Lois de
probabilités
continues
Introduction
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Lois de probabilités continuesTerminale S
Année scolaire 2016-2017
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Lois continues sur un intervalle
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Loi normaleThéorème de Moivre LaplaceLoi normale centrée réduiteLoi normaleIntervalles et écarts type
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sur un
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Loi normale
Introduction
L'histogramme ci-dessous résume la répartition de latailles des individus au sein d'une population.
170 180 190160150
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L'histogramme ci-dessous résume la répartition de latailles des individus au sein d'une population.
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L'histogramme ci-dessous résume la répartition de latailles des individus au sein d'une population.
170 180 190160150
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exponentielle
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Introduction
On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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exponentielle
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Introduction
On tire au sort un individu au sein de cette population
et on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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Introduction
On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.
X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle
[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].
On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit
une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue
sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180])
correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à
l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.
Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178])
il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n,
et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).
La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par
la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f
qui"collerait" à l'histogramme.
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On tire au sort un individu au sein de cette populationet on note X la variable aléatoire qui donne sa taille.X peut prendre toutes les valeurs de l'intervalle[145; 215].On dit que X suit une loi continue sur l'intervalle[145; 215].
La probabilité P (X ∈ [165; 180]) correspond à l'airedes rectagles hachurés.Pour déterminer P (X ∈ [167; 178]) il faudrait unhistogramme plus �n, et il en faudrait un encore plus�n pour déterminer P (X ∈ [162, 7; 168, 1]).La situation ne peut donc être parfaitement décriteque par la courbe représentative d'une fontion f qui"collerait" à l'histogramme.
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Cette fonction f devrait être continue et positive sur
[145; 215] et telle que∫ 215
145
f(x)dx = 1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
140 150 160 170 180 190 200α β
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Cette fonction f devrait être
continue et positive sur
[145; 215] et telle que∫ 215
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f(x)dx = 1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
140 150 160 170 180 190 200α β
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Cette fonction f devrait être continue
et positive sur
[145; 215] et telle que∫ 215
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f(x)dx = 1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
140 150 160 170 180 190 200α β
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Cette fonction f devrait être continue et
positive sur
[145; 215] et telle que∫ 215
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f(x)dx = 1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
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Cette fonction f devrait être continue et positive sur
[145; 215]
et telle que∫ 215
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f(x)dx = 1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
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Cette fonction f devrait être continue et positive sur
[145; 215] et telle que
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sous la courbe soit égale à 1.
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Cette fonction f devrait être continue et positive sur
[145; 215] et telle que∫ 215
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1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
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pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
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Cette fonction f devrait être continue et positive sur
[145; 215] et telle que∫ 215
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f(x)dx = 1 pour que l'aire
sous la courbe soit égale à 1.
140 150 160 170 180 190 200α β
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Ainsi la probabilité d'un intervalle [α; β] s'écrirait :
P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx.
La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
α
x.f(x)dx.
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P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
α
x.f(x)dx.
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P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
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P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
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E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
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E(X)
= x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
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∫ β
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E(X) =
x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
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∫ β
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P (X ∈ [α; β]) =
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La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
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P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
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P (X ∈ [α; β]) =
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La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X)
=
∫ β
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La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
α
x.f(x)dx.
Lois de
probabilités
continues
Introduction
Lois continues
sur un
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Loi uniforme
sur un
intervalle
Loi
exponentielle
Loi normale
Introduction
Ainsi la probabilité d'un intervalle [α; β] s'écrirait :
P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx.
La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète :
E(X) = x1.p(X = x1)+x2.p(X = x2)+· · ·+xn.p(X = xn)
s'adapte aussi au cas d'une variable aléatoirecontinue :
E(X) =
∫ β
α
x.f(x)dx.
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exponentielle
Loi normale
Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β].
On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f
si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe
une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b]
et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx
= 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
f(x)dx
La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
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La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Dé�nition 1
Soit X une variable aléatoire prenant ses valeurs dansl'intervalle [α; β]. On dit que X suit une loi continue dedensité f si il existe une fonction f continue et positivesur [a; b] et telle que :
I
∫ b
a
f(x)dx = 1
I P (X ∈ [α; β]) =
∫ β
α
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La fonction f est appelée la densité de la loi de proba-bilité.
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Remarque 1
Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b], alorspour tout α ∈ [a; b] :
P (X = α) = 0.
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Remarque 1Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b],
alorspour tout α ∈ [a; b] :
P (X = α) = 0.
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Remarque 1Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b], alorspour tout α ∈ [a; b] :
P (X = α) = 0.
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Remarque 1Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b], alorspour tout α ∈ [a; b] :
P (X = α) =
0.
