1

LE CONICHE

0 f ey dx cy bxy ax 22

2

ARGOMENTI TRATTATI

1. Le coniche, quali sono e come sono fatte

2. Considerazioni storiche

3. Le coniche come sezioni piane di un cono

4. Le coniche nella fisica

5. Le coniche nell’algebra

6. Definizioni e proprietà importanti

7. Le coniche come luoghi geometrici

8. Lo studio di una conica

9. Rette tangenti ad una conica condotte da un punto

10. Esercizi di riepilogo

3

LE CONICHE, QUALI SONO E COME SONO FATTE

4

CONSIDERAZIONI STORICHE

Le coniche sono curve studiate sin dall'antichità e molti matematici hanno dato il loro contributo allo studio di tali curve.Sembra che per primo Menecmo (375-325 a.C.), un matematico greco maestro di Alessandro Magno, si sia imbattuto nelle coniche nel tentativo di risolvere uno dei tre famosi problemi della matematica greca (i problemi di Delo). Egli stava studiando curve dotate di proprietà adatte alla duplicazione del cubo.

Apollonio (262-190 a.C.), conosciuto come il Grande Geometra, consolidò ed approfondì i precedenti risultati sulle coniche nell'opera Le Coniche.Apollonio fu il primo a dimostrare che era possibile ottenere tutte e tre le sezioni coniche intersecando un cono con un piano e facendo poi variare l'inclinazione di tale piano. Fu anche il primo ad attribuire i nomi di ellisse, parabola, ed iperbole.

Tali nomi traggono origine dal confronto di due grandezze caratteristiche di ciascuna curva. Ellisse vuol dire mancanza, iperbole significa "andare oltre", e parabola, "mettere accanto".

Pur interessante dal punto di vista matematico, lo studio delle coniche aveva scarsi interessi pratici e venne abbandonato per diversi anni.Solo dopo circa 1800 anni lo studio di Apollonio poté fare passi avanti. Questo fu dovuto essenzialmente all'introduzione dei nuovi metodi matematici basati sulle coordinate cartesiane, ma anche al sorgere di un nuovo interesse scientifico.

Da segnalare nell'ordine Galileo (moto di un proiettile) Cartesio, Keplero, Pascal, ed infine Newton, che utilizzarono lo studio delle coniche applicato a scoperte scientifiche. 

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LE CONICHE COME SEZIONI PIANE DEL CONO

Chiamiamo conica quella curva piana che si ottiene intersecando una superficie conica di rotazione a due falde con un piano.

Si definisce superficie conica di rotazione a due falde la superficie generata da una retta r che ruota di 360° intorno ad un asse a, che la interseca in un punto V, formando con esso un angolo costante.

Definizioni:

r – retta generatrice; a – asse di rotazione e di simmetria; – angolo di semiapertura, con 0 < < 90° ; V – vertice del cono di rotazione; – piano secante; n – normale al piano a’ – piano a-n ∩ piano – angolo acuto fra asse a e a’

Possono verificarsi i seguenti casi:

1. Il piano non passa per V

a. 0 < iperbole b. = parabola a. < < 90° ellissed. = 90° circonferenza

2. Il piano passa per V coniche degeneri.

a. 0 < una coppia di rette b. = una retta a. < 90° un punto (il punto V)

6

7

Le coniche descrivono traiettorie possibili di corpi in interazione gravitazionale (per es. il sole e la terra, il sole e una cometa).

Anche il moto di una carica in un campo elettrico a simmetria centrale, cioè originato da una carica puntiforme, è caratterizzato da traiettorie che appartengono alle “coniche”.

