Prof. Francesco RagusaUniversitĂ degli Studi di Milano
Anno Accademico 2019/2020
Elettromagnetismo
Magnetismo nella materiaDiamagnetismo. Paramagnetismo
Teoria macroscopica del magnetismonella materia
Lezione n. 33 â 30.04.2020
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 295
Equazioni di Maxwell⢠Scriviamo le equazioni di Maxwell nella loro forma finale
⢠Vanno completate con
⢠Ricordiamo che il teorema di Helmholtz assicura che la conoscenza della divergenza e del rotore definiscono completamente il campo (diapositiva )⢠Per fissate condizioni al contorno, ad esempio all'infinito
⢠Nelle condizioni statiche le sorgenti sono⢠La carica elettrica per il campo elettrico⢠La corrente per il campo magnetico⢠Quando i campi variano nel tempo⢠Un campo magnetico variabile genera un campo elettrico⢠Un campo elettrico variabile genera un campo magnetico⢠L'ultimo contributo è stato introdotto da Maxwell su basi teoriche⢠Vediamo come funziona l'ultimo termine con due esempi
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equazione di continuitĂ
Dalla quarta equazione discende che
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 296
Il termine di Maxwell all'opera⢠Supponiamo di avere una sfera di carica Q chegenera un flusso di corrente radiale⢠Per l'equazione di continuità in forma integrale
⢠La corrente deve generare un campo magnetico⢠Se utilizziamo il cammino Πin figuradovremmo avere
⢠Tuttavia la sfera è simmetrica e B non può avereuna particolare direzione: deve essere nullo⢠Il flusso di J però è diverso da zero
⢠La contraddizione viene risolta dal termine aggiuntivo di Maxwell⢠Infatti la sfera di carica genera un campo elettrico
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 297
Il termine di Maxwell all'opera⢠Dal momento che la carica varia il campo sarà variabile nel tempo
⢠Esaminiamo l'equazione di Maxwell
⢠Calcoliamo J e âE/ât
⢠Inserendo nell'equazione di Maxwell troviamo
⢠Pertanto il campo magnetico è nullo nonostante l'esistenza di una corrente⢠Come richiesto dalla simmetria
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 298
Il termine di Maxwell all'opera⢠Il secondo esempio è quello del condensatore⢠Lo abbiamo utilizzato per convincerci che mancava qualcosa⢠Andando vicino al filo il campo magnetico è
⢠Tuttavia se si sceglie la superficie S2, anch'essaconcatenata con Î1 si trova ovviamente i = 0
⢠Naturalmente l'esistenza di una corrente implica chela carica sulle armature del condensatore cambi⢠Se la carica sulle armature varia nel tempo
varia anche il campo elettrico fra le armature ⢠Calcoliamo il flusso di E attraverso S2
⢠Esaminiamo l'equazione di Maxwell
Il nuovo termine contribuisce esattamente come il filo
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Proprietà magnetiche della materia⢠La materia può esibire proprietà magnetiche molto differenti⢠Iniziamo con una classificazione dei materiali
sulla base delle loro proprietà ⢠Supponiamo di avere un solenoide in grado di
produrre campi magnetici molto intensi⢠Diciamo dell'ordine del Tesla⢠Un solenoide del tipo rappresentato in figura
potrebbe avere le seguenti caratteristiche:⢠Campo massimo. Al centro, di circa 3 Tesla ⢠Cilindro interno h = 40 cm â = 10 cm ⢠Con un simile magnete si possono effettuare misure sulla
forza magnetica che agisce su vari materiali in presenzadi un campo magnetico esterno B⢠Si scopre che si esercita una forza quando ilcampo magnetico non è uniforme⢠La forza dipende dal gradiente del campo magnetico⢠Il gradiente è piÚ elevato all'ingresso del magnete⢠Si ha un gradiente di circa 17 T/m⢠Il campo è di circa 1.8 T
