MatemáticaTEXTO DEL ESTUDIANTE
4ºEducación Media
ÁNGELA ROSSANA BAEZA PEÑAPROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
MAGÍSTER EN EDUCACIÓN MENCIÓN DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.
MARCIA ROMINA VILLENA RAMÍREZ
PROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.
PABLO ALFONSO JORQUERA ROZBACZYLOPROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.
JAVIERA SETZ MENA
LICENCIADO EN MATEMÁTICA CON MENCIÓN EN MATEMÁTICA,LICENCIADA EN EDUCACIÓN,
PROFESORA DE MATEMÁTICA, EDUCACIÓN MEDIA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE.
Este libro pertenece a:
Nombre: Curso: Colegio:
Te lo ha hecho llegar gratuitamente el Ministerio de Educación a través del establecimiento educacionalen el que estudias.Es para tu uso personal tanto en tu colegio como en tu casa; cuídalo para que te sirva durante varios años.Si te cambias de colegio lo debes llevar contigo y al finalizar el año, guardarlo en tu casa.
¡Que te vaya muy bien!
INICIALES 4º (1–11)_Maquetación 1 08-10-12 18:05 Página 1
El material didáctico Matemática 4º, para Cuarto Año de Educación Media,es una obra colectiva, creada y diseñada por el departamento de InvestigacionesEducativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de
MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA
COORDINACIÓN DE PROYECTO:Eugenia Águila Garay
COORDINACIÓN ÁREA MATEMÁTICA:Viviana López Fuster
EDICIÓN:Javiera Setz Mena
AUTORES:Ángela Baeza PeñaMarcia Villena RamírezPablo Jorquera RozbaczyloJaviera Setz Mena
CORRECCIÓN DE ESPECIALISTAS:Sergio Muñoz VenegasFlorencia Darrigrandi Navarro
CORRECCIÓN DE ESTILO:Isabel Spoerer VarelaGabriela Precht Rojas
DOCUMENTACIÓN:Paulina Novoa Venturino
La realización gráfica ha sido efectuada bajo la dirección deVERÓNICA ROJAS LUNA
con el siguiente equipo de especialistas:
COORDINACIÓN GRÁFICA:Carlota Godoy Bustos
COORDINACIÓN GRÁFICA LICITACIÓN:Xenia Venegas Zevallos
JEFA DE DISEÑO ÁREA MATEMÁTICA:Mariela Pineda Gálvez
DIAGRAMACIÓN:Mariela Pineda Gálvez
ILUSTRACIONES:Antonio Ahumada Mora
FOTOGRAFÍAS:Archivo Santillana
CUBIERTA: La Práctica S.P.A.
PRODUCCIÓN:Germán Urrutia Garín
Que dan ri gu ro sa men te pro hi bi das, sin la au to ri za ción es cri ta de los ti tu la res del "Copy right", ba jo las san cio nes es ta ble ci das en las le yes, la re pro duc ción to tal o
par cial de es ta obra por cual quier me dio o pro ce di mien to, com pren di dos la re pro gra fía y el tra ta mien to in for má ti co, y la dis tri bu ción en ejem pla res de ella
me dian te al qui ler o prés ta mo pú bli co.
© 2010, by Santillana del Pacífico S.A. de EdicionesDr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)
PRINTED IN CHILEImpreso en Chile por WorldColor Chile S.A.
ISBN: 978-956-15-1760- 8 Inscripción N°: 197.993
Se terminó de imprimir esta 3a edición de182.600 ejemplares, en el mes de noviembre del año 2012.
www.santillana.cl
Referencias del Texto Educación Matemática 4, Educación Media y del Texto Matemática 4, Educación Media, Mineduc,
de los autores: Marcela Guerra Noguera, Patricia Urzúa Figueroa, Rodrigo Hernández Reyes, Alejandro Pedreros Matta,
Ángela Baeza Peña, Marcia Villena Ramírez, Pablo Jorquera Rozbaczylo, Gabriel Moreno Rioseco.
Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Santiago, Chile, 2005 y 2010.
La materialidad y fabricación de este texto está certificada por el IDIEM - Universidad de Chile.
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A los alumnos y alumnas:
El Texto Matemática Cuarto Año Medio ha sido creado y diseñado pen-
sando en la culminación de tu proceso escolar.
En cada una de las Unidades te invitamos a profundizar nuevos contenidos
matemáticos, relacionando e integrando a través de una mirada retros-
pectiva, los conocimientos adquiridos en años anteriores.
La construcción de modelos matemáticos, que ya has estudiado, se amplía
al conocimiento de otro tipo de funciones que, entre otros aprendizajes,
te facilitarán la comprensión de fenómenos sociales, naturales, químicos
y físicos.
En el estudio de la Geometría, podrás dejar usar toda
tu imaginación para profundizar en modelos vecto-
riales, relacionados con el movimiento y la trayec-
toria que describe una figura y con la generación
de cuerpos geométricos mediante traslación y
rotación, aplicando así tu creatividad y habili-
dad en la resolución de problemas.
Te presentamos dos Unidades de Estadística
cuyo estudio te aportará conceptos para el
análisis e interpretación de la información en-
tregada por los medios de comunicación y
para manejar recursos objetivos para funda-
mentar tus opiniones.
Presentación | 3
Presentación
INICIALES 4º (1–11)_Maquetación 1 08-10-12 18:05 Página 3
Te damos la bienvenida a este nuevo año escolar y queremos apoyarte en tu crecimiento y desarrollo con
este Texto, que te entregará herramientas para enfrentarte de mejor manera al mundo que te rodea, y te
invita a comprender que la Matemática es parte de él.
A través de sus seis Unidades te enfrentarás a diversas situaciones, en las que podrás explorar, aprender, construir
y consolidar conceptos relacionados con números, álgebra, geometría, datos y azar. En ellas encontrarás las
siguientes páginas y secciones:
Páginas de inicio
4 | Matemática 4º Medio
Estructura del Texto
• Mediante un esquema,conocerás los contenidosy su vinculación con losprincipales aprendizajesque se espera que logrescon el desarrollo de laUnidad.
¿Cuánto sabes?En esta sección te invitamosa resolver ejercicios y problemas que te ayudarán a evaluar tusconocimientos y a recordarlo que aprendiste en añosanteriores y que serán labase para el desarrollo de la Unidad.
¿Qué debes
recordar?Podrás activar tus conocimientos previos a través de un resumen queincluye los principales conceptos trabajados enaños anteriores y que te servirán como apoyo para losaprendizajes que se esperaque logres en la Unidad.
Conversemos de...
A través de una introducciónal tema de la Unidad conectamos elementos eimágenes de la vida diariacon el contenido que trabajarás. Además, encontrarás preguntas relacionadas con la imagen y con los contenidos de laUnidad que te permitirán exponer tus ideas, dar opiniones y argumentar a partir de tus experiencias.
INICIALES 4º (1–11)_Maquetación 1 08-10-12 18:05 Página 4
Páginas de desarrollo
Estructura del Texto | 5
Estructura del Texto
Actividades
Resolverás variadas actividadespara ir construyendo los conceptos y reforzando así tu aprendizaje.
Analicemos...
Por medio de preguntas, trabajarás el razonamiento,explorarás el contenido matemático que aprenderás,pondrás en práctica lo que ya sabes, compartirás tus ideas y extraerás conclusiones.
En resumen
Encontrarás explicaciones, formalizaciones o definiciones que destacan y precisan lo que vas aprendiendo.
Recuerda que...
Te recordará un contenido oprocedimiento ya aprendidoy necesario para lograr tusnuevos aprendizajes.
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6 | Matemática 4º Medio
Herramientas
tecnológicas
Aprenderás a utilizar planillasde cálculo y programas computacionales.
Glosario
Te presentará nuevos términos matemáticos relacionados con el contenido que se está desarrollando.
Pon atención
Te recordará que debes revisar tus procedimientos,analizar la pertinencia y consistencia de las soluciones,entre otras.
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Estructura del Texto | 7
Estructura del Texto
Páginas de cierre
Organizando
lo aprendido
Podrás organizar y sintetizar lo aprendido utilizando unmapa conceptual. Además,aclararás los conceptos trabajados respondiendo preguntas sobre ellos y sus relaciones.
Mi progreso
Resolverás actividades que te permitirán evaluartu progreso en el logro de los aprendizajes.
Cómo resolverlo
En estas dos páginas observarásun problema resuelto paso a pasoa través de una determinada estrategia y, luego, podrás practicar la estrategia utilizadao aplicar otras que te permitanencontrar la solución. Eso sí, enMatemática siempre hay más de un camino para resolver un problema.
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8 | Matemática 4º Medio
SÍntesis de la Unidad
Este es un espacio para que construyastu mapa conceptual de todo lo trabajado en la Unidad a partir de algunos conceptos fundamentales.También responderás preguntas conceptuales para evaluar lo que has aprendido en la Unidad.
Evaluación
En estas tres páginas podrás autoevaluar los aprendizajes que lograste en la Unidad. Incluye preguntasde verdadero o falso y actividades dedesarrollo. Tomando en cuenta que unade las alternativas al egresar de la Educación Media es rendir la PSU, incluimos algunas preguntas tipo de esta prueba.
En terreno
A partir de una situación desarrollada en un contexto real o laboral, desarrollarás (primero individualmente yluego en equipo) actividadesque te permitirán aplicar lo que aprendiste en la Unidad.
INICIALES 4º (1–11)_Maquetación 1 08-10-12 18:05 Página 8
Índice | 9
Índice
¿Cuánto sabes? 64Función exponencial 66
Herramientas tecnológicas 70
Función exponencial y logarítmica 72
Aproximándonos al número e 74
Organizando lo aprendido 76
Mi progreso 77Ecuaciones exponenciales 78
Ecuaciones exponenciales con base e 80
Crecimiento exponencial 82
Decrecimiento exponencial 84
Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales 86
Organizando lo aprendido 88
Mi progreso 89Cómo resolverlo 90
En terreno 92
Síntesis de la Unidad 94
Evaluación 95
Índice
¿Cuánto sabes? 14Funciones 16
Función inversa 18
Función potencia 20
Herramientas tecnológicas 23
Traslaciones verticales y horizontales 24
Organizando lo aprendido 26
Mi progreso 27Logaritmos 28
Propiedades de los logaritmos 32
Propiedades de las operaciones de los logaritmos 34
Demostraciones aplicando logaritmos 36
Organizando lo aprendido 38
Mi progreso 39Función logarítmica 40
Herramientas tecnológicas 44
Ecuaciones logarítmicas 46
Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas 50
Organizando lo aprendido 52
Mi progreso 53Cómo resolverlo 54
En terreno 56
Síntesis de la Unidad 58
Evaluación 59
Función potencia y logarítmica 121
Función exponencial 622
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10 | Matemática 4º Medio
¿Cuánto sabes? 100Vectores 102
Operatoria con vectores 104
Vectores en el plano cartesiano 106
Traslación de figuras planas 108
Producto por un escalar 110
Homotecia 112
Herramientas tecnológicas 115
Organizando lo aprendido 116
Mi progreso 117Producto punto 118
Ecuación vectorial de la recta en el plano 120
Ecuación vectorial de una recta
y su ecuación cartesiana 123
Producto cruz y vectores en el espacio 126
Organizando lo aprendido 130
Mi progreso 131Ecuación vectorial de la recta en el espacio 132
Rectas y planos 134
Ecuación vectorial y ecuación cartesiana
de un plano en el espacio 136
Posición relativa entre planos 140
Intersección de una recta y un plano,
y entre dos planos 142
Organizando lo aprendido 146
Mi progreso 147Cómo resolverlo 148
En terreno 150
Síntesis de la Unidad 152
Evaluación 153
¿Cuánto sabes? 158Área y volumen 160
Proyecciones en el plano 162
Área de prismas y pirámides 164
Cuerpos generados por traslación 166
Volumen de un prisma 168
Volumen de pirámides 170
Organizando lo aprendido 172
Mi progreso 173Cuerpos generados por rotación 174
Área de cilindros y conos 176
Volumen de cilindros 178
Herramientas tecnológicas 179
Volumen de conos 180
Volumen y área de la esfera 182
Organizando lo aprendido 184
Mi progreso 185Cómo resolverlo 186
En terreno 188
Síntesis de la Unidad 190
Evaluación 191
Vectores 983
Áreas y volúmenes 1564
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Índice | 11
Índice
¿Cuánto sabes? 196Orígenes de la Estadística 198
Población y muestra 200
Ordenando la información 202
Análisis de gráficos 204
Medidas de tendencia central 208
Herramientas tecnológicas 212
Organizando lo aprendido 214
Mi progreso 215Cómo resolverlo 216
En terreno 218
Síntesis de la Unidad 220
Evaluación 221
¿Cuánto sabes? 226Medidas de dispersión 228
Correlación 232
Diagrama de tallo y hojas 234
Muestras al azar 236
Distribución normal 240
Organizando lo aprendido 244
Mi progreso 245Medidas de posición 246
Herramientas tecnológicas 250
Aplicaciones de la Estadística 251
Organizando lo aprendido 254
Mi progreso 255Cómo resolverlo 256
En terreno 258
Síntesis de la Unidad 260
Evaluación 261
5Estadística I 194
6 Estadística II 224
Solucionario 264
Índice temático 284
Bibliografía 287
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Usar programas computacionales para graficar funciones.
Analizar sus gráficas según lasvariaciones de sus coeficientes.
Obtener funciones inversas.
Resolver ecuaciones logarítmicas.
Resolver problemas en los que se utiliza logaritmos.
Caracterizar las funciones: dominio, recorrido, crecimiento
y decrecimiento.
Función potencia y logarítmica1
Función logarítmica
Propiedades de los logaritmos
Logaritmos
Función potencia
Función inversa
Funciones
TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A:
12 | Unidad 1
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 25-10-12 18:08 Página 12
Función potencia y logarítmica | 13
Conversemos de...
La contaminación acústica afecta negativamente la calidad de vida de los individuos que están
expuestos a ella. Un informe de la Organización Mundial de la Salud (OMS) considera los 50 decibeles
(dB) como el límite superior de ruido tolerable. Los decibeles son la unidad de medida del nivel de
intensidad b de un sonido, que se calcula usando la expresión: b = 10 log ( ), donde log es la
función logaritmo, I0 es la intensidad de referencia (el mínimo sonido que el oído humano puede
detectar corresponde a 10–12 W/m2, donde W/m2 se lee watts por metro cuadrado y corresponde a
la unidad de medida de la intensidad del sonido) e I es la intensidad del sonido dado, medida tam-
bién en W/m2.
Por ejemplo, el nivel de intensidad del estruendo de una explosión, como la de la imagen, es de 130 dB.
1. ¿Cuál es la diferencia entre sonido y ruido?, ¿cuándo un sonido se transforma en ruido?
2. ¿Cuáles son los ruidos cotidianos que más te molestan?, ¿por qué?
3. ¿Qué es la contaminación acústica?
4. ¿Qué problemas y trastornos puede provocar la contaminación acústica?
5. ¿Qué fuentes de contaminación acústica hay en el entorno de tu escuela?, ¿se podrían
evitar? Comenta con tus compañeros y compañeras.
II0
Latin
stoc
k
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14 | Unidad 1
¿Cuánto sabes?
1. Grafica las siguientes funciones.
a. g (x) = 8x – 3 d. m(x) = 9 + 4x g. h(x) = –7x
b. h (x) = –2x2 + 1 e. k (x) = 3x2 h.
c. f. g (x) = 5 i. h(x) = 6 – 5x2
2. Determina para qué valores no están definidas las siguientes funcionesreales. Explica cómo lo hiciste.
a. f (x) = f. p(x) =
b. m(x) = 4x2 – (2x)2 + 5 g.
c.
h. q (x) =
d. g (x) = (x – 3) (x + 8) i.
e. n (x) = x2 + 2ax + a2 j.
3. Determina los intervalos para los cuales las siguientes funciones son crecientes y decrecientes. Explica el procedimiento que utilizaste.
a. u (x) = – (x + 5)2 c. w (x) = 3 + (10 – x)2
b. d. t (x) = I3x – 9I
4. Una fábrica de botellas modeló el ingreso utilizando una funcióncuadrática. Si venden x unidades, el precio debe ser 21 – x, por unidad.
a. Encuentra el ingreso como una función de las ventas.b. ¿Cuándo empiezan a decaer los ingresos?c. ¿Cuál es el ingreso máximo de la industria por las ventas de este
artículo? ¿Cuántas unidades de este artículo se deben producir paratener el ingreso máximo?
x + 2x2 + 10x + 25
1 – x2
x + 12
x2 – 1
v x x( ) = − +2 4
h xx
( ) = +−
63
1
q x x( ) = + −6 2
f x x( ) = − + 4
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.
k x x a( ) = −
u xx b
( ) =−
12
i (x) = 4
x + 1
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 14
5. Completa el siguiente cuadro, indicando a qué intervalo debepertenecer x para que la función sea negativa, cero o positiva.
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.
Función potencia y logarítmica | 15
Unid
ad 1
f (x) < 0 f (x) = 0 f (x) > 0
f (x) = x2 – 10
f (x) = |x – 5|
f (x) = 1 – 4x2
f (x) = –1
x – 31x
f x x( ) = + 7
f x x( ) = −11
¿Qué debes recordar?
• Para los números racionales a, n y m, con a � 0, se cumplen las siguientes propiedades delas potencias y las raíces:
• am · an = am + n • (am)n = am · n
• am : an = = am – n • , con n � 0
• Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento f (x) de un conjunto B.
• Una función f (x) es:
a amnmn=am
an
• creciente en un intervalo ]a, b[ si dadosx e y cualesquiera en ]a, b[, se cumplesiempre que x < y fi f (x) < f (y).
• decreciente en un intervalo ]a, b[ si dadosx e y cualesquiera en ]a, b[, se cumplesiempre que x < y fi f (x) > f (y).
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 15
16 | Unidad 1
Funciones
Analicemos...
En la mayoría de los países, la escala de temperatura usada corres-ponde a la escala Celsius, en la cual el agua se congela a los 0 ºC yhierve a los 100 ºC. Sin embargo, en Estados Unidos, por ejemplo,se emplea la escala de temperatura Fahrenheit, en la cual el aguase congela a los 32 ºF y hierve a los 212 ºF.
Los grados Fahrenheit y Celsius se pueden relacionar por la siguienteexpresión: 9C = 5 (F – 32).
Pero si se considera C como la variable independiente y F como lavariable dependiente, es equivalente a la función afín o lineal afín:
f (x) = x + 32. Observa su gráfica, que se muestra a la izquierda.
Así, por ejemplo, si queremos saber a cuántos grados Fahrenheit equi-valen 0 ºC, basta con remplazar este valor en la función lineal dada.
f (0) = · 0 + 32 = 32
Luego, 0 ºC equivalen a 32 ºF. De la misma forma, se puede obtenerque –15 ºC equivalen a 5 ºF.
Observa que para esta función siempre se puede calcular el valorcorrespondiente de f (x) para algún valor de x, o, dicho de otro modo,no existe valor de x tal que no se pueda calcular su correspondientef (x). En casos como este, se dice que el dominio de f es R.
95
95
• La temperatura normal del ser humano es 37 ºC. ¿A cuántos grados Fahrenheit (ºF) corresponden?, ¿cómo lo calculaste?
• ¿Existe una expresión que permita convertir grados Celsius (ºC)a grados Fahrenheit (ºF)? Explica.
• Si así fuera, esta expresión (u otra equivalente) ¿corresponderíaa una función?, ¿por qué?
• ¿Qué distingue a una función de una expresión algebraica? Justifica.
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 25-10-12 18:11 Página 16
Función potencia y logarítmica | 17
Unid
ad 1En cambio, si en una función existieran valores para los cuales no se
puede calcular el valor de la función, estos valores deben excluirse de
su dominio. Por ejemplo, en la función g(x) = , al intentar
calcular g(2) se obtiene 0 en el denominador; luego, la función g(x)
no está definida para x = 2. Entonces, se dice que dom (g) = IR – {2}.
De manera similar, se puede calcular el recorrido de la función, esdecir, el conjunto de valores que la función puede tomar. General-mente, es más fácil observar los valores que la función no puedetomar y no considerarlos en el recorrido. Por ejemplo, en la funciónf (x) = x 2, por definición de x 2, los valores de f (x) no pueden sernegativos, luego rec( f ) = IR
0.
1(x – 2)
No siempre una expresión algebraicaes función. Gráficamente, se puedesaber si una expresión es función ono trazando rectas imaginarias para-lelas al eje Y. Si alguna de ellas in-terseca a la gráfica en dos o más pun-tos, entonces no es función.
Pon atención
En resumen
• Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A, un único elemento yde un conjunto B, donde A se conoce como dominio dom( f ), de la función y B es el conjunto de llegada o codominio. El conjunto de valores que la función puede tomar se conoce como imagen o recorrido, rec( f ). No siempre se cumple que el codominio y el recorrido de una función sean iguales.
1. Determina cuál o cuáles de las siguientes representaciones gráficas es función. Justifica.
a. b. c.
2. Si x es un número natural, se define f (x) de la siguiente manera: Si x = 1 o x = 2, entonces f (x) = 1.Si x > 2, entonces f (x) = f (x – 1) + f (x – 2).
a. Calcula: f (1), f (2), f (3), f (4), f (5) y f (6).b. Determina el dominio de la función.
3. Determina el dominio y recorrido de cada función. Explica cómo lo hiciste.
a. f (x) =
b. f (x) =
c.
d. f x xx
( ) = +−
11
f x x( ) = + 21
x2 + 1x
x – 1
Actividades
+
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 17
(y – 32) = x
La expresión obtenida en el procedimiento anterior se conocecomo la función inversa de f (x) y se escribe como f –1(x).
En este caso, f –1(x) = (x – 32). Observa que siempre se representa
en términos de x.
Luego, se tiene por ejemplo: f –1(–4) = (–4 – 32) = –20.
Además, f (–20) = (–20) + 32 = –4.
Entonces, f (f –1(–4)) = –4.
95
59
59
59
y – 32 = x95
18 | Unidad 1
Función inversa
Antonio estaba revisando noticias en Internet y se distrajo con elinforme del tiempo. El pronóstico en Nueva York para ese día erade 91 ºF, la temperatura máxima y 68 ºF, la temperatura mínima.
y = f (x) = x + 32 como x corresponde a grados Celsius, se despeja en la ecuación
95
Analicemos...
• ¿En qué unidad está dada la temperatura que encontró Antonioen Internet?
• Si se aplica la función f (x) = x + 32, ¿cuáles son las tempera-
turas publicadas para Nueva York medidas en grados Celsius?• ¿Cómo se podría obtener una función que permita convertir
grados Fahrenheit a grados Celsius? Explica.• ¿Qué relación hay entre esta última función y la anterior,
f (x) = x + 32? Justifica.95
95
No todas las funciones tienen in-versa. Gráficamente, se puede sa-ber si una función tiene o no tieneinversa trazando rectas imagina-rias paralelas al eje X. Si alguna deellas interseca a la función en doso más puntos, entonces la funciónno tiene inversa.
Pon atención
¿Qué?, ¿hay 91 grados de temperatura ambiente
en Nueva York? Ah… entonces, ¿cuál es la temperatura en Nueva York,
en grados Celsius?
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 25-10-12 18:13 Página 18
Función potencia y logarítmica | 19
Unid
ad 1
En resumen
• Dada una función f (x), se dice que f –1(x) es su función inversa si cuando f (a) = b, entoncesse tiene que f –1(b) = a para todos los valores a del dom (f ).
• Para determinar la representación algebraica de f –1(x), dada una función f (x), se despeja deesta expresión la variable x, y luego se intercambian los nombres de las variables.
• En un mismo gráfico, las gráficas de f (x) y f –1(x) son simétricas respecto de la recta y = x.
Si la función inversa existe, esto siempre se cumple, es decir, paratodo x perteneciente a dom (f ), se tiene que f –1 [ f (x)] = x, asícomo f [f –1(x)] = x.
Observa la gráfica de f –1(x) y compárala con la gráfica de la fun-ción f (x) presentada en la página 16. ¿Qué puedes concluir?
1. Determina, a partir de cada gráfico, cuál o cuáles de las siguientes funciones tienen inversa. Explicatu decisión.
a. b. c.
2. Encuentra la función inversa, si existe, para:
a. c. e. q (x) = 4 + 7x
b. d.
f.
3. Encuentra la función inversa de f (x) = , con x � 3. Explica cómo lo hiciste.
a. ¿Cuál es el dominio de f –1? b. ¿Cuál es el recorrido de f –1?
x – 1x – 3
h x x( ) = + 12
f x x( ) = −3 510
g x x( ) = − 55
p xx
( ) =+
11
g x x( ) = + −3 4
Actividades
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 19
20 | Unidad 1
Función potencia
Sea x un número real:• Si n es par, el valor de xn es siem-
pre positivo.• Si n es impar, el signo de xn es
igual al signo de x.
Recuerda que...
f (x) = x2 f (x) = x4 f (x) = x3
Observa los siguientes gráficos de la función f (x) = axn, con a > 0.
Los gráficos anteriores son ejemplos de la función potencia.
Observa que no hay restricciones para los valores que puede tomarx en la función potencia, es decir, la función está definida paratodo R, luego: dom ( f ) = R. En cambio, para determinar el recorridode la función, es necesario distinguir qué sucede en los casos den par y n impar. Observa.
Los valores de y correspondientes a la función f (x) = axn, para n par,con a > 0, por propiedades de las potencias y según el signo de a,son siempre positivos o cero. Luego: rec ( f ) = R
0
+.
Analicemos...
• A partir de las gráficas, en cada caso, ¿cuál es el valor de f (x)para x = –2?, ¿para x = 0? Y ¿para x = 1?
• ¿Se interseca cada función con cada uno de los ejes?, ¿en quépunto?, ¿por qué?
• ¿Cuáles son el dominio y el recorrido de la función, en cadacaso?, ¿qué puedes concluir? Justifica.
• ¿En qué se parecen las gráficas de las funciones?, ¿en qué sediferencian?, ¿qué puedes concluir?
Glosario
función potencia: toda función dela forma f (x ) = axn, con a � 0,n � IN – {1}, a � IR, x � IR.
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 20
Función potencia y logarítmica | 21
Unid
ad 1
Si a < 0 en la función y = axn, para n impar.
En estos casos, la gráfica de la función f (x) = axn, para n impar, a < 0,se encuentra en el segundo y cuarto cuadrante.
Pero en el caso de f (x) = axn, para n impar, con a > 0, los valoresde y correspondientes dependen del signo de x, es decir, cuandox > 0, se tiene y > 0; cuando x = 0, y = 0, y cuando x < 0, se tieney < 0, por propiedades de las potencias. Luego: rec ( f ) = IR.
En cuanto a las gráficas, se observa que, cuando n es par, tienenforma similar a la función cuadrática. Se encuentran en el primery segundo cuadrante, y su vértice corresponde al punto más bajode la curva, aunque, en rigor, no son parábolas si n � 2. Por otraparte, si n es impar, cuando a > 0, las gráficas son siempre cre-cientes y se encuentran en el primer y tercer cuadrante. (En cadacuadrante, su forma es similar a la mitad de una parábola, perono son parábolas).
Observa ahora qué sucede en la función f (x) = axn, para n par, siel valor de a es negativo.
En estos casos, la gráfica de la función f (x) tiene su vértice en elpunto más alto de la curva y está en el tercer y cuarto cuadrante.Observa que tanto si a > 0 como cuando a < 0 la gráfica de la fun-ción f (x) = axn para n par es simétrica respecto del eje Y.
Glosario
vértice: punto de una curva en quela curvatura tiene un máximo o un mínimo.
cuadrante: cuarta parte del planocartesiano comprendida entre losdos ejes perpendiculares. Se numerandesde el eje X positivo y en direc-ción antihoraria.
f (x) = –x2 f (x) = –x4 f (x) = –x6
IIIY
XIVIII
y = – x 332
y = –3x 5 y = – x 712
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 21
22 | Unidad 1
En resumen
• Una función potencia es una función de la forma f (x) = axn, donde a es un número real, distinto de cero, y n es un número natural, distinto de uno.
• El dominio de una función potencia es IR.
• El recorrido de la función f (x) = axn, para a > 0, con n par, es R+0; en cambio, si es n impar,
su recorrido es R.
• La gráfica de la función f (x) = axn depende de si n es par o impar y del signo de a.
a > 0 a < 0
n impar
n par
1. Dibuja en un mismo gráfico las funciones f (x) = x2, g (x) = 4x2 y h (x) = 4x2 – 2. Luego, responde:
a. ¿Qué semejanzas hay entre las gráficas de f (x) y g (x)?, ¿cuáles son sus diferencias?b. ¿Y entre las gráficas de g (x) y h (x)?, ¿cuáles son sus semejanzas y diferencias? c. ¿Qué puedes concluir?
2. Dibuja en un mismo gráfico las funciones p(x) = x3, q(x) = –2x3 y r (x) = –2x3 + 4. Luego, responde:
a. ¿Qué semejanzas hay entre las gráficas de p (x) y q(x)?, ¿cuáles son sus diferencias?b. ¿Y entre las gráficas de q (x) y r (x)?, ¿cuáles son sus semejanzas y diferencias? c. ¿Qué puedes concluir?
Actividades
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 22
Función potencia y logarítmica | 23
Unid
ad 1
Herramientas tecnológicas
GeoGebra es un software libre que relaciona aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Por una parte, esun sistema de geometría interactiva, en el que se pueden construir puntos, vectores, rectas y funciones,y luego modificarlas dinámicamente. Pero también se pueden ingresar las ecuaciones y coordenadasdirectamente y obtener las gráficas correspondientes. Esto permite construir y analizar gráficas dediversas funciones.
Para descargar este programa ingresa a www.geogebra.org/cms/es. Pulsa el botón Descarga, yluego haz clic en el botón Applet Start. De este modo podrás trabajar con este software sintener la necesidad de instalarlo en tu computador.
• Para graficar una función, se escribedirectamente en la celda Entrada,ubicada en la parte inferior de laventana. Si la función tiene potencias,los exponentes se anotan a conti-nuación del símbolo ^. Por ejemplo,para graficar f (x) = x3 se escribe f (x) = x^3 y se presiona enter.
1. Utilizando GeoGebra, o bien un papel milimetrado o cuadriculado, grafica las siguientes funcionesy responde.
a. y = x4 b. y = x6 c. y = x8 d. y = x10
• Las funciones dadas, ¿son simétricas?, ¿por qué?• A medida que el exponente aumenta, ¿qué puedes observar en las gráficas de
las funciones?
2. Grafica las siguientes funciones y contesta:
a. y = 0,05x4 c. y = 3x4 e. y = 0,8x3 g. y = 7x3
b. y = x4 d. y = 5x4 f. y = x3 h. y = 10x3
• ¿Qué sucede a medida que a crece?• ¿Ocurrirá lo mismo para a < 0?, ¿cómo lo sabes?
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 23
24 | Unidad 1
Traslaciones verticales y horizontales
Observa los gráficos que se muestran a continuación, con f (x) = x3:
g(x) = x 3 – 4 = f (x) – 4 h(x) = x 3 + 3 = f (x) + 3 p(x) = x f x� � � � � �+
= +
12
12
3
q(x) = (x – 2)3 = f (x – 2)
En cada caso, la forma de la gráfica de la función polinomial es lamisma que la de la función potencia f (x) = x3, pero está trasladadacon relación a ella. Observa.
Sea (a, a3) un punto de la gráfica de f (x) = x 3. El punto (a + 2, a3)pertenece a la gráfica de q(x) = (x – 2)3, ya que para cualquier valorde a, se cumple que [(a + 2) − 2]3 = a3.
Observa que tal como el punto (a + 2, a3) está dos unidades a laderecha de (a, a3), se cumple que toda la gráfica de q(x) = (x – 2)3
se desplaza dos unidades a la derecha respecto de la gráfica def (x) = x 3.
De manera similar, la gráfica de p(x) = se desplaza media
unidad a la izquierda respecto de la gráfica de f (x) = x 3.
Por otra parte, el punto (a, a 3 + 3) pertenece a la gráfica de h (x) = x 3 + 3. Observa que el punto (a, a3 + 3) está tres unidadesarriba de (a, a3); entonces, toda la gráfica de h (x) = x 3 + 3 tambiénse desplaza tres unidades arriba respecto de la gráfica de f (x) = x 3.De manera similar, la gráfica de g (x) = x 3 − 4 se desplaza cuatrounidades hacia abajo respecto de la gráfica de f (x) = x 3.
x � �+
12
3
Glosario
función polinomial: aquella que sepuede formar sumando múltiplos depotencias de x con exponentes en-teros positivos o cero; por ejemplo:• f (x ) = 2x 4 + 6x 3 + x – 7.• g (x ) = (x – 1)2 = x 2 – 2x + 1.
Analicemos...
• Si observamos la representación algebraica de las funciones ante-riores, ¿en qué se parecen?, ¿en qué se diferencian?
• ¿Qué semejanzas y diferencias tienen las gráficas de cada función?• ¿Cómo se relaciona el desplazamiento de la gráfica en el plano
cartesiano con la diferencia en las expresiones algebraicas quelas representan?, ¿por qué?, ¿qué puedes concluir?
Para nombrar funciones se utilizandistintas letras para funciones dife-rentes. Por ejemplo, f (x), g (x) y h(x).
Pon atención
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 26-10-12 9:49 Página 24
Función potencia y logarítmica | 25
Unid
ad 1
En resumen
• Si f (x) = axn, entonces:
1. Grafica las siguientes funciones.
a. f (x) = x4 d. p(x) = 2x3
b. g (x) = –(x + 2)4 e. q (x) = 2(x – 1)3
c. h(x) = (x – 2)4 f. r (x) = –2(x + 1)3
2. A partir de la gráfica de la función g (x) = x5, dibuja la gráfica de las siguientes funciones y responde.
a. t (x) = g(x)+ 4 c. u (x) = g (x) – 3b. v (x) = g (x + 1) d. w (x) = g (x – 2) + 5
• ¿Qué semejanzas encuentras?• ¿En qué se diferencian las gráficas? Explica.
3. ¿Cómo se obtiene una función trasladada verticalmente con respecto a f (x) = –3x 2?
4. Construye una función polinomial que corresponda a una traslación horizontal y una que correspondaa una traslación vertical de su gráfica en cada caso. Dibuja sus gráficas.
a. f (x) = –3x3 b. g (x) = 5x4 c. h(x) = –5x5
• ¿Cualquier función polinomial se puede escribir de modo que corresponda a una traslaciónde una función potencia?, ¿por qué?
Actividades
• la gráfica de g(x) = a(x + c)n es idéntica ala de f, pero trasladada en � c � unidadeshacia la izquierda si c > 0, o bien hacia laderecha si c < 0.
• la gráfica de h(x) = axn + c es idéntica ala de f, pero trasladada en � c � unidadeshacia arriba si c > 0, o bien trasladadahacia abajo si c < 0.
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 25
26 | Unidad 1
• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.
• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote con el esquema anterior, responde en tu cuaderno.
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.2. ¿Qué es el dominio de una función?, ¿y el recorrido?3. ¿Cuál es la diferencia entre una función potencia de exponente par y una de
exponente impar? Explica.4. ¿Qué características tiene la gráfica de una función potencia f (x) = xn, si n es impar?5. La función potencia f (x) = xn, si n es par, ¿es simétrica?, ¿por qué?6. ¿En qué casos una función potencia tiene un valor máximo?, ¿por qué?7. ¿Qué es el vértice de una función potencia?, ¿siempre existe? Explica.8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?,
¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
RECORRIDO
escuando
f (x) = axn
Organizando lo aprendido
suse denota por
FUNCIÓN POTENCIA
R0
+
n PAR
R
VÉRTICE
VALOR MÍNIMO
si a > 0 es
FUNCIÓN CRECIENTE
si a > 0 es una
FUNCIÓN DECRECIENTE
si a < 0 es una
es
n IMPAR
su
está en el
R0
–
VALOR MÁXIMO
su
DOMINIO
su
R
si a < 0 es
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 26
Mi progreso
Unid
ad 1
1. Determina el dominio y el recorrido de cada función. Explica el procedimiento que usaste.
a. f (x) = x2 + 2 b. g (x) = 7x – 5 c. h (x) = � 3x – 6 �
2. Determina la función inversa para:
a. p(x) = b. c. r (x) =
3. Determina si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
a. La función potencia f (x) = axn, con n impar, es siempre creciente.b. El recorrido de una función potencia f (x) = axn es R.c. El vértice de una función potencia f (x) = axn es el punto más bajo de la curva.d. La gráfica de la función potencia f (x) = axn, con n impar, a < 0, se halla en el segundo
y cuarto cuadrante.
4. La gráfica de g (x) = x3 + 5 se encuentra, respecto de la gráfica de f (x ) = x 3, trasladada:
A. 5 unidades hacia la izquierda.B. 5 unidades hacia la derecha.C. 5 unidades hacia abajo.D. 5 unidades hacia arriba.E. Ninguna de las anteriores.
3 – xx + 4
5x – 57
q xx
( ) =−4
1
• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.
¿Cómo voy?
Función potencia y logarítmica | 27
CRITERIO ÍTEM PÁGINAS DONDE SE TRABAJA
Determinar el dominio y recorrido de una función. 1 16 a 19
Calcular la función inversa de una función. 2 18 y 19
Reconocer características de la función potencia. 3 20 a 23
Relacionar el desplazamiento de la gráfica de una función potencia con la función polinomial asociada.
4 24 y 25
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 27
28 | Unidad 1
Logaritmos
Hasta hace casi 400 años, la tarea de un calculador podía ser agota-dora. Imagina calcular multiplicaciones, divisiones, potencias, o sacarraíces, no solo de números enteros sino también de fracciones ynúmeros decimales sin tener una calculadora.
Observa las siguientes multiplicaciones:
Analicemos...
• Calcula los productos de las multiplicaciones anteriores sin usarcalculadora y compara los resultados en tu curso. ¿Existen dife-rencias?, ¿por qué?
• ¿Hay alguna forma de simplificar estos cálculos sin calcula-dora? Explica.
• Observa la siguiente tabla. ¿Reconoces en ella algunos de losfactores anteriores?, ¿y algunos de tus resultados?, ¿qué tienenen común?
• Escribe los factores y el resultado, en cada caso, en forma depotencias. ¿Qué puedes concluir?
n 2n 3n 4n 5n
1 2 3 4 5
2 4 9 16 25
3 8 27 64 125
4 16 81 256 625
5 32 243 1024 3125
6 64 729 4096 15 625
7 128 2187 16 384 78 125
8 256 6561 65 536 390 625
9 512 19 683 262 144 1 953 125
10 1024 59 049 1 048 576 9 765 625
11 2048 177 147 4 194 304 48 828 125
12 4096 531 441 16 777 216 244 140 625
16 · 128 81 · 2187 256 · 16 384 625 · 78 125
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 28
Función potencia y logarítmica | 29
Observa que todos los resultados conseguidos en la tabla anteriorse ubican en la fila correspondiente a n = 11. Es decir, 11 es el ex-ponente al que hay que elevar el 2 para obtener 2048, o el 3 paralograr 177 147, por ejemplo.
Para referirnos al cálculo de este exponente, tal como al que hayque elevar el 2 para obtener 2048, decimos que el logaritmo de2048, en base 2, es 11 y lo denotamos:
log2 2048 = 11, pues 211 = 2048
o que el logaritmo de 177 147, en base 3, es 11 y lo denotamos:log3 177 147 = 11, pues 3
11 = 177 147
Y así sucesivamente.
Veamos ahora cómo se simplifica el cálculo de 625 · 78 125 uti-lizando la tabla.
Se ubican en la tabla cada uno de los factores y se expresan comopotencias con igual base: 625 · 78 125 = 54 · 57 = 511.
Entonces, se busca en la tabla, en la columna que corresponde a5n, su valor para n = 11. Este valor es 48 828 125, tal comocuando resolviste la multiplicación mediante el algoritmo habitual.
De manera similar, podríamos efectuar otras operaciones, comodivisiones; por ejemplo:
= = 54 = 625512
58244 140 625390 625
Un
idad
1
Glosario
logaritmo de un número de unabase dada: exponente al que es necesario elevar una cantidad positiva para que resulte un número determinado.
Además, existe una propiedad , con la que se puede
determinar el resultado de log27 19 683.
A partir de la tabla se observa que 19 683 y 27 son ambos potenciasde 3; luego, se pueden escribir utilizando los logaritmos en base 3y ubicar los valores en la tabla. Observa.
log27 19 683 = = = 3. Es decir, 273 = 19 683.
De esta manera, las multiplicaciones se pueden convertir en sumas,las divisiones en restas y las raíces en divisiones, con lo que se fa-cilita notablemente el cálculo, más aún cuando los números impli-cados son grandes y se cuenta, obviamente, con tablas apropiadas.
93
log3 19 683
log3 27
log Blog Blog bb
c
c=
• an · am = an + m
• = an – m con a � 0,
n, m � �
Recuerda que...
an
am
A diferencia de la tabla de la páginaanterior, las tablas de logaritmosmuestran los valores de n a partirde los valores de an.
Pon atención
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 25-10-12 18:19 Página 29
30 | Unidad 1
Volvamos a la definición de logaritmo: “Exponente al que es nece-sario elevar una cantidad positiva para que resulte un número de-terminado”. Si se escribiera como ecuación, logb a, donde b es labase del logaritmo y a es su argumento, con a y b positivos, corres-ponde a resolver bx = a.
Por ejemplo, calcular log2 16 equivale a resolver la ecuación 2x = 16, ya
que la base del logaritmo es 2, el exponente no se conoce y 16 esel argumento, que corresponde al valor de la potencia. Y como 16es una potencia de 2, de hecho, 24, esto equivale a 2x = 24; luego,igualando los exponentes, se obtiene que x = 4.
Ejemplo 1: Calcula el valor de log7 343.log7 343 = x ���7x = 343 = 73 ���x = 3 Luego, log7 343 = 3.
Ejemplo 2: Determina el valor de .
Al igual que en el caso de las raíces, no todos los logaritmos sepueden calcular. Esta es la razón de la condición de valores posi-tivos para a y b. Observa.
Ejemplo 3: Determina el valor de log8 –512.log8 –512 = x fi 8x = –512
Pero ¿la potencia de un número positivo puede ser negativa?No, en ningún caso. Luego, log8 –512 no existe.