LE CONICHE IN FISICA

In particolare le leggi di Keplero sui movimenti dei pianeti diedero una notevole applicazione delle coniche e delle loro proprietà geometriche. In termini moderni possiamo dire che ogni corpo dotato di massa determina intorno a sé una zona di spazio in cui le altre masse risentono della sua attrazione, un campo gravitazionale. Un corpo che si muove in un campo gravitazionale, può descrivere tre diversi tipi di traiettorie: ellittica, iperbolica o parabolica. Tali traiettorie dipendono dalla velocità iniziale e dalla direzione del corpo. Nel caso di orbite ellittiche si parla di traiettoria chiusa (per es. la terra intorno al sole, la luna intorno la terra). Nel caso di orbite iperboliche e paraboliche si parla di orbite aperte (per es. una cometa intorno al sole).

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LE CONICHE NELL’ALGEBRA

Definizione Si chiama conica il luogo geometrico dei punti del piano le cui coordinate (x;y) soddisfano ad un’equazione algebrica di 2° grado a coefficienti reali, del tipo    

All’insieme delle soluzioni ( xi ; yi ) dell’equazione (*) possiamo infatti far corrispondere le coordinate

dei punti Pi ( xi ; yi ) del piano cartesiano e tali punti formano appunto una conica.

La corrispondenza è biunivoca, cioè vale anche l’affermazione: ai punti Pi ( xi ; yi ) di una conica, tracciata in un riferimento cartesiano, corrispondono le soluzioni dell’equazione (*).

Classificazione delle coniche Data un' equazione del tipo (*), si dimostra che è possibile stabilire diquale conica si tratti, utilizzando i seguenti potentissimi strumenti algebrici:

1° ad ogni conica può essere associata una matrice M, detta matrice associata alla conica:

zero. da diverso c b, a, ticoefficien tredei uno almenocon

(*) 0f ey dx cy bxy ax 22

. 22222222

2Mdet

, tedeterminan suo il Mdetcon

f2e2d

2ec2b

2d2ba

M

2

dc

ebddef

bbefca

9

2° dalla matrice M, si può estrarre la matrice

. conica) della ntediscrimina detto è ( 4

b c a δ ;

c2b

2badet δ

2

c2b

2ba

, con determinante :

3° dalla matrice M, si ricava il termine di realtà: .det caM

Mediante i tre elementi det(M), δ, γ, è possibile classificare le coniche, espresse dalle equazioni del tipo (*), seguendo il seguente schema :

• det(M) = 0 la conica è degenere, cioè è l'unione di due rette, che possono essere distinte o coincidenti, dette componeneti della conica (il primo membro dell’equazione (*) si può scomporre in due fattori di primo grado). • det(M) ≠ 0 la conica è non degenere e in tal caso la determinazione del tipo di conica dipende dal valore del discriminante δ della conica :

0 se aimmaginari ellisse

0 se reale ellisse c)a e 0b se nzacirconfere (una 0 ellisseun'

0 parabola una

0)ca se equilatera (iperbole 0 iperboleun'

è conica la

10

Osservazione

Se nell'equazione (*) manca il termine “xy” gli assi di simmetria della conica sono paralleli ciascuno ad un degli assi cartesiani, altrimenti il termine “xy” implica che gli assi di simmetria della conica siano ruotati rispetto agli assi cartesiani di un angolo , tale che . 22 cabtg

Esempi

1. Classifica le seguenti coniche, di cui è data l’equazione in forma generale.

equilatera ènon iperbolel' 02ca

; iperboleun' è conica la 0δ

; degenere ènon conica la 0det(M)

: iconclusion

; 04-13-δ

033101-01

001

031

111

Mdet

; 0 2x 2xy 3y - xa. 22

11

; 4

2x122x42-x2-y ; 0 2-x3-y2-x4 4y

0 4x4x3y2-x4- 4y- 0 128y12x -4xy -4y -3x : fattoriin Scompongo

. degenere è conica la , 0det(M) poichè : iconclusion

; 024)-(-8624)(-24216)-48 (-3 1246- 442 623

Mdet ; 0 128y12x -4xy -4y -3x b.

