Fisica 1Gravitazione

Programma della lezione

• Richiami matematici sulle coniche• Leggi di Keplero• Legge di gravitazione di Newton• Soluzione del problema dei due corpi

– Scelta del sistema di riferimento– Momento della quantita` di moto– Energia

• Dimostrazione delle leggi di Keplero• Considerazioni sull’energia

• In coordinate polari, scelto uno dei fuochi come origine, l’equazione di una conica è

• ove r è la distanza tra un punto della conica e il fuoco e è l’angolo compreso tra l’asse della conica e il vettore r

• e è detta eccentricità della conica• Si può mostrare che la formula scritta rappresenta sempre una conica,

il cui tipo dipende dal valore dell’eccentricità: e<1 ellisse, e=1 parabola, e>1 iperbole

1

rp 1 ecos

Richiami di matematica: le coniche

r

Richiami di matematica: l’ellisse

• L’ellisse è caratterizzata dal fatto che la somma delle distanze di un punto dai fuochi è costante

• Detto E il centro dell’ellisse, EB=a è il semiasse maggiore ed ED=b il semiasse minore

• La distanza dei fuochi dal centro è EF2=EF1=ea• Il semiasse minore si può esprimere in funzione del semiasse

maggiore e dell’eccentricità:

PF1 PF2 const.

P

F1 F2

D

C

BA E

b2 a2 a2e2 a2 1 e2 L’area dell’ellisse è

Quanto vale la costante?Dimostrare la relazione tra b e a, e

A ab

Gravitazione universale

• Agisce tra due corpi qualunque dotati di massa• Supponiamo inizialmente che le masse abbiano

dimensione trascurabile rispetto alla distanza reciproca (caso ideale di masse “puntiformi”)

• È descritta dalla legge di Newton

• Ove F21 è la forza agente sulla massa 2, dovuta alla massa 1, m1 e m2 sono le masse dei corpi, r la loro distanza, r12 il versore orientato da 1 a 2

• La combinazione -r12 il indica che la forza è attrattiva

F 21 G

m1m2

r2r 12

Gravitazione universale

• G è una costante fisica universale di dimensioni (nel sistema MKS)

• E di valore

G F L2M 2 L3T 2M 1

G 6.7610 11m3

kgs2

Energia potenziale gravitazionale

• Dalla legge di forza

• possiamo calcolare l’energia potenziale:

V r V V r F d

l

r

Fdr

r

k

r2dr

r

k

r

r

k

r

F

k

r2r

r

dl

F

Leggi di Keplero

• Newton arrivò alla sua legge studiando l’opera di Keplero, il quale aveva enunciato tre leggi valide per il moto dei pianeti del sistema solare

• Prima legge: l’orbita percorsa da un pianeta giace su di un piano e ha forma di ellisse, di cui il sole occupa uno dei due fuochi

Leggi di Keplero• Useremo un sistema di coordinate polari per descrivere

l’orbita del pianeta• Il raggio vettore r, con origine nel sole e vertice nel

pianeta, è definito dal modulo r e dall’angolo (detto anomalia o azimut)

• Il punto A in cui il pianeta è più lontano dal sole è detto afelio; il punto B in cui il pianeta è più vicino al sole è detto perielio

• Entrambi son detti apsidi

r A B

Leggi di Keplero

• La prima legge si può esprimere matematicamente

• Ove p ed e sono due parametri orbitali: e è l’eccentricità dell’orbita (sempre <1 per un’ellisse)

• Esercizio: esprimere p in funzione degli altri parametri orbitali analizzando, p.e., il perielio (r=a-ae, =0)

1

rp 1 ecos

p 1

a 1 e2

Leggi di Keplero

• Seconda legge: l’area “spazzata” dal raggio vettore è proporzionale al tempo impiegato per spazzarla: A=kt, in termini infinitesimi: dA=kdt

