

=(A¤ -2AB+B¤ )+(A¤ +2AB+B¤ )

=2(A¤ +B¤ )

정답과풀이

ab+bc+ca=;2!; {(a+b+c)¤ -(a¤ +b¤ +c¤ )}

ab+bc+ca=;2!;(3¤ -7)

ab+bc+ca=1

따라서

(a+b)(b+c)+(b+c)(c+a)+(c+a)(a+b)

=(ab+ac+b¤ +bc)+(bc+ab+c¤ +ac)

+(ac+bc+a¤ +ab)

=a¤ +b¤ +c¤ +3(ab+bc+ca)

=7+3_1

=10

답⃞ ⑤

08주어진삼각형의한변이지름이므로이삼각형은직각삼각형이

고밑변의길이와높이를각각 a, b라고하면넓이가 20이므로

;2!;ab=20

ab=40 yy`㉠

또한, 빗변이원의지름이므로

a¤ +b¤ =10¤ yy`㉡

㉠, ㉡에서

(a+b)¤ =a¤ +b¤ +2ab

=10¤ +2_40

=180

이때, a+b>0이므로 a+b=6'5

따라서주어진삼각형의둘레의길이는

10+6'5

답⃞ ①

09x‹ +2x¤ -3x+a가 x¤ +x-4로 나누어떨어지므로 직접 나눗

셈을하면다음과같다.

x¤ -x-b< x+1x¤ +x-4<‘ x‹ +‘2x¤ ‘-3‘x+a‘x¤ -x-b<≥ x‹ +≥2x¤ ≥-4x≥≥ ≥ x¤ -x-b< x‹ +2x¤ +3x+ax¤ -x-b<≥ x‹ +≥2x¤ ≥+3x≥-4≥ x¤ -x-b< x‹ +2x¤ -3x+a+4

나머지가 0이어야하므로

a+4=0

따라서 a=-4

답⃞ ①

EBS 올림포스수학Ⅰ4

01출제의도 곱셈공식의변형을이용하여식의값을구할수있는지를묻

는문제이다.

⑴a¤ +b¤ +c¤ =1, a+b+c='3이므로

⑴2(ab+bc+ca)=(a+b+c)¤ -(a¤ +b¤ +c¤ )

⑴2(ab+bc+ca)=('3)¤ -1

⑴2(ab+bc+ca)=2

⑴따라서 ab+bc+ca=1이므로

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

⑴(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤

⑴=2(a¤ +b¤ +c¤ )-2(ab+bc+ca)

⑴=2_1-2_1

⑴=0

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

⑵(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ =0에서

⑴a-b=b-c=c-a=0이므로

⑴a=b=c

⑴a+b+c='3에서3a='3이므로 a=

⑴따라서 a=b=c= 이므로

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

⑴a‹ +b‹ +c‹ ={ }3+{ } 3+{ }3

⑴a‹ +b‹ +c‹ =

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ ⑴ 0 ⑵'33

'33

'33

'33

'33

'33

'33

서술형연습장본문 13̀쪽

01⑴ 0 ⑵ 02 34 03 32

04몫：;3!;x¤ +x-;3!; , 나머지：2

'33

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

02출제의도 곱셈공식의변형을이용하여주어진식의값을구할수있는

지를묻는문제이다.

x+y=('2-1)+('2+1)=2'2

xy=('2-1)('2+1)=1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

이므로

x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy

=(2'2)¤ -2_1

=6

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

=

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

=

=34

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 34

03출제의도 주어진상황을식으로표현한후곱셈공식에적용할수있는

지를묻는문제이다.

세원의넓이의합이 90p이므로

p(a¤ +b¤ +c¤ )=90p

a¤ +b¤ +c¤ =90

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

6¤ -2_1¤1

(x¤ +y¤ )¤ -2(xy)¤xy

x› +y›xy

ab+bc+ca=83이므로

(a+b+c)¤ =a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca)

=90+2_83

=256

=16¤

이때, a+b+c>0이므로 a+b+c=16

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

삼각형의둘레의길이는 2(a+b+c)이므로

2(a+b+c)=2_16=32

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 32

04출제의도 주어진 다항식을 몫과 나머지로 표현할 수 있는지를 묻는 문

제이다.

다항식 f(x)를 x-;3@;로나누었을때의몫은 x¤ +3x-1, 나머

지는 2이므로

f(x)={x-;3@;}(x¤ +3x-1)+2

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

f(x)=3{x-;3@;}¥;3!;(x¤ +3x-1)+2

f(x)=(3x-2)¥;3!;(x¤ +3x-1)+2

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 f(x)를 3x-2로나누었을때의몫은 ;3!;x¤ +x-;3!;이

고, 나머지는 2이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 몫：;3!;x¤ +x-;3!;, 나머지：2

정답과풀이 5

ab+bc+ca의값을구한경우 30 %

단계 채점기준 비율

(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤의 값을 구한경우

30 %

a, b, c의값을구한경우 30 %

a‹ +b‹ +c‹의값을구한경우 10 %

곱셈 공식의 변형을 이용하여 x¤ +y¤의 값을구한경우

30 %

단계 채점기준 비율

주어진식을 xy, x¤ +y¤을이용하여나타낸경우

20 %

주어진식의값을구한경우 20 %

x+y, xy의값을구한경우 30 %

세원의넓이의합을이용하여 a¤ +b¤ +c¤ `의값을구한경우

30 %

단계 채점기준 비율

삼각형의둘레의길이를구한경우 20 %

a+b+c의값을구한경우 50 %

몫과 나머지를 이용하여 f(x)를 표현한경우

30 %

단계 채점기준 비율

식을변형하여 3x-2로나눈식을표현한경우

40 %

몫과나머지를구한경우 30 %

bc(b+c)=:¡2∞: yy`㉠

또한, 두블록 B, C의아래쪽에있는밑면의넓이의합

b¤ p+c¤ p는그릇 A의밑면의넓이 a¤ p의 ;9$;이므로

b¤ p+c¤ p=;9$;a¤ p

따라서

{a¤ -(b¤ +c¤ )}p=;9%;a¤ p

(b+c)¤ -(b¤ +c¤ )=;9%;a¤

2bc=;9%;a¤ yy`㉡

㉠, ㉡을변끼리나누면

= , ;2A;= , a‹ =27

따라서그릇 A의부피는 27p cm‹이다.

답⃞ ③

272a¤

272a¤

b+c2

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ6

고난도문항 본문 14̀쪽

01① 02② 03③

1등급

015=(a+b+c)¤ -3(ab+bc+ca)

=a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca

이므로

(a-b)(b-c)+(b-c)(c-a)+(c-a)(a-b)

=(ab-ac-b¤ +bc)+(bc-ba-c¤ +ca)

+(ca-cb-a¤ +ab)

=-a¤ -b¤ -c¤ +ab+bc+ca

=-5

답⃞ ①

02101=100+1, 99=100-1이므로 100=a로놓으면

A=(101¤ -99¤ )(101‹ -99‹ )(101› -99› )

={(a+1)¤ -(a-1)¤ } {(a+1)‹ -(a-1)‹ }

_{(a+1)› -(a-1)› }

=4a(6a¤ +2){(a¤ +2a+1)¤ -(a¤ -2a+1)¤ }

=4a(6a¤ +2)4a(2a¤ +2)

=16a¤ (12a› +16a¤ +4)

=192afl +256a› +64a¤

=192_10⁄ ¤ +256_10° +64_10›

따라서 A는 15자리자연수이고, 최고자릿수는 1이므로

n+k=15+1=16

답⃞ ②

03두블록 B, C의옆면이서로외접하고그릇 A에내접하므로

a=b+c

흘러넘친물의양은

(a‹ -b‹ -c‹ )p=

a‹ -b‹ -c‹ =(b+c)‹ -b‹ -c‹

=b‹ +3b¤ c+3bc¤ +c‹ -b‹ -c‹

=3bc(b+c)

a‹ -b‹ -c‹ =:¢2∞:

45p2

수능유형맛보기 본문 15̀쪽

01⑤ 02② 03② 04①

01x항이나올수있는경우는다음과같다.

⁄ (3x¤ +2x+5)‹에서 x의계수와 2x+3에서상수항의곱

3x¤ +2x=A로놓으면

(3x¤ +2x+5)‹ =(A+5)‹

=A‹ +15A¤ +75A+125

A‹은삼차이상, 15A¤은이차이상의항만나오므로 x항이

나올수있는항은 75A이다.

75A=75(3x¤ +2x)=225x¤ +150x이므로 x의계수는

150이다.

또한, 2x+3의상수항은 3이므로구하는 x의계수는

150_3=450

¤ (3x¤ +2x+5)‹에서상수항과 2x+3에서 x의계수의곱

(3x¤ +2x+5)‹의상수항은 5‹ =125이고, 2x+3에서 x의

계수는 2이므로구하는 x의계수는 125_2=250

⁄, ¤에서구하는 x의계수는

450+250=700

답⃞ ⑤

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

02a-b=t (t>0)로놓으면

ab=-;2!;이고, a¤ +b¤ =a-b이므로

(a-b)¤ +2ab=a-b

t¤ +2_{-;2!;}=t

t¤ -t-1=0

t=

이때, t>0이므로

t=

따라서 a-b= 이므로

(a+b)¤ =(a-b)¤ +4ab

(a+b)¤ ={ } 2+4_{-;2!;}

(a+b)¤ = -2

(a+b)¤ =

(a+b)¤ =

답⃞ ②

03a¤ =3-2'2, b¤ =3+2'2에서

a¤ b¤ =(3-2'2)(3+2'2)=1, (ab)¤ =1

이때, a>0, b>0이므로

ab=1

한편,

(a+b)¤ =a¤ +2ab+b¤

=(3-2'2)+2+(3+2'2)

=8

이때, a>0, b>0이므로

a+b=2'2

따라서

a‹ +b‹ =(a+b)‹ -3ab(a+b)

=(2'2)‹ -3_1_2'2

=10'2

답⃞ ②

-1+'52

-2+2'54

6+2'54

1+'52

1+'52

1+'52

1—'52

정답과풀이 7

04다항식 f(x)를 x-3으로나누었을때의몫은 Q(x), 나머지가

5이므로

f(x)=(x-3)Q(x)+5 yy`㉠

몫 Q(x)를 x-2로나누었을때의몫을 P(x)라고하면나머

지가 3이므로

Q(x)=(x-2)P(x)+3 yy`㉡

㉡을㉠에대입하면

f(x)=(x-3){(x-2)P(x)+3}+5

=(x-3)(x-2)P(x)+3(x-3)+5

=(x-3)(x-2)P(x)+3x-4

따라서구하는나머지는 3x-4이다.

답⃞ ①

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ8

1주어진등식의우변을전개하여정리하면

x¤ +3x-2=ax¤ +(-2a+b)x+a-b+c

양변의동류항의계수를비교하면

1=a, 3=-2a+b, -2=a-b+c

위의세식을연립하여풀면

a=1, b=5, c=2이므로

a¤ +b¤ +c¤ =1¤ +5¤ +2¤ =30

답⃞ 30

[다른풀이]

주어진등식이 x에대한항등식이므로

양변에 x=0을대입하면

-2=a-b+c yy`㉠

양변에 x=1을대입하면

2=c yy`㉡

양변에 x=2를대입하면

8=a+b+c yy`㉢

㉠, ㉡, ㉢을연립하여풀면

a=1, b=5, c=2이므로

a¤ +b¤ +c¤ =1¤ +5¤ +2¤ =30

2x‹ +2x-5=a(x-1)‹ +b(x-1)¤ +c(x-1)+d가 x에대한

항등식이므로

양변에 x=0을대입하면

-5=-a+b-c+d yy`㉠

양변에 x=2를대입하면

7=a+b+c+d yy`㉡

㉠+㉡을하면 2=2b+2d에서 b+d=1이므로

a+4b+c+4d=(a+b+c+d)+3(b+d)

=7+3_1

=10

답⃞ 10

나머지정리02

유제 본문 18̀~2̀0̀쪽

3다항식 f(x)를 (x-2)(x+3)으로나누었을때의몫을 Q(x),

나머지를 R(x)라고하면 (x-2)(x+3)이이차식이므로

R(x)=ax+b (̀a, b는상수)로놓을수있다.

따라서

f(x)=(x-2)(x+3)Q(x)+ax+b yy`㉠

다항식 f(x)를 x-2로나눈나머지는 7, x+3으로나눈나머

지는 2이므로㉠에 x=2, x=-3을각각대입하면

f(2)=2a+b=7 yy`㉡

f(-3)=-3a+b=2 yy`㉢

㉡, ㉢을연립하여풀면 a=1, b=5

따라서구하는나머지는 x+5이다.

답⃞ x+5

4다항식 f(x)를 이차식 2x¤ -x-3으로 나누었을 때의 몫을

P(x)라고하면나머지가2x-3이므로

f(x)=(2x¤ -x-3)P(x)+2x-3

=(2x-3)(x+1)P(x)+2x-3

=(2x-3){(x+1)P(x)+1}

Q(x)=(x+1)P(x)+1

따라서다항식 Q(x)를 x+1로나눈나머지는

Q(-1)=1

답⃞ 1

5다항식 x‹ +x¤ +ax+b를이차식 (x-1)(x+1)로나누었을

때의몫을 Q(x)라고하면

x‹ +x¤ +ax+b=(x-1)(x+1)Q(x)

이식은 x에대한항등식이므로

양변에 x=1을대입하면

1+1+a+b=0, a+b=-2 yy㉠

양변에 x=-1을대입하면

-1+1-a+b=0, -a+b=0 yy㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면

a=-1, b=-1

이므로

a¤ +b¤ =1+1=2

답⃞ 2

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

이식은 x에대한항등식이므로양변의계수를비교하면

4=2+b, 7=3+2b, a=3b

위의세식을연립하여풀면

a=6, b=2

답⃞ ③

03x‹ -3x¤ +2x-3을다항식 f(x)로나누었을때의몫이 x-4,

나머지가 6x-3이므로

x‹ -3x¤ +2x-3=f(x)(x-4)+6x-3

이식은모든 x에대하여성립하므로양변에 x=2를대입하면

8-12+4-3=f(2)¥(-2)+9

따라서 f(2)=6

답⃞ ④

04f(x)를 x+2로나누었을때의나머지가 3이므로

f(-2)=3

(x-2)f(x)를 x+2로나누었을때의몫이 Q(x), 나머지가

R이므로

(x-2)f(x)=(x+2)Q(x)+R yy`㉠

㉠에 x=-2를대입하면

-4f(-2)=R, R=(-4)_3=-12

㉠에 x=2를대입하면

0=4Q(2)+R, 4Q(2)=-R

4Q(2)=12, Q(2)=3

따라서 Q(2)+R=3+(-12)=-9

답⃞ ②

05다항식 f(x)를 x-1로나누었을때의나머지가 2이므로

f(1)=2

다항식 g(x)를 x-1로나누었을때의나머지가 -5이므로

g(1)=-5

{ f(x)}¤ +f(x)g(x)를 x-1로나누었을때의나머지를 R라고

하면 { f(1)}¤ +f(1)g(1)=R이므로

R=2¤ +2_(-5)=-6

답⃞ ①

정답과풀이 9

62x-1=2{x-;2!;}이므로조립제법을이용하여

2x‹ +3x¤ -4x+2를 x-;2!;로나누면다음과같다.

따라서

2x‹ +3x¤ -4x+2

={x-;2!;}(2x¤ +4x-2)+1

=2{x-;2!;}(x¤ +2x-1)+1

=(2x-1)(x¤ +2x-1)+1

이므로구하는몫은 x¤ +2x-1이고나머지는 1이다.

답⃞ 몫：x¤ +2x-1, 나머지：1

-21 2 3 -4 2

1 2 -1

2 4 -2 1

유형확인

01 ① 02 ③ 03 ④ 04 ② 05 ①06 ② 07 ③ 08 ⑤ 09 ⑤

본문 21̀~2̀2̀쪽

01(a+1)x¤ +bx+y¤ +xy+c-1=0에 y=-x+1을대입하여

정리하면

(a+1)x¤ +bx+(-x+1)¤ +x(-x+1)+c-1=0

(a+1)x¤ +(b-1)x+c=0

이식은모든실수 x에대하여성립해야하므로

a+1=0, b-1=0, c=0

a=-1, b=1, c=0

따라서 abc=(-1)_1_0=0

답⃞ ①

02삼차식 x‹ +4x¤ +7x+a를 이차식 x¤ +2x+3으로 나누었을

때의몫을 x+b (̀b는상수)라고하면

x‹ +4x¤ +7x+a=(x¤ +2x+3)(x+b)

=x‹ +(2+b)x¤ +(3+2b)x+3b

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ10

06f(x)=(x+a-1)(x-1-b)+(a-1)(x-b)+3으로 놓

으면 f(x)를 x-1로나누었을때의나머지가 3이므로

f(1)=a(-b)+(a-1)(1-b)+3=3

-2ab+a+b-1=0 yy`㉠

f(x)는 x-b로나누어떨어지므로

f(b)=(b+a-1)(-1)+3=0

a+b=4 yy`㉡

㉡을㉠에대입하면

ab=;2#; yy`㉢

㉡과㉢에의하여

a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab

a¤ +b¤ =4¤ -2_;2#;

a¤ +b¤ =13

답⃞ ②

07f(x)를 x¤ +x-2=(x+2)(x-1)로 나누었을 때의 나머지

가 2x+3이므로

f(1)=5, f(-2)=-1

g(x)=(x-1)¤ f(x+3)+(x+2)f(x+6)이라고하면

g(x)를 x+5로나누었을때의나머지는 g(-5)이므로

g(-5)=(-5-1)¤ f(-5+3)+(-5+2)f(-5+6)

=6¤ f(-2)+(-3)f(1)

=36_(-1)+(-3)_5

=-36-15

=-51

답⃞ ③

08x‹ +2x¤ -3x+a를 x-1로나누었을때의나머지를 R라고하면

x‹ +2x¤ -3x+a=(x-1)Q(x)+R

이식은 x에대한항등식이므로

x=1을대입하면 R=a

x‹ +2x¤ -3x+a=(x-1)Q(x)+a yy`㉠

Q(x)를 x-2로 나누었을 때의 나머지는 Q(2)이므로 ㉠에

x=2를대입하면

2‹ +2_2¤ -3_2+a=(2-1)Q(2)+a

따라서 Q(2)=10

답⃞ ⑤

09삼차다항식 f(x)+x+1을 x¤ +3으로나누었을때의몫은일

차다항식이므로 ax+b (̀a+0, a, b는상수)라고할수있다.

따라서

f(x)+x+1=(x¤ +3)(ax+b)

이므로

f(x)=(x¤ +3)(ax+b)-x-1

=(x¤ +2+1)(ax+b)-x-1

=(x¤ +2)(ax+b)+(ax+b)-x-1

=(x¤ +2)(ax+b)+(a-1)x+b-1 yy㉠

f(x)는 x¤ +2로나누어떨어지므로㉠에서

a-1=0, b-1=0

a=1, b=1

따라서 f(x)=(x¤ +2)(x+1)이므로

f(1)=(1¤ +2)(1+1)=6

답⃞ ⑤

01출제의도 항등식의성질을이용하여미정계수를구할수있는지를묻는

문제이다.

x¤ +ax+6=x(2x-1)+b(x+3)(x-2)에서 우변을 전개

하여정리하면

x¤ +ax+6=(2+b)x¤ +(b-1)x-6b

이므로

1=2+b, a=b-1, 6=-6b

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

이것을연립하여풀면

a=-2, b=-1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 a+b=-2+(-1)=-3

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ -3

서술형연습장본문 23̀쪽

01-3 02-12 03 13x+39 04 28

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 11

02출제의도 나머지정리를이용하여나머지를구할수있는지를묻는문제

이다.

f(x)를2x+3으로나누었을때의나머지가16이므로

f {-;2#;}=16

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

x¤ f(x)를2x+3으로나누었을때의나머지를 R라고하면

R={-;2#;}2 f {-;2#;}=;4(;_16=36

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 x¤ f(x)=(2x+3)Q(x)+36 yy`㉠

Q(x)를 x로나누었을때의나머지는 Q(0)이므로

㉠의양변에 x=0을대입하면

0=3Q(0)+36

따라서 Q(0)=-12

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ -12

03출제의도 나머지정리를이용하여 나머지를구할수있는지를묻는문제

이다.

f(x)를 x¤ -3x-4로나누었을때의몫을 Q(x)라고하면나

머지가 3x+1이므로

f(x)=(x¤ -3x-4)Q(x)+3x+1

=(x+1)(x-4)Q(x)+3x+1

이식에 x=4를대입하면

f(4)=13 yy`㉠

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

식을정리하여계수를비교한경우

연립방정식을풀어 a, b의값을구한경우

a+b의값을구한경우

40 %

40 %

20 %

단계 채점기준 비율 (x+3)f(x+3)을 x¤ +2x-3으로나누었을때의몫을 P(x),

나머지를ax+b (̀a, b는상수)라고하면

(x+3)f(x+3)=(x¤ +2x-3)P(x)+ax+b

=(x-1)(x+3)P(x)+ax+b yy`㉡

㉡에 x=-3을대입하면 0=-3a+b yy`㉢

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

또한, ㉡에 x=1을대입하면 4f(4)=a+b yy`㉣

㉣에㉠을대입하면 a+b=52 yy`㉤

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉢과㉤을연립하여풀면

a=13, b=39

따라서구하는나머지는 13x+39이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 13x+39

04출제의도 인수정리와조립제법을이용할수있는지를묻는문제이다.

다항식 f(x)=x‹ +ax¤ -5x+b가 (x+1)(x-2)로나누어

떨어지고몫은 Q(x)이므로

x‹ +ax¤ -5x+b=(x+1)(x-2)Q(x) yy`㉠

㉠에 x=-1, x=2를각각대입하면

4+a+b=0, -2+4a+b=0

이것을연립하여풀면

a=2, b=-6

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

즉, f(x)=x‹ +2x¤ -5x-6이고 조립제법에 의하여 f(x)를

x-2로나누면

f(x)=x‹ +2x¤ -5x-6

=(x-2)(x¤ +4x+3)

=(x-2)(x+1)(x+3)

이므로

12 2 -5 -6

2 8 6

1 4 3 0

f {-;2#;}의값을구한경우 30 %

단계 채점기준 비율

x¤ f(x)를 2x+3으로 나누었을 때의 나머지를구한경우

30 %

Q(x)를 x로나누었을때의나머지를구한경우

40 %

f(4)의값을구한경우

㉢을구한경우

㉤을구한경우

30 %

30 %

30 %

단계 채점기준 비율

㉢과㉤을연립하여나머지를구한경우 10 %

Q(x)=x+3

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서

f(3)+Q(1)=1_(3+1)_(3+3)+(1+3)=28

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`❸

답⃞ 28

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ12

인수정리를이용하여a, b의값을구한경우

조립제법을이용하여 Q(x)를구한경우

f(3)+Q(1)의값을구한경우

40 %

40 %

20 %

단계 채점기준 비율

고난도문항 본문 24̀쪽

01 295 02③ 03③

1등급

01(x¤ +2x)fi +5=aº+a¡x+a™x¤ +y+a¡ºx⁄ ‚

이식에 x=0을대입하면 aº=5이므로

(x¤ +2x)fi =a¡x+a™x¤ +y+a¡ºx⁄ ‚

xfi (x+2)fi =a¡x+a™x¤ +y+a¡ºx⁄ ‚

좌변에서사차이하의항의계수는모두 0이므로

a¡+a™+a£+a¢=0

이때,

xfi (x+2)fi =a∞xfi +a§xfl +a¶x‡ +y+a¡ºx⁄ ‚

(x+2)fi =a∞+a§x+a¶x¤ +y+a¡ºxfi yy`㉠

㉠에 x=0을대입하면

a∞=2fi

㉠에 x=1을대입하면

3fi =a∞+a§+a¶+a•+aª+a¡º

a§+a¶+a•+aª+a¡º=3fi -2fi

따라서

4aº+3(a¡+a™+a£+a¢)+2a∞+(a§+a¶+a•+aª+a¡º)

=4_5+3_0+2_2fi +(3fi -2fi )

=20+0+64+(243-32)

=295

답⃞ 295

02f(x)의 차수를 n이라고 하면 f(x¤ ), x‹ f(x)의 차수는 각각

2n, n+3이다.

조건(가)에서 f(x¤ )과 x‹ f(x)의차수가같으므로

2n=n+3

n=3

f(x)의최고차항의계수가 1이고차수가 3이며조건 (나)에서

f(x)는 x-2로나누어떨어지므로

f(x)=(x-2)(x¤ +ax+b)(̀a, b는상수) yy`㉠

로놓을수있다.

이때, f(x¤ )=(x¤ -2)(x› +ax¤ +b)이고

조건(나)에서 f(x¤ )도 x-2로나누어떨어지므로

f(2¤ )=(2¤ -2)(2› +a¥2¤ +b)=0

4a+b=-16

b=-4a-16 yy`㉡

㉡을㉠에대입하면

f(x)=(x-2){x¤ +ax-4(a+4)}

=(x-2)(x-4)(x+a+4) yy`㉢

이므로

f(x¤ )=(x¤ -2)(x¤ -4)(x¤ +a+4)

=(x¤ -2)(x-2)(x+2)(x¤ +a+4)

두다항식 f(x)와 f(x¤ )이모두 x+k(k+-2)로나누어떨

어져야하므로㉢에서

⁄ x-4=x+k, 즉 k=-4일때,

f(x¤ )의인수 x¤ +a+4는 x-4로나누어떨어져야하므로

4¤ +a+4=0

a=-20

따라서

f(x¤ )=(x¤ -2)(x-2)(x+2)(x¤ -16)

=(x¤ -2)(x-2)(x+2)(x-4)(x+4)

이므로주어진조건을만족시킨다.

¤ x+a+4=x+k일때,

ㄱ. f(x¤ )의인수 x+2가 x+a+4로나누어떨어지는경우

ㄱ. 2=a+4에서 a=-2

ㄱ. 즉, k=2

ㄱ. 이때, f(x), f(x¤ )은모두 x+2로나누어떨어지므로

주어진조건을만족시킨다.

ㄴ. f(x¤ )의인수 x¤ +a+4가 x+a+4로나누어떨어지는

경우

ㄱ. (-a-4)¤ +a+4=0

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 13

ㄱ. a¤ +9a+20=0

ㄱ. (a+5)(a+4)=0

ㄱ. a=-5또는 a=-4

ㄱ. 즉, k=-1또는 k=0

ㄱ. 이때, f(x), f(x¤ )은모두 x-1 또는 x로나누어떨어

지므로주어진조건을만족시킨다.

⁄, ¤에서주어진조건을만족시키는 k의값은 -4, -1, 0,

2의 4개이다.

답⃞ ③

03정사각형의한변의길이 (n‹ +an¤ +bn+8)cm는

(n+3)cm, (n+2)cm로나누었을때의나머지가모두 2 cm

이어야하므로

f(n)=n‹ +an¤ +bn+8이라고하면

f(-3)=2에서

-27+9a-3b+8=2

3a-b=7 yy㉠

f(-2)=2에서

-8+4a-2b+8=2

2a-b=1 yy㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면

a=6, b=11

따라서 a+b=6+11=17

답⃞ ③

이식에서 3Q(x)+1이이차식이므로다항식 f(x)를

3Q(x)+1로나누었을때의나머지 g(x)는

g(x)=-x+;3!;+R yy`㉠

㉠을 x-2로나누었을때의나머지는

g(2)=-2+;3!;+R=-;3%;+R

답⃞ ①

02f(x)를 x-1과 x-2로나누었을때의몫을각각 Q(x), P(x)

라고하면나머지가모두 2이므로

f(x)=(x-1)Q(x)+2=(x-2)P(x)+2

f(x)의삼차항의계수가 1이므로

f(x)-2=(x-1)(x-2)(x-a)(̀a는상수) yy`㉠

로놓을수있다.

㉠에 x=3을대입하면

f(3)-2=(3-1)(3-2)(3-a)

f(3)=0이므로

0-2=(3-1)(3-2)(3-a)

a=4

이것을㉠에대입하여정리하면

f(x)=(x-1)(x-2)(x-4)+2

따라서 f(5)=4_3_1+2=14

답⃞ ⑤

03f(x)를 x¤ -2x-3으로나누었을때의몫을 Q(x), 나머지를

R(x)=ax+b (̀a, b는상수)라고하면

f(x)=(x¤ -2x-3)Q(x)+ax+b

=(x+1)(x-3)Q(x)+ax+b yy㉠

㉠의양변에 x=-1, x=3을각각대입하면

f(-1)=-a+b

f(3)=3a+b

한편, f(x)+f(-x+2)=2에 x=3을대입하면

f(3)+f(-1)=2에서

a+b=1 yy㉡

f(-1)=-9이므로

-a+b=-9 yy㉢

㉡, ㉢을연립하여풀면

a=5, b=-4, 즉 R(x)=5x-4

수능유형맛보기 본문 25̀쪽

01① 02⑤ 03② 04④

01삼차다항식 f(x)를 3x-1로나누었을때의몫이 Q(x), 나머

지가 R이므로

f(x)=(3x-1)Q(x)+R

f(x)={x-;3!;}3Q(x)+R

f(x)={x-;3!;} {3Q(x)+1-1}+R

f(x)={x-;3!;} {3Q(x)+1}-{x-;3!;}+R

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ14

한편, f(x)+f(-x+2)=2에 x=1을대입하면

f(1)+f(1)=2

f(1)=1

f(x)를 x-1로나눈나머지는 f(1)이므로

r=f(1)=1

따라서 r+R(1)=1+(5_1-4)=2

답⃞ ②

04f(x)=xfl +xfi +x› +x‹ +x¤ +x+1이라고하면

f(x)를 x-3으로나누었을때의나머지 R¡은

R¡=f(3)=3fl +3fi +3› +3‹ +3¤ +3+1

이고, f(x)를 3x-1로나누었을때의나머지 R™는

R™=f {;3!;}

R™={;3!;}6+{;3!;}5+{;3!;}4+{;3!;}3+{;3!;}2+;3!;+1

R™=

R™=

따라서 =3fl =729

답⃞ ④

R¡R™

R¡3fl

1+3+3¤ +3‹ +3› +3fi +3fl3fl

1⑴x¤ +2xy+y¤ +4z¤ +4xz+4yz

=x¤ +y¤ +(2z)¤ +2xy+2y¥(2z)+2¥(2z)¥x

=(x+y+2z)¤

⑵a‹ +b‹ -a¤ +ab-b¤

=(a‹ +b‹ )-(a¤ -ab+b¤ )

=(a+b)(a¤ -ab+b¤ )-(a¤ -ab+b¤ )

=(a+b-1)(a¤ -ab+b¤ )

답⃞ ⑴(x+y+2z)¤ ⑵(a+b-1)(a¤ -ab+b¤ )

2⑴ (x¤ -x)¤ -2x¤ +2x-8=(x¤ -x)¤ -2(x¤ -x)-8

이므로 x¤ -x=A로놓으면

A¤ -2A-8=(A-4)(A+2)

=(x¤ -x-4)(x¤ -x+2)

⑵ 4x¤ +y¤ -4xy-2x+y-2

=(4x¤ -4xy+y¤ )-(2x-y)-2

=(2x-y)¤ -(2x-y)-2

2x-y=A로놓으면

A¤ -A-2=(A-2)(A+1)

=(2x-y-2)(2x-y+1)

답⃞ ⑴(x¤ -x-4)(x¤ -x+2)

⑵(2x-y-2)(2x-y+1)

3(x-2)(x-3)(x+4)(x+5)+10

={(x-2)(x+4)} {(x-3)(x+5)}+10

=(x¤ +2x-8)(x¤ +2x-15)+10

x¤ +2x=A로놓으면

(A-8)(A-15)+10=A¤ -23A+130

=(A-13)(A-10)

=(x¤ +2x-13)(x¤ +2x-10)

답⃞ (x¤ +2x-13)(x¤ +2x-10)

인수분해03

유제 본문 28̀~3̀0̀쪽

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 15

4⑴ 2x› -7x¤ y¤ -4y› =(2x¤ +y¤ )(x¤ -4y¤ )

=(2x¤ +y¤ )(x-2y)(x+2y)

⑵x› -6x¤ +25=x› +10x¤ +25-16x¤

=(x¤ +5)¤ -(4x)¤

=(x¤ +5-4x)(x¤ +5+4x)

=(x¤ -4x+5)(x¤ +4x+5)

답⃞ ⑴(2x¤ +y¤ )(x-2y)(x+2y)

⑵(x¤ -4x+5)(x¤ +4x+5)

5⑴x에대하여내림차순으로정리하여인수분해하면

x¤ +2xy+x+y-2+y¤

=x¤ +(2y+1)x+y¤ +y-2

=x¤ +(2y+1)x+(y+2)(y-1)

={x+(y+2)} {x+(y-1)}

=(x+y+2)(x+y-1)

⑵문자 c의차수가가장낮으므로 c에대하여내림차순으로정

리하면

a‹ +b‹ +ab¤ +a¤ b+a¤ c+b¤ c

=(a¤ +b¤ )c+(a‹ +b‹ )+ab(a+b)

=(a¤ +b¤ )c+(a+b)(a¤ -ab+b¤ )+ab(a+b)

=(a¤ +b¤ )c+(a+b){(a¤ -ab+b¤ )+ab}

=(a¤ +b¤ )c+(a+b)(a¤ +b¤ )

=(a¤ +b¤ )(a+b+c)

답⃞ ⑴(x+y+2)(x+y-1) ⑵(a¤ +b¤ )(a+b+c)

6⑴ f(x)=2x‹ +3x¤ -3x-2로놓으면

f(1)=2+3-3-2=0

f(-2)=-16+12+6-2=0

이므로 f(x)는 x-1, x+2를인수로갖는다.

조립제법을이용하여인수분해하면

따라서 f(x)=(x-1)(x+2)(2x+1)

1 2 3 -3 -2

2 5 2

-2 2 5 2 0

-4 -2

02 1

⑵ f(x)=x› -2x¤ -3x-2로놓으면

f(-1)=1-2+3-2=0

f(2)=16-8-6-2=0

이므로 f(x)는 x+1, x-2를인수로갖는다.

조립제법을이용하여인수분해하면

따라서 f(x)=(x+1)(x-2)(x¤ +x+1)

답⃞ ⑴(x-1)(x+2)(2x+1)

⑵(x+1)(x-2)(x¤ +x+1)

-1 1 0 -2 -3

-1 1 1

2 1 -1 -1 -2

2 2

1

-2

2

0

2

01 1

유형확인

01 ④ 02 ① 03 ② 04 ⑤ 05 ①06 ② 07 ⑤ 08 ③

본문 31̀~3̀2̀쪽

01문자 x에대하여내림차순으로정리하면

x¤ +3xy-3x-5y+2y¤ +2

=x¤ +3(y-1)x+(2y¤ -5y+2)

=x¤ +3(y-1)x+(2y-1)(y-2)

=(x+2y-1)(x+y-2)

답⃞ ④

02(x-y)¤ =(x+y)¤ -4xy=3¤ -4_1=5

x-y='5

또한, x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=3¤ -2_1=7이므로

x› -y› =(x¤ -y¤ )(x¤ +y¤ )

=(x-y)(x+y)(x¤ +y¤ )

='5_3_7

=21'5

답⃞ ①

03x› +ax‹ +bx¤ -4x+1=(x+a)› (a는정수)으로놓으면우변

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ16

의상수항이 a›이므로

a› =1, a=—1

⁄a=1이면

(x+1)› =(x¤ +2x+1)¤

=x› +4x‹ +6x¤ +4x+1

이므로좌변의 x› +ax‹ +bx¤ -4x+1과같아질수없다.

