Kvantitativnı rızenı rizik
9.10.2015
Core syllabus for actuarial training in Europe
- pozadavky na vzdelanı plnych clenu asociacı sdruzenych v
Actuarial Association of Europe (drıve GC)
12. Quantitative Risk Management and Solvency
Aim: To provide a grounding in the quantitative aspects of risk
management
(a) Risk classification
(b) Measuring risk
(c) Diversification
(d) Dynamic financial analysis and internal models
(e) Capital requirements
Core syllabus for actuarial training in Europe
13. Actuarial Enterprise Risk Management
Aim: To provide the technical skills to apply the principles and
methodologies studied under actuarial technical subjects for the
identification, quantification and management of risks.
vyuka ve spolupraci s Ceskou spolecnostı aktuaru
Core syllabus for actuarial training in Europe
Topics:
The general operating environment of the enterprise
Assessment of risks; risk types and risk measures
Design and pricing of products and/or services
Determination of assumptions and scenario setting
Reserving and valuation of liabilities
Risk mitigation
Asset Liability Management
Monitoring the experience and exposure to risk
Solvency and profitability of the enterprise and the management of
capital
Kvantitativnı rızenı rizik
- matematicke (zejmena pravdepodobnostnı a statisticke) nastroje
pro merenı (kvantifikaci) rizik a jejich uzitı v rızenı rizik (zajistenı
solventnosti, profitability)
- zahrnuje techniky z ruznych disciplın (financnı matematika,
ekonometrie, statistika, teorie rizika, pojistna matematika...)
A.J. McNeil, R. Frey, P. Embrechts: Quantitative Risk
Management: Concepts, Technics and Tools, 2005
Kvantitativnı rızenı rizik
- mıry rizika, agregace rizik, alokace kapitalu
- teorie extremu (modelovanı neocekavanych, abnormalnıch jevu,
rozdelenı s tezkymi chvosty)
- mnohorozmerne modely (celkove riziko zavisı na vektorech
rizikovych faktoru)
- modelovanı zavislostı (kopuly, koncova zavislost - zavislost mezi
extremnımi hodnotami)
Klasifikace rizik
Hlavnı typy rizik ve financnıch institucıch:
- trznı riziko (akciove, urokove, menove, komoditnı): riziko zmeny
trznıch cen a jejıho dopadu na zisk (resp. vlastnı kapital)
- kreditnı riziko (riziko selhanı protistrany): riziko vyplyvajıcı z
neschopnosti nebo neochoty protistrany splatit sve zavazky
- operacnı riziko: riziko ztraty v dusledku nedostatecnosti nebo
selhanı vnitrnıch procesu, osob, systemu, externıch udalostı
Klasifikace rizik
- pojistne-technicke riziko (riziko rezerv, riziko pojistneho)
- riziko likvidity: riziko nedostatku moznostı prodat nebo koupit
investici dostatecne rychle za ucelem minimalizace ztraty
- modelove riziko: riziko spojene s uzıvanım nevhodneho modelu
pro merenı rizik
Regulatornı pozadavky
Basel II - dokument Basilejskeho vyboru pro bankovnı dohled
- doporucenı implementovana do legislativy jednotlivych zemı
Solventnost 2 - direktiva EU upravujıcı dohled nad solventnostı
pojist’oven (ma platit od roku 2016)
- sjednocuje postupy s projektem Basel II pro banky
Basel II
1. pilır: vypocet minimalnıch kapitalovych pozadavku (regulatornı
kapital) pro trznı, kreditnı a operacnı riziko
- umoznuje pouzıt standardizovane postupy nebo pokrocilejsı
modely vyvinute bankou (napr. IRB(internal-ratings-based) prıstup
v kreditnım riziku, AMA (advanced measurement approach) v
operacnım riziku)
2. pilır: dohled nad kapitalovou primerenostı, internı systemy rızenı
rizik
3. pilır: trznı disciplina - zverejnovanı informacı dulezitych pro
ucastnıky trhu
Solventnost 2
1. pilır: kvantitativnı pozadavky na pojist’ovnu.
Zakladem je adekvatnı zobrazenı expozice ruznym typum rizika.