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Remarque 1Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b], alorspour tout α ∈ [a; b] :
P (X = α) = 0.
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Remarque 2
La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète E(X) = x1.p(X = x1) + x2.p(X =x2) + . . .+ xn.p(X = xn) s'adapte aussi au cas d'unevariable aléatoire continue.
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Remarque 2La formule de l'espérance d'une variable aléatoirediscrète E(X) = x1.p(X = x1) + x2.p(X =x2) + . . .+ xn.p(X = xn) s'adapte aussi au cas d'unevariable aléatoire continue.
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Lois continues sur un intervalle [α; β]Propriété 1
Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b] alors :
E(X) =
∫ b
a
x.f(x)dx
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Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b] alors :
E(X) =
∫ b
a
x.f(x)dx
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Si X suit une loi continue de densité f sur [a; b] alors :
E(X) =
∫ b
a
x.f(x)dx
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Exemple 1
Montrer que f(x) = 3x2 est une densité de loi deprobabilité sur [0; 1] d'une variable aléatoire X.Déterminer alors P (0, 1 ≤ X ≤ 0, 2) ainsi queP (0, 8 ≤ X ≤ 0, 9).
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Exemple 1Montrer que f(x) = 3x2 est une densité de loi deprobabilité sur [0; 1] d'une variable aléatoire X.Déterminer alors P (0, 1 ≤ X ≤ 0, 2) ainsi queP (0, 8 ≤ X ≤ 0, 9).
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Exemple 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi deprobabilité f où f(t) = at2 sur l'intervalle [0; 1].
1. Déterminer a.
2. Calculer P
(X ∈
[1
4;1
2
])
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Exemple 2Soit X une variable aléatoire suivant la loi deprobabilité f où f(t) = at2 sur l'intervalle [0; 1].
1. Déterminer a.
2. Calculer P
(X ∈
[1
4;1
2
])
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Si X est une variable aléatoire prenant un nombre �nide valeurs x1, x2, ... , xn et suivant une loi uniformealors P (X = xi) =
1n.
Étendons cela au cas où X prend toutes les valeursd'un intervalle [a; b] de manière uniforme.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Si X est une variable aléatoire prenant un nombre �nide valeurs x1, x2, ... , xn
et suivant une loi uniformealors P (X = xi) =
1n.
Étendons cela au cas où X prend toutes les valeursd'un intervalle [a; b] de manière uniforme.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Si X est une variable aléatoire prenant un nombre �nide valeurs x1, x2, ... , xn et suivant une loi uniforme
alors P (X = xi) =1n.
Étendons cela au cas où X prend toutes les valeursd'un intervalle [a; b] de manière uniforme.
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Si X est une variable aléatoire prenant un nombre �nide valeurs x1, x2, ... , xn et suivant une loi uniformealors P (X = xi) =
1n.
Étendons cela au cas où X prend toutes les valeursd'un intervalle [a; b] de manière uniforme.
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Si X est une variable aléatoire prenant un nombre �nide valeurs x1, x2, ... , xn et suivant une loi uniformealors P (X = xi) =
1n.
Étendons cela au cas où X prend toutes les valeursd'un intervalle [a; b] de manière uniforme.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Si X est une variable aléatoire prenant un nombre �nide valeurs x1, x2, ... , xn et suivant une loi uniformealors P (X = xi) =
1n.
Étendons cela au cas où X prend toutes les valeursd'un intervalle [a; b] de manière uniforme.
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Loi
exponentielle
Loi normale
Loi uniforme sur un intervalle [a; b]Dé�nition 2
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uni-forme sur un intervalle [a; b] si la densité de la loi deprobabilité de X est une fonction constante.
Cette constante est alors égale à1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]Dé�nition 2
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uni-forme sur un intervalle [a; b]
si la densité de la loi deprobabilité de X est une fonction constante.
Cette constante est alors égale à1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]Dé�nition 2
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uni-forme sur un intervalle [a; b] si la densité de la loi deprobabilité de X
est une fonction constante.
Cette constante est alors égale à1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]Dé�nition 2
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uni-forme sur un intervalle [a; b] si la densité de la loi deprobabilité de X est une fonction
constante.
Cette constante est alors égale à1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]Dé�nition 2
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uni-forme sur un intervalle [a; b] si la densité de la loi deprobabilité de X est une fonction constante.
Cette constante est alors égale à1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]Dé�nition 2
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uni-forme sur un intervalle [a; b] si la densité de la loi deprobabilité de X est une fonction constante.
Cette constante est alors égale à
1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]Dé�nition 2
On dit qu'une variable aléatoire X suit une loi uni-forme sur un intervalle [a; b] si la densité de la loi deprobabilité de X est une fonction constante.
