Exercices de Mathematiques
Module et argument
Enonces
Enonces des exercices
Exercice 1 [ Indication ] [ Correction ]
a, b, c, d etant des reels, resoudre z + |z| = a+ ib, puis |z| z = c+ id
Exercice 2 [ Indication ] [ Correction ]
On suppose que pi < pi. Module et argument des nombres complexes suivants :a = 1 + cos+ i sin, b = sin+ i(1 + cos), c = cos+ i(1 + sin).
Exercice 3 [ Indication ] [ Correction ]
Module et argument de a =(1 + i tan )2
1 + tan2 et b =
1 cos + i sin 1 + cos i sin .
Exercice 4 [ Indication ] [ Correction ]
Du calcul de (1 + i)(3 + i), deduire cos
pi
12et sin
pi
12.
Exercice 5 [ Indication ] [ Correction ]
Simplifier le nombre complexe z =(1 + i3
1 i)20
.
Exercice 6 [ Indication ] [ Correction ]
Simplifier z = (1 + i3)n + (1 i3)n.
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Module et argument
Indications, resultats
Indications ou resultats
Indication pour lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]
1. Si a+ ib = 0, on trouve les reels negatifs ou nuls.
Si a+ ib 6= 0, poser a+ ib = rei, avec r > 0 et pi < pi.
Si a 0, il ny a pas de solution, sinon on trouve z = a2 b22a
+ ib
2. Il faut c > 0 et on trouve alors z =d2 c22c
id.
Indication pour lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]
On trouve |a| = 2 cos 2 . Si a 6= 0 alors arg a =2 (mod 2pi).
Utiliser b = i a et ce qui prece`de.
On trouve arg(c) = 2sin (pi4 + 2 ).
Si pi < < pi2 , alors arg(c) =5pi4 +
2 (mod 2pi).
Si pi2 < pi, alors arg(c) =pi4 +
2 (mod 2pi).
Indication pour lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]
On obtient |a| = 1 et arg(a) = 2 (mod 2pi). On obtient |b| =
tan 2 et arg(b) = pi2 (mod 2pi)Indication pour lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]
On trouve cos pi12 =6+2
4 et sinpi12 =
624 .
Indication pour lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]
On trouve z = 512(1 + i3).
Indication pour lexercice 6 [ Retour a` lenonce ]
En notant n = 6q + r, avec 0 r 5, on obtient z = 2n+1 cos rpi3 .
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Module et argument
Corriges
Corriges des exercices
Corrige de lexercice 1 [ Retour a` lenonce ]
1. Si a+ ib = 0, cest-a`-dire si a = b = 0, lequation devient z = |z|.Dans ce cas particulier, les solutions sont les reels negatifs ou nuls.
On suppose donc a+ ib 6= 0. Les elements de IR ne sont alors pas solutions.On pose a+ ib = rei, avec r > 0 et pi < pi.On cherche les solutions sous la forme z = ei, avec > 0 et pi < < pi.Lequation devient (1 + ei) = rei cest-a`-dire 2 cos 2 e
i/2 = rei.
On a cos 2 > 0 car pi
2< 0, elle equivaut a` : = 2, et =
r
2 cos. Lunique solution est donc :
z =r
2 cose2i =
r
2 cos(cos2 sin2 + 2i cos sin) = a
2 b22a
+ ib
Remarque : on aurait pu proceder par identification des parties reelles et imaginaires.
La figure suivante montre le point image M de la solution z du proble`me, en fonction dela position du point image A de a+ ib. Le quadrilate`re ONAM est un losange. La donneedu point A (avec une abscisse positive) donne M de manie`re unique.
Plus precisement, le point N daffixe |z| est lintersection de laxe x 0, y = 0 avec lamediatrice de OA, et M(z) est le symetrique de N par rapport a` la droite OA :
2. Evidemment, si on a fait la premie`re question, on a fait la seconde car cette nouvelleequation secrit en fait |Z|+ Z = c+ id, avec Z = z.Il ny a de solution que si c > 0 et lunique solution est alors z =
d2 c22c
id.
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Module et argument
Corriges
Corrige de lexercice 2 [ Retour a` lenonce ]
a = 2 cos22 + 2i cos
2 sin
2 = 2 cos
2 (cos
2 + i sin
2 ) = 2 cos
2 exp(i
2 ).
Puisque ]pi2 ,
pi2
[, on a cos
2 0. On en deduit : |a| = 2 cos
2 .
Si = pi alors a = 0, sinon : arg a =2 (mod 2pi).
Puisque b = i a, on a |b| = |a| = 2 cos 2 .Si = pi alors b = 0, sinon : arg(b) = pi2 arg(a) =
pi2 (mod 2pi).
Si on pose = pi2 + , alors ]pi2 ,
3pi2
].
Avec cette notation c = sin + i(1 cos) = 2 sin 2 (cos2 + i sin
2 ) = 2 sin
2 exp(i
2 )
On en deduit : arg(c) = 2sin 2 = 2 sin (pi4 + 2 ).
On a en particulier c = 0 si = 0 cest-a`-dire si = pi2 .
Si pi2 < < 0, cest-a`-dire si pi < < pi2 , alors sin
2 < 0.
Dans ce cas arg(c) = pi +2 =
5pi4 +
2 (mod 2pi).
Si 0 < 3pi2 , cest-a`-dire si pi2 < pi, alors sin
2 > 0.
Dans ce cas arg(c) =2 =
pi4 +
2 (mod 2pi).
Corrige de lexercice 3 [ Retour a` lenonce ]
a = cos2 (1 + i tan )2 = (cos + i sin )2 = exp(2i).
Ainsi |a| = 1 et arg(a) = 2 (mod 2pi).
b =2 sin2 2 + 2i sin
2 cos
2
2 cos2 2 2i sin2 cos
2
= tan 2sin 2 + i cos
2
cos 2 i sin2
= i tan 2 .
Ainsi |b| =tan 2 et arg(b) =
{ pi2 (mod 2pi) si tan
2 > 0
pi2 (mod 2pi) si tan2 < 0
Corrige de lexercice 4 [ Retour a` lenonce ]
On a (1 + i)(3 + i) =
3 1 + i(3 + 1).
Dautre part (1 + i)(3 + i) =
2 exp(i pi4 ) 2 exp(i
pi6 ) = 2
2 exp(i 5pi12 ).
On en deduit : cos 5pi12 =3122
=624 et sin
5pi12 =
3+122
=6+2
4
Finalement cos pi12 = sin5pi12 =
6+2
4 et sinpi12 = cos
5pi12 =
624 .
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Module et argument
Corriges
Corrige de lexercice 5 [ Retour a` lenonce ]
On a 1 + i3 = 2 exp(i pi3 ) et 1 i =
2 exp(i pi4 ).
On en deduit :
z =(
2 exp(i 7pi12 ))20
= 1024 exp(i 35pi3 ) = 1024 exp(ipi3 ) = 512(1 + i
3)
Corrige de lexercice 6 [ Retour a` lenonce ]
Les nombres complexes (1 + i3)n et (1 i3)n sont conjugues.
Dautre part 1 + i3 = 2 exp(i pi3 ).
Donc z = 2Re (1 + i3)n = 2Re
(2n exp(i npi3 )
)= 2n+1 cos npi3 .
Si n = 6q + r, avec 0 r 5, alors z = 2n+1 cos rpi3 .
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