Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
1
LE CONICHE DEL PIANO REALE
§ 1. - IL PIANO PROIETTIVO REALE
A) Coordinate omogenee
Ad ogni punto
!
P= x,y"
# $ $
%
& ' ' del piano
!
R2 associamo
una terna ordinata
!
x0, x1, x2( ) non nulla in
modo che:
!
x = x1 x0y = x2 x0
" # $ (1)
Allora dobbiamo porre
!
x0 " 0.
Inoltre, ogni terna
!
kx0,kx1,kx2( ), k " 0,
individua lo stesso P.
Allora scriveremo
!
P = x0, x1, x2[ ] , classe
d’equivalenza di terne proporzionali, dette
coordinate omogenee di P.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
2
Se
!
x0 = 0, non abbiamo un punto di
!
R2 .
Diremo che la classe di terne non nulle
!
0, x1, x2[ ] è un punto improprio.
Il piano
!
R2 unito con l’insieme dei punti
impropri è detto piano proiettivo reale
!
"2 R( ) .
Data ora una curva algebrica di equazione
!
f x,y"
#
$ $
%
&
' ' =0 di grado n ! 1, la sostituzione (1) e
l’eliminazione del denominatore comune
trasformano il polinomio f in un polinomio
omogeneo
!
f x0, x1, x2( ) = 0 di grado n.
!
!
k " 0 si ha
!
f kx0,kx1,kx2( ) = kn " f x0, x1, x2( ) ,
quindi potremmo scrivere
!
f x0, x1, x2[ ] = 0.
Le soluzioni con
!
x0 = 0 sono i punti impropri
della curva algebrica.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
3
B) Le rette.
Una retta r di
!
R2 ha equazione
!
ax + by + c = 0 ,
con a, b non entrambi nulli.
In coordinate omogenee conviene riscriverla
così:
!
a0x0 + a1x1 + a2x2 = 0.
Osserviamo che !
!
k " 0 anche l’equazione
!
ka0( )x0 + ka1( )x1 + ka2( )x2 = 0 rappresenta r,
quindi possiamo identificare ogni retta r con
la classe
!
r = a0,a1,a2[ ] di terne non nulle di
coefficienti proporzionali.
Il caso
!
a1 = a2 = 0, ossia
!
1,0,0[ ] , non dà una retta
di
!
R2 , ma l’equazione
!
x0 = 0 è di primo grado,
quindi è naturale chiamarla retta: i suoi punti
sono tutti e soli i punti impropri del piano
proiettivo, quindi la chiameremo ret ta impropria .
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
4
Notiamo ora che in
!
"2 R( ) non c’è distinzione
tra punti propri ed impropri, o tra le rette
proprie e la retta impropria; è un nuovo
ambiente geometrico, nel quale punti e rette
si rappresentano allo stesso modo.
a) L’appartenenza di un punto
!
P = x0, x1, x2[ ]
alla retta
!
r = a0,a1,a2[ ] è l’annullarsi del
prodotto scalare delle due terne:
!
a0x0 + a1x1 + a2x2 = 0
b) La retta
!
r = a0,a1,a2[ ] passante per i punti
distinti
!
P = x0, x1, x2[ ] e
!
Q = y0, y1, y2[ ] si trova
calcolando il prodotto vettoriale di P e Q:
!
r = a0,a1,a2[ ] =x1 x2y1 y2
," x0 x2y0 y2
, x0 x1y0 y1
#
$ % %
&
' ( ( .
c) Analogamente, due rette distinte r ed s
hanno in comune il punto P ottenuto col
prodotto vettoriale delle due terne.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
5
C) Le collineazioni
Un automorfismo o collineazione di
!
"2 R( ) è
una permutazione dei punti che trasforma
rette in rette. Le collineazioni costituiscono
il gruppo
!
G = Aut "2 R( )#
$ %
&
' ( .
Struttura di G: sia
!
GL3 R"
#
$ $
%
&
' ' il gruppo delle
matrici invertibili d’ordine 3. Il suo centro è
!
"I3
" #0$ % &
' &
( ) &
* & , (matrici “scalari”) ed il quoziente
!
PGL3 R"
#
$ $
%
&
' ' =GL3 R
"
# $ $
%
& ' ' Z GL3 R
"
# $ $
%
& ' ' ( ) è isomorfo a G,
perché trasforma vettori di
!
R3 in vettori di
!
R3 a meno di un fattore di proporzionalità.
Scritti i punti proiettivi X, Y come colonne,
presa una matrice invertibile M ed un
!
" #0,
ogni collineazione ha la forma
!
"Y=M#X .