Ejemplo 4: Calcula el valor de log(–2) 8.log(–2) 8 = x fi (–2)x = 8 = 23
En este caso, la base de la potencia es negativa y su exponente esimpar; luego, el valor de la potencia debiera ser negativo también.Como esto no se cumple, no existe log(–2) 8.
Ejemplo 5: ¿Cuánto resulta log1 5? log1 5 = x fi 1x = 5
Ya que toda potencia de 1 es 1, no existe un valor de x, tal que 1x
sea igual a 5.
log2 8
= x fi2x = 8 fi 2x = (23) = 232
12
12log2 8
Luego, = .log2 832
Glosario
argumento: número o expresión alque se le aplica logaritmo. Por ejem-plo, en la expresión logb a, el argu-mento es a.
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 30
Función potencia y logarítmica | 31
Unid
ad 1Considerando situaciones como estas, es que se ha definido que el
valor de la base y el argumento del logaritmo deben ser positivos.En particular, la base tiene que ser distinta de 1.
En un mundo sin calculadoras, los logaritmos fueron utilizadoscomo la principal herramienta en los cálculos aritméticos. Gracias asu uso se ahorró un increíble esfuerzo, pues se pudo trabajar conlos pesados cálculos necesarios en las aplicaciones a la agrimensura,la astronomía y, particularmente, la navegación. Además, permitiórealizar otros cálculos matemáticos que sin su invención no hu-bieran sido posibles.
Las tablas de logaritmos y las reglas de cálculo eran imprescindiblesen cualquier centro de cálculo, hasta la aparición de las calculadorasy computadores. Actualmente, los logaritmos ya no son necesariospara lo que fueron concebidos. Sin embargo, son fundamentales enla modelación matemática y en ciencias, por lo que han sobrevividoal desarrollo de las calculadoras electrónicas.
1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos.
a. log9
243 d. log0,7
0,343 g. loga j. log m. log16
8
b. log2
128 e. loga a9 h. log6
k. log8
16 n. loga
c. log5
625 f. log12
1 i. log4
1024 l. log8
0,125 o. log27
9
• Verifica con la calculadora los resultados obtenidos.
2. Dada cada expresión, encuentra el valor de x. Explica cómo lo hiciste.
a. log2
x = 6 b. log x = –2 c. log0,3
x = 3 d. log0,004
x = –334
32
a8
Actividades
136
94
a25
En resumen
• Por definición, x = logb a fi bx = a, entonces se puede decir que el logaritmo es el exponentede la potencia en base b cuyo valor es a.
• La expresión logb a se lee como: “logaritmo de a en base b”.
• El argumento y la base de un logaritmo son números reales positivos. Además, la base nopuede ser 1. Es decir, en la expresión logb a, siempre, por definición, a � R+ y b � R+ – {1}.
Las calculadoras tienen teclas paracalcular el logaritmo en base 10 (log)y el logaritmo natural (ln) en basee, pero no el logaritmo en una basecualquiera. En ese caso, se puedecalcular usando la fórmula de cam-bio de base.
Pon atención
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 31
32 | Unidad 1
Propiedades de los logaritmos
Tomás, a partir de la definición y luego de comprobarlo con algunosvalores, determinó las siguientes relaciones entre los valores de a, by c, con b � 1:
logb a = c bc = a b ac=
Las propiedades que se cumplen para los logaritmos, para cualquiervalor adecuado de la base b, se pueden establecer y demostrar apartir de las propiedades de las potencias. Observa.
• Logaritmo de la unidad:
logb 1 = x € bx = 1 € bx = b0, ya que b > 0, b � 1� fi x = 0
Por propiedades de potencias, ya que el valor de la potencia es1 cuando el exponente de la potencia es cero (pues la base espositiva y distinta de 1).Luego, logb 1 = 0, con b � 1. Ejemplo: log5 1 = 0.
• Logaritmo de la base del sistema:
logb b = x € bx = b € bx = b1
fi x = 1.Luego, logb b = 1, con b � 1. Ejemplo: log3 3 = 1.
• Logaritmo de una potencia con igual base:
logb ba = x € bx = ba fi x = a
Luego, logb ba = a, con b � 1, con a, número real.
Ejemplo: log6 63 = 3.
Analicemos...
• ¿Están correctas las relaciones que estableció Tomás? Comprué-balas remplazando con los valores correspondientes en cada caso.
• Tal como existen propiedades para las potencias y para las raíces,¿se pueden establecer propiedades para los logaritmos? Justifica.
• Por ejemplo, en el caso de logb bn, ¿existe alguna propiedad quesimplifique los cálculos? Explica.
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 32
Función potencia y logarítmica | 33
Unid
ad 1• Cambio de base:
logb B = x € bx = B
logc bx = logc B
x · logcb = logc B
Por lo tanto, para todo b, c, B > 0; b, c � 1.
Ejemplo: log2 5 = = = 2,32192.
log Blog Blog bb
c
c=
Los logaritmos de base diez, esdecir, log10 x, son llamados loga-ritmos decimales y los denotaremoscomo log x.
Pon atención
xlog Blog b
c
c=
log 5log 2
0,698970,30103
1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos. Explica cómo lo hiciste.
a. log2
64 d. log5
1 g. log16
128 j. log
c. log0,7
0,49 f. log5
57 i. log6
63 l. log5
2. Utilizando una calculadora, encuentra el valor de las siguientes expresiones.
a. log2
5
b. log6
7 c. log7
9 d. log6
11
3. Calcula el valor de cada una de las siguientes expresiones.
a. log4
64 + log 1000 + log5
125 d. 3 log 32 + 7 log 125 – 6 log 243
b. log – log + log 10 000 e. 4 log + 2 log – 5 log
c. 2 log5
25 – 3 log7
49 + 4 log8
4096 f. 2 log 100 000 – 2 log4
256 + 4 log2
32
13
15
14
67
25
57
56
23
43
Actividades
169
125
2549
8125
216343
49
125216
En resumen
Los logaritmos cumplen, ya que la base b es positiva y distinta de 1, que:
• Logaritmo de la unidad: logb 1 = 0.
• Logaritmo de la base del sistema: logb b = 1.
• Logaritmo de una potencia con igual base: logb ba = a, con a � IR.
• Cambio de base: para todo b, c, B > 0; b, c � 1.log Blog Blog bb
c
c=
b. log27
243 e. log3
3 h. log128
1 k. log 12812
se aplican logaritmos en una base c
por propiedad de logaritmos quese trabajará en la página 35.
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 33
34 | Unidad 1
Propiedades de las operaciones de los logaritmos
Al igual que para las potencias y las raíces, para los logaritmos tam-bién existen propiedades que permiten simplificar los cálculos. Parademostrarlas, los logaritmos se pueden escribir en forma exponen-cial y aplicar algunas de las propiedades de las potencias.
Por ejemplo, el logaritmo de un producto es igual a la suma de loslogaritmos de los factores. Es decir,
logb (a · c) = logb a + logb c.
Para comprobar con un ejemplo que esta propiedad se satisface, sepuede resolver un logaritmo de dos maneras distintas: directamentey aplicando el logaritmo del producto. Observa:
log2 128 = x € 2x = 128€ 2x = 27, luego x = 7.
Por otra parte, log2 128 = log2 (4 · 32) = log2 4 + log2 32
= 2 + 5 = 7.
Pero no basta con comprobar con un ejemplo para justificar quela propiedad está correcta. Es necesario demostrar que se cumplepara cualquier valor positivo de a, b o c, con b � 1.
Considera que logb a = y € by = a logb c = z € bz = c logb (a · c) = x € bx = a · c
bx = by · bz
bx = by + z fi x = y + zlogb (a · c) = logb a + logb c
De manera similar se pueden demostrar las siguientes propiedades:• El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los loga-
ritmos del dividendo y el divisor.
logb = logb a – logb cac
Analicemos...
• Considera valores positivos para a, b y c, con b � 1, y remplázalosen la expresión. ¿Efectivamente se satisface? Justifica.
• ¿Crees que también se cumpla logb (a · c) = logb a · logb c? Justifica.• A partir de esta propiedad, ¿se pueden obtener otras? Explica.
remplazando a · cpor propiedad de potencias
remplazando
Ejemplo: log3 = log3 81 – log3 243 = 4 – 5 = – 1.81
243
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 34
En relación con las propiedades delos logaritmos se debe tener pre-sente que se cumple en general:• logb (p · q) � logb p · logb q• logb (p + q) � logb p + logb q• logb (p – q) � logb p – logb q
•
Función potencia y logarítmica | 35
Unid
ad 1• El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente
de dicha potencia por el logaritmo de su base.
logb ac = c · logb a
Ejemplo: log2 43 = 3 · log2 4 = 3 · 2 = 6.
• El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidadsubradical, dividido por el índice de la raíz.
Ejemplo: log4 = · log4 16 = · 2 = .
Pon atención
1. Si A = log6 2, B = log6 3 y C = log6 5, expresa en términos de A, B y C los siguientes logaritmos.
a. log6
5400 b. log6
90 c. d. log6
2. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo.
a. logm a – 2 logm b + logm c – 3 logm d e. 2 logb 3 + 3 logb 2b. logb (x2 + 1) + logb (x + 1) + logb(x – 1) f. logb c – 6 logb ac. logp (x + y + z) – 4 logp (x – y – z) g. logb a – logb c – logb d + logb ed. logp (x + 3) – 4 logp (x – 2) h. logb c + logb a – 1
3. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones utilizando las propiedades.
a. logb (x2 – 9x – 22) c. logb (x3 + y3)2
b. logb (100x8 – 80x7 + 16x6) d. 83
108032 400
log6 216
log a b c
dp
2 4 5
2
log alog a
nbn b=
16
16
13
166
log plog q
pq
b
b≠
En resumen
Sean a, b, c números racionales y positivos, con la base b distinta de 1:
• Logaritmo de un producto: logb (a · c) = logb a + logb c.
• Logaritmo de un cociente: logb ( ) = logb a – logb c.
• Logaritmo de una potencia: logb ac = c · logb a.
• Logaritmo de una raíz: .log alog a
nbn b=
ac
Actividades
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 35
36 | Unidad 1
Demostraciones aplicando logaritmos
Frecuentemente, en Matemática es necesario expresar la relaciónentre dos o más variables de diferentes formas. Por ejemplo, demuestra que si se cumple
u3 – v · w 5v = uv + 5 · w 3v,
entonces también se cumple: v log ( ) = log u.wu
Suponiendo que la primera igualdad se cumple para valores posi-tivos, observa cómo se demuestra que es equivalente a la segunda.
u 3 – v · w 5v = uv + 5 · w 3v
(3 – v) log u + 5v log w = (v + 5) log u + 3v log w3 log u – v log u + 5v log w = v log u + 5 log u + 3v log w
3 log u – v log u – v log u – 5 log u = 3v log w – 5v log w
–2v log u – 2 log u = –2v log w
–2 log u = –2v log w + 2v log u
log u = v log w – v log u
log u = v (log w – log u)
log u = v log
Como se observa en este ejemplo, una de las ventajas de los loga-ritmos es que permiten transformar multiplicaciones en sumas, divi-siones en restas y potencias en productos, con lo que se facilitanmucho los cálculos y también las demostraciones.
Ejemplo 1
Considera la siguiente figura:
Demuestra que logh q + logh p = 2.
Analicemos...
• ¿Siempre se cumple la primera igualdad?, ¿y la segunda? Explica.• ¿Los valores positivos de u, v y w que satisfacen la primera
igualdad también lo hacen con la segunda? Explica.
h
p q
se aplican logaritmos
se reducen términos semejantes
dividiendo por –2
factorizando
queda demostradow
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 36
Función potencia y logarítmica | 37
Unid
ad 1Solución
A partir de la figura, se puede aplicar claramente el teorema de Euclides:
p · q = h2 se aplican logaritmos
log (p · q) = log h2
log p + log q = 2 log h
se realizan los cambios de base:
y .
Luego, logh q + logh p = 2, que es lo que se quería demostrar.
Ejemplo 2Si , calcula log a en función de p.
Solución Recuerda que .
log a = p fi log a = p fi log a = 3p13
13
log a p3 =
25log a p3 =
1. Demuestra las siguientes propiedades, para a, b y x positivos y b � 1.
a. b. logb + logb a = 0
2. Determina si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas con a > 0, a � 1. Justifica en cada caso.
a. loga u = loga v + loga c. loga au = 1 + loga u
b. d.
3. Demuestra que: loga b · logb c · logc d · … · logm n · logn a = 1, para los números positivos a, b, c,…, n,distintos de 1.
1a( )a b
log ab=
log u log ua a=
Actividades
log p log qlog h
+= 2
log plog h
log qlog h
+ = 2
uv
log ulog v
log uv
a
aa=
Por otro lado, la expresión log a puede ser escrita como log a.Luego, remplazando se tiene:
log a = · 3p = p. Entonces, log a = p.65
25
65
25
25
25
25
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 37
38 | Unidad 1
• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.
• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote con el esquema anterior, responde en tu cuaderno.
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.2. ¿Cuál es la definición de logaritmo?3. ¿Cómo se relacionan los logaritmos con las potencias y las raíces enésimas? Explica.4. ¿Cuál es la diferencia entre un logaritmo de base 2 y uno de base 10?5. ¿Qué tipo de ecuaciones se pueden resolver utilizando logaritmos?, ¿por qué?6. ¿En qué casos el logaritmo de 1 es 0? Justifica.7. ¿Se puede afirmar que el logaritmo de una suma corresponde a la suma de los logaritmos?,
¿por qué?8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?,
¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
y
BASE: b
ARGUMENTO: a
logb a = c
se corresponden con
Organizando lo aprendido
cuyos componentes son
se denotan por
hay propiedades para
POTENCIAS
bc = a
RAÍCES ENÉSIMAS
ECUACIONES
LOGARITMOS
b ac=
permiten resolver
LOGARITMO DE LA UNIDAD
LOGARITMO DE LA BASE
LOGARITMO DE UN PRODUCTO
LOGARITMO DE UN COCIENTE
LOGARITMO DE UNA POTENCIA
CAMBIO DE BASE
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 38
Función potencia y logarítmica | 39
Mi progreso
1. Utilizando la tabla de la página 28, calcula los siguientes logaritmos.
a. log4
16 384 b. log5
1 953 125 c. log16
1 048 576 d. log8
2048
2. Calcula los siguientes logaritmos. Explica cómo lo hiciste.
a. log6
216 b. log2
1024 c. log16
16 d. log9
1
3. Desarrolla cada una de las siguientes expresiones utilizando propiedades.
a. b.
4. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo.
a. loga d – 3 loga b + loga 5 – 3 loga c c. logc (x + 2y – z) – 3 logc (x – y + 4z)
b. 2 · logb (x2 – 9) + logb (x – 3) – logb (x + 3) d. 6 logb 5 + 4 logb 15
5. Decide si las siguientes relaciones son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
a. loga (u + v) = loga uv b. (loga b)(logb a) = 1
6. Determina cuál de las siguientes afirmaciones es falsa. Justifica tu decisión.
A. El logaritmo de una potencia es igual al producto entre el exponente de la potencia y el logaritmode la base de la potencia.
B. El valor del logaritmo cuya base es igual al argumento es siempre igual a 1.C. La base de un logaritmo es un número real positivo.D. Dos logaritmos en la misma base son iguales si y solo si sus argumentos son iguales.E. Ninguna de las anteriores.
log p qb2 23 −log p q r
sb
2 3
4
• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.
¿Cómo voy?
Unid
ad 1
CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA
Calcular logaritmos utilizando tablas de potencias. 1 28 y 29
Calcular logaritmos. 2 30 a 33
Aplicar propiedades de los logaritmos. 3 y 4 32 a 35
Reconocer y demostrar propiedades de los logaritmos.
5 y 6 30 a 37
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 39
40 | Unidad 1
Función logarítmica
Observa las siguientes gráficas:
Las gráficas anteriores son ejemplos de la función logarítmica.
Un método posible para determinar la expresión algebraica querepresenta a una función conocida, a partir de la gráfica, es utilizarsu tabla de valores.
Observa que en la tabla correspondiente al caso I, los valores de xson potencias de 3, cuyos exponentes son los valores asociados de y.Es decir, x = 3y, lo que equivale a y = log3 x. Entonces, la expresiónalgebraica que representa a la función dada en la primera gráficaes f (x) = log3 x, con x � IR.
En cambio, la expresión algebraica que representa a la funcióndada en la segunda gráfica es f (x) = log x, con x � IR.1
3
Analicemos...
• A partir de las gráficas, en cada caso, ¿cuál es el valor de y parax = 3?, ¿para x = 1? Y ¿para x = 0?
• En cada caso, ¿qué sucede a medida que x aumenta?, ¿y a medidaque x se acerca a 0? Explica.
• En cada caso, ¿cuál parece ser el dominio de la función?, ¿y el recorrido?
• ¿Se interseca cada función con cada uno de los ejes?, ¿en qué punto?• Estas gráficas, ¿se parecen a las gráficas de alguna función que
conozcas?, ¿por qué? • ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre estas gráficas?
x 13
1 3 9 27
y –1 0 1 2 3
x 9 3 113
127
y –2 –1 0 1 3
Caso I Caso II
Glosario
función logarítmica: toda funcióncuya variable se encuentra en el ar-gumento de un logaritmo, porejemplo, de la forma f (x) = logb x,con b > 0, b � 1, x > 0.
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 40
Función potencia y logarítmica | 41
Observa ahora las siguientes gráficas para determinar las carac-terísticas de la función logarítmica.
Caso I: Función logarítmica: f (x) = logb x, con b > 1.
En el sistema de coordenadas se han graficado las siguientes fun-
ciones: , , , .
En estas gráficas se observa:
• La curva asociada a la función logarítmica interseca al eje X en elpunto (1, 0).
• El dominio de la función son los números reales positivos: R+.• La función es creciente para todo su dominio, es decir,
logb x < logb y cuando 0 < x < y.• El recorrido de la función son todos los números reales: IR.
Caso II: Función logarítmica f (x) = logb (x), con 0 < b < 1.
En el sistema de coordenadas se han graficado las siguientes
funciones: , , ,
.
En estas gráficas se observa:
• La curva asociada a la función logarítmica interseca al eje X en el punto (1, 0).
• El dominio de la función son los números reales positivos: IR+.
• La función es decreciente para todo su dominio, es decir, logb x > logb y cuando 0 < x < y.
• El recorrido de la función son todos los números reales: IR.
¿Qué conclusiones puedes sacar de ambos casos?
f x log x3 0 6( ) = ,f x log x2 0 5( ) = ,f x log x1 0 2( ) = ,
f x log x4 5( ) =f x log x3 4( ) =f x log x2 3( ) =f x log x1 2( ) =
Unid
ad 1
Una función es creciente si x1 < x2;entonces f (x1) < f (x2) para todoslos valores x1, x2 del dominio dela función.En cambio, si cuando x1 < x2 setiene que f (x1) > f (x2), la funciónes decreciente.
Recuerda que...
f x log x4 0 75( ) = ,
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 41
42 | Unidad 1
Observa ahora distintas gráficas de la función logarítmica:
A partir de la función f(x) = logb x, con b > 0, analizaremos distintasgráficas según sea el caso.
Caso I. Función logarítmica f (x) = a logb x, con a � IR, a � 0.
a > 0
Se observa en las gráficas anteriores, dada la función f(x) = a logb x,con b > 1, que:
• Si a > 0, la gráfica de la función será siempre creciente.• Si a < 0, la gráfica de la función será siempre decreciente.¿Qué otras conclusiones se podrían obtener de las gráficas anteriores?
Caso II. Sea f(x) = logb (x + a), con a � IR, b > 1.
Caso III. Sea f(x) = logb x + a, con a � IR, b > 1.
En el caso II observamos que las gráficas corresponden a traslacioneshorizontales de la función f 1(x) = log x y según sea el valor de a,positivo o negativo, la traslación es hacia la izquierda o hacia laderecha, respectivamente.
En las gráficas del caso III, las traslaciones son verticales, hacia abajoo hacia arriba, según sea el valor positivo o negativo de a.
a < 0
Caso II
Caso III
f x log xb1( ) =
f x log xb2 2( ) =
f x log xb3 4( ) =
f x log xb4 0 5( ) = ,
f x log xb5 3( ) = −
f x log xb6 5( ) = −
f x log xb7 0 3( ) = − ,
f x log xb1( ) = f x log xb2 1( ) = −( ) f x log xb3 1( ) = +( )
f x log xb1( ) = f x log xb2 2( ) = + f x log xb3 2( ) = −
Para evitar confusiones, observa quelog x + y corresponde a (log x) + y,no a log(x + y).
Pon atención
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 25-10-12 18:21 Página 42
Función potencia y logarítmica | 43
Unid
ad 1
1. Dada la función logarítmica f (x) = log2 x, determina:
a. f (4) c. f e. 2f (2) – 6f
2. Respecto de las siguientes funciones, sin graficar, indica qué tipo de transformación presentansus gráficas en relación con la función f (x) = log x.
a. f (x) = log x + 4 b. f (x) = log (x – 5) c. f (x) = –log (x + 1)
3. Grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones y responde.
a. f (x) = log x y f1(x) = –log x
b. m (x) = log (x – 4) y m1(x) = –log (x – 4)
• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones de a?, ¿y de b? • En las funciones dadas en a y b, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X? • ¿Cuál es el dominio de las funciones dadas en a y b?
1
8
1
8
Actividades
b. f (16) d. f f. 2f (4) + 3f (32) – f
1
64
1
8
En resumen
La función logarítmica f (x) = logb x tiene las siguientes características:
• El dominio de la función son los números reales positivos.
• El recorrido de la función son los números reales.
• La gráfica de la función interseca al eje de las abscisas en el punto (1, 0).
• Si b > 1, entonces la función es creciente. • Si 0 < b < 1, entonces la función es decreciente.
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:07 Página 43
44 | Unidad 1
Herramientas tecnológicas
La utilización de programas computacionales resulta muy útil para el análisis de funciones. En estaspáginas aprenderás a usar el programa Graphmatica para construir y analizar gráficas de funciones.Para bajar este programa ingresa a www.graphmatica.com/espanol. Al abrir el programa, la interfase presenta el siguienteaspecto:
Sobre la cuadrícula hay una barra en blanco que per-mite escribir funciones usando las variables x e y. Unavez ingresada la función, presiona el botón dibujargráfica o simplemente presiona enter. A continuaciónaparecerá en la cuadrícula la gráfica de la función.
Se puede cambiar la escala de la gráfica de la función y el aspecto de la cuadrícula de la siguiente forma:
• Para cambiar la escala haz clic en el menú Ver y selecciona Rango de la cuadrícula. Aquí se puedemodificar el rango horizontal (opciones izquierda y derecha) y el rango vertical (opciones arri-ba y abajo).
• Para cambiar los colores del plano cartesiano o de la gráfica de la función, en el menú Opcionesselecciona papel gráfico para modificar el color de las gráficas y el color de fondo, así como eti-quetar los ejes, etcétera.
Para obtener la gráfica de varias funciones se debe escribir cada ecuación en la barra en blancosobre la cuadrícula y presionar enter antes de anotarla siguiente.
Obtendrás en pantalla una o más gráficas, tal comose muestra en la imagen de la derecha:
Para modificar las gráficas sin empezar todo de nuevose puede utilizar:
• Presiona el botón para ocultar la última gráfica
y el botón para ocultarlas todas.
• Para borrar las gráficas selecciona la función que
deseas borrar y utiliza el botón .
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 44
Función potencia y logarítmica | 45
Unid
ad 1
Utilizando Graphmatica, realiza lo siguiente:
1. Grafica las siguientes funciones y determina si tienen o no inversa. Explica cómo lo supiste.
a. f (x) = d.
b. f (x) = e. f (x) = x3 – x2 – 2x
c. f (x) = |x – 2| f. f (x) = 4 – x2
2. Grafica las siguientes funciones de la forma y = ax 5. Luego, responde.
a. y = –0,05x 5 b. y = –2x 5 c. y = –7x 5
• ¿Qué sucede a medida que el valor de a crece?• ¿Ocurrirá lo mismo para a > 0?
3. A partir de la gráfica de la función g (x) = x7, dibuja la gráfica de las siguientes funciones. Luego, responde.
a. p(x) = g (x) + 10 c. r (x) = g (x) – 6
b. q(x) = g (x + 3) d. s (x) = g (x – 4) + 8
• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones?• En cada caso, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X?, ¿por qué?
4. A partir de la gráfica de la función f (x) = log4 x, dibuja la gráfica de las siguientes funciones. Luego, responde.
a. p (x) = f (x) + 4 c. r (x) = f (x) – 1
b. q(x) = f (x + 2) d. s (x) = f (x – 3) + 5
• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones?• En cada caso, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X?, ¿por qué?
5. Grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones y luego responde.
a. f (x) = log x y f1(x) = log (–x)
b. g (x) = log2
x y g1(x) = log
4x
c. m (x) = log (x + 5) y m1(x) = –log (x – 5)
• ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones del ítem a?, ¿del b?, ¿y del c?
• En cada caso, ¿cuál es el punto de intersección con el eje X?
f xx x
( ) = +−
1 11
1x – 1
1x2
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 45
46 | Unidad 1
Ecuaciones logarítmicas
Una escala utilizada para medir la cantidad de energía liberadapor un sismo es la escala de Richter, representada por la ecuación:log E = 1,5 · R + 11,8, donde E: energía liberada, medida en ergios,y R: magnitud del sismo, medida en grados de la escala de Richter.Por ejemplo, el terremoto del 13 de junio de 2005 en Huara,provincia de Iquique, tuvo una magnitud de 7,8.
La ecuación logarítmica que permite responder la situación presen-tada es log x = 1,5 · 7,8 + 11,8, ya que R, en este caso, es igual a 7,8.
Luego, para calcular cuál es el valor de x, se aplican potencias de10. Observa.
log x = 1,5 · 7,8 + 11,8log x = 23,5
, pero , por definición de logaritmos.
x � 3,162 · 1023
Luego, la energía liberada en el terremoto del 13 de junio de 2005fue de 3,162 · 1023 ergios, aproximadamente.
En general, para resolver una ecuación logarítmica con una incógnita,se debe manipular la ecuación, de modo de escribirla de la formalogb f (x) = logb g (x), donde f (x) y/o g(x) son expresiones que con-tienen la incógnita.
Como la función logarítmica es siempre creciente, o bien siempredecreciente, entonces: logb f (x) = logb g (x) € f (x) = g(x).
Lo anterior, junto con las propiedades de los logaritmos, nos per-mitirá resolver una ecuación.
10 10log xx=10 1010 23 5log x
= ,
Analicemos...
• ¿Cuánta energía fue liberada en esa ocasión?, ¿cómo lo calculaste?• ¿Cuánta energía más liberaría un terremoto de magnitud 8,5 en
la escala de Richter? Explica.
Glosario
ecuación logarítmica: igualdad en laque intervienen logaritmos y dondela incógnita forma parte del argu-mento de, al menos, uno de ellos.
Hombre removiendo escombros provocados por el terremoto de Huara.Región de Tarapacá.Gentileza: Ministerio del Interior de Chile.
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 46
Función potencia y logarítmica | 47
Unid
ad 1Ejemplo 1
log (x + 4) = log 2 + log (x + 1) log (x + 4) = log (2 · (x + 1))log (x + 4) = log (2x + 2)
x + 4 = 2x + 2x = 2
Se verifica la solución, remplazando x = 2 en la ecuación:log (2 + 4) = log 2 + log (2 + 1)
log 6 = log (2 · 3)Por lo que x = 2 satisface la ecuación.
Ejemplo 2log (x 2 – 18) = log 3 + log x
log (x 2 – 18) = log (3x)
x 2 – 18 = 3xx 2 – 3x – 18 = 0
(x – 6) (x + 3) = 0
x = 6 o x = –3
Al remplazar x = 6 se obtiene: log (62 – 18) = log 3 · 6. Por lo tanto,satisface la ecuación logarítmica.
Por otra parte, con x = –3 se obtiene log –9 = log 3 + log –3, pero lafunción logarítmica no está definida para un número negativo.Por lo tanto, x = –3 no es una solución de la ecuación.
Ejemplo 3log (x 2 – 1) = log (x – 1)
x 2 – 1 = x – 1
x 2 – x = 0
x(x – 1) = 0
x = 0 o x = 1
Para x = 0 se obtiene log (–1), que no está definido.Para x = 1 se obtiene log (0), que tampoco está definido.
Por lo tanto, esta ecuación logarítmica no tiene solución real, aunquealgebraicamente se determinaron valores. De aquí la importanciade comprobar siempre los resultados.
Las soluciones de una ecuación lo-garítmica deben comprobarse siem-pre, ya que la función logarítmicasolo admite valores positivos en susargumentos, y podría ocurrir quecon el valor de x encontrado no sesatisfaga esta condición.
Pon atención
aplicando propiedades de los
logaritmos
se aplican propiedades de los
logaritmos
igualando el argumento de ambos
logaritmos
al resolver esta ecuación de segundo grado se obtienen dos soluciones
igualando el argumento de
ambos logaritmos
se resuelve la ecuación de
segundo grado
se igualan los argumentos
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 47
48 | Unidad 1
En resumen
• Una ecuación logarítmica es una igualdad en la que intervienen logaritmos y donde la
incógnita forma parte de al menos uno de sus argumentos.
• Para resolver una ecuación logarítmica se debe manipular la ecuación, de modo de
escribirla de la forma logb f (x) = logb g(x), donde f (x) y/o g(x) son expresiones positivasque contienen la incógnita. Como la función logarítmica es siempre creciente, o bien
siempre decreciente, entonces:
logb f (x) = logb g(x) € f (x) = g(x). Luego, ahora se resuelve f (x) = g(x).
• Las soluciones de una ecuación logarítmica se deben comprobar siempre, ya que los logaritmos
solo se definen para valores positivos y podría ocurrir que el valor encontrado, al remplazarlo
en la ecuación, presente logaritmos de un número negativo o cero, es decir, en
logb f (x) = logb g(x) se tenga f (x) � 0 o g(x) � 0.
1. Obtén el valor de x en los siguientes casos.
a. log2
128 = x e. logx 100 =
b. f. log2
322 = x
c. log3
[log3
(5x + 2)] = 1 g. log3
{log3
[log3
(x + 25)]} = 0
d. log2
{log2
[log2
(2x – 8)]} = 0 h. log5
(5x – 4) – log5
(2x – 7) = 2
12
log x343 7 =
Actividades
Ejemplo 4log2 [log2 (5x + 6)] = 2log2 [log2 (5x + 6)] = log2 2
2
log2 (5x + 6) = 4
log2 (5x + 6) = log2 24
5x + 6 = 24
5x + 6 = 16
5x = 10, luego x = 2.
Comprobando, log2 [log2 (5 · 2 + 6)] = log2 [log2 16] = log2 4 = 2.
Igualando los argumentos.
Igualando el argumento de ambos logaritmos.
Ya que a = logb ba
Ya que a = logb ba
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 48
Función potencia y logarítmica | 49
Unid
ad 12. Determina el valor de x en cada caso. Explica el procedimiento que utilizaste.
a. d. log3
(3x – 2) = 2
b. log2
x + log2
6 = log2
30 – log2
5 e. log2
x2 + 3log2
x = 10
c. f. log2
(x + 1) + log2
(x – 1) = log2
8
3. Verifica si se cumplen las igualdades para cada valor de x.
a. log (x + 3) + log (x – 5) = 2 log (x – 6) Para x = 8, x = 6,5, x = 7,5
b. log (3x – 4) – log x + log 5 = log (15x + 2) – log (x + 2) Para x = 3, x = 5, x = 7
c. log (6x + 5) + log (2x + 7) = log (3x + 4) + log (x + 5) Para x = – , x = –3, x = 2
e. log x + 2 log x + log x3 – 5 log x = 2 Para x = 20, x = 50, x = 100
4. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. Comprueba, en cada caso, si los valores obtenidossatisfacen la ecuación.
a. log x – log 2 = 3 g. 2 log (2x – 1) – 2 = –2 log (3x – 4)
b. log x + log 7 = log 4 h.
c. 6 log x = log 64 + log i.
d.
j. log (x + 3) – log (2x – 1) = 0
e. log (x + 5) = log 2 k. log x3 – log x =
f. log (x – 4) + log x = log 5 l. log x – 1 + (log x) – 1 = –
36
log x
log x
32
3
3
22
+( )( )
=–�
log x log x7 71+ =
32
52
12
log x log x log+ + − =3 5 3
log x log log x92
92
−( ) = ( ) −
14
log xx
32 10
12−
+
=
x4
d. log (x + 7) – log (x + 5) = log (x2 + 10x + 25) Para x = 5, x = 0, x = –512
12
12
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 49
50 | Unidad 1
Aplicaciones de las ecuaciones logarítmicas
El pH es la escala de medida que diferencia el grado de acidez ode alcalinidad de una solución. Los químicos calculan el pH de unasolución (condición de ácido o base) mediante la expresión: pH = –log [H+], donde [H+] es la concentración de iones de hidrógenoen moles por litro.
Para calcular el pH de la sangre, basta remplazar el valor de [H+]en la expresión. Observa.
pH = –log (3,98 · 10–8) � 7,4
En cambio, para determinar el valor de [H+] del huevo, se debe re-solver la siguiente ecuación logarítmica:
–log x = 7,79 log x = –7,79 x = 10–7,79 � 1,62 · 10–8
Entonces, la concentración de iones de hidrógeno del huevo es1,62 · 10–8.
Analicemos...
• Determina el pH aproximado de la sangre si tiene [H+] = 3,98 · 10–
8.• Si el huevo tiene un pH = 7,79, determina [H+]. ¿Cómo lo calculaste?• Muchas soluciones tienen un valor de pH que fluctúa entre 1 y
14. ¿Qué valores de [H+] están asociados a esos valores extremos?
1. Encuentra [H+] aproximada, en cada caso, dados sus valores de pH, aplicando la estrategia anterior.
a. Bebida cola, pH = 2,5b. Vinagre, pH = 2,9c. Manzana, pH = 3,0d. Leche, pH = 6,5e. Jabón de manos, pH = 10
2. La lluvia más ácida que se ha medido ocurrió en Escocia, en 1974; su pH era 2,4. Determina laconcentración de iones de hidrógeno.
Actividades
Medidor de pH digital.
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 50
Función potencia y logarítmica | 51
Unid
ad 13. Los valores de pH para los vinos varían desde 2,8 a 3,8. Determina el rango correspondiente en
concentraciones de iones de hidrógeno.
4. Una famosa escala para medir la cantidad de energía liberada por un sismo es la escala de Richter,representada por la ecuación:
log E = 1,5 · R + 11,8
donde E: energía liberada, medida en ergios; R: magnitud del sismo, en grados de la escala Richter.
a. El terremoto de mayor magnitud registrado corresponde al ocurrido en 1960 en la ciudadde Valdivia, el cual alcanzó una magnitud de 9,5 grados Richter. ¿Cuánta energía se liberópor este sismo?
b. El terremoto acontecido el 3 de marzo de 1985, en San Antonio, fue de 7,8 grados Richter.¿Cuántas veces más energía liberó el terremoto de Valdivia que el de San Antonio?
c. Averigua acerca de otros terremotos ocurridos en nuestro país y compara su magnitud con elterremoto de Valdivia (busca información en la página web del Servicio Sismológico de laUniversidad de Chile http://ssn.dgf.uchile.cl/).
5. El nivel de decibeles del sonido (dB) se puede calcular mediante la siguiente fórmula: D = 10 log (I · 1012), donde I corresponde a la intensidad del sonido medido en W/m2.
a. Si se duplica la intensidad del sonido, ¿cómo cambia el nivel de decibeles del sonido?b. El umbral auditivo es la mínima intensidad de sonido que podemos oír, y corresponde
a 10–12 W/m2. Demuestra que el nivel de decibeles del umbral auditivo es cero.c. En una multitienda se vende un equipo musical que tiene 1000 W/m2 de salida.
¿A qué nivel de decibeles corresponde esta intensidad?d. Si en la misma tienda se ofrece otro equipo musical cuya intensidad es de 2000 W/m2,
¿corresponde al doble del nivel de decibeles del equipo anterior?, ¿por qué?
6. Completa la siguiente tabla.
• ¿Qué medidas implementarías para disminuir la contaminación acústica? Discútelo con tuscompañeros y compañeras.
Fuente Intensidad Decibeles
Susurro 10–10
Tráfico callejero 10–5
Posible daño auditivo 10–3,5
Cercano a un trueno 120
Umbral del dolor 130
Perforación instantánea del tímpano 160
Concierto de rock 101
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 51
52 | Unidad 1
• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.
• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote con el esquema anterior, responde en tu cuaderno.
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Qué características tiene la gráfica de una función logarítmica f (x) = logb x?3. ¿Qué características tiene el dominio de una función logarítmica?, ¿y el recorrido?
4. ¿En qué casos una función logarítmica es positiva?, ¿por qué?
5. ¿Cuál es la diferencia entre una escala lineal y una escala logarítmica?
6. ¿Cómo se puede resolver una ecuación logarítmica? Explica.
7. ¿Una ecuación logarítmica siempre tiene solución?, ¿por qué?
8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?,
¿cuál? Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
f (x) = logb x
f (x) = log x
Organizando lo aprendido
si su base es 10
cuando la
está en el
se denotan por
ECUACIÓN LOGARÍTMICA
INCÓGNITA
ARGUMENTO DE
UN LOGARITMO
ESCALAS LOGARÍTMICAS
MAGNITUD
DE UN SISMO
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
APLICACIONES
por ejemplo
pH
NIVEL DE INTENSIDAD
DEL SONIDO
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 52
Función potencia y logarítmica | 53
Unid
ad 1
Unid
ad 1
Mi progreso
50 y 51
46 a 48
1. Sin graficar, indica qué tipo de transformación presentan las gráficas en relación con la función f (x) = log x, en cada caso.
a. f (x) = log x – 7 c. f (x) = –log (x – 1)b. f (x) = log (x + 2) d. f (x) = 2 log x
2. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones. Comprueba, en cada caso, que los valores obtenidossatisfagan la ecuación.
a. log8
x – log8
3 – log8
7 = c.
b. log2
(x2 – 9x + 8) – log2
(x – 8) = 3 d.
3. El nivel de intensidad del sonido de un tren del Metro se midió en 98 dB. Determina la intensidad delsonido correspondiente en W/m2.
4. Determina cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera. Justifica tu decisión.
A. La función logarítmica es siempre creciente.B. Las ecuaciones logarítmicas siempre tienen solución.C. El dominio de una función logarítmica son todos los números reales.D. La gráfica de las funciones logarítmicas intersecan al eje X en el punto (1, 0).E. Ninguna de las anteriores.
13
log x log x log+ + − =3 5 3
log x
log x
42
4
8
32
+( )+( )
=
PÁGINAS DONDE SE TRABAJAÍTEMCRITERIO
• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.
¿Cómo voy?
Relacionar gráficas de funciones logarítmicas. 1 40 a 45
Resolver ecuaciones logarítmicas. 2
Resolver problemas asociados a ecuaciones logarítmicas.
3
40 a 49Reconocer propiedades de las funciones logarítmicas.
4
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 53
Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución delsiguiente problema.
La intensidad del sonido depende de la distancia entre el receptor yla fuente sonora. Los niveles de decibeles b1 y b2 a las distancias d1 yd2 de una fuente sonora están relacionados por la ecuación:
Si el nivel de intensidad de un concierto de rock es de 120 dB a unadistancia de 2 m de los altavoces, determina:
a. a qué distancia de los altavoces el nivel de intensidad es de 106 dB.b. el nivel de intensidad a 50 m de los altavoces.
Solución
a. Remplazando los datos en la ecuación, se obtiene:
106 = 120 + 20 · log
–0,7 = log
–0,7 = log 2 – log x
–1 � – log x
log x � 1
x � 10
Luego, aproximadamente a 10 m de distancia de los altavoces, elnivel de intensidad es de 106 dB.
b. En este caso, al remplazar se obtiene:
x = 120 + 20 · log
x = 120 + 20 · (2 log )x = 120 + 40 · (log 2 – log 10)
x � 120 + 40 · (0,3 – 1)
x � 120 + 40 · (–0,7) = 120 – 28 = 96
Luego, a 50 m de distancia de los altavoces el nivel de intensidad esde 96 dB, aproximadamente.
250
Cómo resolverlo
54 | Unidad 1
se aplican propiedades de logaritmos
se remplaza log 2 � 0,3
se despeja log 2x
ya que la base de log x es 10
pero = = ( )2
4100
250
210
aplicando propiedades de logaritmos
se remplaza log 2 0,3
β β2 11
220= + log
dd
2x
2x
210
Concierto de rock.
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 54
Función potencia y logarítmica | 55
Unid
ad 1Actividades
1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones:
a. Si el nivel de intensidad de una sirena de bomberos es de 100 dB a una distancia de 5 m del cuartel, determina a qué distancia de este el nivel de intensidad es de 68 dB.
b. Si la conversación entre dos amigos situados a 2 m entre sí es de 60 dB, calcula a qué distancia el nivel de intensidad de su conversación baja a 40 dB.
c. Si el nivel de intensidad de un avión despegando es de 130 dB a una distancia de 20 m de lapista de aterrizaje, determina a qué distancia de la pista el nivel de intensidad es de 96 dB.
d. Si el ruido de un secador de pelo funcionando a 50 cm es de 70 dB, calcula a qué distancia elnivel de intensidad de su sonido baja a 46 dB.
2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimientoanterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué?
3. Resuelve los siguientes problemas aplicando el procedimiento aprendido u otro. Compara el pro-cedimiento que utilizaste en cada caso con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es mássimple?, ¿por qué?
a. Los astrónomos utilizan la siguiente fórmula para determinar el diámetro d, en kilómetros,de los asteroides: log d = 3,7 – 0,2 · g, donde g es una cantidad llamada magnitud absolutadel asteroide.
• Determina el diámetro de un asteroide si su magnitud absoluta es 20.• Calcula el diámetro de un asteroide si su magnitud absoluta es 30. ¿Qué puedes concluir?• Determina la magnitud absoluta de un asteroide cuyo diámetro mide 5,8 kilómetros.
b. Felipe acaba de terminar un curso de física. Se estima que el porcentaje de los contenidosdel curso que él recordará dentro de t meses se puede calcular mediante la función R(t) = 94 – 46,8 · log (t + 1), para 0 � t � 48.
• Determina el porcentaje de los contenidos del curso que Felipe recordará dentro de 12 meses.
• Calcula dentro de cuánto tiempo Felipe recordará solo el 50% de los contenidos del curso.