2 stupne kapitaloveho pozadavku:
Solvencnı kapitalovy pozadavek (SCR) - muze byt stanoven
pomocı standardnıho nebo internıho modelu. Jeho nesplnenı vyvola
podle zavaznosti opatrenı dohledoveho organu.
Minimalnı kapitalovy pozadavek (MCR). Pokud vlastnı prostredky
nedosahujı vyse MCR, je ohrozeno dalsı fungovanı pojist’ovny,
dojde k odnetı povolenı k pojist’ovacı cinnosti.
Solventnost 2
2. pilır: kvalitativnı pozadavky na vlastnı system rızenı rizik,
pravidla pro cinnost dohledu pri kontrole plnenı kvantitativnıch i
kvalitativnıch pozadavku.
3. pilır: trznı disciplina - otevrenost vuci dozoru i verejnosti,
zverejnovanı informacı dulezitych pro ucastnıky trhu (vcetne
solventnostnı pozice i kvality systemu rızenı rizik).
Ekonomicky kapital
ekonomicky kapital - kapital potrebny k zajistenı schopnosti
splnit v danem casovem horizontu prevzate zavazky s danou
pravdepodobnostı
L - riziko, tj. nahodna velicina predstavujıcı ztratu v uvazovanem
obdobı
ρ(L) - mıra rizika (nezaporne cıslo, zavisı na rozdelenı n.v. L)
ekonomicky kapital:
EC(L) = ρ(L)− E L
Hodnota v riziku
FL(l) - d.f. rozdelenı ztraty za obdobı pevne zvolene delky
hodnota v riziku na hladine α ∈ (0, 1):
VaRα = inf{l ∈ R : P(L > l) ≤ 1− α}
= inf{l ∈ R : FL(l) ≥ α}
Poslednı vyraz na prave strane odpovıda definici kvantilove funkce
prıslusne d.f. FL, lze tedy rıci, ze hodnota v riziku je α-kvantil
rozdelenı ztraty L, tj. VaRα = qα(FL). V praxi se nejcasteji volı
α = 0, 95, α = 0, 99 nebo α = 0, 995.
Zbytkova hodnota v riziku
FL(l) - d.f. rozdelenı ztraty za obdobı pevne zvolene delky,
E(|L|) < ∞zbytkova hodnota v riziku (expected shortfall, tail value at
risk) na hladine spolehlivosti α ∈ (0, 1):
ESα =1
1− α
∫ 1
αqu(FL)du,
kde qu(FL) je kvantilova funkce prıslusna d.f. FL
Zbytkova hodnota v riziku
ESα =1
1− α
∫ 1
αVaRu(L)du
ESα ≥ VaRα
Pokud uvazujeme rozdelenı ztraty L se spojitou d.f. FL, muzeme
psat
ESα =E[L; L ≥ qα(FL)]
1− α= E (L|L ≥ VaRα) ,
kde E[X ;A] = E(X IA).
Koherentnı mıry rizika
1) translacnı invariance:
Pro l ∈ R platı
ρ(L + l) = ρ(L) + l
Prictenı nebo odectenı deterministicke hodnoty vede ke zmene
pozadovaneho kapitalu o stejnou castku.
2) subaditivita:
ρ(L1 + L2) ≤ ρ(L1) + ρ(L2).
Subaditivita vyjadruje predstavu, ze riziko muze byt redukovano
diverzifikacı.
Koherentnı mıry rizika
3) pozitivnı homogenita:
Pro λ > 0 platı
ρ(λ L) = λ ρ(L).
4) monotonie:
Pro L1, L2 takove, ze L1 ≤ L2 s.j., platı ρ(L1) ≤ ρ(L2).
Hodnota v riziku (VaR) je translacne invariantnı, pozitivne
homogennı a monotonnı, obecne nenı subaditivnı.
Zbytkova hodnota v riziku (ES) je koherentnı mıra rizika.
Kapitalovy pozadavek
Uvazujme instituci, ktera je vystavena ruznym rizikum,
predstavovanym nezapornymi nahodnymi velicinami L1, . . . , Ln
(napr. ztraty podle typu rizik, podle odvetvı).
