Karlsruher Institut für Technologie (KIT) WS 2011/2012Institut für Analysis

Priv.-Doz. Dr. Gerd HerzogDipl.-Math.techn. Rainer Mandel

Lösungen 7.Übungsblatt

Aufgabe 25 (K)

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:

a)∞∑

n=0

1√n+ 5

(x− 2)n b)∞∑

n=0

n

2nxn2

c)∞∑

n=3

1(4 + (−1)n)2n

xn d)∞∑

n=0

nn2 xn

Für welche x ∈ R konvergieren die Reihen?

Lösung:

a) Sei an := 1√n+5

für n ∈ N. Es gilt

lim supn→∞

n√|an| = lim sup

n→∞

1n√n+ 5

= 1,

denn1 ≤ n√n+ 5 ≤ n

√6n = 61/nn1/n (n ∈ N)

und limn→∞ 61/nn1/n = 1. Also ist der Konvergenzradius ρ = 11 = 1 und die

Potenzreihe konvergiert für x ∈ (1, 3) und divergiert für x < 1 oder x > 3. Für x = 1konvergiert die Reihe nach dem Leibnizkriterium, da (an) monoton fallend ist, fürx = 3 divergiert die Reihe nach dem Minorantenkriterium, da an ≥ 1

n+5 =: bn > 0und

∑∞n=0 bn divergiert.

b) Sei

an :=

{m2−m , falls n = m2 für ein m ∈ N0 , sonst.

Dann gilt

lim supn→∞

n√|an| = lim sup

m→∞m2√|am2 | = lim sup

m→∞(m2−m)

1m2 = lim sup

m→∞m

1m2 2−

1m = 1,

denn 1 ≤ m1

m2 ≤ m1m und die rechte Seite konvergiert nach Vorlesung gegen 1

für m → ∞. Also lautet der Konvergenzradius ρ = 1 und die Reihe konvergiertfür |x| < 1 und divergiert für |x| > 1. Für |x| = 1 konvergiert die Reihe nachdem Wurzelkriterium, denn

∑∞n=0 |an| =

∑∞m=0m2−m und m

√m2−m → 1

2 < 1 fürm→∞.

c) Sei an := 1(4+(−1)n)2n . Es gilt

lim supn→∞

n√|an| = lim sup

n→∞

1(4 + (−1)n)2

=19,

d.h. der Konvergenzradius ist ρ = 9; daher liegt Konvergenz für |x| < 9 und Diver-genz für |x| > 9 vor. Im Falle |x| = 9 ist die Reihe

∑∞n=3 anx

n divergent, denn

lim supn→∞

|anxn| = lim sup

n→∞|an|9n = lim sup

n→∞

( 34 + (−1)n

)2n = 1 6= 0.

d) Sei an := nn2 . Dann ist die Folge ( n

√|an|) = (

√n) nach oben unbeschränkt und es

folgt ρ = 0. Daher liegt Konvergenz ausschlieÿlich im Punkt x = 0 vor.

Aufgabe 26 (K)

a) Bestimmen Sie das Cauchy-Produkt der Reihen∑∞

n=0 2−n und∑∞

n=0 3−n und be-rechnen Sie dessen Wert.

b) Sei a0 := 0 und an := (−1)n+1 1√nfür n ∈ N. Zeigen Sie, dass die Reihe

∑∞n=0 an

konvergiert und das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst divergiert. Warumist der Satz aus der Vorlesung über die Konvergenz des Cauchy-Produkts nichtanwendbar?

Lösung:

a) Sei an := 2−n, bn := 3−n für n ∈ N0, sei

cn :=n∑

k=0

akbn−k =n∑

k=0

2−k3k−n = 3−nn∑

k=0

(32)k = 3−n ·

1−(

32

)n+1

1− 32

=32n− 2

3n.

Da die geometrischen Reihen absolut konvergieren, konvergiert auch ihr Cauchy-Produkt

∑∞n=0 cn und der Reihenwert ist

∞∑n=0

cn =∞∑

n=0

an ·∞∑

n=0

bn =1

1− 12

· 11− 1

3

= 2 · 32

= 3.

b) Die Folge ( 1√n) ist monoton fallend gegen 0, sodass

∑∞n=0 an nach dem Leibnizkri-

terium konvergiert. Die Reihe konvergiert nicht absolut, denn |an| ≥ 1n für n ≥ 1.

Das Cauchy-Produkt der Reihe mit sich selbst konvergiert nicht, denn

|cn| = |n∑

k=0

akan−k|

=∣∣ n−1∑

k=1

(−1)k+1 1√k· (−1)n−k+1 1√

n− k∣∣

=n−1∑k=1

1√k(n− k)

≥n−1∑k=1

2n

=2(n− 1)

n

und dies ist keine Nullfolge. Daher konvergiert das Cauchy-Produkt mit sich selbstnicht.Der Satz aus der Vorlsung ist nicht anwendbar, da

∑∞n=0 an nicht absolut konver-

giert.

Aufgabe 27

a) Beweisen Sie mit Hilfe des Cauchy-Produkts die Additionstheoreme:

sin(x+ y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) (x, y ∈ R),cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sin(x) sin(y) (x, y ∈ R).

b) Beweisen Sie mit Hilfe der Additionstheoreme die folgenden Formeln:

cos(2x) = 1− 2 sin2(x) = 2 cos2(x)− 1 (x ∈ R),

cos(x) + cos(y) = 2 cos(x+ y

2)cos(x− y

2)

(x, y ∈ R).

Lösung:

a) Wir wenden den Satz über die Konvergenz des Cauchy-Produkts auf sin, cos an:

sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y)

=( ∞∑

n=0

(−1)n x2n+1

(2n+ 1)!