¤a=-1이면

(x-1)› =(x¤ -2x+1)¤

=x› -4x‹ +6x¤ -4x+1

이므로

x› +ax‹ +bx¤ -4x+1=x› -4x‹ +6x¤ -4x+1

에서양변의계수를비교하면

a=-4, b=6

⁄, ¤에서

a-b=(-4)-6=-10

답⃞ ②

04(x¤ -9)(x+3)(x+9)+35

={(x-3)(x+9)} {(x+3)(x+3)}+35

=(x¤ +6x-27)(x¤ +6x+9)+35

=(x¤ +6x)¤ -18(x¤ +6x)-208

={(x¤ +6x)-26} {(x¤ +6x)+8}

=(x+4)(x+2)(x¤ +6x-26)

=(x+a)(x+b)(x¤ +cx+d)

이므로

a+b+c+d=-14

답⃞ ⑤

05a¤ (b+c)+b¤ (c+a)+c¤ (a+b)+3abc=310에서좌변을문

자 a에대하여내림차순으로정리하면

(b+c)a¤ +(b¤ +3bc+c¤ )a+(b+c)bc=310

(b+c)a¤ +{(b+c)¤ +bc}a+(b+c)bc=310

{(b+c)a+bc}{a+(b+c)}=310

(ab+bc+ca)(a+b+c)=31_10

서로다른세자연수 a, b, c에대하여

ab+bc+ca>a+b+cæ6이므로

ab+bc+ca=31, a+b+c=10

따라서

a¤ +b¤ +c¤ =(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca)

=100-2_31

=38

답⃞ ①

06a+b=A, b+c=B, c+a=C로놓으면

A+B+C=(a+b)+(b+c)+(c+a)

=2(a+b+c)

이므로주어진식은

A¤ +B¤ +C¤ -24(A+B+C)+144

=-2(AB+BC+CA)

A¤ +B¤ +C¤ +2(AB+BC+CA)-24(A+B+C)+144

=0

(A+B+C)¤ -24(A+B+C)+144=0

(A+B+C-12)¤ =0

따라서 A+B+C=2(a+b+c)=12이므로

a+b+c=6

답⃞ ②

07f(x)=x‹ +ax¤ +x+2로놓으면다항식 f(x)는계수가정수

인두개이상의다항식의곱으로인수분해되어야하므로

(일차식)_(이차식) 또는(일차식)_(일차식)_(일차식)이다.

따라서다항식 f(x)는일차식 x+a를인수로갖고, a는

—(̀` f(x)의상수항 2의약수) 중하나가되어야한다.

⁄ a=-2, 즉 x-2가 f(x)의인수이면

⁄ f(2)=8+4a+2+2=0

⁄이므로 a=-3

¤ a=-1, 즉 x-1이 f(x)의인수이면

⁄ f(1)=1+a+1+2=0

⁄이므로 a=-4

‹ a=1, 즉 x+1이 f(x)의인수이면

⁄ f(-1)=-1+a-1+2=0

⁄이므로 a=0

› a=2, 즉 x+2가 f(x)의인수이면

⁄ f(-2)=-8+4a-2+2=0

⁄이므로 a=2

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 17

⁄`~`›에서모든정수 a의값의합은

(-3)+(-4)+0+2=-5

답⃞ ⑤

08(x¤ +3x+2)(x¤ +7x+12)-3

=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-3

={(x+1)(x+4)} {(x+2)(x+3)}-3

=(x¤ +5x+4)(x¤ +5x+6)-3

=(x¤ +5x)¤ +10(x¤ +5x)+21

=(x¤ +5x+3)(x¤ +5x+7)

=(x¤ +ax+b)(x¤ +cx+d)

이므로

a+b+c+d=20

답⃞ ③

01출제의도 A¤ -B¤ ̀꼴로 변형하여 인수분해할 수 있는지를 묻는 문제

이다.

16a› +4a¤ b¤ +b›

=16a› +8a¤ b¤ +b› -4a¤ b¤

=(4a¤ +b¤ )¤ -(2ab)¤

=(4a¤ +b¤ -2ab)(4a¤ +b¤ +2ab) yy`㉠

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

한편, 2a+b=3, ab=1에서 yy`㉡

4a¤ +b¤ =(2a+b)¤ -4ab

=9-4=5 yy`㉢

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉡과㉢을㉠에대입하면

16a› +4a¤ b¤ +b› =(5-2_1)(5+2_1)=21

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 21

서술형연습장본문 33̀쪽

01 21

02최댓값：12, (x-2)(x+2)(x¤ -3)

03 a=b인이등변삼각형

04 a=16, f(x)=x¤ -5x+6

02출제의도 인수정리를이용하여인수분해할수있는지를묻는문제이다.

f(x)가 x-n을인수로가지므로

f(n)=n› -7n¤ +m=0

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

m=n¤ (-n¤ +7)

m이자연수이므로 -n¤ +7도자연수이어야한다.

따라서 n=1또는n=2

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

n=1이면 m=1¤ (-1¤ +7)=6이고,

n=2이면 m=2¤ (-2¤ +7)=12이므로

m의최댓값은 12이고,

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

이때의

f(x)=x› -7x¤ +12

=(x¤ -4)(x¤ -3)

=(x-2)(x+2)(x¤ -3)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 최댓값：12, (x-2)(x+2)(x¤ -3)

03출제의도 여러 가지 문자가 포함된 다항식의 인수분해를 할 수 있는지

를묻는문제이다.

a¤ (a+b)-b¤ (a+b)-c¤ (a-b)

=-c¤ (a-b)+a¤ (a+b)-b¤ (a+b)

=-c¤ (a-b)+(a¤ -b¤ )(a+b)

=-c¤ (a-b)+(a-b)(a+b)¤

=(a-b){(a+b)¤ -c¤ }

16a› +4a¤ b¤ +b›을인수분해한경우

4a¤ +b¤의값을구한경우

16a› +4a¤ b¤ +b›의값을구한경우

40 %

30 %

30 %

단계 채점기준 비율

인수정리를이용하여 m, n의관계식을구한경우

20 %

단계 채점기준 비율

m의최댓값을구한경우 20 %

n의값을구한경우 30 %

f(x)를인수분해한경우 30 %

=(a-b)(a+b+c)(a+b-c)

=0

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

이때, a+b>c이고 a, b, c는삼각형의세변의길이이므로

a+b+c+0, a+b-c+0

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 a-b=0, 즉 a=b이므로

주어진조건을만족시키는삼각형ABC는 a=b인이등변삼각형

이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ a=b인이등변삼각형

04출제의도 조립제법을이용하여인수분해할수있는지를묻는문제이다.

g(x)가 x-1, x+2를인수로가지므로조립제법에의하여

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

나머지가 0이어야하므로

a-16=0, a=16

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 g(x)=(x-1)(x+2)(x¤ -5x+6)이므로

f(x)=x¤ -5x+6

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ a=16, f(x)=x¤ -5x+6

1 1 -4 -1 a

1 -3 -4

-2 1 -3 -4 a-4

-2 10

6

-12

a-4

a-16

-12

a-161 -5

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ18

문자 c에 대하여 내림차순으로 정리하고인수분해한경우

50 %

단계 채점기준 비율

주어진 조건에 맞는 삼각형의 모양을 말한

경우20 %

0이안되는식을서술한경우 30 %

인수정리와 조립제법을 이용하여 g(x)를(x-1)(x+2)로 나누었을 때의 몫과 나머지를표현한경우

40 %

단계 채점기준 비율

a의값을구한경우 30 %

f(x)를구한경우 30 %

고난도문항 본문 34̀쪽

01③ 02② 03② 04②

1등급

01x¤ -x-b< x‹ -x¤ +1x¤ +x+1<‘ xfi ‘ ‘ ‘

x¤ -x-b<≥ xfi +≥x› ≥+x‹ ≥≥ ≥ ≥

x¤ -x-b< x‹ -x› -x‹x¤ -x-b<≥ x‹ -≥x› ≥-x‹ ≥-x¤ ≥ ≥x¤ -x-b< x‹ -≥x› ≥-x‹ ≥-x¤x¤ -x-b<≥ x‹ -≥≥x› -x ≥‹ -x¤ ≥+≥x+1x¤ -x-b< x‹ -≥x› ≥-x‹ ≥-x¤ -x-1

f(x)=x¤ +x+1이라고할때, xfi을 f(x)로나누었을때의몫을

Q(x)라고하면

xfi =f(x)Q(x)-x-1 yy`㉠

x⁄ ‚ =(xfi )¤

={ f(x)Q(x)-(x+1)}¤

=f(x)[ f(x){Q(x)}¤ -2(x+1)Q(x)]+(x+1)¤

=f(x)[ f(x){Q(x)}¤ -2(x+1)Q(x)+1]+x

P(x)=f(x){Q(x)}¤ -2(x+1)Q(x)+1로놓으면

x⁄ ‚ =f(x)P(x)+x yy`㉡

㉠, ㉡에의하여

x⁄ ‚ +xfi +3

={ f(x)P(x)+x}+{ f(x)Q(x)-x-1}+3

=f(x){P(x)+Q(x)}+2

이므로 x⁄ ‚ +xfi +3을 f(x)=x¤ +x+1로나누었을때의나머

지는 2이다.

답⃞ ③

02f(x)를 x‹ +x-2로나누었을때의몫은 x-2이므로나머지를

ax¤ +bx+c (̀a, b, c는상수)로놓으면

f(x)=(x‹ +x-2)(x-2)+ax¤ +bx+c yy`㉠

f(x)를 x+1로나누었을때의나머지가 6이므로

㉠에 x=-1을대입하면

f(-1)=12+a-b+c=6 yy`㉡

한편, 인수정리와조립제법을이용하여 x‹ +x-2를인수분해하면

x‹ +x-2=(x¤ +x+2)(x-1)

이것을㉠에대입하면

f(x)=(x¤ +x+2)(x-1)(x-2)+ax¤ +bx+c

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 19

=50{(23+27)¤ -3_23_27}+25‹

=2_25{4_25¤ -3_(25-2)(25+2)}+25‹

=2_25(25¤ +12)+25‹

=25(2_25¤ +24+25¤ )

=5¤ _3_(25¤ +8)

=5¤ _3_633

=5¤ _3_3_211

=3¤ _5¤ _211

=15¤ _211

따라서 a는 1, 3, 5, 15가될수있고 a=15일때밑면의넓이

가최대이므로 M=15이다. 이때 N=211이다.

따라서 M+N=15+211=226

답⃞ ②

[다른풀이]

새로만드는직육면체모양의입체의부피와세입체의부피의합

이같으므로

a¤ b=23‹ +25‹ +27‹

=(25-2)‹ +25‹ +(25+2)‹

이식에서 25=t로놓으면

a¤ b=(t-2)‹ +t‹ +(t+2)‹

=(t‹ -6t¤ +12t-8)+t‹ +(t‹ +6t¤ +12t+8)

=3t‹ +24t

=3t(t¤ +8)

=3_25_(25¤ +8)

=3_5¤ _633

=3¤ _5¤ _211

=15¤ _211

따라서 a는 1, 3, 5, 15가될수있고 a=15일때밑면의넓이

가최대이므로 M=15이다. 이때, N=211이다.

따라서 M+N=15+211=226

이므로 f(x)를 x¤ +x+2로나누었을때의나머지 x-7은

ax¤ +bx+c를 x¤ +x+2로 나누었을 때의 나머지와 같아야

한다.

즉, ax¤ +bx+c=a(x¤ +x+2)+x-7

=ax¤ +(a+1)x+2a-7

이식은 x에대한항등식이므로양변의계수를비교하면

b=a+1, c=2a-7 yy`㉢

㉡, ㉢을연립하여풀면

a=1, b=2, c=-5

따라서 f(x)=(x‹ +x-2)(x-2)+x¤ +2x-5이므로

f(3)=(3‹ +3-2)(3-2)+3¤ +2_3-5=38

답⃞ ②

03a<a+b+1<a+b+2이므로 a+b+2는직각삼각형의빗변

의길이이다.

(a+b+2)¤ =a¤ +(a+b+1)¤

(a+b+2)¤ -(a+b+1)¤ =a¤

2(a+b)+3=a¤

2(b+2)=a¤ -2a+1

2(b+2)=(a-1)¤

2(b+2)가짝수이므로 a-1도짝수이어야한다.

1…b…20이므로

6…(a-1)¤ =2(b+2)…44

이식을만족시키는짝수인자연수 a-1은 4, 6이다.

즉, a=5또는a=7

a=5일때, b=6이고 a+b+2=13이므로 a+b+2는어떤

자연수의제곱이될수없다.

a=7일때, b=16이고 a+b+2=25=5¤이므로조건을만족

시킨다.

따라서 b-a=16-7=9

답⃞ ②

04새로만드는직육면체모양의입체의부피와세입체의부피의합

이같으므로

a¤ b=23‹ +25‹ +27‹

=(23‹ +27‹ )+25‹

=(23+27)(23¤ -23_27+27¤ )+25‹

수능유형맛보기 본문 35̀쪽

01② 02④ 03④ 04③

01x¤ +axy+2y¤ -2y-4=(x+by+b)(x+cy-2)에서

우변을전개하여정리하면

x¤ +axy+2y¤ -2y-4

=x¤ +(b+c)xy+(b-2)x+bcy¤ +(bc-2b)y-2b

이식은 x, y에 대한항등식이므로양변의계수를비교하면

a=b+c, 0=b-2, 2=bc, -2=bc-2b, -4=-2b

이식을연립하여풀면

a=3, b=2, c=1

따라서 a+b+c=6

답⃞ ②

[다른풀이]

x¤ +axy+2y¤ -2y-4=(x+by+b)(x+cy-2)이고

이식은임의의 x, y에대하여성립하므로

x=0, y=0을양변에대입하면

-4=b¥(-2), b=2

x=1, y=-1을양변에대입하면

1-a+2+2-4=1-c-2

a=c+2 yy`㉠

x=1, y=1을양변에대입하면 b=2이므로

1+a+2-2-4=(1+2+2)(1+c-2)

a=5c-2 yy`㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면 a=3, c=1

따라서 a+b+c=3+2+1=6

02(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc

={a+(b+c)} {(b+c)a+bc}-abc

=(b+c)a¤ +(b+c)¤ a+abc+(b+c)bc-abc

=(b+c)a¤ +(b+c)¤ a+(b+c)bc

=(b+c) {a¤ +(b+c)a+bc}

=(b+c)(a+b)(a+c)

또한, 1144=8_11_13이므로

(b+c)(a+b)(a+c)=8_11_13

a>b>cæ2이므로

a+b>a+c>b+cæ5

즉, a+b=13, a+c=11, b+c=8

b+c=8에서

c=2이면 b=6이지만나머지두식을만족시키는 a가없다.

c=3이면 b=5이고나머지두식을만족시키는 a=8이다.

따라서 a+2b+3c=8+2_5+3_3=27

답⃞ ④

03다항식 x› +ax¤ +b가 x¤ +2로 나누어떨어지고, 몫 f(x)가

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ20

x-1로나누어떨어지므로

x› +ax¤ +b=(x¤ +2)(x-1)(x+a)(̀a는상수) yy`㉠

로놓을수있다.

㉠은 x에대한항등식이므로양변에 x=1을대입하면

1+a+b=0, 즉 b=-1-a yy`㉡

따라서

x› +ax¤ +b=x› +ax¤ -(1+a)

=x› -1+a(x¤ -1)

=(x¤ -1)(x¤ +1)+a(x¤ -1)

=(x¤ -1)(x¤ +1+a)

=(x-1)(x+1)(x¤ +1+a)

이므로

(x-1)(x+1)(x¤ +1+a)=(x¤ +2)(x-1)(x+a)

양변을비교하면

a=1, a=1 yy`㉢

㉢을㉡에대입하면

b=-2

따라서 a¤ +b¤ =1¤ +(-2)¤ =5

답⃞ ④

0422=t로놓으면

22‹ +11_22¤ +31_22+21

=t‹ +11t¤ +31t+21

f(t)=t‹ +11t¤ +31t+21이라고하면

f(-1)=0, f(-3)=0이므로조립제법에의하여

f(t)=(t+1)(t+3)(t+7)로인수분해된다.

f(t)에 t=22를대입하면

22‹ +11_22¤ +31_22+21

=(22+1)(22+3)(22+7)

=23_25_29

세자연수 a, b, c는 22이상의자연수이므로

a+b+c=77

답⃞ ③

-1 1 11 31 21

-1 -10 -21

-3 1 10 21 0

-3 -21

01 7

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 21

대단원종합문제

01 ② 02 ④ 03 ① 04 ⑤ 05 ③06 ④ 07 ⑤ 08 ② 09 ② 10 ④11 6 12 ⑤ 13 ① 14 ② 15 ①16 ③ 17 ② 18 ⑤ 19 ④ 20 ①21 ⑤ 22 44 23 9 24 30

본문 36̀~3̀9̀쪽

012A-B=2(x¤ +2xy-3y¤ )-(3x¤ +xy-7y¤ )

=2x¤ +4xy-6y¤ -3x¤ -xy+7y¤

=-x¤ +3xy+y¤

답⃞ ②

02a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab에서

8=2¤ -2ab, ab=-2

따라서

=

=

= =-10

답⃞ ④

03(x¤ -x+3)(2x¤ +x-1)

=x¤ (2x¤ +x-1)-x(2x¤ +x-1)+3(2x¤ +x-1)

=2x› +x‹ -x¤ -2x‹ -x¤ +x+6x¤ +3x-3

=2x› -x‹ +4x¤ +4x-3

이때, x‹의계수는 -1이므로 a=-1이고, x의계수는 4이므

로 b=4이다.

따라서 a+b=-1+4=3

답⃞ ①

04다항식 f(x)를 x¤ -x+1로나누면몫은 x+3이고나머지는

-2x+7이므로

f(x)=(x¤ -x+1)(x+3)-2x+7

20-2

2‹ -3_(-2)_2-2

(a+b)‹ -3ab(a+b)ab

a‹ +b‹ab

따라서

f(1)=(1¤ -1+1)(1+3)-2_1+7=4-2+7=9

답⃞ ⑤

05주어진등식의우변을전개하여정리하면

2x¤ -5x+7=ax¤ +bx+(-a-b+c)

위의등식은 x에대한항등식이므로양변의계수를비교하면

2=a, -5=b, 7=-a-b+c

위의세식을연립하여풀면 a=2, b=-5, c=4이므로

a+b+c=2-5+4=1

답⃞ ③

[다른풀이]

주어진등식의 x에어떤값을대입하여도성립하므로

x=1을대입하면

2-5+7=c, c=4

x=-1을대입하면

2+5+7=-2b+4, b=-5

x=0을대입하면

7=-a+5+4, a=2

따라서 a+b+c=2-5+4=1

06f(x)=x‹ -6x¤ +ax+b라고하자.

x¤ -x-2=(x+1)(x-2)이므로

f(x)는 x+1과 x-2로각각나누어떨어진다.

f(-1)=-1-6-a+b=0 yy`㉠

f(2)=8-24+2a+b=0 yy`㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면

a=3, b=10

따라서 ab=3_10=30

답⃞ ④

07다항식(x¤ -2x)(x¤ -2x-2)-3에서

x¤ -2x=t로놓으면

(x¤ -2x)(x¤ -2x-2)-3

=t(t-2)-3

=t¤ -2t-3

=(t-3)(t+1)

=(x¤ -2x-3)(x¤ -2x+1)

=(x-3)(x+1)(x-1)¤

따라서인수인것은⑤x¤ -2x-3이다.

답⃞ ⑤

08x› +2x¤ +9=(x› +6x¤ +9)-4x¤

=(x¤ +3)¤ -4x¤

=(x¤ +2x+3)(x¤ -2x+3)

따라서 a=2, b=3, c=-2, d=3

또는 a=-2, b=3, c=2, d=3이므로

ac+bd=-4+9=5

답⃞ ②

09A+B=3x¤ -5xy+2y¤ yy㉠

A-B=x¤ +3xy-4y¤ yy㉡

㉠+㉡을하면

2A=4x¤ -2xy-2y¤

A=2x¤ -xy-y¤

㉠-㉡을하면

2B=2x¤ -8xy+6y¤

B=x¤ -4xy+3y¤

따라서

(3A+B)-(A+4B)

=2A-3B

=2(2x¤ -xy-y¤ )-3(x¤ -4xy+3y¤ )

=x¤ +10xy-11y¤

답⃞ ②

10(a+b+c)¤ =a¤ +b¤ +c¤ +2(ab+bc+ca)

이므로

a¤ +b¤ +c¤ =(a+b+c)¤ -2(ab+bc+ca)

=2¤ -2_(-11)

=26

답⃞ ④

11x‹ -5x¤ +ax+b를 x¤ -1로나눈몫을 Q(x)라고하면

x‹ -5x¤ +ax+b=(x¤ -1)Q(x)+4x-3 yy`㉠

이식은 x에대한항등식이므로

㉠에 x=1을대입하면

1-5+a+b=1

a+b=5 yy`㉡

또, ㉠에 x=-1을대입하면

-1-5-a+b=-7

a-b=1 yy`㉢

㉡, ㉢을연립하여풀면

a=3, b=2

따라서 ab=6

답⃞ 6

12등식 (k+2)x-(3k+5)y+7k-1=0을 k에 대하여 정리

하면

(x-3y+7)k+(2x-5y-1)=0

위등식은 k에대한항등식이므로

x-3y+7=0 yy㉠

2x-5y-1=0 yy㉡

2_㉠-㉡을하면

-y+15=0, y=15

y=15를㉠에대입하면

x=38

따라서 x+y=38+15=53

답⃞ ⑤

13다항식 f(x)를 (x-2)(x+4)로나누었을때의몫을 Q(x),

나머지를 g(x)=ax+b (̀a, b는상수)라고하면

f(x)=(x-2)(x+4)Q(x)+ax+b

이때, f(2)=5, f(-4)=-7이므로

f(2)=2a+b=5 yy㉠

f(-4)=-4a+b=-7 yy㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면

a=2, b=1

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ22

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 23

4=2+c에서 c=2

-6=bc에서 b=-3

a=b+2c에서 a=1

따라서 a+b+c=1+(-3)+2=0

답⃞ ③

17a¤ +c¤ -ab+bc-2ac=0에서

-(a-c)b+(a¤ -2ac+c¤ )=0

-(a-c)b+(a-c)¤ =0

(a-c)(a-b-c)=0

a-c=0또는a-b-c=0

이때, a, b, c가삼각형의세변의길이이므로

a<b+c, 즉 a-b-c+0이다.

따라서주어진삼각형은 a=c인이등변삼각형이다.

답⃞ ②

18직육면체의모든모서리의길이의합이 40이므로

4(x+y+z)=40

x+y+z=10

직육면체의대각선의길이가 '4å2이므로

x¤ +y¤ +z¤ =42

직육면체의부피가 20이므로

xyz=20

(x+y+z)¤ =x¤ +y¤ +z¤ +2(xy+yz+zx)

이므로

10¤ =42+2(xy+yz+zx)

xy+yz+zx=29

이때,

(xy+yz+zx)¤

=(xy)¤ +(yz)¤ +(zx)¤ +2(xy¤ z+xyz¤ +x¤ yz)

=(xy)¤ +(yz)¤ +(zx)¤ +2xyz(x+y+z)

이므로

x¤ y¤ +y¤ z¤ +z¤ x¤

=(xy+yz+zx)¤ -2xyz(x+y+z)

=(29)¤ -2_20_10

=841-400

=441

답⃞ ⑤

따라서 g(x)=2x+1이므로

g(10)=2_10+1=21

답⃞ ①

14a-b=3 yy㉠

b-c=5 yy㉡

㉠+㉡을하면

a-c=8

따라서

a¤ +b¤ +c¤ -ab-bc-ca

=;2!; {(a¤ -2ab+b¤ )+(b¤ -2bc+c¤ )+(c¤ -2ca+a¤ )}

=;2!; {(a-b)¤ +(b-c)¤ +(c-a)¤ }

=;2!; {3¤ +5¤ +(-8)¤ }

=49

답⃞ ②

15다항식 f(x)=x‹ +4x¤ +ax-6이 x+1로나누어떨어지므로

f(-1)=-1+4-a-6=0, a=-3

또, 다항식 g(x)=x¤ +2x+b가 x+1로나누어떨어지므로

g(-1)=1-2+b=0, b=1

따라서 f(x)=x‹ +4x¤ -3x-6이고 g(x)=x¤ +2x+1이

므로

f(b)_g(a)=f(1)_g(-3)

=(1+4-3-6)_(9-6+1)

=-4_4

=-16

답⃞ ①

16f(x)=(x+c)g(x)에서

x‹ +4x¤ +ax-6=(x+c)(x¤ +2x+b)

x‹ +4x¤ +ax-6=x‹ +(2+c)x¤ +(b+2c)x+bc

위등식이 x에대한항등식이므로

4=2+c, a=b+2c, -6=bc

가성립해야한다.

19f(x+b)

=(x+b)‹ -(x+b)¤ +a(x+b)-8

=(x‹ +3bx¤ +3b¤ x+b‹ )-(x¤ +2bx+b¤ )+(ax+ab)-8

=x‹ +(3b-1)x¤ +(3b¤ -2b+a)x+(b‹ -b¤ +ab-8)

또, f(x)+3x¤ +x-6=x‹ +2x¤ +(a+1)x-14

이때, f(x+b)=f(x)+3x¤ +x-6에서

x‹ +(3b-1)x¤ +(3b¤ -2b+a)x+(b‹ -b¤ +ab-8)

=x‹ +2x¤ +(a+1)x-14

위등식이 x에대한항등식이므로

3b-1=2 yy`㉠

3b¤ -2b+a=a+1 yy`㉡

b‹ -b¤ +ab-8=-14 yy`㉢

가성립해야한다.

㉠에서 3b=3, b=1

b=1을㉡에대입하면 3-2+a=a+1

이므로모든상수 a에대하여주어진등식이성립한다.

b=1을㉢에대입하면 1-1+a-8=-14

a=-6

따라서 a¤ +b¤ =(-6)¤ +1¤ =37

답⃞ ④

20f(x)=x‹ -2x¤ -3x=x(x+1)(x-3)이라하자.

g(x)=x‹ +(c+1)x¤ +(c-6)x-6이라하면

g(-1)=0이므로

g(x)는 x+1을인수로갖고, 이때조립제법을이용하여 g(x)

를인수분해하면

g(x)=(x+1)(x¤ +cx-6)

이때, g(0)=-6+0이므로다항식 g(x)는 x를인수로갖지

않는다. 따라서 x+1, x-3은다항식 f(x)의인수이면서동시

에다항식 g(x)의인수이다.

즉, x-3은다항식 x¤ +cx-6의인수이므로

3¤ +3c-6=0, c=-1

따라서 a=-1, b=3, c=-1또는 a=3, b=-1, c=-1

1 c+1 c-6-1 -6

-1 -c 6

1 c -6 0

이므로

a+b+c=1

답⃞ ①

21삼차다항식 f(x)가 x¤ -x+a로나누어떨어지므로

f(x)=(x¤ -x+a)(x+b)(단, b는상수이다.) yy`㉠

또, f(x)-a가 x¤ +1로나누어떨어지므로

f(x)-a=(x¤ +1)(x+c)(단, c는상수이다.)

f(x)=(x¤ +1)(x+c)+a yy`㉡

㉠, ㉡에서

(x¤ -x+a)(x+b)=(x¤ +1)(x+c)+a

x‹ +(b-1)x¤ +(a-b)x+ab=x‹ +cx¤ +x+c+a

위등식은 x에대한항등식이므로

b-1=c, a-b=1, ab=c+a

c=b-1, a=b+1을 ab=c+a에대입하면

(b+1)b=(b-1)+(b+1)

b¤ -b=0, b(b-1)=0

b=0또는b=1

b=0일때 a=1, c=-1이고 b=1일때 a=2, c=0이다.

이때, a>1이므로

a=2, b=1, c=0

따라서 f(x)=(x¤ +1)(x+0)+2=x‹ +x+2이므로

f(a)=f(2)=8+2+2=12

답⃞ ⑤

22h(x)=x› -2x‹ -4x¤ +2x+3이라하자.

h(1)=0, h(-1)=0이므로 h(x)는 x-1과 x+1을인수로

가진다.

조립제법을이용하여 h(x)를인수분해하면

h(x)=(x-1)(x+1)(x¤ -2x-3)

=(x-1)(x-3)(x+1)¤

이때, f(x)와 g(x)를동시에나누어떨어지게하는 x-a가존

1 1 -2 -4 2

1 -1 -5

-1 1 -1 -5 -3

-1 2

-3

3

-3

0

3

01 -2

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ24

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 25

재하지않으므로

‡ 또는‡

따라서

f(5)+g(5)=(5-1)(5-3)+(5+1)¤

=8+36

=44

답⃞ 44

23a‹ -b‹ =(a-b)‹ +3ab(a-b)에서

14=2‹ +3ab_2

ab=1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

a¤ +b¤ =(a-b)¤ +2ab=2¤ +2_1=6

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

이때,

(a¤ -a+1)(b¤ -b+1)

=a¤ (b¤ -b+1)-a(b¤ -b+1)+(b¤ -b+1)

=a¤ b¤ -a¤ b+a¤ -ab¤ +ab-a+b¤ -b+1

=(a¤ b¤ +ab)+(a¤ +b¤ )-(a¤ b+ab¤ )-(a+b)+1

=ab(ab+1)+(a¤ +b¤ )-ab(a+b)-(a+b)+1

=ab(ab+1)+(a¤ +b¤ )-(a+b)(ab+1)+1

이므로

(a¤ -a+1)(b¤ -b+1)+(a+b)(ab+1)

=ab(ab+1)+(a¤ +b¤ )+1

=1_(1+1)+6+1

=9

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 9

24다항식 g(x)와다항식 R(x)가모두 x-2로나누어떨어지므

로 g(2)=0, R(2)=0이다.

이때, g(2)=4+2q-10=0이므로 q=3

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

f(x)=(x+1)¤

g(x)=(x-1)(x-3)

f(x)=(x-1)(x-3)

g(x)=(x+1)¤

f(x)를 g(x)로나누었을때의몫을 Q(x)라고하면

f(x)=g(x)Q(x)+R(x) yy`㉠

이고, g(2)=0, R(2)=0이므로

㉠에 x=2를대입하면

f(2)=g(2)Q(2)+R(2)=0이다.

즉, f(2)=8+8-26+p=0

p=10

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 pq=10_3=30

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 30

ab의값을구한경우

a¤ +b¤의값을구한경우

주어진식의값을구한경우

30 %

30 %

40 %

단계 채점기준 비율

g(2)=0임을이용하여 q의값을구한경우

f(2)=0임을이용하여 p의값을구한경우

pq의값을구한경우

40 %

40 %

20 %

단계 채점기준 비율

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ26

z-zÆ=2i에서 (a+bi)-(a-bi)=2bi=2i

b=1 yy`㉠

z¤ +zÆ ¤ =0에서

(a+bi)¤ +(a-bi)¤ =2(a¤ -b¤ )=0

a=—b yy`㉡

㉠을㉡에대입하면

a=—1

따라서 zzÆ=(a+bi)(a-bi)=a¤ +b¤ =(—1)¤ +1¤ =2

답⃞ 2

5i ¤ =-1, i › =1이므로

i+3i ‹ +5i fi +y+99i · ·

=(i-3i)+(5i-7i)+y+(97i-99i)

=(-2i)_25

=-50i

=a+bi

따라서 a=0, b=-50이므로

a-b=0-(-50)=50

답⃞ ④

6

=

=

=

=5

답⃞ 5

5'3i'3i

-'1å5+5'3i+'1å5'3i

'5i('3i+'1å5)+'1å5'3i

'∂-å5('∂-å3+'1å5)+'1å5'∂-å3

1z=x¤ i+(1-2i)x-1-8i

z=(x-1)+(x¤ -2x-8)i

z=(x-1)+(x-4)(x+2)i

z가실수가되기위해서는(허수부분)=0이어야하므로

(x-4)(x+2)=0

즉, x=4또는 x=-2

따라서구하는모든실수 x의값의합은

4+(-2)=2

답⃞ ④

2x(2-i)+y(-1+3i)=5-5i에서

(2x-y)+(-x+3y)i=5-5i

복소수가서로같을조건에의하여

2x-y=5, -x+3y=-5

두식을연립하여풀면

x=2, y=-1

따라서 x¤ +y¤ =2¤ +(-1)¤ =5

답⃞ ③

3a=aÆ, b+bÆ=0이성립하므로 a는실수이고, b의

(실수부분)=0이다.

또한, a+b=2-i이므로 a=2, b=-i

따라서 + = + =-;2!;i+2i=;2#;i

답⃞ ;2#;i

4z=a+bi (̀a, b는실수)로놓으면

2-i

-i2

ab

ba

Ⅱ. 방정식과부등식

복소수와이차방정식⑴04

유제 본문 42̀~4̀4̀쪽

유형확인

01 ① 02 ② 03 ③ 04 ④ 05 ⑤06 ④ 07 ③ 08 ② 09 ②

본문 45̀~4̀6̀쪽

01(1+3i)(2-i)+ 5

2+i

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 27

=2-i+6i-3i ¤ +

=5+5i+

=5+5i+2-i

=7+4i

답⃞ ①

02(x+3i)¤ i+(8x+i)i=(x¤ +6xi-9)i+8xi-1

=(-6x-1)+(x¤ +8x-9)i

이것이실수가되려면(허수부분)=0이어야하므로

x¤ +8x-9=0, (x+9)(x-1)=0

x=-9또는x=1

따라서구하는 x의값의합은

(-9)+1=-8

답⃞ ②

03x(2-i)¤ +y(2-i)+1=

의양변에 2+i를곱하면

x(2-i)¤ (2+i)+y(2-i)(2+i)+(2+i)=2

5x(2-i)+5y+2+i=2

10x+5y+2+(-5x+1)i=2

복소수가서로같을조건에의하여

10x+5y+2=2, -5x+1=0

이것을연립하여풀면

x=;5!;, y=-;5@;

따라서 5(x+y)=5_[;5!;+{-;5@;}]=-1

답⃞ ③

04+ = +

+ = +

+ =(4-3i)+(4-3i)

5

(2+i)(1-2i)5

(1-2i)(2+i)5

2+i1+2i

1-2i2-i

aÆb

bÆa

22+i

5(2-i)5

5(2-i)(2+i)(2-i)

+ =;5*;-;5̂;i

답⃞ ④

05x=-2+'3i에서

x+2='3i

양변을제곱하여정리하면

x¤ +4x+4=-3

x¤ +4x+7=0

따라서

3x‹ +12x¤ +20x+1=3x(x¤ +4x+7)-x+1

=3_0-(-2+'3i)+1

=3-'3i

답⃞ ⑤

06z=a+bi (̀a, b는실수)로놓으면

ㄱ. zi=zÆ이므로

(a+bi)i=a-bi

-b+ai=a-bi

복소수가서로같을조건에의하여

b=-a

따라서 z=a(1-i)이고

z¤ =a¤ (1-i)¤ =-2a¤ i

이므로 z¤은음의실수가아니다.

ㄴ. =

ㄴ. =

이므로 은실수이다.

ㄷ. (z-zÆ)› ={(a+bi)-(a-bi)}›

=(2bi)›

=16b› æ0

이상에서옳은것은ㄴ, ㄷ이다.

답⃞ ④

07에서

2i ¤ +4i › +6i fl +y+100i ⁄ ‚ ‚i ¤ +3i › +5i fl +y+99i ⁄ ‚ ‚

zÆ ¤+z¤zzÆ

2(a¤ -b¤ )a¤ +b¤

(a-bi)¤ +(a+bi)¤(a+bi)(a-bi)

zÆ ¤+z¤zzÆ

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ28

A=i ¤ +3i › +5i fl +y+99i ⁄ ‚ ‚으로놓으면

=

=

=

=1

답⃞ ③

08f(1)+f(2)+f(3)+y+f(10)

=i+2¤ i ‹ +3¤ i fi +4¤ i ‡ +y+9¤ i ⁄ ‡ +10¤ i ⁄ ·

=i+2¤ (-i)+3¤ i+4¤ (-i)+y+9¤ i+10¤ (-i)

=(1-2¤ )i+(3¤ -4¤ )i+y+(9¤ -10¤ )i

={(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+y+(9-10)(9+10)}i

=-(1+2+3+y+10)i

=-55i

답⃞ ②

09+ +

= + +

= + +

= + +

= + +

=

=-12+6i

답⃞ ②

(-6-10-14)(2-i)5

-14(2-i)5

-10(2-i)5

-6(2-i)5

-42(6-3i)45

-20(4-2i)20

-6(2-i)5

-42(6-3i)(6+3i)(6-3i)

-20(4-2i)(4+2i)(4-2i)

-6(2-i)(2+i)(2-i)

6i¥7i6+3i

4i¥5i4+2i

2i¥3i2+i

'∂∂-ß3å6'∂∂-ß4å9

6+'∂-å9

'∂∂-ß1å6'∂∂-ß2å5

4+'∂-å4

'∂-å4'∂-å9

2+'∂-å1

A+0A

A+{(-1)+1+(-1)+y+1}A

A+(i ¤ +i › +i fl +y+i ⁄ ‚ ‚ )A

2i ¤ +4i › +6i fl +y+100i ⁄ ‚ ‚i ¤ +3i › +5i fl +y+99i ⁄ ‚ ‚

01출제의도 켤레복소수를 이용하여 주어진 식을 간단히 할 수 있는지를

묻는문제이다.

z¤ ={ }2

z¤ =

z¤ =

z¤ =zÆ

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

또한, z‹ =z¤ ¥z=zÆz

또한, z‹ ={ }{ }

또한, z‹ =1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

z+zÆ={ }+{ }

z+z=-1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서

(2z+3z¤ )(2z¤ +3z)=6z› +13z‹ +6z¤

=6z‹ ¥z+13_1+6zÆ=6(z+z Æ)+13

=6_(-1)+13

=7

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 7

02출제의도 제곱하여 음수가 되는 복소수의 조건을 알고 있는지를 묻는

문제이다.

