G.M. - Edile A 2002/03
La forza elettrostatica o di Coulomb⢠Ha una espressione simile a quella di gravitazione universale, ma coinvolge le cariche.
FC =1
4ĎÎľo
q1q2
d2 Îľo =8.85Ă10â12Fm
⢠Anche la forza elettrostatica agisce a distanza
⢠ed è abbastanza intensa
⢠Le differenze con quella di gravitazione universaleâ Esistono due tipi di cariche: positive e negative
â Cariche dello stesso segno si respingono, cariche di segno opposto si attraggono
⢠In Fisica I non faremo molto uso della forza elettrostatica, ma le interazioni elettromagnetiche sono lâorigine delle altre forze che ora introdurremo: la forza elastica, le reazioni vincolari, la tensione nelle corde, le resistenze passive etc.
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La forza elastica⢠I corpi solidi tendono a conservare la loro forma
(pensate alla struttura cristallina)
⢠Se sono sottoposti ad una sollecitazione subiscono una deformazione.
⢠Per conservare la loro forma, applicano, a chi ha prodotto la deformazione, una forza che, per piccole deformazioni, è proporzionale alla deformazione stessa (comportamento elastico).
⢠Una volta rimossa la sollecitazione ritornano allo stato normale.
O
asse x
O
asse x
x
rFrFel
O
asse x
x
rFrFel
r F el =âkx
r i
Felx =âkx
⢠Il caso della molla:â k = costante elastica della molla
â La forza elastica agisce per contatto.
â La forza elastica è una forza di richiamo: se lâestremo libero della molla viene spostato da x=0, la forza elastica tende a riportarlo in quella posizione.
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La reazione vincolare⢠Consideriamo un corpo fermo su di un tavolo
orizzontale.
⢠La sua accelerazione è nulla.â Dalla II legge di Newton ricaviamo che la forza
complessiva agente sul copro deve essere nulla.
⢠Il tavolo ha schermato la forza peso?â No! Il tavolo esercita sul blocco una forza uguale
e contraria al peso in modo tale che la forza complessiva agente sul corpo sia nulla.
â Il corpo è in equilibrio
r F â =m
r a =0
r P
r N
r P +
r N =m
r a =0 â
r N =â
r P
⢠La forza richiesta per assicurare lâequilibrio è perpendicolare al tavolo.
⢠Per questo si chiama âComponente normale della reazione vincolareââ Normale vuol dire perpendicolare al vincolo, alla superficie del tavolo.
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La reazione vincolare
r F â =m
r a =0
r P
r N
⢠Le reazioni vincolari si manifestano ogni volta che esiste un vincolo, ossia un impedimento, al moto di un corpo.â Nel caso in considerazione, il piano orizzontale
impedisce al corpo di occupare una qualsiasi posizione al di sotto del piano stesso: il corpo non può penetrare nel piano orizzontale.
⢠La reazione vincolare:â Ha sicuramente una componente normale al
vincolo diretta verso la parte di spazio consentito (componente Normale N)
⢠Se non ce lâha vuol dire che non câè contatto del corpo con il vincolo
â può avere una componente parallela al vincolo
⢠se ce lâha si chiama âForza di attritoââ Statico: il corpo è fermo rispetto al vincolo
â Dinamico: il corpo striscia sul vincolo.
⢠La reazione vincolare agisce per contatto
N.B.: La reazione vincolare non ha una espressione che permette di determinarla: essa va determinata caso per caso utilizzando le leggi di Newton.
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La forza di attrito statico
⢠La Forza di attrito è la componente parallela al vincolo della Reazione Vincolare.
⢠Si parla di attrito statico se non câè scorrimento tra il corpo e la superficie su cui il corpo è poggiato
P
N
⢠Nel caso di un corpo appoggiato su un piano orizzontale abbiamo visto che la sola componente normale è sufficiente a garantire lâequilibrio del corpo.
⢠La forza di attrito, ossia la componente parallelo al vincolo è nulla.
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La forza di attrito statico
⢠Applichiamo al corpo una forza orizzontale. Si osserva che:â Per piccoli valori della forza applicata il corpo resta ferma.
â Se si aumenta la forza applicata, superato un certo valore il corpo si mette in movimento.
⢠Consideriamo per ora il caso in cui il corpo resta ancora fermo.
