CONJUNTO DE NÚMEROS · ALE 1 MÁS ADELANTE CUANDO VEAMOS L`HOPITAL cos 1 cos 2 ( ) cos: " " : ( ) ( ) cos aa a Estoes f a a CONCLUSIÓN Paraun x engeneral será f x sen x f x x de

Matemáticas II Profesora: María José Sánchez Quevedo

1

FUNCIÓN DERIVADA

Consideremos, de entrada, una función f continua, Intuitivamente diremos que la fun-ción f es derivable si es de “variación suave”, esto es, que no presenta cambios bruscos como “picos” o cambios vertiginosos “pendiente infinita”. Observa la gráfica de las siguientes funciones: ¿en qué puntos, valores de “x”, no es suave la función?

f derivable en x1 f no derivable en x1 (pto angunloso en x1)

f no derivable en x1

(pto de tangente vertical en x1) Veremos todo lo necesario para definir, matemáticamente, lo que es una función deri-vable.


2

DEFINICIÓN DE DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO Sea f una función continua en x = a, se define la derivada de la función f en el punto x = a y se escribe ( )f a como:

( ) ( )( ) lim

x a

f x f af a

x a

Si ( )f a existe, es finito, se dice que f es DERIVALBLE EN x = a

Se denomina dominio de derivabilidad, al conjunto de valores “a” posibles para los que el límite anterior existe (es finito), éste conjunto, coincidirá como mucho, con el dominio de continuidad de la función. Ejemplo 1:

Sea la función elemental 2)( xxf , tomemos el punto x = 2, calculemos (2)f

2

2 2 2 2

2 2 24 0(2) lim lim lim lim 2 4

2 2 0 2

(2) 4

x x x x

f x f x xxf x

x x x

Esto es f

Ejemplo 2:

Sea la función elemental ( )f x x , tomemos el punto x = 4, calculemos (4)f

2

4 4 4 4

4 4

44 2 0 2 2(4) lim lim lim lim

4 4 0 4 2 4 2

4 1 1 1lim lim

44 2 2 4 2

1(4)

4

x x x x

x x

xf x f x x xf

x x x x x x

x

x x x

Esto es f

DERIVADAS LATERALES Sea ( ) una función continuaf x , se definen:

la derivada lateral por la izquierda:

( ) ( )( ) lim

x a

f x f af a

x a

la derivada lateral por la derecha:

( ) ( )( ) lim

x a

f x f af a

x a

La función f será derivable en x = a cuando existan, sean finitas, las dos derivadas laterales y coincidan

( ) ( )lim ( )

( ) ( )( ) lim y coinciden

( ) ( )lim ( )

x a

x a

x a

f x f af a

f x f a x af a existenf x f ax a

f ax a


3

FUNCIÓN DERIVADA En general, dada una función f(x), la función derivada f ‘(x) es una aplicación tal que a cada valor de “x en general” le hace corresponder la derivada de la función para di-cho valor “x” x f x .

Ejemplo 1: Sea la función constante ( )f x K , tomemos un punto “a” cualquiera,

calculemos ( )f a

0( ) lim lim lim 0

( ) 0

: " " : ( ) ( ) 0

x a x a x a

f x f a K Kf a

x a x a x aEsto es f a

CONCLUSIÓN Paraun x engeneral será f x K f x

Ejemplo 2: Sea la función lineal ( )f x K x , tomemos un punto “a” cualquiera, cal-

culemos ( )f a

( ) lim lim lim lim

( )

: " " : ( ) ( )

x a x a x a x a

f x f a K x aK x K af a K K

x a x a x aEsto es f a K

CONCLUSIÓN Paraun x engeneral será f x K x f x K

Ejemplo 3: Sea la función elemental 2)( xxf , tomemos un punto “a” cualquiera,

calculemos ( )f a

2 2

2

0( ) lim lim lim lim 2

0

( ) 2

: " " : ( ) ( ) 2

x a x a x a x a

f x f a x a x ax af a x a a

x a x a x a

Esto es f a a

CONCLUSIÓN Paraun x engeneral será f x x f x x de este modo 422)2(212)1( ff etc

fD D

x

f‘(x)

f ‘


4

Ejemplo 4: Sea la función elemental ( )f x x , tomemos un punto “a” cualquiera,

calculemos ( )f a

2 2

0( ) lim lim lim

0

1 1 1lim lim lim

2

1( )