-1-'3i2

-1+'3i2

-1+'3i2

-1-'3i2

-1-'3i2

-2-2'3i4

-1+'3i2

서술형연습장본문 47̀쪽

01 7 02-3 03 3+2i 또는 3-2i 04 34

z¤을간단히한경우

z‹을간단히한경우

z+z Æ를간단히한경우

20 %

20 %

20 %

단계 채점기준 비율

(2z+3z¤ )(2z¤ +3z)의값을구한경우 40 %

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

복소수 (a¤ +2a-3)+(a¤ -3a+2)i의제곱이음의실수가되

기위해서는(실수부분)=0, (허수부분)+0이어야한다.

따라서 a¤ +2a-3=0이고 a¤ -3a+2+0

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

a¤ +2a-3=0에서

(a+3)(a-1)=0

a=-3또는a=1 yy`㉠

a¤ -3a+2+0에서

(a-2)(a-1)+0

a+2이고 a+1 yy`㉡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠, ㉡으로부터

a=-3

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ -3

03출제의도 켤레복소수의성질을알고있는지를묻는문제이다.

z=a+bi (̀a, b는실수)로놓으면

z+zÆ=6에서

(a+bi)+(a-bi)=2a=6

a=3 yy`㉠

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

z¤ +zÆ ¤ =10에서

(a+bi)¤ +(a-bi)¤ =2(a¤ -b¤ )=10

a¤ -b¤ =5 yy`㉡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠을㉡에대입하면

3¤ -b¤ =5, b¤ =4

b=—2 yy`㉢

㉠, ㉢으로부터

z=a+bi=3—2i

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 3+2i 또는 3-2i

정답과풀이 29

주어진 복소수의 제곱이 음의 실수가 되기

위한 a의관계식을구한경우40 %

단계 채점기준 비율

두 관계식을 만족시키는 a의 값과 조건을구한경우

40 %

㉠, ㉡을동시에만족시키는 a의값을구한경우

20 %

04출제의도 켤레복소수를 이용하여 z«의 값을 추론할 수 있는지를 묻는

문제이다.

z«={ } n+ { }n에서

x= 라고하면

xÆ= 이므로

x+xÆ={ }+{ }=-1

x¤ ={ } 2=

x¤= =xÆ

xÆ ¤ =x¤ ’=xÆ Æ=x

x‹ =x¤ x=xÆx=1

xÆ ‹ =x‹ ’=1Æ=1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서

z¡=x+xÆ=-1

z™=x¤+x Æ ¤=xÆ+x=-1

z£=x‹+xÆ ‹=1+1=2

z¢=x›+xÆ ›=x+xÆ=z¡=-1

z∞=xfi+xÆ fi=x ¤+xÆ ¤=z™=-1

z§=xfl+xÆ fl=1+1=z£=2

z¶=x‡+xÆ ‡=x+xÆ=z¡=-1

마찬가지로계속하면 m이 0이상의정수일때,

n=3m+1또는 n=3m+2이면

z«=-1

n=3(m+1)이면

z«=2

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

S«=z¡+z™+z£+y+z«으로놓으면

S¡=-1

-1-'3i2

-2-2'3i4

-1+'3i2

-1-'3i2

-1+'3i2

-1-'3i2

-1+'3i2

-1-'3i2

-1+'3i2

z+zÆ=6에서 a의값을구한경우

z¤ +z Æ ¤=10에서 a¤ -b¤의값을구한경우

z의값을구한경우

30 %

30 %

40 %

단계 채점기준 비율

01f(n)={ }n

f(n)=[ ]n

f(n)={ }n

f(n)=[ ]n

f(n)=(-i)«

이므로

f(1)+f(2)+f(3)+y+f(10)

=(-i)+(-i)¤ +(-i)‹ +y+(-i)⁄ ‚

={(-i-1+i+1)+(-i-1+i+1)+(-i-1)}

=-1-i=c+di

복소수가서로같을조건에의하여

c=-1, d=-1이므로

c+d=(-1)+(-1)=-2

답⃞ ③

-(a¤ +b¤ )ia¤ +b¤

ab-b¤ i-a¤ i-aba¤ +b¤

(b-ai)(a-bi)(a+bi)(a-bi)

b-aia+bi

정답과풀이

S™=(-1)+(-1)=-2

S£=(-1)+(-1)+2=0

S¢=(-1)+(-1)+2+(-1)=-1

S∞=(-1)+(-1)+2+(-1)+(-1)=-2

S§=(-1)+(-1)+2+(-1)+(-1)+2=0

S¶=(-1)+(-1)+2+(-1)+(-1)+2+(-1)=-1

⋯

이므로 z¡+z™+z£+y+z«=-1을만족시키는자연수 n은

1, 4, 7, y, 100의 34개이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 34

EBS 올림포스수학Ⅰ30

020이아닌복소수 a=a+bi (̀a, b는실수)로놓으면

a¤ +aÆ ¤=0이므로

(a+bi)¤ +(a-bi)¤ =0

(a¤ +2abi+b¤ i ¤ )+(a¤ -2abi+b¤ i ¤ )=0

2(a¤ -b¤ )=0, a¤ =b¤

즉, a=—b+0

따라서a=a+ai또는a=a-ai

a+aÆ=(a+bi)+(a-bi)=2a

aaÆ=(a+bi)(a-bi)=a¤ +b¤ =2a¤

ㄱ.̀ =

ㄱ.̀ =

ㄱ.̀ = =-2

ㄴ.⁄ a=a+ai일때,

⁄ = = =a

¤ a=a-ai일때,

⁄ = = =a

⁄, ¤에의하여 은실수이다.

ㄷ. a› =(a¤ )¤ =(—2a¤ i)¤ =-4a›

a‹ +aÆ ‹=(a+aÆ)‹ -3aaÆ(a+aÆ)

a‹ +aÆ ‹=(2a)‹ -3¥2a¤ ¥2a

a‹ +aÆ ‹=-4a‹

또한, a+aÆ>2이므로 2a>2, a>1

a‹ +aÆ ‹ -a› =-4a‹ -(-4a› )

=4a› -4a‹

=4a‹ (a-1)>0

이상에서옳은것은ㄴ, ㄷ이다.

답⃞ ④

03그림에서 x=x+yi (̀x, y는실수)로놓으면

x¤ =-2이므로

(x+yi )¤ =-2

x¤ -y¤ +2xyi=-2 yy`㉠

복소수가서로같을조건에의하여

a¤a-aÆ

-2a¤ i-2ai

(a-ai)¤(a-ai)-(a+ai)

a¤a-aÆ

2a¤ i2ai

(a+ai)¤(a+ai)-(a-ai)

a¤a-aÆ

8a‹-4a‹

(2a)‹(2a)‹ -3¥2a¤ ¥2a

(2a)‹(a+aÆ)‹ -3aaÆ(a+aÆ)

(a+aÆ)‹a‹ +aÆ ‹

x+xÆ=-1, x¤=xÆ, xÆ ¤=x, x‹=x Æ ‹=1

임을보인경우30 %

단계 채점기준 비율

자연수 n의개수를구한경우 30 %

z«의값을추론한경우 40 %

고난도문항 본문 48̀쪽

01③ 02④ 03①

1등급

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

2xy=0

이므로x=0또는 y=0

⁄ x=0을㉠에대입하면

⁄ -y¤ =-2

⁄ y=—'2

¤ y=0을㉠에대입하면

⁄ x¤ =-2

⁄이식을만족시키는실수 x는없다.

⁄, ¤에서

x=—'2 i yy`㉡

한편, z=a-bi, x=;z!;이므로

x= yy`㉢

㉡, ㉢에서

—'2 i=

즉, a-bi=- i또는a-bi= i

복소수가서로같을조건에의하여

a=0, b=—

따라서 a¤ +b¤ =0¤ +{— }2=;2!;

답⃞ ①

'22

'22

'22

'22

1a-bi

1a-bi

정답과풀이 31

수능유형맛보기 본문 49̀쪽

01④ 02② 03⑤ 04①

01a+b=3-i이므로

aÆ+bÆ=3+i

2aÆbÆ=(aÆ+bÆ)¤ -(aÆ ¤+bÆ ¤ )

=(3+i)¤ -(-2+2i)

=(8+6i)-(-2+2i)

=10+4i

따라서 aÆbÆ=5+2i, ab=5-2i이므로

aÆbÆ+ab=(5+2i)+(5-2i)=10

답⃞ ④

02z=a+bi (̀a, b는실수)로놓으면 z+zÆi=0에서

(a+bi)+(a-bi)i=0

(a+b)+(a+b)i=0

a+b=0이므로

b=-a

따라서 z=a-ai이므로 i=-2-2i에서

i= i

i= i

i=

i=a(-1-i)

i=-2-2i

따라서 a=2이므로

z=2-2i

답⃞ ②

03ㄱ. (a+bi)‹ +(a-bi)‹

={a‹ +3a¤ (bi)+3a¥(bi)¤ +(bi)‹ }

+{a‹ -3a¤ (bi)+3a¥(bi)¤ -(bi)‹ }

=2a‹ -6ab¤

이므로실수이다.

ㄴ. (a+bi)¤ (b+ai)¤ ={(a+bi)(b+ai)}¤

=(ab+a¤ i+b¤ i+abi ¤ )¤

=(a¤ +b¤ )¤ i ¤

=-(a¤ +b¤ )¤

이므로실수이다.

ㄷ. (a+bi)¤ {;a!;+;bI;}2=[(a+bi){;a!;+;bI;}]2

ㄷ. (a+bi)¤ {;a!;+;bI;}2={1+;bA;i+;aB;i+i ¤ }2

ㄷ. (a+bi)¤ {;a!;+;bI;}2={;bA;+;aB;}2 i ¤

ㄷ. (a+bi)¤ {;a!;+;bI;}2=-{;bA;+;aB;}2

이므로실수이다.

이상에서항상실수인것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

답⃞ ⑤

a¥(-2)(1+i)2

a¥2i1-i

a¤ (1+i)¤a(1-i)

(a+ai)¤a-ai

zÆ ¤z

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ32

04a«+b«i= 에서

a«’+”b«i”={≠ }이므로

a«-b«i=

(a«+b«i)(a«-b«i)=a«¤ +b«¤이고,

(a«+b«i)(a«-b«i)={ }{ }=1이므로

a«¤ +b«¤ =1

따라서

(a¡¤ +a™¤ +a£¤ +y+a¡º¤ )+(b¡¤ +b™¤ +b£¤ +y+b¡º¤ )

=(a¡¤ +b¡¤ )+(a™¤ +b™¤ )+(a£¤ +b£¤ )+y+(a¡º¤ +b¡º¤ )

=1+1+1+y+1=10

답⃞ ①

1-ni1+ni

1+ni1-ni

1-ni1+ni

1+ni1-ni

1+ni1-ni

1⑴이차방정식 (2x-1)¤ =3x¤ -7x+5의좌변을전개하면

4x¤ -4x+1=3x¤ -7x+5

x¤ +3x-4=0

(x+4)(x-1)=0

x=-4또는x=1

⑵이차방정식 (x+2)(x-1)=2x¤ -x+3의좌변을전개하면

x¤ +x-2=2x¤ -x+3

x¤ -2x+5=0

이때, 짝수의근의공식을이용하면

x= =1—'∂-å4=1—2i

답⃞ ⑴ x=-4또는x=1 ⑵ x=1—2i

2이차방정식 x¤ -2(k+1)x+k¤ +4k-5=0이실근을가지므로

이이차방정식의판별식을 D¡이라고하면

={-(k+1)}¤ -1_(k¤ +4k-5)æ0

-2k+6æ0, k…3 yy`㉠

이차방정식 2x¤ -4x+3k+8=0이허근을가지므로이이차방

정식의판별식을 D™라고하면

=(-2)¤ -2_(3k+8)<0

-6k-12<0, k>-2 yy`㉡

㉠, ㉡에서

-2<k…3

답⃞ -2<k…3

3이차식 x¤ +(a-2)x-3(a+1)이 완전제곱식이므로 이차방

정식 x¤ +(a-2)x-3(a+1)=0은중근을갖는다.

이이차방정식의판별식을 D라고하면

D=(a-2)¤ -4_1_{-3(a+1)}=0에서

D™4

D¡4

-(-1)—"√(-1√)¤ -√1_51

복소수와이차방정식⑵05

유제 본문 53̀~5̀6̀쪽

( | { | 9

10개

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 33

a¤ +8a+16=0, (a+4)¤ =0

a=-4

따라서이차방정식 x¤ +(a-2)x-3(a+1)=0,

즉 x¤ -6x+9=0에서 (x-3)¤ =0이므로

x=3

답⃞ x=3

4이차방정식의근과계수의관계에의하여

a+b=- =5, ab=;1#;=3

⑴ (a-b)¤ =(a+b)¤ -4ab=5¤ -4_3=13

⑵ =

⑵ = =:¡3ª:

답⃞ ⑴ 13 ⑵ :¡3ª:

5이차방정식의근과계수의관계에의하여

-3+1=-;1A;, a=2

-3_1=;1B;, b=-3

이때,

a+b=2+(-3)=-1

ab=2_(-3)=-6

이므로 x¤의계수가 1이고두수 a, b를두근으로하는이차

방정식은

x¤ -(-1)x-6=0

즉, x¤ +x-6=0

답⃞ x¤ +x-6=0

6⑴이차방정식 x¤ +4=0의근을구하면

x¤ =-4, x=—2i

따라서주어진이차식을복소수의범위에서인수분해하면

x¤ +4={x-(-2i)}(x-2i)=(x+2i)(x-2i)

⑵이차방정식 x¤ -2x+3=0의근을구하면

x= =1—'2i-(-1)—"√(-1√)¤ -√1_3

1

5¤ -2_33

(a+b)¤ -2abab

a¤ +b¤ab

-51

따라서주어진이차식을복소수의범위에서인수분해하면

x¤ -2x+3={x-(1-'2i)}{x-(1+'2i)}

=(x-1+'2i)(x-1-'2i)

답⃞ ⑴ (x+2i)(x-2i) ⑵ (x-1+'2i)(x-1-'2i)

7이차방정식 x¤ +ax+b=0의계수가모두유리수이고한근이

-2+'3이므로다른한근은 -2-'3이다.

이때, 이차방정식의근과계수의관계에의하여

(-2+'3 )+(-2-'3 )=-a, a=4

(-2+'3 )_(-2-'3 )=b, b=1

따라서이차방정식 x¤ +x-4=0에서근과계수의관계에의하여

a+b=-1, ab=-4

이므로

= =;4!;

답⃞ ;4!;

8이차방정식 x¤ -4x+k-3=0의두근의부호가다르므로

(두근의곱)=k-3<0

k<3

따라서정수 k의최댓값은 2이다.

답⃞ ②

-1-4

a+bab

유형확인

01 ⑤ 02 ③ 03 ② 04 ③ 05 ④06 ② 07 ③ 08 ① 09 ④ 10 ⑤

본문 57̀~5̀8̀쪽

01이차방정식 x¤ -ax-4a+2=0의한근이 -2이므로

(-2)¤ -a_(-2)-4a+2=0, a=3

이차방정식 x¤ -ax-4a+2=0에서

x¤ -3x-10=0, (x+2)(x-5)=0

x=-2또는x=5

따라서 b=5이므로

a+b=3+5=8

답⃞ ⑤

정답과풀이

02이차방정식 x¤ +(4k+a)x-2bk-b-5=0의한근이 x=1

이므로

1+(4k+a)-2bk-b-5=0

(4-2b)k+a-b-4=0 yy`㉠

㉠이 k의값에관계없이항상성립하므로

4-2b=0, a-b-4=0

위의두식을연립하여풀면

a=6, b=2

따라서 ab=6_2=12

답⃞ ③

03⁄ xæ1일때,

|x-1|=x-1이므로

방정식|x-1|(x+4)=6에서

(x-1)(x+4)=6

x¤ +3x-10=0

(x+5)(x-2)=0

이때, xæ1이므로 x=2

¤ x<1일때,

|x-1|=-(x-1)이므로

방정식|x-1|(x+4)=6에서

-(x-1)(x+4)=6

x¤ +3x+2=0

(x+1)(x+2)=0

x=-2또는x=-1

⁄, ¤에서주어진방정식의실근은

x=-2또는x=-1또는x=2

이므로모든실근의합은

-2+(-1)+2=-1

답⃞ ②

04이차방정식 x¤ -6x+a-1=0의판별식을 D라고하면

=(-3)¤ -(a-1)=0

9-a+1=0

따라서 a=10

답⃞ ③

D4

EBS 올림포스수학Ⅰ34

05(x¤ -2x-3)i+(y-5)=0에서복소수가서로같을조건에의

하여

x¤ -2x-3=0, y-5=0

⁄ x¤ -2x-3=0일때,

(x+1)(x-3)=0, x=-1또는x=3

이때, x>0이므로 x=3이다.

¤ y-5=0일때,

y=5

⁄, ¤에서 x+y=3+5=8

답⃞ ④

06이차방정식 x¤ -9x+a=0의두근을 a, 2a라고하면근과계

수의관계에의하여

(두근의합)=a+2a=9, a=3

(두근의곱)=a_2a=a

따라서 a=2a¤ =2_3¤ =18

답⃞ ②

07이차방정식 x¤ -4x+k-5=0의두근이 a, b이므로근과계

수의관계에서

a+b=4, ab=k-5

이때,

a¤+b¤=(a+b)¤ -2ab

=4¤ -2(k-5)

=26-2k

이므로

26-2k=20

따라서 k=3

답⃞ ③

08이차방정식 x¤ +3x-2=0의두근이 a, b이므로근과계수의

관계에서

a+b=-3, ab=-2

이때,

(2+a)+(2+b)=4+(a+b)=4-3=1

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

(2+a)(2+b)=4+2(a+b)+ab

=4+2¥(-3)-2=-4

이므로 2+a, 2+b를두근으로하고 x¤의계수가 1인이차

방정식은

x¤ -x-4=0

따라서 a=-1, b=-4이므로

a+b=-1-4=-5

답⃞ ①

09= =-2+2i

이차방정식 x¤ +ax+b=0의계수가모두실수이고한근이

-2+2i이므로다른한근은 -2-2i이다.

이때, 이차방정식의근과계수의관계에서

(-2+2i)+(-2-2i)=-a, a=4

(-2+2i)_(-2-2i)=b, b=8

따라서 a+b=4+8=12

답⃞ ④

10이차방정식 x¤ +(a¤ -a-2)x-2a+1=0의두실근을 a, b

라고하면두실근이절댓값은같고부호는서로다르므로

a+b=0, ab<0

a+b=0에서 -(a¤ -a-2)=0이므로

a¤ -a-2=0

(a+1)(a-2)=0

a=-1또는a=2 yy`㉠

또, ab<0에서

-2a+1<0

a>;2!; yy`㉡

㉠, ㉡에서

a=2

답⃞ ⑤

4i(1+i)(1-i)(1+i)

4i1-i

정답과풀이 35

서술형연습장본문 59̀쪽

01 3<a<:£4£: 02 125 03 14 04 6

01출제의도 이차방정식의 판별식을 활용하여 이차방정식의 근을 판별할

수있는지를묻는문제이다.

이차방정식 x¤ -3x+a-6=0의판별식을 D¡이라고하면

D¡=(-3)¤ -4_1_(a-6)>0

9-4a+24>0

4a<33

a<:£4£: yy`㉠

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

또, 이차방정식 x¤ +2x+3a-8=0의판별식을D™라고하면

=1¤ -(3a-8)<0

-3a+9<0

a>3 yy`㉡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠, ㉡에서

3<a<:£4£:

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 3<a<:£4£:

02출제의도 이차방정식의판별식을이용하여관계식을구한후, 항등식의

성질을이해하고있는지를묻는문제이다.

이차방정식 x¤ -2(k-a)x+(k¤ -10k+b)=0의 판별식을

D라고하면

={-(k-a)}¤ -(k¤ -10k+b)=0

(-2a+10)k+a¤ -b=0 yy`㉠

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠이 k에대한항등식이므로

-2a+10=0, a¤ -b=0

위의두식을연립하여풀면

D4

D™4

이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가짐을

이용하여 a의값의범위를구한경우40 %

단계 채점기준 비율

이차방정식이허근을가짐을이용하여 a의값의범위를구한경우

40 %

a의값의범위를구한경우 20 %

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ36

a=5, b=25

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 ab=5_25=125

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 125

03출제의도 이차방정식의 근과 계수의 관계를 이용하여 식의 값을 구할

수있는지를묻는문제이다.

이차방정식 x¤ -2x-1=0의두근이 a, b이므로근과계수의

관계에서

a+b=2, ab=-1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

또,

a‹+b‹=(a+b)‹ -3ab(a+b)

=2‹ -3_(-1)_2

=14

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서

(1+a‹ )(1+b‹ )=1+(a‹+b‹ )+(ab)‹

=1+14-1

=14

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 14

04출제의도 이차방정식의 근과 계수의 관계를 활용할 수 있는지를 묻는

문제이다.

이차방정식 x¤ -2kx+6k-1=0의두근이모두 0보다큰 홀

수이고두근의차가 2이므로두근을 2a-1, 2a+1(̀a는자연

수)이라고하자.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

이차방정식의근과계수의관계에서

(두근의합)=(2a-1)+(2a+1)=2k

k=2a yy`㉠

(두근의곱)=(2a-1)_(2a+1)=6k-1

2a¤ =3k yy`㉡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠, ㉡에서

2a¤ =3_2a, 2a(a-3)=0

이때, a는자연수이므로 a=3

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 k=2a=6

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 6

이차방정식의판별식을이용하여관계식을

구한경우40 %

단계 채점기준 비율

항등식의성질을이용하여 a, b의값을구한경우

40 %

ab의값을구한경우 20 %

이차방정식의근과계수의관계를이용하여

a+b, ab의값을구한경우40 %

단계 채점기준 비율

(1+a‹ )(1+b ‹ )의값을구한경우 30 %

a‹ +b ‹의값을구한경우 30 %

이차방정식의두근을 2a-1, 2a+1로나

타낸경우20 %

단계 채점기준 비율

이차방정식의근과계수의관계를이용하여

관계식을구한경우30 %

a의값을구한경우 30 %

k의값을구한경우 20 %

고난도문항 본문 60̀쪽

01① 02④ 03④

1등급

01이차방정식 x¤ +ax+b=0의두근이 a, b이므로근과계수의

관계에서

a+b=-a, ab=b yy`㉠

또, 이차방정식 x¤ +(a+2)x+2b+2=0의두근의합이

이고, 두근의곱이 이므로

=-a-2, =2b+2 yy`㉡

㉠, ㉡에서

= =-a-2이므로

ab+2b-2a=0 yy`㉢

-2ab

2(a+b)ab

4ab

2(a+b)ab

4ab

2(a+b)ab

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

또, =;b$;=2b+2이므로

b¤ +b-2=0

(b+2)(b-1)=0

b=-2또는 b=1

이때, b<0이므로 b=-2 yy`㉣

㉣을㉢에대입하면

-2a-4-2a=0

a=-1

따라서 ab=(-1)_(-2)=2

답⃞ ①

02직각삼각형 O¡AO™에서

∠O¡AO™=90˘, O’¡O™”=2'1å0이므로

피타고라스정리에의하여

(r¡)¤ +(r™)¤ =40 yy`㉠

또, 이차방정식 x¤ -ax+16=0의두근이 r¡, r™이므로근과

계수의관계에서

r¡+r™=a, r¡r™=16 yy`㉡

㉠, ㉡에서

(r¡)¤ +(r™)¤ =(r¡+r™)¤ -2r¡r™=a¤ -2_16=40

a¤ =72

a=6'2

따라서사각형 O¡AO™B의둘레의길이는

2(r¡+r™)=2a=12'2

답⃞ ④

03길의폭을 x m(0<x<60)라고하자.

길을만들기전의땅의넓이는 80_60=4800(m ¤ )이다.

길을만든후의남은땅의넓이는 (80-x)(60-x)(m¤ )이다.

이때, 길을만들었더니남은땅의넓이는길을만들기전의넓이보

다 544 m¤ 줄었으므로

4800-(80-x)(60-x)=544

x¤ -140x+544=0

(x-4)(x-136)=0

x=4(m)

답⃞ ④

4ab

정답과풀이 37

수능유형맛보기 본문 61̀쪽

01④ 02③ 03 64 04③

01이차방정식 x¤ -7x-5=0의두근이 a, b이므로근과계수의

관계에서

a+b=7, ab=-5

이때,

a¤+b¤ =(a+b)¤ -2ab=7¤ -2_(-5)=59

(a+1)(b+1)=ab+a+b+1

=-5+7+1

=3

이므로

= =20

답⃞ ④

02이차방정식 4x¤ +4ax-3a+10=0의 판별식을 D라고 하면

중근을가지므로

=(2a)¤ -4(-3a+10)=0

a¤ +3a-10=0

(a+5)(a-2)=0

a=-5또는a=2

따라서모든실수 a의값의합은 -5+2=-3

답⃞ ③

03이차방정식 x¤ +px+q=0의두근이 a, b이므로근과계수의

관계에의하여

a+b=-p, ab=q yy`㉠

또, 이차방정식 x¤ +qx+r=0의두근이 4a, 4b이므로근과

계수의관계에의하여

4a+4b=4(a+b)=-q, (4a)(4b)=16ab=r yy`㉡

㉠, ㉡에서

4_(-p)=-q, 16q=r

즉, p=;4!;q, r=16q이므로

D4

1+593

1+a¤ +b¤(a+1)(b+1)

정답과풀이

;pR;= =64

답⃞ 64

04이차방정식 f(x)=0의두근이 a, b이므로

f(x)=a(x-a)(x-b)(a+0)

라고하면

f(3x-5)=a(3x-5-a)(3x-5-b)

이때, 이차방정식 f(3x-5)=0에서

a(3x-5-a)(3x-5-b)=0

x= 또는x=

따라서방정식 f(3x-5)=0의모든근의곱은

_ =

_ =

_ =6

답⃞ ③

25+30-19

25+5(a+b)+ab

95+b3

5+a3

5+b3

5+a3

16q

;4!;q

EBS 올림포스수학Ⅰ38

1이차방정식 ax¤ +bx+c=0의한근이 -2이므로

a_(-2)¤ +b_(-2)+c=0

즉, 4a-2b+c=0 yy`㉠

또, 이차방정식 ax¤ +bx+c=0의한근이 1이므로

a_1¤ +b_1+c=0

즉, a+b+c=0 yy`㉡

㉠, ㉡에서 b=a, c=-2a yy`㉢

이차함수 y=ax¤ -bx+c의그래프와 x축이만나는교점의 x

좌표는이차방정식 ax¤ -bx+c=0,

즉 ax¤ -ax-2a=0의실근과같다.

이때, a(x¤ -x-2)=0에서

a(x+1)(x-2)=0, x=-1또는x=2

즉, 이차함수 y=ax¤ -bx+c의그래프와 x축이만나는교점

은 (-1, 0), (2, 0)이므로

p=-1, q=2또는p=2, q=-1

따라서 p+q=1

답⃞ 1

[다른풀이]

이차방정식 ax¤ +bx+c=0의두근은 -2, 1이므로

a_(-2)¤ +b_(-2)+c=0

a_1¤ +b_1+c=0

이때,

a_2¤ -b_2+c=0

a_(-1)¤ -b_(-1)+c=0

이므로이차방정식 ax¤ -bx+c=0의두근은 2, -1이다.

즉, 이차함수 y=ax¤ -bx+c의그래프와 x축이만나는교점

은 (2, 0), (-1, 0)이므로

p=2, q=-1또는p=-1, q=2

따라서 p+q=1

2이차함수 y=x¤ +ax-a+3의그래프가 x축과접하므로이차

이차방정식과이차함수06

유제 본문 65̀~6̀8̀쪽

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

방정식 x¤ +ax-a+3=0의 판별식을 D라고 하면 D=0

이어야한다.

즉, D=a¤ -4(-a+3)=0에서

a¤ +4a-12=0, (a+6)(a-2)=0

따라서 a=-6또는a=2

답⃞ a=-6 또는 a=2

3f(x)=x¤ -8x+3k-11이라고하자.

이차방정식 x¤ -8x+3k-11=0의두근이모두 1보다크려

면함수 y=f(x)의그래프가다음그림과같아야한다.

⁄이차방정식 x¤ -8x+3k-11=0의판별식을 D라고하면

=(-4)¤ -(3k-11)æ0, k…9

¤함수 y=f(x)의대칭축은 x=- =4이므로 4>1이

성립한다.

‹ f(1)=1-8+3k-11>0에서 k>6

⁄, ¤, `‹에서 6<k…9

답⃞ 6<k…9

4이차함수 y=-3x¤ -x+2의그래프와직선 y=kx+5가접

하므로이차방정식 -3x¤ -x+2=kx+5, 즉

3x¤ +(k+1)x+3=0의판별식을 D라고하면 D=0이어야

한다.

즉, D=(k+1)¤ -4_3_3=0에서

k¤ +2k-35=0, (k+7)(k-5)=0

따라서 k=-7또는k=5

답⃞ k=-7 또는 k=5

5이차함수 y=2x¤ -ax+a의 그래프와 직선 y=x+b의 교점

의 x좌표는이차방정식2x¤ -ax+a=x+b, 즉

-82

D4

xO

yy=f{x}

1

정답과풀이 39

2x¤ -(a+1)x+a-b=0의실근과같다.

이때, 점 A의 x좌표가 1-'2이므로이차방정식

2x¤ -(a+1)x+a-b=0의한근이 1-'2이고, a, b가유리

수이므로다른한근은 1+'2이다.

이차방정식의근과계수의관계에의하여

(두근의합)=(1-'2)+(1+'2)=- , a=3

(두근의곱)=(1-'2)_(1+'2)= , b=5

따라서 ab=3_5=15

답⃞ 15

6y=-x¤ +2ax+b=-(x-a)¤ +a¤ +b이므로이차함수

y=-x¤ +2ax+b는x=a에서최댓값 a¤ +b를가진다.

즉, a=3, a¤ +b=5이므로 b=-4이다.

따라서 y=x¤ +bx+a=x¤ -4x+3=(x-2)¤ -1이므로이차

함수 y=x¤ +bx+a는 x=2일때최솟값 -1을갖는다.

답⃞ -1

7y=x¤ -2x+k=(x-1)¤ -1+k

이므로주어진범위에서이차함수

y=x¤ -2x+k의 그래프를 그리면 오

른쪽그림과같다.

x=1일때최솟값 -1+k를가지므로

-1+k=-2에서 k=-1

또, x=4일때최댓값 M을가지므로

M=4¤ -2_4-1=7

답⃞ 7

8직사각형 PRCQ의 가로의 길이, 세로의

길이를각각 x cm, y cm라고하자.

△PBRª△APQ이므로

(8-x) : y=x : (24-y)

y=-3x+24 (0<x<8)

이때, 직사각형 PRCQ의넓이는

xy=x(-3x+24)

=-3(x¤ -8x)

y cm

x cm

CRB

QP

A

8 cm

24 cm

xO

y y=x2-2x+k

-1+k4

1

M

a-b2

-(a+1)2

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ40

따라서방정식 f(2x)=0의모든실근의합은

+ = =1

답⃞ ①

03이차함수 y=-x¤ +2(a-k)x-k¤ +6k+b의그래프가 k의

값에관계없이항상 x축에접하므로이차방정식

-x¤ +2(a-k)x-k¤ +6k+b=0의판별식을 D라고하면모

든실수 k에대하여 D=0이어야한다.

즉, =(a-k)¤ -(-1)_(-k¤ +6k+b)=0에서

(6-2a)k+a¤ +b=0 yy`㉠

㉠은 k에대한항등식이므로

6-2a=0, a¤ +b=0

따라서 a=3, b=-9이므로

a+b=3+(-9)=-6

답⃞ ③

04이차함수 y=x¤ -x-1의그래프와직선 y=3x+a가접하므

로이차방정식x¤ -x-1=3x+a, 즉 x¤ -4x-1-a=0의판

별식을 D라고하면 D=0이어야한다.

즉, =(-2)¤ -1_(-1-a)=0에서

a=-5

이차방정식 x¤ -4x-1-a=0에서 a=-5이므로

x¤ -4x+4=0, (x-2)¤ =0, x=2

이때, y=3_2-5=1이므로 p=2, q=1이다.

따라서 a+p+q=-5+2+1=-2

답⃞ ②

05이차함수 y=-x¤ +2x+k의그래프가 x축과서로다른두점

에서만나므로이차방정식 -x¤ +2x+k=0의판별식을 D¡이

라고하면 D¡>0이어야한다.

즉, =1¤ -(-1)_k>0에서

k>-1 yy`㉠

또, 이차함수 y=-x¤ +2x+k의그래프와직선 y=4x+6이

D¡4

D4

D4

a+b2

b2

a2

유형확인

01 ⑤ 02 ① 03 ③ 04 ② 05 ①06 ② 07 ③ 08 ② 09 ④ 10 ⑤

본문 69̀~7̀0̀쪽

01직선 y=2x+4에서

0=2x+4, x=-2

이므로점 A의좌표는 (-2, 0)이다.

직선 y=-x+3에서

0=-x+3, x=3

이므로점 B의좌표는 (3, 0)이다.

이때, 이차함수 y=-2x¤ +ax+b가두점 A(-2, 0),

B(3, 0)을지나므로이차방정식 -2x¤ +ax+b=0의두실근

은 -2, 3이다.

따라서근과계수의관계에서

(두근의합)=-2+3=- , a=2

(두근의곱)=-2_3= , b=12

따라서 ab=24

답⃞ ⑤

02이차함수 y=f(x)의 그래프와 x축

의교점의 x좌표를 a, b라하고, 이

차함수 y=f(x)의 이차항의 계수를

a(a<0)라고하면

f(x)=a(x-a)(x-b)

이때, a+b=2이다.

방정식 f(2x)=0,

즉a(2x-a)(2x-b)=0에서

x= 또는x= b2

a2

xO

y

y=f{x}

å ∫

5

1

b-2

a-2

=-3(x-4)¤ +48

따라서 x=4, y=12일때직사각형 PRCQ의넓이가최대이

므로이때직사각형 PRCQ의둘레의길이는

2(x+y)=2(4+12)=32(cm)이다.

답⃞ ⑤

㉠, ㉡에서 k>3

⁄, ¤, `‹에서 3<k<4

답⃞ ③

08이차함수 f(x)=x¤ -3x-4에서

x¤ -3x-4=0

(x+1)(x-4)=0

x=-1또는x=4

따라서두점 A, B의좌표는 (-1, 0), (4, 0)또는

(4, 0), (-1, 0)이다.

이때, 주어진조건을만족하려면이차함수

g(x)=-3x¤ +ax+2a의그래프는다음그림과같아야한다.

즉, g(-1)>0, g(4)<0 또는 g(-1)<0, g(4)>0이어야

한다.

⁄ g(-1)>0, g(4)<0일때

g(-1)=-3-a+2a>0, a>3 yy`㉠

g(4)=-48+4a+2a<0, a<8 yy`㉡

㉠, ㉡에서 3<a<8

¤ g(-1)<0, g(4)>0일때

g(-1)=-3-a+2a<0, a<3 yy`㉢

g(4)=-48+4a+2a>0, a>8 yy`㉣

㉢, ㉣을동시에만족시키는정수 a는없다.

⁄, ¤에서 3<a<8

따라서정수 a는 4, 5, 6, 7의4개이다.

답⃞ ②

09함수 y=x¤ -4|x|+5에서

⁄-3…x<0일때

y=x¤ +4x+5=(x+2)¤ +1

¤ 0…x…3일때

y=x¤ -4x+5=(x-2)¤ +1

xO

y f{x}=x2-3x-4

4-1

g{x}=-3x2+ax+2a

xO

y f{x}=x2-3x-4

-1 4

g{x}=-3x2+ax+2a

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

만나지않으므로이차방정식-x¤ +2x+k=4x+6, 즉

x¤ +2x+6-k=0의판별식을 D™라고하면 D™<0이어야한다.

즉, =1¤ -1_(6-k)<0에서

k<5 yy`㉡

따라서㉠, ㉡을모두만족시키는실수 k의값의범위는

-1<k<5

답⃞ ①

06이차함수 y=x¤ +5x+k의 그래프와 직선 y=2x-1이 만나

지않아야하므로이차방정식 x¤ +5x+k=2x-1, 즉

x¤ +3x+k+1=0의판별식을 D라고하면 D<0이어야한다.