Cette constante est alors égale à1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Preuve.
En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Preuve.
En e�et,
∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] :
f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et
∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx =
1.
Or∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or
∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
cdx =
[cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
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Or∫ b
a
cdx = [cx]ba =
c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
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cdx = [cx]ba = c(b− a)
et donc c =1
b− a.
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En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
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c =1
b− a.
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a
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1
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Loi uniforme sur un intervalle [a; b]
Preuve.
En e�et, ∀x ∈ [a; b] : f(x) = c et∫ b
a
f(x)dx = 1.
Or∫ b
a
cdx = [cx]ba = c(b− a) et donc c = 1
b− a.
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Introduction
Lois continues
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Loi uniforme
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Loi
exponentielle
Loi normale
Lois uniforme sur un intervalle [α; β]
Exemple 3
On choisit une loi uniforme X sur l'intervalle [0; 2π].
1. Pour tout réel α, β de [0; 2π], α < β, déterminerP (X ∈ [α; β])
2. Soit F la fonction de répartition dé�nie sur[0; 2π] par F (t) = P (X ≤ t). Déterminerl'expression de F (t).
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Lois uniforme sur un intervalle [α; β]
Exemple 3On choisit une loi uniforme X sur l'intervalle [0; 2π].
1. Pour tout réel α, β de [0; 2π], α < β, déterminerP (X ∈ [α; β])
2. Soit F la fonction de répartition dé�nie sur[0; 2π] par F (t) = P (X ≤ t). Déterminerl'expression de F (t).
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sur un
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Loi
exponentielle
Loi normale
Lois uniforme sur un intervalle [α; β]
Remarque 3
P (X = 3, 13) = 0 mais P (3, 12 < X < 3, 14) =0, 02
2π
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Loi
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Lois uniforme sur un intervalle [α; β]
Remarque 3
P (X = 3, 13) = 0 mais
P (3, 12 < X < 3, 14) =0, 02
2π
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Loi normale
Lois uniforme sur un intervalle [α; β]
Remarque 3
P (X = 3, 13) = 0 mais P (3, 12 < X < 3, 14) =0, 02
2π
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Loi
exponentielle
Loi normale
Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f .
Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b],
α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Loi
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Loi normale
Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β.
Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =
β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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probabilités
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=
β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a
=β − αb− a
.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 2
Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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probabilités
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Soit X une variable aléatoire suivant la loi uniformesur [a; b] de fonction de densité f . Soient α et β deuxréels de [a; b], α < β. Alors :
P (α < X < β) =β − αb− a
.
Preuve.
P (α < X < β) =
∫ β
α
dt
b− a
=
[t
b− a
]βα
=β
b− a− α
b− a=
β − αb− a
.
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Loi
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 3
Si X est une variable aléatoire de loi uniforme sur [a; b]de fonction de densité f , alors l'espérance mathéma-tique de X est :
E(X) =a+ b
2
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 3
Si X est une variable aléatoire de loi uniforme sur [a; b]de fonction de densité f ,
alors l'espérance mathéma-tique de X est :
E(X) =a+ b
2
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 3
Si X est une variable aléatoire de loi uniforme sur [a; b]de fonction de densité f , alors l'espérance mathéma-tique de X est :
E(X) =a+ b
2
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]Propriété 3
Si X est une variable aléatoire de loi uniforme sur [a; b]de fonction de densité f , alors l'espérance mathéma-tique de X est :
E(X) =
a+ b
2
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Si X est une variable aléatoire de loi uniforme sur [a; b]de fonction de densité f , alors l'espérance mathéma-tique de X est :
E(X) =a+ b
2
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Preuve.
E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]
Preuve.
E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]
Preuve.
E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]
Preuve.
E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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Preuve.
E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=
1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=
1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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Preuve.
E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=
b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=
a+ b
2.
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Lois uniforme sur un intervalle [a; b]
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E(X) =
∫ b
a
xf(x)dx
=
∫ b
a
x
b− adx
=1
b− a
∫ b
a
xdx
=1
b− a
[x2
2
]
=b2 − a2
2(b− a)
=a+ b
2.
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Loi
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Loi normale
Loi exponentielle
Dé�nition 3
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle deparamètre λ > 0 si sa densité est la fonction f dé�niesur [0; +∞[ par :
f(x) = λe−λx.
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Dé�nition 3
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle deparamètre λ > 0
si sa densité est la fonction f dé�niesur [0; +∞[ par :
f(x) = λe−λx.
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Dé�nition 3
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle deparamètre λ > 0 si sa densité est la fonction f dé�niesur [0; +∞[ par :
f(x) = λe−λx.