2

1: " " : ( ) ( )

2

x a x a x a

x a x a x a

f x f a x a x a x af a

x a x a x a x a

x a x a

ax a x a x a x a x a a a

Esto es f aa

CONCLUSIÓN Paraun x engeneral será f x x f xx

de este modo 1 1 1 2

(1) (2)2 22 1 2 2

f f etc

Ejemplo 5: Sea la función elemental ( ) ( )f x sen x , tomemos un punto “a” cualquie-

ra, calculemos ( )f a

SE DEMUESTRA QUE ÉSTE LÍMITE V

2 cos0 2 2

( ) lim lim lim0

cos2 2 2

lim limcos lim2

2 2

x a x a x a

x a x a x a

x a x asen

f x f a sen x sen af a

x a x a x a

x a x a x asen sen

x a

x a x a

ALE 1MÁS ADELANTE CUANDO VEAMOS L`HOPITAL

cos 1 cos2

( ) cos

: " " : ( ) ( ) cos

a aa

Esto es f a a

CONCLUSIÓN Paraun x engeneral será f x sen x f x x

de este modo (0) cos(0) 1 ( ) cos 02 2

f f etc

SI ESTE PROCESO LO HICIÉSEMOS CON CADA FUNCIÓN ELEMENTAL SE OBTIENE LA TABLA SIGUIENTE:


5

TABLA DE DERIVADAS DE LAS FUNCIONES ELEMENTALES / COMPUESTAS

ELEMENTALES COMPUESTAS

0 yky

y k x y k

1 nn nxyxy

1

( )n n

y f x y n f x f x

n nnn xn

yxxy 1

11

xyxy

2

1

)()(1

)()( 1

1

xfxfn

yxfxfy n nnn

)()(2

1)( xf

xfyxfy

aayay xx ln

xxx eeeyey ln

)(ln)()( xfaayay xfxf

)()(ln )()()( xfexfeeyey xfxfxf

ex

yxy aa log1

log

xyxy

1ln

)(log)(

1)(log xfe

xfyxfy aa

)()(

1)(ln xf

xfyxfy

y senx y cosx

y cosx y senx 2secy tg x y x

2y ctg x y cosec x

y sec x y sec x tg x

y cosec x y cosec x cotanx

( ) ( ) ( )y sen f x y f x cos f x

( ) ( ) ( )y cos f x y f x sen f x

2( ) ( ) sec ( )y tg f x y f x f x

2( ) ( ) cosec ( )y ctg f x y f x f x

( ) ( ) ( ) ( )y sec f x y f x sec f x tg f x

( ) ( ) ( ) ( )y cosec f x y f x cosec f x ctg f x

2

1

1y arc senx y

x

2

1

1y arccos x y

x

2

1

1y arctg x y

x

2

1

1y arcctg x y

x

2

1

1y arc sec x y

x x

2

1( ) ( )

1 ( )y arc sen f x y f x

f x

2

1( ) ( )

1 ( )y arccosf x y f x

f x

2

1( ) ( )

1 ( )y arctgf x y f x

f x

2

1( ) ( )

1 ( )y arcctg f x y f x

f x

2

1( ) ( )

( ) ( ) 1y arc sec f x y f x

f x f x


6

REGLAS DE DERIVACIÓN

1. La Derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función:

y C f x y C f x C f x

2. La Derivada de la suma o diferencia de funciones es igual a la suma o diferencia de

las derivadas de cada una de ellas:

y f x g x y f x g x f x g x

3. La Derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera fun-

ción multiplicada por la segunda función sin derivar, más la primera función sin deri-var multiplicada por la derivada de la segunda función:

y f x g x y f x g x f x g x f x g x

4. La Derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada de la función nume-

rador, multiplicada por la función denominador sin derivar, menos la función nume-rador multiplicada por la derivada de la función denominador, y, todo ello, dividido de la función denominador al cuadrado:

2

f x f x f x g x f x g xy y

g x g x g x

5. Regla de la Cadena, PARA DERIVAR UNA FUNCIÓN E GENERAL:

y f g x y f g x f g x g x

ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN (MÉTODO 1)

1. Se estudia la continuidad de la función, en los puntos en donde f no sea conti-nua ya no será derivable.

2. En los puntos en donde f es continua:

a. Obtendremos la función derivada en los puntos “x” en donde tenga sen-tido.

b. Estudiaremos la derivabilidad en cada uno de los puntos frontera que hubiese y en los puntos donde la función derivada anterior f ‘ (x) no es-tuviese bien definida, utilizando la definición de derivada de una fun-ción en un punto para saber si en dichos puntos es o no la función deri-vable.