Cılem je stanovit ekonomicky kapital k celkovemu riziku.
”bottom-up” princip: pozadavky pro jednotliva rizika (trıdy rizik)
→ celkovy kapitalovy pozadavek
- nutno zvolit zpusob agregace, ktery odpovıda zavislostnı
strukture dılcıch rizik
Solventnost 2 - standardnı formule
SCR =
√∑i ,j
Corri ,j SCRi SCRj
SCRi - pozadavky stanovene pro rizikove moduly (nezivotnı
pojistne riziko, zivotnı pojistne riziko, zdravotnı pojistne riziko,
trznı riziko, riziko selhanı protistrany)
Corri ,j - koeficienty vyjadrujıcı korelaci mezi jednotlivymi rizikovymi
moduly, predepsany direktivou
SCR pro jednotlive moduly stanoveny na obdobnem principu na
zaklade submodulu
K zakladnımu SCR se pricıta pozadavek stanoveny pro krytı
operacnıho rizika.
Kapitalovy pozadavek
”top-down” princip: modeluje se celkove riziko, k nemu se pomocı
zvolene mıry rizika stanovı ekonomicky kapital
- vysledny kapitalovy pozadavek pak byva rozdelen mezi dılcı
rizika, k tomu je treba technika alokace kapitalu
Prıklad: internı model podle S2
Deterministicka bilance v case t = 0 slouzı jako vychozı baze pro
dalsı modelovanı. Pomocı stochastickeho modelu zisku a ztrat se
projektujı hodnoty aktiv a pasiv v case t = 1. Simulace vychazejı z
predpokladu o novem obchodu i stavajıcım kmeni. Vysledky
simulacı se pouzijı k analyze rozdelenı vlastnıho kapitalu v case
t = 1.
Agregace rizik
Dale budeme uvazovat ekonomicky kapital stanoveny uzitım
hodnoty v riziku VaRα. Necht’ pro celkove riziko L platı
L =n∑
i=1
Li .
Hledame odhad VaRα(L), resp. EC(L) na zaklade techto hodnot
stanovenych pro dılcı rizika Li a dalsıch predpokladu o sdruzenem
rozdelenı velicin (L1, . . . , Ln).
Agregace souctem
VaRα(L) =n∑
i=1
VaRα(Li )
ESα(L) =n∑
i=1
ESα(Li )
EC (L) =n∑
i=1
EC(Li )
Kdy jsou tyto formule korektnı?
Odpoved’: Pokud jsou veliciny L1, . . . , Ln komonotonnı.
Nahodne veliciny L1, . . . , Ln jsou komonotonnı, pokud existuje n.v.
Z a neklesajıcı funkce t1, . . . , tn takove, ze
(L1, . . . , Ln) =d (t1(Z ), . . . , tn(Z )).
Diverzifikacnı efekty
Komonotonie predstavuje nejsilnejsı moznou pozitivnı zavislostnı
strukturu mezi nahodnymi velicinami. Pri pouzitı agregace souctem
aproximujeme sdruzene rozdelenı dılcıch ztrat rozdelenım se
stejnymi marginalnımi distribucemi a komonotonnımi slozkami.
Diverzifikacnı efekty muzeme merit rozdılem
VaRα(L)− VaRα(L)
nebo
ESα(L)− ESα(L)
Pozn. VaR nenı subaditivnı, nemusı tedy nabyvat maximalnı
hodnotu pro soucet komonotonnıch rizik.
Agregace pomocı korelacnı matice
Necht’ rij znacı koeficient linearnı korelace mezi riziky Li a Lj :
rij =Cov(Li , Lj)√σ2(L1)σ2(L2)
, i , j = 1, . . . , n
Odhad ekonomickeho kapitalu pro celkove riziko:
EC(L) =
√√√√ n∑i ,j=1
rij EC(Li ) EC(Lj)
Kdy je tato formule korektnı?
Agregace pomocı korelacnı matice
Odpoved’: Pokud veliciny L1, . . . , Ln majı vıcerozmerne normalnı
rozdelenı.