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
6
Proprietà del gruppo G:
- G agisce transitivamente sui punti: !P,
Q"
!
"2 R( ) , #
!
" # G, tale che
!
" P( ) = Q .
- G agisce transitivamente anche sulle rette.
- G agisce transitivamente sull’insieme dei
quadrilateri non degeneri: dati i punti
!
O = 1,0,0[ ],
!
X = 0,1,0[ ] ,
!
Y = 0,0,1[ ] ,
!
I = 1,1,1[ ] , ed un
quadrilatero non degenere ABCD, #
!
" # G ,
tale che
!
" OXYI( ) = ABCD .
Allora, per semplificare calcoli, ai vertici di
ogni quadrilatero possiamo assegnare quelle
quattro terne di coordinate omogenee.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
7
D) Le coniche
Una conica di
!
"2 R( ) è una curva algebrica di
II grado, che possiamo scrivere nella forma:
!
a00x02
+ a11x12
+ a22x22
+
+2a01x0x1 + 2a02x0x2 + 2a12x1x2 = 0
con i coefficienti non tutti nulli, individuati a
meno di una costante moltiplicativa non
nulla, come al solito.
Sia
!
A =
a00 a01 a02a01 a11 a12a02 a12 a22
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' la matrice simmetrica
dei coefficienti. Se scriviamo il generico
punto
!
X "#2 R( ) come colonna, l’equazione
della conica diventa
!
Xt"A"X=0.
Gli autovalori
!
"0, "1, "2 di A sono tutti reali e
non tutti nulli, perché A non è la matrice nulla.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
8
La trasformazione (ortogonale) di coordinate
che porta la matrice A alla forma diagonale
!
"0 0 00 "1 00 0 "2
#
$
% % %
&
'
( ( ( induce una collineazione nel piano
proiettivo, che trasforma la conica data nella
conica
!
"0 # x02
+ "1 # x12
+ "2 # x22
= 0.
Pertanto, ogni conica è proiettivamente
equivalente ad una di questo tipo.
Cerchiamo ora di classificarla.
Nel campo complesso la distinzione principale è
la quantità di autovalori non nulli, ossia il rango
della matrice A.
Nel campo reale conta anche il segno degli
autovalori.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
9
A) Sia
!
"1 = "2 = 0. Allora
!
"0 # 0 e
quindi, semplificandolo, si ottiene
l’equazione
!
x02
= 0. Essa si spezza nelle
due equazioni uguali
!
x0 = 0, che danno la
retta proiettiva doppia
!
1,0,0[ ] .
B)
!
"2 = 0, unico autovalore nullo. Allora
la conica ha equazione
!
"0 # x02
+ "1 # x12
= 0,
o anche, posto
!
µ = "1 / "0 ,
!
x02
+ µ " x12
= 0.
Nel campo complesso avremmo due rette
distinte.
Nel campo reale, invece, tutto dipende dal
segno di µ
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
10
Se µ < 0, allora la trasformazione di
coordinate
!
y0 = x0y1 = µ " x1y2 = x2
#
$ % %
& % %
produce l’equazione
!
y02" y1
2= 0 e quindi si hanno le due rette
proiettive distinte
!
1, ±1,0[ ] ;
se µ > 0, allora la stessa trasformazione
produce l’equazione
!
y02
+ y12
= 0, che
implica
!
y0 = y1 = 0 e quindi il solo punto
reale
!
0,0,1[ ] .
C) I tre autovalori siano non nulli. Il
polinomio
!
f x0, x1, x2( ) = "0 # x02
+ "1 # x12
+ "2 # x22
non si spezza nel prodotto di due fattori
lineari, ossia la conica è non degenere.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
11
Nel campo reale possiamo avere tre
autovalori con lo stesso segno, che
possiamo supporre positivo, oppure due con
un segno ed uno col segno opposto, e
possiamo supporre che siano positivi gli
ultimi due.
Nel primo caso, la forma quadratica è definita
positiva, dunque si annulla solo per
!
x0 = x1 = x2 = 0, che non ha significato nel piano
proiettivo, quindi la conica non ha punti reali.
Con un ulteriore cambio di coordinate, ossia
posto
!
y0 = "0 # x0y1 = "1 # x1y2 = "2 # x2
$
% & &
' & &
, si ottiene l’equazione:
!
y02
+ y12
+ y22
= 0.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
12
Nel secondo caso, si possono dividere i tre
coefficienti per
!
"0 e porre
!
µi = "# i / #0,
ottenendo
!
x02
= µ1 " x12
+ µ2 " x22, con
!
µi > 0, i = 1,2.
