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7
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ano2
O A N O
• E N S
I N O F U N D A M E N
T A L I I • E
F 8
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O S
L I V R O D O P R O F E S S O RL I V R O D O P R O F E S S O R
2010
Cadernos de apoioe aprendizagem
P R O G R A M A D E O R I E N T A Ç Õ E S C U R R I C U L A R E S
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Prefeitura da Cidade de São Paulo
PrefeitoGilberto Kassab
Secretaria Municipal de Educação
Secretário Alexandre Alves Schneider
Secretária Adjunta Célia Regina Guidon Falótico
Diretora da Assessoria Técnica de Planejamento Fátima Elisabete Pereira Thimoteo
Diretora de Orientação Técnica Regina Célia Lico Suzuki
(Coordenadora Geral do Programa)
Divisão de Orientação Técnica Ensino Fundamental e Médio
Suzete de Souza Borelli(Diretora e Coordenadora do Programa DOT/EF)Cristhiane de Souza, Hugo Luiz Montenegro,
Humberto Luis de Jesus, Ione Aparecida Cardoso Oliveira,Leika Watabe, Leila de Cássia José Mendes,
Margareth Aparecida Ballesteros Buzinaro, Maria Emilia Lima,Regina Célia dos Santos Câmara, Silvia Moretti Rosa Ferrari
Divisão de Orientação Técnica Educação Especial Silvana Lucena dos Santos Drago
Diretores Regionais de Educação Eliane Seraphim Abrantes, Elizabeth Oliveira Dias, Hatsue Ito,
Isaias Pereira de Souza, José Waldir Gregio, Leila Barbosa Oliva,Leila Portella Ferreira, Maria Angela Gianetti,
Maria Antonieta Carneiro, Marcelo Rinaldi,Silvana Ribeiro de Faria, Sueli Chaves Eguchi,Waldecir Navarrete Pelissoni
Equipe técnica de apoio da SME/DOT Ana Lúcia Dias Baldineti Oliveira, Ana Maria Rodrigues JordãoMassa, Claudia Aparecida Fonseca Costa, Delma Aparecida da
Silva, Jarbas Mazzariello, Magda Giacchetto de Ávila,Maria Teresa Yae Kubota Ferrari, Mariana Pereira Rosa Santos,
Tania Nardi de Padua, Telma de Oliveira
Assessoria Pedagógica SME/DOT Célia Maria Carolino Pires, Maria José Nóbrega
Fundação Padre Anchieta
Presidente João Sayad
Vice-Presidentes Ronaldo Bianchi
Fernando Vieira de Mello
Diretoria de Educação
Diretor Fernando José de Almeida
Gerentes Monica Gardelli Franco
Júlio Moreno
Coordenadora do projeto Maria Helena Soares de Souza
Equipe de autoriaCoordenação
Célia Maria Carolino Pires
Autores Armando Traldi Junior, Célia Maria Carolino Pires, Cíntia
Aparecida Bento dos Santos, Danielle Amaral Ambrósio, DulceSatiko Onaga, Edda Curi, Ivan Cruz Rodrigues, Janaína Pinheiro
Vece, Jayme do Carmo Macedo Leme, Leika Watabe,Maria das Graças Bezerra Barreto, Norma Kerches de Oliveira
Rogeri, Simone Dias da Si lva, Wanderli Cunha de Lima
Leitura crítica Eliane Reame, Rosa Monteiro Paulo, Walter Spinelli
Equipe Editorial
Gerência editorial Carlos Seabra
Secretaria editorial Janaína Chervezan da Costa Cardoso
Assessoria de conteúdo Márcia Regina Savioli (Língua Portuguesa)
Maria Helena Soares de Souza (Matemática)
Controle de iconografia Elisa Rojas
Apoio administrativo Acrizia Araújo dos Santos, Ricardo Gomes, Walderci Hipólito
Edição de texto
Helena Meidani, Maria Carolina de AraujoRevisão
Ana Luiza Saad Pereira, Marcia Menin,Maria Carolina de Araujo, Silvia Amancio de Oliveira
Direção de arte Eliana Kestenbaum, Marco Irici
Arte e diagramação Cristiane Pino, Cristina Izuno, Henrique Ozawa, Mariana Schmidt
Ilustrações Beto Uechi, Gil Tokio, Leandro Robles – Estúdio Pingado
Antonio RobsonFernando Makita
Bureau de editoração Mare Magnum Artes Gráficas
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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Bibliotecária Silvia Marques CRB 8/7377)
C122Cadernos de apoio e aprendizagem: Matemática / Programa de
Orientações curriculares. Livro do Professor. São Paulo: FundaçãoPadre Anchieta, 2010.Sétimo ano, il.
(vários autores)
ISBN 978-85-8028-036-4ISBN 978-85-8028-027-2 (aluno)
1. Ensino Fundamental 2. Matemática I. Título.CDD 371.302.813
Esta obra, Cadernos de apoio e aprendizagem – Matemática e Língua Portuguesa,
é uma edição que tem a Fundação Padre Anchieta como Organizadora
e foi produzida com a supervisão e orientação pedagógica da
Divisão de Orientação Técnica da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo.
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Sumário
Parte I
1. Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2. Reflexão sobre problemas a enfrentar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
3. Orientações metodológicas e didáticas gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Problematização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Uso de recursos didáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Contextualização histórica e cultural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
4. Orientações metodológicas e didáticas específicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
O trabalho com números racionais positivos e inteiros negativos . . . . . . . . . . . . . . . .17
O trabalho com operações envolvendo os números inteiros
e racionais positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
O trabalho com álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
O trabalho com espaço e forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24
O trabalho com grandezas e medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26
O trabalho com tratamento da informação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27
5. Os Cadernos de apoio e o planejamento do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Planejar é preciso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Planejar de acordo com o tempo didático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30
Planejar de acordo com a organização da sala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31Planejar de acordo com as diferentes modalidades organizativas . . . . . . . . . . . . . . .31
Acompanhamento e avaliação das aprendizagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32
Alguns procedimentos para coletar dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34
Referências bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Parte II
Comentários e sugestões página a página
Unidade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Unidade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Unidade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
Unidade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
Unidade 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
Unidade 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201
Unidade 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231
Unidade 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 9
1. Apresentação
O Caderno de apoio e aprendizagem – Matemática, dirigido
aos estudantes do 7o ano, é composto por oito Unidades, a
serem desenvolvidas ao longo do ano letivo. Em cada umadelas são propostas atividades relacionadas a um grupo de
expectativas de aprendizagem, retiradas das Orientações
curriculares e proposição de expectativas de aprendizagem
(da PMSP, Secretaria Municipal de Educação, 2007), articu-
lando diferentes eixos de conteúdos – números, operações,
espaço e forma, grandezas e medidas, tratamento da informa-
ção – que orientarão o planejamento das aulas.
Buscando apoiar o trabalho do professor, este material levaem conta o fato de que sua tarefa tornou-se muito mais com-
plexa do que a de simplesmente transmitir informações, pois
é necessário elaborar boas situações de aprendizagem que
mobilizem conhecimentos prévios de cada estudante e
que lhe permitam construir novos significados, novas apren-
dizagens e socializá-los com os colegas e com o professor. Tal
complexidade gerou a propagação de ideias simplistas que
ocasionam distorções a respeito do papel do ensino.
O que se pretende não é que as atividades aqui propostas
sejam “aplicadas mecanicamente”, e sim que provoquem
discussões entre os professores sobre as expectativas de
aprendizagem para os alunos e as hipóteses e pressupostos
considerados em cada uma delas para que sejam enriquecidas
e ajustadas a cada turma.
Destaca-se a importância do uso de outros recursos disponí-veis – livros didáticos, paradidáticos, vídeos, softwares, jogos
– que o professor julgue interessantes para ampliar a aprendi-
zagem de seus alunos. Da mesma forma, é fundamental que a
Matemática seja compreendida por eles e que não lhes traga
medo ou insegurança, cabendo ao professor criar um am-
biente favorável para a aprendizagem, cuidando sempre para
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10 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
que tenham confiança na elaboração de estratégias pessoais
diante de situações-problema, assim como interesse e curio-
sidade por conhecer outras, aprendendo a trocar experiências
com seus pares e a cuidar da organização na elaboração e
apresentação dos trabalhos.
2. Reflexão sobre problemas a enfrentar
Para Pires e Santos (2008), ainda existem (e são fortes) alguns
mitos e crenças como o de que Matemática é algo para quem
tem dom, para quem é geneticamente dotado de determinadas
qualidades, ou o de que é preciso ter certo capital cultural paratransitar no universo matemático. Essas crenças se contrapõem
às propostas que defendem que todos os alunos podem fazer
Matemática em sala de aula, que são capazes de construí-la,
produzi-la, engajando-se no processo de produção de seus
conhecimentos matemáticos. É frequente também a crença de
que os estudantes só podem resolver problemas que conhe-
cem, que já viram resolvidos e que podem tomar como modelo.
Tal convicção dificulta a aceitação de que o ponto de partidada atividade matemática não deve ser uma definição, mas um
problema. Esse, certamente, não é um exercício em que se
aplica de maneira quase mecânica uma fórmula ou um processo
operatório, pois só há problema, no sentido estrito do termo,
se o aluno é obrigado a trabalhar o enunciado da questão que
lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada.
Segundo os mesmos autores, além desses mitos e crenças,
muitas deformações na prática docente foram se consoli-dando por influência de visões deturpadas das próprias teorias
educacionais. Uma ideia bastante comum é a de que, em uma
perspectiva construtivista, o percurso de aprendizagem deve
ser ditado unicamente por interesses dos alunos, sem defini-
ções prévias de objetivos e conteúdos. Construiu-se certa
aversão ao planejamento de uma trajetória de aprendizagem a
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 11
ser realizada pelos estudantes, o que leva à improvisação
e à não aprendizagem.
Pires e Santos (2008) destacam também como inadequada a
noção de que contextualizar envolve apenas mostrar as aplica-
ções dos conhecimentos matemáticos no cotidiano e não queos alunos possam atribuir significado às ideias matemáticas
em diferentes contextos; além disso, pouco se discute que
há momentos de descontextualização, fundamentais para a
construção de conhecimentos que poderão ser usados em no-
vos contextos. Existe, ainda, certo receio no que se refere
à institucionalização e sistematização dos conhecimentos;
deve-se refletir sobre o fato de que, à medida que as ideias e
procedimentos matemáticos vão sendo construídos pelos alu-nos, é fundamental que o professor os ajude a organizá-los,
a nomear, a definir, a formular e, também, a exercitar. Finalmen-
te, os autores enfatizam as muitas concepções de que, em geral,
o simples uso de “materiais concretos”, como jogos, softwares,
entre outros, resolve, por si só, os problemas de aprendizagem
dos alunos; esses recursos podem, sem dúvida, apresentar
boas situações de aprendizagem, mas tudo depende de como
elas são propostas e da intervenção planejada pelo professor.Tal perspectiva traz implicações para a atuação do educador
e, consequentemente, a necessidade de que ele se aproprie de
conhecimentos relativos aos conteúdos matemáticos, conheci-
mentos didático-pedagógicos e curriculares. Essa pretende ser
uma das contribuições dos Cadernos de apoio e aprendizagem.
3. Orientações metodológicas edidáticas gerais
As atividades deste material seguem os pressupostos abaixo
explicitados. São eles:
Exploração de uma diversidade de conteúdos, abordando,
de maneira equilibrada e articulada, números e operações,
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12 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
espaço e forma, grandezas e medidas, além do tratamento
da informação, que aparece de modo transversal.
Apresentação contextualizada dos conhecimentos matemá-
ticos, com base nos problemas encontrados no cotidiano do
aluno, nas demais áreas de conhecimento e no interior daprópria Matemática, ressaltando que as ideias matemáticas
sejam sistematizadas e generalizadas para serem transferi-
das para outros contextos.
Uso de diversos recursos didáticos disponíveis – jogos,
materiais manipuláveis, vídeos, calculadoras, computado-
res, jornais, revistas – deve ser amplamente explorado a
serviço da aprendizagem.
A aprendizagem dos estudantes precisa ser acompanhadacontinuamente, sendo sempre orientada pelas expectativas
de aprendizagem que se deseja construir.
São eixos metodológicos privilegiados para o ensino de Mate-
mática: a resolução de problemas, as investigações, o recurso
à história da Matemática e às novas tecnologias.
Problematização
A problematização deve orientar o trabalho do professor, por
isso precisa estar sempre inserida no processo de aprendiza-
gem dos estudantes, que serão levados a desenvolver algum
tipo de estratégia para resolver as situações apresentadas. Um
problema não é traduzido por um enunciado contendo
uma pergunta a ser respondida de uma única maneira; é uma
situação que demanda a realização de ações ou operações
para obter um resultado. Desse modo, a solução não estádisponível de início, mas será possível construí-la.
A discussão de procedimentos para a resolução de proble-
mas, desde a leitura e análise cuidadosa da situação, até
a elaboração de procedimentos que envolvem simulações,
tentativas, hipóteses, é fundamental, especialmente quan-
do os estudantes são orientados para comparar seus resul-
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 13
tados com os de colegas e para validar seus procedimentos
e resultados.
O problema se caracteriza quando é necessário que o aluno
interprete o enunciado da questão proposta, estruture a situa-
ção apresentada, encontre uma solução e verifique se ela é ade-quada/correta, ou não. É preciso, portanto, que ele desenvolva
habilidades que lhe permitam provar os resultados, testar seus
efeitos e comparar diferentes caminhos para obter a solução.
Nessa forma de trabalho, a importância da resposta correta
cede lugar à importância do processo de resolução e da cons-
trução de argumentos matemáticos por parte dos estudantes.
O fato de o aluno ser orientado para questionar a própria
resposta, questionar o problema, transformar um dado pro-blema em uma fonte de novos problemas, formular outros
com base em determinadas informações e analisar proble-
mas abertos – que admitem diferentes respostas em função
de certas condições – evidencia uma concepção de ensino e
aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos,
mas pela via da ação refletida.
Com tais características, a resolução de problemas não é
uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como
aplicação da aprendizagem. Trata-se de uma orientação para
a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se po-
dem construir conceitos, procedimentos e argumentos que
ampliem o conhecimento matemático.
Uso de recursos didáticos
Uma das propostas de maior consenso na atualidade, entreeducadores, é a de que o ensino de Matemática possa aprovei-
tar, ao máximo, os recursos didáticos e tecnológicos disponí-
veis, para enriquecer o trabalho do professor e potencializar
as aprendizagens dos estudantes.
Nos últimos anos, a utilização de múltiplos recursos vem
sendo implementada pelos professores. Um exemplo é o
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14 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
trabalho com a leitura de notícias de jornais e revistas e
com livros paradidáticos, que proporcionam contextos sig-
nificativos para a construção de ideias matemáticas e com-
plementam o que foi produzido com o livro didático. Outro
exemplo é o uso de calculadoras e computadores que, ne-cessariamente, devem estar presentes nas salas de aula das
novas gerações, tanto por sua ampla utilização pela socie-
dade como para melhorar a linguagem expressiva e comuni-
cativa dos alunos.
É interessante destacar que as experiências escolares com
o computador também têm mostrado que seu uso efetivo
pode levar ao estabelecimento de uma nova relação pro-
fessor-estudante, marcada por maior proximidade, interaçãoe colaboração.
As pesquisas na internet permitem aos estudantes ter infor-
mações sobre a história e sobre as personagens da Matemá-
tica e revelam que foram uma criação coletiva humana. Eles
aprendem que foram necessidades e preocupações de diferen-
tes culturas, em diversos momentos históricos, que impulsio-
naram o desenvolvimento dessa área de conhecimento.
Quanto ao uso da calculadora, constata-se que é um recurso
útil para verificação de resultados e correção de erros, podendo
ser um valioso instrumento de autoavaliação. Além disso, ela
favorece a busca e a percepção de regularidades matemáticas
e o desenvolvimento de estratégias de resolução de situações-
-problema, pois leva à descoberta de estratégias e à investi-
gação de hipóteses, uma vez que os alunos ganham tempo na
execução dos cálculos. No mundo atual, saber fazer cálculos
com lápis e papel é uma competência de importância rela-
tiva, que deve conviver com outras modalidades de cálculo,
como o cálculo mental e o produzido pelas calculadoras e as
estimativas.
Outros recursos utilizados em Matemática são aqueles que
funcionam como ferramentas de visualização, ou seja, como
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 15
imagens que por si mesmas possibilitam a compreensão ou
demonstração de uma relação, regularidade ou propriedade.
A visualização e a leitura de informações gráficas em Matemá-
tica são aspectos importantes, pois auxiliam a compreensão
de conceitos e o desenvolvimento de capacidades de expres-são gráficas.
Para complementar, destacamos que o material está acompa-
nhado por um DVD com dois vídeos: Abaixo de zero o que há?
e Movimentos e simetria.
O primeiro vídeo apresenta uma reportagem sobre o fun-
cionamento de um jornal televisivo, no qual são mostradas
situações com a utilização de números inteiros negativos.
No início do vídeo, o tema é abordado fazendo referência ao
uso dos elevadores em andares abaixo do térreo e, ao final, é
proposta para resolução uma situação que trata de operações
financeiras com saldos negativos.
Como o vídeo não deve ser usado apenas nesse momento, o
professor pode aproveitar a curiosidade e o interesse dos alunos
para ampliar e enriquecer o que foi apresentado no vídeo, além
de estabelecer conexões com outras áreas de conhecimento.O segundo vídeo, Movimentos e simetria, mostra uma ativi-
dade extracurricular pouco explorada em nossas escolas: uma
visita organizada por uma professora de Artes para que seus
alunos conheçam um dos museus mais bonitos da cidade de
São Paulo: o Museu Afro Brasil.
Durante a visita, a professora convida os alunos para obser-
varem isometrias presentes nas obras de arte de influência
africana e solicita a eles que descubram relações matemáti-
cas nas formas dos objetos.
Por meio de análise e da utilização de padrões, os estudantes
podem desenvolver recursos que favoreçam o estudo das ca-
racterísticas e propriedades de atividades ligadas às formas e
seus movimentos no plano.
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Os movimentos de translação, rotação e reflexão e as pro-
priedades que deles decorrem são ferramentas importantes
não só na Matemática como também nas artes plásticas, na
decoração e na arquitetura.
Recomenda-se projetá-lo integralmente aos alunos, na pri-meira vez, e solicitar que cada um anote a informação do
vídeo que mais o surpreender e também os tipos de isometria
apresentados. Após a exibição, deve-se promover a discussão
do que a turma levantou.
Contextualização histórica e cultural
Ao estudar as contribuições matemáticas de algumas cul-
turas antigas, o aluno compreenderá que o avanço tecno-lógico de hoje não seria possível sem a herança cultural de
gerações passadas.
Embora a recomendação seja bastante óbvia, vale a pena res-
saltar que, ao abordar aspectos históricos, não se tem como
objetivo colocar a ênfase em fatos, datas e nomes e, muito
menos, que eles sejam memorizados pelos estudantes e co-
brados em avaliações. Fatos, datas e nomes aparecem nos
textos para contextualizar o próprio processo de construção
histórica das ideias e conceitos matemáticos.
Também os jogos que fazem parte da cultura infantil e ju-
venil podem contribuir para um trabalho de formação de
atitudes – enfrentar desafios, lançar-se à busca de soluções,
desenvolver a crítica, a intuição, a criação de estratégias e a
possibilidade de alterá-las quando o resultado não for satis-
fatório –, necessárias para a aprendizagem da Matemática.Além disso, na situação de jogo, muitas vezes, o critério de
certo ou errado é decidido pelo grupo. Assim, a prática do
debate possibilita o exercício da argumentação e a organi-
zação do pensamento.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 17
4. Orientações metodológicas e didáticasespecíficas
O trabalho com números racionais positivos e
inteiros negativos
No 7o ano, com relação ao tema “números”, serão abordados
os números inteiros e os racionais.
Nas atividades da Unidade 1 são exploradas as diferentes repre-
sentações dos números racionais, como sua forma decimal e for-
ma fracionária. Também são trabalhadas diferentes situações
que envolvem números racionais, que podem se referir a vários
significados: relação parte-todo, quociente, razão e operador.
Quanto aos números inteiros, na Unidade 3, são explorados
seus diferentes significados, ressaltando que estudos sobre
o uso desses números mostram que os alunos enfrentarão
alguns obstáculos, como:
estabelecer significados às quantidades negativas;
reconhecer a existência de números em dois sentidos a par-
tir de 0, estabelecido como referência, enquanto para osnaturais a sucessão ocorre em um único sentido;
reconhecer diferentes papéis para o zero (zero absoluto e
zero origem).
Trabalhar com o conjunto dos números racionais como am-
pliação do conjunto dos números inteiros auxiliará na exten-
são das operações e suas propriedades. Assim como existem
situações que não podem ser representadas por números na-
turais, existem, também, aquelas que não podem ser repre-sentadas por números inteiros. Por exemplo, 1,8 ºC abaixo de
zero; 5,18 m abaixo do nível do mar; débito de R$ 45,21; o
quociente –5 por 6.
Os números racionais possuem uma propriedade que os nú-
meros inteiros não têm: entre dois números racionais sempre
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18 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
há um número racional, o que implica que entre dois números
racionais há infinitos números racionais.
No estudo do conceito de razão, os alunos devem compreen-
der que, apesar da habitual distinção entre os termos fração
e razão, é comum comparar razões como se fossem frações.Nesse caso, está-se trabalhando com um dos significados de
número racional: um índice comparativo entre duas quantida-
des, ou número racional como razão.
O trabalho com operações envolvendo os números
inteiros e racionais positivos
Na Unidade 4 são apresentadas algumas estratégias para dar
significado aos números negativos, além de propor situa-ções que enfatizam as propriedades aritméticas desse campo
numérico:
Paulo lembrou que o consumo médio diário de água por
pessoa é de 100 litros. Organizou seu consumo médio
semanal usando os sinais + para um consumo que excedeu
100 litros e – para o consumo que faltava para atingir
100 litros.
segunda--feira
terça--feira
quarta--feira
quinta--feira
sexta--feira
sábado domingo
+ 20 – 15 + 10 – 32 + 8 + 10 + 15
a) Ao longo da semana, o consumo médio de Paulo passou
dos 100 litros diários? Explique.
b)Para que seu consumo médio fosse de 100 L diários,
o que ele precisaria fazer durante a semana?
Com relação às “operações”, as atividades da Unidade 1exploram os diferentes significados relativos aos campos
aditivo e multiplicativo envolvendo os números naturais e
racionais positivos. Na Unidade 3, as atividades estão dire-
cionadas para ampliar esse campo numérico com a inclusão
dos números inteiros negativos. Teorias recentes, como as do
pesquisador Gérard Vergnaud, trazem resultados interessan-
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 19
tes ao revelar que a dificuldade de um problema não está di-
retamente relacionada à operação requisitada para a solução.
Assim, nem sempre problemas que se resolvem por adição são
mais fáceis para os alunos do que outros que se resolvem por
subtração, como muitas vezes se imaginava.Esses estudos apontam para um trabalho conjunto com os
problemas aditivos e subtrativos, pois eles fazem parte de
um mesmo campo conceitual, e apoiam-se na ideia de que
os significados das operações não devem ser tratados de for-
ma separada em sala de aula. O mesmo ocorre para os pro-
blemas de multiplicação e divisão, que compõem o campo
multiplicativo.
Campo aditivo
Problemas associados à ideia de combinar estados para ob-
ter outro estado (ação de “juntar”).
Problemas associados à ideia de transformação, ou seja,
alteração de um estado inicial, que pode ser positivo ou
negativo.
Problemas associados à ideia de comparação.
Problemas associados à composição de transformações (po-sitivas e negativas) que levam à necessidade dos números
inteiros negativos, como no exemplo:
No início de um jogo, Rafael tinha certo número de pontos. Na
primeira partida, ele ganhou 15 pontos e, em seguida, per-
deu 32. O que aconteceu com seus pontos após essas duas
partidas?
Campo multiplicativo
Problemas associados à ideia de “multiplicação comparativa”.
Problemas associados à ideia de comparação entre razões,
que, portanto, envolvem a ideia de proporcionalidade.
Problemas associados ao produto de medidas.
Problemas associados à ideia de combinatória.
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20 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
A ideia de combinatória envolve apenas o campo dos nú-
meros naturais. Ela está presente em situações relaciona-
das com a multiplicação e com a divisão.
Esse tipo de problema pode ser resolvido pela contagem di-
reta das possibilidades, usando uma tabela de dupla entra-da ou um diagrama de árvore que permita identificar todas
as possibilidades. É importante que os alunos vivenciem
esse tipo de situação, antes de pretender que reconheçam
a utilização de um cálculo multiplicativo.
Também são propostas algumas atividades para justificar a
multiplicação e a divisão de um número negativo por ou-
tro número negativo que podem apresentar algumas difi-
culdades de compreensão para alguns alunos por possuíremaspectos de “regra imposta”.
Se for conveniente, pode-se recorrer a outras explicações,
como as seguintes:
Estendendo a propriedade distributiva e lembrando que
+6 – 6 = 0
0 ∙ (–2) = 0
(+6 – 6) ∙ (–2) = 0
(+6) ∙ (–2) + (–6) ∙ (–2) = 0
–12 + (–6) ∙ (–2) = 0
Como –12 + 12 = 0, podemos concluir que (–6) ∙ (–2) = +12.
Usando o oposto
(–4) ∙ (–9) = –(+4) ∙ (–9)
(–4) ∙ (–9) = –(–36)
(–4) ∙ (–9) = +36
Um objetivo das Unidades 5 e 6 é o de consolidar alguns
conhecimentos a respeito dos números inteiros e suas ope-
rações e estendê-los para os números racionais positivos e
negativos, como na atividade:
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 21
Também podemos representar na reta numérica os números
racionais expressos na forma decimal. Por exemplo, para
localizar o número –0,3, lembramos que –0,3 = .
a)Logo, para localizar o número –0,3 na reta numérica,
em quantas partes iguais você dividirá a unidade?b)Na malha quadriculada abaixo, desenhe uma reta
numérica para localizar os números –0,5; –0,3; –1; 0;
0,3; 0,5; 1 e 1,7.
Nas Unidades 5 e 6 são propostas atividades para que osalunos possam reconhecer a interdependência entre razão,
proporção e proporcionalidade. De modo geral, esse é um
tema em relação ao qual os alunos não costumam apresentar
grandes dificuldades por estarem familiarizados com as situa-
ções-problema que serão “convidados” a resolver. Em muitas
delas, é comum recorrer à intuição, ao raciocínio aritmético
e cálculos elementares e deixar de lado as equações. Propor
situações-problema é um caminho que poderá despertar inte-resse para o estudo de proporcionalidade:
Observe as informações contidas no gráfico:
1. O que significa o número destacado 4,65?
F O L H A P R E S S
Fonte: Folha de S.Paulo, 9 fev. 2010. Caderno Agrofolha, B8.
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22 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
2. Se 4,65 kg ou 4.650 mg de café equivalem a
1.560 xícaras de 50 mL, então 9.300 mg equivalem a
3.120 xícaras do mesmo tipo? Justifique sua resposta.
O trabalho com álgebraAs atividades propostas nas Unidades 6 e 7 possibilitam
identificar diferentes usos para as letras, em situações que
envolvem generalização de propriedades de relações numé-
ricas e padrões. Também permitem traduzir uma situação-
-problema em linguagem algébrica usando equações, for-
mular problemas com base em dada equação do 1o grau e
compreender o significado da incógnita e da solução (raiz)
de uma equação.As atividades que incluem generalização de padrões são
abertas, do tipo investigativa, e abarcam um contexto mate-
mático. Esse tipo de tarefa leva os alunos a buscar estra-
tégias de resolução, sem ater-se a atividades repetitivas e
ao uso mecânico de procedimentos algébricos. Aquelas em
que os alunos exploram situações e percebem regularidades
permitem-lhes formalizar algumas regras e expressar-se alge-
bricamente. Desse modo, começam a abstrair e também adesenvolver capacidades relacionadas ao pensamento algé-
brico. Às vezes, a formalização da escrita algébrica não é tão
evidente. Eles se expressam com mais facilidade na língua
natural. No entanto, é preciso levá-los a usar a linguagem
algébrica para expressar a generalização de um padrão ou de
uma propriedade aritmética.
Nas atividades de generalização de padrões, às vezes, podehaver mais de uma resposta, por exemplo: na Unidade 6, no
caso da questão dos bombons e caramelos, os alunos podem
encontrar 2n + 2 bombons ou (n + 1) ∙ 2; e no das portas
podem encontrar n ∙ 4 + 1 ou 5 + (n – 1) ∙ 4.
Como foi comentado, os dois registros de representação, o
da linguagem comum e o da linguagem algébrica, são de
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 23
fundamental importância na aprendizagem da álgebra. Por
esse motivo, diferentes situações foram propostas aos alu-
nos com objetivo de fazerem a conversão entre essas duas
representações.
Outro ponto de destaque é a introdução à resolução de equa-ções, sem o oferecimento de regras como “muda de membro,
muda de sinal”, mas deixando os alunos usarem seus co-
nhecimentos aritméticos dos campos aditivo e multiplica-
tivo e resolverem as equações mentalmente. À medida que
eles vão solucionando as equações, é possível sistematizar
algumas operações simples como 2x + 3x = 5x, por exemplo.
Não se espera que cheguem à equação e a solucionem. Eles
podem fazer isso por “ensaio e erro”, substituindo x pordiversos números diferentes até que a igualdade fique ver-
dadeira, mostrando que perceberam o significado de raiz de
uma equação.
Há uma proposta de resolução de problemas por meio da arit-
mética e de equações algébricas. É interessante que se discu-
tam, na socialização dos procedimentos, as diferentes solu-
ções e haja um debate sobre as vantagens e desvantagens de
cada uma, como na atividade:
Os problemas abaixo podem ser resolvidos tanto por meio
de operações aritméticas como por equações. Escolha
um procedimento e resolva-os. Depois, discuta sua
resolução com um colega que usou o outro procedimento
e copie a resolução dele na outra coluna.
Resolução algébrica Resolução aritmética
A diferença entre o quádruplode um número e seu dobroé 56. Qual é esse número?
A soma de dois númerosconsecutivos é 45.Quais são eles?