P
fo
Rv
x
y
r P +
r R v +
r f o =m
r a =0 â
Px +Rvx+fox =0
Py +Rvy+foy =0
Pz +Rvz +foz =0
Rvx +fo =0
âmg+Rvy =0
Rvz =0
Rvx =âfoRvy =mg
Rvz =0
componenticomponenticomponenti
componentimodulo
Rvx=forza di attrito statico
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Il valore massimo della forza di attrito statico
⢠Non esiste una espressione per determinare la forza di attrito statico (intensitĂ , direzione, verso)â La forza di attrito statico si determina applicando le leggi di Newton.
â Nel caso precedentemente analizzato abbiamo trovato:⢠LâintensitĂ uguale a quella della forza orizzontale applicata⢠direzione quella della forza orizzontale applicata⢠verso opposto.
⢠Abbiamo anche osservato che aumentando lâintensitĂ della forza orizzontale applicata, raggiunto un certo valore, il corpo si mette in moto.â Il modulo della forza di attrito statico è limitato superiormente, non può
aumentare oltre un certo valore!
â Il valore massimo della forza di attrito statico dipende⢠dal modulo della componente normale N della reazione vincolare.
⢠dalla natura e dallo stato delle superfici a contatto (s)
⢠dalla temperatura
â Non dipende⢠Dalla superficie di appoggio
Fas â¤ÎźsN
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La forza di attrito statico
⢠Il contatto avviene in un numero finito di asperità .
⢠Si verificano delle deformazioni, quindi forze elastiche.
⢠Lâarea di effettivo contatto èâ proporzionale alla deformazione
complessiva
â proporzionale alla forza complessiva esplicata (N).
⢠Lâarea di effettivo contatto è la stessa nei due casi (N è lo stesso nei due casi).
Pochi punti molto deformati
Molti punti poco deformati
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La forza di attrito dinamico⢠Se le superfici a contatto sono scabre e câè scorrimento tra esse.
⢠Nel caso dellâattrito dinamico è possibile determinare tutto: modulo direzione e verso.â Ă diretta in verso apposto al moto (stessa direzione della velocitĂ ma
verso opposto)
â Il modulo della forza è dato da:
⢠La forza di attrito dinamico â dipende
⢠dalla natura e dallo stato delle superfici a contatto (d)⢠dalla componente normale (N)⢠dalla temperatura
â non dipende⢠dalla superficie di appoggio⢠dalla velocitĂ di scorrimento delle superfici a contatto
⢠La forza di attrito dinamico è piÚ piccola del valore massimo della forza di attrito statico (d< s)
â Nel caso dellâattrito statico si formano delle vere e proprie saldature nei punti di effettivo contatto, che non hanno il tempo di formarsi nel caso dinamico.
Fad =ÎźdN Superfici lisce: i coefficienti di attrito
statico e dinamico sono nulli!
La reazione vincolare ha solo la
componente normale
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I coefficienti di attritoSuperfici s d
Legnos ulegno 0.25-0.5 0.2
Vetr os uvetro 0.9-1.0 0.4
Acciaio s u acciai , o superficipulite
0.6 0.6
Acciai os uacciai , o superficilubrificate
0.09 0.05
Gomm as u cement o armatoasciutto
1.0 0.8
Sc i di le gno cerat os u nevesecca
0.04 0.04
Tefl on suteflon 0.04 0.04
Questi numeri sono indicativi, i coefficienti di attrito dipendono molto dallo stato delle superfici, dalla temperatura, dallâumiditĂ , etc.
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Tensione nelle corde⢠La corda è un dispositivo per trasmettere (applicare) una forza ad un
corpo.â Le corde possono trasmettere forze aventi la stessa direzione della cordaâ Inoltre possono solo tirare
⢠Consideriamo un corpo di massa m attaccato ad una corda.â Tiriamo la corda con la forza F2.
â Chiamiamo F1 la forza che il corpo di massa m esercita sulla corda
â Per la terza legge di Newton, la forza che la corda esercita sul corpo sarĂ Fc=-F1.
F2
F2m
mFc=-F1
F1
Applichiamo la seconda legge di Newton alla corda:
r F 1 +
r F 2 =m
r a
In condizioni statiche
r a =0 â
r F 1 =â
r F 2â
r F c =
r F 2
In condizioni dinamiche si arriva allo stesso risultato se la massa della corda è nulla
m=0 âr F 1 =â
r F 2 â
r F c =
r F 2
Corda ideale: m=0, L=costante
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Tensione nelle corde⢠Nelle corde ideali la forza si
trasmette identica lungo tutta la corda.
â Tensione della cordaâ Se si taglia la corda in un punto
qualsiasi la parte a destra del taglio eserciterĂ su quella a sinistra una forza di modulo pari alla tensione e viceversa.