Per ogni coppia di valori non entrambi nulli
assegnati ad
!
x1, x2 si ricavano due valori
opposti di
!
x0 : ci sono infiniti punti reali.
L’ulteriore cambio di coordinate:
!
y0 = x0y1 = µ1 " x1y2 = µ2 " x2
#
$ %
& % %
dà il risultato finale,
!
y02
= y12
+ y22.
Il cambiare sistema di riferimento equivale a
trasformare la conica con una collineazione,
pertanto, ogni conica con il determinante della
matrice A non nullo è proiettivamente
equivalente ad una conica di equazione
!
y02
+ y12
+ y22
= 0 oppure
!
y02
= y12
+ y22.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
13
Riassumendo, ogni conica nel piano
proiettivo reale è proiettivamente equivalente
ad una delle coniche seguenti:
!
x02
= 0 Retta doppia
!
x02" x1
2= 0 Due rette
distinte Coniche
degeneri
!
x02
+ x12
= 0 Un solo punto
reale
!
x02
+ x12
+ x22
= 0 Nessun punto
reale Coniche non
degeneri
!
x02" x1
2" x2
2= 0 Conica reale
non degenere
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
14
Esercizio. Sia data la conica proiettiva
!
8x0x2 + 5x12
= 0 . Proviamo a classificarla:
La sua matrice è
!
A =
0 0 40 5 04 0 0
"
#
$ $ $
%
&
' ' ' ed i suoi
autovalori si trovano risolvendo
!
det A " t # I3( ) =
"t 0 40 5 " t 04 0 "t
= " t "5( ) # t2 "16$
% &
'
( ) = 0
.
Si trovano le tre radici 5, -4, 4, ossia due
positive ed una negativa. Siamo quindi nel
caso “ordinario” della conica reale non
degenere.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
15
Proprietà delle coniche nel piano proiettivo
Lemma 1. Se una conica ed una retta hanno
in comune tre punti distinti, allora la conica è
degenere e contiene la retta.
Teorema 2. Siano dati in
!
"2 R( ) cinque punti
distinti A, B, C, D, E.
a) Esiste sempre una conica alla quale
appartengono.
b) Se al più tre di essi sono allineati,
allora la conica è unica.
Teorema 3. La retta tangente alla conica reale
non degenere C di equazione
!
Xt " A " X = 0
in un suo punto P ha equazione
!
Pt " A " X = 0,
dove A è la matrice di C .
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
16
Teorema 4. (Pappo – Pascal). Sia data una
conica reale non degenere e siano A, B, C, A’,
B’, C’ sei punti distinti su di essa. Siano:
L = AB’$A’B, M = AC’$A’C, N = BC’$B’C.
Allora i tre punti L, M, N sono su una stessa
retta u.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
17
Sia data una conica non degenere C e sia O
un punto non su di essa. Si traccino tre rette
per O, che intersechino la conica in tre
coppie di punti A, A’, B, B’, C, C’. La retta u
determinata dal teorema di Pappo – Pascal si
chiama polare di O rispetto alla conica.
Per completezza, chiamiamo polare di un
punto T della conica la tangente in T alla
conica. Questa definizione risulta compatibile
con i risultati seguenti.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
18
Lemma 5. La polare del punto O rispetto alla
conica non degenere C intersechi la conica
in un punto H. Allora la retta OH è tangente
alla conica.
Un punto O è esterno alla conica se la sua
polare è una secante; è interno se la polare è
esterna; appartiene alla conica se la sua polare è
la tangente in O alla conica.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
19
Teorema 6. Sia C una conica non degenere.
a) (Reciprocità della polare). Sia O un punto e
sia N un punto della polare u di O rispetto a
C . Allora la polare di N passa per O.
b) Ogni retta è la polare di un punto rispetto
alla conica.
c) Il polo di una secante r alla conica C è
l’intersezione delle tangenti condotte dai
punti d’intersezione di r con C.
Teorema 7. La polare di un punto P rispetto
alla conica non degenere C di equazione
!
Xt " A " X = 0 è la retta di equazione
!
Pt " A " X = 0.
Questa equazione ha senso anche per la conica
immaginaria, quindi la nozione di polare di un
punto ha senso anche per questa conica.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
20
IL PIANO AFFINE REALE
Dal piano
!
"2 R( ) togliendo una retta, che
diremo impropria, ed i suoi punti, si ottiene
un unico tipo di piano affine, perché il gruppo
delle collineazioni è transitivo sulle rette del
piano proiettivo.
Le affinità sono gli elementi dello
stabilizzatore della retta impropria.
Due figure sono dette affini se esiste
un’affinità che muti la prima nella seconda. In
tal modo, tutti i punti propri sono affini, e lo
stesso accade per le rette proprie, ed anche
per i fasci di rette parallele.
