1. Cours de Mathmatiques Sup MPSI PCSI PTSI TSI En partenariat
avec lassociation Ssamath http://www.sesamath.net et le site
http://www.les-mathematiques.net Document en cours de relecture
Alain Soyeur - Franois Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron 23 mars
2011
2. Table des matires 1 Nombres complexes 19 1.1 Le corps C des
nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.1.1 Un peu de vocabulaire . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 20 1.1.2 Construction de C . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 1.1.3 Proprits des oprations sur C . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.2 Parties relle,
imaginaire, Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.2.1 Partie relle, partie
imaginaire dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 22 1.2.2 Conjugaison . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22 1.3 Reprsentation gomtrique des complexes . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.1
Reprsentation dArgand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.3.2 Interprtation
gomtrique de quelques oprations . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 23 1.4 Module dun nombre complexe, ingalits
triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 24 1.5 Nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.1
Groupe U des nombres complexes de module 1 . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.5.2 Exponentielle imaginaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 26 1.6 Argument, fonction exponentielle complexe .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31 1.6.1 Argument dun nombre complexe . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1.6.2 Fonction
exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 32 1.7 Racines n-imes de lunit . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 33 1.8 quations du second degr . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35 1.8.1 Racines carres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1.8.2
quations du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 1.9 Nombres complexes et
gomtrie plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 37 1.9.1 Distance . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37 1.9.2 Barycentre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.9.3
Angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.10 Transformations
remarquables du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 38 1.10.1 Translations, homothties
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 38 1.10.2 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
38 1.10.3 Similitudes directes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 1.11
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.11.1 Forme
algbrique - Forme trigonomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 42 1.11.2 Polynmes, quations, racines
de lunit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 43 1.11.3 Application la trigonomtrie . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 1.11.4
Application des nombres complexes la gomtrie . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 53 1.11.5 Transformations du plan
complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 60 2 Gomtrie lmentaire du plan 62 2.1 Quelques
notations et rappels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 2.1.1 Addition
vectorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.1.2 Produit dun vecteur et
dun rel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 63 2.1.3 Vecteurs colinaires, unitaires . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
2.1.4 Droites du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2 Modes de
reprage dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 2.2.1 Repres Cartsiens .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 64 2.2.2 Changement de repre . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
67 2
3. quation cartsienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.2.3 Repres
polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 quation polaire . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 70 2.3 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 70 2.3.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3.2
Interprtation en terme de projection . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.3.3 Proprits du
produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 71 2.3.4 Interprtation en termes de
nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 72 2.4 Dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
72 2.4.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 2.4.2
Interprtation en terme daire . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2.4.3 Proprits du
dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 73 2.4.4 Interprtation en terme de
nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 74 2.4.5 Application du dterminant : rsolution dun systme
linaire de Cramer de deux quations deux inconnues . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 74 2.5 Droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 75 2.5.1 Prambule : Lignes de niveau . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.5.2
Lignes de niveau de M u. AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 2.5.3 Lignes de niveau de M
det u, AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 76 2.5.4 Reprsentation paramtrique dune droite . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 2.5.5
quation cartsienne dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.5.6 Droite dnie par deux
points distincts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 78 2.5.7 Droite dnie par un point et un vecteur
normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
2.5.8 Distance dun point une droite . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 2.5.9 quation
normale dune droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 79 2.5.10 quation polaire dune droite
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 80 2.5.11 Intersection de deux droites, droites parallles
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.6
Cercles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.6.1
Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.6.2 quation cartsienne
dun cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 81 2.6.3 Reprsentation paramtrique dun cercle . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.6.4 quation polaire dun cercle passant par lorigine dun repre . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.6.5 Caractrisation dun
cercle par lquation MA. MB = 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 83 2.6.6 Intersection dun cercle et dune droite . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.7.1
Produit scalaire et dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 2.7.2 Coordonnes
cartsiennes dans le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 88 2.7.3 Gomtrie du triangle . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 95 2.7.4 Cercle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.7.5 Coordonnes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 2.7.6 Lignes de
niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 111 3 Gomtrie lmentaire de lespace
113 3.1 Prambule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
3.1.1 Combinaisons linaires de vecteurs, droites et plans dans
lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 3.1.2 Vecteurs
coplanaires, bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 114 3.1.3 Orientation de lespace,
base orthonormale directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 115 3.2 Mode de reprage dans lespace . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116 3.2.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Dnitions . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 116 Calcul algbrique avec les coordonnes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
116 Norme dun vecteur, distance entre deux points dans un repre
orthonorm . . . . . . . . . . . . . 117 3.2.2 Coordonnes
cylindriques et sphriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 118 3.3 Produit scalaire . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 119 3.3.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
119 3.3.2 Expression dans une base orthonormale . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.3.3 Proprits du
produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 120 3.4 Produit vectoriel . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 121 3.4.1 Dnition du produit vectoriel . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 121 3.4.2 Interprtation gomtrique du produit vectoriel . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 3
4. 3.4.3 Proprits du produit vectoriel . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Interlude
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Quelques exemples
dapplications linaires fort utiles pour ce qui vient... . . . . . .