• Ovvero: la velocità areale è costante• Storicamente fu scoperta per prima

A B

dA

dtk

• Possiamo esprimere la costante k mediante l’area e il periodo

k A

Tab

T

Leggi di Keplero

• Terza legge: il quadrato del periodo di rivoluzione di un pianeta attorno al sole è proporzionale al cubo del semiasse maggiore dell’orbita

• La costante di proporzionalità è uguale per tutti i pianeti

• Una legge analoga vale per il sistema di Giove e i suoi satelliti

• La costante è uguale per tutti i satelliti (ma è diversa da quella del sistema Sole-pianeti, come vedremo)

T 2 ka3

Il problema dei due corpi• Consideriamo un sistema isolato costituito da due

masse puntiformi interagenti con forza newtoniana• Sia S un sistema di riferimento inerziale in cui

descrivere il sistema dei due corpi

F 21 G

m1m2

r2r

F 12 G

m1m2

r2r

r1

r2

• Siano r1 e r2 i vettori posizione (in S) delle due masse

• La forza mutua dipende solo dal vettore r tra le due masse: r = r2 - r1

r

Il problema dei due corpi• Introduciamo anche il vettore R, posizione del

centro di massa:

R

m1

r 1 m2

r 2

m1 m2

r1

r2

r

R

r 1

R

m2

m1 m2

r

r 2

R

m1

m1 m2

r

• Le trasformazioni inverse permettono di esprimere r1 e r2 in funzione di R e r

Il problema dei due corpi

• Poiché il sistema è isolato, il centro di massa si muove di moto rettilineo uniforme

• Possiamo sfruttare questo risultato per scegliere un sistema di riferimento inerziale più conveniente S’: uno con l’origine O’ coincidente con il centro di massa dei due corpi (i due punti coincidono e traslano assieme)

• D’ora in poi, anche se con abuso di notazione, continueremo ad usare gli stessi simboli nel nuovo sistema S’ (però ora R=0)

dR

dtconst.

Il problema dei due corpi

• Risolvere il problema significa trovare la dipendenza di r dal tempo. Una volta noto r, le coordinate delle masse si ottengono (ora R=0) semplicemente da

• Un fatto importante è che nel sistema S’, le velocità v1 e v2 sono parallele

• Ciò significa che i vettori v1, v2 e r sono complanari

r 1

m2

m1 m2

r

r 2

m1

m1 m2

r

0dR

dt

m1

m1 m2

v 1

m2

m1 m2

v 2

v 2

m1

m2

v 1

Forze centrali• La forza gravitazionale rientra in un tipo più

generale di forze, dette centrali• Queste forze hanno l’importante proprietà di

essere dirette lungo la congiungente dei corpi in interazione, cioè lungo r e dipendere solo da r

F 12 G

m1m2

r2r f r r

Il momento delle forze• Calcoliamo il momento delle forze interne, sfruttando il

fatto che la forza è centrale:

• L’annullarsi del momento delle forze, implica che il momento della quantità di moto sia costante

M

r 1

F 12

r 2

F 21

r 1

F 12

r 2

F 12

r 1

r 2

F 12

r f r r 0

dL

dt

M 0

L const.

Il momento della qdm

• Abbiamo mostrato che v1, v2 e r sono complanari• Ne segue che i vettori mqm dei due corpi sono

paralleli• Calcoliamo ora il mqm totale

• Il fatto che l1, l2 (e quindi L) siano paralleli, assieme al fatto che L si conservi, significa che il moto dei due corpi avviene su di un piano (perpendicolare a L e contenente v1, v2, r)

• Il problema è quindi ridotto a due dimensioni. Scegliamo il sistema S’ su questo piano: un sistema di riferimento polare di coordinate r e

L

l 1

l 2

r 1m1

v 1

r 2 m2

v 2

Il momento della qdm

d1dt

d2dt

ddt

• Il vettore r potrà ruotare attorno al punto O’ (e anche cambiare lunghezza )