즉, D=3¤ -4_1_(k+1)<0에서

k>;4%;

따라서정수 k의최솟값은 2이다.

답⃞ ②

07이차방정식 x¤ -2x-3=0에서

(x+1)(x-3)=0, x=-1또는x=3

이차방정식 x¤ -4x+k=0의서로다른두실근이 -1과 3사

이에존재하려면이차함수 f(x)=x¤ -4x+k의그래프가다음

그림과같아야한다.

⁄ 이차방정식 x¤ -4x+k=0의판별식을 D라고하면

=(-2)¤ -k>0, k<4

¤ 함수 y=f(x)의대칭축은 x=- =2이므로

-1<2<3이성립한다.

‹ f(-1)=(-1)¤ -4_(-1)+k>0에서

k>-5 yy㉠

f(3)=3¤ -4_3+k>0에서 k>3 yy㉡

-42

D4

xO

y f{x}=x2-4x+k

32

-1

D™4

정답과풀이 41

정답과풀이

⁄, ¤에서함수 y=x¤ -4|x|+5의그래프는다음그림과같다.

따라서 x=—2일때최솟값 1을갖고, x=0일때최댓값 5를

가지므로

M-m=5-1=4

답⃞ ④

10-x¤ +2x=t로 놓으면 t=-(x-1)¤ +1이고, -1…x…2

이므로

-3…t…1

y=(-x¤ +2x)¤ +4(-x¤ +2x)+5

=t¤ +4t+5

=(t+2)¤ +1

-3…t…1에서주어진함수의최솟값은 1이고최댓값은 10이다.

따라서 m=1, M=10이므로

m+M=1+10=11

답⃞ ⑤

xO

yy={x+2}2+1 y={x-2}2+1

5

2

32-2-3

1

EBS 올림포스수학Ⅰ42

y=x¤ +ax+b

y=x¤ -2x-3

=(x-1)¤ -4

에서 -2…x…5이므로 x=5일

때최댓값은 12이고 x=1일때최

솟값은 -4이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`➋

따라서 M¤ +m¤ =12¤ +(-4)¤ =144+16=160

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 160

02출제의도 이차방정식의 판별식을 이용하여 이차함수의 그래프와 직선

의위치관계를구할수있는지를묻는문제이다.

이차함수 y=x¤ +2kx-k+6의그래프가 x축과접하므로이

차방정식 x¤ +2kx-k+6=0의판별식을 D¡이라고하면

D¡=0이어야한다.

=k¤ -1_(-k+6)=0에서

k¤ +k-6=0

(k+3)(k-2)=0

k=-3또는k=2 yy㉠

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

또, 이차함수 y=x¤ +2kx-k+6의그래프와직선

y=(k+1)x+5가접하므로이차방정식

x¤ +2kx-k+6=(k+1)x+5, 즉

x¤ +(k-1)x-k+1=0의판별식을 D™라고하면 D™=0이

어야한다.

D™=(k-1)¤ -4_1_(-k+1)=0에서

k¤ +2k-3=0, (k+3)(k-1)=0

k=-3또는k=1 yy`㉡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

D¡4

xO

y y=x2-2x-3

51

5

12

-2

-4-3

01출제의도 이차함수의 그래프와 이차방정식의 관계를 이용하여 이차함

수의최댓값과최솟값을구할수있는지를묻는문제이다.

이차함수 y=x¤ +ax+b의그래프와 x축의교점이 (-1, 0),

(3, 0)이므로이차방정식 x¤ +ax+b=0의두실근은 -1, 3

이다.

근과계수의관계에의하여

(두근의합)=-1+3=-;1A;, 즉 a=-2

(두근의곱)=-1_3=;1B;, 즉 b=-3

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

서술형연습장본문 71̀쪽

01 160 02 9 03-;2#; 04 7

이차함수의그래프와이차방정식의관계를

이용하여 a, b의값을구한경우40 %

단계 채점기준 비율

이차함수 y=x¤ +ax+b의최댓값과최솟값을구한경우

40 %

M¤ +m¤의값을구한경우 20 %

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

㉠, ㉡에서

k=-3

따라서 k¤ =(-3)¤ =9

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 9

03출제의도 이차함수의 그래프와 직선의 교점의 x좌표가 이차방정식의

실근임을이해하고있는지를묻는문제이다.

이차함수 y=2x¤ +2x-1의 그래프와 직선 y=x+k가 만나

는점 P의 x좌표가 1이므로이차방정식 2x¤ +2x-1=x+k,

즉 2x¤ +x-1-k=0의한실근은 1이다.

따라서 2_1¤ +1-1-k=0이므로

k=2

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

이때, 이차방정식 2x¤ +x-1-k=0에서 k=2이므로

2x¤ +x-3=0

(2x+3)(x-1)=0

x=-;2#;또는x=1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 이차함수 y=2x¤ +2x-1의 그래프와 직선 y=x+k

가만나는교점의 x좌표가 -;2#;, 1이므로점 Q의 x좌표는 -;2#;

이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ -;2#;

정답과풀이 43

이차함수 y=x¤ +2kx-k+6의그래프가x축에접할때, k의값을구한경우

40 %

단계 채점기준 비율

이차함수 y=x¤ +2kx-k+6의그래프가직선 y=(k+1)x+5에접할때, k의값을구한경우

40 %

k¤의값을구한경우 20 %

점 P의 x좌표가 1임을 이용하여 상수 k의값을구한경우

40 %

단계 채점기준 비율

이차방정식 2x¤ +x-1-k=0의 해를 구한경우

40 %

점 Q의 x좌표를구한경우 20 %

04출제의도 이차함수의 그래프와 이차방정식의 관계를 이해하고 있는지

를묻는문제이다.

f(x)=x¤ -nx+2n-13이라고하자.

문제의조건을만족시키려면

이차함수 y=f(x)의 그래프가

오른쪽그림과같아야한다.

f(-1)=1+n+2n-13<0

n<4 yy㉠

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

f(3)=9-3n+2n-13<0

n>-4 yy㉡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠, ㉡을동시에만족시키는 n의값의범위는

-4<n<4

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서정수 n은 -3, -2, -1, y, 3의 7개이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 7

xO

y y=f{x}

-1 3

고난도문항 본문 72̀쪽

01④ 02① 03② 04 240

1등급

01이차함수 y=x¤ -4x+p에서 AB”=6이므로

A(a, 0), B(a+6, 0)이라고하자.

이차방정식 x¤ -4x+p=0의두근이 a, a+6이므로근과계

수의관계에서

(두근의합)=a+(a+6)=- , a=-1-41

f(-1)<0임을이용하여 n의값의범위를구한경우

30 %

단계 채점기준 비율

f(3)<0임을 이용하여 n의 값의 범위를구한경우

30 %

n의값의범위를구한경우 20 %

정수 n의개수를구한경우 20 %

정답과풀이

(두근의곱)=a_(a+6)=;1P;, p=-5

또, 이차함수 y=x¤ -4x+p, 즉 y=x¤ -4x-5의그래프와

직선 y=x+q의한교점이 A이므로이차방정식

x¤ -4x-5=x+q, 즉 x¤ -5x-5-q=0의한근이 -1이다.

(-1)¤ -5_(-1)-5-q=0이므로 q=1

이때, 이차방정식 x¤ -5x-5-q=0에서

x¤ -5x-6=0, (x+1)(x-6)=0

x=-1또는x=6

이차함수 y=x¤ -4x+p의그래프와직선 y=x+q가만나는

교점의x좌표가 -1, 6이므로점 C의좌표는 (6, 7)이다.

따라서삼각형ABC의넓이는

;2!;_6_7=21

답⃞ ④

02이차함수 y=-x¤ +x+6에서

-x¤ +x+6=0

x¤ -x-6=0

(x+2)(x-3)=0

x=-2또는x=3

따라서두점 A, B의좌표는각각 (-2, 0), (3, 0)이다.

이때, 점 P(a, b)가이차함수 y=-x¤ +x+6의그래프를따

라점 A에서점 B까지움직이므로 -2…a…3이다.

또, 점 P(a, b)는이차함수 y=-x¤ +x+6위의점이므로

b=-a¤ +a+6이다.

3a-b=3a-(-a¤ +a+6)

=a¤ +2a-6

=(a+1)¤ -7

이므로 3a-b는 a=-1일때최솟값은 -7이고, a=3일때

최댓값은 9이다.

따라서최댓값과최솟값의합은 9+(-7)=2이다.

답⃞ ①

03방정식 f(x)+2x-k=0, 즉 f(x)=-2x+k가 서로 다른

네개의실근을가지려면함수 y=f(x)의그래프와직선

y=-2x+k가서로다른네점에서만나야한다.

EBS 올림포스수학Ⅰ44

⁄직선 y=-2x+k가점 (2, 0)을지날때

0=-2_2+k, k=4

¤직선 y=-2x+k가이차함수 y=-x¤ +x+2에접할때

이차방정식 -2x+k=-x¤ +x+2, 즉

x¤ -3x+k-2=0의 판별식을 D라고 하면 D=0이어야

하므로

D=(-3)¤ -4(k-2)=0

k=:¡4¶:

⁄, ¤에서 4<k<:¡4¶:

답⃞ ②

04f(t)=-5t¤ +20t+10

f(t)=-5(t¤ -4t)+10

=-5(t-2)¤ +30

1…t…4이므로 t=2일때공

의 높이는 가장 높고 그 때의

높이는 30 m이다. 또 t=4일

때공의높이는가장낮고그때의

높이는 10 m이다.

따라서 a=2, A=30, b=4, B=10이므로

(a+b)(A+B)=(2+4)(30+10)=240

답⃞ 240

tO

yf{t}=-5t2+20t+10

1

10

3025

2 4

xO

y y=x2-x-2

y=-x2+x+2

y=-2x+k

2-1

수능유형맛보기 본문 73̀쪽

01 52 02① 03② 04 ⑤

01y=x¤ +ax+4의그래프와직선 y=-3x+b의교점의 x좌표

-1, 2는이차방정식 x¤ +ax+4=-3x+b, 즉

x¤ +(a+3)x+4-b=0의두근이다.

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 45

근과계수의관계에서

(두근의합)=-1+2=- , a=-4

(두근의곱)=-1_2= , b=6

따라서 a¤ +b¤ =(-4)¤ +6¤ =52

답⃞ 52

02이차함수 y=f(x)의이차항의계수가 1이고

f(-2)=f(1)=0이므로 f(x)=(x+2)(x-1)이다.

또, 이차함수 y=g(x)의이차항의계수가 -1이고

g(-2)=g(3)=0이므로 g(x)=-(x+2)(x-3)이다.

이때, 2f(x)+g(x)=0에서

2(x+2)(x-1)-(x+2)(x-3)=0

(x+2){2(x-1)-(x-3)}=0

(x+2)(x+1)=0

x=-2또는x=-1

따라서방정식 2f(x)+g(x)=0의모든실근의합은

-2+(-1)=-3

답⃞ ①

03이차함수 y=-x¤ +2x+a의그래프와직선 y=2bx+5가만

나지않으려면이차방정식 -x¤ +2x+a=2bx+5, 즉

x¤ +2(b-1)x+5-a=0은허근을가져야한다.

이차방정식 x¤ +2(b-1)x+5-a=0의판별식을 D라고하면

=(b-1)¤ -(5-a)<0

a<5-(b-1)¤ yy`㉠

이부등식을만족시키는자연수 a, b의순서쌍 (a, b)는

b=1일때 a<5이므로

(1, 1), (2, 1), (3, 1), (4, 1)

b=2일때 a<4이므로

(1, 2), (2, 2), (3, 2)

bæ3일 때에는 부등식 ㉠을 만족시키는 자연수 a는 존재하지

않는다.

따라서 a=3, b=2일때 ab의최댓값은 6이다.

답⃞ ②

D4

4-b1

a+31

04PQ”=a, BQ”=b라고하면

△PBQ≡△SCR에서

CR”=BQ”=b이므로

QR”=4-2b

이때, b>0, 4-2b>0에서

0<b<2

직각삼각형 PBQ에서

∠PBQ=60˘이므로

tan 60˘=;bA;, '3=;bA;, a=b'3

직사각형 PQRS의넓이를 y라고하면

y=(4-2b)_a

=(4-2b)_b'3

=-2'3 b¤ +4'3 b

=-2'3(b-1)¤ +2'3

0<b<2이므로 b=1일때직사각형 PQRS의넓이는최대이

고최댓값은 2'3이다.

답⃞ ⑤

a

b b4-2b

A

BQ

P S

RC

60æ

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ46

X=-1또는X=2

즉, x¤ =-1또는x¤ =2이므로

x=—i또는x=—'2

⑵사차방정식 x› -6x¤ +1=0에서

x› -2x¤ +1-4x¤ =0

(x¤ -1)¤ -4x¤ =0

(x¤ -2x-1)(x¤ +2x-1)=0

x¤ -2x-1=0또는x¤ +2x-1=0

x=1—'2또는x=-1—'2

답⃞ ⑴x=—i또는x=—'2

⑵ x=1—'2또는x=-1—'2

3한근이 2i이므로주어진방정식에대입하면

(2i)‹ +a(2i)¤ +b(2i)-4=0

-8i-4a+2bi-4=0

(-4a-4)+(-8+2b)i=0

복소수가서로같을조건에의하여

-4a-4=0, -8+2b=0

a=-1, b=4

이때, 삼차방정식 x‹ -x¤ +4x-4=0에서

x¤ (x-1)+4(x-1)=0

(x¤ +4)(x-1)=0

x=-2i또는x=2i또는x=1

따라서 a=-1, b=4이고다른두근은 -2i, 1이다.

답⃞ a=-1, b=4, 다른두근은 -2i, 1

[다른풀이]

삼차방정식 x‹ +ax¤ +bx-4=0의한근이 2i이고, 계수가실

수이므로다른한근은-2i이다.

이때, 나머지한근을 a라고하면삼차방정식의근과계수의관계

에서

-a=2i+(-2i)+a

b=2i_(-2i)+(-2i)_a+a_2i

4=2i_(-2i)_a

이므로

a=-1, b=4, a=1

따라서 a=-1, b=4이고다른두근은 -2i, 1이다.

4방정식 x› -2x‹ +x-2=0에서

1⑴방정식 x‹ -x¤ -4x+4=0에서

x¤ (x-1)-4(x-1)=0

(x-1)(x¤ -4)=0

(x-1)(x-2)(x+2)=0

x=1또는x=2또는x=-2

⑵ f(x)=x› -x‹ -7x¤ +x+6으로놓으면

f(1)=1-1-7+1+6=0

이므로 f(x)는 x-1을인수로가진다.

조립제법을이용하여 f(x)를인수분해하면

f(x)=(x-1)(x‹ -7x-6)

이때, g(x)=x‹ -7x-6으로놓으면

g(-1)=-1+7-6=0

이므로 g(x)는 x+1을인수로가진다.

조립제법을이용하여 g(x)를인수분해하면

g(x)=(x+1)(x¤ -x-6)=(x+1)(x+2)(x-3)

따라서주어진방정식은

(x-1)(x+1)(x+2)(x-3)=0

x=1또는x=-1또는x=-2또는x=3

답⃞ ⑴ x=1또는x=2또는x=-2

⑵ x=1또는x=-1또는x=-2또는x=3

2⑴사차방정식 x› -x¤ -2=0에서 x¤ =X라고하면

X¤ -X-2=0, (X+1)(X-2)=0

-1 1 0 -7 -6

1 -1 -6 0

-1 1 6

1 1 -1 -7 1

1 0 -7 -6

1 0 -7

6

-6

0

여러가지방정식07

유제 본문 77̀~8̀0̀쪽

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

x‹ (x-2)+(x-2)=0

(x-2)(x‹ +1)=0

(x-2)(x+1)(x¤ -x+1)=0

이므로 x는이차방정식 x¤ -x+1=0의근이다.

따라서 x‹ =-1, x¤ -x+1=0이므로

(1-x)(1+x¤ )(1-x‹ )=(-x ‹ +x¤-x+1)(1-x‹ )

=1_2

=2

답⃞ 2

5

⑴ 에서

㉠+㉡을하면 4x+y=17 yy㉣

2_㉠+㉢을하면 4x+3y=19 yy㉤

㉣-㉤을하면 -2y=-2, y=1

y=1을㉣에대입하면 x=4

x=4, y=1을㉠에대입하면 z=-5

따라서주어진연립방정식의근은

x=4, y=1, z=-5

⑵ 에서

㉠+㉡을하면 3x-y=4 yy㉣

㉡+㉢을하면 6x-2y=8, 3x-y=4 yy㉤

㉣과㉤이일치하므로㉣, ㉤을만족시키는 x, y의값은무

수히많다.

이때, x=k(̀k는임의의실수)로놓으면㉣에서 y=3k-4이

므로 x=k, y=3k-4를㉠에대입하면

z=5k-3

따라서주어진연립방정식의해는

x=k, y=3k-4, z=5k-3(̀k는임의의실수) 꼴의모든

수이다.

답⃞ 풀이참조

6

⑴ 에서

x+y=-1 yy`㉠

y+z=8 yy`㉡

z+x=3 yy`㉢

({9

x-2y+z=5 yy`㉠

2x+y-z=-1 yy`㉡

4x-3y+z=9 yy`㉢

({9

x+2y-z=11 yy`㉠

3x-y+z=6 yy`㉡

2x-y+2z=-3 yy`㉢

({9

정답과풀이 47

㉠+㉡+㉢을하면

2(x+y+z)=10

x+y+z=5 yy`㉣

㉠을㉣에대입하면 z=6

㉡을㉣에대입하면 x=-3

㉢을㉣에대입하면 y=2

따라서연립방정식의근은 x=-3, y=2, z=6

⑵ 에서

㉠_㉡_㉢을하면

(xyz)¤ =144

xyz=—12

⁄ xyz=12(̀yy㉣)일때,

㉠을㉣에대입하면 z=;3$;

㉡을㉣에대입하면 x=;2#;

㉢을㉣에대입하면 y=6

x=;2#;, y=6, z=;3$;

¤ xyz=-12(̀yy㉤)일때,

㉠을㉤에대입하면 z=-;3$;

㉡을㉤에대입하면 x=-;2#;

㉢을㉤에대입하면 y=-6

x=-;2#;, y=-6, z=-;3$;

⁄, ¤에서주어진연립방정식의해는

x=;2#;, y=6, z=;3$;또는x=-;2#;, y=-6, z=-;3$;

답⃞ ⑴x=-3, y=2, z=6

⑵x=;2#;, y=6, z=;3$; 또는 x=-;2#;, y=-6, z=-;3$;

7⑴ ‡

㉠에서 x=-4y+1 yy`㉢

㉢을㉡에대입하면

(-4y+1)¤ -y¤ =8

15y¤ -8y-7=0

x+4y=1 yy`㉠

x¤ -y¤ =8 yy`㉡

xy=9 yy`㉠

yz=8 yy`㉡

zx=2 yy`㉢

({9

정답과풀이

(15y+7)(y-1)=0

y=-;;1¶5;또는 y=1

⁄ y=-;;1¶5;일때, x=;1$5#;

¤ y=1일때, x=-3

⁄, ¤에서주어진연립방정식의해는

x=;1$5#;, y=-;;1¶5;또는x=-3, y=1

⑵ ‡

㉠에서 y=3x-5 yy`㉢

㉢을㉡에대입하면

x¤ -x(3x-5)+(3x-5)¤ =3

7x¤ -25x+22=0

(7x-11)(x-2)=0

x=:¡7¡:또는x=2

⁄ x=:¡7¡:일때, y=-;7@;

¤ x=2일때, y=1

⁄, ¤에서주어진연립방정식의해는

x=:¡7¡:, y=-;7@;또는x=2, y=1

답⃞ ⑴ x=;1$5#;, y=-;;1¶5;또는 x=-3, y=1

⑵ x=:¡7¡:, y=-;7@; 또는 x=2, y=1

8‡

㉠에서

(x+y)(x-2y)=0

x=-y또는x=2y

⁄ x=-y를㉡에대입하면

-y¤ +2y-2y=-4, y¤ =4, y=—2

y=2일때 x=-2이고 y=-2일때 x=2이다.

¤ x=2y를㉡에대입하면

2y¤ -4y-2y=-4

y¤ -3y+2=0

(y-1)(y-2)=0

y=1또는 y=2

x¤ -xy-2y¤ =0 yy`㉠

xy-2x-2y=-4 yy`㉡

3x-y=5 yy`㉠

x¤ -xy+y¤ =3 yy`㉡

y=1일때 x=2이고 y=2일때 x=4이다.

⁄, ¤에서주어진연립방정식의해는

‡ 또는‡ 또는‡ 또는‡

따라서 x=4, y=2일때 xy는최댓값 8을갖는다.

답⃞ ②

x=4

y=2

x=2

y=1

x=2

y=-2

x=-2

y=2

EBS 올림포스수학Ⅰ48

유형확인

01 ④ 02 ① 03 ① 04 ③ 05 ②06 ④ 07 ③ 08 ① 09 풀이참조10 ④

본문 81̀~8̀2̀쪽

01f(x)=x‹ -3x¤ +5x-3으로놓으면

f(1)=1-3+5-3=0이다.

이때, f(x)는 x-1을 인수로 가지므로 조립제법을 이용하여

f(x)를인수분해하면 f(x)=(x-1)(x¤ -2x+3)이다.

방정식 f(x)=0에서

(x-1)(x¤ -2x+3)=0

x=1또는x=1—'2i

따라서 a=1, b=1+'2i, r=1-'2i라고할수있으므로

(5+a¤ )(b¤ +c ¤ )

=(5+1¤ ){(1+'2i)¤ +(1-'2i)¤ }

=6_(-2)

=-12

답⃞ ④

02삼차방정식 x‹ -12x¤ +ax+b=0의세실근의비가 1 : 2 : 3

이므로세실근을 a, 2a, 3a (̀a+0인실수)라하자.

a, 2a, 3a를세근으로하고삼차항의계수가 1인삼차방정식은

(x-a)(x-2a)(x-3a)=0

x‹ -6ax¤ +11a¤ x-6a‹ =0

이때, -6a=-12, 11a¤=a, -6a‹ =b이므로

1 1 -3 5 -3

1 -2 3

1 -2 3 0

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 49

a=2, a=44, b=-48

따라서a+b=44-48=-4

답⃞ ①

03g(x)=f(x)-x¤으로놓으면

g(1)=f(1)-1=0

g(2)=f(2)-4=0

g(3)=f(3)-9=0

이므로인수정리에의하여

g(x)=(x-1)(x-2)(x-3)=x‹ -6x¤ +11x-6

이때, f(x)=g(x)+x¤ =x‹ -5x¤ +11x-6이므로삼차방정식

f(x)=0은

x‹ -5x¤ +11x-6=0 yy`㉠

또, 삼차방정식 f(x)=0의세근을 a, b, c라고하면

f(x)=(x-a)(x-b)(x-c)

=x‹ -(a+b+c)x¤ +(ab+bc+ca)x-abc

이므로

x‹ -(a+b+c)x¤ +(ab+bc+ca)x-abc=0 yy`㉡

㉠, ㉡에서 a+b+c=5이므로삼차방정식 f(x)=0의세근의

합은 5이다.

답⃞ ①

04사차방정식 (x¤ +3x)¤ +2(x¤ +3x)-8=0에서

x¤ +3x=t로놓으면

t¤ +2t-8=0

(t-2)(t+4)=0

(x¤ +3x-2)(x¤ +3x+4)=0

x¤ +3x-2=0또는x¤ +3x+4=0

x= 또는x=

따라서

ab+cd

= _ + _

=-2+4

=2

답⃞ ③

-3-'7i2

-3+'7i2

-3-'1å72

-3+'1å72

-3—'7i2

-3—'1å72

05사차방정식

x› -6x¤ +2a-10=0 yy`㉠

에서 x¤ =t로놓으면

t¤ -6t+2a-10=0 yy`㉡

이때, 사차방정식㉠이서로다른네실근을가지려면이차방정식

㉡이서로다른두개의양수인실근을가져야한다.

이차방정식㉡의판별식을 D, 두근을 a, b라고하면

⁄ =(-3)¤ -(2a-10)>0에서 a<:¡2ª:

¤ a+b=- >0

‹ ab= >0에서 a>5

⁄, ¤, ̀‹에서 5<a<:¡2ª:

따라서정수 a는 6, 7, 8, 9의 4개이다.

답⃞ ②

06x가삼차방정식 x‹ -1=0의근이므로

x‹ -1=0, x ‹ =1

또, 삼차방정식 x‹ -1=0에서 (x-1)(x¤ +x+1)=0이므로

x는이차방정식 x¤ +x+1=0의근이다.

즉, x¤ +x+1=0

1+x+x¤ +x‹ +y+x⁄ ‚ ‚

=(1+x+x¤ )+x‹ (1+x+x ¤ )+xfl (1+x+x¤ )

+y+x· fl (1+x+x ¤ )+(x‹ )‹ ‹ +x(x‹ )‹ ‹

=1+x

x는이차방정식 x¤ +x+1=0의근이므로

x= 또는x=

⁄ x= 일때,

⁄ a+bi=1+x에서

⁄ a+bi=;2!;- i

⁄복소수가서로같을조건에의하여

⁄ a=;2!;, b=-

¤ x= 일때,-1+'3i

2

'32

'32

-1-'3i2

-1+'3i2

-1-'3i2

2a-101

-61

D4

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ50

⁄ a+bi=1+x에서

⁄ a+bi=;2!;+ i

⁄복소수가서로같을조건에의하여

⁄ a=;2!;, b=

⁄, ¤에서 a¤ +b¤ =1 답⃞ ④

07연립방정식 3x-y+z=x+y+3z=x-3y+z=6에서

㉠+㉡을하면

4x+4z=12, 즉 x+z=3 yy`㉣

3_㉡+㉢을하면

4x+10z=24, 즉 2x+5z=12 yy`㉤

2_㉣-㉤을하면

-3z=-6, z=2

z=2를㉣에대입하면

x+2=3, x=1

x=1, z=2를㉠에대입하면

3-y+2=6, y=-1

따라서 a=1, b=-1, c=2이므로

a¤+b¤+c ¤=1¤ +(-1)¤+2¤=6

답⃞ ③

08‡

㉠-2_㉡을하면

3x+y=9

y=-3x+9 yy㉢

㉢을㉠에대입하면

2x¤ +x-3(-3x+9)=1

x¤ +5x-14=0

(x+7)(x-2)=0

x=-7또는x=2

x=-7일때 y=30이고, x=2일때 y=3이다.

이때, a>0, b>0이므로 a=2, b=3이다.

2x¤ +x-3y=1 yy`㉠

x¤ -x-2y=-4 yy`㉡

3x-y+z=6 yy`㉠

x+y+3z=6 yy`㉡

x-3y+z=6 yy`㉢

({9

'32

'32

따라서 a+b=2+3=5

답⃞ ①

09‡

㉡에서 (x+y)¤ -3xy=37

1¤ -3xy=37, xy=-12

즉, x+y=1, xy=-12이므로 x, y는 t에대한이차방정식

t¤ -t-12=0의두근이다.

(t+3)(t-4)=0에서

t=-3또는 t=4

따라서구하는연립방정식의해는

‡ 또는‡

답⃞ ‡ 또는 ‡

10방정식 x¤ -6xy+10y¤ +2y+1=0에서

x¤ -6xy+9y¤ +y¤ +2y+1=0

(x-3y)¤ +(y+1)¤ =0

이때, x, y가실수이므로

x-3y=0, y+1=0

위의두식을연립하여풀면 x=-3, y=-1이므로

x¤ +y¤ =(-3)¤ +(-1)¤ =10

답⃞ ④

x=4

y=-3

x=-3

y=4

x=4

y=-3

x=-3

y=4

x+y=1 yy`㉠

x¤ -xy+y¤ =37 yy`㉡

01출제의도 계수가실수인삼차방정식과허근의관계를활용할수있는지

를묻는문제이다.

삼차방정식 x‹ -3x¤ +ax+b=0의한근이 1+2i이고 a, b

가실수이므로1-2i도근이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

서술형연습장본문 83쪽

01 70 02 6 03 36 04 72

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

삼차방정식의나머지한근을 a라고하면

세수 1+2i, 1-2i, a를세근으로하고삼차항의계수가 1인

삼차방정식은

{x-(1+2i)} {x-(1-2i)}(x-a)=0

즉, x‹ -(2+a)x¤ +(5+2a)x-5a=0

이때, -(2+a)=-3, 5+2a=a, -5a=b이므로

a=1, a=7, b=-5

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

두수 7, -5를두근으로하고이차항의계수가 1인이차방정

식은

x¤ -2x-35=0

이므로

p=-2, q=-35

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 pq=(-2)_(-35)=70

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 70

02출제의도 이차방정식의 판별식을 활용하여 삼차방정식의 근의 개수를

판별할수있는지를묻는문제이다.

⁄이차방정식 x¤ -2ax-a+2=0 yy`㉠이 x=-1을근

으로가질때

이차방정식㉠에 x=-1을대입하면

1+2a-a+2=0

a=-3

이때, 이차방정식㉠에 a=-3을대입하면

x¤ +6x+5=0

(x+5)(x+1)=0

x=-5또는x=-1

이므로 a=-3이면주어진삼차방정식은중근과다른한근

을갖는다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

정답과풀이 51

1-2i가주어진삼차방정식의근임을구한경우

20 %

단계 채점기준 비율

p, q의값을구한경우 30 %

a, b의값을구한경우 30 %

pq의값을구한경우 20 %

¤ 이차방정식 x¤ -2ax-a+2=0이중근을가질때

이이차방정식의판별식을 D라고하면

=(-a)¤ -(-a+2)=0

a¤ +a-2=0

(a+2)(a-1)=0

a=-2또는a=1

a=-2일때주어진삼차방정식은

(x+1)(x¤ +4x+4)=0

(x+1)(x+2)¤ =0

x=-1또는x=-2 (중근)

따라서 a=-2일 때, 주어진 삼차방정식은 중근과 다른 한

근을갖는다.

a=1일때주어진삼차방정식은

(x+1)(x¤ -2x+1)=0

(x+1)(x-1)¤ =0

x=-1또는x=1 (중근)

따라서 a=1일때, 주어진삼차방정식은중근과다른한근을

갖는다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

⁄, ¤에서

a=-3또는a=-2또는a=1

따라서모든실수 a의값의곱은

-3_(-2)_1=6

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 6

03출제의도 연립방정식의해를구할수있는지를묻는문제이다.

㉠+㉡+㉢을하면

4x+3y=9 yy`㉠

3y+z=-5 yy`㉡

z+4x=10 yy`㉢

({9

D4

이차방정식 x¤ -2ax-a+2=0의 한 근이 x=-1일때, 주어진조건을만족시키는 a의값을구한경우

30 %

단계 채점기준 비율

이차방정식 x¤ -2ax-a+2=0이중근을가질때, 주어진조건을만족시키는 a의값을구한경우

50 %

모든실수 a의값의곱을구한경우 20 %

정답과풀이

2(4x+3y+z)=14

4x+3y+z=7 yy㉣

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉣-㉠을하면 z=-2

㉣-㉡을하면 4x=12, x=3

㉣-㉢을하면 3y=-3, y=-1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 a=3, b=-1, c=-2이므로

(abc)¤ ={3_(-1)_(-2)}¤ =36

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 36

04출제의도 주어진 상황을 연립이차방정식으로 나타내고 그 해를 구하여

문제를해결할수있는지를묻는문제이다.

AÆD”=x cm, AÆB”=y cm(0<y<x<4'5)라고하자.

삼각형 ABD에서∠BAD=90˘이므로

피타고라스정리에의하여

x¤ +y¤ =(4'5)¤ , x¤ +y¤ =80 yy`㉠

또, 직사각형 ABCD의넓이가 24 cm ¤이므로

xy=24 yy`㉡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠, ㉡에서

x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy=(x+y)¤ -48=80

(x+y)¤ =128

x+y=8'2 yy`㉢

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉡, ㉢에서

x, y는 t에대한이차방정식 t¤ -8'2t+24=0의근이다.

t=4'2—øπ(4'π2 )¤ π-24=4'2—2'2

t=6'2또는 t=2'2

따라서 x=6'2, y=2'2이므로

x¤ =(6'2 )¤ =72

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 72

EBS 올림포스수학Ⅰ52

세 방정식을 변끼리 모두 더하여 관계식을

구한경우30 %

단계 채점기준 비율

(abc)¤의값을구한경우 20 %

연립방정식의해를구한경우 50 %

주어진조건을이용하여관계식을구한경우

x+y의값을구한경우

x¤의값을구한경우

40 %

20 %

40 %

단계 채점기준 비율

고난도문항 본문 84̀쪽

01④ 02① 03 380

1등급

01

2_㉠+㉡을하면

5x+y=5, 즉 y=5-5x yy`㉣

㉠-㉢을하면

(2-a)x+(1-a)y=1 yy`㉤

㉣을㉤에대입하면

(2-a)x+(1-a)(5-5x)=1

(4a-3)x=5a-4

이때, 이방정식의해가존재하지않아야하므로

4a-3=0, 5a-4+0

따라서 a=;4#;

답⃞ ④

02삼각형 EBC에서

∠EBC=∠ECB이므로 EB ”=CE”

이때, EB”=EC”=x (0<x<a+6)라하면

AE”=DE”=a+6-x

직각삼각형 ABE에서

x¤ =a¤ +(a+6-x)¤

x

x

A

B

E

D

C

a

a+6-xa+6-x a

2x+y-z=3 yy`㉠

x-y+2z=-1 yy`㉡

ax+ay-z=2 yy`㉢

({9

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

x¤ =a¤ +(a¤ +36+x¤ +12a-12x-2ax)

2(a+6)x=2a¤ +12a+36

x=

삼각형 EBC의넓이는 ;2!;ax이므로

;2!;ax=:¡4¶:

;2!;_a_ =:¡4¶:

2a‹ +12a¤ +36a=17a+102

2a‹ +12a¤ +19a-102=0

(a-2)(2a¤ +16a+51)=0

이때, 2a¤ +16a+51>0이므로 a=2

답⃞①

03세소금물 A, B, C의농도를각각 a %, b %, c %라고하자.

소금물 A와소금물 B를각각 100 g, 200 g씩섞으면농도가

10 %인소금물이되므로

_100=10

a+2b=30 yy`㉠

소금물 B와소금물 C를각각 100 g씩섞으면농도가 12 %인

소금물이되므로

_100=12

b+c=24 yy`㉡

소금물 C와소금물 A를각각 300 g, 100 g씩섞으면농도가

:£2¡:%인소금물이되므로

_100=:£2¡:

3c+a=62 yy`㉢

㉠-2_㉡을하면

a-2c=-18 yy`㉣

㉢-㉣을하면

5c=80, c=16

c=16을㉡, ㉢에각각대입하면

b=8, a=14

;10C0;_300+;10A0;_100

300+100

;10B0;_100+;10C0;_100

100+100

;10A0;_100+;10B0;_200

100+200

a¤ +6a+18a+6

a¤ +6a+18a+6

소금물 A, B, C를각각 100 g씩섞었을때소금물의농도는

_100=:£3•:(%)

이므로

p=:£3•:

따라서 30p=30_:£3•:=380

답⃞ 380

;1¡0¢0;_100+;10*0;_100+;1¡0§0;_100

100+100+100

정답과풀이 53

수능유형맛보기 본문 85̀쪽

01② 02③ 03④ 04⑤

01f(x)=x‹ -7x¤ +(k+6)x-k라고하면

f(1)=1-7+(k+6)-k=0

따라서 f(x)는 x-1을인수로가지므로조립제법을이용하여

인수분해하면

f(x)=(x-1)(x¤ -6x+k)

방정식 f(x)=0에서

(x-1)(x¤ -6x+k)=0

x=1또는x¤ -6x+k=0

주어진방정식이서로다른세실근을갖기위해서는이차방정식

x¤ -6x+k=0이 1이아닌서로다른두실근을가져야한다.

⁄ x=1은이차방정식 x¤ -6x+k=0의근이아니어야하므로

1-6+k+0, k+5

¤이차방정식 x¤ -6x+k=0의판별식을 D라고하면

=(-3)¤ -k>0

k<9

이때, k는자연수이므로 0<k<9이다.

⁄, ¤에서0<k<5또는5<k<9이므로자연수 k는

1, 2, 3, 4, 6, 7, 8의 7개이다.

