Probabilidades 2014 - GABARITO
1. Dados os algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7, construmos todos os nmeros que podem ser representados
usando dois deles (sem repetir). Escolhendo ao acaso (aleatoriamente) um dos nmeros formados, qual a probabilidade de o nmero sorteado ser:
a) Par? b) Mltiplo de 5?
Soluo. O espao amostral o total de nmeros formados com dois algarismos: 7 x 6 = 42. Calculando as probabilidades pedidas, temos:
a) A unidade simples pode ser ocupada por 2, 4 ou 6. Logo h (6.3) = 18 pares possveis. Temos:
7
3
42
18)par(P .
b) A unidade simples dever ser ocupada pelo algarismo 5. H (6.1) mltiplos de 5. Temos:
7
1
42
6MP 5 .
2. Um baralho tem 12 cartas, das quais 4 so ases. Retiramse 3 cartas ao acaso. Qual a probabilidade de haver pelo menos um s entre as cartas retiradas?
Soluo 1. Se h 4 ases, ento 8 cartas no so ases. Utilizando a anlise combinatria, temos:
55
41
55
1455
55
141snenhumP1summenospeloP
55
14
10.11.2
1.7.8
!9.10.11.12
!9!.3.
!5!.3
!5.6.7.8
!9!.3
!12!5!.3
!8
C
CsnenhumP
3
12
3
8
.
Soluo 2.
55
41
55
1455
55
141snenhumP1summenospeloP
55
14
5
1.
11
7.2
10
1.
11
7.4
10
1.
11
7.
2
8
10
6.
11
7.
12
8snenhumP
.
3. Lanando dois dados honestos simultaneamente, qual a probabilidade de obtermos 1 no primeiro dado e 5 no segundo dado?
Soluo. Os eventos so independentes: 36
1
6
1.
6
1)2F(P).1F(P5F1FP .
4. Jogase um dado honesto. O nmero que ocorreu (isto , da face voltada para cima) o coeficiente b da equao x
2 + bx + 1 = 0. Determine:
a) a probabilidade de essa equao ter razes reais;
Soluo. Para que a equao tenha razes reais, o discriminante deve ser no negativo ( 0).
}6,5,4,3,2{4bE}6,5,4,3,2,1{b
04b
0
4b)1).(1.(4b 2222
.
H 5 valores possveis para b. Logo, 6
5realraizP .
b) a probabilidade de essa equao ter razes reais, sabendose que ocorreu um nmero mpar.
Soluo. Dos possveis valores de b, h dois mpares: {3, 5}.
Temos:
3
2
3
6.
6
2
63
62
)mparface(P
mparfacerealraizPmparb/realraizP
.
5. Lanamos um dado. Qual a probabilidade de se tirar o 3 ou o 5?
Soluo. Os eventos so independentes: 3
1
6
2
6
1
6
1)5F(P)3F(P5F3FP .
6. Os bilhetes de uma rifa so numerados de 1 a 100. Qual a probabilidade de o bilhete sorteado ser maior que 40 ou nmero par?
Soluo. O total de nmeros maiores que 40 e menores que 100 : 100 41 + 1 = 60.
O total de pares de 1 a 100 : [(100 2) 2] + 1 = [98 2] + 1 = 49 + 1 = 50.
O total de pares maiores que 40 : [(100 42) 2] + 1 = [58 2] + 1 = 29 + 1 = 30. (Interseo).
O espao amostral possui 100 elementos.
Temos: %80100
80
100
30
100
50
100
60Par40P)Par(P)40(PPar40P .
7. Num nico lance de um par de dados honestos, qual a probabilidade de sarem as somas mltiplo de 4 ou primo?
Soluo. O espao amostral possui 6 x 6 = 36 resultados possveis.
Os resultados de soma mltiplo de 4 so: {(1,3); (3,1); (2,2); (2,6); (6,2); (3,5); (5,3); (4,4); (6,6)}.
Os resultados de soma primo so: {(1,1); (1,2); (2,1); (1,4); (4,1); (2,3); (3,2); (1,6); (6,1); (2,5); (5,2); (3,4); (4,3); (5,6); (6,5)}.