2222

2222

22

. 02-2y- xe 0 6 -2y 3x equazione di rette due di unionel'

con ecoincident degenere conica la individua equazionel' quindi

, 02x-2y6-3x2y 02

2-x-y 2x

2

3y 4

: come scritta essere può conica della equazionel'

; 2

2-xy

; 2x2

3y

; 4

2-x42-x2-y

12

. C(2;5) centrocon nullo, raggio di cioè degenere, nzacirconfere una e,particolarin è, quindi

c),a 0,b 0,( nzacirconfere una di tichecaratteris le eformalment ha equazionel' che Osserva

C(2;5). punto il individua equazionel' 5y

2x 2-x-5 y ; 294255y

0 294x -x10y - y 0 2910y -4x -y x: soluzioni le Cerco

. degenere è conica la , 0det(M) poichè : iconclusion

; 0(2)225)-(291

295-2-

5-10

201

Mdet ; 0 2910y -4x -y xc.

22

2222

22

xx

reale è conica la 07124c)det(M)(a

ellisse;un' è conica la 0

; degenere ènon conica la 0det(M)

: iconclusion

; 012

012482-(-36)3

062

640

203

Mdet

; 0 12y 4x -4y 3x d. 22

13

Altri esempi

1. Determinare il tipo di conica individuato dalle equazioni assegnate:

a. x2 – y2 + xy + 2x + 1 = 0 ; det(M)= -0,25 ≠ 0 conica non degenere = – 1 – 1/4 = -5/4 < 0 iperbole ;

in particolare a + c = 0 iperbole equilatera ;

b. 5x2 + 8y2 + 4xy + 8x + 14y + 5 = 0 ; det(M)= -81 ≠ 0 conica non degenere

= 40 – 4 = 36 > 0 ellisse ;

γ = det(M)( a + c) = -81·13 < 0 ellisse reale;

14

c. x2 + 2xy + y2 + 10x - 6y + 25 = 0 ;

det(M)= -64 ≠ 0 conica non degenere

= 1 – 1 = 0 parabola ;

d. x2 + y2 + x – y – 2 = 0 ;

det(M)= -2,5 ≠ 0 conica non degenere

= 1·1 = 1 > 0 ellisse, in particolare è una circonferenza, perchè b = 0 e a = c

γ = det(M)( a + c) = -2,5·2 < 0 circonferenza reale di centro C(-1/2;1/2).

e. 5x2 + 4 y2 + 2 x – 3 y +1 = 0 ;

det(M) = 4,75 ≠ 0 conica non degenere

= 20 > 0 ellisse ; γ =det(M)( a + c) = 4,75·9 > 0 ellisse immaginaria.

15

DEFINIZIONI E PROPRIETA’ IMPORTANTI

Considerazioni generali sulle curve algebriche

Definizione Una curva del piano cartesiano si dice algebrica se è rappresentata da un’equazione

F(x;y) = 0 ,

dove F(x;y) è un polinomio nelle variabili x e y a coefficienti reali.

Se il polinomio F(x;y) è di secondo grado, la curva è una conica:

Una curva non algebrica si dice trascendente. Per esempio, sono trascendenti le curve di equazione y = logax , 2y -3ex = 0 . Definizione Si dice ordine della curva algebrica di equazione F(x;y) = 0 il grado del polinomio F(x;y).

1^ proprietà - L’ordine di una curva algebrica coincide con il numero massimo di intersezioni che questa può avere con una retta e in particolare con l’asse delle ascisse y = 0 .

. f ey dx cy bxy axyx;F 22

n volte. massimo al curva la interseca retta la cioè

soluzioni,n massimo al hanno 00 ;x F e 0qmx ;x F equazioni le ,algebradell' lefondamenta teorema

ilper quindi, n, grado massimo al ha 00 ;x F partcolarein n, grado ha 0qmx ;x F equazione L'

0;0x F eparticolarin e 0qmx ;x F 0)y eparticolarin (e qmxy

n grado di sia 0y;x F : Infatti

16

Teorema fondamentale dell’algebra: un’equazione di grado n 1 ammette n radici, reali o complesse, ciascuna contata con la propria molteplicità.In particolare le soluzioni reali sono al massimo n (pensa all’equazione di 2°grado e alle considerazioni su ).