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Proprietà magnetiche della materia⢠Con l'apparato precedente si possono studiare vari materiali
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Proprietà magnetiche della materia⢠à evidente che una teoria degli effetti magnetici della materia deve essere piuttosto complessa⢠Per una classe di materiali le forze sono deboli⢠Le forze sono proporzionali al quadrato del campo⢠Per i materiali diamagnetici⢠Vengono "respinti" dal magnete⢠Peri materiali paramagnetici⢠Vengono "attratti" dal magnete⢠Nella tabella precedente le forze sono riferite a una massa di 1 Kg⢠Forze di 0.1 - 1 N contro una forza peso di 9.8 N⢠L'ossigeno liquido è una tipologia differente (bassa temperatura)
⢠Per una classe di materiali le forze sono molto intense⢠Le forze sono lineari con l'intensità del campo⢠Materiali ferromagnetici⢠Sono "attratti" dal magnete⢠Un Kg di ferro risente di una forza magnetica di 4000 N⢠Pari ad una forza peso di 400 Kg
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Proprietà magnetiche della materia⢠Materiali diamagnetici⢠Si scopre che tutte le sostanze sono soggette a questo tipo di forza
repulsiva⢠Dipende dal quadrato della corrente del solenoide⢠à l'unico effetto per le sostanze organiche e per molticomposti inorganici⢠Praticamente indipendente dalla temperatura
⢠Materiali paramagnetici⢠Per molte sostanze questa forza attrattiva risulta comunque debole⢠Dipende dal quadrato della corrente del solenoide⢠Ad esempio per metalli come sodio, alluminio⢠Per alcuni composti è un po' piÚ intensa⢠NiSO4, CuCl2⢠La forza aumenta se la temperatura diminuisce
⢠Materiali ferromagnetici⢠La forza è attrattiva ed è molto intensa⢠Dipende linearmente dalla corrente del solenoide⢠Fra i principali materiali ferromagnetici sono il ferro, il nichel e il cobalto
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Proprietà magnetiche della materia⢠Vale la pena fare una considerazione sugli aspetti di natura energetica⢠Le energie in gioco per i fenomeni diamagnetici e paramagnetici sono
piuttosto piccole⢠Questo è vero anche a livello microscopico⢠Consideriamo ad esempio i dati dell'ossigeno liquido riportati in tabella⢠Facciamo riferimento al metodo di misura descritto⢠Supponiamo di volere allontanare il campione (1 Kg di sostanza) per portarlo
fuori dall'effetto del campo magnetico⢠Diciamo allontanarlo di 10 cm⢠Per opporsi alla forza di 75 N il lavoro necessario è circa 7.5 Joules (âź10 J)⢠In 1 Kg di O2 ci sono circa 2Ă1025 molecole⢠L'ordine di grandezza dell'energia per molecola è 10â24 Joules⢠Per confronto, per vaporizzare 1 Kg di O2 liquido occorrono âź 2.1Ă105 Joules⢠Circa 10â20 Joules per molecola
⢠Si vede pertanto che i fenomeni diamagnetici o paramagnetici mettono in gioco energie molto piÚ piccole di una transizione di fase⢠Non influenzano reazioni chimiche o processi biochimici⢠Un esame NMR non ha nessun effetto collaterale (occorre però prestare attenzione a impianti/protesi ferromagnetiche)
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Proprietà magnetiche della materia⢠Abbiamo già sottolineato che non si sono mai trovate cariche magnetiche⢠Abbiamo finora studiato il magnetismo nel vuoto⢠Anche studiando il magnetismo nella materia non si è mai trovata evidenza di
monopoli magnetici⢠I monopoli sono stati cercati in molti modi e il risultato di queste ricerche è che se esistono sono molto rari
⢠Assumiamo pertanto che non esistano cariche magnetiche⢠Le equazioni del campo B sono pertanto
⢠Pertanto l'origine delle proprietà magnetiche della materia è da ricercare nell'esistenza di correnti a livello microscopico⢠Correnti atomiche dovute al moto orbitale degli elettroni⢠Classicamente l'elettrone orbita