. . . . . . . . 123 3.4.4 Expression dans une base orthonormale
directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
123 3.5 Dterminant ou produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.5.1
Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 3.5.2 Expression dans
une base orthonormale directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 124 3.5.3 Proprits du produit mixte . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
125 3.5.4 Interprtation gomtrique . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.6 Plans dans
lespace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 3.6.1 Reprsentation
paramtrique des plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 127 3.6.2 Reprsentation cartsienne . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 127 Interprtation gomtrique de lquation normale . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Position relative de
deux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 129 3.6.3 Distance dun point un plan . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 129 Deux mthodes de calcul de la distance dun point un plan . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3.7 Droites dans lespace .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 131 3.7.1 Reprsentation paramtrique . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 131 3.7.2 Reprsentation cartsienne . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131 3.7.3
Distance dun point une droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 3.7.4 Perpendiculaire
commune deux droites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 132 3.8 Sphres . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 134 3.8.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
3.8.2 Sphres et plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.8.3 Sphres et
droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 135 3.9 Exercices . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 136 3.9.1 Produits scalaire, vectoriel et
mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 136 3.9.2 Coordonnes cartsiennes dans lespace . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 3.9.3
Sphres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 4 Fonctions
usuelles 151 4.1 Fonctions logarithmes, exponentielles et
puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 152 4.1.1 Logarithme nprien . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 4.1.2
Exponentielle nprienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 4.1.3 Logarithme de
base quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 156 4.1.4 Exponentielle de base a . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 157 4.1.5 Fonctions puissances . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.1.6
Comparaison des fonctions logarithmes, puissances et exponentielles
. . . . . . . . . . . . . . . . 159 4.2 Fonctions circulaires
rciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 160 4.2.1 Rappels succincts sur les
fonctions trigonomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 160 4.2.2 Fonction Arcsinus . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
4.2.3 Fonction Arccosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.2.4 Fonction
Arctangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.3 Fonctions hyperboliques . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 166 4.3.1 Dnitions et premires proprits . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
166 Sinus et Cosinus hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Tangente
hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.3.2 Formulaire de
trigonomtrie hyperbolique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 169 4.3.3 Fonctions hyperboliques inverses .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 169 Fonction argument sinus hyperbolique argsh . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 Fonction Argument
cosinus hyperbolique argch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 170 Fonction Argument tangente hyperbolique argth
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 4.4
Deux exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 4.5 Fonction
exponentielle complexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176 4.6 Exercices . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 178 4.6.1 Fonctions exponentielles,
logarithmes et puissances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 178 4.6.2 Fonctions circulaires . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
4.6.3 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 4
5. 5 Equations diffrentielles linaires 198 5.1 Quelques rappels
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 198 5.2 Deux caractrisations de
la fonction exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 198 5.2.1 Caractrisation par une quation
diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 198 5.2.2 Caractrisation par une quation fonctionnelle . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.3
quation diffrentielle linaire du premier ordre . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 5.3.1 Vocabulaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 199 5.3.2 Rsolution de lquation
diffrentielle homogne normalise . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 200 5.3.3 Rsolution de lquation diffrentielle normalise avec
second membre . . . . . . . . . . . . . . . 202 5.3.4 Dtermination
de solutions particulires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 203 Superposition des solutions . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
203 Trois cas particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 Mthode de
variation de la constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 205 5.3.5 Cas gnral . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 206 5.3.6 Mthode dEuler . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.4
quations diffrentielles linaires du second ordre . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209 5.4.1 Vocabulaire
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 209 5.4.2 Rsolution de lquation
diffrentielle homogne du second ordre dans C . . . . . . . . . . .
