Matematica 7ano Prof

8/21/2019 Matematica 7ano Prof

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L I V R O D O P R O F E S S O RL I V R O D O P R O F E S S O R

2010

Cadernos de apoioe aprendizagem

P R O G R A M A D E O R I E N T A Ç Õ E S C U R R I C U L A R E S





Prefeitura da Cidade de São Paulo

PrefeitoGilberto Kassab

Secretaria Municipal de Educação

Secretário Alexandre Alves Schneider

Secretária Adjunta Célia Regina Guidon Falótico

Diretora da Assessoria Técnica de Planejamento Fátima Elisabete Pereira Thimoteo

Diretora de Orientação Técnica Regina Célia Lico Suzuki

(Coordenadora Geral do Programa)

Divisão de Orientação Técnica Ensino Fundamental e Médio

Suzete de Souza Borelli(Diretora e Coordenadora do Programa DOT/EF)Cristhiane de Souza, Hugo Luiz Montenegro,

Humberto Luis de Jesus, Ione Aparecida Cardoso Oliveira,Leika Watabe, Leila de Cássia José Mendes,

Margareth Aparecida Ballesteros Buzinaro, Maria Emilia Lima,Regina Célia dos Santos Câmara, Silvia Moretti Rosa Ferrari

Divisão de Orientação Técnica Educação Especial Silvana Lucena dos Santos Drago

Diretores Regionais de Educação Eliane Seraphim Abrantes, Elizabeth Oliveira Dias, Hatsue Ito,

Isaias Pereira de Souza, José Waldir Gregio, Leila Barbosa Oliva,Leila Portella Ferreira, Maria Angela Gianetti,

Maria Antonieta Carneiro, Marcelo Rinaldi,Silvana Ribeiro de Faria, Sueli Chaves Eguchi,Waldecir Navarrete Pelissoni

Equipe técnica de apoio da SME/DOT Ana Lúcia Dias Baldineti Oliveira, Ana Maria Rodrigues JordãoMassa, Claudia Aparecida Fonseca Costa, Delma Aparecida da

Silva, Jarbas Mazzariello, Magda Giacchetto de Ávila,Maria Teresa Yae Kubota Ferrari, Mariana Pereira Rosa Santos,

Tania Nardi de Padua, Telma de Oliveira

Assessoria Pedagógica SME/DOT Célia Maria Carolino Pires, Maria José Nóbrega

Fundação Padre Anchieta

Presidente João Sayad

Vice-Presidentes Ronaldo Bianchi

Fernando Vieira de Mello

Diretoria de Educação

Diretor Fernando José de Almeida

Gerentes Monica Gardelli Franco

Júlio Moreno

Coordenadora do projeto Maria Helena Soares de Souza

Equipe de autoriaCoordenação

Célia Maria Carolino Pires

Autores Armando Traldi Junior, Célia Maria Carolino Pires, Cíntia

Aparecida Bento dos Santos, Danielle Amaral Ambrósio, DulceSatiko Onaga, Edda Curi, Ivan Cruz Rodrigues, Janaína Pinheiro

Vece, Jayme do Carmo Macedo Leme, Leika Watabe,Maria das Graças Bezerra Barreto, Norma Kerches de Oliveira

Rogeri, Simone Dias da Si lva, Wanderli Cunha de Lima

Leitura crítica Eliane Reame, Rosa Monteiro Paulo, Walter Spinelli

Equipe Editorial

Gerência editorial Carlos Seabra

Secretaria editorial Janaína Chervezan da Costa Cardoso

Assessoria de conteúdo Márcia Regina Savioli (Língua Portuguesa)

Maria Helena Soares de Souza (Matemática)

Controle de iconografia Elisa Rojas

Apoio administrativo Acrizia Araújo dos Santos, Ricardo Gomes, Walderci Hipólito

Edição de texto

Helena Meidani, Maria Carolina de AraujoRevisão

Ana Luiza Saad Pereira, Marcia Menin,Maria Carolina de Araujo, Silvia Amancio de Oliveira

Direção de arte Eliana Kestenbaum, Marco Irici

Arte e diagramação Cristiane Pino, Cristina Izuno, Henrique Ozawa, Mariana Schmidt

Ilustrações Beto Uechi, Gil Tokio, Leandro Robles – Estúdio Pingado

Antonio RobsonFernando Makita

Bureau de editoração Mare Magnum Artes Gráficas





Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)(Bibliotecária Silvia Marques CRB 8/7377)

C122Cadernos de apoio e aprendizagem: Matemática / Programa de

Orientações curriculares. Livro do Professor. São Paulo: FundaçãoPadre Anchieta, 2010.Sétimo ano, il.

(vários autores)

ISBN 978-85-8028-036-4ISBN 978-85-8028-027-2 (aluno)

1. Ensino Fundamental 2. Matemática I. Título.CDD 371.302.813

Esta obra, Cadernos de apoio e aprendizagem – Matemática e Língua Portuguesa,

é uma edição que tem a Fundação Padre Anchieta como Organizadora

e foi produzida com a supervisão e orientação pedagógica da

Divisão de Orientação Técnica da Secretaria Municipal de Educação de São Paulo.



Sumário

Parte I

1. Apresentação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2. Reflexão sobre problemas a enfrentar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3. Orientações metodológicas e didáticas gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

Problematização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

Uso de recursos didáticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

Contextualização histórica e cultural . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

4. Orientações metodológicas e didáticas específicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

O trabalho com números racionais positivos e inteiros negativos . . . . . . . . . . . . . . . .17

O trabalho com operações envolvendo os números inteiros

e racionais positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

O trabalho com álgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

O trabalho com espaço e forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .24

O trabalho com grandezas e medidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

O trabalho com tratamento da informação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .27

5. Os Cadernos de apoio e o planejamento do professor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Planejar é preciso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

Planejar de acordo com o tempo didático . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .30

Planejar de acordo com a organização da sala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31Planejar de acordo com as diferentes modalidades organizativas . . . . . . . . . . . . . . .31

Acompanhamento e avaliação das aprendizagens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .32

Alguns procedimentos para coletar dados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

Referências bibliográficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Parte II

Comentários e sugestões página a página

Unidade 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

Unidade 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

Unidade 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

Unidade 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

Unidade 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

Unidade 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201

Unidade 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231

Unidade 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261





L IVRO DO PROFESSOR MATE MÁTICA · 7O ANO 9

1. Apresentação

O Caderno de apoio e aprendizagem – Matemática, dirigido

aos estudantes do 7o ano, é composto por oito Unidades, a

serem desenvolvidas ao longo do ano letivo. Em cada umadelas são propostas atividades relacionadas a um grupo de

expectativas de aprendizagem, retiradas das Orientações

curriculares e proposição de expectativas de aprendizagem

(da PMSP, Secretaria Municipal de Educação, 2007), articu-

lando diferentes eixos de conteúdos – números, operações,

espaço e forma, grandezas e medidas, tratamento da informa-

ção – que orientarão o planejamento das aulas.

Buscando apoiar o trabalho do professor, este material levaem conta o fato de que sua tarefa tornou-se muito mais com-

plexa do que a de simplesmente transmitir informações, pois

é necessário elaborar boas situações de aprendizagem que

mobilizem conhecimentos prévios de cada estudante e

que lhe permitam construir novos significados, novas apren-

dizagens e socializá-los com os colegas e com o professor. Tal

complexidade gerou a propagação de ideias simplistas que

ocasionam distorções a respeito do papel do ensino.

O que se pretende não é que as atividades aqui propostas

sejam “aplicadas mecanicamente”, e sim que provoquem

discussões entre os professores sobre as expectativas de

aprendizagem para os alunos e as hipóteses e pressupostos

considerados em cada uma delas para que sejam enriquecidas

e ajustadas a cada turma.

Destaca-se a importância do uso de outros recursos disponí-veis – livros didáticos, paradidáticos, vídeos, softwares, jogos

– que o professor julgue interessantes para ampliar a aprendi-

zagem de seus alunos. Da mesma forma, é fundamental que a

Matemática seja compreendida por eles e que não lhes traga

medo ou insegurança, cabendo ao professor criar um am-

biente favorável para a aprendizagem, cuidando sempre para



10 CADERNOS DE APOIO E APREND IZAGEM · SMESP

que tenham confiança na elaboração de estratégias pessoais

diante de situações-problema, assim como interesse e curio-

sidade por conhecer outras, aprendendo a trocar experiências

com seus pares e a cuidar da organização na elaboração e

apresentação dos trabalhos.

2. Reflexão sobre problemas a enfrentar

Para Pires e Santos (2008), ainda existem (e são fortes) alguns

mitos e crenças como o de que Matemática é algo para quem

tem dom, para quem é geneticamente dotado de determinadas

qualidades, ou o de que é preciso ter certo capital cultural paratransitar no universo matemático. Essas crenças se contrapõem

às propostas que defendem que todos os alunos podem fazer

Matemática em sala de aula, que são capazes de construí-la,

produzi-la, engajando-se no processo de produção de seus

conhecimentos matemáticos. É frequente também a crença de

que os estudantes só podem resolver problemas que conhe-

cem, que já viram resolvidos e que podem tomar como modelo.

Tal convicção dificulta a aceitação de que o ponto de partidada atividade matemática não deve ser uma definição, mas um

problema. Esse, certamente, não é um exercício em que se

aplica de maneira quase mecânica uma fórmula ou um processo

operatório, pois só há problema, no sentido estrito do termo,

se o aluno é obrigado a trabalhar o enunciado da questão que

lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada.

Segundo os mesmos autores, além desses mitos e crenças,

muitas deformações na prática docente foram se consoli-dando por influência de visões deturpadas das próprias teorias

educacionais. Uma ideia bastante comum é a de que, em uma

perspectiva construtivista, o percurso de aprendizagem deve

ser ditado unicamente por interesses dos alunos, sem defini-

ções prévias de objetivos e conteúdos. Construiu-se certa

aversão ao planejamento de uma trajetória de aprendizagem a




ser realizada pelos estudantes, o que leva à improvisação

e à não aprendizagem.

Pires e Santos (2008) destacam também como inadequada a

noção de que contextualizar envolve apenas mostrar as aplica-

ções dos conhecimentos matemáticos no cotidiano e não queos alunos possam atribuir significado às ideias matemáticas

em diferentes contextos; além disso, pouco se discute que

há momentos de descontextualização, fundamentais para a

construção de conhecimentos que poderão ser usados em no-

vos contextos. Existe, ainda, certo receio no que se refere

à institucionalização e sistematização dos conhecimentos;

deve-se refletir sobre o fato de que, à medida que as ideias e

procedimentos matemáticos vão sendo construídos pelos alu-nos, é fundamental que o professor os ajude a organizá-los,

a nomear, a definir, a formular e, também, a exercitar. Finalmen-

te, os autores enfatizam as muitas concepções de que, em geral,

o simples uso de “materiais concretos”, como jogos, softwares,

entre outros, resolve, por si só, os problemas de aprendizagem

dos alunos; esses recursos podem, sem dúvida, apresentar

boas situações de aprendizagem, mas tudo depende de como

elas são propostas e da intervenção planejada pelo professor.Tal perspectiva traz implicações para a atuação do educador

e, consequentemente, a necessidade de que ele se aproprie de

conhecimentos relativos aos conteúdos matemáticos, conheci-

mentos didático-pedagógicos e curriculares. Essa pretende ser

uma das contribuições dos Cadernos de apoio e aprendizagem.

3. Orientações metodológicas edidáticas gerais

As atividades deste material seguem os pressupostos abaixo

explicitados. São eles:

Exploração de uma diversidade de conteúdos, abordando,

de maneira equilibrada e articulada, números e operações,




espaço e forma, grandezas e medidas, além do tratamento

da informação, que aparece de modo transversal.

Apresentação contextualizada dos conhecimentos matemá-

ticos, com base nos problemas encontrados no cotidiano do

aluno, nas demais áreas de conhecimento e no interior daprópria Matemática, ressaltando que as ideias matemáticas

sejam sistematizadas e generalizadas para serem transferi-

das para outros contextos.

Uso de diversos recursos didáticos disponíveis – jogos,

materiais manipuláveis, vídeos, calculadoras, computado-

res, jornais, revistas – deve ser amplamente explorado a

serviço da aprendizagem.

A aprendizagem dos estudantes precisa ser acompanhadacontinuamente, sendo sempre orientada pelas expectativas

de aprendizagem que se deseja construir.

São eixos metodológicos privilegiados para o ensino de Mate-

mática: a resolução de problemas, as investigações, o recurso

à história da Matemática e às novas tecnologias.

Problematização

A problematização deve orientar o trabalho do professor, por

isso precisa estar sempre inserida no processo de aprendiza-

gem dos estudantes, que serão levados a desenvolver algum

tipo de estratégia para resolver as situações apresentadas. Um

problema não é traduzido por um enunciado contendo

uma pergunta a ser respondida de uma única maneira; é uma

situação que demanda a realização de ações ou operações

para obter um resultado. Desse modo, a solução não estádisponível de início, mas será possível construí-la.

A discussão de procedimentos para a resolução de proble-

mas, desde a leitura e análise cuidadosa da situação, até

a elaboração de procedimentos que envolvem simulações,

tentativas, hipóteses, é fundamental, especialmente quan-

do os estudantes são orientados para comparar seus resul-




tados com os de colegas e para validar seus procedimentos

e resultados.

O problema se caracteriza quando é necessário que o aluno

interprete o enunciado da questão proposta, estruture a situa-

ção apresentada, encontre uma solução e verifique se ela é ade-quada/correta, ou não. É preciso, portanto, que ele desenvolva

habilidades que lhe permitam provar os resultados, testar seus

efeitos e comparar diferentes caminhos para obter a solução.

Nessa forma de trabalho, a importância da resposta correta

cede lugar à importância do processo de resolução e da cons-

trução de argumentos matemáticos por parte dos estudantes.

O fato de o aluno ser orientado para questionar a própria

resposta, questionar o problema, transformar um dado pro-blema em uma fonte de novos problemas, formular outros

com base em determinadas informações e analisar proble-

mas abertos – que admitem diferentes respostas em função

de certas condições – evidencia uma concepção de ensino e

aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos,

mas pela via da ação refletida.

Com tais características, a resolução de problemas não é

uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como

aplicação da aprendizagem. Trata-se de uma orientação para

a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se po-

dem construir conceitos, procedimentos e argumentos que

ampliem o conhecimento matemático.

Uso de recursos didáticos

Uma das propostas de maior consenso na atualidade, entreeducadores, é a de que o ensino de Matemática possa aprovei-

tar, ao máximo, os recursos didáticos e tecnológicos disponí-

veis, para enriquecer o trabalho do professor e potencializar

as aprendizagens dos estudantes.

Nos últimos anos, a utilização de múltiplos recursos vem

sendo implementada pelos professores. Um exemplo é o




trabalho com a leitura de notícias de jornais e revistas e

com livros paradidáticos, que proporcionam contextos sig-

nificativos para a construção de ideias matemáticas e com-

plementam o que foi produzido com o livro didático. Outro

exemplo é o uso de calculadoras e computadores que, ne-cessariamente, devem estar presentes nas salas de aula das

novas gerações, tanto por sua ampla utilização pela socie-

dade como para melhorar a linguagem expressiva e comuni-

cativa dos alunos.

É interessante destacar que as experiências escolares com

o computador também têm mostrado que seu uso efetivo

pode levar ao estabelecimento de uma nova relação pro-

fessor-estudante, marcada por maior proximidade, interaçãoe colaboração.

As pesquisas na internet permitem aos estudantes ter infor-

mações sobre a história e sobre as personagens da Matemá-

tica e revelam que foram uma criação coletiva humana. Eles

aprendem que foram necessidades e preocupações de diferen-

tes culturas, em diversos momentos históricos, que impulsio-

naram o desenvolvimento dessa área de conhecimento.

Quanto ao uso da calculadora, constata-se que é um recurso

útil para verificação de resultados e correção de erros, podendo

ser um valioso instrumento de autoavaliação. Além disso, ela

favorece a busca e a percepção de regularidades matemáticas

e o desenvolvimento de estratégias de resolução de situações-

-problema, pois leva à descoberta de estratégias e à investi-

gação de hipóteses, uma vez que os alunos ganham tempo na

execução dos cálculos. No mundo atual, saber fazer cálculos

com lápis e papel é uma competência de importância rela-

tiva, que deve conviver com outras modalidades de cálculo,

como o cálculo mental e o produzido pelas calculadoras e as

estimativas.

Outros recursos utilizados em Matemática são aqueles que

funcionam como ferramentas de visualização, ou seja, como




imagens que por si mesmas possibilitam a compreensão ou

demonstração de uma relação, regularidade ou propriedade.

A visualização e a leitura de informações gráficas em Matemá-

tica são aspectos importantes, pois auxiliam a compreensão

de conceitos e o desenvolvimento de capacidades de expres-são gráficas.

Para complementar, destacamos que o material está acompa-

nhado por um DVD com dois vídeos: Abaixo de zero o que há?

e Movimentos e simetria.

O primeiro vídeo apresenta uma reportagem sobre o fun-

cionamento de um jornal televisivo, no qual são mostradas

situações com a utilização de números inteiros negativos.

No início do vídeo, o tema é abordado fazendo referência ao

uso dos elevadores em andares abaixo do térreo e, ao final, é

proposta para resolução uma situação que trata de operações

financeiras com saldos negativos.

Como o vídeo não deve ser usado apenas nesse momento, o

professor pode aproveitar a curiosidade e o interesse dos alunos

para ampliar e enriquecer o que foi apresentado no vídeo, além

de estabelecer conexões com outras áreas de conhecimento.O segundo vídeo, Movimentos e simetria, mostra uma ativi-

dade extracurricular pouco explorada em nossas escolas: uma

visita organizada por uma professora de Artes para que seus

alunos conheçam um dos museus mais bonitos da cidade de

São Paulo: o Museu Afro Brasil.

Durante a visita, a professora convida os alunos para obser-

varem isometrias presentes nas obras de arte de influência

africana e solicita a eles que descubram relações matemáti-

cas nas formas dos objetos.

Por meio de análise e da utilização de padrões, os estudantes

podem desenvolver recursos que favoreçam o estudo das ca-

racterísticas e propriedades de atividades ligadas às formas e

seus movimentos no plano.




Os movimentos de translação, rotação e reflexão e as pro-

priedades que deles decorrem são ferramentas importantes

não só na Matemática como também nas artes plásticas, na

decoração e na arquitetura.

Recomenda-se projetá-lo integralmente aos alunos, na pri-meira vez, e solicitar que cada um anote a informação do

vídeo que mais o surpreender e também os tipos de isometria

apresentados. Após a exibição, deve-se promover a discussão

do que a turma levantou.

Contextualização histórica e cultural

Ao estudar as contribuições matemáticas de algumas cul-

turas antigas, o aluno compreenderá que o avanço tecno-lógico de hoje não seria possível sem a herança cultural de

gerações passadas.

Embora a recomendação seja bastante óbvia, vale a pena res-

saltar que, ao abordar aspectos históricos, não se tem como

objetivo colocar a ênfase em fatos, datas e nomes e, muito

menos, que eles sejam memorizados pelos estudantes e co-

brados em avaliações. Fatos, datas e nomes aparecem nos

textos para contextualizar o próprio processo de construção

histórica das ideias e conceitos matemáticos.

Também os jogos que fazem parte da cultura infantil e ju-

venil podem contribuir para um trabalho de formação de

atitudes – enfrentar desafios, lançar-se à busca de soluções,

desenvolver a crítica, a intuição, a criação de estratégias e a

possibilidade de alterá-las quando o resultado não for satis-

fatório –, necessárias para a aprendizagem da Matemática.Além disso, na situação de jogo, muitas vezes, o critério de

certo ou errado é decidido pelo grupo. Assim, a prática do

debate possibilita o exercício da argumentação e a organi-

zação do pensamento.




4. Orientações metodológicas e didáticasespecíficas

O trabalho com números racionais positivos e

inteiros negativos

No 7o ano, com relação ao tema “números”, serão abordados

os números inteiros e os racionais.

Nas atividades da Unidade 1 são exploradas as diferentes repre-

sentações dos números racionais, como sua forma decimal e for-

ma fracionária. Também são trabalhadas diferentes situações

que envolvem números racionais, que podem se referir a vários

significados: relação parte-todo, quociente, razão e operador.

Quanto aos números inteiros, na Unidade 3, são explorados

seus diferentes significados, ressaltando que estudos sobre

o uso desses números mostram que os alunos enfrentarão

alguns obstáculos, como:

estabelecer significados às quantidades negativas;

reconhecer a existência de números em dois sentidos a par-

tir de 0, estabelecido como referência, enquanto para osnaturais a sucessão ocorre em um único sentido;

reconhecer diferentes papéis para o zero (zero absoluto e

zero origem).

Trabalhar com o conjunto dos números racionais como am-

pliação do conjunto dos números inteiros auxiliará na exten-

são das operações e suas propriedades. Assim como existem

situações que não podem ser representadas por números na-

turais, existem, também, aquelas que não podem ser repre-sentadas por números inteiros. Por exemplo, 1,8 ºC abaixo de

zero; 5,18 m abaixo do nível do mar; débito de R$ 45,21; o

quociente –5 por 6.

Os números racionais possuem uma propriedade que os nú-

meros inteiros não têm: entre dois números racionais sempre




há um número racional, o que implica que entre dois números

racionais há infinitos números racionais.

No estudo do conceito de razão, os alunos devem compreen-

der que, apesar da habitual distinção entre os termos fração

e razão, é comum comparar razões como se fossem frações.Nesse caso, está-se trabalhando com um dos significados de

número racional: um índice comparativo entre duas quantida-

des, ou número racional como razão.

O trabalho com operações envolvendo os números

inteiros e racionais positivos

Na Unidade 4 são apresentadas algumas estratégias para dar

significado aos números negativos, além de propor situa-ções que enfatizam as propriedades aritméticas desse campo

numérico:

Paulo lembrou que o consumo médio diário de água por

pessoa é de 100 litros. Organizou seu consumo médio

semanal usando os sinais + para um consumo que excedeu

100 litros e – para o consumo que faltava para atingir

100 litros.

segunda--feira

terça--feira

quarta--feira

quinta--feira

sexta--feira

sábado domingo

+ 20 – 15 + 10 – 32 + 8 + 10 + 15

a) Ao longo da semana, o consumo médio de Paulo passou

dos 100 litros diários? Explique.

b)Para que seu consumo médio fosse de 100 L diários,

o que ele precisaria fazer durante a semana?

Com relação às “operações”, as atividades da Unidade 1exploram os diferentes significados relativos aos campos

aditivo e multiplicativo envolvendo os números naturais e

racionais positivos. Na Unidade 3, as atividades estão dire-

cionadas para ampliar esse campo numérico com a inclusão

dos números inteiros negativos. Teorias recentes, como as do

pesquisador Gérard Vergnaud, trazem resultados interessan-




tes ao revelar que a dificuldade de um problema não está di-

retamente relacionada à operação requisitada para a solução.

Assim, nem sempre problemas que se resolvem por adição são

mais fáceis para os alunos do que outros que se resolvem por

subtração, como muitas vezes se imaginava.Esses estudos apontam para um trabalho conjunto com os

problemas aditivos e subtrativos, pois eles fazem parte de

um mesmo campo conceitual, e apoiam-se na ideia de que

os significados das operações não devem ser tratados de for-

ma separada em sala de aula. O mesmo ocorre para os pro-

blemas de multiplicação e divisão, que compõem o campo

multiplicativo.

Campo aditivo

Problemas associados à ideia de combinar estados para ob-

ter outro estado (ação de “juntar”).

Problemas associados à ideia de transformação, ou seja,

alteração de um estado inicial, que pode ser positivo ou

negativo.

Problemas associados à ideia de comparação.

Problemas associados à composição de transformações (po-sitivas e negativas) que levam à necessidade dos números

inteiros negativos, como no exemplo:

No início de um jogo, Rafael tinha certo número de pontos. Na

primeira partida, ele ganhou 15 pontos e, em seguida, per-

deu 32. O que aconteceu com seus pontos após essas duas

partidas?

Campo multiplicativo

Problemas associados à ideia de “multiplicação comparativa”.

Problemas associados à ideia de comparação entre razões,

que, portanto, envolvem a ideia de proporcionalidade.

Problemas associados ao produto de medidas.

Problemas associados à ideia de combinatória.




A ideia de combinatória envolve apenas o campo dos nú-

meros naturais. Ela está presente em situações relaciona-

das com a multiplicação e com a divisão.

Esse tipo de problema pode ser resolvido pela contagem di-

reta das possibilidades, usando uma tabela de dupla entra-da ou um diagrama de árvore que permita identificar todas

as possibilidades. É importante que os alunos vivenciem

esse tipo de situação, antes de pretender que reconheçam

a utilização de um cálculo multiplicativo.

Também são propostas algumas atividades para justificar a

multiplicação e a divisão de um número negativo por ou-

tro número negativo que podem apresentar algumas difi-

culdades de compreensão para alguns alunos por possuíremaspectos de “regra imposta”.

Se for conveniente, pode-se recorrer a outras explicações,

como as seguintes:

Estendendo a propriedade distributiva e lembrando que

+6 – 6 = 0

0 ∙ (–2) = 0

(+6 – 6) ∙ (–2) = 0

(+6) ∙ (–2) + (–6) ∙ (–2) = 0

–12 + (–6) ∙ (–2) = 0

Como –12 + 12 = 0, podemos concluir que (–6) ∙ (–2) = +12.

Usando o oposto

(–4) ∙ (–9) = –(+4) ∙ (–9)

(–4) ∙ (–9) = –(–36)

(–4) ∙ (–9) = +36

Um objetivo das Unidades 5 e 6 é o de consolidar alguns

conhecimentos a respeito dos números inteiros e suas ope-

rações e estendê-los para os números racionais positivos e

negativos, como na atividade:




Também podemos representar na reta numérica os números

racionais expressos na forma decimal. Por exemplo, para

localizar o número –0,3, lembramos que –0,3 = .

a)Logo, para localizar o número –0,3 na reta numérica,

em quantas partes iguais você dividirá a unidade?b)Na malha quadriculada abaixo, desenhe uma reta

numérica para localizar os números –0,5; –0,3; –1; 0;

0,3; 0,5; 1 e 1,7.

Nas Unidades 5 e 6 são propostas atividades para que osalunos possam reconhecer a interdependência entre razão,

proporção e proporcionalidade. De modo geral, esse é um

tema em relação ao qual os alunos não costumam apresentar

grandes dificuldades por estarem familiarizados com as situa-

ções-problema que serão “convidados” a resolver. Em muitas

delas, é comum recorrer à intuição, ao raciocínio aritmético

e cálculos elementares e deixar de lado as equações. Propor

situações-problema é um caminho que poderá despertar inte-resse para o estudo de proporcionalidade:

Observe as informações contidas no gráfico:

1. O que significa o número destacado 4,65?

F O L H A P R E S S

Fonte: Folha de S.Paulo, 9 fev. 2010. Caderno Agrofolha, B8.




2. Se 4,65 kg ou 4.650 mg de café equivalem a

1.560 xícaras de 50 mL, então 9.300 mg equivalem a

3.120 xícaras do mesmo tipo? Justifique sua resposta.

O trabalho com álgebraAs atividades propostas nas Unidades 6 e 7 possibilitam

identificar diferentes usos para as letras, em situações que

envolvem generalização de propriedades de relações numé-

ricas e padrões. Também permitem traduzir uma situação-

-problema em linguagem algébrica usando equações, for-

mular problemas com base em dada equação do 1o grau e

compreender o significado da incógnita e da solução (raiz)

de uma equação.As atividades que incluem generalização de padrões são

abertas, do tipo investigativa, e abarcam um contexto mate-

mático. Esse tipo de tarefa leva os alunos a buscar estra-

tégias de resolução, sem ater-se a atividades repetitivas e

ao uso mecânico de procedimentos algébricos. Aquelas em

que os alunos exploram situações e percebem regularidades

permitem-lhes formalizar algumas regras e expressar-se alge-

bricamente. Desse modo, começam a abstrair e também adesenvolver capacidades relacionadas ao pensamento algé-

brico. Às vezes, a formalização da escrita algébrica não é tão

evidente. Eles se expressam com mais facilidade na língua

natural. No entanto, é preciso levá-los a usar a linguagem

algébrica para expressar a generalização de um padrão ou de

uma propriedade aritmética.