intorno al nucleo e si può rappresentarecome una spira percorsa da corrente⢠Un dipolo magnetico
⢠Momento magnetico intrinseco degli elettroni (legato allo spin)⢠Un effetto puramente quantistico⢠L'elettrone ha un momento angolare intrinseco
Nel caso statico
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Correnti atomiche⢠Vogliamo adesso utilizzare questo semplice modello atomico per cercare di comprendere le forze diamagnetiche⢠Una trattazione rigorosa richiederebbe la meccanica quantistica⢠Assumiamo, anche se questo non è completamente
corretto, che l'elettrone ( q = âe ) si muova in un'orbita circolare di raggio r intorno al nucleo⢠La frequenza di rivoluzione è
⢠Pertanto la quantità di carica al secondo che attraversa un punto dell'orbita è
⢠Nel fissare il verso della corrente abbiamo tenuto conto del fatto che la carica dell'elettrone è negativa⢠Inoltre abbiamo trascurato il fatto che la carica sia puntiforme e
l'abbiamo considerata uniformemente distribuita sulla circonferenza⢠La corrente atomica descritta costituisce un dipolo magnetico
⢠Il momento magnetico m è perpendicolare al piano dell'orbita
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Correnti atomiche⢠Detta me la massa dell'elettrone il suomomento angolare orbitale è
⢠Attenzione a non confondere la massa (me) conil momento magnetico m
⢠Anche il momento angolare orbitale L è perpendicolare al piano dell'orbita⢠Confrontando le due espressioni si ottiene
⢠Questa relazione vale anche quando l'orbita non è circolare⢠Vale anche in meccanica quantistica quando non è piÚ possibile parlare di orbite⢠Notiamo che se la carica fosse positiva il momento magnetico eil momento angolare sarebbero paralleli⢠La carica dell'elettrone è negativa e L e m sono anti-paralleli
⢠Alcuni autori chiamano la quantità e/2me rapporto giromagnetico dell'elettrone⢠La nomenclatura è confusa
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Momenti angolari e momenti magnetici⢠Anche al momento angolare intrinseco dell'elettrone è associato un momento magnetico⢠Tuttavia la costante di proporzionalità è differente
⢠Si tratta di un effetto puramente quantistico non spiegabile classicamente⢠In particolare il fattore g = 2
⢠Una cosa molto importante che va detta a proposito dei momenti angolari atomici è che non possono assumere tutti i valori con continuità ⢠I valori possibili sono discreti (quantizzati)⢠La proiezione lungo un asse del momento angolare orbitale è un multiplo della
costante di Planck
⢠Il momento angolare intrinseco può assumere solo due valori
⢠Di conseguenza anche i momenti magnetici atomici possono assumere solo valori discreti (quantizzati)
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Momenti angolari e momenti magnetici⢠Quando parliamo dell'atomo dobbiamo tenere conto che è un sistema composto da elettroni e nucleoni⢠Tuttavia i nucleoni sono molto piÚ pesanti degli elettroni
⢠Pertanto è di solito una buona approssimazione considerare l'elettrone sotto l'effetto di un campo coulombiano generato da una carica fissa in un punto dello spazio⢠Equivale a considerare infinita la massa del nucleone
⢠Per quanto riguarda lo spin dei nucleoni e il momento magnetico associato⢠Il momento magnetico del protone è (g = 2)
⢠Notiamo che il rapporto giromagnetico del protone è circa 2000 volte piÚ piccolo di quello dell'elettrone
⢠Inoltre Îźp = 2.793⢠Deriva dal fatto che il protone è una particella composta di quark⢠Per il neutrone Îźn = â1.913⢠Nonostante il neutrone sia neutro!