. . . 210 5.4.3 Rsolution de lquation diffrentielle homogne du
second ordre dans R . . . . . . . . . . . . . . 212 5.4.4 quation
diffrentielle du second ordre avec second membre . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 213 5.5 Exercices . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 217 5.5.1 quations diffrentielles linaires du
premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
217 5.5.2 quations diffrentielles linaires du second ordre
coefcients constants . . . . . . . . . . . . . . 221 5.5.3
Rsolution par changement de fonction inconnue . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 222 5.5.4 Rsolution dquations
diffrentielles par changement de variable . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 224 5.5.5 Application aux quations diffrentielles
linaires du premier ordre avec problmes de raccord des solutions .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 225 5.5.6 Divers . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 227 6 tude des courbes planes 230 6.1 Fonctions
valeurs dans R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.1.1 Dnitions . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 230 6.1.2 Drivation du produit scalaire et du
dterminant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 232 6.2 Arcs paramtrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233
6.2.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 6.2.2 tude
locale dun arc paramtre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 233 tude dun point stationnaire avec
des outils de terminale, premire priode . . . . . . . . . . . . 234
tude dun point stationnaire avec les dveloppements limits, seconde
priode . . . . . . . . . . 234 Branches innies des courbes
paramtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 237 6.2.3 tude complte et trac dune courbe paramtre . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 6.3 Etude dune
courbe polaire = f (). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 6.3.1 Notations . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 244 6.3.2 Etude dune courbe = f (). . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 245 6.3.3 La cardiode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246 6.3.4 La
strophode droite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247 6.4 Exercices . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 248 6.4.1 Fonctions vectorielles .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 248 6.4.2 Courbes en coordonnes cartsiennes . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
6.4.3 Courbes polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263 7 Coniques
271 7.1 Dnitions et premires proprits . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.1.1
Dnition monofocale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.1.2 quation cartsienne
dune conique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 272 7.1.3 quation polaire dune conique . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
273 7.2 tude de la parabole : e = 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 7.3
tude de lellipse : 0 < e < 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 7.4
tude de lhyperbole : 1 < e . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278 7.5 Dnition
bifocale de lellipse et de lhyperbole . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 281 7.6 Courbes algbriques dans
le plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 282 7.7 Exercices . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 286 5
6. 7.7.1 En gnral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.7.2
Paraboles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286 7.7.3 Ellipses . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 288 7.7.4 Hyperboles . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 291 7.7.5 Coniques et coordonnes polaires . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
294 7.7.6 Courbes du second degr . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295 8 Nombres
entiers naturels, ensembles nis, dnombrements 304 8.1 Ensemble des
entiers naturels - Rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 304 8.1.1 Ensemble des entiers
naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 304 8.1.2 Principe de rcurrence . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 305 8.1.3 Suite dnie par rcurrence . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 8.1.4
Notations et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306 8.1.5 Suites arithmtiques
et gomtriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 307 8.2 Ensembles nis . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 308 8.2.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 8.2.2
Proprits des cardinaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308 8.2.3 Applications
entre ensembles nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 310 8.3 Oprations sur les ensembles nis . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 310 8.4 Dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
312 8.4.1 Nombre de p-listes dun ensemble ni . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312 8.4.2 Nombre
dapplications dun ensemble ni dans un ensemble ni . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 312 8.4.3 Arrangement . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 313 8.4.4 Combinaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.5
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 8.5.1
Principe de rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318 8.5.2 Sommes . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 323 8.5.3 Produit . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 325 8.5.4 Factorielles . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
326 8.5.5 Coefcients binomiaux, calculs de somme . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 8.5.6 Dnombrement
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 332 9 Corps R des nombres rels 339 9.1
Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 339 9.2 Le
corps des rels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 9.3 Valeur
absolue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341 9.4 Majorant,
minorant, borne suprieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 9.5 Droite numrique acheve
R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 343 9.6 Intervalles de R . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 344 9.7 Proprit dArchimde . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 344 9.8 Partie entire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345
9.9 Densit de Q dans R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345 9.10
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 9.10.1
Ingalits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 347 9.10.2 Borne
suprieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 348 9.10.3 Rationnels,
irrationnels, densit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 350 9.10.4 Partie entire . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 353 10 Suites de nombres rels 354 10.1 Dnitions .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354 10.1.1 Vocabulaire . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 354 10.1.2 Oprations sur les suites . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 354 10.2 Convergence dune suite . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
356 10.2.1 Suites convergentes, divergentes . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 356 10.3
Oprations sur les limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 10.3.1
Oprations algbriques sur les limites . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 358 10.3.2 Limites et
relations dordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 360 10.3.3 Limites innies . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 361 10.4 Suite extraite dune suite . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 362 10.5 Suites monotones . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 363 10.5.1 Thorme de la limite monotone . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 6
7. 10.5.2 Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364 10.5.3