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Dé�nition 3
Une variable aléatoire X suit une loi exponentielle deparamètre λ > 0 si sa densité est la fonction f dé�niesur [0; +∞[ par :
f(x) = λe−λx.
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Loi normale
Loi exponentielle
Exercice 1
1. Véri�er que limt→+∞
∫ t
0
f(x)dx = 1
2. Déterminer P (X ≤ t) et P (X > t).
3. Déterminer P (t1 ≤ X ≤ t2)
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Loi exponentielle
Exercice 1
1. Véri�er que limt→+∞
∫ t
0
f(x)dx = 1
2. Déterminer P (X ≤ t) et P (X > t).
3. Déterminer P (t1 ≤ X ≤ t2)
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,I P (X ≥ t) = e−λt,I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt
′ − e−λt.
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Loi exponentielle
Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.
Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,I P (X ≥ t) = e−λt,I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt
′ − e−λt.
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Introduction
Lois continues
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Loi uniforme
sur un
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Loi
exponentielle
Loi normale
Loi exponentielle
Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,I P (X ≥ t) = e−λt,I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt
′ − e−λt.
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,I P (X ≥ t) = e−λt,I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt
′ − e−λt.
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,
I P (X ≥ t) = e−λt,I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt
′ − e−λt.
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,
I P (X ≥ t) = e−λt,I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt
′ − e−λt.
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,I P (X ≥ t) = e−λt,
I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt′ − e−λt.
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,I P (X ≥ t) = e−λt,
I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt′ − e−λt.
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Propriété 4
Soit X une variable aléatoire suivant une loi exponen-tielle de paramètre λ > 0.Pour tous réels positifs t et t′, on a :
I P (X ≤ t) = 1− e−λt,I P (X ≥ t) = e−λt,I P (t ≤ X ≤ t′) = e−λt
′ − e−λt.
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Propriété 5
Si X est une variable aléatoire exponentielle de para-mètre λ alors son espérance est :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Propriété 5
Si X est une variable aléatoire exponentielle de para-mètre λ
alors son espérance est :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Si X est une variable aléatoire exponentielle de para-mètre λ alors son espérance est :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Si X est une variable aléatoire exponentielle de para-mètre λ alors son espérance est :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Loi normale
Loi exponentielle
Preuve.Remarquons tout d'abord que la fonction F dé�nie
sur R par F (t) = −(t+
1
λ
)e−λt a pour dérivée tf(t).
E(x) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→+∞
[−(t+
1
λ
)e−λt
]x0
= limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx +
1
λ
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Preuve.Remarquons tout d'abord que la fonction F dé�nie
sur R par F (t) = −(t+
1
λ
)e−λt a pour dérivée tf(t).
E(x) =
limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→+∞
[−(t+
1
λ
)e−λt
]x0
= limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx +
1
λ
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Preuve.Remarquons tout d'abord que la fonction F dé�nie
sur R par F (t) = −(t+
1
λ
)e−λt a pour dérivée tf(t).
E(x) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→+∞
[−(t+
1
λ
)e−λt
]x0
= limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx +
1
λ
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Preuve.Remarquons tout d'abord que la fonction F dé�nie
sur R par F (t) = −(t+
1
λ
)e−λt a pour dérivée tf(t).
E(x) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
=
limx→+∞
[−(t+
1
λ
)e−λt
]x0
= limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx +
1
λ
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Preuve.Remarquons tout d'abord que la fonction F dé�nie
sur R par F (t) = −(t+
1
λ
)e−λt a pour dérivée tf(t).
E(x) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→+∞
[−(t+
1
λ
)e−λt
]x0
= limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx +
1
λ
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Preuve.Remarquons tout d'abord que la fonction F dé�nie
sur R par F (t) = −(t+
1
λ
)e−λt a pour dérivée tf(t).
E(x) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→+∞
[−(t+
1
λ
)e−λt
]x0
=
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx +
1
λ
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Preuve.Remarquons tout d'abord que la fonction F dé�nie
sur R par F (t) = −(t+
1
λ
)e−λt a pour dérivée tf(t).
E(x) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→+∞
[−(t+
1
λ
)e−λt
]x0
= limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx +
1
λ
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exponentielle
Loi normale
Loi exponentielle
Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0,
donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx
= 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx =
0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
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λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx
= 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx =
0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Or λ > 0, donc : limx→+∞
e−λx = 0.
D'après les formules de croissances comparées, nousavons alors :
limx→+∞
−(x+
1
λ
)e−λx = 0.
Ainsi, nous obtenons bien :
E(X) = limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt =1
λ.