7

Ejemplo 1: Estudiar la derivabilidad de la función:

1. En primer lugar estudiamos la continuidad de la función, pues en los puntos en donde f no es continua ya no sería derivable: 1) 1x la función es continua por tratarse de funciones polinómicas. 2) Veamos la continuidad en x = 1:

2

1

21 1

1

(1) 5

lim 6 5lim ( ) (1) lim ( )

lim 4 2 5

x

x x

x

f

xf x y f f x

x x

Luego la función es continua en x = 1.

2. En segundo lugar estudiamos la derivabilidad de la función: 1. 1x la función es derivable por tratarse de funciones polinómicas y la

función derivada es:

2. Veamos si en x = 1 es o no derivable, para ello calculemos las derivadas la-terales a izquierda y a derecha en x =1:

2 2

1 1 1

1 1

12 2

1 1 1

6 5 1( ) (1) 0(1 ) lim lim lim

1 1 1 0

1 1lim lim 1 2 (1 ) 2

1( ) (1)

(1) lim1

4 2 5( ) (1) 4 3(1 ) lim lim lim

1 1

x x x

x x

x

x x x

x xf x ff

x x x

x xx f

xf x f

fx

x xf x f x xf

x x

1 1

0

1 0

1 3lim lim 3 2 (1 ) 2

1x x

x

x xx f

x

Como las derivadas laterales son finitas pero distintas, se deduce que f no es derivable en x = 1, esto es, no existe (1)f , como las derivadas laterales son fi-

nitas pero distintas, se dice que, en x = 1 la función f PRESENTA UN PUNTO ANGULOSO.

124

16)(

2

2

xsixx

xsixxf

2 1( )

2 4 1

x si xf x

x si x


8

Ejemplo 2: Estudia la derivabilidad de la función f definida por: 3 2xxf

1. La función elemental 3 2xxf está definida en todo R y es continua.

2. La función derivada es:

a. 2 2 1

13 2 3 3 3

3

2 2 2 10

3 3 3f x x x f x x x valida si x

x

Estudiamos aparte la derivabilidad en x = 0:

Al ser las derivadas laterales infinitas de distinto signo, diremos que en x = 0 la función presenta un punto de retroceso.

Ejemplo 3: Estudia la derivabilidad de la función f definida por: 3 xxf

1. La función elemental 3f x x está definida en todo R y es continua.


a. 1 1 2

13 3 3 3

3 2

1 1 1 10


x

Estudiamos aparte la derivabilidad en x = 0: Al ser las derivadas laterales infinitas de igual signo, diremos que en x = 0 la función presenta un punto de tangente vertical. REGLA DE L’HOPITAL PARA EL CÁLCULO DE LIMITES

0 0 0 0

0Si tenemos que lim lim lim lim

0x x x x x x x xINDET

f x f x f x f xy si existe el

g x g x g x g x

Nota: Es también aplicable a la indeterminación

INDET

. Para poderla aplicar en los

restantes casos de indeterminación, ANTES, la expresión HAY QUE CONVERTIRLA EN COCIENTE.

213 2 3

3

30 0 0 0 0

30

30

0 0 10 lim lim lim lim lim

0

1lim 0

1lim 0

x x x x x

x

x

f x f x xf x

x x x x

fx

fx

123 3

3

3 20 0 0 0 0

3 20

3 20

0 0 10 lim lim lim lim lim

0

1lim 0

1lim 0

x x x x x

x

x

f x f x xf x

x x x x

fx

fx


9

ESTUDIO DE LA DERIVABILIDAD DE UNA FUNCIÓN (MÉTODO 2)

1. Igual que antes, se estudia la continuidad de la función, en los puntos en donde f no sea continua ya no será derivable.