2^ proprietà Curve passanti per l’origine. Il punto P(x0;y0) appartiene alla curva F(x;y) = 0 se e solo se F(x0;y0) = 0 , in particolare il punto O(0;0) appartiene alla curva se e solo se F(0;0) = 0.

Ne segue che, la curva di equazione F(x;y) = 0 passa per l’origine O(0;0) se e solo se nell’equazione manca il termine noto.

Prendiamo, per esempio, l’equazione di 2° grado di una conica:. 0f se solo e se curva alla appartiene O(0;0) punto il ; 0 f ey dx cy bxy ax 22

3A proprietà Simmetria di una curva rispetto agli assi e rispetto all’origine.

Consideriamo i seguenti tre casi di simmetria:

1° la curva è simmetrica rispetto all’asse y se e solo se nel polinomio F(x;y) la x compare solo al grado pari; si ha F(-x;y) = F(x;y);

2° la curva è simmetrica rispetto all’asse x se e solo se nel polinomio F(x;y) la y compare solo al grado pari; si ha F(x;-y) = F(x;y);

3° la curva è simmetrica rispetto all’origine del riferimento cartesiano se e solo se nel polinomio F(x;y) la x e la y compaiono solo al grado pari , oppure solo al grado dispari e manca il termine noto; si ha F(-x;-y) = ± F(x;y) .

17

Considerazioni conclusive relative alle simmetrie per le coniche

. y)(x;y);x F( cioè , f)()xa( fax infatti

,cartesiano oriferiment del origineall' rispetto

simmetrica è curva la allora , grado secondo al solamente compaionoy edx 0e d

; y);(x y);F(x cioè

, f)(ax fax infatti , x asseall'

rispetto simmetrica è curva la allora , y''in grado primo di termineil manca 0d , 0e

; y);(x y);x F( cioè

, fey)xa( feyax infatti ,y asseall'

rispetto simmetrica è curva la allora , x''in grado primo di termineil manca 0e , 0d

e 0

: casi seguenti i moconsideria ,cartesiano oriferiment del assi agli paralleli sono

simmetria di assi gli e xy''in rerettangola termineil manca allora 0,b se che osservatoaver Dopo

2222

2222

2222

Fyccy

F

dxycdxcy

F

cycy

b

18

19

LE CONICHE COME LUOGHI GEOMETRICI

1. Definizione generale di conica mediante l’eccentricità

Si dice conica il luogo dei punti P del piano per i quali è costante il rapporto fra la distanza di P da un punto fisso F, detto fuoco, e quella da una retta fissa d, non passante per P, detta direttrice :

Recon ePH

PF

Il numero e si chiama eccentricità della conica.

Si dimostra che : • per l’ellisse 0 e < 1 ( e = 0 circonferenza di raggio nullo – la conica degenera in un punto)

• per la parabola e = 1 • per l’iperbole e > 1

20

Dalla geometria all’algebra

Dalla definizione generale di conica, come luogo geometrico, deduciamo l’equazione algebrica generale delle coniche, inserendo nel piano un opportuno riferimento cartesiano ortogonale.

. (*) 0dedxe2yxe-1 xd eyx

x dcon , exd

yx e

PH

PF : algebraall' geometria Dalla

. d xequazione di d, direttrice sulla P di proiezione y ; dH

geometrico luogo -conica alla teappartenen generico punto y;x P

cart. rif. del centro ilcon ecoincident fuoco, 0 ; 0F

:coordinate seguenti le

hanno iinteressat punti i ,cartesiano oriferiment opportunoun Scelto

. costante Recon , ePH

PF :ha si geometrico luogo di edefinizion Dalla

22222222

22

L’equazione (*) è di secondo grado in x e y, cioè la tipica equazione delle coniche, precisamente del tipo:

