Lezione 10 Termodinamica
Argomenti della lezione: relazione di Mayer
trasformazioni adiabatiche
trasformazioni isoterme
macchine termiche
ciclo di Carnot
secondo principio della termodinamica
cenni sull’entropia
Gas ideali Un gas è un particolare fluido caratterizzato da non avere forma e volume propri e tale da essere facilmente compresso.
Legge di Boyle
Isoterme del gas ideale.
costante=pVp
V
3T2T1T
123 TTT >>
Gas ideali
Legge di Gay Lussac
Isocore del gas ideale.
costante=Tp
p
V
Legge di Gay Lussac
Isobare del gas ideale.
costante=Vp
p
V
Tipi di Trasformazione
Isoterma T = cost.
Isobara p = cost.
Isocora V = cost.
Adiabatica q = 0
Isoentropica S = cost.
... Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine
Trasformazioni notevoli
Trasformazione adiabatica LUQ −=Δ⇒= 0
Trasformazione isocora
Trasformazione isobara
Trasformazione isoterma
Trasformazione ciclica
QUL =Δ⇒= 0
( )LUQ
VVpL if
+Δ=⇒
−=
LQU =⇒=Δ 0
LQU =⇒=Δ 0
Calori specifici Nel caso di una trasformazione infinitesima isocora:
Nel caso di una trasformazione infinitesima isobara:
dTncdQ V=
pp
VV dT
dQn
cdTdQ
nc
=
=
1 1
TncQTncQ ppVV Δ=Δ=
dTncdQ p=
Definiamo il calore specifico molare a volume o pressione costante
Unità: J/(mol K)
Calori specifici
0 =Δ=Δ= WUTncQ VV
Supponiamo di effettuare una trasformazione fra gli stessi estremi di temperatura prima a volume costante e poi a pressione costante.
VpUTncQ pp Δ+Δ=Δ=
Ma UΔ è la stessa nei due casi per cui Vp QQ >
ossia Vp cc >Nel caso infinitesimo
Vpp
VV
dQpdVdTncdQdUdTncdQdWdUdQ
>+=
==+=
Energia interna di un gas ideale Espansione libera di Joule. Pareti rigide diatermiche che dividono un contenitore in due parti. Il contenitore è a sua volta in un contenitore adiabatico. Si apre divisione (rubinetto) e si lascia espandere il gas liberamente
00 0 =Δ⇒== UWQ
Gas inizialmente a sinistra
La temperatura finale del processo è pari a T temperatura di equilibrio
Osserviamo che si ha:
Notiamo che nel processo la temperatura non varia mentre variano pressione e volume, perciò l’energia interna deve essere solo funzione della temperatura
Energia interna di un gas ideale Determiniamo ora esplicitamente l’espressione dell’energia interna.