Approximation dcimale des rels . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365 10.5.4 Segments emboits
et thorme de Bolzano-Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 366 10.6 Suites gomtriques . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 367 10.7 Relations de comparaison . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
10.7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.7.2 Suite
domine par une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 368 10.7.3 Suite ngligeable
devant une autre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 369 10.7.4 Suites quivalentes . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 370 10.8 Comparaison des suites de rfrence . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371
10.9 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374
10.9.1 Avec les dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374 10.9.2
Convergence, divergence de suites . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 10.9.3 Relations de
comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 380 10.9.4 Suites monotones et bornes . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 384 10.9.5 Sommes gomtriques . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 389 10.9.6
Suites adjacentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 10.9.7 Suites
extraites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394 10.9.8 Suites quivalentes
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 395 10.9.9 tude de suites donnes par une
relation de rcurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 407 10.9.10 tude de suites dnies implicitement . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410 11
Fonctions dune variable relle valeurs relles 414 11.1 Vocabulaire .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414 11.1.1 Lensemble F (I,R)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 414 11.1.2 Fonctions bornes . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 415 11.1.3 Monotonie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416
11.1.4 Parit priodicit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416 11.1.5
Fonctions Lipschitziennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 11.2 Limite et
continuit en un point . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 418 11.2.1 Voisinage . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 418 11.2.2 Notion de limite . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 418 11.2.3 Oprations algbriques sur les limites . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 421
11.2.4 Continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 423 11.2.5 Limite
gauche, droite, continuit gauche, droite . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 423 11.2.6 Limites et relation dordre . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 424 11.2.7 Thorme de composition des limites . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425 11.2.8
Image dune suite par une fonction . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426 11.2.9 Thorme de la
limite monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 427 11.3 tude locale dune fonction . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 429 11.3.1 Domination, prpondrance . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429
Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429 Proprits . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 429 Oprations sur les relations de comparaison
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430
Exemples fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 430 11.3.2 Fonctions
quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 430 Dnitions . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 430 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431 11.4
Proprits globales des fonctions continues . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433 11.4.1 Dnitions
et proprits de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 433 Dnitions . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 433 Oprations sur les fonctions continues . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434 11.4.2 Les
thormes fondamentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 434 Le thorme des valeurs
intermdiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 434 Fonction continue sur un segment . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
Fonctions uniformment continues . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 Thorme de la bijection . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 438 11.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 440 11.5.1 Avec les dnitions . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440
11.5.2 Limites dune fonction valeurs relles . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 11.5.3 Comparaison
des fonctions numriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 446 7
8. 11.5.4 Continuit des fonctions numriques . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453 11.5.5 Thorme
des valeurs intermdiaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 457 11.5.6 Continuit sur un segment . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 461 11.5.7 Fonctions Lipschitziennes . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462
11.5.8 Continuit uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464 11.5.9
Equations fonctionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465 11.5.10 Bijection
continue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 467 12 Drivation des fonctions
valeurs relles 469 12.1 Drive en un point, fonction drive . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
469 12.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 12.1.2
Interprtations de la drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 470 Interprtation gomtrique
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 470 Interprtation cinmatique . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471
Interprtation analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471 12.1.3 Drivabilit et
continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 471 12.1.4 Fonction drive . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 472 12.2 Oprations sur les drives . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
472 12.3 tude globale des fonctions drivables . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 12.3.1
Extremum dune fonction drivable . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 475 12.3.2 Thorme de Rolle . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 475 Interprtation graphique . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476
Interprtation cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 12.3.3 galit des
accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 476 12.3.4 Ingalit des accroissements
nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 477 12.3.5 Application : Variations dune fonction . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
12.3.6 Condition sufsante de drivabilit en un point . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478 12.4 Drives
successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479 12.4.1 Drive seconde
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 479 12.4.2 Drive dordre n . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 479 12.4.3 Fonctions de classe C n . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 480
12.5 Fonctions convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 481 12.6
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 12.6.1
Drivabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486 12.6.2 Drives
dordre n, formule de Leibniz . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 494 12.6.3 Applications de la
drivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 498 12.6.4 Recherche dextrmums . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 501 12.6.5 Thorme de Rolle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501 12.6.6
Thorme des accroissements nis . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 506 12.6.7 Application aux
quations diffrentielles linaires du premier ordre avec problmes de
raccord des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 508 12.6.8