No h intersees. Logo, 3
2
36
24
36
15
36
9imoPrSomaMsomaP 4 .
8. Ao lanar um dado muitas vezes, uma pessoa percebeu que a face 6 saa com o dobro de frequncia da face 1, e que as outras faces saam com a frequncia esperada em um dado no viciado. Qual a frequncia da face 1?
Soluo. Considere a frequncia da face 1 como x e a da face 6 como 2x. As faces restantes possuem a frequncia esperada de 1/6. Como a soma das frequncias deve ser 1. Temos:
)1face(F9
1
18
2x
6
2x3
6
41x31
6
1
6
1
6
1
6
1x2x .
9. De dois baralhos de 52 cartas retiramse, simultaneamente, uma carta do primeiro baralho e uma carta do segundo. Qual a probabilidade da carta do primeiro baralho ser um rei e a do segundo ser o 5 de paus?
Soluo. As retiradas so independentes. H quatro reis e um nico 5 de paus em cada baralho.
Temos: 676
1
52
1.
13
1
52
1.
52
4)paus5(P).rei(Ppaus5reiP .
10. Uma urna A contm: 3 bolas brancas, 4 bolas pretas, 2 verdes; uma urna B contm: 5 bolas brancas, 2 pretas, 1 verde; uma urna C contm: 2 bolas brancas, 3 pretas, 4 verdes. Uma bola retirada de cada urna. Qual a probabilidade das trs bolas retiradas da primeira, segunda e terceira urnas serem, respectivamente, branca, preta e verde?
Soluo. Os eventos so independentes: 27
1
9
1.
3
1
9
4.
8
2.
9
3)V(P).P(P).B(PVPBP 321321 .
11. De um baralho de 52 cartas retiramse, ao acaso, duas cartas sem reposio. Qual a probabilidade da carta da primeira carta ser o s de paus e a segunda ser o rei de paus?
Soluo. H somente um s e um rei do naipe paus. Com retiradas sucessivas do mesmo baralho,
temos: 2652
1
51
1.
52
1)i(ReP).s(PiResP pauspauspauspaus .
12. Numa pequena cidade, realizouse uma pesquisa com certo nmero de indivduos do sexo masculino, na qual procurouse obter uma correlao entre a estatura de pais e filhos. Classificaramse as estaturas em 3 grupos: alta (A), mdia (M) e baixa (B). Os dados obtidos na pesquisa foram sintetizados, em termos de probabilidades, na matriz mostrada. O elemento da primeira linha e segunda coluna da matriz, que 1/4, significa que a probabilidade de um filho de pai alto ter estatura mdia 1/4. Os demais elementos interpretam-se similarmente. Admitindo-se que essas probabilidades continuem vlidas por algumas geraes, qual probabilidade de um neto de um homem com estatura mdia ter estatura alta? Soluo. Esse evento representa o produto da 2 linha da matriz (Pai x Filho) com a 1 coluna da matriz (Filho x Neto) ou pode ser visualizado na rvore das probabilidades. Para que esse evento ocorra, as condies devem ser:
32
13
64
26
32
1
64
9
64
15NFPNFPNFP
8
1.
4
1
8
3.
8
3
8
5.
8
3NFPNFPNFP
ABAMAA
ABAMAA
.
13. Lanando-se uma moeda 6 vezes, qual a probabilidade de ocorrer 4 vezes cara?
Soluo. O evento pedido o conjunto {CCCCKK} qualquer ordem. Utilizando a probabilidade
binomial, temos: 64
15
64
1.5.3
64
1.
!2!4
!4.5.6
2
1.
2
1.
!2!4
!6K2C4P
24
.
14. Lanando-se um dado 5 vezes, qual a probabilidade de ocorrer o nmero 6 no mnimo 3 vezes?
Soluo. Considerando que a probabilidade de ocorrer o nmero 6 1/6 (Sucesso) e de no ocorrer
(Fracasso, no importa qual o nmero) 5/6, temos trs casos:
i) O n 6 trs vezes (SSSFF): 7776
250
6
5.
216
10
6
5.
6
1.