CB
ACACCBAB
UU
UUUUUUUUU
=
−=−+−=−=Δ
AC isocora e AB isoterma p
V
A
CB
Applichiamo ora il primo principio della termodinamica alla trasformazione isocora
( ) TncTTncUUUQU
VABVAB Δ=−=−=Δ
=Δ costante vola Per trasformazioni infinitesime
dTncdU V=
Relazione di Mayer In una trasformazione isobara infinitesima
dTncdQ p=
dWdUdQ +=
pdVdW =
pdVdTncdTnc Vp +=
Differenziamo l’equazione di stato dei gas ideali
nRdTVdppdVnRTpV =+⇒=
Ma per un’isobara 0=Vdp
E in definitiva
Rcc
nRdTdTncdTnc
Vp
Vp
=−
⇓
+=
Relazione di Mayer Abbiamo ricavato
Rcc Vp =−
V
p
cc
=γRapporto γ
Valori sperimentali
Gas ideali monoatomici (He, Ar, vapori metallici di Na, Hg)
Gas ideali biatomici (H2, N2, NO, CO)
35
25
23
=== γRcRc pV
27
27
25
=== γRcRc pV
Riassunto I gas che considereremo saranno sempre mono o bi atomici
Rcc Vp =−
per qualsiasi trasformazione TncU VΔ=Δ
costante se costante se
=Δ=Δ
=Δ=Δ
pTncQVTncQ
p
V
nRTpV = equazione dei gas perfetti
relazione di Mayer
WQU −=Δ primo principio della termodinamica
Trasformazioni adiabatiche generale Se il gas è contenuto in un contenitore con pareti adiabatiche può scambiare con l’esterno solo lavoro
Rcc Vp =−
ma ( )12 TTncU V −=ΔUWAB Δ−=
V
p
cc
=γ
( ) ( )
( )1122
11221122
11
1
VpVp
VpVpcc
cnR
VpVpncWVp
VVAB
−−
=
=−−
=−=
γ
Trasformazioni adiabatiche reversibile Se il gas è contenuto in un contenitore con pareti adiabatiche può scambiare con l’esterno solo lavoro
0=+=+ pdVdTncdWdU V VnRTp =
0=+ dVVnRTdTncV Separando le variabili
( )
( )( ) 01
0
=−+=−
+
=−
+
VdV
TdTdV
Vccc
TdT
dVVccn
TdTnc
V
Vp
VpV
γ
Trasformazioni adiabatiche reversibile
Integrando fra stati A e B ( )TdT
VdV
−=−1γ
( )B
A
A
B
B
A
A
B
TT
VV
TT
VV lnlnlnln1
1
=
⇒=−
−γ
γ
( ) ( ) 1 1 1
−−−
=⇒=
γγγ
AABBB
A
A
B VTVTTT
VV
Trasformazioni adiabatiche reversibile
Considerando l’equazione di stato dei gas perfetti si ottiene
( )
( ) costante
costante
costante
1
1
=
=
=
−
−
γγ
γ
γ
pT
pV
VT
Trasformazioni isoterme
Considerando l’equazione di stato dei gas perfetti si ottiene
0=ΔU costante=pV
nel caso di isoterma reversibile
WQ =
∫∫ ===B
A A
BB
AAB V
VnRTdVVnRTpdVW ln
Macchine termiche
( ) ( )2121 000
QQWWQUWQQWQU
−=⇒=−=Δ⇒=−−
=−=Δ
Una macchina termica è un dispositivo che trasforma calore in lavoro. Contiene una sostanza che, in maniera ciclica, assorbe una quantità di calore Q1, cede una quantità di calore Q2 e compie un lavoro W.
Rendimento di una macchina termica:
Il funzionamento è ciclico, quindi per il 1° principio 1QW
=η
1
21
QQQ −
=η
Macchine termiche
Schema di una generica macchina termica:
Schema di una generica macchina frigorifera:
Rendimento: 1QW
=η Efficienza: WQ2=ε
Ciclo di Carnot p
V
A
B
CD
2T
1T
Trasformazione ciclica A B C D
Trasformazione isoterma AB alla temperatura T2. Espansione isoterma
Trasformazione adiabatica BC. Espansione adiabatica
Trasformazione isoterma CD alla temperatura T1. Compressione isoterma
Trasformazione adiabatica DA. Compressione adiabatica
Rendimento: CQW
=η
Scopo:
Ciclo di Carnot p
V
A
B
CD
2T
1T
Nella espansione isoterma AB
0=Δ ABUcostante=pV
ABAB WQ =
A
BB
A
B
AAB
VVnRTdV
VnRT
pdVW
ln22 ==