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Loi exponentielle
Exemple 4
Un composant électonique a une durée de vie X (enheures) modélisée par une loi exponentielle deparamètre λ = 5.10−5.
1. Déterminer P (X ≤ t) et P (X > t).En déduire P (X > 1000).
2. Déterminer m tel que P (X > m) =1
2.
3. Calculer E(X). Interpréter votre résultat.
4. Comparer P{X≥t}(X ≥ t+ h) et P (X ≥ h).Interpréter votre résultat.
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Loi normale
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Exemple 4Un composant électonique a une durée de vie X (enheures) modélisée par une loi exponentielle deparamètre λ = 5.10−5.
1. Déterminer P (X ≤ t) et P (X > t).En déduire P (X > 1000).
2. Déterminer m tel que P (X > m) =1
2.
3. Calculer E(X). Interpréter votre résultat.
4. Comparer P{X≥t}(X ≥ t+ h) et P (X ≥ h).Interpréter votre résultat.
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exponentielle
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Remarque 4
On dit ainsi qu'une loi exponentielle est une loi dedurée sans vieillissement.
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Remarque 4On dit ainsi qu'une loi exponentielle
est une loi dedurée sans vieillissement.
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Remarque 4On dit ainsi qu'une loi exponentielle est une loi dedurée
sans vieillissement.
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Remarque 4On dit ainsi qu'une loi exponentielle est une loi dedurée sans vieillissement.
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Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Théorème de Moivre Laplace
Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.
Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p)
lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantes
d'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) =
np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =
√np(1− p).
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Rappel.Xn suit la loi binomiale B(n, p) lorsque Xn compte lenombre de succès lors de n répétitions indépendantesd'une même épreuve de Bernouilli de paramètre p.
Dans ce cas :
I E(Xn) = np ,
I σ(X) =√np(1− p).
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Loi normale
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Théorème 1
Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Théorème 1
Soit pour tout entier n,
une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Théorème 1
Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p)
et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Théorème 1
Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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exponentielle
Loi normale
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Intervalles etécarts type
Théorème de Moivre Laplace
Théorème 1
Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.
Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Théorème 1
Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
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P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Soit pour tout entier n, une variable aléatoire Xn qui
suit la loi binomiale B(n, p) et soit Zn =Xn − np√np(1− p)
la variable centrée réduite associée à Xn.Alors pour tous réels a et b, tels que a < b :
limn→+∞
P (a ≤ Zn ≤ b) =
∫ b
a
1
2πe−
x2
2 dx.
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Dé�nition 4
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) sisa densité est la fonction f dé�nie sur R par
f(x) =1√2πe−
x2
2 .
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Dé�nition 4
Une variable aléatoire X
suit la loi normale N (0; 1) sisa densité est la fonction f dé�nie sur R par
f(x) =1√2πe−
x2
2 .
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Dé�nition 4
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1)
sisa densité est la fonction f dé�nie sur R par
f(x) =1√2πe−
x2
2 .
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Une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) sisa densité est la fonction f
dé�nie sur R par
f(x) =1√2πe−
x2
2 .
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Une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) sisa densité est la fonction f dé�nie sur R
par
f(x) =1√2πe−
x2
2 .
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Une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) sisa densité est la fonction f dé�nie sur R par
f(x) =1√2πe−
x2
2 .
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Une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) sisa densité est la fonction f dé�nie sur R par
f(x) =
1√2πe−
x2
2 .
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Une variable aléatoire X suit la loi normale N (0; 1) sisa densité est la fonction f dé�nie sur R par
f(x) =1√2πe−
x2
2 .
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α β
P (α ≤ X ≤ β)
f(x) = 1√2πe−
x2
2
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Remarque 5
On admettra le fait que l'intégrale sous la courbe vaut1 et qu'ainsi f est bien une densité.
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Remarque 5On admettra le fait que l'intégrale sous la courbe vaut
1 et qu'ainsi f est bien une densité.
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Remarque 5On admettra le fait que l'intégrale sous la courbe vaut1
et qu'ainsi f est bien une densité.
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Remarque 5On admettra le fait que l'intégrale sous la courbe vaut1 et qu'ainsi f est bien
une densité.
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Remarque 5On admettra le fait que l'intégrale sous la courbe vaut1 et qu'ainsi f est bien une densité.
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Remarque 6
La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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La fonction f dé�nie sur R
par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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La fonction f dé�nie sur R par
f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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La fonction f dé�nie sur R par f(x) =
1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2
est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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x2
2 est
paire
et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc
symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
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I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) =
P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0)
= 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) =
0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5
,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,
I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0
: P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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Remarque 6
La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 :
P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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Remarque 6
La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) =
P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),
I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale centrée réduite
Remarque 6
La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0
:P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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Remarque 6
La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :
P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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Remarque 6
La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) =
1− 2P (X ≥ t).