• Determina dentro de cuánto tiempo Felipe recordará solo el 25% de los contenidos delcurso. ¿Qué puedes concluir?
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 55
56 | Unidad 1
En terrenoEn terreno
Sismo de 8,8 grados Richter y posterior tsunami
en la zona centro-sur de Chile
Un terremoto de 8,8 grados en l
a escala de Richter se registró la
madrugada del 27 de
febrero, afectando a la zona cen
tro-sur del país. El sismo ocurrió
a las 3:34 horas y
su epicentro se situó a 63 kiló
metros al suroeste de Cauquen
es, en la región del
Maule, informó el Servicio Sismo
lógico de la Universidad de Chi
le.
Según indicó la Oficina Nacional d
e Emergencia (Onemi), el sismo t
uvo una intensidad
máxima de IX grados en la esca
la de Mercalli en las regiones del Biobío
y La Arau-
canía; de VIII grados en las regi
ones Metropolitana, del Libertador G
ral. Bernardo
O’Higgins y del Maule, y de grad
o VI en las regiones de Valpar
aíso y de Los Ríos.
En las zonas de mayor intensid
ad, el movimiento telúrico se
prolongó por hasta
tres minutos.
Pero, sin duda, un trecho de ap
roximadamente 300 kilómetros
de costa de las re-
giones del Maule y Biobío fue el más afectad
o por el terremoto. Iloca, Consti
tución,
Pelluhue, Curanipe, Cobquecur
a, Dichato y Talcahuano, entre o
tras, fueron arrasa-
dos por el tsunami que siguió a
l terremoto. A estas localidades
hay que sumar una
tragedia similar en Juan Fernán
dez.
En Iloca, el sargento Molina advirtió la
s marejadas, por lo que empezó
a gritar que
la gente corriera hacia los secto
res altos y recorrió el borde cost
ero dando aviso con
un megáfono. Aunque en Iloca
hubo una gran destrucción, no
se registraron falle-
cidos gracias a la oportuna acci
ón de los carabineros.
Fuentes: Diario La Tercera, www.latercera.com, Diario El Mercurio, www.emol.com,
Oficina Nacional de Emergencia, www.onemi.cl, consultados en marzo de 2010.
Retén de Iloca, marzo de 2010.
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 25-10-12 18:27 Página 56
Actividades
1. Considerando la expresión log E = 1,5 · R + 11,8, donde E: energía liberada, medida en ergios yR: magnitud del sismo, en grados de la escala Richter, calcula la energía liberada en el sismo del 27 de febrero de 2010.
2. Calcula la cantidad de energía liberada en un sismo de grado 6 y en uno de grado 7. ¿Qué relaciónnumérica existe entre ambos valores?
3. ¿Qué aumento representa en la cantidad de energía liberada el incremento de un grado en la escalaRichter? Si el aumento fuera de dos grados, ¿cómo se incrementa la energía liberada?, ¿qué puedesconcluir?
Investiguemos...
Trabajen en un grupo de tres o cuatro personas y respondan:
1. La escala de Richter es logarítmica, ¿por qué?, ¿cuándo se dice que una escala es logarítmica?
2. ¿Qué otras situaciones o fenómenos se han modelado mediante una escala logarítmica?
3. Averigüen cuál es la diferencia entre la escala de Richter y la escala de Mercalli. ¿Por qué un mismotemblor puede tener distintos grados en la escala de Mercalli?, ¿ocurre lo mismo en el caso de la escala de Richter?
4. ¿Cuál es la diferencia entre un temblor y un terremoto?
5. ¿Cuáles han sido los terremotos más dañinos en Chile?, ¿y en tu región?, ¿por qué?
6. Realicen una encuesta en el curso o en el colegio preguntando, al menos:
a. ¿Sintieron el terremoto del 27 de febrero?, ¿dónde se encontraban?b. ¿Qué es lo primero que hacen cuando tiembla?c. ¿Cuál es el lugar más seguro de la casa (o de la escuela)?d. ¿Qué medidas de prevención se pueden tomar para evitar los daños que produce un temblor
fuerte o un terremoto?
7. Escriban un informe con todas sus conclusiones y preparen una presentación con sus resultados y unapropuesta con las medidas de prevención que podrían tomar en sus familias para disminuir los posiblesdaños que provocaría un terremoto.
Evaluemos nuestro trabajo
• ¿Qué aprendieron acerca de los terremotos?• ¿Cuál de los resultados de la encuesta les llamó más la atención?, ¿por qué?• Comparen sus conclusiones y su propuesta con las de sus compañeros y compañeras.
¿Presentaron ellos algo distinto a lo que ustedes concluyeron?, ¿qué les faltó?
Función potencia y logarítmica | 57
Unid
ad 1
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 57
58 | Unidad 1
Síntesis de la Unidad
A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye conellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican lasrelaciones que hay entre los conceptos.
A partir de lo trabajado en la Unidad, responde:
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Cuáles son las principales características de la representación gráfica de la función
potencia cuando el exponente es impar?
3. ¿Cuándo existe la función inversa de una función? Justifica.
4. ¿Qué estrategias se pueden aplicar para resolver una ecuación logarítmica? Explica.
5. ¿En qué casos una solución que se ha obtenido algebraicamente no corresponde a la solución
de una ecuación logarítmica?, ¿por qué?
6. ¿En qué situaciones o fenómenos sociales o naturales se utilizan escalas logarítmicas?
7. ¿Cómo se define el logaritmo en base b de un número?
8. ¿En qué casos se debe realizar un cambio de base? Explica.
9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA
DOMINIO
RECORRIDO
CAMBIO DE BASE
ECUACIÓN LOGARÍTMICA
EXPONENTE
ESCALA LOGARÍTMICA
LOGARITMOFUNCIÓN LOGARÍTMICA
FUNCIÓN INVERSA
BASEFUNCIÓN POTENCIA
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 58
Función potencia y logarítmica | 59
Evaluación
I. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
1. Los logaritmos son siempre positivos.
2. No existen logaritmos de números negativos.
3. Los logaritmos están definidos para bases positivas.
4. Las potencias de un número positivo son todas positivas.
5. loga x + logb x = logab x para todo valor de x, siendo a y b positivos.
6. La función f (x) = log x es creciente.
7. La gráfica de la función f (x) = log3
x pasa por el punto (2, 9).
8. Una función logarítmica es decreciente para valores negativos de x.
9. Una función potencia es siempre creciente.
10. La gráfica de una función logarítmica es siempre simétrica con respecto al eje de las abscisas.
11. El punto (1, 0) pertenece a la gráfica de cualquier función logarítmica.
II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades.
1. Expresa en la forma más reducida posible.
a. d. logb (a2 – a + 1) + logb (a + 1)
b.
e. logb (a3 + b3) – 2 logb (a + b)
c.
f. logb (a2 + 4a + 4) – logb a6
2. Calcula, en cada caso, el dominio de f (x). Explica el procedimiento que utilizaste.
a. f (x) = log (log x) c. f (x) = log x + log (– x)
b. d. f (x) = log (100 – x2)
3. Calcula el valor de x1
· x2, considerando que x
1y x
2son dos números reales positivos tales que:
4. Resuelve la siguiente ecuación. Explica, paso a paso, cómo la resolviste.
2 log (2x + 1) – 2 = –2 log (3x – 4)
13
12
f x log x log x( ) = ( ) − +2 5 6
log b loga ab+ −12
− + +12
logab log a log b
log log13 13 13+ −
Un
idad
1
logx x
log x log x1 21 23
12
⋅
= +( )
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 25-10-12 18:29 Página 59
60 | Unidad 1
1. La función inversa de g(x) = x3 + 1 es:
A.
B.
C.
D.
E.
2. Si k (x) = 3x3 – 4, entonces k–1 (20) es:
A. 1B. 2C. 4D. 8E. Ninguna de las anteriores.
3. Si f (x) = 2x + 3, entonces f –1 (33) es:
A. 15 B. 18 C. 30D. 69 E. 70
4. El recorrido de f (x) = 2x2 + 5 es el conjunto:
A. [5, + �[B. ]5, + �[C. IR+
D. IR–
E. IR0+
5. ¿Cuál es la función que corresponde a la siguiente gráfica?
A. f (x) = 2x3
B. f (x) = x3– 2
C. f (x) = (x – 2)3
D. f (x) = (x + 2)3
E. Ninguna de las anteriores.
6. Si logb 3 = – , entonces el valor de b es:
A. 3–1
B.
C. 9
D. 12
E. 27
7. Si pH = –log [H+], determina [H+] si el pH de unasustancia es 6,8.
A. 1,58 · 10–7
B. 6,8 · 10–7
C. –6,8 D. 1,58 · 107
E. 6,8 · 107
127
13
x +( )1 33
x −( )1 33
x − 13
x x+ 3
x3 1−
III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso.
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 60
Función potencia y logarítmica | 61
8. Si logb 16 = –2, entonces el valor de b es:
A.
C. 4
D. 2
E. 4 y – 4
9. La solución de la ecuación es:
A. 10B. 1C. 1 y –1D. 3E. Todos los números reales.
10. Encuentra el valor de x en la ecuaciónlog2 x + log2 x = 2
A. x = 0 B. x = 3C. x = 1 D. x = 2,5E. x = 2
11. Al aplicar la definición de logaritmo a la expresión log3 5 = a, resulta:
A. a3 = 5B. a5 = 3C. 53 = aD. 35 = aE. 3a = 5
12. La siguiente fórmula relaciona los decibelessegún la intensidad de un amplificadorD = 10 · log (I · 1012) (con I : intensidad). Si en un amplificador de sonido se triplica la intensidad, ¿en cuánto aumentan los decibeles?
A. Aproximadamente 4 unidades.B. Aproximadamente 5 unidades.C. Aproximadamente 10 unidades.D. Aproximadamente 12 unidades.E. Ninguna de las anteriores.
13. Si en el mismo amplificador se aumenta de I a 5I, ¿cuántos decibeles, aproximadamente,aumenta D?
A. 5B. 15C. 7D. 70E. 10
14. Una expresión equivalente a
· (3 loga x – 5 loga y – 30 loga z) es:
A.
B.
C.
D.
E. Ninguna de las anteriores.
log x3 3 1
2=
12
14 U
nid
ad 1
log x
y za
3
5 30+
log xy za
35 30+
log x
y za
3
5 30+
B. y – 14
14
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
log xy za
35 30+
UNIDAD 1 (12-61)C _Maquetación 1 08-10-12 18:08 Página 61
Función exponencial2
62 | Unidad 2
Función inversa
Logaritmos y sus propiedades
Número e
Función exponencial y su gráfica
Resolver ecuaciones exponenciales.
Utilizar la función exponencial para modelar situaciones o
fenómenos naturales o sociales y resolver problemas.
Analizar el comportamiento gráfico y analítico de la función
exponencial.
Crecimiento y decrecimiento exponencial
Analizar el crecimiento y decrecimiento de funciones
exponenciales.
Reconocer las funciones exponenciales y logarítmicas una como inversa de la otra.
TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A:
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:12 Página 62
Función exponencial | 63
Conversemos de...
Los biólogos han observado que, aunque una especie se reproduzca naturalmente, factores comola existencia de predadores o la escasez de alimentos limitan el crecimiento de su población. Así,para asegurar su preservación, algunas especies producen numerosos descendientes, pero con unaalta mortalidad. En cambio, otras producen pocos descendientes con una mayor probabilidad de su-pervivencia. Y, de hecho, muchas especies se basan en una estrategia intermedia. Por ejemplo, latortuga verde de mar que se observa en la imagen deposita entre 100 a 200 huevos en la arena,pero cuando las crías van rumbo al agua, depredadores como las gaviotas o los cangrejos atra-pan muchas de ellas. Actualmente, es una especie declarada en peligro de extinción, por lo quees ilegal importar, exportar, matar, capturar o perturbar esta especie de tortugas. La ecuación
permite estimar la población de una especie a lo largo del tiempo, donde
P0 es su población inicial, K es su capacidad de persistencia y r, su tasa de crecimiento.
1. ¿Cuál es la variable independiente en esta función?, ¿cuál es la variable dependiente?2. ¿Podrías calcular P (t), dados los valores de K, r y P0 correspondientes?, ¿por qué?3. ¿Qué representa e en la ecuación?, ¿cuál es el valor de e?4. Busca tres ejemplos de animales que manifiesten las estrategias descritas, en cada caso.
P tK P e
K P e
r t
r t( ) =⋅ ⋅
⋅ ⋅ −( )0
0 1
Latin
stoc
k
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:12 Página 63
64 | Unidad 2
¿Cuánto sabes?
1. Determina el dominio y el recorrido de las siguientes funciones reales:
a. c.
b. d.
2. A partir de las siguientes gráficas, escribe una posible representaciónalgebraica de esas funciones y determina su dominio y recorrido, encada caso.
a. c.
b. d.
3. Grafica las siguientes funciones.
a. c.
b. d. i(x) = 25 – x2g x x( ) = − +1 4
h xx x
x( ) = −
42
f x x x( ) = − +2 16 6
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.
f xx
( ) =−
2
12
g x x
x( ) =
−2
42
h xx x
( ) =−4
i x x( ) = − +216 4
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:12 Página 64
4. Escribe la ecuación igualando las bases y determina el valor de x, encada caso.
a. d.
b. e.
c. f.
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.
Función exponencial | 65
Unidad
2
¿Qué debes recordar?
• Una función es una relación que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento f (x) de un conjunto B, donde A se conoce como dominio (dom( f )) de la función yB es el conjunto de llegada o codominio. El conjunto de valores que la función puede tomarse conoce como imagen o recorrido (rec ( f )).
• Una función f es creciente en el intervalo ]a, b[ con a, b � R, si dados x e y cualesquiera enese intervalo, se tiene x < y fi f (x ) < f (y ).
• Una función f es decreciente en el intervalo ]a, b[ con a, b � R, si dados x e y cualesquiera en ese intervalo, se tiene x < y fi f (x ) > f (y ).
• La representación gráfica de una función permite observar algunas de sus características,como su crecimiento o decrecimiento, el dominio y el recorrido, las intersecciones con losejes, etc. Por ejemplo:
Función Afín lineal: Función cuadrática: Función logarítmica: y = ax + b y = ax 2 + bx + c y = log x
• Para resolver una ecuación exponencial se pueden igualar las bases de las potencias y,luego, resolver la ecuación que se obtiene de igualar los exponentes.
5 252 1x− = 1 02 5 84− =− −ax x
31
272 14 6
2 422
− + −− +
=
x xx x
2 0 52 3 3 2x x+ += ( ),
1
9
1
32 12x =
14
83 2
2
=
− xx
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:12 Página 65
66 | Unidad 2
Función exponencial
Observa las siguientes gráficas:
Las gráficas anteriores son ejemplos de la función exponencial.
Un método posible para determinar la expresión algebraica querepresenta a una función conocida, a partir de la gráfica, es uti-lizar su tabla de valores.
Observa que en la tabla correspondiente al gráfico A, los valoresde y son exactamente potencias de 2, cuyos exponentes son loscorrespondientes valores de x. Es decir, y = 2x. Luego, la expresiónalgebraica que representa a la función del gráfico A es con x � IR.
Y la expresión algebraica que representa a la función del gráfico B
es , con x � IR.f xx
( ) = ( )12
f x x( ) = 2
• A partir de la gráfica, en cada caso, ¿cuál es el valor de y parax = –2?, ¿para x = 0?, ¿y para x = 1?
• En cada caso, ¿qué sucede con el valor de y a medida que xaumenta?, ¿y a medida que disminuye? Explica.
• ¿Cuál podría ser el dominio y el recorrido de cada función?• Según la gráfica, ¿se interseca cada función con cada uno de los
ejes?, ¿en qué puntos?• ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre las gráficas?• Estas gráficas, ¿se parecen a las gráficas de alguna función que
conozcas?, ¿por qué?
Analicemos...
x y
–112
0 1
1 2
2 4
3 8
x y–2 4–1 2
0 1
112
214
A B
Glosario
función exponencial: toda funcióncuya variable se encuentre solo enel exponente de una potencia.
Su representación algebraica es
con x � IR y a > 0,
a � 1.
f x ax( ) =
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 66
Función exponencial | 67
Unidad
2Observa ahora las siguientes gráficas para determinar las caracterís-ticas de la función exponencial.
Caso I: Función exponencial , con a > 1. En el sistemade coordenadas se han graficado las siguientes funciones:
, , ,
Las gráficas sugieren que:
• El dominio de la función exponencial , para losdistintos valores de a > 1, son todos los números reales.
• Su recorrido son los números reales positivos. • La función es creciente para todo valor de x, es decir
ax < ay cuando x < y. • La gráfica de la función interseca al eje Y en el punto (0, 1).
En cambio, es asintótica al eje X.
Caso II: Función exponencial , con 0 < a < 1. En el sistemade coordenadas se han graficado las siguientes funciones:
, , ,
Las gráficas sugieren que:
• El dominio de la función exponencial , con 0 < a < 1,son todos los números reales; y el recorrido, los númerosreales positivos.
• La función es decreciente para todo valor de x, es decir ax > ay
cuando x < y. • La gráfica de la función interseca al eje Y en el punto (0, 1).
En cambio, es asintótica al eje X.
Comparando los dos casos, ¿qué puedes concluir?
f x ax( ) =
f x ax( ) =
f x ax( ) =
f x ax( ) =
f x x1 2( ) = f x x
2 4( ) = f x x3 9( ) = f x x
4 100( ) =
f xx
112
( ) =
f x
x
214
( ) =
f x
x
319
( ) =
f x
x
41
100( ) =
Una función se dice creciente si x1< x2, entonces f (x1) < f (x2). En cambio, si cuando x1< x2, setiene que f (x1) > f (x2), la funciónes decreciente.
Recuerda que...
Glosario
asintótica: dicho de una curva, quese acerca continuamente a una rectasin llegar nunca a intersecarla.
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 67
68 | Unidad 2
1. Sin construir las tablas de valores ni las gráficas, indica si las siguientes funciones son crecienteso decrecientes. Justifica.
a. c. e. f (x) = ( )x
b. d. f. f (x) = (1,2)x
2. Determina, en cada caso, la función exponencial f (x) = ax que pasa por los siguientes puntos.
a. (3, 216) d. (3, 343) g. (–3, 8)b. (–1, 5) e. (–4, 0,0625) h. (2, 0,16)c. (4, 4096) f. (m, 5m) i. (7, 128)
3. Grafica las funciones y ( )xen el mismo plano cartesiano, y determina en el
gráfico el valor aproximado, en cada caso, para:
a. b. c.
4. Dada la función exponencial , indica cuál o cuáles de las siguientes proposiciones son correctas. Justifica.
a. b.
5. Grafica las siguientes funciones. Luego, determina su dominio, recorrido, si es creciente o decrecientey su punto de intersección con el eje Y, en cada caso.
a. d.
b. e.
c. f.
• Explica el procedimiento que utilizaste para realizar esta actividad.
6. Grafica f (x) = 1x.
a. ¿Qué semejanzas y diferencias observas, respecto de las funciones anteriores?
b. Respecto de los ejes de coordenadas, ¿qué tipo de gráfica es?
74
f xx( ) = ( )0 09,
34
Actividades
f x x( ) = 3 g xx
( ) =
14
f x x( ) = 675
f x x( ) = 0 001,
f xx
( ) =
45
f x x( ) = 2 01,
f m f m−( ) = ( )−1f n m f n f m+( ) = ( ) ⋅ ( )
x1 0 5= , x245
=
f x x( ) = 5 f x x( ) = +2 1
f x x( ) = −+3 92
f x x x( ) = − −3 3
f xx( ) = 1
4
f x x( ) = 2
x3 2 5= − ,
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 68
En resumen
La función exponencial, f ( x ) = ax, con a � IR+ – {1} y x � IR, posee las siguientes características:
• El dominio de la función son los números reales.
• El recorrido de la función son los números reales positivos.
• La curva asociada a la función interseca al eje de las ordenadas en el punto (0, 1).
Si a > 1, la función es creciente. Si 0 < a < 1, la función es decreciente.
• Caso particular: , es decir:
f ( x ) = a x, con a = 1. Se observa que paratodo valor real de x se tiene que ,
que corresponde a una función cons-
tante, por lo que no se habla de una fun-
ción exponencial.
f x x( ) = 1
f x( ) = 1
Función exponencial | 69
Unidad
27. Grafica en un mismo sistema de coordenadas y .
a. Determina, en cada caso, su dominio y recorrido.b. Indica si estas funciones son crecientes o decrecientes. Justifica.c. Observa sus gráficas. ¿Qué puedes concluir?
f x x( ) = 2 g xx
x( ) =
= −1
22
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 69
70 | Unidad 2
Herramientas tecnológicas
GeoGebra es un software libre que relaciona aritmética, geometría, álgebra y cálculo. Por una parte, esun sistema de geometría interactiva, en el que se pueden construir puntos, vectores y rectas, y luego modi-ficarlas dinámicamente. Pero también se pueden ingresar las ecuaciones y coordenadas directamente yobtener las gráficas correspondientes. Esto permite construir y analizar gráficas de diversas funciones.
Para descargar este programa ingresa a www.geogebra.org/cms/es. Pulsa el botón Descarga, yluego haz clic en el botón Applet Start. De este modo podrás trabajar con este software sin tenerla necesidad de instalarlo en tu computador.
• Para graficar una función, se debe escribir directamente en la celda Entrada, ubicada en la parte
inferior de la ventana. Si la función tiene potencias, los exponentes se escriben usando el símbolo ^.Por ejemplo, para graficar se escribe y se presiona enter.
• Si la función tiene base fraccionaria, se debe escribir el número entre paréntesis y usar /
para escribir la fracción, por ejemplo: .
• Si la función tiene un polinomio en el exponente, como por ejemplo: , se debe
escribir este exponente entre paréntesis, así: .
f x x( ) = ∧2
f x x( ) = −( )∧2 1
f x x( ) = −( )21
f x x( ) = ( )∧1 2
f x x( ) = 2
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 70
Función exponencial | 71
Unidad
2
1. Utilizando GeoGebra, grafica las siguientes funciones.
a. e.
b. f.
c. g.
d. h.
2. Observa las gráficas de las funciones. Luego, responde.
a. ¿Cuál es el dominio de cada función?, ¿cuál es el recorrido? b. ¿Es creciente o decreciente?c. ¿En qué punto intersecan al eje de las ordenadas?
3. Utilizando GeoGebra, grafica en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones.
a. e.
b. f.
c. g. f ( x ) = 2x + 1
, g ( x ) = 2x – 1
d. h.
4. Observa las gráficas de las funciones. Luego, responde en cada caso.
a. ¿Cuál es el dominio y el recorrido de las funciones?b. ¿En qué punto se intersecan con los ejes de coordenadas? c. ¿En qué punto se intersecan ambas curvas?d. En relación a las primeras cuatro funciones, observa las gráficas en cada caso,
¿existe alguna simetría entre ellas? Si la hay, identifica el eje de simetría.e. De las segundas cuatro funciones, ¿qué puedes concluir respecto de sus gráficas?
f x x( ) = 2
f x x( ) = 22
f x x( ) = ⋅4 3
f x x( ) = −3
f x x( ) = −5
f x x( ) = −4
1
f x x( ) = −1 2
f xx
( ) =
13
f x g xxx
( ) = ( ) =
515
,
f x g xx
x( ) =
( ) =1
77,
f x g xx x( ) = ( ) = −3 3,
f x g xx x( ) = − ( ) =2 2,
f x g xx x( ) = ( ) =3 2 2 2· , ·
f x g xx x
( ) =
( ) =
212
312
· , ·
f x g xx x
( ) =
( ) =
− +13
13
1 1
,
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 71
Observa las gráficas de la función exponencial y la función loga-rítmica, para cada caso:
Caso I: Si b > 1 Caso II: Si 0 < b < 1
72 | Unidad 2
Función exponencial y función logarítmica
Función inversa: la función inversade f (x) = y corresponde a la fun-ción g que al evaluar el elemento yse obtiene a x de tal forma queg (f (x )) = x.
Siempre y cuando se cumpla:
•
•
• f (x) = f (y) si y solo si x = y
Esta función g usualmente se
representa por .f x− ( )1
Dom f Recg=
Rec f Domg=
Recuerda que...
• En el primer caso, en relación a la gráfica de y = x, ¿qué puedes concluir respecto de las gráficas de f (x) y g (x)?, ¿ocurrirá lomismo para cualquier valor de b > 1? Explica.
• En el segundo caso, ¿también ocurre lo mismo? Explica.• ¿La función exponencial y la función logarítmica son funciones
inversas? Justifica.
f (x) = bxf (x) = bx
y = x
g(x) = logb x
g(x) = logb xy = x
Analicemos...
En las gráficas anteriores, se puede observar que:
• Ambas funciones son simétricas entre sí con respecto a la rectay = x.
• El dominio de la función logarítmica es el conjunto de losreales positivos, lo cual corresponde al recorrido de la fun-ción exponencial.
• El recorrido de la función logarítmica es el conjunto de los nú-meros reales y corresponde al dominio de la función exponencial.
Para justificar el hecho de que son funciones inversas, se calcula lafunción inversa de la función exponencial y se compara con la fun-ción logarítmica. Observa.
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 72
Función exponencial | 73
Unidad
2
Para determinar la función inversade una función, se puede despejarla variable independiente en térmi-nos de la variable dependiente y,luego, se intercambian las variablesx e y en la expresión resultante. Sinembargo, hay funciones para las queeste procedimiento no es útil, comola función cuadrática, por ejemplo.
Recuerda que...Dada , con a > 0, a � 1, se determina la función inversa, paraesto se puede despejar x en términos de y.
Para escribir la función inversa, se remplaza x por y. Luego,. y log xa
− =1
y ax=
y ax=
log y logax=
log y x loga= ·
xlog yloga
=
x log ya=
se aplica logaritmo ya que y y a son números positivos
ya que a � 1
utilizando la propiedad de cambio de base, se tiene que
En resumen
• Sea y = ax una función exponencial, su función inversa está dada por . y log xa− =1
1. Aplicando el procedimiento anterior, determina la función inversa de las siguientes funciones.
a. e.
b. f.
c. g.
d. h.
2. Dada la función , determina su función inversa y grafícalas en un mismo sistema cartesiano.
3. Dadas las funciones exponencial f ( x ) = 3xy logarítmica .
a. Represéntalas en un mismo sistema de coordenadas. b. Determina su dominio, recorrido, intersección con los ejes de coordenadas, y si son crecientes
o decrecientes, en cada caso.c. Observa sus gráficas, ¿qué puedes concluir?
y x= 4
g x log x( ) = 3
Actividades
y x= 2
y x= 3
yx
=
54 y log x= 2
5
y log x= 34
yx
=
157
y log x= 6
y log x= 9
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 73
74 | Unidad 2
Aproximándonos al número e
Considera la situación siguiente, en la que se aplica un interés compuesto:
Si se invierte, por ejemplo, $ 1 000 000 con un interés del 100% anualy se liquida al terminar el año, se obtendrán, en total, $ 2 000 000.Ahora, si se pagaran intereses cada seis meses, pero dividiendo elinterés anual en dos partes, la cantidad obtenida corresponde aaplicar un 50% de interés al capital, de $ 1 000 000, y al resultadode esto, aplicar nuevamente un 50% de interés, es decir:
Y si se dividiera el año en cuatro períodos (cada uno de tres meses),al igual que la tasa de interés, se aplica al capital cuatro veces elinterés de 25%, sucesivamente, y se obtiene:
1000 000 1 14
2 4414064
⋅ +
=
1000 000 1 12
2 250 0002
� � �⋅ +
=
De igual forma, en el caso de pagos mensuales, el monto obtenido
corresponde a .
Y, en general, la función que representa el factor por el cual se mul-
una calculadora o una planilla de cálculo, observa que, a medidaque el valor de x aumenta, el valor de f (x ) se aproxima a 2,71828...esto es, al número e.
El número e se define como el valor al que se aproxima la expresión
cuando x toma valores muy grandes. Es un número irracional,
cuya expresión decimal es, aproximadamente, 2,7182818284.
Entonces, en la situación inicial, aunque se pudiera dividir infinita-mente el interés aplicado en un año, el monto obtenido nunca su-peraría los $ 2 718 281.
1 1+
x
x
1000 000 1 112
2 613 03512
⋅ +
=�
Glosario
interés compuesto: se refiere a laganancia del capital a una tasa de interés durante un cierto períodode tiempo, en el cual los interesesobtenidos al final de cada períodono se retiran, sino que se añadenal capital. Por lo tanto, los intere-ses se reinvierten, produciendo uncapital final.
Analicemos...
• Si el interés se aplicara ahora cada dos meses, ¿a cuánto asciendeel monto obtenido?, ¿y si se aplicara cada mes?
• ¿Cuánto se obtiene aplicando el interés cada semana?, ¿y cada día?• Si el interés se pudiera aplicar en fracciones de tiempo más pequeñas
aún, ¿se alcanza a obtener $ 3 000 000 en un año?, ¿por qué?
f (x )
tiplica el monto inicial, está dada por . Utilizandof xx
x( ) = +
1 1
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 74
Función exponencial | 75
Unidad
2La función exponencial más utilizada, por sus características y susdiversas aplicaciones científicas, es , cuya base es elnúmero e, llamado número de Euler.
Observa que conserva las características de las funciones exponenciales:
• El dominio de la función son los números reales. • El recorrido son los números reales positivos. • La gráfica de la función interseca al eje de las ordenadas en el
punto (0, 1).
A partir de y = ex, para obtener la función inversa depodemos despejar la variable x. Siguiendo el mismo desarrollo queen el caso de y = ax, se obtiene , que, por notación, seescribe como .
f x ex( ) =
x lny=x log ye=
f x ex( ) =
Por lo tanto, . f x lnx− ( ) =1
En resumen
• A medida que los valores de x se hacen cada vez más grandes, el valor de la función
se aproxima crecientemente al número e = 2,71828182845...f xx
x( ) = +
1 1� �
• La función inversa de la función exponencial natural , es la función logarítmica natural, f (x) = ln x.
y ex=
1. En cada una de las siguientes funciones, determina su dominio y su recorrido, la intersección conlos ejes de coordenadas y si es creciente o decreciente.
a. f (x) = ex + 1 b. f (x) = –ex + 1 c. f (x) = e2x d. f (x) = e –2x
2. Justifica las siguientes identidades:
a. ax = ex ln a, con a > 0. b. loga x =
3. En un mismo sistema de coordenadas, grafica las funciones f (x) = ln x, g(x) = ex.
a. Indica los puntos de intersección con los ejes. b. Determina el dominio y recorrido de cada función. c. ¿Sus gráficas son simétricas? Explica.
ln xln a
Actividades
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 75
76 | Unidad 2
• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.
• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿En qué casos una función exponencial es creciente?
3. ¿Cómo se define el número e?, ¿cuál es su valor?4. ¿Qué características tiene la gráfica de una función exponencial? Explica.
5. ¿Cuál es la función inversa de la función exponencial?, ¿cómo se puede determinar?
6. ¿Cómo se relacionan las gráficas de las funciones inversas, en general?
7. ¿Cuál es la diferencia en la función f ( x ) = ax, según si a > 1 ó 0 < a < 1?8. ¿En qué punto la función exponencial interseca al eje Y?, ¿y al eje X?9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Organizando lo aprendido
FUNCIÓN EXPONENCIAL
se denota por
es una
0 < a < 1
FUNCIÓN DECRECIENTE
FUNCIÓN INVERSA
es una
FUNCIÓN CRECIENTE
a > 1
NÚMERO e
llamada
con caso particular
cuya base es el
FUNCIÓN EXPONENCIAL
NATURAL
en ambos casos su
FUNCIÓN LOGARÍTMICA
es la
f ( x ) = ex
según el valor de a si
f ( x ) = ax
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 76
Mi progreso
Unidad
2
1. Indica el dominio, el recorrido y el punto de intersección con cada eje, de las siguientes funciones.
a. b. c.
2. Determina la función inversa de las siguientes funciones.
a. b. c.
3. En cada uno de los siguientes puntos, la gráfica de una función exponencial f ( x ) = ax pasa por elpunto dado. Determina la función f.
a. b. c.
4. Clasifica las siguientes funciones en crecientes o decrecientes, según su representación algebraica. Además, determina su dominio y recorrido.
a. b. c.
5. En relación a la función , determina cuál de las siguientes alternativas es verdadera.
A. El dominio de f (x ) son los números reales positivos.B. f (x ) es siempre decreciente.C. El recorrido de f (x ) son los números reales.D. El valor de f (5) = 324E. La gráfica de f (x ) pasa por el punto (3, 3).
– , �11
9
3 9, e( ) 223, e
−
y x= 52 y log x= 8 y ln x= 4
f x x( ) = −3 f xx( ) = 1
6f x x( ) = 4
f xx
( ) =
15
f x x( ) = ( )0 6,f x x( ) = 5
• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.
¿Cómo voy?
Función exponencial | 77
f x x( ) = −3 2� �
CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA
Identificar el dominio y el recorrido de una función exponencial.
1, 4 y 5 66 a 69
Calcular la función inversa de una función exponencial dada.
2 72 a 75
Reconocer la representación algebraica de la funciónexponencial, cuya gráfica pasa por un punto dado.
3 y 5 66 a 69
Clasificar funciones exponenciales según si son crecientes o decrecientes.
4 y 5 66 a 69
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 77
78 | Unidad 2
Ecuaciones exponenciales
Para recuperarse, la dosis inicial que ingiere Carla es de 10 mg a las8:00 horas. Luego, el medicamento es eliminado paulatinamentedel cuerpo por medio de la orina. La cantidad que queda en elcuerpo t horas después está dada por C( t ) = 10 · 0,8t. Para que elmedicamento haga efecto, el cuerpo debe tener al menos 2 mg.
Analicemos...
• ¿Cuánto tiempo estimas que el medicamento sigue haciendoefecto?, ¿dos horas, seis, doce?, ¿por qué?
• ¿A qué hora (aproximadamente) dejará de hacer efecto el medi-camento?, ¿cómo lo supiste?
La ecuación exponencial que permite responder la situación pre-sentada es 10 · 0,8t = 2. Para resolverla, una posibilidad es intentarigualar las bases y resolver la ecuación correspondiente a sus expo-nentes. Cuando esto no es posible, como en este caso, se puedenaplicar logaritmos a ambos lados de la ecuación, para así obteneruna ecuación lineal.
10 · 0,8t = 2 0,8t = 0,2
t · log 0,8 = log 0,2
Como y = 10 · 0,8t es una función decreciente, ya que 0 < 0,8 < 1,el medicamento dejará de hacer efecto después de 7 horas, aproxi-madamente, ya que, después de las 15:00 horas, Carla tendrámenos de 2 mg en el organismo.
Ejemplo 1Resuelve la siguiente ecuación exponencial: ax + 3 = b 2x + 5, con ay b positivos y, en este caso, a � b2.
ax + 3 = b2x + 5
Glosario
ecuación exponencial: igualdad enla que intervienen potencias, enuno o en ambos lados de la ecuación,y en la que la incógnita se encuentraen al menos uno de sus exponentes.
se aplica log, ya que 0,8 y 0,2 sonpositivos
ya que, en este caso, a � b2, se tiene que log a – 2 · log b � 0
se aplica logaritmo y suspropiedades, ya que ax + 3 y b2x + 5 son expresiones positivas
utilizando propiedad distributiva
agrupando y factorizando lostérminos de la incógnita
xlog b loga
loga log b= ⋅ − ⋅
− ⋅5 3
2
x loga x log b+( ) ⋅ = +( ) ⋅3 2 5
x loga loga x log b log b⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅3 2 5
x loga log b log b loga⋅ − ⋅( ) = ⋅ − ⋅2 5 3
Antes de aplicar logaritmos a unaecuación, se debe comprobar que lasexpresiones a cada lado de la igual-dad son necesariamente positivas(para cualquier valor de la incógnita).
Pon atención
tloglog
= ≈0 20 8
7,,
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 78
Función exponencial | 79
Ejemplo 2Resuelve la ecuación 16x
2 – 4x – 1 = 32
Aplicando logaritmo, ya que ambos lados de la igualdad son positivos,
(x 2 – 4x – 1) log 16 = log 32
x 2 – 4x – 1 = = log16 32 =
4x 2 – 16x – 9 = 0
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son x1 = y x2 = –
log 32log 16
54
12
92
Unidad
2
• Una ecuación exponencial es una ecuación en la que intervienen potencias, en uno o enambos lados de la igualdad, y en la que la incógnita se encuentra en al menos uno desus exponentes.
• Para resolver una ecuación exponencial, si no es posible igualar las bases, se debe aplicarlogaritmos y sus propiedades para obtener una ecuación no exponencial. En este caso,hay que comprobar previamente que las expresiones son siempre positivas, ya que ellogaritmo de un número negativo no existe.
Siempre se debe remplazar el valorobtenido como solución en laecuación original, para comprobarque realmente la satisface, y veri-ficar que es pertinente al contextodel problema.
Pon atención
aplicando la ecuacióncuadrática
x = ± − ⋅ ⋅ −( )⋅
= ±16 16 4 4 92 4
16 4008
2 � � � �� �
1. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales, igualando las bases.
a. 83x + 1= 32x b. 81x2 – 1= 27–(7 – 5x ) c. 8–3x · 2x + 1 = 4x + 2
2. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales, mediante logaritmos.
a. 22x + 1 = 3x + 5 d. 5 · 23x = 9 g. 3x + 5 – 3x + 2 + 3x = 506
b. 4x2 – 1= 154 e. 4x + 2 = 93x – 4 h. 22(x + 3) + 22(5 + x) = 3264
c. f. a3x + 4 = b2x – 3 i. (2401)x2 – 2x = 16 8073 7682
x
=
Actividades
En resumen
Luego, x 2 – 4x – 1 = 54
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 79
80 | Unidad 2
Ecuaciones exponenciales con base e
El señor Molina fue encontrado muerto en su oficina. Cuando laPolicía llegó al lugar, a las 12:00, la temperatura del cadáver era de29 °C y la de la oficina era de 23 °C. Más tarde, a las 13:30, la tem-peratura del cuerpo bajó a 27 °C.
La Policía estimó la hora de muerte del señor Molina, aplicando laley de enfriamiento de Newton, que se expresa algebraicamentepor: , donde t es el tiempo transcurrido, k > 0 esuna constante y D es la diferencia de temperatura entre el estadoinicial y la del ambiente T0.
Glosario
ley de enfriamiento de Newton:relaciona la temperatura de un objeto,según el tiempo transcurrido, y latemperatura del medio en el que seencuentra, y que se puede enunciarcomo: “La rapidez con que un objetose enfría es directamente proporcionala la diferencia de temperaturas entreel objeto y el medio que lo rodea”.
T t T e kt( ) = + ∆ ⋅ −0
Cuando se aplica un cambio de va-riable, luego de resolver la ecuaciónse debe remplazar la variable, demodo que la solución se entregueen la variable original.
Pon atención
Analicemos...
• ¿A qué hora estimas que falleció el señor Molina?• Según estos datos, ¿cuál es el valor de la constante k, en este caso?• Si la temperatura normal del cuerpo humano es 36,5 °C, ¿a qué
hora ocurrió el deceso? Explica.
Para resolver esta situación, se puede aplicar la ley de enfriamientode Newton. Remplazando los datos T0 = 23 y D = 29 – 23 = 6, se tiene:
y se obtiene: k = 0,27031. Luego, la función es
Ahora, para calcular cuánto tiempo ha transcurrido desde su muerte,se remplaza el valor de la temperatura normal, 36,5:
, que es equivalente a 2,25 =
Al resolver esta ecuación, se obtiene t = –3, con lo que se concluyeque el deceso ocurrió 3 horas antes de que llegara la Policía, es decir,a las 9 de la mañana.
Ejemplo 1Resuelve la ecuación e 2x + 5 · ex – 14 = 0
(u – 2) (u + 7) = 0
e t−0 27031,365 23 6 0 27031, ,= + ⋅ −e t
T t e t( ) = + ⋅ −23 6
0 27031,
una hora y media después, la temperatura del cadáver era de 27 °C, es decir, t = 1,5 y T(1,5) = 27
como la base es e, en este caso, se aplica logaritmo natural
ln ln e k23
15( ) = ( )− ,
27 23 615= + ⋅ − ⋅
� �� � ,e k
T t e kt( ) = + ⋅ −23 6� � � �
realizando un cambio de variable: u = exu u2 5 14 0+ ⋅ − =
luego, u = 2 o bien u = –7
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 80
Función exponencial | 81
Unidad
2Ahora, se remplaza en la expresión correspondiente al cambio devariable: ex = 2, o bien ex = –7.
Al resolver e x = 2, se obtiene x = ln 2. En cambio, e x = –7 no tiene solución.
Por lo tanto, la solución de e 2x + 5 · ex – 14 = 0 es x = ln 2.
Ejemplo 2Resuelve la ecuación .
Como la incógnita x está como factor y también en el exponente,es necesario reescribir la ecuación antes de igualar exponentes oaplicar logaritmos.
Por propiedades de la multiplicación, si el producto de dos o másnúmeros es igual a cero, entonces por lo menos uno de los factoreses igual a cero. Esto permite separar la ecuación en tres ecuaciones,en este caso.
x + 5 = 0 x – 1 = 0 ex = 0.
Pero, por definición, ex � 0, entonces las soluciones son x = –5 obien x = 1.
x e e x ex x x2 5 4 0⋅ − + ⋅ =� �
1. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a. 2ex + 5 = 3e–x c. 3x2ex + x3ex = 0 e. x · e 2x – 9 x e 2x = 0
b. ex – 20e–x – 1 = 0 d. 4x3e–3x + 3x4e–3x = 0 f. e2x + 5ex – 20 = –6
2. Al consumir cierto medicamento, este queda en el organismo una cierta cantidad de tiempo,
dado por la expresión: , donde m representa los miligramos del medicamento
y h el tiempo en horas.
a. Si en un organismo se encuentran 0,407 miligramos de este medicamento, ¿cuánto tiempoha transcurrido desde que se ingirió?
b. Si la cantidad de medicamento no puede ser menor a 2 miligramos, ¿cada cuánto tiempo se debe tomar el remedio?, ¿qué podría ocurrir si no se respetan los horarios de ingesta demedicamentos? Comenta.
m h e h( ) = −10 0 2,
Actividades
factorizandox x ex2 5 4 0− +( ) ⋅ =� � � �
x x ex+( ) −( )⋅ =5 1 0
Todo logaritmo y toda exponencialse pueden escribir en función delogaritmo natural y exponencial conbase e, mediante las identidades:
logb x = , y bx= ex ln b
Por esto, y por otras propiedadesmatemáticas, muchas situacionesse modelan utilizando logaritmosnaturales y/o exponenciales conbase e, aunque puedan expresarsecon una base distinta de e.
ln xln b
Pon atención
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:13 Página 81
82 | Unidad 2
Crecimiento exponencial
El día de Año Nuevo del año 2009 la población del mundo era de aproximadamente 6750 millones de personas. Si el ritmo de creci-miento de la población mundial se analiza desde una perspectivahistórica, se observa que después de la Segunda Guerra Mundial seproduce una explosión demográfica sin precedentes. Una formade percibir este efecto es observar cómo ha ido disminuyendo eltiempo transcurrido para que la población mundial se duplique.