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24 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Na elaboração de textos de problemas, na socialização dos
enunciados, é conveniente encaminhar as discussões para
que os alunos percebam que uma equação soluciona uma
classe de problemas. Esse fato justifica a importância de re-
solver problemas algebricamente, mesmo que os enunciadosenvolvam contextos bastante diferentes. Vale a pena desta-
car que, de acordo com o contexto, nem sempre a solução
obtida serve como resposta ao problema.
O trabalho com espaço e forma
No tema “espaço e forma”, o estudo parte de atividades que
estimulam a visualização de elementos geométricos e progri-
de para que os alunos sejam capazes de descobrir proprie-dades no espaço e nas formas e as relacionem. Atividades
contendo construção e representação serão exploradas por
sua importância, revelada em vários estudos sobre o tema.
A Unidade 3 propõe situações que envolvem a posição ou a
movimentação de pessoas ou objetos, utilizando coordena-
das cartesianas e números inteiros positivos e negativos.
Quanto às figuras tridimensionais, recomendam-se atividades
que permitam quantificar e estabelecer relações entre o nú-
mero de vértices, faces e arestas de prismas e de pirâmides e
estabelecer relações entre esses números e o número de lados
do polígono da base dessas figuras, além de esboçar diferen-
tes planificações de um cubo trabalhadas em uma sequência
de atividades na Unidade 3.
Com relação às figuras planas, sugerem-se atividades que
explorem a composição e a decomposição de figuras, comoladrilhamentos e tangrans, que são desenvolvidas na Unida-
de 4 e permitem aos alunos a descoberta de que toda figu-
ra poligonal pode ser composta/decomposta por outra e em
particular por triângulos.
Na Unidade 7, focaliza-se o tema das transformações geomé-
tricas, como a reflexão em uma reta (simetria axial), a trans-
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 25
lação e a rotação, com a demonstração de que a figura trans-
formada mantém as mesmas medidas de lados e de ângulos,
além de outras propriedades. Essas transformações são, por
isso, chamadas isometrias.
Um aspecto interessante está no fato de que, quando com-pomos duas reflexões em retas paralelas, a figura resultante
é uma translação da primeira figura. Quando, porém, compo-
mos duas reflexões em retas concorrentes, a figura resultante
é uma rotação da primeira figura.
Para abordarmos o tema, optamos por trabalhar as transfor-
mações existentes nas manifestações artísticas da cultura
africana, que, assim como outras civilizações, faz uso das
isometrias referenciadas anteriormente, o que mostra a afini-dade da Matemática com a beleza e a harmonia, característi-
cas também presentes nessas manifestações artísticas:
Observe os esboços de animais que podem servir de modelo
para máscaras feitos por Luana e complete-os usando
reflexão em reta em cada caso.
a)Uma serpente. b)Um crocodilo.
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26 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Luana localizou outra figura interessante da cultura
africana e quer reproduzi-la em seu caderno. Ela já iniciou
o desenho, e agora precisa fazer 3 rotações de 90º.
Ajude-a nessa tarefa.
Cabe destacar a importância de trabalhar com eixos de sime-
tria em diferentes posições. Alguns estudos mostram que os
alunos apresentam, de modo geral, mais dificuldade na cons-
trução de simetrias com eixos inclinados em relação à malha
quadriculada, mesmo quando a atividade é realizada sem o
uso dessa malha. Um trabalho interessante com as transfor-
mações geométricas pode ser feito com o uso de softwares apropriados, em que os alunos podem fazer conjeturas sobre
o que acontece quando a uma figura é aplicada uma reflexão
em reta, uma translação ou uma rotação. É importante com-
plementar a atividade exibindo o vídeo Movimentos e simetria.
O trabalho com grandezas e medidas
No 7o ano, a estimativa e a medida de grandezas com o
uso de unidades de medidas convencionais são bastante ex-ploradas. No estudo do volume do cubo (Unidade 8) são
apresentadas situações que envolvem o empilhamento de
“cubinhos” na construção de paralelepípedos retângulos.
O objetivo é que os alunos possam concluir que, para obter o
volume desse sólido, basta multiplicar as medidas das três
arestas que se encontram em um mesmo vértice. Também
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 27
são propostas situações em que os alunos verificam que há
medidas exatas e aproximadas e fazem estimativas.
A Unidade 8 também propõe situações envolvendo a relação
entre o metro e seus submúltiplos, o litro e seus submúlti-
plos, para que sejam exploradas, posteriormente, as unidadesde volume e de capacidade e as relações entre o decímetro
cúbico e o litro (1 dm³ corresponde a 1 litro), o metro cúbico
e o litro (1 m³ corresponde a 1.000 litros), o centímetro cúbi-
co e o mililitro (1 cm³ corresponde a 1 mililitro).
Há uma atividade em que o aluno completa um texto com
medidas e com grandezas que sejam plausíveis.
A água doce na Terra e a importância de buscar formas de
economizá-la são colocadas em debate por meio de textos,
como “Água de reuso – uma solução para a sustentabilidade”.
Um trabalho interessante será discutir contas de consumo
de água e energia e, a partir daí, propor o debate de como
enfrentar problemas e questionar propostas para este desafio
da humanidade: “A redução do consumo de água e energia”.
Na Unidade 8 há uma situação para exploração de unidades de
medidas convencionais, porém não usuais em situações coti-dianas, como a milha terrestre e a milha marítima, o alqueire
paulista e o alqueire mineiro, o pé, a polegada e a jarda.
O trabalho com tratamento da informação
Os conteúdos do tema “tratamento da informação” são abor-
dados nas Unidades 2, 3, 5 e 8. As atividades possibilitam o
desenvolvimento de formas particulares de pensamento e ra-
ciocínio que permitem resolver determinadas situações-pro-blema nas quais é necessário coletar, organizar e apresentar
dados, interpretar e comunicar resultados por meio da lin-
guagem estatística. O estudo de gráficos e tabelas favorece o
aperfeiçoamento de atitudes como posicionar-se criticamen-
te, prever e tomar decisões perante informações veiculadas
pela mídia, ou por outras fontes.
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28 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Assuntos sobre economia, política, esportes, educação, saú-
de, alimentação, moradia, meteorologia, pesquisas de opi-
nião, entre outros, despertam o interesse dos alunos por
questões sociais. Eles também são contextos significativos
para a aprendizagem dos conceitos e procedimentos matemá-ticos referentes ao tratamento da informação.
O trabalho com o tratamento da informação é ampliado neste
ano na abordagem das situações, nos tipos de gráficos e
tabelas, conforme sequência da Unidade 2, e ainda com rela-
ção aos campos numéricos utilizados. Sugerem-se atividades
com gráficos envolvendo situações que usem números posi-
tivos e negativos, como as de balança comercial, variações
de saldos etc.Situações com dados organizados em tabelas simples e de
dupla entrada, em gráficos de colunas, de barras, de setores
e de linhas são exploradas na Unidade 3, nas quais os alunos
devem interpretar as informações e utilizá-las na resolução de
uma situação-problema. Mas também se recomenda a cons-
trução de tabelas simples e de dupla entrada e de gráficos
de colunas, de barras e de linhas, para organizar dados co-
letados. Por último, sugere-se a produção de textos escritos,descrevendo e interpretando dados apresentados em tabelas
simples ou de dupla entrada e em gráficos de colunas, de
barras e de linhas:
A tabela abaixo mostra o número de livros consultados
numa biblioteca escolar durante uma semana. A biblioteca
organiza seus livros entre literatura, ciências, ficção,
poesia e história.
segunda-feira terça-feira quarta-feira quinta-feira sexta-feira
literatura 10 15 12 20 15
ciências 12 10 15 25 17
ficção 8 12 10 15 15
poesia 10 8 12 05 20
história 7 10 15 15 10
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 29
1. Quantos livros foram consultados na quarta-feira?
2. Quantos livros de ciências foram consultados durante
a semana?
3. Em que dia da semana os livros de literatura foram mais
consultados que os livros da área de ciências?4. Foram consultados mais livros de poesia na segunda-
-feira ou na quinta-feira? Quantos?
5. Quantos livros de história deveriam ser consultados a
mais na sexta-feira para igualar o número de consultas
da quarta-feira?
6. O que significa o número 25 nessa tabela?
7. Escreva um texto comparando as consultas realizadas
de segunda a sexta-feira.
5. Os Cadernos de apoio e o planejamentodo professor
Planejar é preciso
Uma das características dos Cadernos de apoio e aprendiza- gem é a explicitação da relação entre as diferentes atividades
e as expectativas de aprendizagem que se pretende alcançar.
Essa explicitação é fundamental para que o professor, saben-
do aonde quer chegar, planeje o desenvolvimento de cada
atividade ou sequência de atividades, buscando coerência
entre o que deseja atingir e o que de fato acontece na sala
de aula, introduzindo ajustes necessários.
O planejamento deve ser sempre flexível, o que não se confun-de com improvisações ou falta de organização. É preciso levar
em conta as possibilidades de aprendizagem dos estudan-
tes, seus conhecimentos prévios e suas hipóteses sobre os
conceitos e procedimentos estudados, bem como as estraté-
gias pessoais. Apenas tendo clareza sobre as expectativas de
aprendizagem o professor pode reorientar as atividades sem
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30 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
perder aspectos importantes como a continuidade e o pro-
gresso na construção dos conhecimentos. O planejamento faz
parte de todo o desenvolvimento das atividades propostas
e inclui a elaboração de outras que surgirão em decorrên-
cia das necessidades específicas de aprendizagem dos alunose de seus interesses.
O professor pode enriquecer seu planejamento discutindo
com seus pares, em um processo colaborativo de troca de
saberes e de experiências.
Planejar de acordo com o tempo didático
A organização do trabalho permite usar melhor o tempo
didático e oferecer situações significativas que favoreçam aaprendizagem. Por isso, é importante ressaltar que organizar
a rotina implica tomar decisões acerca do uso inteligente
do tempo de aprendizagem, o que é diferente da distribui-
ção simples e despretensiosa das atividades em determinado
período.
A organização do tempo é necessária para a aprendizagem
não só dos alunos, mas também do professor, especialmente
no que se refere à gestão de sala de aula. Essa é uma apren-
dizagem constante, pois, a cada nova turma, novos desa-
fios são colocados. O que o professor aprendeu sobre gestão
de sala de aula com um grupo de estudantes nem sempre é
transferível para outro.
O tempo dedicado às aulas de Matemática deve ser obser-
vado de forma criteriosa. A organização desse trabalho exi-
ge levar em conta a natureza das atividades e pensar emtempos maiores (como aulas duplas) para ocasiões em que
estão previstas sequências de atividades mais longas, por
exemplo.
Outro aspecto importante é o planejamento do uso do Cader-
no e de outros materiais ao longo de uma semana.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 31
No 7o ano, é aconselhável que a rotina semanal contemple
algumas situações didáticas permanentes e de sistematiza-
ção, que podem ser desenvolvidas por meio das atividades
sequenciais propostas no Caderno de apoio. O intuito é que
o uso do material seja articulado ao planejamento e à rotinado professor.
Planejar de acordo com a organização da sala
Outro aspecto importante do planejamento do professor diz res-
peito à organização da classe para o desenvolvimento de cada
atividade: diversificar agrupamentos em duplas, trios, realizar
trabalhos individuais. Sabe-se da potencialidade das ativida-
des em grupo pela interação que promovem entre os estudan-tes, que podem aprender uns com os outros, mas é necessário
que o professor acompanhe o trabalho de cada agrupamento
levando os alunos a expor suas conclusões e a tomar deci-
sões e dando informações/explicações que julgar necessárias.
No entanto, em alguns momentos também é importante a
realização de atividades individuais para que se analise
a autonomia de cada estudante, sua iniciativa para resolver
problemas.
Planejar de acordo com as diferentes modalidades
organizativas
Ainda sobre o planejamento para uso do Caderno, é importante
que o professor se organize para explorar várias modalidades
organizativas. As sequências de atividades de cada Unida-
de são um conjunto articulado de situações de aprendiza-
gem, com objetivos e conteúdos bem definidos, que incluemproblemas e exercícios orais e escritos, uso de jogos, de
materiais, entre outras propostas para as quais é preciso
definir os modos de realização.
Também é fundamental planejar atividades permanentes,
ou seja, aquelas que se repetem de forma sistemática. Elas
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32 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
possibilitam o contato intenso com um tipo específico de
atividade em cada ano da escolaridade e são particularmente
apropriadas para comunicar certos aspectos atitudinais em
relação à Matemática. As atividades permanentes são, ainda,
adequadas para cumprir outro objetivo didático: o de favore-cer a aproximação dos estudantes com textos que não leriam
por si mesmos ou com a resolução de problemas do dia a dia
que podem ser trazidos, a princípio, pelo professor e, depois,
pelos próprios alunos. As atividades de cálculo mental certa-
mente podem ser incluídas nessa modalidade de organização
do trabalho escolar.
Contudo, também deve ser reservado tempo para ativida-
des ocasionais, que podem ser motivadas por um assunto derepercussão na mídia que tenha interesse para os alunos cuja
compreensão exija algum conteúdo matemático. Não há sen-
tido em não tratar do assunto pelo fato de não ter relação
com o que se está fazendo no momento, e a organização de
uma situação ocasional se justifica.
Acompanhamento e avaliação das aprendizagens
Se já são visíveis os avanços de natureza metodológica emparte significativa dos trabalhos realizados durante as aulas de
Matemática, é verdade também que é preciso aprofundar as
discussões e modificar as práticas de avaliação. Ideias anti-
gas predominam na avaliação em Matemática, valorizando a
memorização de regras e procedimentos e deixando de lado,
muitas vezes, a compreensão de conceitos, a criatividade nas
soluções, as possibilidades de enfrentar situações-problema
e resolvê-las.
Assim sendo, em uma proposta que contempla uma varie-
dade de situações de aprendizagem – resolução de proble-
mas, recurso à história da Matemática, uso de recursos
tecnológicos, desenvolvimento de projetos de trabalho,
estabelecimento de conexões com outras áreas de conheci-
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 33
mento –, não faz sentido manter uma concepção de avalia-
ção incoerente com novos objetivos e com novas abordagens
do conhecimento matemático.
A avaliação tem a função de fornecer aos estudantes e pro-
fessores informações sobre o desenvolvimento das capacida-des e competências exigidas socialmente, bem como auxiliar
os professores a identificar os objetivos atingidos, com vistas
a reconhecer a capacidade matemática dos alunos, para que
possam inserir-se no mercado de trabalho e participar da vida
sociocultural.
Cabe também à avaliação informar como está ocorrendo a
aprendizagem: os conhecimentos adquiridos, os raciocínios
desenvolvidos, os hábitos e valores incorporados, o domíniode certas estratégias, para que o professor possa propor re-
visões e reelaborações de conceitos e procedimentos ainda
parcialmente consolidados.
Se os conteúdos estão dimensionados em conceitos, proce-
dimentos e atitudes, cada uma dessas dimensões pode ser
avaliada por diferentes estratégias. A avaliação de conceitos
é feita por meio de atividades voltadas à compreensão de
definições, ao reconhecimento de hierarquias, ao estabele-
cimento de relações e de critérios para fazer classificações
e também à resolução de situações de aplicação envolvendo
conceitos. A avaliação de procedimentos implica reconhe-
cer como eles são construídos e utilizados. A avaliação de
atitudes pode ser feita pela observação do professor e pela
realização de autoavaliações.
Embora a avaliação esteja intimamente relacionada aos obje-tivos visados, estes nem sempre se realizam plenamente para
todos os estudantes. Por isso, critérios de avaliação devem
ser elaborados com a função de indicar as expectativas de
aprendizagem possíveis de serem desenvolvidas pelos estu-
dantes, ao final de cada ciclo.
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Alguns procedimentos para coletar dados
Ao final de cada Unidade, na seção “Agora, é com você”, são
propostas questões para avaliar os conhecimentos matemáti-
cos, considerando o conjunto das atividades desenvolvidas na
Unidade. Elas são apresentadas na forma discursiva e comotestes. A proposição de testes tem como objetivo principal
preparar os alunos para os vários tipos de avaliações externas
a que são submetidos, atualmente, nos sistemas educacionais
municipais, estaduais e nacionais. Em geral, as atividades
têm como parâmetros os descritores que pautam a elabora-
ção de questões de avaliações institucionais como a Prova da
Cidade, a Prova Brasil etc.
Sabemos que não é simples acompanhar as aprendizagensde todos os alunos de uma sala de aula, especialmente
se desejamos fazer isso de maneira sistemática. No entanto,
é necessário fazer observações com regularidade e registrá-las,
tendo como referência, por exemplo: 1) as respostas dos
estudantes, quando eles manifestam de forma implícita ou
explícita suas certezas, dúvidas e erros; 2) as observações
das atitudes, ações e discussões efetuadas durante as tare-
fas individuais, em duplas, em grupos ou com a classe toda;3) a análise de tarefas, individuais e em grupo, feitas em classe
e em casa, de provas e trabalhos extraclasse.
Esses registros devem orientar o planejamento de novas ativi-
dades e também subsidiar a avaliação dos resultados de apren-
dizagem por todos os envolvidos (estudantes e professor).
Uma sugestão é que, ao final de cada Unidade, os alunos,
individualmente, retomem os tópicos e as anotações desen-volvidos naquela Unidade. Eles podem elaborar comentários
orais ou escritos e outras formas de registrar o que puderam
constatar sobre o próprio processo de aprendizagem. Com
relação aos registros do professor, a elaboração de fichas de
observação de desempenho em Matemática é muito impor-
tante. Em seguida há sugestão de ficha de acompanhamento.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 35
Legenda: S = sim; P = parcialmente; N = não.
Expectativas de aprendizagem Alunos
Unidade 1 1 2 3 4 5 6 7 8...
Reconhecer números racionais positivose negativos, representados na formafracionária ou decimal, em contextosdiversos, e explorar diferentes significados.
Localizar números racionais na retanumérica.
Analisar, interpretar, formular e resolversituações-problema compreendendodiferentes significados das operações doscampos aditivo e multiplicativo envolvendonúmeros naturais, inteiros e racionais.
Realizar cálculos (mentais ou escritos,exatos ou aproximados) envolvendo
operações com números inteiros por meiode estratégias variadas, com compreensãodos processos nelas envolvidos, e saberutilizar a calculadora para verificar econtrolar resultados.
Resolver situações-problema que abrangemas ideias de razão e de proporcionalidade,ampliando a noção e o uso deporcentagens.
Unidade 2 1 2 3 4 5 6 7 8...
Quantificar e estabelecer relações entre
o número de vértices, faces e arestas deprismas e pirâmides, relacionando essesnúmeros com o número de lados dopolígono da base dessas figuras.
Resolver situações-problema em que sejanecessário compor ou decompor figurasplanas.
Resolver situações-problema com dadosapresentados de maneira organizada pormeio de tabelas simples e de dupla entrada.
Resolver situações-problema com dadosapresentados de maneira organizada pormeio de gráficos de colunas, barras, setorese linha.
Construir tabelas simples e de duplaentrada para apresentar dados coletados.
Construir gráficos de colunas, de barras ede linhas para apresentar dados coletados.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 37
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1o semestre
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 43
baixo para cima (vermelha) indica
a população de 10 a 14 anos: maisde 8 milhões de jovens do sexo
masculino e também do sexo femi-nino, ou seja, mas de 16 milhõesde pessoas pertencem a esta faixaetária. Explore outras situações.
Diga que podem saber, por exem-
plo, a fonte dos dados e comose distribui a população por fai-
xa etária e por sexo e comente aimportância dessas informações
para o planejamento de polí ticaspúblicas.
Peça aos alunos que, em grupos,
analisem a pirâmide etária doBrasil.Discuta as informações dadas
no gráfico e proponha algumas
estimativas e aproximações.
Por exemplo, a terceira faixa de
•M2 Reconhecer númerosracionais positivos e negativosrepresentados na formafracionária ou decimal, emcontextos diversos, e explorardiferentes significados.
•M3 Localizar números racionaisna reta numérica.
•M4 Analisar, interpretar, formulare resolver situações-problemacompreendendo diferentessignificados das operações doscampos aditivo e multiplicativoenvolvendo números naturais,inteiros e racionais.
•M5 Realizar cálculos(mentais ou escritos, exatosou aproximados) envolvendooperações com númerosinteiros por meio de estratégiasvariadas, com compreensão dosprocessos nelas envolvidos, esaber utilizar a calculadora paraverificar e controlar resultados.
•M11 Resolver situações--problema que abrangemas ideias de razão e deproporcionalidade, ampliando anoção e o uso de porcentagens.
Material necessário para odesenvolvimento da Unidade: calculadoras
réguasResposta possível: a distribuição da população brasileiraem 2005 por idade e sexo.
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44 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Você ainda pode organizar grupos
para pesquisar outras informaçõessobre juventude em diferentes
períodos e compartilhar suas des-cobertas com a classe.
Comente que os dados da tabe-
la foram retirados do gráfico dapágina anterior. Essa é uma ta-
bela de dupla entrada. Antes da
realização da atividade, explore
as informações apresentadas naslinhas, nas colunas e nas inter-
secções entre elas.
• Analisar, interpretar, formulare resolver situações-problemacompreendendo diferentessignificados das operações doscampos aditivo e multiplicativoenvolvendo números naturais,inteiros e racionais.
Há 400.000 homens a mais.
Há 300.000 homens a mais.
500.000
8.000.000
Há 9.400.000 a mais pessoas na faixa de 15 a 19 anos.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 45
erros na leitura dos números, use
o quadro de ordens e classes paracorrigi-los. Depois, diga-lhes queanalisem os arredondamentos fei-tos na tabela de Júlia e perguntecomo acham que ela pensou.
Pergunte aos alunos no que pre-
tendem trabalhar quando foremadultos e como pensam em se pre-parar para atingir esse objetivo.Peça a alguns que leiam em voz
alta os dados da tabela. Se houver
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos, e saber utilizar
a calculadora para verificar econtrolar resultados.
4.105.000
8.027.000
25.182.000
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46 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Na atividade 2, faça um levanta-
mento dos critérios usados pelosalunos para determinar renda fa-miliar per capita.Socialize-os e discuta com eles
quais são mais adequados.Finalize as atividades, solicitandoo registro de diferentes procedi-
mentos.
Antes de começar a atividade,
disponibilize calculadoras paraos alunos. Depois, explique o quesignifica renda familiar per capitae comente que essa expressão é
comum em jornais e noticiários.Na atividade 1, verifique se os
alunos entendem as informações
e as usam corretamente; em caso
contrário, procure orientá-los.
• Analisar, interpretar, formulare resolver situações-problemacompreendendo diferentessignificados das operações doscampos aditivo e multiplicativoenvolvendo números naturais,inteiros e racionais.
150,0077,25
120,00
136,75
renda familiar: 930,00 + 1.000,00 + 550,00 + 520,00 = 3.000,00número de pessoas da família: 6renda familiar per capita: 3.000,00 : 6 = 500,00
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 47
maior: família A; menor: família C; justificativa pessoal.
família D, R$120,00, e família B, R$ 150,00.
famílias A, E e C.
famílias A e C: R$ 1.358,40; família B: R$ 849,00;família D: R$ 1.188,60; família E: R$ 679,20.
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48 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Para saber mais sobre os pro-
blemas do campo aditivo, leiao texto “O aporte da teoria dos
campos conceituais” (p. 105 e
106) da publicação Orientações
Curriculares – Ensino Fundamen-
tal II – Matemática.
As situações-problema desta pá-
gina são do campo aditivo e en-volvem a ideia de transformação.Os itens a e b envolvem trans-
formação positiva e busca do
estado final, o item c envolve
transformação negativa e a buscado estado inicial.
• Analisar, interpretar, formulare resolver situações-problemacompreendendo diferentessignificados das operações doscampos aditivo e multiplicativoenvolvendo números naturais,inteiros e racionais.
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos, e saber utilizara calculadora para verificar econtrolar resultados.
145
15
34
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 49
Na sistematização, associe os
procedimentos de aproximação,estimativa e de cálculo exato ao
sistema de numeração decimal e
às propriedades da adição, sem
exigência de saber os nomes delas,mas naquilo que permitem fazer.
Na atividade 1, oriente os alunos
a estimar os valores de B. Se forpreciso, sugira arredondamentos
dos números e mostre como é pos-sível obter o valor aproximado deB no item a. Explore os diferentesmodos de solução que aparecerem.Sugira aos alunos que confiram asrespostas com a calculadora.
1.768
2.275
7.246
1.450
3.006
4.362
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50 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Aproveite os procedimentos utili-
zados pelos alunos para sistema-tizar as ideias, associando-os ao
SND e às propriedades da multi-
plicação e da divisão.
As situações-problema apresenta-
das na atividade 1 são do campomultiplicativo e envolvem a ideiade proporcionalidade.Para saber mais sobre a resoluçãode problemas do campo multipli-
cativo, leia o texto das páginas
106 a 108 da publicação Orienta-
ções Curriculares – Ensino Funda-
mental II – Matemática.
• Analisar, interpretar, formulare resolver situações-problemacompreendendo diferentessignificados das operações doscampos aditivo e multiplicativoenvolvendo números naturais,inteiros e racionais.
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos, e saber utilizara calculadora para verificar econtrolar resultados.
600
R$ 112,00
R$ 45,00
45
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 51
Observe as resoluções dos alunos,
escolha algumas para socializar eproponha outras, que não tenhamsurgido, para ampliar o repertóriode resoluções no campo multipli-cativo: tentativa, árvore de pos-
sibilidades, tabela etc.
Sistematize as ideias desta e da
página anterior.Sugestão: produção coletiva de
um texto a partir do título “Pro-blemas resolvidos pela multipli-cação ou pela divisão”.
Os problemas desta página são
do campo multiplicativo, e envol-vem a comparação (1), a combi-nação (2, 3 e 4) e a configuraçãoretangular (5).
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos, e saber utilizar
a calculadora para verificar econtrolar resultados.
164 meninas
15 maneiras
6 calças
84 pares
72 cadeiras
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52 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
os alunos sobre as ideias mate-
máticas (SND e propriedades damultiplicação e da divisão) que
fundamentam e, consequentemen-te, auxiliam na compreensão do
seu funcionamento.
Na atividade 1, sugira aos alu-
nos que confiram as respostas nacalculadora, verifique os procedi-mentos utilizados e ajude os quetiverem dificuldades. Neste caso,
aproveite o momento de siste-
matização para conversar com
123
570
24
29
142.506
49
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 53
procedimentos eficientes para es-
timar resultados de adições, sub-trações, multiplicações e divisões.Sugira a retomada da atividade
anterior, e o texto produzido na
sistematização aos alunos que
ainda apresentam dificuldades.
Peça aos alunos que, na ativida-
de 2, estimem os resultados. Emseguida, que efetuem os cálculose confirmem os resultados com
a calculadora.Na sistematização, elabore jun-
to com os alunos um quadro de
120
156
1.428
12
13
1.315
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54 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos, e saber utilizar
a calculadora para verificar econtrolar resultados.
adição (item b). Depois da reso-
lução, socialize e sistematize osprocedimentos de cálculo mental,relacionando-os ao sistema de
numeração decimal (valor posi-
cional, decomposição, princípiosaditivo e multiplicativo) e às pro-priedades citadas anteriormente.
Para efetuar os cálculos mental-
mente, os alunos têm que pensarsobre a escolha adequada de par-celas para o cálculo mental e usaras propriedades das operações
– como a associativa da adição
(itens a e c) ou a distributiva
da multiplicação em relação à
187 120
200
140
1.500
36
169
150
118
100
70 280
420
216
524.631
347.861
182.530
210.252
60
200
20.000
100.000
500.000
190.500
Resposta pessoal
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 55
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos, e saber utilizar
a calculadora para verificar econtrolar resultados.
Na atividade 2, discuta coleti-
vamente as propriedades utiliza-das nos procedimentos de cálculomental da adição.
Na atividade 3, verifique se os
alunos usaram as propriedades deforma adequada, ressaltando quehá várias formas de aplicá-las emcálculos de expressões numéricas.
Na atividade 1, pergunte aos
alunos se eles já fizeram cálcu-los usando as propriedades, mes-mo sem saber sua denominação.
Peça exemplos de situações ou
forneça-os.
137
70
72
Resposta pessoal
Sim, são válidas.
Resposta pessoal
Resposta pessoal
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56 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos, e saber utilizar
a calculadora para verificar econtrolar resultados.
Nas atividades 1 e 2, socialize os
procedimentos utilizados e siste-matize as ideias, que devem ser
registradas no caderno.Na atividade 3, ajude os alunos
a perceber as relações entre os
números multiplicados e a impor-tância de usá-las para facilitar os
cálculos. Discuta as explicações
que surgiram e acrescente as quenão aparecerem.Sistematize as ideias em torno doque ocorre com o produto de umamultiplicação quando seus fato-
res são multiplicados por númerosnaturais diferentes de zero.
Antes da resolução das ativida-
des desta página, retome o queos alunos já aprenderam sobre
procedimentos de cálculo da mul-tiplicação e da divisão para que
possam utilizá-los.
102
Basta multiplicar 19.200 por 2,porque 16 é o dobro de 8.38.400
76.800
153.600
Basta multiplicar 19.200 por 4,
porque 32 é o mesmo que 4 x 8,ou 38.400 por 2, porque 32 é odobro de 16.
Basta multiplicar 19.200 por 8,porque 64 é o mesmo que 8 x 8,ou 38.400 por 4, porque 64 é iguala 4 x 16, ou 76.800 por 2, porque64 é o dobro de 32.
11.000
5480
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 57
• Analisar, interpretar, formulare resolver situações-problemacompreendendo diferentessignificados das operações doscampos aditivo e multiplicativoenvolvendo números naturais,inteiros e racionais.
Resposta possível: multiplicar a medida da altura por ela mesma(ou elevar a altura ao quadrado) e dividir a medida da massa poresse valor.
19,7
26,2
Na atividade 1, verifique como
os alunos interpretam a fórmula:se percebem que o cálculo do IMCenvolve as operações de multipli-cação e de divisão.
Na atividade 2, observe se fa-
zem os cálculos de acordo coma fórmula.Um dos objetivos dessa atividadeé explorar os diferentes significa-dos de um número racional, entreeles, a ideia de razão.
Após a leitura do texto, alerte os
alunos sobre a diferença entre asgrandezas massa e peso.Antes de começar estas atividades,converse com eles sobre a impor-tância de uma boa alimentação.
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58 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
• Reconhecer númerosracionais positivos e negativosrepresentados na formafracionária ou decimal, emcontextos diversos, e explorardiferentes significados.