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La fonction f dé�nie sur R par f(x) =1√2πe−
x2
2 est
paire et sa courbe représentative est donc symétriquepar rapport à l'axe des ordonnées.
On peut donc déduire graphiquement quelquespropriétés pour X suivant une loi N (0; 1) :
Propriété 6
I P (X ≤ 0) = P (X ≥ 0) = 0, 5,I Pour tout réel t ≥ 0 : P (X ≤ −t) = P (X ≥ t),I Pour tout réel t ≥ 0 :P (−t ≤ X ≤ t) = 1− 2P (X ≥ t).
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Remarque 7
Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite,
a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer
P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β)
on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction
normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β)
sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.
I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction
NormCD(α,β) sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β)
sur Casio.
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Remarque 7Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer P (α < X < β) on n'aura d'autres choixque celui d'utiliser la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β) sur Casio.
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Exercice 2Soit X une variable aléatoire suivant la loi normalecentrée réduite. A l'aide de la calculatrice calculer lesprobabilités suivantes :
a) P (−1, 5 ≤ X ≤ 2, 2) '
b) P (X < 1, 3) '
c) P (0, 22 < X) '
d) P (X = 1) =
e) P(X>−0,38)(x < 1, 02) =
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Remarque 8
Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer le nombre réel γ tel que P (X < γ) = k onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Remarque 8Si X suit une loi normale centrée réduite,
a�n dedéterminer le nombre réel γ tel que P (X < γ) = k onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Remarque 8Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer le nombre réel γ
tel que P (X < γ) = k onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Remarque 8Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer le nombre réel γ tel que P (X < γ) = k
onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Remarque 8Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer le nombre réel γ tel que P (X < γ) = k onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Remarque 8Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer le nombre réel γ tel que P (X < γ) = k onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.
I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Loi normale centrée réduite
Remarque 8Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer le nombre réel γ tel que P (X < γ) = k onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Loi normale centrée réduite
Remarque 8Si X suit une loi normale centrée réduite, a�n dedéterminer le nombre réel γ tel que P (X < γ) = k onn'aura d'autres choix que celui d'utiliser lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k) sur Casio.
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Exercice 3Soit X une variable aléatoire suivant la loi normalecentrée réduite. A l'aide de la calculatrice résoudre leséquations suivantes :
a) P (X ≤ a) = 0, 1256
b) P (X > b) = 0, 2347
c) P (0 < X < c) = 0, 4988
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est
1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est
1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est
E(X) = 0,I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est
1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) =
0,I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est
1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,
I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est
V (X) = 1 et son écart type est1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est V (X) =
1 et son écart type est1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est V (X) = 1
et son écart type est1(admis).
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est
1(admis).
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Loi normale
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Propriété 7
Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est
1
(admis).
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Loi normale
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Si une variable X suit une loi normale N (0; 1) alors :
I son espérance est E(X) = 0,I sa variance est V (X) = 1 et son écart type est
1(admis).
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Preuve.
E(X) =
limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
=
limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
=
limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Lois continues
sur un
intervalle
Loi uniforme
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intervalle
Loi
exponentielle
Loi normale
Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale centrée réduite
Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Loi normale
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
=
limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Loi normale
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)
= −1 + 1√2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)=
−1 + 1√2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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sur un
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sur un
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1
par composition de limites
= 0
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sur un
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Loi normale
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Loi normale
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
=
0
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Preuve.
E(X) = limx→−∞
∫ 0
x
tf(t)dt+ limx→+∞
∫ x
0
tf(t)dt
= limx→−∞
∫ 0
x
t√2πe−
t2
2 dt+ limx→+∞
∫ x
0
t√2πe−
t2
2 dt
= limx→−∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]0x
+ limx→+∞
[− 1√
2πe−
t2
2
]x0
= limx→−∞
(−1 + 1√
2πe−
x2
2
)+
+ limx→+∞
(− 1√
2πe−
x2
2 + 1
)= −1 + 1√
2π− 1√
2π+ 1 par composition de limites
= 0
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Loi normale
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Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Dé�nition 5
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ;σ2)si la variable aléatoire X−µ
σsuit la loi normale centrée
réduite N (0; 1).
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Loi uniforme
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Loi
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Loi normale
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Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Dé�nition 5
Une variable aléatoire X
suit la loi normale N (µ;σ2)si la variable aléatoire X−µ
σsuit la loi normale centrée
réduite N (0; 1).
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Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
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Loi normale
Dé�nition 5
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ;σ2)
si la variable aléatoire X−µσ
suit la loi normale centréeréduite N (0; 1).
