DISTRIBUSI SAMPLING
Distribusi Rata-Rata
Jika μ dan σ diketahui jumlah sampel acak
Populasi ukuran n yang dapat ditarik dari populasi N
n
Masing-masing sampel rata-rata dari pokok rata σ. Dan simpangan baku dari rata-
rata σx. (sigma indeks eks) = U
= => > 5 %
Jika n cukup besar sehingga
≈ 1 Maka μX¯ = μ
σX¯ = => ≤ 5%
Contoh
n = 3
N = 200
≈ 1
DALIL LIMIT PUSAT
1
Bila contoh acak berukuran n ditarik dari suatu populasi yang besar atau tak
terhingga dengan nilai tengah μ dan ragam ², maka nilai tengah sampel x¯ akar
menyebar menghampiri distribusi normal dengan nilai tengah μX¯ = μ dan simpangan
baru x = sehingga
Contoh
Umur bola lampu merek a rata-rata 800 jam dengan ragam 1600. Hitunglah suatu
contoh acak terdiri dari 25 bola lampu mempunyai umur rata-rata kurang dari 780 jam.
Jawab
μ = 800 σ² = 1600 => σ = = 40 jam n = 25 x = 780
x = = 8
= 0,5 – 0,4938
= 0,0062
Jika sampel terdiri dari 36 bola lampu, hitunglah probabiliti rata-rata umur lampu 785-
800 jam
n = 36 x =
=
2
Z2 =
P (-2,25 < t < 0)
= 0,4878 = 48,8%
Apabilah dari populasi diketahui varianya dan perbedaan antara rata-rata dari
sampel tidak lebih dari sebuah harga d yang ditentukan, maka.
Dari contoh 1.
Berapa jumlah anggota sampel yang harus diambil jika perbedaan antara sampel
dengan sampel lainnya tidak lebih dari 5 jam, 2,5 jam, 1 jam.
Jawab
1. σ x¯ ≤ d ≤ 5 ≤ 5 25 n = 1600 n = 64 BUAH
2. ≤ 2,5 n = 256 BUAH
3. ≤ 1 n = 1600 BUAH
DISTRIBUSI BEDA DUA NILAI TENGAH
3
Bila contoh –contoh bebas berukuran n1 dan n2 diambil dari dua buah populasi
tang besar/tak berhingga masing-masing dengan nilai tengah μ1 dan μ2, serta ragam σ1²
dan σ2², maka beda kedua nilai tengah contoh akar menyebar menghampiri
sebaran normal dengan nilai tengah dan simpangan baku
μx1¯ - X2¯ = μ1 – μ2 dan σx1¯ - σx2¯ = σ1² + σ2² n1
n2
Sehingga :
Contoh :
Masa pakai tabung gambar merek A mempunyai nilai tengah. 6,5 thn dan
simpangan baku 0,9 thn. Tabung gambar B masing-masing 6 thn dan 0,8 thn. Berapa
peluang sebuah contoh acak terdiri dari 40 tabung A mempunyai umur rata-rata lebih
lama dari 45 tabung B
JAWAB
A B
μ1 = 6,5 μ2 = 6,0
σ1 = 0,9 σ1² = 0,81 σ2 = 0,8 σ2² = 0,64
n1 = 40 n2 = 45
=
P [( )>1] = P (z) = 2,69 = 0,5 – 0,4964
4
= 0,0036 => 0,36 %
DISTRIBUSI PROPORSI
Terdapat kategori a sebanyak y. Maka
parameter proporsi di =
POPULASI
N
Sampel ukuran n. Dan jika terdapat kategori
A sebanyak x. Maka statistik sampel =
Jika semua sampel yang mungkin diambil dari populasi tersebut maka di dapat
sekumpulan harga-harga statistik
Proporsi => Rata-Rata Proporsi =>
Simpangan Baku Proporsi =>
Jika dari populasi yang berdistribusi binomal dengan parameter μ¯, untuk
peristiwa A
( O < μ¯<1 ) di ambil sampel akar ukuran n dimana statistik proporsi untuk
peristiwa A = , maka n cukup besar. Distribusi proporsi ( ) mendekati distribusi
normal.