Normal
Sobrepeso
Peso normal
facilitem a sua compreensão. Por
exemplo: o que significa um ín-dice de massa corporal inferior a13,9? Para saber se uma menina
de 13 anos está com sobrepeso,
onde devemos procurar: numa li-nha ou numa coluna? Qual é o
peso normal de uma menina de
12 anos?
Na atividade 2, socialize as res-
postas e use-as para esclareceralgum aluno que eventualmente
ainda tenha dúvidas na interpre-tação do IMC.
Na atividade 1, auxilie os alu-
nos a compreender o significadodas categorias: abaixo do peso,
normal e sobrepeso, e dos dadosda tabela. É importante que elespercebam que “abaixo do peso”
e “sobrepeso” representam in-
tervalos e “normal”, um índice.
Faça perguntas adequadas que
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 59
Peso normal
Abaixo do peso
14,8
23,6
1,4
Inferior a 16,2 ou superior a 23,6
Treze inteiros e cinco décimos
Dezessete inteiros e oito décimos
Vinte e um inteiros e um décimo
As atividades 3, 4, 5 e 6 também
devem ser resolvidas consultandoa tabela. Aproveite para explorar aleitura dos números racionais en-contrados, e peça aos alunos queos escrevam por extenso na lousa.Dessa forma, você os prepara paraa atividade 7.
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60 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
de jovens que praticam esportes
apenas uma vez por semana e ototal de jovens entrevistados,
através da porcentagem.Enquanto eles trabalham, observequais são as dificuldades e registreas mais recorrentes para discus-
são posterior. Depois, socialize nalousa os diversos procedimentos
utilizados.
As atividades desta página podem
ser resolvidas individualmente.Leia o texto com os alunos ex-
plorando os usos da porcen-
tagem. Discuta com a classe o
significado de 20%, ajudando-osa perceber que 20% representa
20 partes de 100.Mostre aos alunos como represen-tar a relação entre a quantidade
• Reconhecer númerosracionais positivos e negativosrepresentados na formafracionária ou decimal, emcontextos diversos, e explorardiferentes significados.
10%
55%
90%
10 milhões
Resposta pessoal
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 61
Na atividade 4, é dada a por-
centagem, e os alunos devemindicá-la num gráfico de seto-
res. Ajude-os a perceber que 50%equivale à metade, 75% equivale
a e 25% equivale a , porque
isso facilitará a representação
nos setores.
Oriente os alunos na divisão do
círculo em 4 partes iguais.
Estas atividades podem ser resol-
vidas em pequenos grupos.Antes de propor a atividade 2,
verifique se, a partir do cálculo
de 10%, os alunos sabem como
calcular 20%, 30% etc. Ajude-osretomando a ideia das partes do
todo. Peça-lhes que completem
a tabela e tire as dúvidas que
surgirem.
• Resolver situações-problemaque abrangem as ideias derazão e de proporcionalidade,ampliando a noção e o usode porcentagens.
10 15 50 250
15 20 200 90
60.000 adolescentes
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62 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
de probabilidade e expressa como
fração, como decimal e como per-centual. Forneça outros exemplos.É uma boa oportunidade de reto-mar o conceito de equivalência
de frações.
Para a atividade 2, reproduza a
tabela na lousa, faça a pesquisacom a classe e retome procedi-
mentos de cálculo para transfor-
mar a razão entre a quantidade
de alunos e o total, para cada
esporte.
Antes de começar as atividades,
converse com os alunos sobreeventos que envolvem o acaso:
sorteios, rifas, loterias etc.Espera-se que eles compreen-
dam, a partir do texto, que a
razão pode ser usada no cálculo
• Resolver situações-problemaque abrangem as ideias derazão e de proporcionalidade,ampliando a noção e o usode porcentagens.
; 0,05; 5%
Depende do número de alunos da sala.
Depende da respostas da sala.
Depende da respostas da sala.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 63
• Reconhecer númerosracionais positivos e negativosrepresentados na formafracionária ou decimal, emcontextos diversos, e explorardiferentes significados.
Sim, porque = = 10%
Sim, porque 15 adolescentes entre 150 preferem natação,que equivale a 1 em 10.
150
10%
16,7%
33,3%
40%
100%
, além de compreender a le-
genda. Retome a transformação
de dados em porcentagens. Orien-te o registro do que foi visto paraa resolução da atividade 3.
Estas atividades podem ser resol-
vidas em pequenos grupos.Converse com os alunos sobre osesportes mais praticados no Brasile pergunte quais eles praticam.
Se necessário, oriente-os quantoà legenda no gráfico de setores.Espera-se que os alunos percebam
a equivalência entre , 10% e
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64 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
• Resolver situações-problemaque abrangem as ideias derazão e de proporcionalidade,ampliando a noção e o usode porcentagens.
14,81%
Os atletas do judô
30% ou =
33,54%
Estas atividades podem ser resolvi-
das em grupo e com a calculadora.Algumas perguntas podem ajudar
na compreensão de qual a maior
(ou menor) probabilidade de ocor-rer um evento. Por exemplo: “numsorteio entre todos os medalhis-
tas, qual das modalidades tem
chance maior? E menor?”; “Comqual porcentagem é possível ex-
pressar a chance?”Se os alunos tiverem dificuldade
para interpretar a tabela, ajude-osa selecionar os dados pertinentes.
Antes da resolução das atividades,
oriente os alunos para compreen-derem os dados com perguntas
sobre as linhas, as colunas e as
intersecções.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 65
• Localizar números racionais nareta numérica.
números racionais escritos na
forma fracionária com o mesmodenominador.
Chame atenção para a posição
ocupada por em relação a .
Faça o mesmo com a localização
de e em relação a 2.
Depois da atividade, retome os
principais critérios para locali-zar racionais na reta e peça aosalunos que façam registros.
Antes de localizá-los na reta
numérica, é importante que osalunos reconheçam os números
racionais em suas diferentes re-
presentações. Faça uma discussãoretomando essas representações
e comparando alguns racionais.Em seguida, retome a localiza-
ção dos números naturais na retanumérica e a comparação entre
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66 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
• Localizar números racionais nareta numérica.
0 e 0,5 0,5 e 1 0 e 0,5
1 e 1,5 0,5 e 1 1 e 1,5
vinte e cinco milésimos
quatro inteiros e sessenta e um centésimos
três inteiros e sete milésimos
As atividades devem ser resolvi-
das coletivamente e posterior-mente conferidas com a calcu-
ladora.Na atividade 2, o objetivo é queos alunos possam localizar os nú-meros tomando como referência
os intervalos indicados na ativi-
dade 1. Eles farão comparações
entre números escritos na forma
fracionária com denominadoresdiferentes. Retome o tema, estu-dando vários exemplos.Na atividade 3, oriente-os a bus-car outras referências. Por exem-plo, perceber que o número 0,375está próximo de 0,4.
Na atividade 4, os alunos utiliza-
rão as referências de localizaçãoda página anterior.Antes da atividade 5, explore
oralmente a leitura desses núme-ros e de outros números racionais.
, ,
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 67
• Localizar números racionais nareta numérica.
<
<
=
<
<
0,02 < 0,07 < 0,125 < 0,2 < 0,375 < 0,6 < 0,75 < 0,9 < 1 < 1,125 < 1,25 < 1,3
frações com denominadores iguaise o numerador 1 é menor que 2.
frações com denominadores iguaise o numerador 2 é menor que 4.
os denominadores são diferentes;
os denominadores são diferentes;
as frações são equivalentes.
No decorrer da atividade 1, veri-
fique com que critérios os alunoscomparam dois números racio-
nais e oriente-os para recuperar
os critérios já vistos. As obser-
vações feitas na página anterior
podem subsidiar esta. Estratégias
de resolução possíveis: busca de
frações equivalentes ou divisãodo numerador pelo denominador.Na atividade 2, além de orientaros alunos na comparação e na or-denação dos números, aproveite aoportunidade para que os alunosfaçam a leitura em voz alta. Re-
tome o que já foi aprendido.Pode acontecer de alguns alunos
organizarem os números como se
fossem naturais, e afirmarem, porexemplo, que 1,125 > 1,25 por-
que possui mais algarismos. Dis-cuta esse critério com os alunos,e considere-o na sistematização
das ideias.
= e = ;
valem as observações anteriores.
= ; numerador 5 é menor que 8.
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68 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Estas atividades podem ser resol-
vidas em grupo.Peça aos alunos que observem
a representação na malha qua-
driculada para que escrevam as
diferentes frações que podem
aparecer na resolução e as equi-
valências entre elas:
, , , ...
• Analisar, interpretar, formulare resolver situações-problemacompreendendo diferentessignificados das operações doscampos aditivo e multiplicativoenvolvendo números naturais,inteiros e racionais.
Não, porque não é equivalente a .
Sim, pois = 0,75 = 75%
Sim, pois = 80%
Sim, porque = = 0,80 = 80%
O pedreiro
, ou , ou 0,2, ou 20%
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 69
Não é preciso que todas as tare-
fas sejam feitas no mesmo dia:organize-as como achar melhor.Socialize a resolução de todos osproblemas e, enquanto os alunostrabalham sozinhos, acompanhe--os e oriente aqueles que tiveremdificuldades, anotando-as para
retomá-las.
Esta seção vai aparecer no final
de cada Unidade, com propostasque retomam o conteúdo traba-
lhado. São atividades individu-
ais, e você deve analisá-las para
verificar se as expectativas de
aprendizagem foram atingidas,
quanto os alunos avançaram e
o que precisa ser retomado, an-
tes de passar para a Unidade 2.
, ou , ou 35%
ou , ou 0,666..., ou aproximadamente 66,66%
, ou 0,33..., ou aproximadamente 33,33%
6.267 13.659
8 836
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70 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
R$ 23,00, porque 184 ÷ 8 = 23
>
<
>
<
0,25 0,5 0,75 0,2 0,77 0,4
40%10%20%90%75%30%25%
0,25 1,75 2,25 4,25 5,25
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 71
etc., salientando que esses ele-
mentos serão trabalhados ao lon-go da Unidade.Registre estas informações para
retomá-las durante a realização
das atividades.
Na aula anterior ao início da Uni-
dade 2, solicite aos alunos quetragam jornais e/ou revistas paraanalisarem alguns gráficos.Posteriormente, socialize o que osalunos descobriram nos gráficos.Veja se eles analisam título, le-
genda, texto explicativo, fonte
•M15 Quantificar e estabelecerrelações entre o númerode vértices, faces e arestasde prismas e pirâmides,relacionando esses númeroscom o número de lados dopolígono da base dessas figuras.
•M17 Resolver situações--problema em que sejanecessário compor ou decomporfiguras planas.
•M27 Resolver situações--problema com dadosapresentados de maneiraorganizada por meio de tabelassimples e de dupla entrada.
•M28 Resolver situações--problema com dadosapresentados de maneira
organizada por meio degráficos de colunas, barras,setores e linha.
•M29 Construir tabelas simplese de dupla entrada paraapresentar dados coletados.
•M30 Construir gráficosde colunas, de barras ede linhas para apresentardados coletados.
Material necessário para odesenvolvimento da Unidade: calculadora
jornais e revistas com gráficosde diferentes tipos
conjunto de sólidosgeométricos
Resposta pessoal
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72 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
• O que está representado no eixo
horizontal? E no vertical?• Qual é o esporte mais pratica-
do? E menos praticado?Oriente os alunos a encontrar os
números que não estão explici-
tados na tabela; por exemplo, o
número de alunos que preferem
futebol (150), que está exata-
mente entre 140 e 160.
As questões dos itens a, b e c,
exigem, além da leitura, a reali-zação de alguns cálculos.Socialize os resultados e ressaltea importância de interpretar cor-retamente as informações dadas
no gráfico.Sistematize as ideias em torno
dos elementos do gráfico: título
e fonte, e a função de cada um.
Converse com os alunos sobre a
importância de práticas esporti-vas para nossa saúde e pergunte
que esportes eles gostam, quais
realmente praticam etc.Faça perguntas para auxiliar a lei-tura e a interpretação dos dados:• Quais dados foram represen-
tados?
• Resolver situações-problemacom dados apresentados demaneira organizada por meiode gráficos de colunas, barras,setores e linha.
• Construir gráficos de colunas,de barras e de linhas para
apresentar dados coletados.
120
420
530
Sim; aproximadamente 21% dos alunos não praticam esporte.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 73
Chame a atenção dos alunos para
o fato de que os segmentos maisinclinados indicam deslocamen-
to maior num mesmo intervalo
de tempo, e para o significado
dos pares ordenados (2,5; 200).
O objetivo destas atividades é
analisar um gráfico de linhas.Nesta análise, é importante que
os alunos percebam por que não
foi utilizado um gráfico de colu-
nas ou de barras, devido à gran-
deza distância ser contínua.
• Resolver situações-problemacom dados apresentados demaneira organizada por meiode gráficos de colunas, barras,setores e linha.
F
V
F
95
0,5
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74 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Sugestão: produção coletiva de
um texto a partir da pergunta: oque mais nós aprendemos sobre
gráficos de linha?
Antes da resolução dos itens a, b
e c, retome a leitura de gráficosde linha e oriente os alunos na
interpretação das informações.
Faça perguntas sobre o desempe-nho de cada atleta; o que signifi-ca o encontro das duas linhas ouquando uma está acima da outra.Ao final, organize as ideias.
• Resolver situações-problemacom dados apresentados demaneira organizada por meiode gráficos de colunas, barras,setores e linha.
Em dois instantes: aproximadamente em 34 e em 47 segundos.
De 10 a 34 segundos, e depois de 47 segundos
O atleta 1
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 75
Depois, reproduza o esquema para
a construção do gráfico na lousae mostre aos alunos como marcaralguns pontos.Aproveite para retomar a ideia
de par ordenado, e como loca-
lizar pontos entre duas linhas
consecutivas como, por exemplo:(14; 36,7).
Considere e analise diferentes
respostas dos alunos, pois trata--se de intervalos de tempo. Sis-
tematize as ideias em torno da
utilização de gráficos de linha, eda representação de pontos entre2 linhas consecutivas.
A resolução das atividades deve
ser antecedida de uma conversacoletiva.Comece perguntando aos alu-
nos quem teve febre nos últimostempos, se se lembram com que
temperatura ficaram, se alguém
já teve mais que 39 graus...
• Resolver situações-problemacom dados apresentados demaneira organizada por meiode gráficos de colunas, barras,setores e linha.
Entre 13h e 16h e entre 23h e 24h
Entre 15h e 16h
Entre 21h e 22h
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76 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Oriente-os a subdividir os in-
tervalos para fazer estimativasmais precisas. Por exemplo, fazer14.250 − 9.500 = 4.750 e depoisdividir 4.750 por 4, subdividindoo intervalo em 4 partes iguais.Numa discussão com a turma,
socialize as diferentes respostas
e ressalte que pode haver várias
respostas corretas, dependendo
da estimativa. Mostre-lhes que asrespostas seriam tanto mais pre-cisas quanto mais subdivisões sefizessem nos intervalos.Ao final, sistematize procedimen-tos para determinar valores maisexatos em situações como essa.
Esta atividade pode ser discutida
coletivamente.Comente com os alunos que os
gráficos de barras são semelhan-tes aos de colunas, mas desenha-das horizontalmente. Se tiverem
dificuldade para interpretar esse
tipo de gráfico, oriente-os.A atividade envolve a realização
de estimativas.
• Resolver situações-problemacom dados apresentados demaneira organizada por meiode gráficos de colunas, barras,setores e linha.
Observando o gráfico, podemos afirmar que a empresavendeu menos produtos no segundo ano (9.500),e mais no quinto ano (quase 19.000).
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 77
Se os alunos tiverem dificuldade
para interpretar os dados nos grá-ficos, oriente-os sobre como usara legenda.Observe como os alunos estão
fazendo as estimativas e, se ne-
cessário, oriente-os.
Encerrando a atividade, socialize
as respostas e ressalte que, de-pendendo da estimativa, diferen-tes respostas podem ser aceitas.Depois, organize as ideias. Suges-tão de roteiro:a) Gráfico de colunas múltiplas;b) Função da legenda;c) Função do título;d) Função da fonte.
Converse com os alunos so-
bre alguns motivos que podemlevar a doenças do aparelho
respiratório,como a poluição ou anicotina (em cigarros) e outros, elembre que uma boa alimentaçãoe a prática de esportes podem
atenuá-las ou preveni-las.
• Resolver situações-problemacom dados apresentados demaneira organizada por meiode gráficos de colunas, barras,setores e linha.
Aproximadamente 7,5%
Aproximadamente 3%
Na região sul
A taxa de mortalidade na região sudeste é menorentre 15 e 19 anos e maior entre 1 e 4 anos.
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78 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Na atividade 1, os alunos devem
identificar os elementos pedidosno enunciado e avaliá-los quantoà confiabilidade e à clareza.
Na atividade 2, os alunos podem
criar vários tipos de legenda. Sevocê achar que é o caso, sugira,
por exemplo, o uso de números,
cores ou outro tipo de símbolo
que permita identificar correta-
mente os dados da tabela repre-
sentados no gráfico.
Após a leitura do texto, peça aos
alunos para retomarem os textosproduzidos anteriormente, e, se
for necessário, complementá-los.
• Resolver situações-problemacom dados apresentados demaneira organizada por meiode gráficos de colunas, barras,setores e linha.
Resposta pessoal
Título: Taxa de mortalidade decorrente de doenças do aparelhorespiratório; fonte: Ministério da Saúde, 1996.
Resposta pessoal
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 79
Aproveite a atividade para conver-
sar com os alunos sobre o gráficode setores e quando utilizá-lo.Verifique se dificuldades de leitu-ra e interpretação de gráficos fo-ram superadas. Em caso contrário,auxilie quem precisar.
Os objetivos das atividades são:
estabelecer vínculo entre duasrepresentações de dados, isto é,
em tabela e gráfico, retomar os
cálculos de porcentagem, e reveros elementos do gráfico.Socialize os procedimentos de
cálculo.
• Resolver situações-problemacom dados apresentados demaneira organizada por meiode gráficos de colunas, barras,setores e linha.
15 105
Resposta pessoal
6075 30 15
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80 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
dadas nas linhas, nas colunas
e nas intersecções entre elas.Faça perguntas dirigidas para as
linhas, como “quantos meninos
usam internet?” e para as co-
lunas, como “quem usa mais a
internet para conversar com os
amigos, os meninos ou as me-ninas?” e para as intersecções:
“o que significa o número 30?”Ao final, organize as ideias so-
bre tabela de dupla entrada, sua
função e seus elementos: título
e fonte.
Como se trata de uma tabela de
dupla entrada, pode ser necessá-rio ajudar os alunos na interpre-
tação das informações.Em tabelas desse tipo, é neces-
sário observar as informações
• Resolver situações-problemacom dados apresentadosde maneira organizada pormeio de tabelas simples ede dupla entrada.
15 meninos e 20 meninas
35 meninos e 30 meninas
30 meninas
Não há dados para responder a essa pergunta.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 81
No final, pergunte aos alunos
se usaram a tabela ou o gráficopara responder aos itens b e c.
Na sistematização, organize as
ideias sobre procedimentos para
decidir a quantidade de linhas e
de colunas em função dos dados
que serão representados. Comen-
te que, em geral, os gráficos dãouma visão geral da situação, e astabelas, valores numéricos expli-citados e mais precisos. Inclua
esta ideia na sistematização.
Pergunte aos alunos o significado
dos números dos eixos horizontale vertical e leia junto com eles
alguns dados do gráfico.Aproveite e oriente-os na cons-
trução da tabela:• número de linhas e de colunas• título• fonte
• Resolver situações-problemacom dados apresentadosde maneira organizada pormeio de tabelas simples ede dupla entrada.
Resposta possível
909.000
Milhares de telefones instalados
ano 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005
telefones instalados(em milhares)
367 428 521 589 740 909 1.378 1.368 1.431 1.538 1.642
Sim, havia 1.538.000 telefones instalados no Brasil em 2004.
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82 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
No item b, pergunte qual tipo de
gráfico pode ser utilizado: coluna,barra, setor ou linha. Espera-se
que, com as atividades anterio-
res, eles percebam que o de li-
nhas não é adequado para esta
situação.
Na atividade 1, verifique a or-
ganização da tabela, número delinhas e colunas, a partir dos
dados.Se for preciso, peça para reto-
marem o texto que foi escrito naatividade anterior.
• Construir tabelas simples e dedupla entrada para apresentardados coletados.
• Construir gráficos de barras,colunas ou setores paraapresentar dados coletados.
tipo de jogo
Resposta possível
Xbox 360Play
Station 2Play
Station 3Wii PC
porcen-tagem
15% 25% 20% 10% 30%
0%
8%
15%
23%
30%
X b o x 3 6 0
P l a y S t a t i o n 2
P l a y S t a t i o n 3
W i i
P C
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 83
Pergunte por que o gráfico tem
colunas de cores diferentes e oque significam os valores apre-
sentados.Informe, por exemplo, que o valor91,4 da coluna “televisão” sig-
nifica que 91,4% dos brasileiros
têm televisão em casa.
Faça uma pesquisa com os alu-
nos, perguntando sobre a fre-quência de uso da internet e
oriente-os a fazer gráficos usandoessas informações.Pergunte quem sabe o que é o
IBGE e explique que o PNAD é
umas das pesquisas que o IBGE
faz para conhecer as condições
em que vivem os brasileiros.
• Construir tabelas simples e dedupla entrada para apresentardados coletados.
• Construir gráficos de barras,colunas ou setores paraapresentar dados coletados.
*1: domicílios / meio decomunicação
*2: microcomputador não ligadoà internet
*3: microcomputador ligadoà internet
telefonefixo
4,9%
*1 *2 *3
13,7% 48,1% 59,3% 88% 91,4%porcen-tagem
telefonecelular
rádio televisão
pessoa/meiode comunicação
porcentagem
usa internet
21%
tem celular
36,7%
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84 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Pergunte aos alunos o nome de
outros polígonos e seu número delados e faça associações com o
título que se dá a um time de fu-tebol que já ganhou 5 ou 6 cam-peonatos como pentacampeão ou
hexacampeão. Os polígonos têm
esses mesmos prefixos: o pentágo-no tem 5 lados, e o hexágono, 6.Após a atividade 3, retome a de-composição das superfícies poli-
gonais em triângulos.
Depois de uma rápida conversa
inicial sobre jogos eletrônicos,pergunte, por exemplo:• Onde está a bola do jogo?• Que figura representa os joga-
dores?• O que é polígono?• Cite duas características do re-
tângulo e três do quadrado.
• Resolver situações-problema emque seja necessário compor oudecompor figuras.
O hexágono
Respostas possíveis:
2 2 3 4
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 85
métricas planas que os formam. Dê
sugestões como “esta figura temfaces triangulares e retangulares”.Explore a possibilidade de contarvértices, faces e arestas obser-
vando as planificações.Pergunte aos alunos como é a faceoposta à base de um prisma. Faletambém sobre as faces laterais.Depois, esclareça que as faces
laterais são limitadas por parale-
logramos (muitas vezes, retângu-los) e os polígonos da base e de
sua face oposta são congruentes.Da mesma forma, pergunte comosão as faces laterais de uma pi-
râmide e sua base.Espera-se que eles concluam queas faces laterais são sempre tri-
ângulos.
Estas atividades podem ser desen-
volvidas em grupo.Comece pedindo aos alunos que
observem as figuras dos sólidos
e procurem se lembrar de tudo o
que sabem sobre poliedros.Pergunte-lhes se algum desses
sólidos tem superfícies curvas ou
se todas as faces são planas. Peçatambém o nome das formas geo-
• Quantificar e estabelecerrelações entre o númerode vértices, faces e arestasde prismas e pirâmides,relacionando esses númeroscom o número de lados dopolígono da base dessas figuras.
G, E, D
A, B, C, F
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86 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Para mostrar o que é uma genera-
lização, faça o seguinte:• a cada número que você disser,eles devem dizer o sucessor, ouseja, um a mais
• comece dizendo qualquer nú-
mero e vá dizendo outros, até
eles entenderem a brincadeira
• quando eles perceberem a re-
gra, diga o número N. Espera-seque alguns digam N + 1.Repita a brincadeira, mas, agora,
eles devem dar um número com
duas unidades a mais. Vá dizendooutros números aleatórios e, quan-do eles entenderem a nova regra,diga novamente o número N, paraver se eles respondem N + 2.
Estas atividades devem ser desen-
volvidas em grupo.Inicialmente, peça aos alunos
que observem bem a pirâmide
da figura, localizem os vértices,
as arestas e as faces e contem
quantos são.Explique que, em matemática, àsvezes se usam letras para indicargeneralizações.
• Quantificar e estabelecerrelações entre o númerode vértices, faces e arestasde prismas e pirâmides,relacionando esses númeroscom o número de lados dopolígono da base dessas figuras.
3 4
pirâmidede base
quadrada
pirâmidede base
hexagonal
5
pentágonotriângulo
6 N
4 5 6 7 N + 1
6 8 10 12 2N
4 5 6 7 N + 1
O número de faces é uma unidade maior que o númerode lados do polígono da base.
O número de arestas é o dobro do número de lados do polígono da base.
A soma do número de faces e vértices é duas unidadesmaior que o número de arestas.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 87
Comece pedindo o dobro e vá
dizendo números; quando vocêdisser N, espera-se que eles res-
pondam 2N.Depois, peça o dobro mais um,
vá dizendo números e, em algummomento, diga V, para eles res-
ponderem 2V + 1.
Mude para o triplo (3N), para o
número mais três (F + 3).A atividade introdutória é es-
sencial para a compreensão dos
itens a, b e c.
Estas atividades podem ser desen-
volvidas em dupla.Faça a mesma brincadeira da ati-vidade anterior, mas dificultandoas regras pouco a pouco.
• Quantificar e estabelecerrelações entre o númerode vértices, faces e arestasde prismas e pirâmides,relacionando esses númeroscom o número de lados dopolígono da base dessas figuras.
prismade base
triangular
3 4 5 6 N
5 6 7 8 N + 2
9 12 15 18 3N
6 8 10 12 2N
prismade base
triangular
F = N + 2
A = 3N
F + V = A – 2
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88 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
de lados do polígono da base. Se
a cada lado desse polígono cor-responde uma face lateral, o nú-mero de faces sempre será igual
ao número de lados do polígono
da base mais 1, pois temos que
somar a base da pirâmide, que
também é uma face.Compreendendo essa relação, se
a base de uma pirâmide tem 20
lados, não precisamos ver a pi-
râmide para saber quantas facesela tem, basta pensar que são 20faces laterais e 1 face que é a
base, logo, 21 faces.Comente que esta atividade pre-
tende levá-los a novas abstraçõesde certas propriedades dos pris-
mas e pirâmides.
Estas atividades podem ser de-
senvolvidas individualmente.Pergunte aos alunos se alguém jáouviu falar em abstração. Expliqueque a abstração nos permite che-gar a resultados sem ver o objeto:podemos só imaginá-lo ou conhe-cer relações que o compõem.Dê o exemplo da relação das facesde uma pirâmide com o número
• Quantificar e estabelecerrelações entre o númerode vértices, faces e arestasde prismas e pirâmides,relacionando esses númeroscom o número de lados dopolígono da base dessas figuras.
5
7
8
15
5
10
8
10
14
24
8
16
11
12
20
30
11
20
16
18
30
48
16
32
N + 1
N + 2
2N
3N
N + 1
2N
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 89
• pensar em como resolver o
problema;• resolver o problema;• depois de encontrar o resulta-
do, reler o problema para ver
se esse resultado responde à
pergunta.
Estas atividades podem ser de-
senvolvidas em dupla.Explique aos alunos que não pre-cisam procurar as respostas nas
páginas anteriores, mas devem,
em cada problema:• ler o problema e ver se todos
os termos são bem conhecidos;
• Quantificar e estabelecerrelações entre o númerode vértices, faces e arestasde prismas e pirâmides,relacionando esses númeroscom o número de lados dopolígono da base dessas figuras.
8 faces
Prisma de base pentagonal
24 arestas
Não, pois o número de vértices é sempre o dobro do número delados do polígono da base.
5 faces
Prisma de base quadrangular
20 arestas
Não, pois o menor número de lados do polígono da base é 3,portanto, o menor número possível de vértices é 4.
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90 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
de vértices do polígono de sua
base; o número de vértices dapirâmide é igual ao número de
vértices do polígono da base
adicionado a uma unidade.• O número de faces de um prisma
é o número de lados do polígo-no da base, adicionado a duas
unidades; o número de vértices
da pirâmide é igual ao número
de lados do polígono da base,adicionado a uma unidade.
• O número de arestas de um
prisma é o triplo do número delados do polígono da base; o
número de arestas da pirâmideé o dobro do número de lados
do polígono da base.
Nas atividades desta página, é
importante que os alunos per-cebam regularidades em relação
aos números de vértices, faces e
arestas em pirâmides e prismas,
em função do polígono da base eque concluam que:• O número de vértices de um
prisma é o dobro do número
• Quantificar e estabelecerrelações entre o númerode vértices, faces e arestasde prismas e pirâmides,relacionando esses númeroscom o número de lados dopolígono da base dessas figuras.
6
8
10
Multiplicando o número de lados da base por 2.
Multiplicando o número de lados da base por 3.
Adicionando 2 ao número de lados da base.
Adicionando 1 ao número de lados da base.
Multiplicando 2 ao número de lados da base.
Adicionando 1 ao número de lados da base.
12
5
6
7
8
9
12
15
18
4
5
6
7
4
5
6
7
6
8
10
12
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 91
organizações, aprofundamentos e
ampliações de ideias e conceitose que, durante o ano, sempre se
devem propor novas atividades
envolvendo os temas que estão
sendo trabalhados nas Unidades.Estas propostas finais, ao lado dasua observação durante as aulas,são bons indicadores da aprendi-zagem dos alunos.
Nesta seção é possível o professor
verificar o que o aluno aprendeue suas eventuais dificuldades. Asatividades visam a essa reflexão edão indícios sobre como avançar
e se há necessidade de reorga-
nizar outras propostas ou não.
Mas é importante destacar que oconhecimento matemático vai seconstituindo por articulações, re-
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92 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
F
V
F
V
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 93
•M1 Reconhecer númerosinteiros positivos e negativos emcontextos diversos e explorardiferentes significados comoaqueles em que indicam falta,diferença, orientação (origem) edeslocamento entre dois pontos.