tudes de suites relles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509 12.6.9 Convexit . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 512 12.6.10 quations fonctionnelles . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 515 13 Intgration sur un segment des fonctions valeurs
relles 517 13.1 Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
518 13.1.1 Subdivision dun segment . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 13.1.2
Fonctions en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 518 13.1.3 Intgrale
dune fonction en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 519 13.1.4 Proprits de lintgrale dune
fonction en escaliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 520 13.2 Fonctions continues par morceaux . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521
13.2.1 Dnition et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 521 13.2.2
Approximation des fonctions continues par morceaux par les
fonctions en escalier . . . . . . . . . 522 13.2.3 Intgrale dune
fonction continue par morceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 523 13.2.4 Proprits de lintgrale . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 524 13.2.5 Fonctions continues par morceaux sur un intervalle .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 13.2.6
Nullit de lintgrale dune fonction continue . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 526 13.2.7 Majorations
fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 527 13.2.8 Valeur moyenne dune fonction
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 529 13.2.9 Invariance de lintgrale par translation . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
8
9. 13.3 Primitive et intgrale dune fonction continue . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 529
13.4 Calcul de primitives et dintgrales . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 13.4.1
Intgration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 533 13.4.2 Changement
de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 533 13.4.3 Changement de variable
afne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 534 13.4.4 tude dune fonction dnie par une intgrale
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535
13.5 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 13.5.1
Formule de Taylor avec reste intgral . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537 13.5.2 Ingalit de
Taylor-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 538 13.5.3 Formule de Taylor-Young . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 539 13.5.4 Utilisation des trois formules de Taylor . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 540
13.6 Mthode des rectangles, Sommes de Riemann . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542 13.7 Exercices .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546 13.7.1 Calcul de
primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 546 13.7.2 Calcul dintgrales . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 547 13.7.3 Linarisation . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 547 13.7.4 Intgration par parties . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 548
13.7.5 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 551 13.7.6
Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554 13.7.7 Calcul de
primitives et dintgrales - Techniques mlanges . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 557 13.7.8 Proprits de lintgrale . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 564 13.7.9 Majorations dintgrales . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 566 13.7.10
Limite de fonctions dnies par une intgrale . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 13.7.11 Thorme fondamental,
tude de fonctions dnies par une intgrale . . . . . . . . . . . . .
. . . . 572 13.7.12 Suites dont le terme gnral est dni par une
intgrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 580
13.7.13 Algbre linaire et intgration . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 589 13.7.14
Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 590 13.7.15 Sommes de
Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 592 14 Dveloppements limits 596 14.1
Dveloppements limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 596 14.1.1 Dnitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 596 14.1.2 DL fondamental . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 596 14.1.3 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
597 14.1.4 DL et rgularit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 598 14.2
Dveloppement limit des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 599 14.2.1 Utilisation
de la formule de Taylor-Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 599 14.3 Oprations sur les dveloppements
limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 600 14.3.1 Combinaison linaire et produit . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600
14.3.2 Compose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 600 14.3.3 Quotient
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 601 14.3.4 Dveloppement limit
dune primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 601 14.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 605 14.4.1 Calcul de dveloppements limits . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605
14.4.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 14.4.3
Applications ltude de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 622 14.4.4 Branches innies . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 627 14.4.5 Dveloppements asymptotiques . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
629 14.4.6 Applications ltude de suites . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 631 14.4.7
Applications ltude locale des courbes paramtres . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 634 14.4.8 Application aux quations
diffrentielles linaires du premier ordre avec problmes de raccord
des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 637 15 Proprits
mtriques des arcs 639 15.0.9 Diffomorphismes . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 639 15.0.10 Arcs paramtrs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 15.1
Proprits mtriques des courbes planes . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 640 15.1.1 Longueur,
abscisse curviligne dun arc paramtr . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 640 15.1.2 Courbure . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 642 15.1.3 Calcul pratique de la courbure . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644
15.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650
9
10. 15.2.1 Calcul de longueur . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 15.2.2
Calcul de courbure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 650 15.2.3 Dveloppe,
dveloppante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 652 15.2.4 Exercices divers . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 653 16 Suites et fonctions valeurs complexes 655 16.1
Suites complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655 16.2
Continuit des fonctions valeurs complexes . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 16.3 Drivabilit des
fonctions valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 657 16.4 Intgration des fonctions
valeurs complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 658 16.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 661 16.5.1 Suites . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 661 16.5.2 Drives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 16.5.3
Intgrales et primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 662 17 Notions sur les
fonctions de deux variables relles 664 17.1 Continuit des fonctions
deux variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 664 17.2 Drives partielles, fonctions C 1 . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 668 17.3 Diffrentielle . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 672 17.4 Extremum dune fonction deux variables . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 17.5
Drives partielles dordre 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 676 17.6 Exemples