Z = X/n - μ¯
Ƭn/n => > 5%
=>
Contoh :
Ada petunjuk kuat bahwa 10 % anggota masyarakat tergolong kedalam golongan
A. sebuah sample acak terdiri atas 100 orang telah diambil.
5
1. Tentukan peluangnya bahwa dari 100 orang telah di ambil paling sedikit 15
dari golongan A.
2. Berapa orang harus diselidiki agar prosentase orang 4 dari sample yang 1
dengan lainnya diharapkan berbeda paling besar.
Jawab :
Populasi yang dihadapi berukuran cukup besar dengan μ¯ = 0,10 dan 1 - μ¯ = 0,9.1. n = 100
x = 15
Jika perbedaan antara proporsi sample yang satu dengan sampel lainnya
diharapkan tidak lebih dari sebuah harga d yang ditentukan .
2.
Perbedaan 1 %
Jika σ² baru populasi induk tidak diketahui σ² dapat diduga dengan s² jika n ≥ 30
6
Jika n < 30 => nilai s² amat bervariasi
Untuk n < 30 => distribusi t (t = student).
DISTRIBUSI STUDENT (t)
Fungsi DENSITAS f (t) =
Harga
K konstanta yang besarnya tergantung n.
Luas kurva (luas daerah dibawah kurva) = 1 unit .
Bentuk grafik = grafik distribusi normal simetrik terhadap t = 0.
Untuk distribusi t mendekati distribusi normal baku.
Contoh :
Berapa nilai t untuk p = 0,095 n = 25 tp = 1,75
= nuh => derajat bebas
Nilai tp tergantung
Probability (P)
Derajat bebas ( ) = n – 1
P = 0,95 P = 0,95 P = 0,995
n = 20 n = 10 n = 25
tp = 1,73 tp = 1,83 tp = 2,80
S² Kalau Ƭ² diketahui jangan hitung S² Kalau Ƭ tidak di ketahui maka hitunglah S²
n Σ i² - (Σ i)² S² = --------------------
n (n-1)
7
PENAKSIRAN PARAMETER
Kita berusaha untuk menyimpulkan populasi untuk itu kelakuan populasi di
pelajari berdasarkan data yang diambil secara sampling ataupun sensus. Dalam
kenyataanya, mengingat berbagai factor, untuk keperluan tersebut diambil sebuah sampel
yang representative lalu berdasarkan pada hasil analisis terhadap data sampel, kesimpulan
mengenai populasi di buat.
Kelakuan populasi yang akan di tinjau disini hanyalah mengenai parameter
populasi dan sampel yang digunakan adalah sampel acak. Data sampel dianalisis nilai-
nilai yang perlu, yaitu statistik, dihitung dan dari nilai-nilai statistik ini kita simpulkan
bagaimana parameter bertingkah laku. Cara pengambilan kesimpulan tentang parameter
yang pertama kali akan dipelajari ialah sehubungan dengan cara-cara menaksir harga
parameter.
Jadi harga parameter yang sebenarnya tetapi tak diketahui itu akan ditaksir
berdasarkan staristik sampel yang diambil dari populasi yang bersangkutan.
Parameter populasi yang akan ditaksir dan diuraikan dalam bagian ini terutama
adalah rata-rata simpangan baku dan persen.
Kenyataan yang terjadi adalah :
Menaksi Ө oleh terlalau tinggi
Menaksir Ө oleh terlalu rendah
Keduanya ini lebih jelas tidak dikehendaki karenanya kita membimbingkan
penaksiran yang baik bagiannya.
Berikut ini diberikan criteria untuk mendapatkan penaksiran yang baik :
1. penaksir dikatakan penaksir tak dibias jika rata-rata semua harga yang
mungkin akan sama dengan Ө. => Σ (Ө^) = Ө.2. penaksir bervariasi minimum : penaksir dengan varians terkecil diantara semua
penaksir untuk parameter yang pertama. Jika 1 dan 2 dua penaksir untuk Ө
dimana varians 1 < 2 maka 1 merupakan penaksir bervarians minimum.