A partir de los datos, se tiene:
• Población P0 del mundo en 2009: 6750 millones• Tasa de crecimiento anual (r ) 1,2% = 0,012
La ecuación que se puede utilizar para determinar en cuánto tiempot habrá una población P (t ) de 8000 millones de habitantes es: 8000 = 6750 · e 0,012 · t. Observa su resolución:
Por lo tanto, en algo más de 14 años la población mundial alcanzará8 mil millones de habitantes, aproximadamente. Lo que correspondeal año 2023.
Año Población mundial
600 500 millones
1800 1000 millones
1930 2000 millones
1976 4000 millones
Fuentes: U.S. Census Bureau. www.census.gov/ipc/www/popclockworld.html, Universidad Nacional de Cuyo. www.cricyt.edu.ar/enciclopedia/terminos/PoblacMund.htm.Consultados en julio de 2009.
1200 años
130 años
46 añosTiempo transcurridopara duplicarse
Analicemos...
• Actualmente, la tasa de crecimiento de la población mundial observada es de 1,2% anual. Si la población sigue creciendo así, ¿en cuánto tiempo alcanzará a 8 mil millones de personas?,
• ¿Cuándo la población alcanzará el doble de habitantes que en 2009?, ¿cómo lo supiste?
• ¿Cómo es la gráfica que representa esta situación? Explica.
80006750
0012= ⋅e t, � �
ln ln e t80006750
0012
= ( )⋅, � �
0169899 0 012, , � �= ⋅ t
14158, = t
aplicando logaritmo natural
ya que ln e x = xAntes de aplicar log o ln a unaecuación, se debe verificar que lasexpresiones, a ambos lados de laigualdad, son siempre positivos.
Pon atención
Infantes nacidos el año 2009.
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:14 Página 82
Función exponencial | 83
Unidad
2
1. El número de una determinada especie de pez está dada por la fórmula P ( t ) = 15 · e 0,015 · t, dondet se mide en años y P ( t ) se mide en millones.
a. ¿Cuál es la tasa de crecimiento relativo de la población de peces? Exprésala como porcentaje.b. ¿Cuál será la población de peces después de 8 años?, ¿cómo lo calculaste?c. ¿Dentro de cuántos años el número de peces llegará a la cifra de 45 millones?
2. Generalmente, el crecimiento de las poblaciones de seres vivos comienza acorde a una función ex-
ponencial, pero luego se ve frenado por condiciones medioambientales. En estos casos, la función
logística f ( t) = , donde L es el valor máximo al que crece esta población, k y a son
constantes por determinar y t el tiempo transcurrido en días, permite representar esta situación.
La siguiente función corresponde a una población de mosquitos: f ( t) = donde f ( t)
corresponde a miles de mosquitos en una cantidad t de días. ¿Cuál es la población en 50 días?, ¿y
en 300 días?, ¿y en 800 días?
3. El crecimiento de organismos en ambientes limitados sigue otro tipo de fórmula o modelo. Porejemplo, para predecir el número de estudiantes de una universidad que tiene planes de expansiónlimitada, el modelo usado es: P ( t ) = 1500 · (0,5)0,4
t, donde t es el número de años después de
abierta la universidad.
a. ¿Qué cantidad de estudiantes había cuando abrió la universidad? b. Después de 2 años de funcionamiento, ¿cuántos estudiantes tiene? c. ¿A qué valor máximo se aproxima P?, ¿por qué?
5001 + 499 · e–0,02t
L1 + k · e–at
Actividades
En resumen
• Si el crecimiento de las variables se puede modelarmediante la función f ( x ) = c · ax , con c > 0, a > 1,se dice que crecen exponencialmente, o bien quepresentan un crecimiento exponencial. Su gráfica esde la forma:
• En particular, el crecimiento de una población de or-ganismos puede describirse, aproximadamente, porP ( t) = P0 · e
rt, donde P0 es el tamaño inicial de unapoblación, P ( t ) es la población en el tiempo t y r esla tasa de crecimiento relativo expresada como unnúmero decimal.
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:14 Página 83
84 | Unidad 2
Decrecimiento exponencial
Las sustancias radiactivas se desintegran emitiendo radiaciones demanera espontánea. Existe una medida de tiempo llamada vidamedia, que es el tiempo que transcurre hasta que se desintegra lamitad de la masa de dicha sustancia radiactiva.
Usando esta información es posible hallar la edad aproximada de
objetos de edad desconocida. La función permite
determinar la masa m(t ) que queda en el tiempo t, donde r es latasa de desintegración expresada como una proporción de la masa
y m0 es la masa inicial.
m t m ert( ) = −
0
Si h es la vida media, entonces la masa de 1 unidad se convertirá
en unidad cuando t = h. Sustituyendo lo anterior en
, queda:
Luego, considerando que la vida media del radio-226 es h = 1600,
entonces . Como m0 = 22, utilizando la función
de la desintegración radiactiva, se obtiene:
.
Así, quedarán aproximadamente 3,9 mg de radio-226 después de4000 años.
rln
= ≈2
16000 0004332,
m e4000 22 3 88940 0004332 4000( ) = ⋅ ≈− ⋅, � � ,
12
Analicemos...
• Para una vida media dada h, ¿se puede obtener la tasa r dedesintegración?, ¿cómo?
• Si la vida media del radio-226 es de 1600 años y tenemos unamuestra de 22 mg, ¿cuánto quedará de la muestra después de4000 años?
• ¿Cuál es la gráfica que representa esta situación?
12
1= ⋅ − ⋅� � � �e r h
aplicando logaritmos,ln r h lne12( ) = − ⋅ ⋅
despejando la incógnita
ln r h2 1−( ) = − ⋅
por lo tanto, es la tasa
de desintegración
−= −
lnh
r2
rlnh
=2
Glosario
radio-266: elemento químico radiac-tivo. Metal raro en la corteza terres-tre, se encuentra acompañando alos minerales de uranio, elementodel que procede por desintegración.Se usa en la industria nuclear y enla fabricación de pinturas fosfores-centes. Se simboliza como 26688Ra.
Contador de Geiger.
m t m ert( ) = −
0
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:14 Página 84
Función exponencial | 85
Unidad
2
1. Se dispone de 500 mg de carbono-14 de un organismo muerto. Si la cantidad que queda después de x años está dada por P(x ) = 500 · e–0,000115 · x mg:
a. expresa x en términos de P.b. Indica el dominio y recorrido de la función.c. ¿Qué cantidad es posible encontrar en 1000 años más?d. ¿Cuántos años deben transcurrir para que solo sea posible hallar 1 mg?e. Según este modelo, determina la vida media del carbono-14
2. El polonio-210 tiene una vida media de 140 días. Si una muestra de esta sustancia tiene una masade 300 mg:
a. determina la fórmula para la cantidad de la muestra que queda al tiempo t.b. Determina la masa que queda después de 2 años (considera 1 año = 365 días).c. ¿Cuánto tardará para que la muestra se desintegre hasta tener una masa de 150 mg?
3. La masa m ( t ) que queda después de t días de una muestra de 40 mg de torio-234 está dada por:
m(x ) = 40 · e–0,0277 · t
a. ¿Cuánto quedará de la muestra después de 50 días?b. ¿Después de cuántos días solo quedarán 8 mg de la muestra?c. Determina la vida media del torio-234.
Actividades
En resumen
• Si el decrecimiento de las variables se puede modelarmediante la función f ( x ) = c · a rx, con c > 0, a > 1 yr < 0, se dice que decrecen exponencialmente, o bienque presentan un decrecimiento exponencial. Su grá-fica es de la forma:
• En particular, la expresión que describe la masa m ( t ),que queda al tiempo t de una sustancia radiactiva, estádada por m ( t ) = m0 e
–rt, donde m0 es la masa inicial.
Si h es la vida media de dicha sustancia, se tiene que
.rlnh
=2
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:14 Página 85
86 | Unidad 2
Aplicaciones de las ecuaciones exponenciales
Una persona deposita en un banco $ 2 000 000 al 12% anual de interéscompuesto. ¿En cuánto tiempo su capital ascenderá a $ 3 500 000?
La expresión que permite calcular el capital final Cf que se obtiene
a partir de cierto capital inicial Ci es: , donde t es
la tasa de interés compuesto que se aplica y n, el número de perío-dos de tiempo. Como, en este caso, la incógnita es el valor de n, setrata de una ecuación exponencial.
Como no se pueden igualar las bases, se aplican logaritmos y suspropiedades:
Finalmente, se remplaza: log Ci = log 2 000 000 = 6,30103, log Cf = log 3 500 000 = 6,54407
Además, como t = 12:
luego, n =
Entonces, su capital final será de $ 3 500 000 al cabo de 5 años.
log t log log1100
1 12100
112 0 0492� � � � , ,+( ) = +( ) = = 22
C C tf i
n= ⋅ +( )� � � �1
100
Analicemos...
• ¿A cuánto asciende su capital después de transcurrido el primeraño?, ¿cómo lo calculaste?
• Entonces, ¿cuánto estimas que demorará en obtener $ 3 500 000?,¿por qué?
• ¿Qué es el interés compuesto? Explica.• Escribe la ecuación correspondiente a esta situación. ¿Aplicar loga-
ritmos te permite resolver esta ecuación? Justifica.
logC log C tf i
n= +( )
1
100� �
log C logC log tf i
n= + +( )1
100� �
log C logC n log tf i− = ⋅ +( )� � � �1
100
nlogC logC
log tf i=
−
+( )1100
� �
se despeja el valor de n
654712 6 301030 04922
5, ,,
− ≈
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:14 Página 86
Función exponencial | 87
Unidad
2
1. Calcula la tasa de interés compuesto anual al que se invierten $ 10 000 000, si al cabo de 2 añosprodujeron 2 millones de pesos. Verifica tu respuesta utilizando una calculadora científica.
2. Una persona invierte $ 50 000, a una tasa de interés compuesto del 9% anual. Utilizando unacalculadora científica, calcula:
a. ¿cuál es el monto final del capital después de 6 años?b. ¿Después de cuánto tiempo su capital ascenderá a $ 118 368?
3. Según los resultados del censo de 2002, la población de Chile es de 15 116 435 habitantes y la tasade crecimiento, entre el censo de 1982 y el censo de 1992, fue de 1,6% anual. Si la tasa de creci-miento se mantiene en los siguientes 30 años:
a. ¿cuál será la población en el año 2012?b. ¿En cuánto tiempo se habrá duplicado la población? c. ¿En qué año la población será de 24 millones de habitantes?
4. Determina una fórmula que describa el crecimiento exponencial de una población que aumenta el12% cada 5 años, considerando una cantidad inicial de 55 millones de personas. ¿Cuál será lapoblación en 40 años más?
5. El número de bacterias de un cultivo está dado por la fórmula B( t ) = 600 · e0,55 · t donde t se mideen horas.
a. ¿Cuál es el número inicial de bacterias?b. ¿Cuál es la tasa de crecimiento relativo de esta población de bacterias expresada como
un porcentaje?c. ¿Cuántas bacterias hay en el cultivo después de 3 horas?d. ¿Después de cuántas horas la población será de 15 000 bacterias?
6. Al momento de morir, un organismo contiene 50 miligramos de átomos de carbono-14 radioactivo. La cantidad de carbono-14, x años después, se ajusta a la función P(x ) = 50 · e–0,000119 · x
miligramos. ¿Después de cuánto tiempo de su fecha de muerte le quedarán 0,8 miligramos de carbono-14?
7. Después de x semanas del brote de influenza en una región del país, la cantidad de personas
(en cientos) que había contraído el virus se podía modelar mediante la función:
a. ¿Cuántas personas padecían la enfermedad cuando se comenzó a hablar de brote? b. Después de cuatro semanas y si las condiciones siguen igual, ¿cuántas personas
tendrán influenza? c. Si no se ataca el brote en su momento, ¿en cuánto tiempo es posible esperar mil infectados?;
¿qué medidas consideras se debieran tomar en una situación similar?
Actividades
f xe x( ) =
+ −22
1 21 1 12,
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:14 Página 87
88 | Unidad 2
• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.
• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿En qué casos se dice que una ecuación es exponencial?, ¿cómo se resuelve?
3. ¿Qué características tiene una situación que implica crecimiento exponencial?,
¿y en el caso de decrecimiento exponencial?
4. ¿Cómo es la gráfica de una situación que implica crecimiento exponencial?,
¿y en el caso de decrecimiento exponencial?
5. Menciona dos ejemplos de situaciones que impliquen crecimiento exponencial y dos
para decrecimiento exponencial.
6. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Organizando lo aprendido
FUNCIÓN EXPONENCIAL
CRECIMIENTO EXPONENCIAL
ECUACIONES EXPONENCIALES
DECRECIMIENTO EXPONENCIAL
modela
se resuelven mediante
se relacionan con
IGUALACIÓN DE BASES LOGARITMOS
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:14 Página 88
Función exponencial | 89
Mi progreso
1. Resuelve las siguientes ecuaciones exponenciales
a. 2x + 4 = 3 · 4x – 3 d. p2x + = q 0,75x – 1
b. 3 · 22x + 1 = 5 e. 0,1252(x + 1) – 0,253(x + 2) = 189
c. a3x + = c x + 1 f. (216)x2 + x = (7776)x + 1
3. La medida de la presión atmosférica P en milibares a una altitud de x kilómetros sobre el nivel delmar, está dada por la ecuación P(x ) = 1035 · e–0,12x.
a. Si la presión en la cima de la montaña es de 449 milibares, determina la altura de la montaña. b. ¿Cuál es la presión atmosférica en la cima del Everest? (Altura 8000 metros).
4. Si la cantidad inicial del isótopo del polonio es de 50 mg y se sabe que la cantidad restante a los t díases A(t ) = 50 ·e–0,00495 t, ¿cuántos días han transcurrido, si ahora hay 34,32 mg del isótopo del polonio?
A. 95 días.B. 76 días.C. 365 días.D. 65 días.E. 150 días.
14
13
13
• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.
¿Cómo voy?Unidad
2
2. La población de un continente, en millones de habitantes, está dada por la función: P( t ) = 10 · .
Si t se mide en años, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que la población de este continente se cuadruplique?
32
2
t
CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA
Resolver ecuaciones exponenciales. 1 a 4 78 a 81
Resolver problemas asociados a crecimiento y/o decrecimiento exponencial.
2, 3 y 4 78 a 81
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:14 Página 89
Cómo resolverlo
90 | Unidad 2
Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución delsiguiente problema.
El contenido de una taza de café tiene una temperatura de 90 ºC yse coloca en una habitación cuya temperatura es de 21 ºC. Despuésde diez minutos, la temperatura del café es de 65 ºC.
a. Determina la función para la temperatura del café en términosdel tiempo t.
b. Calcula la temperatura del café después de treinta minutos.c. ¿En cuánto tiempo se habrá enfriado el café hasta la mitad de su
temperatura inicial?, ¿cómo lo calculaste?
Solución
Para resolver la situación planteada, se puede aplicar la ley de enfria-
miento de Newton, cuya expresión algebraica es: .
a. Al remplazar los datos T0 = 21 y D = 90 – 21 = 69 en la función, se tiene que:
k = 0,045
b. Los datos iniciales se mantienen, esto es, T0 = 21 y D = 90 – 21 = 69,pero ahora se remplazan en la función ya obtenida, con t = 30:
. Es decir, después de treinta minutos,
la temperatura del café es de 38,9 ºC.
c. La temperatura inicial del café era de 90 ºC, luego, la mitad corres-ponde a 45 ºC. Entonces, ahora T (t) = 45, y la incógnita es t.
y se obtiene: t = 23,5. Es decir, la temperatura
del café era de 45 ºC después de veintitrés minutos y medio.
ln ln e t2469
0 045( ) = ( )− ,
T t T e kt( ) = + ⋅ −0 ∆
diez minutos después, la temperaturadel café era de 65 °C, es decir, t = 10 y T (10) = 65
como la base es e, se aplica logaritmonatural
luego, la función en este caso,
es T t T e t( ) = + ∆ ⋅ −0
0 045,
65 21 6910= + ⋅ − ⋅
� � � �� �e k
4469
10= − ⋅e k� �
ln ln e k4469
10( ) = ( )−
T t e( ) = + ⋅ ≈− ⋅21 69 38 90 045 30� � ,, � �
45 21 69 0045= + ⋅ − ⋅� � , � �e t
2469
0 045= − ⋅e t, � �
, donde
t es el tiempo transcurrido,k > 0 es una constante y D esla diferencia de temperaturaentre el estado inicial y la delambiente T0.
T t T e kt( ) = + ⋅ −0 ∆
Recuerda que...
Taza de café caliente.
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Función exponencial | 91
Unidad
2
Actividades
1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones:
a. En un hervidor, el agua alcanza los 100 ºC. Si la temperatura de la habitación es de 25 ºC ytranscurridos dieciocho minutos la temperatura del agua se reduce a 70 ºC, ¿cuál es su tempe-ratura después de media hora?
b. El motor de un automóvil opera a una temperatura de 88 ºC. Cuando se apaga el motor, seenfría de acuerdo a la ley de enfriamiento de Newton, con una constante k = 0,341. ¿Cuál es eltiempo necesario para que el motor se enfríe a 32 ºC, si la temperatura del ambiente es de 16 ºC?
c. Un plato de lentejas con temperatura de 80 ºC se pone en la mesa de un comedor que está a
22 ºC. Su temperatura después de x minutos está dada por la función f (x ) = 22 + 58 · e–0,051x.
¿Cuánto tarda este plato de lentejas en enfriarse hasta llegar a una temperatura de 37 ºC?
2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimientoanterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué?
3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedi-miento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?
a. Se vacunó a la población para tratar el virus de la influenza. Se espera que la cantidad de
contagiados disminuya según el siguiente modelo: f (x ) = 150 · e–0,472 · x, donde x representa
los días transcurridos.
• ¿Cuál es el número de contagiados luego de 2 días?• ¿Cuál es el número de contagiados después de una semana?• ¿Cuánto tiempo se debe esperar para que la cantidad de contagiados disminuya a la cuarta
parte? Explica.
b. Si se invierten P0
pesos a una tasa de interés anual R y el interés se capitaliza continuamente,
después de t años se dispone de P (t ) = P0· eRt pesos.
• Si se invierten dos millones de pesos a una tasa de interés anual del 6,9%, calcula el montoobtenido después de seis años, si el interés se capitaliza continuamente.
• ¿Después de cuánto tiempo se duplicará un capital, si se invierte a una tasa de interés anualdel 7,1% con capitalización continua?
• El dinero depositado en una financiera se duplica cada doce años. Esta financiera capita-liza el interés en forma continua. ¿Cuál es su tasa de interés?
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92 | Unidad 2
En terrenoEn terreno
Residuos electrónicos,
la nueva basura del siglo XXI
¿Cuántos computadores, celula
res, agendas electróni-
cas y juegos electrónicos obsolet
os se amontonan en los
hogares y oficinas de Chile? ¿H
as pensado alguna vez
adónde fue a parar ese carg
ador que ya no servía,
adónde quedó tu primer celula
r?
El rápido avance tecnológico ha c
ontribuido a la creciente
producción de aparatos electrón
icos, cada vez de menor
tamaño y que en menor tiempo
quedan obsoletos.
Por ejemplo, en Chile, en 1990 c
erca de 10 mil personas
contaban con un teléfono móv
il, y a fines del 2008 los
usuarios de estos equipos ya bor
deaban los 16 millones.
Se calcula que desde la década de
l noventa hasta la actua-
lidad, más de 13 millones de est
os aparatos estarían ya
obsoletos, a un peso promedio de
200 g cada uno, corres-
ponden a 2600 toneladas de ba
sura electrónica.
Fuentes:
Comisión Nacional del Medioambiente, www.conama.cl/rm/568/article-38368.html
Sociedad de Fomento Fabril, www.sofofa.cl/BIBLIOTECA_Archivos/Estudios/2008/EconomiaChile2008.pdf.
Consultados en julio de 2009.
Telefonía Móvil en Chile
AñoMiles de
abonados
1990 10
1991 36
1992 64
1993 85
1994 116
1995 197
1996 319
1997 410
1998 964
1999 2261
2000 3402
2001 5101
2002 6244
2003 7268
2004 9261
2005 10 570
2006 12 451
2007 13 955
2008 15 880
Contenedor colmado de computadores en desuso.
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Actividades
1. Construye un gráfico a partir de los datos de la tabla. ¿Qué puedes concluir?2. Si se pudiera asociar una función a estos valores, ¿a qué tipo de función correspondería?, ¿por qué?3. Según estos datos, ¿cuántos abonados a la telefonía móvil habrá en el año 2015? Justifica.4. ¿Crees que se mantenga el ritmo de crecimiento de estos datos?, ¿por qué?
Investiguemos...
Trabajen en un grupo de tres o cuatro personas:
1. Comparen las estimaciones del número de abonados a la telefonía móvil para el año 2015 que hizocada uno. ¿Qué pueden concluir?
2. Averigüen las proyecciones de población en Chile para los próximos años y compárenlos con la proyec-ción sobre la cantidad de celulares, ¿existe alguna concordancia?, ¿por qué?
3. Realicen una encuesta en el curso o en el colegio preguntando, al menos:
a. ¿cuántos teléfonos celulares están en uso actualmente en tu familia?b. ¿cuántos celulares ya se han desechado en tu familia?c. en promedio, ¿cuánto tiempo han tenido cada uno de estos aparatos?, ¿por qué los desecharon?d. ¿qué han hecho con los teléfonos celulares obsoletos?
4. Comenten los resultados de la encuesta y calculen la cantidad de basura electrónica correspondienteal total de familias encuestadas. ¿Qué pueden concluir?
5. ¿Qué otros aparatos electrónicos forman parte de la basura electrónica?, ¿cuáles de estos aparatos serenuevan más rápidamente en la actualidad?, ¿por qué?
6. Comenten si los teléfonos celulares se pueden reciclar, averiguando, por ejemplo:
a. ¿qué materiales se pueden obtener de ellos?b. ¿Cuáles son las ventajas de reciclar?c. ¿Qué materiales peligrosos contienen, que no debieran mezclarse con la basura domiciliaria?d. ¿Qué se hace en Chile actualmente con la basura electrónica?
7. Escriban un informe con todas sus conclusiones y preparen una presentación con sus resultados y unapropuesta de cómo podrían disminuir la basura electrónica generada en sus familias.
Evaluemos nuestro trabajo
• ¿Qué aprendieron acerca de la basura electrónica?• ¿Cuál de los resultados de la encuesta les llamó más la atención?, ¿por qué?• Comparen sus conclusiones y su propuesta con las de sus compañeros y compañeras.
¿Presentaron ellos algo distinto a lo que ustedes concluyeron?, ¿qué les faltó?
Función exponencial | 93
Unidad
2
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:14 Página 93
94 | Unidad 2
Síntesis de la Unidad
A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye conellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican lasrelaciones que hay entre los conceptos.
A partir de lo trabajado en la Unidad, responde:
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Qué estrategias se pueden aplicar para resolver una ecuación exponencial? Explica.
3. ¿En qué casos una solución que se ha obtenido algebraicamente no corresponde a la solución
de una ecuación exponencial?, ¿por qué?
4. ¿Qué situaciones o fenómenos sociales o naturales se pueden modelar mediante el
crecimiento exponencial?
5. ¿Cuáles son las principales características de la representación gráfica de la función exponencial?
6. ¿Cuál es la función inversa de la función exponencial? Justifica.
7. ¿Cuáles son las principales aplicaciones del decrecimiento exponencial?
8. ¿Cómo se define el número e?9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
FUNCIÓN EXPONENCIAL
NÚMERO e ECUACIÓN EXPONENCIAL
RECORRIDO
FUNCIÓN INVERSA DOMINIO
CRECIMIENTO EXPONENCIAL
DECRECIMIENTO EXPONENCIAL FUNCIÓN LOGARÍTMICA
INTERÉS COMPUESTO
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Función exponencial | 95
Evaluación
I. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
1. Si la función y = ax es creciente, entonces y = loga x es decreciente.
2. Las gráficas de las funciones f (x ) = 10x, g (x ) = log x son simétricas con respecto a la recta y = 10x.
3. La función p (z ) = 2z pasa por el origen cuando z = 0.
4. El recorrido de la función exponencial natural son los números reales.
5. La función f (x ) = ex – 1 es decreciente.
6. La intersección de la función f (x ) = 52 – x con el eje de las ordenadas es en el punto (–2, 0).
7. La función exponencial que pasa por el punto es .
II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades.
1. La población de ranas en un pequeño estanque crece exponencialmente. La población actual esde 75 ranas, y la tasa de crecimiento relativo es de 16% anual.
a. Determina una función f ( t ) para la población después de t años.b. Determina la población proyectada después de 2 años, y después de 5 años.c. Determina el número de años necesarios para que la población de ranas alcance
a las 800 ranas.
2. El número de bacterias en un cultivo, está dado por la relación f (t ) = B · 2kt , con t medido en horas.
Si al cabo de 8 horas, el número de bacterias es veces lo que había al principio, ¿cuál es elvalor de k?
3. Si se añaden 10 gramos de sal a una cierta cantidad de agua, la cantidad c(x ) que no se disuelve
después de x minutos está dada por c (x ) = 10 · .
a. ¿Cuántos gramos de sal no se disuelven al cabo de 8 minutos?b. ¿Después de cuántos minutos quedan 5,12 gramos de sal?
4. Un automóvil que se compra hoy en D dólares. Se estima que su valor comercial v(t ) al cabo de
t años está dado por v ( t ) = 0,88 · D · 0,85t – 1.
a. Si el costo original es de 10 000 dólares, ¿cuál será su valor comercial después de 3 años?b. ¿Cuántos años han transcurrido desde que se compró, si actualmente cuesta 3905 dólares?
4
5
x
f xx
( ) =
12
318
,
216
Unidad
2
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:14 Página 95
96 | Unidad 2
III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso.
1. Si A = log x, B = log (1 – x) y C = log (x – x2)con 0 < x < 1, entonces se cumple:
A. A – B = CB. A – B + C = 0C. A + B = CD. B + C = AE. Ninguna de las anteriores.
2. El valor de x en e ln (5x – 5) = 5 es:
A. x = 0 B. x = eC. x = 2 y x = –2 D. x = 2 E. x = 5
3. La solución de ln e–4x + 5 = 21 es:
A. x = –4 B. x = 4 C. x = 4 y x = –4 D. x = eE. Ninguna de las anteriores.
4. Una población de bacterias duplica su tamañocada 21 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará enincrementarse el número de organismos de106 a 109 bacterias?
A. 63 minutos. B. 126 minutos. C. 200 minutos. D. 209 minutos. E. Ninguna de las anteriores.
5. Un cultivo de bacterias tiene 300 bacterias en unprincipio y después de una hora hay 450 bacte-rias. Según este crecimiento, ¿en cuánto tiempoel número de bacterias se triplica?
A. 90 minutos. B. 163 minutos. C. 180 minutos. D. 205 minutos. E. 227 minutos.
6. Cuando x toma un valor muy grande,f (x ) = 2 + 3 · 10 –x se acerca a:
A. 2 B. 3 C. 5 D. 6E. Falta información.
7. Al despejar la variable x en la ecuación
y = ln(x – 1) se obtiene:
A. x = e2y + 1
B. x = e2y + 1
C. x = e2y
D. x = 2 ln (y – 1)
E. x = ln (y – 1)
8. El valor de log2 (3x + 3x + 1) es igual a:
A. xlog 3 + 2
B. xlog23 + 2
C. log23x + log
23x + 1
D. log232x + 1
E. 32x + 1
12
UNIDAD 2 (62-97)C _Maquetación 1 08-10-12 18:14 Página 96
Función exponencial | 97
9. El valor de 3x + 3x + 1 es igual a:
A. 3 · 3x + 1
B. 2 · 32x + 1
C. 4 · 3x
D. 32x + 1
E. Otro valor.
10. Al simplificar ln e x + elnx + 1 se obtiene:
A. 1 B. x + 1 C. 2x + 1D. ln(ex + 1)E. Otro valor.
11. ¿Cuál o cuáles de las siguientes relaciones son verdaderas para la función exponencial f (x ) = ax con a > 0 y a � 1?
I. El dominio de f (x ) es R. II. Si a > 1, entonces f (x ) es creciente.III. ax = az € x = z
A. Solo I B. Solo IIC. I y III D. II y III
E. I, II y III
12. Sea la función exponencial .¿Cuál es el valor de f (4)?
A. 15B. 25C. 60D. 1125E. 9000
13. Al resolver la ecuación ln(5 – 2x) = –2, el valorde x es:
A. 5 – e–2
B.
C.
D.
E. Ninguna de las anteriores.
14. Al resolver la ecuación 2x · 42x – 1 = 84 – 2x elvalor que se obtiene para x es:
A. 10
B.
C.
D. – 4
E. 27
15. Un pollo asado se saca del horno cuando sutemperatura ha alcanzado 70 ºC y se coloca sobrela mesa de un comedor donde la temperaturaes de 26 ºC. Si la temperatura del pollo es de50 ºC después de quince minutos, ¿cuál será sutemperatura después de media hora?
A. 30 ºCB. 39 ºCC. 24 ºCD. 54 ºCE. 52 ºC
f tt( ) =
4500
6412
1411
52
5 – e–2
2
Unidad
2
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
e –2
10
12
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Vectores3
98|Unidad 3
TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A:
Vectores
Traslaciones
Homotecias
Coordenadas cartesianas en el plano y el espacio
Rectas y planos en el espacio
Ecuaciones cartesianas
Ecuaciones vectoriales
Conocer y utilizar la operatoriacon vectores.
Realizar traslaciones y homotecias de figuras.
Reconocer vectores en el plano y en el espacio.
Identificar y describir puntos, rectas y planos en el espacio.
Escribir la ecuación de la recta,vectorial y cartesiana.
Escribir la ecuación del plano,vectorial y cartesiana.
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 98
Vectores| 99
Conversemos de...
El lanzamiento del martillo es una competición de atletismo donde se lanza una bola de metalunida a una empuñadura mediante un cable de acero, denominado martillo. Gana quien lo arrojaa una mayor distancia. Esta prueba requiere tanto de fuerza como de destreza y velocidad, ya queel o la atleta debe balancear el martillo y, luego, girar con él para lanzarlo con la mayor veloci-dad posible. Se incorporó para hombres en el año 1900 en los Juegos Olímpicos de París y paramujeres en el año 2000, en Sidney.
1. ¿Qué fuerzas actúan sobre el martillo mientras el atleta gira con él antes del lanzamiento?,¿cómo las representarías?
2. ¿Qué fuerzas actúan sobre el martillo mientras está en el aire?, ¿podrías señalarlas en la imagen?¿Cómo las representaste?, ¿por qué?
Latin
stoc
k
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 99
100 | Unidad 3
¿Cuánto sabes?
1. Completa las siguientes afirmaciones.
a. Si la abscisa y la ordenada tienen el mismo signo, el punto (x, y)
se encuentra en el ___________ cuadrante.
b. Si la ordenada es negativa y la abscisa es positiva, el punto (x, y)
se encuentra en el ___________ cuadrante.
c. Las coordenadas del punto, que está 4 unidades a la izquierda
del eje de las ordenadas y a 3 unidades por encima del eje de las
abscisas, son _________.
2. Verifica que los puntos A, B, C y D indicados en la figura son vérticesde un paralelogramo. Justifica.
3. Escoge cuatro puntos, de tal manera que sean los vértices de un cuadrado,y cada punto pertenezca a un único cuadrante. Explica cómo lo hiciste.
4. Grafica las siguientes ecuaciones de la recta.
a. y = 2 c. y = –3x + 3
b. y = x + 7 d. y = – x + 2
5. Comprueba la falsedad de las siguientes proposiciones, dando un con-traejemplo. Guíate por el ejemplo.
Afirmación: La suma de dos números primos siempre es otro númeroprimo. Contraejemplo: Los números 3 y 7 son primos, pero su sumaes 10, y este número no es un número primo. Por lo tanto, la proposición es falsa.
a. El producto de un número impar por otro par es siempre impar. b. Todo número natural al cuadrado es siempre un número par. c. El producto de dos fracciones es siempre menor que 1.
14
12
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.
Y
X
A(–4, 2)
B(2, 10)C(20, 14)
D(14, 6)
O
Glosario
contraejemplo: ejemplo que con-tradice una afirmación.
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 100
6. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y analiza sus soluciones.
a. 3x + 2y = 14 b. x + y = 42 c. x – y = 3
x – y = 28 2x + 2y = 24 4x – 2y = 24
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.
14
12
Vectores | 101
Unidad
3
¿Qué debes recordar?
• El plano cartesiano está formado por dos líneas rectas (ejes) perpendiculares entre sí. La representación en coordenadas de los cuadrantes es la siguiente:
Primer cuadrante �(x, y) Segundo cuadrante (–x, y) Tercer cuadrante (–x, –y) Cuarto cuadrante (x, –y) (Considerando x > 0, y > 0).
El eje horizontal se llama eje de abscisas o también eje X; el eje vertical se llama eje de las ordenadas o eje Y, y el punto O se llama origen de coordenadas.
• Las transformaciones del plano modifican los puntos del plano siguiendo una regla o condicióndada. Las transformaciones isométricas conservan la forma y el tamaño de las figuras, demodo que la figura resultante es congruente con la figura inicial. Se clasifican en traslación,reflexión y rotación.
• Todo sistema de dos ecuaciones lineales presenta tres posibilidades en cuanto a sus soluciones.• Si una de las ecuaciones
de la recta es una amplifi-cación de la otra, el sis-tema tiene infinitas solu-ciones, ya que las rectasson coincidentes.
• Si ambas rectas tienenigual valor de la pendien-te y no son coincidentes,el sistema no tiene solu-ción, ya que sus rectasson paralelas.
• Si las rectas no son coin-cidentes ni paralelas, elsistema tiene una únicasolución, ya que sus rectasson secantes.
IIIY
O XIVIII
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 101
102 | Unidad 3
Vectores
Analicemos...
Como ya lo mencionamos, en el desarrollo de la prueba olímpicadel lanzamiento del martillo se manifiestan diversas fuerzas.
Observa el dibujo donde se ha representado la fuerza centrípetay la velocidad tangencial que interviene en la velocidad finaldel martillo.
Una forma de observar cuáles son las fuerzas de las que dependela velocidad final del martillo, es utilizar un diagrama en el que serepresenta la fuerza que actúa sobre él y su velocidad tangencialmediante flechas, lo que permite visualizar cuál es la fuerza resul-tante y cómo afecta, en este caso, a su velocidad de lanzamiento.
Cuando se representa una fuerza, no basta con señalar su magnitud.Una fuerza tiene también dirección, ya que cuando se aplica en di-recciones diferentes provocará distintos efectos. Es así como todafuerza se puede representar sobre un diagrama utilizando flechas.La dirección de la flecha será la dirección en que se ejerce la fuerzay su longitud debe ser proporcional a la magnitud de esta.
La fuerza, tal como la velocidad y el desplazamiento, es un vector.
Un vector se caracteriza por su:
• módulo: es el valor numérico de la magnitud vectorial. Se repre-senta gráficamente por la longitud de la flecha.
• dirección: está dada por la orientación en el plano o en el espaciode la recta que lo contiene.
• sentido: se muestra mediante una punta de flecha situada en elextremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acciónse dirige el vector.
El vector se representa por un segmento orientado con origen en
A y extremo en B, se representa por el símbolo ABÆ
. La distancia
entre A y B representa gráficamente el módulo del vector ABÆ
.
• ¿Se puede decir que dos fuerzas son iguales, si las flechas quelas representan tienen igual longitud?, ¿por qué?
• ¿Se pueden aplicar dos fuerzas distintas, de modo que la fuerzaresultante sea nula? Justifica.
• ¿De qué depende la longitud de la flecha, en cada caso?, ¿y sudirección? Explica.
Glosario
vector: toda magnitud en la que,además de la cantidad, hay queconsiderar la dirección y el sentido.
A
ABÆ
B
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 102
Vectores | 103
Unidad
3Dos segmentos orientados representan al mismo vector si son para-lelos, tienen el mismo sentido y la misma magnitud o módulo sinimportar dónde está ubicado su origen. Si alguna de estas condi-ciones no se cumple, se dice que son distintos.
Se dice que dos vectores son opuestos si tienen igual módulo y di-rección, pero sentido contrario.
En resumen
• Un vector es un objeto matemático caracterizable mediante una magnitud o módulo, una dirección y un sentido.
• Dos vectores son iguales solo si son, a la vez, paralelos, con igual sentido y con la misma magnitud o módulo.
• El vector 0Æ
corresponde a un vector, pero de magnitud 0, y sin dirección ni sentido.
1. Determina si los siguientes vectores son iguales, opuestos o distintos, en cada caso. Justifica.
a. b. c.
2. La figura ABCDEF es un hexágono regular. Determina:
a. dos parejas de vectores con igual sentido, dirección y módulo.b. Una pareja de vectores de distinta dirección pero con igual módulo.c. Una pareja de vectores con distinto módulo pero con igual dirección.
3. Determina cuáles de los siguientes vectores tienen igual módulo, en cada caso. Justifica.
a. b.
Actividades
B
C
DE
F
A
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 103
104 | Unidad 3
Operatoria con vectores
Analicemos...
Observa el siguiente mapa y sigue las trayectorias que han hechoPablo y Andrea, desde la Plaza de la Independencia. Pablo caminópor Aníbal Pinto hasta Chacabuco, y dobló hacia su derecha hastaColo-Colo. Andrea se fue por O’Higgins hasta llegar a Tucapel.
Al igual que la fuerza, el desplazamiento es un vector, ya que es ladiferencia entre una posición inicial y una posición final; luego tienemagnitud y también dirección y sentido. En cambio, la trayectoriatiene magnitud, pero no dirección. Para sumar dos o más trayecto-rias, basta sumar sus magnitudes. Pero, para sumar desplazamientos,su suma depende de la dirección de los desplazamientos. Observa.
Una forma de calcular el vector suma sÆ = aÆ + bÆ es dibujar uno deellos, por ejemplo aÆ, y luego representar el vector bÆ colocando elorigen de bÆ en el extremo de aÆ. El vector resultante tiene su ori-gen en el origen de aÆ y su extremo, en el extremo de bÆ.
Otra forma de realizar la suma de aÆ y bÆ es dibujar dos representantesde ambos vectores con un mismo origen, O, y completar el paralelo-gramo. El vector suma aÆ + bÆ es la diagonal de origen O de dicho para-lelogramo. Observa que para realizar la suma de bÆ + aÆ, el parale-logramo correspondiente es el mismo; luego su vector suma también.
• ¿Quién recorrió más?, ¿por qué? • Ahora, dibuja una flecha que indique el desplazamiento de cada
uno. ¿Quién se desplazó más? Justifica.• Más tarde, Pablo y Andrea se reunieron en la Plaza Perú. ¿Cómo
se representa el desplazamiento de cada uno?, ¿cuál es su des-plazamiento total, en cada caso?
O�Higgin
sPlaza de la
Independencia
Plaza Perú
Chacabu
co
Aníbal Pinto
Tucapel
Colo-Colo
Una diagonal de un paralelogramoes la recta que pasa por dos vértices opuestos.
Recuerda que...
Glosario
trayectoria: línea descrita en el planoo en el espacio por un cuerpo quese mueve.desplazamiento: cambio de la posi-ción de un cuerpo.
aÆ bÆ
aÆ
aÆ
aÆ
sÆ = aÆ
+ bÆ
aÆ + b
Æ
bÆ
bÆ
bÆ
0
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 104
En resumen
• La suma de dos o más vectores es un vector. La adición de vectores es asociativa, conmutativa,tiene un elemento neutro y elemento inverso para cada vector.
• La resta de vectores, aÆ – bÆ , consiste en sumar a aÆel vector opuesto de bÆ.
• Para representar la suma o resta de vectores, se pueden utilizar las diagonales de un paralelogramo como representación de ellas.
Vectores | 105
Unidad
3La adición de vectores cumple las siguientes propiedades:
• Conmutativa: aÆ + bÆ = bÆ
+ aÆ. • Asociativa: aÆ + ( bÆ
+ cÆ) = ( aÆ + bÆ
) + cÆ.
• Elemento neutro: aÆ + 0Æ
= 0Æ
+ aÆ = aÆ.• El módulo del vector resultante es menor o igual que la suma de
los módulos de los vectores. Es igual solo cuando los sumandostienen la misma dirección y el mismo sentido.
• Dado un vector aÆ, existe un vector opuesto –aÆ, de igual móduloy dirección, pero sentido contrario, de forma que al sumarlos seobtiene el vector 0
Æo nulo. Esto es, aÆ + (–aÆ) = 0
Æ.
Al igual que en el caso de los números, la sustracción de vectores esla operación inversa de la adición de vectores. Restar dos vectoresconsiste en sumarle al primero el vector opuesto del segundo:wÆ – vÆ = wÆ + –vÆ.
Gráficamente, si se emplea el método del paralelogramo para la sus-tracción, la diagonal del paralelogramo obtenido que une los pun-tos extremos de los vectores representa la resta de los dos vectores.
1. Resuelve los siguientes problemas.
a. El minutero de un reloj mide 5 cm. Si el minutero parte desde 0, representa gráficamente elvector desplazamiento de su punta después de quince minutos, media hora, tres cuartos dehora y después de una hora.
b. Dos vectores de desplazamiento centrados en el origen tienen módulos iguales a 6 m y 8 m. ¿Cuál debe ser la dirección y sentido de cada uno de estos vectores para que la resultante tenga un módulo igual a 14 m, 2 m y 6 m? Representa gráficamente cada uno de los casos pedidos.
Actividades
wÆ vÆ
wÆ – vÆvÆ + wÆ
• El resultado de la adición y lasustracción de vectores es siem-pre un vector.