dquations aux drives partielles . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 678 17.7 Exercices . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 683 17.7.1 Limite et continuit . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 683 17.7.2 Drives partielles . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
685 17.7.3 Fonctions de classe C 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 687 17.7.4
Drives de fonctions composes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 690 17.7.5 Fonctions de classe
C 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 691 17.7.6 Extremum de fonctions de deux
variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 692 17.7.7 quations aux drives partielles dordre 1 . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694 17.7.8
quations aux drives partielles dordre 2 . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 696 17.7.9 Pour aller plus loin
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 697 18 Intgrales multiples 699 18.1 Intgrales
doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 699 18.1.1 Le thorme de
Fubini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 700 18.1.2 Changement de variables . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 701 18.1.3 Aire dun domaine plan . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703
18.2 Champs de vecteurs dans le plan et dans lespace . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703 18.3
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 18.3.1
Calculs lmentaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 707 18.3.2 Changement de
variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 709 18.3.3 Intgration en coordonnes
polaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 711 18.3.4 Application du thorme de Fubini . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715
18.3.5 Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 715 18.3.6 Centres
de gravit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 716 19 Structures algbriques 717
19.1 Groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717
19.1.1 Loi de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 19.1.2 Groupe .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 719 19.1.3 Morphisme de groupes .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 722 19.2 Anneau, corps . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 724 19.2.1 Structure danneau . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724
19.2.2 Structure de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 726 19.3
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 19.3.1 Loi
de composition interne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727 19.3.2 Groupes . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 728 19.3.3 Sous-groupe . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 735 19.3.4 Morphisme de groupe . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 736
19.3.5 Anneaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 738 10
11. 19.3.6 Corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 746 20
Arithmtique 748 20.1 Relation de divisibilit, division euclidienne
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 748 20.1.1 Relation de divisibilit . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 748 20.1.2
Congruences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 749 20.1.3 Division
euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 750 20.2 PGCD, thormes dEuclide et
de Bzout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 751 20.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 756 20.3.1 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756
20.3.2 Dcomposition en facteurs premiers . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 757 20.4 Exercices . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 759 20.4.1 Divisibilit . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 759 20.4.2 Bezout, PGCD, PPCM . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 759 20.4.3 Nombres premiers . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764
20.4.4 Divers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 766 21 Polynmes
767 21.1 Polynmes une indtermine . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767 21.1.1
Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767 21.1.2 Degr dun
polynme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 769 21.1.3 Valuation dun polynme . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 770 21.1.4 Composition de polynmes . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771
21.1.5 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 771 21.1.6 Division
selon les puissances croissantes . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 772 21.2 Fonctions polynomiales . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 773 21.2.1 Fonctions polynomiales . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 773 21.2.2 Racines dun polynme . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773 21.2.3
Schma de Horner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 775 21.2.4 Racines
multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 775 21.3 Polynmes drivs . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 776 21.3.1 Dnitions et proprits de base . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 776 21.3.2 Drives successives . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 776 21.4
Polynmes scinds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 778 21.4.1 Dnition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 778 21.4.2 Factorisation dans C[X]
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 778 21.4.3 Interlude : polynmes conjugus . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
779 21.4.4 Factorisation dans R[X] . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780 21.4.5
Polynmes irrductibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 780 21.4.6 Relations
coefcients-racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 781 21.5 Arithmtique dans K[X] . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 782 21.5.1 Diviseurs communs . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 782 21.5.2 PGCD, thormes dEuclide et de Bezout . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782 21.5.3 Polynmes
premiers entre eux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 783 21.5.4 PPCM . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 784 21.5.5 Polynmes irrductibles . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 785
21.6 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787
21.6.1 Lanneau des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787 21.6.2 Drivation,
formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 789 21.6.3 Arithmtique des polynmes . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 790 21.6.4 Division euclidienne . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 794
21.6.5 Racines dun polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 797 21.6.6
Factorisations de polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 806 21.6.7 Relations entre
coefcients et racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 809 11
12. 22 Fractions rationnelles 812 22.1 Fractions rationnelles .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 812 22.1.1 Dnition . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 812 22.1.2 galit de deux fractions . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812
22.1.3 Polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 812 22.1.4
Oprations sur les fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 813 22.1.5 Degr dune
fraction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 813 22.2 Dcomposition en lments
simples dune fraction rationnelle . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 814 22.2.1 Dcomposition en lments simples dans C(X)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 815
Recherche des coefcients associs aux ples multiples . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 816 22.2.2 Dcomposition en lments
simples dans R(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 817 22.2.3 Moralit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 820