8
3. misalkan penaksir untuk Ө yang berdasarkan sebuah sampel acak berukuran n.
jika ukuran sampel n makin besar mendekati ukuran populasi menyebabkan
mendekati Ө, maka disebut penaksir konsisten.
4. penaksir yang tak bias dan bervariasi minimum dinamakan penaksir terbaik.
MENAKSIR PARAMETER
Jika Ө adalah parameter populasi maka adalah penduga untuk Ө.
POPULASI Ө = μ = X¯ Ө μ P Ƭ² s²Penduga yang baik adalah pendugaan (penduga) yang tak bias dan paling efisien.
Menaksir parameter - taksiran titik
- taksiran selang
Tak siran selang (INTERVAL).sebuah selang yang di dengar diharapkan terletak
nilai parameter yang sebenarnya.
P ( 1 < θ < 2) = j
γ = koefien kepercayaan
Ө1 = batas kepercayaan sebelah bawah
Ө2 = batas kepercayaan sebelah atas
γ semakin besar maka semakin baik
γ = 0,95 – 0,99.
95 % nilai akar berada di antara 1 dan 2
taraf siqnifikan (<).
9
MENAKSIR RATA-RATA (μ)
Simpangan baku diketahui
Selang kepercayaan ( ) 100 % bagi μ
x¯ - Z ¹/2 γ < µ < x¯ + Z¹/2 γ
Contoh :
Telah diketahui Iq mahasiswa UNM. A berdistribusi normal dengan ragam 49.
sebuah sampel acak berukuran n= 36 mahasiswa. Di ambil dari populasi tersebut dan
rata-rata IӨ ke mahasiswa tersebut adalah 115 buatlah selang kepercayaan 95 % untuk
nilai tengah IӨ mahasiswa universitas A.
Penyelesaian
Dik : σ² = 49 σ = 7 n = 36 = 115
- Z ½ γ < μ< + z₁/₂γ
115 – z 0,475 < μ < 115+ Z 0,475
115 – 1,96 < μ < 115 + 1,96
112,711 < μ < 115 + 1,96
115 – Z 0,495
115-2.575
112 Contoh :
Jika IӨ mahasiswa universitas A terdistribusi normal dan tidak di ketahui.
Buatlah selang kepercayaan 95 %-99 % berdasarkan sampel acak ukuran 25 dengan rata-
rata 116 dan simpangan baku sampel 8.
Jawab :
n= 25 = 116 S = 8
10
- tp < μ < + tp
P =
= 0.975 DB = n – 1
= 25 – 1 = 24
Untuk J =95 % t 0,975,24 = 2,06
116 – 2,06
112,70 <μ
MENAKSIR RATA-RATA (μ)
Simpangan Baku Tidak Diketahui
- tp < μ < + tp
Tp dari tabel t => P =
DB = n – 1
Untuk J = 99 % P = = 0,995
DB = n-I => 25-1 = 24
tp 0,995,24 = 2,8
112,70 <
Selang kepercayaan (j) 100 % bagi μSimpangan baku tidak diketahui, tetap n cukup besar.
- tp < μ < + tp
11
Soal sama dengan sebelumnya.
Berdasarkan sampel uku7ran 64 dengan rata-rata 117 dan simpangan baku sampel 9.
Jawab :
N = 64 = 117 S = 9
Untuk ) j = 95 %
117 – t
Untuk J = 99 % dicari sendiri
UKURAN CONTOH UNTUK PENAKSIRAN RATA-RATA
Bila digunakan untuk menduga μ kita percaya (γ) 100 % bahwa bobotnya
tidak akan melebihi satuan tertentu b, bila ukuran contohnya di ambil sebanyak
²
Berapa n yang harus diambil kalau kita ingin percaya bahwa nilai dengan tidak
menyimpan dari μ sebanyak maka 2. Bila diketahui IӨ mahasiswa berdistribusi normal
dengan simpangan baku.