Nas atividades de generalização de padrões, às vezes, podehaver mais de uma resposta, por exemplo: na Unidade 6, no

caso da questão dos bombons e caramelos, os alunos podem

encontrar 2n + 2 bombons ou (n + 1) ∙ 2; e no das portas

podem encontrar n ∙ 4 + 1 ou 5 + (n – 1) ∙ 4.

Como foi comentado, os dois registros de representação, o

da linguagem comum e o da linguagem algébrica, são de




fundamental importância na aprendizagem da álgebra. Por

esse motivo, diferentes situações foram propostas aos alu-

nos com objetivo de fazerem a conversão entre essas duas

representações.

Outro ponto de destaque é a introdução à resolução de equa-ções, sem o oferecimento de regras como “muda de membro,

muda de sinal”, mas deixando os alunos usarem seus co-

nhecimentos aritméticos dos campos aditivo e multiplica-

tivo e resolverem as equações mentalmente. À medida que

eles vão solucionando as equações, é possível sistematizar

algumas operações simples como 2x + 3x = 5x, por exemplo.

Não se espera que cheguem à equação e a solucionem. Eles

podem fazer isso por “ensaio e erro”, substituindo x pordiversos números diferentes até que a igualdade fique ver-

dadeira, mostrando que perceberam o significado de raiz de

uma equação.

Há uma proposta de resolução de problemas por meio da arit-

mética e de equações algébricas. É interessante que se discu-

tam, na socialização dos procedimentos, as diferentes solu-

ções e haja um debate sobre as vantagens e desvantagens de

cada uma, como na atividade:

Os problemas abaixo podem ser resolvidos tanto por meio

de operações aritméticas como por equações. Escolha

um procedimento e resolva-os. Depois, discuta sua

resolução com um colega que usou o outro procedimento

e copie a resolução dele na outra coluna.

Resolução algébrica Resolução aritmética

A diferença entre o quádruplode um número e seu dobroé 56. Qual é esse número?

A soma de dois númerosconsecutivos é 45.Quais são eles?




Na elaboração de textos de problemas, na socialização dos

enunciados, é conveniente encaminhar as discussões para

que os alunos percebam que uma equação soluciona uma

classe de problemas. Esse fato justifica a importância de re-

solver problemas algebricamente, mesmo que os enunciadosenvolvam contextos bastante diferentes. Vale a pena desta-

car que, de acordo com o contexto, nem sempre a solução

obtida serve como resposta ao problema.

O trabalho com espaço e forma

No tema “espaço e forma”, o estudo parte de atividades que

estimulam a visualização de elementos geométricos e progri-

de para que os alunos sejam capazes de descobrir proprie-dades no espaço e nas formas e as relacionem. Atividades

contendo construção e representação serão exploradas por

sua importância, revelada em vários estudos sobre o tema.

A Unidade 3 propõe situações que envolvem a posição ou a

movimentação de pessoas ou objetos, utilizando coordena-

das cartesianas e números inteiros positivos e negativos.

Quanto às figuras tridimensionais, recomendam-se atividades

que permitam quantificar e estabelecer relações entre o nú-

mero de vértices, faces e arestas de prismas e de pirâmides e

estabelecer relações entre esses números e o número de lados

do polígono da base dessas figuras, além de esboçar diferen-

tes planificações de um cubo trabalhadas em uma sequência

de atividades na Unidade 3.

Com relação às figuras planas, sugerem-se atividades que

explorem a composição e a decomposição de figuras, comoladrilhamentos e tangrans, que são desenvolvidas na Unida-

de 4 e permitem aos alunos a descoberta de que toda figu-

ra poligonal pode ser composta/decomposta por outra e em

particular por triângulos.

Na Unidade 7, focaliza-se o tema das transformações geomé-

tricas, como a reflexão em uma reta (simetria axial), a trans-




lação e a rotação, com a demonstração de que a figura trans-

formada mantém as mesmas medidas de lados e de ângulos,

além de outras propriedades. Essas transformações são, por

isso, chamadas isometrias.

Um aspecto interessante está no fato de que, quando com-pomos duas reflexões em retas paralelas, a figura resultante

é uma translação da primeira figura. Quando, porém, compo-

mos duas reflexões em retas concorrentes, a figura resultante

é uma rotação da primeira figura.

Para abordarmos o tema, optamos por trabalhar as transfor-

mações existentes nas manifestações artísticas da cultura

africana, que, assim como outras civilizações, faz uso das

isometrias referenciadas anteriormente, o que mostra a afini-dade da Matemática com a beleza e a harmonia, característi-

cas também presentes nessas manifestações artísticas:

Observe os esboços de animais que podem servir de modelo

para máscaras feitos por Luana e complete-os usando

reflexão em reta em cada caso.

a)Uma serpente. b)Um crocodilo.




Luana localizou outra figura interessante da cultura

africana e quer reproduzi-la em seu caderno. Ela já iniciou

o desenho, e agora precisa fazer 3 rotações de 90º.

Ajude-a nessa tarefa.

Cabe destacar a importância de trabalhar com eixos de sime-

tria em diferentes posições. Alguns estudos mostram que os

alunos apresentam, de modo geral, mais dificuldade na cons-

trução de simetrias com eixos inclinados em relação à malha

quadriculada, mesmo quando a atividade é realizada sem o

uso dessa malha. Um trabalho interessante com as transfor-

mações geométricas pode ser feito com o uso de softwares apropriados, em que os alunos podem fazer conjeturas sobre

o que acontece quando a uma figura é aplicada uma reflexão

em reta, uma translação ou uma rotação. É importante com-

plementar a atividade exibindo o vídeo Movimentos e simetria.

O trabalho com grandezas e medidas

No 7o ano, a estimativa e a medida de grandezas com o

uso de unidades de medidas convencionais são bastante ex-ploradas. No estudo do volume do cubo (Unidade 8) são

apresentadas situações que envolvem o empilhamento de

“cubinhos” na construção de paralelepípedos retângulos.

O objetivo é que os alunos possam concluir que, para obter o

volume desse sólido, basta multiplicar as medidas das três

arestas que se encontram em um mesmo vértice. Também




são propostas situações em que os alunos verificam que há

medidas exatas e aproximadas e fazem estimativas.

A Unidade 8 também propõe situações envolvendo a relação

entre o metro e seus submúltiplos, o litro e seus submúlti-

plos, para que sejam exploradas, posteriormente, as unidadesde volume e de capacidade e as relações entre o decímetro

cúbico e o litro (1 dm³ corresponde a 1 litro), o metro cúbico

e o litro (1 m³ corresponde a 1.000 litros), o centímetro cúbi-

co e o mililitro (1 cm³ corresponde a 1 mililitro).

Há uma atividade em que o aluno completa um texto com

medidas e com grandezas que sejam plausíveis.

A água doce na Terra e a importância de buscar formas de

economizá-la são colocadas em debate por meio de textos,

como “Água de reuso – uma solução para a sustentabilidade”.

Um trabalho interessante será discutir contas de consumo

de água e energia e, a partir daí, propor o debate de como

enfrentar problemas e questionar propostas para este desafio

da humanidade: “A redução do consumo de água e energia”.

Na Unidade 8 há uma situação para exploração de unidades de

medidas convencionais, porém não usuais em situações coti-dianas, como a milha terrestre e a milha marítima, o alqueire

paulista e o alqueire mineiro, o pé, a polegada e a jarda.

O trabalho com tratamento da informação

Os conteúdos do tema “tratamento da informação” são abor-

dados nas Unidades 2, 3, 5 e 8. As atividades possibilitam o

desenvolvimento de formas particulares de pensamento e ra-

ciocínio que permitem resolver determinadas situações-pro-blema nas quais é necessário coletar, organizar e apresentar

dados, interpretar e comunicar resultados por meio da lin-

guagem estatística. O estudo de gráficos e tabelas favorece o

aperfeiçoamento de atitudes como posicionar-se criticamen-

te, prever e tomar decisões perante informações veiculadas

pela mídia, ou por outras fontes.




Assuntos sobre economia, política, esportes, educação, saú-

de, alimentação, moradia, meteorologia, pesquisas de opi-

nião, entre outros, despertam o interesse dos alunos por

questões sociais. Eles também são contextos significativos

para a aprendizagem dos conceitos e procedimentos matemá-ticos referentes ao tratamento da informação.

O trabalho com o tratamento da informação é ampliado neste

ano na abordagem das situações, nos tipos de gráficos e

tabelas, conforme sequência da Unidade 2, e ainda com rela-

ção aos campos numéricos utilizados. Sugerem-se atividades

com gráficos envolvendo situações que usem números posi-

tivos e negativos, como as de balança comercial, variações

de saldos etc.Situações com dados organizados em tabelas simples e de

dupla entrada, em gráficos de colunas, de barras, de setores

e de linhas são exploradas na Unidade 3, nas quais os alunos

devem interpretar as informações e utilizá-las na resolução de

uma situação-problema. Mas também se recomenda a cons-

trução de tabelas simples e de dupla entrada e de gráficos

de colunas, de barras e de linhas, para organizar dados co-

letados. Por último, sugere-se a produção de textos escritos,descrevendo e interpretando dados apresentados em tabelas

simples ou de dupla entrada e em gráficos de colunas, de

barras e de linhas:

A tabela abaixo mostra o número de livros consultados

numa biblioteca escolar durante uma semana. A biblioteca

organiza seus livros entre literatura, ciências, ficção,

poesia e história.

segunda-feira terça-feira quarta-feira quinta-feira sexta-feira

literatura 10 15 12 20 15

ciências 12 10 15 25 17

ficção 8 12 10 15 15

poesia 10 8 12 05 20

história 7 10 15 15 10




1. Quantos livros foram consultados na quarta-feira?

2. Quantos livros de ciências foram consultados durante

a semana?

3. Em que dia da semana os livros de literatura foram mais

consultados que os livros da área de ciências?4. Foram consultados mais livros de poesia na segunda-

-feira ou na quinta-feira? Quantos?

5. Quantos livros de história deveriam ser consultados a

mais na sexta-feira para igualar o número de consultas

da quarta-feira?

6. O que significa o número 25 nessa tabela?

7. Escreva um texto comparando as consultas realizadas

de segunda a sexta-feira.

5. Os Cadernos de apoio e o planejamentodo professor

Planejar é preciso

Uma das características dos Cadernos de apoio e aprendizagem é a explicitação da relação entre as diferentes atividades

e as expectativas de aprendizagem que se pretende alcançar.

Essa explicitação é fundamental para que o professor, saben-

do aonde quer chegar, planeje o desenvolvimento de cada

atividade ou sequência de atividades, buscando coerência

entre o que deseja atingir e o que de fato acontece na sala

de aula, introduzindo ajustes necessários.

O planejamento deve ser sempre flexível, o que não se confun-de com improvisações ou falta de organização. É preciso levar

em conta as possibilidades de aprendizagem dos estudan-

tes, seus conhecimentos prévios e suas hipóteses sobre os

conceitos e procedimentos estudados, bem como as estraté-

gias pessoais. Apenas tendo clareza sobre as expectativas de

aprendizagem o professor pode reorientar as atividades sem




perder aspectos importantes como a continuidade e o pro-

gresso na construção dos conhecimentos. O planejamento faz

parte de todo o desenvolvimento das atividades propostas

e inclui a elaboração de outras que surgirão em decorrên-

cia das necessidades específicas de aprendizagem dos alunose de seus interesses.

O professor pode enriquecer seu planejamento discutindo

com seus pares, em um processo colaborativo de troca de

saberes e de experiências.

Planejar de acordo com o tempo didático

A organização do trabalho permite usar melhor o tempo

didático e oferecer situações significativas que favoreçam aaprendizagem. Por isso, é importante ressaltar que organizar

a rotina implica tomar decisões acerca do uso inteligente

do tempo de aprendizagem, o que é diferente da distribui-

ção simples e despretensiosa das atividades em determinado

período.

A organização do tempo é necessária para a aprendizagem

não só dos alunos, mas também do professor, especialmente

no que se refere à gestão de sala de aula. Essa é uma apren-

dizagem constante, pois, a cada nova turma, novos desa-

fios são colocados. O que o professor aprendeu sobre gestão

de sala de aula com um grupo de estudantes nem sempre é

transferível para outro.

O tempo dedicado às aulas de Matemática deve ser obser-

vado de forma criteriosa. A organização desse trabalho exi-

ge levar em conta a natureza das atividades e pensar emtempos maiores (como aulas duplas) para ocasiões em que

estão previstas sequências de atividades mais longas, por

exemplo.

Outro aspecto importante é o planejamento do uso do Cader-

no e de outros materiais ao longo de uma semana.




No 7o ano, é aconselhável que a rotina semanal contemple

algumas situações didáticas permanentes e de sistematiza-

ção, que podem ser desenvolvidas por meio das atividades

sequenciais propostas no Caderno de apoio. O intuito é que

o uso do material seja articulado ao planejamento e à rotinado professor.

Planejar de acordo com a organização da sala

Outro aspecto importante do planejamento do professor diz res-

peito à organização da classe para o desenvolvimento de cada

atividade: diversificar agrupamentos em duplas, trios, realizar

trabalhos individuais. Sabe-se da potencialidade das ativida-

des em grupo pela interação que promovem entre os estudan-tes, que podem aprender uns com os outros, mas é necessário

que o professor acompanhe o trabalho de cada agrupamento

levando os alunos a expor suas conclusões e a tomar deci-

sões e dando informações/explicações que julgar necessárias.

No entanto, em alguns momentos também é importante a

realização de atividades individuais para que se analise

a autonomia de cada estudante, sua iniciativa para resolver

problemas.

Planejar de acordo com as diferentes modalidades

organizativas

Ainda sobre o planejamento para uso do Caderno, é importante

que o professor se organize para explorar várias modalidades

organizativas. As sequências de atividades de cada Unida-

de são um conjunto articulado de situações de aprendiza-

gem, com objetivos e conteúdos bem definidos, que incluemproblemas e exercícios orais e escritos, uso de jogos, de

materiais, entre outras propostas para as quais é preciso

definir os modos de realização.

Também é fundamental planejar atividades permanentes,

ou seja, aquelas que se repetem de forma sistemática. Elas




possibilitam o contato intenso com um tipo específico de

atividade em cada ano da escolaridade e são particularmente

apropriadas para comunicar certos aspectos atitudinais em

relação à Matemática. As atividades permanentes são, ainda,

adequadas para cumprir outro objetivo didático: o de favore-cer a aproximação dos estudantes com textos que não leriam

por si mesmos ou com a resolução de problemas do dia a dia

que podem ser trazidos, a princípio, pelo professor e, depois,

pelos próprios alunos. As atividades de cálculo mental certa-

mente podem ser incluídas nessa modalidade de organização

do trabalho escolar.

Contudo, também deve ser reservado tempo para ativida-

des ocasionais, que podem ser motivadas por um assunto derepercussão na mídia que tenha interesse para os alunos cuja

compreensão exija algum conteúdo matemático. Não há sen-

tido em não tratar do assunto pelo fato de não ter relação

com o que se está fazendo no momento, e a organização de

uma situação ocasional se justifica.

Acompanhamento e avaliação das aprendizagens

Se já são visíveis os avanços de natureza metodológica emparte significativa dos trabalhos realizados durante as aulas de

Matemática, é verdade também que é preciso aprofundar as

discussões e modificar as práticas de avaliação. Ideias anti-

gas predominam na avaliação em Matemática, valorizando a

memorização de regras e procedimentos e deixando de lado,

muitas vezes, a compreensão de conceitos, a criatividade nas

soluções, as possibilidades de enfrentar situações-problema

e resolvê-las.

Assim sendo, em uma proposta que contempla uma varie-

dade de situações de aprendizagem – resolução de proble-

mas, recurso à história da Matemática, uso de recursos

tecnológicos, desenvolvimento de projetos de trabalho,

estabelecimento de conexões com outras áreas de conheci-




mento –, não faz sentido manter uma concepção de avalia-

ção incoerente com novos objetivos e com novas abordagens

do conhecimento matemático.

A avaliação tem a função de fornecer aos estudantes e pro-

fessores informações sobre o desenvolvimento das capacida-des e competências exigidas socialmente, bem como auxiliar

os professores a identificar os objetivos atingidos, com vistas

a reconhecer a capacidade matemática dos alunos, para que

possam inserir-se no mercado de trabalho e participar da vida

sociocultural.

Cabe também à avaliação informar como está ocorrendo a

aprendizagem: os conhecimentos adquiridos, os raciocínios

desenvolvidos, os hábitos e valores incorporados, o domíniode certas estratégias, para que o professor possa propor re-

visões e reelaborações de conceitos e procedimentos ainda

parcialmente consolidados.

Se os conteúdos estão dimensionados em conceitos, proce-

dimentos e atitudes, cada uma dessas dimensões pode ser

avaliada por diferentes estratégias. A avaliação de conceitos

é feita por meio de atividades voltadas à compreensão de

definições, ao reconhecimento de hierarquias, ao estabele-

cimento de relações e de critérios para fazer classificações

e também à resolução de situações de aplicação envolvendo

conceitos. A avaliação de procedimentos implica reconhe-

cer como eles são construídos e utilizados. A avaliação de

atitudes pode ser feita pela observação do professor e pela

realização de autoavaliações.

Embora a avaliação esteja intimamente relacionada aos obje-tivos visados, estes nem sempre se realizam plenamente para

todos os estudantes. Por isso, critérios de avaliação devem

ser elaborados com a função de indicar as expectativas de

aprendizagem possíveis de serem desenvolvidas pelos estu-

dantes, ao final de cada ciclo.




Alguns procedimentos para coletar dados

Ao final de cada Unidade, na seção “Agora, é com você”, são

propostas questões para avaliar os conhecimentos matemáti-

cos, considerando o conjunto das atividades desenvolvidas na

Unidade. Elas são apresentadas na forma discursiva e comotestes. A proposição de testes tem como objetivo principal

preparar os alunos para os vários tipos de avaliações externas

a que são submetidos, atualmente, nos sistemas educacionais

municipais, estaduais e nacionais. Em geral, as atividades

têm como parâmetros os descritores que pautam a elabora-

ção de questões de avaliações institucionais como a Prova da

Cidade, a Prova Brasil etc.

Sabemos que não é simples acompanhar as aprendizagensde todos os alunos de uma sala de aula, especialmente

se desejamos fazer isso de maneira sistemática. No entanto,

é necessário fazer observações com regularidade e registrá-las,

tendo como referência, por exemplo: 1) as respostas dos

estudantes, quando eles manifestam de forma implícita ou

explícita suas certezas, dúvidas e erros; 2) as observações

das atitudes, ações e discussões efetuadas durante as tare-

fas individuais, em duplas, em grupos ou com a classe toda;3) a análise de tarefas, individuais e em grupo, feitas em classe

e em casa, de provas e trabalhos extraclasse.

Esses registros devem orientar o planejamento de novas ativi-

dades e também subsidiar a avaliação dos resultados de apren-

dizagem por todos os envolvidos (estudantes e professor).

Uma sugestão é que, ao final de cada Unidade, os alunos,

individualmente, retomem os tópicos e as anotações desen-volvidos naquela Unidade. Eles podem elaborar comentários

orais ou escritos e outras formas de registrar o que puderam

constatar sobre o próprio processo de aprendizagem. Com

relação aos registros do professor, a elaboração de fichas de

observação de desempenho em Matemática é muito impor-

tante. Em seguida há sugestão de ficha de acompanhamento.




Legenda: S = sim; P = parcialmente; N = não.

Expectativas de aprendizagem Alunos

Unidade 1 1 2 3 4 5 6 7 8...

Reconhecer números racionais positivose negativos, representados na formafracionária ou decimal, em contextosdiversos, e explorar diferentes significados.

Localizar números racionais na retanumérica.

Analisar, interpretar, formular e resolversituações-problema compreendendodiferentes significados das operações doscampos aditivo e multiplicativo envolvendonúmeros naturais, inteiros e racionais.

Realizar cálculos (mentais ou escritos,exatos ou aproximados) envolvendo

operações com números inteiros por meiode estratégias variadas, com compreensãodos processos nelas envolvidos, e saberutilizar a calculadora para verificar econtrolar resultados.

Resolver situações-problema que abrangemas ideias de razão e de proporcionalidade,ampliando a noção e o uso deporcentagens.

Unidade 2 1 2 3 4 5 6 7 8...

Quantificar e estabelecer relações entre

o número de vértices, faces e arestas deprismas e pirâmides, relacionando essesnúmeros com o número de lados dopolígono da base dessas figuras.

Resolver situações-problema em que sejanecessário compor ou decompor figurasplanas.

Resolver situações-problema com dadosapresentados de maneira organizada pormeio de tabelas simples e de dupla entrada.

Resolver situações-problema com dadosapresentados de maneira organizada pormeio de gráficos de colunas, barras, setorese linha.

Construir tabelas simples e de duplaentrada para apresentar dados coletados.

Construir gráficos de colunas, de barras ede linhas para apresentar dados coletados.






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1o semestre






baixo para cima (vermelha) indica

a população de 10 a 14 anos: maisde 8 milhões de jovens do sexo

masculino e também do sexo femi-nino, ou seja, mas de 16 milhõesde pessoas pertencem a esta faixaetária. Explore outras situações.

Diga que podem saber, por exem-

plo, a fonte dos dados e comose distribui a população por fai-

xa etária e por sexo e comente aimportância dessas informações

para o planejamento de polí ticaspúblicas.

Peça aos alunos que, em grupos,

analisem a pirâmide etária doBrasil.Discuta as informações dadas

no gráfico e proponha algumas

estimativas e aproximações.

Por exemplo, a terceira faixa de

•M2 Reconhecer númerosracionais positivos e negativosrepresentados na formafracionária ou decimal, emcontextos diversos, e explorardiferentes significados.

•M3 Localizar números racionaisna reta numérica.

•M4 Analisar, interpretar, formulare resolver situações-problemacompreendendo diferentessignificados das operações doscampos aditivo e multiplicativoenvolvendo números naturais,inteiros e racionais.

•M5 Realizar cálculos(mentais ou escritos, exatosou aproximados) envolvendooperações com númerosinteiros por meio de estratégiasvariadas, com compreensão dosprocessos nelas envolvidos, esaber utilizar a calculadora paraverificar e controlar resultados.

•M11 Resolver situações--problema que abrangemas ideias de razão e deproporcionalidade, ampliando anoção e o uso de porcentagens.

Material necessário para odesenvolvimento da Unidade: calculadoras

réguasResposta possível: a distribuição da população brasileiraem 2005 por idade e sexo.




Você ainda pode organizar grupos

para pesquisar outras informaçõessobre juventude em diferentes

períodos e compartilhar suas des-cobertas com a classe.

Comente que os dados da tabe-

la foram retirados do gráfico dapágina anterior. Essa é uma ta-

bela de dupla entrada. Antes da

realização da atividade, explore

as informações apresentadas naslinhas, nas colunas e nas inter-

secções entre elas.

• Analisar, interpretar, formulare resolver situações-problemacompreendendo diferentessignificados das operações doscampos aditivo e multiplicativoenvolvendo números naturais,inteiros e racionais.

Há 400.000 homens a mais.

Há 300.000 homens a mais.

500.000

8.000.000

Há 9.400.000 a mais pessoas na faixa de 15 a 19 anos.




erros na leitura dos números, use

o quadro de ordens e classes paracorrigi-los. Depois, diga-lhes queanalisem os arredondamentos fei-tos na tabela de Júlia e perguntecomo acham que ela pensou.

Pergunte aos alunos no que pre-

tendem trabalhar quando foremadultos e como pensam em se pre-parar para atingir esse objetivo.Peça a alguns que leiam em voz

alta os dados da tabela. Se houver

• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos, e saber utilizar

a calculadora para verificar econtrolar resultados.

4.105.000

8.027.000

25.182.000




Na atividade 2, faça um levanta-

mento dos critérios usados pelosalunos para determinar renda fa-miliar per capita.Socialize-os e discuta com eles

quais são mais adequados.Finalize as atividades, solicitandoo registro de diferentes procedi-

mentos.

Antes de começar a atividade,

disponibilize calculadoras paraos alunos. Depois, explique o quesignifica renda familiar per capitae comente que essa expressão é

comum em jornais e noticiários.Na atividade 1, verifique se os

alunos entendem as informações

e as usam corretamente; em caso

contrário, procure orientá-los.


150,0077,25

120,00

136,75

renda familiar: 930,00 + 1.000,00 + 550,00 + 520,00 = 3.000,00número de pessoas da família: 6renda familiar per capita: 3.000,00 : 6 = 500,00




maior: família A; menor: família C; justificativa pessoal.

família D, R$120,00, e família B, R$ 150,00.

famílias A, E e C.

famílias A e C: R$ 1.358,40; família B: R$ 849,00;família D: R$ 1.188,60; família E: R$ 679,20.




Para saber mais sobre os pro-

blemas do campo aditivo, leiao texto “O aporte da teoria dos

campos conceituais” (p. 105 e

106) da publicação Orientações

Curriculares – Ensino Fundamen-

tal II – Matemática.

As situações-problema desta pá-

gina são do campo aditivo e en-volvem a ideia de transformação.Os itens a e b envolvem trans-

formação positiva e busca do

estado final, o item c envolve

transformação negativa e a buscado estado inicial.


• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos, e saber utilizara calculadora para verificar econtrolar resultados.

145

15

34




Na sistematização, associe os

procedimentos de aproximação,estimativa e de cálculo exato ao

sistema de numeração decimal e

às propriedades da adição, sem

exigência de saber os nomes delas,mas naquilo que permitem fazer.

Na atividade 1, oriente os alunos

a estimar os valores de B. Se forpreciso, sugira arredondamentos

dos números e mostre como é pos-sível obter o valor aproximado deB no item a. Explore os diferentesmodos de solução que aparecerem.Sugira aos alunos que confiram asrespostas com a calculadora.

1.768

2.275

7.246

1.450

3.006

4.362




Aproveite os procedimentos utili-

zados pelos alunos para sistema-tizar as ideias, associando-os ao

SND e às propriedades da multi-

plicação e da divisão.

As situações-problema apresenta-

das na atividade 1 são do campomultiplicativo e envolvem a ideiade proporcionalidade.Para saber mais sobre a resoluçãode problemas do campo multipli-

cativo, leia o texto das páginas

106 a 108 da publicação Orienta-

ções Curriculares – Ensino Funda-

mental II – Matemática.


• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos, e saber utilizara calculadora para verificar econtrolar resultados.

600

R$ 112,00

R$ 45,00

45




Observe as resoluções dos alunos,

escolha algumas para socializar eproponha outras, que não tenhamsurgido, para ampliar o repertóriode resoluções no campo multipli-cativo: tentativa, árvore de pos-

sibilidades, tabela etc.

Sistematize as ideias desta e da

página anterior.Sugestão: produção coletiva de

um texto a partir do título “Pro-blemas resolvidos pela multipli-cação ou pela divisão”.

Os problemas desta página são

do campo multiplicativo, e envol-vem a comparação (1), a combi-nação (2, 3 e 4) e a configuraçãoretangular (5).



164 meninas

15 maneiras

6 calças

84 pares

72 cadeiras




os alunos sobre as ideias mate-

máticas (SND e propriedades damultiplicação e da divisão) que

fundamentam e, consequentemen-te, auxiliam na compreensão do

seu funcionamento.

Na atividade 1, sugira aos alu-

nos que confiram as respostas nacalculadora, verifique os procedi-mentos utilizados e ajude os quetiverem dificuldades. Neste caso,

aproveite o momento de siste-

matização para conversar com

123

570

24

29

142.506

49




procedimentos eficientes para es-

timar resultados de adições, sub-trações, multiplicações e divisões.Sugira a retomada da atividade

anterior, e o texto produzido na

sistematização aos alunos que

ainda apresentam dificuldades.

Peça aos alunos que, na ativida-

de 2, estimem os resultados. Emseguida, que efetuem os cálculose confirmem os resultados com

a calculadora.Na sistematização, elabore jun-

to com os alunos um quadro de

120

156

1.428

12

13

1.315






adição (item b). Depois da reso-

lução, socialize e sistematize osprocedimentos de cálculo mental,relacionando-os ao sistema de

numeração decimal (valor posi-

cional, decomposição, princípiosaditivo e multiplicativo) e às pro-priedades citadas anteriormente.

Para efetuar os cálculos mental-

mente, os alunos têm que pensarsobre a escolha adequada de par-celas para o cálculo mental e usaras propriedades das operações

– como a associativa da adição

(itens a e c) ou a distributiva

da multiplicação em relação à

187 120

200

140

1.500

36

169

150

118

100

70 280

420

216

524.631

347.861

182.530

210.252

60

200

20.000

100.000

500.000

190.500

Resposta pessoal






Na atividade 2, discuta coleti-

vamente as propriedades utiliza-das nos procedimentos de cálculomental da adição.