• La representación de la diagonal,como aÆ – bÆ o bÆ – aÆ, dependerádel punto de aplicación del vectory de su extremo.
Pon atención
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 105
106 | Unidad 3
Vectores en el plano cartesiano
Analicemos...
Recuerda que el plano cartesiano permite representar la ubicaciónde puntos en el plano mediante sus coordenadas. Observa ahorala siguiente figura, en la que el origen y extremo de un vector aÆ
en el plano cartesiano corresponden a los puntos P(2, 3) y Q(12, 9),respectivamente.
Cuando el punto de aplicación de un vector está en el origen de un
sistema de coordenadas, su extremo coincidirá con un punto del
plano y se representa utilizando este punto, por ejemplo vÆ = �x, y�.
En este caso se puede determinar su módulo utilizando el teorema
de Pitágoras. Entonces || v ||2 = x 2 + y 2, o bien || vÆ || = .
Por otra parte, cuando el origen del vector no coincide con el origendel sistema de coordenadas, se puede calcular la diferencia, com-ponente a componente, entre el extremo y el origen del vectorpara obtener la representación cartesiana del vector.
Es decir, si vÆ tiene su origen en el punto P2(x2, y2) y su extremo en
el punto P1(x1, y1), se puede calcular vÆ = �x1 – x2, y1 – y2�. Por ejem-
plo, si el origen de aÆ corresponde al punto (–5, 2) y su extremo
al punto (7, 3), entonces aÆ = �7 – (–5), 3 – 2� = �12, 1�.
Y para determinar su módulo, se puede calcular la distancia entre
el origen y el extremo del
vector. Observa. Dado que
el punto E tiene coorde-
nadas (x1, y2), la medida de
los lados estaría dada por:
P2E= (x1 – x2) y EP1 = (y1 – y2).
x y2 2� �+
• Si aÆ se trasladara de modo que su origen se situara en (0, 0),¿en qué punto se ubicaría su extremo?
• ¿Cómo se representa con números el vector aÆ?, ¿por qué?• ¿Cómo se puede calcular el módulo de aÆ? Explica.• En general, ¿cómo se representa un vector, si se conocen las
coordenadas de su origen y su extremo? Justifica.
• Existen diversas formas de re-presentar analíticamente un vec-tor, en este Texto utilizaremos lanotación �x, y�.
• Se utiliza || vÆ || para simbolizar
el módulo de vÆ.
Pon atención
Teorema de Pitágoras: la suma delos cuadrados de las medidas de loscatetos es igual al cuadrado de lamedida de la hipotenusa.
Recuerda que...
9
3
2 12
Y
P
O
Y
B
O
D E
AC
P2(x
2, y
2)
P1(x
1, y
1)
X
x
y
Q
X
Y
X
aÆ
vÆ
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 106
Vectores | 107
Unidad
3
P P x x y y1 2 1 22
1 22= −( ) + −( ) Glosario
forma analítica: se dice de los vec-tores cuando están representadosutilizando sus coordenadas carte-sianas, para distinguirlos de su repre-sentación geométrica.
• Un vector OPÆ
que va desde el origen del plano cartesiano alpunto P, se denomina vector posición de P y se representa porpÆ. Las componentes de pÆ coinciden con las coordenadas delpunto P (px , py), dado que p
Æ = �px – 0, py – 0� = �px , py�.
• Si el origen y extremo de un vector aÆ en el plano cartesiano
corresponden a los puntos P(x1, y1) y Q(x2, y2), respectivamente,
entonces la forma analítica de ese vector está determinada por:
aÆ = PQÆ
= �x2 – x1, y2 – y1�.
• El módulo de un vector, que corresponde a su longitud o tamaño, se puede calcular mediante
la expresión: || vÆ || = , si vÆ = �x, y�.x y2 2� �+
En resumen
Aplicando el teorema de Pitágoras, se obtiene que
||P1P2||2 = (x1 – x2)
2 + (y1 – y2)2, de donde
La adición de vectores en forma analítica se efectúa a través de suscoordenadas cartesianas, sumando componente a componente.Por ejemplo, al sumar los vectores aÆ = �2, 3� y bÆ = �–1, 2�, el vectorresultante es: �2, 3� + �–1, 2� = �2 + –1, 3 + 2� = �1, 5�.
1. Dibuja y, luego, calcula el módulo de los siguientes vectores centrados en el origen del plano ycuyo extremo es el punto:
a. A(3, 4) c. C(–9, –12) e. E(–1, 0)b. B(–7, 12) d. D(–13, 12) f. F(0, –4)
2. Si aÆ = �–4, 5�, bÆ = �6, –3� y cÆ = �–2, –2�, grafica y determina vÆ de modo que vÆ = aÆ + bÆ
– cÆ . Luego,
calcula su módulo. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste.
3. Dados los vectores aÆ = �3, –2�, bÆ = �–1, 5� y cÆ = �4, 6�, determina:
a. aÆ − bÆ + cÆ c. aÆ − bÆ − cÆ e. aÆ + bÆ + cÆ
b. bÆ − cÆ d. aÆ + bÆ − cÆ f. aÆ + cÆ
4. Sobre un cuerpo actúan las fuerzas f1Æ= �6, 8�, f2
Æ= �–15, 20�, f3
Æ= �–4, –16�. Calcula:
a. la magnitud del vector resultante. b. la dirección del vector resultante.
Actividades
y2
y1
x1
x2
x2
– x1
y2
– y1
Y
P
Q
X
aÆ
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 107
Observa la siguiente figura:
108 | Unidad 3
Traslación de figuras planas
Una traslación es una transformaciónisométrica que desplaza todos lospuntos del plano en igual magni-tud, dirección y sentido.
Recuerda que...
Glosario
imagen bajo una transformación:elemento (punto, segmento o figura)obtenido, a partir de otro similar, me-diante una transformación del plano.
• Compara las medidas y la dirección de los trazos AA’, BB’, CC’y DD’. ¿Qué puedes concluir?
• ¿Corresponde a una transformación isométrica? Justifica.• ¿Esta transformación se puede representar utilizando vectores?,
¿por qué?• Si se conocen las coordenadas de la figura ABCD, ¿cómo se
pueden obtener las coordenadas de A’B’C’D’? Explica.
Analicemos...
A una figura dada se le puede aplicar una traslación, que desplazatodos los puntos de una figura en igual magnitud, dirección y sen-tido. Luego, tal como las fuerzas y los desplazamientos, se puedeutilizar un vector para representarla, el que se suma a los vectoresposición de cada punto.
Para obtener la imagen bajo una transformación de una figura (la
imagen de una figura bajo la traslación), basta con sumar el vector
de traslación, en este caso, a cada uno de los vértices de la figura,
coordenada a coordenada. Por ejemplo, la traslación del trián-
gulo cuyos vértices son A(–4, 4), B (–2, 2) y C (–3, 6), dada por elvector vÆ = �2, 1�, es:
A’: (–4, 4) + (2, 1) = (–2, 5) B’: (–2, 2) + (2, 1) = (0, 3) C’: (–3, 6) + (2, 1) = (–1, 7)
La traslación anterior se denota como TÆ
�2, 1� de los puntos delDABC. En la imagen se muestra la traslación del triángulo ABC.
C
D
A
BC’�
D’�
A’�
B’�
7
6
2
1
B�
A�
C�
B
A
C
–2 2 4–4
vÆ
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 108
Vectores | 109
Unidad
3
Al igual que en el caso de las fun-ciones, la inversa de una traslaciónTÆes aquella traslación que deshace
las transformaciones que realiza TÆ.
Pon atención
Composición de traslacionesSi al resultado de una traslación se le aplica otra traslación, se hablade composición de traslaciones.
Observa la figura:
Como se puede observar,
DA’B’C’ se obtiene aplicandoTÆ
1 �10, 2� a los vértices del
DABC. En cambio, DA’’B’’C’’se obtiene aplicando T
Æ
2 �1, –6�a los vértices del DA’B’C’.
Entonces, para representar la traslación del DABC al DA’’B’’C’’, secalcula la composición de las traslaciones; esto es, si T
Æ
1 �x1, y1� yTÆ
2 �x2, y2�, entonces TÆ
2 º TÆ
1 = �x1 + x2, y1 + y2�.
En este caso, TÆ
2 º TÆ
1 = �10 + 1, 2 + –6� = �11, –4� representa la
traslación del DABC al DA’’B’’C’’.
En resumen
• La traslación de una figura en el plano cartesiano da origen a una nueva figura, que es congruente con la anterior; es decir, mantiene la misma forma y medidas.
• Una composición de traslaciones resulta de aplicar una traslación a otra traslación ya realizada.
• Si TÆ
�x, y� es una traslación en el plano cartesiano, entonces T –1Æ
�x, y� es su traslación inversa,
y corresponde a la trasformación que tiene la misma magnitud y dirección, pero sentido
contrario. O sea, T –1Æ
�x, y� = TÆ
�–x, –y�.
1. Los vértices de un cuadrilátero son (1, 0), (0, 2), (–3, 0), (0, –1). ¿Cuáles serán los vértices delcuadrilátero si se aplica una traslación de vector �3, –2�?
2. Considera dos circunferencias de igual radio, una con centro O (–2, 3) y la otra con centro A (–1, 1).Determina el vector que permite trasladar la circunferencia de centro O a la posición con centroen A. Luego, determina el vector de la traslación opuesta a la realizada. ¿Qué puedes concluir?
3. Determina las traslaciones inversas de cada una de las siguientes traslaciones:
a. TÆ
1 �2, 3� b. TÆ
2 �–3, 4� c. TÆ
3 �–6, –7� d. TÆ
4 �0, –4�
Actividades
Glosario
composición (de transformaciones):dadas dos transformaciones S
Æ, T
Æ,
es otra transformación, TÆ
º SÆ, que
resulta de aplicar sucesivamente lasanteriores. Esto es: (T
Æ
º SÆ) �x, y� = T
Æ(S
�x, y�).
Observa que primero se aplica SÆ
ya su imagen se aplica T
Æ.
–6 –4 –2 2 4 6 8 10–2
2 T1
T2
4
–4
–6
–8
C
A
A�’
B’�
C’�
C’’�
A’’��
B’’�
B
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 109
110 | Unidad 3
Producto por un escalar
Sobre un cuerpo se aplican dos fuerzas, una se representa medianteel vector f
Æ= �2, –3�, y la otra por el vector g
Æ= �–6, 9�.
distributividad
asociatividad
elemento neutro
propiedad absorbente del cero
Al dibujar en un plano cartesiano los vectores fÆy g
Æseguramente
pudiste observar que tienen la misma dirección, aunque no tienenel mismo sentido ni la misma magnitud.
Además, para calcular el triple de la fuerza fÆ, se calcula el triple de
cada una de las coordenadas. Esto es: 3 · f
Æ= 3 · �2, –3� = �3 · 2, 3 · –3� = �6, –9�
Es decir, tanto gráfica como algebraicamente, el vector resultanteaumenta al triple su módulo, manteniendo su dirección y sentido.
En general, cuando se calcula el producto por un escalar de un vec-tor, se obtiene un nuevo vector, que conserva la dirección del vectororiginal, pero cuya magnitud y sentido cambian según el valor porel cual fue multiplicado. Observa.
Para graficar el mismo vector, pero
multiplicado por –1, se puede calcular
–1 fÆ= –1 · �2, –3� = �–1 · 2, –1 · –3� = �–2, 3�
Observa la imagen donde se represen-
taron fÆy –f
Æ
Propiedades del producto por un escalar
Dados los escalares l y m, y los vectores aÆ y bÆ, se cumplen las
siguientes propiedades:
1. l (aÆ + bÆ) = laÆ + mb
Æ
2. (l + m)aÆ = laÆ + maÆ
3. l (maÆ) = (lm)aÆ
4. 1aÆ = aÆ
5. 0aÆ = 0Æ
Glosario
producto por un escalar: aplicado aun vector aÆ, es otro vector cuyamagnitud es el producto del escalarpor la magnitud de aÆ, cuya direc-ción es la de aÆy cuyo sentido es elmismo u opuesto, según el escalarsea positivo o negativo.escalar: elemento de un conjuntonumérico; se usa, en particular, cuan-do se le quiere distinguir claramentede los vectores.
Analicemos...
• Dibuja un plano cartesiano y traza los vectores fÆ
y gÆ
, partiendodel origen. ¿Qué tienen en común? Explica.
• Representa en el mismo plano una fuerza que sea el triple de lafuerza f
Æ. ¿Cuál es su representación algebraica?, ¿por qué?
• ¿Cuál es el valor de l tal que se cumpla gÆ
= l · fÆ
? Justifica.
Y
X–fÆ
fÆ
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 110
Vectores | 111
Unidad
3
| l | se refiere al valor absoluto de un número real.|| aÆ || se refiere al módulo de un vector.
Recuerda que...Ejemplo Dados los vectores aÆ = �–6, 2� y bÆ= �3, –4�, ¿cuánto resulta 5(aÆ + b
Æ)?
5(aÆ + bÆ) = 5aÆ + 5b
Æ= 5�–6, 2� + 5�3, –4�
= �–30, 10� + �15, –20� = �–30 + 15, 10 + –20� = �–15, –10�
En resumen
• El producto de un escalar l por un vector aÆ, de coordenadas �x, y�, es otro vector dado porlaÆ, y se define como: laÆ = l�x, y� = �lx, ly�. Se dice que laÆ es un vector ponderado de aÆ.
• Observa que dos vectores paralelos se pueden expresar uno como ponderado del otro:
aÆ = lbÆo bien b
Æ= maÆ.
• El vector ponderado laÆ tiene las siguientes características:
• Mantiene la dirección de aÆ.
• || l · aÆ || = | l | · || aÆ ||.• Si l > 0, el vector mantiene el sentido de aÆ. Si l < 0,
el vector cambia de sentido.
• Si l = 0, entonces laÆ = 0Æ (vector nulo).
1. Copia en tu cuaderno los vectores uÆ, vÆ y wÆ. Luego, representa:
a. uÆ + vÆ d. vÆ + 2wÆ
b. 3uÆ e. 2uÆ – vÆ – wÆ
c. 2uÆ – vÆ
2. Calcula el resultado de las siguientes operaciones:
a. 3�2, –1� – 3�2, 3� c. �5, –2� – �3, 1� + 2�6, 0�b. –2�7, –3� + 5�0, 5� d. 5�3, –2� – 4�–1, 0� + 2�–1, –3�
3. Dado el producto de maÆ, con aÆ � 0, ¿qué características cumple el producto, en cada caso? Justifica tu respuesta con la representación gráfica correspondiente.
a. ¿si m > 1? d. ¿si m = 0?b. ¿si m = 1? e. ¿si m = –1?c. ¿si 0 < m < 1? f. ¿si m < –1?
Actividades
uÆ
vÆ
wÆ
bÆ
bÆ
aÆ
aÆ
aÆ
= lbÆ
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 111
112 | Unidad 3
Homotecia
En cursos anteriores aprendiste que las transformaciones isométricasson transformaciones geométricas que preservan la forma y eltamaño de las figuras; sin embargo, no todas las transformacionesgeométricas son así. Por ejemplo, en la siguiente figura se puedeobservar el cuadrilátero KLMN, de vértices K(10, –2), L(4, –8),M(12, –12) y N(14, –6), y sus respectivas imágenes: el cuadriláteroK1L1M1N1 y el cuadrilátero K2L2M2N2.
En la figura anterior puedes observar que las imágenes bajo latransformación tienen la misma forma original, las medidas de susángulos se mantienen, pero no así las medidas de sus lados; esdecir, son semejantes, ya sean de menor o mayor tamaño.
En cada caso, la imagen resultante se puede construir con ayuda de
rectas que pasan por el mismo punto O. Observa que al comparar
los vectores correspondientes (por ejemplo, OMÆ
con OMÆ
1, OLÆ
con
OLÆ
1, etc.) se obtiene que la razón de sus módulos es una constante.
La imagen bajo una transformaciónes un elemento (punto, segmento ofigura) obtenido, a partir de otrosimilar, mediante una transforma-ción del plano.
Recuerda que...
Analicemos...
• ¿Cómo describirías los cuadriláteros obtenidos, respecto deloriginal? Explica.
• ¿Corresponde, en cada caso, a la imagen bajo una transformaciónisométrica?, ¿por qué?
• Determina los pares ordenados correspondientes a los vérticesde cada cuadrilátero. ¿Qué puedes concluir?
• Calcula la medida de los lados de cada cuadrilátero. ¿Existe unaproporción entre ellos? Explica.
M1
L1
K1
N1
O
Y
XK2
L2
M2
N2
N
M
L
K
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 26-10-12 10:08 Página 112
Cuando esto ocurre, se dice que una de las figuras es la imagen dela otra bajo una homotecia. La homotecia está definida por elpunto O, que es el centro de la homotecia, y un número k, que esla razón entre el módulo de los vectores correspondientes en esatransformación. Se representa como H(O, k). El número k es dis-tinto de cero, ya sea positivo o negativo.
Si la homotecia tiene una razón k, se puede concluir que la magni-
tud del vector OA’�Æ
es | k | veces igual a la magnitud del correspon-
diente vector OA�Æ
.
En caso que la homotecia tenga razón negativa, (k < 0), el vector OA’�Æ
está en la misma dirección, pero en sentido contrario al vector OAÆ
.
Ejemplo Considera el DABC, de coordenadas A(2, –4), B (0, –2) y C (6, 3), yel origen O (0, 0). Encuentra su imagen bajo la homotecia H (O, –2).
Para aplicar una homotecia es necesario determinar primero los
vectores desde el centro de homotecia O a cada uno de los puntos.
En este caso, ya que el centro de la homotecia está en el origen
O(0, 0), los vectores son OAÆ
= �2, –4�, OBÆ
= �0, –2�, OCÆ
= �6, 3�. A estos vectores se les aplica la homotecia; luego, OA’�
Æ= �–4, 8�,
OBÆ
’ = �0, 4�, OCÆ
’ = �–12, –6�.
Entonces, su imagen es el DA’B’C’ de coordenadas A’(–4, 8), B ’(0, 4),C’(–12, –6). Observa que la proporción que existe entre los trián-gulos corresponde a la razón de homotecia.
Se puede verificar que dos figuras son homotéticas si, al unir me-diante rectas los puntos o vértices correspondientes de ellas, estasrectas concurren en un único punto que es el centro de homoteciaO.
Composición de homotecias
Al igual que con las traslaciones, se puede realizar una composi-ción de homotecias; es decir, se puede aplicar una homotecia a laimagen de la homotecia de una figura.
La composición de homotecias, cuando su centro de homotecia esel mismo, es una homotecia con igual centro, y cuya razón corres-ponde al producto de las razones de las homotecias originales.
Unidad
3
Vectores | 113
Glosario
homotecia: transformación en elplano con respecto a un centro O,que permite obtener una figura se-mejante a otra figura dada.homotético(a): elemento (punto,segmento o figura) que es imagende otro similar bajo una homotecia.
Cuando la homotecia tiene centroen el origen de coordenadas, dadoun punto A(x, y) y su homotéticoA’(x’, y’), se cumple que la relaciónque hay entre ellos es la siguiente:x’ = kx e y’ = ky, donde k es larazón de la homotecia.
Pon atención
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 113
114 | Unidad 3
EjemploDado los puntos A(3, 7) y O(2, 5) y las homotecias H1(O, –2) yH2(O, –1,5), determina el homotético de A respecto de la com-posición de homotecias H2 º H1
.
• Se obtiene el vector OAÆ
: OAÆ
= �3 – 2, 7 – 5� = �1, 2�.• Se aplica primero la homotecia H1; luego,
OA’Æ
= –2 · �1, 2� = �–2, –4�.• Se aplica la homotecia H2 al vector OA’
Æ; luego,
OA’’Æ
= –1,5 · �–2, –4� = �3, 6�.
Luego, A’’ se obtiene de OÆ
+ OA’’Æ
= �2, 5� + �3, 6� = �5, 11�. Es decir,el homotético de A es el punto (5, 11).
A�
OA�
O
OA
A
A��
En resumen
• Una homotecia es una transformación geométrica que no afecta la forma de la figura, perosí puede cambiar su tamaño y orientación.
• Una homotecia de centro O y razón k, con k � O transforma un vector OPÆ
en un vector OP’Æ
,
tal que OP’Æ
= k · OPÆ
. Se escribe H(O, k). Algunas de sus características son: • las figuras generadas mediante homotecia son semejantes a las figuras originales. • los lados correspondientes entre dos figuras homotéticas son paralelos. • si la razón es positiva, la homotecia preserva el sentido de las figuras. Si la razón es
negativa, la homotecia invierte las figuras.
• La composición de dos homotecias de centro C es otra homotecia de centro C, y su razón corres-ponde al producto de las razones; esto es, si H’ (C, k’) y H (C, k), H� º H = H1, donde H1 (C, k · k’).
1. Considera un cuadrilátero ABCD de coordenadas A (3, –3), B (6 , –6), C (10, 1) y D (4, 3) y el origenO (0, 0). Encuentra su figura homotética, respecto de:
a. H (O, –1) b. H (O, )2. Considera un cuadrado ABCD, tal que el punto de intersección de sus diagonales es E. Haz el dibujoen tu cuaderno de las siguientes transformaciones homotéticas:
a. H1 º H2
, conH1(E, 3) y H
2(E, ) b. H3 º H4
, conH3(A, 2) y H
4(A, – )3. Verifica si el área de una figura homotética es igual al producto del área de la figura original por el cuadrado de la razón de homotecia.
12
32
32
Actividades
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 114
Vectores | 115
Unidad
3
Herramientas tecnológicas
Usando el programa Regla y Compás, aprenderás a analizar gráficamente el concepto de homotecia.
Ingresa al sitio web: www.educacionmedia.cl/web, escribe el código 11m4115 y pulsa la flechaverde. Al hacerlo, se abrirá una nueva página. Haz clic en el botón Descarga y Webstart que estáubicado en el costado izquierdo de la pantalla. Luego selecciona el sistema operativo que tienetu computador y presiona Download. De este modo habrás descargado el software. Instálalo yluego realiza las siguientes actividades:
• Con el comando vector construye tres o cuatro vectores cuyo punto de origen sea el mismopara todos ellos.
• A continuación, selecciona del menú Macros, la opción Vectores y luego Vect. mult. por unreal (dlog).
• Selecciona uno de los vectores, y después marca el punto de origen del vector.• Escribe la razón de homotecia en un cuadro que aparecerá más abajo (no muy grande, por
ejemplo 2,0 o 2,5), y presiona enter. Aparecerá en pantalla un segundo vector con el mismoorigen y dirección que el primero.
• Repite el paso anterior para cada uno de los demás vectores, cuidando de multiplicar todoslos vectores por el mismo factor. La razón de homotecia será el factor de multiplicación, yaque al indicar el origen del vector, el segundo vector toma como origen este mismo punto.
• Finalmente, presiona el botón mover, o selecciona esta opción del menú Edición. Puedesmover tanto el centro de homotecia (el origen de los vectores que construiste) como lospuntos finales de los vectores.Obtendrás algo como lo que se muestra en la siguiente imagen:
Utilizando Regla y Compás, desarrolla las siguientes actividades:
1. Comprueba que la razón de homotecia se mantiene, independientemente de mover el origeno cualquiera de los puntos de la figura original.
2. Considera ahora una homotecia con un factor k negativo, ¿qué características tiene la imagen resultante respecto de la original? Explica.
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 115
116 | Unidad 3
• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.
• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Qué es la magnitud de un vector?, ¿y el sentido?
3. ¿Cuál es la diferencia entre una traslación y una homotecia?
4. ¿Cómo se suman dos vectores cuando están representados gráficamente? Explica.
5. ¿Qué características tiene una homotecia si k > 1?6. El producto por un escalar, ¿mantiene el sentido del vector?, ¿por qué?
7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Organizando lo aprendido
VECTORES
su
DEFINICIÓN APLICACIONES
puede ser en
permite realizar
REPRESENTACIÓN
OPERATORIA
ADICIÓN SUSTRACCIÓN PRODUCTO POR
UN ESCALAR
su
requiere de
tiene
GRÁFICA FÍSICA
MAGNITUD
DIRECCIÓN
SENTIDO
ANALÍTICA
tales como
GEOMETRÍA
TRASLACIÓN HOMOTECIAFUERZA
VELOCIDAD
DESPLAZAMIENTO
para representar para representar
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 116
Mi progreso
Unidad
3
1. Utilizando los vectores que determinan los vértices y el centro del hexágono regular de la figura, hallalos vectores solución de las siguientes operaciones:
a. ABÆ
+ OCÆ
b. FAÆ
+ EDÆ
c. AOÆ
+ ABÆ
d. AOÆ
– OCÆ
2. Dados los vectores aÆ= �3, –2� y b
Æ= �–1, 5�, determina:
a. 3aÆ
– 2bÆ
b. –aÆ
– bÆ
c. 5aÆ
+ 2bÆ
d. || aÆ + 3bÆ||
3. Dado el triángulo ABC de vértices A(4, 2), B(7, 2) y C(7, 5), determina su imagen si se aplica:
a. una traslación TÆ
�–3, 1�. b. una homotecia H(O, –2).
4. Los vectores de la figura tienen su origen en el centro de un cuadrado y el extremo en un vértice o enel punto medio de uno de los lados del cuadrado. ¿Cuál de las siguientes igualdades es incorrecta?Explica tu decisión en cada caso.
A. aÆ
– bÆ
= –2cÆ
B. aÆ
+ bÆ
= 2 dÆ
C. || aÆ
– dÆ
|| = || bÆ
+ cÆ ||D. cÆ – d
Æ= b
Æ
E. || cÆ + aÆ
|| = || bÆ
+ dÆ
||
• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.
¿Cómo voy?
Vectores | 117
aÆ
dÆ
cÆ
bÆ
E D
A B
OF C
CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA
Operar con vectores representados gráficamente. 1 y 4 102 a 105
Operar con vectores representados analíticamente. 2 106, 107, 110 y 111
Aplicar traslaciones y homotecias a una figura. 3 108, 109, 112 a 114
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 117
118 | Unidad 3
Producto punto
En Física, se define el trabajo mecánico como el producto entre lafuerza aplicada a un cuerpo y su desplazamiento. Mientras mayorsea la fuerza aplicada y/o el desplazamiento logrado, mayor serátambién el trabajo realizado.
Ya que tanto la fuerza como el desplazamiento son vectores, el tra-bajo depende de las direcciones en que se aplica la fuerza y en quese produce el desplazamiento; en particular, depende del ánguloque se forma entre estos vectores, y se calcula mediante la expresión:
W = || FÆ
|| · || dÆ
|| · cos(a)
Analicemos...
• Considerando la expresión que define el trabajo mecánico, ¿W corresponde a un valor numérico o a un vector?, ¿por qué?
• Dada una fuerza aplicada a un cuerpo y su correspondientedesplazamiento, ¿qué condiciones deben cumplirse para queel trabajo realizado sea máximo? Explica.
• ¿Es posible que se aplique fuerza a un cuerpo y este cuerpo sedesplace, pero que el trabajo sea nulo? Justifica.
La operación que permite obtener el trabajo mecánico W a partirde la fuerza F
Æy el desplazamiento d
Æ, se conoce como producto
punto o producto escalar.
El producto punto de dos vectores es un número y dicho productoserá un número positivo, nulo o negativo, según si el ángulo for-mado por los dos vectores es agudo, recto u obtuso (0 � a � 180º).También el producto punto es nulo si alguno de los factores es nulo.
Si aplicamos esto a la definición de trabajo mecánico, el trabajoobtenido es: máximo cuando la fuerza aplicada y el desplaza-miento tienen la misma dirección y sentido, positivo si el ángulo a(que forman sus vectores) cumple que 0 < a < 90º, nulo cuando susvectores son perpendiculares, y negativo si el ángulo a cumple que90º < a � 180º.
EjemploCalcula el producto punto de los vectores si || a
Æ|| = 3, || b
Æ|| = 8 y
a = 60º.
aÆ· b
Æ= || a
Æ|| · || b
Æ|| · cos(a) = 3 · 8 · cos(60º) = 12.
Glosario
producto punto: se dice de dosvectores, aÆ y bÆ, al número realigual a || aÆ|| · || bÆ|| · cos(a), don-de a es el ángulo (entre 0 y 180º)que forman.
bÆ
aÆ
a
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 118
Vectores | 119
En cambio, si dos vectores en el plano están representados enforma analítica, digamos a
Æ= �a1, a2� y b
Æ= �b1, b2�, el producto
punto se calcula multiplicando las coordenadas de ambos vectores,componente a componente, y sumando sus resultados, es decir:aÆ· b
Æ= �a1, a2� · �b1, b2� = a1 b1 + a2 b2.
EjemploDados a
Æ= �2, –1� y b
Æ= �3, 4�, calcula a
Æ· b
Æy b
Æ· a
Æ.
¿Qué puedes concluir?
• aÆ· b
Æ= �2, –1� · �3, 4� = 2 · 3 + (–1) · 4 = 6 – 4 = 2.
• bÆ· a
Æ= �3, 4� · �2, –1� = 3 · 2 + 4 · (–1) = 6 – 4 = 2.
En general, el producto punto es conmutativo, es decir: aÆ· b
Æ= b
Æ· a
Æ.
Unidad
3
1. Calcula el producto punto de los vectores, considerando los datos dados.
a. || uÆ
|| = 5; || vÆ
|| = 7; a = 30º c. || uÆ
|| = ; || vÆ
|| = 1; a = 45º
b. || uÆ
|| = 7; || vÆ
|| = 7; a = 90º d. || uÆ
|| = 10; || vÆ
|| = 3; a = 180º
2. Para cada par de vectores siguientes, calcula || aÆ
||, || bÆ
|| y | aÆ· b
Æ|. Luego, verifica que se cumple que
| aÆ· b
Æ| � || b
Æ|| · || a
Æ||, en cada caso. ¿Qué debe ocurrir para que se cumpla | a
Æ· b
Æ| = || b
Æ|| · || a
Æ||?
a. aÆ
= �3, 2� y bÆ
= �5, 1� c. aÆ
= �–2, 0� y bÆ
= �8, 2�
b. aÆ
= �4, 7� y bÆ
= �3, –1� d. aÆ
= � , � y bÆ
= �–2, 3�
3. Analiza qué ocurre con el producto punto de aÆy b
Æsi:
a. aÆ
aumenta y bÆ
se mantiene constante. c. aÆ
y bÆ
son perpendiculares.
b. aÆ
y bÆ
aumentan. d. aÆ
y bÆ
son paralelos.
23
12
35
Actividades
En resumen
• El producto punto de dos vectores está dado por la expresión aÆ· b
Æ= || a || · || b || · cos(a),
con a: ángulo comprendido entre ambos vectores.
• O bien, si aÆ= �a1, a2� y b
Æ= �b1, b2�, el producto punto se calcula:
aÆ· b
Æ= �a1, a2� · �b1, b2� = a1 b1 + a2 b2.
• Para todos los vectores aÆ, b
Æ, se cumple que: | a
Æ· b
Æ| � || b
Æ|| · || a
Æ||.
• Si aÆy b
Æson perpendiculares, a
Æ· b
Æ= 0.
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 119
120 | Unidad 3
Ecuación vectorial de la recta en el plano
Viviana representó en su cuaderno los siguientes vectores en unsistema de coordenadas:
�–2, 1�; �2, –1�; �0, 1�; �4, –2�; �1, –0,5�; �3, 1,5�
Sebastián observó que, en algunos casos, parecía que los vectoresestuvieran sobre una misma recta.
dÆ
P
O
L
Glosario
vector director: se dice de un vec-tor que es paralelo a otro elemento,como una recta o un plano, demodo que indica su dirección.
Analicemos...
• Dibuja los vectores anteriores en tu cuaderno. ¿Se cumple lo quedice Sebastián?, ¿por qué?
• Determina cuáles de ellos pueden representarse uno como vectorponderado del otro. Luego, decide si se cumple la frase: “Si uno omás vectores pueden escribirse uno como vector ponderado deotro, entonces pertenecen a la misma recta”. Justifica tu respuesta.
• ¿Se pueden representar rectas en el plano, utilizando vectores ensu forma analítica?, ¿por qué?
• ¿Cómo es la ecuación vectorial de la recta que contiene a unvector dado? Explica.
• Dados dos puntos distintos, sepuede obtener una única rectaque pase por los dos puntos.
• Todo punto en el plano cartesianotiene coordenadas (x, y).
Pon atención
Para analizar si lo que observó Sebastián es correcto, podemos uti-lizar nuestros conocimientos. Sabemos que dos puntos determi-nan una recta en el plano. Si se considera que uno de estos puntoses el origen, y el otro es el correspondiente al extremo del vector,entonces basta un vector para determinar una recta, que tiene lamisma dirección del vector y pasa por el origen.
En un plano cartesiano se puede representar una recta L, que pasapor el origen O(0, 0) y con vector director d
Æ= �d1, d2� paralelo a la
recta L. Si P es un punto que pertenece a la recta L, por ejemplo
P(x, y), entonces siempre existe un número real l, tal que
OPÆ
= l · dÆ. Observa:
Luego la ecuación vectorial de la recta L, expresada en coorde-nadas, es �x, y� = l�d1, d2�.
La colinealidad de puntos se puede
expresar y verificar vectorialmente
por medio de la ponderación. Si M,
N y P son tres puntos colineales,
entonces existe algún número real
l, tal que MPÆ
= l · MNÆ
.
Recuerda que...
MN
P
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 120
Vectores | 121
Unidad
3Ahora, cuando la recta no pasa por el origen, además del vector di-rector es necesario determinar un vector que indique la ubicaciónde la recta en el plano.
En este caso, para representar la recta L con vector director dÆ, pero
que pasa por el punto P0(x0, y0), se considera que si P es un punto
cualquiera de la recta, de coordenadas P(x, y), existe un número
real l, tal que P0PÆ
= l · dÆ, y por lo tanto: OP
Æ= OP0
Æ+ l · d
Æ.
Utilizando el vector posición p0Æ de P0 y considerando el vector p
Æ
de P, resulta: pÆ = p0Æ + l · d
Æ.
Además, si d1 y d2 son las componentes del vector dÆ, la ecuación
vectorial de la recta, expresada en coordenadas es:
�x, y� = �x0, y0� + l �d1, d2�.
EjemploDados los puntos A (2, 3) y B (5, 2), determina la ecuación vecto-rial de la recta que pasa por ellos.
Se utiliza el vector bÆcomo vector posición de la recta. Luego, se
calcula su vector director dÆ, que corresponde al vector AB
Æ,
dÆ= a
Æ– b
Æ= �2, 3� – �5, 2� = �–3, 1�.
De esa manera, se puede escribir la ecuación vectorial de la rectacomo: �x, y� = �5, 2� + l�–3, 1�. O bien, como: �x, y� = �5 – 3l, 2 + l�con l � IR. También se puede usar a
Æcomo vector posición.
Veamos ahora qué sucede si l = . Al remplazar en la ecuación:
Observa que, por otra parte, el punto medio del segmento AB
está dado por: , lo que coincide con el punto
correspondiente a
2 5
2
3 2
2
7
2
5
2
� �,�
� �� � ,�
+ +
=
12
a c b d� �,�
� �+ +
2 2
x y,� � � � –� ,� � � � � � –� ,� � � � ��
= + = + =5 3 2 53
22
1
2
10λ λ
−− +=
�,�
� �� � ,�
3
2
4 1
2
7
2
5
2
Glosario
vector posición: se dice del vectorque indica la posición de otro ele-mento, como una recta o un plano.
Una recta que no pasa por el ori-gen, L: p
Æ= p
Æ0 + l d
Æ, es una
traslación en el vector pÆ0 de la recta
pÆ
= l dÆ.
Pon atención
El punto medio de un segmento,cuyos extremos son (a, b) y (c, d)está dado por:
Y
XO
P0P
p0Æ
pÆd
Æ
l = .12
Recuerda que...
a c b d� �,�
� �+ +
2 2
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 121
122 | Unidad 3
Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta esque permite obtener ecuaciones para un segmento específico dela recta por medio de una restricción del parámetro l.
Por ejemplo, la ecuación �x, y� = �2, –1� + l�1, 2�, con 1 � l � 3 des-cribe el segmento de recta que une los puntos (3, 1) y (5, 5)(obtenidos al remplazar por el mínimo y el máximo valor delparámetro l).
1. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por dos puntos dados: A(–4, 6) y B(4, –2).
2. ¿Se puede determinar la ecuación vectorial de la recta a partir de los puntos (1, 1) y (4, 4)? En casoafirmativo, ¿cuál es su ecuación vectorial?
3. Dados el punto P(2, –2) y el punto Q(–4, 4), ¿cuál es el punto medio del segmento PQ?
4. Dada la ecuación vectorial de la recta �x, y� = �1, 2� + l�4, 8�, determina tres puntos que pertenezcana la recta.
5. ¿A qué recta pertenecen los puntos A(–1, –4), B(1, 1) y C(0, 5)? Justifica.
A. L: �x, y� = �1 + 2l, –1 + 3l�B. L: �x, y� = �–1 + 2l, 3 – 2l�C. L: �x, y� = �2 – l, –1 + 2l�D. L: �x, y�= �–2 – l, –3 + 2l�E. Ninguna de las anteriores.
6. Determina la ecuación vectorial de una recta paralela a �x, y� = �2, –5� + l�1, –4�; luego, grafica ambas rectas.
Actividades
En resumen
• La expresión pÆ= p0
Æ+ l d
Ærecibe el nombre de ecuación vectorial de la recta o ecuación de la
recta en la forma vectorial. p0Æ
es el vector posición de la recta, cuando no pasa por el origen
(que no es un vector ponderado de dÆ), d
Æes el vector director, paralelo a la recta, y l es un
parámetro que, al tomar diferentes valores, nos entrega distintos puntos que forman la recta.
Glosario
parámetro: variable que puede to-mar diferentes valores, condicionandoasí los del resto de las variables.
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 122
Vectores | 123
Unidad
3
Ecuación vectorial de una recta y su ecuación cartesiana
Como ya sabemos, la ecuación vectorial de la recta está determi-nada por un punto y una dirección; por consiguiente, por un puntode la recta y un vector paralelo a ella.
Considera una recta L en el plano, cuyo vector director es dÆ= �6, 4�
y A (5, 7) un punto perteneciente a ella.
Remplazando valores en la ecuación vectorial, se pueden ubicar enel plano cartesiano dos puntos pertenecientes a la recta y, luego,graficarla. Observa:
Primer paso: determinar la ecuación vectorial de la recta. Ya que la recta L pasa por el punto A, este es el vector posición:�x, y� = �5, 7� + l�6, 4� con l, número real.
Segundo paso: para determinar un punto B se asigna un valorcualquiera a l y se remplaza en la ecuación. Por ejemplo, si l = 2,el punto B resultante es:
B = (5, 7) + 2 · (6, 4) = (5, 7) + (12, 8) = (17, 15)
Tercer paso: se grafican los puntos A y B y se traza la línea quepasa por ellos para obtener la recta L.
Cuarto paso: se calcula la ecuación cartesiana de la recta dados un
punto de ella y su pendiente. La pendiente m se calcula a partir de
las coordenadas del vector director �d1, d2� como m = .
y – 7 = · (x – 5).
Ordenando, se obtiene 2x – 3y + 11 = 0.
46
d2d1
Analicemos...
• ¿Cuál es la ecuación vectorial de L? Explica.• ¿Cómo se obtiene un punto B que pertenezca a la
recta L? Justifica. • ¿Cómo se obtiene la ecuación cartesiana de la recta L? Explica.• Conocidos los puntos A y B, ¿se puede graficar la recta L?,
¿por qué?• En general, ¿cómo se grafica una recta en el plano, a partir de
su ecuación vectorial?
10
12
14
16
8
6
4
2
–2 2 4 6 8 10 12 14 16 18
A
L
B
–2
dÆ
La ecuación cartesiana de la recta,dada su pendiente m y un punto deella (x0, y0) es: y – y0 = m · (x – x0)
Recuerda que...
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124 | Unidad 3
Ejemplo 1Dada la ecuación vectorial de la recta: �x, y� = �5, 2� + l �3, 1�, de-termina la correspondiente ecuación cartesiana.
Otra forma de obtener la ecuación cartesiana correspondiente esigualar componente a componente y despejar el parámetro l encada una de estas ecuaciones:
x = 5 + 3l fi l =
y = 2 + l fi l = y – 2
Luego, se igualan ambos parámetros y se despeja y:
= y – 2 �
x – 5 = 3y – 6
y = x + (Ecuación cartesiana de la recta)
Ejemplo 2Dada la ecuación cartesiana de la recta: 4x + 3y + 7 = 0, determinala correspondiente ecuación vectorial.
Primer paso: para obtener el vector posición se requiere determinarun punto que pertenezca a la recta. Por ejemplo, se puede calcular elvalor de y remplazando en la ecuación de la recta un valor para x.Si x = –1, 4 · (–1) + 3y + 7 = 0
3y + 3 = 0y = –1
Entonces, el vector posición es �–1, –1�.
Segundo paso: para obtener el vector director se puede calcular
la pendiente de la recta m = y, luego, escribir el vector director
4x + 3y + 7 = 03y = –4x – 7
y = – x – , es decir, m = – .
Luego un vector director es �3, –4�. Por lo tanto, una ecuación vec-torial de la recta es: �x, y� = �–1, –1� + l�3, –4�.
43
73
43
d2d1
13
13
x – 53
x – 53
como �d1, d2�.
Observa que la recta tiene pendiente ; mientras que su vector di-rector es �3, 1�.
13
• La ecuación cartesiana de la rectaestá dada por ax + by + c = 0,o bien y = mx + n.
• Dos rectas son paralelas si tienenigual pendiente.
• Dos rectas son perpendicularessi sus respectivas pendientes, m1y m2, satisfacen m1 · m2 = –1.
Recuerda que...
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 124
Vectores | 125
Unidad
3
1. Dada la ecuación vectorial de la recta �x, y� = �1, 2� +l�4, 8�, determina la ecuación cartesiana correspondiente.
2. Encuentra la ecuación cartesiana correspondiente a la recta que pasa por el punto (5, –2) y esparalela al vector d
Æ= �–2, 3�.