• Ciò significa che la velocità angolare delle due masse è uguale

O’

d2

d1

Il momento della qdm

• Tenendo conto del parallelismo dei due mqm e detta v la componente azimutale della velocità, il modulo L è

222111

22221111 sinsin

vmrvmr

vmrvmrL

r

v

v

vr

Il momento della qdm

• Ovvero

• Esprimendo r1 e r2 in funzione di r, (R=0), otteniamo

L r1m1r1ddt

r2m2r2ddt

m1r12 m2r2

2 ddt

L m1

m2

m1 m2

r

2

m2

m1

m1 m2

r

2

ddt

m1m2

m1 m2

r2ddt

r2ddt

Il momento della qdm• Ove è una costante con le dimensioni di una

massa, detta massa ridotta• Il risultato ottenuto

• si può interpretare dicendo che il sistema dei due corpi è equivalente ad un solo corpo di massa a distanza r da un centro fisso di forza

• Risultato utile per esprimere la velocità angolare in funzione della distanza r (e delle costanti , L)

L r2ddt

ddt

L

r2

2a legge di Keplero

• Siamo ora in grado di dimostrare questa legge nell’ambito della teoria di Newton

P1

S

P2

• Esprimiamo l’area del triangolo infinitesimo SP1P2 in coordinate polari

dA 1

2rrd 1

2r2d

2a legge di Keplero

• Dividendo per il tempo otteniamo la velocità areale

• Per quanto detto sul momento della qdm abbiamo

• Da notare che abbiamo usato soltanto il fatto che la FG è di tipo centrale: il risultato è quindi valido per qualunque forza centrale

dA

dt1

2r2

ddt

dA

dt

L

2const.

CDD

Energia

• Finora abbiamo usato la legge di conservazione della qdm

• Usiamo ora una seconda legge di conservazione, quella dell’energia

• Ove T è l’energia cinetica delle due masse e V (già calcolata) è l’energia potenziale gravitazionale dovuta all’attrazione mutua

E T V const.

Energia cinetica

• Calcoliamo l’energia cinetica

T 12

m1

v 12 12

m2

v 22

12

m1

dr 1

dt

2

12

m2

dr 2

dt

2

12

m1

m2

m1 m2

dr

dt

2

12

m2

m1

m1 m2

dr

dt

2

12

m1m2

m1 m2

dr

dt

2

12 d

r

dt

2

Energia cinetica

• Di nuovo possiamo interpretare dicendo che per quanto riguarda T, il sistema dei due corpi equivale ad un corpo solo di massa ridotta

• Esprimendo la velocità in termini delle componenti radiale e azimutale:

T 1

2 d

r

dt

2

T 1

2 dr

dt

2

r2ddt

2

r

v

v

vr

Energia

• Tornando all’energia

• Esprimendo la velocità angolare in funzione di L e r e inserendo l’espressione di V, otteniamo infine

E 1

2 dr

dt

2

r2ddt

2

V r

E 1

2 dr

dt

2

L2

2r2

k

r

Integrazione dell’equazione

• L’equazione (differenziale) precedente è una relazione tra la coordinata r (incognita), la sua derivata (incognita) e due costanti del moto E e L (supposte note)

• Possiamo esplicitare rispetto alla derivata

dr

dt2E

2k

1

r

L2

21

r2

Integrazione dell’equazione

• Risolvere questa equazione ci darebbe la distanza r (e quindi ) in funzione del tempo

• È più interessante però determinare r in funzione dell’angolo , in questo modo otteniamo l’equazione dell’orbita