⢠Nello studio del magnetismo nella materia i momenti magnetici nucleari sono trascurati
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Momenti angolari e momenti magnetici⢠La meccanica quantistica permetterà di formulare un modello dell'atomo che descrive in modo molto preciso le proprietà degli atomi⢠In particolare il momento angolare totale dell'atomo⢠E quindi anche il momento magnetico⢠Risulta che gli atomi e le molecole tendono ad avere
un momento angolare nullo⢠I momenti angolari orbitali si cancellano⢠I momenti angolari intrinseci si cancellano (principio di Pauli)⢠In realtà questo avviene nelle molecole o quando il numero
degli elettroni è pari⢠In pratica la maggior parte delle sostanze hanno un momento angolare nullo⢠Per queste sostanze l'unico fenomeno magnetico è il diamagnetismo⢠Cercheremo di capire il diamagnetismo studiando gli effetti di un campo magnetico esterno su un elettrone in un'orbita classica
⢠Si ha momento angolare nullo con due orbite percorse in verso opposto
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Modello qualitativo del diamagnetismo⢠Supponiamo di avere una particella di massa M e carica q che compie un moto circolare uniforme in un'orbita di raggio r⢠La forza centripeta è fornita da una fune⢠La tensione della fune è F0, la velocità v0
⢠Inizialmente B = 0⢠Supponiamo adesso di stabilire nella regioneun campo magnetico B1 diretto come in figura⢠Naturalmente dobbiamo passare da B = 0 a B1
⢠Avremo una campo magnetico variabile nel tempo⢠Avremo anche un campo elettrico indotto⢠La variazione del flusso sull'orbita determina
la circuitazione del campo elettrico indotto⢠Trascuriamo il segno che fisseremo alla fine con la legge di Lenz
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Modello qualitativo del diamagnetismo⢠Il campo elettrico indotto accelera l'elettrone
⢠L'equazione si integra facilmente
⢠La velocità è aumentata ⢠Se la velocità aumenta deve aumentare anche la forza centripeta
⢠Nei casi di interesse Îv v0
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 312
Modello qualitativo del diamagnetismo⢠Oltre alla tensione della fune abbiamo anche la forza di Lorentz: F1 = F0 + Fm
⢠Trascuriamo ancora una volta i termini in Îv2
⢠Confrontiamo con il risultato della diapositiva precedente
⢠Vediamo l'interessante circostanza che il campo magnetico fornisce anche la necessaria forza centripeta aggiuntiva⢠Necessaria per mantenere il raggio dell'orbita costante⢠La tensione della fune non è cambiata⢠Non dipende dal tipo di forza che lega la particella⢠Funziona allo stesso modo con la legge di Coulomb
ricordiamo che
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Modello qualitativo del diamagnetismo⢠Veniamo al segno della forza elettromotrice⢠In linea di principio Îv potrebbe essere negativa
indicando una decelerazione della carica⢠Utilizziamo la legge di Lenz⢠La variazione velocità deve generare una variazione
di flusso che si oppone alla variazione del flusso di B1⢠Se q > 0 la variazione di velocitĂ deve essere positiva: Îv > 0⢠In termini di momento di dipolo magnetico ⢠Inizialmente il momento di dipolo è (vedi diapositiva )
⢠Dopo l'accelerazione il momento è aumentato
⢠Dalle diapositive precedenti
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Modello qualitativo del diamagnetismo⢠Vediamo pertanto che l'elettrone acquista unmomento di dipolo magnetico aggiuntivo⢠L'aumento Îm è anti-parallelo al campo applicato B1
⢠Il momento di dipolo aggiuntivo è nel verso opposto a quello di B1 anche quando l'elettrone ruota in senso inverso⢠Succede per la legge di Lenz⢠Per la legge di Lenz la variazione di velocità deve generare una variazione di flusso oppostaa quella causata da B1
⢠Îv e Îm come nel caso precedente⢠Concludiamo che per entrambi i versi della velocitĂ dell'elettrone c'è un momento di dipolo aggiuntivo⢠Anche per un atomo con due elettroni con due
orbite percorse in senso opposto⢠Un atomo che inizialmente ha momento angolare e momento magnetico nulli
⢠Acquista un momento di dipolo magnetico pari a 2 Îm⢠Analogo all'atomo sferico che si deforma e acquista un dipolo elettrico