Na atividade 3, verifique se os

alunos usaram as propriedades deforma adequada, ressaltando quehá várias formas de aplicá-las emcálculos de expressões numéricas.

Na atividade 1, pergunte aos

alunos se eles já fizeram cálcu-los usando as propriedades, mes-mo sem saber sua denominação.

Peça exemplos de situações ou

forneça-os.

137

70

72

Resposta pessoal

Sim, são válidas.

Resposta pessoal

Resposta pessoal






Nas atividades 1 e 2, socialize os

procedimentos utilizados e siste-matize as ideias, que devem ser

registradas no caderno.Na atividade 3, ajude os alunos

a perceber as relações entre os

números multiplicados e a impor-tância de usá-las para facilitar os

cálculos. Discuta as explicações

que surgiram e acrescente as quenão aparecerem.Sistematize as ideias em torno doque ocorre com o produto de umamultiplicação quando seus fato-

res são multiplicados por númerosnaturais diferentes de zero.

Antes da resolução das ativida-

des desta página, retome o queos alunos já aprenderam sobre

procedimentos de cálculo da mul-tiplicação e da divisão para que

possam utilizá-los.

102

Basta multiplicar 19.200 por 2,porque 16 é o dobro de 8.38.400

76.800

153.600

Basta multiplicar 19.200 por 4,

porque 32 é o mesmo que 4 x 8,ou 38.400 por 2, porque 32 é odobro de 16.

Basta multiplicar 19.200 por 8,porque 64 é o mesmo que 8 x 8,ou 38.400 por 4, porque 64 é iguala 4 x 16, ou 76.800 por 2, porque64 é o dobro de 32.

11.000

5480





Resposta possível: multiplicar a medida da altura por ela mesma(ou elevar a altura ao quadrado) e dividir a medida da massa poresse valor.

19,7

26,2

Na atividade 1, verifique como

os alunos interpretam a fórmula:se percebem que o cálculo do IMCenvolve as operações de multipli-cação e de divisão.

Na atividade 2, observe se fa-

zem os cálculos de acordo coma fórmula.Um dos objetivos dessa atividadeé explorar os diferentes significa-dos de um número racional, entreeles, a ideia de razão.

Após a leitura do texto, alerte os

alunos sobre a diferença entre asgrandezas massa e peso.Antes de começar estas atividades,converse com eles sobre a impor-tância de uma boa alimentação.




• Reconhecer númerosracionais positivos e negativosrepresentados na formafracionária ou decimal, emcontextos diversos, e explorardiferentes significados.

Normal

Sobrepeso

Peso normal

facilitem a sua compreensão. Por

exemplo: o que significa um ín-dice de massa corporal inferior a13,9? Para saber se uma menina

de 13 anos está com sobrepeso,

onde devemos procurar: numa li-nha ou numa coluna? Qual é o

peso normal de uma menina de

12 anos?

Na atividade 2, socialize as res-

postas e use-as para esclareceralgum aluno que eventualmente

ainda tenha dúvidas na interpre-tação do IMC.

Na atividade 1, auxilie os alu-

nos a compreender o significadodas categorias: abaixo do peso,

normal e sobrepeso, e dos dadosda tabela. É importante que elespercebam que “abaixo do peso”

e “sobrepeso” representam in-

tervalos e “normal”, um índice.

Faça perguntas adequadas que




Peso normal

Abaixo do peso

14,8

23,6

1,4

Inferior a 16,2 ou superior a 23,6

Treze inteiros e cinco décimos

Dezessete inteiros e oito décimos

Vinte e um inteiros e um décimo

As atividades 3, 4, 5 e 6 também

devem ser resolvidas consultandoa tabela. Aproveite para explorar aleitura dos números racionais en-contrados, e peça aos alunos queos escrevam por extenso na lousa.Dessa forma, você os prepara paraa atividade 7.




de jovens que praticam esportes

apenas uma vez por semana e ototal de jovens entrevistados,

através da porcentagem.Enquanto eles trabalham, observequais são as dificuldades e registreas mais recorrentes para discus-

são posterior. Depois, socialize nalousa os diversos procedimentos

utilizados.

As atividades desta página podem

ser resolvidas individualmente.Leia o texto com os alunos ex-

plorando os usos da porcen-

tagem. Discuta com a classe o

significado de 20%, ajudando-osa perceber que 20% representa

20 partes de 100.Mostre aos alunos como represen-tar a relação entre a quantidade


10%

55%

90%

10 milhões

Resposta pessoal




Na atividade 4, é dada a por-

centagem, e os alunos devemindicá-la num gráfico de seto-

res. Ajude-os a perceber que 50%equivale à metade, 75% equivale

a e 25% equivale a , porque

isso facilitará a representação

nos setores.

Oriente os alunos na divisão do

círculo em 4 partes iguais.

Estas atividades podem ser resol-

vidas em pequenos grupos.Antes de propor a atividade 2,

verifique se, a partir do cálculo

de 10%, os alunos sabem como

calcular 20%, 30% etc. Ajude-osretomando a ideia das partes do

todo. Peça-lhes que completem

a tabela e tire as dúvidas que

surgirem.

• Resolver situações-problemaque abrangem as ideias derazão e de proporcionalidade,ampliando a noção e o usode porcentagens.

10 15 50 250

15 20 200 90

60.000 adolescentes




de probabilidade e expressa como

fração, como decimal e como per-centual. Forneça outros exemplos.É uma boa oportunidade de reto-mar o conceito de equivalência

de frações.

Para a atividade 2, reproduza a

tabela na lousa, faça a pesquisacom a classe e retome procedi-

mentos de cálculo para transfor-

mar a razão entre a quantidade

de alunos e o total, para cada

esporte.

Antes de começar as atividades,

converse com os alunos sobreeventos que envolvem o acaso:

sorteios, rifas, loterias etc.Espera-se que eles compreen-

dam, a partir do texto, que a

razão pode ser usada no cálculo


; 0,05; 5%

Depende do número de alunos da sala.

Depende da respostas da sala.

Depende da respostas da sala.





Sim, porque = = 10%

Sim, porque 15 adolescentes entre 150 preferem natação,que equivale a 1 em 10.

150

10%

16,7%

33,3%

40%

100%

, além de compreender a le-

genda. Retome a transformação

de dados em porcentagens. Orien-te o registro do que foi visto paraa resolução da atividade 3.


vidas em pequenos grupos.Converse com os alunos sobre osesportes mais praticados no Brasile pergunte quais eles praticam.

Se necessário, oriente-os quantoà legenda no gráfico de setores.Espera-se que os alunos percebam

a equivalência entre , 10% e





14,81%

Os atletas do judô

30% ou =

33,54%

Estas atividades podem ser resolvi-

das em grupo e com a calculadora.Algumas perguntas podem ajudar

na compreensão de qual a maior

(ou menor) probabilidade de ocor-rer um evento. Por exemplo: “numsorteio entre todos os medalhis-

tas, qual das modalidades tem

chance maior? E menor?”; “Comqual porcentagem é possível ex-

pressar a chance?”Se os alunos tiverem dificuldade

para interpretar a tabela, ajude-osa selecionar os dados pertinentes.

Antes da resolução das atividades,

oriente os alunos para compreen-derem os dados com perguntas

sobre as linhas, as colunas e as

intersecções.




• Localizar números racionais nareta numérica.

números racionais escritos na

forma fracionária com o mesmodenominador.

Chame atenção para a posição

ocupada por em relação a .

Faça o mesmo com a localização

de e em relação a 2.

Depois da atividade, retome os

principais critérios para locali-zar racionais na reta e peça aosalunos que façam registros.

Antes de localizá-los na reta

numérica, é importante que osalunos reconheçam os números

racionais em suas diferentes re-

presentações. Faça uma discussãoretomando essas representações

e comparando alguns racionais.Em seguida, retome a localiza-

ção dos números naturais na retanumérica e a comparação entre





0 e 0,5 0,5 e 1 0 e 0,5

1 e 1,5 0,5 e 1 1 e 1,5

vinte e cinco milésimos

quatro inteiros e sessenta e um centésimos

três inteiros e sete milésimos

As atividades devem ser resolvi-

das coletivamente e posterior-mente conferidas com a calcu-

ladora.Na atividade 2, o objetivo é queos alunos possam localizar os nú-meros tomando como referência

os intervalos indicados na ativi-

dade 1. Eles farão comparações

entre números escritos na forma

fracionária com denominadoresdiferentes. Retome o tema, estu-dando vários exemplos.Na atividade 3, oriente-os a bus-car outras referências. Por exem-plo, perceber que o número 0,375está próximo de 0,4.

Na atividade 4, os alunos utiliza-

rão as referências de localizaçãoda página anterior.Antes da atividade 5, explore

oralmente a leitura desses núme-ros e de outros números racionais.

, ,





<

<

=

<

<

0,02 < 0,07 < 0,125 < 0,2 < 0,375 < 0,6 < 0,75 < 0,9 < 1 < 1,125 < 1,25 < 1,3

frações com denominadores iguaise o numerador 1 é menor que 2.

frações com denominadores iguaise o numerador 2 é menor que 4.

os denominadores são diferentes;

os denominadores são diferentes;

as frações são equivalentes.

No decorrer da atividade 1, veri-

fique com que critérios os alunoscomparam dois números racio-

nais e oriente-os para recuperar

os critérios já vistos. As obser-

vações feitas na página anterior

podem subsidiar esta. Estratégias

de resolução possíveis: busca de

frações equivalentes ou divisãodo numerador pelo denominador.Na atividade 2, além de orientaros alunos na comparação e na or-denação dos números, aproveite aoportunidade para que os alunosfaçam a leitura em voz alta. Re-

tome o que já foi aprendido.Pode acontecer de alguns alunos

organizarem os números como se

fossem naturais, e afirmarem, porexemplo, que 1,125 > 1,25 por-

que possui mais algarismos. Dis-cuta esse critério com os alunos,e considere-o na sistematização

das ideias.

= e = ;

valem as observações anteriores.

= ; numerador 5 é menor que 8.





vidas em grupo.Peça aos alunos que observem

a representação na malha qua-

driculada para que escrevam as

diferentes frações que podem

aparecer na resolução e as equi-

valências entre elas:

, , , ...


Não, porque não é equivalente a .

Sim, pois = 0,75 = 75%

Sim, pois = 80%

Sim, porque = = 0,80 = 80%

O pedreiro

, ou , ou 0,2, ou 20%




Não é preciso que todas as tare-

fas sejam feitas no mesmo dia:organize-as como achar melhor.Socialize a resolução de todos osproblemas e, enquanto os alunostrabalham sozinhos, acompanhe--os e oriente aqueles que tiveremdificuldades, anotando-as para

retomá-las.

Esta seção vai aparecer no final

de cada Unidade, com propostasque retomam o conteúdo traba-

lhado. São atividades individu-

ais, e você deve analisá-las para

verificar se as expectativas de

aprendizagem foram atingidas,

quanto os alunos avançaram e

o que precisa ser retomado, an-

tes de passar para a Unidade 2.

, ou , ou 35%

ou , ou 0,666..., ou aproximadamente 66,66%

, ou 0,33..., ou aproximadamente 33,33%

6.267 13.659

8 836




R$ 23,00, porque 184 ÷ 8 = 23

>

<

>

<

0,25 0,5 0,75 0,2 0,77 0,4

40%10%20%90%75%30%25%

0,25 1,75 2,25 4,25 5,25




etc., salientando que esses ele-

mentos serão trabalhados ao lon-go da Unidade.Registre estas informações para

retomá-las durante a realização

das atividades.

Na aula anterior ao início da Uni-

dade 2, solicite aos alunos quetragam jornais e/ou revistas paraanalisarem alguns gráficos.Posteriormente, socialize o que osalunos descobriram nos gráficos.Veja se eles analisam título, le-

genda, texto explicativo, fonte

•M15 Quantificar e estabelecerrelações entre o númerode vértices, faces e arestasde prismas e pirâmides,relacionando esses númeroscom o número de lados dopolígono da base dessas figuras.

•M17 Resolver situações--problema em que sejanecessário compor ou decomporfiguras planas.

•M27 Resolver situações--problema com dadosapresentados de maneiraorganizada por meio de tabelassimples e de dupla entrada.

•M28 Resolver situações--problema com dadosapresentados de maneira

organizada por meio degráficos de colunas, barras,setores e linha.

•M29 Construir tabelas simplese de dupla entrada paraapresentar dados coletados.

•M30 Construir gráficosde colunas, de barras ede linhas para apresentardados coletados.

Material necessário para odesenvolvimento da Unidade: calculadora

jornais e revistas com gráficosde diferentes tipos

conjunto de sólidosgeométricos

Resposta pessoal




• O que está representado no eixo

horizontal? E no vertical?• Qual é o esporte mais pratica-

do? E menos praticado?Oriente os alunos a encontrar os

números que não estão explici-

tados na tabela; por exemplo, o

número de alunos que preferem

futebol (150), que está exata-

mente entre 140 e 160.

As questões dos itens a, b e c,

exigem, além da leitura, a reali-zação de alguns cálculos.Socialize os resultados e ressaltea importância de interpretar cor-retamente as informações dadas

no gráfico.Sistematize as ideias em torno

dos elementos do gráfico: título

e fonte, e a função de cada um.

Converse com os alunos sobre a

importância de práticas esporti-vas para nossa saúde e pergunte

que esportes eles gostam, quais

realmente praticam etc.Faça perguntas para auxiliar a lei-tura e a interpretação dos dados:• Quais dados foram represen-

tados?

• Resolver situações-problemacom dados apresentados demaneira organizada por meiode gráficos de colunas, barras,setores e linha.

• Construir gráficos de colunas,de barras e de linhas para

apresentar dados coletados.

120

420

530

Sim; aproximadamente 21% dos alunos não praticam esporte.




Chame a atenção dos alunos para

o fato de que os segmentos maisinclinados indicam deslocamen-

to maior num mesmo intervalo

de tempo, e para o significado

dos pares ordenados (2,5; 200).

O objetivo destas atividades é

analisar um gráfico de linhas.Nesta análise, é importante que

os alunos percebam por que não

foi utilizado um gráfico de colu-

nas ou de barras, devido à gran-

deza distância ser contínua.


F

V

F

95

0,5




Sugestão: produção coletiva de

um texto a partir da pergunta: oque mais nós aprendemos sobre

gráficos de linha?

Antes da resolução dos itens a, b

e c, retome a leitura de gráficosde linha e oriente os alunos na

interpretação das informações.

Faça perguntas sobre o desempe-nho de cada atleta; o que signifi-ca o encontro das duas linhas ouquando uma está acima da outra.Ao final, organize as ideias.


Em dois instantes: aproximadamente em 34 e em 47 segundos.

De 10 a 34 segundos, e depois de 47 segundos

O atleta 1




Depois, reproduza o esquema para

a construção do gráfico na lousae mostre aos alunos como marcaralguns pontos.Aproveite para retomar a ideia

de par ordenado, e como loca-

lizar pontos entre duas linhas

consecutivas como, por exemplo:(14; 36,7).

Considere e analise diferentes

respostas dos alunos, pois trata--se de intervalos de tempo. Sis-

tematize as ideias em torno da

utilização de gráficos de linha, eda representação de pontos entre2 linhas consecutivas.

A resolução das atividades deve

ser antecedida de uma conversacoletiva.Comece perguntando aos alu-

nos quem teve febre nos últimostempos, se se lembram com que

temperatura ficaram, se alguém

já teve mais que 39 graus...


Entre 13h e 16h e entre 23h e 24h

Entre 15h e 16h

Entre 21h e 22h




Oriente-os a subdividir os in-

tervalos para fazer estimativasmais precisas. Por exemplo, fazer14.250 − 9.500 = 4.750 e depoisdividir 4.750 por 4, subdividindoo intervalo em 4 partes iguais.Numa discussão com a turma,

socialize as diferentes respostas

e ressalte que pode haver várias

respostas corretas, dependendo

da estimativa. Mostre-lhes que asrespostas seriam tanto mais pre-cisas quanto mais subdivisões sefizessem nos intervalos.Ao final, sistematize procedimen-tos para determinar valores maisexatos em situações como essa.

Esta atividade pode ser discutida

coletivamente.Comente com os alunos que os

gráficos de barras são semelhan-tes aos de colunas, mas desenha-das horizontalmente. Se tiverem

dificuldade para interpretar esse

tipo de gráfico, oriente-os.A atividade envolve a realização

de estimativas.


Observando o gráfico, podemos afirmar que a empresavendeu menos produtos no segundo ano (9.500),e mais no quinto ano (quase 19.000).




Se os alunos tiverem dificuldade

para interpretar os dados nos grá-ficos, oriente-os sobre como usara legenda.Observe como os alunos estão

fazendo as estimativas e, se ne-

cessário, oriente-os.

Encerrando a atividade, socialize

as respostas e ressalte que, de-pendendo da estimativa, diferen-tes respostas podem ser aceitas.Depois, organize as ideias. Suges-tão de roteiro:a) Gráfico de colunas múltiplas;b) Função da legenda;c) Função do título;d) Função da fonte.

Converse com os alunos so-

bre alguns motivos que podemlevar a doenças do aparelho

respiratório,como a poluição ou anicotina (em cigarros) e outros, elembre que uma boa alimentaçãoe a prática de esportes podem

atenuá-las ou preveni-las.


Aproximadamente 7,5%

Aproximadamente 3%

Na região sul

A taxa de mortalidade na região sudeste é menorentre 15 e 19 anos e maior entre 1 e 4 anos.




Na atividade 1, os alunos devem

identificar os elementos pedidosno enunciado e avaliá-los quantoà confiabilidade e à clareza.

Na atividade 2, os alunos podem

criar vários tipos de legenda. Sevocê achar que é o caso, sugira,

por exemplo, o uso de números,

cores ou outro tipo de símbolo

que permita identificar correta-

mente os dados da tabela repre-

sentados no gráfico.

Após a leitura do texto, peça aos

alunos para retomarem os textosproduzidos anteriormente, e, se

for necessário, complementá-los.


Resposta pessoal

Título: Taxa de mortalidade decorrente de doenças do aparelhorespiratório; fonte: Ministério da Saúde, 1996.

Resposta pessoal




Aproveite a atividade para conver-

sar com os alunos sobre o gráficode setores e quando utilizá-lo.Verifique se dificuldades de leitu-ra e interpretação de gráficos fo-ram superadas. Em caso contrário,auxilie quem precisar.

Os objetivos das atividades são:

estabelecer vínculo entre duasrepresentações de dados, isto é,

em tabela e gráfico, retomar os

cálculos de porcentagem, e reveros elementos do gráfico.Socialize os procedimentos de

cálculo.


15 105

Resposta pessoal

6075 30 15




dadas nas linhas, nas colunas

e nas intersecções entre elas.Faça perguntas dirigidas para as

linhas, como “quantos meninos

usam internet?” e para as co-

lunas, como “quem usa mais a

internet para conversar com os

amigos, os meninos ou as me-ninas?” e para as intersecções:

“o que significa o número 30?”Ao final, organize as ideias so-

bre tabela de dupla entrada, sua

função e seus elementos: título

e fonte.

Como se trata de uma tabela de

dupla entrada, pode ser necessá-rio ajudar os alunos na interpre-

tação das informações.Em tabelas desse tipo, é neces-

sário observar as informações

• Resolver situações-problemacom dados apresentadosde maneira organizada pormeio de tabelas simples ede dupla entrada.

15 meninos e 20 meninas

35 meninos e 30 meninas

30 meninas

Não há dados para responder a essa pergunta.




No final, pergunte aos alunos

se usaram a tabela ou o gráficopara responder aos itens b e c.

Na sistematização, organize as

ideias sobre procedimentos para

decidir a quantidade de linhas e

de colunas em função dos dados

que serão representados. Comen-

te que, em geral, os gráficos dãouma visão geral da situação, e astabelas, valores numéricos expli-citados e mais precisos. Inclua

esta ideia na sistematização.

Pergunte aos alunos o significado

dos números dos eixos horizontale vertical e leia junto com eles

alguns dados do gráfico.Aproveite e oriente-os na cons-

trução da tabela:• número de linhas e de colunas• título• fonte

• Resolver situações-problemacom dados apresentadosde maneira organizada pormeio de tabelas simples ede dupla entrada.

Resposta possível

909.000

Milhares de telefones instalados

ano 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005

telefones instalados(em milhares)

367 428 521 589 740 909 1.378 1.368 1.431 1.538 1.642

Sim, havia 1.538.000 telefones instalados no Brasil em 2004.




No item b, pergunte qual tipo de

gráfico pode ser utilizado: coluna,barra, setor ou linha. Espera-se

que, com as atividades anterio-

res, eles percebam que o de li-

nhas não é adequado para esta

situação.

Na atividade 1, verifique a or-

ganização da tabela, número delinhas e colunas, a partir dos

dados.Se for preciso, peça para reto-

marem o texto que foi escrito naatividade anterior.

• Construir tabelas simples e dedupla entrada para apresentardados coletados.

• Construir gráficos de barras,colunas ou setores paraapresentar dados coletados.

tipo de jogo

Resposta possível

Xbox 360Play

Station 2Play

Station 3Wii PC

porcen-tagem

15% 25% 20% 10% 30%

0%

8%

15%

23%

30%

X b o x 3 6 0

P l a y S t a t i o n 2

P l a y S t a t i o n 3

W i i

P C




Pergunte por que o gráfico tem

colunas de cores diferentes e oque significam os valores apre-

sentados.Informe, por exemplo, que o valor91,4 da coluna “televisão” sig-

nifica que 91,4% dos brasileiros

têm televisão em casa.

Faça uma pesquisa com os alu-

nos, perguntando sobre a fre-quência de uso da internet e

oriente-os a fazer gráficos usandoessas informações.Pergunte quem sabe o que é o

IBGE e explique que o PNAD é

umas das pesquisas que o IBGE

faz para conhecer as condições

em que vivem os brasileiros.


• Construir gráficos de barras,colunas ou setores paraapresentar dados coletados.

*1: domicílios / meio decomunicação

*2: microcomputador não ligadoà internet

*3: microcomputador ligadoà internet

telefonefixo

4,9%

*1 *2 *3

13,7% 48,1% 59,3% 88% 91,4%porcen-tagem

telefonecelular

rádio televisão

pessoa/meiode comunicação

porcentagem

usa internet

21%

tem celular

36,7%




Pergunte aos alunos o nome de

outros polígonos e seu número delados e faça associações com o

título que se dá a um time de fu-tebol que já ganhou 5 ou 6 cam-peonatos como pentacampeão ou

hexacampeão. Os polígonos têm

esses mesmos prefixos: o pentágo-no tem 5 lados, e o hexágono, 6.Após a atividade 3, retome a de-composição das superfícies poli-

gonais em triângulos.

Depois de uma rápida conversa

inicial sobre jogos eletrônicos,pergunte, por exemplo:• Onde está a bola do jogo?• Que figura representa os joga-

dores?• O que é polígono?• Cite duas características do re-

tângulo e três do quadrado.

• Resolver situações-problema emque seja necessário compor oudecompor figuras.

O hexágono

Respostas possíveis:

2 2 3 4




métricas planas que os formam. Dê

sugestões como “esta figura temfaces triangulares e retangulares”.Explore a possibilidade de contarvértices, faces e arestas obser-

vando as planificações.Pergunte aos alunos como é a faceoposta à base de um prisma. Faletambém sobre as faces laterais.Depois, esclareça que as faces

laterais são limitadas por parale-

logramos (muitas vezes, retângu-los) e os polígonos da base e de

sua face oposta são congruentes.Da mesma forma, pergunte comosão as faces laterais de uma pi-

râmide e sua base.Espera-se que eles concluam queas faces laterais são sempre tri-

ângulos.

Estas atividades podem ser desen-

volvidas em grupo.Comece pedindo aos alunos que

observem as figuras dos sólidos

e procurem se lembrar de tudo o

que sabem sobre poliedros.Pergunte-lhes se algum desses

sólidos tem superfícies curvas ou

se todas as faces são planas. Peçatambém o nome das formas geo-

• Quantificar e estabelecerrelações entre o númerode vértices, faces e arestasde prismas e pirâmides,relacionando esses númeroscom o número de lados dopolígono da base dessas figuras.

G, E, D

A, B, C, F




Para mostrar o que é uma genera-

lização, faça o seguinte:• a cada número que você disser,eles devem dizer o sucessor, ouseja, um a mais

• comece dizendo qualquer nú-

mero e vá dizendo outros, até

eles entenderem a brincadeira

• quando eles perceberem a re-

gra, diga o número N. Espera-seque alguns digam N + 1.Repita a brincadeira, mas, agora,

eles devem dar um número com

duas unidades a mais. Vá dizendooutros números aleatórios e, quan-do eles entenderem a nova regra,diga novamente o número N, paraver se eles respondem N + 2.

Estas atividades devem ser desen-

volvidas em grupo.Inicialmente, peça aos alunos

que observem bem a pirâmide

da figura, localizem os vértices,

as arestas e as faces e contem

quantos são.Explique que, em matemática, àsvezes se usam letras para indicargeneralizações.


3 4

pirâmidede base

quadrada

pirâmidede base

hexagonal

5

pentágonotriângulo

6 N

4 5 6 7 N + 1

6 8 10 12 2N

4 5 6 7 N + 1

O número de faces é uma unidade maior que o númerode lados do polígono da base.

O número de arestas é o dobro do número de lados do polígono da base.

A soma do número de faces e vértices é duas unidadesmaior que o número de arestas.




Comece pedindo o dobro e vá

dizendo números; quando vocêdisser N, espera-se que eles res-

pondam 2N.Depois, peça o dobro mais um,

vá dizendo números e, em algummomento, diga V, para eles res-

ponderem 2V + 1.

Mude para o triplo (3N), para o

número mais três (F + 3).A atividade introdutória é es-

sencial para a compreensão dos

itens a, b e c.

Estas atividades podem ser desen-

volvidas em dupla.Faça a mesma brincadeira da ati-vidade anterior, mas dificultandoas regras pouco a pouco.


prismade base

triangular

3 4 5 6 N

5 6 7 8 N + 2

9 12 15 18 3N

6 8 10 12 2N

prismade base

triangular

F = N + 2

A = 3N

F + V = A – 2




de lados do polígono da base. Se

a cada lado desse polígono cor-responde uma face lateral, o nú-mero de faces sempre será igual

ao número de lados do polígono

da base mais 1, pois temos que

somar a base da pirâmide, que

também é uma face.Compreendendo essa relação, se

a base de uma pirâmide tem 20

lados, não precisamos ver a pi-

râmide para saber quantas facesela tem, basta pensar que são 20faces laterais e 1 face que é a

base, logo, 21 faces.Comente que esta atividade pre-

tende levá-los a novas abstraçõesde certas propriedades dos pris-

mas e pirâmides.

Estas atividades podem ser de-

senvolvidas individualmente.Pergunte aos alunos se alguém jáouviu falar em abstração. Expliqueque a abstração nos permite che-gar a resultados sem ver o objeto:podemos só imaginá-lo ou conhe-cer relações que o compõem.Dê o exemplo da relação das facesde uma pirâmide com o número


5

7

8

15

5

10

8

10

14

24

8

16

11

12

20

30

11

20

16

18

30

48

16

32

N + 1

N + 2

2N

3N

N + 1

2N




• pensar em como resolver o

problema;• resolver o problema;• depois de encontrar o resulta-

do, reler o problema para ver

se esse resultado responde à

pergunta.

Estas atividades podem ser de-

senvolvidas em dupla.Explique aos alunos que não pre-cisam procurar as respostas nas

páginas anteriores, mas devem,

em cada problema:• ler o problema e ver se todos

os termos são bem conhecidos;


8 faces

Prisma de base pentagonal

24 arestas

Não, pois o número de vértices é sempre o dobro do número delados do polígono da base.

5 faces

Prisma de base quadrangular

20 arestas

Não, pois o menor número de lados do polígono da base é 3,portanto, o menor número possível de vértices é 4.




de vértices do polígono de sua

base; o número de vértices dapirâmide é igual ao número de

vértices do polígono da base

adicionado a uma unidade.• O número de faces de um prisma

é o número de lados do polígo-no da base, adicionado a duas

unidades; o número de vértices

da pirâmide é igual ao número

de lados do polígono da base,adicionado a uma unidade.