2. En los puntos en donde f es continua:

a. Obtendremos la función derivada en los puntos “x” en donde tenga sen-tido.

b. Estudiaremos la derivabilidad en cada uno de los puntos frontera que hubiese y en los puntos donde la función derivada anterior f ‘ (x) no es-tuviese bien definida, para ello ahora lo haremos utilizando el teorema siguiente, que es una consecuencia directa de la REGLA DE L’HOPITAL:

:

En el caso de que exista el lim y el lim entonces, cada uno de ellos respectivamente

coinciden con las derivadas laterales de la función f, esto es:

( ) lim ( ) l

x a x a

x a

TEOREMA

f x f x

f a f x f a

im

Y f será derivable en x = a cuando las derivadas laterales existan y coincidan:

( ) lim( ) lim coincidan: ( ) ( ) ( )

( ) lim

x a

x a

x a

x a

f x

f a f xf a f x y f a f a f a

f a f x

Ejemplo 1: Estudiar la derivabilidad de la función:

1. En primer lugar estudiamos la continuidad de la función, pues en los puntos en donde f no es continua ya no sería derivable: 1) 1x la función es continua por tratarse de funciones polinómicas. 2) Veamos la continuidad en x = 1:

2

1

21 1

1

(1) 5

lim 6 5lim ( ) (1) lim ( )

lim 4 2 5

x

x x

x

f

xf x y f f x

x x

Luego la función es continua en x = 1.

2. En segundo lugar estudiamos la derivabilidad de la función: 1. 1x la función es derivable por tratarse de funciones polinómicas y la

función derivada es:

124

16)(

2

2

xsixx

xsixxf

2 1( )

2 4 1

x si xf x

x si x


10

2. Veamos si en x = 1 es o no derivable, para ello calculemos las derivadas la-terales a izquierda y a derecha en x =1:

1 1

1

1 1

(1 ) lim ( ) lim 2 2 (1 ) 2

(1) lim ( )

(1 ) lim ( ) lim 2 4 2 (1 ) 2

x x

x

x x

f f x x f

f f x

f f x x f

Como las derivadas laterales son finitas pero distintas, se deduce que f no es derivable en x = 1, esto es, no existe (1)f , como las derivadas laterales son fi-

nitas pero distintas, se dice que, en x = 1 la función f PRESENTA UN PUNTO ANGULOSO.

Ejemplo 2: Estudia la derivabilidad de la función f definida por: 3 2xxf

1. La función elemental 3 2xxf está definida en todo R y es continua.


a. 2 2 1

13 2 3 3 3

3

2 2 2 10


x

Estudiamos aparte la derivabilidad en x = 0:

Al ser las derivadas laterales infinitas de distinto signo, diremos que en x = 0 la función presenta un punto de retroceso.

Ejemplo 3: Estudia la derivabilidad de la función f definida por: 3 xxf

1. La función elemental 3f x x está definida en todo R y es continua.


a. 1 1 2

13 3 3 3

3 2

1 1 1 10


x

Estudiamos aparte la derivabilidad en x = 0: Al ser las derivadas laterales infinitas de igual signo, diremos que en x = 0 la función presenta un punto de tangente vertical.

30

30 0

30

1lim 0

10 lim ( ) lim

1lim 0

x

x x

x

fx

f f xx

fx

3 20

3 20 0

3 20

1lim 0

10 lim ( ) lim

1lim 0

x

x x

x

fx

f f xx f

x


11

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN EN UN PUNTO El problema que se plantea es el de trazar la “recta tangente” a la curva “f” en un punto P (a, f(a)). Recordemos que la pendiente de una recta se definía como el valor de la tangente del ángulo que forma la recta con la dirección positiva del eje OX. Vamos a ver que la pendiente de dicha recta tangen-te es precisamente el valor de la derivada de la fun-ción en el punto x = a, esto es:

tangente tan ( )pendiente de la recta en P f a

En efecto: Sea f una función continua en un intervalo I, )()( ICxf , para llegar a trazar la recta

tangente a la curva en el punto )(, afaP consideremos las siguientes rectas se-

cantes:

1. Recta 1s : es la recta secante a la curva que une los puntos )(, bfb y )(, afa

, la pendiente de dicha recta secante es:

1

( ) ( )( ) tan

f b f apendiente s

b a

2. Recta 2s : es la recta secante a la curva que une los puntos )(, cfc y )(, afa ,

la pendiente de dicha recta secante es:

2

( ) ( )( ) tan

f c f apendiente s

c a

3. Recta 3s : es la recta secante a la curva que une los puntos )(, dfd y )(, afa

, la pendiente de dicha recta secante es: el valor de la daxfTVM ,),(

3

( ) ( )( ) tan

f d f apendiente s

d a

4. En general la Recta ns : es la recta secante a la curva que une los puntos

, ( )x f x y )(, afa , la pendiente de dicha recta secante es:

( ) ( )( ) tann

f x f apendiente s

x a

Y, tomando límite cuando x a (b se aproxima al a, por tanto el punto U se

aproxima al punto P) y se llega a que la pendiente de la recta tangente a la curva en

el punto )(, afaP será el

( ) ( )lim ( )x a

f x f af a

x a

f


12

( ) ( )( ) tan P( , ( )) tan lim

x a

f x f af a pendiente de la recta gente en el punto a f a

x a


13

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE Y DE LA NORMAL A UNA CURVA EN UN PUNTO Ecuación de la recta tangente a la curva en el punto P(a, f(a)) en la forma punto-pendiente es:

: ( ) ( )( )t y f a f a x a

La recta normal a una curva en el punto P(a, f(a)) es la per-pendicular a la tangente en dicho punto, y es:

1: ( ) ( )

( )n y f a x a

f a

Ejemplo 1: Calcular la ecuación de la recta tangente y de la normal a la curva

2)( xxf en el punto de abcisa x = 1.

La ecuación de la recta tangente y de la normal en el punto de abcisa x = 1, cuyo punto en la gráfica es P(1, f(1)) será:

2

: ( ) ( )( ) (1) (1) ( 1)

1: ( ) ( )( ) (1) ( 1)

(1)

1 1

2 1 2

: 1 2 ( 1) es la ecuación de la recta tangente a f en el punto P(1, f(1))

1 1 (

2

t y f a f a x a y f f x

n y f a f a x a y f xf

fcomo f x x

f x x f

queda y x

y 1) es la ecuación de la recta normal a f en el punto P(1, f(1))x

Ejemplo 2: Calcular la ecuación de la recta tangente y de la normal a la curva

xxf

1)( en el punto de abcisa x = 1.

La ecuación de la recta tangente y de la normal en el punto de abcisa x = 1, cuyo punto en la gráfica es P(1, f(1)) será:

2

: ( ) ( )( ) (1) (1) ( 1)

1: ( ) ( )( ) (1) ( 1)

(1)

1 11

11 1

: 1 1 ( 1) es la ecuación de la recta tangente a f en el punto P(1, f(1))

1

t y f a f a x a y f f x

n y f a f a x a y f xf

f

como f xx f x f

x

queda y x

y

1( 1) 1 ( 1) es la ecuación de la recta normal a f en el punto P(1, f(1))

1x y x


14

DERIVADAS LATERALES: INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA Sea ( ) una función continua en un conjunto Df x , se define:

la derivada lateral por la izquierda: ( ) ( )

( ) lim ( )x a

f x f af a pendiente T

x a

la derivada lateral por la derecha: ( ) ( )

( ) lim ( )x a

f x f af a pendiente T

x a

Sabemos que, si las derivadas laterales no coinciden o son infinitas, entonces la fun-ción no es derivable. Los puntos en donde la función no es derivable se clasifican en:

1. Punto anguloso: derivadas laterales finitas pero distintas.

( ) ( )f a f a

2. Punto de retroceso: derivadas laterales infinitas de distinto signo.

( )

( )

f a

f a

3. Punto de tangente vertical derivadas laterales in-finitas del mismo signo.

( )

( )

f a

f a

DERIVADAS SUCESIVAS La derivada de la 1ª derivada se llama derivada 2ª y la notaremos por f . La derivada de la 2ª

derivada se llama derivada 3ª y se denota por f y así sucesivamente.

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CONJUNTO DE NÚMEROS · ALE 1 MÁS ADELANTE CUANDO VEAMOS L`HOPITAL cos 1 cos 2 ( ) cos: " " : ( ) ( ) cos aa a Estoes f a a CONCLUSIÓN Paraun x engeneral será f x sen x f x x de