. 0 ) esempio 2 vedi(22

fdxcyax

21

. nzacirconfere una diventare a tendeellissel'

zero, a e'' àecentricitdell' tendereal che, inoltre osserva Si . reale nzacirconfere la esclude

definito così geometrico luogo il pertanto , 0;0O F punto dal solamente a verificatcioè nullo, raggio di

circonf. della equazione , 0 02e-1 : diventa (*) equazionel' 0eper

. simmetria di asse è x assel' perchè y''in termineil manca 0 e

cart. assi agli paralleli sono simmetria di assi gli perchè xy''in termineil manca 0b : ha si caso questoin

: 0 generale equazionel'con

0 equazionel' fra confronto dal niOsservazio

) esempio 1 vedi(

22222222

22

22

yxdedxeyx

fyedxcybxyax

fdxcyax

. 0,005 e ; 0,0125 e

; 0,025 e ; 0,05 e ; 125,0e ; 25,0e ; 0,5e

: ellissi di serie una ottenereper 1e0con tutti

, e tàeccentricidell' valoriseguenti iper e

fuoco del coordinate 0 ; 0F

direttrice 1d cuiin caso nel

, x dcon , exd

yx equazione di

curve delle grafica azioneRappresent

Esempio 1

22

o

22

iperbole 1e 2e

parabola 1e

ellisse 1e0 0,5e

:e tàeccentricidell' valoriseguenti iper e

fuoco del coordinate 0 ; 0F

direttrice 1d cuiin caso nel

, x dcon , exd

yx equazione di

curve delle grafica azioneRappresent

Esempio 2

22

o

23

2. Definizioni specifiche di conica

• Circonferenza - Si dice circonferenza il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto C, detto centro. La distanza costante si chiama raggio della circonferenza.

• Parabola - Si dice parabola il luogo geometrico dei punti P del piano equidistanti da un punto F, detto fuoco, e da una retta d, detta direttrice.

• Ellisse - Si dice elisse il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la somma delle distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi.

• Iperbole - Si dice iperbole il luogo geometrico dei punti P del piano tali che sia costante la differenza delle distanze di P da due punti distinti F1 ed F2, detti fuochi.

PC

Dalla geometria all’algebra

Da queste definizioni specifiche, dedurremo, nei capitoli seguenti, le equazioni algebriche delle coniche, inserendo nel piano opportuni riferimenti cartesiani ortogonali.

24

25

LO STUDIO DI UNA CONICA

Studiare una conica significa:

1. classificare la conica analizzando la sua equazione;2. trovare gli elementi caratteristici (vedi pagina precedente); 3. disegnare il grafico.

Esempi

In questo contesto non ci occupiamo delle coniche con il termine ‘xy’ e, per tracciare il grafico, ci limitiamo a determinare soloalcuni elementi caratteristici: centro e assi di simmetria, vertici.

. cartesiani assi agli paralleli

sono simmetria di assi gli quindi che e 0b cioè , xy''in rerettangola termineil manca che Osserviamo

reale. ellisseun' è conica la 0, e 0 poichè

; degenere ènon conica la , 0det(M) poichè : iconclusion

09516 0;4 ;016144128(-12)124)-36(4

36212

210

1204

Mdet

zioneClassifica

0364244x conica la Studia 1. 22

yxy

26

; 0 ; 3V ; 4; 3V 3x

0y 4; y

3x

04yy

3x

0364y24xy4x

; 2; 2V ; 2; 4V 2y

2 x4; x

2y

086xx

2y

0364y24xy4x

: verticidei coordinate le Cerco

. 2y :s , 3 x:r , 3;-2-C 2y

3x

042y

0248x

: s r, simmetria di assi degli equazioni le e C simmetria

di centro del coordinate le deduciamo grado primo di terminidei toannullamen di condizione Dalla

; 0364y24xy4xy 42y x248xy4x

; 036yy4xx24yyxx4 yyy

xxx

) 16. pag. vedi; y''in quanto , x''in tantogrado primo di terminii mancano allora , cart. rif. del originel'con

coincide simmetria di centro il se quindi , cartesiani assi agli paralleli simmetria di assi 0b N.B. (