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Modello qualitativo del diamagnetismo⢠Abbandoniamo l'ipotesi che l'orbita sia perpendicolare al campo magnetico⢠La proiezione del campo magnetico sull'asse perpendicolare al piano dell'orbita è Bcosθ
⢠Nella somma dei momenti magnetici aggiuntivi rimane solo la componente z di Îm
⢠La grandezza r cosθ è la proiezione del raggio dell'orbita sul piano xây⢠Mediando su tanti atomi
⢠D'altro canto
⢠Utilizzando questo risultato
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 316
Modello qualitativo del diamagnetismo⢠Infine consideriamo un atomo in cui ci sono Z elettroni (q = e, M = me)⢠Il momento magnetico che l'atomo acquista è
⢠Possiamo adesso calcolare il momento magnetico che acquista un volume V di materia che contiene n atomi per unità di volume⢠Il numero di atomi è
⢠Il momento magnetico è
⢠Ricordiamo che la forza su un momento magnetico m è ( diapositiva )
⢠Notiamo che il verso della forza dipende dal segno di mâ B
M è la massa del volume V in g
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Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 317
Modello qualitativo del diamagnetismo⢠Calcoliamo la forza per le sostanze citate nella diapositiva
⢠Osserviamo che⢠La forza è proporzionale alla massa e a B2
⢠Il gradiente del campo è negativo, la forza è diretta lungo il verso positivo dell'asse z⢠à una forza repulsiva
⢠Calcoliamo il modulo
⢠Riproduce molto bene l'ordine di grandezza delle forze⢠Per valori piÚ accurati occorre il valore esatto di R0
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Teoria di Langevin del diamagnetismo⢠La teoria del diamagnetismo descritta è adottata in molti testi⢠à adottata da Purcell ma non da Mazzoldi⢠Mazzoldi presenta la teoria classica di Langevin
basata sulla precessione del momento angolare L⢠Il momento della forza sull'elettrone orbitante ne fa precessare il momento angolare
⢠La rotazione aggiuntiva genera una corrente Îi
⢠L'atomo acquista un momento magnetico aggiuntivo Îm
⢠Osserviamo che in entrambi i casi si tratta di teorie qualitative che mostrano una serie di inconsistenze dinatura termodinamica⢠Una teoria rigorosa richiede la meccanica quantistica
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Paramagnetismo⢠Abbiamo descritto l'effetto del campo magnetico legato al moto orbitale degli elettroni⢠Abbiamo notato che quasi tutte le sostanze (molecole) hanno un momento
angolare orbitale nullo⢠Abbiamo inoltre notato che gli elettroni posseggono un momento angolare
intrinseco (spin) la cui proiezione lungo un asse assume due soli valori: ¹ /2⢠Il momento magnetico intrinseco dell'elettrone è
⢠Per il principio di esclusione di Pauli gli elettroni tendonoa disporsi in coppie con momento angolare nullo⢠Anche il momento magnetico sarà nullo
⢠In alcune molecole il numero di elettroni è dispari (ad es. NO) oppure la configurazione elettronica è tale da non avere la cancellazione dello spin per due elettroni (O2) ⢠In queste sostanze un campo magnetico esterno può allineare i momenti
magnetici e far comparire un momento di dipolo⢠Nello stesso verso del campo magnetico applicato⢠Nel verso opposto rispetto al diamagnetismo
ÎźB magnetone di Bohr
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Paramagnetismo⢠Abbiamo visto che un dipolo magnetico in un campo magnetico B possiede un'energia potenziale data da
⢠In meccanica quantistica avviene la stessa cosa, ad esempio per lo spin di un elettrone atomico ⢠La proiezione del momento magnetico lungo B può avere solo 2 valori: m = ¹ΟB
⢠In un materiale a temperatura T gli elettroni hanno un'energia di agitazione termica âźKT⢠Il numero di elettroni che hanno un determinato valore
del momento magnetico si calcola utilizzando la statistica di Boltzmann
⢠Introducendo le energie dalla tabella
⢠a si determina imponendo che il numero totale di elettroni sia N
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Paramagnetismo
⢠Calcoliamo la costante a
⢠Il momento magnetico degli N elettroni si calcola con la somma
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 322
Paramagnetismo⢠La formula che abbiamo trovato fornisceil momento magnetico di un blocco dimateria con N elettroni⢠Ricordiamo che il momento magnetico