!2!3
!3.4.5
6
5.
6
1.
!2!3
!56trsP
22323
.
ii) O n 6 quatro vezes (SSSSF): 7776
25
6
5.
1296
5
6
5.
6
1.
!1!4
!4.5
6
5.
6
1.
!1!4
!56quatroP
11414
.
iii) O n 6 cinco vezes (SSSSS): 7776
1
6
5.
6
1.
!0!5
!56cincoP
05
.
Logo, 648
23
7776
276
7776
1
7776
25
7776
2506trsmnimoP .
15. Uma prova consta de 10 questes com 4 alternativas cada, uma s correta. Um estudante chuta os 10 testes. Qual a probabilidade dele acertar no mnimo 7 perguntas?
Soluo. Considerando que a probabilidade de ocorrer o acerto 1/4 (Sucesso) e de no ocorrer
(Fracasso) 3/4, temos quatro casos:
i) Acerta 7: (SSSSSSSFFF):
1048576
27.120
4
3.
4
1.
!3!7
!10C7P
37
.
ii) Acerta 8: (SSSSSSSSFF):
1048576
9.45
4
3.
4
1.
!2!8
!10C8P
28
.
iii) Acerta 9: (SSSSSSSSSF):
1048576
3.10
4
3.
4
1.
!1!9
!10C9P
19
.
iv) Acerta 10: (SSSSSSSSSS):
1048576
1.1
4
3.
4
1.
!0!10
!10C10P
010
.
Logo, 262144
919
4
4
1048576
3676
1048576
3676
1048576
1304053240.acertos7mnimoP
.
Probabilidades 2013 - GABARITO
1) Numa urna existem bolas de plstico, todas de mesmo tamanho e peso, numeradas de 2 a 21 sem repetio. A probabilidade de se sortear um nmero primo ao pegarmos uma nica bola, aleatoriamente, de:
a) 45% b) 40% c) 35% d) 30% e) 25%
Soluo. H um total de (21 2 + 1) = 20 bolas. Este o espao amostral. Dentre esses nmeros, so
primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19. Logo a probabilidade pedida : %4020
8)primo(P .
2) Dois dados no viciados so lanados. A probabilidade de obter-se soma maior ou igual a 5 :
a) 5/6 b) 13/18 c) 2/3 d) 5/12 e) 1/2
Soluo. O espao amostral do lanamento de dois dados = {(1,1);(1,2); ...; (6,6)} totalizando (6 x 6) = 36 elementos. Os pares com soma menores que 5 so: (1,1); (1,2); (2,1); (2,2); (3,1) e (3,1). Logo
h 36 6 = 30 casos com soma maior ou igual a 5. Temos: 6
5
36
30)5S(P .
OBS. Repare que esse o evento {ser maior ou igual a 5} complementar do evento {ser menor que
5}. A contagem inicial mais rpida e aplica-se: 6
5
36
61)5S(P1)5S(P .
3) Uma urna contm 20 boas numeradas de 1 a 20. Seja o experimento: retirada de uma bola. Considere os eventos: A = {a bola retirada ser mltiplo de 2} ; B= { a bola retirada ser mltiplo de 5}. Ento a probabilidade de se ocorrer o evento A ou B :
a) 13/20 b) 4/5 c) 7/10 d) 3/5 e) 11/20
Soluo. O espao amostral possui 20 elementos. De acordo com o enunciado temos:
5
3
20
12
20
2
20
4
20
10)BA(P
2110
1020MnMMn)BA(n
415
520Mn)B(n
1012
220Mn)A(n
1052
5
2
.
4) A probabilidade de voc ganhar uma bicicleta numa rifa de 100 nmeros na qual voc comprou quatro nmeros :
a) 2/5 b) 1/10 c) 1/25 d) 1/30 e) 1/50
Soluo. Para ganhar basta que 1 dos 4 nmeros seja sorteado: 25
1
100
4)ganhar(P .