La classificazione delle coniche del piano affine è
più complicata rispetto al piano proiettivo,
perché dipende dalla posizione della retta
impropria rispetto alla conica.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
21
Scegliamo come retta impropria la retta
!
x0 = 0. Allora i punti propri hanno coordinate
!
1, x, y[ ] , o semplicemente (x,y). Le rette proprie
hanno equazione
!
a " x + b " y + c = 0, con a e b
non entrambi nulli. Un’affinità ha la forma:
!
" x = m11x + m12y + c1" y = m21x + m22y + c2
# $ %
, m11 m12m21 m22
& 0
Riprendiamo i cinque casi di coniche visti nel
piano proiettivo: Retta doppia Due rette distinte Coniche degeneri Un solo punto reale Nessun punto reale
Coniche non degeneri Conica reale non degenere.
Come si spezzano nel piano affine reale?
Vediamo le varie possibilità:
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
22
A) Una retta doppia: può essere propria,
per esempio
!
x2 = 0, ma potrebbe essere
la retta scelta come impropria, e
l’equazione diventerebbe 1 = 0.
B) Due rette distinte: possono essere o
entrambe proprie non parallele, per
esempio
!
x2 " y2 = 0, o proprie parallele,
come
!
x2 "1 = 0, ma anche una propria e
l’altra impropria, e l’equazione
diventerebbe del tipo x = 0.
C) Un solo punto reale: può essere
proprio, per esempio
!
x2 + y2 = 0, oppure
improprio, per esempio
!
x2 +1 = 0.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
23
D) Una conica non degenere immaginaria:
è solo del tipo
!
x2 + y2 +1 = 0, in quanto non
ha punti reali impropri, ed è chiamata
ellisse immaginaria.
E) Una conica reale non degenere: ci
sono tre possibili situazioni: se interseca
la retta impropria in due punti distinti, per
esempio
!
x2 " y2 = 1, è detta iperbole; se le è
tangente, per esempio
!
x2 " y = 0, è detta
parabola; se non l’interseca, per esempio
!
x2 + y2 = 1, è detta ellisse.
I casi elencati, 11 in tutto, corrispondono a
situazioni non equivalenti dal punto di vista
affine, e non ce ne sono altri, perché
abbiamo esaminato le possibili posizioni
della retta impropria rispetto alla conica.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
24
PROPRIETÀ AFFINI DELLE CONICHE. Teorema 8. La polare di una conica rispetto
ad un punto improprio O non appartenente
alla conica, da cui esce un fascio di rette
parallele, è il luogo dei punti medi delle
corde in cui la conica taglia ogni retta del
fascio.
Un diametro Il centro O
La polare di un punto improprio prende il
nome di diametro della conica. Il polo della
retta impropria si chiama centro della conica.
Per la reciprocità, tutti i diametri passano per il
centro.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
25
Se la conica è un’iperbole, le rette che
congiungono il centro O con i due punti
impropri (che sono le intersezioni della sua
polare con la conica) sono le tangenti
all’iperbole condotte da O, e prendono il
nome di asintoti.
Anche l’ellisse immaginaria ha il centro in un
punto proprio. Ellisse, ellisse immaginaria ed
iperbole sono dette coniche a centro.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
26
Se la conica è una parabola, è tangente alla
retta impropria, quindi il suo centro è il punto
di tangenza, ossia è il punto improprio della
parabola. Ne segue che tutti i diametri sono
paralleli tra loro.
Teorema 10. Tutte le iperboli sono affini tra
loro, tutte le parabole lo sono e così pure le
ellissi e le ellissi immaginarie.
Questo teorema conferma quanto affermato in
precedenza: ci sono in tutto 11 classi di affinità di
coniche affini.
Elementi di Algebra d.p.d.v.s – Seminario sulle coniche
27
Esercizio. Si classifichi la conica affine
!
x " y #1 = 0.
Svolgimento: moltiplichiamo per 2 i
coefficienti, per comodità. La matrice della
conica è allora
!
"2 0 00 0 10 1 0
#
$
% % %
&
'
( ( ( , di determinante 2,
quindi la conica non è degenere.
Uguagliamo a zero la forma quadratica ed
otteniamo i due punti impropri
!
0,1,0[ ] e
!
0,0,1[ ] .
Pertanto, abbiamo un’iperbole. Il suo centro
ha coordinate affini
!
A01A00
, A02A00
"
# $ $
%
& ' ' = 0,0( ).
I suoi asintoti sono le
rette che congiun-
gono il centro con i
punti impropri, ossia
!
x = 0 e
!
y = 0.