degli elettroni era "quantizzato" nelladirezione del campo magnetico B⢠à nello stesso verso di B
⢠Osserviamo che per campi B molto elevati o temperature basse il momento magneticoindotto satura⢠Tutti i momenti degli spin si allineano nello stesso senso di B
⢠Per campi magnetici dell'ordine di 1T e temperatura ambiente
⢠Questo è il risultato che si ottiene se si assume che il dipolo magnetico può assumere tutti i valori di energia fra âÎźBB e +ÎźBB
NB
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 323
Paramagnetismo⢠La teoria descritta può essere estesa anche ad atomi e molecole con configurazioni di momento angolare piÚ complicate⢠Il grafico mostra l'accordo fra calcoli teorici
basati sui concetti descritti e dati sperimentali⢠Per atomi con momento angolare
J = 3/2, 5/2, 7/2⢠Va sottolineato che la teoria che abbiamo
discusso descrive i concetti fondamentalinecessari per descrivere il paramagnetismo⢠Tuttavia per una trattazione rigorosache riproduca esattamente i dati sperimentalioccorre esaminare in maggiore dettaglioil momento angolare delle sostanze che si vogliono descrivere
⢠Analisi del genere sono al di là degli obbiettivi del corso⢠Il ferromagnetismo è un fenomeno legato anch'esso allo spin dell'elettrone⢠La descrizione microscopica del fenomeno è molto complicata⢠Daremo dei cenni dopo la trattazione fenomenologica del magnetismo nella
materia
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Magnetizzazione e suscettività ⢠Abbiamo visto che in presenza di campi magnetici esterni nella materia vengono indotti momenti di dipolo magnetico⢠Possono essere paralleli (paramagnetismo, ferromagnetismo) oppure
anti-paralleli (diamagnetismo)⢠Come nel caso del campo elettrico, per descrivere il magnetismo nella materia si introducono delle quantitĂ macroscopiche⢠Le quantitĂ macroscopiche si calcolano a partire dalle corrispondenti quantitĂ
microscopiche realizzando delle medie spaziali⢠Su volumi grandi se confrontati con i volumi atomici⢠Su volumi piccoli se confrontati con i volumi tipici del sistema macroscopico
⢠La prima quantitĂ importante (Magnetizzazione) viene introdotta per descrivere il momento magnetico indotto in un volume ÎV di materia⢠Si definisce magnetizzazione il momento magnetico totale per unitĂ di volume⢠Il momento magnetico dovuto ai dipoli atomici
⢠Nel caso generale la magnetizzazione è una funzione della posizione: M(r)⢠Le unità di misura
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 325
Magnetizzazione e suscettività ⢠Consideriamo adesso materiali diamagnetici o paramagnetici ⢠A temperature non troppo basse e campi magnetici non troppo intensi⢠Abbiamo visto che in entrambi i casi i momenti di dipolo magnetico indotti
dipendono linearmente dal campo B
⢠Se nelle formule precedenti N diventa unadensitĂ di elettroni per unita di volume leespressioni danno la magnetizzazione⢠Si definisce suscettivitĂ magnetica Ďm
di una sostanza
⢠La definizione precedenteè quella "logica" ma èdifferente da quella realein funzione del campo H⢠Lo vedremo in seguito
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 326
Densità di corrente superficiali⢠Richiamiamo la definizione di densità di corrente superficiale (vedi diapositiva )⢠Per definizione la corrente è il flusso della
densitĂ di corrente
⢠Supponiamo per semplicitĂ che il conduttore sia un parallelepipedo orientato come in figura⢠Per semplicitĂ supponiamo che la densitĂ
di corrente J non vari nella direzione y⢠Il flusso di J attraverso la faccia rettangolare LĂd posta a y = y0 è dato da
⢠Definiamo la densità superficiale di corrente K
⢠La corrente trasportata dal conduttore è pertanto
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Se K non dipende da x
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 327
Densità di corrente superficiali⢠Riscriviamo la formula per il potenziale vettore in funzione della densità superficiale di corrente (vedi diapositiva )
⢠L'integrale è esteso a tutto lo spazio⢠Ovviamente contribuiscono solo le regioni in cui J â 0⢠Se il conduttore è molto sottile, al limite infinitesimo è conveniente
utilizzare la densitĂ superficiale di corrente
⢠Per completezza diamo anche la formula del potenziale vettore nel caso di una corrente trasportata da un conduttore di sezione infinitesima ( L â 0 )
