ΜΑΘΗΜΑΜΑΘΗΜΑ 88

ΕΡΜΗΝΕΙΑΕΡΜΗΝΕΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΒαρυτικέςΒαρυτικές καικαι ΜαγνητικέςΜαγνητικές

ΜέθοδοιΜέθοδοι ΓεωφυσικήςΓεωφυσικής ΔιασκόπησηςΔιασκόπησης

ΟιΟι μαγνητικέςμαγνητικές ανωμαλίεςανωμαλίες οφείλονταιοφείλονται: : ΣτηΣτη διαφοράδιαφορά στηστη μαγνήτισημαγνήτιση τωντων πετρωμάτωνπετρωμάτωνΣεΣε μεταβολέςμεταβολές τηςτης μορφήςμορφής τωντων διαφόρωνδιαφόρων γεωλογικώνγεωλογικώνδομώνδομών

ΕΡΜΗΝΕΙΑΕΡΜΗΝΕΙΑ ΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝΔΕΔΟΜΕΝΩΝΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΔΙΑΦΟΡΕΣΔΙΑΦΟΡΕΣ ΜΕΤΑΞΥΜΕΤΑΞΥ ΤΟΥΤΟΥΒΑΡΥΤΙΚΟΥΒΑΡΥΤΙΚΟΥ ΚΑΙΚΑΙ ΤΟΥΤΟΥ

ΓΕΩΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥΓΕΩΜΑΓΝΗΤΙΚΟΥ ΠΕΔΙΟΥΠΕΔΙΟΥΟιΟι ανωμαλίεςανωμαλίες βαρύτηταςβαρύτητας είναιείναι θετικέςθετικές καικαι αρνητικέςαρνητικέςανάλογαανάλογα μεμε τηντην πυκνότηταπυκνότητα τουτου σώματοςσώματος πουπου τιςτιςπροκαλείπροκαλείΈναΈνα μαγνητισμένομαγνητισμένο σώμασώμα δημιουργείδημιουργεί τόσοτόσο θετικέςθετικές όσοόσοκαικαι αρνητικέςαρνητικές ανωμαλίεςανωμαλίες διότιδιότι απόαπό τητη φύσηφύση τουτου τοτομαγνητικόμαγνητικό πεδίοπεδίο είναιείναι διπολικόδιπολικόΗΗ μαγνήτισημαγνήτιση ενόςενός πετρώματοςπετρώματος εξαρτάταιεξαρτάται απόαπό τηντηνποσότηταποσότητα,,τιςτις διαστάσειςδιαστάσεις, , τοτο σχήμασχήμα καικαι τηντην κατανομήκατανομήτωντων σιδηρομαγνητικώνσιδηρομαγνητικών ορυκτώνορυκτών πουπου περιέχειπεριέχει, , ενώενώ ηηπυκνότηταπυκνότητα χαρακτηρίζειχαρακτηρίζει ολόκληροολόκληρο τοτο πέτρωμαπέτρωμαΗΗ μαγνήτισημαγνήτιση μεταβάλλεταιμεταβάλλεται σεσε έναένα ευρύευρύ διάστημαδιάστηματιμώντιμών σεσε αντίθεσηαντίθεση μεμε τηντην πυκνότηταπυκνότητα

ΔενΔεν υπάρχειυπάρχει μονοσήμαντημονοσήμαντη ερμηνείαερμηνεία

ΊδιοΊδιοαποτέλεσμααποτέλεσμαμέτρησηςμέτρησης

ΆπειραΆπειρα μοντέλαμοντέλα

((κατανομέςκατανομές μάζαςμάζας / / μαγνήτισηςμαγνήτισης))

ΕισαγωγήΕισαγωγήπεριορισμώνπεριορισμών

ΠραγματικόΠραγματικόΜοντέλοΜοντέλο

ΜΕΘΟΔΟΙΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣΕΡΜΗΝΕΙΑΣΔΕΔΟΜΕΝΩΝΔΕΔΟΜΕΝΩΝ ΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣΜΑΓΝΗΤΙΚΗΣ

