Integral
Diberikan PadaPelatihan Guru-Guru Aceh Jaya
5 September 2013Oleh: Ridha Ferdhiana, M.Sc
AntiTurunan (Antiderivative)
AntiTurunan dari sebuah fungsi f adl sebuah fungsi F sedemikian hingga
F f
Ex.2( ) 3 2F x x
AntiTurunan dari ( ) 6f x x
krn ( ) ( ).F x f x adl
( )f x dxArtinya adl mendapatkan semua antiturunan dari f.
Pernyataan:
dibaca “integral tak tentu dari f terhadap x,”
( )f x dx
Tanda Integral Integrand
Integral Tak Tentu
x disebut peubah integrasi
Setiap antiturunan F dari f harus dalam bentuk F(x) = G(x) + C, dimana C adl sebuah konstanta.
Perhatikan 26 3xdx x C
Konstanta dari Integrasi
Mewakili semua antiturunan yang mungkin dari 6x.
Aturan Pangkat dari Integral TakTentu, Bagian I
1
if 11
nn x
x dx C nn
Ex.4
3
4
xx dx C
Aturan Pangkat dari Integral TakTentu, Bagian II
1 1lnx dx dx x C
x
x xe dx e C Integral TakTentu dari ex dan bx
ln
xx b
b dx Cb
Aturan Jumlah dan Kurang
( ) ( )kf x dx k f x dx
f g dx fdx gdx Ex.
( constant)k
4 43 32 2 2
4 2
x xx dx x dx C C
2 2x x dx x dx xdx 3 2
3 2
x xC
Aturan Perkalian dengan Konstan
Ex.
Contoh:
Ex. Dapatkan integral tak tentu dari:
273 2 6ue u du
u
213 7 2 6ue du du u du du
u
323 7 ln 6
3ue u u u C
Integrasi dengan Substitusi
Metode integrasi yang berhubungan dengan aturan rantai. Jika u adl fungsi dalam x, maka kita bisa mengunakan formula/persamaan
/
ffdx du
du dx
Integrasi dengan Substitusi
Ex. Dapatkan integral:
10
10
uC 9u du 103 5
10
xC
Subtitusi Integralkan Substitusi ulang
23
dudx
x
dxxduxu 23 3 maka ,5 Ambil
∫3x2(x3+5)9dx
2Let 5 7 then 10
duu x dx
x
Ex. Dapatkan
3 / 21
10 3/ 2
uC
3/ 225 7
15
xC
25 7x x dx
2 1/ 215 7
10x x dx u du
Tentukan u, dptkan du
Substitusi
Substitusi
Integralkan
3ln
dx
x xLet ln then u x xdu dx
Ex. Dapatkan
3
3ln
dxu du
x x
2
2
uC
2ln
2
xC
3
3 2
t
t
e dt
e 3
3Let +2 then
3t
t
duu e dt
e
Ex. Dapatkan
3
3
1 1
32
t
t
e dtdu
ue
ln
3
uC
3ln 2
3
teC
Ekspresi Integral yang mengandung ax + b
Aturan
1
1( 1)
nn ax b
ax b dx C na n
1 1lnax b dx ax b C
a
1ax b ax be dx e Ca
1
lnax b ax bc dx c C
a c
15
Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
2
cos sin
sin cos
sec tan
xdx x C
xdx x C
xdx x C
Ex. 3cos 2sinx x dx3sin 2cosx x C
Integral Fungsi Trigonometri
16
Ex. Substitusi
dxxxx 6sin3Dapatkan 2
u=x2+6x
Jadi dudx
=2x+6=2 ( x+3 ) atau dx=du2 ( x+3 )
Penyelesaian:
CxxCuudu 62
1
2
1
2
1 2coscossin
dux
uxdxxxx32
1sin36sin3
shg integral, kedalamkan Substitusi
2
17
Substitusi
Ex. 2 3sinx x dx3
2Let then
3
duu x dx
x
1cos
3u C 31
cos3
x C
duudxxx sinsin3
132
18
Integral Tak Tentu dari Fungsi Trigonometri
tan ln cos
cot ln sin
sec ln sec tan
csc ln csc cot
xdx x C
xdx x C
xdx x x C
xdx x x C
19
Mengapa ? Cxxdx coslntan
Tuliskan tan x sbg (sin x)/(cos x) dan tetapkanu = cos x, shg:
x
dudx
xdx
du
xu
sindan
sin Jadi
cos
Cx
Cuu
du
x
du
u
x
dxx
xxdx
cosln
ln
sin
sincos
sintan
20
Integral mengandung (ax + b)
1sin cos
1cos sin
ax b dx ax b Ca
ax b dx ax b Ca
Ex. 7sin 3 5x dx
7cos 3 5
3x C
21
Integral mengandung (ax + b)
1tan ln cos
1cot ln sin
1sec ln sec tan
1csc ln csc cot
ax b dx ax b Ca
ax b dx ax b Ca
ax b dx ax b ax b Ca
ax b dx ax b ax b Ca
Integration by Parts
(Pengintegralan Perbagian)
TEKNIK PENGINTEGRALAN
• Setiap aturan turunan pasti mempunyai aturan integral yang berhubungan
– Contoh: Aturan Substitusi berhubungan dengan aturan rantai untuk turunan.