Pokud ma riziko Li rozdelenı N(E Li , σ(Li )
2), platı
VaRα = E Li + σ(Li ) zα,
EC(Li ) = zα σ(Li ),
kde zα je prıslusny kvantil rozdelenı N(0, 1).
Agregace pomocı korelacnı matice
Pritom L =∑n
i=1 Li ma normalnı rozdelenı se strednı hodnotou∑ni=1 E Li a rozptylem
σ2(L) =n∑
i=1
σ2(Li ) +∑i 6=j
rij σ(Li ) σ(Lj).
Vynasobenım obou stran teto rovnosti z2α dostaneme vyjadrenı pro
ekonomicky kapital celkoveho souctu L stanoveny na zaklade
hodnoty v riziku.
Elipticka rozdelenı
Vyse uvedena argumentace je v platnosti pro obecnejsı trıdu tzv.
eliptickych rozdelenı.
Nahodny vektor L = (L1, . . . , Ln)′ ma elipticke rozdelenı
En(µ,Σ, φ) - s parametry µ, Σ a charakteristickym generatorem φ,
pokud pro jeho charakteristickou funkci platı
E exp(i t′L) = exp(i t′µ) φ(t′Σt
), t ∈ Rn .
Pozn. Reprezentaci En(µ,Σ, φ) lze volit tak, ze Σ je kovariancnı
matice vektoru L.
Specialne: Nn(µ,Σ) = En(µ,Σ, φ), kde φ(t) = e−t2 .
Solventnost 2 - standardnı formule
SCR =
√∑i ,j
Corri ,j SCRi SCRj
Prostrednictvım koeficientu Corri ,j < 1 jsou do vypoctu
kapitaloveho pozadavku zahrnuty diverzifikacnı efekty. Tyto
korelacnı koeficienty nelze povazovat za koeficienty linearnı
korelace:
Corri ,j 6= ri ,j
Pri znamem rozdelenı dılcıch rizik a znamem rozdelenı jejich
souctu by se koeficienty Corri ,j volily tak, aby vysledny kapitalovy
pozadavek odpovıdal ekonomickemu kapitalu stanovenemu pro
soucet dılcıch rizik. V praxi jsou tyto hodnoty zalozeny na
expertnım odhadu.
Agregace pomocı kopul
Simulace vektoru z rozdelenı se sdruzenou dist. funkcı
F (l1, . . . , ln) = C (F1(l1), . . . ,Fn(ln))
kde C je kopula vyjadrujıcı modelovanou zavislostnı strukturu
velicin L1, . . . , Ln.
Mıra rizika se odhaduje ze souctu takto simulovanych hodnot.
Alokace kapitalu
alokace kapitalu - rozdelenı celkoveho kapitalu drzeneho firmou
mezi jejı komponenty (napr. odvetvı podnikanı, typy rizik, uzemı,
produkty v portfoliu)
duvody pro delenı kapitalu mezi odvetvı (lines of business):
- redistribuce nakladu spojenych s drzenım kapitalu (promıtnou se
do poplatku uctovanych klientum)
- alokace nakladu pro ucely financnıch vykazu
- hodnocenı vykonnosti pomocı vynosu z alokovaneho kapitalu
- podpora rozhodovanı o prıpadne expanzi nebo redukci odvetvı
Alokace kapitalu
Necht’ pro celkove riziko L spolecnosti platı
L =n∑
i=1
Li ,
kde L1, . . . , Ln jsou nahodne veliciny predstavujıcı ztraty z
jednotlivych odvetvı podnikanı.
Je dan celkovy rizikovy kapital K , cılem je stanovit nezaporne
hodnoty K1, . . . ,Kn (alokace jednotlivym odvetvım) tak, aby
K =n∑
i=1
Ki .
Haircut princip
Kapital pro odvetvı i se stanovı jako
Ki = γ F−1Li
(p),
kde
F−1L (p) = inf{x ∈ R |FL(x) ≥ p}, p ∈ [0, 1],
je kvantilova funkce prıslusna distribucnı funkci FL.
γ se stanovı tak, aby soucet alokovanych kapitalu byl roven K , tj.
Ki =K∑n
j=1 F−1Lj
(p)F−1
Li(p), i = 1, . . . , n.