ΔΙΑΣΚΟΠΗΣΗΣΔΙΑΣΚΟΠΗΣΗΣ

ΜΕΘΟΔΟΙΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΙΟΤΙΚΗΣΠΟΙΟΤΙΚΗΣ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣΕΡΜΗΝΕΙΑΣΜΕΘΟΔΟΙΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΣΟΤΙΚΗΣΠΟΣΟΤΙΚΗΣ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣΕΡΜΗΝΕΙΑΣ

ΜεΜε τιςτις μεθόδουςμεθόδους ποιοτικήςποιοτικής ερμηνείαςερμηνείας σχηματίζουμεσχηματίζουμε μιαμιαγενικήγενική αντίληψηαντίληψη γιαγια τηντην κατανομήκατανομή τωντων μαγνητικώνμαγνητικώνυλικώνυλικών μέσαμέσα σταστα επιφανειακάεπιφανειακά στρώματαστρώματα τουτου φλοιούφλοιούτηςτης γηςγης..

ΗΗ βαθμίδαβαθμίδα τηςτης έντασηςέντασης τουτου μαγνητικούμαγνητικού πεδίουπεδίουεξαρτάταιεξαρτάται απόαπό τοτο βάθοςβάθος τηςτης μαγνητικήςμαγνητικής πηγήςπηγής πουπουπροκαλείπροκαλεί τηντην ανωμαλίαανωμαλία..

ΑπότομηΑπότομη ελάττωσηελάττωση τηςτης μαγνητικήςμαγνητικής βαθμίδαςβαθμίδαςπαρατηρείταιπαρατηρείται σεσε περιοχέςπεριοχές λεκανώνλεκανών πληρωμένεςπληρωμένες μεμειζήματαιζήματα. . ΗΗ μικρότερημικρότερη τιμήτιμή τηςτης βαθμίδαςβαθμίδαςπαρατηρείταιπαρατηρείται στοστο βαθύτεροβαθύτερο μέροςμέρος τηςτης λεκάνηςλεκάνης..

ΜΕΘΟΔΟΙΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΙΟΤΙΚΗΣΠΟΙΟΤΙΚΗΣ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣΕΡΜΗΝΕΙΑΣ

ΔιακρίνονταιΔιακρίνονται σεσε ::

ΑΜΕΣΕΣΑΜΕΣΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙΜΕΘΟΔΟΙΕΜΜΕΣΕΣΕΜΜΕΣΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙΜΕΘΟΔΟΙ

ΜΕΘΟΔΟΙΜΕΘΟΔΟΙ ΠΟΣΟΤΙΚΗΣΠΟΣΟΤΙΚΗΣ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣΕΡΜΗΝΕΙΑΣ

ΚατάΚατά τηντην εφαρμογήεφαρμογή τωντων άμεσωνάμεσων μεθόδωνμεθόδων προσπαθούμεπροσπαθούμενανα βγάλουμεβγάλουμε ποσοτικάποσοτικά συμπεράσματασυμπεράσματα απευθείαςαπευθείας απόαπότιςτις διορθωμένεςδιορθωμένες μαγνητικέςμαγνητικές μετρήσειςμετρήσεις..

ΕίναιΕίναι ημιποσοτικέςημιποσοτικές διότιδιότι μόνομόνο χονδροειδείςχονδροειδείς υπολογισμοίυπολογισμοίορισμένωνορισμένων παραμέτρωνπαραμέτρων τηςτης γεωμαγνητικήςγεωμαγνητικής δομήςδομής τουτουυπεδάφουςυπεδάφους μπορούνμπορούν νανα γίνουνγίνουν. .