TEKNIK PENGINTEGRALAN
• Aturan integrasi yang berhubungan dengan aturan kali para turunan adalah aturan pengintegralan perbagian.
TEKNIK PENGINTEGRALAN
• Aturan Perkalian mengatakan, jika f dan g adalah fungsi yang bisa diturunkan, maka
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
( ) ( ) ( ) '( ) ( ) '( )d
f x g x f x g x g x f xdx
• Penulisan integral tak tentu dari persamaan tsb menjadi
• atau
( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( )f x g x g x f x dx f x g x
( ) '( ) ( ) '( ) ( ) ( )f x g x dx g x f x dx f x g x
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Persamaan diatas bisa kita atur kembali spt:
( ) '( ) ( ) ( ) ( ) '( )f x g x dx f x g x g x f x dx
Rumus 1
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Jika u = f(x) dan v = g(x).
–Maka, turunannya adl:
du = f’(x) dx and dv = g’(x) dx
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Shg, dgn aturan substitusi, maka rumus integral perbagian menjadi:
u dv uv v du
Rumus 2
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Dapatkan ∫ x sin x dx
– Misal f(x) = x dan g’(x) = sin x dx.
– Maka, f’(x) = 1 dan g(x) = –cos x.
Contoh 1
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Menggunakan rumus 1:
– Coba turunkan fungsinya.
sin ( ) ( ) ( ) '( )
( cos ) ( cos )
cos cos
cos sin
x x dx f x g x g x f x dx
x x x dx
x x x dx
x x x C
Contoh 1
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
• Tujuan kita menggunakan pengintegralan perbagian adl untuk mendapatkan bentuk integral yg sederhana, jadi jika bentuknya lebih rumit (sulit) untuk diselesaikan maka pengintegralan kurang benar.
PERHATIKAN
• Dari contoh 1• Jika kita pilih u = sin x dan
dv = x dx , maka du = cos x dx dan v = x2/2.• Jadi, pengintegralan perbagian menjadi:
– Walapun benar namun x2cos x dx lebih susah diintegalkan.
221
sin (sin ) cos2 2
xx x dx x x dx
PERHATIKAN
• Jadi, dalam memilih u dan dv, sehrsnya u = f(x) dipilih sdh sehingga menjadi fungsi yg lebih sederhana ketika diturunkan.
– Namun, pastikan juga bahwa dv = g’(x) dx bisa diintegralkan dengan mudah.
PERHATIKAN
• Dapatkan ∫ ln x dx
Contoh 2
lnu x dv dx
1du dx v x
x
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
ln ln
ln
ln
dxx dx x x x
x
x x dx
x x x C
Contoh 2
PENGINTEGRALAN PERBAGIAN
MERASIONALKAN SUBSTITUSI
INTEGRAND MENGANDUNG
Substitusi dengan
Selesaikan
n√ax+b
Selesaikan
INTEGRAND MENGANDUNG
Substitusi dengan
Shg akan kita dapatkan
Selesaikan
Substitusi
Shg
Selesaikan
Substitusi
Shgdan
MELENGKAPKAN KUADRAT
Selesaikan
Jumlahan Riemann Jika f adl sbh fungsi yg kontinu, maka jumlahan Riemann dari n bagian yang sama untuk f sepanjang selang [a, b] didefinisikan sbg:
0 1 1( ) ( ) ... ( )nf x x f x x f x x
1
0
n
kk
f x x
0 1 1( ) ( ) ... ( )nf x f x f x x bagian adl dimana 10 bxxxa n
nabx /)(
Integral Tentu
Jika f adl fungsi yg kontinu, integral tentu f dari a ke b didefinisikan sbg
1
0
( ) limb n
kn
ka
f x dx f x x
fungsi f disebut integrand, angka a dan b disebut limits dari integrasi, dan peubah x disebut peubah dari integrasi.
Pendekatan Integral Tentu
Ex. Hitung jumlahan Riemann utk
integral menggunakan n = 10.2
2
0
x dx
1 9
2
0 0
1
5
n
k kk k
f x x x
2 2 2(1/ 5) (2 / 5) ... (9 / 5) (1/ 5)
2.28
Integral Tentu
dibaca “integral dari a ke b dari f(x)dx.”