â La tensione può essere messa in evidenza inserendo una molla nel taglio e osservando il suo allungamento
â A volte si usano delle carrucole ideali (piccolo raggio e piccola massa, senza attriti) per cambiare la direzione della tensione.⢠Le carrucole ideali non
cambiano lâintensitĂ della tensione.
TFsd
Fds
m=0 âr F ds =â
r T â
r F sd =
r T
r F ds+
r T =m
r a
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Applicazione
⢠Indichiamo con m1 la massa del blocco, con m2 quella del secchio (msc) e della sabbia (msb)
⢠Troviamo le forze agenti su ciascuno dei corpi.
⢠Bloccoâ La forza pesoâ La tensione della funeâ La reazione vincolare del tavolo composta da
⢠La componente normale⢠La forza di attrito
Un blocco di 28.0 kg è collegato ad un secchio vuoto di 1 kg mediante una corda che scorre su una carrucola ideale priva di attrito. Il coefficiente di attrito statico tra il tavolo e il blocco è 0.450 mentre quello di attrito dinamico è 0.320. Il secchio viene gradualmente riempito di sabbia fino a che il sistema inizia a muoversi.
⢠calcolare la massa della sabbia versata nel secchio⢠l'accelerazione del sistema⢠la tensione nella corda un istante prima che inizi il moto e durante il
moto.
⢠Secchioâ La forza peso
â La tensione della fune
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Applicazione
⢠Fissiamo un sistema di riferimento inerziale (Laboratorio)
⢠Scriviamo la seconda legge dei Newton per i due corpi:
Disegnamo le forze. Costruiamo il diagramma del corpo libero
blocco secchio r P 1
r P 1
r P 2
r P 2
r T 2
r T 1
r N
r F as
r F as
r N
r T 1
r T 2 x
y
r P 1 +
r F as +
r N +
r T 1 =m1
r a 1blocco
r P 2 +
r T 2 =m2
r a 2secchio
⢠Proiettiamo sugli assi coordinati
x : âFas+T =m1a1x
y : N âm1g=m1a1y
In condizioni statiche lâaccelerazione del secchio è nulla, quindi la corda si dispone lungo la verticale, la tensione ha solo la componente verticale
r P 2 +
r T 2 =0 â
r T 2 =â
r P 2
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Applicazione
blocco secchio r P 1
r P 1
r P 2
r P 2
r T 2
r T 1
r N
r F as
r F as
r N
r T 1
r T 2 x
y
Si ottiene:
Fas â¤ÎźsN â m2gâ¤ÎźsN =Îźsm1g
Ma la forza di attrito statico è limitata superiormente:
In condizioni statiche
r P 1 +
r F as +
r N +
r T 1 =0blocco
r P 2 +
r T 2 =0secchio
x : âFas+T =0
y : N âm1g=0x :
y : T âm2g=0
T =m2g Fas =T =m2g N =m1g
Il sistema comincerĂ a muoversi quando
m2g=Îźsm1g â m2 =Îźsm1 =0.450Ă28.0kg=12.6kg
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Applicazione
blocco secchio r P 1
r P 1
r P 2
r P 2
r T 2
r T 1
r N
r F ad
r F ad
r N
r T 1
r T 2 x
y
Poichè
m2 =msc+msb â msb =m2 âmsc =12.6kgâ1.0kg=11.6kg
Non appena il sistema inizia a muoversi cambiano le condizioni dinamiche:
r P 1 +
r F ad +
r N +
r T 1 =m1
r a 1blocco
r P 2 +
r T 2 =m2
r a 2secchio
x : âFad+T =m1a1x
y : N âm1g=m1a1y
x :
y : T âm2g=m2a2yRicordiamo che Fad =ÎźdN
Osserviamo che a1y =0 Il blocco rimane a contatto con il tavolo durante il suo moto y1(t)=0
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Applicazione
blocco secchio r P 1
r P 1
r P 2
r P 2
r T 2
r T 1
r N
r F ad
r F ad
r N
r T 1
r T 2 x
y
blocco secchiox : âÎźdN +T =m1a1x
y : N âm1g=0
x :
y : T âm2g=m2a2y
Abbiamo tre equazioni e 4 incognite: T, N, a1x, a2y. Troppe!!