• O número de arestas de um

prisma é o triplo do número delados do polígono da base; o

número de arestas da pirâmideé o dobro do número de lados

do polígono da base.

Nas atividades desta página, é

importante que os alunos per-cebam regularidades em relação

aos números de vértices, faces e

arestas em pirâmides e prismas,

em função do polígono da base eque concluam que:• O número de vértices de um

prisma é o dobro do número


6

8

10

Multiplicando o número de lados da base por 2.

Multiplicando o número de lados da base por 3.

Adicionando 2 ao número de lados da base.


Multiplicando 2 ao número de lados da base.


12

5

6

7

8

9

12

15

18

4

5

6

7

4

5

6

7

6

8

10

12




organizações, aprofundamentos e

ampliações de ideias e conceitose que, durante o ano, sempre se

devem propor novas atividades

envolvendo os temas que estão

sendo trabalhados nas Unidades.Estas propostas finais, ao lado dasua observação durante as aulas,são bons indicadores da aprendi-zagem dos alunos.

Nesta seção é possível o professor

verificar o que o aluno aprendeue suas eventuais dificuldades. Asatividades visam a essa reflexão edão indícios sobre como avançar

e se há necessidade de reorga-

nizar outras propostas ou não.

Mas é importante destacar que oconhecimento matemático vai seconstituindo por articulações, re-




F

V

F

V




•M1 Reconhecer númerosinteiros positivos e negativos emcontextos diversos e explorardiferentes significados comoaqueles em que indicam falta,diferença, orientação (origem) edeslocamento entre dois pontos.

•M14 Resolver situações--problema que abranjam aposição ou a movimentação depessoas ou objetos utilizandocoordenadas cartesianas.

•M16 Esboçar diferentesplanificações do cubo.

•M29 Construir tabelas simplese de dupla entrada paraapresentar dados coletados.

•M31 Produzir textos escritosdescrevendo e interpretandodados apresentados em tabelassimples ou de dupla entrada.

Material necessário para odesenvolvimento da Unidade: calculadora

livro de geografia

uma esfera de isopor (5 a10 cm de diâmetro) por dupla

4 palitos por dupla

canetas coloridas

globo terrestre dados (pelo menos umpor dupla)




de grandes empresas, comprando

suas ações. Fale sobre os riscos,pois, se a empresa quebra, o só-cio perde o dinheiro aplicado,

mas, se ela cresce, o valor apli-

cado também aumenta.

Corrija as atividades e enfatize a

importância do sinal negativo dosresultados, pois eles significam

falta, perda ou decréscimo, nes-

sas situações.É importante ressaltar que o usodo sinal (positivo ou negativo) éestabelecido por convenção.

• Reconhecer números inteirospositivos e negativos emcontextos diversos e explorardiferentes significados comoaqueles em que indicam falta,diferença, orientação (origem) edeslocamento entre dois pontos.

Circule pela sala orientando as

duplas nas discussões e na leiturados textos.Na atividade 2, pergunte se al-

guém sabe o que é a Bolsa de Va-lores. Explique que é uma forma

de as pessoas se tornarem sócias

12 ºC

– 3 ºC

16 ºC

4 ºC

– 5%

– 12%




Faça com os alunos uma lista de

situações em que os números ne-gativos aparecem.

Na atividade 5, discuta com os

alunos que quantidades negativasaparecem muitas vezes em situa-ções cotidianas. Explique que emmatemática elas são representa-

das por números negativos.

– 20 pontos

São números negativos.




zando as ideias presentes nas ati-

vidades. Para isso, considere, entreoutros aspectos, os erros decorren-tes da aplicação aos números ne-gativos de conceitos válidos ape-nas para os naturais.Por exemplo:• na atividade 3: responder 11 °C

(resultado de 18 – 7);

• na atividade 4: responder março

(porque 1 < 5).

Discuta ainda os diferentes sig-

nificados dos números negativos:perda de dinheiro; deflação; tem-peraturas abaixo de zero. Enfatizeque os sinais de + e – foram cria-dos por convenção.

Comece a atividade perguntando

qual é o instrumento de medida detemperatura e, se esse instrumentomarcasse – 5°C, como eles achamque seria o dia: quente ou frio?

Ajude os alunos a compreender asinformações da tabela e respon-

der às questões.Depois da correção da ativida-

de 5, discuta com eles organi-


Julho

Janeiro

13 ºC

25 ºC

Fevereiro




−5

5

−3

21




por números negativos

• em saldos bancários: o númeronegativo pode ser expresso emvermelho ou acompanhado de

um (D), de “débito”.Os problemas propostos têm comoresultado um número negativo.

Aproveite para retomar as diver-

sas representações desse tipo de

número e mencione que a mais

comum, justamente por ser válida

para todo tipo de situação envol-vendo números negativos, é o sinal– antes do número. Converse tam-bém sobre os significados atribuí-dos ao sinal –: indicação de uma

operação (a subtração), que eles

conhecem desde as séries iniciais,e, a partir deste ano, a indicação

de uma quantidade negativa.

Antes da leitura do texto, per-

gunte aos alunos que significa-dos podemos atribuir aos númerosnegativos.Peça mais exemplos e dê outros:• alguns freezers dão a temperatu-

ra interna em números negativos• em certos jogos de videogame:

ao cometer algum erro, os pon-tos perdidos são representados


– 30 reais

– 2




– 3 ºC

– 20 pontos

10, 0, – 10, – 20

Maria

10

– 10

0

– 20




lousa duas retas numéricas – a

dos números naturais e a dos nú-meros inteiros – e pergunte quaissão as semelhanças e as diferen-ças entre elas.Pergunte por que os números in-teiros são representados dessa

maneira na reta numérica e tam-bém como seria a reta numérica

dos números inteiros na posição

vertical e com o sentido apontado

para cima.Ajude-os a perceber que a repre-sentação dos números inteiros nareta numérica não é arbitrária,

mas convencionada, e considera:• a reta numérica dos números

naturais, mostrando que todos

os naturais são inteiros (posi-

tivos);

Antes de ler o texto, pergunte aos

alunos se eles já ouviram as ex-pressões antes de Cristo e depoisde Cristo e, depois da leitura, se

alguém sabe de alguma coisa quetenha ocorrido antes de Cristo.

Se for preciso, dê exemplos. Paraas atividades, organize-os em

duplas.Antes de prosseguir, desenhe na


– 360

Pitágoras Euclides Bháskara Newton

Cardano

Cantor

Porque ele nasceu antes de Cristo.




Depois da correção da ativida-

de 2, oriente as duplas a calcular,sem consultar a reta numérica, a“distância” entre:• dois números inteiros positivos;• dois números inteiros negati-

vos;• um número inteiro positivo e

um negativo.

Peça-lhes que deem um exemplo

para cada caso.Discutas as respostas.

• a infinidade de números intei-

ros positivos e negativos e suaordenação (aproveite e relem-

bre os conceitos de sucessor e

antecessor).Registre essas ideias na lousa.

• Resolver situações-problemaque abranjam a posição ou amovimentação de pessoas ouobjetos utilizando coordenadascartesianas.

1 cm

5 cm

6 cm

8 cm

5 cm

3 cm

4 cm

12 cm




nais (da extremidade superior à

extremidade inferior da esfera),dividindo o modelo em duas

metades congruentes. Repita o

processo dividindo-o em quatro

partes congruentes e, depois,

cada quarto em três partes con-

gruentes. (Esse processo leva à

divisão do modelo em partes quecorrespondem a 30º cada.)

Use o mesmo processo para traçar

as linhas latitudinais.Mostre num globo terrestre o queeles estão fazendo na esfera de

isopor.Verifique a possibilidade de um

trabalho multidisciplinar com o

professor de geografia sobre o

planisfério.

Peça aos alunos que tragam para

a aula desta atividade uma es-fera de isopor, palitos e canetas

coloridas.Ajude-os a construir, em dupla,

um modelo da Terra com um eixode rotação feito com palitos nospolos Norte e Sul da esfera.Oriente-os a estabelecer os po-

los e a traçar linhas longitudi-

• Resolver situações-problemaque abranjam a posição ou amovimentação de pessoas ouobjetos utilizando coordenadascartesianas.




um ponto no plano (no caso, o

planisfério), devemos usar um parde números numa determinada

ordem (no caso, latitude e lon-

gitude). Além disso, é mais uma

situação envolvendo números po-sitivos e negativos.Na atividade 3, os alunos devemobservar o planisfério para desco-

brir a latitude e a longitude dos

locais solicitados, determinadospelos pontos. Por exemplo, na

África encontra-se um ponto queestá localizado na latitude 10 e

na longitude 20.

Organize os alunos em duplas e

informe-os que o uso de sinais(menos ou mais) para indicar as

coordenadas é uma convenção.

Discuta o texto com eles e aju-

de-os nas localizações solicitadasnas atividades 1 e 2.A atividade 1 pretende mostrar

aos alunos que, para determinar

10

20

10

– 100

– 30

– 20

25

– 45

–115

115

(– 50, – 70)




A atividade 4 é aberta, e o resul-

tado depende do país escolhidopelo aluno.

• Resolver situações-problemaque abranjam a posição oua movimentação de pessoasou objetos utilizandocoordenadas cartesianas.

A Espanha

Resposta pessoal

Japão (40; 140) e Argentina (– 40; – 65). Pode haver pequenasvariações nas coordenadas, em virtude do ponto escolhido.




Na atividade 3, escolha dois ou

três quadrados desenhados pelosalunos, reproduza-os na lousa e

peça aos demais que identifiquemas coordenadas dos respectivos

vértices.

Finalmente, peça a todos para

rever o que fizeram e ajude osgrupos que tiverem dúvidas.Ao final, ressalte a semelhança

de procedimentos na utilização

do GPS.

Na atividade 1, peça aos alunos

que identifiquem os eixos dasabscissas e das ordenadas. Mostrepor que o ponto A é identificadopelo par (2, 1) e ajude-os cha-

mando a atenção para a origem

do plano cartesiano (0, 0). Per-

gunte se o ponto A pode ser iden-tificado pelo par (1, 2) e retome

a ideia de par ordenado.


Resposta pessoal, depende da escolha do aluno.

2, – 2 – 1, 1– 1, – 2




cartesiano. Se for preciso, sugira

a retomada da atividade anterior.Terminada a atividade 1, lance

um debate sobre os diferentes

significados do número negativo

e lembre-os dos textos e das ati-vidades anteriores.

Pergunte aos alunos onde está o

desenho do esqueleto do dinos-sauro. Espera-se que eles sintama necessidade de usar uma formaeficaz para determinar a posição

de um objeto no plano, depois daapresentação do GPS e do plano





As abscissas e as ordenadas da

atividade 2 não estão descritascom valores não inteiros, mas o

aluno pode optar por utilizar ra-cionais não inteiros, positivos ounegativos.

estátua do faraó

morcego

cachorro

mamute

extintor de incêndio

menino de camiseta vermelha

quadro

cobra

abscissa – 3, ordenada do 2 ao 6

abscissa – 9, ordenada do 1 ao 2

abscissa 3, ordenada – 7

abscissa – 1 a – 2, ordenada do – 9

abscissa – 1, ordenada 3 ou 4

abscissa do 2 ao 4, ordenada 3

menino de camiseta verde




sentação de razões por meio de

porcentagens.Na atividade 3, observe como osalunos redigem o texto. Ajude-osa superar dificuldades de escri-

ta. É importante que os dados databela façam parte desse texto,

mas que não sejam apenas trans-critos de forma desorganizada e

sem sentido.

Discuta alguns textos com a tur-

ma, chamando a atenção paraa forma correta de expressar

algo que tenha causado dúvidas

e/ou dificuldades. Devem constarno texto as seguintes informa-

ções: 81,4% dos municípios têm

biblioteca, 78,1% têm estádio e

ginásio poliesportivo e 69,8% têmvideolocadora.

Peça aos alunos que leiam a ati-

vidade em pequenos grupos ediscuta o que são equipamentos

culturais. Escreva na lousa os

equipamentos culturais do bairroou município em que residem e

sua importância para as pessoas

da comunidade.Oriente os alunos quanto à repre-

• Produzir textos escritosdescrevendo e interpretandodados apresentados em tabelassimples ou de dupla entrada.

16,3%

Orquestra

Resposta pessoal; biblioteca (81,4%);estádio e ginásio poliesportivo (78,1%);videolocadora (69,8%)




O texto deve destacar as infor-

mações contidas na tabela, comoas pessoas com 15 ou mais anosde idade, analfabetas e divididaspor regiões e grupos de idade, e

também por cor ou raça. As in-

formações estão na tabela sob a

forma de porcentagem.

Oriente os alunos no desenvolvi-

mento desta atividade, principal-mente no que diz respeito às in-formações organizadas na tabela.Ajude-os durante a produção do

texto e, no final, proponha que

alguns leiam o seu em voz alta.


Resposta pessoal




nia, além de fundamentais para

a aprendizagem em matemática.Oriente-os quanto à leitura da ta-bela, que pode ser feita segundoas linhas, as colunas ou a inter-

secção entre elas, o que depen-

de dos dados que nos interessam.Por exemplo, se queremos saber o

número de livros consultados na

segunda-feira, devemos adicionaros números que aparecem na se-gunda coluna; se queremos sabero número de consultas a livros

de literatura durante a semana,

devemos adicionar os números dasegunda linha.

Organize os alunos em duplas

e converse sobre a importânciada leitura em nosso dia a dia,

mostrando que ela deve ir além

dos livros sugeridos pela escola.

A leitura e a interpretação de

textos são competências essen-

ciais para o exercício da cidada-


64 livros

79 livros

Terça-feira

Na segunda-feira; cinco a mais




Oriente os alunos na escrita do

texto da atividade 7 e exploreos dados objetivos das atividadesanteriores e outros que possam

ser obtidos para serem destaca-

dos no texto.


alunos identificam o número 25,que está no cruzamento da linhaciências com a coluna quinta-fei-ra, e significa que foram retirados25 livros de ciências nesse dia.

5 livros

O número de livros de ciências consultados na quinta-feira.

Os textos dos alunos podem apresentar comparações como:Na sexta-feira, foram consultados 5 livros de literatura amais do que na segunda-feira. Também podem estabelecercomparações entre as modalidades.




Escolha alguns números da tabela

para ajudar os alunos na interpre-tação. Explique o que significamas escritas milhões e milhares en-tre parentes e ressalte que 14,6

milhões equivalem a 14 milhões

e 600 mil.Observe como os alunos leem os

números da tabela e, caso seja

necessário, oriente-os.

Converse com os alunos sobre

a rápida evolução tecnológica emostre que é um fenômeno relati-vamente novo. Há apenas uma dé-cada, a situação era bem diferen-te. Por exemplo, para encontrar

um telefone público em alguns

bairros, tínhamos que andar bas-tante. Cite as câmeras fotográfi-

cas, as máquinas de escrever etc.


Em 1995, havia 14 milhões e 600 mil telefone fixos,367 mil telefones públicos e 1 milhão e 400 mil telefones celulares.




Depois da correção individual do

texto de alguns alunos, proponhaque eles leiam em voz alta.O texto deve conter dados da

tabela.

Em 2005

Resposta pessoal, contendo os dados da tabelasobre telefones fixos e celulares de 2000 a 2005.




questões a, b, c, d e e, e peça

que registrem as respostas.Peça que calculem o saldo de-

vedor e discuta formas de repre-sentar essa resposta. Retome a

indicação do sinal de menos parao saldo devedor.

Comente com os alunos sobre

os extratos bancários, e o queconsta desses extratos. Verifiquese sabem o significado de cré-

dito e débito e o que significa,

nesse contexto, a palavra “vale”.Depois, explore oralmente as

De 1/4 à 12/4

Em 10/4

– 50 ou 50 D

50 reais

Em 5/4 e 12/4

Em 3/4, 6/4, 8/4 e 10/4

Valores do saldo após as operações




Faça algumas discussões que per-

mitam aos alunos responder às atividades 2, 3 e 4, como, por

exemplo, entre + 15 e – 20 qual

é o maior? E entre – 12 e + 3?Socialize as respostas e siste-

matize as ideias de comparação

entre números inteiros.

Inicie as atividades traçando uma

reta numérica na lousa e utili-zando alguns exemplos de loca-

lização. Quanto mais à esquerda

estiver o número, menor ele será.Se preferir, resolva oralmente a

atividade 1 com a turma.

>

>

<

<

<

<

O número positivo

O número zero

O maior é o que está mais próximo do zero.




que informações são comunica-

das, ressaltando que os dados es-tão expressos em porcentagem,

cuja soma não é 100% porque umdado não exclui o outro.Ajude os alunos a perceber quan-tas linhas e colunas serão neces-sárias para a construção da tabelae chame sua atenção para a fon-

te, que é a mesma do gráfico, e o

título, que precisa ser adaptado.Se surgirem tabelas com 4 linhase 2 colunas e outras com 2 linhase 4 colunas, socialize-as discutin-do que uma mesma informação

pode ser apresentada de formas

diferentes numa tabela.

Informe aos alunos que cada mu-

nicípio tem uma política para odesenvolvimento da cultura, que

depende dos costumes de cada re-gião como o folclore, a prática deesportes e a formação política etc.Ajude-os na interpretação dos

dados apresentados no gráfico

de barras e peça-lhes que digam


Uma possível tabela seria: 37,4%Porcentagem

Políticaspúblicas

37,1% 37% 36,7%

preservar opatrimôniohistórico,artístico ecultural.

tornar acultura um doscomponentesbásicos paraa qualidadede vida dapopulação

garantir asobrevivênciadas tradições

culturais locais

dinamizar asatividadesculturais domunicípio




As atividades 1 e 2 podem ser

resolvidas em dupla. Ajude os alu-nos a perceber quantas linhas e

colunas serão necessárias para a

construção da tabela e chame suaatenção para a fonte, que é a mes-ma do gráfico, e o título, que pre-cisa ser adaptado. Da mesma formaque na atividade anterior, discuta

as diferentes tabelas que surgirem.

Faça uma leitura compartilhada do

texto, destacando e escrevendona lousa informações que os alu-nos considerem importantes. Digaaos alunos que os dados do textopodem ser modificados pela açãode cidadãos conscientes e dedi-

cados à educação no país.


5,7 livros

BrasilPaíses

Excetuando oslivros indicados

pela escolatemos 1,3.

Caso contrário,temos 4,7 livros

Leitura per capita

2,4 livros 7 livros

Colômbia FrançaUma possíveltabela seria:




tas dos alunos e, no fim, socialize

algumas. Discuta com a turma apossibilidade de usar outro tipo detabela ou mais de uma tabela paraapresentar esses dados.Enfatize a importância do título

e da fonte.

Os textos devem ser alvo de aten-

ção especial. Observe como osalunos usam as informações da

tabela e principalmente o sentidode suas frases. Faça as interven-

ções necessárias.Sistematize as ideias em torno

dos elementos e quantidades de

linhas e colunas de uma tabela.

Organize os alunos em duplas, leia

o enunciado com eles, interpretepelo menos uma informação do

gráfico e observe como eles inter-pretam as outras. Há várias formasde organizar esses dados na tabe-la; considere as diferentes respos-


uso pessoal

A B C D/E

educação

81,36 72,50 67,57 63,31

trabalhoremunerado

54,22 51,52 46,40 52,43

trabalhovoluntário

48,33 34,00 26,94 16,75

6,02 3,70 3,10 1,71

Uma possíveltabela seria: classe social

Resposta possível: comparar os dados das diversaspossibilidades em uma determinada classe social; uso pela

internet de determinada classe social.




pliar o vocabulário geométrico

dos alunos.Para que eles façam a planifica-

ção do cubo, explore a quantida-de de faces e a importância de

haver, na montagem, duas faces

em posições opostas para que

seja possível “fechar” o cubo.

Pesquise quadros, esculturas etc.

em que estejam presentes o cuboou formas similares.Escreva na lousa as respostas

apresentadas. Distribua cubos e,

com os alunos, escreva caracte-

rísticas desse sólido: seis faces,

todas quadradas e de mesmo ta-

manho etc. Aproveite para am-

• Esboçar diferentes planificaçõesdo cubo.

Uma possívelresposta seria:

Resposta pessoal




Chame atenção para o fato de

haver prismas – as figuras A, B eD –, uma pirâmide – figura E – eum tronco de pirâmide – figura C –,todos com o mesmo número de

faces, isto é, 6.


alunos percebem que a figuraA tem 6 faces retangulares e 2

quadradas, enquanto na figura B

todas as faces são quadradas.Todas as arestas da figura B têm amesma medida, o que não ocorrena figura A.Essa discussão facilita a resolu-

ção da atividade 3.

Comente com os alunos que exis-

tem diferentes maneiras de clas-sificar os sólidos geométricos.Na atividade 1, os poliedros

serão classificados pelo número

de faces.

• Esboçar diferentes planificaçõesdo cubo.

Resposta possível: todos possuem 6 faces.

Uma possívelresposta seria:

Nem todas as faces da figura A são quadradas.




Orientações para as atividades des-

ta e das duas páginas seguintes:• peça aos alunos sugestões paraverificar a correção das respos-tas (uma sugestão possível:

reproduzir as figuras e montar

os cubos);

• no fim de cada atividade, peça-

-lhes que socializem suas estra-tégias e discutam as que forambem sucedidas e as que não;

• organize pequenos textos que

sirvam para a resolução de pro-blemas parecidos.

Alguns dias antes, peça aos alu-

nos que tiverem dados que os tra-gam para a escola. Organize-os

em duplas e, durante a leitura,

oriente-os a observar o dado e

comprovar que a soma das faces

opostas é sempre igual a 7. Se forpreciso, explique o significado dapalavra oposta.







• São compostas por 6 superfícies

quadradas de mesma medida.• As 11 planificações possíveis.

Na atividade dessa página, per-

gunte aos alunos quantas facestem um cubo e discuta como

fazer os desenhos de modo que

esse molde, quando fechado, dê

origem a um cubo.Organize as ideias em torno das

planificações da superfície de umcubo:

Possibilidadesde resposta:




reorganizações, aprofundamentos

e ampliações de ideias e concei-tos e que, durante o ano, semprese devem propor novas atividadesenvolvendo os temas que estão

sendo trabalhados nas Unidades.Estas propostas finais, ao lado dasua observação durante as aulas,são bons indicadores da aprendi-zagem dos alunos.

Nesta seção é possível o professor

verificar o que o aluno aprendeue suas eventuais dificuldades. Asatividades visam a essa reflexão edão indícios sobre como avançare se há necessidade de reorga-

nizar outras propostas ou não.

Mas é importante destacar que

o conhecimento matemático vai

se constituindo por articulações,

34 mil e 900 celulares

Não, pois em 2004 havia 52 mil e 500 celulares.

1995 Anos

Número deusuários(milhares)

1996 1997 1998 1999 2000 2002 2003 2004 2005 2006

1,4 2,7 4,6 7,4 15,0 23,2 28,7 34,9 45,5 52,5 58,0




(– 3, 3)

(1, 1)

(– 4, – 3)

(– 2, 3)

(4, 1)

(2, – 1)

(– 1, 1)

(– 4, – 1)

(4, – 1)

(– 4, 1)

(– 1, – 1)

(2, – 3)

(1, 3)

(– 1, – 3)

(4, – 3)







•M5 Realizar cálculos(mentais ou escritos, exatosou aproximados) envolvendooperações com númerosinteiros por meio de estratégiasvariadas, com compreensão dosprocessos nelas envolvidos e

saber utilizar a calculadora paraverificar e controlar resultados.

•M17 Resolver situações-problema em que sejanecessário compor ou decomporfiguras planas.

•M20 Identificar ângulocomo mudança de direção ereconhecê-lo em figuras planas,nomeando-o em função desuas medidas.

•M24 Calcular a área de

superfícies delimitadas peladecomposição e/ou composiçãoem figuras de áreas conhecidas,ou por meio de estimativas.

Material necessário para odesenvolvimento da Unidade:

calculadora

régua

transferidor

papel transparente

tesoura




Esta atividade mostrará alguns

dos componentes que causamessa poluição e como os órgãos

de controle de poluição analisama qualidade do ar.Antes de propor a atividade 1,

leia com os alunos a tabela expli-cando que os números da taxa deconcentração referem-se à quan-tidade de microgramas de enxofre

em 1 metro cúbico de ar. Já o

índice são valores de referênciapara comparar essa concentraçãocom a de outros poluentes.Proponha um trabalho multidis-

ciplinar com o professor de ciên-cias pedindo-lhe que fale sobre

poluentes do ar como dióxido deenxofre, dióxido de nitrogênio,

monóxido de carbono e ozônio.

Comece a atividade perguntando

se alguém sabe o que é a polui-ção do ar. Comente que, nos diasmais poluídos, o dia fica escuro eas pessoas apresentam problemasrespiratórios.É necessário explicar o significa-do de μg, e também a unidade

μg/m3.

• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos e saber utilizar


Inadequada

De 60 pontos

Negativa




– 60

O resultado é um número negativo, pois o índice diminuiu 60 pontos.

Qualquer valor entre 51 e 100

Qualquer valor entre 0 e 50

Por exemplo: saldo bancário, temperatura, painéis deelevadores, etc.




Frise que, independentemente do

tipo de deslocamento, seu cálculoserá sempre a posição final menosa posição inicial.Comente que o valor numérico doresultado encontrado, sem o sinal,corresponde a “distância” entre

os pontos e o sinal refere-se ao

tipo de deslocamento efetuado.

Leia com os alunos o texto da

atividade 1 esclarecendo as dú-vidas que venham a surgir.Na atividade 2, deixe bem claroque o deslocamento no sentido

crescente dos números resulta

num número positivo e o contrá-rio resulta num número negativo.



positivo 10

– 3

11

– 5

12

– 9

positivo

2 – 5

11 – 7

13 – 2

3 – 12

13 – 1

negativo

negativo

negativo




Nas atividades 4 e 5 auxilie

os alunos a identificar qual é odeslocamento, se positivo ou

negativo, e de quanto é esse

deslocamento. Se for necessário,sugira a retomada dos registros

feitos na atividade 3.

No fim da atividade 3, organize

as observações de modo que osalunos consigam estabelecer o

valor e o sinal do deslocamento

entre dois inteiros positivos semo uso da reta numérica.

Se o minuendo é maior que o subtraendo, o resultado é positivo;se é menor, o resultado é negativo.

Negativo

Negativo

– 10

– 5 °C




usar dinheiro do banco até um

certo limite, mas, no fim do mês,devem pagar juros altos pelo usodesse dinheiro.Comente sobre as vantagens e

desvantagens de se ter um che-

que especial.

Peça que leiam o texto e resolvam

as atividades em dupla.Verifique como registram os nú-

meros, se identificam a operaçãorealizada, se justificam a razão deobter um resultado positivo ou

negativo.

O objetivo das atividades é iniciar

o estudo das operações com nú-meros inteiros, no caso a adição

e a subtração.Comece a atividade perguntandoquem sabe o que é cheque es-

pecial. Explique que os clientes

que têm cheque especial podem



Porque se adicionam duas dívidas com o banco.

Uma adição

Uma subtração

Porque o valor depositado era maior que o valor devido.

– 1.300




Socialize os textos escritos na ati-

vidade 4 e faça uma síntese dasdiscussões.

O valor devido era maior que o valor depositado.

Uma subtração

Negativo, pois 784.324 é maior que 45.328.

Quando adicionamos dois números positivos, o resultado é positivo.Quando adicionamos dois números negativos, o resultado é negativo.Quando adicionamos dois números, um positivo e um negativo,o resultado pode ser positivo ou negativo.




O texto fala em “vidas que exis-

tem ali”. Pergunte que vidas sãoessas. Comente que, além de pre- judicar a flora, o desmatamento

afeta também a fauna, influen-

ciando todo o ecossistema de

uma região.

Na atividade 1, pergunte quem

conseguiu chegar ao resultadoda coluna B fazendo só cálculo

mental. Aos que conseguirem,

pergunte como pensaram. Conte--lhes que nos cálculos de Pedro

foi usada a propriedade associa-

tiva da adição.

Comece a atividade organizando os

alunos em duplas e lendo o textocom eles. Depois, levante questõescomo: “o que é desmatamento”,

“o que são madeireiras clandes-

tinas”, “o que é clareira” etc.



Adicionou os números negativos e depois os positivos,e substraiu os resultados.

Significa que ele extraiu 200 hectares a mais do que plantou.




No item b, verifique se surge al-

gum procedimento diferente dosdois propostos e socialize-o.