)( ∞∑n=0

(−1)n y2n

(2n)!

)+( ∞∑

n=0

(−1)n x2n

(2n)!

)( ∞∑n=0

(−1)n y2n+1

(2n+ 1)!

)=∞∑

n=0

n∑k=0

(−1)k x2k+1

(2k + 1)!· (−1)n−k y2n−2k

(2n− 2k)!

+∞∑

n=0

n∑k=0

(−1)k x2k

(2k)!· (−1)n−k y2n+1−2k

(2n+ 1− 2k)!

=∞∑

n=0

(−1)nn∑

k=0

x2k+1y2n−2k

(2k + 1)!(2n− 2k)!+∞∑

n=0

(−1)nn∑

k=0

x2ky2n+1−2k

(2k)!(2n+ 1− 2k)!

=∞∑

n=0

(−1)nn∑

k=0

( x2k+1y2n+1−(2k+1)

(2k + 1)!(2n+ 1− (2k + 1))!+

x2ky2n+1−2k

(2k)!(2n+ 1− 2k)!

)=∞∑

n=0

(−1)n2n+1∑k=0

xky2n+1−k

k!(2n+ 1− k)!

=∞∑

n=0

(−1)n 1(2n+ 1)!

2n+1∑k=0

(2n+ 1k

)xky2n+1−k

=∞∑

n=0

(−1)n (x+ y)2n+1

(2n+ 1)!

= sin(x+ y).

Analog zeigt man die andere Gleichung.Wir haben verwendet, dass aus der Konvergenz von

∑∞n=0 an,

∑∞n=0 bn die Glei-

chung∑∞

n=0(an + bn) =∑∞

n=0 an +∑∞

n=0 bn folgt (siehe Vorlesung).

b) Aus a) folgt mit cos(x)2 + sin(x)2 = 1 für x ∈ R

cos(2x) = cos(x)2 − sin(x)2 = 1− 2 sin(x)2 = 2 cos(x)2 − 1.

Hieraus folgt wiederum

2 cos(x+ y

2)cos(x− y

2)

= 2(cos(

x

2) cos(

y

2)− sin(

x

2) sin(

y

2))(

cos(x

2) cos(

y

2) + sin(

x

2) sin(

y

2))

= 2(cos(

x

2)2 cos(

y

2)2 − sin(

x

2)2 sin(

y

2)2)

= 2((1− sin(

x

2)2) cos(

y

2)2 − sin(

x

2)2 sin(

y

2)2)

= 2 cos(y

2)2 − 2 sin(

x

2)2

= (cos(y) + 1)− (1− cos(x))= cos(y) + cos(x)

Aufgabe 28

Bestimmen Sie den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:

a)∞∑

n=0

( n

n+ 3

)n2−3n(x+ 3)n b)

∞∑n=2

2nxn2

c)∞∑

n=10

(n!)2

(2n)!(x+ 1)n d)

∞∑n=0

(1 +

12

+ . . .+1n

)xn

Für welche x ∈ R konvergieren die Reihen?

a) Sei an :=(

nn+3

)n2−3n. Dann

lim supn→∞

n√|an| = lim sup

n→∞

( n

n+ 3)n−3 = lim sup

n→∞

(1− 3

n+ 3)n+3·

(1− 3

n+ 3)−6 = e−3·1 = e−3.

Der Konvergenzradius ist daher ρ = e3. Daher liegt Konvergenz für x ∈ (−3 −e3,−3 + e3) vor und Divergenz für x < −3 − e3 oder x > −3 + e3. Im Falle|x+ 3| = e3 divergiert die Reihe, denn für n ∈ N gilt

WAHR ⇐⇒(1 +

3n

)n ≤ e3=⇒

(1 +

3n

)n · ( n

n+ 3)3 ≤ e3

⇐⇒( n

n+ 3)n−3

e3 ≥ 1

⇐⇒ |an(x+ 3)n| ≥ 1.

Also ist (an(x+ 3)n) keine Nullfolge, sodass die Reihe∑∞

n=0 an(x+ 3)n divergiert.

b) Sei

an :=

{2m , falls n = m2 für ein m ∈ N0 , sonst.

Dannlim sup

n→∞n√an = lim sup

m→∞m2√am2 = lim sup

m→∞21/m = 1

und der Konvergenzradius ist 1. Da (an) keine Nullfolge ist, erhalten wir Konvergenzder Reihe für |x| < 1 und Divergenz für |x| ≥ 1.

c) Es gilt (siehe Groÿe Übung Nr. 7)

n

√(n!)2

(2n)!=( n√n!

2n√

(2n)!

)2 =( n√

n!n

2n√

(2n)!

2n

· 12)2 → (e−1

e−1· 12)2 =

14.

Der Konvergenzradius ist demnach ρ = 4 und die Reihe konvergiert für |x +1| < 4 und divergiert für |x + 1| > 4. Im Fall |x + 1| = 4 divergiert die Reihe∑∞

n=10(n!)2

(2n)! (x+ 1)n, denn für bn := (n!)2

(2n)!(x+ 1)n > 0 gilt

∣∣bn+1

bn

∣∣ = 2(n+ 1)2n+ 1

≥ 1,

sodass (bn) keine Nullfolge sein kann.

d) Es gilt 1 ≤ 1 + . . .+ 1n ≤ n und darum

lim supn→∞

n

√1 + . . .+

1n

= 1.

Der Konvergenzradius ist daher ρ = 1. Da (1+ . . .+ 1n) keine Nullfolge ist, erhalten

wir Konvergenz der Reihe für |x| < 1 und Divergenz für |x| ≥ 1.