Îx1 =âÎy2 âÎx1
Ît=â
Îy2
Ît
Sfruttiamo il fatto che la corda è ideale, la sua lunghezza resta costante per qualunque valore delle tensione.Se il blocco avanza di un tratto x1 (positivo), il secchio si abbassa di y2 (negativo)
vx1 =âvy2 â ax1 =âay2
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Applicazione
blocco secchio r P 1
r P 1
r P 2
r P 2
r T 2
r T 1
r N
r F ad
r F ad
r N
r T 1
r T 2 x
y
Da cui
âÎźdN +T =m1a1x
N âm1g=0
T âm2g=m2a2y
Ricavando T dallâultima e sostituendo nella seconda:
N =m1g
âÎźdm1g+T =m1a1x
T âm2g=âm2a1x
T =m2gâm2a1x
âÎźdm1g+m2gâm2a1x =m1a1x
a1x =m2gâÎźdm1g
m1 +m2
T =m2gâm2m2gâÎźdm1g
m1 +m2
=m1m2g+m
22 gâm
22 g+Îźdm1m2g
m1 +m2
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Applicazione
blocco secchio r P 1
r P 1
r P 2
r P 2
r T 2
r T 1
r N
r F ad
r F ad
r N
r T 1
r T 2 x
y
Lâaccelerazione è costante: il moto dei due corpi è uniformemente acceleratoa1x =
m2gâÎźdm1gm1 +m2
T =m1m2g1+Îźd( )
m1 +m2
Confrontiamo la tensione T con il caso statico T=m2g
T =m2g
m1 1+Îźd( )m1 +m2
<m2gm1 1+Îźs( )m1 +m2
=m2gm1 +m1Îźs
m26 7 8
m1 +m2
=m2g
La tensione nel caso dinamico è piÚ piccola che in quello statico
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Le resistenze passive⢠Con questo nome si indica la forza che un fluido esercita su di un corpo
che si muove al suo interno (un'automobile che si muove nell'aria, un sasso che cade nellâacqua, una goccia di pioggia che cade nellâaria).
⢠La resistenza passiva è sempre opposta al moto.
⢠Se la velocitĂ del corpo è piccola allora la forza è proporzionale allâopposto della velocitĂ :
r R p =âb
r v
D =12
CĎAv2 dove
C =coefficiente aereodinamico 0.4á1( )
Ď =densitĂ del fluido
A =area efficace
⢠Se la velocitĂ del corpo è elevata allora lâintensitĂ della resistenza passiva diventa proporzionale al quadrato della velocitĂ :
Per una sfera di raggio r, b=6r, in cui è la viscosità del mezzo:Glicerina 1.5 Ns/m2 (poise)Olio lubrificante 20° 0.03Acqua 20° 1.0x10-3
Aria 20° 1.8x10-5
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Le resistenze passive⢠Consideriamo un moto di caduta che avviene in presenza di una resistenza
passiva.⢠Inizialmente la velocità è nulla, la resistenza passiva è nulla, lâaccelerazione è
quella di gravità , caso (a).⢠Man mano che aumenta la velocità , la resistenza passiva aumenterà ,
lâaccelerazione sarĂ minore di g, ma la velocitĂ continuerĂ ad aumentare, caso (b).
⢠La velocitĂ continuerĂ ad aumentare fin tanto che la resistenza passiva diventa uguale al peso, caso (c).â Da questo punto in poi il moto sarĂ
uniforme â La velocitĂ del moto uniforme viene
chiamata velocitĂ limite.â per distanza di regime si intende la distanza
che il corpo deve percorrere per raggiungere il 95% della velocitĂ limite.
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Resistenza passiva-alcuni esempi di velocitĂ limite e di distanza di regime
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La cui soluzione è:
Moto di caduta di un chicco di grandine
⢠Trascuriamo la spinta di Archimede, data la grande differenza di densitĂ tra il ghiaccio e lâaria (circa un fattore 1000)
⢠Le forze agenti sono: la forza peso e al resistenza passiva
⢠La velocità iniziale sia nulla.
⢠Consideriamo un sistema di riferimento con lâasse y verticale.
r P +
r R p =m
r a
mr a =
r P âb
r v
⢠Per quanto riguarda gli assi x e z, le soluzione vx=0 e vz=0 soddisfano lâequazione differenziale e le condizioni iniziali.â Il moto avviene lungo
lâasse y
dv'dt
=âbm
v'
max =âbvx
may =âbvy âmg
maz =âbvzdvy
dt=â
bm
vy +mgb
â â
â â
ponendo v'=vy +mgb
si ha dv'=dvy
vy +mgb
= vyo +mgb
â â
â â e
âbm
t vy =âmgb
1âeâ
bm
tâ
â â
â
â â
v'=v'o eâ
bm
t
risostituendo
Per t che tende allâinfinito la velocitĂ tende alla velocitĂ limite mg/b