Jawab :
Dik : J = 95 % σ = 9 b = 2
N =
Menaksir selisi rata-rata (μ1 – μ2 ) σ1 = Ƭ₂ jn diketahui
(X¯₁‒X¯₂)‒ (μ₁‒μ₂<(85‒76)+
4,84 < μ₁‒μ₂< 13.16Ƭ₁ = Ƭ₂ tetapi tidak diketahui besarnya.
12
(X¯₁‒X¯₂)‒tp <(X¯₁‒X¯₂) + tp
P = DB = (μ₁+μ₂)‒2 S² = ( n₁‒1) S₁²+(n₂‒1)S3² n₁+n₂‒2
contoh :
selang kepercayaan (95 %) pada μ₁‒μ₂ dari universitas A yang terdiri dari 15
mahasiswa, dengan rata-rata 87 dan kelas B yang terdiri dari 14 mahasiswa dengan nilai
rata-rata 79 simpangan baku untuk kelas A dan B masing-masing 6 dan 7.
Jawab :
n₁ = 15 μ₂ = 14
X¯₁ = 87 X¯₂ = 79
S₁ = 6 S₂ = 7
Simpangan Baku Gabungan
S² = (15 – 1) 6² + (14 – 1) 7² = 14. 36 + 13. 49 15 + 14 – 2 27
S =
Untuk 95 % = J P =
DB = n₁ + n₂ - 2 = 27 t 0.975,27 = 2,05
(87-79) – 2.05 65 < μ₁‒μ₂ < (87-79) + 2,05 65
X < μ₁‒μ₂ < X₁
LANGKAH II PENGUJIAN HIPOTESIS
1. Nyatakan hyfotesis nol = Ho. Ө = Өo
2. Tentukan hypotesis alternatife = H₁ yang sesuai
H₁ = Ө < Өo, H₁ : Ө > Өo H₁: Ө ≄Өo
3. Taraf nyata / significans
catatan : biasanya ≥ 5 % (0-5 %)
13
4. Pilih Yi statistik yang sesuai : z, t ,y² ,F.
5. tentukan daerah kitis (tergantung pada H₁)
Ө<Өo => Yi pihak kiri
Catatan : Hypotesis di tolak PO daerah kritis (daerah di arsir)
Ө > Өo = Yi dua pihak kanan
Ө≄Өo => Yi dua pihak
6. Rating nilai statistik Yi berdasarkan data contoh.
7. Tolak Ho jika nilai statistik Yi jatuh pada daerah kritis.
8. Terima Ho jika nilai statistik Yi jatu diluar daerah kritis.
Tuliskan pernyataan yang bermakna tentang hypotesis yang terjadi.
Contoh : rata-rat curah hujan bulan januari 40 Cm.
Ho = μ = 40 Ho = μ = 5 ton
H₁ = μ > 25 H₁ = μ 5 ton
Yi rata-reata / nilai tengah (μ)
Z = X¯‒μo
14
Contoh :
Rata-rata masa pakai lampu merek A 800 jam dengan ragam 1600. apakah rata-
rata masa pakai lampu tersebut masih tetap jika dari 30 buah lampu yang diambil secara
acak menghasilkan masa pakai rata-rata 788 jam Yi dilakukan pada tarap ℓ = 5 %
Jawab : Ho = μ0 = 800 ℓ = 5 % X¯ = 788 n = 30
H₁ = μ1 ≄ 800 Ƭ² = 1600 => Ƭ = 40
=
Dari hasil hitungan Ho di terima atau berarti bahwa ; umur rata-rata dari lampu A
masih belum berubah.
1. Perusahaan alat olahraga menyatakan barang pancing sintetik yang menghasilkan
mempunyai kekuatan tidak kurang dari 8 Kg. Dengan simpangan baku 0,5 Kg.
Untuk menguji kebenaran ucapan tersebut 50 batang pancing dites dan
kekuatannya 7,8 Kg. Benarkah ucapan perusahaan tersebut pada taraf ℓ = 1%.