Na atividade 2, discuta os proce-

dimentos de Clara e de Ana pararesolverem a expressão. Chame

a atenção para o fato de Clara

resolvê-la sequencialmente e Anaadicionar todos os positivos e

todos os negativos, para depois

subtrair os resultados.

Sim. Clara adicionou e subtraiu conforme os números foramaparecendo. Ana adicionou todos os positivos, depois osnegativos e subtraiu os resultados.

– 30




dos – e ao aumento da população,

a água potável do planeta estáescasseando rapidamente.Faça uma leitura compartilhada

do texto da atividade 1 e sociali-ze os procedimentos usados pelosalunos para resolvê-la.

Na atividade 2 você pode escre-

ver a expressão junto com os alu-nos e perguntar se existem paresde números que convenha operarprimeiro como, por exemplo, –18e –2 ou –43 e –7.

Comece a atividade falando sobre

a necessidade de evitarmos o des-perdício de água. Explique que,

devido à poluição nos rios, aos

hábitos de consumo inadequadosdas pessoas – lavar calçadas, dei-xar a torneira aberta desnecessa-riamente e tomar banhos demora-



100 – 43 – 18 – 7 – 2 = 30

10 litros





alunos fazem o cálculo sequen-cialmente, ou se agrupam os po-sitivos e os negativos para depoissubtrair os resultados.Se isso não ocorrer, pergunte

quais são as semelhanças e as di-ferenças entre esta atividade e asatividades das páginas 100 e 101.

O consumo médio ultrapassou 16L em relação aoconsumo médio diário.

Evitar o gasto de 16L de água.




Comente ainda que o uso da pro-

priedade associativa facilita ocálculo mental, pois é possível

associar números cuja adição é

quase imediata, como na primei-ra expressão, adicionar – 60 +

(– 40), cujo resultado é – 100.

Depois, fazer mentalmente o cál-culo – 100 + 193 = 93.

Na atividade 2, os alunos vão re-

solver as operações com lápis e pa-pel e você pode solicitar que confi-ram o resultado com a calculadora.

Comece a atividade 1 perguntan-

do aos alunos se preferem cálculomental (“de cabeça”) ou escrito.Comente que é importante co-

nhecer algumas estratégias para

o cálculo mental como a possibi-lidade de escolher que números

adicionar ou subtrair primeiro,

que também ajudam nos cálculoscom papel e lápis.



93

1.427

854

80

– 70

80

– 531

– 1.503

– 374

37

– 1.400

– 300

– 100




Na atividade 3, os alunos de-

vem aplicar o que aprenderam demodo a facilitar os cálculos.

– 500 – 876 – 2.937

– 57.033

– 68.870

5.505

– 13.550




Discuta a atividade 1 com os alu-

nos e ajude-os a perceber o quePedro fez.Na atividade 2, se os alunos ti-

verem dificuldades para encontraro resultado, retome a resolução

de Pedro e discuta com a classe

novamente.

Usou a estimativa e fez tentativas com adições para descobriro resultado.

2.233

– 3.570

– 87.413




Diga aos alunos que, nas ativida-

des 2 e 3, a calculadora é umaferramenta de controle, que servepara verificar a adequação da es-tratégia adotada.

Organize os alunos em duplas

para que eles troquem impres-sões e reflitam sobre a estratégiado colega.



80.000 – 80.000

10.000

500

444.444

9.999

– 352.426

– 2

90.000

2.700

– 500.000

– 6

23.010

2.999




Retome as escritas numéricas da

atividade 1 para que calculem osresultados e completem a tabelada atividade 2.

Escreva um texto coletivo sobre a

adição de dois números positivos,dois negativos e um positivo comum negativo e o que acontece

com o resultado.Feito isso, peça que completem aatividade 3.

Na atividade 1, discuta o signifi-

cado de cada escrita numérica. De-pois, peça a um aluno que leia ostextos. Discuta com a classe cadatexto lido, associando-o a uma

escrita numérica correspondente.

c

+ 47

o resultado é um número positivo.

o resultado é um número negativo.

o sinal do resultado pode ser positivo ou negativo.

+ 3– 3 – 47

b a d




A atividade 3 pode ser resolvida

em duplas. Um dos alunos da du-pla elabora o texto da expressãoa e o outro o da expressão b. De-pois, eles trocam os livros e cadaum resolve o problema proposto

pelo outro.Socialize alguns textos de proble-mas com a classe e comente as

resoluções.

As atividades dessa página en-

volvem adições e subtraçõescom números inteiros, positivos

e negativos.Discuta com a classe os procedi-mentos de cada caso e socialize

as resoluções.

+ 8 – 8

– 8

– 10

– 3

+ 10

+ 6

+ 9

– 20

– 6

– 4

+ 2

– 9

+ 20

+ 2

+ 2 – 2




Organize os alunos em dupla e

pergunte quem sabe usar trans-feridor. Comente que existem

transferidores de meia volta, com180º, e de uma volta, com 360º.Relembre o nome dos elementos

de um ângulo: lados e origem.Ajude-os no uso do transferidor

para medir os ângulos B e C.

• Identificar ângulo comomudança de direção ereconhecê-lo em figuras planas,nomeando-o em função desuas medidas.

B = 120° e C = 20°

α = 45ºO




em especial, com polígonos, re-

gulares ou não, e ainda com po-lígonos diferentes num mesmo

desenho – mas que nesta ativi-

dade trabalharemos com padrõesde um único tipo de polígono.

Inicialmente, converse com os

alunos sobre diferentes aplica-ções de ladrilhos e os diferentes

materiais que são usados. Conte

também que há ladrilhamentos

com diversas formas e figuras,

• Resolver situações-problema emque seja necessário compor oudecompor figuras planas.

Os lados e os ângulos internos de cada polígono têma mesma medida.




junções desses polígonos – eles

podem medir os ângulos com umtransferidor. Chame atenção paraa soma dos ângulos em cada jun-ção dos polígonos, que é igual a

360 graus.

Na atividade 2, procure levar

os alunos a perceber que há al-guma regularidade em relação

aos ângulos dos polígonos que

podem ser usados para fazer o

ladrilhamento e a observar as


Triângulos, quadrados ou hexágonos

Os ângulos internos dos dois polígonos não permitem encaixes.




O objetivo desta página é, além

de compor e decompor figuras,calcular áreas de superfícies

planas tomando como base umaunidade padrão.

Oriente os alunos na construção

do Tangram, que pode ser feitapor dobraduras. Você pode cons-truí-lo com eles.Há vários sites com jogos mate-

máticos envolvendo o Tangram eque ensinam as dobraduras. Por

exemplo: http://portaldoprofes-

sorhmg.mec.gov.br – acesso: 6

jan. 2010.


• Calcular a área de superfíciesdelimitadas pela decomposiçãoe/ou composição em figurasconhecidas ou por tomando por

base uma unidade padrão.

16 u2

Triângulo vermelho: 4 u2. Quadrado pequeno: 8 u2

Resposta individual. Por exemplo, juntando os triângulos maiorespela hipotenusa.

Sim, unindo adequadamente os dois triângulos verdes eles formamum triângulo congruente ao rosa, e a união deles forma um quadrado.




da Universidade de São Paulo

(http://www.mac.usp.br/mac/ –acesso: 6 jan. 2010), em que há

sugestões de projetos que podemser implementados, conforme o

projeto pedagógico da escola. Osalunos também podem consultar

obras no acervo virtual do MAC.

Comece a atividade conversando

com os alunos sobre a relaçãoentre geometria e arte. A geome-tria pode ser observada em mo-

numentos, artesanato, molduras,

quadros e outras manifestações

artísticas. Faça uma visita ao sitedo Museu de Arte Contemporânea


Quadrados, retângulos, trapézios e triângulos




Explique aos alunos que adota-

mos aqui uma unidade de medidade área não padronizada e, nes-

se caso, podemos representá-la

como unidade quadrada (u2). Dê

exemplos de unidades de medidade área padronizadas como o qui-lômetro quadrado (km2), o metroquadrado (m2), o centímetro qua-drado (cm2) etc.

Esses desenhos podem ser inter-

pretados individualmente de di-ferentes maneiras.Comente que a superfície poligo-nal é determinada pelo polígono

e a superfície interna contornadapor ele.

Resposta individual, pois depende do desenho de cada aluno.

Resposta individual, pois cada aluno fará um desenho diferente.




Finalizando a atividade 4, escre-

va na lousa as diferentes apro-ximações feitas pelos alunos e

ressalte que o método mais pre-

ciso para o cálculo dessa área é

o uso de malhas quadriculadas

cada vez menores, pois isso di-

minuiria a diferença entre os cál-culos por falta e por excesso e,

consequentemente, a margem de

erro. Alguém pode sugerir quese calcule a média entre os dois

valores. Nesse caso, somam-se

as áreas obtidas por falta e por

excesso e se divide o resultado

por dois. Se essa ideia não surgir,pergunte à classe se a estratégiaé válida.

No desenvolvimento destas ativi-

dades, oriente os alunos a fazeraproximações conforme a orien-

tação do texto, por falta ou por

excesso, e também pequenas

compensações na contagem dos

quadrados, buscando minimizar

o erro.


24 u2

Usando como unidade de medida quadrados cada vez menores,ou malhas quadriculadas menores.

24 u2 48 u2

48 u2




ser usada em alguns casos, como

na figura A ou na D.Finalizando as atividades, so-

cialize com a turma as composi-

ções e decomposições das figu-

ras planas e o cálculo das áreas.

Observe como os alunos estão

fazendo a composição e decom-posição das superfícies poligonaise oriente-os a não se preocupar

com a aplicação de fórmulas nes-se momento, embora ela possa


4,5 u2

2 u2

6 u2

10 u2

1 u2

4 u2

3 u2

2 u2




Na atividade 2, discuta quais des-

sas superfícies têm a mesma áreae peça para justificarem. Perguntese sabem o que é o perímetro de

um polígono.

Oriente os alunos a adotar a su-

perfície delimitada pelo triângulopequeno como unidade de área e,se for necessário, dê exemplos.

Essa orientação é fundamental,

pois em outras atividades a uni-

dade de medida era delimitada

pelo quadrado.


8 u2 8 u2 6 u28 u2 2 u2 2 u2




Explique que o perímetro é a me-

dida do contorno de uma superfí-cie. Às vezes, os alunos dizem queo perímetro é a “soma dos lados”,o que é incorreto, pois deve ser

a soma das medidas dos lados,

e apenas se as superfícies forem

poligonais.

A, B e C; D e F

Não, elas têm a mesma área, mas perímetros diferentes.

Não, elas têm o mesmo perímetro, mas áreas diferentes.

8p 10p 8p




Nessas atividades, fique atento,

pois é muito comum os alunosconfundirem área e perímetro.

Explique a diferença entre es-

sas medidas e enfatize que não

dependem diretamente uma da

outra. O polígono ABCD é um

retângulo, que também é um

paralelogramo.

As atividades 1, 2 e 3 permi-

tem observar os procedimentosusados no cálculo de áreas. As

atividades 4 e 5 permitem com-parar as áreas e os perímetros

das figuras. Uma discussão sobreas respostas leva à conclusão deque figuras com áreas iguais nemsempre têm o mesmo perímetro,

e vice-versa.

Antes de começar a atividade,

converse com os alunos sobre ocálculo da área de uma superfíciequadrada e de uma retangular.

Peça que desenhem diferentes

paralelogramos e que recortem

as superfícies limitadas por eles

para transformá-las em superfí-

cies retangulares.


• Calcular a área de superfíciesdelimitadas pela composiçãoe/ou decomposição emformas geométricas de

áreas conhecidas.

6 u2




Sistematize o que foi estudado nas

duas páginas.

6 u2

6 u2

Elas têm as mesmas áreas.

Elas têm a mesma área e perímetros diferentes.

São diferentes.




Socialize as respostas.

Faça perguntas e retome o assun-to: “o que é grau?”; “podemos

associar 90° com um quarto de

volta?” etc.

Organize os alunos em pequenos

grupos e pergunte se alguém jáviu esse tipo de cadeado. Comenteque ele é muito usado em malas.Verifique se os alunos percebem adiferença entre sentido horário e

antihorário para compreender de

que forma os giros foram feitos.








Certifique-se de que todos as en-

tenderam bem.Esclareça o desenho que indica

o sentido, e, em cada lugar, elesterão que girar para a direita

ou para a esquerda segundo o

ângulo dado.

Com os alunos organizados em

grupos, comece a atividade per-guntando quem já participou de

uma gincana e peça-lhes que con-tem sua experiência.Peça para um dos alunos ler as

regras e explicar para a classe.





10 cmlugar 3

lugar 4

4 cm

4 cm

fim




Na atividade 1, os alunos devem

estimar as medidas dos ângulospara reconhecer os intervalos e

só depois medir os ângulos como transferidor.Oriente-os a comparar as medidascom as estimativas feitas.

Com os alunos organizados em

duplas, pergunte quem sabe o queé um ângulo reto. Desenhe um nalousa e mostre como indicar que

se trata de um ângulo reto.


A e E

B e F

C e D




Na atividade 4, os alunos podem

identificar o tipo de ângulos semmedi-los, considerando os lados

sobre a malha quadriculada.

4

0

0

0

0

0

0

0

2

2

2

0

2

3

0

2

2

2

5

1

0




X




Na atividade 2, o resultado se

conserva e os alunos devem mo-dificar as expressões.Verifique se os alunos cometem

erros ao realizar as operações.

Discuta-os com a classe.

Peça que os alunos analisem as

igualdades a, b, c e d, verificandoporque não estão corretas para

responder a atividade 1. Eles po-dem usar o final da página para

efetuar os cálculos.

(– 5) – (– 7) = + 2

(– 5) – (– 3) = – 2

(– 8) – (– 12) = + 4

(– 8) – (+ 12) = – 20

(– 1) + (– 3) = – 4

(– 1) + (+ 5) = + 4

(+ 12) – (+ 15) = –3

(+ 12) – (+ 9) = + 3




Ao final, eles podem conferir os

resultados com a calculadora.Atenção: na atividade 2 há ou-

tros resultados possíveis. Por

exemplo:• – 45 + (+ 18) = – 45 – (– 18)• 15 + (– 35) = 15 – (+ 35)

A atividade 1 envolve cálculos

de adição e de subtração. Assetas indicam em que ordem a

operação deve ser realizada. Os

alunos podem resolve-las men-

talmente, ou utilizar o espaço aolado das tabelas para os cálculos.

– 8

– 5

+ 4

– 4

– 1

+ 8

–

+

+

–

20

– 35

– 20

– 18

– 11

– 8

+ 1

– 1

+ 2

+ 11

– 1

+ 2

+ 11

– 11

– 8

+ 1

– 4

– 1

+ 8

– 8

– 5

+ 4




Não é preciso que todas as tare-

fas sejam feitas no mesmo dia:organize-as como achar melhor.Socialize a resolução de todos osproblemas e, enquanto os alunostrabalham sozinhos, acompanhe-os e oriente aqueles que tiveremdificuldades, anotando-as para

retomá-las.

Esta seção vai aparecer no final

de cada Unidade, com propostasque retomam o conteúdo traba-

lhado. São atividades individu-

ais, e você deve analisá-las para

verificar se as expectativas de

aprendizagem foram atingidas,

quanto os alunos avançaram e o

que precisa ser retomado.

120°




– 7 – 2,3 – 1 + 2,8 + 4



2o semestre






rece no dia a dia das pessoas.

Comente que, embora a repre-sentação fracionária seja menosfrequente nas situações do coti-diano, seu estudo se justifica porser significativo para o desen-volvimento de outros conteúdosmatemáticos tais como: razão,proporções, equações, cálculoalgébrico, para citar alguns.

Para começar, peça aos alunos

que leiam o texto e respondam àquestão proposta.Verifique os hábitos de leiturados alunos e a frequência comque realizam essa atividade.Solicite que tragam jornais ourevistas ou explore a página deabertura da Unidade e pergunteque tipo de números mais apa-

Resposta pessoal

•M2 Reconhecer númerosracionais, positivos e negativosrepresentados na formafracionária ou decimal emcontextos diversos e explorardiferentes significados.

•M3 Localizar números racionais

na reta numérica.

•M4 Analisar, interpretar, formulare resolver situações-problema,compreendendo diferentessignificados das operações doscampos aditivo e multiplicativo,envolvendo números naturais,inteiros e racionais.

•M5 Realizar cálculos(mentais ou escritos, exatosou aproximados) envolvendooperações – com números

inteiros por meio de estratégiasvariadas, com compreensão dosprocessos nelas envolvidos esaber utilizar a calculadora paraverificar e controlar resultados.

•M6 Fazer cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo operações – comnúmeros racionais positivose negativos, por meio deestratégias variadas, comcompreensão dos processos

nelas envolvidos e verificaçãode resultados.

•M11 Resolver situações--problema que abrangemas ideias de razão e deproporcionalidade, ampliando anoção e o uso de porcentagens.

Materiais necessários paraesta Unidade:

régua

calculadora

jornais e revistas

Ao longo do trabalho, solicite ex-plicações sobre o texto propostoe dê oportunidade aos alunospara que expressem seus conhe-cimentos, identifiquem e apresen-tem suas dúvidas.




Divida a classe em duplas, propo-

nha que leiam o texto da ativi-dade 1 e respondam à questão,baseando-se na informação dotexto e nos recortes que conse-guiram coletar.

Antes de realizar as atividades

dessa página, programe com seusalunos uma pesquisa, em jornaise revistas, de notícias sobre oaquecimento global. Peça que asrecortem.

Essa afirmação contraria a informação de que a Antártida éa região que mais sofreu o impacto do aquecimento global.

• Analisar, interpretar, formular eresolver situações-problema,compreendendo diferentessignificados das operaçõesdo campo multiplicativo,envolvendo números inteiros.

• Realizar cálculos (mentais ou

escritos, exatos ou aproximados)envolvendo multiplicação comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos.




Na atividade 3, também é possí-

vel que apareçam alguns modos,tais como:a) (–538) + (–538) = –1.076b) –538 – 538 = –1.076c) 2 × (–538) = –1.076Surgindo essas formas, discutasobre o modo mais prático.

Ao realizar a atividade 2, é pos-

sível que apareçam dois modosde resolução:• adicionando 4 vezes −22:

(−22) + (−22) + (−22) + (−22) = −88• multiplicando 4 por −22 = −88.

Respostas possíveis: (–22) + (–22) + (–22) + (–22); 4 · (–22).

538 m abaixo do nível do mar.

1.076 m abaixo do nível do mar, ou –1.076 m.




Para esses casos, lançaremos mão

da observação de padrões de com-portamento em uma série numéri-ca (regularidades).No entanto, as dificuldades seatenuam um pouco se conside-rarmos que a multiplicação comnúmeros inteiros preserva aspropriedades das operações comnúmeros naturais.

A multiplicação do tipo 4 × (–22)

pode até ser compreensível emuma ou outra dessas situações,mas o mesmo não acontece com(–22) × 4 ou com (–22) × (–4);(–22) × (–4) pode ser entendidacomo o número –22 quatro vezesse for aceito intuitivamente que amultiplicação de números inteirostem propriedade comutativa.

Como soma de –22 quatro vezes: (–22) + (–22) + (–22) + (–22).

Não




tabelecimento de relações e de

algumas inferências.Antes da atividade 1, pergunteaos alunos como eles multipli-cam um número inteiro positivopor outro positivo, pois o quadroa ser observado começa com o

produto de números positivos.

Em seguida, passa-se a multipli-car números negativos por posi-tivos, explorados nas atividadesanteriores.Proponha outras situações pare-cidas com essas.

Os quadros podem ser usados

no trabalho da multiplicação eda divisão de números inteiros,uma vez que a compreensão dosprocedimentos de cálculo dessasoperações depende da identifi-cação de regularidades, do es-

+30

+20

+10

Uma unidade

O produto é negativo.

10

• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo multiplicação comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos.




Pela observação das regularidades

das sequências numéricas cons-truídas, os alunos podem comple-tar o quadro com os produtos dosnúmeros negativos pelos negati-vos, mantendo o padrão numéricoobservado.

Na atividade 2, o quadro a ser

observado começa multiplicandonúmeros positivos por negativos.Proponha outras situações pare-cidas com essas.

-30

-20

-10

Diminui uma unidade a cada linha.

Aumentam 10 unidades a cada linha.

O produto é positivo.

O sinal é positivo.




(+1) ∙ (+36) = (+36) ∙ (+1);

(–1) ∙ (–36) = (–36) ∙ (–1);(+2) ∙ (+18) = (+18) ∙ (+2).Na atividade 2, verifique se osalunos reconhecem a propriedadeassociativa da multiplicação dis-cutida anteriormente. Se houverainda alguma dúvida, proponhaoutros cálculos.

Na atividade 1, registre na lousa

algumas possíveis respostas.Pergunte aos alunos se a pro-priedade comutativa é válidapara a multiplicação de númerosinteiros, ou na multiplicação denúmeros inteiros a ordem dos fa-tores não altera o produto. Peçaque justifiquem as respostas comexemplos registrados na lousa:

(+1) ∙ (+36); (+2) ∙ (+18); (+3) ∙ (+12); (+4) ∙ (+9); (+6) ∙ (+6);(–1) ∙ (–36); (–2) ∙ (–18); (–3) ∙ (–12); (–4) ∙ (–9); (–6) ∙ (–6).Existem mais 10 maneiras se for trocada a ordem dos fatores,além de outras, como (+2) · (+2) · (+3) · (+3).

• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo multiplicação comnúmeros inteiros por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processosnelas envolvidos.

(+32) ∙ (–50) ∙ (–20) = +(+32) ∙ (+100) = +32.000.




Pergunte-lhes qual é a operação

inversa da multiplicação. Peçaque justifiquem com exemplosenvolvendo números naturais.Na atividade 1, mostre que di-vidir o número 90 pelo número 6significa encontrar o número 15,que, multiplicado por 6, dá 90:90 ÷ 6 = 15 porque 15 ∙ 6 = 90

Esclareça que, para os números

inteiros, a multiplicação e a di-visão também são operações in-versas porque uma desfaz o quea outra fez.Peça que realizem as sequências detarefas propostas relacionando asoperações multiplicação e divisão.

As atividades dessa página têm

caráter lúdico. Comece retoman-do os conhecimentos que os alu-nos têm relacionados a operaçõesinversas.Comente que, quando uma opera-ção desfaz outra realizada ante-riormente, determinando a voltaao estado original, dizemos queuma é a inversa da outra.

15

168 –12

–8

–8

–8

–8

–8

–8

• Realizar cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo multiplicação edivisão com números inteirospor meio de estratégiasvariadas, com compreensão dosprocessos nelas envolvidos.




à compreensão e à exposição oral

e escrita sobre o que foi lido esistematize as aprendizagens.Ressalte que efetuar a multiplica-ção ou divisão de números intei-ros descobrindo primeiro o sinal(positivo ou negativo) de um pro-duto, de acordo com a quantidadede fatores negativos, possibilitapensar nas operações envolven-

do apenas números positivos.

Comente alguns recursos de cál-culo mental e propriedades usa-dos nas atividades:• propriedade comutativa em

(+25) · (−4) = (−4) · (+25);• o número 1 como fator em

(+247) · (+1);• o zero como fator em

(–256) · (+ 1.000) · 0 · (–125);

Durante os momentos de resolu-

ção dessas atividades, observequais recursos de cálculo men-tal e escrito são usados, quaispropriedades das operações sãoaplicadas. Faça perguntas do tipo:como você pensou para encontraras respostas?Após a realização das demais ati-vidades, organize outras voltadas



–100 –100

–2.200 +247

+330 –32

0 +260

Negativo

Positivo

O produto de dois ou mais fatores é negativo se o númerode fatores negativos é ímpar.

Resposta pessoal




Ao iniciar a atividade 4, coloque

na lousa vários pares de númerosinteiros diferentes dos que estãopropostos na atividade. Peça aosalunos que mentalmente calculema soma e o produto deles.Depois da atividade, solicite aalguns deles que relatem comoobtiveram suas respostas.

Na atividade 5, pergunte como

encontraram o número pedido. Épossível que as repostas tenhamsido obtidas por tentativa. Pro-ponha as exposições dos proce-dimentos adotados, confronte-ase peça-lhes que as registrem nocaderno.

• buscar fatores cujo produto é

igual a 10, 100:(−4) ∙ (−22) ∙ (−25) =

= +100 ∙ (−22) = −2.200Na atividade 3, peça que pre-encham o quadro relacionandoas operações multiplicação edivisão.

–25 –21

+25 –21

+9 +90

–2 +90

(+42) ÷ (+6) = +7

(+42) ÷ (+7) = +6

(–72) ÷ (–36) = +2

(–72) ÷ (+2) = –36

(–120) ÷ (–3) = +40

(–120) ÷ (+40) = –3

–12 e 2 –1




cimentos sobre seus diferentes

significados, consulte o Livro doprofessor, volume 1, Cadernos de

apoio e aprendizagem, p.11, ouOrientações curriculares e propo-

sição de expectativas de aprendi-

zagem para o Ensino Fundamental

– Ciclo II , p. 103.Espera-se que os alunos pintemde vermelho e verde os núme-

ros inteiros positivos e de azul

e amarelo os números inteirosnegativos.Comente que os números inteirospositivos são também númerosracionais positivos e os núme-ros inteiros negativos são tam-bém números racionais negativos.

As atividades dessa página têm

por objetivo trabalhar com oconjunto dos números racionaiscomo ampliação do conjunto dosnúmeros inteiros.Para o preenchimento do qua-dro é explorado o significado denúmero racional como quocientede um inteiro por outro (a ÷ b == ; b ≠ 0). Para mais esclare-

• Reconhecer númerosracionais, positivos e negativosrepresentados na formadecimal ou fracionária, emcontextos diversos, e explorardiferentes significados.

1 = 0,75 = 0,5 = 0,25 = –0,25

= 1,333... 1 = 0,666... = –0,333...

2 = 1,5 = 0,5 = –0,5

4 3 2 1 –1

–4 –3 –2 –1 1

–2 –1 = –0,5 = 0,5

= –1,333... –1 = –0,666...– = –0,333... = 0,333...

–1 = –0,75 = –0,5 = –0,25 = 0,25




também podemos representar os

números racionais negativos porpontos de uma reta numérica.Chame a atenção para o ponto Passociado a zero, pois localizare-mos os pontos correspondentesaos números positivos e negati-vos a sua direita ou esquerda.

Peça que observem o segmento

considerado unidade e a orien-tação positiva da reta numérica.É conveniente dividir a unidadeem quatro partes iguais porquena reta estão assinalados pontoscorrespondentes à forma fracio-

nária de denominador 4: e .

Inicie com um levantamento dos

conhecimentos prévios dos alunossobre a localização de númerosracionais positivos estudados naUnidade 1.Comente que, do mesmo modocomo fazemos com os númerosinteiros e os racionais positivos,


2 –3,6




Esses dois conceitos são cons-

truídos com base na observaçãoda reta numérica, já que ambosestão relacionados à distânciade pontos tendo como referencialo ponto zero.

Na atividade 3, solicite aos alu-

nos que destaquem a unidadeconsiderada.Na atividade 4, peça que justi-

fiquem por que e têm o

mesmo valor absoluto.

Nas atividades 2 e 4 são explo-

rados, com números inteiros, osconceitos de opostos ou simé-tricos e valor absoluto, tambémconhecido como módulo.Comente que esses conceitossão os mesmos para os númerosracionais.

10 partes

2

0 1

–0,3 0,3 0,5 1,7–0,5

–1




Faça perguntas comparando al-

guns pares desses números.Em seguida, peça que observem areta numérica ilustrada no textoe tirem suas conclusões.Convide os alunos para buscaremargumentos que justifiquem osprocedimentos utilizados e fina-

lize as atividades propondo uma

discussão para socializar os resul-tados. Oriente-os para organizar,sistematizar e registrar esses re-sultados no caderno.

Nessas atividades, os alunos vão

construir procedimentos paracomparar os números racionaisna forma fracionária e decimal.Inicie a atividade desenhandona lousa uma reta numérica comalguns pontos associados a nú-meros inteiros.

O positivo

Zero

O que tiver menor valor absoluto.

–2,6 e 2,6

Resposta possível: –2,6; –2

• Comparar números racionais.

< >

<

<

< <

2,6




Peça que emitam opiniões sobre

como o aquecimento global podeafetar a economia brasileira.Comente que a compreensão ea interpretação das informaçõesde jornais e revistas dependem doconhecimento de números racio-

nais, em sua maioria na forma de-

cimal. Hoje, a forma fracionáriatem aplicação maior na própriaMatemática. Para atender a essesaspectos, estudaremos concomi-tantemente os números racionaisna forma fracionária e decimal.