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Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 328
Campo B da materia magnetizzata⢠Consideriamo un blocco di materia uniformementemagnetizzato⢠Per semplicità supponiamo che la magnetizzazione M
sia diretta lungo l'asse z⢠Non ci preoccupiamo di come la magnetizzazione
sia causata o mantenuta⢠Ricordiamo che la magnetizzazione M è la somma dei contributi di tutti i dipoli magnetici elementari contenuti nel blocco di materia
⢠Suddividiamo adesso il blocco in "fette" di spessore dz e perpendicolari a M⢠Possiamo ulteriormente suddividere la fetta in
tanti piccoli "cubetti"⢠Il momento di dipolo del cubetto è
⢠Sappiamo che ogni momento di dipolo è equivalentead una spira di area da e corrente i
⢠Da cui otteniamo
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 329
Campo B da materia magnetizzata⢠Osserviamo che, dato che la magnetizzazione
M è costante, tutte le correnti delle piccolespire sono uguali fra di loro
⢠Inoltre osserviamo che nella parte interna della "fetta" le correnti delle piccole spire si elidono⢠Tuttavia le correnti ai bordi non si elidono⢠Per la discontinuità del materiale⢠In definitiva l'intera "fetta" di materiale
genera lo stesso momento magnetico diun "nastro" di corrente superficiale i
⢠L'intero blocco è equivalente ad una densità superficiale di corrente
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 330
Campo B da materia magnetizzata⢠Il campo magnetico generato dal materialemagnetizzato all'esterno del blocco è
⢠Si tratta di un campo macroscopico⢠Non bisogna andare molto vicini alla superficie⢠Molto vicino significa a distanze dell'ordine delle dimensioni atomiche
⢠Consideriamo adesso il campo all'interno del blocco⢠Si tratta di una discussione analoga a quella del campo
elettrico all'interno del dielettrico (diapositiva 272, I parte)⢠In quel caso avevamo utilizzato il fatto che il campo elettrostatico è conservativo
⢠Si potrebbe dimostrare che il campo B generato dalla corrente superficiale Kè uguale alla media del campo microscopico BⲠall'interno del blocco⢠Il campo BⲠè quello generato dai dipoli magnetici atomici⢠à un campo con forti variazioni spaziali all'interno della materia⢠A livello macroscopico è importante la media spaziale⢠Per questa dimostrazione si utilizza il fatto che B è solenoidale
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 331
Correnti di magnetizzazione⢠Abbiamo visto che gli effetti della magnetizzazione possono essere descritti introducendo una densità superficiale di corrente K = M⢠Dimostreremo che questo risultato si può
esprimere in generale come
⢠Il versore n è la normale alla superficie⢠à facile verificare che per M costante la formula riproduce il risultato che abbiamo utilizzato fino ad ora
⢠Se la magnetizzazione non è uniforme compaiono anche correnti all'interno del volume della materia magnetizzata⢠Per dimostrarlo consideriamo un blocco di
materiale suddiviso in tanti blocchetti⢠La magnetizzazione può essere consideratauniforme in ogni blocchetto⢠Assumiamo che sia diretta lungo l'asse zâ˘M varia spostandosi lungo l'asse y
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 332
Correnti di magnetizzazione⢠Ogni blocchetto può essere sostituito da una spira percorsa da una corrente
⢠La corrente nella prima spira è
⢠La corrente nella seconda spira è
⢠La differenza fra le correnti delle spire genera una corrente Îi lungo x
⢠Analogamente una componente della magnetizzazione lungo y che varia lungo z genera un altro contributo di corrente lungo x
Elettromagnetismo â Prof. Francesco Ragusa 333
Correnti di magnetizzazione⢠Riassumiamo il risultato
⢠Sappiamo che una corrente è il risultato del flusso di una densitĂ di corrente attraverso una superficie⢠La corrente che abbiamo calcolato è nella direzione x⢠Perpendicolare alla superficie ÎyÎz⢠Definisce la componente x del vettore densitĂ di corrente
⢠Occorre osservare che questa corrente è il risultato dell'orientamento dei dipoli atomici⢠Una situazione analoga a quanto avveniva in elettrostaticaper le cariche di volume ĎP = âââ P⢠A volte si usa anche l'aggettivo legato (bound)