ΑΜΕΣΕΣΑΜΕΣΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣΕΡΜΗΝΕΙΑΣΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

m

mm Z

Jz'

54.5=

m

mm Z

JZ''

6.262 =

mm x

ZZ ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

='

Όπου Jm η μέγιστη τιμή της μαγνήτισης

zm,το μέγιστο βάθος

mm x

ZZ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

= 2

2

''

ΤοΤο βάθοςβάθος τατα zzmm τηςτης κορυφήςκορυφής τουτου σώματοςσώματος εάνεάν έχουμεέχουμεχάρτηχάρτη ισανωμάλωνισανωμάλων τηςτης κατακόρυφηςκατακόρυφης συνιστώσαςσυνιστώσας ΖΖ καικαιυπολογίσουμευπολογίσουμε τηντην πρώτηπρώτη καικαι δεύτερηδεύτερη παράγωγοπαράγωγο κατάκατάμήκοςμήκος συγκεκριμένηςσυγκεκριμένης όδευσηςόδευσης

ΑΜΕΣΕΣΑΜΕΣΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙΜΕΘΟΔΟΙ

ΚατάΚατά τηντην εφαρμογήεφαρμογή τωντων έμμεσωνέμμεσων μεθόδωνμεθόδων γίνεταιγίνεταισύγκρισησύγκριση τωντων πραγματικώνπραγματικών μαγνητικώνμαγνητικών ανωμαλιώνανωμαλιώνπουπου προκύπτουνπροκύπτουν απόαπό τιςτις μετρήσειςμετρήσεις μεμε υπολογισμένεςυπολογισμένεςθεωρητικέςθεωρητικές ανωμαλίεςανωμαλίες πουπου προκαλούνταιπροκαλούνται απόαπόμαγνητικάμαγνητικά σώματασώματα κανονικούκανονικού σχήματοςσχήματος τατα οποίαοποίαθεωρούνταιθεωρούνται ότιότι βρίσκονταιβρίσκονται μέσαμέσα στοστο υπέδαφοςυπέδαφος. . ΜεταβάλλονταιΜεταβάλλονται οιοι παράμετροιπαράμετροι τωντων σωμάτωνσωμάτων αυτώναυτώνμέχριμέχρι ηη θεωρητικέςθεωρητικές ανωμαλίεςανωμαλίες γίνουνγίνουν σχεδόνσχεδόν όμοιεςόμοιες μεμετιςτις πραγματικέςπραγματικές, , οπότεοπότε τατα απλάαπλά σώματασώματα προσεγγίζουνπροσεγγίζουντατα πραγματικάπραγματικά μαγνητικάμαγνητικά σώματασώματα πουπου προκαλούνπροκαλούν τητημαγνητικήμαγνητική ανωμαλίαανωμαλία πουπου μετράμεμετράμε. .

ΕΜΜΕΣΕΣΕΜΜΕΣΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣΕΡΜΗΝΕΙΑΣΜΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝΔΕΔΟΜΕΝΩΝ

ΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣΘΕΩΡΗΤΙΚΟΣ ΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣΚΑΘΟΡΙΣΜΟΣ ΤΩΝΤΩΝΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΩΝ

ΔΙΕΥΚΟΛΥΝΕΤΑΙΔΙΕΥΚΟΛΥΝΕΤΑΙ ΜΕΜΕ ΤΗΤΗ ΧΡΧΡHHΣΗΣΗ ΤΗΣΤΗΣ ΣΧΕΣΗΣΣΧΕΣΗΣPOISSONPOISSON ΠΟΥΠΟΥ ΣΥΝΔΕΕΙΣΥΝΔΕΕΙ ΤΑΤΑ ΔΥΝΑΜΙΚΑΔΥΝΑΜΙΚΑ ΤΩΝΤΩΝ ΔΥΟΔΥΟΠΕΔΙΩΝΠΕΔΙΩΝ ..

iU

GJW

∂∂⋅=

ρ

Z

UGJ

zW

H z

∂

∂⋅=∂∂

= 2

2

ρ

ΗΗ κατακόρυφηκατακόρυφη συνιστώσασυνιστώσα τηςτης μαγνητικήςμαγνητικής έντασηένταση θαθα είναιείναι