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exponentielle
Loi normale
Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Dé�nition 5
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ;σ2)si la variable aléatoire X−µ
σ
suit la loi normale centréeréduite N (0; 1).
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Loi normale
Dé�nition 5
Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ;σ2)si la variable aléatoire X−µ
σsuit la loi normale centrée
réduite N (0; 1).
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Une variable aléatoire X suit la loi normale N (µ;σ2)si la variable aléatoire X−µ
σsuit la loi normale centrée
réduite N (0; 1).
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Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Voici quelques exemples de lois centrées réduites pourdi�érentes valeurs de σ et µ
Lois de
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Introduction
Lois continues
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Loi uniforme
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Loi
exponentielle
Loi normale
Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Voici quelques exemples de lois centrées réduites pourdi�érentes valeurs de σ et µ
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Loi normaleµ = 1σ = 1
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normaleµ = 1σ = 1
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sur un
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Loi normale
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Intervalles etécarts type
Loi normaleµ = 1σ = 2
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Loi normale
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Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normaleµ = −5σ = 3
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Remarque 9
Modi�er la moyenne µ déplace l'axe de symétrie de lacourbe et modi�er l'écart-type σ permet de modi�erl'aplatissement de la courbe.
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sur un
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Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 9Modi�er la moyenne µ
déplace l'axe de symétrie de lacourbe et modi�er l'écart-type σ permet de modi�erl'aplatissement de la courbe.
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Loi normale
Intervalles etécarts type
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Remarque 9Modi�er la moyenne µ déplace l'axe de symétrie de lacourbe
et modi�er l'écart-type σ permet de modi�erl'aplatissement de la courbe.
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 9Modi�er la moyenne µ déplace l'axe de symétrie de lacourbe et
modi�er l'écart-type σ permet de modi�erl'aplatissement de la courbe.
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Introduction
Lois continues
sur un
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sur un
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Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 9Modi�er la moyenne µ déplace l'axe de symétrie de lacourbe et modi�er l'écart-type σ
permet de modi�erl'aplatissement de la courbe.
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 9Modi�er la moyenne µ déplace l'axe de symétrie de lacourbe et modi�er l'écart-type σ permet de modi�erl'aplatissement de la courbe.
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Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ,I sa variance est V (X) = σ2 et son écart type est σ.
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Loi normale
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Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ,I sa variance est V (X) = σ2 et son écart type est σ.
Lois de
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sur un
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sur un
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exponentielle
Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est
E(X) = µ,I sa variance est V (X) = σ2 et son écart type est σ.
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sur un
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exponentielle
Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) =
µ,I sa variance est V (X) = σ2 et son écart type est σ.
Lois de
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Lois continues
sur un
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exponentielle
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Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ
,I sa variance est V (X) = σ2 et son écart type est σ.
Lois de
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sur un
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sur un
intervalle
Loi
exponentielle
Loi normale
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Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ,I sa variance est
V (X) = σ2 et son écart type est σ.
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exponentielle
Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
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Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ,I sa variance est V (X) =
σ2 et son écart type est σ.
Lois de
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Lois continues
sur un
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sur un
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exponentielle
Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ,I sa variance est V (X) = σ2
et son écart type est σ.
Lois de
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Introduction
Lois continues
sur un
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Loi normale
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Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ,I sa variance est V (X) = σ2 et son écart type est
σ.
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Introduction
Lois continues
sur un
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sur un
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Loi
exponentielle
Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Propriété 8
Si une variable X suit une loi normale N (µ;σ2) alors :
I son espérance est E(X) = µ,I sa variance est V (X) = σ2 et son écart type est σ.
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sur un
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sur un
intervalle
Loi
exponentielle
Loi normale
Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Preuve.
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sur un
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sur un
intervalle
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Loi normale
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Loi normale
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Remarque 10
Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra calculerP (α < X < β) qu'à l'aide de la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β,µ,σ) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β,µ,σ) sur Casio.
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exponentielle
Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 10Tout comme pour la loi normale centrée réduite,
si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra calculerP (α < X < β) qu'à l'aide de la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β,µ,σ) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β,µ,σ) sur Casio.
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sur un
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intervalle
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exponentielle
Loi normale
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Loi normale
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Loi normale
Remarque 10Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2)
on ne pourra calculerP (α < X < β) qu'à l'aide de la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β,µ,σ) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β,µ,σ) sur Casio.
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Loi normale
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Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 10Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra calculerP (α < X < β)
qu'à l'aide de la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β,µ,σ) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β,µ,σ) sur Casio.
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intervalle
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Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 10Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra calculerP (α < X < β) qu'à l'aide de la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β,µ,σ) sur Texas.
I la fonction NormCD(α,β,µ,σ) sur Casio.