5) Em uma pesquisa realizada em uma faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos. 120 responderam sim a ambas; 300 responderam sim primeira; 250 responderam sim segunda e 200 responderam no a ambas. Se um aluno for escolhido ao acaso, qual a probabilidade de ele ter respondido no primeira pergunta?
a) 1/7 b) 1/2 c) 3/8 d) 11/21 e) 4/25
Soluo. A parte pintada no diagrama indica que 330 responderam no
primeira pergunta, pois a soma do nmero de alunos que respondeu sim
somente 2 e o nmero de alunos que respondeu no a ambas (logo, no
1). Responderam pesquisa 630 alunos: 21
11
630
3301NP1SP .
6) Em uma bandeja h 10 pastis dos quais 3 so de carne, 3 de queijo e 4 de camaro. Se Fabiana retirar, aleatoriamente e sem reposio, dois pastis desta bandeja, a probabilidade de os dois pastis serem de camaro :
a) 3/25 b) 4/25 c) 2/15 d) 2/5 e) 4/5
Soluo 1. Retirando sucessivamente cada um dos pastis de um total de 10 pastis, temos:
15
2
3
1.
5
2
9
3.
10
4camaroCamaroP .
Soluo 2. Retirando 2 pastis dentre 10 pastis, h 45)9).(5(!8!2
!8.9.10
!8!2
!10C210 modos.
Retirando 2 pastis de camaro dentre 4 pastis de camaro, h 64
!2.3.4
!2!2
!4C24 modos.
Logo, 15
2
45
6camaroCamaroP .
7) Um soldado tenta desativar um certo artefato explosivo que possui 5 fios expostos. Para desativ-lo, o soldado precisa cortar 2 fios especficos, um de cada vez, em uma determinada ordem. Se cortar o fio errado ou na ordem errada, o artefato explodir. Se o soldado escolher aleatoriamente 2 fios para cortar, numa determinada ordem, a probabilidade do artefato no explodir ao cort-los igual a :
a) 2/25 b) 1/20 c) 2/5 d) 1/10 e) 9/20
Soluo 1. Nomeando os fios como f1, f2, f3, f4 e f5 e considerando que para que no haja exploso
os fios cortados devem ser f1 e f2 nesta ordem, temos que o soldado precisa escolher essa como
nica opo. Logo 20
1
4
1.
5
1lodirexpP .
Soluo 2. H 5! = 120 formas de os fios serem ordenados para comear o corte. Em algumas
dessas ordenaes temos [f1f2]_ _ _ (f1f2 fixos e permutando os trs restantes) que evitam a
exploso. Um total de 3! = 6. Logo, 20
1
120
6lodirexpP .
8) Um lote com 20 peas contm 2 defeituosas. Sorteando-se 3 peas deste lote, sem reposio, a probabilidade de que todas sejam no defeituosas :
a) 68/95 b) 70/95 c) 72/95 d) 74/95 e) 76/95
Soluo 1. H 18 peas perfeitas e 2 defeituosas: 95
68
1
4.
19
17.
5
1
18
16.
19
17.
20
18perfeitas3P .
Soluo 2.
95
68
)3).(19).(20(
)3).(16).(17(perfeitas3P
)30).(16).(17(!15!3
!15.16.17.18
!15!3
!18Cperfeitas3n
)3).(19).(20(!17!3
!17.18.19.20
!17!3
!20C)(n
3
18
3
20
.
9) Em certo ano de faculdade, 25% dos alunos so reprovados em matemtica, 15% so reprovados em economia e 10% so reprovadas em ambas. Um estudante selecionado ao acaso nessa faculdade. A probabilidade de que ele no seja reprovado em economia, sabendo que ele foi reprovado em matemtica, :
a) 0,1 b) 0,15 c) 0,25 d) 0,5 e) 0,6
Soluo. Repare pelo diagrama que o espao amostral foi reduzido para 25% (j reprovado em
Matemtica). Desses h 15% que s esto reprovados em Matemtica. Logo, no esto reprovados
em Economia.
Temos: 6,0%25
%15pMatRe/pEcoReP .