22.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821
22.3.1 Fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 821 Dcomposition
sur C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 821 Dcomposition sur R . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 825 Calcul de primitives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 828 Drive
logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 834 Sicelides Musae, Paulo Majora
Canamus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 835 23 Espaces vectoriels 844 23.1 Espace vectoriel . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 844 23.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 844 23.1.2 Espaces produits . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845
23.1.3 Espaces de suites et de fonctions . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 846 23.1.4 Rgles de
calcul dans un espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 847 23.2 Sous-espace vectoriel . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 848 23.2.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 848 23.2.2 Intersection de sous-espaces vectoriels . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 851 23.3
Somme de sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 853 23.3.1 Dnitions
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 853 23.3.2 Somme directe . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 854 23.3.3 Sous-espaces supplmentaires . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
855 23.4 Applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857
23.4.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 857 23.4.2 Noyau,
image dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 858 23.4.3 tude de L (E,F) . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 859 23.4.4 tude de L (E) . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
859 23.4.5 tude de GL(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860 23.5
quations linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860 23.5.1
Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 860 23.5.2 Structure de
lensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 861 23.6 Projecteurs et symtries . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 861 23.6.1 Projecteurs . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 861 23.6.2 Symtries . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 863
23.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866
23.7.1 Espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866 23.7.2
Sous-espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 866 23.7.3 Oprations sur
les sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 869 23.7.4 Sous-espace vectoriel engendr
par une partie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 871 23.7.5 Sous-espaces vectoriels supplmentaires - Somme
directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874 23.7.6
Applications linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878 23.7.7 Image et noyau
dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 879 23.7.8 Endomorphismes inversibles . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 888 23.7.9 Transformations vectorielles . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 891 23.7.10
Formes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895 12
13. 24 Dimension des espaces vectoriels 897 24.1 Familles de
vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 897 24.1.1 Combinaisons
linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 897 24.1.2 Familles libres . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 898 24.1.3 Familles gnratrices . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
899 24.1.4 Bases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 899 24.2
Dimension dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 901 24.2.1 Espace
vectoriel de dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 901 24.2.2 Dimension . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 902 24.3 Dimension dun sous-espace vectoriel . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 905 24.3.1 Dimension dun sous-espace vectoriel . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905 24.3.2
Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 906 24.4 Applications
linaires en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 908 24.4.1 Bases et applications
linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 908 24.4.2 Dimension et isomorphisme . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 910 24.4.3 Rang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 910 24.5
Rcurrences linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913 24.5.1
Structure de lensemble des solutions . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 913 24.5.2 Suites
gomtriques solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 913 24.6 Polynmes . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 914 24.7 Exercices . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 916 24.7.1 Famille libre, Famille lie, Famille
gnratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
916 24.7.2 Sous-espace vectoriel engendr par une famille nie . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 920 24.7.3 Bases et
dimension dun espace vectoriel . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 921 24.7.4 Sous-espace vectoriel de
dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 924 24.7.5 Hyperplan . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
927 24.7.6 Sous-espaces supplmentaires . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 928 24.7.7 Rang
dune famille de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 931 24.7.8 Applications linaires
en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 931 24.7.9 Rang dune application linaire . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
938 24.7.10 Formes linaires en dimension nie . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 941 24.7.11
Rcurrences linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 942 24.7.12 Lespace
vectoriel des polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 943 24.7.13 Endomorphismes oprant sur
les polynmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 945 25 Calcul matriciel 949 25.1 Matrice coefcients dans K
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 950 25.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 950 25.1.2 Lespace vectoriel Mq,p (K) . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 951 25.1.3
Produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 952 25.1.4
Transposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 953 25.1.5 Avec Maple . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 954 25.2 Matrices dune famille de
vecteurs, dune application linaire . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 955 25.2.1 Matrice dune famille de vecteurs
relativement une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
955 25.2.2 Matrice dune application linaire relativement deux bases
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 956 25.3 Matrices carres
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 958 25.3.1 Dnitions . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 958 25.3.2 lments inversibles dans Mn (K), groupe
GLn (K) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959
25.3.3 Trace dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 962 25.3.4 Matrices
carres remarquables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 963 Matrices scalaires, diagonales,
triangulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 963 Matrices symtriques, antisymtriques . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 964 Matrices de
changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 965 Matrices de transvection et de
dilatation, oprations lmentaires sur les lignes et les colonnes
dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 966 25.4 Changement de base . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 967 25.4.1 Pour un vecteur . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 967 25.4.2 Pour une application linaire . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967