Haircut princip
I Pri danem celkovem kapitalu K vede k alokaci, ktera nezavisı
na zavislostnı strukture mezi ztratami jednotlivych odvetvı.
I Pri pouzitı VaR jako mıry rizika muze byt Ki > F−1Li
(p) (VaR
nenı subaditivnı).
I Na vsechny hodnoty F−1Li
(p) se uplatnuje stejna
proporcionalnı redukce (resp. zvysenı) dane koeficientem γ.
Inverze distribucnı funkce
α-smısena inverznı distribucnı funkce:
F−1(α)X (p) = α F−1
X (p) + (1− α) F−1+X (p), p ∈ (0, 1), α ∈ [0, 1],
kde
F−1+X (p) = sup{x ∈ R |FX (x) ≤ p}, p ∈ [0, 1].
Pro kazde x takove, ze 0 < FX (x) < 1, existuje αx ∈ [0, 1] takove,
ze
F−1(αx )X (FX (x)) = x .
Kvantilovy princip
Kapital pro odvetvı i se stanovı jako
Ki = F−1(α)Li
(βp),
kde α a β se volı tak, aby K =∑n
i=1 Ki .
I Nezohlednuje zavislosti mezi odvetvımi.
I Pouzıva stejne kvantily pro vsechna rizika (efekt diverzifikace
se projevı v pouzitı kvantilu na hladine β p mısto p).
Pomocne vysledky
Tvrzenı. Pro zleva spojitou neklesajıcı funkci g platı
F−1g(X )(p) = g
(F−1
X (p)).
Dukaz. Z definice kvantilove funkce plyne
F−1g(X )(p) ≤ x ⇔ p ≤ Fg(X )(x).
Ze spojitosti zleva funkce g mame pro vsechna x a z
g(z) ≤ x ⇔ z ≤ sup{y |g(y) ≤ x}.
Odtud
p ≤ Fg(X )(x) ⇔ p ≤ FX [sup{y |g(y) ≤ x}] .
Pomocne vysledky
Pokud je sup{y |g(y) ≤ x} 6= ±∞, platı
p ≤ FX [sup{y |g(y) ≤ x}] ⇔ F−1X (p) ≤ sup{y |g(y) ≤ x}.
(Platı i v prıpade sup{y |g(y) ≤ x} = ±∞.)
F−1X (p) ≤ sup{y |g(y) ≤ x} ⇔ g
(F−1
X (p))≤ x .
Celkem
F−1g(X )(p) ≤ x ⇔ g
(F−1
X (p))≤ x
platı pro vsechna x , odtud plyne tvrzenı.
Pomocne vysledky
Podobne se dokaze, ze pro neklesajıcı zprava spojitou funkci g platı
F−1+g(X )(p) = g
(F−1+
X (p)).
Mejme nahodny vektor L = (L1, . . . , Ln). Potom nahodny vektor(F−1
L1(U), . . . ,F−1
Ln(U)
), kde U je n. v. s rovnomernym rozdelenım
na (0, 1), je vektor komonotonnıch velicin se stejnymi marginalnımi
d.f.
Oznacme
SC =n∑
i=1
F−1Li
(U).
Pomocne vysledky
Tvrzenı.
F−1(α)SC
(p) =n∑
i=1
F−1(α)Li
(p), p ∈ (0, 1), α ∈ [0, 1].
Dukaz vychazı z toho, ze
g(u) =n∑
i=1
F−1Li
(u)
je zleva spojita neklesajıcı funkce.
Pomocne vysledky
Tj. dle predchozıho pro p ∈ (0, 1)
F−1SC
(p) = F−1g(U)(p) = g
(F−1
U (p))
= g(p) =n∑
i=1
F−1Li
(p).
Podobne se dokaze
F−1+SC
(p) =n∑
i=1
F−1+Li
(p), p ∈ (0, 1)
uzitım toho, ze
g(u) =n∑
i=1
F−1+Li
(u)
je zprava spojita neklesajıcı funkce.
Kvantilovy princip
Hodnoty α a β se stanovı ze vztahu
K =n∑
i=1
F−1(α)Li
(βp).