•M14 Resolver situações--problema que abranjam aposição ou a movimentação depessoas ou objetos utilizandocoordenadas cartesianas.
•M16 Esboçar diferentesplanificações do cubo.
•M29 Construir tabelas simplese de dupla entrada paraapresentar dados coletados.
•M31 Produzir textos escritosdescrevendo e interpretandodados apresentados em tabelassimples ou de dupla entrada.
Material necessário para odesenvolvimento da Unidade: calculadora
livro de geografia
uma esfera de isopor (5 a10 cm de diâmetro) por dupla
4 palitos por dupla
canetas coloridas
globo terrestre dados (pelo menos umpor dupla)
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94 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
de grandes empresas, comprando
suas ações. Fale sobre os riscos,pois, se a empresa quebra, o só-cio perde o dinheiro aplicado,
mas, se ela cresce, o valor apli-
cado também aumenta.
Corrija as atividades e enfatize a
importância do sinal negativo dosresultados, pois eles significam
falta, perda ou decréscimo, nes-
sas situações.É importante ressaltar que o usodo sinal (positivo ou negativo) éestabelecido por convenção.
• Reconhecer números inteirospositivos e negativos emcontextos diversos e explorardiferentes significados comoaqueles em que indicam falta,diferença, orientação (origem) edeslocamento entre dois pontos.
Circule pela sala orientando as
duplas nas discussões e na leiturados textos.Na atividade 2, pergunte se al-
guém sabe o que é a Bolsa de Va-lores. Explique que é uma forma
de as pessoas se tornarem sócias
12 ºC
– 3 ºC
16 ºC
4 ºC
– 5%
– 12%
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 95
Faça com os alunos uma lista de
situações em que os números ne-gativos aparecem.
Na atividade 5, discuta com os
alunos que quantidades negativasaparecem muitas vezes em situa-ções cotidianas. Explique que emmatemática elas são representa-
das por números negativos.
– 20 pontos
São números negativos.
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96 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
zando as ideias presentes nas ati-
vidades. Para isso, considere, entreoutros aspectos, os erros decorren-tes da aplicação aos números ne-gativos de conceitos válidos ape-nas para os naturais.Por exemplo:• na atividade 3: responder 11 °C
(resultado de 18 – 7);
• na atividade 4: responder março
(porque 1 < 5).
Discuta ainda os diferentes sig-
nificados dos números negativos:perda de dinheiro; deflação; tem-peraturas abaixo de zero. Enfatizeque os sinais de + e – foram cria-dos por convenção.
Comece a atividade perguntando
qual é o instrumento de medida detemperatura e, se esse instrumentomarcasse – 5°C, como eles achamque seria o dia: quente ou frio?
Ajude os alunos a compreender asinformações da tabela e respon-
der às questões.Depois da correção da ativida-
de 5, discuta com eles organi-
• Reconhecer números inteirospositivos e negativos emcontextos diversos e explorardiferentes significados comoaqueles em que indicam falta,diferença, orientação (origem) edeslocamento entre dois pontos.
Julho
Janeiro
13 ºC
25 ºC
Fevereiro
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 97
−5
5
−3
21
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98 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
por números negativos
• em saldos bancários: o númeronegativo pode ser expresso emvermelho ou acompanhado de
um (D), de “débito”.Os problemas propostos têm comoresultado um número negativo.
Aproveite para retomar as diver-
sas representações desse tipo de
número e mencione que a mais
comum, justamente por ser válida
para todo tipo de situação envol-vendo números negativos, é o sinal– antes do número. Converse tam-bém sobre os significados atribuí-dos ao sinal –: indicação de uma
operação (a subtração), que eles
conhecem desde as séries iniciais,e, a partir deste ano, a indicação
de uma quantidade negativa.
Antes da leitura do texto, per-
gunte aos alunos que significa-dos podemos atribuir aos númerosnegativos.Peça mais exemplos e dê outros:• alguns freezers dão a temperatu-
ra interna em números negativos• em certos jogos de videogame:
ao cometer algum erro, os pon-tos perdidos são representados
• Reconhecer números inteirospositivos e negativos emcontextos diversos e explorardiferentes significados comoaqueles em que indicam falta,diferença, orientação (origem) edeslocamento entre dois pontos.
– 30 reais
– 2
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 99
– 3 ºC
– 20 pontos
10, 0, – 10, – 20
Maria
10
– 10
0
– 20
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100 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
lousa duas retas numéricas – a
dos números naturais e a dos nú-meros inteiros – e pergunte quaissão as semelhanças e as diferen-ças entre elas.Pergunte por que os números in-teiros são representados dessa
maneira na reta numérica e tam-bém como seria a reta numérica
dos números inteiros na posição
vertical e com o sentido apontado
para cima.Ajude-os a perceber que a repre-sentação dos números inteiros nareta numérica não é arbitrária,
mas convencionada, e considera:• a reta numérica dos números
naturais, mostrando que todos
os naturais são inteiros (posi-
tivos);
Antes de ler o texto, pergunte aos
alunos se eles já ouviram as ex-pressões antes de Cristo e depoisde Cristo e, depois da leitura, se
alguém sabe de alguma coisa quetenha ocorrido antes de Cristo.
Se for preciso, dê exemplos. Paraas atividades, organize-os em
duplas.Antes de prosseguir, desenhe na
• Reconhecer números inteirospositivos e negativos emcontextos diversos e explorardiferentes significados comoaqueles em que indicam falta,diferença, orientação (origem) edeslocamento entre dois pontos.
– 360
Pitágoras Euclides Bháskara Newton
Cardano
Cantor
Porque ele nasceu antes de Cristo.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 101
Depois da correção da ativida-
de 2, oriente as duplas a calcular,sem consultar a reta numérica, a“distância” entre:• dois números inteiros positivos;• dois números inteiros negati-
vos;• um número inteiro positivo e
um negativo.
Peça-lhes que deem um exemplo
para cada caso.Discutas as respostas.
• a infinidade de números intei-
ros positivos e negativos e suaordenação (aproveite e relem-
bre os conceitos de sucessor e
antecessor).Registre essas ideias na lousa.
• Resolver situações-problemaque abranjam a posição ou amovimentação de pessoas ouobjetos utilizando coordenadascartesianas.
1 cm
5 cm
6 cm
8 cm
5 cm
3 cm
4 cm
12 cm
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102 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
nais (da extremidade superior à
extremidade inferior da esfera),dividindo o modelo em duas
metades congruentes. Repita o
processo dividindo-o em quatro
partes congruentes e, depois,
cada quarto em três partes con-
gruentes. (Esse processo leva à
divisão do modelo em partes quecorrespondem a 30º cada.)
Use o mesmo processo para traçar
as linhas latitudinais.Mostre num globo terrestre o queeles estão fazendo na esfera de
isopor.Verifique a possibilidade de um
trabalho multidisciplinar com o
professor de geografia sobre o
planisfério.
Peça aos alunos que tragam para
a aula desta atividade uma es-fera de isopor, palitos e canetas
coloridas.Ajude-os a construir, em dupla,
um modelo da Terra com um eixode rotação feito com palitos nospolos Norte e Sul da esfera.Oriente-os a estabelecer os po-
los e a traçar linhas longitudi-
• Resolver situações-problemaque abranjam a posição ou amovimentação de pessoas ouobjetos utilizando coordenadascartesianas.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 103
um ponto no plano (no caso, o
planisfério), devemos usar um parde números numa determinada
ordem (no caso, latitude e lon-
gitude). Além disso, é mais uma
situação envolvendo números po-sitivos e negativos.Na atividade 3, os alunos devemobservar o planisfério para desco-
brir a latitude e a longitude dos
locais solicitados, determinadospelos pontos. Por exemplo, na
África encontra-se um ponto queestá localizado na latitude 10 e
na longitude 20.
Organize os alunos em duplas e
informe-os que o uso de sinais(menos ou mais) para indicar as
coordenadas é uma convenção.
Discuta o texto com eles e aju-
de-os nas localizações solicitadasnas atividades 1 e 2.A atividade 1 pretende mostrar
aos alunos que, para determinar
10
20
10
– 100
– 30
– 20
25
– 45
–115
115
(– 50, – 70)
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104 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
A atividade 4 é aberta, e o resul-
tado depende do país escolhidopelo aluno.
• Resolver situações-problemaque abranjam a posição oua movimentação de pessoasou objetos utilizandocoordenadas cartesianas.
A Espanha
Resposta pessoal
Japão (40; 140) e Argentina (– 40; – 65). Pode haver pequenasvariações nas coordenadas, em virtude do ponto escolhido.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 105
Na atividade 3, escolha dois ou
três quadrados desenhados pelosalunos, reproduza-os na lousa e
peça aos demais que identifiquemas coordenadas dos respectivos
vértices.
Finalmente, peça a todos para
rever o que fizeram e ajude osgrupos que tiverem dúvidas.Ao final, ressalte a semelhança
de procedimentos na utilização
do GPS.
Na atividade 1, peça aos alunos
que identifiquem os eixos dasabscissas e das ordenadas. Mostrepor que o ponto A é identificadopelo par (2, 1) e ajude-os cha-
mando a atenção para a origem
do plano cartesiano (0, 0). Per-
gunte se o ponto A pode ser iden-tificado pelo par (1, 2) e retome
a ideia de par ordenado.
• Resolver situações-problemaque abranjam a posição oua movimentação de pessoasou objetos utilizandocoordenadas cartesianas.
Resposta pessoal, depende da escolha do aluno.
2, – 2 – 1, 1– 1, – 2
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106 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
cartesiano. Se for preciso, sugira
a retomada da atividade anterior.Terminada a atividade 1, lance
um debate sobre os diferentes
significados do número negativo
e lembre-os dos textos e das ati-vidades anteriores.
Pergunte aos alunos onde está o
desenho do esqueleto do dinos-sauro. Espera-se que eles sintama necessidade de usar uma formaeficaz para determinar a posição
de um objeto no plano, depois daapresentação do GPS e do plano
• Resolver situações-problemaque abranjam a posição oua movimentação de pessoasou objetos utilizandocoordenadas cartesianas.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 107
As abscissas e as ordenadas da
atividade 2 não estão descritascom valores não inteiros, mas o
aluno pode optar por utilizar ra-cionais não inteiros, positivos ounegativos.
estátua do faraó
morcego
cachorro
mamute
extintor de incêndio
menino de camiseta vermelha
quadro
cobra
abscissa – 3, ordenada do 2 ao 6
abscissa – 9, ordenada do 1 ao 2
abscissa 3, ordenada – 7
abscissa – 1 a – 2, ordenada do – 9
abscissa – 1, ordenada 3 ou 4
abscissa do 2 ao 4, ordenada 3
menino de camiseta verde
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108 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
sentação de razões por meio de
porcentagens.Na atividade 3, observe como osalunos redigem o texto. Ajude-osa superar dificuldades de escri-
ta. É importante que os dados databela façam parte desse texto,
mas que não sejam apenas trans-critos de forma desorganizada e
sem sentido.
Discuta alguns textos com a tur-
ma, chamando a atenção paraa forma correta de expressar
algo que tenha causado dúvidas
e/ou dificuldades. Devem constarno texto as seguintes informa-
ções: 81,4% dos municípios têm
biblioteca, 78,1% têm estádio e
ginásio poliesportivo e 69,8% têmvideolocadora.
Peça aos alunos que leiam a ati-
vidade em pequenos grupos ediscuta o que são equipamentos
culturais. Escreva na lousa os
equipamentos culturais do bairroou município em que residem e
sua importância para as pessoas
da comunidade.Oriente os alunos quanto à repre-
• Produzir textos escritosdescrevendo e interpretandodados apresentados em tabelassimples ou de dupla entrada.
16,3%
Orquestra
Resposta pessoal; biblioteca (81,4%);estádio e ginásio poliesportivo (78,1%);videolocadora (69,8%)
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 109
O texto deve destacar as infor-
mações contidas na tabela, comoas pessoas com 15 ou mais anosde idade, analfabetas e divididaspor regiões e grupos de idade, e
também por cor ou raça. As in-
formações estão na tabela sob a
forma de porcentagem.
Oriente os alunos no desenvolvi-
mento desta atividade, principal-mente no que diz respeito às in-formações organizadas na tabela.Ajude-os durante a produção do
texto e, no final, proponha que
alguns leiam o seu em voz alta.
• Produzir textos escritosdescrevendo e interpretandodados apresentados em tabelassimples ou de dupla entrada.
Resposta pessoal
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110 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
nia, além de fundamentais para
a aprendizagem em matemática.Oriente-os quanto à leitura da ta-bela, que pode ser feita segundoas linhas, as colunas ou a inter-
secção entre elas, o que depen-
de dos dados que nos interessam.Por exemplo, se queremos saber o
número de livros consultados na
segunda-feira, devemos adicionaros números que aparecem na se-gunda coluna; se queremos sabero número de consultas a livros
de literatura durante a semana,
devemos adicionar os números dasegunda linha.
Organize os alunos em duplas
e converse sobre a importânciada leitura em nosso dia a dia,
mostrando que ela deve ir além
dos livros sugeridos pela escola.
A leitura e a interpretação de
textos são competências essen-
ciais para o exercício da cidada-
• Produzir textos escritosdescrevendo e interpretandodados apresentados em tabelassimples ou de dupla entrada.
64 livros
79 livros
Terça-feira
Na segunda-feira; cinco a mais
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 111
Oriente os alunos na escrita do
texto da atividade 7 e exploreos dados objetivos das atividadesanteriores e outros que possam
ser obtidos para serem destaca-
dos no texto.
Na atividade 6, verifique se os
alunos identificam o número 25,que está no cruzamento da linhaciências com a coluna quinta-fei-ra, e significa que foram retirados25 livros de ciências nesse dia.
5 livros
O número de livros de ciências consultados na quinta-feira.
Os textos dos alunos podem apresentar comparações como:Na sexta-feira, foram consultados 5 livros de literatura amais do que na segunda-feira. Também podem estabelecercomparações entre as modalidades.
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112 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Escolha alguns números da tabela
para ajudar os alunos na interpre-tação. Explique o que significamas escritas milhões e milhares en-tre parentes e ressalte que 14,6
milhões equivalem a 14 milhões
e 600 mil.Observe como os alunos leem os
números da tabela e, caso seja
necessário, oriente-os.
Converse com os alunos sobre
a rápida evolução tecnológica emostre que é um fenômeno relati-vamente novo. Há apenas uma dé-cada, a situação era bem diferen-te. Por exemplo, para encontrar
um telefone público em alguns
bairros, tínhamos que andar bas-tante. Cite as câmeras fotográfi-
cas, as máquinas de escrever etc.
• Produzir textos escritosdescrevendo e interpretandodados apresentados em tabelassimples ou de dupla entrada.
Em 1995, havia 14 milhões e 600 mil telefone fixos,367 mil telefones públicos e 1 milhão e 400 mil telefones celulares.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 113
Depois da correção individual do
texto de alguns alunos, proponhaque eles leiam em voz alta.O texto deve conter dados da
tabela.
Em 2005
Resposta pessoal, contendo os dados da tabelasobre telefones fixos e celulares de 2000 a 2005.
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114 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
questões a, b, c, d e e, e peça
que registrem as respostas.Peça que calculem o saldo de-
vedor e discuta formas de repre-sentar essa resposta. Retome a
indicação do sinal de menos parao saldo devedor.
Comente com os alunos sobre
os extratos bancários, e o queconsta desses extratos. Verifiquese sabem o significado de cré-
dito e débito e o que significa,
nesse contexto, a palavra “vale”.Depois, explore oralmente as
De 1/4 à 12/4
Em 10/4
– 50 ou 50 D
50 reais
Em 5/4 e 12/4
Em 3/4, 6/4, 8/4 e 10/4
Valores do saldo após as operações
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 115
Faça algumas discussões que per-
mitam aos alunos responder às atividades 2, 3 e 4, como, por
exemplo, entre + 15 e – 20 qual
é o maior? E entre – 12 e + 3?Socialize as respostas e siste-
matize as ideias de comparação
entre números inteiros.
Inicie as atividades traçando uma
reta numérica na lousa e utili-zando alguns exemplos de loca-
lização. Quanto mais à esquerda
estiver o número, menor ele será.Se preferir, resolva oralmente a
atividade 1 com a turma.
>
>
<
<
<
<
O número positivo
O número zero
O maior é o que está mais próximo do zero.
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116 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
que informações são comunica-
das, ressaltando que os dados es-tão expressos em porcentagem,
cuja soma não é 100% porque umdado não exclui o outro.Ajude os alunos a perceber quan-tas linhas e colunas serão neces-sárias para a construção da tabelae chame sua atenção para a fon-
te, que é a mesma do gráfico, e o
título, que precisa ser adaptado.Se surgirem tabelas com 4 linhase 2 colunas e outras com 2 linhase 4 colunas, socialize-as discutin-do que uma mesma informação
pode ser apresentada de formas
diferentes numa tabela.
Informe aos alunos que cada mu-
nicípio tem uma política para odesenvolvimento da cultura, que
depende dos costumes de cada re-gião como o folclore, a prática deesportes e a formação política etc.Ajude-os na interpretação dos
dados apresentados no gráfico
de barras e peça-lhes que digam
• Construir tabelas simples e dedupla entrada para apresentardados coletados.
Uma possível tabela seria: 37,4%Porcentagem
Políticaspúblicas
37,1% 37% 36,7%
preservar opatrimôniohistórico,artístico ecultural.
tornar acultura um doscomponentesbásicos paraa qualidadede vida dapopulação
garantir asobrevivênciadas tradições
culturais locais
dinamizar asatividadesculturais domunicípio
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 117
As atividades 1 e 2 podem ser
resolvidas em dupla. Ajude os alu-nos a perceber quantas linhas e
colunas serão necessárias para a
construção da tabela e chame suaatenção para a fonte, que é a mes-ma do gráfico, e o título, que pre-cisa ser adaptado. Da mesma formaque na atividade anterior, discuta
as diferentes tabelas que surgirem.
Faça uma leitura compartilhada do
texto, destacando e escrevendona lousa informações que os alu-nos considerem importantes. Digaaos alunos que os dados do textopodem ser modificados pela açãode cidadãos conscientes e dedi-
cados à educação no país.
• Construir tabelas simples e dedupla entrada para apresentardados coletados.
5,7 livros
BrasilPaíses
Excetuando oslivros indicados
pela escolatemos 1,3.
Caso contrário,temos 4,7 livros
Leitura per capita
2,4 livros 7 livros
Colômbia FrançaUma possíveltabela seria:
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118 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
tas dos alunos e, no fim, socialize
algumas. Discuta com a turma apossibilidade de usar outro tipo detabela ou mais de uma tabela paraapresentar esses dados.Enfatize a importância do título
e da fonte.
Os textos devem ser alvo de aten-
ção especial. Observe como osalunos usam as informações da
tabela e principalmente o sentidode suas frases. Faça as interven-
ções necessárias.Sistematize as ideias em torno
dos elementos e quantidades de
linhas e colunas de uma tabela.
Organize os alunos em duplas, leia
o enunciado com eles, interpretepelo menos uma informação do
gráfico e observe como eles inter-pretam as outras. Há várias formasde organizar esses dados na tabe-la; considere as diferentes respos-
• Construir tabelas simples e dedupla entrada para apresentardados coletados.
uso pessoal
A B C D/E
educação
81,36 72,50 67,57 63,31
trabalhoremunerado
54,22 51,52 46,40 52,43
trabalhovoluntário
48,33 34,00 26,94 16,75
6,02 3,70 3,10 1,71
Uma possíveltabela seria: classe social
Resposta possível: comparar os dados das diversaspossibilidades em uma determinada classe social; uso pela
internet de determinada classe social.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 119
pliar o vocabulário geométrico
dos alunos.Para que eles façam a planifica-
ção do cubo, explore a quantida-de de faces e a importância de
haver, na montagem, duas faces
em posições opostas para que
seja possível “fechar” o cubo.
Pesquise quadros, esculturas etc.
em que estejam presentes o cuboou formas similares.Escreva na lousa as respostas
apresentadas. Distribua cubos e,
com os alunos, escreva caracte-
rísticas desse sólido: seis faces,
todas quadradas e de mesmo ta-
manho etc. Aproveite para am-
• Esboçar diferentes planificaçõesdo cubo.
Uma possívelresposta seria:
Resposta pessoal
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120 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Chame atenção para o fato de
haver prismas – as figuras A, B eD –, uma pirâmide – figura E – eum tronco de pirâmide – figura C –,todos com o mesmo número de
faces, isto é, 6.
Na atividade 2, verifique se os
alunos percebem que a figuraA tem 6 faces retangulares e 2
quadradas, enquanto na figura B
todas as faces são quadradas.Todas as arestas da figura B têm amesma medida, o que não ocorrena figura A.Essa discussão facilita a resolu-
ção da atividade 3.
Comente com os alunos que exis-
tem diferentes maneiras de clas-sificar os sólidos geométricos.Na atividade 1, os poliedros
serão classificados pelo número
de faces.
• Esboçar diferentes planificaçõesdo cubo.
Resposta possível: todos possuem 6 faces.
Uma possívelresposta seria:
Nem todas as faces da figura A são quadradas.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 121
Orientações para as atividades des-
ta e das duas páginas seguintes:• peça aos alunos sugestões paraverificar a correção das respos-tas (uma sugestão possível:
reproduzir as figuras e montar
os cubos);
• no fim de cada atividade, peça-
-lhes que socializem suas estra-tégias e discutam as que forambem sucedidas e as que não;
• organize pequenos textos que
sirvam para a resolução de pro-blemas parecidos.
Alguns dias antes, peça aos alu-
nos que tiverem dados que os tra-gam para a escola. Organize-os
em duplas e, durante a leitura,
oriente-os a observar o dado e
comprovar que a soma das faces
opostas é sempre igual a 7. Se forpreciso, explique o significado dapalavra oposta.
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122 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 123
• São compostas por 6 superfícies
quadradas de mesma medida.• As 11 planificações possíveis.
Na atividade dessa página, per-
gunte aos alunos quantas facestem um cubo e discuta como
fazer os desenhos de modo que
esse molde, quando fechado, dê
origem a um cubo.Organize as ideias em torno das
planificações da superfície de umcubo:
Possibilidadesde resposta:
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124 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
reorganizações, aprofundamentos
e ampliações de ideias e concei-tos e que, durante o ano, semprese devem propor novas atividadesenvolvendo os temas que estão
sendo trabalhados nas Unidades.Estas propostas finais, ao lado dasua observação durante as aulas,são bons indicadores da aprendi-zagem dos alunos.
Nesta seção é possível o professor
verificar o que o aluno aprendeue suas eventuais dificuldades. Asatividades visam a essa reflexão edão indícios sobre como avançare se há necessidade de reorga-
nizar outras propostas ou não.
Mas é importante destacar que
o conhecimento matemático vai
se constituindo por articulações,
34 mil e 900 celulares
Não, pois em 2004 havia 52 mil e 500 celulares.
1995 Anos
Número deusuários(milhares)
1996 1997 1998 1999 2000 2002 2003 2004 2005 2006
1,4 2,7 4,6 7,4 15,0 23,2 28,7 34,9 45,5 52,5 58,0
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 125
(– 3, 3)
(1, 1)
(– 4, – 3)
(– 2, 3)
(4, 1)
(2, – 1)
(– 1, 1)
(– 4, – 1)
(4, – 1)
(– 4, 1)
(– 1, – 1)
(2, – 3)
(1, 3)
(– 1, – 3)
(4, – 3)
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126 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 127
•M5 Realizar cálculos(mentais ou escritos, exatosou aproximados) envolvendooperações com númerosinteiros por meio de estratégiasvariadas, com compreensão dosprocessos nelas envolvidos e
saber utilizar a calculadora paraverificar e controlar resultados.
•M17 Resolver situações-problema em que sejanecessário compor ou decomporfiguras planas.
•M20 Identificar ângulocomo mudança de direção ereconhecê-lo em figuras planas,nomeando-o em função desuas medidas.
•M24 Calcular a área de
superfícies delimitadas peladecomposição e/ou composiçãoem figuras de áreas conhecidas,ou por meio de estimativas.
Material necessário para odesenvolvimento da Unidade:
calculadora
régua
transferidor
papel transparente
tesoura
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128 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Esta atividade mostrará alguns
dos componentes que causamessa poluição e como os órgãos
de controle de poluição analisama qualidade do ar.Antes de propor a atividade 1,
leia com os alunos a tabela expli-cando que os números da taxa deconcentração referem-se à quan-tidade de microgramas de enxofre
em 1 metro cúbico de ar. Já o
índice são valores de referênciapara comparar essa concentraçãocom a de outros poluentes.Proponha um trabalho multidis-
ciplinar com o professor de ciên-cias pedindo-lhe que fale sobre
poluentes do ar como dióxido deenxofre, dióxido de nitrogênio,
monóxido de carbono e ozônio.
Comece a atividade perguntando
se alguém sabe o que é a polui-ção do ar. Comente que, nos diasmais poluídos, o dia fica escuro eas pessoas apresentam problemasrespiratórios.É necessário explicar o significa-do de μg, e também a unidade
μg/m3.
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos e saber utilizar
a calculadora para verificar econtrolar resultados.
Inadequada
De 60 pontos
Negativa
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 129
– 60
O resultado é um número negativo, pois o índice diminuiu 60 pontos.
Qualquer valor entre 51 e 100
Qualquer valor entre 0 e 50
Por exemplo: saldo bancário, temperatura, painéis deelevadores, etc.
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130 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Frise que, independentemente do
tipo de deslocamento, seu cálculoserá sempre a posição final menosa posição inicial.Comente que o valor numérico doresultado encontrado, sem o sinal,corresponde a “distância” entre
os pontos e o sinal refere-se ao
tipo de deslocamento efetuado.
Leia com os alunos o texto da
atividade 1 esclarecendo as dú-vidas que venham a surgir.Na atividade 2, deixe bem claroque o deslocamento no sentido
crescente dos números resulta
num número positivo e o contrá-rio resulta num número negativo.
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos e saber utilizar
a calculadora para verificar econtrolar resultados.
positivo 10
– 3
11
– 5
12
– 9
positivo
2 – 5
11 – 7
13 – 2
3 – 12
13 – 1
negativo
negativo
negativo
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 131
Nas atividades 4 e 5 auxilie
os alunos a identificar qual é odeslocamento, se positivo ou
negativo, e de quanto é esse
deslocamento. Se for necessário,sugira a retomada dos registros
feitos na atividade 3.
No fim da atividade 3, organize
as observações de modo que osalunos consigam estabelecer o
valor e o sinal do deslocamento
entre dois inteiros positivos semo uso da reta numérica.
Se o minuendo é maior que o subtraendo, o resultado é positivo;se é menor, o resultado é negativo.
Negativo
Negativo
– 10
– 5 °C
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132 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
usar dinheiro do banco até um
certo limite, mas, no fim do mês,devem pagar juros altos pelo usodesse dinheiro.Comente sobre as vantagens e
desvantagens de se ter um che-
que especial.
Peça que leiam o texto e resolvam
as atividades em dupla.Verifique como registram os nú-
meros, se identificam a operaçãorealizada, se justificam a razão deobter um resultado positivo ou
negativo.
O objetivo das atividades é iniciar
o estudo das operações com nú-meros inteiros, no caso a adição
e a subtração.Comece a atividade perguntandoquem sabe o que é cheque es-
pecial. Explique que os clientes
que têm cheque especial podem
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos e saber utilizar
a calculadora para verificar econtrolar resultados.
Porque se adicionam duas dívidas com o banco.
Uma adição
Uma subtração
Porque o valor depositado era maior que o valor devido.
– 1.300
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 133
Socialize os textos escritos na ati-
vidade 4 e faça uma síntese dasdiscussões.
O valor devido era maior que o valor depositado.
Uma subtração
Negativo, pois 784.324 é maior que 45.328.
Quando adicionamos dois números positivos, o resultado é positivo.Quando adicionamos dois números negativos, o resultado é negativo.Quando adicionamos dois números, um positivo e um negativo,o resultado pode ser positivo ou negativo.
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134 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
O texto fala em “vidas que exis-
tem ali”. Pergunte que vidas sãoessas. Comente que, além de pre- judicar a flora, o desmatamento
afeta também a fauna, influen-
ciando todo o ecossistema de
uma região.
Na atividade 1, pergunte quem
conseguiu chegar ao resultadoda coluna B fazendo só cálculo
mental. Aos que conseguirem,
pergunte como pensaram. Conte--lhes que nos cálculos de Pedro
foi usada a propriedade associa-
tiva da adição.
Comece a atividade organizando os
alunos em duplas e lendo o textocom eles. Depois, levante questõescomo: “o que é desmatamento”,
“o que são madeireiras clandes-
tinas”, “o que é clareira” etc.
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos e saber utilizar
a calculadora para verificar econtrolar resultados.
Adicionou os números negativos e depois os positivos,e substraiu os resultados.
Significa que ele extraiu 200 hectares a mais do que plantou.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 135
No item b, verifique se surge al-
gum procedimento diferente dosdois propostos e socialize-o.
Na atividade 2, discuta os proce-
dimentos de Clara e de Ana pararesolverem a expressão. Chame
a atenção para o fato de Clara
resolvê-la sequencialmente e Anaadicionar todos os positivos e
todos os negativos, para depois
subtrair os resultados.
Sim. Clara adicionou e subtraiu conforme os números foramaparecendo. Ana adicionou todos os positivos, depois osnegativos e subtraiu os resultados.
– 30
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136 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
dos – e ao aumento da população,
a água potável do planeta estáescasseando rapidamente.Faça uma leitura compartilhada
do texto da atividade 1 e sociali-ze os procedimentos usados pelosalunos para resolvê-la.
Na atividade 2 você pode escre-
ver a expressão junto com os alu-nos e perguntar se existem paresde números que convenha operarprimeiro como, por exemplo, –18e –2 ou –43 e –7.
Comece a atividade falando sobre
a necessidade de evitarmos o des-perdício de água. Explique que,
devido à poluição nos rios, aos
hábitos de consumo inadequadosdas pessoas – lavar calçadas, dei-xar a torneira aberta desnecessa-riamente e tomar banhos demora-
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos e saber utilizar
a calculadora para verificar econtrolar resultados.