답⃞②

D4

1 1 -7 k+6 -k

1 -6 k

1 -6 k 0

정답과풀이

02x› +ax‹ +x¤ -x+b=0의두실근이 -1, 3이므로

x=-1을주어진방정식에대입하면

1-a+1+1+b=0

a-b=3 yy`㉠

또, x=3을주어진방정식에대입하면

81+27a+9-3+b=0

27a+b=-87 yy`㉡

㉠+㉡을하면

28a=-84, a=-3

a=-3을㉠에대입하면 b=-6

이때, 사차식 x› -3x‹ +x¤ -x-6을조립제법을이용하여인수

분해하면

x› -3x‹ +x¤ -x-6=(x+1)(x-3)(x¤ -x+2)

즉, 주어진방정식은

(x+1)(x-3)(x¤ -x+2)=0

이고, 이차방정식 x¤ -x+2=0은허근을가지므로 a, b는이

차방정식 x¤ -x+2=0의근이다.

따라서이차방정식의근과계수의관계에서

a+b=1, ab=2이므로

a¤ +b¤ =(a+b)¤ -2ab=1¤ -2_2=-3

답⃞③

03x¤ -(n-2)x+n+5=0의두근을 a, b(a, b는자연수)라

고하면이차방정식의근과계수의관계에서

a+b=n-2 yy`㉠

ab=n+5 yy`㉡

㉠, ㉡에서

a+b+2=ab-5

(a-1)(b-1)=8

이때, a, b는자연수이므로

a-1=1, b-1=8또는a-1=8, b-1=1또는

-1 1 -3 1 -1

-1 4 -5

3 1 -4 5 -6

1 -1 2 0

-6

6

0

3 -3 6

a-1=2, b-1=4또는a-1=4, b-1=2

따라서a=2, b=9또는 a=9, b=2또는 a=3, b=5또는

a=5, b=3

⁄ a=2, b=9또는 a=9, b=2일때,

n=a+b+2=13

¤ a=3, b=5또는 a=5, b=3일때,

n=a+b+2=10

⁄, ¤에서 n=13또는 n=10이므로모든정수 n의값의합은

13+10=23

답⃞④

04제3̀0회런던올림픽대회에서우리나라선수들이획득한금메달,

은메달, 동메달의개수를각각 x, y, z라고하자.

우리나라선수들은 28개의메달을획득하였으므로

x+y+z=28 yy`㉠

금메달과은메달의개수의합은동메달의개수의 2배보다 7개가

많으므로

x+y=2z+7

x+y-2z=7 yy`㉡

은메달의개수의 3배는금메달과동메달의개수의합보다 4개가

많으므로

3y=x+z+4

x-3y+z=-4 yy`㉢

㉠-㉡을하면 3z=21, z=7

㉠-㉢을하면 4y=32, y=8

y=8과 z=7을㉠에대입하면 x=13

따라서 제3̀0회 런던올림픽 대회에서 우리나라 선수들이 획득한

금메달의개수는13이다.

답⃞⑤

EBS 올림포스수학Ⅰ54

할때 D<0이어야한다.

=16-a(a-6)<0에서

a¤ -6a-16>0, (a+2)(a-8)>0

a<-2또는a>8

그런데 a>0이므로 a>8

답⃞ a>8

5부등식 3<2x-1…-x¤ +8x-6은

연립부등식[ 과같으므로

3<2x-1에서

2x>4

x>2 yy`㉠

2x-1…-x¤ +8x-6에서

x¤ -6x+5…0, (x-1)(x-5)…0

1…x…5 yy`㉡

㉠, ㉡을수직선위에나타내면다음그림과같다.

따라서㉠, ㉡의공통범위를구하면

2<x…5

이고이를만족시키는정수 x는 3, 4, 5의 3개이다.

답⃞ ②

6x¤ +2ax-4a=0의판별식을 D¡이라고하면이방정식이실근

을갖지않으므로

=a¤ -(-4a)<0

a¤ +4a<0, a(a+4)<0

-4<a<0 yy`㉠

x¤ +(a-1)x+a¤ =0의판별식을 D™라고하면이방정식이실

근을갖지않으므로

D™=(a-1)¤ -4a¤ <0

3a¤ +2a-1>0, (a+1)(3a-1)>0

a<-1또는a>;3!; yy`㉡

D¡4

x1 2 5

㉠㉡

3<2x-1

2x-1…-x¤ +8x-6

D4

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 55

1ac>bc이므로 ac-bc>0, c(a-b)>0

c<0이므로 a-b<0

따라서 a<b이다.

답⃞ 풀이참조

2⁄ x<0일때,

-x-(x-2)…4, -2x…2, xæ-1

이때, x<0이므로 -1…x<0

¤ 0…x<2일때,

x-(x-2)…4, 0¥x…2, x는모든실수

이때, 0…x<2이므로 0…x<2

‹ xæ2일때,

x+(x-2)…4, 2x…6, x…3

이때, xæ2이므로 2…x…3

⁄ ,̀ ¤, ‹에`서 -1…x…3이므로구하는정수 x는 -1, 0,

1, 2, 3의 5개이다.

답⃞ ③

3해가 -3<x<;2!;이고, 이차항의계수가 2인이차부등식은

2(x+3){x-;2!;}<0

2x¤ +5x-3<0

이부등식이2x¤ +ax+b<0과일치하므로

a=5, b=-3

따라서 a+b=2

답⃞ 2

4주어진이차부등식이모든실수 x에대하여성립하기위해서는

a>0이고이차방정식 ax¤ +8x+a-6=0의판별식을 D라고

여러가지부등식08

유제 본문 88̀~9̀0̀쪽

정답과풀이

㉠, ㉡을수직선위에나타내면다음그림과같다.

따라서㉠, ㉡의공통범위를구하면

-4<a<-1

답⃞ -4<a<-1

a

㉠

㉡ ㉡

-4 -1 03-1

이므로 a+b=8

답⃞ ③

03|x|+|x-3|…x+6에서

⁄ x<0일때,

-x-(x-3)…x+6, -3…3x, xæ-1

그런데 x<0이므로 -1…x<0

¤ 0…x<3일때,

x-(x-3)…x+6, xæ-3

그런데0…x<3이므로 0…x<3

‹ xæ3일때,

x+x-3…x+6, x…9

그런데 xæ3이므로 3…x…9

⁄, ¤, ‹에서구하는해는-1…x…9

따라서구하는모든정수 x의값의합은

-1+0+1+2+y+9=44

답⃞ ④

04해가-1<x<2이고이차항의계수가 1인이차부등식은

(x+1)(x-2)<0, x¤ -x-2<0

a<0이므로 ax¤ -ax-2a>0

이식이 ax¤ +bx+c>0과같으므로

b=-a, c=-2a

이식을 cx¤ -ax-b<0에대입하면

-2ax¤ -ax+a<0

a<0이므로 2x¤ +x-1<0

(2x-1)(x+1)<0에서

-1<x<;2!;

따라서 a=-1, b=;2!;이므로

a+b=-;2!;

답⃞ ⑤

05x¤ -2xæ0에서 x(x-2)æ0

x…0또는xæ2 yy`㉠

x-1 -2-1

EBS 올림포스수학Ⅰ56

유형확인

01 ⑤ 02 ③ 03 ④ 04 ⑤ 05 ③06 ④ 07 ① 08 ③ 09 ⑤

본문 91̀~9̀2̀쪽

01x+2>a(a-1-x)를정리하면

(a+1)x>(a+1)(a-2)

ㄱ. a=-1이면 (a+1)x>(a+1)(a-2)에서 0¥x>0이

므로해는없다.

ㄴ. a<-1일때, a+1<0이므로

(a+1)x>(a+1)(a-2)에서

x<a-2

ㄷ. a=2일때, (a+1)x>(a+1)(a-2)에서

3x>0, x>0

이상에서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

답⃞ ⑤

02|ax+2|…b에서

-b…ax+2…b

-b-2…ax…b-2

a>0이므로

…x…

이때, 주어진부등식의해가 -4…x…2이므로

=-4, =2

-4a+b=-2, 2a-b=-2

두식을연립하여풀면

a=2, b=6

b-2a

-b-2a

b-2a

-b-2a

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

또, 0.5x¤ -3x+2.5<0에서

5x¤ -30x+25<0

x¤ -6x+5<0

(x-1)(x-5)<0

1<x<5 yy`㉡

㉠, ㉡을수직선위에나타내면다음그림과같다.

따라서㉠, ㉡의공통부분을구하면 2…x<5이므로구하는모든

정수 x의값의합은

2+3+4=9

답⃞ ③

06삼각형의세변이되기위한 x의값의범위를구하면

x+(x+1)>x+2에서 x>1 yy`㉠

둔각삼각형이되려면

(x+2)¤ >(x+1)¤ +x¤

x¤ -2x-3<0

(x-3)(x+1)<0

-1<x<3 yy`㉡

㉠, ㉡에서 x의값의범위는

1<x<3

답⃞ ④

07모든실수 x에대하여 -x¤ +2(n-5)x<1이성립하려면모

든실수 x에대하여이차부등식

x¤ -2(n-5)x+1>0 yy`㉠

이성립해야한다.

이차방정식 x¤ -2(n-5)x+1=0의판별식을 D라고할때,

부등식㉠이모든실수 x에대하여항상성립하려면 D<0을만

족시켜야한다.

={-(n-5)}¤ -1<0에서

n¤ -10n+24<0, (n-4)(n-6)<0

4<n<6

따라서자연수 n은 5로 1개이다.

답⃞ ①

D4

0 1 2 5

㉠ ㉠㉡

x

08x¤ -4ax+a¤ -2a+1<0의해가존재하지않으려면방정식

x¤ -4ax+a¤ -2a+1=0의판별식을 D라고할때 D…0이

어야한다.

=(-2a)¤ -(a¤ -2a+1)…0에서

3a¤ +2a-1…0, (3a-1)(a+1)…0, -1…a…;3!;

답⃞ ③

09‡

㉠에서 (x+2)(x-2)æ0

x…-2 또는xæ2 yy`㉢

㉡의해와㉢의공통범위가-3<x…-2또는 2…x<5이어야

하므로x¤ +ax+b<0의해는

-3<x<5

이것을해로갖고이차항의계수가 1인이차부등식은

(x+3)(x-5)<0

x¤ -2x-15<0

따라서 a=-2, b=-15이므로

ab=30

답⃞ ⑤

㉢ ㉢

㉡

x-3 -2 52

x¤ -4æ0 yy`㉠

x¤ +ax+b<0 yy`㉡

D4

정답과풀이 57

01출제의도 이차방정식의근의조건과관련된연립부등식의해를구할수

있는지를묻는문제이다.

이차방정식 x¤ -kx+1=0의판별식을 D¡이라고하면이방정

식이서로다른두실근을가지므로

D¡=k¤ -4>0

서술형연습장본문 93̀쪽

01 2<k<3 02 3 03 1…a<4

04 14

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ58

(k+2)(k-2)>0

k<-2또는k>2 yy`㉠

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

이차방정식 x¤ +2kx+k+6=0의 판별식을 D™라고 하면 이

방정식이서로다른두허근을가지므로

=k¤ -(k+6)<0

(k+2)(k-3)<0

-2<k<3 yy`㉡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠, ㉡의공통범위를구하면

2<k<3

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 2<k<3

02출제의도 절댓값기호를포함한일차부등식의해를구하고, 이차부등식

을작성할수있는지를묻는문제이다.

|3x+a|…5에서 -5…3x+a…5

…x… yy`㉠

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠을해로갖고이차항의계수가 1인이차부등식은

{x+ }{x- }…0

x¤ +;3@;ax- …0 yy`㉡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉡이 x¤ +;3*;x+b…0과같으므로

;3@;a=;3*;, - =b

위의두식을연립하여풀면

a=4, b=-1

이므로 a+b=3

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

25-a¤9

25-a¤9

5-a3

5+a3

5-a3

-5-a3

D™4

답⃞ 3

03출제의도 부등식이 항상 성립하기 위한 조건을 구할 수 있는지를 묻는

문제이다.

(a-1)x¤ +2ax>2x-3에서

(a-1)x¤ +2(a-1)x+3>0

⁄ a=1일때,

(좌변)=(1-1)x¤ +2(1-1)x+3=3>0

이므로모든실수 x에 대하여주어진부등식이성립한다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

¤ a+1일때,

이차방정식 (a-1)x¤ +2(a-1)x+3=0의판별식을 D라

고할때, 모든실수 x에 대하여주어진부등식이성립하려면

a-1>0이고, D<0이어야한다.

=(a-1)¤ -3(a-1)

=a¤ -2a+1-3a+3

=a¤ -5a+4

=(a-1)(a-4)<0

에서 1<a<4

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

⁄, ¤에의해 1…a<4

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 1…a<4

04출제의도 이차방정식의두근이모두양수가되기위한조건을구할수

있는지를묻는문제이다.

이차방정식 x¤ -2(k+1)x+2k¤ -3k+1=0의판별식을 D라

D4

서로다른두실근을갖도록하는 k의값의범위를구한경우

40 %

단계 채점기준 비율

서로다른두허근을갖도록하는 k의값의범위를구한경우

40 %

실수 k의값의범위를구한경우 20 %

절댓값 기호를 포함한 일차부등식의 해를

구한경우30 %

단계 채점기준 비율

a+b의값을구한경우 40 %

이차부등식을작성한경우 30 %

a=1일때, 부등식이성립함을확인한경우 20 %

단계 채점기준 비율

a의값의범위를구한경우 20 %

a+1일때, 이차부등식이항상성립하기위한조건을구한경우

60 %

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 59

고할때, 이차방정식의두근 a, b가모두양수일조건은

Dæ0, a+b>0, ab>0

⁄ =(k+1)¤ -2k¤ +3k-1æ0에서

k¤ -5k…0, k(k-5)…0

0…k…5 yy`㉠

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

¤ a+b=2(k+1)>0에서

k>-1 yy`㉡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

‹ ab=2k¤ -3k+1>0에서

(2k-1)(k-1)>0

k<;2!;또는k>1 yy`㉢

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠, ㉡, ㉢을수직선위에나타내고공통범위를구해보면

0…k<;2!;또는1<k…5

따라서정수 k는0, 2, 3, 4, 5이고그합은 14이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 14

k

㉢ ㉢

㉠㉡

-1 0 1 52-1

D4

Dæ0이되도록하는 k의값의범위를구한경우

25 %

단계 채점기준 비율

정수 k의값의합을구한경우 25 %

두근의합이양수가되도록하는 k의값의범위를구한경우

25 %

두근의곱이양수가되도록하는 k의값의범위를구한경우

25 %

고난도문항 본문 94̀쪽

01① 02③ 03③ 04 15

1등급

01주어진그래프가나타내는이차함수는

f(x)=(x+1)(x-5)이므로

f(-3x+2)=(-3x+2+1)(-3x+2-5)

=(-3x+3)(-3x-3)

=9(x-1)(x+1)

따라서부등식 9(x-1)(x+1)>0의해는 x<-1또는x>1

이므로양의정수의최솟값은 2이다.

답⃞①

02‡ 의해가 -1…x<2이므로

f(2)=0, g(-1)=0

f(2)=8+2a+b=0 yy`㉠

g(-1)=1-(b-2a)+b+1

=2+2a=0 yy`㉡

㉠, ㉡에서a=-1, b=-6

따라서 f(x)=2x¤ -x-6, g(x)=x¤ -4x-5이므로

5f(x)-6g(x)<0에서

5(2x¤ -x-6)-6(x¤ -4x-5)<0, 4x¤ +19x<0

x(4x+19)<0

-:¡4ª:<x<0

따라서정수 x는 -4, -3, -2, -1로 4개이다.

답⃞③

03f(x)=kx¤ +(2k-3)x+2 (k>0)로놓으면

f(0)=2, f(-2)=8

|a|<2이므로곡선 y=f(x)가 -2<x<2에서 x축과만난다.

또한, |b|>2이므로다음그림과같이 0<a<2이고 b>2이

어야한다.

위의그림에서 f(2)=8k-4<0이므로

k<;2!;

xO

y y=f{x}

2

2-2

8

å ∫

2x¤ +ax+b<0

x¤ +(b-2a)x+b+1…0

|x+2|+|x-3|=(x+2)+(x-3)

=2x-1>9

에서

x>5

xæ3이므로 x>5

⁄, ¤, ‹에서구하는해는

x<-4또는x>5

이므로보기에서같은해를갖는이차부등식은

(x+4)(x-5)>0, 즉 x¤ -x-20>0

답⃞③

02x¤ -4x-12<0에서 (x+2)(x-6)<0

-2<x<6 yy`㉠

x¤ -(a+3)x+3a…0에서 (x-a)(x-3)…0

aæ3이면 3…x…a, a…3이면a…x…3 yy`㉡

㉠, ㉡을동시에만족시키는 x의값의범위가 -2<x…3이어

야하므로다음그림에서 a…-2이다.

따라서구하는실수 a의최댓값은 -2이다.

답⃞ ③

03x¤ -(k¤ -6k+8)x-k+3=0이 서로 다른 부호의 두 실근을

갖고, 양의근의절댓값이음의근의절댓값보다크므로두근의

합은양수이고두근의곱이음수이어야한다.

(두근의합)=k¤ -6k+8=(k-2)(k-4)>0에서

k<2또는k>4 yy`㉠

(두근의곱)=-k+3<0에서

k>3 yy`㉡

㉠, ㉡의공통범위를구하면

k>4

답⃞①

04주어진이차함수 f(x)=ax¤ +bx+c의그래프에서

f(x)=a(x-1)(x-9)(a>0)이므로

xa -2 3 6

㉠㉡

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ60

수능유형맛보기 본문 95̀쪽

01③ 02③ 03① 04③

01|x+2|+|x-3|>9에서

⁄ x<-2일때,

|x+2|+|x-3|=-(x+2)-(x-3)

=-2x+1>9

에서

x<-4

x<-2이므로 x<-4

¤-2…x<3일때,

|x+2|+|x-3|=(x+2)-(x-3)

=5>9 (모순)

이므로해가존재하지않는다.

‹ xæ3일때,

이때, k>0이므로

0<k<;2!;

답⃞ ③

045월의제품한개의판매가격을 a, 판매량을 b라고할때, 주어

진조건에서추가생산비용을제외한 6월의총판매금액은

a{1+;10{0;}_b{1- }_;1ª0;

이고, 이금액이 5월의판매금액 ab이상이므로

a{1+;10{0;}_b{1- }_;1ª0;æab

9x¤ -900x+20000…0

(3x-100)(3x-200)…0

…x…

따라서 a= , b= 이므로

=15

답⃞ 15

30ab

2003

1003

2003

1003

0.5x100

0.5x100

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 61

f(x-4)=a(x-4-1)(x-4-9)

=a(x-5)(x-13)

두함수 y=f(x)와 y=f(x-4)의그래프는다음그림과같다.

따라서 연립부등식 f(x-4)…0<f(x)를 만족시키는 x의 값

의범위는

9<x…13

이므로모든정수 x의값의합은

10+11+12+13=46

답⃞③

y=f{x-4}

xO

yy=f{x}

95 131

대단원종합문제

01 ④ 02 ① 03 ② 04 ② 05 ⑤06 ② 07 98 08 ③ 09 ③ 10 ④11 ④ 12 ③ 13 ② 14 ① 15 ⑤16 ① 17 60 18 ⑤ 19 ③ 20 ③21 a…-1 22 4 23 20

본문 96̀~99̀쪽

01(x-2i)+y(1+xi)=4에서

(x+y-4)+(xy-2)i=0

x, y는실수이므로복소수가서로같을조건에서

x+y-4=0, xy-2=0

따라서 x+y=4, xy=2이므로

x¤ +y¤ =(x+y)¤ -2xy

=4¤ -2_2

=12

답⃞④

02ax¤ +4x+b=0의 두 근이 -1, 2이므로 이차방정식의 근과

계수의관계에서

-;a$;=-1+2, ;aB;=(-1)_2

위의두식을연립하여풀면

a=-4, b=8

또, bx¤ -2x+(b-a)=0의두근을 a, b라고하면이차방정

식의근과계수의관계에서

ab= = =;2#;

답⃞①

03주어진이차방정식의계수가모두실수이고, 중근을가지므로이

이차방정식의판별식을 D라고할때,

=(k+a)¤ -(k¤ +4k+b)=0

(2a-4)k+a¤ -b=0

이식은 k의값에관계없이성립하므로 k에대한항등식이다.

즉, 2a-4=0, a¤ -b=0

위의두식을연립하여풀면

a=2, b=4

이므로 a+b=6

답⃞②

04x‹ +ax¤ +bx+2=0의한근이 1+'2이므로

(1+'2)‹ +a(1+'2)¤ +b(1+'2)+2=0

1+3'2+6+2'2+a(1+2'2+2)+b(1+'2)+2=0

(3a+b+9)+(2a+b+5)'2=0

a, b가유리수이므로이등식이성립하려면

3a+b+9=0, 2a+b+5=0

위의두식을연립하여풀면 a=-4, b=3이므로

ab=-12

답⃞②

[다른풀이]

계수가모두유리수이고 1+'2가근이므로 1-'2도근이다.

나머지한근을 a라고하면삼차방정식의근과계수의관계에서

a+(1+'2)+(1-'2)=-a

a(1+'2)+(1+'2)(1-'2)+a(1-'2)=b

a(1+'2)(1-'2)=-2

위의세식을연립하여풀면

D4

8+48

b-ab

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ62

a=2, a=-4, b=3

이므로 ab=-12

05㉠에서 y=x-4이므로이것을㉡에대입하면

x¤ +2x(x-4)+(x-4)¤ =4

4x¤ -16x+12=0, x¤ -4x+3=0

(x-1)(x-3)=0, x=1또는x=3

⁄ x=1일때, y=1-4=-3

¤ x=3일때, y=3-4=-1

⁄, ¤에서 ‡ 또는‡

x=1, y=-3이면 x+y=-2

x=3, y=-1이면 x+y=2

따라서 x+y의최댓값은 2이다.

답⃞⑤

06⁄ |x-1|<3에서

-3<x-1<3

-2<x<4

¤ x¤ -5x-6…0에서

(x+1)(x-6)…0

-1…x…6

⁄, ¤에서공통범위를구하면-1…x<4

답⃞②

07{ }2= =i, { }3= ,

{ }4=-1, { }5= ,

{ }6=-i, { }7= ,

{ }8=1, { }9= , y

=X라고하면

X¤ =i, X› =-1, Xfl =-i, X° =1, X⁄ ‚ =i, y

따라서 n=2(4k+1) (k=0, 1, 2, 3, y)일때,

1+i'2

1+i'2

1+i'2

1+i'2

1-i'2

1+i'2

1+i'2

-1-i'2

1+i'2

1+i'2

-1+i'2

1+i'2

2i2

1+i'2

x=3

y=-1

x=1

y=-3

{ }n=i

이므로이식을만족시키는두자리의자연수 n의값중에서가장

큰수는 k=12일때, n=98이다.

답⃞ 98

08ㄱ. a=a+bi (a, b는실수)라고하면 b=aÆ=a-bi

ab=(a+bi)(a-bi)=a¤ +b¤ æ0

ㄴ. a=1, b=i이면 a+bi=0이지만 a+0, b+0이다.

ㄷ. a=a+bi (a, b는실수)라고하면 b=a Æ=a-bi이므로

a+b=2a, ab=a¤ +b¤은모두실수이다.

이상에서옳은것은ㄱ, ㄷ이다.

답⃞③

09이차방정식 x¤ -2x-5=0의두근이 a, b이므로근과계수의

관계에의하여

a+b=2, ab=-5

따라서

=

=

=-3

답⃞③

10이차방정식 x¤ -2x-5=0의두근이 a, b이므로이차방정식

의근과계수의관계에서

a+b=2, ab=-5

한편, F(x)=f(x)+x-2로놓으면

F(a)=f(a)+a-2=b+a-2=2-2=0

F(b)=f(b)+b-2=a+b-2=2-2=0

따라서이차방정식 f(x)+x-2=0의두근은 a, b이므로두

근의합은

a+b=2

답⃞④

2¤ -2_(-5)+1-5

(a+b)¤ -2ab+1ab

a¤ +b¤ +1ab

1+i'2

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 63

11x‹ +ax¤ +bx-3=0의한근이 1+'2i이므로

(1+'2 i)‹ +a(1+'2i )¤ +b(1+'2i )-3=0

1+3'2i-6-2'2i+a(1+2'2i-2)+b(1+'2i)-3=0

(-a+b-8)+('2+2'2a+'2b)i=0

복소수가서로같을조건에의해

-a+b-8=0, '2+2'2a+'2b=0이므로

-a+b=8, 2a+b=-1

위의두식을연립하여풀면 a=-3, b=5이므로

ab=-15

답⃞④

[다른풀이]

주어진방정식의계수가모두실수이므로 1+'2i가근이면

1-'2i도근이다.

나머지한근을 a(a는실수)라고하면

(1+'2i)(1-'2i)a=3에서

a=1

(1+'2i)+(1-'2i)+1=-a에서

a=-3

(1+'2i)(1-'2i)+(1-'2i)¥1+(1+'2i)¥1=b에서

b=5

따라서 ab=-15

12주어진사차방정식에서 x¤ -x=t로놓으면

t¤ -4t-12=0, (t-6)(t+2)=0

즉, (x¤ -x-6)(x¤ -x+2)=0

x¤ -x-6=0의판별식을 D¡이라고하면

D¡=(-1)¤ -4_1_(-6)=25>0이므로서로다른두실근

을갖고, x¤ -x+2=0의판별식을 D™라고하면

D™=(-1)¤ -4_1_2=-7<0이므로 서로 다른 두 허근을

갖는다.

따라서 a, b는x¤ -x-6=0의두근이고,

c, d는 x¤ -x+2=0의두근이므로이차방정식의근과계수의

관계에서

a+b=1, cd=2

즉, =;2!;

답⃞③

a+bcd

13

㉠-㉡을하면

-3x-y=4, 즉 y=-3x-4 yy`㉣

㉡+㉢을하면

(a+4)x+(a+2)y=1 yy`㉤

㉣을㉤에대입하면

(a+4)x+(a+2)(-3x-4)=1

(-2a-2)x=4a+9, 즉 -2(a+1)x=4a+9

이때, 이방정식의해가존재하지않아야하므로

a+1=0, 4a+9+0

따라서 a=-1

답⃞②

14⁄ x<-1일때,

|x-2|+|x+1|=-(x-2)-(x+1)

=-2x+1>5

x<-2

이때, x<-1이므로 x<-2

¤-1…x<2일때,

|x-2|+|x+1|=-(x-2)+(x+1)

=3>5 (모순)

이므로해가없다.

‹ xæ2일때,

|x-2|+|x+1|=(x-2)+(x+1)

=2x-1>5

x>3

이때, xæ2이므로 x>3

⁄, ¤, ‹에서 x<-2또는x>3

따라서같은해를갖고이차항의계수가 1인이차부등식은

(x+2)(x-3)>0, 즉 x¤ -x-6>0

답⃞①

15x¤ -x-2>0에서 (x+1)(x-2)>0

x<-1또는x>2

x+y+z=5 yy`㉠

4x+2y+z=1 yy`㉡

ax+ay-z=0 yy`㉢

({9

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ64

⁄ k>;2&;일때, (2x-7)(x-k)<0에서

;2&;<x<k이므로주어진연립부등식을만족시키는정수 x의

값이 4로 1개가되려면 k=5이다.

¤ k<;2&;일때, (2x-7)(x-k)<0에서

k<x<;2&;이므로주어진연립부등식을만족시키는정수 x의

값이 3으로 1개가되려면 k=2, 1, 0, -1, -2이다.

⁄, ¤에서구하는정수 k의개수는 6이다.

답⃞⑤

16주어진복소수를정리하면

(1+i)x¤ +(1-i)x-2

=(x¤ +x-2)+(x¤ -x)i

복소수를제곱하여음의실수가되려면(실수부분)=0,

(허수부분)+0이어야하므로

x¤ +x-2=0, x¤ -x+0

x¤ +x-2=0에서 (x+2)(x-1)=0

x=-2또는x=1 yy㉠

x¤ -x+0에서 x(x-1)+0

x+0이고x+1 yy㉡

㉠, ㉡에의해 x=-2

답⃞①

17정사각형모양의땅에서폭이 10 m, 6 m인도로를제외한나머

지정원의넓이는

(a-6)(a-10)(m¤ )

따라서도로의넓이는

a¤ -(a-6)(a-10)(m¤ )

그런데도로의넓이가처음땅의넓이의 ;4!;이므로

a¤ -(a-6)(a-10)=;4!;a¤

x-2 -1 2 32-7

x-1 2 542-7

a¤ -64a+240=0

(a-4)(a-60)=0

a=4또는a=60

이때, 처음땅의한변의길이는도로의폭의길이보다커야하므

로구하는 a의값은60이다.

답⃞ 60

18두 함수 y=x¤ +3x, y=x+k의 그래프가 서로 다른 두 점

(x¡, y¡), (x™, y™)에서만나므로 x¤ +3x=x+k, 즉

x¤ +2x-k=0의두근은 x¡, x™이다.

ㄱ.근과계수의관계로부터 x¡+x™=-2

ㄴ.이차방정식 x¤ +2x-k=0의판별식을 D라고하면

=1+k>0에서 k>-1

ㄷ.두점 (x¡, y¡), (x™, y™)는직선 y=x+k위의점이므로

y¡=x¡+k, y™=x™+k

y¡+y™=x¡+k+x™+k

=2k+x¡+x™

=2k-2 >-4

이상에서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

답⃞⑤

19x‹ +1=(x+1)(x¤ -x+1)=0에서 x는이차방정식

x¤ -x+1=0의한허근이므로

x¤ -x+1=0, x‹ =-1

이때,

(x‹ -x ¤ +x-1)« ={x‹ -(x¤ -x+1)}« =(-1)«

(x-1)¤ « =(x ¤ )¤ « =(x› )« =(-x)«

이므로

= ={ }n={ } n=

n=6k (k는자연수)일때, =1로양의실수가된다.

따라서 100…n<1000에서구하는 n은 102, 108, 114, y,

996으로 150개이다.

답⃞③

20ax¤ +bx+cæ0의해가 x=1뿐이므로 a<0이고

1x«

1x«

1x

-1-x

(-1)«(-x)«

(x‹ -x¤ +x-1)«(x-1)¤ «

D4

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 65

ax¤ +bx+c=a(x-1)¤

=ax¤ -2ax+a

따라서 a<0, b=-2a, c=a

ㄱ. ax¤ +bx+c=0이중근을가지므로이이차방정식의판별식

을 D¡이라고하면

D¡=b¤ -4ac=0

ㄴ. a<0이므로 abc=-2a‹ >0

ㄷ. bx¤ +cx+a=0의판별식을 D™라고하면

D™=c¤ -4ab=a¤ +8a¤ =9a¤ >0

따라서방정식 bx¤ +cx+a=0은서로다른두실근을가지

므로부등식 bx¤ +cx+a<0의해는모든실수가아니다.

이상에서옳은것은ㄱ, ㄴ이다.

답⃞③

21(a+1)x¤ -(a+1)x+a-2…0이모든실수 x에대하여성립

하려면

⁄ a=-1일때, -3…0이므로만족한다.

¤ a<-1일 때, (a+1)x¤ -(a+1)x+a-2=0의 판별식

을 D라고하면 D…0이어야하므로

D=(a+1)¤ -4(a+1)(a-2)…0

즉, 3(a+1)(a-3)æ0이므로

a…-1또는 aæ3

그런데 a<-1이므로 a<-1

⁄, ¤에서구하는 a의값의범위는

a…-1

답⃞ a…-1

22x¤ -mx+m+4=0의두근을 a, b(aæb)라고하면이차방

정식의근과계수의관계로부터

a+b=m, ab=m+4

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

위의두식에서 m을소거하면

ab-(a+b)=4

(a-1)(b-1)=5

두근 a, b는모두정수이고 aæb이므로

a-1=5, b-1=1또는a-1=-1, b-1=-5

a=6, b=2또는a=0, b=-4

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

이때, m=a+b이므로 m=8또는m=-4

따라서모든실수 m의값의합은 4이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 4

23두연립방정식을동시에만족시키는근을 x=p, y=q라고하면

‡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠에서 q=10-p

이것을㉡에대입하여정리하면

p¤ -10p+21=0

(p-3)(p-7)=0

p=3또는p=7

p=3이면 q=10-3=7

p=7이면 q=10-7=3

따라서 p=3, q=7또는 p=7, q=3

그런데p=3, q=7이면 x-y=b>0에모순이므로

p=7, q=3

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

ax-10y=5에 x=7, y=3을대입하면

7a-30=5, a=5

x-y=b에 x=7, y=3을대입하면

7-3=b, b=4

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 ab=20

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 20

p+q=10 yy`㉠

p¤ +q¤ =58 yy`㉡

이차방정식의근과계수의관계를이용하여

두근의합과곱을 m에대해나타낸경우20 %

단계 채점기준 비율

m의값의합을구한경우 20 %

두근을구한경우 60 %

두 연립방정식을 동시에 만족시키는 근을

이용하여새로운연립방정식을세운경우20 %

단계 채점기준 비율

두 연립방정식을 동시에 만족시키는 근을

구한경우40 %

a, b의값을구한경우 30 %

ab의값을구한경우 10 %

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ66

1수직선위의두점 A(a-b), B(a+b)에대하여

AB”=|(a+b)-(a-b)|=|2b|=6에서

2b=—6

b=—3

a¤ =b¤이므로 a¤ =9

a=—3

a<b이므로 a=-3, b=3

따라서 3b-a=3_3-(-3)=12

답⃞ 12

2AB”=BC”에서 AB” ¤ =BC” ¤이므로

(-1)¤ +(a+2)¤ =(-4)¤ +(a-1)¤

a¤ +4a+5=a¤ -2a+17

6a=12

a=2

답⃞ ④

3오른쪽그림과같이점 Q의좌표를

(0, b)라고하자.

AQ”=BQ”에서

øπ1¤ +π(bπ-2)¤ =øπ(-4π)¤ +π(bπ-5)¤

양변을제곱하여정리하면

6b=36

b=6

따라서 AQ”=øπ1¤ +π(6π-2)¤ ='1å7

답⃞ ③

4삼각형 ABC가∠C=90˘인직각삼각형이므로피타고라스정리

xO

y

A{-1, 2}

B{4, 5}

Q{0, b}

Ⅲ. 도형의방정식

평면좌표09

유제 본문 103̀~1̀06̀쪽

에의해 AB” ¤ =BC” ¤ +C’A” ¤이성립한다.

이때,

AB” ¤ =(6-1)¤ +(-4+3)¤ =26

BC” ¤ =(k-6)¤ +(-6+4)¤ =k¤ -12k+40

C’A” ¤ =(1-k)¤ +(-3+6)¤ =k¤ -2k+10

이므로

26=2k¤ -14k+50, k¤ -7k+12=0

(k-3)(k-4)=0

k=3또는k=4 yy`㉠

BC”+CA”에서

k¤ -12k+40+k¤ -2k+10

10k+30, k+3 yy`㉡

㉠, ㉡에서 k=4

답⃞ ③

5두점 A(2, a), B(b, 5)를이은선분 AB를 1 : 2로내분하

는점의좌표가 (3, 3)이므로

=3, =3

따라서 a=2, b=5이므로

a+b=7

답⃞ ④

6정사각형의두대각선은서로다른대각선을이등분하므로대각

선 OB와대각선 AC의중점은서로같다. 즉,

= , =

a=3, b=7

따라서점 B의좌표는 (3, 7)이고, 선분 AB의중점은

{ , }, 즉 {4, ;2(;}

답⃞ ④

7선분 AB의중점이 (6, -3)이므로

=6, =-3

x¡+x™=12, y¡+y™=-6

따라서삼각형 OAB의무게중심의좌표 (a, b)는

y¡+y™2

x¡+x™2

2+72

5+32

2+52

0+b2

5+(-2)2

0+a2

1¥5+2¥a1+2

1¥b+2¥21+2

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 67

a= =:¡3™:=4

b= = =-2

이므로 ab=-8

답⃞ ⑤

8각의이등분선의정리에의해

AB” : AC”=BD” : DC”

BD”=øπ1¤ +1¤ ='2, DC”=øπ2¤ +2¤ =2'2이므로

AB” : AC”='2 : 2'2

AB” : AC”=1 : 2

즉, AC”=2AB”에서 AC” ¤ =4AB” ¤

(4-a)¤ +4¤ =4{(1-a)¤ +1¤ }

3a¤ -24=0

따라서이차방정식의근과계수의관계에의하여모든 a의값의

합은 0이다.

답⃞ ⑤

-63

0+y¡+y™3

0+x¡+x™3

유형확인

01 ② 02 ③ 03 ④ 04 ⑤ 05 ⑤06 ② 07 ④ 08 ⑤ 09 ④

본문 107̀~1̀08̀쪽

01AB”=øπ(-πx-π2)¤ π+π(xπ-1)¤에서

AB” ¤ =2x¤ +2x+5=2{x+;2!;}2+;2(;

따라서 x=-;2!;일때선분 AB의길이가최소가된다.

