Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Vjezbe 1
27.2.2012.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
E 2 - ravnina u kojoj je dan pravokutni koordinatni sustav sasredistem u ishodistu OA ∈ E 2;
−→OA je radij-vektor
V 2(O) - skup svih radij-vektora u ravnini
Za ~a 6= ~0 definiramo suprotan radij-vektor −~a koji ima isti modul ismjer kao ~a, ali suprotnu orijentaciju.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
A = (a1, a2), B = (b1, b2)
−→OA +
−→OB =
−→OC
C = (a1 + b1, a2 + b2)
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Binarna operacija + : V 2(O)× V 2(O)→ V 2(O) ima sljedecasvojstva:
1 (~a + ~b) + ~c = ~a + (~b + ~c)asocijativnost
2 ~a +~0 = ~0 +~a = ~a~0 je neutralni element za zbrajanje
3 ~a + (−~a) = −~a +~a = ~0−~a je suprotni element za zbrajanje
4 ~a + ~b = ~b +~akomutativnost
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
A = (a1, a2),−→OA = ~a, α ∈ R
α~a =−→OC
C = (αa1, αa2)
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Operacija mnozenja vektora skalarom · : R× V 2(O)→ V 2(O) imasljedeca svojstva:
1 α(β~a) = (αβ)~akvaziasocijativnost
2 (α + β)~a = α~a + β~adistributivnost mnozenja prema zbrajanju skalara
3 α(~a + ~b) = α~a + α~bdistributivnost mnozenja prema zbrajanju
radij-vektora
4 1~a = ~a1 je neutralni element za mnozenje
V 2(O) je vektorski prostor.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Neka su ~a,~b ∈ V 2(O) kolinearni i ~a 6= ~0. Tada postoji jedinstveniskalar α ∈ R takav da je
~b = α~a ?
Obratno, ako za neke ~a,~b ∈ V 2(O) i α ∈ R vrijedi ?, onda su ~a i ~bkolinearni.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Radij-vektori ~a,~b ∈ V 2(O) su nekolinearni ⇐⇒ α~a + β~b = ~0⇒ α = β = 0
Neka su ~a i ~b nekolinearni. Tada za svaki ~v ∈ V 2(O) postojejedinstveni skalari α i β takvi da je ~v = α~a + β~b.
Svaki dvoclani skup {~a,~b} ciji su clanovi nekolinearni nazivase baza vektorskog prostora V 2(O).To znaci da se svaki clan V 2(O) moze na jedinstven nacinprikazati kao linearna kombinacija elemenata baze.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Operacije zbrajanja vektora i mnozenja vektora skalarom uprostoru V 3(O) imaju ista svojstva kao zbrajanje vektora imnozenje vektora skalarom u prostoru V 2(O).⇒ V 3(O) je takoder vektorski prostor.
Kazemo da su radij-vektori−−→OT1,
−−→OT2, . . . ,
−−→OTn, komplanarni ako
tocke O,T1,T2, . . . ,Tn leze u istoj ravnini.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Radij-vektori ~a,~b,~c ∈ V 3(O) su nekomplanarni ⇐⇒α~a + β~b + γ~c = ~0 ⇒ α = β = γ = 0
Neka su ~a, ~b i ~c nekomplanarni. Tada za svaki ~v ∈ V 3(O)postoje jedinstveni skalari α, β i γ takvi da je~v = α~a + β~b + γ~c .
Svaki skup {~a,~b,~c} od tri nekomplanarna radij-vektora nazivase baza prostora V 3(O).To znaci da se svaki clan V 3(O) moze na jedinstven nacinprikazati kao linearna kombinacija elemenata baze.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Kanonska baza (~i ,~j , ~k) prostora V 3(O) je trojka jedinicnih vektoraKartezijevog pravokutnog koordinatnog sustava.
Radij-vektor ~r =−→OT = x~i + y~j + z~k = (x , y , z).
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Bilo koji vektor ~a =−→AB pri cemu je A = (a1, a2, a3) i
B = (b1, b2, b3) prikazujemo u obliku
−→AB = (b1 − a1)~i + (b2 − a2)~j + (b3 − a3)~k
−→AB =
−→OT pri cemu je T = (b1 − a1, b2 − a2, b3 − a3).
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 1.
Dokazite da vrijede relacije:
a) (−1)~a = −~ab) (α− β)~a = α~a− β~ac) α(~a− ~b) = α~a− α~b
za sve ~a,~b ∈ V 3(O) i sve α, β ∈ R.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 2.
Neka je A = (1, 2, 1), B = (1, 1, 0) i C = (0, 1, 1). Ispitajte cine li
radij-vektori−→OA,−→OB i
−→OC bazu prostora V 3(O).
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 3.
Pokazi da vektori
−→i +−→j +−→k−→
i +−→j + 2
−→k−→
i + 2−→j + 3
−→k
tvore bazu za R3 i prikazi vektor 6−→i + 9
−→j + 14
−→k u toj bazi.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Domaca zadaca
Zadatak 4.
Pokazi da vektori
−→e1 = (2, 1,−3)−→e2 = (3, 2,−5)−→e3 = (1,−1, 1)
tvore bazu za R3 i prikazi vektor −→x = (6, 2,−7) u toj bazi.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 5.