Solicite aos alunos que observem

e analisem o material do jornal epergunte que informações podemser obtidas. Registre as respostasna lousa.

• Reconhecer númerosracionais, positivos e negativosrepresentados na formadecimal ou fracionária, emcontextos diversos, e explorardiferentes significados.




Na atividade 3, certifique-se deque os alunos compreendem oenunciado do problema e elabo-

perdas econômicas, em termos

proporcionais (porcentuais)? Qualestado terá os maiores prejuízosabsolutos em reais?Dessa forma, será possível desen-volver a leitura, escrita e inter-pretação de números racionaiscom mais motivação.

Na atividade 2, o número racio-

nal é usado como índice compa-rativo entre duas quantidades, ouseja, é interpretado como razão:

16,8 (SE); 70,6 (RS); 83,9 (PA) –33 (PB); –13 (AM); –6,9 (AC)

3; ou

Mato Grosso, Mato Grosso do Sul e Goiás.

Correta; –333 – 92,1 – 117,6 – 96,2 = –638,9

Não aparece o Estado do Paraná; os Estados do Amazonas,Pará e Rio Grande do Norte aparecem duas vezes.Pode-se confiar nessa matéria com restrições.

Essa afirmação está prejudicada porque os dados não foramutilizados de forma correta e porque não se levaram em contaos “ganhos” de três estados.

• Analisar, interpretar, formular eresolver situações-problema,compreendendo diferentessignificados das operaçõesdo campo aditivo, envolvendonúmeros inteiros e racionais.

o número de estados que terão ganhoso número total de estados brasileiros

ram estratégias para encontrar a

solução. Se isso não acontecer,procure orientá-los tirando suasdúvidas.Se possível, explore outras infor-mações contidas na reportagemfazendo perguntas como: em queforma estão representados os nú-meros racionais que escreveram?Qual estado sofrerá as maiores




ses números. Esse conhecimento

é necessário para o estudo dessasoperações com números racionais.Comente que, embora eles te-nham feito um estudo dessasoperações com os racionais po-sitivos, agora se trata apenas de

ampliar a aplicação das descober-

tas feitas anteriormente e rea-lizar essas operações com qual-quer número racional, positivo enegativo. Socialize as resoluçõese discuta com eles os diferentesprocedimentos usados.

A retomada dos cálculos envol-

vendo a adição e a subtração comnúmeros inteiros poderá auxiliaros alunos que encontraram umpouco mais de dificuldade e rati-ficará as conclusões daqueles que já aprenderam a operar com es-

V

V

F

V

56

–68

+114

–40

Resposta pessoal

• Fazer cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo adição e subtração– com números racionaispositivos e negativos, por meiode estratégias variadas, comcompreensão dos processos





= –3,6 + 0,3 = –3,3

–3,3 – (–0,3) == –3,3 + 0,3 = –3 ...Caso isso aconteça, compare osprocedimentos organizando dis-cussões do grupo e/ou da classe.Na comparação de diferentesformas de resolver os exercícios,os alunos poderão tomar conhe-cimento de que existem outras

estratégias de solução para um

mesmo problema. Essa descobertacontribui para uma compreensãocom maior significado dos conteú-dos abordados.Na atividade 7, também é pos-sível que apareçam diferentesestratégias de resolução.

Na atividade 6, podem surgir vá-

rias respostas, por exemplo:a) Cada número, a partir de –3,6,é o anterior mais 0,3.–3,6 + 0,3 = –3,3–3,3 + 0,3 = –3–3 + 0,3 = –2,7 ...b) Cada número, a partir de –3,6,é o anterior menos (–0,3).–3,6 – (–0,3) =

22

–30

–2,4 ou–11,1

–0,625 ou

–2,1 –1,8 –1,5

Teresa transformou o número da forma decimal para a formafracionária e André, o número da forma fracionária para a formadecimal.

Resposta possível: Cada termo, a partir do segundo,é igual ao anterior mais 0,3.




tas feitas anteriormente e realizar

a operação com qualquer númeroracional.Dê o tempo que for necessáriopara a realização da tarefa. Socia-lize as resoluções e discuta comeles os diferentes procedimentosusados.

Para o estudo dessas operações

com números racionais, retome oscálculos envolvendo a multiplica-ção com números inteiros.Comente que, embora os alunos já tenham feito um estudo dessaoperação com os racionais posi-tivos, agora se trata apenas deampliar a aplicação das descober-

4 2,08 0

0

0

–50 –26 0 3

• Fazer cálculos (mentaisou escritos, exatos ouaproximados) envolvendomultiplicação com númerosracionais positivos e negativos,por meio de estratégiasvariadas, com compreensão dos

processos nelas envolvidos everificação de resultados.




Na atividade 3, a operação di-

visão é abordada como operaçãoinversa da multiplicação.

Na atividade 2, certifique-se de

que os alunos compreendem oconceito de inverso de um nú-mero racional. Poderá ser usadona divisão de números racionais,em situações-problema e tambémna resolução de equações.

Sim, pois

–3,12




Antes de usar a calculadora, con-

vide-os para realizar estimativasde seus cálculos com o objetivode criticar os resultados obtidos,e não simplesmente aceitar osque são mostrados no visor.Crie outras situações do mesmotipo, a fim de ampliar a compe-tência e a prática dos alunos emfazer cálculos (mentais ou es-

critos, exatos ou aproximados).

Na atividade 3, trabalha-se o nú-mero racional com o significadode operador, ou seja, o númerodesempenha um papel de trans-formação, atuando em uma situa-ção e modificando-a.

As atividades dessa página envol-

vem recursos que podem ser usa-dos para cálculos mentais e es-critos e também para estimativas.Esta é uma ocasião oportuna parao uso da calculadora. Faça comque os alunos busquem regula-ridades, na multiplicação de nú-meros racionais na forma decimalpor 10, 100, 1.000, ...

, pois

X

X

X

–7 325,6 –10,09

–70 3.256 –100,9

–700 32.560 –1.009

uma

duas

três

• Fazer cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo multiplicação comnúmeros racionais positivose negativos, por meio deestratégias variadas, comcompreensão dos processos





Cabe um pequeno comentário

em relação à divisão de númerosracionais representados na formafracionária. Tradicionalmente,para dividir dois números nessaforma, enfatiza-se o algoritmo“multiplicar o dividendo pelo in-

verso multiplicativo” ou “inverter

o divisor e multiplicar pelo divi-dendo” ou “multiplicar a primeirafração pelo inverso da segunda”.As atividades apresentadas pro-curam fazer uma conexão dessealgoritmo com o significado daoperação.

Embora os alunos já tenham es-

tudado a divisão com os racionaispositivos, as atividades propostastratam de ampliar a aplicação dasdescobertas feitas anteriormen-te e realizar essa operação comqualquer número racional.

São iguais.

Sim.




cia do quociente, de reconhecer o

inverso de um número e de que,sabendo que, se o divisor é 1, oquociente é igual ao dividendo.Propriedade da invariância do quo-ciente: o quociente não se alteraquando se multiplica ou se divideo dividendo e o divisor pelo mes-mo número (diferente de zero).

Uma vez adquiridos esses co-

nhecimentos, os alunos podemperceber por que dividir por umnúmero é o mesmo que multipli-car por seu inverso.

Muitas vezes os alunos não en-

tendem por que é preciso mul-tiplicar, se estão dividindo. Umdos erros comuns consiste na in-versão do dividendo, o que podeindicar incompreensão do queestão fazendo.A justificativa desse algoritmoestá na propriedade da invariân-

1

1

1

O quociente é igual ao dividendo.

Incorreta, pois o resultado final deveria ser negativo.

• Fazer cálculos (mentais ouescritos, exatos ou aproximados)envolvendo divisão comnúmeros racionais positivose negativos, por meio deestratégias variadas, comcompreensão dos processos





Antes de iniciar a leitura pro-

priamente dita, peça aos alunosque dirijam a atenção para oselementos da matéria do jor-nal que contextualizam o texto:identificação de títulos e sub-títulos, observação da tabela.

Essas ações antecipam para o

leitor uma série de informaçõessobre o assunto a ser abordado.Nessas atividades, o número ra-cional é usado como índice com-parativo entre duas quantidades,ou seja, como razão.

Na atividade 1, é importante que

os alunos entendam que na Sé,bairro pouco habitado, um mo-rador dispõe de aproximadamente13 postos de trabalho para seremocupados ou, pelo raciocínio in-verso, que há menos do que ummorador por posto de trabalho.

Aproximadamente 0,08

• Resolver situações-problemaque envolvem as ideiasde razão.




Nessa página são propostas ativi-

dades para que os alunos possamreconhecer a interdependênciaentre razão, proporção e propor-cionalidade.Após a realização das atividades,comente que a proporcionalidadeé um dos conceitos mais utiliza-dos pela maioria das pessoas, sejaem Matemática seja no cotidiano.

Em muitas situações, recorremos

a ela para fazer estimativas, cál-culos e até para tomar decisões.Pergunte se:a) as pessoas que eles conhecem(ou eles mesmos) usam propor-ções nas atividades cotidianas.b) uma dona de casa usa pro-porções. Em caso afirmativo, emquais situações?

c) existem brincadeiras, jogos,

quebra-cabeças que utilizam pro-porções.Solicite aos alunos que façam umapesquisa e registrem no caderno.Promova socialização das respos-tas para que produzam uma reda-ção coletiva.

O consumo de café de um habitante por ano, em quilograma.

Resposta possível: Sim, se 4.650 mg de café equivalem a 1.560xícaras, então 9.300, que é o dobro de 4.650, equivalem ao dobrode xícaras (2 ∙ 1.560 = 3.120).

Sim. e

• Resolver situações-problemaque envolvem as ideias de razão




Comente que, por causa da es-

crita m : n = r : s, os termos m e s são denominados extremos da proporção, e os termos n e r são denominados meios da pro-

porção.

A propriedade fundamental das

proporções pode ser exploradacomo critério para decidir sobrea igualdade de duas razões.

A atividade 1 envolve a ideia de

comparação entre razões e o con-ceito de proporcionalidade.Identifique o que os estudantessabem sobre o significado dasoperações do campo multiplicati-vo e procedimentos matemáticosnecessários para resolver proble-mas que envolvem o significadode proporcionalidade.

7,5 kg

40 litros

Em uma proporção, o produto de seus meios é igual ao produtode seus extremos.

• Analisar, interpretar, formular eresolver situações-problema,compreendendo diferentessignificados das operações doscampos aditivo e multiplicativo,envolvendo números naturais,inteiros e racionais.


m : n = r : s

extremos

meios




2 horas ou aquele que faz o mes-

mo percurso em 1 hora?Peça para calcularem mental-mente a velocidade média de umcarro que percorre 160 km em2 horas.Na atividade 2, para calcularema velocidade média em km/h, osalunos podem dividir os númerosracionais na forma fracionária:

velocidade média = 4 km ÷ hora

= (4 ∙ 2) km/h = 8 km/h ou naforma decimal, transformando

hora = 0,5 hora.

Comente que uma razão estabele-cida por duas grandezas diferen-tes vem sempre acompanhada desuas unidades de medida (km/h).

Existem alguns tipos de razões

especiais muito utilizadas emnosso cotidiano, entre elas a ve-locidade média.Para começar, pergunte:a) Qual é, em geral, a velocidademédia dos carros da Fórmula 1?b) Quem é mais rápido, um mo-torista que percorre 100 km em


2 km/h

8 km/h




1 segundo = minuto. Nessa

atividade, como não está es-tabelecida a unidade em que avelocidade vai ser registrada,é possível que apareçam respos-tas diferentes. É salutar discutiressa situação.Comente que é possível queo conceito de densidade demo-

gráfica tenha sido estudado nas

aulas de Geografia. Pergunte emque situações.Explique que 7,26 mil habitantespor km2 significa que, se a popula-ção paulistana estivesse distribuí-da de maneira uniforme em toda aextensão territorial, haveria cercade 7.000 paulistanos vivendo emcada quilômetro quadrado.

A atividade 3 explora as relações

entre as medidas de tempo.Faça um diagnóstico dos conheci-mentos dos estudantes a respeitodessas relações. Retome-as, lem-brando que:1 hora = 60 minutos ou

1 minuto = hora;

1 minuto = 60 segundos ou

8 km/h 12 km/h 140,35 m/min

7,26 mil habitantes por km2.

Aproximadamente, 1.515,15 km2.

Aproximadamente, 12.830 habitantes por km2.




Outro aspecto relevante, quando

se trabalha com o conceito de ra-zão, é o reconhecimento de quea representação percentual é umarazão de denominador 100, de-vendo a isso grande parte de suaaplicação em situações práticas.

Se possível, inicie esse tema pro-

pondo uma pesquisa em jornaislocais, revistas, anúncios em lojasda cidade, visita a supermerca-dos, fazendo anotações relacio-nadas a ele. Promova uma ampladiscussão sobre os dados levan-

tados e explore o conhecimento

deles sobre porcentagem. Procurediagnosticar esse conhecimento etomar decisões quanto ao enca-minhamento que será dado paraatingir os objetivos das ativida-des propostas nessa página.


O peso do consumo dos jovens na renda familiar.

Adolescente

0,95




senta suas anotações, e elaborem

coletivamente uma síntese de si-tuações comuns.Para finalizar, pergunte com quaisatitudes cada um pode contribuirpara equilibrar a relação rendaversus gastos.A aplicação dos conceitos de ra-zão, proporção e porcentagem éconstante em nosso cotidiano,

abrangendo tanto problemas sim-

ples e rápidos, por exemplo, des-conto em uma loja em liquidação,como problemas mais complexosrelativos à inflação. Será possí-vel, também, trabalhar com dadosdo cotidiano, com matérias publi-cadas em revistas e jornais locais.

Solicite aos alunos que façam uma

pesquisa com os familiares sobrea renda média mensal e o gastomédio mensal da própria família.Depois peça que estabeleçam arelação renda versus gastos e fa-çam uma análise da situação decada família.Proponha que se reúnam em gru-pos, nos quais cada aluno apre-

Aproximadamente 95%

Aproximadamente 105%

Uma família sem jovens consegue economizar5% da renda familiar.

Uma família com jovens gasta 5% mais do que a renda familiar.

Resposta possível: Todas as classes sociais gastam mais doque a renda familiar; entre elas as classes A e B são as que maiscomprometem a renda familiar.




Nessa seção é possível o professor

verificar o que o aluno aprendeue suas eventuais dificuldades. Asatividades visam a essa reflexão edão indícios sobre como avançare se há necessidade de reorga-nizar outras propostas ou não.Mas é importante destacar queo conhecimento matemático vaise constituindo por articulações,


e ampliações de ideias e concei-tos e que, durante o ano, semprese devem propor novas atividadesenvolvendo os temas que estãosendo trabalhados nas Unidades.Essas propostas finais, ao lado desua observação durante as aulas,são bons indicadores da aprendi-zagem dos alunos.

–72 -90 –729 –9 90

–9 –16

–170,85 –169,15 144,5 200 169,15 0,005

1,4 –2,8 –1,47 –0,333... 2,8 –3




15 porções

X

X

X

X




Nesta Unidade os alunos vão

ter oportunidade de ter conta-to com um ramo da Matemáti-ca muito importante, que é aálgebra. Oriente o grupo parafazer pesquisa em livros ou nainternet a respeito da álgebra.Forneça um roteiro de pesquisa:dados históricos, época do surgi-

mento da álgebra, em que século

se desenvolveram os primeirosusos, os matemáticos envolvi-dos etc. Pergunte se só utiliza-mos números e símbolos ou setambém empregamos letras e emque situações. Destaque que hápadrões geométricos usados emdiferentes culturas.

Peça aos alunos que leiam o texto

e pergunte o que entendem pelostermos “regularidades” e “padrões”.Alguns matemáticos costumam di-zer que a Matemática é a ciênciados padrões, porque sempre pro-curam observar algo que é carac-terístico a um grupo de figurasou a uma sequência de númerospara estabelecer generalizações.

•M12 Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.

•M13 Traduzir uma situação-

-problema em linguagemalgébrica usando equações eformular problemas a partirde uma dada equação doprimeiro grau e compreendero significado da incógnita e dasolução (raiz) de uma equação.

•M24 Calcular a área desuperfícies delimitadas peladecomposição e/ou composiçãoem figuras de áreas conhecidas,ou por meio de estimativas.

•M25 Realizar conversõesentre algumas unidades demedida mais usuais de áreasem situações-problema.




construir esse painel. Descoberto

o segredo, eles podem desenhar apróxima figura do painel, ou seja,a que ocupa a 6a posição.Passe à atividade 2 e auxilie-osa determinar quantos quadradi-nhos verdes há na da 7a, 8a e 12a posição.

Divida a classe em duplas e pro-

ponha que leiam a questão eanalisem a ilustração. Perguntequantos quadradinhos verdes hána figura que ocupa a 1a posição,depois na figura da 2a posição,na da 3a, na da 4a e na da 5a.Verifique, em seguida, se já des-cobriram o segredo de Rafael para

6

7

7

8

12

8 12

• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.




ao número que indica a posição

da figura. Essa discussão permi-te que realizem a atividade 4 edescubram o “segredo” do painel,quando, então, poderão responderà pergunta da atividade 5, quesintetiza e generaliza as ideiasdas atividades anteriores.

Continue perguntando quantos

são os quadradinhos pintados deverde em outras posições e peçaque resolvam a atividade 3. Veri-fique se os alunos percebem que,em qualquer posição que esteja afigura, o número de quadradinhospintados de verde corresponde

15

18

20

100

252

453

Resposta possível: O número de quadradinhos verdes correspondeao número que indica a posição do quadrado na sequência.




brancos há na figura que ocupa a

1a

posição? E a 2a

posição? E a 3a

?E a 4a? Sem fazerem desenhos, de-vem indicar quantos quadradinhosbrancos e azuis têm as figuras da7a, 9a e 12a posição. É importanteque você amplie essa discussãopara outros termos que ocupemposições diferentes no painel.Discuta os procedimentos dos

alunos para encontrar o número

de quadradinhos azuis e brancosem cada posição da sequência.Na terceira posição, o número dequadradinhos brancos é igual aodobro do número de quadradinhosazuis, mas essa situação se mo-difica a partir da 4a posição. Essefato pode levar os alunos a am-pliar a regra para todo o painel.

Divida a classe em quartetos. Na

atividade 1, itens a e b, per-corra a classe e esclareça possí-veis dúvidas. Pergunte: quantosquadradinhos azuis há na figuraque ocupa a 1a posição? E a 2a posição? E a 3a? E a 4a? Abra adiscussão. Faça o mesmo com re-lação aos quadradinhos brancos.Pergunte: quantos quadradinhos


6

12

20

7

9

12

42

72

132

4

5




capazes de preencher o quadro

da atividade 3. Pergunte sesabem como calcular o númerototal de quadradinhos brancosde uma figura dessa sequência.Discuta as respostas e comente ainformação dada na atividade 4:para determinar a quantidade dequadradinhos brancos. Perguntede que maneira eles podem de-

terminar o total de quadradinhos

brancos sem contá-los. Verifiquese percebem que basta elevar aoquadrado o número que indicaa posição da figura no painel (ou onúmero de quadradinhos azuis)e subtrair o número de quadra-dinhos azuis, ou o número daposição. Peça que completem oquadro usando uma calculadora.

Na atividade 2, é provável que

eles digam que o segredo está nofato de que o número de quadra-dinhos azuis é igual ao númerode quadradinhos que compõemo lado da figura, ou, então, que onúmero de quadradinhos coinci-de com o número que indica aposição da figura na sequência.Com essa informação, eles serão

35

59

82

1.225

3.481

6.724

35

59

82

1.190

3.422

6.642

Resposta possível: O número de quadradinhos azuis éigual ao número que indica a posição da figura no painel.




gias pessoais, e depois socialize

as respostas e conclusões. Explo-re outras posições das caixas efaça um quadro na lousa com asrespostas dos alunos. Perguntecomo encontraram o número decaramelos e o de bombons decada caixa. Discuta as diferentes

respostas. Os alunos talvez ob-

servem, por exemplo, que o nú-mero de caramelos correspondeao número que indica a posiçãoda caixa na sequência, e que onúmero de bombons é o dobrodo número de caramelos mais 2.

Nessas atividades é proposta

uma situação-problema em quese observa uma regularidadepresente na disposição de cara-melos e bombons em uma caixa.É interessante propor aos alunosque leiam, discutam e resolvamo problema por meio de estraté-


1

2

3

8

10

20

36

4

6

8

18

22

42

74

Resposta possível: O número de caramelos corresponde aonúmero que indica a posição da caixa, e o número de bombonsé igual ao dobro da quantidade de caramelos mais 2.




duas, três ou mais portas. Orien-

te-os para construir um quadroem que anotem o resultado desuas experimentações (1 porta =5 palitos; 2 portas = 9 palitos;3 portas = 13 palitos etc.). Prova-velmente, os alunos vão observarque, para acrescentar uma portaao desenho, usam mais quatro

palitos. Peça para alguns alunos

descreverem seus procedimentose discuta-os com a classe.Na atividade 3, verifique se ain-da precisam fazer desenhos ou seperceberam que, para completar oquadro, basta somar quatro pali-tos ao número de palitos calcu-lado na linha anterior.

A atividade das “portas de pali-

tos” é bastante conhecida e podeser realizada em duplas, com aconstrução das figuras com pa-litos de sorvete ou canudinhos.Esclareça que os palitos ou ca-nudinhos devem ser dispostos demodo contínuo, como se estives-sem “grudados”. Faça algumas ex-perimentações, construindo uma,


Sim

3

5

9

13

17

21

25

41




uso de um termo qualquer. Peça

que completem os quadros e, en-quanto eles os analisam, percorraa classe e observe se percebem asregularidades e identificam a leide formação da sequência. Casoseja necessário, retome a ativida-de com os desenhos e discuta asconclusões a que eles já haviamchegado.

A partir da atividade 2 pode

haver mais de uma resposta. Naatividade 2, por exemplo, elespodem encontrar na e-nésimaposição o total n ∙ n quadra-dinhos, ou n2. Converse sobrea equivalência entre essas duasexpressões.

Essas atividades podem ser fei-

tas em grupos de 4 alunos paraque haja discussão entre os par-ticipantes. Retome as atividadesrealizadas até aqui e as regrasusadas para descobrir a forma-ção de cada sequência. Comen-te com os alunos que é possívelgeneralizar a regra que permitea formação da sequência com o


10

n

100

225

n ∙ n

10

15

n

90

210

(n ∙ n) – n




Na atividade dos caramelos e

bombons, podem encontrar 2n + 2bombons, ou (n + 1) ∙ 2. Na ati-vidade das portas, podem encon-trar n ∙ 4 + 1 ou 5 + (n – 1) ∙ 4.Comente que essas expressõessão equivalentes, e ajude-os aperceber por quê.

1

2

10

20

n

17

2129

4 + 4 + 4 + 4 + 1

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 14 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 1

4 ∙ 4 + 1

5 ∙ 4 + 17 ∙ 4 + 1

n ∙ 4 + 1

4

6

22

42

(2 ∙ n) + 2




Com base em situações numéri-

cas, explore também a proprie-dade distributiva da multipli-cação em relação à adição e ocálculo de perímetro, já conhe-cido pelos alunos. A finalidade émostrar como utilizar a álgebrapara “generalizar” propriedades

ou fórmulas pelo uso de letras.

Faça outros quadros em que osalunos possam generalizar ou-tras propriedades, como a distri-butiva da multiplicação em rela-ção à subtração ou a associativada adição e da multiplicação,por exemplo.

Inicie a atividade conversando

com a classe sobre situações nu-méricas em que sejam retomadaspropriedades como a comutativada adição e da multiplicação. Co-mente o fato de que essas pro-priedades não são válidas paraa subtração nem para a divisão.


3 + 4 = 4 + 3

2 + 5 = 5 + 2

a + b = b + a

3 ∙ (1 + 5) = 3 ∙ 1 + 3 ∙ 5

2 ∙ (5 + 8) = 2 ∙ 5 + 2 ∙ 8

a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c

3 ∙ 4 = 4 ∙ 3

2 ∙ 5 = 5 ∙ 2

a ∙ b = b ∙ a

Propriedade comutativa da adição epropriedade comutativa da multiplicação.

Qualquer número

Resposta pessoal, por exemplo: 6 + 3 = 3 + 6 ou 6 ∙ 3 = 3 ∙ 6

Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.




o número foi representado por

x, mas poderia ser por outra le-tra. Solicite aos alunos que, emduplas, criem uma escrita dife-rente das apresentadas e que asregistrem na lousa. Depois, peçaà classe que decodifique o quecada expressão representa, con-sultando se os autores concordamcom as respostas.

Comente com a classe que, assim

como existem regras e conven-ções para a escrita em língua por-tuguesa, também existem regrase convenções para as escritasalgébricas. Peça que cada alunoleia o texto individualmente edepois abra a discussão e socia-lize as respostas. Destaque o fatode que, no exercício proposto,


O triplo de um número.

Um número adicionado a 3.

O triplo de um número adicionado à metade desse número.

O triplo de um número menos 1.

A terça parte de um número adicionado ao dobro desse número.




blematize. Se achar conveniente,

solicite aos alunos que realizemas atividades em casa e depoisdiscutam em dupla na sala deaula. Observe se percebem as di-ferenças ao registrar uma expres-são (por exemplo, “o dobro de um

número mais 1”) e uma igualdade

(como “qual o número cujo dobroadicionado a 1 dá 17?”). Se julgarnecessário, complemente as ati-vidades com leituras, situações--problema e exercícios de livrosdidáticos disponíveis.

Convide os alunos para realiza-

rem, em duplas, as atividadespropostas nessa página e na pró-xima. Combine um tempo para aexecução de cada uma e vá fa-zendo uma discussão coletiva.Procure identificar as eventuaisdificuldades; retome-as e as pro-

• Traduzir uma situação-problemaem linguagem algébrica usandoequações e formular problemasa partir de uma dada equaçãodo primeiro grau e compreendero significado da incógnita e dasolução (raiz) de uma equação.

3x – 1

5x – 3x

+ 5

x3 + 3

x2 – 2x

2x + 3x

x, x + 1, x + 2 ou x, x – 1, x – 2




Na atividade 4, o aluno deve tro-

car o que criou com um colegapara a correção. Escolha algunsexemplos para serem lidos paraa classe.

x + 5 = 3

3x – 5 = 10

2x – 3 = 5

+ 3 = 7

2x – = 10

Resposta pessoal

Resposta pessoal

Resposta pessoal

Resposta pessoal




de uma representação para outra.

Esse é o propósito dessas ativi-dades, que podem ser feitas emtrios para provocar discussões.Você terá mais uma oportunidadede percorrer os grupos e observarcomo seus alunos estão se apro-priando desses conhecimentos.

Faça as intervenções que consi-

derar importantes e socialize asresoluções ao final. Destaque adiferença entre expressões como“o triplo da soma de dois núme-ros” e “a soma do triplo de doisnúmeros”, e também outras situa-ções similares.

Os dois registros de representa-

ção – o da linguagem comum eo da linguagem algébrica – sãode fundamental importância naaprendizagem da álgebra e, poresse motivo, diferentes situaçõesdevem ser apresentadas aos alu-nos para que façam a conversão


d

e

c

a

b

p = 0,60x

p = 2,25 + 0,60x

3(x + y) = 9

(x + y)3 = 8

x + 3x = 24

x + 3y = 54

3x + y = 54




rem o “segredo” de cada quadro.

Nos quadros 1 e 2 provavelmentenão surjam dificuldades, pois arelação de quádruplo e de multi-plicar por 10 são evidentes. Já aterceira relação, achar o quíntu-plo e adicionar 1, deve provocarmaiores discussões entre os alu-

nos. Concluída a atividade, peça

a cada dupla que construa umquadro como as expressões formu-ladas e escreva números que te-nham alguma relação entre si. Osquadros devem ser trocados entreduplas para que os “segredos” desua formação sejam descobertos.

Nas atividades dessa página, os

alunos terão contato com situa-ções em que é possível, a partirde exemplos numéricos, estabe-lecer uma relação entre eles edepois formular a expressão al-gébrica que traduz essa relação.Convide os alunos para descobri-


16 20

80 100

21 26

y = 4x y = 10x y = 5x + 1




ver, por exemplo, uma equação.