답⃞ ②

023AC”=2BC”에서 9AC” ¤ =4BC” ¤이므로

9{(a-2)¤ +(a-2)¤ }=4{(a-5)¤ +(a-3)¤ }

9(2a¤ -8a+8)=4(2a¤ -16a+34)

5a¤ -4a-32=0

이이차방정식의두근이 a, b이므로근과계수의관계에의하여

a+b=;5$;, ab=-:£5™:

따라서

a¤+b¤ =(a+b)¤ -2ab

a¤+b¤ =;2!5^;+:§5¢:

a¤+b¤=:£2£5§:

답⃞ ③

03점 P가삼각형 ABC의외심이므로 AP”=BP”=CP”이다.

⁄`AP”=BP”에서 AP”” ¤=BP” ¤이므로

⁄`(x+3)¤ +(y-5)¤ =(x-4)¤ +(y-4)¤

⁄`x¤ +6x+9+y¤ -10y+25=x¤ -8x+16+y¤ -8y+16

⁄`7x-y=-1 yy`㉠

¤`BP”=CP”에서 BP”” ¤=CP” ¤이므로

⁄`(x-4)¤ +(y-4)¤ =x¤ +(y-6)¤

⁄`x¤ -8x+16+y¤ -8y+16=x¤ +y¤ -12y+36

⁄`-2x+y=1 yy`㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면

x=0, y=1

이므로 x+y= 1

답⃞ ④

04점 P(a, b)가직선 y=2x+1위의점이므로

b=2a+1 yy`㉠

또한, AP”=BP”에서 AP” ¤ =BP”” ¤이므로

(a+1)¤ +(b-1)¤ =(a-3)¤ +(b-5)¤

a¤ +2a+1+b¤ -2b+1=a¤ -6a+9+b¤ -10b+25

8a+8b=32

a+b=4 yy`㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면

a=1, b=3

이므로 ab=3

답⃞ ⑤

05PA”+PB”…4AB”에서

|x+1|+|x-2|…4(2+1)

|x+1|+|x-2|…12 yy`㉠

⁄ x<-1일때,

|x+1|+|x-2|=-x-1-x+2

=-2x+1…12

xæ-:¡2¡:

따라서㉠을만족시키는 x의값의범위는

-:¡2¡:…x<-1

¤-1…x<2일때,

|x+1|+|x-2|=x+1-x+2

=3…12

따라서 -1…x<2인모든실수 x에대하여㉠이성립한다.

‹ xæ2일때,

|x+1|+|x-2|=x+1+x-2

=2x-1…12

x…:¡2£:

따라서㉠을만족시키는 x의값의범위는

2…x…:¡2£:

⁄, ¤, ‹에서㉠을만족시키는 x의값의범위는

-:¡2¡:…x…:¡2£:

따라서구하는정수 x는-5, -4, -3, y, 5, 6의 12개이다.

답⃞ ⑤

06삼각형 ABC가정삼각형이므로

AB”=BC”=CA”, 즉 AB”” ¤ =BC” ¤ =CA” ¤

AB”” ¤ =BC” ¤에서

2¤ +2¤ =(a-2)¤ +b¤

a¤ -4a-4+b¤ =0 yy`㉠

BC” ¤ =CA” ¤에서

(a-2)¤ +b¤ =a¤ +(b+2)¤

-4a=4b, b=-a yy`㉡

㉡을㉠에대입하면

a¤ -4a-4+(-a)¤ =0, 2a¤ -4a-4=0

a¤ -2a-2=0

a>0이므로 a=1+'3

이것을㉡에대입하면 b=-1-'3이므로

a-b=1+'3-(-1-'3)=2+2'3

답⃞ ②

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ68

07삼각형ABC의세변 AB, BC, CA를각각 2 : 1로외분하는

점은

P{ , }, 즉 P(3, 6)

Q{ , }, 즉 Q(4, 2)

R{ , }, 즉 R(-1, 1)

따라서삼각형PQR의무게중심을 G라고하면

G{ , }, 즉 G(2, 3)

답⃞ ④

08선분 AB를 1 : 2로내분하는점 P와 1 : 2로외분하는점 Q

를그림으로나타내면다음과같다.

위의그림에서 k=l+2l=3l이므로

ㄱ.점 A는선분 BQ의중점이다.

ㄴ.BP” : PQ”=2l : (l+k)=2l : (l+3l)=1 : 2

이므로점 P는선분 BQ를 1 : 2로내분하는점이다.

ㄷ.QB” : PB”=2k : 2l=6l : 2l=3 : 1

이므로점 B는선분 QP를 3 : 1로외분하는점이다.

이상에서옳은것은ㄱ, ㄴ, ㄷ이다.

답⃞ ⑤

09AB”=2OA”에서 AB” ¤ =4OA”” ¤이므로

(a-4)¤ +(b+3)¤ =4{4¤ +(-3)¤ }=100 yy`㉠

∠A=90˘에서 OB”” ¤=O’A”” ¤ +AB” ¤이므로

a¤ +b¤ =25+(a-4)¤ +(b+3)¤

4a-3b=25 yy`㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면 b>0이므로

a=10, b=5

따라서 a+b=15

답⃞ ④

A PQ B

2k

2ll

k

6+2+13

3+4-13

2¥2-1¥32-1

2¥1-1¥32-1

2¥3-1¥42-1

2¥3-1¥22-1

2¥4-1¥22-1

2¥2-1¥12-1

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 69

01출제의도 선분의중점의좌표를이용하여삼각형의꼭짓점의좌표를구

할수있는지를묻는문제이다.

삼각형ABC의세꼭짓점의좌표를

A(x¡, y¡), B(x™, y™), C(x£, y£)이라고하면

변 AB의중점이 D(0, 3)이므로

=0, =3

x¡+x™=0, y¡+y™=6 yy`㉠

변 BC의중점이 E(2, 2)이므로

=2, =2

x™+x£=4, y™+y£=4 yy`㉡

변 CA의중점이 F(3, 4)이므로

=3, =4

x£+x¡=6, y£+y¡=8 yy`㉢

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠, ㉡, ㉢에서

2(x¡+x™+x£)=10, 2(y¡+y™+y£)=18

x¡+x™+x£=5, y¡+y™+y£=9 yy`㉣

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠, ㉡, ㉢, ㉣에서

x¡=1, x™=-1, x£=5

y¡=5, y™=1, y£=3

따라서세꼭짓점 A, B, C의좌표는

A(1, 5), B(-1, 1), C(5, 3)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ A(1, 5), B(-1, 1), C(5, 3)

y£+y¡2

x£+x¡2

y™+y£2

x™+x£2

y¡+y™2

x¡+x™2

서술형연습장본문 109쪽

01 A(1, 5), B(-1, 1), C(5, 3) 02 '2å6

03 6 04풀이참조

02출제의도 선분의 내분점을 활용하여 점의 좌표를 구할 수 있는지를 묻

는문제이다.

오른쪽 그림과 같이 두 삼각형

OAB, OBP의밑변은같은직

선위에있고, 높이가같으므로

△OAB=3△OBP에서점 P는

선분 AB를 2 : 1로 내분하는

점이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서점 P의좌표는 { , }

에서 P(-1, 5)이므로

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

OP”=øπ(-π1)π¤ +5¤ ='2å6

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ '2å6

03출제의도 삼각형의무게중심을구하고삼각형의넓이를구할수있는지

를묻는문제이다.

삼각형 ABC의무게중심의좌표가 (1, 0)이므로

=1에서 a+b=2 yy`㉠

=0에서 b-2a=-4 yy`㉡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠, ㉡을연립하여풀면 a=2, b=0

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 오른쪽 그림과 같이 세 꼭짓점의

좌표는 A(2, 0), B(1, -4), C(0, 4)

이므로삼각형 ABC의넓이 S는

S=2_8-;2!;(1_8+1_4+2_4)

S=6

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

xO

y

4

-4

21

C{0, 4}

A{2, 0}

B{1, -4}

b-2a+43

a+b+13

2_4+1_72+1

2_(-3)+1_32+1

xO

yA{3, 7}

B{-3, 4}P

세 꼭짓점에서 변의 중점을 이용하여 관계

식을만든경우60 %

단계 채점기준 비율

세식을연립하여세꼭짓점의 x좌표와 y좌표의합을각각구한경우

20 %

세꼭짓점의좌표를구한경우 20 %

점 P가선분 AB를 2 : 1로내분하는점

임을밝힌경우40 %

단계 채점기준 비율

선분 OP의길이를구한경우 30 %

점 P의좌표를구한경우 30 %

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ70

O’A”=OB” yy`㉢

따라서㉠, ㉡, ㉢에서

PA” ¤ +PC” ¤ =PB” ¤+PD” ¤

답⃞ 6

04출제의도 도형에 관한 성질이 성립함을 좌표를 활용하여 설명할 수 있

는지를묻는문제이다.

오른쪽 그림과 같이 점 A를

원점, 직선 AB를 x축, 직선

AD를 y축으로하여직사각형

ABCD를좌표평면위에나타

내고네꼭짓점의좌표를

A(0, 0), B(a, 0), C(a, b), D(0, b)라고하자.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

점 P의좌표를 (x, y)라고하면

P’A” ¤ +PC” ¤ =x¤ +y¤ +(x-a)¤ +(y-b)¤ yy`㉠

PB” ¤ +PD” ¤ =(x-a)¤ +y¤ +x¤ +(y-b)¤ yy`㉡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠, ㉡에서

P’A” ¤ +PC” ¤ =PB” ¤ +PD” ¤

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 풀이참조

[다른풀이]

오른쪽그림에서두대각선 AC와

BD의교점을 O라고하면직사각

형의대각선의성질에의하여점 O

는두선분 AC와 BD의중점이

므로중선정리에의하여

삼각형PAC에서

PA” ¤ +PC” ¤ =2(PO” ¤ +OA” ¤ ) yy`㉠

삼각형PBD에서

PB” ¤ +PD” ¤ =2(PO” ¤ +OB” ¤ ) yy`㉡

그런데직사각형의두대각선의길이는같으므로

A

B

D

C

P

O

xA

yP{x, y}

C{a, b}D{0, b}

B{a, 0}

직사각형 ABCD를 좌표평면 위에 놓고

네꼭짓점의좌표를정한경우40 %

단계 채점기준 비율

PA” ¤ +PC” ¤ =PB” ¤ +PD” ¤임을설명한경우 20 %

PA” ¤ +PC” ¤ , PB” ¤ +PD” ¤을구한경우 40 %

고난도문항 본문 110쪽

01② 02③ 03② 04③

1등급

01점 P가직선 y=x-1위의점이므로점 P의좌표를

P(a, a-1)이라고하면

AP” ¤+BP” ¤ =a¤ +(a-2)¤ +(a-2)¤ +(a-4)¤

=4a¤ -16a+24

=4(a-2)¤ +8

따라서 AP” ¤+BP” ¤은 a=2일때, 최솟값 8을갖는다.

답⃞②

02선분 AB를 t : (1-t)로내분하는점의좌표는

{ , }

즉, (8t-3, 4-5t)

이점이제1̀`사분면위에있으므로

8t-3>0, 4-5t>0

따라서 ;8#;<t<;5$;

답⃞③

03삼각형 ABC에서 각의 이등

분선의성질에의해

AB” : BC”=AD” : DC”

이때,

AB”=øπ(3+π1)¤ π+(π5π-2)¤

=5

BC”=øπ(-3π-3)π¤ π+(π-3 π-5)¤

=10

이므로

A

B C

D

t_(-1)+(1-t)_4t+(1-t)

t_5+(1-t)_(-3)t+(1-t)

무게중심을구하기위한식을세운경우

a, b의값을구한경우

삼각형의넓이를구한경우

30 %

30 %

40 %

단계 채점기준 비율

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 71

AD” : DC”=5 : 10=1 : 2

따라서 △DAB :△DBC=1 : 2이므로

a=1, b=2

a¤ +b¤ =5

답⃞②

04동서를 x축, 남북을 y축으로하면두직선도로가만나는지점

O가원점이되고처음 A, B의위치는각각 (-10, 0),

(0, -6)으로나타낼수있다.

출발한지 t시간후 A, B의위치는각각

(-10+4t, 0), (0, -6+2t)

이므로 A, B사이의거리 d에대하여

d¤ =(10-4t)¤ +(-6+2t)¤

=20t¤ -104t+136

d¤ …40에서

20t¤ -104t+136…40

5t¤ -26t+24…0

(5t-6)(t-4)…0

따라서 ;5̂;…t…4

답⃞③

수능유형맛보기 본문 111̀쪽

01④ 02⑤ 03 15 04③

01A(x¡, y¡), B(x™, 10)에대하여 AB”=10이므로

øπ(x™π-x¡π)¤ +π(10 π-y¡)¤ =10

양변을제곱하면

(x™-x¡)¤ +(10-y¡)¤ =100

그런데(x™-x¡)¤ =|x™-x¡|¤ =(4'3 )¤ =48이므로

48+(10-y¡)¤ =100에서 (10-y¡)¤ =52

따라서 |10-y¡|=2'1å3

답⃞④

02점 P(x, y)라고하면

PA” ¤ =(x-4)¤ +y¤

PB” ¤ =(x+1)¤ +(y-1)¤

PC” ¤ =(x-3)¤ +(y-5)¤

이므로

PA” ¤ +PB” ¤ +PC” ¤ =3x¤ -12x+3y¤ -12y+52

=3(x-2)¤ +3(y-2)¤ +28

PA” ¤ +PB” ¤ +PC” ¤의값은 x=2, y=2일때최소이고이때의

점 P의좌표는 (2, 2)이다.

따라서a=2, b=2이므로

a+b=4

답⃞⑤

03선분 AB를 2 : 1로내분하는점의좌표는

{ , }

즉, { , }

=0, =0이므로

a=1, b=-2

즉, A(2, 2), B(-1, -1), C(3, -2)

또, 선분 BC를 3 : 2로외분하는점의좌표가 (p, q)이므로

p= =11

q= =-4

따라서 p-q=15

답⃞ 15

04AB”=BC”=CA”이므로삼각형 ABC는 정삼각형이다.

BD”=CD”이므로점 D는직선 BC의수직이등분선위에있고,

조건(다)에의해점 D는점 A보다오른쪽에있고 AD”<BD”이

므로제`2`사분면위에있다.

따라서네점 A, B, C, D를좌표

평면 위에 나타내면 오른쪽 그림과

같다.

①삼각형 ABC가정삼각형이므로

y축은선분AB의수직이등분선

이다. 즉, -a=b이므로

-a+d=b+d

xO

y

A

D

C

B

3_(-2)-2_(-1)3-2

3_3-2_(-1)3-2

a-13

2b+43

a-13

2b+43

2_(-1)+(a+1)2+1

2(b+1)+1_22+1

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ72

②-a=b, c=0이므로

a+b=2c=0

③a<0, b>0, c=0, d<0이므로

a+d<0, b+c>0

즉, a+d<b+c

④-a=b이므로 a+b=0

a<d<0이므로 -a+d>0

즉, a+b<-a+d

⑤-a=b, a<d<0이므로

0<-d<-a=b

-a-d=b-d<b+b=2b

즉, -a-d<2b

따라서옳지않은것은③이다.

답⃞③

1두 점 A(2, 5), B(6, -1)을 이은 선분 AB의 중점을

M(p, q)라고하면

p= =4, q= =2

이므로 M(4, 2)

점 M(4, 2)를지나고기울기가 3인직선의방정식은

y-2=3(x-4)

y=3x-10

이직선이점 (a, 4)를지나므로

4=3a-10, 3a=14

a=:¡3¢:

답⃞ ③

2두점 A(3, -2), B(5, 2)를지나는직선의방정식은

y-(-2)= (x-3)

y=2x-8

이직선이점 (a, 4)를지나므로

4=2a-8, 2a=12

a=6

답⃞ ①

3직선 ax+4y=3a(a>0)에서

y=0을대입하면 x절편은 3

x=0을대입하면 y절편은 ;4#;a

따라서주어진직선과 x축, y축으로둘러싸인삼각형의넓이가

18이므로

;2!;_3_;4#;a=18, ;8(;a=18

a=16

답⃞ 16

2-(-2)5-3

5-12

2+62

직선의방정식10유제 본문 115~1̀18̀쪽

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 73

4mx+4m+y-3=0에서

m(x+4)+y-3=0

이식이 m에대한항등식이므로

x+4=0, y-3=0

x=-4, y=3

따라서구하는점 P의좌표는 (-4, 3)이다.

답⃞ ⑤

5두직선 2x+y-3=0, 3x+ay-2=0이서로수직이되려면

2_3+1_a=0

a=-6

답⃞ ①

6직선 2x-3y+3=0에서 y=;3@;x+1이므로이직선에평행한

직선의기울기는 ;3@;이다.

기울기가 ;3@;이고점 (6, 8)을지나는직선의방정식은

y=;3@;(x-6)+8

y=;3@;x+4

이직선의 x절편은 -6, y절편은 4이므로

a=-6, b=4

따라서 ab=-24

답⃞ ②

7두 직선 x+3y=-4, 2x-y=-3의 교점을 지나는 직선의

방정식은

x+3y+4+k(2x-y+3)=0 (단, k는실수)

즉, (1+2k)x+(3-k)y+4+3k=0 yy`㉠

직선㉠과직선 x-2y=1이평행하므로

= +

⁄ = 에서

-2-4k=3-k, 3k=-5

3-k-2

1+2k1

4+3k-1

3-k-2

1+2k1

k=-;3%;

¤ + 에서

-3+k+-8-6k, 7k+-5

k+-;7%;

⁄, ¤에서 k=-;3%;

이를㉠에대입하면구하는직선의방정식은

-;3&;x+:¡3¢:y-1=0

y=;2!;x+;1£4;

따라서 y절편은 ;1£4;이다.

답⃞ ②

8직선 y=2x+1위의점 (0, 1)과직선 2x-y+k=0사이의

거리가 '5이므로

='5

|-1+k|=5

k=6또는k=-4

이때, k>0이므로 k=6

답⃞ 6

|2_0-1+k|

øπ2¤ +π( π-1)¤

4+3k-1

3-k-2

유형확인

01 ④ 02 ③ 03 ① 04 ③ 05 ③06 ② 07 ① 08 ④ 09 ④

본문 119̀~1̀20̀쪽

01오른쪽그림에서점 C를지나고

삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는

직선은변 AB를이등분하므로선분

AB의중점 { , },

즉 {;2!;, 2}를지난다.

따라서구하는직선은두점 (1, 4), {;2!;, 2}를지나므로

0+42

-2+32

xO

y

4

1 3-2

BC

A

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ74

=1

답⃞ ③

05l∥m, m⊥n이므로 l⊥n

이때, 직선 l : 2x-y+4=0의기

울기가 2이므로직선 n의기울기는

-;2!;이다.

따라서직선 n은기울기가-;2!;

이고원점을지나므로그방정식은

y=-;2!;x

직선 l : 2x-y+4=0과직선 n : y=-;2!;x를연립하여풀면

2x+;2!;x+4=0, ;2%;x=-4, x=-;5*;

x=-;5*;을 y=-;2!;x에대입하면

y=-;2!;_{-;5*;}=;5$;

따라서a=-;5*;, b=;5$;이므로

a+b=-;5$;

답⃞ ③

06두직선 ax+3y=a+3, 4x+(a-4)y=2a+2가일치하려면

;4A;= =

이어야한다.

⁄ ;4A;= 에서 a(a-4)=12

⁄ a¤ -4a-12=0, (a-6)(a+2)=0

⁄ a=6또는a=-2

¤ = 에서

3(2a+2)=(a+3)(a-4)

a¤ -7a-18=0, (a-9)(a+2)=0

⁄ a=9또는a=-2

⁄, ¤에서 a=-2

답⃞ ②

a+32a+2

3a-4

3a-4

a+32a+2

3a-4

xO

y

-2

m

4

n

l

3-(-2)4-(-1)

y= (x-1)+4, y=4x

답⃞ ④

02주어진직선은 y절편이 4이므로 x절편을 a라고하면이직선

과 x축, y축으로둘러싸인삼각형의넓이는

;2!;¥4¥|a|=18

|a|=9, a=—9

따라서직선의양의기울기는 ;9$;이다. 답⃞ ③

03y=(2a-1)x+3-2a에서

(2x-2)a-x-y+3=0

위식은 a에대한항등식이므로

2x-2=0, -x-y+3=0

x=1, y=2

따라서주어진직선은 a의값에관계없이항상점 (1, 2)를지

난다.

주어진 직선이 제4̀사분면을 지나지

않으려면 오른쪽 그림에서 어두운

부분을지나야하므로

0…2a-1…2

따라서 ;2!;…a…;2#;

답⃞ ①

04직선 l이직사각형 ABCD의넓이를이등분하려면직사각형의

두대각선의교점을지나야한다.

직사각형의두대각선은서로다른것을이등분하므로두대각선

의교점은선분 BD의중점과같다.

B(5, 1), D(3, 5)이므로선분 BD의중점의좌표는

{ , }, 즉 (4, 3)

따라서직선 l은두점 (-1, -2), (4, 3)을지나므로그기

울기는

1+52

5+32

xO

y

{1, 2}

2-4

;2!;-1

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 75

07직선 y=ax+2가직선 y=;3B;x-;3$;와수직이므로

a_;3B;=-1에서 ab=-3

직선 y=ax+2가직선 y=(4-b)x+3과는평행하므로

a=4-b에서 a+b=4

따라서

=

= =-:™3™:

답⃞ ①

08삼각형ABC의무게중심의좌표는

{ , }, 즉 (0, 1)

직선 AC의기울기는 =-1

직선 l은직선 AC와평행하므로기울기는 -1이고점 (0, 1)

을지나므로직선 l의방정식은

y=-x+1, x+y-1=0

따라서점 (4, 3)과직선 l사이의거리는

=3'2

답⃞ ④

09직선 l의기울기를 m이라고하면직선 l의방정식은

y=m(x-1)-1

mx-y-m-1=0

점 P(2, 1)과직선 l사이의거리가 '5이므로

='5

|m-2|='5 "√m¤ +1

양변을제곱하여정리하면

4m¤ +4m+1=0

(2m+1)¤ =0

m=-;2!;

|2m-1-m-1|

"√m¤ +1

|4+3-1|

"√1¤ +1¤

0-33-0

3+0+03

0+(-3)+33

4¤ -2_(-3)-3

(a+b)¤ -2abab

a¤ +b¤ab

따라서직선 l의방정식은

y=-;2!;x-;2!;

이직선이점 (-2, a)를지나므로

a=-;2!;_(-2)-;2!;=;2!;

답⃞ ④

01출제의도 점과 직선 사이의 거리를 이용하여 직선의 방정식을 구할 수

있는지를묻는문제이다.

4x-3y+2=0에서 y=;3$;x+;3@;

이직선에수직인직선의기울기를 m이라고하면

;3$;_m=-1

m=-;4#;

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 구하는 직선의 방정식을 y=-;4#;x+k (̀k는 실수)라고

하면

3x+4y-4k=0 yy`㉠

점 (2, 1)과직선㉠사이의거리가 5이므로

=5

|10-4k|=25

즉, 10-4k=25또는 10-4k=-25이므로

k=-:¡4∞:또는k=:£4∞:

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서구하는직선의방정식은

y=-;4#;x-:¡4∞:또는y=-;4#;x+:£4∞:

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ y=-;4#;x-:¡4∞:또는y=-;4#;x+:£4∞:

|3_2+4_1-4k|"√3¤ +4¤

서술형연습장본문 121̀쪽

01 y=-;4#;x-:¡4∞: 또는 y=-;4#;x+:£4∞:

02 0<m<3 03 350 04 5

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ76

02출제의도 두직선의위치관계를이해하고있는지를묻는문제이다.

직선 mx-y=4m-3에서 y-3=m(x-4)

즉, 이직선은 m의값에관계없이항상점 (4, 3)을지난다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

그러므로두직선 x+y=3,

mx-y=4m-3이제1̀사분면

에서만나려면직선

mx-y=4m-3이두점

(3, 0), (0, 3)사이를지나야

한다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

두점 (4, 3), (3, 0)을지나는직선의기울기는

=3

두점 (4, 3), (0, 3)을지나는직선의기울기는

=0

따라서 m의값의범위는

0<m<3

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 0<m<3

03출제의도 세직선이이루는삼각형의넓이를구할수있는지를묻는문

제이다.

3-30-4

0-33-4

xO

y

x+y=3

43

3 {4, 3}

x+2y-2=0 yy`㉠

3x-y-6=0 yy`㉡

2x-3y+3=0 yy`㉢

㉠, ㉡을연립하여풀면

x=2, y=0, 즉 A(2, 0)

㉡, ㉢을연립하여풀면

x=3, y=3, 즉 B(3, 3)

㉢, ㉠을연립하여풀면

x=0, y=1, 즉 C(0, 1)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

BC”=øπ(3-π0)¤ π+(π3-1)¤ ='1å3

점 A(2, 0)과직선 2x-3y+3=0사이의거리 d는

d= =

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서삼각형 ABC의넓이 S는

S=;2!;_BC”_d

S=;2!;_'1å3_ =;2&;

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

이므로 100S=100_;2&;=350

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 350

04출제의도 두 직선이 평행하기 위한 조건을 이해하고 있는지를 묻는 문

제이다.

직선 x+ay+b=0이직선 3x+4y-1=0에평행하므로

;3!;=;4A;+

a=;3$;, b+-;3!; yy`㉠

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

b-1

7'1å3

7'1å3

|2_2-3_0+3|

øπ2¤ +π(π-3)¤

xO

y 3x-y-6=0

x+2y-2=0

d

2x-3y+3=0

B

A

C

세직선에의해서생기는삼각형의세꼭짓

점의좌표를구한경우30 %

단계 채점기준 비율

삼각형 ABC의 밑변의 길이와 높이를 구

한경우40 %

삼각형의넓이를구한경우 20 %

100S의값을구한경우 10 %

직선 mx-y=4m-3이항상지나는점의좌표를구한경우

30 %

단계 채점기준 비율

주어진조건을만족시키는직선의위치를구한

경우40 %

m의값의범위를구한경우 30 %

직선 4x-3y+2=0에 수직인 직선의 기울기를구한경우

30 %

단계 채점기준 비율

점과 직선 사이의 거리를 이용하여 y절편을구한경우

50 %

직선의방정식을구한경우 20 %

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 77

x+ay+b=0에서

y=0일때, x=-b이므로 A(-b, 0)

x=0일때, y=-;aB;이므로 B{0, -;aB;}

이때, -b>0, -;aB;>0이므로 a>0, b<0이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

삼각형 OAB의둘레의길이가 5이므로

-b+{-;aB;}+æ≠b¤ + =5 yy`㉡

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠을㉡에대입하여정리하면

-;4&;b+|;4%;b|=5

b<0이므로

-;4&;b-;4%;b=5, -3b=5

b=-;3%;

따라서 5a+b=5_;3$;-;3%;=5

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 5

b¤a¤

두직선의평행조건을이용하여 a의값을구한경우

30 %

단계 채점기준 비율

두점 A, B의좌표와 b의부호를구한경우 20 %

삼각형의둘레의길이를이용하여관계식을

세운경우20 %

5a+b의값을구한경우 30 %

고난도문항 본문 122̀쪽

01③ 02③ 03② 04⑤

1등급

01평행사변형에서 두 대각선은 서로

다른 것을 이등분하므로 두 점 A,

C를 지나는 지나는 직선 l은 선분

OB의중점M을지난다.

선분 OB의중점은

M{ , }, 즉 M(2, 2)0+42

0+42

xO

y

B

P

Q

M

C

Al

따라서직선 l은두점 A(6, -2), M(2, 2)를지나므로그

방정식은

y= (x-6)-2

y=-x+4

두점 P, Q는각각직선 l과 x축, y축과의교점이므로

P(4, 0), Q(0, 4)

따라서구하는삼각형 OPQ의넓이는

;2!;_4_4=8

답⃞③

02∠AOB의 이등분선이 선분 AB

와 만나는 점이 P이므로 각의 이

등분선의성질에의해

O’A” : OB”=AP” : PB”

이때,

OA”="√1¤ +≈2¤ ='5

OB”=øπ4¤ +π(π-2)¤ =2'5

이므로

AP” : PB”=OA” : OB”='5 : 2'5=1 : 2

즉, 점 P(a, b)는선분 AB를 1 : 2로내분하는점이므로

a= =2

b= =;3@;

따라서 a+b=2+;3@;=;3*;

답⃞③

03두점 A, B는각각직선 y=3x+6이 x축, y축과만나는점

이므로

A(-2, 0), B(0, 6)

이때, AC”⊥BC”이므로삼각형 ABC는직각삼각형이다.

한편, AP”=BP”=CP”를 만족시키

는점 P는삼각형 ABC의외심이

고 직각삼각형의 외심은 빗변의 중

점이므로점 P는선분 AB의중점

이다. xO

yy=3x+6

6

-2A

BC{-2, 6}

P

1¥(-2)+2¥21+2

1¥4+2¥11+2

xO

y

A{1, 2}

B{4, -2}

P{a, b}

2+22-6

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ78

직선 AP의기울기는 =;2%;

직선 AQ의기울기는 =-;5!;

따라서 -;5!;<;2A;<;2%;이므로

-;5@;<a<5

답⃞⑤

02선분 AB의수직이등분선은선분 AB의중점을지나면서직선

AB에수직인직선이다.

이때, 선분AB의중점의좌표는

{ , }, 즉 (1, 2)

직선 AB의기울기는 =;3%;

즉, 선분 AB의수직이등분선은점 (1, 2)를지나고기울기가

-;5#;인직선이므로그방정식은

y=-;5#;(x-1)+2

3x+5y-13=0

따라서직선 3x+5y-13=0과점 (5, 3)사이의거리는

= =

답⃞②

03직선 y=ax-3a-2에서 y=a(x-3)-2이므로 이 직선은

a의값에관계없이점 P(3, -2)를지난다.

오른쪽 그림에서 알 수 있듯

이 직선 y=ax-3a-2가

직선 AP에수직일때점 A

에서 직선 y=ax-3a-2

까지의거리가최대이다.

이때, 점 A와직선

y=ax-3a-2 사이의거리는두점 A, P 사이의거리, 즉선

분 AP의길이와같으므로구하는최댓값은

AP’”=øπ(3+π1)¤ π+(π-2π-2)¤

=4'2

답⃞⑤

xO

y

y=ax-3a-2A{-1, 2}

P{3, -2}

'3å42

17

'3å4

|3_5+5_3-13|

"√3¤ +5¤

7-(-3)4-(-2)

-3+72

-2+42

-1-02+3

5-0-1+3

선분 AB의중점의좌표는

P{ , }

따라서 P(-1, 3)이므로

OP”=øπ(-π1)π¤ +3¤ ='1å0

답⃞②

04오른쪽그림과같이도로 A를 x축, 지

점 C를원점, 점 C를지나고도로 A

에수직인직선을 y축으로하는좌표평

면을 생각하면 도로 B는 도로 A와

135˘를 이루므로 도로 B를 나타내는

직선의방정식은

y=(tan 135˘)x=-x

물류창고 P의좌표는 P(2, 10)으로놓을수있다.

이때, 점 P에서직선 y=-x에내린수선의발을 H라고하면

도로 D의길이는선분 PH의길이, 즉 점 P(2, 10)과직선

x+y=0사이의거리와같으므로

=6'2 (km)

답⃞⑤

|2+10|"√1¤ +1¤

xC

y

y=-x

2

10 P

H

0+62

-2+02

수능유형맛보기 본문 123쪽

01⑤ 02② 03⑤ 04④

01직선 ax-2y+3a=0에서

a(x+3)-2y=0

이직선은실수 a의값에관계없이항상점 A(-3, 0)을지난다.

한편, ax-2y+3a=0에서 y=;2A;x+ 이고

직선 ax-2y+3a=0이두점

P(-1, 5), Q(2, -1) 사이를

지나려면 오른쪽 그림에서 직선의

기울기 ;2A;가 직선 AP의 기울기

보다는 작고 직선 AQ의 기울기보

다는커야한다.

xO

y

A{-3, 0}Q{2, -1}

P{-1, 5}

3a2

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

04ㄱ. (1+3k)x+(2-k)y-1+k=0에서

x+2y-1+k(3x-y+1)=0

k의값에관계없이이식이성립하므로

x+2y-1=0, 3x-y+1=0

두식을연립하여풀면

x=-;7!;, y=;7$;

따라서주어진직선은실수 k의값에관계없이점 {-;7!;, ;7$;}

를지난다.

ㄴ. k=2일때, (1+3k)x+(2-k)y-1+k=0은

7x+1=0, 즉 x=-;7!;

따라서이직선은 x축에수직이고, y축에평행하다.

ㄷ. k=-;3!;일때, (1+3k)x+(2-k)y-1+k=0은

;3&;y-;3$;=0, 즉 y=;7$;

따라서이직선은기울기가 0이고 x축에평행하다.

이상에서옳은것은ㄱ, ㄷ이다.

답⃞④

정답과풀이 79

1원의중심이 y축위에있으므로 a=0

따라서원의방정식은x¤ +(y-b)¤ =c이고이원이두점 (2, 1),

(4, 3)을지나므로

4+(1-b)¤ =c yy`㉠

16+(3-b)¤ =c yy`㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면

b=5, c=20

따라서 a+b+c=25

답⃞ 25

2원의중심이제4̀사분면에있고 x축과 y축에동시에접하므로원

의중심의좌표를 (a, -a)(a>0)라고하면원의방정식은

(x-a)¤ +(y+a)¤ =a¤

그런데중심 (a, -a)가직선 x+2y+5=0위에있으므로

a-2a+5=0, a=5

이때, 구하는원의방정식은

(x-5)¤ +(y+5)¤ =25, x¤ +y¤ -10x+10y+25=0

따라서 A=-10, B=10, C=25이므로

A+B+C=25

답⃞ ③

3x¤ +y¤ +6x-4y+k=0에서

(x+3)¤ +(y-2)¤ =-k+13

이때, 위의방정식이원의방정식이되려면반지름의길이의제곱

이항상 0보다커야하므로

-k+13>0, 즉 k<13이다.

따라서자연수 k는 1, 2, 3, y, 12로12개이다.

답⃞ ③

4원 (x-1)¤ +(y+2)¤ =r¤과직선 4x+3y=10이서로다른

원의방정식11유제 본문 127̀~1̀30̀쪽

정답과풀이

두점에서만나려면원의중심 (1, -2)에서직선 4x+3y=10,

즉 4x+3y-10=0에이르는거리 d가원의반지름의길이 r

보다작아야한다.

즉, d= <r이므로 r>:¡5™:

따라서양의정수 r의최솟값은 3이다.

답⃞ 3

5중심의좌표가 (-3, 0)이고, 반지름의길이가 r인원의방정식

을 (x+3)¤ +y¤ =r¤이라고하면이원이점 (1, 2)를지나므로

16+4=r¤ , 즉 r¤ =20

따라서원의반지름의길이는 '2å0=2'5

직선 x+ay-7=0이원에접하므로원의중심과직선사이의

거리는반지름의길이와같다. 즉,

=2'5, =2'5

양변을제곱하여정리하면

a¤ +1=5, a¤ =4, a=—2

이때, a>0이므로 a=2이다.

답⃞ 2

6직선 y=3x+2의기울기가 3이므로구하는접선의기울기도 3

이다.

기울기가 3인접선의방정식을 y=3x+a (̀a는상수)로놓으면

원 x¤ +y¤ =10의중심 (0, 0)과직선 3x-y+a=0 사이의

거리는원의반지름의길이 '1å0과같으므로

='1å0

='1å0, |a|=10, a=—10

따라서구하는직선의방정식은

y=3x+10또는직선 y=3x-10

이므로주어진점중이두직선중어느직선도지나지않는점은

(3, 1)이다.

답⃞ ⑤

[다른풀이]

기울기가 3인접선의방정식을

y=3x+a (̀a는상수) yy`㉠

|a|'1å0

|a|

øπ3¤ +π(π-1)¤

10"√a¤ +1

|-3+0-7|"√1¤ +a¤

|4¥1+3¥(-2)-10|"√4¤ +3¤

EBS 올림포스수학Ⅰ80

로놓자.

㉠을 x¤ +y¤ =10에대입하면

x¤ +(3x+a)¤ =10

10x¤ +6ax+a¤ -10=0

이이차방정식의판별식을 D라고하면원과직선이접할때

D=0이므로

=(3a)¤ -10(a¤ -10)=0, a¤ =100

a=—10

따라서구하는직선의방정식은

y=3x+10또는 y=3x-10

이므로주어진점중이두직선중어느직선도지나지않는점은

(3, 1)이다.