3. Encuentra la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto (–3, 2) y es paralela a la recta y = 3x – 2.
4. Decide si los puntos (0, 0), (0, 11) y (–3, 0) pertenecen a la recta anterior. Justifica tu decisión.
5. Determina la ecuación vectorial para cada recta.
4x + 2 = 3y – 3 2x – 5y + 1 = 0
6. Indica cuál es la posición relativa entre las rectas dadas. Explica.
L1: x – y – 2 = 0, L
2: �x, y� = �1, 2� + l�2, 2�
7. De la recta �x, y� = �2, –3� + l�1, 2� y el punto P(2, 1), obtén la ecuación de la recta:
a. paralela a la dada que pasa por P. b. perpendicular a la dada que pasa por P.
8. Obtén la recta que pasa por el punto A(2, –1) y tiene la misma pendiente que:
a. �x, y) = �0, 3� + l�1, 1� b. 2x – 3y = 6
Actividades
En resumen
• La ecuación de la recta en el plano se puede representar mediante:
• la ecuación cartesiana de la recta: ax + by + c = 0.• la ecuación vectorial de la recta: �x, y� = p0
Æ+ l d
Æ= �x0, y0� +l�d1, d2�, donde d
Æes el vector
director de la recta, p0Æ�x0, y0� es el vector posición y l es su parámetro.
• Si dÆes un vector director cuyas coordenadas son �d1, d2�, la pendiente m de la recta
correspondiente está dada por m = .d2d1
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 125
126 | Unidad 3
Producto cruz y vectores en el espacio
Sergio intentó abrir una puerta batiente empujando en el centrode una de sus hojas, como se muestra en la ilustración. Aunque fi-nalmente lo consiguió, tuvo que hacer más fuerza de lo que habíaimaginado. Andrea, en cambio, empujó el borde de la hoja queestá más alejado del marco de la puerta.
En la situación presentada podíamos observar que Sergio y Andreaaplicaban una fuerza sobre una puerta. Cuando una fuerza actúasobre un cuerpo, la puerta en este caso, y producto de esta acciónel cuerpo gira, se dice que se ha producido un torque sobre elcuerpo. Otro ejemplo es la fuerza que se aplica al pedal de la bicicletaque permite que gire el plato, y con él la cadena de la bicicleta.
El torque sobre el cuerpo se puede calcular como el producto cruzentre la fuerza aplicada y la posición del punto de aplicación de lafuerza respecto del eje de giro del cuerpo: t
Æ= r
Æ¥ F
Æ
El producto cruz o vectorial aÆ
¥ bÆentre dos vectores en el espacio
se define como un tercer vector pÆ, perpendicular a ambos, a
Æy b
Æ.
El módulo de pÆ= a
Æ¥ b
Æcorresponde al área del paralelogramo
formado por aÆy b
Æ; luego, || p
Æ|| = || a
Æ|| · || b
Æ|| · sen(a), donde a
es el ángulo agudo formado por los vectores aÆy b
Æ.
Analicemos...
• ¿Crees que Andrea tuvo que aplicar la misma fuerza que Sergiopara abrir la puerta?, ¿por qué?
• Si se aplicara la misma fuerza en distintos puntos de la puerta,¿se obtendría el mismo movimiento en torno a su eje? Explica.
• Si se aplica una fuerza, ¿en qué posición se obtiene el máximogiro?, ¿en qué posición se obtiene un giro nulo? Comenta contus compañeros y compañeras.
Glosario
torque: magnitud resultante del pro-ducto del valor de una fuerza por sudistancia a un punto de referencia.
• El producto punto entre dos vec-tores a
Æy b
Ætiene como resul-
tado un valor numérico (escalar);en cambio, el resultado del pro-ducto cruz es un nuevo vector.
• El producto cruz se define solopara vectores en el espacio. No tiene sentido para vectoresen el plano.
Pon atención
pÆ
= aÆ
X bÆ
pÆ
= bÆ
X aÆ II pÆII = II aÆII · II bÆII sen(a)
aÆ
II bÆII sen(a)
ab
Æ
pÆ p
Æ
aÆ
aÆ
bÆ
bÆ
a
a
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 126
Vectores | 127
Unidad
3Para calcular el producto cruz de dos vectores, utilizando sus coor-denadas cartesianas, es indispensable considerarlos en el espaciocartesiano, es decir, con sus tres coordenadas. Por ejemplo, si seconsidera el plano cartesiano como el piso de la sala, la tercera coor-denada va a representar la altura que tiene el vector.
Así, en el gráfico siguiente está representado el punto C = (1, 4, 6).
Una forma de calcular el producto cruz entre dos vectores es repre-sentando cada vector mediante los vectores unitarios cartesianos.
Los vectores unitarios asociados con las direcciones de los ejes coorde-nados cartesianos X, Y, Z, se designan por i^, j^, k^, respectivamente.Permiten expresar los vectores por medio de sus componentescartesianas. Así, i^ = �1, 0, 0�, j^ = �0, 1, 0�, k^ = �0, 0, 1�.
EjemploObserva la siguiente imagen en que se muestra c
Æ= �1, 4, 6�.
De esta manera, el vector cÆse puede representar como:
cÆ= �1, 4, 6� = i^ + 4j^ + 6k^.
67
5
43
2
1
12341 2 3 4 5 6 Y
Z
X
67
5
43
2
1
12341 2 3 4 5 6 Y
Z
Xi^
i^
j^
j^
k^
k^ Glosario
vectores unitarios: vectores cuyamagnitud o módulo es igual a la unidad.
Si colocas los dedos de tu manoderecha de modo que apunten enla dirección y sentido del vector a
Æ
y, luego, doblas los dedos apun-tando hacia b
Æ, la dirección y sen-
tido de aÆ
¥ bÆ
están dados por eldedo pulgar extendido. Esto se cono-ce como la regla de la mano derecha.
Pon atención
cÆ
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 127
128 | Unidad 3
Observa cómo se calcula el producto cruz entre dos vectores, uti-lizando sus coordenadas cartesianas y los vectores unitarios. Sean dos vectores A
Æ= �a, b, c� y V
Æ= �u, v, w�
AÆ
¥ VÆ
= (ai^ + bj^ + ck^) ¥ (ui^+ vj^ + wk^)= au (i^
¥ i^) + av (i^ ¥ j^) + aw (i^¥ k^) + bu ( j^ ¥ i^) + bv ( j^ ¥ j^) + bw ( j^ ¥ k^) + cu (k^ ¥ i^) + cv (k^ ¥ j^) + cw (k^ ¥ k^)
= av k^ – aw j^ – bu k^ + bw i^ + cu j^ – cv i^
= (bw – cv) i^ + (cu – aw) j^ + (av – bu) k^
EjemplosSean dos vectores A
Æ= �3, 4, –1� y V
Æ= �2, –5, 6�:
1. AÆ
¥ VÆ
= (3i^ + 4j^ – k^) ¥ (2i^ – 5j^ + 6k^)= 6 (i^ ¥ i^) + –15 (i^
¥ j^) + 18 (i^ ¥ k^) + 8 ( j^ ¥ i^) + –20 ( j^ ¥ j^)+ 24 ( j^ ¥ k^) + –2 (k^ ¥ i^) + 5 (k^ ¥ j^) + –6 (k^ ¥ k^)
= –15 k^ + 18 (–j^) + 8 (–k^) + 24 i^ + –2 j^ + 5 ( –i^ )
= 19 i^ – 20 j^ – 23 k^
2. AÆ
¥ AÆ
= (3i^ + 4j^ – k^) ¥ (3i^ + 4j^ – k^)= 9 (ii^¥ i^) + 12 (i^¥ j^) + –3 (i^¥ k^) + 12 ( j^
¥ i^) + 16 ( j^¥ j^) + –4 ( j^ ¥ k^) + –3 (k^ ¥ i^) + –4 (k^ ¥ j^) + 1 (k^ ¥ k^)
= 12 k^ + –3 (–j^) + 12 (–k^) + –4 i^ + –3 j^ + –4 ( –i^)
= 0 i^ + 0 j^ + 0 k^ = 0Æ
El producto cruz cumple con las siguientes propiedades:
• es distributivo respecto de la suma de vectores.
Es decir, aÆ
¥ (bÆ
+ cÆ
) = (aÆ
¥ bÆ
) + (aÆ
¥ cÆ
).
• aÆ
¥ (lbÆ
) = l (aÆ
¥ bÆ
) = (laÆ
) ¥ bÆ
.
• el producto cruz de un vector con uno de sus ponderados es
nulo. Es decir, aÆ
¥ laÆ
= 0Æ
.
• no es conmutativo, ya que aÆ
¥ bÆ
= –(bÆ
¥ aÆ
).
i^ ¥ i^ = 0
j^ ¥ j^ = 0
k^ ¥ k^ = 0
• Por definición, i^, j^ y k^ son vectores
perpendiculares entre sí; es decir:
i^ = j^, j^ = k^, k^= ii^.
• Aplicando la regla de la manoderecha, se cumple que:
i^ ¥ j^ = k^
ii^ ¥ k^ = –j^
j^ ¥ ii^ = –k^
j^ ¥ k^ = ii^
k^ ¥ ii^ = j^
k^ ¥ j^ = –i^
Pon atención
En resumen
• Para representar vectores unitarios que están en los ejes X, Y y Z, en sentido positivo, utilizamos las letras i^, j^ y k^, respectivamente.
• El producto cruz, de dos vectores uÆ
¥ vÆ
, es un vector de módulo | uÆ
| · | vÆ
| · sen(a), con dirección perpendicular al plano determinado por u
Æy v
Æ, y cuyo sentido se puede determinar
mediante la regla de la mano derecha.
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 26-10-12 10:09 Página 128
Vectores | 129
Unidad
3
1. Expresa los vectores aÆ, b
Æ, c
Æy d
Æen términos de los vectores unitarios i^ y j^.
2. Expresa los siguientes vectores, utilizando los vectores unitarios cartesianos, y grafícalos.
a. sÆ
= �–1, 2, 3� b. tÆ
= �–3, – , 0� c. uÆ
= �–4, 0, 2� d. vÆ
= �0, 5, –6�
3. Considera un cubo de 4 unidades de arista y los posibles vectores que se pueden formar. Completa, en cada caso, con el vector que resulta.
a. ABÆ
¥ ADÆ
b. CDÆ
¥ CBÆ
c. EAÆ
¥ EFÆ
d. BFÆ
¥ BCÆ
4. Calcula uÆ
¥ vÆpara los siguientes vectores u
Æ, v
Æ, en cada caso.
a. uÆ
= �–1, 5, 3� y vÆ
= �1, 0, 2� d. uÆ
= �–3, –3, –3� y vÆ
= �–2, –2, –2�b. u
Æ= �–2, 2, 0� y v
Æ= �6, –1, 1� e. u
Æ= �8, 0, 1� y v
Æ= �–7, 6, 4�
c. uÆ
= �–1, –1, 3� y vÆ
= �0, 6, 2� f. uÆ
= �–6, 6, 6� y vÆ
= �–4, –4, 4�
5. Demuestra algebraicamente que el producto cruz:
a. no es conmutativo.b. es distributivo, respecto de la suma de vectores. c. de un vector por sí mismo es el vector nulo.
13
Actividades
–4
–4
4
4 X
Y
HG
F
BA
D
E
C
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 129
130 | Unidad 3
• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.
• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.2. ¿Qué indica el vector posición de una ecuación de la recta?, ¿y el vector director?3. ¿Cuál es la diferencia entre la ecuación vectorial de una recta y la ecuación cartesiana?4. ¿Cómo se calcula el producto cruz de dos vectores?, ¿para qué se utiliza la regla de la
mano derecha?5. ¿En qué casos el producto cruz de dos vectores es cero?, ¿por qué?6. ¿Se puede calcular el producto cruz entre dos vectores del plano cartesiano?, ¿por qué?7. ¿Cómo se calcula el producto punto entre dos vectores? Explica.8. ¿En qué casos el producto punto entre dos vectores es cero?, ¿por qué?9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Organizando lo aprendido
VECTORES
UNA RECTA EN
EL PLANO
ECUACIÓN
CARTESIANA
OPERATORIA
permiten representar su
considera tambiénmediante
ECUACIÓN
VECTORIAL
VECTOR
POSICIÓN
VECTOR
DIRECTOR
PRODUCTO
PUNTO
VECTORES
PERPENDICULARES
TRABAJO
MECÁNICO
VECTORES EN
EL ESPACIO
TORQUE
cuando es cero sona partir de para calcular solo para para calcular
PRODUCTO
CRUZ
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:19 Página 130
Vectores | 131
Mi progreso
1. Obtén el producto punto de los siguientes pares de vectores:
a. uÆ= �3, 2� y v
Æ= �0, 4� b. u
Æ= �–2, 1� y v
Æ= �4, 6� c. u
Æ= �5, –2� y v
Æ= �–1, 7�
2. Dados los vectores uÆ= �x, 2� y v
Æ= �3, 1�, determina el valor de x para que:
a. sean paralelos. b. sean perpendiculares.
3. Determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por el punto P y tiene vector director dÆ, en cada
caso. Luego, obtén otros tres puntos de cada recta.
a. P(2, 1) y dÆ
= �–2, 6� b. P(–1, 4) y dÆ
= �3, 8� c. P(0, 5) y dÆ
= �4, –7�
4. Determina la ecuación vectorial correspondiente, en cada caso.
a. 4x – 5 = 2y + 3b. 3x – 4y + 7 = 0
5. Los vectores aÆ, b
Æ, c
Æy d
Æde módulo 4 forman un cuadrado. El producto a
Æ¥ b
Æes:
A. módulo 4, perpendicular hacia afuera.B. módulo 16, paralelo a b
Æ.
C. módulo 16, perpendicular hacia afuera.D. módulo 4, perpendicular hacia dentro.E. módulo 16, perpendicular hacia dentro.
• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste algunas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.
¿Cómo voy?
Unid
ad 3
CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA
Calcular y aplicar el producto punto de dos vectores.
1 y 2 118 y 119
Determinar la ecuación vectorial de la recta. 3 y 4 120 a 125
Calcular el producto cruz de dos vectores. 5 126 a 129
cÆ
dÆ
aÆ
bÆ
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 131
132 | Unidad 3
Ecuación vectorial de la recta en el espacio
Anteriormente vimos que para escribir la ecuación vectorial de larecta en el plano es necesario determinar su vector posición y suvector director. Ahora veremos cómo se puede calcular la ecuaciónvectorial de la recta L en el espacio. Para ello, considera los pun-tos P(3, –3, 5) y Q(1, 4, 6) y observa la imagen.
P
ZQ
YO
X
LdÆ
qÆ
pÆ
Observa que en el espacio se requiere de tres coordenadas paraubicar los puntos correctamente, pero esto no significa que senecesiten tres vectores para representar una recta. En cambio, sepuede indicar su vector posición y su vector director, tal como enel plano, solo que ahora estos vectores tienen tres coordenadas.
En este caso, el vector director está dado por dÆ
= PQÆ
= �–2, 7, 1�,luego la ecuación de L es �x, y, z� = �3, –3, –5� + l�–2, 7, 1�.
La ecuación vectorial de una recta en el espacio, se escribe como la
de una recta en el plano, extendiéndola a tres coordenadas. Es
decir, dado un punto P(x0, y0, z0) y un vector dÆ
= �d1, d2, d3�, laecuación vectorial de la recta que pasa por P y tiene dirección d
Æes:
�x, y, z� = �x0, y0, z0� + l�d1, d2, d3�, con l � IR.
O también �x, y, z� = �x0 + ld1, y0+ ld2, z0+ ld3�, con l � IR.
EjemploDetermina si los puntos P (1, 1, 1), Q (0, 1, –1) y R (2, 1, 3) son co-lineales. Si lo fueran, escribe la ecuación vectorial de la recta quelos contiene.
Primero, se verifica si PQÆ
y QRÆ
son paralelos:
PQÆ
= �0 –1, 1 –1,–1 –1� = �–1, 0, –2� y QRÆ
= �2 – 0, 1 –1, 3 – –1� = �2, 0, 4�.
Para esto, se determina si existe un número real l, tal que QRÆ
= lPQÆ
.
En efecto, �2, 0, 4� = l�–1, 0, –2� fi 2 = –l y 4 = –2l, de donde se in-
fiere que l = –2. Por lo tanto, los puntos P, Q y R son colineales.
Analicemos...
• ¿Existe una recta que pase por P y Q?, ¿existe más de una?,¿cómo lo sabes?
• Además de los vectores posición y director, ¿se necesita un nuevovector para identificar una recta en el espacio?, ¿por qué?
• Si la recta L pasa por P y Q, ¿cómo se calcula su vector director?Justifica. Luego, escribe la ecuación vectorial de la recta L.
• Dos vectores vÆ y wÆ son paralelossi existe un número real l, tal que vÆ = lwÆ.
• Dos vectores vÆ y wÆson perpen-diculares si vÆ· wÆ= 0, donde �a, b, c� · �d, e, f� = ad+ be+ cf,tal como en el plano.
Recuerda que...
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 132
Vectores | 133
Luego si se utiliza el vector pÆ
y el vector QRÆ
, la recta que contienea P, Q y R se puede representar con la ecuación:
�x, y, z� = �x0, y0, z0� + l�d1, d2, d3�.�x, y, z� = �1, 1, 1� + l�2, 0, 4�
Ahora, si se utiliza el vector rÆ
y el vector PQÆ
, se obtiene unaecuación diferente, �x, y, z� = �2, 1, 3� + l1�–1, 0, –2�, pero que re-presenta la misma recta.
Una misma recta puede representarse mediante distintas ecua-ciones vectoriales. Esto sucede porque, por ejemplo, los vectores�2, 0, 4� y �–1, 0, –2� representan la misma dirección. Por otra parte,cualquiera de los puntos que pertenecen a la recta puede utilizarsecomo vector posición.
Para verificar que un punto pertenece a una recta, se puede deter-minar cuál es el valor de l de modo que se satisfaga la ecuaciónvectorial correspondiente. Observa.
�2, 1, 3� pertenece a la recta de ecuación �x, y, z� = �1, 1, 1� + l�2, 0, 4�
porque al remplazar l = se satisface la igualdad:12
Unid
ad 3
Z
X
YQ
PR
�2, 1, 3� = �1, 1, 1� + · �2, 0, 4�12
Sean L1: pÆ = p0
Æ + lvÆ y
L2: qÆ = q0
Æ + mwÆ, entonces L1 // L2
solo si vÆ es paralelo a wÆ.Del mismo modo, L1 ^ L2 solo si v
Æ
es perpendicular a wÆ.
Pon atención
En resumen
• La ecuación vectorial de la recta en el espacio está dada por la expresión
�x, y, z� = p0
Æ+ ld
Æ= �x0, y0, z0� + l�d1, d2, d3�, donde d
Æ: vector director de la recta;
p0
Æ�x0, y0, z0�: vector posición de la recta; l: parámetro.
1. Escribe la ecuación vectorial de la recta L que pasa por P(12, –5, 7) y Q(0, 6, –3).
2. Determina si los siguientes puntos son colineales. Si así fuera, escribe la ecuación vectorial correspondiente.
a. P(1, 0, 2), Q(–1, 1, 1) y R(3, –1, 1) c. P(0, –1, –2), Q(0, 2, 4) y R(0, 1, 2) b. P(–1, –1, –1), Q(–1, 0, 1) y R(–1, –2, –3) d. P(4, 2, 1), Q(3, 7, 3) y R(1, –5, –2)
Actividades
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 133
134 | Unidad 3
Rectas y planos
Observa los planos representados en la siguiente imagen. Consideraque las rectas y los puntos pertenecen a los planos correspondientes,en cada caso.
P1P2 P4P3
L1
L1
L2
C
A B
LC
B
A
L2
Un plano posee solo dos dimensiones, es ilimitado y contiene infini-tos puntos y rectas; es uno de los entes geométricos fundamentales,junto con el punto y la recta. Se considera un concepto primitivo,que no puede definirse; solamente puede ser descrito en relacióna otros elementos geométricos similares.
Tal como dos puntos distintos definen una única recta que pasapor esos puntos, se puede determinar el plano que contiene al-gunos puntos y/o rectas, cuando cumplen ciertas condiciones:
• tres puntos no colineales: tres puntos no colineales determinanun único plano.
• dos rectas que se intersecan: dos rectas secantes y distintas de-terminan un único plano.
Analicemos...
• Dada una recta cualquiera, ¿siempre está contenida en algúnplano? Si es así, ¿es el único que la contiene?, ¿por qué?
• Dadas dos rectas paralelas, como en el plano P1, ¿existe un plano
que contenga a ambas rectas? Si existe, ¿es único? Explica.• Si dos rectas no son paralelas, ¿existe un plano que las con-
tenga?, ¿alguno de los planos muestra este caso? Justifica.• Si se tienen una recta y un punto que no pertenece a esta recta,
como en el plano P2, ¿siempre existe un plano que contenga a
esa recta y pase por ese punto?, ¿por qué? • Los puntos A, B y C pertenecen al plano P
4. ¿Existe un plano
distinto a él que también los contenga?, ¿por qué?• Si dos puntos distintos definen una única recta que pasa por
esos puntos, ¿cuántos puntos definen un único plano que pasapor ellos? Explica.
• Tres puntos son colineales sipertenecen a una misma recta.
• Si la intersección de dos rectas ode dos planos es no vacía, sedice que son secantes.
Recuerda que...
Los planos se simbolizan utilizandola letra P.
Pon atención
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Vectores | 135
Unid
ad 3
Glosario
alabeadas: se dice de dos rectas queestán contenidas en planos distintosy no se intersecan.coplanarios: se dice de puntos u otroselementos que pertenecen almismo plano.
1. Indica ejemplos de modelos físicos en que se observen, en cada caso:
a. rectas: secantes, paralelas y alabeadas. b. puntos no colineales. c. rectas y planos: secantes, paralelos y coincidentes.
2. De acuerdo con la figura, ABCDEF es un octaedro, en el cual los puntos A, B, C, D y G son coplanarios,indica en cada caso si la afirmación es verdadera o falsa, según corresponda. Justifica tu decisión.
a. Los puntos A, E y F son colineales. b. Los puntos B, C, E y F son coplanarios. c. El segmento AC se interseca con BD. d. El segmento AC se interseca con DF. e. Los puntos A, C y F son coplanarios. f. Los puntos B, D, F y G son coplanarios.
3. Construye un contraejemplo para cada una de las siguientes proposiciones:
a. Si dos rectas diferentes se intersecan, existen solo dos planos que las contienen. b. Dados tres puntos colineales, existe un único plano que los contiene.
• dos rectas paralelas: dos rectas paralelas y distintas determinanun único plano.
• una recta y un punto exterior a ella: una recta y un punto ex-terior a ella determinan un único plano.
En resumen
• Un plano posee solo dos dimensiones, es ilimitado y contiene infinitos puntos y rectas. Se le considera un concepto primitivo, que no puede definirse.
• Se puede determinar un único plano a partir, en cada caso, de:• tres puntos no colineales.• dos rectas secantes y distintas.• dos rectas paralelas y distintas.• una recta y un punto exterior a ella.
Actividades
E
C
D
G
F
B
A
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136 | Unidad 3
Ecuación vectorial y ecuación cartesiana de un plano en el espacio
Anteriormente vimos cómo se determina la ecuación de la recta enel espacio. Ahora veremos cómo se puede calcular la ecuación vec-torial de un plano en el espacio. Para ello, considera los vectoresOAÆ
= �3, 1, 6�, OBÆ
= �0, 2, 4� y OCÆ
= �2, 5, 8�.
Recuerda que para determinar la ecuación de la recta en general,se puede calcular a partir de dos puntos dados, o bien de un puntoy su dirección, ya sea que se indique vectorialmente o mediante lapendiente de la recta. De manera similar, para determinar laecuación de un plano, se puede calcular a partir de tres puntos nocolineales o de puntos y rectas que estén contenidas en él.
En general, un plano en el espacio P puede quedar determinado
por un punto A (a1, a2, a3) y dos vectores directores no paralelos
entre sí, rÆ= �r1, r2, r3� y s
Æ= �s1, s2, s3�.
A partir de la figura, observa que para un punto P(x, y, z) cualquieradel plano P, se cumple lo siguiente: OP
Æ = OA
Æ + AP
Æ.
Por lo que APÆ
es un vector paralelo al plano P, es decir, rÆ, s
Æy lr
Æ+ ms
Æ
(con l, m � IR), son paralelos al mismo plano, luego
OPÆ
= OAÆ
+ lrÆ
+ msÆ.
Entonces, la ecuación vectorial del plano P se escribe: �x, y, z� = �a1, a2, a3� + l�r1, r2, r3� + m�s1, s2, s3�.
Luego, se pueden igualar, componente a componente, para determi-nar las ecuaciones x = a1 + lr1 + ms1; y = a2 + lr2 + ms2; z = a3 + lr3 +ms3.
Estas ecuaciones se pueden reescribir como un sistema de ecua-ciones, para eliminar los parámetros l y m, y así obtener la ecuacióngeneral o cartesiana de un plano, cuya forma general es:
Ax + By + Cz + D = 0
Analicemos...
• ¿Los puntos A, B y C son colineales?, ¿son coplanarios? Justifica.• Determina los vectores AB
Æy AC
Æ. ¿El punto D = (–5, 10, 2) se
puede representar a partir de los vectores ABÆ
y ACÆ
? Explica.• ¿Cuál es la ecuación vectorial del plano que contiene a los pun-
tos A, B y C? Explica.• ¿El punto D pertenece al plano que contiene a los puntos A, B
y C?, ¿por qué?
P
A
OY
X
X
Y
Z
Z
P
sÆ
rÆ
AB
C
Un vector director de una recta o deun plano es un vector paralelo adicha recta o plano.
Pon atención
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 136
Vectores | 137
Ejemplo 1 Dado un plano P que pasa por los puntos P (1, 1, 1), Q (2, 1, 2) yR (0, 2, –1), ¿cuál es la ecuación vectorial del plano?, ¿cuál es suecuación cartesiana?
Para obtener la ecuación vectorial pedida, primero se determinanlos vectores directores.
QPÆ
= pÆ
– qÆ
= �1 – 2, 1 – 1, 1 – 2� = �–1, 0, –1�RPÆ
= pÆ
– rÆ
= �1 – 0, 1 – 2, 1 + 1� = �1, –1, 2�
Luego, la ecuación vectorial del plano es: P : �x, y, z� = �1, 1, 1� + l�–1, 0, –1� + m�1, –1, 2�
Igualando componente a componente, se obtienen las ecuaciones:
x = 1 + –1 · l + 1 · m x – z = –m x – y – z = –1y = 1 + 0 · l + –1 · m y = 1 – m
z = 1 + –1 · l + 2 · m
Por lo tanto, la correspondiente ecuación cartesiana es: x – y – z = –1. Observa que P, Q y R satisfacen esta ecuación.
Ejemplo 2Dados tres puntos, P (0, 0, –1), Q (2, 1, 1) y R (4, 1, 4), no colineales.
• Determina la ecuación vectorial del plano P que pasa por lospuntos P, Q y R.
• Determina un punto T, tal que el cuadrilátero PQRT sea unparalelogramo. ¿El punto T pertenece al plano P? Justifica.
La ecuación del plano que pasa por los puntos P, Q y R es:
�x, y, z� = pÆ + l PQÆ
+ m PRÆ
, con l, m � IR.
�x, y, z� = �0, 0, –1� + l �2, 1, 2� + m �4, 1, 5�
Se obtiene T de la siguiente manera:
tÆ
= pÆ
+ QRÆ
= pÆ
+ (rÆ
– qÆ) = p
Æ+ r
Æ– q
Æ
tÆ
= �0 + 4 – 2, 0 + 1 – 1, –1 + 4 – 1� = �2, 0, 2�
Unid
ad 3
Z
Y
X P
se elimina l
se elimina m
Q
R
Ya que PQRT debe ser un paralelo-
gramo, tÆse obtiene de sumar el
vector posición pÆ
y el vector QRÆ
,
que representa la dirección y me-
dida del lado QRÆ
. Observa.
Pon atención
P
T
R
Q
Z
YX
• Si P y Q son puntos que per-tenecen a una recta o plano, unvector director posible es QP
Æ.
Recuerda que...
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 137
138 | Unidad 3
Para comprobar que el punto T (2, 0, 2) pertenece al plano, se debendeterminar los valores de l y m en la siguiente ecuación:
�2, 0, 2� = �0, 0, –1� + l �2, 1, 2� + m �4, 1, 5�
Esto equivale a resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
2 = 2l + 4m 0 = l + m l = –10 = l + m 0 = 1 – m m = 12 = –1 + 2l + 5m
�
Como este sistema tiene solución (los valores de l y m satisfacenlas tres ecuaciones), el punto T pertenece al plano y, además, con-forma un paralelogramo originado a partir de los puntos P, Q y R.
Observa ahora cómo graficar un plano en el espacio.
Ejemplo 1 Grafica el plano P: 5x + 2y + 4z = 20
Primer paso: se determinan los puntos en que el plano corta a losejes coordenados. Observa.Intersección con el eje X: se remplaza y = 0 y z = 0, entonces 5x = 20 fi x = 4. Se obtiene (4, 0, 0). Intersección con el eje Y: se remplaza x = 0 y z = 0, entonces 2y = 20 fi y = 10. Se obtiene (0, 10, 0).Intersección con el eje Z: se remplaza x = 0 e y = 0, entonces 4z = 20 fi z = 5. Se obtiene (0, 0, 5).
Segundo paso: se ubican estos puntos en los ejes coordenados y,luego, se trazan los segmentos que los unen y se grafica el plano.
Ejemplo 2 Grafica el plano cuya ecuación cartesiana es 3x + 4y = 12.
Primer paso: determina los puntos en que el plano corta a los ejescoordenados.
Intersección eje X : se remplaza y = 0 y z = 0, entonces 3x = 12 fi x = 4.Se obtiene (4, 0, 0).
Planos destacados en el espaciotridimensional:
• Plano horizontal XYecuación z = 0.
• Plano vertical YZecuación x = 0.
• Plano vertical XZ ecuación y = 0.
.
Pon atención
Z
YX
Z
X
Y
Z
X
Y
restando
Z
X Y104
5
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 138
Vectores | 139
Unid
ad 3Intersección eje Y: se remplaza x = 0 y z = 0, entonces 4y = 12 fi y = 3.
Se obtiene (0, 3, 0).Intersección eje Z: se remplaza x = 0 e y = 0, entonces 0 = 12 fi falso.Como esto no es cierto, significa que no existe un punto de inter-sección en el eje Z.
Segundo paso: como no hay un punto común al eje Z, el planoque se graficará es paralelo a ese eje, y pasa por los puntos (4, 0, 0)y (0, 3, 0).
En resumen
• La ecuación vectorial del plano en el espacio está dada por:
P: �x, y, z� = �x0, y0, z0� + l�d1, d2, d3� + m�v1, v2, v3�, con dÆ
y vÆ
vectores directores del plano,
no paralelos entre sí; p0
Æ�x0, y0, z0�: vector posición, l, m: parámetros.
• La ecuación general o cartesiana de un plano en el espacio está dada por: Ax + By + Cz + D = 0.
1. Dados A(2, –2, 1), rÆ = �1, 0, –1� y sÆ = �–2, 3, 2�, determina la ecuación vectorial del plano.
2. Caracteriza el plano formado por los puntos de la forma l�2, 2, 0� + m�0, 0, 1�, con l y m � IR.
3. Sitúa un cubo de arista 5 con un vértice en el origen, de modo que algunas aristas se ubiquen sobrelos ejes X, Y, Z. Determina la ecuación vectorial y cartesiana de los planos portadores de sus carasy las ecuaciones vectoriales de las rectas formadas por la prolongación de sus aristas.
4. La ecuación vectorial de un plano es �x, y, z� = �0, 0, 2� +l �2, 4, 4� + m �2, 6, 7�, con l, m � IR. Determina si es paralelo a alguno de los ejes X, Y o Z.
5. Grafica el plano que pasa por el punto (1, 6, 1) y es paralelo al plano XZ.
6. Determina la ecuación cartesiana y el gráfico de un plano, dada la ecuación: �x, y, z� = �l, 3m, m�con l, m números reales.
7. Analiza la suma lvÆ + m�0, 0, 1� para cualquier valor de los parámetros l y m, con vÆ un vector en elespacio tridimensional. ¿Qué se obtiene?
Actividades
Z
X
Y34
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 139
140 | Unidad 3
Posición relativa entre planos
Observa las siguientes figuras, donde se representan las posiblesposiciones entre dos planos en el espacio.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
Las figuras presentadas nos muestran las posibles posiciones entredos planos en el espacio, que se pueden describir como:
• planos paralelos: cuando no tienen puntos de intersección. • planos secantes: cuando su intersección determina una recta y,
por ende, posee infinitos puntos de intersección: todos los pun-tos que pertenecen a esa recta.
• planos coincidentes: cuando tienen todos sus puntos en común.
Observa que la intersección de dos planos da origen a distintossemiplanos que se intersecan. El ángulo de intersección entre dossemiplanos se denomina ángulo diedro.
En la figura, se observa que P se ubi-ca en una cara y Q en la otra (cadacara corresponde a un semiplano).Mientras, los puntos A y B se ubicanen la arista del diedro (recta común alos dos semiplanos).
Analicemos...
• Si se tiene una recta cualquiera, ¿el plano que contiene a esa rectaes único?, ¿por qué?
• Dados dos planos distintos, ¿existe una recta que pertenezca aambos planos?, ¿en cuál de las figuras anteriores se representaesta situación? Explica.
• Si se tienen tres planos distintos, ¿existe un punto que pertenezcaa los tres planos? Justifica.
Glosario
ángulo diedro: porción de espaciocomprendida entre dos semiplanosque tienen un borde (recta) comúny están situados en planos distintos.
Cara Cara
Ángulo diedro
Arista
P2 P2
P1 P1 P1
P2
A C
B
A
B
Q
P
P2
P1
Una recta contenida en un plano lodivide en dos semiplanos.
Pon atención
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 140
Vectores | 141
Los ángulos diedros se simbolizan de la siguiente manera:
�(P, AB, Q), donde P y Q representan puntos de cada semiplano,respectivamente, y AB representa la recta común a ambos semi-planos. Dado el nombre de cada semiplano, un ángulo diedro tam-bién se puede representar por: �(P1, AB, P2).
Veamos ahora cómo conocer la medida del ángulo diedro. Observaque el ángulo diedro es igual al ángulo formado por dos rectascontenidas cada una en un semiplano, de manera tal que ambassean perpendiculares a la intersección de los semiplanos, AB, en unmismo punto de ella. En la figura, la medida del ángulo diedro esigual a la medida de �POQ.
Unid
ad 3
Q
PB
O
AP2
P1
En resumen
• Posiciones relativas entre dos planos: las posibles posiciones entre dos planos en el espacio sepueden describir como paralelos, secantes o coincidentes.
• El ángulo diedro entre dos planos es la porción de espacio comprendida entre dos semiplanosque tienen una recta común y están situados en planos distintos.
1. Representa gráficamente las siguientes situaciones:
a. El plano P1tiene origen a partir de la recta L
by un punto Z exterior a ella.
b. El plano P1es secante con P
2, dando origen a la recta L
1, que es perpendicular a la recta L
2,
que pertenece a P2.
c. El plano P1es perpendicular con p
2, dando origen a la recta L
1, que es paralela a la recta L
2,
que pertenece a P1.
d. Dados los planos P1, P
2y P
3, cada uno de ellos interseca a los otros dos planos. ¿Cuántos
semiplanos se forman en esta representación gráfica?
2. Dados dos semiplanos P1y P
2que se intersecan en una recta L, y un punto P1 en P1
, un punto P2en P
2y un punto Q en L, ¿qué medidas puede tener el ángulo (no diedro) formado por P1, Q y P2,
cuyo vértice es Q? Explica.
Actividades
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 141
En años anteriores vimos que dos rectas paralelas y distintas no seintersecan y dos rectas secantes se intersecan en un solo punto.Como un plano contiene infinitas rectas, estas relaciones se puedenextender al analizar una recta y un plano.
Observa las siguientes figuras, donde se representan las posiblesposiciones relativas entre una recta y un plano en el espacio.
142 | Unidad 3
Intersección de una recta y un plano, y entre dos planos
Si todos los puntos de una recta dada pertenecen a un plano dado,se dice que la recta está contenida en el plano. En cambio, si ningúnpunto de esta recta pertenece al plano, se dice que la recta y el planoson paralelos. Por último, cuando la recta no está contenida ni esparalela al plano, lo interseca en un solo punto. En este caso, se diceque son secantes.
En las figuras anteriores se representaron las posibles posicionesrelativas entre una recta y un plano en el espacio. Pero esto no solose puede ver gráficamente. También se puede determinar analítica-mente; es decir, a partir de sus respectivas ecuaciones. Observa.
Ejemplo ¿Cuál es la intersección de la recta L: �x, y, z� = �4, 6, –2� +l�2, 3, 0� yel plano P: 4x + 3y – z = 2?
Sea �x0, y0, z0� el punto que pertenece al plano y a la recta.
Analicemos...
• ¿En qué casos la recta no se interseca con el plano?, ¿en cuál delas figuras anteriores se representa esta situación? Explica.
• Si se tienen una recta y un plano, ¿puede ser que la intersecciónentre ellos tenga infinitas soluciones?, ¿por qué? ¿En cuál de lasfiguras anteriores se representa esta situación? Explica.
• ¿Puede ocurrir que la intersección entre una recta y un planotenga más de una solución, pero no infinitas? Justifica.
Figura 1 Figura 2 Figura 3
P P P
LL
L
P
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 142
Vectores | 143
Entonces, se tiene:
4x0 + 3y0 – z0 = 2�x0, y0, z0� = �4 + 2l0, 6 + 3l0, –2�, para algún valor l0.
Para resolverlo se pueden remplazar las ecuaciones de cada coor-denada, en la ecuación del plano y, luego, obtener el valor de l0.
4(4 + 2l0) + 3(6 + 3l0) – (–2) = 216 + 8l0 + 18 + 9l0 + 2 = 2
l0 = –2
Por lo tanto, al remplazar l0 = –2 en la ecuación de la recta: x0 = 4 + 2 · –2 = 0; y0 = 6 + 3 · –2 = 0; z0 = –2.
El punto obtenido es (0, 0, –2). Este único punto satisface la ecuacióndel plano y la de la recta; por lo tanto, en este caso, la recta es se-cante al plano.
Unid
ad 3
P3
P2
P1
P1
P1
P2
P3
P3 P
2
P1
P2
P3
AC
B
Planos y sistemas de ecuaciones
Las representaciones gráficas de planos en el espacio permiten vi-sualizar las soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales, detres ecuaciones con tres incógnitas.
Ejemplos Siempre que tres planos se intersequen en una misma recta, sepuede inferir que el sistema de ecuaciones asociado a la repre-sentación gráfica tiene infinitas soluciones, ya que una línea rectaestá constituida por infinitos puntos.
Si dos planos paralelos son secantes a un tercer plano, se puedeinferir que el sistema de ecuaciones asociado a la representacióngráfica no tiene solución, ya que ningún punto pertenece a lostres planos.
Si tres planos son coincidentes, el sistema de ecuaciones asociadoa la representación gráfica tiene infinitas soluciones, ya que todoslos puntos del plano pertenecen también a los otros dos planos.
Cuando tres planos se intersecan en un único punto, la solucióndel sistema de ecuaciones asociado a la representación gráfica tam-bién es única.
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 143
144 | Unidad 3
Por otra parte, la intersección entre dos planos puede tener infini-tas soluciones, ya sea porque corresponden al mismo plano o a unarecta que pertenece a ambos planos, o bien a ninguna solución,cuando estos planos son paralelos.
Ejemplo Determina a qué corresponde la intersección entre los siguientesplanos y escribe su ecuación vectorial.P1: 4x + 3y + z = 6P2: 3x + 4y + 4z = 12
Para decidir si existe la intersección entre estos planos, primero sepueden graficar los planos, remplazando por 0 las coordenadascorrespondientes para determinar los puntos de intersección encada eje. Observa.
Se pueden ubicar estos seis puntos en el sistema de coordenadasy, luego, trazar los segmentos que unen los puntos para cadaplano, para visualizar si existe intersección. Observa en la gráficaque P y Q son puntos de intersección de ambos planos. Gráfica-mente, la intersección de estos planos es una recta. Pero es nece-sario justificarlo algebraicamente.
Observa que el punto P se ubica en el plano XZ, por lo que su se-gunda coordenada es cero. Remplazando este valor en las ecua-ciones, se pueden determinar sus coordenadas.
Luego, P tiene coordenadas . Como este punto P existe,
se concluye que los planos P1 y P2 no son paralelos, ya que P
pertenece a ambos planos.
Ahora, el punto Q se ubica en el plano YZ, por lo que su primeracoordenada es cero. Remplazando este valor en las ecuaciones, sepueden determinar sus coordenadas.
12
130
30
13,� ,�
Dados dos planos en el espacio, estospueden ser paralelos (y distintos),secantes o coincidentes.
Recuerda que...
Eje X Eje Y Eje Z
P1 ( , 0, 0) (0, 2 , 0) (0, 0, 6)
P2 (4, 0, 0) (0, 3, 0) (0, 0, 3)
32
32
4 2
3
P1
P2
3
6
Z
X
Y
QP
y = 0 x = , z =3013
1213
4x + z = 63x + 4z = 12
x = 0 y = z =32
3y + z = 64y + 4z = 12
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Vectores | 145
Luego Q tiene coordenadas . Entonces, los planos tienen
dos puntos de intersección, P y Q. Esto significa que pueden ser se-
cantes, o bien coincidentes. Falta justificar por qué no son coincidentes.
Si fueran coincidentes, todo punto de P1 sería también un puntode P2. En cambio, si existe un punto que pertenezca a un plano,pero no al otro, los planos serían secantes. Por ejemplo, R(1, 1, –1)pertenece a P1, pero al remplazarlo en la ecuación del plano P2 seobtiene 4 · 1 + 3 · 1 + 4 · –1 = 3, como 3 � 12, luego R no perteneceal plano P2, y los planos son secantes.
Para determinar la ecuación vectorial de la recta correspondiente
a la intersección, observa que la recta pasa por el punto P y tiene
dirección PQÆ
= �– , , – �.Entonces, la ecuación vectorial de la recta es:
�x, y, z� = � , 0, � + l�– , , – �.Si quisiéramos escribir su ecuación cartesiana, la recta en el espaciose representa como la intersección de dos planos que la contienen.Es decir, las ecuaciones cartesianas de la recta, que deben conside-rarse simultáneamente, son, en este caso:
4x + 3y + z = 63x + 4y + 4z = 12
Porque corresponden a los planos P1 y P2 que contienen a la recta.