100 – 43 – 18 – 7 – 2 = 30
10 litros
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 137
Na atividade 3, verifique se os
alunos fazem o cálculo sequen-cialmente, ou se agrupam os po-sitivos e os negativos para depoissubtrair os resultados.Se isso não ocorrer, pergunte
quais são as semelhanças e as di-ferenças entre esta atividade e asatividades das páginas 100 e 101.
O consumo médio ultrapassou 16L em relação aoconsumo médio diário.
Evitar o gasto de 16L de água.
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138 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Comente ainda que o uso da pro-
priedade associativa facilita ocálculo mental, pois é possível
associar números cuja adição é
quase imediata, como na primei-ra expressão, adicionar – 60 +
(– 40), cujo resultado é – 100.
Depois, fazer mentalmente o cál-culo – 100 + 193 = 93.
Na atividade 2, os alunos vão re-
solver as operações com lápis e pa-pel e você pode solicitar que confi-ram o resultado com a calculadora.
Comece a atividade 1 perguntan-
do aos alunos se preferem cálculomental (“de cabeça”) ou escrito.Comente que é importante co-
nhecer algumas estratégias para
o cálculo mental como a possibi-lidade de escolher que números
adicionar ou subtrair primeiro,
que também ajudam nos cálculoscom papel e lápis.
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos e saber utilizar
a calculadora para verificar econtrolar resultados.
93
1.427
854
80
– 70
80
– 531
– 1.503
– 374
37
– 1.400
– 300
– 100
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 139
Na atividade 3, os alunos de-
vem aplicar o que aprenderam demodo a facilitar os cálculos.
– 500 – 876 – 2.937
– 57.033
– 68.870
5.505
– 13.550
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140 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Discuta a atividade 1 com os alu-
nos e ajude-os a perceber o quePedro fez.Na atividade 2, se os alunos ti-
verem dificuldades para encontraro resultado, retome a resolução
de Pedro e discuta com a classe
novamente.
Usou a estimativa e fez tentativas com adições para descobriro resultado.
2.233
– 3.570
– 87.413
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 141
Diga aos alunos que, nas ativida-
des 2 e 3, a calculadora é umaferramenta de controle, que servepara verificar a adequação da es-tratégia adotada.
Organize os alunos em duplas
para que eles troquem impres-sões e reflitam sobre a estratégiado colega.
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos e saber utilizar
a calculadora para verificar econtrolar resultados.
80.000 – 80.000
10.000
500
444.444
9.999
– 352.426
– 2
90.000
2.700
– 500.000
– 6
23.010
2.999
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142 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Retome as escritas numéricas da
atividade 1 para que calculem osresultados e completem a tabelada atividade 2.
Escreva um texto coletivo sobre a
adição de dois números positivos,dois negativos e um positivo comum negativo e o que acontece
com o resultado.Feito isso, peça que completem aatividade 3.
Na atividade 1, discuta o signifi-
cado de cada escrita numérica. De-pois, peça a um aluno que leia ostextos. Discuta com a classe cadatexto lido, associando-o a uma
escrita numérica correspondente.
c
+ 47
o resultado é um número positivo.
o resultado é um número negativo.
o sinal do resultado pode ser positivo ou negativo.
+ 3– 3 – 47
b a d
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 143
A atividade 3 pode ser resolvida
em duplas. Um dos alunos da du-pla elabora o texto da expressãoa e o outro o da expressão b. De-pois, eles trocam os livros e cadaum resolve o problema proposto
pelo outro.Socialize alguns textos de proble-mas com a classe e comente as
resoluções.
As atividades dessa página en-
volvem adições e subtraçõescom números inteiros, positivos
e negativos.Discuta com a classe os procedi-mentos de cada caso e socialize
as resoluções.
+ 8 – 8
– 8
– 10
– 3
+ 10
+ 6
+ 9
– 20
– 6
– 4
+ 2
– 9
+ 20
+ 2
+ 2 – 2
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144 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Organize os alunos em dupla e
pergunte quem sabe usar trans-feridor. Comente que existem
transferidores de meia volta, com180º, e de uma volta, com 360º.Relembre o nome dos elementos
de um ângulo: lados e origem.Ajude-os no uso do transferidor
para medir os ângulos B e C.
• Identificar ângulo comomudança de direção ereconhecê-lo em figuras planas,nomeando-o em função desuas medidas.
B = 120° e C = 20°
α = 45ºO
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 145
em especial, com polígonos, re-
gulares ou não, e ainda com po-lígonos diferentes num mesmo
desenho – mas que nesta ativi-
dade trabalharemos com padrõesde um único tipo de polígono.
Inicialmente, converse com os
alunos sobre diferentes aplica-ções de ladrilhos e os diferentes
materiais que são usados. Conte
também que há ladrilhamentos
com diversas formas e figuras,
• Resolver situações-problema emque seja necessário compor oudecompor figuras planas.
Os lados e os ângulos internos de cada polígono têma mesma medida.
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146 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
junções desses polígonos – eles
podem medir os ângulos com umtransferidor. Chame atenção paraa soma dos ângulos em cada jun-ção dos polígonos, que é igual a
360 graus.
Na atividade 2, procure levar
os alunos a perceber que há al-guma regularidade em relação
aos ângulos dos polígonos que
podem ser usados para fazer o
ladrilhamento e a observar as
• Resolver situações-problema emque seja necessário compor oudecompor figuras planas.
Triângulos, quadrados ou hexágonos
Os ângulos internos dos dois polígonos não permitem encaixes.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 147
O objetivo desta página é, além
de compor e decompor figuras,calcular áreas de superfícies
planas tomando como base umaunidade padrão.
Oriente os alunos na construção
do Tangram, que pode ser feitapor dobraduras. Você pode cons-truí-lo com eles.Há vários sites com jogos mate-
máticos envolvendo o Tangram eque ensinam as dobraduras. Por
exemplo: http://portaldoprofes-
sorhmg.mec.gov.br – acesso: 6
jan. 2010.
• Resolver situações-problema emque seja necessário compor oudecompor figuras planas.
• Calcular a área de superfíciesdelimitadas pela decomposiçãoe/ou composição em figurasconhecidas ou por tomando por
base uma unidade padrão.
16 u2
Triângulo vermelho: 4 u2. Quadrado pequeno: 8 u2
Resposta individual. Por exemplo, juntando os triângulos maiorespela hipotenusa.
Sim, unindo adequadamente os dois triângulos verdes eles formamum triângulo congruente ao rosa, e a união deles forma um quadrado.
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148 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
da Universidade de São Paulo
(http://www.mac.usp.br/mac/ –acesso: 6 jan. 2010), em que há
sugestões de projetos que podemser implementados, conforme o
projeto pedagógico da escola. Osalunos também podem consultar
obras no acervo virtual do MAC.
Comece a atividade conversando
com os alunos sobre a relaçãoentre geometria e arte. A geome-tria pode ser observada em mo-
numentos, artesanato, molduras,
quadros e outras manifestações
artísticas. Faça uma visita ao sitedo Museu de Arte Contemporânea
• Resolver situações-problema emque seja necessário compor oudecompor figuras planas.
Quadrados, retângulos, trapézios e triângulos
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 149
Explique aos alunos que adota-
mos aqui uma unidade de medidade área não padronizada e, nes-
se caso, podemos representá-la
como unidade quadrada (u2). Dê
exemplos de unidades de medidade área padronizadas como o qui-lômetro quadrado (km2), o metroquadrado (m2), o centímetro qua-drado (cm2) etc.
Esses desenhos podem ser inter-
pretados individualmente de di-ferentes maneiras.Comente que a superfície poligo-nal é determinada pelo polígono
e a superfície interna contornadapor ele.
Resposta individual, pois depende do desenho de cada aluno.
Resposta individual, pois cada aluno fará um desenho diferente.
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150 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Finalizando a atividade 4, escre-
va na lousa as diferentes apro-ximações feitas pelos alunos e
ressalte que o método mais pre-
ciso para o cálculo dessa área é
o uso de malhas quadriculadas
cada vez menores, pois isso di-
minuiria a diferença entre os cál-culos por falta e por excesso e,
consequentemente, a margem de
erro. Alguém pode sugerir quese calcule a média entre os dois
valores. Nesse caso, somam-se
as áreas obtidas por falta e por
excesso e se divide o resultado
por dois. Se essa ideia não surgir,pergunte à classe se a estratégiaé válida.
No desenvolvimento destas ativi-
dades, oriente os alunos a fazeraproximações conforme a orien-
tação do texto, por falta ou por
excesso, e também pequenas
compensações na contagem dos
quadrados, buscando minimizar
o erro.
• Resolver situações-problema emque seja necessário compor oudecompor figuras planas.
24 u2
Usando como unidade de medida quadrados cada vez menores,ou malhas quadriculadas menores.
24 u2 48 u2
48 u2
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 151
ser usada em alguns casos, como
na figura A ou na D.Finalizando as atividades, so-
cialize com a turma as composi-
ções e decomposições das figu-
ras planas e o cálculo das áreas.
Observe como os alunos estão
fazendo a composição e decom-posição das superfícies poligonaise oriente-os a não se preocupar
com a aplicação de fórmulas nes-se momento, embora ela possa
• Resolver situações-problema emque seja necessário compor oudecompor figuras planas.
4,5 u2
2 u2
6 u2
10 u2
1 u2
4 u2
3 u2
2 u2
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152 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Na atividade 2, discuta quais des-
sas superfícies têm a mesma áreae peça para justificarem. Perguntese sabem o que é o perímetro de
um polígono.
Oriente os alunos a adotar a su-
perfície delimitada pelo triângulopequeno como unidade de área e,se for necessário, dê exemplos.
Essa orientação é fundamental,
pois em outras atividades a uni-
dade de medida era delimitada
pelo quadrado.
• Resolver situações-problema emque seja necessário compor oudecompor figuras planas.
8 u2 8 u2 6 u28 u2 2 u2 2 u2
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 153
Explique que o perímetro é a me-
dida do contorno de uma superfí-cie. Às vezes, os alunos dizem queo perímetro é a “soma dos lados”,o que é incorreto, pois deve ser
a soma das medidas dos lados,
e apenas se as superfícies forem
poligonais.
A, B e C; D e F
Não, elas têm a mesma área, mas perímetros diferentes.
Não, elas têm o mesmo perímetro, mas áreas diferentes.
8p 10p 8p
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154 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Nessas atividades, fique atento,
pois é muito comum os alunosconfundirem área e perímetro.
Explique a diferença entre es-
sas medidas e enfatize que não
dependem diretamente uma da
outra. O polígono ABCD é um
retângulo, que também é um
paralelogramo.
As atividades 1, 2 e 3 permi-
tem observar os procedimentosusados no cálculo de áreas. As
atividades 4 e 5 permitem com-parar as áreas e os perímetros
das figuras. Uma discussão sobreas respostas leva à conclusão deque figuras com áreas iguais nemsempre têm o mesmo perímetro,
e vice-versa.
Antes de começar a atividade,
converse com os alunos sobre ocálculo da área de uma superfíciequadrada e de uma retangular.
Peça que desenhem diferentes
paralelogramos e que recortem
as superfícies limitadas por eles
para transformá-las em superfí-
cies retangulares.
• Resolver situações-problema emque seja necessário compor oudecompor figuras planas.
• Calcular a área de superfíciesdelimitadas pela composiçãoe/ou decomposição emformas geométricas de
áreas conhecidas.
6 u2
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 155
Sistematize o que foi estudado nas
duas páginas.
6 u2
6 u2
Elas têm as mesmas áreas.
Elas têm a mesma área e perímetros diferentes.
São diferentes.
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156 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Socialize as respostas.
Faça perguntas e retome o assun-to: “o que é grau?”; “podemos
associar 90° com um quarto de
volta?” etc.
Organize os alunos em pequenos
grupos e pergunte se alguém jáviu esse tipo de cadeado. Comenteque ele é muito usado em malas.Verifique se os alunos percebem adiferença entre sentido horário e
antihorário para compreender de
que forma os giros foram feitos.
• Identificar ângulo comomudança de direção ereconhecê-lo em figuras planas,nomeando-o em função desuas medidas.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 157
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158 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Certifique-se de que todos as en-
tenderam bem.Esclareça o desenho que indica
o sentido, e, em cada lugar, elesterão que girar para a direita
ou para a esquerda segundo o
ângulo dado.
Com os alunos organizados em
grupos, comece a atividade per-guntando quem já participou de
uma gincana e peça-lhes que con-tem sua experiência.Peça para um dos alunos ler as
regras e explicar para a classe.
• Identificar ângulo comomudança de direção ereconhecê-lo em figuras planas,nomeando-o em função desuas medidas.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 159
10 cmlugar 3
lugar 4
4 cm
4 cm
fim
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160 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Na atividade 1, os alunos devem
estimar as medidas dos ângulospara reconhecer os intervalos e
só depois medir os ângulos como transferidor.Oriente-os a comparar as medidascom as estimativas feitas.
Com os alunos organizados em
duplas, pergunte quem sabe o queé um ângulo reto. Desenhe um nalousa e mostre como indicar que
se trata de um ângulo reto.
• Identificar ângulo comomudança de direção ereconhecê-lo em figuras planas,nomeando-o em função desuas medidas.
A e E
B e F
C e D
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 161
Na atividade 4, os alunos podem
identificar o tipo de ângulos semmedi-los, considerando os lados
sobre a malha quadriculada.
4
0
0
0
0
0
0
0
2
2
2
0
2
3
0
2
2
2
5
1
0
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162 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
X
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 163
Na atividade 2, o resultado se
conserva e os alunos devem mo-dificar as expressões.Verifique se os alunos cometem
erros ao realizar as operações.
Discuta-os com a classe.
Peça que os alunos analisem as
igualdades a, b, c e d, verificandoporque não estão corretas para
responder a atividade 1. Eles po-dem usar o final da página para
efetuar os cálculos.
(– 5) – (– 7) = + 2
(– 5) – (– 3) = – 2
(– 8) – (– 12) = + 4
(– 8) – (+ 12) = – 20
(– 1) + (– 3) = – 4
(– 1) + (+ 5) = + 4
(+ 12) – (+ 15) = –3
(+ 12) – (+ 9) = + 3
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164 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Ao final, eles podem conferir os
resultados com a calculadora.Atenção: na atividade 2 há ou-
tros resultados possíveis. Por
exemplo:• – 45 + (+ 18) = – 45 – (– 18)• 15 + (– 35) = 15 – (+ 35)
A atividade 1 envolve cálculos
de adição e de subtração. Assetas indicam em que ordem a
operação deve ser realizada. Os
alunos podem resolve-las men-
talmente, ou utilizar o espaço aolado das tabelas para os cálculos.
– 8
– 5
+ 4
– 4
– 1
+ 8
–
+
+
–
20
– 35
– 20
– 18
– 11
– 8
+ 1
– 1
+ 2
+ 11
– 1
+ 2
+ 11
– 11
– 8
+ 1
– 4
– 1
+ 8
– 8
– 5
+ 4
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 165
Não é preciso que todas as tare-
fas sejam feitas no mesmo dia:organize-as como achar melhor.Socialize a resolução de todos osproblemas e, enquanto os alunostrabalham sozinhos, acompanhe-os e oriente aqueles que tiveremdificuldades, anotando-as para
retomá-las.
Esta seção vai aparecer no final
de cada Unidade, com propostasque retomam o conteúdo traba-
lhado. São atividades individu-
ais, e você deve analisá-las para
verificar se as expectativas de
aprendizagem foram atingidas,
quanto os alunos avançaram e o
que precisa ser retomado.
120°
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166 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
– 7 – 2,3 – 1 + 2,8 + 4
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2o semestre
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 169
rece no dia a dia das pessoas.
Comente que, embora a repre-sentação fracionária seja menosfrequente nas situações do coti-diano, seu estudo se justifica porser significativo para o desen-volvimento de outros conteúdosmatemáticos tais como: razão,proporções, equações, cálculoalgébrico, para citar alguns.
Para começar, peça aos alunos
que leiam o texto e respondam àquestão proposta.Verifique os hábitos de leiturados alunos e a frequência comque realizam essa atividade.Solicite que tragam jornais ourevistas ou explore a página deabertura da Unidade e pergunteque tipo de números mais apa-
Resposta pessoal
•M2 Reconhecer númerosracionais, positivos e negativosrepresentados na formafracionária ou decimal emcontextos diversos e explorardiferentes significados.
•M3 Localizar números racionais
na reta numérica.
•M4 Analisar, interpretar, formulare resolver situações-problema,compreendendo diferentessignificados das operações doscampos aditivo e multiplicativo,envolvendo números naturais,inteiros e racionais.
•M5 Realizar cálculos(mentais ou escritos, exatosou aproximados) envolvendooperações – com números
inteiros por meio de estratégiasvariadas, com compreensão dosprocessos nelas envolvidos esaber utilizar a calculadora paraverificar e controlar resultados.
•M6 Fazer cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações – comnúmeros racionais positivose negativos, por meio deestratégias variadas, comcompreensão dos processos
nelas envolvidos e verificaçãode resultados.
•M11 Resolver situações--problema que abrangemas ideias de razão e deproporcionalidade, ampliando anoção e o uso de porcentagens.
Materiais necessários paraesta Unidade:
régua
calculadora
jornais e revistas
Ao longo do trabalho, solicite ex-plicações sobre o texto propostoe dê oportunidade aos alunospara que expressem seus conhe-cimentos, identifiquem e apresen-tem suas dúvidas.
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170 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Divida a classe em duplas, propo-
nha que leiam o texto da ativi-dade 1 e respondam à questão,baseando-se na informação dotexto e nos recortes que conse-guiram coletar.
Antes de realizar as atividades
dessa página, programe com seusalunos uma pesquisa, em jornaise revistas, de notícias sobre oaquecimento global. Peça que asrecortem.
Essa afirmação contraria a informação de que a Antártida éa região que mais sofreu o impacto do aquecimento global.
• Analisar, interpretar, formular eresolver situações-problema,compreendendo diferentessignificados das operaçõesdo campo multiplicativo,envolvendo números inteiros.
• Realizar cálculos (mentais ou
escritos, exatos ou aproximados)envolvendo multiplicação comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 171
Na atividade 3, também é possí-
vel que apareçam alguns modos,tais como:a) (–538) + (–538) = –1.076b) –538 – 538 = –1.076c) 2 × (–538) = –1.076Surgindo essas formas, discutasobre o modo mais prático.
Ao realizar a atividade 2, é pos-
sível que apareçam dois modosde resolução:• adicionando 4 vezes −22:
(−22) + (−22) + (−22) + (−22) = −88• multiplicando 4 por −22 = −88.
Respostas possíveis: (–22) + (–22) + (–22) + (–22); 4 · (–22).
538 m abaixo do nível do mar.
1.076 m abaixo do nível do mar, ou –1.076 m.
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172 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Para esses casos, lançaremos mão
da observação de padrões de com-portamento em uma série numéri-ca (regularidades).No entanto, as dificuldades seatenuam um pouco se conside-rarmos que a multiplicação comnúmeros inteiros preserva aspropriedades das operações comnúmeros naturais.
A multiplicação do tipo 4 × (–22)
pode até ser compreensível emuma ou outra dessas situações,mas o mesmo não acontece com(–22) × 4 ou com (–22) × (–4);(–22) × (–4) pode ser entendidacomo o número –22 quatro vezesse for aceito intuitivamente que amultiplicação de números inteirostem propriedade comutativa.
Como soma de –22 quatro vezes: (–22) + (–22) + (–22) + (–22).
Não
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 173
tabelecimento de relações e de
algumas inferências.Antes da atividade 1, pergunteaos alunos como eles multipli-cam um número inteiro positivopor outro positivo, pois o quadroa ser observado começa com o
produto de números positivos.
Em seguida, passa-se a multipli-car números negativos por posi-tivos, explorados nas atividadesanteriores.Proponha outras situações pare-cidas com essas.
Os quadros podem ser usados
no trabalho da multiplicação eda divisão de números inteiros,uma vez que a compreensão dosprocedimentos de cálculo dessasoperações depende da identifi-cação de regularidades, do es-
+30
+20
+10
Uma unidade
O produto é negativo.
10
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo multiplicação comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos.
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174 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Pela observação das regularidades
das sequências numéricas cons-truídas, os alunos podem comple-tar o quadro com os produtos dosnúmeros negativos pelos negati-vos, mantendo o padrão numéricoobservado.
Na atividade 2, o quadro a ser
observado começa multiplicandonúmeros positivos por negativos.Proponha outras situações pare-cidas com essas.
-30
-20
-10
Diminui uma unidade a cada linha.
Aumentam 10 unidades a cada linha.
O produto é positivo.
O sinal é positivo.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 175
(+1) ∙ (+36) = (+36) ∙ (+1);
(–1) ∙ (–36) = (–36) ∙ (–1);(+2) ∙ (+18) = (+18) ∙ (+2).Na atividade 2, verifique se osalunos reconhecem a propriedadeassociativa da multiplicação dis-cutida anteriormente. Se houverainda alguma dúvida, proponhaoutros cálculos.
Na atividade 1, registre na lousa
algumas possíveis respostas.Pergunte aos alunos se a pro-priedade comutativa é válidapara a multiplicação de númerosinteiros, ou na multiplicação denúmeros inteiros a ordem dos fa-tores não altera o produto. Peçaque justifiquem as respostas comexemplos registrados na lousa:
(+1) ∙ (+36); (+2) ∙ (+18); (+3) ∙ (+12); (+4) ∙ (+9); (+6) ∙ (+6);(–1) ∙ (–36); (–2) ∙ (–18); (–3) ∙ (–12); (–4) ∙ (–9); (–6) ∙ (–6).Existem mais 10 maneiras se for trocada a ordem dos fatores,além de outras, como (+2) · (+2) · (+3) · (+3).
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo multiplicação comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos.
(+32) ∙ (–50) ∙ (–20) = +(+32) ∙ (+100) = +32.000.
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176 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Pergunte-lhes qual é a operação
inversa da multiplicação. Peçaque justifiquem com exemplosenvolvendo números naturais.Na atividade 1, mostre que di-vidir o número 90 pelo número 6significa encontrar o número 15,que, multiplicado por 6, dá 90:90 ÷ 6 = 15 porque 15 ∙ 6 = 90
Esclareça que, para os números
inteiros, a multiplicação e a di-visão também são operações in-versas porque uma desfaz o quea outra fez.Peça que realizem as sequências detarefas propostas relacionando asoperações multiplicação e divisão.
As atividades dessa página têm
caráter lúdico. Comece retoman-do os conhecimentos que os alu-nos têm relacionados a operaçõesinversas.Comente que, quando uma opera-ção desfaz outra realizada ante-riormente, determinando a voltaao estado original, dizemos queuma é a inversa da outra.
15
168 –12
–8
–8
–8
–8
–8
–8
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo multiplicação edivisão com números inteirospor meio de estratégiasvariadas, com compreensão dosprocessos nelas envolvidos.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 177
à compreensão e à exposição oral
e escrita sobre o que foi lido esistematize as aprendizagens.Ressalte que efetuar a multiplica-ção ou divisão de números intei-ros descobrindo primeiro o sinal(positivo ou negativo) de um pro-duto, de acordo com a quantidadede fatores negativos, possibilitapensar nas operações envolven-
do apenas números positivos.
Comente alguns recursos de cál-culo mental e propriedades usa-dos nas atividades:• propriedade comutativa em
(+25) · (−4) = (−4) · (+25);• o número 1 como fator em
(+247) · (+1);• o zero como fator em
(–256) · (+ 1.000) · 0 · (–125);
Durante os momentos de resolu-
ção dessas atividades, observequais recursos de cálculo men-tal e escrito são usados, quaispropriedades das operações sãoaplicadas. Faça perguntas do tipo:como você pensou para encontraras respostas?Após a realização das demais ati-vidades, organize outras voltadas
• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos, e saber utilizar
a calculadora para verificar econtrolar resultados.
–100 –100
–2.200 +247
+330 –32
0 +260
Negativo
Positivo
O produto de dois ou mais fatores é negativo se o númerode fatores negativos é ímpar.
Resposta pessoal
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178 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Ao iniciar a atividade 4, coloque
na lousa vários pares de númerosinteiros diferentes dos que estãopropostos na atividade. Peça aosalunos que mentalmente calculema soma e o produto deles.Depois da atividade, solicite aalguns deles que relatem comoobtiveram suas respostas.
Na atividade 5, pergunte como
encontraram o número pedido. Épossível que as repostas tenhamsido obtidas por tentativa. Pro-ponha as exposições dos proce-dimentos adotados, confronte-ase peça-lhes que as registrem nocaderno.
• buscar fatores cujo produto é
igual a 10, 100:(−4) ∙ (−22) ∙ (−25) =
= +100 ∙ (−22) = −2.200Na atividade 3, peça que pre-encham o quadro relacionandoas operações multiplicação edivisão.
–25 –21
+25 –21
+9 +90
–2 +90
(+42) ÷ (+6) = +7
(+42) ÷ (+7) = +6
(–72) ÷ (–36) = +2
(–72) ÷ (+2) = –36
(–120) ÷ (–3) = +40
(–120) ÷ (+40) = –3
–12 e 2 –1
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 179
cimentos sobre seus diferentes
significados, consulte o Livro doprofessor, volume 1, Cadernos de
apoio e aprendizagem, p.11, ouOrientações curriculares e propo-
sição de expectativas de aprendi-
zagem para o Ensino Fundamental
– Ciclo II , p. 103.Espera-se que os alunos pintemde vermelho e verde os núme-
ros inteiros positivos e de azul
e amarelo os números inteirosnegativos.Comente que os números inteirospositivos são também númerosracionais positivos e os núme-ros inteiros negativos são tam-bém números racionais negativos.
As atividades dessa página têm
por objetivo trabalhar com oconjunto dos números racionaiscomo ampliação do conjunto dosnúmeros inteiros.Para o preenchimento do qua-dro é explorado o significado denúmero racional como quocientede um inteiro por outro (a ÷ b == ; b ≠ 0). Para mais esclare-
• Reconhecer númerosracionais, positivos e negativosrepresentados na formadecimal ou fracionária, emcontextos diversos, e explorardiferentes significados.
1 = 0,75 = 0,5 = 0,25 = –0,25
= 1,333... 1 = 0,666... = –0,333...
2 = 1,5 = 0,5 = –0,5
4 3 2 1 –1
–4 –3 –2 –1 1
–2 –1 = –0,5 = 0,5
= –1,333... –1 = –0,666...– = –0,333... = 0,333...
–1 = –0,75 = –0,5 = –0,25 = 0,25
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180 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
também podemos representar os
números racionais negativos porpontos de uma reta numérica.Chame a atenção para o ponto Passociado a zero, pois localizare-mos os pontos correspondentesaos números positivos e negati-vos a sua direita ou esquerda.
Peça que observem o segmento
considerado unidade e a orien-tação positiva da reta numérica.É conveniente dividir a unidadeem quatro partes iguais porquena reta estão assinalados pontoscorrespondentes à forma fracio-
nária de denominador 4: e .
Inicie com um levantamento dos
conhecimentos prévios dos alunossobre a localização de númerosracionais positivos estudados naUnidade 1.Comente que, do mesmo modocomo fazemos com os númerosinteiros e os racionais positivos,
• Localizar números racionais nareta numérica.
2 –3,6
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 181
Esses dois conceitos são cons-
truídos com base na observaçãoda reta numérica, já que ambosestão relacionados à distânciade pontos tendo como referencialo ponto zero.
Na atividade 3, solicite aos alu-
nos que destaquem a unidadeconsiderada.Na atividade 4, peça que justi-
fiquem por que e têm o
mesmo valor absoluto.
Nas atividades 2 e 4 são explo-
rados, com números inteiros, osconceitos de opostos ou simé-tricos e valor absoluto, tambémconhecido como módulo.Comente que esses conceitossão os mesmos para os númerosracionais.
10 partes
2
0 1
–0,3 0,3 0,5 1,7–0,5
–1
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182 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Faça perguntas comparando al-
guns pares desses números.Em seguida, peça que observem areta numérica ilustrada no textoe tirem suas conclusões.Convide os alunos para buscaremargumentos que justifiquem osprocedimentos utilizados e fina-
lize as atividades propondo uma
discussão para socializar os resul-tados. Oriente-os para organizar,sistematizar e registrar esses re-sultados no caderno.
Nessas atividades, os alunos vão
construir procedimentos paracomparar os números racionaisna forma fracionária e decimal.Inicie a atividade desenhandona lousa uma reta numérica comalguns pontos associados a nú-meros inteiros.
O positivo
Zero
O que tiver menor valor absoluto.
–2,6 e 2,6
Resposta possível: –2,6; –2
• Comparar números racionais.
< >
<
<
< <
2,6
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 183
Peça que emitam opiniões sobre
como o aquecimento global podeafetar a economia brasileira.Comente que a compreensão ea interpretação das informaçõesde jornais e revistas dependem doconhecimento de números racio-
nais, em sua maioria na forma de-
cimal. Hoje, a forma fracionáriatem aplicação maior na própriaMatemática. Para atender a essesaspectos, estudaremos concomi-tantemente os números racionaisna forma fracionária e decimal.
Solicite aos alunos que observem
e analisem o material do jornal epergunte que informações podemser obtidas. Registre as respostasna lousa.
• Reconhecer númerosracionais, positivos e negativosrepresentados na formadecimal ou fracionária, emcontextos diversos, e explorardiferentes significados.
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184 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Na atividade 3, certifique-se deque os alunos compreendem oenunciado do problema e elabo-
perdas econômicas, em termos
proporcionais (porcentuais)? Qualestado terá os maiores prejuízosabsolutos em reais?Dessa forma, será possível desen-volver a leitura, escrita e inter-pretação de números racionaiscom mais motivação.
Na atividade 2, o número racio-
nal é usado como índice compa-rativo entre duas quantidades, ouseja, é interpretado como razão:
16,8 (SE); 70,6 (RS); 83,9 (PA) –33 (PB); –13 (AM); –6,9 (AC)
3; ou
Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Goiás.
Correta; –333 – 92,1 – 117,6 – 96,2 = –638,9
Não aparece o Estado do Paraná; os Estados do Amazonas,Pará e Rio Grande do Norte aparecem duas vezes.Pode-se confiar nessa matéria com restrições.
Essa afirmação está prejudicada porque os dados não foramutilizados de forma correta e porque não se levaram em contaos “ganhos” de três estados.