Jawab :
H0 = μ = 8 ℓ = 1% Ƭ = 0,5
H1 = μ < 8 X = 7,8
Z = X - μ
15
Dari hasil perhitungan terlihat bahwa H0 ditolak. Pernyataan tersebut diatas tidak
diterima (berarti tidak ada pancing yang tahan sampai 8 kg).
2. Harapan hidup rata-rata di 4S adalah 70 tahun. Dari catatan kematian sebanyak
100 orang yang diambil secara acak diperoleh umur rata-rata 71,8 tahun dan
simpangan baku 8,9 tahun. Apakah ini menunjukkan bahwa harapan hidup lebih
besar dari zona pada taraf ℓ = 5%.
Jawab :
H0 = μ = 70 ℓ = 5% N = 100 Z =
H1 = μ > 70 X = 71,8 S = 8,4 = Ƭ H0 ditolak
16
3. Masa pakai lampu rata-rata 800 jam untuk menguji hal tersebut dicoba 25 buah
lampu dan diperoleh rata 788 jam dan simpangan baku 50 jam. Apakah masa
pakai lampu belum berubah pada taraf ℓ = 1%.
Jawab :
H0 = μ = 800 ℓ = 1 S = 50
H1 = μ ≠ 800 μ = 25 X = 788
H0 diterima jadi masa pakai lampu masih mencapai rata-rata 800 jam.
4. Waktu rata-rata yang diperlukan untuk mendaftar 1 orang mahasiswa pada setiap
semester adalah 50 menit. Suatu prosedur pendaftaran baru dengan system
komputerisasi. Sedang dicoba bila suatu contoh diacak T/D. 12 mahasiswa
memerlukan waktu pendaftaran 42 menit dengan simpangan baku 11,9 menit
dengan sisitim tersebut ujilah hypotesis bahwa waktu yang dibutuhkan untuk
pendaftaran kurang 50 menit pada taraf ℓ = 5 % dan ℓ = 1 %.
Jawab :
Ho = μ = 50 ℓ = 5 %
H₁ = μ < 50 ℓ = 1 %
μ = 12. S = 11,9 X¯ 41
17
t = ℓ = 1 %
catatan :
untuk ℓ = 1 % Ho di terima
untuk ℓ = 5 % Ho ditolak
Proses pengisihan minuman ke dalam botol oleh sebuah mesin variasinya 0,50. sebuah
mesin baru di coba dan dari 20 botol yang di isi variasinya 0,40. apakah anda dapat
percaya bahwa mesin baru tersebut mengisi. Botol minuman dengan variasi lebih kecil ℓ
= 1 %.
Ho = Ƭ² = 0.5 ℓ = 1 % μ = 20
H₁ = Ƭ² < 0,5 S² = 0,4
X² = (n – 1) S² =
Ƭ² catatan lihat tabel X² P = 0.01 (¯ 1 %) DB = 20 – 1 = 19
Perusahan aki menyatakan bahwa simpangan baku aki yang diproduksinya adalah 0,9
Thn bilah suatu contoh acak 10 buah aki menghasilkan S = 1,2 Thn. Apakah menurut
anda . 0,9 Thn dengan ℓ = 5 %
Jawab :
Ho : Ƭ² = 0,9² = 0,81 n = 10 S = 12
H₁ : Ƭ² > 0,81 S²= 1,44
X² =
18
Catatan lihat tabel X²P = 0,01 (1 %)
DB = 20 – 1 = 19
Perusahaan aki menyatakan bahwa simpangan baku aki yang di produksinya adalah 0,9
Thn bila suatu contoh acak 10 buah aki menghasilkan S = 1,2 Thn. Apakah menurut anda
> 0,9 Thn dengan ℓ= 5%
Jawab :
Ho = Ƭ² = 0,9² =0,81 n = 10 S = 1,2
H₁ = Ƭ² > 0,81 S² = 1.44
X² =
Untuk uji 2 pihak
19
ℓ cari di tabel ℓ
X² (μi)
Uji proporsi
Dapatkah disimpulkan bahwa proporsi jenis laki-laki dan wanita sama jika dari 4800
orang yang diambil secara acak terdapat 2458 laki-laki pada taraf ℓ = 5 %.