1213
32
1213
032
32
,� ,�
3013
32
1213
2126
2126
Unid
ad 3
En resumen
• Las posibles posiciones relativas entre una recta y un plano son:• la recta está contenida en el plano, si todos los puntos de la recta pertenecen al plano.• paralelos (y distintos), si ningún punto de esta recta pertenece al plano.• secantes, si la recta interseca al plano en un solo punto.
• Las posibles posiciones relativas entre dos planos en el espacio son:• coincidentes, si tienen todos los puntos en común.• paralelos (y distintos), si no tienen ningún punto en común.• secantes, si los planos se intersecan en una sola recta.
• La recta en el espacio se representa como la intersección de dos planos distintos que la contienen.Se les llama las ecuaciones cartesianas de la recta, y deben considerarse simultáneamente.
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 145
146 | Unidad 3
• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.
• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Por qué se necesitan dos vectores directores para escribir la ecuación vectorial
del plano?
3. ¿Cuál es la diferencia entre el vector director y el vector posición? Justifica.
4. ¿Cómo se relaciona la posición relativa de dos o más planos en el espacio con la
cantidad de soluciones del correspondiente sistema de ecuaciones lineales? Explica.
5. ¿Cuál es la ventaja de la ecuación vectorial del plano en comparación con su
correspondiente ecuación cartesiana? Justifica.
6. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Organizando lo aprendido
RECTAS Y PLANOSEN EL ESPACIO
REPRESENTACIÓNALGEBRAICA
SISTEMAS DE
ECUACIONES LINEALES
POSICIÓN RELATIVA
cuya se relaciona con cuya
entrepuede ser
ECUACIÓNCARTESIANA
VECTORPOSICIÓN
VECTORDIRECTOR
depende de
pueden ser pueden ser
DOS PLANOS
PARALELOS
UNA RECTA Y UN PLANOECUACIÓNVECTORIAL
CONTENIDA
SECANTES
PARALELOS
COINCIDENTES
SECANTES
ÁNGULO DIEDRO
forman
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Vectores | 147
Un
idad
3
Mi progreso
1. Determina si los siguientes puntos son colineales. Si así fuera, escribe la ecuación vectorial correspondiente.
a. P(1, 0, 2), Q(–1, 1, 1) y R(3, –1, 1) c. P(2, 5, 1), Q(–6, –15, –3) y R(4, 20, 2)
b. P(–1, –1, –1), Q(–1, 0, 1) y R(–1, –2, –3) d. P(1, 2, 1), Q(4, 5, 4) y R(–2, –1, –2)
2. Grafica el plano 6x + 4z = 24. ¿Con qué eje es paralelo?
3. Determina la ecuación cartesiana del plano que pasa por el punto A (1, 3, 2) y es paralelo a los vec-tores v
Æ= �2, 5, 1� y uÆ = �–3, 4, –1�.
4. Determina la posición relativa entre los siguientes planos, en cada caso, y escribe la ecuación vectorialde la recta correspondiente a su intersección, si existe.
a. P1: 2x + 3y – z – 4 = 0 y P
2: x – y + z – 4 = 0.
b. P1: 3x + 4y – 2z + 7 = 0 y P
2: x – y – 3z + 3 = 0.
c. P1: x + 2y – z = 1 y P
2: 10x + 10y + 1 = 0
d. P1: y = 1 y P
2: x + y + z = 0
5. ¿Cuál es la ecuación vectorial de la recta correspondiente a la intersección de P1: x – y + 2z = 8 y
P2: x + 2y + 8z = 20?
A. �x, y, z� = �1, –1, 2� + l�1, 2, 8�B. �x, y, z� = �0, –2, 3� + l�4, –2, –1�C. �x, y, z� = �0, –2, 3� + l�4, 2, –1�D. �x, y, z� = �0, –2, –3� + l�4, 2, 1�E. �x, y, z� = �4, 2, –1� + l�0, –2, 3�
• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.
¿Cómo voy?
CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA
Determinar si tres puntos son colineales y escribir la ecuación vectorial de la recta que pasa por ellos.
1 132 y 133
Graficar planos dadas sus ecuaciones. 2 134 a 139
Determinar la ecuación cartesiana del plano. 3 136 y 137
Determinar la posición relativa y la intersección entre dos planos.
4 y 5 140 a 145
Un
idad
3
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 26-10-12 10:09 Página 147
Cómo resolverlo
148 | Unidad 3
Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución delsiguiente problema.
Dado un paralelogramo ABCD, se conocen tres vértices: A(1, –2),B(6, 1) y D(–6, 3).
a. Calcula el cuarto vértice C. b. Determina el punto medio M del segmento AC.c. Escribe la ecuación vectorial de la recta L que contiene a la
diagonal BD.d. Determina si los puntos M, B y D son colineales.
Solución
Para facilitar la resolución del problema, lo representaremos gráficamente.
a. Observa que cÆ
está dado por la suma de bÆ
y BCÆ
, es decir,
cÆ
= bÆ
+ BCÆ
cÆ
= bÆ
+ ADÆ
cÆ
= bÆ
+ (dÆ
– aÆ) = (6, 1) + (–6, 3) – (1, –2) = (–1, 6)
Entonces, el vértice C tiene coordenadas (–1, 6).
b. El punto medio se calcula componente a componente, por lo tanto:
c. Se escribe la ecuación vectorial de la recta L que contiene a ladiagonal BD.
Para el vector posición se puede considerar tanto bÆ
como dÆ. Y el
vector director está dado por BDÆ
.
L = bÆ
+ l · BDÆ
= bÆ
+ l ( dÆ– b
Æ)
L = �6, 1� + l (�–6, 3� – �6, 1�) = �6, 1� + l �–12, 2�
d. Por último, determinar que M, B y D sean colineales equivale aestablecer si el punto M pertenece a la recta L, que contiene ala diagonal BD.
Es decir, ¿existe l tal que �0, 2� = �6, 1� + l �–12, 2�?
Remplazando l = se obtiene la igualdad, luego M pertenece
a la recta L.
12
7
6
5
4
3
2
1
–1–1 1 2 3 4 5 6
B
A
D
C
–2–3–4–5–6
–2
M � �� � –�
,�– � �
� � ,=+
= ( )1 1
2
2 6
20 2
en un paralelogramo, los lados paraleloscorresponden a un mismo vector, por lotanto: BBC
Æ= AD
Æ
El punto medio entre (a, b) y (d, c) está dado por
.a d b c� �
,�� �+ +
2 2
Recuerda que...
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 148
Vectores | 149
Unid
ad 3
Actividades
1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones:
a. Dado un paralelogramo ABCD, se conocen tres vértices: A(2, 1), B(6, 4) y D(5, 5).
• Calcula el cuarto vértice C. • Escribe la ecuación vectorial de la recta L
1, que contiene a la diagonal AC , y la de la recta
L2, que contiene a la diagonal BD.
• Determina el punto de intersección de las diagonales AC y BD.• Demuestra que las diagonales AC y BD son perpendiculares.• Decide y justifica si el paralelogramo ABCD es un rombo.
2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimientoanterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué?
3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedi-miento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?
a. Determina si los siguientes puntos son colineales, en cada caso.
• A(–1, –1, –1), B(–1, 1, 0) y C(–1, 0, 1)• D(7, 0, 1), E(1, 1, 0) y F(0, 5, 2)• M(0, 2, 1), N(0, –2, –1) y O(0, –4, 0)• P(1, 2, 3), Q(2, 3, 4) y R(4, 5, 6)
Escribe la ecuación vectorial correspondiente para cada trío de puntos colineales encontrados anteriormente.
b. Comprueba si el cuadrilátero ABCD, cuyos vértices son A(–1, –2), B(8, 4), C(5, 5) y D(2, 3), es un trapecio. Justifica.
c. La recta que pasa por los puntos A(–3, 1) y B (2, 4), ¿es perpendicular a la recta que pasa porlos puntos C(–1, 3) y D (1, 1)? Explica.
d. Dados los puntos A(1, 2, 3), B(2, 5, 1) y C(3, 0, –4), determina la ecuación vectorial de la rectaque pasa por el punto C y que es paralela a la recta que pasa por los puntos A y B.
e. Una araña está en un vértice de una sala cuyas dimensiones son 7 m de largo, 5 m de anchoy 3 m de alto, y desea ir al vértice diametralmente opuesto. Determina la distancia mínimaque recorrería y el vector desplazamiento que realizaría.
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 149
150 | Unidad 3
En terrenoEn terreno
Sistema de Posicionamiento Global
El GPS es un sistema militar desarrolla
do por Estados Unidos y compuesto por una
red de 24 satélites que giran a
lrededor de la Tierra a unos 2
0 200 km de distan-
cia, y receptores GPS, que perm
iten determinar una posición en cualquie
r lugar
del planeta.
Para ubicar un punto se utiliza
n como mínimo cuatro satélites. El dispositiv
o GPS
recibe las señales y las horas d
e cada uno de ellos. Con estos d
atos y por triangu-
lación calcula la posición en el m
undo donde se encuentra. O sea, el GPS perm
ite a
cualquier persona, en cualquie
r lugar del mundo, saber en qué posición fí
sica del
globo terráqueo está en ese m
omento.
Este sistema tiene variadas aplicaciones en
nuestro país; por ejemplo, la existenci
a
del Sistema Nacional de Control Horario,
vía GPS, permitió la ubicación rápida y
oportuna de un bus sustraído p
or desconocidos. El bus fue ubi
cado por operadores
del sistema, quienes indicaron que iba so
bre los 128 km/h, con destino a Melipilla.
Carabineros fue alertado respec
to de la situación, y dispuso inst
rucciones a su per-
sonal para la ubicación y recupe
ración del vehículo.
Fuente: Teletrece Internet, http://t
eletrece.canal13.cl,
Diario El Mercurio, http://www.emol.com/
Receptor GPS.
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 150
Actividades
1. Averigua qué es el GPS y qué datos se pueden obtener si se cuenta con un receptor de GPS.2. ¿Para qué situaciones puede ser útil contar con un receptor de GPS?, ¿en qué casos se vuelve indispen-
sable? Explica.3. ¿Cómo se localiza un punto cualquiera de la Tierra utilizando las coordenadas geográficas? Por ejemplo,
¿cómo podrías indicar exactamente la ubicación de tu casa?4. ¿Cuáles son las coordenadas geográficas de tu ciudad o localidad?, ¿cuál es la diferencia con las
coordenadas de la capital de tu región?, ¿cómo se puede calcular la distancia entre tu localidad y lacapital regional usando estos datos? Explica.
Investiguemos...
1. ¿En qué consisten las coordenadas geográficas?, ¿cómo se asignan los valores de la latitud y la lon-gitud? ¿En qué lugar se encuentra la latitud 0º?, ¿y la longitud 0º?
2. ¿A qué distancia en la superficie terrestre corresponde la diferencia de un grado de latitud?, ¿y en elcaso de un grado de longitud?
3. Analicen las semejanzas y diferencias entre las coordenadas geográficas y las coordenadas esféricas.¿Por qué las coordenadas geográficas consideran solo dos valores, aunque se utilizan para localizarun punto en el espacio?
4. En general, ¿cómo se representa un vector cualquiera en coordenadas esféricas (en el espacio) o polares (en el plano)?, ¿cuál es la diferencia respecto de las coordenadas cartesianas?
5. ¿Cómo funciona el GPS?, ¿en qué consiste el proceso de triangulación? Expliquen. Comenten sobrelas aplicaciones más importantes del GPS actualmente.
6. En la página de MundiVideo – Coordenadas decimales, sexagesimales y UTM, disponible en el sitioweb http://www.mundivideo.com/coordenadas.htm, pueden observar las coordenadas geográficasde cualquier punto de la Tierra.
a. Ingresen la dirección de su escuela, por ejemplo, y observen los datos de su latitud y longitud. Si no reconocen el lugar, prueben con el nombre de la localidad o de un pueblo cercano.
b. Localicen en el mapa otro punto de interés; por ejemplo, la casa de alguno de ustedes, y haganclic sobre él. Comparen estos datos con los anteriores y calculen la distancia entre ellos. ¿Correspondea la distancia real?, ¿por qué?
Evaluemos nuestro trabajo
• ¿Qué aprendieron acerca de las coordenadas geográficas?• ¿Qué aprendieron respecto del funcionamiento y utilidad del GPS?• Comenten con sus compañeros y compañeras. ¿Qué pueden concluir?
Vectores | 151
Unid
ad 3
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 151
152 | Unidad 3
Síntesis de la Unidad
A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye conellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican lasrelaciones que hay entre los conceptos.
A partir de lo trabajado en la Unidad, responde:
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Cuáles son los elementos que definen un vector?
3. ¿Cuál es la diferencia entre vector posición y vector dirección? Explica.
4. Dados dos planos distintos, ¿cuáles son las posibles posiciones relativas entre ellos? Justifica.
5. La intersección entre un plano y una recta en el espacio, ¿cuántas posibles soluciones
tiene? Explica.
6. ¿En qué se diferencia la ecuación vectorial de un plano de su ecuación cartesiana? Explica.
7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
VECTORES
SENTIDO DIRECCIÓN
VECTOR POSICIÓN
ECUACIÓN CARTESIANA
ESPACIO
VECTOR DIRECTOR ECUACIÓN VECTORIAL
ÁNGULO DIEDRO
MAGNITUD
PRODUCTO PUNTO RECTA
PLANO
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 26-10-12 10:09 Página 152
Vectores | 153
Evaluación
I. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
1. Un vector se define por su módulo y su dirección.
2. El resultado del producto punto entre dos vectores en el espacio también es un vector.
3. El producto cruz de dos vectores en el plano cartesiano no se puede calcular.
4. La imagen de una figura bajo una homotecia es semejante a la figura original.
5. Para representar una recta mediante su ecuación vectorial, solo se necesita conocer su
vector posición.
6. La intersección entre dos planos siempre es una recta en el espacio.
7. La ecuación vectorial de una recta en el espacio es similar a la de la recta en el plano;
en el espacio los vectores tienen tres coordenadas.
8. Existen casos en que la intersección entre una recta y un plano no existe.
II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades.
1. Determina si los planos P1: x + y + z = 2 y P
2: x + 3y + z = 5 son secantes.
2. Considera un cuadrado ABCD, tal que el punto de intersección de sus diagonales es G. Haz el dibujo en tu cuaderno de las siguientes transformaciones homotéticas:
a. H1 º H2
, con H1(A, 3) y H
2(A, –2) b. H
3 º H4, con H
3(G, –1) y H
4(G, 2)
3. Dadas las siguientes parejas de puntos: ubícalas en el plano cartesiano; calcula los componentes
del vector ABÆ
y calcula su módulo en cada caso.
a. A(1, 3); B(–4, 5) b. A(4, 0); B(–1, –5) c. A(2, 3); B(–1, 4) d. A(0, 6); B(–3, 7)
4. En el pizarrón se dibuja un vector horizontal de 12 unidades y otro de 10 unidades que forma unángulo de 30º con el anterior.
a. ¿Cuál es la dirección del producto de aÆ
¥ bÆ?
b. ¿Cuál es el sentido de este vector? c. ¿Cuál es el módulo de este producto cruz? d. ¿Cuál es el área del paralelogramo que se forma
con estos vectores?
5. Determina el valor que debe tomar x para que los siguientes vectores sean perpendiculares:
a. �1, –2� y �x, 3� b. �0, 5� y �2, x� c. �0, 3� y �x, 2�
Unid
ad 3
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:20 Página 153
154 | Unidad 3
1. Los vectores de la figura tienen la mismamagnitud. Si r
Æ= 2a
Æ– b
Æ+ c
Æ, entonces el
vector que mejor representa la dirección der
Æ es:
A.
B.
C.
D.
E.
2. Los módulos de los vectores aÆ, b
Æ, c
Æ
son 4, 3 y 2 unidades, respectivamente. Si r
Æ = 2a
Æ– 2b
Æ– 3c
Æ, entonces el módulo
de rÆ es:
A. 4 unidades.B. 8 unidades. C. 14 unidades. D. 16 unidades. E. 18 unidades.
3. Los vértices de un hexágono regular definenlos vectores de la figura. ¿Cuál de las siguientes relaciones es incorrecta?
A. aÆ
+ bÆ
+ cÆ= 0
B. eÆ
+ dÆ
= bÆ
– aÆ
C. eÆ
– cÆ
= aÆ
D. dÆ
+ aÆ
= –2cÆ
E. eÆ
– dÆ
= 3cÆ
4. La ponderación entre l = 5 y aÆ= �1, 5� es:
A. 5 B. 25 C. �1, 5�D. �5, 25�E. Ninguna de las anteriores.
5. Si aÆ= �2, 1�; bÆ= �0, 1�, entonces aÆ· b
Æ=
A. 1 B. 2 C. 3 D. �2, 1�E. �0, 1�
6. Sean aÆ= �2, 3� y bÆ= �7, 2�, entonces
aÆ· b
Æ+ b
Æes:
A. 29
B. �21, 8�C. �27, 22�D. 27
E. No se puede determinar.
7. Los vectores de la figura forman un cuadrilátero.¿Cuál de las siguientes relaciones entre ellos es correcta?
A. aÆ+ d
Æ= b
Æ+ c
Æ
B. aÆ– c
Æ= b
Æ– d
Æ
C. aÆ+ d
Æ= c
Æ– b
Æ
D. aÆ+ c
Æ= d
Æ– b
Æ
E. aÆ+ b
Æ= c
Æ+ d
Æ
III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso.
aÆ
bÆ c
Æ
aÆ
aÆ
aÆ
bÆ
bÆ
bÆ
cÆ
cÆ
eÆ
dÆ
dÆ
cÆ
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:21 Página 154
Vectores | 155
8. Si los vectores aÆ, b
Æy c
Æse encuentran en un
plano cartesiano, ¿cuál o cuáles de las siguientesrelaciones es o son correctas?
I. aÆ
= –5i^ – 2j^
II. bÆ = –3i^ – 4j^
III. cÆ
= 3i^ – 3j^
A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I, II y III E. Ninguna de las anteriores.
9. Si aÆ= 8i^ – 11j^ y b
Æ= – 5i^ + 7j^, ¿cuál es el vector
cÆ tal que a
Æ+ b
Æ+ c
Æ = 0?
A. 3i^ – 4j^
B. 13i^ –18j^
C. –3i^ + 4j^
D. –3i^ – 4j^
E. Ninguna de las anteriores.
10. Si P es un punto de la recta MN y Q es unpunto que no pertenece a esta recta, entonceses falso que:
A. hay una recta perpendicular a MN que
pasa por Q. B. hay un plano que contiene MN.C. P, Q y M son colineales.
D. P, M y N son colineales.
E. hay un solo plano que pasa por Q, M y N.
11. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representala misma recta que la ecuación vectorial �x, y� = �1, 1� + l�–1, 1�?
A. y – x – 2 = 0 B. y + x – 2 = 0 C. y + x + 2 = 0D. –y – x – 2 = 0E. –y + x – 2 = 0
12. La ecuación analítica y la ecuación vectorial dela recta que pasa por el punto A(–2, 1) y esparalela a la recta y = 2x + 3, son:
A. y = 2x + 5l ; L = l
B. y = 2x – 1 ; L = l�1, 2� + �–5, 0�
C. y = 2x + 5 ; L = l�1, 2� + �–5, 0�
D. y = 2x – 1 ; L = l
13. (Demre, 2003) ¿Cuál de las siguientes rectasdel plano cartesiano es representada por laecuación x = a?
A. La recta paralela al eje X que pasa por elpunto (0, a).
B. La recta paralela al eje X que pasa por elpunto (a, 0).
C. La recta paralela al eje Y que pasa por elpunto (0, a).
D. La recta paralela al eje Y que pasa por elpunto (a, 0).
E. La recta que pasa por el origen y por elpunto (a, a).
Unid
ad 3
E. y = 2x + 5 ; L = l1
21
5
20,� � – ,+
aÆ
bÆ
cÆ
Y
X
1
21
5
20,� � – ,+
1
21
5
20,� � – ,+
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
UNIDAD 3 (98-155)C _Maquetación 1 08-10-12 18:21 Página 155
Áreas y volúmenes4
156|Unidad 4
Prismas y pirámides
Cilindros y conos
Esfera y cuerpos de revolución
Principio de Cavalieri
Unidades de medida de área y volumen
Formular y verificar conjeturas respecto de los cuerpos generados a partir de
traslaciones o rotaciones de figuras planas.
Resolver problemas sobre área y volumen de cuerpos
geométricos.
Dibujar las proyecciones de uncuerpo en el plano.
TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A:
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:21 Página 156
Áreas y volúmenes | 157
Conversemos de...
Para crear piezas de cerámica, algunos alfareros utilizan el torno, que es una máquina consistenteen una superficie redonda y plana, llamada platina, unida a un eje que se hace girar a una velo-cidad que varía de 30 a 120 revoluciones por minuto (rpm) aproximadamente. Sobre la platina,el alfarero modela con las dos manos mojadas –una en la parte externa y la otra en el interior– unaporción de arcilla o greda. Debido a su naturaleza, los trabajos realizados mediante el empleo deltorno son casi exclusivamente piezas con simetría radial respecto de un eje vertical.
1. ¿Qué es la simetría radial? Explica.2. ¿Cómo se puede estimar el volumen de una vasija como la de la imagen? Comenta con tus
compañeros y compañeras qué estrategias podrían utilizar.3. Si supieras la medida de su sección longitudinal, ¿podrías calcular el volumen de la vasija?,
¿por qué?4. Si la medida de la sección longitudinal de dos vasijas fuera la misma, ¿tendrían el mismo
volumen? Justifica.
Latin
stoc
k
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 26-10-12 10:02 Página 157
158 | Unidad 4
¿Cuánto sabes?
1. Completa las siguientes equivalencias:
a. 4,51 m = ____ cm e. 0,0079 cm2 = ____ m2
b. 3 600 000 dm = ____ m f. 5000 dm2 = ____ m2
c. 9350 cm2 = ____ dm2 g. 5,606 cm3 = ____ m3
d. 8400 dm2 = ____ cm2 h. 4,0009 m3 = ____ cm3
2. Calcula el área y el perímetro de los siguientes polígonos regulares:
a. Un pentágono de lado 1 cm y apotema 0,69 cm.b. Un hexágono cuyo lado mide 2 cm y su apotema 1,73 cm.c. Un octógono cuyo lado mide 2 cm y su apotema 2,41 cm.d. Un decágono de lado 4 cm y apotema 6,16 cm.e. Un dodecágono cuyo lado mide 6 cm y su apotema 11,2 cm.
3. Calcula el área coloreada de las siguientes figuras, considerando launidad de medida indicada, en cada caso.
a. A = dm2 b. A = m2 c. A = cm2
4. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal mide cm.
5. El área de un cuadrado circunscrito a una circunferencia es 144 m2.Calcula el área del círculo correspondiente.
6. Escribe la expresión para representar el lado de un cuadrado inscritoen una circunferencia, en función de su radio.
7. Calcula el área de un cuadrado inscrito en una circunferencia de radio 8 cm.
4 2
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.
15 m 7,5 m 2 m3 m
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 158
8. Determina el área de un triángulo cuya base y altura son respecti-vamente el lado del triángulo equilátero y el lado del cuadrado,ambos inscritos en una circunferencia de radio cm.
9. En la figura, el cuadrado ABCD está inscrito en una circunferenciay circunscrito a otra. Si el lado del cuadrado mide 10 m, calcula larazón entre el área de ambos círculos.
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.
4 2
Áreas y volúmenes | 159
Unidad
4
¿Qué debes recordar?
• Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectosconsecutivos no alineados, llamados lados.
• Se llama polígono regular a todo polígono cuyos lados son de igual medida y sus ángulosson congruentes.
• El apotema es la distancia entre el centro de un polígono regular yuno cualquiera de sus lados.
• El área de un polígono regular se puede calcular mediante la expresión
A = , donde P es el perímetro del polígono y ap es su apotema.
• Un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vérticespertenecen a ella.
• Un polígono está circunscrito a una circunferencia si todos sus lados son tangentes a ella.• Un ángulo mide un radián si su arco tiene igual longitud que el radio. Utilizando esta
unidad de medida, un ángulo puede tomar valores entre 0 y 2p radianes. • El perímetro y el área de un círculo de radio r se pueden calcular mediante las expresiones
P = 2pr y A = pr 2, respectivamente. • Algunas equivalencias en las unidades de medida son:
• 1 m = 10 dm = 100 cm• 1 m2 = 100 dm2 = 10 000 cm2
• 1 m3 = 1000 dm3 = 1 000 000 cm3
P · ap2
apl
D C
A B
h
bb
h
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 159
160 | Unidad 4
Área y volumen
Analicemos...
Para indicar el tamaño de una caja de cartón, lo común es señalarsus dimensiones, es decir, las medidas de su largo, ancho y alto.Pero para otros envases, como los frascos, por ejemplo, referirse asus dimensiones puede no ser muy útil. Observa.
Para responder a las preguntas planteadas podemos considerarque el tamaño de un envase, en general, puede describirse segúnla cantidad de espacio que ocupa, lo que no depende de laforma del envase y puede ser más claro que señalar cada una desus dimensiones.
Para calcular el volumen de un cuerpo, se compara con un cubode una unidad de arista. En el sistema métrico decimal, la unidadde volumen es el metro cúbico (correspondiente al volumen de uncubo de un metro de arista), aunque frecuentemente se utilizansus submúltiplos, y, especialmente en el caso de líquidos y gases,el litro.
En cambio, si se requiere saber cuánto material se utilizó en la fabri-cación del envase, es necesario conocer su forma, es decir, a quécuerpo geométrico se parece y sus medidas. El área es la medidade una superficie; el área de un cuerpo será entonces la suma delas medidas de la superficie de cada una de sus caras. El área semide en unidades tales como centímetros cuadrados, metroscuadrados, etcétera.
• ¿Cómo puedes describir el tamaño de los frascos de la imagen?• ¿Cuál de los frascos contiene más agua?, ¿por qué?• ¿Para cuál de ellos fue necesario utilizar más vidrio en su fabri-
cación? Explica.• ¿Qué unidad de medida es adecuada para describir el tamaño de
un envase?, ¿por qué?
Una idea intuitiva de superficie serefiere a aquellas formas que carac-terizan a un cuerpo. Una superficiepuede ser plana, como es el caso delas caras de prismas, pirámides ypoliedros, entre otros, o bien, curvas,como las del cono, cilindro y esfera.
Recuerda que...
Glosario
volumen: medida del espacio queocupa un cuerpo.cuerpo: objeto material en que pue-den apreciarse las tres dimensionesprincipales, longitud, anchura y altura.litro: unidad de capacidad que equi-vale al volumen de un decímetrocúbico. Es decir, 1000 litros corres-ponden a un metro cúbico.capacidad: medida del volumen quepuede contener un cuerpo.
1 m
Frascos con agua.
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 160
EjemploCada uno de los siguientes cuerpos está formado por cubitos de 1 cmde arista.
Observa que todos tienen igual volumen, 8 cm3, pues están formadospor ocho cubitos de igual medida; en cambio, tienen diferente área,sus superficies miden 24 cm2, 28 cm2 y 34 cm2, respectivamente.
Áreas y volúmenes | 161
Unidad
4
En resumen
• El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa.
• El área de un cuerpo es la suma de las medidas de la superficie de cada una de sus caras.
• La unidad de medida del volumen en el sistema métrico decimal es el metro cúbico, queequivale a 1000 litros.
1. ¿Qué sucede con el volumen de un cubo si su lado aumenta al doble?, ¿y con el área? Explica.
2. Estima en qué razón están los volúmenes de dos cilindros de igualaltura, si el radio de uno de ellos es el doble de la medida del radiodel otro. Explica.
3. Demuestra que el plano trazado que contiene a las aristas opuestas deun paralelepípedo oblicuo divide a este cuerpo en dos prismas trian-gulares equivalentes en volumen.
4. Si entre dos cuerpos semejantes, el cociente de sus longitudes (ya sea referido a aristas, diagonales,etcétera) es k, ¿cuál es el cociente entre sus volúmenes? Justifica.
Actividades
• A pesar de que volumen no es lomismo que capacidad, para calcu-lar la capacidad se suelen utilizarlas mismas expresiones que parael volumen.
• Es común asignar al concepto desuperficie y área el mismo signifi-cado; sin embargo, debemos dife-renciar ambos términos. La super-ficie es una extensión en que solose consideran dos dimensiones. Elárea es la medida de la superficie.
Pon atención
1 1
8
14
22
2
2
H G
F
CBA
D
E
r 2r
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 161
162 | Unidad 4
Proyecciones en el plano
Analicemos...
Muchas veces, las personas requieren dibujaren una hoja de papel un objeto o un cuerpogeométrico. Como este tiene tres dimen-siones, su representación no es tan simplecomo la de una figura plana. Observa.
Disciplinas como el dibujo y la pintura resuelven la representaciónde un cuerpo en el plano mediante el color y la aplicación deluces y sombras; en cambio, otras disciplinas, como el dibujo téc-nico y la arquitectura, lo resuelven realizando las proyeccionesen el plano correspondientes.
En la figura siguiente, el cuerpo está representado en tres planospor medio de proyecciones perpendiculares a los planos.
A partir de las proyecciones de un sólido se puede obtener un mo-delo de él en tres dimensiones. Este principio es usado en algunosprogramas computacionales para representar el volumen de uncuerpo que se muestra en una pantalla.
• Si miraras este cuerpo de frente, ¿qué figuras puedes observar?;¿y al mirarlo de perfil?, ¿y al mirarlo desde arriba? Dibuja todaslas figuras en tu cuaderno.
• ¿Crees que estas figuras son una adecuada representación deeste cuerpo?, ¿por qué?
Glosario
proyecciones en el plano: figurasque resultan, en una superficie, deproyectar en ella todos los puntosde un sólido u otra figura, desdedistintas perspectivas.
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 162
En resumen
• Las proyecciones en el plano son figuras que resultan de proyectar en una superficie todoslos puntos de un sólido o cuerpo, desde distintas perspectivas.
• Las proyecciones ortogonales originan tres vistas del cuerpo: la planta, el alzado y el perfil.
Áreas y volúmenes | 163
Unidad
4Así, las proyecciones ortogonales originan tres vistas del objeto: laplanta, el alzado y el perfil, términos muy utilizados por profesiona-les de la arquitectura y el diseño. Observa.
1. Dibuja la planta, el alzado y el perfil de los siguientes cuerpos.
a. b.
2. Dibuja el cuerpo correspondiente a cada una de las siguientes proyecciones.
a. c.
b. d.
Actividades
Glosario
planta: proyección de un cuerpo vistodesde arriba.alzado: proyección de un cuerpovisto desde el frente.perfil: proyección de un cuerpo vistodesde uno de sus lados.
Objeto
PlantaPlanta
Alzado Alzado
Perfil Perfil
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 163
164 | Unidad 4
En resumen
• El área total de un cuerpo geométrico equivale a la suma de las áreas de cada una de suscaras, tanto de la o las bases como de sus caras laterales.
• El área de un prisma es A = AL + 2 · AB, donde A: área total; AL: área lateral; AB: área basal.
• El área de una pirámide es A = AL + AB, donde A: área total; AL: área lateral; AB: área basal.
Área de prismas y pirámides
Analicemos...
Observa los siguientes prismas.
• ¿Cuántos polígonos conforman la red del prisma, en cada caso?,¿cuáles polígonos son, en cada caso? Explica.
• ¿Para calcular el área total de un prisma es suficiente con saberel área de la base y la medida de su altura?, ¿por qué?
• ¿Qué medidas necesitas conocer para calcular el área de unprisma?, ¿cómo lo calcularías?
• En el caso de una pirámide, ¿cómo calcularías su área? Justifica.
• Un poliedro es un cuerpo geo-métrico limitado por cuatro o másregiones poligonales no copla-nares. Estas regiones poligonalesse llaman caras del poliedro, loslados de las caras reciben el nom-bre de aristas y concurren en unpunto llamado vértice.
• La red de un poliedro u otro cuer-po geométrico es la figura quese obtiene al extenderlo sobreun plano.
• El área basal corresponde alárea del o los polígonos que for-man la base.
Recuerda que...
A partir de la red de un prisma, se puede determinar la forma y elnúmero de caras que tiene el prisma y, luego, calcular su área.
En general, el área total de un cuerpo geométrico equivale a lasuma de las áreas de cada una de sus caras, tanto de la o las basescomo de sus caras laterales.
ap
b
• El número de caras laterales deun prisma o de una pirámide de-pende siempre del número delados de la base.
• Las caras laterales son siempreparalelogramos, en el caso de losprismas, y triángulos, en el casode las pirámides.
Pon atención
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 164
Áreas y volúmenes | 165
Unidad
4
1. Calcula el área de un paralelepípedo recto de 6,4 y 9,5 cm de base y 16,5 cm de altura.
2. Calcula el área de un prisma regular, de base hexagonal con arista 8 cm, y altura 10 cm.
3. El área total de un paralelepípedo recto es igual a la de un cubo. Si las medidas de las aristas queconcurren a un vértice del paralelepípedo miden 3, 5 y 7 cm, respectivamente, ¿cuánto mide ladiagonal del cubo?
4. ¿Qué cantidad de cartón se utilizará para hacer una caja con forma de paralelepípedo recto dedimensiones 1,2 m de largo, 1,4 m de ancho y 2 m de fondo?, ¿cómo lo supiste?
5. En un envase con forma de prisma de base cuadrada, la altura es el doble de la medida del lado dela base y el área total es 250 m2. Calcula las dimensiones del envase.
6. Calcula el área de los siguientes prismas. Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.
a. b. c. d.
7. El techo de una casa tiene forma de pirámide cuya base es un cuadrado de 12 m de lado y 8 m dealtura. Determina los metros cuadrados de tejas necesarios para cubrir todo el techo.
8. Dibuja la red correspondiente a una pirámide triangular recta con aristas laterales de 6 cm y cuyabase es un triángulo equilátero de 4 cm de lado. Calcula su área total.
9. Los siguientes son juguetes de madera que serán pintados del mismo color. Sobre cada uno seindica cuántos se van a fabricar. Calcula la cantidad de pintura necesaria para tal labor, considerandoque un litro de pintura rinde aproximadamente 3 m2.
Actividades
8 cm
5 cm
4,3 cm 5 cm 4 cm4 cm
6 cm
10 cm
12 cm
4 cm
4 cm4 cm
10 cm
10 cm
12 cm
5 cm15 cm
10 cm 15 cm
4 cm 3 cm
15 30 22
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 165
166 | Unidad 4
Cuerpos generados por traslación
Al realizar la traslación de un polígono, en cada caso, se puedeconsiderar que se está formando un cuerpo geométrico. Observa.
• En cada caso, ¿qué cuerpo geométrico se forma?, ¿por qué?• Si la generatriz fuera un círculo, ¿qué cuerpo geométrico se
forma al aplicar una traslación? Justifica.• Comenta con tus compañeros y compañeras y decidan cuál o
cuáles de los cuerpos geométricos que conocen se pueden for-mar mediante la traslación de una figura. Justifiquen en cada caso.
Analicemos...
En la imagen, mediante la traslación de un rectángulo se obtieneun paralelepípedo, y mediante la traslación de un hexágono, unprisma de base hexagonal. Observa que para que se genere efec-tivamente un cuerpo, el vector de traslación no puede ser para-lelo al plano que contiene la generatriz.
En general, se dice que un cuerpo es generado por traslación si sepuede formar mediante la traslación de una figura plana. Otrosejemplos son los cubos y los cilindros.
En resumen
• Se llama generatriz a la figura plana que por su movimiento engendra un sólido geométrico.
1. Supón que un cuadrado tiene uno de sus vértices en el origen, con uno de sus lados sobre el eje Xy el otro sobre el eje Y y cuyo lado mide 4 unidades de longitud.
a. ¿Qué cuerpo se genera al trasladar este cuadrado por el vector (0, 0, 4)?b. ¿Cuál es el volumen de este cuerpo?, ¿por qué?c. ¿Cuál es el área total del cuerpo generado? Justifica.
Actividades
Cuerpos generados por traslación
Un paralelepípedoes generado por latraslación de un paralelogramo.
Un prisma es gene-rado por la traslaciónde un polígono.
Un cilindro es gene-rado por la traslaciónde un círculo.
Glosario
generatriz: dicho de una línea o deuna figura, que por su movimientogenera una figura o un sólido geo-métrico, respectivamente.
T1
Æ
B
B
T2
Æ
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 166
Áreas y volúmenes | 167
Unidad
4
Principio de Cavalieri
Jorge estaba preparando el almuerzo y trozó una berenjena enrodajas y, luego, Gabriel, su nieto, tomó las rodajas e intentó or-denar los trozos como se muestra en la imagen. Observa.
• ¿La berenjena tiene el mismo volumen que antes de partirla?,¿por qué?
• Ahora, considera un cubo y un prisma de base triangular quetienen igual altura y, sus bases, áreas iguales. ¿Ambos cuerpostienen igual volumen? Justifica.
Analicemos...
En la situación anterior, la berenjena que Gabriel apiló así tieneigual volumen que antes de cortarla, porque si ordenáramos lasrodajas, una a una, podríamos reconstituir la forma de la berenjena.
Esta idea también puede aplicarse para comparar el volumen dedos o más cuerpos, aunque sean distintos. Por ejemplo, supón queun prisma y un paralelepípedo tienen igual altura. Si sus basestienen igual área, aunque no tengan la misma forma, entonces tam-bién tienen igual volumen. Observa.
En general, es posible afirmar que si dos cuerpos tienen la mismaaltura y además tienen igual área en sus secciones planas reali-zadas a una misma altura, entonces poseen igual volumen. Esto seconoce como el principio de Cavalieri.
En resumen
• Principio de Cavalieri: si dos cuerpos tienen la misma altura y bases de igual área, y al cortarlospor cualquier plano paralelo a las bases el área de las secciones es la misma, ambos tienen elmismo volumen.
Glosario
sección plana: figura que resulta dela intersección de un cuerpo o sólidocon un plano.
A2
A1
V1
V2
Si A1 = A2, entonces V1 = V2.
Berenjena trozada.
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 167
168 | Unidad 4
En resumen
• El volumen de un prisma está dado por la expresión: V = B · h, donde B es el área de la basey h la altura del prisma.
• En particular, el volumen de un prisma oblicuo no depende de su ángulo de inclinación, sinode su altura y área basal.
El volumen de un paralelepípedorecto se puede calcular multipli-cando las medidas de su largo,ancho y altura.
Recuerda que...
Volumen de un prisma
Considera que los cuerpos de la siguiente imagen tienen igual al-tura y sus bases tienen la misma área. Observa.
• ¿Cómo se calcula el volumen de un paralelepípedo? Explica.• ¿Cómo se calcula el volumen de un prisma?, ¿por qué?• ¿El volumen de un prisma depende de su inclinación?, ¿por qué?,
¿y de su altura? Justifica.
Analicemos...
Como se puede observar, todos los cuerpos de la imagen anteriortienen la misma altura y sus bases tienen igual área. Según el prin-cipio de Cavalieri, como sus secciones planas son iguales, losvolúmenes también lo son; por tanto, se puede calcular el volu-men tal como en el caso del paralelepípedo, esto es, como el pro-ducto entre el área de la base y la altura. Por consiguiente, dependedel área del polígono que corresponde a la base del prisma.
Observa que el volumen no cambia si se compara un prisma rectocon uno oblicuo; de hecho, no depende de la inclinación del prisma,sino del área de la base y de su altura. Esto también se explica porel principio de Cavalieri.
hhh
B B B
Glosario
oblicuo: se dice de un prisma cuandosus aristas laterales no son perpen-diculares a la base del prisma.
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 168
Áreas y volúmenes | 169
Unidad
4
1. Calcula el volumen de un cubo de arista 12 cm. Justifica.
2. Calcula el volumen de un prisma triangular, de altura 6 cm y de base un triángulo equilátero, cuyolado mide 10 cm. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste.
3. Calcula el volumen de los siguientes prismas. En ambos casos, la arista de la base mide 3 cm, la altura 4 cm y sus bases son polígonos regulares.
4. Las aristas de un paralelepípedo recto están en la razón 2 : 3 : 4 y su diagonal principal midecm. ¿Cuál es el volumen del paralelepípedo? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.
5. El volumen de un prisma recto de base hexagonal es m3 y su altura mide 5 cm. ¿Cuál esla medida de los lados del hexágono?
6. Calcula el área total de un prisma recto de base hexagonal regular, cuya arista basal mide 4 cm yla arista lateral 16 cm.
7. Si el volumen del prisma de la figura es 340 cm3, calcula el área de unasección transversal que se obtiene mediante el corte con un plano para-lelo a las bases.
8. Se tiene un cubo cuya arista es de 4 cm y está constituido por pequeños cubos independientes conaristas de 1 cm. Se desea construir con ellos un paralelepípedo. ¿Qué dimensiones tiene el para-lelepípedo de menor área que se puede formar?, ¿y el de mayor área?
9. De un cubo sólido de arista a unidades se extrajo un cubo de arista bunidades, tal como se muestra en la figura. Calcula el volumen delcuerpo resultante, teniendo en cuenta los siguientes datos:
• (a – b)3 = 27• a2b = 50 • ab2 = 20
10. En el caso de un prisma oblicuo, ¿se puede calcular el volumen si se conocen el área de la base yla medida de la arista lateral?, ¿por qué?
4 29
120 3
Actividades
12 cm
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 169
170 | Unidad 4
Volumen de pirámides
Considera el siguiente prisma de base triangular de bases DABC yDDEF. Si se realizan dos cortes desde el punto D, uno de ellos hastala arista BC y el otro hasta la diagonal EC, como se muestra en lasfiguras, el prisma se descompone en tres pirámides: P1(ABDC),P2(DEBC) y P3(DEFC).
Observa que los triángulos ABD y EDB son congruentes, ya queDB es la diagonal del rectángulo DEBA. Como puede verse en laprimera figura, si se consideran como bases los triángulos de color,en cada caso, la arista común BC es la altura de las pirámides P1 yP2. Luego, por principio de Cavalieri, P1 y P2 tienen igual volumen.
De igual modo, los triángulos EBC y EFC son congruentes, ya queEC es la diagonal del rectángulo EFCB. Como puede verse en lasegunda figura, si se consideran como bases los triángulos de color,en cada caso, la arista común DE es la altura de las pirámides P2 yP3. Luego, por principio de Cavalieri, P2 y P3 tienen igual volumen.