• Analisar, interpretar, formular eresolver situações-problema,compreendendo diferentessignificados das operaçõesdo campo aditivo, envolvendonúmeros inteiros e racionais.
o número de estados que terão ganhoso número total de estados brasileiros
ram estratégias para encontrar a
solução. Se isso não acontecer,procure orientá-los tirando suasdúvidas.Se possível, explore outras infor-mações contidas na reportagemfazendo perguntas como: em queforma estão representados os nú-meros racionais que escreveram?Qual estado sofrerá as maiores
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 185
ses números. Esse conhecimento
é necessário para o estudo dessasoperações com números racionais.Comente que, embora eles te-nham feito um estudo dessasoperações com os racionais po-sitivos, agora se trata apenas de
ampliar a aplicação das descober-
tas feitas anteriormente e rea-lizar essas operações com qual-quer número racional, positivo enegativo. Socialize as resoluçõese discuta com eles os diferentesprocedimentos usados.
A retomada dos cálculos envol-
vendo a adição e a subtração comnúmeros inteiros poderá auxiliaros alunos que encontraram umpouco mais de dificuldade e rati-ficará as conclusões daqueles que já aprenderam a operar com es-
V
V
F
V
56
–68
+114
–40
Resposta pessoal
• Fazer cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo adição e subtração– com números racionaispositivos e negativos, por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processos
nelas envolvidos e verificaçãode resultados.
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186 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
= –3,6 + 0,3 = –3,3
–3,3 – (–0,3) == –3,3 + 0,3 = –3 ...Caso isso aconteça, compare osprocedimentos organizando dis-cussões do grupo e/ou da classe.Na comparação de diferentesformas de resolver os exercícios,os alunos poderão tomar conhe-cimento de que existem outras
estratégias de solução para um
mesmo problema. Essa descobertacontribui para uma compreensãocom maior significado dos conteú-dos abordados.Na atividade 7, também é pos-sível que apareçam diferentesestratégias de resolução.
Na atividade 6, podem surgir vá-
rias respostas, por exemplo:a) Cada número, a partir de –3,6,é o anterior mais 0,3.–3,6 + 0,3 = –3,3–3,3 + 0,3 = –3–3 + 0,3 = –2,7 ...b) Cada número, a partir de –3,6,é o anterior menos (–0,3).–3,6 – (–0,3) =
22
–30
–2,4 ou–11,1
–0,625 ou
–2,1 –1,8 –1,5
Teresa transformou o número da forma decimal para a formafracionária e André, o número da forma fracionária para a formadecimal.
Resposta possível: Cada termo, a partir do segundo,é igual ao anterior mais 0,3.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 187
tas feitas anteriormente e realizar
a operação com qualquer númeroracional.Dê o tempo que for necessáriopara a realização da tarefa. Socia-lize as resoluções e discuta comeles os diferentes procedimentosusados.
Para o estudo dessas operações
com números racionais, retome oscálculos envolvendo a multiplica-ção com números inteiros.Comente que, embora os alunos já tenham feito um estudo dessaoperação com os racionais posi-tivos, agora se trata apenas deampliar a aplicação das descober-
4 2,08 0
0
0
–50 –26 0 3
• Fazer cálculos (mentaisou escritos, exatos ouaproximados) envolvendomultiplicação com númerosracionais positivos e negativos,por meio de estratégiasvariadas, com compreensão dos
processos nelas envolvidos everificação de resultados.
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188 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Na atividade 3, a operação di-
visão é abordada como operaçãoinversa da multiplicação.
Na atividade 2, certifique-se de
que os alunos compreendem oconceito de inverso de um nú-mero racional. Poderá ser usadona divisão de números racionais,em situações-problema e tambémna resolução de equações.
Sim, pois
–3,12
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 189
Antes de usar a calculadora, con-
vide-os para realizar estimativasde seus cálculos com o objetivode criticar os resultados obtidos,e não simplesmente aceitar osque são mostrados no visor.Crie outras situações do mesmotipo, a fim de ampliar a compe-tência e a prática dos alunos emfazer cálculos (mentais ou es-
critos, exatos ou aproximados).
Na atividade 3, trabalha-se o nú-mero racional com o significadode operador, ou seja, o númerodesempenha um papel de trans-formação, atuando em uma situa-ção e modificando-a.
As atividades dessa página envol-
vem recursos que podem ser usa-dos para cálculos mentais e es-critos e também para estimativas.Esta é uma ocasião oportuna parao uso da calculadora. Faça comque os alunos busquem regula-ridades, na multiplicação de nú-meros racionais na forma decimalpor 10, 100, 1.000, ...
, pois
X
X
X
–7 325,6 –10,09
–70 3.256 –100,9
–700 32.560 –1.009
uma
duas
três
• Fazer cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo multiplicação comnúmeros racionais positivose negativos, por meio deestratégias variadas, comcompreensão dos processos
nelas envolvidos e verificaçãode resultados.
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190 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Cabe um pequeno comentário
em relação à divisão de númerosracionais representados na formafracionária. Tradicionalmente,para dividir dois números nessaforma, enfatiza-se o algoritmo“multiplicar o dividendo pelo in-
verso multiplicativo” ou “inverter
o divisor e multiplicar pelo divi-dendo” ou “multiplicar a primeirafração pelo inverso da segunda”.As atividades apresentadas pro-curam fazer uma conexão dessealgoritmo com o significado daoperação.
Embora os alunos já tenham es-
tudado a divisão com os racionaispositivos, as atividades propostastratam de ampliar a aplicação dasdescobertas feitas anteriormen-te e realizar essa operação comqualquer número racional.
São iguais.
Sim.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 191
cia do quociente, de reconhecer o
inverso de um número e de que,sabendo que, se o divisor é 1, oquociente é igual ao dividendo.Propriedade da invariância do quo-ciente: o quociente não se alteraquando se multiplica ou se divideo dividendo e o divisor pelo mes-mo número (diferente de zero).
Uma vez adquiridos esses co-
nhecimentos, os alunos podemperceber por que dividir por umnúmero é o mesmo que multipli-car por seu inverso.
Muitas vezes os alunos não en-
tendem por que é preciso mul-tiplicar, se estão dividindo. Umdos erros comuns consiste na in-versão do dividendo, o que podeindicar incompreensão do queestão fazendo.A justificativa desse algoritmoestá na propriedade da invariân-
1
1
1
O quociente é igual ao dividendo.
Incorreta, pois o resultado final deveria ser negativo.
• Fazer cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo divisão comnúmeros racionais positivose negativos, por meio deestratégias variadas, comcompreensão dos processos
nelas envolvidos e verificaçãode resultados.
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192 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Antes de iniciar a leitura pro-
priamente dita, peça aos alunosque dirijam a atenção para oselementos da matéria do jor-nal que contextualizam o texto:identificação de títulos e sub-títulos, observação da tabela.
Essas ações antecipam para o
leitor uma série de informaçõessobre o assunto a ser abordado.Nessas atividades, o número ra-cional é usado como índice com-parativo entre duas quantidades,ou seja, como razão.
Na atividade 1, é importante que
os alunos entendam que na Sé,bairro pouco habitado, um mo-rador dispõe de aproximadamente13 postos de trabalho para seremocupados ou, pelo raciocínio in-verso, que há menos do que ummorador por posto de trabalho.
Aproximadamente 0,08
• Resolver situações-problemaque envolvem as ideiasde razão.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 193
Nessa página são propostas ativi-
dades para que os alunos possamreconhecer a interdependênciaentre razão, proporção e propor-cionalidade.Após a realização das atividades,comente que a proporcionalidadeé um dos conceitos mais utiliza-dos pela maioria das pessoas, sejaem Matemática seja no cotidiano.
Em muitas situações, recorremos
a ela para fazer estimativas, cál-culos e até para tomar decisões.Pergunte se:a) as pessoas que eles conhecem(ou eles mesmos) usam propor-ções nas atividades cotidianas.b) uma dona de casa usa pro-porções. Em caso afirmativo, emquais situações?
c) existem brincadeiras, jogos,
quebra-cabeças que utilizam pro-porções.Solicite aos alunos que façam umapesquisa e registrem no caderno.Promova socialização das respos-tas para que produzam uma reda-ção coletiva.
O consumo de café de um habitante por ano, em quilograma.
Resposta possível: Sim, se 4.650 mg de café equivalem a 1.560xícaras, então 9.300, que é o dobro de 4.650, equivalem ao dobrode xícaras (2 ∙ 1.560 = 3.120).
Sim. e
• Resolver situações-problemaque envolvem as ideias de razão
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194 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Comente que, por causa da es-
crita m : n = r : s, os termos m e s são denominados extremos da proporção, e os termos n e r são denominados meios da pro-
porção.
A propriedade fundamental das
proporções pode ser exploradacomo critério para decidir sobrea igualdade de duas razões.
A atividade 1 envolve a ideia de
comparação entre razões e o con-ceito de proporcionalidade.Identifique o que os estudantessabem sobre o significado dasoperações do campo multiplicati-vo e procedimentos matemáticosnecessários para resolver proble-mas que envolvem o significadode proporcionalidade.
7,5 kg
40 litros
Em uma proporção, o produto de seus meios é igual ao produtode seus extremos.
• Analisar, interpretar, formular eresolver situações-problema,compreendendo diferentessignificados das operações doscampos aditivo e multiplicativo,envolvendo números naturais,inteiros e racionais.
• Resolver situações-problemaque envolvem as ideiasde razão.
m : n = r : s
extremos
meios
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 195
2 horas ou aquele que faz o mes-
mo percurso em 1 hora?Peça para calcularem mental-mente a velocidade média de umcarro que percorre 160 km em2 horas.Na atividade 2, para calcularema velocidade média em km/h, osalunos podem dividir os númerosracionais na forma fracionária:
velocidade média = 4 km ÷ hora
= (4 ∙ 2) km/h = 8 km/h ou naforma decimal, transformando
hora = 0,5 hora.
Comente que uma razão estabele-cida por duas grandezas diferen-tes vem sempre acompanhada desuas unidades de medida (km/h).
Existem alguns tipos de razões
especiais muito utilizadas emnosso cotidiano, entre elas a ve-locidade média.Para começar, pergunte:a) Qual é, em geral, a velocidademédia dos carros da Fórmula 1?b) Quem é mais rápido, um mo-torista que percorre 100 km em
• Resolver situações-problemaque envolvem as ideiasde razão.
2 km/h
8 km/h
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196 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
1 segundo = minuto. Nessa
atividade, como não está es-tabelecida a unidade em que avelocidade vai ser registrada,é possível que apareçam respos-tas diferentes. É salutar discutiressa situação.Comente que é possível queo conceito de densidade demo-
gráfica tenha sido estudado nas
aulas de Geografia. Pergunte emque situações.Explique que 7,26 mil habitantespor km2 significa que, se a popula-ção paulistana estivesse distribuí-da de maneira uniforme em toda aextensão territorial, haveria cercade 7.000 paulistanos vivendo emcada quilômetro quadrado.
A atividade 3 explora as relações
entre as medidas de tempo.Faça um diagnóstico dos conheci-mentos dos estudantes a respeitodessas relações. Retome-as, lem-brando que:1 hora = 60 minutos ou
1 minuto = hora;
1 minuto = 60 segundos ou
8 km/h 12 km/h 140,35 m/min
7,26 mil habitantes por km2.
Aproximadamente, 1.515,15 km2.
Aproximadamente, 12.830 habitantes por km2.
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 197
Outro aspecto relevante, quando
se trabalha com o conceito de ra-zão, é o reconhecimento de quea representação percentual é umarazão de denominador 100, de-vendo a isso grande parte de suaaplicação em situações práticas.
Se possível, inicie esse tema pro-
pondo uma pesquisa em jornaislocais, revistas, anúncios em lojasda cidade, visita a supermerca-dos, fazendo anotações relacio-nadas a ele. Promova uma ampladiscussão sobre os dados levan-
tados e explore o conhecimento
deles sobre porcentagem. Procurediagnosticar esse conhecimento etomar decisões quanto ao enca-minhamento que será dado paraatingir os objetivos das ativida-des propostas nessa página.
• Resolver situações-problemaque envolvem as ideiasde razão.
O peso do consumo dos jovens na renda familiar.
Adolescente
0,95
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198 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
senta suas anotações, e elaborem
coletivamente uma síntese de si-tuações comuns.Para finalizar, pergunte com quaisatitudes cada um pode contribuirpara equilibrar a relação rendaversus gastos.A aplicação dos conceitos de ra-zão, proporção e porcentagem éconstante em nosso cotidiano,
abrangendo tanto problemas sim-
ples e rápidos, por exemplo, des-conto em uma loja em liquidação,como problemas mais complexosrelativos à inflação. Será possí-vel, também, trabalhar com dadosdo cotidiano, com matérias publi-cadas em revistas e jornais locais.
Solicite aos alunos que façam uma
pesquisa com os familiares sobrea renda média mensal e o gastomédio mensal da própria família.Depois peça que estabeleçam arelação renda versus gastos e fa-çam uma análise da situação decada família.Proponha que se reúnam em gru-pos, nos quais cada aluno apre-
Aproximadamente 95%
Aproximadamente 105%
Uma família sem jovens consegue economizar5% da renda familiar.
Uma família com jovens gasta 5% mais do que a renda familiar.
Resposta possível: Todas as classes sociais gastam mais doque a renda familiar; entre elas as classes A e B são as que maiscomprometem a renda familiar.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 199
Nessa seção é possível o professor
verificar o que o aluno aprendeue suas eventuais dificuldades. Asatividades visam a essa reflexão edão indícios sobre como avançare se há necessidade de reorga-nizar outras propostas ou não.Mas é importante destacar queo conhecimento matemático vaise constituindo por articulações,
reorganizações, aprofundamentos
e ampliações de ideias e concei-tos e que, durante o ano, semprese devem propor novas atividadesenvolvendo os temas que estãosendo trabalhados nas Unidades.Essas propostas finais, ao lado desua observação durante as aulas,são bons indicadores da aprendi-zagem dos alunos.
–72 -90 –729 –9 90
–9 –16
–170,85 –169,15 144,5 200 169,15 0,005
1,4 –2,8 –1,47 –0,333... 2,8 –3
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200 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
15 porções
X
X
X
X
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 201
Nesta Unidade os alunos vão
ter oportunidade de ter conta-to com um ramo da Matemáti-ca muito importante, que é aálgebra. Oriente o grupo parafazer pesquisa em livros ou nainternet a respeito da álgebra.Forneça um roteiro de pesquisa:dados históricos, época do surgi-
mento da álgebra, em que século
se desenvolveram os primeirosusos, os matemáticos envolvi-dos etc. Pergunte se só utiliza-mos números e símbolos ou setambém empregamos letras e emque situações. Destaque que hápadrões geométricos usados emdiferentes culturas.
Peça aos alunos que leiam o texto
e pergunte o que entendem pelostermos “regularidades” e “padrões”.Alguns matemáticos costumam di-zer que a Matemática é a ciênciados padrões, porque sempre pro-curam observar algo que é carac-terístico a um grupo de figurasou a uma sequência de númerospara estabelecer generalizações.
•M12 Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
•M13 Traduzir uma situação-
-problema em linguagemalgébrica usando equações eformular problemas a partirde uma dada equação doprimeiro grau e compreendero significado da incógnita e dasolução (raiz) de uma equação.
•M24 Calcular a área desuperfícies delimitadas peladecomposição e/ou composiçãoem figuras de áreas conhecidas,ou por meio de estimativas.
•M25 Realizar conversõesentre algumas unidades demedida mais usuais de áreasem situações-problema.
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202 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
construir esse painel. Descoberto
o segredo, eles podem desenhar apróxima figura do painel, ou seja,a que ocupa a 6a posição.Passe à atividade 2 e auxilie-osa determinar quantos quadradi-nhos verdes há na da 7a, 8a e 12a posição.
Divida a classe em duplas e pro-
ponha que leiam a questão eanalisem a ilustração. Perguntequantos quadradinhos verdes hána figura que ocupa a 1a posição,depois na figura da 2a posição,na da 3a, na da 4a e na da 5a.Verifique, em seguida, se já des-cobriram o segredo de Rafael para
6
7
7
8
12
8 12
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 203
ao número que indica a posição
da figura. Essa discussão permi-te que realizem a atividade 4 edescubram o “segredo” do painel,quando, então, poderão responderà pergunta da atividade 5, quesintetiza e generaliza as ideiasdas atividades anteriores.
Continue perguntando quantos
são os quadradinhos pintados deverde em outras posições e peçaque resolvam a atividade 3. Veri-fique se os alunos percebem que,em qualquer posição que esteja afigura, o número de quadradinhospintados de verde corresponde
15
18
20
100
252
453
Resposta possível: O número de quadradinhos verdes correspondeao número que indica a posição do quadrado na sequência.
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204 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
brancos há na figura que ocupa a
1a
posição? E a 2a
posição? E a 3a
?E a 4a? Sem fazerem desenhos, de-vem indicar quantos quadradinhosbrancos e azuis têm as figuras da7a, 9a e 12a posição. É importanteque você amplie essa discussãopara outros termos que ocupemposições diferentes no painel.Discuta os procedimentos dos
alunos para encontrar o número
de quadradinhos azuis e brancosem cada posição da sequência.Na terceira posição, o número dequadradinhos brancos é igual aodobro do número de quadradinhosazuis, mas essa situação se mo-difica a partir da 4a posição. Essefato pode levar os alunos a am-pliar a regra para todo o painel.
Divida a classe em quartetos. Na
atividade 1, itens a e b, per-corra a classe e esclareça possí-veis dúvidas. Pergunte: quantosquadradinhos azuis há na figuraque ocupa a 1a posição? E a 2a posição? E a 3a? E a 4a? Abra adiscussão. Faça o mesmo com re-lação aos quadradinhos brancos.Pergunte: quantos quadradinhos
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
6
12
20
7
9
12
42
72
132
4
5
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 205
capazes de preencher o quadro
da atividade 3. Pergunte sesabem como calcular o númerototal de quadradinhos brancosde uma figura dessa sequência.Discuta as respostas e comente ainformação dada na atividade 4:para determinar a quantidade dequadradinhos brancos. Perguntede que maneira eles podem de-
terminar o total de quadradinhos
brancos sem contá-los. Verifiquese percebem que basta elevar aoquadrado o número que indicaa posição da figura no painel (ou onúmero de quadradinhos azuis)e subtrair o número de quadra-dinhos azuis, ou o número daposição. Peça que completem oquadro usando uma calculadora.
Na atividade 2, é provável que
eles digam que o segredo está nofato de que o número de quadra-dinhos azuis é igual ao númerode quadradinhos que compõemo lado da figura, ou, então, que onúmero de quadradinhos coinci-de com o número que indica aposição da figura na sequência.Com essa informação, eles serão
35
59
82
1.225
3.481
6.724
35
59
82
1.190
3.422
6.642
Resposta possível: O número de quadradinhos azuis éigual ao número que indica a posição da figura no painel.
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206 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
gias pessoais, e depois socialize
as respostas e conclusões. Explo-re outras posições das caixas efaça um quadro na lousa com asrespostas dos alunos. Perguntecomo encontraram o número decaramelos e o de bombons decada caixa. Discuta as diferentes
respostas. Os alunos talvez ob-
servem, por exemplo, que o nú-mero de caramelos correspondeao número que indica a posiçãoda caixa na sequência, e que onúmero de bombons é o dobrodo número de caramelos mais 2.
Nessas atividades é proposta
uma situação-problema em quese observa uma regularidadepresente na disposição de cara-melos e bombons em uma caixa.É interessante propor aos alunosque leiam, discutam e resolvamo problema por meio de estraté-
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
1
2
3
8
10
20
36
4
6
8
18
22
42
74
Resposta possível: O número de caramelos corresponde aonúmero que indica a posição da caixa, e o número de bombonsé igual ao dobro da quantidade de caramelos mais 2.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 207
duas, três ou mais portas. Orien-
te-os para construir um quadroem que anotem o resultado desuas experimentações (1 porta =5 palitos; 2 portas = 9 palitos;3 portas = 13 palitos etc.). Prova-velmente, os alunos vão observarque, para acrescentar uma portaao desenho, usam mais quatro
palitos. Peça para alguns alunos
descreverem seus procedimentose discuta-os com a classe.Na atividade 3, verifique se ain-da precisam fazer desenhos ou seperceberam que, para completar oquadro, basta somar quatro pali-tos ao número de palitos calcu-lado na linha anterior.
A atividade das “portas de pali-
tos” é bastante conhecida e podeser realizada em duplas, com aconstrução das figuras com pa-litos de sorvete ou canudinhos.Esclareça que os palitos ou ca-nudinhos devem ser dispostos demodo contínuo, como se estives-sem “grudados”. Faça algumas ex-perimentações, construindo uma,
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
Sim
3
5
9
13
17
21
25
41
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208 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
uso de um termo qualquer. Peça
que completem os quadros e, en-quanto eles os analisam, percorraa classe e observe se percebem asregularidades e identificam a leide formação da sequência. Casoseja necessário, retome a ativida-de com os desenhos e discuta asconclusões a que eles já haviamchegado.
A partir da atividade 2 pode
haver mais de uma resposta. Naatividade 2, por exemplo, elespodem encontrar na e-nésimaposição o total n ∙ n quadra-dinhos, ou n2. Converse sobrea equivalência entre essas duasexpressões.
Essas atividades podem ser fei-
tas em grupos de 4 alunos paraque haja discussão entre os par-ticipantes. Retome as atividadesrealizadas até aqui e as regrasusadas para descobrir a forma-ção de cada sequência. Comen-te com os alunos que é possívelgeneralizar a regra que permitea formação da sequência com o
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
10
n
100
225
n ∙ n
10
15
n
90
210
(n ∙ n) – n
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 209
Na atividade dos caramelos e
bombons, podem encontrar 2n + 2bombons, ou (n + 1) ∙ 2. Na ati-vidade das portas, podem encon-trar n ∙ 4 + 1 ou 5 + (n – 1) ∙ 4.Comente que essas expressõessão equivalentes, e ajude-os aperceber por quê.
1
2
10
20
n
17
2129
4 + 4 + 4 + 4 + 1
4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 14 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 1
4 ∙ 4 + 1
5 ∙ 4 + 17 ∙ 4 + 1
n ∙ 4 + 1
4
6
22
42
(2 ∙ n) + 2
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210 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Com base em situações numéri-
cas, explore também a proprie-dade distributiva da multipli-cação em relação à adição e ocálculo de perímetro, já conhe-cido pelos alunos. A finalidade émostrar como utilizar a álgebrapara “generalizar” propriedades
ou fórmulas pelo uso de letras.
Faça outros quadros em que osalunos possam generalizar ou-tras propriedades, como a distri-butiva da multiplicação em rela-ção à subtração ou a associativada adição e da multiplicação,por exemplo.
Inicie a atividade conversando
com a classe sobre situações nu-méricas em que sejam retomadaspropriedades como a comutativada adição e da multiplicação. Co-mente o fato de que essas pro-priedades não são válidas paraa subtração nem para a divisão.
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
3 + 4 = 4 + 3
2 + 5 = 5 + 2
a + b = b + a
3 ∙ (1 + 5) = 3 ∙ 1 + 3 ∙ 5
2 ∙ (5 + 8) = 2 ∙ 5 + 2 ∙ 8
a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
3 ∙ 4 = 4 ∙ 3
2 ∙ 5 = 5 ∙ 2
a ∙ b = b ∙ a
Propriedade comutativa da adição epropriedade comutativa da multiplicação.
Qualquer número
Resposta pessoal, por exemplo: 6 + 3 = 3 + 6 ou 6 ∙ 3 = 3 ∙ 6
Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 211
o número foi representado por
x, mas poderia ser por outra le-tra. Solicite aos alunos que, emduplas, criem uma escrita dife-rente das apresentadas e que asregistrem na lousa. Depois, peçaà classe que decodifique o quecada expressão representa, con-sultando se os autores concordamcom as respostas.
Comente com a classe que, assim
como existem regras e conven-ções para a escrita em língua por-tuguesa, também existem regrase convenções para as escritasalgébricas. Peça que cada alunoleia o texto individualmente edepois abra a discussão e socia-lize as respostas. Destaque o fatode que, no exercício proposto,
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
O triplo de um número.
Um número adicionado a 3.
O triplo de um número adicionado à metade desse número.
O triplo de um número menos 1.
A terça parte de um número adicionado ao dobro desse número.
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212 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
blematize. Se achar conveniente,
solicite aos alunos que realizemas atividades em casa e depoisdiscutam em dupla na sala deaula. Observe se percebem as di-ferenças ao registrar uma expres-são (por exemplo, “o dobro de um
número mais 1”) e uma igualdade
(como “qual o número cujo dobroadicionado a 1 dá 17?”). Se julgarnecessário, complemente as ati-vidades com leituras, situações--problema e exercícios de livrosdidáticos disponíveis.
Convide os alunos para realiza-
rem, em duplas, as atividadespropostas nessa página e na pró-xima. Combine um tempo para aexecução de cada uma e vá fa-zendo uma discussão coletiva.Procure identificar as eventuaisdificuldades; retome-as e as pro-
• Traduzir uma situação-problemaem linguagem algébrica usandoequações e formular problemasa partir de uma dada equaçãodo primeiro grau e compreendero significado da incógnita e dasolução (raiz) de uma equação.
3x – 1
5x – 3x
+ 5
x3 + 3
x2 – 2x
2x + 3x
x, x + 1, x + 2 ou x, x – 1, x – 2
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 213
Na atividade 4, o aluno deve tro-
car o que criou com um colegapara a correção. Escolha algunsexemplos para serem lidos paraa classe.
x + 5 = 3
3x – 5 = 10
2x – 3 = 5
+ 3 = 7
2x – = 10
Resposta pessoal
Resposta pessoal
Resposta pessoal
Resposta pessoal
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214 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
de uma representação para outra.
Esse é o propósito dessas ativi-dades, que podem ser feitas emtrios para provocar discussões.Você terá mais uma oportunidadede percorrer os grupos e observarcomo seus alunos estão se apro-priando desses conhecimentos.
Faça as intervenções que consi-
derar importantes e socialize asresoluções ao final. Destaque adiferença entre expressões como“o triplo da soma de dois núme-ros” e “a soma do triplo de doisnúmeros”, e também outras situa-ções similares.
Os dois registros de representa-
ção – o da linguagem comum eo da linguagem algébrica – sãode fundamental importância naaprendizagem da álgebra e, poresse motivo, diferentes situaçõesdevem ser apresentadas aos alu-nos para que façam a conversão
• Traduzir uma situação-problemaem linguagem algébrica usandoequações e formular problemasa partir de uma dada equaçãodo primeiro grau e compreendero significado da incógnita e dasolução (raiz) de uma equação.
d
e
c
a
b
p = 0,60x
p = 2,25 + 0,60x
3(x + y) = 9
(x + y)3 = 8
x + 3x = 24
x + 3y = 54
3x + y = 54
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 215
rem o “segredo” de cada quadro.
Nos quadros 1 e 2 provavelmentenão surjam dificuldades, pois arelação de quádruplo e de multi-plicar por 10 são evidentes. Já aterceira relação, achar o quíntu-plo e adicionar 1, deve provocarmaiores discussões entre os alu-
nos. Concluída a atividade, peça
a cada dupla que construa umquadro como as expressões formu-ladas e escreva números que te-nham alguma relação entre si. Osquadros devem ser trocados entreduplas para que os “segredos” desua formação sejam descobertos.
Nas atividades dessa página, os
alunos terão contato com situa-ções em que é possível, a partirde exemplos numéricos, estabe-lecer uma relação entre eles edepois formular a expressão al-gébrica que traduz essa relação.Convide os alunos para descobri-
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
16 20
80 100
21 26
y = 4x y = 10x y = 5x + 1
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216 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
ver, por exemplo, uma equação.
É basicamente um valor desco-nhecido que será descoberto pormeio de uma equação. Esclareçaque, de modo geral, uma incóg-nita é representada por letras.Ressalte que, em alguns casos,é muito simples achar o valorda incógnita. Por exemplo, em2 + x = 10 não é difícil saber que
x = 8. Em 3x = 30, também não
é difícil saber que x = 10. Propo-nha que resolvam os exercíciossem oferecer regras como “mudade membro, muda de sinal”. Deixeos alunos usarem seus conheci-mentos aritméticos dos camposaditivo e multiplicativo e resol-verem as equações mentalmente.
Como propõe a atividade, discuta
com os alunos o que eles sabemsobre o termo “incógnita”, quan-do usado na língua portuguesa.Oriente-os para consultar um di-cionário ou a internet. Depois,comente o significado do termoem matemática, ou seja, trata-sede uma variável cujo valor deveser determinado de forma a resol-
• Traduzir uma situação-problemaem linguagem algébrica usandoequações e formular problemasa partir de uma dada equaçãodo primeiro grau e compreendero significado da incógnita e dasolução (raiz) de uma equação.
4, fazendo 7 – 3
9, fazendo 11 – 2
7, fazendo 12 – 5
5, fazendo 8 – 3
2, fazendo 10 dividido por 5
8, fazendo 11 + 5 e dividindo o resultado por 2
37, fazendo75 – 38
118, fazendo83 + 35
84, fazendo113 – 29
120, fazendo1.800 ÷ 15
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 217
4
r = 68
x + 5 = 25x = 20
+ 2x = 30 x = 12
= 300,00 x = 600,00
r = 87
2
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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218 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Comente que o problema apresen-
tado na atividade dessa páginamostra que todas as operações rea-lizadas (subtrair 1, dobrar o re-sultado e adicionar 2) são a mes-ma coisa que calcular o dobro donúmero pensado: 2(x – 1) + 2 == 2x – 2 + 2 = 2x. Esclareça que,
sabendo disso, Rafael adivinhava
com muita facilidade o númeropensado por Gustavo, pois apenascalculava mentalmente a metadedo número dito pelo irmão. Umavez compreendida e resolvida essasituação, convide os alunos paratrabalharem em trios e decifrarem
as outras adivinhas de Rafael.
À medida que os alunos se envol-vem com as tarefas, você podesistematizar operações simplescomo 2x + 3x = 5x, 2y ∙ 3y = 6y2
e assim por diante. Não se esperaque os alunos cheguem à equaçãoe a resolvam.
• Traduzir uma situação-problemaem linguagem algébrica usandoequações e formular problemasa partir de uma dada equaçãodo primeiro grau e compreendero significado da incógnita e dasolução (raiz) de uma equação.