: O(0;0) originenell' C porta che one traslazila imponendo )y;C(x simmetria di centro il Cerco

ticicaratteris Elementi

4321

222

2121

222

0

0

0

0

0020

20T0T0

2T

2T

0T0T2

0T2

0T0T

0T

00

27

Osserva che un’ellisse è sempre inscritta in un rettangolo, come appare in figura, quindi, per tracciare il grafico della conica, note le coordinate dei vertici, è utile prima rappresentare il rettangolo. Infine, per rendere il disegno più preciso, si può determinare qualche altro punto:

). 0b ( cartesiani assi agli paralleli simm. di assi glicon iperboleun' è conica la 0

; degenere ènon conica la 0det(M) : iconclusion

; 02 ; 02/533)4/253(2

32/53-

2/510

302-

Mdet

zioneClassifica

03562x conica la Studia 2. 22

yxy

28

-3/2x

sol. nessuna 054

Δ

3/2x

01510y2y

3/2x

035y6xy2x

:infatti soluzioni, avere devenon sistema secondo il quindi , verticidue solo ammette iperboleL'

; 5/2 ; 0,2V ; 5/2 ; 2,8V

5/2y8

10412x

5/2y

01324x8x

5/2y

035y6xy2x

: verticidei coordinate le Cerco

. 5/2y :s , 3/2 x:r , 5/2 ; 3/2C 5/2y

3/2x

052y

032x

: s r, simmetria di assi degli equazioni le e C simmetria

di centro del coordinate le deduciamo grado primo di terminidei toannullamen di condizione Dalla

; 035y6xy2xy 52y x32x2y2x

; 03yy5xx6yyxx2 yyy

xxx

: O(0;0) originenell' C porta che one traslazila imponendo )y;C(x simmetria di centro il Cerco

ticicaratteris Elementi

222

211,2

222

0

0

0

0

00

2

0

2

0T0T0

2

T

2

T

0T0T

2

0T

2

0T

0T

0T

00

29

Per tracciare in modo più preciso un’iperbole sarebbe necessario tracciare gli asintoti, ma in questa fase accontentiamoci di fare una ‘bozza’ del grafico.

Rendiamo il disegno accettabile determinando qualche altro punto:

). 0(b cart. assi degli uno ad parallelo simm. di asse l'con parabola una è conica la 0

; degenere ènon conica la 0det(M) : iconclusion

; 0 ; 04

1)

2

1(

2

1

62/11/2

2/110

2/100

Mdet

zioneClassifica

06 conica la Studia 3. 2

yxy

30

3) ; C(0

;-2) B(0

0x

06yxy ; 6;0A

0y

06yxy :cartesiani assi glicon neIntersezio

. /21y :r , 1/2 ; 5/42V 2/1y

4/25x

2/1y

06yxy

: vertcedel ascissal' moDeterminia

. verticedel ordinatal' e simmetria di assel' è 1/2y

); y)F(x;F(x;-y) ( x'' asseall' parallelo è simmetria di assel' quindi

1/2,yper ,y''in termineil solamente annullare può si

:che deduciamo grado, primo di

terminidei toannullamen di condizione Dalla

; 06yxyy 1y2x y

; 06yyxxyy

yyy

xxx

: O(0;0) originenell' )y;V(x

porta che one, traslazidella metodo

il ancora usando ),y;V(x verticedel

coordinate le trovarepossibile è ia tuttav

simmetria, di centro hanon parabola La

ticicaratteris Elementi

22

02

0

0020T0T

2T

0T0T2

0T

0T

0T

00

00

31

. -2y

0x

042yx

042yx

:2)- ; A(0 punto nel

incidenti rette due di equazioni le sono che , 042y xo 042y xda ta verificaè equzionel'

; 042yx42yx 0)4y2( x 0)16y16y4( x

: fattoriin

scomposto essere può equazionedell' membro primo a polinomio il e degenere è conica la , 0det(M) poichè

; 0)6464(1 1680 840

001 Mdet

zioneClassifica

016y16y4 xconica la Studia 4.