É basicamente um valor desco-nhecido que será descoberto pormeio de uma equação. Esclareçaque, de modo geral, uma incóg-nita é representada por letras.Ressalte que, em alguns casos,é muito simples achar o valorda incógnita. Por exemplo, em2 + x = 10 não é difícil saber que

x = 8. Em 3x = 30, também não

é difícil saber que x = 10. Propo-nha que resolvam os exercíciossem oferecer regras como “mudade membro, muda de sinal”. Deixeos alunos usarem seus conheci-mentos aritméticos dos camposaditivo e multiplicativo e resol-verem as equações mentalmente.

Como propõe a atividade, discuta

com os alunos o que eles sabemsobre o termo “incógnita”, quan-do usado na língua portuguesa.Oriente-os para consultar um di-cionário ou a internet. Depois,comente o significado do termoem matemática, ou seja, trata-sede uma variável cujo valor deveser determinado de forma a resol-


4, fazendo 7 – 3

9, fazendo 11 – 2

7, fazendo 12 – 5

5, fazendo 8 – 3

2, fazendo 10 dividido por 5

8, fazendo 11 + 5 e dividindo o resultado por 2

37, fazendo75 – 38

118, fazendo83 + 35

84, fazendo113 – 29

120, fazendo1.800 ÷ 15




4

r = 68

x + 5 = 25x = 20

+ 2x = 30 x = 12

= 300,00 x = 600,00

r = 87

2




Comente que o problema apresen-

tado na atividade dessa páginamostra que todas as operações rea-lizadas (subtrair 1, dobrar o re-sultado e adicionar 2) são a mes-ma coisa que calcular o dobro donúmero pensado: 2(x – 1) + 2 == 2x – 2 + 2 = 2x. Esclareça que,

sabendo disso, Rafael adivinhava

com muita facilidade o númeropensado por Gustavo, pois apenascalculava mentalmente a metadedo número dito pelo irmão. Umavez compreendida e resolvida essasituação, convide os alunos paratrabalharem em trios e decifrarem

as outras adivinhas de Rafael.

À medida que os alunos se envol-vem com as tarefas, você podesistematizar operações simplescomo 2x + 3x = 5x, 2y ∙ 3y = 6y2

e assim por diante. Não se esperaque os alunos cheguem à equaçãoe a resolvam.


Resposta pessoal




Na atividade 1, os alunos vão

fazer simulações. Divida a clas-se em quartetos. Comente quevão preencher o quadro com osresultados dos cálculos relacio-nados aos valores atribuídos a z,seguindo os comandos dados noproblema. Socialize as respostasdos grupos.

Na atividade 2, peça que atri-

buam valores para a e preenchamo novo quadro. Socialize as res-postas de cada grupo e sistemati-ze as operações à medida que sãoexecutadas. Verifique se perce-bem que, não importa o númeroescolhido, o resultado é sempre2. Portanto, a resposta não de-pende do número pensado.


4

12

15

5

3

2

6

18

21

7

5

2

Respostas pessoais

Não, é sempre 2.




Nas atividades dessa página, os

alunos podem resolver as ques-tões aritmeticamente ou por meiode equações algébricas. Divida aclasse em duplas e sugira quecada elemento use um proce-dimento. Discuta as resoluçõesdiferentes que você encontrar.Socialize os procedimentos e de-

bata as vantagens e desvantagens

de cada um. Não apresente regrasde resolução de equação. Permitaque os alunos as resolvam comseus conhecimentos. Faça umdiagnóstico das dificuldades en-contradas por eles. Eles podemresolver as equações também por

“ensaio e erro”, ao substituir x

por diversos números diferentesaté que a igualdade fique verda-deira e, assim, demonstrem queperceberam o significado de raizde uma equação. Verifique se al-guns fazem transformações algé-bricas e discuta-as com a classe.


x + 34 = 160x = 126

4x – 2x = 56x = 28

3x – 25 = 45

x =

x + (x + 1) = 45x = 22x + 1 = 23

2x + x = 36x = 12

160 – 34 = 126

56 ÷ 2 = 28

45 + 25 = 7070 ÷ 3 = 23,33

45 – 1 = 4444 ÷ 2 = 2222 + 1 = 23

36 ÷ 3 = 12




Comente com os alunos que,

quando a equação é simples comoas resolvidas na página anterior,não é preciso fazer muitas trans-formações na sentença algébrica,mas, quando a equação é maiselaborada, há necessidade de

fazer alterações transformando-

-a em equação equivalente emais simples que a original. Es-clareça o que é uma equação, oque é incógnita, raiz e equaçõesequivalentes também. Use o tex-to deste material e amplie com

outras informações. Verifique se

percebem as transformações rea-lizadas e as equações resultantesdessas transformações. Observetambém se compreendem que es-sas equações são equivalentes eque todas elas têm a mesma raiz.


Subtraiu-se 6nos dois membros.

Subtraiu-se 2xnos dois membros.

Dividiram-se osdois membros por 2.

Sim, todas são equivalentes, pois, substituindo x por 2em cada uma delas, vamos obter sentenças verdadeiras.




Divida a classe em duplas. Na

atividade 1, observe se as du-plas explicitam as transformaçõesrealizadas e se percebem a neces-sidade de transformar a equaçãopara resolvê-la. Você pode pro-por outras equações simples paraseus alunos e depois socializar asresoluções na lousa.

Discuta coletivamente a ativi-

dade 2 para que percebam qualfoi o erro cometido. Peça a umaluno que resolva a equação cor-retamente na lousa.Na atividade 3, acompanhe aelaboração das equações e a reso-lução dos alunos. Socialize algu-mas equações e suas resoluções.


3x – 10 + 10 =40 – 2x + 10 3x = 50 – 2x

5x = 50

x = 10

Adicionou-se 10aos dois membros.

Adicionou-se 2xaos dois membros.

Dividiram-se os doismembros por 5.

3x + 2x =50 – 2x + 2x

5x ÷ 5 = 50 ÷ 5

Não

Em vez de dividir 25 por 5, ele fez 25 – 5.




As atividades dessa página envol-

vem a elaboração de problemasque podem ser resolvidos por umaequação dada. Quando elaboramproblemas, os alunos têm a pos-sibilidade de analisar a equaçãodada e propor uma situação emque a pergunta permite calcular o

valor da incógnita. Proponha que

resolvam as atividades em grupospara que possam discutir entre sios enunciados. É importante so-cializar os diferentes enunciadospara que os alunos percebam queuma equação resolve uma classede problemas. Justifica-se, assim,

a importância de resolvê-los al-

gebricamente, mesmo que osenunciados envolvam contextosbastante diferentes. Muitas ve-zes, de acordo com o contexto,a solução obtida não serve comoresposta para o problema.


Resposta pessoal

Resposta pessoal

x = 12

4x = 64

x = 64 ÷ 4

x = 16




Pergunte aos alunos o que en-

tendem por área e por superfície.Ressalte que, mesmo usados comosinônimos na linguagem comum,na matemática esses termos têmsignificados diferentes. Área, porexemplo, é o nome dado à medida

de uma superfície plana delimi-

tada ou não por um polígono epode ser retangular, circular etc.Peça aos alunos que pesquisemo significado desses termos paraampliar a discussão e esclareçaeventuais dúvidas. Relembre a

fórmula do cálculo da área de

uma região limitada por um qua-drado e, com base nas questõespropostas, discuta as fórmulasutilizadas para o cálculo da áreade regiões delimitadas por triân-gulos, retângulos e losangos.

• Calcular a área de superfíciesdelimitadas pela decomposiçãoe/ou composição em figuras deáreas conhecidas, ou por meiode estimativas.

9 cm2

L ∙ L

Dividiria a área do quadrado por 2.

a ∙ b

b ∙ h




Nessa página, os alunos vão con-

tinuar calculando áreas de super-fícies planas, agora limitadas porparalelogramos, sempre com baseem áreas conhecidas. Explore asfiguras e o texto e relembre a fór-mula do cálculo da área de umaregião retangular. Com base nasquestões, discuta as fórmulasutilizadas para o cálculo da área

de uma região limitada por um

paralelogramo.Na atividade 2, verifique se osalunos percebem regularidadesdas figuras, ou seja, as mes-mas medidas das bases e asmesmas alturas, embora nem sem-pre isso possa ser percebido nosdesenhos da malha quadriculada.

• Calcular a área de superfíciesdelimitadas pela decomposiçãoe/ou composição em figuras deáreas conhecidas, ou por meiode estimativas.

A medida da base doretângulo corresponde àmedida da diagonal menor,e a medida da altura doretângulo corresponde àmedida da diagonal maior.

A = (D ∙ d) ÷ 2

A = b ∙ h

Todas as figuras têm a mesma área. Porque todas elas têm basescom a mesma medida e alturas também com a mesma medida.

Sim, pois têm as bases com medidas iguais e as

alturas com medidas iguais.




Explore algumas situações do dia

a dia em que é preciso calcularáreas de superfícies. Comente queo cálculo de área é muito utili-zado e que uma pessoa de modoprático emprega estratégias pes-soais para estimar áreas de su-perfícies. Nessas atividades, os

alunos devem relacionar metros

e centímetros para fazer os cál-culos. Lembre a eles que 1 metroequivale a 100 centímetros. Peçaque resolvam os problemas emgrupos e socialize as respostas.Você pode apresentar outras uni-dades de medida de área, como o

hectare, o alqueire etc. e comen-

tar que algumas dessas unidadesde medida, como o alqueire, dife-rem de uma região para outra emnosso país. Solicite aos alunosque pesquisem que medidas sãoutilizadas em cada Estado, qualé o uso etc.

• Realizar conversões entrealgumas unidades de medidamais usuais de áreas emsituações-problema.

Área total: 500 centímetros quadrados.

Área ocupada pela margem:126 centímetros quadrados.

Área disponível para escrita: 374 centímetros quadrados.

4,20 m2

4,20 m2




Nessas atividades, os alunos de-

vem realizar conversões entreunidades de medida. Você podeampliar discussões sobre medidasde área e sobre medidas em geralno site do Instituto de Pesos eMedidas do Estado de São Paulo(www.ipem.sp.gov.br/metrologia.

asp), que apresenta até mesmo

uma tela que permite converteruma medida em outra e todasas informações para acessá-la. Éimportante que se discuta comos alunos quando utilizar umaou outra unidade de medida; porexemplo, se a superfície cuja área

se quer calcular for muito gran-

de, é mais interessante usar oquilômetro e não o metro, muitomenos o centímetro. Se, ao con-trário, a superfície for muito pe-quena, é aconselhável usar o cen-tímetro ou mesmo o milímetro.


É menor, pois cada lado medemenos de 2 m.

3,8416 m2

38.416 cm2




Nessas atividades, explora-se o

cálculo com estimativas de me-didas de áreas de superfície. An-tes de iniciar cada atividade, osalunos devem fazer as conversõesnecessárias. É importante que seestime primeiro antes de fazer ocálculo de áreas, principalmentese as medidas forem expressas em

números racionais. Isso facilita

ao aluno validar o resultado obti-do no cálculo da área e também acompreensão da multiplicação deracionais escritos na forma deci-mal, pois comumente se acreditaque o resultado da multiplicaçãoentre dois números é sempremaior do que esses números. Essa

crença é verdadeira apenas para

os números naturais diferentes de1 ou de 0, pois, quando se multi-plica um racional por um númeromenor que um, o resultado é me-nor que o outro fator. Você podepropor também que usem a calcu-ladora para validar os resultados.


Necessita de um pouco menos de 1 metro quadrado.

Necessita de mais de 1 metro quadrado de tecido.

1,14 m2 ou 11.400 cm2

A primeira, porque é mais fácil visualizar 1 m2 do que 11.000 cm2.

0,9775 m2




Nessa seção, os alunos devem

desenvolver as atividades indi-vidualmente. Esta é uma etapaimportante, pois você pode diag-nosticar o que os alunos de fatoaprenderam e os conceitos queprecisam ser retomados. Não épreciso resolver as atividades to-das de uma única vez, organize-as

conforme seu tempo e seus obje-

tivos. Você pode ainda solicitaraos alunos, em relação ao que foiestudado nesta Unidade, que in-diquem o que consideraram curio-so ou importante para sua vida, oque apresentou mais dificuldade.Tire eventuais dúvidas.

X

X

X

Adicionei 6 Diminuí 2

Multipliquei os

dois termos por 4

Multipliquei os

dois termos por 5

Dividi os doistermos por 2

Dividi os doistermos por 2




X

X

X

1,8 km2 ou 1.800.000 m2




sente na arte, na natureza, em

tapeçarias, pinturas etc. Escla-reça que nesta Unidade eles vãoestudar a simetria no contextoda geometria e conhecer muitosassuntos interessantes sobrereflexões em retas, explorandoelementos da cultura africanaque exercem grande influênciana cultura brasileira.

Converse com os alunos sobre o

que sabem da relação da mate-mática com a arte, com o artesa-nato das mais variadas culturas.Comente que desde os primórdiosda humanidade há uma preocu-pação com a simetria. Pergunteo que entendem por “simetria”,termo muito ligado à ideia deharmonia, de beleza e está pre-

•M7 Compreender e utilizar aspropriedades da potenciaçãocom expoente inteiro positivo,em situações-problema.

•M8 Calcular potências deexpoente nulo ou negativo,

compreendendo seu significado.•M10 Calcular a raiz quadrada

e a raiz cúbica de um númeronatural, por meio de estimativasou usando a calculadora.

•M12 Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.

•M18 Identificar as

transformações de umafigura obtidas pela suareflexão em reta,reconhecendo característicasdessa transformação.

•M19 Identificar astransformações de uma figuraobtidas pela sua rotação,reconhecendo característicasdessa transformação.

•M20 Identificar ângulo

como mudança de direção ereconhecê-lo em figuras planas,nomeando-os em funçãode suas medidas.

•M21 Resolver situações--problema, utilizando apropriedade da soma dosângulos internos de umtriângulo qualquer.

Materiais necessários para

esta Unidade:papel sulfite

25 espelhos retangulares de 20 cmpor 10 cm (papel espelhado)

lápis de cor

régua

transferidor

esquadro

modelo recortado em papelde um triângulo equilátero




artesanato. A proposta para cada

grupo é elaborar um cartaz comtextos e imagens, exibindo umagrande variedade de exemplos.Marque um dia para a apresen-tação. O grupo que preferir podeoptar por outra forma de apresen-tação que não seja a colagem de

imagens; por exemplo, fotos do

bairro, pinturas feitas por eles.Na avaliação dos trabalhos, rea-lizada com a classe, é importantediscutir se a figura é caracteriza-da por simetria, ou seja, se háuma parte que se sobrepõe à ou-tra ao ser dobrada.

Peça aos alunos que individual-

mente façam a leitura da página196 e discutam se há alguma par-ticularidade nas fotos escolhidas.Solicite que a classe se organizeem nove grupos e proponha osorteio de um assunto para cadatrês grupos: simetria na arte, si-metria na natureza, simetria no

• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidas pelasua reflexão em reta,reconhecendo característicasdessa transformação.




vidas e os procedimentos utili-

zados. Não se esqueça de pediraos alunos que tragam para a salade aula materiais para desenhocomo réguas, lápis e borracha. Dêum tempo para a realização dastarefas e discuta com os grupos

os procedimentos utilizados e os

resultados obtidos. Reforce maisuma vez as características de umafigura obtida por esse tipo de si-metria, o significado e as possi-bilidades dos eixos de simetria(horizontal, vertical e inclinado).

Nas páginas anteriores, os alunos

tiveram oportunidade de explorara ideia de figura simétrica. Nasatividades das páginas 197 e 198,você pode propor que eles traba-lhem em dupla. Percorra a classee vá observando as possíveis dú-





sem essa malha. Proponha que

cada aluno realize atividades in-dividualmente e, depois, soliciteque, em dupla, comparem suasproduções e discutam a que con-sideram correta.

Diferentes estudos mostram que

os alunos apresentam, de modogeral, mais dificuldade em tra-balhar com a construção de si-metrias com eixos inclinados emrelação à malha quadriculada oumesmo quando a atividade é feita





você tenha um modelo recortado

em papel), solicitando aos alunosque observem a existência de trêseixos de simetria. Dê um tempopara que as duplas realizem a ta-refa e depois socialize as respos-tas perguntando se encontraramalguma figura que não tem eixode simetria. Peça que indiquemas que têm exatamente um eixo

de simetria, e assim por diante.

É provável que eles consideremque o paralelogramo tem eixo desimetria. Para desfazer a dúvida,proponha que recortem um para-lelogramo em uma folha de papele façam as dobras. Verificarão,assim, que não há sobreposiçãodas partes.

Na atividade 1, pergunte aos alu-

nos se percebem que na figura épossível traçar eixo de simetriahorizontal, vertical e inclinado.Na atividade 2, comente que, emduplas, vão procurar descobrir secada um dos polígonos desenha-dos possui eixo ou eixos de sime-tria. Explore o caso do triânguloequilátero (é importante que





Nessa página, você vai trabalhar

com os alunos característicasimportantes da reflexão de umafigura em relação a um eixo desimetria: a figura fica invertidacomo se estivesse sendo vista noespelho, e as medidas dos ladose dos ângulos da figura original

ficam preservadas na figura ima-

gem. Aproveite para fazer uso deespelhos para que os alunos com-preendam melhor essa ideia. Você, junto com os alunos, pode pro-duzir 25 espelhos retangulares de20 cm por 10 cm feitos com papelespelho colado em cartolina.

Podemos dizer que a reflexão em

reta é a operação básica das cha-madas transformações geométri-cas: a rotação e a translação (queserá estudada em outro momen-to) são composições de reflexõesem retas.





a régua ou esquadro. Caso obser-

ve dificuldades, ofereça ativida-des complementares. O objetivoé que eles reconheçam que, nasfiguras simétricas, as medidas doslados e dos ângulos correspon-dentes são sempre iguais, a formapermanece a mesma e o que podemudar é a posição.

A atividade dessa página deve

ser feita em duplas e com uso derégua e transferidor. O objetivoé identificar os alunos que já seapropriaram das características dareflexão em reta e aqueles queainda permanecem em dúvida.Aproveite a oportunidade paraverificar se os alunos sabem utili-zar adequadamente o transferidor,

• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidas pelasua reflexão em reta,identificando característicasda simetria axial (em relação amedidas dos lados, dos ângulos,da superfície da figura).

A A B B

C CD D

E EF F

A B

CD

EF

Sim

Sim

Quadros II, III e IV

Quadro III




alunos percebem o que aconte-

ce com as medidas do perímetroe da área das figuras e quaisseriam essas medidas, conside-rando que cada quadradinho damalha quadriculada tenha 1 cmde medidas dos lados.

Embora essa atividade seja si-

milar à anterior, nos itens b e c exploram-se áreas e perímetrosde regiões poligonais obtidospor reflexão em retas. Ela podeser feita individualmente e dis-cutida em grupo. Observe se os


A B

CD

E F

G H

I J

A A B B

C CD D

E EF F

G GH H

I IJ J

Sim

Sim

Áreas: 7 centímetros quadrados; perímetros: 14 centímetros.

Não se alteram, pois as medidas dos lados e dos ângulosdas figuras desenhadas não se alteram.




que os alunos percebam que muda

a posição da figura, mas “o tama-nho” não muda, ou seja, as me-didas se mantêm, mesmo sem apossibilidade de medir com régua.A sugestão é que usem um com-passo para verificar se as medidaspermanecem inalteradas.

Nessas atividades, é importante

explorar com os alunos a noção desimetria e dos eixos de simetria.Como são figuras com detalhes,eles podem usar o espelho paraobter a figura simétrica. Todas asatividades envolvem um eixo desimetria vertical. É fundamental





de um ponto central, que é o

ponto de intersecção das duasretas. Nas duas propostas deatividades, temos uma rotaçãode 90°, pois o ângulo formadoentre as retas r e s é de 90º.Comente com os alunos o que

aconteceria se déssemos con-

tinuidade a essas rotações: emalgum momento a pétala verme-lha “voltaria” à posição inicial?Por quê? Esclareça ainda que arotação pode ser feita no sentidohorário e no sentido anti-horário.

Nessa página, os alunos vão ter

oportunidade de explorar emmandalas dois tipos de aplicaçãodas rotações. Explore o fato deque realizar reflexões em retasconcorrentes sucessivamenteé como girar a figura em torno

• Identificar as transformaçõesde uma figura obtidaspela sua rotação,reconhecendo característicasdessa transformação.

Resposta pessoal

Sim, a cada giro de 90º

90º




percebem que, unindo o ponto O

aos vértices A e A’, foi possívelconstruir o ângulo AOA’ e se usamo mesmo procedimento na cons-trução dos outros dois ângulos.Peça que explicitem os procedi-mentos utilizados e socialize asrespostas.

As atividades dessa página po-

dem ser resolvidas em grupos.Verifique se os alunos percebem o“sentido do giro” e como traçamos ângulos. Acompanhe quandoestiverem fazendo as mediçõesdos ângulos, principalmente ouso do transferidor. Observe se


Sim

Sim

Unindo o ponto O aos vértices A e A’ foi possível construiro ângulo AOA’. O mesmo procedimento pode ser usado naconstrução dos outros dois ângulos.

Todos medem 90º.




As rotações ficarão corretas se as

partes das figuras rotacionadas ti-verem a mesma cor.

A exploração das mandalas dessa

página permite aos alunos per-ceber que “elas podem girar” nosentido horário ou anti-horário.Depois de cada aluno decorarsua mandala, divida a classe emduplas para que possam discutir,traçar as semirretas concorren-tes e medir o ângulo formadopor elas.


Resposta pessoal




Essa atividade pode ser desenvol-

vida individualmente. Observe seos alunos percebem o “sentido dogiro” e explore com eles o quadri-látero desenhado, as medidas doslados e dos ângulos. Verifique seidentificam que a transformaçãoé uma rotação e que o ângulo degiro é de 45º.


Rotação em torno do ponto O.

Anti-horário

45º




Acompanhe o traçado dos alunos.

Observe como fazem para dese-nhar a nova figura. Socialize al-guns procedimentos. Verifique sepercebem a localização das coresnos novos desenhos.





dos ângulos internos deu sempre

180º. É importante esclarecerque, em matemática, mesmo quetenhamos milhares de exemplosde um fato, é necessário que eleseja demonstrado. Diga que elesconhecerão essa demonstraçãoposteriormente, pois ela depende

de outros conhecimentos, mas

que, na atividade da página se-guinte, terão uma nova possibili-dade de comprovar tal fato.Fique atento, pois os alunos po-dem cometer erros de medida e,em alguns casos, talvez seja preci-so fazer aproximações de valores.

Comente com os alunos que, ao

desenvolverem as atividades des-sa página, eles poderão observaruma das propriedades mais im-portantes dos triângulos. Divida aclasse em duplas e proponha querealizem as quatro atividades. Noscasos apresentados, eles poderãochegar à conclusão de que a soma

• Resolver situações-problema,utilizando a propriedade dasoma dos ângulos internosde um triângulo qualquer.

30º, 60º, 90º 45º, 45º, 90º

20º, 110º, 50º

30º+ 60º+ 90º

= 180º

30º+ 50º

+ 100º= 180º

45º+ 45º+ 90º

= 180º

Todas são iguais a 180º.

Resposta pessoal

20º+ 110º

+ 50º= 180º

30º+ 70º+ 80º

= 180º

30º, 50º, 100º

30º, 70º, 80º




lize as respostas. Você pode pro-

por outra experiência usando umnovo triângulo e solicitando querecortem cada uma das regiõesda figura e façam uma monta-gem unindo os três vértices dotriângulo conforme a figura. Elespodem colar essa montagem emuma folha. Mostre para a classe o

resultado das colagens lembran-

do que cada um desenhou umtriângulo qualquer e solicite quefaçam comentários a respeito dealguma semelhança nessas cola-gens. Oriente para que peguem otransferidor e comparem o ângulode 180º com a figura montada.

Inicie a atividade pedindo aos

alunos que desenhem com a ré-gua um triângulo qualquer emuma folha sulfite (esse triângulopode ser bem grande) e, em se-guida, o recortem.Na sequência peça que realizemem dupla a atividade 1, que se re-fere à dobradura de Luana. Socia-


Eles somam 180º.

Luana cortou o triângulo em 3 partes e encaixou os ângulos.




Proponha que façam as atividades

individualmente, observem comatenção as características de cadatriângulo e usem cálculo mentalou escrito. Dê um tempo paraa realização da tarefa e depoissocialize os procedimentos e asrespostas.

Comente com os alunos que,

mesmo sem termos feito umademonstração formal, vamos uti-lizar o teorema (explique o queé um teorema, em linguagemacessível a eles) segundo o quala soma das medidas dos ângulosinternos de um triângulo é 180º.


60˚

70˚

70˚

80˚

50˚

30˚




figura em triângulos. Eles devem

observar que os segmentos quefazem as divisões partem semprede um mesmo vértice da figura.Peça aos alunos que preenchama penúltima coluna do quadro eoriente-os para observar a relaçãoentre o número de lados da figu-ra e o número de triângulos em

que ela foi dividida (o número de

triângulos é sempre dois a menosque o número de lados). Por fim,solicite aos grupos que descrevamcomo fazer para calcular o que sepede na última coluna do quadroe oriente-os para calcular a somados ângulos internos de um po-lígono de 11 lados.

Divida a classe em seis grupos

e peça a cada um que construa,em uma folha sulfite, um triângu-lo, um quadrilátero, um pentágo-no, um hexágono, um eneágonoe um decágono. Esclareça quan-tos lados tem cada uma dessasfiguras. Em seguida, solicite queanalisem o quadro e, por meiode dobraduras, dividam cada

• Resolver situações-problema,utilizando a propriedade dasoma dos ângulos internosde um polígono qualquer.

540º

720º

900º

1.080º




a medida de cada ângulo interno

dessas figuras se elas fossem regu-lares e qual seria o procedimentodeles. Explore o caso do triânguloequilátero, do quadrado e de pen-tágonos e hexágonos regulares.

Nessa página, a proposta pode ser

realizada individualmente pelosalunos e, se você achar convenien-te, resolvida em casa e corrigidaem sala de aula. Aproveite paraquestionar se seria possível saber

1.800º

Sim: (n – 2) ∙ 180º

3.240º 2.880º

2.160º 3.960º

2.340º




de mesma base, o expoente do

resultado é a soma dos expoentesdos fatores e, quando dividimosduas potências de mesma base,o expoente do resultado é a dife-rença dos expoentes dos fatores.Pergunte se isso é verdade sempree solicite que analisem o quadro,testem outros valores para a base eo expoente e completem o quadro.

Divida a classe em grupos para

que possam discutir as atividades.Comente que vão usar seus conhe-cimentos algébricos para expressarpropriedades da potenciação. Peçaque analisem os dois exemplos (demultiplicação e de divisão de po-tências de mesma base) e perguntese já haviam percebido que, quan-do multiplicamos duas potências

• Compreender e utilizar aspropriedades da potenciaçãocom expoente inteiro positivo,em situações-problema.

• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalização

de propriedades, incógnitas,fórmulas, relações numéricase padrões.

Essa atividade possibilita aos alu-

nos levantar conjecturas a respeitode uma relação matemática. Essetipo de atividade investigativa per-mite desenvolver o pensamento al-gébrico, facilita o reconhecimentode regularidades, a formalização dealgumas regras em linguagem natu-ral e a representação dessas regraspor fórmulas com o uso a álgebra.

1

1

9

1

1

9

1 ∙ 1 = 1

1 ∙ 1 = 1

9 ∙ 9 = 81

13 + 2 = 1

(–1)2 + 2 = 1

32 + 2 = 81

13 – 2 = 1

(–1)2 – 2 = 1

32 – 2 = 1

1 ÷ 1 = 1

1 ÷ 1 = 1

9 ÷ 9 = 1

Resposta pessoal

Resposta pessoal




• Calcular potências deexpoente nulo ou negativo,compreendendo seu significado.

• Identificar diferentes usospara as letras, em situaçõesque envolvem generalizaçãode propriedades, incógnitas,

fórmulas, relações numéricase padrões.

As atividades dessa página tam-

bém são do tipo exploratório--investigativo. Divida a classeem grupos e peça que analiseme completem o quadro com outrosexemplos. Socialize as respostas.Esse procedimento permite am-pliar o número de exemplos e

possibilita aos alunos fazer con-

jecturas a respeito da situação.Promova a discussão realizadanos grupos e socialize as respos-tas e observações. A discussão detarefas mais abertas como essasé importante à medida que osalunos relatam suas conjecturas

e conclusões, apresentam justifi-

cativas e questionam-se uns aosoutros. Assuma papel de mode-rador da discussão, administrea sequência de intervenções eoriente, se for o caso, o respec-tivo conteúdo.