10) Uma urna contm 5 bolas vermelhas e 4 pretas. Dela so retiradas 2 bolas, uma aps a outra, sem reposio. Se a primeira bola retirada de cor preta, qual a probabilidade de a segunda bola ser vermelha?
a) 4/9 b) 5/3 c) 4/5 d) 5/8 e) 1/2
Soluo. Se a primeira bola for da cor preta, ento sobraram 8 bolas na urna, sendo ainda 5
vermelhas. Logo, 8
5vermelhaP .
11) Uma turma tem 25 alunos dos quais 40% so mulheres. Escolhendo-se ao acaso, um dentre todos os grupos de 2 alunos que se pode formar com os alunos dessa turma, a probabilidade de que seja composto por uma menina e um menino :
a) 1/6 b) 1/5 c) 1/4 d) 1/3 e) 1/2
Soluo 1. O nmero de mulheres (0,4 x 25) = 10 e o de homens, (25 10) =15. Temos:
Escolhendo cada aluno para dupla: 2
1
4
1.2
24
15.
25
10
24
10.
25
15MHPHMPM1He1P
.
Soluo 2.
2
1
300
150M1H1P
150)10).(15(C.CM1H1n
300)12).(25(!23!2
!23.24.25
!23!2
!25C)(n
1
10
1
15
2
25
.
12) O grupo de pretendentes aos cargos de presidente e vice-presidente de um clube constitudo por 6 advogados e 2 engenheiros, todos eles com chances iguais de serem escolhidos para uma dessas funes. Nessas condies, a probabilidade de que certo eleitor escolher um advogado para presidente e um engenheiro para vice-presidente :
a) 1/8 b) 2/9 c) 3/14 d) 5/16 e) 6/16
Soluo. Como os cargos esto definidos e no ser considerada a possibilidade de um advogado ser vice-presidente, nem um engenheiro ser presidente.
Temos: 14
3
56
12
7
2.
8
6EnViceeAdPP .
13) Entre todas as combinaes de 10 elementos distintos, tomados 3 a 3, uma combinao escolhida ao acaso. A probabilidade de que na combinao escolhida aparea um elemento previamente escolhido de:
a) 3/10 b) 1/3 c) 1/2 d) 7/10 e) 3/4
Soluo. Considerando que E seja o elemento previamente escolhido, temos que os dois elementos restantes desse evento sero escolhidos dos 9 restantes. Logo, temos:
10
3
120
36R2'EP
36)4).(9(!7!2
!7.8.9
!7!2
!9C.1R2'En
120)12).(10(!7!3
!7.8.9.10
!7!3
!10C)(n
2
9
3
10
.
14) Os alunos do curso diurno e curso noturno de uma faculdade se submeteram a uma prova de seleo, visando participao numa olimpada internacional. Dentre os que tiraram nota 9.5 ou 10.0, ser escolhido um aluno por sorteio.
Com base nessa tabela, a probabilidade de que o aluno sorteado tenha tirado nota 10.0 e seja do curso noturno :
a) 12/26 b) 6/14 c) 4/13 d) 12/52 e) 1/6
Soluo. H 26 alunos com nota 9,5 ou 10,0. H 8 alunos simultaneamente estudando no Curso
noturno e que tiraram nota 10,0. Logo, 13
4
26
8Noturnoe10NP .
15) Um casal pretende ter 3 filhos. Qual a probabilidade de que os 3 filhos sejam do mesmo sexo?
a) 1/8 b) 1/6 c) 1/3 d) 1/4 e) 2/3
Soluo. A probabilidade de nascer homem ou mulher a mesma: 1/2. Ento, a probabilidade dos trs filhos serem do mesmo sexo :
4
1
8
2
8
1
8
1
2
1.
2
1.
2
1
2
1.
2
1.
2
1)MMM(P)HHH(PsexomesmoP .
16) Contra certa doena podem ser aplicadas as vacinas I ou II. A vacina I falha em 10% dos casos e a vacina II em 20% dos casos, sendo esses eventos totalmente independentes. Nessas condies, se todos os habitantes de uma cidade receberem doses adequadas das duas vacinas, a probabilidade de um indivduo no estar imunizado contra a doena :
a) 30% b) 10% c) 3% d) 2% e) 1%
Soluo. O indivduo no estar imunizado se as duas vacinas falharem.