25.4.3 Pour un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 967 25.4.4 Pour une
forme linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 968 25.4.5 Un exemple . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 968 13
14. 25.5 Rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968
25.5.1 Dnition et proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 968 25.5.2 Calcul
pratique du rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 970 25.6 Dterminant dune matrice
carre de taille 2 ou 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 972 25.6.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 973 25.6.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973 25.7
Dterminants dordre 2 ou 3 dune famille de vecteurs . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973 25.7.1 Dnition . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 973 25.7.2 Proprits . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 974 25.7.3 Formule de changement de base . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 975
25.8 Dterminant dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976 25.8.1 Dnition
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 976 25.8.2 Proprits . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 976 25.9 Mthodes de calcul du dterminant . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 976 25.9.1 Opration sur les lignes et les colonnes . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976 25.9.2
Dveloppement dun dterminant suivant une range . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 977 25.10Applications . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 979 25.10.1 Colinarit de deux vecteurs du
plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 979 25.10.2 Inversion de matrice . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979
25.10.3 Orientation du plan et de lespace . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980 25.11Systmes
linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980 25.11.1 Dnitions . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 980 25.11.2 Interprtations . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 980 Interprtation vectorielle . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 980
Interprtation matricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981 Interprtation en
termes de formes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 981 Interprtation en termes dapplications
linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
981 25.11.3 Structure de lensemble des solutions . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 981 25.11.4 Cas
Particulier : Les systmes de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 982 25.11.5 Mthode du Pivot de
Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 982 25.12Exercices . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 984 25.12.1 Oprations sur les matrices . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
984 25.12.2 Trace dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 988 25.12.3
Rang dune matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989 25.12.4 Calcul de
dterminants de taille 2 ou 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 992 25.12.5 Inversion de matrice . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 996 25.12.6 Calcul des puissances dune matrice .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1003 25.12.7 Reprsentation matricielle dune application linaire . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1008 25.12.8
Structure forme de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1013 25.12.9 Changement de
base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . 1019 25.12.10Matrices semblables,
quivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1026 25.12.11Systmes linaires . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 1028 26 Groupe symtrique, dterminant 1033 26.1 Le groupe
symtrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1033 26.1.1 Signature dune
permutation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1035 26.2 Construction du dterminant . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1038 26.2.1 Formes n-linaires alternes . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1038 26.2.2 Dterminant de n vecteurs dans une base . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1040 26.2.3
Dterminant dun endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1042 26.2.4 Dterminant dune
matrice carre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 1043 26.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1051 26.3.1 Groupe symtrique . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1051 26.3.2 Dterminants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1053 26.3.3
Exercices thoriques sur les dterminants . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1060 14
15. 27 Produit scalaire, groupe orthogonal 1062 27.1 Dnitions
et rgles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062 27.1.1 Produit
scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1062 27.1.2 Norme . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 1063 27.2 Orthogonalit . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . 1065 27.3 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 1066 27.3.1 Bases orthogonales, orthonormales . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1066
27.3.2 Procd dorthonormalisation de Schmidt . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067 27.3.3 Consquences . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . 1069 27.4 Projecteurs et symtries
orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 1070 27.4.1 Projecteurs orthogonaux . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 1070 27.4.2 Symtries orthogonales, rexions . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1071 27.5
Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072 27.5.1
Endomorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1072 27.5.2 Matrices
orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1073 27.6 Etude du groupe
orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . 1074 27.6.1 Etude du groupe
orthogonal en dimension 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 1075 27.6.2 Etude du groupe orthogonal en
dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 1078 Produit mixte, produit vectoriel . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1078
Sous-espaces stables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1079 Isomtries directes .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . 1080 27.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . 1084 27.7.1 Espaces prhilbertiens rels . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1084 27.7.2 Projections orthogonales . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1090 27.7.3
Symtrie orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092 27.7.4 Groupe
orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . 1093 27.7.5 Produit vectoriel . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . 1093 27.7.6 tude dendomorphismes orthogonaux
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1094 28 Gomtrie afne 1098 28.1 Sous-espaces afnes . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . 1098 28.1.1 Translations . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1098 28.1.2 Sous espaces afnes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1099 28.1.3
Barycentres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1101 28.1.4 Repre
cartsien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 1103 28.2 Applications afnes .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 1104 28.2.1 Dnitions et proprits . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 1104 28.2.2 Translations afnes . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1105 28.2.3 Homothties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106 28.2.4
Projections et symtries afnes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1106 28.2.5 Points xes dune
homothtie afne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . 1107 28.3 Isomtries afnes . . . . . . . . .
.
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