Zavedeme opet sumu komonotonnıch velicin
SC =n∑
i=1
F−1Li
(U),
kde U ma rovnomerne rozdelenı na (0, 1).
Z vyse uvedenych pomocnych vysledku vyplyva
K = F−1(α)SC
(β p).
Kvantilovy princip
Odtud plyne
β p = FSC(K )
a take
K = F−1(α)SC
(FSC(K )) .
Z poslednıho vztahu urcıme parametr α, alokace podle
kvantiloveho principu je pak popsana vztahem
Ki = F−1(α)Li
(FSC(K )) , i = 1, . . . , n.
Kvantilovy princip
Uvazujme specialnı prıpad, kdy vsechny distribucnı funkce FLijsou
spojite a rostoucı.
Potom se alokace podle kvantiloveho principu redukuje na
Ki = F−1Li
(FSC(K )) , i = 1, . . . , n.
Kvantilovy princip lze v tomto prıpade chapat jako specialnı prıpad
haircut principu s volbou
p = FSC(K ).
Kovariancnı princip
Kapital pro odvetvı i se stanovı jako
Ki =K
σ2(L)Cov(Li , L), i = 1, . . . , n,
kde σ2(L) je rozptyl celkoveho rizika.
Bere v uvahu zavislostnı strukturu: odvetvım, jejichz riziko je vıce
korelovano s celkovym rizikem, je alokovano vıce kapitalu.
Princip zbytkove hodnoty v riziku
Uvazujme rizika se spojitymi distribucnımi funkcemi. Potom ma
zbytkova hodnota v riziku na hladine p pro celkove riziko vyjadrenı
ESp(L) = E[L|L > F−1
L (p)].
Princip alokace kapitalu zalozeny na zbytkove hodnote v riziku
popisuje formule
Ki =K
ESp(L)E
[Li |L > F−1
L (p)], i = 1, . . . , n.
Bere v uvahu zavislostnı strukturu: odvetvı s vetsı podmınenou
strednı hodnotou pri ”vysoke” celkove ztrate majı alokovan vetsı
kapital.
Proporcionalnı alokace
Vyse uvedene principy alokace kapitalu lze chapat jako specialnı
prıpady principu proporcionalnı alokace. Pri nem volıme mıru
rizika ρ a alokujeme kapital
Ki = α ρ(Li ), i = 1, . . . , n.
α se volı tak, aby K =∑
Ki , tj.
Ki =K∑n
j=1 ρ(Lj)ρ(Li ), i = 1, . . . , n.
Proporcionalnı alokace
I haircut princip: ρ(Li ) = F−1Li
(p)
I kvantilovy princip: ρ(Li ) = F−1Li
(FSC(K ))
I kovariancnı princip: ρ(Li ) = Cov(Li , L)
I princip zbytkove hodnoty v riziku: ρ(Li ) = E[Li |L > F−1
L (p)]
Poslednı dve mıry rizika nezavisı jen na rozdelenı Li (vliv zavislostnı
struktury).
Proporcionalnı alokace
Predpokladejme, ze K = ρ(L). Potom diverzifikacnı efekt
vyjadreny nerovnostı
Ki ≤ ρ(Li ), i = 1, . . . , n,
je dosazen prave kdyz
K = ρ(L) ≤n∑
j=1
ρ(Lj).
Tato podmınka je splnena, pokud mıra rizika ρ je subaditivnı.
Literatura
I. Justova: Agregace rizik. (V: Matematika a rızenı rizik 2009/10,
Matfyzpress Praha 2010)
A.J. McNeil, R. Frey, P. Embrechts: Quantitative Risk
Management: Concepts, Technics and Tools, Princeton University
Press 2005.
J. Dhaene, A. Tsanakas, E.A.Valdez, S. Vanduffel: Optimal Capital
Allocation Principles. The Journal of Risk and Insurance, 2012,
Vol.79, No1, 1-28.
J. Dhaene, M. Denuit, M.J.Goovaerts, R.Kaas, D.Vyncke: The
Concept of Comonotonocity in Actuarial Science and Finance:
Theory. Insurance: Mathematics and Economics, 2002, 31, 3-33.