%202,0)2,0).(1,0(imunizadoP . 17) Uma questo de mltipla escolha tem 5 alternativas. Dos alunos de uma turma, 50% sabem resolver a questo, enquanto os demais chutam a resposta. Um aluno da turma escolhido ao acaso. a) Qual a probabilidade de que ele tenha acertado a questo? b) Dado que o aluno acertou a questo, qual a probabilidade de que ele tenha chutado? Soluo. A situao est representada na rvore. a) O aluno acerta a questo em duas situaes: Ou ele sabe ou chutou e acertou. Logo,
%606,01,05,0)2,0).(5,0()5,0()chutou/acerta(P).sabe(PacertarP .
b) Probabilidade condicional: 6
1
6,0
1,0
6,0
)2,0).(5,0(
)acertar(P
)acertarchutar(Pacertar/chutouP
.
18) No estado do Maranho h uma loteria tal que: seis nmeros no tirados de uma sequencia de 1 at 60. Qual a probabilidade de que os seis nmeros que tenham sido retirados sejam:
a) Todos de um dgito? b) Dois de um dgito e quatro de dois dgitos? c) Todos de dois dgitos?
Soluo. O nmero de elementos do espao amostral do sorteio 660Cn . Temos:
a) H 9 nmeros de um dgito (1 a 9). Logo, 6
60
6
9
C
C1d6P .
b) Sero sorteados dois nmeros dentre os 9 de um dgito e quatro dentre os 51 nmeros de dois
dgitos (60 10 + 1 = 51). Logo, 6
60
4
51
2
9
C
CC2d4e1d2P
.
c) Sero sorteados 6 nmeros dentre os 51 nmeros de dois dgitos.
Logo, 6
60
6
51
C
C2d6P .
19) Uma urna contm 10 bolas das quais 6 so brancas e 4 verdes. Fazem-se 2 extraes sucessivas sem reposio.
a) Qual a probabilidade de sair bola verde na segunda extrao sabendo que na 1 extrao saiu bola branca? b) Qual a probabilidade de sair bola branca na 1 extrao e bola verde na segunda?
c) Qual a probabilidade de sair bola verde na 2 extrao? d) Qual a probabilidade de sair bola branca na 1 extrao?
Soluo. O espao amostral possui 10 elementos.
a) Se na 1 extrao saiu uma bola branca, h ainda 4 bolas verdes num total, agora, de 9 bolas.
Logo, 9
4verdeP .
b) Temos: 15
4
3
4.
5
1
9
4.
5
3
9
4.
10
6BVP .
c) Ser a soma das probabilidades: 5
2
30
12
15
4
30
4
15
4
9
3.
10
4BVPVVP .
d) 5
3
10
6brancaP .
20) Cinco casais formados, cada um, por marido e mulher, so aleatoriamente dispostos em grupos de duas pessoas cada um. Calcule a probabilidade de que todos os grupos sejam formados por:
a) um marido e sua mulher; b) pessoas de sexo diferentes.
Soluo. As 10 pessoas sero colocadas em grupos de duas pessoas e no importa nem a ordem dos grupos nem da dupla. O nmero de formas de organizar as 10 pessoas :
945!5.32
!5.6.7.8.9.10
!5.32
!10
!5
!2!2
1.
!2
1.
!2
1.
!2
!10
!5
1.!2!2
!4.
!4!2
!6.
!6!2
!8.
!8!2
!10
!5
C.C.C.C.C 222
4
2
6
2
8
2
10 .
A diviso por 5! devido ao fato de a ordem dos grupos no importar.
a) S h uma formao onde cada homem est com sua respectiva esposa. Logo a probabilidade
pedida : 945
1esposaemaridoP .
b) Como as pessoas tero sexos diferentes, bastas fixar um sexo em cada grupo e permutar os restantes. Mantendo cada homem em grupo diferente, temos: Os espaos vazios podem ser ocupados pelas mulheres de 5! = 120 formas diferentes.
Logo, 63
8
189
24
945
120diferentesexoP .
2
10C 2
8C 2
6C 2
4C 2
2C
_1H _2H _3H _4H _5H
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