2222

22

32

RETTE TANGENTI AD UNA CONICA CONDOTTE DA UN PUNTO

Per determinare le equazioni delle tangenti ad una conica condotte da un punto P(x p;yp), si applicano in

generale o il metodo del discriminante nullo o il metodo delle formule di sdoppiamento.

In casi particolari, come per la circonferenza, si possono applicare altri metodi più comodi.

Metodo del discriminante nullo - = 0

1. si scrive l’equazione del fascio di rette con centro in P;2. si scrive il sistema formato dalle equazioni del fascio e della conica;3. si trova l’equazione risolvente di 2° grado in una delle due incognite;4. si impone la condizione di tangenza = 0 per calcolare il coefficiente angolare delle due tangenti

(sarà una sola, se P appartiene alla conica, nessuna soluzione se P è interno alla conica).

33

Verifichiamo ora se il punto P appartiene alla conica: 1 + 49 + 8 - 28 + 10 = 40 0, P non appartiene alla conica, pertanto l’equazione =0 può avere due soluzioni (due tangenti) o nessuna soluzione (nessuna

tangente).

Esempio Dopo aver classificato la conica di equazione x2 + y2 - 8x - 4y + 10 = 0 , determina le equazioni delle rette ad essa tangenti e passanti per il punto P(-1 ; 7).

c.a e 0b perchè nzacirconfere una è

eparticolarin ellisse,un' è conica la 0 degenere; ènon conica la 0det(M) : iconclusion

; 04 ; 05644-(-40)1

1024

210

401

Mdet ; 0 10 4y-8x -y x 22

. 3

20x

3

1-y e 4-3xy :sono P, punto dal condotte , tangentirette le : eConclusion

. 31m

3m ;

3

9255m ; 03m10m3 . . . ; 0

4 4.

; 031m10mx 4m5m2x m1 . . .

; 01028m4mx4x8m14mx14xm249mxm x.3

; 0107)mmx(4x87)mmx( x 010y4x8yx

7mmxy 2.

; 7mmxy ; 1xm7-y : P(-1;7) centro di fascio del equazione .1

2

11,2

2

2222

22222

2222

34

Metodo delle formule di sdoppiamento

Data l’equazione di una conica espressa in forma normale

e un punto P(xP ; yP), si sostituiscono alle variabili x e y dell’equazione della conica le seguenti espressioni:

0f ey dx cy bxy ax 22

. retta una di equazionel' ottiene si nesostituzio la fatta

; 2

xyyx xy

; yy y ;2

yy y

; xx x;2

xx x

PP

P2P

P2P

A questo punto, considerato il significato geometrico della retta , si presentano tre casi:

35

1° P è esterno alla conica la retta è la retta polare e interseca la conica nei due punti di tangenza A e B delle due rette tangenti, r ed s, cercate;

2° P appartiene alla conica la retta è la retta tangente cercata;

3° P è interno alla conica la retta non interseca la conica, o non esiste se P coincide con il centro di simmetria della conica.

Esempio Consideriamo la circonferenza dell’esempio precedente, di equazione x2 + y2 - 8x - 4y + 10 = 0 , e troviamo le equazioni delle rette ad essa tangenti, condotte da un punto P, nei seguenti tre casi:

1° P(-1 ; 7) è esterno alla circonferenza; 2° P(2;5) appartiene alla circonferenza; 3° P( 2; 4) è interno alla circonferenza e non coincide con il centro di simmetria; 4° P(4; 2) è il centro di simmetria della circonferenza.