Resposta pessoal

243

256

125

36

243

256

125

36

35 ÷ 35

44 ÷ 44

53 ÷ 53

62 ÷ 62

35 – 5

44 – 4

53 – 3

62 – 2

30

40

50

60

243 ÷ 243 = 1

256 ÷ 256 = 1

125 ÷ 125 = 1

36 ÷ 36 = 1




exploratório-investigativa é im-

portante que você proporcionemomentos de análise e reflexão,após o término da atividade, poisa aprendizagem decorre não deouvir o professor ou fazer estaou aquela atividade, mas da re-flexão do aluno sobre a atividaderesolvida.

Nessa página, você encontra

ainda uma tarefa exploratório--investigativa. Depois de com-pletarem o quadro, promova umadiscussão coletiva em que os alu-nos exponham suas ideias e façacomentários para que possam seapropriar das noções matemáti-cas envolvidas. Em uma atividade




Resposta pessoal

243

256

125

216

81

64

25

36

35 ÷ 34

44 ÷ 43

53 ÷ 52

63 ÷ 62

243 ÷ 81 = 3

256 ÷ 64 = 4

125 ÷ 25 = 5

216 ÷ 36 = 6

35 – 4

44 – 3

53 – 2

63 – 2

31

41

51

61







Nas atividades dessa página,

exploram-se bases diferentes.Divida a classe em grupos parapossibilitar maior discussão. Va-lorize os momentos de reflexãoe discussão de toda a turma,tendo por base o completamen-to do quadro, a observação de

regularidades verificadas nele e

as respostas às questões em queos alunos devem refletir sobre osdados do quadro. Reserve algunsmomentos para a sistematizaçãodas relações estudadas, a forma-lização e o estabelecimento deconexões matemáticas.

Resposta pessoal

1

1

9

9

4

4

(1 ∙ 3)2 = 9

(–1 ∙ 2)2 = 4

(3 ∙ 2)2

= 36

12 ∙ 32 = 9

(–1)2 ∙ 22 = 4

32

∙ 22

= 36

12 ÷ 32

(–1)2 ÷ 22

32

÷ 22

(1 ÷ 3)2 =

(–1 ÷ 2)2 =

(3 ÷ 2)2

=




rias atividades desse tipo nesta

Unidade. Verifique se participamde confrontos, se defendem seuponto de vista, pois isso permi-te aprofundar a reflexão sobre aatividade desenvolvida, o queos levará a se envolverem emraciocínio matemático, formular

A realização de mais essa tarefa

pelos grupos permite um avançona postura dos alunos em relaçãoa uma atividade exploratório-in-vestigativa. Perceba se partici-pam progressivamente de modomais produtivo nos momentos dediscussão, pois já realizaram vá-




hipóteses e conjecturas e valo-

rizar o processo de justificação.Esse tipo de tarefa possibilitaaos alunos realizar suas inter-venções e influenciar individual e coletivamente o rumo dosacontecimentos.

Sim, am ÷ an = 22 ÷ 23 = 4 ÷ 8 =

e também 22 ÷ 23 = 22 – 3 = 2–1; logo, 2–1 =

Resposta pessoal





As tarefas dessa página são de

natureza desafiadora para osalunos e são essenciais para odesenvolvimento de certas capa-cidades como a autonomia, lidarcom situações complexas etc. Osalunos são desafiados por uma ta-refa formulada no contexto mate-mático, e sua realização permite-

-lhes perceber como se desen-

volve a atividade matemáticados matemáticos profissionais.Desafie-os a pesquisar mais sobrenúmeros triangulares, quadrangu-lares e pentagonais. Esses núme-ros, denominados de números fi-gurados, podem ser representadospor uma construção geométrica

de pontos equidistantes. Se o ar-

ranjo formar um polígono regular,chamam-se números poligonais.O site do Departamento de Edu-cação da Faculdade de Ciênciasda Universidade de Lisboa (www.educ.fc.ul.pt/icm/icm99/icm48/ figurados.htm) pode ajudá-lo.

25, 36, 49

35, 51, 70

Números: 1, 3, 6, 10, 15




des, a uma regra, sequência ou

determinada ordem. A investi-gação de padrões em sequênciasnuméricas ou geométricas, comonessa atividade, e a generaliza-ção por meio de regras que ospróprios alunos podem formularpermitem que a aprendizagemda álgebra se processe de modogradual e ajudam a desenvolver a

Essa atividade desenvolve a con-

cepção de álgebra generalizadorade padrões, em que a letra nãose apresenta como incógnita esim como variável, e permite aosalunos desenvolver a habilidadede pensar de modo abstrato. Otermo padrão, em Matemática,pode expressar uma relação en-tre termos ligados a regularida-




capacidade de abstração, essen-

cial para o desenvolvimento dopensamento algébrico. Ao mesmotempo retoma-se a relação entrea medida do lado de um quadradoe a área de sua superfície, o que éimportante para o cálculo da raizquadrada, que será feito na pró-xima Unidade.

36

100

2

3

4

n

4

9

16

n ∙ n

22

32

42

n2

225 400

O número total de “quadradinhos” é igual ao quadradodo número de “quadradinhos” do lado da figura.







Essa atividade também envolve

padrões geométricos. O trabalhocom padrões possibilita o desen-volvimento da ideia de relaçãofuncional, envolve os alunosem sua aprendizagem e propor-ciona um ambiente em que elesdescobrem relações, encontramconexões, fazem generalizações

e previsões. O objetivo é que os

alunos percebam que, para formaruma figura cúbica, é preciso tern ∙ n ∙ n ou n3 cubinhos, ou seja,considerar a relação existente en-tre a medida da aresta de um cuboe o volume desse cubo, importan-te para o cálculo da raiz cúbica,que será feito na próxima Unidade.

11

Para formar a base do cubo são necessários 4 ∙ 4 cubinhos.Para construir o cubo são necessários, no total, 64 cubinhos (16 ∙ 4).Como já existem 11 cubinhos, são necessários ainda 53.

Não, porque para formar uma figura cúbica é preciso tern ∙ n ∙ n ou n3 cubos.

Depende do número de cubos montados pela turma.




diferentes, por meio de desenho

ou escrita etc. Chame a aten-ção para aspectos matemáticos.Observe se eles conseguem en-contrar a regra que conduz ao ter-mo geral da sequência, o que per-mite a generalização do padrão.

Conduza a aula de modo que os

alunos primeiro extraiam as in-formações relevantes para pro-curarem o padrão de repetiçãoda sequência. Depois verifiquese reconhecem o padrão, se odescrevem por meio de métodos




125

512

2

3

n

23

33

n3

8

27

n ∙ n ∙ n

1.000 1.728

O número total de cubinhos é igual ao número de “cubinhos”do lado da figura elevado a 3.





verificar o que o aluno aprendeue suas eventuais dificuldades. Asatividades visam a essa reflexão edão indícios sobre como avançare se há necessidade de reorga-nizar outras propostas ou não.Mas é importante destacar queo conhecimento matemático vaise constituindo por articulações,


e ampliações de ideias e concei-tos e que, durante o ano, semprese devem propor novas atividadesenvolvendo os temas que estãosendo trabalhados nas Unidades.Essas propostas finais, ao lado desua observação durante as aulas,são bons indicadores da aprendi-zagem dos alunos.

X




27 = 128 310 = 59.049

36 = 7292–2 =

60 = 1 35 = 243

21 = 2 34 = 81

214 = 16.384

37

38

35

31

4−2

3−1

55

53 = 125

F

F

V

V

F

F

V

F

F

F




Peça aos alunos que leiam o tex-

to. Aproveite para fazer um le-vantamento dos conhecimentosprévios a respeito dos assuntosa serem tratados. Comente o quevão aprender na Unidade.

•M10 Calcular a raiz quadradae a raiz cúbica de um númeronatural, por meio de estimativasou usando a calculadora.

•M22 Reconhecer e utilizargrandezas de volume e decapacidade e identificar

unidades adequadas(padronizadas ou não) paramedi-las, fazendo uso determinologia própria.

•M23 Obter medidas degrandezas diversas, por meiode estimativas e aproximaçõese tomar decisão quantoa resultados razoáveisdependendo da situação--problema.

•M26 Indicar o volume de

um recipiente em forma deparalelepípedo retângulo pelacontagem de unidades cúbicasde medida, utilizadas parapreencher seu interior.

•M28 Resolver situações--problema com dadosapresentados de maneiraorganizada por meio degráficos de colunas, barras,setores e linha.

Material necessário para odesenvolvimento da Unidade:

globo terrestre

cubos do material dourado

sólidos geométricos comocubos e paralelepípedos

calculadoras

conta de luz e conta de água

Resposta pessoal




números e as escritas abreviadas.

Faça perguntas para verificar sehá entendimento dos elementospresentes na figura e do signi-ficado de paralelo e meridiano.Trabalhe com o globo terrestrepara que os alunos visualizem oselementos da figura.Analise com eles os gráficos me-diante perguntas sobre o que

Para iniciar o trabalho, faça com

os alunos uma leitura comparti-lhada do texto e solicite que des-taquem as informações matemá-ticas nele contidas, como: “Seudiâmetro é de 1.392.000 quilôme-tros”; “O diâmetro da Terra medeapenas 12.756 quilômetros”.Explore o significado das porcen-tagens do texto, a magnitude dos

identificam em cada um. A partir

daí e com as informações do tex-to, comparem os elementos paraconcluir qual deles não traduz, deforma correta, as informações. No2o gráfico, é possível fazer umaestimativa do diâmetro da Terra eafirmar que é superior a 100.000quilômetros, valor incorreto, con-sideradas as informações do texto.

X

• Resolver situações-problema,interpretando dados que estãoapresentados de maneiraorganizada por meio de gráficosde colunas, barras, setorese linha.




Para essa atividade, faça uma

leitura compartilhada do tex-to, esclareça as dúvidas e peçaaos alunos que identifiquem asinformações matemáticas. Façaperguntas como: se 70% das

águas doces do Brasil estão na

Amazônia, o que se pode afirmarsobre as águas doces do Brasilque não estão na Amazônia? Quala porcentagem da população dopaís que não vive nessa região?





licite que respondam à questão

e socialize as respostas e os co-mentários.Você pode ampliar a discussãopropondo que tragam contas deágua e de luz de suas residênciaspara análise do consumo no de-

Proponha que observem o grá-

fico de linhas e pergunte quaiselementos constam nele e o quepodem concluir pela leitura dessegráfico. A seguir, peça que loca-lizem os meses em que ocorreumaior consumo de energia. So-

correr de um ano. É possível com

elas montar gráficos de linha dosconsumos. Para complementar,peça que pesquisem o consumode água e de energia elétricadurante o banho, na lavagem deroupas etc.

Maio

Sim

Resposta pessoal. Por exemplo, por serem meses mais frios.




Peça aos alunos que leiam o grá-

fico de setores e pergunte queinformações podem ser obtidas.Explore as porcentagens indica-das e questione o que eles podemafirmar caso o grupo estudado

seja de 100 pessoas. A seguir,

comente, com base nas informa-ções do enunciado, que foi feitauma estimativa para 200 pessoas.Que comentários e informaçõesos alunos podem obter com a

leitura dos gráficos de colunas?

Solicite que comparem as infor-mações existentes nos gráficosapresentados para concluir emqual deles os dados correspondemaos do gráfico de setores.


X




As questões exploram a deter-

minação da raiz quadrada de umnúmero por meio de estimativaou com auxílio da calculadora.Retome o significado de raizquadrada e faça perguntas como:Qual a raiz quadrada de 4? Quala raiz quadrada de 25? Comen-te situações que explorem raízesquadradas, o dobro, a metade.

16 m

Extrair a raiz quadrada de 256 ou descobrir o número quemultiplicado por ele mesmo resulta 256.

13. Resposta pessoal. Por exemplo, elevar cada um dosnúmeros ao quadrado e determinar qual das operaçõesresulta em 169.

ℓ = 8 m ℓ = 0,5 m

ℓ = 2,5 m ℓ = 14 m

• Calcular a raiz quadrada deum número natural ou de umnúmero racional, por meiode estimativas ou usando acalculadora.




Na atividade 5, você deve ex-

plorar a composição de figuras;é possível calcular a medida decada lado porque a área da super-fície quadrada maior é obtida pelasoma das áreas das três superfí-cies que a compõem. A partir dis-so, os alunos determinarão a áreada superfície quadrada maior, queé igual a 169 cm2, o que lhes per-

mitirá encontrar a medida do lado

do quadrado correspondente.Como a atividade apresenta umdesafio, alguns alunos podemnecessitar de dicas para resolvê--la, como mostrar que as medidasdo retângulo azul só podem sercalculadas com base nas medidasdo quadrado correspondente à su-perfície amarela.

Resposta pessoal, por exemplo: raiz quadrada de 100 é 10,raiz quadrada de 400 é 20.

13 cm




Há algumas calculadoras nas

quais, em primeiro lugar, é pre-ciso digitar o símbolo . Antesda utilização de uma calculadora,é importante que os alunos fa-çam estimativas do valor resul-tante. Eles podem estimar o valor

Calcular a raiz quadrada de um

número natural por meio de es-timativas ou usando calculadora.Alguns alunos associam a raizquadrada à divisão por 2, válidapara o caso . Peça aos alunosque tentem encontrar outro valorem que isso ocorre.

e elevá-lo ao quadrado para ver

quanto se aproxima do númerocuja raiz quadrada se busca.Antes da atividade 1, forneçadois exemplos, um com raiz exatae o outro não, como 324 e 200.

4

15

625

Entre 11 e 12

11,401754

Não

11

100

13

31

8,1853527

12,206555

15,811388

31,622776

As respostas das colunas deestimativa são todas pessoais.

No quadro 1, os resultados são números naturais e, no quadro 2,são números não naturais.




Nas atividades, é proposto que

os alunos determinem a raizquadrada exata ou aproximada,por meio de estimativas e coma utilização da calculadora, semo uso da tecla e por meio deaproximações sucessivas, fazendouso da equivalência entre a raizquadrada e a potenciação. A uti-lização da calculadora possibilita

aos alunos agilizar as tentativas

e, dessa forma, se concentraremno processo de resolução e naanálise dos resultados, e nãona realização de cálculos repe-titivos.Antes de iniciar a atividade 2,faça perguntas como:• é um número próximo de

8? Por quê?

• é um número entre quais

inteiros?• é um número mais próxi-

mo de 13,6 ou de 13,7?• Nas atividades dessa página, os

alunos podem usar a calculado-ra para a potenciação.

É um númeroentre 15 e 16.

31,4642

240,25 243,36 246,49

= 15,6. O lado dopiso da piscina mede 15,6 m.

• Calcular a raiz quadrada deum número natural ou de umnúmero racional, por meiode estimativas ou usando acalculadora.




crevam somente com algarismos.

Explore a porcentagem citada eas grandezas e unidades de medi-da essenciais para a resolução daatividade proposta, como quantossegundos são necessários paraperfazer 1 minuto, quantos mi-nutos para completar 1 hora etc.O texto traz muitas informações

Inicie o trabalho propondo aos

alunos uma leitura compartilhadado texto e solicite que identifi-quem e destaquem as informa-ções matemáticas nele contidas.Verifique se compreendem asinformações. Peça que façam aleitura dos números expressospor algarismos e palavras e os es-

sobre a água; com base nele, faça

propostas de pesquisa e reflexãosobre o consumo consciente:como reduzir nos gastos domés-ticos rotineiros, por exemplo, naelaboração de alimentos, no ba-nho, na lavagem de roupas etc.

• Resolver situações-problema ereconhecer e utilizar grandezasde volume e de capacidade.

68 mil ∙ 60 ∙ 60 ∙ 24 = 5.875.200.000 litros por dia

2,6 milhões de litros




8

Resposta possível: Contar os cubos da primeira camada emultiplicar por 3, pois existem 3 camadas iguais àquela.

Na atividade 1, pergunte aos

alunos como determinar o volumede um sólido geométrico como oparalelepípedo retângulo, consi-derando, por exemplo, o volumede um cubinho (do material dou-rado) como unidade.

Você poderá iniciar solicitando

que os alunos construam outrosparalelepípedos com os cubinhosdo material dourado e determinemo número de cubinhos necessários.

Explore a figura apresentada na

atividade 2 e peça que deter-minem a quantidade de cubosnecessários para formar o para-lelepípedo.

• Indicar o volume de umrecipiente em forma deparalelepípedo retângulo pelacontagem de unidades cúbicasde medida, utilizadas parapreencher seu interior.

• Reconhecer e utilizar grandezas

de volume e de capacidade eidentificar unidades adequadas(padronizadas ou não) paramedi-las, fazendo uso determinologia própria.




1 dm3 é o volume de um cubo com 1 decímetrode aresta; 1 cm3 é o volume de um cubo com1 centímetro de aresta.

1 dm3

1 dm3 = 1 litro

Inicie perguntando aos alunos

como podemos associar um núme-ro ao volume de um sólido geo-métrico. Recorde os significadosdas unidades de comprimento:metro, decímetro e centímetro eas relações entre elas.A seguir, explore com os alunos oque representa o volume de 1 me-

tro cúbico, de 1 decímetro cúbico

e de 1 centímetro cúbico. Utilizeo cubinho e uma das formas se-melhantes ao cubo do materialdourado para que eles comparema relação entre os volumes de1 dm3 e 1 cm3 e verifiquem quenão são suficientes 10 cubinhosde aresta 1 cm para montar um

cubo de aresta 1 dm. Saliente que,

por se tratar de um experimento,a quantidade de água pode nãoser exatamente um litro. A seguir,é importante que seja construídoum cubo com 1 dm de aresta paraque a capacidade do reservatórioem forma de cubo seja comparadacom um litro.







1 m3 = 1.000 litros

3.500 litros

6.200 litros

4.300 dm3

1 dm3 = 1.000 cm3; 1 cm3 = 0,001 dm3

1 cm3 = 1 mL

Solicite que pesquisem os gas-

tos de água em suas residênciascom base na leitura do hidrôme-tro ou de contas de água. Casohaja valores bastante diferentes,promova uma discussão sobre

Os alunos devem perceber que

o volume de 1 metro cúbico éequivalente ao volume de 1.000litros e fazer conversões entreessas unidades.

procedimentos para a economia

de água, que terão continuidadenas atividades da página seguinte.As atividades 5 e 6 utilizam asrelações entre as unidades dm3 ecm3, e cm3 e mililitro.







40 cubos

5

200 cubos

200 cm3

36.000 litros

6 cm

Retome com os alunos a discus-

são realizada nas atividades dapágina 236 e verifique se con-cluem que, para determinar ovolume de um paralelepípedo,poderão encontrar o produto dastrês dimensões: comprimento,largura e altura.







Não se esqueça de salientar a

importância da indicação da uni-dade de medida do volume, que,na atividade 1, poderá ser cm3.Relembre a relação existente en-tre 1 litro e 1 metro cúbico.

Convém lembrá-los que volume

é diferente de capacidade, e poressa razão eles devem, na ativi-

dade 5, calcular a capacidade dosrecipientes.

3

72 L

O primeiro, porque tem capacidade de 30.000 dm3,enquanto o segundo tem capacidade de 28.000 dm3.

200 garrafões




Resposta pessoal

Resposta pessoal

6.000 L

Amplie a discussão sobre a água

de reuso e se há possibilidade deserem propostas situações paraeconomia e reaproveitamento deágua na escola. Peça aos alunosque, em grupos de quatro, propo-

nham quatro problemas para se-

rem resolvidos por outros grupos,com situações de reuso de águae transformações de unidades devolume e capacidade.

• Reconhecer e utilizar grandezasde volume e de capacidade eidentificar unidades adequadas(padronizadas ou não) paramedi-las, fazendo uso determinologia própria.




225 256 289

15,3 15,4 15,5

231,04 234,09 237,16 240,25

15,4919

25

34,6410

25 26

576 625 676

34 35

1.156 1.225

34,3 34,4 34,5 34,6 34,7

1.169,64 1.176,49 1.183,36 1.190,25 1.197,16 1.204,09

plementação dos quadros e para

verificação dos resultados, noscasos em que isso é necessário.Comece as atividades perguntan-do: por que a raiz quadrada de2.000 é um número maior que 40e menor que 50?

Nessas atividades, são retomados

os cálculos de raízes quadradaspor meio de estimativas, com apro-ximações sucessivas, com foco naobservação dos resultados. Paraisso, é recomendado o uso da cal-culadora, para auxiliar na com-

• Calcular, aproximadamente,raízes quadradas por meio deestimativas e fazendo usode calculadoras.




V = a ∙ b ∙ c

V = 21 m3

V = 270 cm3

Essas atividades exploram o cál-

culo do volume de um sólido emforma de paralelepípedo, numeri-camente; a seguir, são propostassituações que possibilitam queos alunos levantem conjecturasa respeito de uma relação ma-temática. Para isso, você poderetomar as discussões realizadasem atividades anteriores desta

Unidade. Esse tipo de atividade

investigativa permite desenvolvero pensamento algébrico e facili-ta o reconhecimento de regula-ridades. Promova uma discussãopara formalizar algumas regrasem linguagem natural e repre-sentar essas regras por fórmulasalgébricas.







O volume do cubo resultante será 8 vezes o valor do volumedo cubo original.

750 cm3

O volume do paralelepípedo terá o dobro do volume do cubo.

O volume do paralelepípedo terá o dobro do volume do cubo.




Uma medida aproximada pode ser obtida por meio deestimativa, sem a utilização de um instrumento de medida. A medida exata de uma grandeza deve ser obtida com oauxílio de um instrumento.

Depois que a água ferver,cinco minutos.

Aproximadamente 1.000 km.

As atividades permitem que os

alunos estimem as medidas dediversas grandezas, como mas-sa, comprimento, tempo e capa-cidade.

Na atividade 1, ressalte que,

para estimar a medida de umagrandeza, o aluno precisa ter al-guma unidade de medida dessagrandeza como referência. Tragaobjetos cujas massas são conhe-

cidas, ou fotos, para que estimem

largura e comprimento antes queresolvam as atividades 2 e 3. Elesdevem estimar e medir tais obje-tos para verificar o acerto ou errodas estimativas.

• Obter medidas de grandezasdiversas, por meio deestimativas e aproximaçõese tomar decisão quantoa resultados razoáveisdependendo da situação--problema.




50 litros

6 kg 350 mililitros

Aproximadamente85 km

10 kg

de um veículo. Se as estimativas

não corresponderem a valores“razoáveis”, solicite que façampesquisa sobre as situaçõesapresentadas. Traga registrosde informações confiáveis para

Nas atividades 2 e 3, os alu-

nos, além de estimarem o valorda medida, devem comprová-la.Além disso, há uma variação dasmedidas, por exemplo, a capaci-dade do tanque de combustível

auxiliá-los. Nas atividades 2 e 3

os alunos podem precisar de ma-pas maiores para estimar as dis-tâncias. Utilize os de sua escola.




metros

9

7 toneladas

500

quilogramasquilogramas

40

três

dias quilômetros

230

Nessas atividades, novamente

são solicitadas estimativas para amedida de uma grandeza. Exploresituações em sala de aula e naescola para que façam estimati-vas e, por meio de instrumentos

de medida, comparem os dados.

Há outras atividades que envol-vem estimativas que podem serutilizadas antes da resolução dasatividades. Por exemplo: saber seum objeto cabe ou não entre ou-

tros dois; não havendo balanças,

como saber se um objeto é maispesado que outro; qual entre doisou mais vasilhames tem maior ca-pacidade etc.





28

14

30

10 metros

70

A atividade 6 é bastante adequa-

da para conversar com os alunos,estimar e testar.

Respostas pessoais




Por tentativa, posso pensar em 2 e fazer 2 ∙ 2 ∙ 2 e verificar se oresultado é 27. Como 8 é menor que 27, faço 3 ∙ 3 ∙ 3 e obtenho 27.Deve-se extrair a raiz cúbica de 27.

2 m 4 m 5 m

8; resposta pessoal

Você pode iniciar as atividades

fazendo perguntas como:• Se 5 é a raiz quadrada de 25,você pode dizer o que é a raizcúbica de um número?




Resposta pessoal; de modo geral, não.

Maior que 10; porque 103

= 1.000.

Maior que 13; porque 133 = 2.197.

O número é 15.

A aresta do cubo mede 15 cm.

15 15

21 13 18

Eles vão explorar situações de

aproximação utilizadas para araiz quadrada.

Os alunos devem determinar a

raiz cúbica de um número combase em estimativas e no uso dacalculadora para explorar a equi-valência, como foi estudado paraa obtenção da raiz quadrada deum número:

é equivalente a y3 = x.

• Calcular a raiz quadrada e a raizcúbica de um número natural,por meio de estimativas ouusando a calculadora.




Resposta pessoal. Por exemplo: 6 ∙ 6 são 36 e 36 ∙ 6 é igual a 216.

Ela errou, pois 100 é igual a 10 ∙ 10, e ela deveria encontraro valor de 10 ∙ 10 ∙ 10, que é igual a 1.000.

216

12

O trabalho realizado com a raiz

quadrada tem continuidade paraa obtenção da raiz cúbica exatade determinado número natural.É explorada a estimativa e o usoda calculadora.

Na atividade 3, propõe-se deter-

minar a raiz cúbica de um númeronatural com base no produto dasraízes cúbicas de dois númerosnaturais. Se achar conveniente,proponha aos alunos que deter-

minem a raiz cúbica de outros

números, como 27.000, 4.096ou 2.744, e oriente os cálculospara que encontrem fatores con-venientes.

• Calcular a raiz cúbica de umnúmero natural, por meio deestimativas ou usandoa calculadora.




3,73 dm

Os procedimentos de cálculo da

raiz cúbica aproximada de um nú-mero são os mesmos utilizadospara calcular valores aproximadosde raízes quadradas.Para o cálculo da raiz cúbica de52, você pode sugerir aos alu-nos que usem os quadros ao lado,sem indicar o número de colunasapropriado.

• Calcular a raiz cúbicaaproximada de um númeronatural, por meio de estimativasou usando a calculadora.

Aresta 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7

Volume

Aresta 3,71 3,72 3,73 3,74

Volume




O ano-luz é uma medida de comprimento ecorresponde à distância percorrida pela luz em um ano.São, aproximadamente, 9,5 trilhões de quilômetros.Essa unidade se destina a medir grandes distâncias;por exemplo, entre estrelas da mesma galáxia ou entregaláxias distintas.

Resposta pessoal

Resposta pessoal

Resposta pessoal

As atividades exploram situa-

ções com unidades de medidaconvencionais, mas não “usuais”para os alunos. Utilize a sala deinformática, pesquise sites quecontenham elementos para res-ponder às situações apresenta-

das e os oriente para que façam

a consulta.O angstrom, medida de com-primento muito pequena, nãofoi citado porque é escrito compotência de base 10 e expoentenegativo. No entanto, eles podem

saber que essa unidade serve para

medir distâncias em átomos.Comente que a medida de com-primento mícron equivale a ummilésimo de milímetro.





3,6 litros

9.144 m

804,5 km

As 300 milhas terrestres, porque 300 milhas terrestresequivalem a 482.700 m e 250 milhas marítimas equivalema 463.000 m.

Alqueires são medidas de área.O alqueire paulista equivale a 2,42 hectares e o mineiro a 4,84 hectares.Um hectare mede 10.000 metros quadrados.




Na habilidade “Faz por escrito”, a porcentagem de homens é superiora 20% no gráfico, enquanto o quadro mostra que é 14%.

Solicite aos alunos que leiam o

enunciado e observem a tabela.Que informações podem ser ob-tidas? Pergunte se, em uma mes-ma linha da tabela ou na mesmacoluna, a soma das porcentagensdeveria ser igual a 100%. Por quê?

Peça que, para cada linha da tabe-

la que apresenta determinadaatitude, analisem as colunas cor-respondentes do gráfico e se hácoerência entre os dados.





53 cubinhos

Sim

Não

Não


e ampliações de ideias e conceitos eque, durante o ano, sempre devemser propostas novas atividadesenvolvendo os temas que estãosendo trabalhados nas Unidades.Essas propostas finais, ao lado desua observação durante as aulas,são bons indicadores da aprendi-zagem dos alunos.


verificar o que o aluno aprendeue suas eventuais dificuldades. Asatividades visam a essa reflexãoe dão indícios sobre como avan-çar e se há necessidade de reor-ganizar outras propostas ou não.Mas é importante destacar queo conhecimento matemático vaise constituindo por articulações,



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Matematica 7ano Prof