ΑλλάΑλλά . . ΣυνεπώςΣυνεπώς

ΟμοίωςΟμοίως ηη οριζόντιαοριζόντια συνιστώσασυνιστώσα δίνεταιδίνεται απόαπό τητη σχέσησχέση

rzZ /Β= δδr 2/Ρ=Ζδ ( )ZX

PzZ22 3

+=δ

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΣΜΑΓΝΗΤΙΚΟΣ ΠΟΛΟΣΠΟΛΟΣΑΡΝΗΤΙΚΟΣΑΡΝΗΤΙΚΟΣ

( )ZXPxT

22 3

+=δ

After: Boyd, J. Lecture notes on Potential field methods . ColoAfter: Boyd, J. Lecture notes on Potential field methods . Colorado School of Mines. rado School of Mines. http:/http:/www.mines.eduwww.mines.edu, 1997, 1997

ΤοΤο βάθοςβάθος zz, , τουτου μαγνητικούμαγνητικού πόλουπόλου συνδέεταισυνδέεται μεμε τηντην οριζόντιαοριζόντιααπόστασηαπόσταση ,,χχ, , γιαγια τηντην οποίαοποία ηη δΖδΖ11 είναιείναι ίσηίση μεμε τοτο μισόμισό τηςτης

μέγιστηςμέγιστης τιμήςτιμής τηςτης δΖδΖmm

H H σχέσησχέση πουπου τατα συνδέεισυνδέει είναιείναιΖΖ= 1,3 = 1,3 χχ1.1.

ΗΗ τιμήτιμή τηςτης κατακόρυφηςκατακόρυφηςσυνιστώσαςσυνιστώσας πουπου οφείλεταιοφείλεται σεσεκατακόρυφοκατακόρυφο μαγνητικόμαγνητικό πόλοπόλοδίνεταιδίνεται απόαπό τητη σχέσησχέση

( ) ( )ZxZxzzZ

2222

12 3

23

1

++Ρ

−Ρ

=δ

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟΔΙΠΟΛΟ ΚΑΙΚΑΙΡΑΒΔΟΜΟΡΦΟΣΡΑΒΔΟΜΟΡΦΟΣ ΜΑΓΝΗΤΗΣΜΑΓΝΗΤΗΣ

After: Boyd, J. Lecture notes on Potential field methods . ColoAfter: Boyd, J. Lecture notes on Potential field methods . Colorado School of Mines. rado School of Mines. http:/http:/www.mines.eduwww.mines.edu, 1997, 1997

ΜΑΓΝΗΤΙΚΟΜΑΓΝΗΤΙΚΟ ΔΙΠΟΛΟΔΙΠΟΛΟ ΚΑΙΚΑΙΡΑΒΔΟΜΟΡΦΟΣΡΑΒΔΟΜΟΡΦΟΣ ΜΑΓΝΗΤΗΣΜΑΓΝΗΤΗΣ

ΚατακόρυφηΚατακόρυφη συνιστώσασυνιστώσα έντασηςέντασης μαγνητικούμαγνητικού πεδίουπεδίουοφειλόμενοοφειλόμενο σεσε κατακόρυφακατακόρυφα μαγνητισμένημαγνητισμένη σφαίρασφαίρα ::

25

2

2

3

3

1

)/(23

4

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

−⋅=

zx

zxz

JRZ πδ

ΟΜΟΙΟΜΟΡΦΑΟΜΟΙΟΜΟΡΦΑ ΜΑΓΝΗΤΙΣΜΕΝΗΜΑΓΝΗΤΙΣΜΕΝΗ ΣΦΑΙΡΑΣΦΑΙΡΑ

After: Boyd, J. Lecture notes on Potential field methods . ColoAfter: Boyd, J. Lecture notes on Potential field methods . Colorado School of Mines. rado School of Mines. http:/http:/www.mines.eduwww.mines.edu, 1997, 1997

After: Boyd, J. Lecture notes on After: Boyd, J. Lecture notes on Potential field methods . Colorado School Potential field methods . Colorado School of Mines. http:/of Mines. http:/www.mines.eduwww.mines.edu, 1997, 1997