• A tal fine riscriviamo la velocità radiale

dr

dt

dr

dddt

dr

dr2

L

Integrazione dell’equazione

• Otteniamo infine

• Quest’equazione si può risolvere per quadrature:

dr

dr

2E

L2r2

2kL2

r 1

d dr

r2E

L2r2 2k

L2r 1

Integrazione dell’equazione

• L’integrando si può riportare ad una forma standard con la sostituzione u=1/r

• L’integrale è della forma

d , du

2E

L2 2k

L2u u2

du

a bu cu2

1

carccos

b 2cu

b2 4ac

Integrazione dell’equazione

• E quindi

• E tornando alla variabile r:

, arccos

L2u

k 1

1 2EL2

k 2

1

rk

L21 1

2EL2

k 2cos ,

1a legge di Keplero

• L’espressione precedente è della forma

• Ove l’eccentricità è

• E si è scelto ’=0 in corrispondenza del perielio

1

rp 1 ecos

e 12EL2

k 2

CDD

1a legge di Keplero

• Nel caso in cui il sole sia identificato col corpo 1 e un pianeta col corpo 2, abbiamo

r sole

mpianeta

msole mpianeta

r 0

r pianeta

msole

msole mpianeta

r

r

Il sole è praticamente fermo

Il corpo di massa ridotta e il pianeta si possono identificare

mpianeta

Energia • Torniamo all’espressione dell’energia

• Il primo termine del membro di destra è l’energia cinetica radiale, il secondo termine è l’energia cinetica azimutale, il terzo termine è l’energia potenziale

• Formalmente possiamo considerare invece il secondo termine come energia potenziale, aggiuntiva a quella gravitazionale, di una particella fittizia di cui il primo termine rappresenta tutta l’energia cinetica

• Questo modo di vedere ha il vantaggio di ridurre il numero di dimensioni del problema da due a una

E 1

2vr

2 L2

2r2

k

r

Energia • Nella figura abbiamo

tracciato le due energie potenziali con linee tratteggiate e la loro somma Vtot con linea continua

• L’energia totale E è una costante (retta tratteggiata)

• La differenza tra E e Vtot è l’energia cinetica (freccia)

E 1

2v 2

L2

2r2

k

r

r

Energia

• Per E>0, r assume un valore minimo ma può assumere valori arbitrariamente grandi: l’orbita è aperta

r

E>0

e 12EL2

k 2 1

2 E L2

k 21

L’eccentricità è >1, come dev’essere per un’iperbole

T

Energia

• Per E<0, r è compreso tra un valore minimo e uno massimo: l’orbita è limitata (e chiusa)

rE<0

e 12EL2

k 2 1

2 E L2

k 21

L’eccentricità è <1, come dev’essere per un’ellisse

T

3a legge di Keplero

• Come abbiamo visto, la 2a legge di Keplero stabilisce che

• Integrando questa relazione su di un periodo di rivoluzione, abbiamo

• Ricordando la relazione tra b, a ed e:

TL

2A ab

dA

dt

L

2const.

T a2 1 e22L

3a legge di Keplero

• Dalla 1a legge di Keplero, applicata al perigeo, avevamo trovato

• Ove ora

• Che ci permette di esprimere e in funzione di , L, k, a:

1 e2 L

ka

p k

L2

p 1

a 1 e2

3a legge di Keplero

• Ed infine

• La teoria di Newton “verifica e smentisce” allo stesso tempo la 3a legge di Keplero

• La smentisce in quanto la costante che compare nella legge è diversa da pianeta a pianeta

• La conferma in quanto tale costante è con buona approssimazione uguale per tutti i pianeti

T 2 k

a3 2 2

G m1 m2 a3 2

2

G msole mpianeta

2Gmsole CDD

Masse estese

• Newton fece qualcosa di più: dimostrò che la legge di forza ha la stessa espressione anche per masse estese con simmetria sferica

• Lo dimostreremo in elettrostatica quando studieremo la legge di Gauss

Il problema degli n corpi

• Se si hanno tre o più corpi, qualunque sia la forza d’interazione, il problema non ammette, in generale, una soluzione analitica

• Teoria delle perturbazioni

• Problema della stabilità del sistema solare