==
∫
∫
Nella espansione adiabatica BC
BCBC WU −=Δ0=BCQ
( )12 TTncTncUW VVBCBC −−=Δ−=Δ−=
Ciclo di Carnot p
V
A
B
CD
2T
1T
Nella compressione isoterma CD
0=Δ CDUcostante=pV
CDCD WQ =
∫
∫
==
==
D
C C
D
D
CCD
VVnRTdV
VnRT
pdVW
ln11
Nella compressione adiabatica DA
DADA WU −=Δ0=DAQ
( )21 TTncTncUW VVDADA −−=Δ−=Δ−=
Ciclo di Carnot p
V
A
B
CD
2T
1T
Riassumendo:
0ln1 <==C
DCDCD V
VnRTWQ
DABC UU Δ−=Δ
DABC WW −=
0ln2 >==A
BABAB V
VnRTWQ
Per cui il lavoro totale è dato da:
+=
=++−=+++=
C
D
A
B
DAC
DDA
A
BDACDBCAB
VVT
VVTnR
WVVnRTW
VVnRTWWWWW
lnln
lnln
12
12
Ciclo di Carnot p
V
A
B
CD
2T
1T
Ma il rendimento è dato dal rapporto fra lavoro e calore assorbito. In questo caso il lavoro è stato appena calcolato, il calore viene assorbito durante l’espansione isoterma AB
A
B
C
D
A
B
A
B
C
D
A
B
VVT
VVT
VVT
VVnRT
VVT
VVTnR
ln
lnln
ln
lnln
2
12
2
12
+
=
+
=
=+
==AB
CDAB
AB QQQ
QW
η
Ciclo di Carnot p
V
A
B
CD
2T
1T
Osserviamo che le trasformazioni BC e DA sono di tipo adiabatico, per cui:
( ) costante1 =−γVT
( ) ( )
( ) ( ) 1 2
1 1
1 1
1 2
−−
−−
=
=
γγ
γγ
AD
CB
VTVT
VTVT
1
1
2
1
1
2
−
−
=
=
γ
γ
A
D
B
C
VV
TT
VV
TT
1 1 −−
=
γγ
A
D
B
C
VV
VV
Ciclo di Carnot p
V
A
B
CD
2T
1T
E in definitiva
=
⇒
=
B
A
C
D
A
D
B
C
VV
VV
VV
VV
A
B
C
D
A
B
VVT
VVT
VVT
ln
lnln
2
12
+
=η
( )2
1
2
12
2
12
1ln
lnln
TT
TTT
VVT
VVT
VVT
A
B
B
A
A
B
−=−
=
+
=η
Secondo principio della termodinamica
Può essere espresso in molti modi equivalenti:
Non è possibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia la conversione integrale di calore assorbito in lavoro (enunciato di Kelvin).
Non è possibile realizzare una trasformazione il cui unico risultato sia il trasferimento di calore da una sorgente a temperatura più bassa ad una sorgente a temperatura più alta (enunciato di Clausius).
Non è possibile realizzare una macchina termica con rendimento η = 100%.
Non è possibile realizzare una macchina frigorifera che non assorba lavoro.
Trasformazioni reversibili e irreversibili Entropia
Una trasformazione si dice reversibile se è costituita dalla successione di infiniti stati di equilibrio.
In questo caso il sistema può essere riportato allo stato iniziale ripercorrendo all’indietro la stessa trasformazione.
In una trasformazione irreversibile il sistema passa per stati di non equilibrio e non può essere invertita perfettamente.
Consideriamo una trasformazione reversibile in ciascun elemento della quale una quantità di calore dQrev viene scambiata ad una temperatura T. Si definisce variazione di entropia:
∫=Δf
i
rev
TdQS
Entropia e secondo principio In un sistema isolato, in cui ci sono solo trasformazioni reversibili, l’entropia rimane costante (Δ S=0).
In un sistema isolato, in cui ci sono trasformazioni irreversibili, l’entropia aumenta sempre (Δ S>0).
Quindi l’entropia determina il verso delle trasformazioni irreversibili: un sistema evolverà sempre in modo che l’entropia aumenti.
Significato probabilistico dell’entropia:; esprime il grado di disordine microscopico di un sistema.
Un sistema isolato evolve quindi sempre verso stati più disordinati.