7y=x+1과 x¤ +y¤ =25를연립하여풀면

x=3, y=4또는x=-4, y=-3

따라서직선 y=x+1과원 x¤ +y¤ =25의교점은

(3, 4), (-4, -3)이다.

이때, 점 P는제3̀사분면위의점이므로 P(-4, -3)

따라서점 P에서의접선의방정식은

(-4)x+(-3)y=25, 즉 4x+3y+25=0

답⃞ ①

8주어진두원의교점을지나는원의방정식은

(x¤ +y¤ -6x-2y+8)+k(x¤ +y¤ -4x)=0

(단, k+-1인실수) yy`㉠

㉠이점 (1, 0)을지나므로

3-3k=0, k=1

k=1을㉠에대입하여정리하면

x¤ +y¤ -5x-y+4=0

{x-;2%;}2+{y-;2!;}2=;2%;

따라서원의중심은 {;2%;, ;2!;}이므로

a=;2%;, b=;2!;

따라서a+b=;2%;+;2!;=3

답⃞ 3

D4

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

16+9-16a+6+b=0

-16a+b=-31 yy`㉡

또, ㉠에서

(x-2a)¤ +(y-1)¤ =1+4a¤ -b

이고, 이원이 y축에접하므로중심의 x좌표의절댓값과반지름

의길이가같다.

이때, 중심은 (2a, 1)이고반지름의길이를 r라고하면

r¤ =1+4a¤ -b이므로

(2a)¤ =1+4a¤ -b, b=1

b=1을㉡에대입하면 a=2

따라서 a+b=3

답⃞ ③

05두원의교점을지나는원의방정식은

x¤ +y¤ -8+k {(x-2)¤ +(y+1)¤ -25}=0

(단, k+-1인실수) yy`㉠

이원이점 (-3, 1)을지나므로

(-3)¤ +1-8+k{(-3-2)¤ +(1+1)¤ -25}=0

2+4k=0, k=-;2!;

k=-;2!;을㉠에대입하여정리하면

x¤ +y¤ +4x-2y+4=0, (x+2)¤ +(y-1)¤ =1

따라서구하는원의중심은 (-2, 1)

답⃞ ①

06점 (1, 1)에서원

(x-4)¤ +(y-5)¤ =r¤ 위의점까

지의 거리의 최댓값은 원의 중심과

점 (1, 1) 사이의거리에반지름의

길이를더한값과같다.

이원의반지름의길이가 r이므로

øπ(4-π1)¤ π+(5π-1)¤ +r=8

r+5=8, r=3답⃞ ③

07원 x¤ +y¤ =25위의점 (-4, 3)에서의접선의방정식은

-4x+3y=25이다.

xO

y

5

1

41

정답과풀이 81

유형확인

01 ③ 02 ② 03 ④ 04 ③ 05 ①06 ③ 07 ④ 08 ① 09 ⑤

본문 131̀~1̀32쪽

01x¤ +y¤ +ax+4y+4=0에서

{x+;2A;}2+(y+2)¤ =

반지름의길이를 r라고하면주어진원의중심이(3, -2)이므로

-;2A;=3, =r¤

a=-6, r=3

따라서이원의둘레의길이는 2_3_p=6p이다.

답⃞ ③

02중심이 (a, b)이고반지름의길이가 4인원의방정식은

(x-a)¤ +(y-b)¤ =16이다.

(x-a)¤ +(y-b)¤ =16과 x축과의교점의 x좌표 1, 3은방정

식 (x-a)¤ +b¤ =16의두근이다.

즉, x¤ -2ax+a¤ +b¤ -16=0에서근과계수의관계에의하여

2a=1+3, a¤ +b¤ -16=1_3

따라서 a=2, b¤ =15이므로

ab¤ =2_15=30

답⃞ ②

03점 (1, 2)를지나고 x축과 y축에모두접하는원의중심은제1̀

사분면위에있다.

이때, 이원의반지름의길이를 r라고하면원의방정식은

(x-r)¤ +(y-r)¤ =r¤

이원이점 (1, 2)를지나므로

(1-r)¤ +(2-r)¤ =r¤ , r¤ -6r+5=0

(r-1)(r-5)=0, r=1또는 r=5

이때, r>1이므로 r=5이고, 구하는원의넓이는

p¥5¤ =25p

답⃞ ④

04원 x¤ +y¤ -4ax-2y+b=0 yy`㉠이점 (4, -3)을지

나므로

a¤4

a¤4

2AP”=3BP”, 4AP” ¤ =9BP” ¤

이때, 점 P의좌표를 (x, y)로놓으면

4{(x-1)¤ +y¤ }=9{(x-6)¤ +y¤ }

x¤ +y¤ -20x+64=0

따라서 a=-20, b=0, c=64이므로

a+b+c=-20+64=44

답⃞ ⑤

이직선의기울기가 ;3$;이므로이직선에수직인직선의기울기는

-;4#;이다.

기울기가 -;4#;이고, 원 x¤ +y¤ =9에접하는직선의방정식을

y=-;4#;x+k, 즉 3x+4y-4k=0이라고하면원 x¤ +y¤ =9

의중심 (0, 0)과직선 3x+4y-4k=0사이의거리가반지름

의길이 3과같으므로

=3, =3, |4k|=15

k=—:¡4∞:

즉, 접선의방정식은

3x+4y+15=0또는3x+4y-15=0

이때, b>0이므로구하는접선의방정식은 3x+4y+15=0이

고이식이 3x+ay+b=0과일치해야한다.

따라서 a=4, b=15이므로

b-a=15-4=11

답⃞ ④

08점 (3, 3)에서 원 x¤ +y¤ -2x-12y+36=0에 그은 접선의

기울기를 m이라고하면접선의방정식은

y-3=m(x-3)

mx-y-3m+3=0

이때, 원 x¤ +y¤ -2x-12y+36=0은

(x-1)¤ +(y-6)¤ =1이므로원의중심은 (1, 6)이다.

원의중심 (1, 6)과접선 mx-y-3m+3=0 사이의거리가

원의반지름의길이 1과같으므로

=1, |-2m-3|="√m¤ +1

위식의양변을제곱하여정리하면

3m¤ +12m+8=0 yy`㉠

이때, 두접선의기울기 m¡, m™는방정식㉠의두근이므로이

차방정식의근과계수의관계에의하여

m¡+m™=-:¡3™:=-4

답⃞ ①

09AP” : BP”=3 : 2이므로

|m-6-3m+3|

øπm¤ + π(π-1)¤

|4k|5

|-4k|"√3¤ +4¤

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ82

01출제의도 원위의점에서그은접선의방정식을구할수있는지를묻는

문제이다.

x¤ +y¤ =5와 2x+y=3을연립하여풀면

x=;5@;, y=:¡5¡:또는x=2, y=-1

따라서두접점의좌표는 {;5@;, :¡5¡:}, (2, -1)이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

두접점 {;5@;, :¡5¡:}, (2, -1)은원 x¤ +y¤ =5 위의점이므로

각점에서의 접선의방정식은

;5@;x+:¡5¡:y=5, 2x-y=5

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

점 P는두접선위의점이므로점 P는두접선의교점이다.

;5@;x+:¡5¡:y=5와 2x-y=5를연립하면풀면

x=:¡3º:, y=;3%;

따라서두접선의교점은 {:¡3º:, ;3%;}이므로 P{:¡3º:, ;3%;}이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ P{:¡3º:, ;3%;}

서술형연습장본문 133̀쪽

01 P{:¡3º:, ;3%;} 02 (x-1)¤ +(y-2)¤ =;2%;

03최솟값：6'3, 최댓값：12 04⑴ 6 ⑵ 3'5-2

원과직선의교점의좌표를구한경우

두접선의방정식을구한경우

점 P의좌표를구한경우

40 %

30 %

30 %

단계 채점기준 비율

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

02출제의도 원과직선사이의위치관계를알고있는지를묻는문제이다.

원의중심이직선 y=x+1 위에있으므로원의중심의좌표를

(t, t+1), 원의반지름의길이를 r라고하면원의중심에서두

직선 3x-y-6=0, 3x-y+4=0에이르는거리가원의반지

름의길이 r와같으므로

r= = yy㉠

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

= 에서

|2t-7|=|2t+3|

이때, 2t-7+2t+3이므로

2t-7=-2t-3, t=1

t=1을㉠에대입하면 r=

따라서원의중심은 (1, 2), 반지름의길이는 이므로

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

구하는원의방정식은

(x-1)¤ +(y-2)¤ =;2%;

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ (x-1)¤ +(y-2)¤ =;2%;

03출제의도 원과 직선으로 이루어진 도형에 대한 문제를 해결할 수 있는

지를묻는문제이다.

원 x¤ +y¤ +2y-35=0은

x¤ +(y+1)¤ =36

오른쪽그림과같이점 (0, 2)를지

나는 직선과 원 x¤ +(y+1)¤ =36

의교점을각각 P, Q라하고, 원의

중심 C(0, -1)에서 (0, 2)를지

xO

y

C

H

-1

2

5

-7

Q

P

'1å02

'1å02

|3t-t-1+4|"√3¤ +1¤

|3t-t-1-6|"√3¤ +1¤

|3t-t-1+4|"√3¤ +1¤

|3t-t-1-6|"√3¤ +1¤

정답과풀이 83

나는직선에내린수선의발을 H라고하면

PQ”=2PH”=2øπ6¤ π-CH” ¤

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

⁄현 PQ의길이가최소가되는경우는선분 CH의길이가최

대일때이다. 선분 CH의길이가최대인경우는점 H의좌표

가 (0, 2)가될때이고, 이때 CH”=3이므로현 PQ의길이

의최솟값은 2"√6¤ -3¤ =2'2å7=6'3

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

¤현 PQ의길이가최대가되는경우는선분 PQ가원의지름

이될 때이므로현 PQ의길이의최댓값은 12이다.

⁄, ¤에서주어진직선과원이만나서생기는현의길이의최솟

값은 6'3, 최댓값은 12이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 최솟값：6'3, 최댓값：12

04출제의도 원의방정식을구할수있는지를묻는문제이다.

⑴원 x¤ +y¤ +kx-2y+k=0에서

⑴ {x+;2K;}2+(y-1)¤ = +1-k

⑴이원의넓이가 4p이므로

⑴ +1-k=4, k¤ +4-4k=16, k¤ -4k-12=0

⑴(k-6)(k+2)=0, k=6또는k=-2

⑴이때 k는양수이므로 k=6

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

⑵주어진원은 (x+3)¤ +(y-1)¤ =4이므로중심이 (-3, 1)

이고반지름의길이가 2인원이다.

⑵한편,원위의점 (p, q)에대하여 øπ(p-π3)¤ π+(πqπ-4)¤ 의값

은 원위의점 (p, q)와점 (3, 4)사이의거리이다.

⑵그런데원의중심 (-3, 1)과점 (3, 4)사이의거리는

⑵øπ(-π3-π3)¤ π+(π1π-4)¤ ='4å5=3'5

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

⑵따라서원위의점 (p, q)와점 (3, 4) 사이의거리의최솟

값은 3'5-2이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

k¤4

k¤4

현의길이를구하는식을세운경우

현의길이의최솟값을구한경우

현의길이의최댓값을구한경우

30 %

35 %

35 %

단계 채점기준 비율

원의중심에서접선에이르는거리가반지

름의 길이와 같음을 이용하여 식을 세운

경우

40 %

단계 채점기준 비율

원의 중심의 좌표와 반지름의 길이를 구한

경우

40 %

원의방정식을구한경우 20 %

정답과풀이

답⃞⑴ 6 ⑵ 3'5-2

EBS 올림포스수학Ⅰ84

또한, 주어진원이 x축과서로다른두점에서만나야하므로원

의방정식에 y=0을대입하여얻은이차방정식

x¤ -2mx+m+6=0이서로다른두실근을가져야한다.

따라서이방정식의판별식을 D라고하면

=m¤ -m-6>0, (m-3)(m+2)>0

m<-2또는m>3 yy`㉢

따라서㉡, ㉢을동시에만족시키는실수 m의값의범위를구하면

m<-2또는m>3

답⃞ m<-2 또는m>3

03점 (-1, 0)을 R라고 하면 호 PRQ를 포함하는 원은 점

R(-1, 0)에서 x축에접하고반지름의길이가 3이므로원의

중심의좌표는 (-1, 3)이다.

따라서이원의방정식은

(x+1)¤ +(y-3)¤ =9

x¤ +y¤ +2x-6y+1=0

이때, 직선 PQ는두원 x¤ +y¤ =9, x¤ +y¤ +2x-6y+1=0

의교점을지나는직선이므로직선 PQ의방정식은

(x¤ +y¤ -9)-(x¤ +y¤ +2x-6y+1)=0

x-3y+5=0

따라서원의중심 (0, 0)과직선 PQ사이의거리는

= =

답⃞ ④

04A지점에있는레이더화면에는반경

30 km 이내의 모든 선박이 나타나

므로 오른쪽 그림과 같이 A 지점을

원점으로 잡으면 레이더 화면은 원

x¤ +y¤ =30¤ 내부로나타낼수있다.

또, 배의 처음 위치를 B(-40, 0)

이라고하면배가북동쪽방향으로움직이므로배는 x축의양의방

향과45˘를이루면서점 B를지나는직선위를움직이게된다.

따라서배는직선 y=x+40 (xæ-40)위를움직인다.

직선 y=x+40이원 x¤ +y¤ =30¤과만나는점을 C, D라고

하면배가선분CD위에있을때, 레이더화면에나타난다.

A(0, 0)과직선 y=x+40, 즉 x-y+40=0사이의거리는

xA

y

BC

D 30

30

-30

'1å02

5'1å0

|5|

øπ1+π(π-3)¤

D4

양수 k의값을구한경우

두점사이의거리를구한경우

"√(p-√3)¤ +√(q√-4)¤의최솟값을구한경우

40 %

30 %

30 %

단계 채점기준 비율

고난도문항 본문 134̀쪽

01 2'5 02m<-2 또는m>3 03④ 04④

1등급

01두점 A, B를지나는직선의방정식은

;4{;+ =1, x-2y-4=0

원의중심 (-1, 1)과직선 x-2y-4=0사이의거리는

= =

선분 AB를밑변으로하는삼각형ABP의넓이는높이, 즉점P

에서직선AB까지의거리에따라변한다.

따라서넓이가최대일때의삼각형ABP의높이는점 P에서직선

AB까지의거리가최대일때이며이때의높이는 +1이다.

또, 넓이가최소일때의삼각형ABP의높이는점 P에서직선

AB까지의거리가최소일때이며이때의높이는 -1이다.

한편, AB”="√2¤ +4¤ =2'5이므로

M=;2!;¥2'5¥{ +1}=7+'5

m=;2!;¥2'5¥{ -1}=7-'5

따라서 M-m=2'5

답⃞ 2'5

02x¤ +y¤ -2mx+2y+m+6=0에서

(x¤ -2mx+m¤ )+(y¤ +2y+1)=m¤ -m-5

(x-m)¤ +(y+1)¤ =m¤ -m-5 yy`㉠

㉠이원의방정식이되기위해서는 m¤ -m-5>0이어야하므로

m< 또는m> yy`㉡1+'2å1

21-'2å1

2

7'55

7'55

7'55

7'55

7'55

7'5

|-1-2-4|

øπ1¤ +π(π-2)¤

y-2

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

=20'2

이므로

CD”=2øπ30¤ π-(π20π'2 )¤ =20(km)

이때, 배의속력이 5 km/시이므로이배가레이더화면에나타

나는시간은 :™5º:=4(시간)이다.

답⃞④

|40|"√1¤ +1¤

x¡x+y¡y=4 yy`㉠

이접선이점 A(1, 2)를지나므로

x¡+2y¡=4 yy`㉡

접점 P(x¡, y¡)은원 x¤ +y¤ =4위에있으므로

x¡¤ +y¡¤ =4 yy`㉢

㉡과㉢을연립하여풀면‡ 또는

이것을㉠에대입하면접선의방정식은

y=2또는 4x+3y-10=0

따라서두접선과 y축과의교점은각각 B(0, 2), C{0, :¡3º:}

이므로선분 BC의길이는:¡3º:-2=;3$;

답⃞②

04세원의중심이 x축위에있고반지름의길이가 1이므로세점

A, P, Q의좌표는각각

A(-1, 0), P(2, 0), Q(4, 0)

따라서중심이 Q인원의방정식은

(x-4)¤ +y¤ =1 yy㉠

직선AB의기울기를 m이라고하면직선 AB는점

A(-1, 0)을지나므로그방정식은

y-0=m(x+1), mx-y+m=0 yy㉡

이때, ㉠과㉡이서로접하므로원㉠의중심 Q(4, 0)과직선㉡

사이의거리는원의반지름의길이 1과같다.

즉, =1이므로|5m|="√m¤ +1

양변을제곱하여양수인 m의값을구하면 m=

따라서직선 AB의방정식은 x-2'6y+1=0이므로

점 P(2, 0)과직선 AB사이의거리는

=;5#;

답⃞③

|2-0+1|"√1+(√-√2'6 )¤

12'6

|4m-0+m|"√m¤ +1

x¡=;5*;

y¡=;5̂;

({9

x¡=0

y¡=2

정답과풀이 85

수능유형맛보기 본문 135̀쪽

01① 02④ 03② 04③

01원의넓이를이등분하는직선은그원의중심을지난다.

이때, 주어진두원의중심은각각점 (2, 3), (-2, -1)이므

로구하는직선은이두점을지난다.

따라서구하는직선의방정식은

y-3= (x-2)

즉, y=x+1

답⃞ ①

02원 x¤ +y¤ =5위의점

(-2, 1)에서의접선의방정식은

-2x+y=5

점 P(x, y)가접선

-2x+y=5위의점이고

-3…x…3, -1…y…3

이므로점 P는두점 A(-3, -1)과 B(-1, 3)을이은선분

AB위에존재한다.

따라서점 P가나타내는도형의길이는선분 AB의길이이므로

AB’”=øπ(-1π+3)π¤ +(π3π+1)¤ ='2å0=2'5

답⃞④

03점 A(1, 2)에서원 x¤ +y¤ =4에그은접선의접점을

P(x¡, y¡)이라고하면접선의방정식은

xO

y-2x+y=5

3B

A-1

-1-3

3

-1-3-2-2

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ86

1점 (-2, 4)를평행이동 (x, y) 2⁄ (x+a, y-5)에의하

여평행이동하면 (-2+a, 4-5)

따라서 -2+a=1, -1=b이므로 a=3, b=-1

이때, 점 (b, a+2), 즉점 (-1, 5)가옮겨지는점은

(-1+3, 5-5), 즉 (2, 0)이다.

답⃞ ④

2직선 2x-3y+k=0을 x축의방향으로 -5만큼, y축의방향

으로 3만큼평행이동하면

2(x+5)-3(y-3)+k=0

2x-3y+19+k=0

이때, 이직선이점 (-3, 1)을지나므로

-6-3+19+k=0, k=-10

답⃞ -10

3원 (x+1)¤ +(y-2)¤ =4를 x축의방향으로 k만큼, y축의방

향으로 3만큼평행이동하면

(x-k+1)¤ +(y-5)¤ =4 yy`㉠

㉠이 y축에접하려면원의중심의 x좌표의절댓값과반지름의길

이가같아야하므로

|k-1|=2, k-1=—2, k=-1또는k=3

따라서모든실수 k의값의합은 2이다.

답⃞ 2

4점 A(5, 2)를원점에대하여대칭이동한점은 B(-5, -2)

이고, 점 B를 x축에대하여대칭이동한점은 C(-5, 2)이므로

BC”="√(-5√+5)√¤ +(2√+2)¤ ='1å6=4

답⃞ ③

도형의이동12유제 본문 138̀~1̀40쪽

5직선 4x+3y+a=0을 x축에대하여대칭이동하면

4x-3y+a=0

이직선이원 (x-1)¤ +(y+1)¤ =9에접하려면원의중심

(1, -1)과직선 4x-3y+a=0사이의거리가원의반지름의

길이3과같아야하므로

=3, |7+a|=15

7+a=15또는7+a=-15

따라서a=8또는a=-22

이때, a는양수이므로 a=8

답⃞ 8

6점 A의 x축에대한대칭점은

A'(3, -2)이고 AP”=A’'P”이므로

AP”+BP”=A’'P”+BP”

æA’'B”

따라서 AP”+BP”의최솟값은

A’'B”=øπ(6π-3)π¤ +(π4π+2)¤

=3'5

답⃞ ⑤

xO

y

A'{3, -2}

A{3, 2}

B{6, 4}

P3 6

4

2

|4+3+a|

øπ4¤ +π( π-3)¤

유형확인

01 ③ 02 ④ 03 ② 04 ② 05 ③06 ③ 07 ③ 08 ③

본문 141̀~1̀42̀쪽

01평행이동 (x, y) 2⁄ (x+m, y+n)에의하여점 (4, 1)이

점 (2, 5)로옮겨지므로

4+m=2, 1+n=5

m=-2, n=4

따라서평행이동 (x, y) 2⁄ (x-2, y+4)에의하여

직선 3x+4y=2가옮겨지는직선은

3(x+2)+4(y-4)=2, 3x+4y=12

이직선에서 x=0일때 y=3이므로구하는직선의 y절편은 3

이다.

답⃞ ③

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 87

02x¤ +y¤ -4x-6y+9=0은 (x-2)¤ +(y-3)¤ =4이므로주어

진원은중심이(2, 3)이고반지름의길이가 2이다.

한편, 직선 x+y+3=0을 x축의방향으로 a만큼, y축의방향

으로 a+2만큼평행이동하면

(x-a)+(y-a-2)+3=0, x+y-2a+1=0

이직선이주어진원의넓이를이등분하려면원의중심 (2, 3)을

지나야하므로

2+3-2a+1=0, -2a+6=0

따라서 a=3

답⃞ ④

03점 (a, b)를 x축의방향으로 2만큼, y축의방향으로 -1만큼

평행이동한점의좌표는 (a+2, b-1)

이점을 y축에대하여대칭이동하면 (-a-2, b-1)

한편, 원 x¤ +y¤ -2x+4y+4=0은 (x-1)¤ +(y+2)¤ =1이

므로원의중심은 (1, -2)

두점 (-a-2, b-1)과 (1, -2)가일치하므로

-a-2=1, b-1=-2, 즉 a=-3, b=-1

따라서 a+b=-4

답⃞ ②

04점 (4, -2)를점 (3, 1)로옮기는평행이동은

(4, -2) 2⁄ (3, 1)에서 (x, y) 2⁄ (x-1, y+3)

포물선 y=x¤ -3x+a를 x축의방향으로-1만큼, y축의방

향으로 3만큼평행이동하면

y-3=(x+1)¤ -3(x+1)+a

y=x¤ -x+a+1

이때, 이포물선이원점을지나므로

a+1=0, 즉 a=-1

답⃞ ②

05원 (x-1)¤ +(y-10)¤ =5를원점에대하여대칭이동한원의

방정식은

(-x-1)¤ +(-y-10)¤ =5

(x+1)¤ +(y+10)¤ =5

이원이직선 y=2x+k, 즉 2x-y+k=0과서로다른두점

에서만나려면원의중심 (-1, -10)과직선사이의거리가반

지름의길이보다작아야하므로

<'5

|k+8|<5

-5<k+8<5

즉, -13<k<-3

따라서정수 k는 -12, -11, y, -4이므로정수 k의최댓

값은 -4이다.

답⃞ ③

06원(x+3)¤ +(y-1)¤ =9를직선 y=x에대하여대칭이동하면

(y+3)¤ +(x-1)¤ =9

즉, (x-1)¤ +(y+3)¤ =9

이원의중심 (1, -3)이직선 y=mx-2위에있으므로

-3=m-2

따라서 m=-1

답⃞ ③

07직선 ax+by=1이점 A(1, -2)를지나므로

a-2b=1 yy`㉠

직선 ax+by=1을원점에대하여대칭이동하면

-ax-by=1

이직선을직선 y=x에대하여대칭이동하면

-ay-bx=1

즉, bx+ay=-1

이직선이점 A(1, -2)를지나므로

b-2a=-1

즉, -2a+b=-1 yy`㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면

a=;3!;, b=-;3!;

따라서 a+b=0

답⃞ ③

|-2+10+k|

øπ2¤ +π( π-1)¤

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ88

08

답⃞ ③

xO

y

xO

y

xO

y

-1 1

-1

11

1

직선 y=x에대하여 대칭이동

-2

-1

1

y축의 방향으로-1만큼 평행이동

01출제의도 주어진 점을 평행이동 또는 대칭이동할 수 있는지를 묻는 문

제이다.

점 P(-2, 4)를 x축의방향으로 2만큼, y축의방향으로-10

만큼평행이동한 점 Q의좌표는 (0, -6)이고, 점 P를직선

y=x에대하여대칭이동한점 R의좌표는(4, -2)이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

이때, 두점Q, R를지름의양끝점으로하는원의지름의길이는

øπ(0- π4)¤ π+( π-6 π+2)¤ ='3 å2=4'2이므로 반지름의 길이는

2'2이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

또, 원의중심은 { , }, 즉 (2, -4)이므로구

하는원의방정식은

(x-2)¤ +(y+4)¤ =(2'2 )¤

즉, (x-2)¤ +(y+4)¤ =8

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ (x-2)¤ +(y+4)¤ =8

-6-22

0+42

서술형연습장본문 143̀쪽

01 (x-2)¤ +(y+4)¤ =8

02-11-'2…a…-11+'2

03 50

04⑴ (x+5)¤ +(y-3)¤ =34

⑵ (x-a-5)¤ +(y-b+3)¤ =34

⑶ a=-2, b=-2

02출제의도 주어진도형을평행이동과대칭이동할수있는지를묻는문제

이다.

점 (3, -2)를점 (2, 1)로옮기는평행이동은

(x, y) 2⁄ (x-1, y+3)

원 x¤ +y¤ -10x-8y+40=0에서

(x-5)¤ +(y-4)¤ =1

원 (x-5)¤ +(y-4)¤ =1이평행이동

(x, y) 2⁄ (x-1, y+3)에의하여옮겨진원의방정식은

(x+1-5)¤ +(y-3-4)¤ =1

즉, (x-4)¤ +(y-7)¤ =1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

이원을다시 x축에대하여 대칭이동하면

(x-4)¤ +(-y-7)¤ =1, 즉(x-4)¤ +(y+7)¤ =1

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

이원이직선 y=x+a, 즉 x-y+a=0과만나려면원의중심

(4, -7)과 직선사이의거리가반지름의길이보다작거나같아

야한다.

…1, |a+11|…'2

-'2…a+11…'2

따라서구하는실수 a의값의범위는

-11-'2…a…-11+'2

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ -11-'2…a…-11+'2

03출제의도 대칭이동과 평행이동한 점의 좌표를 구할 수 있는지를 묻는

문제이다.

|4+7+a|

øπ1¤ +π( π-1)¤

점 Q와점 R의좌표를구한경우

원의반지름의길이를구한경우

원의방정식을구한경우

40 %

30 %

30 %

단계 채점기준 비율

평행이동한원의방정식을구한경우 40 %

단계 채점기준 비율

실수 a의값의범위를구한경우 40 %

x축에대하여대칭이동한원의방정식을구한경우

20 %

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 89

점 P(a, 2)를원점에대하여대칭이동한점의좌표는

(-a, -2)이고, 이점이 (4+b, 5-a)와일치하므로

-a=4+b, -2=5-a

a=7, b=-11

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서점 P의좌표는 (7, 2)이고, 점 P를직선 y=x에대하

여대칭이동한점의좌표는 (2, 7)이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

또, 점 P를 x축의방향으로 m만큼, y축의방향으로 n만큼평

행이동한점의좌표는 (7+m, 2+n)이고, 이점이 (2, 7)과

일치하므로

2=7+m, 7=2+n, 즉 m=-5, n=5

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서 m¤ +n¤ =(-5)¤ +5¤ =50

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`❹

답⃞ 50

04출제의도 평행이동과대칭이동을한도형의방정식을구할수있는지를

묻는문제이다.

⑴Cº : x¤ +y¤ -10x+6y=0은

(x-5)¤ +(y+3)¤ =34

이므로원 C¡의방정식은

(-x-5)¤ +(-y+3)¤ =34

즉, (x+5)¤ +(y-3)¤ =34

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

⑵원 C™의방정식은 (x-a-5)¤ +(y-b+3)¤ =34

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

⑶두원 C¡, C™가직선 y=x에대하여대칭이므로두원의중

심인 (-5, 3)과 (a+5, b-3)도직선 y=x에대하여대

칭이다.

따라서-5=b-3, 3=a+5이므로

a=-2, b=-2

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ ⑴ (x+5)¤ +(y-3)¤ =34

⑵ (x-a-5)¤ +(y-b+3)¤ =34

⑶ a=-2, b=-2

원점에 대하여 대칭이동한 점의 좌표를 이

용하여 a, b의값을구한경우40 %

단계 채점기준 비율

평행이동한점의좌표를이용하여 m, n의값을구한경우

30 %

m¤ +n¤ `의값을구한경우 10 %

직선 y=x에대하여대칭이동한점의좌표를구한경우

20 %

원점에 대하여 대칭이동한 원의 방정식을

구한경우30 %

단계 채점기준 비율

a, b의값을구한경우 40 %

평행이동한원의방정식을구한경우 30 %

고난도문항 본문 144쪽

01③ 02 5 03③ 04 10

1등급

01f g f g

(x, y)⁄(x, -y)⁄ (-x, y)⁄ (-x, -y)⁄ (x, y)

이므로네번이동하면처음점으로돌아온다.

이때, 55=4_13+3이므로점 (x, y)를 55번이동시키면

(-x, -y)로이동한다.

즉, 원점에대하여대칭이동한점과같으므로점 (5, -2)는점

(-5, 2)로옮겨진다.

답⃞ ③

02점 B(5, -6)을 x축에대하여대칭

이동한점을 B'이라고하면

B'(5, 6)이다.

이때, BP”=B’'P”이므로

|AP”-BP”|=|AP”-B’'P”|…A’B'”

(단, 등호는점 P가 A’B'”의연장선

이 x축과만나는점 C의위치에있을때성립한다.)

A’B'”=øπ(5-π2)¤π +(π6π-2)¤ =5이므로구하는 최댓값은 5이다.

답⃞ 5

03점 A(5, 6)을 y축에대하여대칭이동한점은 A'(-5, 6)

점 B(6, 5)를 x축에대하여대칭이동한점은 B'(6, -5)

x

A{2, 2}

PC

B{5, -6}

B'{5, 6}

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ90

오른쪽그림에서

AP”+PQ”+QB”

=A’'P”+PQ”+QB”'”

æA’'B'”

=øπ(6+π5)¤ π+(π-5π-6)¤

=11'2

답⃞ ③

04CP”+DP”가 최소가 되도록

점 P의위치를정하면된다.

직선 도로를 직선으로 생각

하여이직선에대하여점 C

를대칭이동시킨것을점 C'

으로놓으면 CP”+DP”의최솟값은선분 C'D의길이와같다.

이때, 선분 C'D의길이는밑변의길이가30 km이고높이가

15 km인직각삼각형의빗변의길이와같다.

한편, AP”=x km라고하면

BP”=(30-x)km이고, △AC'Pª△BDP이므로

AP” : BP”=A’C'”” : BD”에서

x : (30-x)=5 : 10

10x=5(30-x)

x=10(km)

따라서공장 P는A지점에서 10 km떨어진거리에지으면된다.

답⃞ 10

C

C'

D

PA B

30 km

10 kmx km5 km

5 km 5 km

xO

y

B{6, 5}

QP

A{5, 6}A'{-5, 6}

B'{6, -5}

-y=m(x+2)-3 yy`㉢

㉢이점(2, 2)를지나므로

-2=4m-3

m=;4!;

따라서직선 l의방정식은

y=;4!;(x+2), 즉 y=;4!;x+;2!;

이므로직선 l의 y절편은 ;2!;이다.

답⃞③

02도형 f(-x, y)=0은도형

f(x, y)=0을 y축에 대하여

대칭이동한것이므로오른쪽그

림에서선분 PQ의길이의최솟

값은 2이다.

답⃞②

03점 P(a, b)를 x축, y축에대하여각각대칭이동한점 P¡, P™

의좌표는P¡(a, -b), P™(-a, b)이다.

따라서 삼각형 PP¡P™는 오른쪽 그림과

같으므로

△PP¡P™=;2!;_2a_2b=2ab

이때, 삼각형PP¡P™의넓이는 16이므로

2ab=16 yy`㉠

또, 점 P(a, b)가직선 y=2x위에있

으므로

b=2a yy`㉡

㉡을㉠에대입하면

4a¤ =16

a¤ =4

그런데 a>0, b>0이므로

a=2, b=4

따라서 a-b=2-4=-2

답⃞②

xO

y

-a a

P¡

P™ Pb

-b

xO

y

f{x, y}=0f{-x, y}=0

1 2-2 -1

2

1 PQ

수능유형맛보기 본문 145쪽

01③ 02② 03② 04 2

01점 (-2, 0)을지나는직선 l의기울기를 m이라고하면직선

l의방정식은

y=m(x+2) yy`㉠

㉠을 y축의방향으로 -3만큼평행이동하면

y=m(x+2)-3 yy`㉡

㉡을 x축에대하여대칭이동하면

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 91

04점 Q가 y축위의점이므로점

A(2, 3)을 y축에 대하여 대

칭이동한점을 A'이라고하면

A'(-2, 3)

점 P가 x축위의점이므로점

B(3, 2)를 x축에 대하여 대

칭이동한점을 B'이라고하면

B'(3, -2)

이때, AQ”=A’'Q”, PB”=P’B'”이므로 AQ”+QP”+PB”가최소

가될때, 직선 PQ의방정식은직선 A'B'의방정식과같다.

직선 A'B'의방정식은

y-(-2)= (x-3), y=-x+1

따라서 a=-1, b=1이므로

a¤ +b¤ =2

답⃞ 2

-2-33-(-2)

xO

y

PP

Q

Q

A{2, 3}A'{-2, 3}

B{3, 2}

B'{3, -2}

1점 (a, 1)이원 x¤ +y¤ =5의외부에있으므로

a¤ +1>5 yy`㉠

또, 점 (a, 1)이원 x¤ +y¤ =17의내부에있으므로

a¤ +1<17 yy`㉡

㉠, ㉡에서

5<a¤ +1<17, 4<a¤ <16

a>0이므로 2<a<4

따라서양의정수 a는 3이다.

답⃞ 3

2꼭짓점을원점으로하고, 점 (-2, 4)를지나는포물선의방정

식은 y=x¤

점 (1, 1)을꼭짓점으로하고점 (-2, 4)를지나는포물선의

방정식은 y=a(x-1)¤ +1에서점(-2, 4)를대입하면

4=9a+1, a=;3!;이므로

y=;3!;(x-1)¤ +1

이때, 색칠한부분은포물선 y=x¤의윗부분(경계선제외)과포

물선 y=;3!;(x-1)¤ +1의아랫부분(경계선제외)의공통부분이

므로구하는연립부등식은

‡

답⃞풀이참조

3xy(x¤ +y¤ -4)<0이면

xy<0, x¤ +y¤ -4>0또는xy>0, x¤ +y¤ -4<0이다.

⁄ xy<0, x¤ +y¤ -4>0의영역

xy<0에서점(x, y)는제2̀사분면과제4̀사분면의점이고

y>x¤

y<;3!;(x-1)¤ +1

부등식의영역13유제 본문 148̀~1̀50̀쪽

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ92

x¤ +y¤ -4>0은 원 x¤ +y¤ =4의 외부이므로 공통부분은

다음그림의㉠부분이다.

¤ xy>0, x¤ +y¤ -4<0의영역

xy>0에서점 (x, y)는제1̀사분면과제3̀사분면의점이고

x¤ +y¤ -4<0은 원 x¤ +y¤ =4의

내부이므로 공통부분은 오른쪽 그림

의㉡부분이다.

⁄, ¤에서구하는영역은오른쪽그림

의어두운부분과같다. (단, 경계선제외)

답⃞ 풀이참조

4부등식 2x-1<y<-x¤ +2의영

역은 2x-1<y의영역과

y<-x¤ +2의 영역의 공통부분이

므로오른쪽그림에서어두운부분

이다. (단, 경계선제외)

포물선 y=-x¤ +2와직선

y=2x-1의교점을구하면

-x¤ +2=2x-1에서

x¤ +2x-3=0

x=-3또는x=1

이므로포물선과직선의교점의좌표는 (-3, -7), (1, 1)

이다.

따라서주어진부등식의영역의점중 x좌표와 y좌표가모두정

수인점은

(0, 1), (0, 0), (-1, 0), (-1, -1), (-1, -2),

(-2, -3), (-2, -4)로 7개이다.