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sur un
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intervalle
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exponentielle
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Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 10Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra calculerP (α < X < β) qu'à l'aide de la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β,µ,σ) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β,µ,σ) sur Casio.
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intervalle
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Loi normale
Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
Loi normale
Intervalles etécarts type
Loi normale
Remarque 10Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra calculerP (α < X < β) qu'à l'aide de la calculatrice :
I la fonction normalFRep(α,β,µ,σ) sur Texas.I la fonction NormCD(α,β,µ,σ) sur Casio.
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Intervalles etécarts type
Loi normale
Exercice 4Le périmètre crânien en cm d'un enfant de 3 ans suitla loi normale d'espérance 49cm et d'écart-type1, 6cm.
1. Quelle est la probabilité pour que le périmètrecrânien d'un enfant de 3 ans soit compris entre45, 8 et 52, 2cm?
2. Quelle est la probabilité pour que le périmètrecrânien d'un enfant de 3 ans soit inférieure à48cm?
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Introduction
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Théorème deMoivre Laplace
Loi normalecentrée réduite
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Remarque 11
Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Loi normale
Remarque 11Tout comme pour la loi normale centrée réduite,
si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Remarque 11Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2)
on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Remarque 11Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k
qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Remarque 11Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Remarque 11Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.
I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Remarque 11Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Remarque 11Tout comme pour la loi normale centrée réduite, si Xsuit une loi normale N (µ;σ2) on ne pourra résoudrel'équation P (X < γ) = k qu'à l'aide de lacalculatrice :
I la fonction FracNormale(k,µ,σ) sur Texas.I la fonction InvNormCD(k,µ,σ) sur Casio.
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Théorème 2
Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1) alors pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un uniqueréel positif uα tel que P (−uα ≤ X ≤ uα) = 1− α.
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Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1)
alors pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un uniqueréel positif uα tel que P (−uα ≤ X ≤ uα) = 1− α.
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Théorème 2
Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1) alors pour tout réel α ∈]0; 1[,
il existe un uniqueréel positif uα tel que P (−uα ≤ X ≤ uα) = 1− α.
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Théorème 2
Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1) alors pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un uniqueréel positif uα
tel que P (−uα ≤ X ≤ uα) = 1− α.
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Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1) alors pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un uniqueréel positif uα tel que
P (−uα ≤ X ≤ uα) = 1− α.
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Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1) alors pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un uniqueréel positif uα tel que P (−uα ≤ X ≤ uα)
= 1− α.
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Théorème 2
Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1) alors pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un uniqueréel positif uα tel que P (−uα ≤ X ≤ uα) =
1− α.
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Si X est une variable aléatoire suivant la loi normaleN (0; 1) alors pour tout réel α ∈]0; 1[, il existe un uniqueréel positif uα tel que P (−uα ≤ X ≤ uα) = 1− α.
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−uα +uα
P (X ≥ uα) = α2P (X ≤ −uα) = α
2
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Preuve.
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Exemple 5
A l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurssuivantes :
I u0,05 = 1, 96.I u0,01 = 2, 58.
Remarque 12Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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Exemple 5A l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurssuivantes :
I u0,05 = 1, 96.I u0,01 = 2, 58.
Remarque 12Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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Exemple 5A l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurssuivantes :
I u0,05 =
1, 96.I u0,01 = 2, 58.
Remarque 12Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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Exemple 5A l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurssuivantes :
I u0,05 = 1, 96.
I u0,01 = 2, 58.
Remarque 12Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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Exemple 5A l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurssuivantes :
I u0,05 = 1, 96.I u0,01 =
2, 58.
Remarque 12Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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I u0,05 = 1, 96.I u0,01 = 2, 58.
Remarque 12Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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Exemple 5A l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurssuivantes :
I u0,05 = 1, 96.I u0,01 = 2, 58.
Remarque 12
Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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Exemple 5A l'aide de la calculatrice on obtient alors les valeurssuivantes :
I u0,05 = 1, 96.I u0,01 = 2, 58.
Remarque 12Ces valeurs sont à connaître par coeur !
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Propriété 9
Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2),
on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) '
0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68
,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,
I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) '
0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95
,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,
I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) '
0, 997.
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I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997
.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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Si X suit la loi N (µ;σ2), on a les approximations sui-vantes :
I P (X ∈ [µ− σ;µ+ σ]) ' 0, 68,I P (X ∈ [µ− 2σ;µ+ 2σ]) ' 0, 95,I P (X ∈ [µ− 3σ;µ+ 3σ]) ' 0, 997.
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µ− σ µ+ σµ
68%
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Intervalles etécarts type
Intervalles et écarts type
µ− 2σ µ+ 2σµ
95%