ΤοΤο βάθοςβάθος zz τουτου κέντρουκέντρου τηςτης σφαίραςσφαίρας δίνεταιδίνεταιπροσεγγιστικάπροσεγγιστικά απόαπό τητη σχέσησχέση::

zz= 2= 2χχ11

zR J

Zm 38

2

3πδ =

ΤοΤο δυναμικόδυναμικό τουτου πεδίουπεδίου βαρύτηταςβαρύτητας κυλίνδρουκυλίνδρου τουτου, , οποίουοποίου οοάξοναςάξονας είναιείναι οριζόντιοςοριζόντιος, , είναιείναι::U= 2Gmlog(1/r), U= 2Gmlog(1/r), όπουόπου mm είναιείναι ηη μάζαμάζα ανάανά μονάδαμονάδα μήκουςμήκους..ΕπομένωςΕπομένως, , ηη κατακόρυφηκατακόρυφη συνιστώσασυνιστώσα τηςτης έντασηςέντασης, , ηη οποίαοποίαοφείλεταιοφείλεται σεσε κύλινδροκύλινδρο κατακόρυφακατακόρυφα μαγνητισμένομαγνητισμένο, , δίνεταιδίνεται απόαπό τητησχέσησχέση::

ΖΖ= 2,05= 2,05χχ11 καικαι ηη ακτίναακτίνα βάσηςβάσης τουτου κυλίνδρουκυλίνδρου δίνεταιδίνεται απόαπό τητη σχέσησχέση: :

ΟΡΙΖΟΝΤΙΟΣΟΡΙΖΟΝΤΙΟΣ ΚΥΛΙΝΔΡΟΣΚΥΛΙΝΔΡΟΣ

( )( )[ ]zx

zx

zJRZ

+

−⋅=

1

122 2

2

2

2πδ

zJRZ m 2

22πδ =

( ) 1

22+

⋅=

zx

zxzJtZδ

ΟΡΙΖΟΝΤΙΑΟΡΙΖΟΝΤΙΑ ΗΜΙΠΛΑΚΑΗΜΙΠΛΑΚΑ

( )222

2

/2 zxtxGxU

+=∂∂ ρ

2

2

2

22 0

xU

zUU

∂∂

−=∂∂

⇒=∇tt

02

2

=∂∂

yU

ΟΡΙΖΟΝΤΙΕΣΟΡΙΖΟΝΤΙΕΣ ΠΛΑΚΕΣΠΛΑΚΕΣ ΣΕΣΕ ΕΠΑΦΗΕΠΑΦΗ

ΗΗ μέγιστημέγιστη τιμήτιμή τηςτηςκατακόρυφηςκατακόρυφης συνιστώσαςσυνιστώσαςτηςτης έντασηςέντασης τουτου μαγνητικούμαγνητικούπεδίουπεδίου πουπου οφείλεταιοφείλεται στιςστιςπλάκεςπλάκες δίνεταιδίνεται απόαπό τητησχέσησχέσηδΖδΖ=2=2ππ((JJ11 –– JJ22))

ΕΜΜΕΣΕΣΕΜΜΕΣΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙΜΕΘΟΔΟΙ ΕΡΜΗΝΕΙΑΣΕΡΜΗΝΕΙΑΣΑΡΧΙΚΟΑΡΧΙΚΟ

ΜΟΝΤΕΛΟΜΟΝΤΕΛΟ

ΤΕΛΙΚΟΤΕΛΙΚΟΜΟΝΤΕΛΟΜΟΝΤΕΛΟ

ΔυοΔυο ΓενικέςΓενικές ΠροσεγγίσειςΠροσεγγίσεις

επίλυσηεπίλυσηΕυθέοςΕυθέος

ΠροβλήματοςΠροβλήματος

επίλυσηεπίλυσηΑντίστροφουΑντίστροφουΠροβλήματοςΠροβλήματος

ΔεδομέναΜοντέλο

2ˆ( )

V

rg P G dvr

ρ= − ∫

2 2 2 3' '

/'

2( '( ', )

[( '', '

) () ' ' '