Resposta pessoal
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 219
Na atividade 1, os alunos vão
fazer simulações. Divida a clas-se em quartetos. Comente quevão preencher o quadro com osresultados dos cálculos relacio-nados aos valores atribuídos a z,seguindo os comandos dados noproblema. Socialize as respostasdos grupos.
Na atividade 2, peça que atri-
buam valores para a e preenchamo novo quadro. Socialize as res-postas de cada grupo e sistemati-ze as operações à medida que sãoexecutadas. Verifique se perce-bem que, não importa o númeroescolhido, o resultado é sempre2. Portanto, a resposta não de-pende do número pensado.
• Traduzir uma situação-problemaem linguagem algébrica usandoequações e formular problemasa partir de uma dada equaçãodo primeiro grau e compreendero significado da incógnita e dasolução (raiz) de uma equação.
4
12
15
5
3
2
6
18
21
7
5
2
Respostas pessoais
Não, é sempre 2.
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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220 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Nas atividades dessa página, os
alunos podem resolver as ques-tões aritmeticamente ou por meiode equações algébricas. Divida aclasse em duplas e sugira quecada elemento use um proce-dimento. Discuta as resoluçõesdiferentes que você encontrar.Socialize os procedimentos e de-
bata as vantagens e desvantagens
de cada um. Não apresente regrasde resolução de equação. Permitaque os alunos as resolvam comseus conhecimentos. Faça umdiagnóstico das dificuldades en-contradas por eles. Eles podemresolver as equações também por
“ensaio e erro”, ao substituir x
por diversos números diferentesaté que a igualdade fique verda-deira e, assim, demonstrem queperceberam o significado de raizde uma equação. Verifique se al-guns fazem transformações algé-bricas e discuta-as com a classe.
• Traduzir uma situação-problemaem linguagem algébrica usandoequações e formular problemasa partir de uma dada equaçãodo primeiro grau e compreendero significado da incógnita e dasolução (raiz) de uma equação.
x + 34 = 160x = 126
4x – 2x = 56x = 28
3x – 25 = 45
x =
x + (x + 1) = 45x = 22x + 1 = 23
2x + x = 36x = 12
160 – 34 = 126
56 ÷ 2 = 28
45 + 25 = 7070 ÷ 3 = 23,33
45 – 1 = 4444 ÷ 2 = 2222 + 1 = 23
36 ÷ 3 = 12
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 221
Comente com os alunos que,
quando a equação é simples comoas resolvidas na página anterior,não é preciso fazer muitas trans-formações na sentença algébrica,mas, quando a equação é maiselaborada, há necessidade de
fazer alterações transformando-
-a em equação equivalente emais simples que a original. Es-clareça o que é uma equação, oque é incógnita, raiz e equaçõesequivalentes também. Use o tex-to deste material e amplie com
outras informações. Verifique se
percebem as transformações rea-lizadas e as equações resultantesdessas transformações. Observetambém se compreendem que es-sas equações são equivalentes eque todas elas têm a mesma raiz.
• Traduzir uma situação-problemaem linguagem algébrica usandoequações e formular problemasa partir de uma dada equaçãodo primeiro grau e compreendero significado da incógnita e dasolução (raiz) de uma equação.
Subtraiu-se 6nos dois membros.
Subtraiu-se 2xnos dois membros.
Dividiram-se osdois membros por 2.
Sim, todas são equivalentes, pois, substituindo x por 2em cada uma delas, vamos obter sentenças verdadeiras.
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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222 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Divida a classe em duplas. Na
atividade 1, observe se as du-plas explicitam as transformaçõesrealizadas e se percebem a neces-sidade de transformar a equaçãopara resolvê-la. Você pode pro-por outras equações simples paraseus alunos e depois socializar asresoluções na lousa.
Discuta coletivamente a ativi-
dade 2 para que percebam qualfoi o erro cometido. Peça a umaluno que resolva a equação cor-retamente na lousa.Na atividade 3, acompanhe aelaboração das equações e a reso-lução dos alunos. Socialize algu-mas equações e suas resoluções.
• Traduzir uma situação-problemaem linguagem algébrica usandoequações e formular problemasa partir de uma dada equaçãodo primeiro grau e compreendero significado da incógnita e dasolução (raiz) de uma equação.
3x – 10 + 10 =40 – 2x + 10 3x = 50 – 2x
5x = 50
x = 10
Adicionou-se 10aos dois membros.
Adicionou-se 2xaos dois membros.
Dividiram-se os doismembros por 5.
3x + 2x =50 – 2x + 2x
5x ÷ 5 = 50 ÷ 5
Não
Em vez de dividir 25 por 5, ele fez 25 – 5.
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 223
As atividades dessa página envol-
vem a elaboração de problemasque podem ser resolvidos por umaequação dada. Quando elaboramproblemas, os alunos têm a pos-sibilidade de analisar a equaçãodada e propor uma situação emque a pergunta permite calcular o
valor da incógnita. Proponha que
resolvam as atividades em grupospara que possam discutir entre sios enunciados. É importante so-cializar os diferentes enunciadospara que os alunos percebam queuma equação resolve uma classede problemas. Justifica-se, assim,
a importância de resolvê-los al-
gebricamente, mesmo que osenunciados envolvam contextosbastante diferentes. Muitas ve-zes, de acordo com o contexto,a solução obtida não serve comoresposta para o problema.
• Traduzir uma situação-problemaem linguagem algébrica usandoequações e formular problemasa partir de uma dada equaçãodo primeiro grau e compreendero significado da incógnita e dasolução (raiz) de uma equação.
Resposta pessoal
Resposta pessoal
x = 12
4x = 64
x = 64 ÷ 4
x = 16
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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224 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Pergunte aos alunos o que en-
tendem por área e por superfície.Ressalte que, mesmo usados comosinônimos na linguagem comum,na matemática esses termos têmsignificados diferentes. Área, porexemplo, é o nome dado à medida
de uma superfície plana delimi-
tada ou não por um polígono epode ser retangular, circular etc.Peça aos alunos que pesquisemo significado desses termos paraampliar a discussão e esclareçaeventuais dúvidas. Relembre a
fórmula do cálculo da área de
uma região limitada por um qua-drado e, com base nas questõespropostas, discuta as fórmulasutilizadas para o cálculo da áreade regiões delimitadas por triân-gulos, retângulos e losangos.
• Calcular a área de superfíciesdelimitadas pela decomposiçãoe/ou composição em figuras deáreas conhecidas, ou por meiode estimativas.
9 cm2
L ∙ L
Dividiria a área do quadrado por 2.
a ∙ b
b ∙ h
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 225
Nessa página, os alunos vão con-
tinuar calculando áreas de super-fícies planas, agora limitadas porparalelogramos, sempre com baseem áreas conhecidas. Explore asfiguras e o texto e relembre a fór-mula do cálculo da área de umaregião retangular. Com base nasquestões, discuta as fórmulasutilizadas para o cálculo da área
de uma região limitada por um
paralelogramo.Na atividade 2, verifique se osalunos percebem regularidadesdas figuras, ou seja, as mes-mas medidas das bases e asmesmas alturas, embora nem sem-pre isso possa ser percebido nosdesenhos da malha quadriculada.
• Calcular a área de superfíciesdelimitadas pela decomposiçãoe/ou composição em figuras deáreas conhecidas, ou por meiode estimativas.
A medida da base doretângulo corresponde àmedida da diagonal menor,e a medida da altura doretângulo corresponde àmedida da diagonal maior.
A = (D ∙ d) ÷ 2
A = b ∙ h
Todas as figuras têm a mesma área. Porque todas elas têm basescom a mesma medida e alturas também com a mesma medida.
Sim, pois têm as bases com medidas iguais e as
alturas com medidas iguais.
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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226 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Explore algumas situações do dia
a dia em que é preciso calcularáreas de superfícies. Comente queo cálculo de área é muito utili-zado e que uma pessoa de modoprático emprega estratégias pes-soais para estimar áreas de su-perfícies. Nessas atividades, os
alunos devem relacionar metros
e centímetros para fazer os cál-culos. Lembre a eles que 1 metroequivale a 100 centímetros. Peçaque resolvam os problemas emgrupos e socialize as respostas.Você pode apresentar outras uni-dades de medida de área, como o
hectare, o alqueire etc. e comen-
tar que algumas dessas unidadesde medida, como o alqueire, dife-rem de uma região para outra emnosso país. Solicite aos alunosque pesquisem que medidas sãoutilizadas em cada Estado, qualé o uso etc.
• Realizar conversões entrealgumas unidades de medidamais usuais de áreas emsituações-problema.
Área total: 500 centímetros quadrados.
Área ocupada pela margem:126 centímetros quadrados.
Área disponível para escrita: 374 centímetros quadrados.
4,20 m2
4,20 m2
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 227
Nessas atividades, os alunos de-
vem realizar conversões entreunidades de medida. Você podeampliar discussões sobre medidasde área e sobre medidas em geralno site do Instituto de Pesos eMedidas do Estado de São Paulo(www.ipem.sp.gov.br/metrologia.
asp), que apresenta até mesmo
uma tela que permite converteruma medida em outra e todasas informações para acessá-la. Éimportante que se discuta comos alunos quando utilizar umaou outra unidade de medida; porexemplo, se a superfície cuja área
se quer calcular for muito gran-
de, é mais interessante usar oquilômetro e não o metro, muitomenos o centímetro. Se, ao con-trário, a superfície for muito pe-quena, é aconselhável usar o cen-tímetro ou mesmo o milímetro.
• Realizar conversões entrealgumas unidades de medidamais usuais de áreas emsituações-problema.
É menor, pois cada lado medemenos de 2 m.
3,8416 m2
38.416 cm2
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228 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Nessas atividades, explora-se o
cálculo com estimativas de me-didas de áreas de superfície. An-tes de iniciar cada atividade, osalunos devem fazer as conversõesnecessárias. É importante que seestime primeiro antes de fazer ocálculo de áreas, principalmentese as medidas forem expressas em
números racionais. Isso facilita
ao aluno validar o resultado obti-do no cálculo da área e também acompreensão da multiplicação deracionais escritos na forma deci-mal, pois comumente se acreditaque o resultado da multiplicaçãoentre dois números é sempremaior do que esses números. Essa
crença é verdadeira apenas para
os números naturais diferentes de1 ou de 0, pois, quando se multi-plica um racional por um númeromenor que um, o resultado é me-nor que o outro fator. Você podepropor também que usem a calcu-ladora para validar os resultados.
• Realizar conversões entrealgumas unidades de medidamais usuais de áreas emsituações-problema.
Necessita de um pouco menos de 1 metro quadrado.
Necessita de mais de 1 metro quadrado de tecido.
1,14 m2 ou 11.400 cm2
A primeira, porque é mais fácil visualizar 1 m2 do que 11.000 cm2.
0,9775 m2
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 229
Nessa seção, os alunos devem
desenvolver as atividades indi-vidualmente. Esta é uma etapaimportante, pois você pode diag-nosticar o que os alunos de fatoaprenderam e os conceitos queprecisam ser retomados. Não épreciso resolver as atividades to-das de uma única vez, organize-as
conforme seu tempo e seus obje-
tivos. Você pode ainda solicitaraos alunos, em relação ao que foiestudado nesta Unidade, que in-diquem o que consideraram curio-so ou importante para sua vida, oque apresentou mais dificuldade.Tire eventuais dúvidas.
X
X
X
Adicionei 6 Diminuí 2
Multipliquei os
dois termos por 4
Multipliquei os
dois termos por 5
Dividi os doistermos por 2
Dividi os doistermos por 2
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230 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
X
X
X
1,8 km2 ou 1.800.000 m2
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http://slidepdf.com/reader/full/matematica-7ano-prof 230/291
L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 231
sente na arte, na natureza, em
tapeçarias, pinturas etc. Escla-reça que nesta Unidade eles vãoestudar a simetria no contextoda geometria e conhecer muitosassuntos interessantes sobrereflexões em retas, explorandoelementos da cultura africanaque exercem grande influênciana cultura brasileira.
Converse com os alunos sobre o
que sabem da relação da mate-mática com a arte, com o artesa-nato das mais variadas culturas.Comente que desde os primórdiosda humanidade há uma preocu-pação com a simetria. Pergunteo que entendem por “simetria”,termo muito ligado à ideia deharmonia, de beleza e está pre-
•M7 Compreender e utilizar aspropriedades da potenciaçãocom expoente inteiro positivo,em situações-problema.
•M8 Calcular potências deexpoente nulo ou negativo,
compreendendo seu significado.•M10 Calcular a raiz quadrada
e a raiz cúbica de um númeronatural, por meio de estimativasou usando a calculadora.
•M12 Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
•M18 Identificar as
transformações de umafigura obtidas pela suareflexão em reta,reconhecendo característicasdessa transformação.
•M19 Identificar astransformações de uma figuraobtidas pela sua rotação,reconhecendo característicasdessa transformação.
•M20 Identificar ângulo
como mudança de direção ereconhecê-lo em figuras planas,nomeando-os em funçãode suas medidas.
•M21 Resolver situações--problema, utilizando apropriedade da soma dosângulos internos de umtriângulo qualquer.
Materiais necessários para
esta Unidade:papel sulfite
25 espelhos retangulares de 20 cmpor 10 cm (papel espelhado)
lápis de cor
régua
transferidor
esquadro
modelo recortado em papelde um triângulo equilátero
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232 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
artesanato. A proposta para cada
grupo é elaborar um cartaz comtextos e imagens, exibindo umagrande variedade de exemplos.Marque um dia para a apresen-tação. O grupo que preferir podeoptar por outra forma de apresen-tação que não seja a colagem de
imagens; por exemplo, fotos do
bairro, pinturas feitas por eles.Na avaliação dos trabalhos, rea-lizada com a classe, é importantediscutir se a figura é caracteriza-da por simetria, ou seja, se háuma parte que se sobrepõe à ou-tra ao ser dobrada.
Peça aos alunos que individual-
mente façam a leitura da página196 e discutam se há alguma par-ticularidade nas fotos escolhidas.Solicite que a classe se organizeem nove grupos e proponha osorteio de um assunto para cadatrês grupos: simetria na arte, si-metria na natureza, simetria no
• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidas pelasua reflexão em reta,reconhecendo característicasdessa transformação.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 233
vidas e os procedimentos utili-
zados. Não se esqueça de pediraos alunos que tragam para a salade aula materiais para desenhocomo réguas, lápis e borracha. Dêum tempo para a realização dastarefas e discuta com os grupos
os procedimentos utilizados e os
resultados obtidos. Reforce maisuma vez as características de umafigura obtida por esse tipo de si-metria, o significado e as possi-bilidades dos eixos de simetria(horizontal, vertical e inclinado).
Nas páginas anteriores, os alunos
tiveram oportunidade de explorara ideia de figura simétrica. Nasatividades das páginas 197 e 198,você pode propor que eles traba-lhem em dupla. Percorra a classee vá observando as possíveis dú-
• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidas pelasua reflexão em reta,reconhecendo característicasdessa transformação.
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234 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
sem essa malha. Proponha que
cada aluno realize atividades in-dividualmente e, depois, soliciteque, em dupla, comparem suasproduções e discutam a que con-sideram correta.
Diferentes estudos mostram que
os alunos apresentam, de modogeral, mais dificuldade em tra-balhar com a construção de si-metrias com eixos inclinados emrelação à malha quadriculada oumesmo quando a atividade é feita
• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidas pelasua reflexão em reta,reconhecendo característicasdessa transformação.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 235
você tenha um modelo recortado
em papel), solicitando aos alunosque observem a existência de trêseixos de simetria. Dê um tempopara que as duplas realizem a ta-refa e depois socialize as respos-tas perguntando se encontraramalguma figura que não tem eixode simetria. Peça que indiquemas que têm exatamente um eixo
de simetria, e assim por diante.
É provável que eles consideremque o paralelogramo tem eixo desimetria. Para desfazer a dúvida,proponha que recortem um para-lelogramo em uma folha de papele façam as dobras. Verificarão,assim, que não há sobreposiçãodas partes.
Na atividade 1, pergunte aos alu-
nos se percebem que na figura épossível traçar eixo de simetriahorizontal, vertical e inclinado.Na atividade 2, comente que, emduplas, vão procurar descobrir secada um dos polígonos desenha-dos possui eixo ou eixos de sime-tria. Explore o caso do triânguloequilátero (é importante que
• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidas pelasua reflexão em reta,reconhecendo característicasdessa transformação.
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236 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Nessa página, você vai trabalhar
com os alunos característicasimportantes da reflexão de umafigura em relação a um eixo desimetria: a figura fica invertidacomo se estivesse sendo vista noespelho, e as medidas dos ladose dos ângulos da figura original
ficam preservadas na figura ima-
gem. Aproveite para fazer uso deespelhos para que os alunos com-preendam melhor essa ideia. Você, junto com os alunos, pode pro-duzir 25 espelhos retangulares de20 cm por 10 cm feitos com papelespelho colado em cartolina.
Podemos dizer que a reflexão em
reta é a operação básica das cha-madas transformações geométri-cas: a rotação e a translação (queserá estudada em outro momen-to) são composições de reflexõesem retas.
• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidas pelasua reflexão em reta,reconhecendo característicasdessa transformação.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 237
a régua ou esquadro. Caso obser-
ve dificuldades, ofereça ativida-des complementares. O objetivoé que eles reconheçam que, nasfiguras simétricas, as medidas doslados e dos ângulos correspon-dentes são sempre iguais, a formapermanece a mesma e o que podemudar é a posição.
A atividade dessa página deve
ser feita em duplas e com uso derégua e transferidor. O objetivoé identificar os alunos que já seapropriaram das características dareflexão em reta e aqueles queainda permanecem em dúvida.Aproveite a oportunidade paraverificar se os alunos sabem utili-zar adequadamente o transferidor,
• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidas pelasua reflexão em reta,identificando característicasda simetria axial (em relação amedidas dos lados, dos ângulos,da superfície da figura).
A A B B
C CD D
E EF F
A B
CD
EF
Sim
Sim
Quadros II, III e IV
Quadro III
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238 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
alunos percebem o que aconte-
ce com as medidas do perímetroe da área das figuras e quaisseriam essas medidas, conside-rando que cada quadradinho damalha quadriculada tenha 1 cmde medidas dos lados.
Embora essa atividade seja si-
milar à anterior, nos itens b e c exploram-se áreas e perímetrosde regiões poligonais obtidospor reflexão em retas. Ela podeser feita individualmente e dis-cutida em grupo. Observe se os
• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidas pelasua reflexão em reta,identificando característicasda simetria axial (em relação amedidas dos lados, dos ângulos,da superfície da figura).
A B
CD
E F
G H
I J
A A B B
C CD D
E EF F
G GH H
I IJ J
Sim
Sim
Áreas: 7 centímetros quadrados; perímetros: 14 centímetros.
Não se alteram, pois as medidas dos lados e dos ângulosdas figuras desenhadas não se alteram.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 239
que os alunos percebam que muda
a posição da figura, mas “o tama-nho” não muda, ou seja, as me-didas se mantêm, mesmo sem apossibilidade de medir com régua.A sugestão é que usem um com-passo para verificar se as medidaspermanecem inalteradas.
Nessas atividades, é importante
explorar com os alunos a noção desimetria e dos eixos de simetria.Como são figuras com detalhes,eles podem usar o espelho paraobter a figura simétrica. Todas asatividades envolvem um eixo desimetria vertical. É fundamental
• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidas pelasua reflexão em reta,identificando característicasda simetria axial (em relação amedidas dos lados, dos ângulos,da superfície da figura).
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240 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
de um ponto central, que é o
ponto de intersecção das duasretas. Nas duas propostas deatividades, temos uma rotaçãode 90°, pois o ângulo formadoentre as retas r e s é de 90º.Comente com os alunos o que
aconteceria se déssemos con-
tinuidade a essas rotações: emalgum momento a pétala verme-lha “voltaria” à posição inicial?Por quê? Esclareça ainda que arotação pode ser feita no sentidohorário e no sentido anti-horário.
Nessa página, os alunos vão ter
oportunidade de explorar emmandalas dois tipos de aplicaçãodas rotações. Explore o fato deque realizar reflexões em retasconcorrentes sucessivamenteé como girar a figura em torno
• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidaspela sua rotação,reconhecendo característicasdessa transformação.
Resposta pessoal
Sim, a cada giro de 90º
90º
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 241
percebem que, unindo o ponto O
aos vértices A e A’, foi possívelconstruir o ângulo AOA’ e se usamo mesmo procedimento na cons-trução dos outros dois ângulos.Peça que explicitem os procedi-mentos utilizados e socialize asrespostas.
As atividades dessa página po-
dem ser resolvidas em grupos.Verifique se os alunos percebem o“sentido do giro” e como traçamos ângulos. Acompanhe quandoestiverem fazendo as mediçõesdos ângulos, principalmente ouso do transferidor. Observe se
• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidaspela sua rotação,reconhecendo característicasdessa transformação.
Sim
Sim
Unindo o ponto O aos vértices A e A’ foi possível construiro ângulo AOA’. O mesmo procedimento pode ser usado naconstrução dos outros dois ângulos.
Todos medem 90º.
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242 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
As rotações ficarão corretas se as
partes das figuras rotacionadas ti-verem a mesma cor.
A exploração das mandalas dessa
página permite aos alunos per-ceber que “elas podem girar” nosentido horário ou anti-horário.Depois de cada aluno decorarsua mandala, divida a classe emduplas para que possam discutir,traçar as semirretas concorren-tes e medir o ângulo formadopor elas.
• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidaspela sua rotação,reconhecendo característicasdessa transformação.
Resposta pessoal
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 243
Essa atividade pode ser desenvol-
vida individualmente. Observe seos alunos percebem o “sentido dogiro” e explore com eles o quadri-látero desenhado, as medidas doslados e dos ângulos. Verifique seidentificam que a transformaçãoé uma rotação e que o ângulo degiro é de 45º.
• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidaspela sua rotação,reconhecendo característicasdessa transformação.
Rotação em torno do ponto O.
Anti-horário
45º
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244 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Acompanhe o traçado dos alunos.
Observe como fazem para dese-nhar a nova figura. Socialize al-guns procedimentos. Verifique sepercebem a localização das coresnos novos desenhos.
• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidaspela sua rotação,reconhecendo característicasdessa transformação.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 245
dos ângulos internos deu sempre
180º. É importante esclarecerque, em matemática, mesmo quetenhamos milhares de exemplosde um fato, é necessário que eleseja demonstrado. Diga que elesconhecerão essa demonstraçãoposteriormente, pois ela depende
de outros conhecimentos, mas
que, na atividade da página se-guinte, terão uma nova possibili-dade de comprovar tal fato.Fique atento, pois os alunos po-dem cometer erros de medida e,em alguns casos, talvez seja preci-so fazer aproximações de valores.
Comente com os alunos que, ao
desenvolverem as atividades des-sa página, eles poderão observaruma das propriedades mais im-portantes dos triângulos. Divida aclasse em duplas e proponha querealizem as quatro atividades. Noscasos apresentados, eles poderãochegar à conclusão de que a soma
• Resolver situações-problema,utilizando a propriedade dasoma dos ângulos internosde um triângulo qualquer.
30º, 60º, 90º 45º, 45º, 90º
20º, 110º, 50º
30º+ 60º+ 90º
= 180º
30º+ 50º
+ 100º= 180º
45º+ 45º+ 90º
= 180º
Todas são iguais a 180º.
Resposta pessoal
20º+ 110º
+ 50º= 180º
30º+ 70º+ 80º
= 180º
30º, 50º, 100º
30º, 70º, 80º
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246 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
lize as respostas. Você pode pro-
por outra experiência usando umnovo triângulo e solicitando querecortem cada uma das regiõesda figura e façam uma monta-gem unindo os três vértices dotriângulo conforme a figura. Elespodem colar essa montagem emuma folha. Mostre para a classe o
resultado das colagens lembran-
do que cada um desenhou umtriângulo qualquer e solicite quefaçam comentários a respeito dealguma semelhança nessas cola-gens. Oriente para que peguem otransferidor e comparem o ângulode 180º com a figura montada.
Inicie a atividade pedindo aos
alunos que desenhem com a ré-gua um triângulo qualquer emuma folha sulfite (esse triângulopode ser bem grande) e, em se-guida, o recortem.Na sequência peça que realizemem dupla a atividade 1, que se re-fere à dobradura de Luana. Socia-
• Resolver situações-problema,utilizando a propriedade dasoma dos ângulos internosde um triângulo qualquer.
Eles somam 180º.
Luana cortou o triângulo em 3 partes e encaixou os ângulos.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 247
Proponha que façam as atividades
individualmente, observem comatenção as características de cadatriângulo e usem cálculo mentalou escrito. Dê um tempo paraa realização da tarefa e depoissocialize os procedimentos e asrespostas.
Comente com os alunos que,
mesmo sem termos feito umademonstração formal, vamos uti-lizar o teorema (explique o queé um teorema, em linguagemacessível a eles) segundo o quala soma das medidas dos ângulosinternos de um triângulo é 180º.
• Resolver situações-problema,utilizando a propriedade dasoma dos ângulos internosde um triângulo qualquer.
60˚
70˚
70˚
80˚
50˚
30˚
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248 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
figura em triângulos. Eles devem
observar que os segmentos quefazem as divisões partem semprede um mesmo vértice da figura.Peça aos alunos que preenchama penúltima coluna do quadro eoriente-os para observar a relaçãoentre o número de lados da figu-ra e o número de triângulos em
que ela foi dividida (o número de
triângulos é sempre dois a menosque o número de lados). Por fim,solicite aos grupos que descrevamcomo fazer para calcular o que sepede na última coluna do quadroe oriente-os para calcular a somados ângulos internos de um po-lígono de 11 lados.
Divida a classe em seis grupos
e peça a cada um que construa,em uma folha sulfite, um triângu-lo, um quadrilátero, um pentágo-no, um hexágono, um eneágonoe um decágono. Esclareça quan-tos lados tem cada uma dessasfiguras. Em seguida, solicite queanalisem o quadro e, por meiode dobraduras, dividam cada
• Resolver situações-problema,utilizando a propriedade dasoma dos ângulos internosde um polígono qualquer.
540º
720º
900º
1.080º
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 249
a medida de cada ângulo interno
dessas figuras se elas fossem regu-lares e qual seria o procedimentodeles. Explore o caso do triânguloequilátero, do quadrado e de pen-tágonos e hexágonos regulares.
Nessa página, a proposta pode ser
realizada individualmente pelosalunos e, se você achar convenien-te, resolvida em casa e corrigidaem sala de aula. Aproveite paraquestionar se seria possível saber
1.800º
Sim: (n – 2) ∙ 180º
3.240º 2.880º
2.160º 3.960º
2.340º
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250 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
de mesma base, o expoente do
resultado é a soma dos expoentesdos fatores e, quando dividimosduas potências de mesma base,o expoente do resultado é a dife-rença dos expoentes dos fatores.Pergunte se isso é verdade sempree solicite que analisem o quadro,testem outros valores para a base eo expoente e completem o quadro.
Divida a classe em grupos para
que possam discutir as atividades.Comente que vão usar seus conhe-cimentos algébricos para expressarpropriedades da potenciação. Peçaque analisem os dois exemplos (demultiplicação e de divisão de po-tências de mesma base) e perguntese já haviam percebido que, quan-do multiplicamos duas potências
• Compreender e utilizar aspropriedades da potenciaçãocom expoente inteiro positivo,em situações-problema.
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalização
de propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
Essa atividade possibilita aos alu-
nos levantar conjecturas a respeitode uma relação matemática. Essetipo de atividade investigativa per-mite desenvolver o pensamento al-gébrico, facilita o reconhecimentode regularidades, a formalização dealgumas regras em linguagem natu-ral e a representação dessas regraspor fórmulas com o uso a álgebra.
1
1
9
1
1
9
1 ∙ 1 = 1
1 ∙ 1 = 1
9 ∙ 9 = 81
13 + 2 = 1
(–1)2 + 2 = 1
32 + 2 = 81
13 – 2 = 1
(–1)2 – 2 = 1
32 – 2 = 1
1 ÷ 1 = 1
1 ÷ 1 = 1
9 ÷ 9 = 1
Resposta pessoal
Resposta pessoal
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 251
• Calcular potências deexpoente nulo ou negativo,compreendendo seu significado.
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,
fórmulas, relações numéricase padrões.
As atividades dessa página tam-
bém são do tipo exploratório--investigativo. Divida a classeem grupos e peça que analiseme completem o quadro com outrosexemplos. Socialize as respostas.Esse procedimento permite am-pliar o número de exemplos e
possibilita aos alunos fazer con-
jecturas a respeito da situação.Promova a discussão realizadanos grupos e socialize as respos-tas e observações. A discussão detarefas mais abertas como essasé importante à medida que osalunos relatam suas conjecturas
e conclusões, apresentam justifi-
cativas e questionam-se uns aosoutros. Assuma papel de mode-rador da discussão, administrea sequência de intervenções eoriente, se for o caso, o respec-tivo conteúdo.
Resposta pessoal
243
256
125
36
243
256
125
36
35 ÷ 35
44 ÷ 44
53 ÷ 53
62 ÷ 62
35 – 5
44 – 4
53 – 3
62 – 2
30
40
50
60
243 ÷ 243 = 1
256 ÷ 256 = 1
125 ÷ 125 = 1
36 ÷ 36 = 1
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252 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
exploratório-investigativa é im-
portante que você proporcionemomentos de análise e reflexão,após o término da atividade, poisa aprendizagem decorre não deouvir o professor ou fazer estaou aquela atividade, mas da re-flexão do aluno sobre a atividaderesolvida.
Nessa página, você encontra
ainda uma tarefa exploratório--investigativa. Depois de com-pletarem o quadro, promova umadiscussão coletiva em que os alu-nos exponham suas ideias e façacomentários para que possam seapropriar das noções matemáti-cas envolvidas. Em uma atividade
• Calcular potências deexpoente nulo ou negativo,compreendendo seu significado.
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,
fórmulas, relações numéricase padrões.
Resposta pessoal
243
256
125
216
81
64
25
36
35 ÷ 34
44 ÷ 43
53 ÷ 52
63 ÷ 62
243 ÷ 81 = 3
256 ÷ 64 = 4
125 ÷ 25 = 5
216 ÷ 36 = 6
35 – 4
44 – 3
53 – 2
63 – 2
31
41
51
61
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-7ano-prof 252/291
L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 253
• Compreender e utilizar aspropriedades da potenciaçãocom expoente inteiro positivo,em situações-problema.