답⃞ ④

5세부등식 x-1…0,

2x+y-2æ0, 2x-y+2æ0

을 모두 만족시키는영역은 오

른쪽 그림의 어두운 부분과 같

다. (단, 경계선포함)

x+2y=k(̀k는 상수)로 놓으

면

y=-;2!;x+;2K; yy`㉠

xO

y

㉠

㉠

x-1=0 2x+y-2=02x-y+2=0

5

2

1-1

{1, 4}

2-1

xO

y

-1-2-3-4-5

1

2

-3

-1

-2

y=2x-1

y=-x@+2

-7

2

2-

xO

y

㉠

㉠-2

2

2-2

㉡

㉡

직선㉠이직선 x=1과직선 2x+y-2=0의교점 (1, 0)을

지날때 k는최솟값 1을가지고, 직선㉠이직선 x=1과직선

2x-y+2=0의교점(1, 4)를지날때 k는최댓값 9를가진다.

따라서 k의최댓값과최솟값의곱은

9_1=9

답⃞ 9

6두제품 A, B를각각 x톤, y톤만든다고하면

xæ0, yæ0 yy`㉠

또, 하루동안공급되는원료 P, Q의양은모두최대 180톤이

므로

4x+5y…180 yy`㉡

3x+6y…180 yy`㉢

이때, ㉠, ㉡, ㉢의 공통부분은

오른쪽그림의어두운부분과같

다. (단, 경계선포함)

또, 하루의이익을

9x+12y=k(만원) yy`㉣

라하면㉣이두직선

4x+5y=180, 3x+6y=180의교점 (20, 20)을지날때, k

의값은최대가된다.

따라서 x=20, y=20을㉣에대입하면최대이익은

k=9_20+12_20=420(만원)

답⃞ 420만원

xO

y

4x+5y=180

3x+6y=180

9x+12y=k

6045

30

36

{20, 20}

유형확인

01 ② 02 ② 03 ③ 04 aæ10 05 ②06 2 07 9p 08 ③ 09 ⑤

본문 151̀~1̀52̀쪽

01두점 (-1, 3), (2, -3)을지나는직선의방정식은

y-3= (x+1)

y=-2x+1

따라서이직선의윗부분을나타내는부등식은

-3-32-(-1)

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 93

y>-2x+1, 즉 2x+y-1>0

답⃞ ②

02주어진그림에서경계선의방정식은

y=x, y=x¤ -6이다. 이때, 색칠

한부분은

⁄ 포물선 y=x¤ -6의 아랫부분

(경계선 포함)과 직선 y=x의

아랫부분(경계선 포함)의 공통

부분이므로 y…x¤ -6이고

y…x인영역이다.

즉, y-x¤ +6…0이고 y-x…0인영역이다.

¤ 포물선 y=x¤ -6의윗부분(경계선포함)과직선 y=x의윗

부분(경계선 포함)의 공통부분이므로 yæx¤ -6이고 yæx

인영역이다.

즉, y-x¤ +6æ0이고 y-xæ0인영역이다.

⁄, ¤에서구하는부등식은

(y-x)(y-x¤ +6)æ0

답⃞ ②

[다른풀이]

주어진그림에서경계선의방정식은

y=x, y=x¤ -6

이때, 주어진그림의색칠한부분에있는점 (3, 0)을

(y-x)(y-x¤ +6)에대입하면

(0-3)(0-9+6)=9>0

따라서구하는부등식의영역은점 (3, 0)을포함하는영역과이

영역과이웃하지않는영역(경계선포함)이므로

(y-x)(y-x¤ +6)æ0

03부등식 x¤ -2x+y¤ …0의 영역은 원

(x-1)¤ +y¤ =1의내부이고, 부등식

x¤ -yæ0의영역은포물선 y=x¤의아

랫부분이다.

따라서 주어진 연립부등식의 영역을 좌

표평면위에나타내면오른쪽그림의어

두운부분과같다. (단, 경계선포함)

답⃞ ③

xO

y

1

1

xO

y

3

-6

3

{i}

{ii}

04연립부등식‡ 의영역은원

x¤ +y¤ =4의내부(경계선포함)와

직선 y=-;3$;x+;3A;의 아랫부분(경

계선포함)의공통부분이다.

이때, 주어진 연립부등식의 영역의 넓

이가원 x¤ +y¤ =4의넓이와같으므로직선 y=-;3$;x+;3A;가

원 x¤ +y¤ =4에접하거나원의위쪽에있어야한다.

원과직선이접할때, 원의중심 (0, 0)과직선 4x+3y-a=0

사이의거리가원의반지름의길이 2와같으므로

=2

|a|=10

a=-10또는a=10

그런데직선의 y절편이양수이어야하므로

a=10

따라서구하는 a의값의범위는

aæ10

답⃞ aæ10

05직선 3x-y+k=0이두점 (1, 3), (2, -1)을이은선분과

만나려면두점 (1, 3), (2, -1)이직선 3x-y+k=0에대

하여서로반대쪽에있거나직선 3x-y+k=0 위에있어야하

므로

(3-3+k)(6+1+k)…0

k(k+7)…0

-7…k…0

따라서정수 k의 최솟값은 -7이다.

답⃞ ②

06yæ|x|에서 xæ0일때 yæx, x<0일때 yæ-x이므로주

어진연립부등식은

또는

로나타낼수있다.

x<0

yæ-x

x¤ +y¤ …k

({9

xæ0

yæx

x¤ +y¤ …k

({9

|-a|"√4¤ +3¤

xO

y

4x+3y=a

2

-2

-2 2

x¤ +y¤ …4

4x+3y…a

이두연립부등식의영역은오른쪽그

림의 어두운 부분(경계선 포함)과 같

고어두운부분의넓이가 이므로

p_('k)¤ _;4!;= , =

따라서 k=2

답⃞ 2

07점 (1, 3)은직선 y=x+2 위의점이므로점 (1, 3)이선분

AB위에있으면원 (x-a)¤ +(y-b)¤ =9의내부에존재한다.

즉, x=1, y=3이부등식 (x-a)¤ +(y-b)¤ …9를만족시켜

야하므로

(1-a)¤ +(3-b)¤ …9

(a-1)¤ +(b-3)¤ …9

따라서점 (a, b)가존재하는영역의넓이는반지름의길이가 3

인원의넓이와같으므로

p¥3¤ =9p

답⃞ 9p

08주어진세부등식을모두만족

시키는 부등식의 영역은 오른

쪽그림의어두운부분과같다.

(단, 경계선포함)

직선 2x+y=k를 주어진 부

등식의영역안에서움직여보

면원점을지날때 k는최솟값 0, 두직선 y=;2!;x,

y=-x+12의교점 (8, 4)를지날때 k는최댓값 20를갖는다.

따라서 0…k…20이므로정수 k는 0, 1, 2, y, 20의 21개

이다. 답⃞ ③

09주어진세부등식을모두만족시키

는영역은오른쪽그림의어두운부

분과같다.(단, 경계선포함)

x¤ +y¤ =k(k>0)로놓으면

x¤ +y¤ =k는중심이원점이고반지

xO

y

x+y=6

{6, 6}6

6

xO

y y=3x

{3, 9}

{8, 4}

y=-2x+k

y=-x+12

y= x2-1

p2

kp4

p2

p2 x

O

y y=xy=-x

kk-

k-

k

정답과풀이

름의길이가 'k인원을나타낸다.

이때, k의값이최대일때는원이점 (6, 6)을지날때이므로

M=6¤ +6¤ =72

k의값이최소일때는원 x¤ +y¤ =k가직선 x+y=6에접할

때, 즉원의중심 (0, 0)과직선 x+y-6=0사이의거리가원

의반지름의길이와같을때이므로

='k, ='k, k=18

따라서m=18

그러므로 M-m=72-18=54

답⃞ ⑤

6'2

|-6|"1√¤ +1¤

EBS 올림포스수학Ⅰ94

01출제의도 원이 직선의 아랫부분에 있기 위한 조건을 구할 수 있는지를

묻는문제이다.

⑴x¤ +y¤ -4ax=0은 (x-2a)¤ +y¤ =4a¤이므로

원의중심은 (2a, 0), 반지름의길이는 2a이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

⑵원의중심 (2a, 0)과직선 5x+12y-14=0사이의거리는

=

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

⑶원이직선 5x+12y-14=0의경계를포함한아랫부분에있

기위해서는원의중심 (2a, 0)과직선

5x+12y-14=0사이의거리 가반지름의길이

보다크거나같고원의중심(2a, 0)이부등식

5x+12y-14…0의영역안에있어야한다.

따라서 æ2a이고 10a-14…0이므로

æ2a에서 a…;1¶8;

이때, a>0이므로구하는 a의값의범위는

-(10a-14)13

|10a-14|13

|10a-14|13

|10a-14|13

|10a-14|"√5¤ √+12¤

서술형연습장본문 153̀쪽

01⑴ (2a, 0), 2a ⑵ ⑶ 0<a…;1¶8;

02⑴풀이참조 ⑵ 3p+2 ⑶ 13

03최댓값：;3!;, 최솟값：-1

04최댓값：6, 최솟값：-2'1å0

|10a-14|13

원이직선의아랫부분에있기위한 a의값의범위를구한경우

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 95

0<a…;1¶8;

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ ⑴ (2a, 0), 2a ⑵ ⑶ 0<a…;1¶8;

02출제의도 연립부등식이 나타내는 영역을 구할 수 있는지를 묻는 문제

이다.

⑴주어진연립부등식의영역은다음그림과같이원

(x-2)¤ +(y-1)¤ =4의 내부와 직선 y=-x+1의 윗부

분의공통부분이다. (단, 경계선포함)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

⑵연립부등식의영역의넓이는

2¤ p_;4#;+;2!;¥2¥2=3p+2

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

⑶연립부등식의영역에서정수 x의값은 0, 1, 2, 3, 4이다.

⁄ x=0일때

(y-1)¤ …0, yæ1이므로 y=1이다.

¤ x=1일때

(y-1)¤ …3, yæ0이므로 y=0, 1, 2이다.

‹ x=2일때

(y-1)¤ …4, yæ-1이므로 y=-1, 0, 1, 2, 3이다.

› x=3일때

(y-1)¤ …3, yæ-2이므로 y=0, 1, 2이다.

fi x=4일때

(y-1)¤ …0, yæ-3이므로 y=1이다.

⁄`~`fi에서구하는점의개수는

1+3+5+3+1=13

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

xO

y

3

1

2 4-1

|10a-14|13

답⃞ ⑴풀이참조 ⑵ 3p+2 ⑶ 13

03출제의도 연립부등식의 영역에서 최댓값과 최솟값을 구할 수 있는지를

묻는문제이다.

주어진세부등식을모두만족시키

는영역은오른쪽그림의어두운부

분과같다.(단, 경계선포함)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

=k (̀k는상수)로놓으면 y-1=k(x+1) yy`㉠

㉠은 k의값에관계없이항상점 (-1, 1)을지나고, 기울기가

k인직선이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

또한, ㉠은연립부등식을만족시키는영역위의점을지나야하므

로점 (2, 2)를지날때 k는최댓값 ;3!;을갖고, 점 (0, 0)을

지날때 k는최솟값 -1을갖는다

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 최댓값：;3!;, 최솟값：-1

04출제의도 주어진부등식의영역을구하고그영역에서일차식의최댓값

과최솟값을구할수있는지를묻는문제이다.

y-1x+1

xO

y y=x

y=x-1

2

1

21-1

-1

㉠

㉠

단계 채점기준 비율

원의중심과반지름의길이를구한경우 20 %

50 %

원의중심과직선사이의거리를구한경우 30 %

연립부등식의영역의넓이를구한경우 30 %

단계 채점기준 비율

연립부등식의 영역에서 점의 개수를 구한

경우40 %

연립부등식의영역을좌표평면위에나타낸

경우30 %

연립부등식의영역을좌표평면위에나타낸

경우30 %

단계 채점기준 비율

=k로 놓고 k가 의미하는 것을 이

해한경우

y-1x+1 30 %

k의최댓값과최솟값을구한경우 40 %

두 부등식을 모두 만족시키는

영역을 좌표평면 위에 나타내

면오른쪽그림의어두운부분

과같다.(단, 경계선포함)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

x+3y=k (̀k는상수)로놓으면

y=-;3!;x+;3K; yy`㉠

㉠은기울기가 -;3!;인직선이고이직선의 y절편이최대일때 k

는최대가되고, y절편이최소일때 k는최소가된다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

㉠을주어진영역안에서움직여보면점 (0, 2)를지날때 k는

최댓값 6을갖고원 x¤ +y¤ =4의아래쪽에서접할때 k는최솟

값을갖는다.

㉠이원에접할때, 원의중심 (0, 0)과직선 x+3y-k=0 사

이의거리가원의반지름의길이 2와같아야하므로

=2, |k|=2'1å0

이때, k가최소가되는경우는 k<0이어야하므로

k=-2'1å0

즉, k의최솟값은 -2'1å0이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 최댓값：6, 최솟값：-2'1 å0

|-k|"√1¤ +3¤

xO

y

x2+y2=4

x+y=2

-2

-2

2

2

㉠

㉠

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ96

고난도문항 본문 154̀쪽

01 3p 02 ;3*;p-2'3

03② 04 17만원

1등급

01연립방정식 ‡ 을만족시키는실수 x, y가

ax+by=2

(x-a)¤ +(y-b)¤ =1

두 부등식을 모두 만족시키는 영역을 좌표

평면위에나타낸경우30 %

단계 채점기준 비율

k의최댓값과최솟값을구한경우 50 %

x+3y=k로놓고 k의의미를이해한경우 20 %

존재하려면좌표평면에서직선 ax+by=2와원

(x-a)¤ +(y-b)¤ =1의교점이존재하면되므로점 (a, b)와

직선 ax+by-2=0 사이의거리가원의반지름의길이 1보다

작거나같아야한다. 즉,

…1

|a¤ +b¤ -2|…"√a¤ +b¤

이므로위의식의양변을제곱하면

(a¤ +b¤ -2)¤ …a¤ +b¤

(a¤ +b¤ )¤ -4(a¤ +b¤ )+4…a¤ +b¤

(a¤ +b¤ )¤ -5(a¤ +b¤ )+4…0

(a¤ +b¤ -4)(a¤ +b¤ -1)…0

따라서점 (a, b)가나타내는영역

을 좌표평면 위에 나타내면 오른쪽

그림의 어두운 부분(경계선 포함)과

같으므로점 (a, b)가나타내는영

역의넓이는

4p-p=3p

답⃞ 3p

02점 P의좌표를 (x, y)라고하면

⁄ P’A” ¤ +PB” ¤ -16…0에서 P’A” ¤ +PB” ¤…16

x¤ +(y-4)¤ +x¤ +y¤ …16

x¤ +y¤ -4y…0

x¤ +(y-2)¤ …4

¤ P’C” ¤ +PD” ¤ -16…0에서 P’C” ¤ +PD” ¤ …16

(x-2)¤ +y¤ +(x-2)¤ +(y-4)¤ …16

(x-2)¤ +y¤ -4y…0

(x-2)¤ +(y-2)¤ …4

⁄, ¤에서점 P가존재하는영역은

원 x¤ +(y-2)¤ =4의 내부(경계선 포

함)와원 (x-2)¤ +(y-2)¤ =4의내부

(경계선 포함)의 공통부분이므로 오른쪽

그림의어두운부분이다.

이때, 오른쪽그림에서두원의교점을이

은현은어두운부분의넓이를이등분하

므로구하는넓이는활꼴의넓이의 2배와같다.

한편, 활꼴의넓이는반지름의길이가 2, 중심각의크기가 120˘

인부채꼴의넓이에서두변의길이가 2이고그끼인각의크기가

xO

y

60æ

60æ

B C

DA

4

2

2

aO

b

1-1-2

-2

-1

1

2

2

|a¤ +b¤ -2|"√a¤ +b¤

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

이 연립부등식의영역을좌표평

면위에나타내면오른쪽그림의

어두운부분과같다.

(단, 경계선포함)

4x+3y=k (̀̀만 원)로 놓으면,

위연립부등식의영역에서이직

선이점(2, 3)을지날때 k는최댓값을갖는다.

따라서제품 A를 2개, 제품 B를 3개생산할때, 하루이익이

최대이고하루최대이익은17만원이다.

답⃞ 17만원

xO

y

4

4

6

8

{2, 3}

3x+2y=12

x+2y=8

4x+3y=k

정답과풀이 97

120˘인삼각형의넓이를뺀것과같으므로

p_2¤ _ -;2!;_2_2_ =;3$;p-'3

따라서점 P가존재하는영역의넓이는

2¥{;3$;p-'3}=;3*;p-2'3

답⃞ ;3*;p-2'3

03연립부등식‡

의 영역을 좌표평면 위에 나

타내면오른쪽그림의어두운

부분이다. (단, 경계선포함)

æ≠{x-≠;2!;}2 ≠+(≠y≠+1)¤ =k

(k는 상수)로 놓으면 {x-;2!;} 2+(y+1)¤ =k¤ 이므로 k는

중심이 {;2!;, -1}인원의반지름의길이이다.

따라서 k의최솟값 m은중심이 {;2!;, -1}이고반지름의길이가

k인원이직선 x+y+2=0과접할때이므로점과직선사이의

거리에서

m= =

또, k의최댓값 M은점 (0, 4)를지날때이므로점 {;2!;, -1}

과점 (0, 4)사이의거리를구하면

M=æ≠{≠-;2!; ≠}2 ≠+(4≠+1)¤ =

따라서 M¤ +m¤ ={ }2+{ }2=

답⃞②

04하루에제품 A를 x개, 제품 B를 y개생산한다고하면얻을수

있는이익은 (4x+3y)만원이고, 조립공정은 (3x+2y)시간,

도색공정은 (x+2y)시간이걸린다.

이때, 하루에일할수있는시간은조립공정은 12시간, 도색공

정은 8시간이므로 x, y는다음조건을만족시켜야한다.

xæ0, yæ0, 3x+2y…12, x+2y…8

2118

3'24

'∂10å12

'∂10å12

3'24

|;2!;-1+2|

'2

xO

y

x+y-2=0

x+y+2=0

-2

-4

4

2

-2-4

42

, -1{ }2-1|x|+|y|…4

|x+y|æ2

'32

120˘360˘

수능유형맛보기 본문 155̀쪽

01② 02③ 03② 04 12

01f(x, y)=x+ay+2b로놓으면직선 x+ay+2b=0이두점

A(1, -1), B(1, 2)를이은선분 AB와만나려면

f(1, -1)¥f(1, 2)…0

이어야한다.

따라서

(1-a+2b)(1+2a+2b)…0

이므로 이 부등식을 만족시키

는점 (a, b)가나타내는영

역을좌표평면위에나타내면

오른쪽그림의어두운부분과

같다. (단, 경계선포함)

a¤ +b¤ =k (̀k>0)로 놓으면

k는중심이원점인원의반지름의길이의제곱이므로 k는원

a¤ +b¤ =k와직선 2a+2b+1=0이접할때최소가된다.

이때, 점 (0, 0)과직선 2a+2b+1=0 사이의거리가반지름

의길이 'k와같으므로

'k= =

k=;8!;

따라서 a¤ +b¤ `의최솟값은 ;8!;이다.

답⃞ ②

12'2

|1|"√2¤ +2¤

aO

b

1+2a+2b=0

a2+b2=k 1-a+2b=0

1

2--1

2--1

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ98

02세점 A(-3, 2), B(1, -4),

C(3, 4)를 꼭짓점으로 하는 삼각형

ABC의 내부는 오른쪽 그림의 어두운

부분과같다. (단, 경계선제외)

두점 A, B를지나는직선의방정식은

y=-;2#;x-;2%; yy`㉠

두점 B, C를지나는직선의방정식은

y=4x-8 yy`㉡

두점 A, C를지나는직선의방정식은

y=;3!;x+3 yy`㉢

따라서삼각형 ABC의내부는직선㉠의윗부분, 직선㉡의윗부

분, 직선㉢의아랫부분의공통부분(경계선제외)이므로이것을연

립부등식으로나타내면

삼각형ABC의내부에점 (a, a)가존재하려면세부등식

a>-;2#;a-;2%;, a>4a-8, a<;3!;a+3

을모두만족해야하므로

-1<a<;3*;

따라서정수 a의최댓값은 2이다.

답⃞ ③

03(x-1)(x-2)=m(x-a¤ -b¤ )을 x에대하여정리하면

x¤ -(m+3)x+m(a¤ +b¤ )+2=0

이이차방정식의판별식을 D라고하면

D=(m+3)¤ -4{m(a¤ +b¤ )+2}æ0

이식을 m에대하여정리하면

m¤ -2{2(a¤ +b¤ )-3}m+1æ0

이식이임의의실수 m에대하여항상성립해야하므로이차방

정식 m¤ -2{2(a¤ +b¤ )-3}m+1=0의 판별식을 D'이라고

하면

={2(a¤ +b¤ )-3}¤ -1…0

4(a¤ +b¤ )¤ -12(a¤ +b¤ )+8…0

D'4

y>-;2#;x-;2%;

y>4x-8

y<;3!;x+3

({9

xO

y

B

C

A

-3

-4

4

31

2

(a¤ +b¤ )¤ -3(a¤ +b¤ )+2…0

(a¤ +b¤ -1)(a¤ +b¤ -2)…0

즉, 1…a¤ +b¤ …2이므로점 (a, b)가나타내는영역의넓이는

원 a¤ +b¤ =1의외부와원 a¤ +b¤ =2의내부의공통부분의넓

이이다.(단, 경계선포함)

따라서구하는넓이는p('2 )¤ -p¥1¤ =p

답⃞②

04P를 x g, Q를 y g구입한다고하면

xæ0, yæ0 yy`㉠

A성분은 (2x+y)mg, B성분은 (x+3y)mg이므로

2x+yæ10 yy`㉡

x+3yæ15 yy`㉢

이때, 가격은 2000x+3000y(원)이므로 ㉠, ㉡, ㉢의 공통부분

안에서 2000x+3000y를최소로하는 x, y의값을구하면된다.

2000x+3000y=k (̀k는 상수)로

놓으면 y=-;3@;x+ 이므로

오른쪽그림과같이이직선이점

(3, 4)를지날때 k는최소가된다.

따라서 P는 3 g, Q는 4 g을구

입할때가격은최소가되므로

a=3, b=4이고 ab=12이다.

답⃞ 12

k3000

xO

y

{3, 4}

3

4

-y=-

2x+y=10

x+3y=15

32-x+3000k

대단원종합문제

01 ④ 02 ② 03 ③ 04 ① 05 ④06 ⑤ 07 ② 08 ③ 09 ①

10 11 ① 12 ④ 13 ③ 14 ④

15 ⑤ 16 :¡4∞: 17 ② 18 ② 19 2"5

20 ① 21 :™3º: 22 8 23 2배

3'22

본문 156̀~1̀59̀쪽

01선분 AB를 2 : 3으로내분하는점P의좌표는

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 99

P{ , }

즉, P(4, -2)

선분 AB를 2 : 3으로외분하는점Q의좌표는

Q{ , }

즉, Q(16, -14)

따라서선분 PQ의중점의좌표는

{ , }

즉, (10, -8)

답⃞④

02세점 A(0, 1), B(3, 4), C(k, 2)가한직선위에있으면직

선 AB의기울기와직선 AC의기울기가같다.

따라서 = 이므로 k=1

답⃞②

032x+4y-3=0, 즉

y=-;2!;x+;4#;에서기울기가-;2!;

이므로 점 (2, 1)을 지나고 기울

기가 -;2!;인직선의방정식은

y-1=-;2!;(x-2), 즉 y=-;2!;x+2

이직선의 x절편은 4, y절편은 2이므로이직선과 x축, y축으

로둘러싸인삼각형의넓이 S는

S=;2!;_4_2=4

답⃞③

04=m에서 1-m=m¤ +2m, m¤ +3m-1=0

m+0이므로양변을 m으로나누어정리하면

m- =-31m

1-mm+2

xO

y

2

2

1

4

{2, 1}

2-1k-0

4-13-0

-2-142

4+162

2_1-3_(-4)2-3

2_1-3_62-3

2_1+3_(-4)2+3

2_1+3_62+3 따라서 m‹ - ={m- }3+3{m- }=-36

답⃞①

05점 (a, b)를 x축의방향으로 3만큼, y축의방향으로 -2만큼

평행이동한점의좌표는 (a+3, b-2)이므로

a+3=5, b-2=-3

따라서 a=2, b=-1이므로

a+b=1

답⃞④

06원 (x-3)¤ +(y-1)¤ =9의중심 (3, 1)을 x축의방향으로

a만큼, y축의방향으로 b만큼평행이동한점이점 (2, 4)이

므로

3+a=2, 1+b=4

따라서 a=-1, b=3이므로 b-a=4

답⃞⑤

07직선 x+ay+3=0, 즉 y=-;a!;x-;a#;과 직선 y=-x-1

이서로수직이므로

-;a!;_(-1)=-1, a=-1

또, 두직선 y=-;a!;x-;a#;, y=-(b-3)x+2는서로평행

하므로

-;a!;=-(b-3), b=2

따라서평행한두직선 x-y+3=0, -x+y-2=0 사이의

거리는직선 x-y+3=0위의점(0, 3)과직선 -x+y-2=0

사이의거리 d와같으므로

d= = =

답⃞②

08두점 A(2, 4), B(-2, 8)을지나는직선의기울기는

'22

1'2

|0+3-2|

øπ(π-1)π¤ +1¤

1m

1m

1m‹

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ100

=-1

이므로직선 AB에수직인직선의기울기는 1이다.

또, 선분 AB를 3 : 1로내분하는점 P의좌표를 (x, y)라고

하면

x= =-1, y= =7

즉, P(-1, 7)

따라서기울기가 1이고점 P(-1, 7)을지나는직선의방정식은

y-7=x+1, 즉 y=x+8

그러므로주어진보기중직선 y=x+8위의점은③이다.

답⃞③

09직선 kx+y-2k+3=0을직선 y=x에대하여대칭이동하면

ky+x-2k+3=0 yy㉠

이식을 k에대하여정리하면

k(y-2)+(x+3)=0

이식이 k의값에관계없이성립하려면

y-2=0, x+3=0, 즉 x=-3, y=2

따라서직선㉠은 실수 k의값에관계없이항상점 P(-3, 2)

를지난다.

이때, 점 P(-3, 2)와직선 4x+3y+1=0사이의거리는

=;5%;=1

답⃞①

10원점과직선(a+1)x+(a-1)y-3=0사이의거리 f(a)는

f(a)=

f(a)=

f(a)=

이때, "√2a¤ +2가최소일때 f(a)가최대가되므로 a=0일때

f(a)는최댓값 를갖는다.

답⃞3'22

3'22

3"√2a¤ +2

3"√a¤ +√2a√+1√+a√¤ -2√a+1

|-3|

øπ(a+π1)¤ π+( πa-1)¤

|-12+6+1|"√4¤ +3¤

3_8+1_43+1

3_(-2)+1_23+1

8-4-2-2 11

점 (0, -4)를지나고기울기가 m인직선의방정식은

y=mx-4, 즉 mx-y-4=0

이직선이원 x¤ +y¤ =4에접하려면원의중심 (0, 0)과직선

mx-y-4=0사이의거리가반지름의길이와같으면되므로

=2, 4=2"√m¤ +1, 2="√m¤ +1

양변을제곱하면 4=m¤ +1, m¤ =3

따라서 m=—'3이므로

m¡¤ +m™¤ =("3 )¤ +(-'3 )¤ =6

답⃞①

[다른풀이]

원 x¤ +y¤ =4에접하고기울기가 m인접선의방정식은

y=mx—2"√1+m¤

이직선의 y절편이 -4이므로

-2"√1+m¤ =-4

양변을제곱하여정리하면 m¤ =3

따라서 m=—"3이므로

m¡¤ +m™¤ =("3 )¤ +(-'3 )¤ =6

12직선 y=ax+b를 x축의방향으로 2만큼, y축의방향으로 -1

만큼평행이동하면 y+1=a(x-2)+b

즉, y=ax-2a+b-1

이직선이직선 y=-2x+1과 y축위에서수직으로만나므로

이직선의기울기는 ;2!;, y절편은 1이다.

즉, a=;2!;, -2a+b-1=1이므로 a=;2!;, b=3

따라서 a+b=;2&;

답⃞④

13원 O : x¤ +y¤ +4y-16=0 yy`㉠

을직선 y=x에대하여대칭이동한원 O'의방정식은

y¤ +x¤ +4x-16=0 yy`㉡

㉠, ㉡을연립하여풀면 y=x yy`㉢

㉢을㉡에대입하면

|-4|"√m¤ +1

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 101

x¤ +x¤ +4x-16=0, x¤ +2x-8=0

x=-4또는x=2

따라서두원 O, O'의두교점의좌표는 (2, 2), (-4, -4)

이므로구하는두교점사이의거리는

øπ(2+π4)¤ π+(π2+4)¤ =6'2

답⃞③

14a, b는 0이아닌실수이므로

'a'b=-'a åb에서 a<0, b<0

a¤ +2a-(b+3)i=15+4i이므로복소수가서로같을조건에서

a¤ +2a=15, -(b+3)=4

a¤ +2a-15=0에서 (a+5)(a-3)=0

이때, a<0이므로 a=-5

-(b+3)=4에서 b=-7

따라서 a=-5, b=-7이므로 ab=35

답⃞④

15조건(가)로부터 a<0, b<0

조건(나)로부터 b<0, c>0

따라서포물선 y=ax¤ +bx+c는위로볼록한모양이고, 대칭축

x=-;2ıa;<0

y절편 c>0이므로이차함수 y=ax¤ +bx+c의그래프가될수

있는것은④, ⑤이다.

(ax-y+c)(ax¤ +bx-y+c)æ0에 x=0, y=0을 대입하

면 c¤ >0이므로점 (0, 0)이색칠한부분에속한다.

따라서주어진부등식의영역은⑤이다.

답⃞⑤

16연립부등식 ‡ 의 영역을

좌표평면 위에 나타내면 오른쪽

그림의어두운부분과같다.

(단, 경계선포함)

x+y=k(̀k는상수)로놓으면

xO

y

y=x2-1

1-1

2

1

3

y=x+1k

k

㉠

㉠

yæx¤ -1

y…x+1

y=-x+k yy`㉠`

직선㉠이점 (2, 3)을지날때, k의값이최대이므로

3=-2+k, k=5, 즉M=5

또, 직선㉠이포물선 y=x¤ -1과접할때 k의값이최소이므로

이차방정식 -x+k=x¤ -1, 즉 x¤ +x-k-1=0의 판별식

을 D라고하면 D=0이어야한다.

즉, D=1¤ -4(-k-1)=0에서 k=-;4%;

따라서 m=-;4%;

그러므로 M+m=5+{-;4%;}=:¡4∞:

답⃞ :¡4∞:

17오른쪽그림과같이점 D에서 y축

에 내린 수선의 발을 F라고 하면

삼각형 CDB와 삼각형 CFD의

넓이가같으므로사다리꼴OADC

의넓이와두삼각형 CDB, AED의넓이의합이같으려면직사

각형 OADF와삼각형 AED의넓이가같으면된다.

직사각형OADF와삼각형 AED의넓이가같으려면높이인선

분AD가공통이므로밑변인선분 OA와선분 AE가

OA” : AE”=1 : 2를만족시키면된다.

E(x, 0)이라고하면

4 : (x-4)=1 : 2, x-4=8, x=12

즉, E(12, 0)이다.

직선 CD는두점 C(0, 4), E(12, 0)을지나므로

;1”2;+;4};=1

따라서 a=;1¡2;, b=;4!;이므로

ab=;1¡2;_;4!;=;4¡8;

답⃞②

18부등식 (x-2)¤ +(y-2)¤ …8의영역은중심이 (2, 2)이고

반지름의 길이가 2'2인 원의 내부(경계선 포함)이고, 부등식

x¤ +y¤ …a¤의영역은중심이 (0, 0)이고반지름의길이가 a인

원의내부(경계선포함)이다.

xO

y

4

4

EA

DBC

F

정답과풀이

EBS 올림포스수학Ⅰ102

이때, 부등식

(x-2)¤ +(y-2)¤ …8의

영역이 부등식 x¤ +y¤ …a¤

의 영역에 포함되기 위해서

는오른쪽그림과같이큰원

의반지름의길이 a가

2'2+2'2=4'2보다 크거

나같아야하므로구하는양수 a의최솟값은 4'2이다.

답⃞②

19øπ(x-π2)¤π +y¤ =øπ(x-π2)¤ π+(y π-0)¤이므로 øπ(x-π2)¤π +y¤은

점 (x, y)와점(2, 0)사이의거리이다.

또, øπx¤ +π(y π-4)¤ =øπ(x-π0)¤ π+(yπ-4)¤이므로

øπx¤ +π(yπ-4)¤은점(x, y)와점(0, 4)사이의거리이다.

A(x, y), B(2, 0), C(0, 4)라

고하면오른쪽그림에서

AB”+AC”æBC”

(단, 등호는점 A가선분BC위에

있을때성립한다.)

따라서구하는최솟값은

BC”="√(-2√)¤√ +4¤ =2'5

답⃞ 2'5

20부등식 x¤ +y¤ …1의영역은중심이원점이고반지름의길이가 1

인원의내부이다.

또, |x+y|…1에서

-1…x+y…1

즉, -x-1…y…-x+1

따라서두부등식 x¤ +y¤ …1, |x+y|…1을모두만족시키는

영역은다음그림의어두운부분과같다. (단, 경계선포함)

이때, 어두운부분의넓이는

xO

y

1

1

-1

-1

y=-x+1

y=-x-1

xO

y

A{x, y}

B{2, 0}

C{0, 4}

xO

y{x-2}2+{y-2}2=8

-a

-a

a

a

x2+y2=a2

22

222

2

(어두운부분의넓이)=(사분원 2개의넓이)+(삼각형 2개의넓이)

(어두운부분의넓이)=2¥;4!;p+2¥;2!;¥1¥1

(어두운부분의넓이)= +1

답⃞①

21주어진세부등식을모두

만족시키는 영역을 좌표

평면위에나타내면오른

쪽그림의어두운부분과

같다. (단, 경계선포함)

2x+3y=k (̀k는상수)

로놓으면

y=-;3@;x+;3K; yy㉠

㉠을주어진영역에서움직여보면원점을지날때 k는최솟값 0

을갖고, 두직선 y=x, y=-;2!;x+2의교점 {;3$;, ;3$;}를지

날때 k는최댓값 :™3º:을갖는다.

따라서 2x+3y의최댓값은 :™3º:이다.

답⃞ :™3º:

22두직선 x+ay-5=0, 2x-y-2=0이서로수직이므로

-;a!;_2=-1에서 a=2

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

점 (0, k)에서두직선x+2y-5=0, 2x-y-2=0까지의거

리가서로같으므로

=

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

|2k-5|=|-k-2|

2k-5=—(-k-2)

2k-5=-k-2일때, 3k=3, k=1

2k-5=k+2일때, k=7

|0-k-2|

øπ2¤ +π(-1)¤

|0+2k-5|

øπ1¤ +2¤

xO

y

4

2

y=x

y=- x+22-1

y= x2-3

, { }3-4

3-4

㉠

㉠

p2

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m

정답과풀이 103

따라서구하는모든실수 k의값의합은

1+7=8

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 8

23하루동안생산할수있는두

제품 A, B의개수를각각

x, y라고하면

xæ0, yæ0,

24x+48y…1200에서

x+2y…50,

32x+24y…800에서

4x+3y…100

위의네부등식을모두만족시키는영역을좌표평면위에나타내

면위의그림의어두운부분과같다. (단, 경계선포함)

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

이때, 하루에얻을수있는총이익은 (3x+4y)만원이므로

3x+4y=k (̀만원)로놓으면

y=-;4#;x+;4K; yy`㉠

직선㉠을주어진영역안에서움직여보면두직선

x+2y=50, 4x+3y=100의교점 (10, 20)을지날때 k의

값이최대이다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

따라서최대의이익을얻으려면제품 B는제품 A의 2배를만들

어야한다.

yyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyyy`

답⃞ 2배

xO

y

4x+3y=100

x+2y=50

y=- x+-43

-4k

-3100

25

25

50

{10, 20}

a의값을구한경우

점 (0, k)에서두직선까지의거리가서로같음을식으로나타낸경우

모든실수 k의값의합을구한경우

30 %

30 %

40 %

단계 채점기준 비율

연립부등식을세우고그것을만족시키는영

역을좌표평면위에나타낸경우40 %

단계 채점기준 비율

3x+4y=k로놓고 k가최대인경우를구한경우

40 %

최대의 이익을 얻을 때 제품 B의 개수와

제품 A의개수사이의관계를구한경우20 %

m moe

E d u c a t i o n a l B r o a d c a s t i n g S y s t e m