') ( ') ]zx y z

G z zy y

g x y z dx dy dzz zχ

ρχ

−− − +

−+ −

= ∫ ∫ ∫

2 2 2 3/( ', ', ')( ')

[( ') ( ') ( ') ]y y z z

G z zy y z z

χ χχ χ

− − − 2

⋅ −− + − + −

Ψ =

1

N

m nn

g ρ=

= Ψ∑ mn

(GREEN)(GREEN)

PP(x,y,z)

VV2

mr

g G= − dvdv(x’,y’,z’)

Ψηφιακή μορφή

33--D D ΠροσέγγισηΠροσέγγιση υπεδάφιωνυπεδάφιων δομώνδομών

Talwani - Ewin

2 2' ' '

2 3/2

'

( , , ))

( ')

' '

' '

1( ' '

' 'z y x

z

x y z z dz

zG Gg z dz

g G dxy z

dy

ρ

ρχ

Ζ =

+ += ∫ ∫ ∫

∫z

x

y

0

0 x

y(xi,yi)

Grant – West

11

2

2 2 2 2 2 2 2 2 2

( ') (arctan )

'( ' )[(1 ) ' ] ( ' ) '

' '

M

m mm

m mm

m m m m m m m

m m

G z arctan

z b y a zx a z b a z b x y z

x a y b

+=

= Ω − Ω

−Ω =

+ + − + + +

= +

∑

22--D D ΠροσέγγισηΠροσέγγιση υπεδάφιωνυπεδάφιων δομώνδομώνy

z

x

rn

rn+1

x

z

0

0

112

1log ( )

12 n n

n nn n

N

mn

b V aV

g G θ θα

ρ ++

=

⎡ ⎤− −⎢ ⎥+ ⎣ ⎦

= ∑

' 'm mx a z b= +

Μήκος κατά yy’’yy = +∞

Κυλινδρικέςσυντεταγμένες

33--D D ΠροσέγγισηΠροσέγγιση υπεδάφιωνυπεδάφιων δομώνδομών -- ΜαγνητικόΜαγνητικόπεδίοπεδίο

1( ) ( )m p QV

B P C M Q dvr

= − ∇ ∇∫

1( )ˆm p Q

V

C M Q dvr

FΔΤ = − ∇ ∇∫

PP(x,y,z)VV

QQ

Αριθμητικές Μέθοδοι – ανάλογες με τις Βαρυτικές – που προσομοιώνουν τοαποτέλεσμα, από δομές με κανονικά σχήματα

22--D D ΠροσέγγισηΠροσέγγιση υπεδάφιωνυπεδάφιων δομώνδομών2

ˆ ˆ( )

ˆˆ

mS

M nB P C rdsr

nr

⋅= ∫

= μοναδιαίο διάνυσμα _|_ S

= διάνυσμα θέσης

21 2

1

21 2

1

ˆ ˆ ˆ2 ( )[ log ( )]

ˆ ˆ ˆ2 ( )[ log ( )]

ˆ

x m x x

z m z z

rC M n s srrC M n s sr

s

θ θ

θ θ

Β = − ⋅ −

Β = − ⋅ −

x

r1

r2

z

Ρ(0,0)

dS

Κυλινδρικέςσυντεταγμένες

θ1θ2

ŝ = μοναδιαίο διάνυσμα // στη dS, κατάμήκος της τομής της με το επίπεδο xz

22--D D ΠροσέγγισηΠροσέγγιση υπεδάφιωνυπεδάφιων δομώνδομών

zx

h 2b

22 2

2 2

cos4 [ (tan cos ) 2 tan cos ]hbM h I A x I Ax h

ΔΤ = − −+

I = Έγκλιση Μαγνητικού Πεδίου Γης

Α= απόκλιση του χ από Μαγνητικό Βορρά

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ ΠΡΟΒΛΗΜΑΠΡΟΒΛΗΜΑ

ΔεδομέναΜοντέλο

1

( ) ( ) ( , )V

N

i j ijj

f P s Q P Q dv

f s=

= Ψ

= Ψ

∫

∑

1nT

0

0

3

-3Mag

netiz

atio

n A

/m

ΠρόβλημαΠρόβλημα ΑστάθειαςΑστάθειας τηςτης ΛύσηςΛύσης

1 11 12 1 1

2 21 22 2 2

3 1 2 3

...