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalização
de propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
Nas atividades dessa página,
exploram-se bases diferentes.Divida a classe em grupos parapossibilitar maior discussão. Va-lorize os momentos de reflexãoe discussão de toda a turma,tendo por base o completamen-to do quadro, a observação de
regularidades verificadas nele e
as respostas às questões em queos alunos devem refletir sobre osdados do quadro. Reserve algunsmomentos para a sistematizaçãodas relações estudadas, a forma-lização e o estabelecimento deconexões matemáticas.
Resposta pessoal
1
1
9
9
4
4
(1 ∙ 3)2 = 9
(–1 ∙ 2)2 = 4
(3 ∙ 2)2
= 36
12 ∙ 32 = 9
(–1)2 ∙ 22 = 4
32
∙ 22
= 36
12 ÷ 32
(–1)2 ÷ 22
32
÷ 22
(1 ÷ 3)2 =
(–1 ÷ 2)2 =
(3 ÷ 2)2
=
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-7ano-prof 253/291
254 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
rias atividades desse tipo nesta
Unidade. Verifique se participamde confrontos, se defendem seuponto de vista, pois isso permi-te aprofundar a reflexão sobre aatividade desenvolvida, o queos levará a se envolverem emraciocínio matemático, formular
A realização de mais essa tarefa
pelos grupos permite um avançona postura dos alunos em relaçãoa uma atividade exploratório-in-vestigativa. Perceba se partici-pam progressivamente de modomais produtivo nos momentos dediscussão, pois já realizaram vá-
• Calcular potências deexpoente nulo ou negativo,compreendendo seu significado.
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,
fórmulas, relações numéricase padrões.
hipóteses e conjecturas e valo-
rizar o processo de justificação.Esse tipo de tarefa possibilitaaos alunos realizar suas inter-venções e influenciar individual e coletivamente o rumo dosacontecimentos.
Sim, am ÷ an = 22 ÷ 23 = 4 ÷ 8 =
e também 22 ÷ 23 = 22 – 3 = 2–1; logo, 2–1 =
Resposta pessoal
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 255
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
As tarefas dessa página são de
natureza desafiadora para osalunos e são essenciais para odesenvolvimento de certas capa-cidades como a autonomia, lidarcom situações complexas etc. Osalunos são desafiados por uma ta-refa formulada no contexto mate-mático, e sua realização permite-
-lhes perceber como se desen-
volve a atividade matemáticados matemáticos profissionais.Desafie-os a pesquisar mais sobrenúmeros triangulares, quadrangu-lares e pentagonais. Esses núme-ros, denominados de números fi-gurados, podem ser representadospor uma construção geométrica
de pontos equidistantes. Se o ar-
ranjo formar um polígono regular,chamam-se números poligonais.O site do Departamento de Edu-cação da Faculdade de Ciênciasda Universidade de Lisboa (www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm48/ figurados.htm) pode ajudá-lo.
25, 36, 49
35, 51, 70
Números: 1, 3, 6, 10, 15
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-7ano-prof 255/291
256 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
des, a uma regra, sequência ou
determinada ordem. A investi-gação de padrões em sequênciasnuméricas ou geométricas, comonessa atividade, e a generaliza-ção por meio de regras que ospróprios alunos podem formularpermitem que a aprendizagemda álgebra se processe de modogradual e ajudam a desenvolver a
Essa atividade desenvolve a con-
cepção de álgebra generalizadorade padrões, em que a letra nãose apresenta como incógnita esim como variável, e permite aosalunos desenvolver a habilidadede pensar de modo abstrato. Otermo padrão, em Matemática,pode expressar uma relação en-tre termos ligados a regularida-
• Compreender e utilizar aspropriedades da potenciaçãocom expoente inteiro positivo,em situações-problema.
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalização
de propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
capacidade de abstração, essen-
cial para o desenvolvimento dopensamento algébrico. Ao mesmotempo retoma-se a relação entrea medida do lado de um quadradoe a área de sua superfície, o que éimportante para o cálculo da raizquadrada, que será feito na pró-xima Unidade.
36
100
2
3
4
n
4
9
16
n ∙ n
22
32
42
n2
225 400
O número total de “quadradinhos” é igual ao quadradodo número de “quadradinhos” do lado da figura.
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 257
• Compreender e utilizar aspropriedades da potenciaçãocom expoente inteiro positivo,em situações-problema.
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalização
de propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
Essa atividade também envolve
padrões geométricos. O trabalhocom padrões possibilita o desen-volvimento da ideia de relaçãofuncional, envolve os alunosem sua aprendizagem e propor-ciona um ambiente em que elesdescobrem relações, encontramconexões, fazem generalizações
e previsões. O objetivo é que os
alunos percebam que, para formaruma figura cúbica, é preciso tern ∙ n ∙ n ou n3 cubinhos, ou seja,considerar a relação existente en-tre a medida da aresta de um cuboe o volume desse cubo, importan-te para o cálculo da raiz cúbica,que será feito na próxima Unidade.
11
Para formar a base do cubo são necessários 4 ∙ 4 cubinhos.Para construir o cubo são necessários, no total, 64 cubinhos (16 ∙ 4).Como já existem 11 cubinhos, são necessários ainda 53.
Não, porque para formar uma figura cúbica é preciso tern ∙ n ∙ n ou n3 cubos.
Depende do número de cubos montados pela turma.
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258 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
diferentes, por meio de desenho
ou escrita etc. Chame a aten-ção para aspectos matemáticos.Observe se eles conseguem en-contrar a regra que conduz ao ter-mo geral da sequência, o que per-mite a generalização do padrão.
Conduza a aula de modo que os
alunos primeiro extraiam as in-formações relevantes para pro-curarem o padrão de repetiçãoda sequência. Depois verifiquese reconhecem o padrão, se odescrevem por meio de métodos
• Compreender e utilizar aspropriedades da potenciaçãocom expoente inteiro positivo,em situações-problema.
• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalização
de propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.
125
512
2
3
n
23
33
n3
8
27
n ∙ n ∙ n
1.000 1.728
O número total de cubinhos é igual ao número de “cubinhos”do lado da figura elevado a 3.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 259
Nessa seção é possível o professor
verificar o que o aluno aprendeue suas eventuais dificuldades. Asatividades visam a essa reflexão edão indícios sobre como avançare se há necessidade de reorga-nizar outras propostas ou não.Mas é importante destacar queo conhecimento matemático vaise constituindo por articulações,
reorganizações, aprofundamentos
e ampliações de ideias e concei-tos e que, durante o ano, semprese devem propor novas atividadesenvolvendo os temas que estãosendo trabalhados nas Unidades.Essas propostas finais, ao lado desua observação durante as aulas,são bons indicadores da aprendi-zagem dos alunos.
X
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260 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
27 = 128 310 = 59.049
36 = 7292–2 =
60 = 1 35 = 243
21 = 2 34 = 81
214 = 16.384
37
38
35
31
4−2
3−1
55
53 = 125
F
F
V
V
F
F
V
F
F
F
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 261
Peça aos alunos que leiam o tex-
to. Aproveite para fazer um le-vantamento dos conhecimentosprévios a respeito dos assuntosa serem tratados. Comente o quevão aprender na Unidade.
•M10 Calcular a raiz quadradae a raiz cúbica de um númeronatural, por meio de estimativasou usando a calculadora.
•M22 Reconhecer e utilizargrandezas de volume e decapacidade e identificar
unidades adequadas(padronizadas ou não) paramedi-las, fazendo uso determinologia própria.
•M23 Obter medidas degrandezas diversas, por meiode estimativas e aproximaçõese tomar decisão quantoa resultados razoáveisdependendo da situação--problema.
•M26 Indicar o volume de
um recipiente em forma deparalelepípedo retângulo pelacontagem de unidades cúbicasde medida, utilizadas parapreencher seu interior.
•M28 Resolver situações--problema com dadosapresentados de maneiraorganizada por meio degráficos de colunas, barras,setores e linha.
Material necessário para odesenvolvimento da Unidade:
globo terrestre
cubos do material dourado
sólidos geométricos comocubos e paralelepípedos
calculadoras
conta de luz e conta de água
Resposta pessoal
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262 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
números e as escritas abreviadas.
Faça perguntas para verificar sehá entendimento dos elementospresentes na figura e do signi-ficado de paralelo e meridiano.Trabalhe com o globo terrestrepara que os alunos visualizem oselementos da figura.Analise com eles os gráficos me-diante perguntas sobre o que
Para iniciar o trabalho, faça com
os alunos uma leitura comparti-lhada do texto e solicite que des-taquem as informações matemá-ticas nele contidas, como: “Seudiâmetro é de 1.392.000 quilôme-tros”; “O diâmetro da Terra medeapenas 12.756 quilômetros”.Explore o significado das porcen-tagens do texto, a magnitude dos
identificam em cada um. A partir
daí e com as informações do tex-to, comparem os elementos paraconcluir qual deles não traduz, deforma correta, as informações. No2o gráfico, é possível fazer umaestimativa do diâmetro da Terra eafirmar que é superior a 100.000quilômetros, valor incorreto, con-sideradas as informações do texto.
X
• Resolver situações-problema,interpretando dados que estãoapresentados de maneiraorganizada por meio de gráficosde colunas, barras, setorese linha.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 263
Para essa atividade, faça uma
leitura compartilhada do tex-to, esclareça as dúvidas e peçaaos alunos que identifiquem asinformações matemáticas. Façaperguntas como: se 70% das
águas doces do Brasil estão na
Amazônia, o que se pode afirmarsobre as águas doces do Brasilque não estão na Amazônia? Quala porcentagem da população dopaís que não vive nessa região?
• Resolver situações-problemacom dados apresentados demaneira organizada por meiode gráficos de colunas, barras,setores e linha.
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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264 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
licite que respondam à questão
e socialize as respostas e os co-mentários.Você pode ampliar a discussãopropondo que tragam contas deágua e de luz de suas residênciaspara análise do consumo no de-
Proponha que observem o grá-
fico de linhas e pergunte quaiselementos constam nele e o quepodem concluir pela leitura dessegráfico. A seguir, peça que loca-lizem os meses em que ocorreumaior consumo de energia. So-
correr de um ano. É possível com
elas montar gráficos de linha dosconsumos. Para complementar,peça que pesquisem o consumode água e de energia elétricadurante o banho, na lavagem deroupas etc.
Maio
Sim
Resposta pessoal. Por exemplo, por serem meses mais frios.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 265
Peça aos alunos que leiam o grá-
fico de setores e pergunte queinformações podem ser obtidas.Explore as porcentagens indica-das e questione o que eles podemafirmar caso o grupo estudado
seja de 100 pessoas. A seguir,
comente, com base nas informa-ções do enunciado, que foi feitauma estimativa para 200 pessoas.Que comentários e informaçõesos alunos podem obter com a
leitura dos gráficos de colunas?
Solicite que comparem as infor-mações existentes nos gráficosapresentados para concluir emqual deles os dados correspondemaos do gráfico de setores.
• Resolver situações-problemacom dados apresentados demaneira organizada por meiode gráficos de colunas, barras,setores e linha.
X
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266 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
As questões exploram a deter-
minação da raiz quadrada de umnúmero por meio de estimativaou com auxílio da calculadora.Retome o significado de raizquadrada e faça perguntas como:Qual a raiz quadrada de 4? Quala raiz quadrada de 25? Comen-te situações que explorem raízesquadradas, o dobro, a metade.
16 m
Extrair a raiz quadrada de 256 ou descobrir o número quemultiplicado por ele mesmo resulta 256.
13. Resposta pessoal. Por exemplo, elevar cada um dosnúmeros ao quadrado e determinar qual das operaçõesresulta em 169.
ℓ = 8 m ℓ = 0,5 m
ℓ = 2,5 m ℓ = 14 m
• Calcular a raiz quadrada deum número natural ou de umnúmero racional, por meiode estimativas ou usando acalculadora.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 267
Na atividade 5, você deve ex-
plorar a composição de figuras;é possível calcular a medida decada lado porque a área da super-fície quadrada maior é obtida pelasoma das áreas das três superfí-cies que a compõem. A partir dis-so, os alunos determinarão a áreada superfície quadrada maior, queé igual a 169 cm2, o que lhes per-
mitirá encontrar a medida do lado
do quadrado correspondente.Como a atividade apresenta umdesafio, alguns alunos podemnecessitar de dicas para resolvê--la, como mostrar que as medidasdo retângulo azul só podem sercalculadas com base nas medidasdo quadrado correspondente à su-perfície amarela.
Resposta pessoal, por exemplo: raiz quadrada de 100 é 10,raiz quadrada de 400 é 20.
13 cm
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268 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Há algumas calculadoras nas
quais, em primeiro lugar, é pre-ciso digitar o símbolo . Antesda utilização de uma calculadora,é importante que os alunos fa-çam estimativas do valor resul-tante. Eles podem estimar o valor
Calcular a raiz quadrada de um
número natural por meio de es-timativas ou usando calculadora.Alguns alunos associam a raizquadrada à divisão por 2, válidapara o caso . Peça aos alunosque tentem encontrar outro valorem que isso ocorre.
e elevá-lo ao quadrado para ver
quanto se aproxima do númerocuja raiz quadrada se busca.Antes da atividade 1, forneçadois exemplos, um com raiz exatae o outro não, como 324 e 200.
4
15
625
Entre 11 e 12
11,401754
Não
11
100
13
31
8,1853527
12,206555
15,811388
31,622776
As respostas das colunas deestimativa são todas pessoais.
No quadro 1, os resultados são números naturais e, no quadro 2,são números não naturais.
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 269
Nas atividades, é proposto que
os alunos determinem a raizquadrada exata ou aproximada,por meio de estimativas e coma utilização da calculadora, semo uso da tecla e por meio deaproximações sucessivas, fazendouso da equivalência entre a raizquadrada e a potenciação. A uti-lização da calculadora possibilita
aos alunos agilizar as tentativas
e, dessa forma, se concentraremno processo de resolução e naanálise dos resultados, e nãona realização de cálculos repe-titivos.Antes de iniciar a atividade 2,faça perguntas como:• é um número próximo de
8? Por quê?
• é um número entre quais
inteiros?• é um número mais próxi-
mo de 13,6 ou de 13,7?• Nas atividades dessa página, os
alunos podem usar a calculado-ra para a potenciação.
É um númeroentre 15 e 16.
31,4642
240,25 243,36 246,49
= 15,6. O lado dopiso da piscina mede 15,6 m.
• Calcular a raiz quadrada deum número natural ou de umnúmero racional, por meiode estimativas ou usando acalculadora.
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270 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
crevam somente com algarismos.
Explore a porcentagem citada eas grandezas e unidades de medi-da essenciais para a resolução daatividade proposta, como quantossegundos são necessários paraperfazer 1 minuto, quantos mi-nutos para completar 1 hora etc.O texto traz muitas informações
Inicie o trabalho propondo aos
alunos uma leitura compartilhadado texto e solicite que identifi-quem e destaquem as informa-ções matemáticas nele contidas.Verifique se compreendem asinformações. Peça que façam aleitura dos números expressospor algarismos e palavras e os es-
sobre a água; com base nele, faça
propostas de pesquisa e reflexãosobre o consumo consciente:como reduzir nos gastos domés-ticos rotineiros, por exemplo, naelaboração de alimentos, no ba-nho, na lavagem de roupas etc.
• Resolver situações-problema ereconhecer e utilizar grandezasde volume e de capacidade.
68 mil ∙ 60 ∙ 60 ∙ 24 = 5.875.200.000 litros por dia
2,6 milhões de litros
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 271
8
Resposta possível: Contar os cubos da primeira camada emultiplicar por 3, pois existem 3 camadas iguais àquela.
Na atividade 1, pergunte aos
alunos como determinar o volumede um sólido geométrico como oparalelepípedo retângulo, consi-derando, por exemplo, o volumede um cubinho (do material dou-rado) como unidade.
Você poderá iniciar solicitando
que os alunos construam outrosparalelepípedos com os cubinhosdo material dourado e determinemo número de cubinhos necessários.
Explore a figura apresentada na
atividade 2 e peça que deter-minem a quantidade de cubosnecessários para formar o para-lelepípedo.
• Indicar o volume de umrecipiente em forma deparalelepípedo retângulo pelacontagem de unidades cúbicasde medida, utilizadas parapreencher seu interior.
• Reconhecer e utilizar grandezas
de volume e de capacidade eidentificar unidades adequadas(padronizadas ou não) paramedi-las, fazendo uso determinologia própria.
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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272 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
1 dm3 é o volume de um cubo com 1 decímetrode aresta; 1 cm3 é o volume de um cubo com1 centímetro de aresta.
1 dm3
1 dm3 = 1 litro
Inicie perguntando aos alunos
como podemos associar um núme-ro ao volume de um sólido geo-métrico. Recorde os significadosdas unidades de comprimento:metro, decímetro e centímetro eas relações entre elas.A seguir, explore com os alunos oque representa o volume de 1 me-
tro cúbico, de 1 decímetro cúbico
e de 1 centímetro cúbico. Utilizeo cubinho e uma das formas se-melhantes ao cubo do materialdourado para que eles comparema relação entre os volumes de1 dm3 e 1 cm3 e verifiquem quenão são suficientes 10 cubinhosde aresta 1 cm para montar um
cubo de aresta 1 dm. Saliente que,
por se tratar de um experimento,a quantidade de água pode nãoser exatamente um litro. A seguir,é importante que seja construídoum cubo com 1 dm de aresta paraque a capacidade do reservatórioem forma de cubo seja comparadacom um litro.
• Indicar o volume de umrecipiente em forma deparalelepípedo retângulo pelacontagem de unidades cúbicasde medida, utilizadas parapreencher seu interior.
• Reconhecer e utilizar grandezas
de volume e de capacidade eidentificar unidades adequadas(padronizadas ou não) paramedi-las, fazendo uso determinologia própria.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 273
1 m3 = 1.000 litros
3.500 litros
6.200 litros
4.300 dm3
1 dm3 = 1.000 cm3; 1 cm3 = 0,001 dm3
1 cm3 = 1 mL
Solicite que pesquisem os gas-
tos de água em suas residênciascom base na leitura do hidrôme-tro ou de contas de água. Casohaja valores bastante diferentes,promova uma discussão sobre
Os alunos devem perceber que
o volume de 1 metro cúbico éequivalente ao volume de 1.000litros e fazer conversões entreessas unidades.
procedimentos para a economia
de água, que terão continuidadenas atividades da página seguinte.As atividades 5 e 6 utilizam asrelações entre as unidades dm3 ecm3, e cm3 e mililitro.
• Indicar o volume de umrecipiente em forma deparalelepípedo retângulo pelacontagem de unidades cúbicasde medida, utilizadas parapreencher seu interior.
• Reconhecer e utilizar grandezas
de volume e de capacidade eidentificar unidades adequadas(padronizadas ou não) paramedi-las, fazendo uso determinologia própria.
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274 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
40 cubos
5
200 cubos
200 cm3
36.000 litros
6 cm
Retome com os alunos a discus-
são realizada nas atividades dapágina 236 e verifique se con-cluem que, para determinar ovolume de um paralelepípedo,poderão encontrar o produto dastrês dimensões: comprimento,largura e altura.
• Indicar o volume de umrecipiente em forma deparalelepípedo retângulo pelacontagem de unidades cúbicasde medida, utilizadas parapreencher seu interior.
• Reconhecer e utilizar grandezas
de volume e de capacidade eidentificar unidades adequadas(padronizadas ou não) paramedi-las, fazendo uso determinologia própria.
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 275
Não se esqueça de salientar a
importância da indicação da uni-dade de medida do volume, que,na atividade 1, poderá ser cm3.Relembre a relação existente en-tre 1 litro e 1 metro cúbico.
Convém lembrá-los que volume
é diferente de capacidade, e poressa razão eles devem, na ativi-
dade 5, calcular a capacidade dosrecipientes.
3
72 L
O primeiro, porque tem capacidade de 30.000 dm3,enquanto o segundo tem capacidade de 28.000 dm3.
200 garrafões
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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276 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Resposta pessoal
Resposta pessoal
6.000 L
Amplie a discussão sobre a água
de reuso e se há possibilidade deserem propostas situações paraeconomia e reaproveitamento deágua na escola. Peça aos alunosque, em grupos de quatro, propo-
nham quatro problemas para se-
rem resolvidos por outros grupos,com situações de reuso de águae transformações de unidades devolume e capacidade.
• Reconhecer e utilizar grandezasde volume e de capacidade eidentificar unidades adequadas(padronizadas ou não) paramedi-las, fazendo uso determinologia própria.
8/21/2019 Matematica 7ano Prof
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 277
225 256 289
15,3 15,4 15,5
231,04 234,09 237,16 240,25
15,4919
25
34,6410
25 26
576 625 676
34 35
1.156 1.225
34,3 34,4 34,5 34,6 34,7
1.169,64 1.176,49 1.183,36 1.190,25 1.197,16 1.204,09
plementação dos quadros e para
verificação dos resultados, noscasos em que isso é necessário.Comece as atividades perguntan-do: por que a raiz quadrada de2.000 é um número maior que 40e menor que 50?
Nessas atividades, são retomados
os cálculos de raízes quadradaspor meio de estimativas, com apro-ximações sucessivas, com foco naobservação dos resultados. Paraisso, é recomendado o uso da cal-culadora, para auxiliar na com-
• Calcular, aproximadamente,raízes quadradas por meio deestimativas e fazendo usode calculadoras.
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278 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
V = a ∙ b ∙ c
V = 21 m3
V = 270 cm3
Essas atividades exploram o cál-
culo do volume de um sólido emforma de paralelepípedo, numeri-camente; a seguir, são propostassituações que possibilitam queos alunos levantem conjecturasa respeito de uma relação ma-temática. Para isso, você poderetomar as discussões realizadasem atividades anteriores desta
Unidade. Esse tipo de atividade
investigativa permite desenvolvero pensamento algébrico e facili-ta o reconhecimento de regula-ridades. Promova uma discussãopara formalizar algumas regrasem linguagem natural e repre-sentar essas regras por fórmulasalgébricas.
• Indicar o volume de umrecipiente em forma deparalelepípedo retângulo pelacontagem de unidades cúbicasde medida, utilizadas parapreencher seu interior.
• Reconhecer e utilizar grandezas
de volume e de capacidade eidentificar unidades adequadas(padronizadas ou não) paramedi-las, fazendo uso determinologia própria.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 279
O volume do cubo resultante será 8 vezes o valor do volumedo cubo original.
750 cm3
O volume do paralelepípedo terá o dobro do volume do cubo.
O volume do paralelepípedo terá o dobro do volume do cubo.
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280 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Uma medida aproximada pode ser obtida por meio deestimativa, sem a utilização de um instrumento de medida. A medida exata de uma grandeza deve ser obtida com oauxílio de um instrumento.
Depois que a água ferver,cinco minutos.
Aproximadamente 1.000 km.
As atividades permitem que os
alunos estimem as medidas dediversas grandezas, como mas-sa, comprimento, tempo e capa-cidade.
Na atividade 1, ressalte que,
para estimar a medida de umagrandeza, o aluno precisa ter al-guma unidade de medida dessagrandeza como referência. Tragaobjetos cujas massas são conhe-
cidas, ou fotos, para que estimem
largura e comprimento antes queresolvam as atividades 2 e 3. Elesdevem estimar e medir tais obje-tos para verificar o acerto ou errodas estimativas.
• Obter medidas de grandezasdiversas, por meio deestimativas e aproximaçõese tomar decisão quantoa resultados razoáveisdependendo da situação--problema.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 281
50 litros
6 kg 350 mililitros
Aproximadamente85 km
10 kg
de um veículo. Se as estimativas
não corresponderem a valores“razoáveis”, solicite que façampesquisa sobre as situaçõesapresentadas. Traga registrosde informações confiáveis para
Nas atividades 2 e 3, os alu-
nos, além de estimarem o valorda medida, devem comprová-la.Além disso, há uma variação dasmedidas, por exemplo, a capaci-dade do tanque de combustível
auxiliá-los. Nas atividades 2 e 3
os alunos podem precisar de ma-pas maiores para estimar as dis-tâncias. Utilize os de sua escola.
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282 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
metros
9
7 toneladas
500
quilogramasquilogramas
40
três
dias quilômetros
230
Nessas atividades, novamente
são solicitadas estimativas para amedida de uma grandeza. Exploresituações em sala de aula e naescola para que façam estimati-vas e, por meio de instrumentos
de medida, comparem os dados.
Há outras atividades que envol-vem estimativas que podem serutilizadas antes da resolução dasatividades. Por exemplo: saber seum objeto cabe ou não entre ou-
tros dois; não havendo balanças,
como saber se um objeto é maispesado que outro; qual entre doisou mais vasilhames tem maior ca-pacidade etc.
• Obter medidas de grandezasdiversas, por meio deestimativas e aproximaçõese tomar decisão quantoa resultados razoáveisdependendo da situação--problema.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 283
28
14
30
10 metros
70
A atividade 6 é bastante adequa-
da para conversar com os alunos,estimar e testar.
Respostas pessoais
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284 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Por tentativa, posso pensar em 2 e fazer 2 ∙ 2 ∙ 2 e verificar se oresultado é 27. Como 8 é menor que 27, faço 3 ∙ 3 ∙ 3 e obtenho 27.Deve-se extrair a raiz cúbica de 27.
2 m 4 m 5 m
8; resposta pessoal
Você pode iniciar as atividades
fazendo perguntas como:• Se 5 é a raiz quadrada de 25,você pode dizer o que é a raizcúbica de um número?
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 285
Resposta pessoal; de modo geral, não.
Maior que 10; porque 103
= 1.000.
Maior que 13; porque 133 = 2.197.
O número é 15.
A aresta do cubo mede 15 cm.
15 15
21 13 18
Eles vão explorar situações de
aproximação utilizadas para araiz quadrada.
Os alunos devem determinar a
raiz cúbica de um número combase em estimativas e no uso dacalculadora para explorar a equi-valência, como foi estudado paraa obtenção da raiz quadrada deum número:
é equivalente a y3 = x.
• Calcular a raiz quadrada e a raizcúbica de um número natural,por meio de estimativas ouusando a calculadora.
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286 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Resposta pessoal. Por exemplo: 6 ∙ 6 são 36 e 36 ∙ 6 é igual a 216.
Ela errou, pois 100 é igual a 10 ∙ 10, e ela deveria encontraro valor de 10 ∙ 10 ∙ 10, que é igual a 1.000.
216
12
O trabalho realizado com a raiz
quadrada tem continuidade paraa obtenção da raiz cúbica exatade determinado número natural.É explorada a estimativa e o usoda calculadora.
Na atividade 3, propõe-se deter-
minar a raiz cúbica de um númeronatural com base no produto dasraízes cúbicas de dois númerosnaturais. Se achar conveniente,proponha aos alunos que deter-
minem a raiz cúbica de outros
números, como 27.000, 4.096ou 2.744, e oriente os cálculospara que encontrem fatores con-venientes.
• Calcular a raiz cúbica de umnúmero natural, por meio deestimativas ou usandoa calculadora.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 287
3,73 dm
Os procedimentos de cálculo da
raiz cúbica aproximada de um nú-mero são os mesmos utilizadospara calcular valores aproximadosde raízes quadradas.Para o cálculo da raiz cúbica de52, você pode sugerir aos alu-nos que usem os quadros ao lado,sem indicar o número de colunasapropriado.
• Calcular a raiz cúbicaaproximada de um númeronatural, por meio de estimativasou usando a calculadora.
Aresta 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7
Volume
Aresta 3,71 3,72 3,73 3,74
Volume
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288 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
O ano-luz é uma medida de comprimento ecorresponde à distância percorrida pela luz em um ano.São, aproximadamente, 9,5 trilhões de quilômetros.Essa unidade se destina a medir grandes distâncias;por exemplo, entre estrelas da mesma galáxia ou entregaláxias distintas.
Resposta pessoal
Resposta pessoal
Resposta pessoal
As atividades exploram situa-
ções com unidades de medidaconvencionais, mas não “usuais”para os alunos. Utilize a sala deinformática, pesquise sites quecontenham elementos para res-ponder às situações apresenta-
das e os oriente para que façam
a consulta.O angstrom, medida de com-primento muito pequena, nãofoi citado porque é escrito compotência de base 10 e expoentenegativo. No entanto, eles podem
saber que essa unidade serve para
medir distâncias em átomos.Comente que a medida de com-primento mícron equivale a ummilésimo de milímetro.
• Obter medidas de grandezasdiversas, por meio deestimativas e aproximaçõese tomar decisão quantoa resultados razoáveisdependendo da situação--problema.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 289
3,6 litros
9.144 m
804,5 km
As 300 milhas terrestres, porque 300 milhas terrestresequivalem a 482.700 m e 250 milhas marítimas equivalema 463.000 m.
Alqueires são medidas de área.O alqueire paulista equivale a 2,42 hectares e o mineiro a 4,84 hectares.Um hectare mede 10.000 metros quadrados.
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290 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP
Na habilidade “Faz por escrito”, a porcentagem de homens é superiora 20% no gráfico, enquanto o quadro mostra que é 14%.
Solicite aos alunos que leiam o
enunciado e observem a tabela.Que informações podem ser ob-tidas? Pergunte se, em uma mes-ma linha da tabela ou na mesmacoluna, a soma das porcentagensdeveria ser igual a 100%. Por quê?
Peça que, para cada linha da tabe-
la que apresenta determinadaatitude, analisem as colunas cor-respondentes do gráfico e se hácoerência entre os dados.
• Resolver situações-problemacom dados apresentados demaneira organizada por meiode gráficos de colunas, barras,setores e linha.
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L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 291
53 cubinhos
Sim
Não
Não
reorganizações, aprofundamentos
e ampliações de ideias e conceitos eque, durante o ano, sempre devemser propostas novas atividadesenvolvendo os temas que estãosendo trabalhados nas Unidades.Essas propostas finais, ao lado desua observação durante as aulas,são bons indicadores da aprendi-zagem dos alunos.
Nessa seção é possível o professor
verificar o que o aluno aprendeue suas eventuais dificuldades. Asatividades visam a essa reflexãoe dão indícios sobre como avan-çar e se há necessidade de reor-ganizar outras propostas ou não.Mas é importante destacar queo conhecimento matemático vaise constituindo por articulações,
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