Koja linearna kombinacija vektora −→u = (1, 2) i −→v = (3, 1) dajevektor −→w = (14, 8)?
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 6.
a) Neka je {−→a ,−→b } baza prostora V 2(O). Pokazite da je tada i
{−→a −−→b ,−→a +
−→b } jedna baza za V 2(O).
b) Odredite nuzan i dovoljan uvjet na skalare α, β, γ, δ ∈ R da bi
skup {α−→a − β−→b , γ−→a + δ
−→b } bio baza za V 2(O).
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 7.
Opisite sve linearne kombinacije vektora −→v = (1, 1, 0) i−→w = (0, 1, 1). Pronadite barem jedan vektor koji nije kombinacijavektora −→v i −→w .
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Domaca zadaca
Zadatak 8.
Ako su tri vrha paralelograma (1, 1), (4, 2), (1, 3), odredite cetvrtivrh paralelograma. Skicirajte rjesenje(a).
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 9.
Cetiri vrha kocke u prostoru imaju kordinate (0, 0, 0), (1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1). Kako glase koordinate preostalih vrhova? Kolikovrhova bi kocka imala u cetverodimenzionalnom prostoru, akotipicni vrh ima koordinate (0, 0, 1, 0).
Rjesenje:
Koordinate preostalih vrhova glase:(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1).Kocka u R3 ima 8 vrhova, a u 4D prostoru bi imala 24 = 16vrhova: (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1),(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1),(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1).
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 10.
Cetiri vrha kocke u prostoru imaju kordinate (0, 0, 0), (1, 0, 0),(0, 1, 0), (0, 0, 1). Kako glase koordinate preostalih vrhova? Kolikovrhova bi kocka imala u cetverodimenzionalnom prostoru, akotipicni vrh ima koordinate (0, 0, 1, 0).
Rjesenje:
Koordinate preostalih vrhova glase:(1, 1, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (1, 1, 1).Kocka u R3 ima 8 vrhova, a u 4D prostoru bi imala 24 = 16vrhova: (0, 0, 0, 0), (1, 0, 0, 0), (0, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1),(1, 1, 0, 0), (1, 0, 1, 0), (1, 0, 0, 1), (0, 1, 1, 0), (0, 1, 0, 1), (0, 0, 1, 1),(1, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1), (1, 0, 1, 1), (0, 1, 1, 1), (1, 1, 1, 1).
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 11.
U Kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu odredi tockuT = (x , y , z) takvu da radij-vektor −→r tocke T ima duljinu 6, dazatvara s osi Ox kut od π/4, a s osi Oy kut od π/3, te da jeaplikata z tocke T negativna.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 12.
Neka su −→u i −→v dva nekolinearna radij-vektora u ravnini. Odreditesve linearne kombinacije α−→u + β−→v uz ogranicenja 0 ≤ α ≤ 1 i0 ≤ β ≤ 1.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 13.
Koji vektori u prostoru R3 su linearna kombinacija vektora −→u i −→v ,ali i vektora −→v i −→w ? Pretpostavite da su −→u , −→v i −→wnekomplanarni.
Rjesenje:
Vektore koji su kolinearni sa vektorom −→v mozemo prikazati kaolinearnu kombinaciju vektora −→u i −→v , ali i vektora −→v i −→w .
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 14.
Koji vektori u prostoru R3 su linearna kombinacija vektora −→u i −→v ,ali i vektora −→v i −→w ? Pretpostavite da su −→u , −→v i −→wnekomplanarni.
Rjesenje:
Vektore koji su kolinearni sa vektorom −→v mozemo prikazati kaolinearnu kombinaciju vektora −→u i −→v , ali i vektora −→v i −→w .
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 15.
Neka su O,A,B tri razlicite tocke u ravnini, a A1,B1 takve tockeda je −−→
OA1 = λ−→OA
−−→OB1 = λ
−→OB
λ 6= 0 realan broj. Dokazite da je tada−−−→A1B1 = λ
−→AB.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 16.
Neka su O,A,B tri medusobno razlicite tocke. Nacrtajte skup svihtocaka C za koje je
−→OC = (1− λ)
−→OA + λ
−→OB
kad λ ide po skupu realnih brojeva.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 17.
Dokazite da se tezisnice trokuta sijeku u jednoj tocki.
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Domaca zadaca
Zadatak 18.
Dokazite da je tocka T koja zadovoljava
−→OT =
1
3(−→OA +
−→OB +
−→OC )
teziste trokuta ABC .
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Domaca zadaca
Zadatak 19.
Ako u trokutu ABC tocke P,Q,R dijele stranice u istim omjerima,dokazi da trokuti ABC i PQR imaju isto teziste.
Napomena:
Iskoristite cinjenicu da za teziste T trokuta ABC vrijedi
−→OT =
1
3(−→OA +
−→OB +
−→OC )
Vjezbe 1 Linearna algebra 1
Linearna algebra 1
Zadatak 20.
Neka je u trokutu ABC tocka P poloviste duzine AB, tocka R
takva da je 3−→AR =
−→AC , te S poloviste duzine PR. U kojem omjeru
pravac AS dijeli stranicu BC?
Vjezbe 1 Linearna algebra 1