...... ... ... ... ... ...

...L L LN

Ν

Ν

ΔΤ Ψ Ψ Ψ Μ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ΔΤ Ψ Ψ Ψ Μ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ΔΤ Ψ Ψ Ψ Μ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ Bott & Hutton 1970

ΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗΑΠΟΣΥΝΕΛΙΞΗ ΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝΜΑΓΝΗΤΙΚΩΝΑΝΩΜΑΛΙΩΝΑΝΩΜΑΛΙΩΝ

1 2 1 2( ) ( ( ) ( ))D R x R xχΔΤ = ΔΤ − ΔΤ = −

22 2

2 2

cos( ) 4 [ (tan cos ) 2 tan cos ]hx bM h I A x I Ax h

ΔΤ = − −+

xh1

h2

( ) ( )DR xχΔΤ =

( )n

i i i jj m

T D Rχ −=

Δ = ∑

2b

ΟλικόΟλικό ΜΜ..ΠΠ. => . => ΑποτέλεσμαΑποτέλεσμασυνέλιξηςσυνέλιξης

Max ΠλάτοςΜορφή

DRΤ = ⇔

1D TR−=

1 2( )x xE R Rδ −= −

Ελαχιστοποίηση του

Τετραγώνου των σφαλμάτων

ΔΤ

1R−

D

FILTER

Μ2Μ

-Μ

0Μ

2Μ

-Μ

ΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣΠΡΟΥΠΟΘΕΣΕΙΣ ΕΦΑΡΜΟΓΗΣΕΦΑΡΜΟΓΗΣΗΗ ΜαγνήτισηΜαγνήτιση κατάκατά σταθερήσταθερή διεύθυνσηδιεύθυνση ((ήή επαγωγικούεπαγωγικούτύπουτύπου))ΔομήΔομή μεμε άπειροάπειρο μήκοςμήκος κατάκατά τοντον άξοναάξονα yy ((ήή πεπερασμένοπεπερασμένοαλλάαλλά σταθερόσταθερό ωςως προςπρος τοντον y+ y+ καικαι yy--))ΔομήΔομή πουπου μπορείμπορεί νανα προσομοιωθείπροσομοιωθεί ωςως σύνολοσύνολο πρισμάτωνπρισμάτωνΓνωστόΓνωστό τοτο βάθοςβάθος τηςτης δομήςδομής απόαπό τηντην επιφάνειαεπιφάνεια

Εφαρμογή στην εξερεύνηση αρχαιολογικών χώρωνΕφαρμογή στην εξερεύνηση αρχαιολογικών χώρων

ΜηΜη ΓραμμικόΓραμμικό ΑντίστροφοΑντίστροφο ΠρόβλημαΠρόβλημαMMηη γραμμικήγραμμική συσχέτισησυσχέτιση ((λογαριθμικήλογαριθμική, , τόξουτόξου εφαπτομένηςεφαπτομένης κτλκτλ.).)τουτου παραγόμενουπαραγόμενου πεδίουπεδίου μεμε τιςτις παραμέτρουςπαραμέτρους τηςτης υπεδάφιαςυπεδάφιας δομήςδομής

( , , )i i iF F x z= ww x

z

0

(xn,yn)

H= ΜΟΝΤΕΛΟ ΕΔΑΦΟΥΣ (Διάνυσμαπου περιλαμβάνει τις παραμέτρους τηςπηγής του πεδίου)

Στόχος => Να βρεθεί w τέτοιο ώστε ηποσότητα:

2 2

1

[ ( )]L

i ii

E F F=

= −∑ w Να γίνει ελάχιστη

ΕπειδήΕπειδή FFii καικαι ww δεδε σχετίζονταισχετίζονται γραμμικάγραμμικά, , χρησιμοποιούμεχρησιμοποιούμε τητημέθοδομέθοδο τωντων διαδοχικώνδιαδοχικών προσεγγίσεωνπροσεγγίσεων, , μεταβάλλονταςμεταβάλλοντας κάθεκάθε φοράφοράτοτο ww κατάκατά μικρέςμικρές ποσότητεςποσότητες