Jawab :
Ho = μ¯ = 0,5 X = 2458
H₁ = μ¯≄ 0,5 n = 4800
Z =
(1- )< Z <Z (1- ) Z (1- ) di dapat dari tabel
dengan peluang (1-X)
(1-0,85) = 0,475
Jadi proporsi laki-laki dan wanita masih dapat diterima.
Obat penenanang ketegangan syaraf di duga hanya efektif 60%. Percobaan dengan obat
baru terhadap 100 pasien menunjukkan bahwa obat baru tersebut mempunyai 70%
efektif. Apakah ini cukup kuat untuk menyatakan bahwa obat baru tersebut efektif
dengan = 5%.
Jawab :
20
H0 = 0 = 0,6 = 5% = 70 % = 0,7.
H1 = >0,6 n = 100
Z = = = 2,04
H0 ditolak
H1 diterima
Uji Dua Nilai Tengah A. 1 = 2 = dan diketahui
Z =
H0 : U1=U2 Z ≥ Z (0,5-1/2 )
H1 : U1≠U2 Z ≤ -Z (0,5-1/2 )
H1 : U1 < U2 Z ≤ -Z (0,5- )
B. H1 : U1 >U2 Z ≥ Z (0,5- )
B. 1 = 2 = dan tidak diketahui
T = S2 =
H0 : U1 = U2
H1 : U1≠U2 t ≥ t1-1/2 U/ t ≤ - t1-1/2
H1 : U1 < U2 t ≤ -G-
H1 : U1 > U2 t ≥ t1-
DB = n1+n2-2
21
22
1 ≠ 2
T1 =
Daerah KritisH0 : U1 = U2
H1 : U1≠U2 t1≥ u/ t1 ≤ -
H1 : U1 < U2 t1 ≤ -
H1 : U1 > U2 t1 ≥
Dimana untuk 2 uji pihak
t1 = t (1- ½ ) (n1-1)
t2 = t (1- ½ ) (n2-1)
Uji Satu Pihak t1 = t (1- ½ ) (n1-1)
t2 = t (1- ½ ) (n2-1)
W1 = s12/n1 W2 = s2
2/n2
Observasi Berpasangan
T = Daerah Kritis
H0 : UB = 0
H1 : UB ≠ 0 t ≥ t (1-1/2 ) u/ t ≤ -t (1-1/2 )
H1 : UB<0 t ≤ -t (1- )
H1 : UB>0 t ≥ t (1- ) DB = n-1
23
Contoh:
Bahasa Inggris diberikan dengan 2 metode. Metode 1 untuk 25 mahasiswa metode II
untuk 14 mahasiswa. Nilai rata-rata metode 1 = 85 dengan simpangan baku 4 nilai rata-
rata metode II = 81 dengan simpangan baku 5. ujilah nilai rata-rata kedua metode II B
berbeda satu atau tidak pada rata-rata = 5%
Jawab :
H0 : U1 = U2 U1=15 U2= 14
H1 : U1≠U2 S1= 4 S2= 5
= 5 % X = 85 X= 81
T= S2 =
=
S = 4,51
T=
Ho ditolak
P = 1-1/2 ℓ = 0,975
DB = (U1 + U2) – 2 = 27
24
Jumlah pasangan ayah dan anak 10. rata-rata beda tinggi anak dan ayah 0,8 dan
SB2=11,07. ujilah Po taraf =5% beda tinggi ayah dan anak cukup berarti.
Jawab :
Ho = UB = 0 = 5% SB2 = 11,07 = 3.33
H1 = UB ≠ 0 B = 0,8 N = 10
T = t = (1-1\2 ):n-1 = t 0,995,9
= 2,26
Ho terminal
25