( )b
a
f x dx
Peubah x bisa dirubah menjadi peubah apa saja, contoh
( ) ( )b b
a a
f x dx f t dt
Area dibawah Kurva
a b
Ide: Mendapatkan area sebenarnya (tepat/persis) dibawah kurva sbh fungsi.
( )y f x
Metode: Menggunakan tak hingga persegipanjang dgn lebar yg sama dan menghitung area dgn limit.
Lebar: b ax
n
(n persegi panjang.)
Memperkirakan Area
Perkirakan area dibawah kurva
Menggunakan n = 4.
2( ) 2 on 0,2f x x
0 1 2 3( ) ( ) ( ) ( )A x f x f x f x f x
1 1 30 1
2 2 2A f f f f
1 1 9 7
0 22 2 2 2
A
Area Dibawah Kurva
a b
( )y f x
f kontinu, taknegatif pada [a, b]. Area adl
1
0
Area limn
kn
k
f x x
( )b
af x dx
Teorema Dasar Kalkulus
Jika f adl fungsi yg kontinu pada [a, b].
2. Jika F adl sebarang antiturunan yang kontinu dari f dan bisa didefinisikan pada [a, b], maka
( ) ( ) ( )b
af x dx F b F a
1. If ( ) ( ) , then ( ) ( ). x
a
A x f t dt A x f x
Ex. 3 4 If ( ) 5 , find ( ). x
a
A x t tdt A x 3 4 ( ) 5A x x x
Teorema Dasar Kalkulus
Mengevaluasi Integral Tentu
Ex. Hitung5
1
12 1x dx
x
55 2
1 1
12 1 lnx dx x x x
x
2 25 ln 5 5 1 ln1 1
28 ln 5 26.39056
Substitusi untuk Integral Tentu
Ex. Hitung 1 1/ 22
02 3x x dx
2let 3u x x
then 2
dudx
x
1 41/ 22 1/ 2
0 02 3x x x dx u du
43/ 2
0
2
3u
16
3
Perhatikan bhw limit integrasi berubah
Menghitung Area
Ex. Dapatkan area yg dibatasi oleh sumbu x, garis vertikal x = 0, x = 2 dan kurva
23
02x dx
2x3 adl tak negatif pada [0, 2].
22 3 4
00
12
2x dx x 4 41 1
2 02 2
8
Antiturunan Teorema Dasar Kalkulus
22 .y x
Penggunaan Integral : Luas Kurva
Dapatkan area dibawah kurva y=x2+2
Dari x = 1 ke x = 2
Area=∫1
2
(x2+2)dx
=[x3
3+2x ]
1
2
=133
Penggunaan Integral : Luas Kurva
Dapatkan area dibawah kurva y=√x−1Sumbu y, y = 1 dan y= 5
Area=∫1
5
( y2+1)dy
=[ y3
3+ y ]
1
5
=4513
y2=x−1
x= y2+1
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva
Area=Luas=∫a
b
[ f (x2)−f (x1)]dx=∫a
b
( y2− y1)dx
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva
Area=∫c
d
f ( y)dy
Dapatkan area yang dibatasi oleh y=x3 , x=0,dan y=3
y=x3 , jadi x= y1 /3
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva
Area=∫c
d
f ( y)dy
=∫0
3
( y1 /3)dy
=[34 y4 /3]0
3
=3.245
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva
Dapatkan area yang dibatasi oleh y=x2+5x , dan y=3−x2
Area=∫a
b
( y2− y1)dy
kurva y=3−x2
diatas y=x2+5x
Penggunaan Integral : Luas Antara 2 Kurva
Titik perpotongan terjadi pada
x2+5x=3−x2→x=−3, atau x=0.5
Area=∫a
b
( y2− y1)dy
=∫−3
0.5
[(3−x2)−(x2+5x) ]dx
=∫−3
0.5
[3−5x−2x2 ]dx
=[3x−5x2
2−
2x3
3 ]−3
0.5
=14.29
Penggunaan Integral :Volume Benda Putar
Diberikan area yang dibatasi oleh y = 3x, sumbu x dan x=1
Diputar mengelilingi sumbu-x, 360 derajad
Penggunaan Integral :Volume Benda Putar
V=π r2 h
V=π y2 dx
Menurut integral Riemann
V=π∫a
b
y2dx V=π∫a
b
f 2(x)dx
Penggunaan Integral :Volume Benda Putar
V=π∫a
b
y2dx
=π∫0
1
(3x)2dx
=π∫0
1
9x2dx
=π [3x3 ]01=3π