21

1

( )( ) ( )kN Q

k k km

m m

FF F+

+

=

∂= + Δ

∂∑ ww w ww

Προσέγγιση της μεταβολής της F(w), με Σειρά Τaylor

2 2

1

[ ( )]L

i ii

E F F=

= −∑ w

Δημιουργία γραμμικού συστήματος της μορφής:

Αντικατάσταση στη σχέση

2

11

N Qk

j mj mm

a G+

=

−

= Δ ⇔

⋅ ⇔ =

∑ w

a = G Δw Δw G a

22 ( )min( ) 0EE ∂→ =

∂ mw

AAΛΓΟΡΙΘΜΟΣΛΓΟΡΙΘΜΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ1. Επιλογή Αρχικού μοντέλου w. Τα στοιχεία του μπορούν να

μεταβάλλονται όλα αυθαίρετα ή κάποια εντός συγκεκριμένουεύρους ή ακόμα και να είναι σταθερά (εισαγωγή περιορισμών)

2. Επίλυση του ΕΥΘΕΟΣ προβλήματος για να βρεθεί το«ΣΥΝΘΕΤΙΚΟ ΠΕΔΙΟ» Fi που δίνει το μοντέλο w πουυποθέσαμε. Επίσης υπολογίζονται οι παράγωγοι του ως προς τιςπαραμέτρους wm

3. Υπολογίζονται τα αj και Gmj και G-1mj, και υπολογίζεται η

απαιτούμενη διόρθωση του μοντέλου Δw

4. Διορθώνουμε το αρχικό μοντέλο (w = wo+Δw) καιεπαναλαμβάνουμε το βρόχο θεωρώντας στο βήμα 1 ως αρχικόμοντέλο το διορθωμένο.

Η διαδικασία τερματίζεται όταν το Ε² γίνει μικρότερο της ακρίβειας που επιθυμούμε

ΕυρεσηΕυρεση ΒάθουςΒάθους μεμε εξίσωσηεξίσωση EulerEulerf nf∇ = −r εξίσωση Euler για συνάρτηση f (= ομογενής)

Στη θέση της f ΔΤ (ανωμαλία του πεδίου που προκαλεί η δομή)

i

i i i i i

i

xxy

x y z

oyo nzoz

−⎡ ⎤⎡ ⎤∂ ∂ ∂ ⎢ ⎥ΔΤ ΔΤ ΔΤ − = ΔΤ⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂ ∂⎣ ⎦ −⎢ ⎥⎣ ⎦

Για n=1 γραμμική μάζα

n=2 σημειακή μάζα

n=3 σημειακό δίπολο

““ΑποσυνέλιξηΑποσυνέλιξη”” WernerWerner

( , ) ( , )( , ) f x z f x zA x z iz x

∂ ∂= +

∂ ∂

1

1

1 1

1 1

( )

( ) ( ) ( )

aA xx x iz

i xx z Aa A x x

= ⇔− −

+ − =

Αν f(x,z) το πεδίο, το αναλυτικό σήμα του ορίζεται ως:

α = μιγαδική σταθερά, εξαρτάταιαπό τη διαφορά Δκ, κατά μήκοςτης επαφής και τη Γωνία κλίσης. Δεν εξαρτάται από τη θέση τηςεπαφής(x1,y1)

A(x+iz)

x

y

z

(x1,y1)

““ΑποσυνέλιξηΑποσυνέλιξη”” WernerWerner πολλαπλώνπολλαπλών πηγώνπηγών((Multiple Source Werner Multiple Source Werner DeconvolutionDeconvolution

-50

0

50

100

150

200

CRETE ANDROS N. AIGEAN SEA

-30 Km

Moho

Mill

igal

s

0 Km

Ele

vatio

n

-20 Km-10 Km

Tsokas & Hansen 1997

Ανωμαλία Bouguer