. 3

20x

3

1y ; 1x

3

17-y ;

3

1-157-5 m ang. coeff. : B e Pper passante s Tangente

; 4x3y ; 1x37-y ; -3117-1 m ang. coeff. :A e Pper passanter Tangente

; 5;5B ; 1;1A 5x

1x ; 5-93 x

; 056x- x; 0104x-8x-x x xy

010y4x8yx : tangenzadi B eA punti i Trovo

. polare retta la èx y ; 05y5x- ; 01014-2y-44x-7yx-

; 0102

7y4-

2

1-x8-7yx- tosdoppiamen di formule le applico

010y4x8y x

; 1;7-P 1

2

11,2

22222

22

36

. retta la esistenon quindi , assurda scrittura , 010- ; 0104-2y-16-4x-y24x

; 0102

2y4-

2

4x8-2y4x tosdoppiamen di formule le applico

010y4x8y x

; 2 ; 4P 4

reale. soluzione nessuna quindi

, 054

; 07x62x 010y4x8yx

3xy :conica la intersecanon che Verifico

. retta la è 3xy ; 06-2y2x- ; 0108-2y-8-4x-4y2x

; 0102

4y4-

2

2x8-4y2x tosdoppiamen di formule le applico

010y4x8y x

; 4 ; 2P 3

. tangenteretta la è 623-x 2

6y ; 0102y-64-16-4x-64 x

; 0102

y4-

2

64x8-64 xtosdoppiamen di formule le applico

010y4x8y x

; 0 ; 64P 2

22

222

22

22

37

Esercizi

Determina le equazioni delle tangenti alla conica di equazione assegnata, condotte dal punto P:

. 1710xy e 12xy :sono P, punto dal condotte , tangentirette le : eConclusion

10m

2m ;16 6m ; 02012mm . . . ; 0Δ 4.

; 042mm)x(2 x3.

; 01) 32m-(mx2x x 0 1– y – 2x x

32m-mxy 2.

; 32m-mxy ; 2-xm3-y : P(2;3) centro di rette di fascio del equazione 1.

conica. alla appartienenon P 0 2 1-3-44 : conica alla appartiene P se Verifico

nullo ntediscrimina del metodo il applicare P(2,3) 0 1– y – 2x xa.

2

11,2

2

2

22

2

037yx

0 1 4y 6xy y– 5x : tangenzadi B eA punti i Trovo

. τretta la è 037yx ; 0142y3y6x2y5x

; 012

2y4

2

y2x62y5x :tosdoppiamen di formule le Applico

conica. alla P 0 19- 8-12-4-5 : conica alla appartiene P se Verifico

tosdoppiamen di formule le applicare 2)– P(1, 0 1 4y 6xy y– 5x b.

22

22

38

conica. alla interno è P

. P da condotte tangentiesistononon e

conica la intersecanon retta la quindi

0,con 023112y43y1 2

conica. alla appartiene P 00

: conica alla appartiene P se Verifico

metodi. i entrambi Applicare

0) ; P(0 0 3y y xy xc. 22

. tangenteretta la è 0y quindi

; 0m 09m ; 0mx3x1mm

; 0mx3xmmx x

0 3y y xy x

mxy

nullo ntediscrimina del Metodo

. tangenteretta la è 0y ; 0y2

3

; 02

0y3 0y

2

0y0x0x

tosdoppiamen di formule delle Metodo

222

2222

22

39

Esercizi di riepilogo

Classifica le coniche seguenti, disegnale (solo se manca il termine in ‘xy’) e trovane le tangenti condotte dal

punto P.

1. 5x2 + 5y2 – 11xy + 1 = 0 P(1;1) iperbole ruotata - tang: y = – x + 2

2. x2 + y2 – 3x – 7y + 12 = 0 P(– 1;6) circonferenza - tang: 3x + y – 3 = 0 ; x + 3y – 17 = 0

3. 4x2 – 4xy + y2 + 6x + 1 = 0 P(0;0) parabola ruotata - tang.: y = – x ; y = 5x

4. x2 – 2y2 – 2y – 1 = 0 P(0;0) iperbole - tang.: y = ± x

5. 4x2 + y2 – 4y + 2 = 0 P(0;0) ellisse - tang.: y = ± 2x

6. x2 + 2xy – 2x – 6y + 1 = 0 P(1;0) iperbole ruotata - tang: y = 0 .