En términos de su volumen, P1 = P2 y P2 = P3, luego, necesariamente,P1 = P3. Es decir, el volumen de las tres pirámides es igual. Como lastres juntas forman el prisma, podemos afirmar que el volumen decada pirámide es un tercio del volumen del prisma.
Observa que la argumentación descrita no depende del tipo detriángulo que forma la base, es decir, no se supone que este trián-gulo sea, por ejemplo, equilátero o isósceles. Para todo prisma debase triangular, esta conclusión es igualmente válida. Tampoco de-pende de si el prisma es recto u oblicuo.
Analicemos...
• Dibuja en tu cuaderno cada una de las pirámides y observa laspirámides P
1y P
2; considera que C es su cúspide. ¿Sus bases
son congruentes?, ¿por qué?, ¿P1y P
2tienen el mismo volu-
men? Explica.• En la segunda figura, observa las pirámides P
2y P
3; considera
que D es la cúspide ahora. ¿Sus bases tienen igual medida?,¿por qué?, ¿P
2y P
3tienen igual volumen?
• ¿Cómo se puede calcular el volumen de una pirámide? Explica.• Comenta con tus compañeros y compañeras si esta relación
depende o no de las características del triángulo de la base.
• Una pirámide es un cuerpo quetiene por base un polígono cual-quiera y cuyas caras, tantas ennúmero como los lados del polí-gono, son triángulos que concu-rren en un solo punto, llamadocúspide o vértice de la pirámide.
• La diagonal de un paralelo-gramo lo divide en dos triángu-los congruentes.
Recuerda que...
D
A B
C
F
E
D
A B
C
F
E
D
A B
C
F
E
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 170
Áreas y volúmenes | 171
Además, ya que todo polígono se puede dividir en dos o más trián-gulos, una pirámide de base poligonal también se puede descom-poner en dos o más pirámides de base triangular. Como hemosvisto, el volumen de cada una de estas pirámides es un tercio delvolumen del correspondiente prisma triangular; por lo tanto, el vo-lumen de la pirámide de base poligonal es un tercio del volumendel prisma de igual base y altura, sin importar cuál sea el polígonode la base.
Unidad
4
En resumen
• El volumen de una pirámide equivale a un tercio del volumen de un prisma de igual áreabasal e igual altura, es decir,
Vpirámide = · Vprisma = · B · h (B: área de la base; h: altura).13
13
1. Calcula, en cada caso, el volumen del prisma y de la pirámide.
a. b.
2. Calcula el área y el volumen de cada una de las siguientes pirámides, si sus bases sonpolígonos regulares.
a. b. c.
Actividades
3 cm4 cm
7 cm4 cm3 cm
h = 24 cm
5 cm
4,13 cm
7 cm
1,15 cm
12 cm
6 cm 8 cm
12 cm
8 cm6 cm
7 cm
14 cm 6 cm 4 cm
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 171
172 | Unidad 4
• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.
• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. Dos prismas de igual base e igual altura, ¿tienen igual volumen?, ¿por qué?
3. ¿Cuál es la diferencia entre una pirámide y un prisma?
4. ¿Cómo se calcula el volumen de una pirámide?
5. ¿Qué características tiene un cuerpo generado por traslación? Explica.
6. ¿Qué condiciones deben cumplir dos o más cuerpos de igual altura para concluir que
tienen igual volumen? Justifica.
7. Si se conocen dos proyecciones de un sólido, ¿se puede determinar su forma?, ¿por qué?
8. Dos pirámides de igual altura e igual área basal, ¿tienen igual volumen?
9. Si se duplica la altura de un prisma, ¿cuánto aumenta su volumen?
10. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Organizando lo aprendido
CUERPOS GEOMÉTRICOS
PROYECCIONESEN EL PLANO
llamadas
ÁREA
se pueden representar por
ALZADO PERFIL
PIRÁMIDES
PLANTA
CILINDROS
se calcula
VOLUMEN
PRINCIPIO DE
CAVALIERI
se calcula
de de de
PRISMAS
corresponden a
CUERPOS GENERADOS
POR TRASLACIÓN
aplicando
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 172
Mi progreso
Unidad
4
1. Calcula el volumen y el área total de una pirámide hexagonal regular, sabiendo que el lado de la basemide 8 cm y su altura es cinco veces la longitud del apotema de la base de la pirámide.
2. Calcula el volumen de una pirámide cuadrada recta si su altura mide 12 cm y la altura de una de suscaras laterales mide 13 cm.
3. Calcula la altura de una pirámide de volumen 10 000 cm3, cuya base es un triángulo equilátero de 100 cmde lado.
4. Obtén el alzado, el perfil y la planta de las figuras.
5. El área total de un prisma recto, cuya base es un hexágono regular de 53 cm de apotema y 12 cm dealtura, es aproximadamente:
A. 18 412 cm2
B. 45 023 cm2
C. 35 096,2 cm2
D. 23 895,83 cm2
E. No se puede determinar.
• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.
¿Cómo voy?
Áreas y volúmenes | 173
CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA
Calcular el volumen de un prisma. 1 168 y 169
Calcular el área de un prisma y de una pirámide. 1 y 5 164 y 165
Calcular el volumen de una pirámide, dada su altura y viceversa.
2 y 3 170 y 171
Determinar las proyecciones de un cuerpo geométrico.
4 162 y 163
a. b.
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 173
174 | Unidad 4
Cuerpos generados por rotación
Observa qué sucede al girar una circunferencia de papel inserta enun lápiz, es decir, una circunferencia que gira en torno a sudiámetro, en este caso.
Tal como se puede apreciar en las imágenes, al girar una circunfe-rencia en torno a su diámetro, se observa una esfera. De manerasimilar, si se gira un rectángulo en torno a uno de sus lados, se puedeobservar un cilindro, mientras que si se gira un triángulo rectánguloen torno a uno de sus catetos, se puede observar un cono.
En general, se denominan cuerpos de revolución aquellos quepueden obtenerse mediante la rotación de una curva o una figuraplana (la generatriz) alrededor de un eje.
Otro ejemplo de cuerpo derevolución es el tronco de uncono o cono truncado. Este segenera mediante la rotacióndel trapecio rectángulo ABCDcuyo eje corresponde al ladoBC, como muestra la figura.
Analicemos...
• ¿Qué cuerpo geométrico puedes observar que se forma?• Si en lugar de una circunferencia, se girara un semicírculo en
torno a su diámetro, ¿qué se observaría?, ¿por qué?, ¿y en elcaso de que fuese un rectángulo?
• ¿Qué otros cuerpos geométricos que conoces se podrían obser-var de esta forma?, ¿qué figuras se necesitan, en cada caso?
• ¿Qué objetos corresponden a cuerpos de este tipo?
A B
CD
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 174
Áreas y volúmenes | 175
Unidad
4
En resumen
• Se dice que un cuerpo es generado por rotación o que es un cuerpo de revolución si sepuede obtener mediante la rotación de una curva o una figura plana en torno a un eje.
• Cilindro: generado por la rotación de un rectángulo alrededor de uno de sus lados.• Cono: generado por la rotación de un triángulo rectángulo respecto de uno de sus catetos.• Esfera: generado por la rotación de un semicírculo alrededor de su diámetro.
Cilindro Cono Esfera
A
BB
D
CA
M M A A
B
C C
B B
N N
C
D
1. Dibuja el cuerpo que se genera al rotar las siguientes figuras alrededor del eje indicado.
a. b.
2. Dibuja las generatrices de los siguientes cuerpos por rotación, incluyendo los ejes correspondientes.
a. b.
3. De los cuerpos geométricos estudiados a lo largo de esta Unidad, ¿cuáles se pueden generar medianterotaciones?, ¿qué tipo de rotaciones?
Actividades
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 175
176 | Unidad 4
Área de cilindros y conos
Observa el cilindro y el cono.
En la siguiente imagen, que representala red de un cilindro, se puede observarque la superficie lateral del cilindro estáformada por un rectángulo, mientrasque sus bases corresponden a círculos.
Observa que el ancho del rectángulo corresponde a la altura delcilindro, y su largo, al perímetro de la base.
Luego, el área del cilindro está determinada por:
Acilindro = 2 · Acírculo + Arectángulo
= 2 · pr 2 + 2pr · g= 2pr · (r + g)
Donde g: generatriz o altura del cilindro; r : radio del círculo dela base.
En cambio, un cono está formado por un círculo (base) y por unsector circular. El arco del sector circular tiene longitud 2 · p · r(porque corresponde a la longitud de la circunferencia de la base).Por consiguiente, el área lateral de un cono es igual al área delsector circular.
Asc = = = p · r · g2 · p · r · g2
S · r2
Analicemos...
• ¿Qué figuras conforman la red de un cilindro?, ¿y las de uncono? Justifica.
• Si se conoce solo la longitud de la generatriz y del radio de labase, ¿se puede calcular el área del cilindro? Explica.
• ¿Qué medidas necesitas conocer para calcular el área de uncono?, ¿por qué?
• Si se trata de un cilindro oblicuo, ¿qué figuras conforman sured?, ¿su área depende de su inclinación?, ¿por qué?
El área de un círculo se puede cal-cular mediante la expresión p · r 2. (r: radio).
Recuerda que...
La base del rectángulo coincide conel perímetro del círculo.
Pon atención
r aSector circular
g
r
g
g
g
r
r
r
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 176
Áreas y volúmenes | 177
El área de la base corresponde al área de un círculo, es decir, p · r 2,entonces, el área total de un cono se puede calcular mediante lasiguiente expresión:Acono = p · r · g + p · r 2 = p · r (g + r)
El área de un cono truncado corresponde a la suma de las áreas delas bases del tronco del cono y el área lateral.
El área lateral se puede calcular como la diferencia entre el árealateral del cono, si estuviera completo, y la del cono menor que locomplementa, es decir:ALTronco de cono = p · R · (g + h) – p · r · g
Utilizando el teorema de Thales, se puede demostrar que el árealateral del tronco de cono está dado por la expresión:ALTronco de cono = p · (R + r) · g
Luego, junto con el área de cada una de las bases, el área deltronco de cono se puede calcular como:ATronco de cono = p · [(R + r) · g + R 2 + r 2]
Unidad
4
En resumen
• El área de un cilindro se determina de la siguiente forma: Acilindro = 2 · p · r (r + g)
• El área de un cono está dada por la expresión: Acono = p · r (r + g)
• El área de un tronco de cono está dada por la fórmula: ATronco de cono = p [(R + r) · g + R 2 + r 2](r : radio, R: radio de la otra base, g: generatriz).
El área de un sector circular está
dada por la expresión Asc = ,
donde S es la longitud del arco de
circunferencia y r es el radio del
sector circular.
S · r2
Recuerda que...
g
g
g2pr
2pR
1. Un tarro tiene un diámetro de 10 cm y altura 30 cm. Calcula la cantidad de aluminio necesario para fabricarlo.
2. ¿En qué razón están las áreas de dos cilindros rectos de igual altura, si sus radios son uno el dobledel otro?
3. El radio de la base de un cilindro y el de la base de un cono miden 6 cm. La altura del cono mide 8 cm. Determina cuál debe ser la altura del cilindro para que ambos tengan:
a. la misma área lateral. b. la misma área total.
Actividades
R
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 177
178 | Unidad 4
Volumen de cilindros
Observa la siguiente ilustración:
h
r
Como se puede observar en la imagen, los cuerpos tienen igual al-tura, y si sus secciones planas tienen igual área, se puede aplicar elprincipio de Cavalieri; por lo tanto, el volumen del cilindro dependede la altura y del área de la base, al igual que en el caso del volu-men del prisma, luego se tiene que:
Vcilindro = h · B (B: área de la base)
Vcilindro = h · p · r 2
Analicemos...
• Si las bases del prisma y del cilindro tienen igual área, ¿estoscuerpos tienen igual volumen?, ¿por qué?
• Si se conoce el área de la base del cilindro, ¿cómo se calcula suvolumen? Explica.
• ¿El volumen de un cilindro depende de si es recto u oblicuo?,¿por qué?, ¿y de su altura? Justifica.
El área de un círculo está dada porla expresión p · r 2 (r : radio).
Recuerda que...
En resumen
• El volumen de un cilindro se puede calcular mediante la siguiente expresión:V = h · p · r 2 , donde r es el radio del círculo de la base y h es la altura del cilindro.
1. Un cilindro tiene 112p cm2 de área. Su altura es de 10 cm.
a. Determina el diámetro de la base. b. Calcula el volumen del cilindro.
2. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro si solo su altura se duplica?
3. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro si solo su radio se duplica?
Actividades
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 178
Áreas y volúmenes | 179
Unidad
4
Herramientas tecnológicas
Para observar otros ejemplos de cuerpos generados por rotación, puedes abrir el applet que estádisponible en la página web www.educacionmedia.cl/links/11M4179.html
En la pestaña Sup. de revolución podrás observar cómo se generan una esfera, un cono y un cilindro,a partir de sus correspondientes generatrices.
En la pestaña Torno podrás modificar un cilindro y así crear variados cuerpos generados por rotación:
• En el recuadro Edición mueve los puntos rojos para modificar la generatriz, lo que inmediata-mente transforma el correspondiente cuerpo y las demás vistas que se presentan.
• Puedes cerrar la superficie completamente moviendo hacia el lado derecho el punto rojo queestá bajo la palabra ABRIR.
Obtendrás una imagen como esta:
Utilizando este applet, desarrolla las siguientes actividades:
1. Modifica los puntos rojos de modo que el cuerpo generado corresponda a un cilindro. Después,mueve los puntos de modo que el radio del cilindro sea aproximadamente el doble del anterior.¿Qué puedes concluir respecto de sus volúmenes?
2. Luego, modifica los puntos para generar un cuerpo cuya generatriz sea un polígono, como elque se observa en la imagen. ¿Cómo se podría calcular el volumen de este cuerpo? Comentacon tus compañeros y compañeras.
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 179
180 | Unidad 4
Volumen de conos
Así como se puede relacionar el volumen de un prisma con el deun cilindro de igual altura, también podemos relacionar el volumende una pirámide con el de un cono de igual altura. Observa.
La pirámide y el cono de la imagen anterior tienen la misma al-tura y sus bases tienen igual área. Según el principio de Cavalieri,si sus secciones planas a la misma altura son iguales, los volúmenestambién lo son; por tanto, se puede calcular el volumen a partir delvolumen de la pirámide.
Vpirámide = Vcono = h · B (B: área de la base)
Del mismo modo que en otros cuerpos, la expresión para calcularel volumen del cono no cambia si se trata de un cono recto uoblicuo; de hecho, no depende de su inclinación, sino de su altura.Esto también se explica por el principio de Cavalieri.
En el caso de un tronco de cono, elvolumen se puede calcular como ladiferencia entre el volumen delcono, si estuviera completo, y elcono menor que lo complementa,es decir:
VTronco de cono = pHR 2 – par 213
13
13
Analicemos...
• Si la base de la pirámide y la del cono tienen igual área, ¿se puedeafirmar que estos cuerpos tienen igual volumen?, ¿por qué?
• ¿En este caso también se aplica el principio de Cavalieri? Justifica.• Si se conocen el radio de la base y la altura del cono, ¿qué ex-
presión se puede utilizar para calcular su volumen? Explica.
Los conos son cuerpos generadospor rotación de un triángulo rec-tángulo con respecto a uno de suscatetos.
Recuerda que...
h
CC
rB B
A
Generatriz (g)
Luego, Vcono = h · p · r 213
H
h
r
R R
a
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 180
Utilizando el teorema de Thales, se puede demostrar que el volu-men del tronco del cono está dado por la expresión:
VTronco de cono = ph(r 2 + R2 + r · R), donde R y r son los radios de
las bases y h es la altura del tronco de cono. Observa que esta
expresión depende solo de la altura y del radio de cada base.
EjemploCalcula el volumen de un tronco de cono cuyos radios basalesmiden 10 y 6 cm, y cuya generatriz mide 8 cm. Se puede aplicar elteorema de Pitágoras para obtener la altura del tronco. Observa.
h =
Luego, se remplazan los valores correspondientes en la expresióndel volumen.
V = p (102 + 62 + 10 · 6) = · 196 � 1422 cm3.483
π48
13
13
8 4 482 2− =
Unidad
4
Áreas y volúmenes | 181
utilizamos las medidas del triánguloformado por la generatriz, la altura yla diferencia entre los radios
10 cm
8 cm
6 cm
En resumen
1. Calcula el área de un cono recto cuya generatriz mide 20 cm y cuyo radio basal es de 15 cm.
2. En una planta de salitre almacenan el mineral formando cerros con forma similar a un cono de dimen-siones 40 m de radio y 10 m de altura. Si el salitre acumulado debe ser transportado en un camióncon capacidad de carga de 300 m3, ¿cuántos viajes debería realizar el camión?, ¿cómo lo supiste?
3. Considera el tronco de cono generado por la rotación de un trapecio recto cuyas bases miden 11 y6 cm y cuya generatriz mide 13 cm. Calcula y explica, paso a paso, cómo lo calculaste:
a. la altura del tronco de cono.b. el volumen del tronco de cono que se genera.
Actividades
• El volumen de un cono está dado por la expresión V = p · r 2 · h donde r es el radio de labase del cono y h es su altura.
• El volumen de un tronco de cono está dado por la expresión:
VTronco de cono = ph(r 2 + R 2 + r · R), donde R y r son los radios de las bases y h es su altura.13
13
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 181
182 | Unidad 4
Volumen y área de la esfera
Uno de los hallazgos más apreciados del matemático griego Arquímedes fue determinar cómo calcular el volumen de la esfera.El procedimiento que utilizó consistió en relacionar las seccionesplanas de una semiesfera, un cilindro y un cono, todos de altura Ry radio R, generadas al intersecar estos cuerpos por un plano para-lelo a las bases a una distancia h del punto O. Observa.
Arquímedes observó que cuando se cortan la semiesfera, el cilin-dro y el cono por un plano paralelo a las bases, las áreas de las sec-ciones producidas en la semiesfera (A1), en el cilindro (A2) y en elcono (A3) verifican la siguiente relación: A1 = A2 – A3
En la imagen de la situación inicial se puede observar que:
A1 = pr 12 = p · (R 2 – h2)= pR 2 – ph2
= A2 – A3
Entonces, se puede aplicar el principio de Cavalieri para calcularel volumen de la semiesfera, si se considera el cilindro y el cono.Como estos cuerpos tienen la misma área basal y la misma altura,se tiene que Vsemiesfera = Vcilindro – Vcono
Vsemiesfera = p · R2 · R – · pR2 · R, = pR3 – · pR3 = · pR3
Finalmente, el volumen de la esfera es claramente el doble que el
de la semiesfera, esto es: Vesfera = · pR 3.43
23
13
13
Analicemos...
• ¿Cuál es el área de la sección del cilindro?, ¿por qué?• ¿Cuál es el área de la sección del cono?, ¿se puede representar
en términos de la distancia h? Justifica.• ¿Cuál es el área de la sección de la semiesfera?, ¿cómo se puede
representar en términos de R y h? Explica.• Aplicando el principio de Cavalieri, ¿se puede calcular el volumen
de la esfera?, ¿por qué?
Sección de la semiesfera (A1) Sección del cilindro (A2) Sección del cono (A3)
Oh r1
R RRh
OhP
R
Qr2
O
aplicando el teorema de Pitágoras
por distributividad
ya que, en este cono, h = r2
R es la altura del cilindro y del cono.
Pon atención
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 182
Áreas y volúmenes | 183
A diferencia de los poliedros, del cono y del cilindro, en el caso dela esfera no es posible dibujar su red, por lo que para calcular elárea de la esfera nos apoyaremos en el cálculo de su volumen.
El volumen de la esfera se puede aproximar sumando los volú-menes de muchas pirámides triangulares iguales, cuyas bases estáninscritas en la esfera y cuyos vértices están en el centro de la esfera,como se muestra en la siguiente imagen:
El volumen de la esfera equivale a la suma de los volúmenes detodas las pirámides (supongamos n pirámides). Se obtiene:
Vesfera = B1 · h + B2 · h + ... + Bn · h = (B1 + B2 + ... + Bn) · h
Observa que la suma de las bases de las pirámides B1 + B2 + ... + Bnequivale al área total de la esfera, y h, en este caso, es igual a r, elradio de la esfera; entonces:
Vesfera = Aesfera · r = pr 3, luego, despejando, Aesfera = 4pr 2.43
13
13
13
13
13
Unidad
4
• B1, B2, ..., Bn corresponden al áreade la base de cada pirámide.
• La forma de aproximar por “infinitos infinitesimales” mos-trada aquí es habitual en Mate-mática, en niveles superiores,aunque requiere mucho cuidadoy rigurosidad.
Pon atención
En resumen
• El volumen de la esfera de radio r es V = · pr 343
• El área de la esfera de radio r es Aesfera = 4pr 2
1. Calcula el volumen y el área de una esfera de 6 cm de radio.
2. Una esfera, un cilindro y un cono tienen igual radio. La suma de los volúmenes del cilindro y del cono,¿puede ser equivalente al volumen de la esfera? Justifica.
3. Una esfera está inscrita en un cubo de 6 cm de arista, es decir, las caras son tangentes a la esfera.Calcula el volumen y el área de la esfera.
Actividades
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 183
184 | Unidad 4
• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.
• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Cuándo se dice que un cuerpo es generado por rotación? Justifica.
3. ¿Cuál es la diferencia entre cono y cilindro?
4. ¿Cómo se relaciona el volumen de un cilindro con el de un cono?, ¿y con el de una
semiesfera? Explica.
5. ¿Qué características tiene un tronco de cono?
6. ¿Cómo se relaciona el volumen de un cono truncado con el volumen del cono en
general? Explica.
7. ¿Qué relación hay entre el volumen del cono y el volumen del cilindro, si tienen iguales
bases y alturas? Justifica.
8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Organizando lo aprendido
CUERPOS REDONDOS
ESFERAVOLUMEN ÁREA
RED
PRINCIPIO DE
CAVALIERI
son generados por pueden serse calcula su
mediante mediante
suAPROXIMACIONES
PIRAMIDALES
ROTACIÓN DE UNA
SUPERFICIE GENERATRIZ
CILINDRO
CONO
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 184
Áreas y volúmenes | 185
Mi progreso
1. Dibuja los cuerpos generados por rotación que se obtienen al girar lassiguientes figuras alrededor del eje, en cada caso.
2. Determina el radio de la base de un cilindro sabiendo que su área lateral es 1507,2 cm2 y la generatrizmide 40 cm. ¿Cuál es su volumen?, ¿cómo lo calculaste?
3. Un cubo y una esfera tienen la misma área: 216 cm2. ¿Cuál tiene mayor volumen?, ¿por qué?
4. El radio de la base de un cilindro y el de la base de un cono mide 8 cm. La altura del cilindro es de10 cm. Averigua cuál debe ser la generatriz del cono para que ambos tengan:
a. la misma área lateral.b. la misma área total.c. igual volumen.
5. Un cono generado por rotación de 6 cm de radio y 8 cm de alturaes cortado por un plano paralelo a la base en el punto medio de sualtura. Determina el área del tronco de cono resultante.
6. La superficie de una esfera es 100p cm2. Entonces, su volumen mide:
A. 72p cm3
B. 144p cm3
C. 188p cm3
D. 288p cm3
E. Ninguna de las anteriores.
• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.
¿Cómo voy?
CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA
Determinar cuerpos generados por rotación a partir de su generatriz.
1 174 y 175
Determinar el área y el volumen de un cilindro. 2 y 4 176, 177 y 180
Determinar el área y el volumen de un cono. 4 y 5 177, 180 y 181
Determinar el volumen de una esfera. 3 y 6 182 y 183
Unidad
4
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 185
Cómo resolverlo
186 | Unidad 4
Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución delsiguiente problema.
Una empresa que fabrica bolas de cristal las envasa dentro de unacaja cúbica de cartón, como se muestra en la figura.
a. Determina el volumen comprendido entre el cubo y la bola, si estáinscrita en él.
b. Si ahora el envase es un cilindro de radio 13 cm y altura 25 cm,¿qué volumen hay entre el envase y la bola?
c. ¿Cuál de las dos opciones es mejor para la empresa si quisieraahorrar en el material que utiliza como relleno entre el envase yla bola?
Solución
a. Para determinar el volumen, se calcula la diferencia entre el volu-men del cubo y el de la esfera correspondiente a la bola de cristal.
Vcubo = 253 = 15 625 cm3
Vesfera = p · (12,5)3 = p � 8181 cm3
Vespacio = 15 625 – 8181 = 7444 cm3
b. Ahora, se calcula el volumen del cilindro.
Vcilindro = p · 132 · 25 = 4225p � 13 273 cm3
Vespacio = 13 273 – 8181 = 5092 cm3
c. En el caso del cubo, el espacio restante mide 7444 cm3; en cambio,utilizando un cilindro, el espacio es de 5092 cm3. Luego, el envasecilíndrico es mejor para la empresa.
15 6256
43
Un cuerpo redondo está ins-crito en un poliedro, cuando lasuperficie del cuerpo redondoes tangente a todas las carasdel poliedro. Un poliedro estáinscrito en un cuerpo redondo,si tiene todos sus vértices en lasuperficie del cuerpo redondo.
Recuerda que...
25 cm12,5 cm
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Áreas y volúmenes | 187
Unidad
4
Actividades
1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones:
a. Un cubo está inscrito en un cilindro cuya base tiene 8 cm de radio. Calcula el volumen que hayentre el cilindro y el cubo.
2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedi-miento anterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué?
3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara elprocedimiento que utilizaste en cada caso con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál esmás simple?, ¿por qué?
a. Una pirámide de base hexagonal, cuya arista basal mide 9 cm y su altura 12 cm, está inscritaen un cilindro. Determina el volumen que hay entre el cilindro y la pirámide.
b. En una esfera con radio de 15 cm se inscribe un cilindro circular recto con un diámetro igualal radio de la esfera. Calcula el área lateral de este cilindro.
c. Un cilindro de 8 cm de altura está inscrito en un cono cuya generatrizmide 15 cm y su altura 12 cm. Calcula el área y el volumen del cilindro.
d. Observa la siguiente figura: representa una pieza industrial, un paralelepípedo recto en que seha taladrado un cilindro de 3 cm de radio.
• Calcula su volumen y, luego, exprésalo en metros cúbicos.• Calcula su área total.
e. Calcula el volumen de una pirámide si su altura es la diagonal de un cubo de 1 m de lado, y su área basal es igual al área total de un cilindro inscrito en otro cubo de 2 m de arista.
20 cm
9 cm
9 cm
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188 | Unidad 4
En terrenoEn terreno
Diseño de envases
Los envases son recipientes que sirven para contener, proteger, manipular, dis-
tribuir y presentar productos, en cualquier etapa de su proceso productivo, de
distribución o venta. El envase puede ser de vidrio, de plástico o de cartón, entre
otros materiales.
El vidrio se utiliza generalmente para productos líquidos, como por ejemplo aceite,
bebidas, licores, medicamentos, etcétera. Puede estar inserto en otro envase o es-
tuche de cartón que cumple la función de protegerlo y también presentar el pro-
ducto de manera atractiva para los potenciales clientes.
Por este motivo, los estuches de cartón se diseñan con creatividad e ingenio para
que sirvan de enganche para la compra del producto, ya que cada producto que se
ofrece en el mercado cuenta con una amplia competencia. Por otra parte, se debe
considerar la cantidad de material utilizado en el envase para que no encarezca
excesivamente el precio final.
Botellas con aceite.
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Actividades
1. Observa las botellas de la fotografía de la página anterior. Supón que te han encargado diseñar un en-vase de cartón para cada una de ellas, ¿qué forma podría tener el envase, en cada caso?, ¿por qué?
2. ¿Cuáles son las dimensiones relevantes en cada caso?, ¿qué otras características son importantes deconsiderar? Explica.
3. Planifica un estudio comparativo que permita decidir cuál es la forma más adecuada para el diseñode envases de cartón para estas botellas. ¿Con cuál de ellas se utilizaría menor cantidad de cartón ensu fabricación? Justifica.
Investiguemos...
1. Forma un equipo con dos compañeros o compañeras más. Analicen las propuestas de envases ideadaspor cada uno, compárenlas, y determinen cuál de ellas cumple con las condiciones de proteger ade-cuadamente el envase de vidrio, con la menor cantidad de cartón utilizado.
2. Busquen en sus hogares un frasco o botella de forma irregular, como por ejemplo una alcuza, unfrasco de colonia o una botella decorativa. Midan sus dimensiones y detallen si tienen otras caracterís-ticas relevantes para el diseño.
3. Diseñen tres envases de cartón para la botella que escogieron. Utilicen distintos cuerpos geométricospara cada uno.
a. Dibujen cada uno de los envases detalladamente, registrando todas las medidas.b. Dibujen la correspondiente red del envase y calculen su área.c. Según las características de la botella, diseñen una marca para su producto y la decoración que
podría tener el envase.d. Construyan con cartón o cartulina un ejemplo de cada envase.
4. Realicen una encuesta a veinte personas o más, para determinar cuál de los envases que crearon tienemás aceptación entre los potenciales clientes. Luego, elaboren un resumen de la encuesta, que incluyasus gráficos, y presenten sus conclusiones.
Evaluemos nuestro trabajo
• ¿El estudio comparativo realizado les permitió determinar cuál de los envases utilizaba más cartónen su construcción?
• ¿Lograron determinar las dimensiones necesarias y las características específicas que deben tenerlos envases?
• Comparen sus resultados con los de sus compañeros y compañeras. ¿Presentaron algo distinto, quetu grupo no consideró?, ¿qué pueden concluir?
Áreas y volúmenes | 189
Unidad
4
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 189
190 | Unidad 4
Síntesis de la Unidad
A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye conellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican lasrelaciones que hay entre los conceptos.
A partir de lo trabajado en la Unidad, responde:
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Qué medidas es necesario conocer para calcular el volumen de un tronco de cono?, ¿por qué?
3. ¿En qué consisten las proyecciones en el plano? Explica.
4. ¿El volumen de un cuerpo geométrico depende de su inclinación?, ¿por qué?, ¿y de su área? Justifica.
5. ¿Dos cuerpos podrían tener igual altura, pero distinta base y aun así tener igual volumen?
Explica mediante dos ejemplos distintos.
6. ¿Cuál es la diferencia entre los cuerpos generados por rotación y por traslación? Explica.
7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
ÁREAS Y VOLÚMENES
ÁREA VOLUMEN PRISMAS
CUERPOS GENERADOS POR ROTACIÓN
CUERPOS GENERADOS POR TRASLACIÓN
PROYECCIONES EN EL PLANO PRINCIPIO DE CAVALIERI
PIRÁMIDES
CONOS ESFERAS
CILINDROS
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Áreas y volúmenes | 191
Evaluación
I. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
1. Se conoce como alzado a la proyección del plano vista desde uno de los lados.2. El volumen de un cilindro es el doble del volumen de un cono de igual base e igual altura.3. Las proyecciones del plano se conocen como planta, alzado y perfil.4. El principio de Cavalieri se puede aplicar a dos cuerpos geométricos cualesquiera. 5. El volumen de un prisma es el triple del volumen de una pirámide de igual base e igual altura.6. El área de un cuerpo geométrico no incluye el área de la o las bases.
II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades.
1. Imagina que un rectángulo de lados 4 cm y 6 cm gira en torno a su lado menor.
a. Dibuja el sólido que se genera.b. Calcula el volumen del sólido.c. Compara el volumen del sólido anterior con el que se generaría si la rotación fuera respecto
al lado mayor.d. ¿Qué condiciones debe satisfacer el rectángulo para que el volumen del sólido generado por
la rotación en torno a uno de sus lados sea igual al doble del volumen del sólido generado poruna rotación en torno al otro lado? Justifica.
2. La siguiente lata de conservas tiene un diámetro de 8 cm y una altura de 13 cm.
a. ¿Cuál es el área total de sus bases?b. Calcula el área de la etiqueta de papel que cubre la lata.c. Calcula el volumen de la lata.
3. El radio de la Tierra es de 6370 km y el de la Luna, 1738 km. ¿Cuántas veces mayor es el volumende la Tierra?
4. Una empresa que vende jugo de fruta en envases con forma de paralelepípedo recto, de medidas11, 6 y 15 cm, decide cambiar dichos envases por otros en los que disminuye un 10% el área dela base y aumenta un 10% la altura.
a. El volumen del nuevo envase, ¿es mayor o menor que el del antiguo?b. Si mantienen el mismo precio, ¿es positivo para los consumidores?
5. En una habitación de 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de altura se requiere almacenar cajasde 1 m de largo, 60 cm de ancho y 40 cm de altura. ¿Cuántas cajas se pueden almacenar enesta habitación?
Unidad
4
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 191
192 | Unidad 4
1. Si la medida de cada una de las aristas deun cubo aumenta en un 20%, entonces suvolumen aumenta en:
A. 10%B. 21%C. 30%D. 60%E. 72,8%
2. Una pirámide cuya base es un cuadrado delado 2a unidades tiene el mismo volumenque un prisma cuya base es un cuadrado delado a. ¿En qué razón están las alturas dela pirámide y del prisma?
A. 1 : 4B. 3 : 4C. 4 : 3D. a : 3E. 3 : 2
3. La medida de la altura de un cono recto esigual al triple del radio basal. Su volumen es:
A. p r3
B. pr3
C. 3p r3
D. 9p r3
E. Ninguna de las anteriores.
4. Un cubo de arista a está inscrito en una esferade radio R. Entonces se cumple:
A. a = 2RB. 2R = a
C. 2R = a 3
2
13
III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso.
D. R = a
E. R = a
5. En la figura se representa la mitad de un anillocircular. El volumen generado al girar este anilloen torno al eje indicado es:
A. p cm3
B. 128p cm3
C. 32p cm3
D. p cm3
E. 208p cm3
6. En la imagen está representado un cuerpo gene-rado por una revolución de alguna figura plana.Indica la o las posibles figuras generadoras.
A. Solo I B. Solo III C. Solo II D. I y IIE. I y III
3
2243
163
2
I II III
2a2a
2 2
a
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Áreas y volúmenes | 193
7. (Ensayo PSU, 2004) En la figura, se tiene un cuartode círculo de centro O. Se hace rotar la figuraindefinidamente en torno al eje. Si OT = 3 cm,entonces el volumen del cuerpo geométricoque se genera es:
A. 9p cm3
B. p cm3
C. 36p cm3
D. 27p cm3
E. 18p cm3
8. El volumen de la pirámide de base cuadradaes 96 cm3. ¿Cuál es el volumen de la pirámidesuperior si su altura es la mitad de la pirámidemayor?
A. 96 cm3
B. 64 cm3
C. 48 cm3
D. 36 cm3
E. 12 cm3
9. El volumen de un tronco de cono cuyas medidasson r = 6 cm; R = 10 cm; h = 4,8 cm, es:
A. 900 cm3
B. 908,5 cm3
C. 985,2 cm3
D. 890 cm3
E. Ninguna de las anteriores.
10. ¿Cuál es el volumen comprendido entre el cuboy el cono de la figura?
A. 738 cm3
B. 821 cm3
C. 785 cm3
D. 684 cm3
E. Ninguna de las anteriores.
11. La altura de un cono mide 12 cm. Para que su volumen sea 100p cm3, su radio basal debe medir:
A. cm
C. 3 cm
D. 5 cm
E. Ninguna de las anteriores.
12. El volumen de un prisma hexagonal de base 5 cm2 y altura 10 cm es:
A. 15 cm3
B. 50 cm3
C. 10 cm3
D. 150 cm3
E. 210 cm3
13. Se construye un molde para elaborar barras de metal. Para ello, a un prisma recto de basetriangular se le quita la parte que se indica enla figura. ¿Cuánto es el volumen del molde?
A. 100,62 m3
B. 1000 m3
C. 1050,2 m3
D. 1062,75 m3
E. No se puede determinar.
35
Unidad
4
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
10 cm10 cm
10 cm
6 cm
O
T
B. cm 53
10 cm
10 cm 26 cm
UNIDAD 4 (156-193)C _Maquetación 1 08-10-12 18:22 Página 193
TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A:
Estadística I5
194|Unidad 5
Antecedentes históricos
Medidas de tendencia central
Tablas
Gráficos
Analizar gráficos.
Usar el computador para representar la información.
Datos
Población
Muestra
Conocer algunos hitos en el desarrollo de la Estadística.
Ordenar y organizar la información.
Identificar una muestra representativa.
Determinar valores representativos.
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 194
Estadística I| 195
Conversemos de...
Investigadores de diversas áreas enfrentan, en algún momento, el problema de analizar y com-prender un conjunto de datos relevantes para su estudio. Si la información se refiere a una muestrao población, será necesario organizar e interpretar los datos para obtener de ellos la informaciónque se requiere.
Por ejemplo, hoy en día no se entendería una campaña publicitaria para lanzar un nuevo productoal mercado sin los estudios previos basados en la información que aporta la Estadística. En general,la mayoría de las empresas tiene su departamento de estudios estadísticos que se encarga derecopilar, organizar y analizar los datos referentes a un determinado producto.
1. ¿Cómo se pueden ordenar estos datos?2. ¿Cuál es la utilidad de una tabla de datos?, ¿y de un gráfico?3. ¿Qué tipos de gráficos puedes observar en la imagen?, ¿por qué se utilizan distintos tipos de
gráficos?, ¿cuál es la ventaja de cada uno? 4. En el caso de un estudio de mercado para diseñar una nueva mochila, si se realizara una encuesta,
¿qué información se podría preguntar?, ¿qué conclusiones se pueden obtener al analizar susrespuestas? Explica.
Latin
stoc
k
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 195
196 | Unidad 5
¿Cuánto sabes?
1. En la siguiente tabla se muestra el número de alumnos y alumnas quehay en 4º Medio en un colegio, agrupados por curso y por sexo.
Escribe la razón entre:
a. el número de niñas y el número de niños del 4º A.
b. el número de niñas y el número de niños.
c. los estudiantes del 4º A y del 4º B.
2. Completa la siguiente tabla:
3. Indica qué números enteros están contenidos en los siguientes intervalos:
a. [2, 9] b. ]–3, 3[ c. ]0, 1[ d. [–1, 10]
4. Encuentra un intervalo de números reales que cumpla con lo pedido.
a. Un intervalo abierto que contenga a , 0 y – .
b. Un intervalo que contenga todos los números mayores que 5.
c. Un intervalo que no contenga números positivos.
d. Un intervalo semiabierto que no contenga ni al 8,3 ni al .710
13
12
Recuerda lo que aprendiste en años anteriores y resuelve en tu cuaderno.
Niñas Niños
4º A 20 25
4º B 22 23
Porcentaje Fracción Fracción irreductible Expresión decimal
75%75100
34
0,75
62100
150
0,3333...
90%
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 196
5. En la siguiente tabla se muestra la población por grupos de edaddel censo de 2002. Completa los recuadros de la tabla con la frecuencia acumulada.
6 . Redondea los siguientes números decimales a la centésima:
a. 4,5656 c. 63,3532 e. 234,1222b. 8,77779 d. 0,9876 f. 1,00494
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.
Estadística I | 197
Unidad
5
¿Qué debes recordar?
Ejemplo: 34% se representa por . Su fracción irreductible es y la expresión decimalequivalente es 0,34.
• [a, b] es la representación del intervalo cerrado que contiene a a y a b y a todos los númeroscomprendidos entre ellos.
• ]a, b[ es la representación del intervalo abierto que solo contiene a aquellos números queestán comprendidos entre a y b.
• [a, b[ o ]a, b] son representaciones de un intervalo semiabierto que contiene a a o b, segúnsea el caso y a los valores comprendidos entre a y b.
• Frecuencia: es la cantidad de veces que ocurre un suceso.• Frecuencia acumulada: es la suma de las frecuencias observadas hasta un cierto valor.
1750
34100
• El a% de un número se puede representar con la fracción .a
100
Grupos de edad HabitantesFrecuencia acumulada
0-14 3 890 126
15-24 2 481 515
25-39 3 627 915
40-49 2 036 424
50-64 1 862 879
65 y más 1 217 576
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 197
198 | Unidad 5
Orígenes de la Estadística
Analicemos...
En 1662 John Graunt (1620-1674), un mercader inglés, publicó unestudio titulado “Observations made upon the bills of mortality”(Comentarios sobre las partidas de defunción). Graunt anotó lassiguientes conclusiones: de 100 bebés que nacían el mismo día, elnúmero esperado de supervivientes, según pasaban los años, serefleja así:
Desde los comienzos de la civilización han existido formas sencillasde recopilar datos, pues se utilizaban representaciones gráficas enpieles, rocas, palos de madera y paredes de cuevas, para contar elnúmero de personas, animales o ciertas cosas. Hacia el año 3000 a. C.los babilonios usaban pequeñas tablillas de arcilla para recopilardatos sobre la producción agrícola, en tanto los egipcios realizabanun censo de población y riqueza mucho antes de construir laspirámides. En China existían registros numéricos similares con ante-rioridad al año 2000 a. C. Los griegos, hacia el año 594 a. C., realiza-ban censos cuya información se utilizaba para cobrar impuestos.
• ¿Qué tipo de datos tuvo que observar Graunt para elaboraresta tabla?
• ¿Sería suficiente con analizar los datos correspondientes a undía específico?, ¿por qué? Justifica.
• Observando la tabla anterior, ¿qué puedes concluir? Comentatus conclusiones con tus compañeros y compañeras.
• Antes del estudio de Graunt, ¿qué situaciones conocidas de la His-toria corresponden a estudios estadísticos? Averigua y comenta.
Edad en años Muertos Supervivientes
6 36 64
16 24 40
26 15 25
36 9 16
46 6 10
56 4 6
66 3 3
76 2 1
86 1 0
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 198
Estadística I | 199
Unidad
5El Imperio Romano fue el primer gobierno que recopiló una grancantidad de datos sobre la población, superficie y renta de todoslos territorios bajo su control. Cada cinco años realizaban un censode la población, cuyos datos de nacimientos, defunciones y matri-monios eran esenciales para estudiar los avances del Imperio.
En América, los incas disponían de un medio de información basadoen los quipus. Se podía conocer cuántos hombres vivían en deter-minada región, sexo, cronología, estado civil, jerarquía, númerode animales, alimentos, etc.
El registro de nacimientos y defunciones comenzó en Inglaterra aprincipios del siglo XVI, y en 1662 John Graunt, como se mencionóanteriormente, publicó el primer estudio estadístico de población.El estudio contenía, por primera vez, conclusiones acerca de al-gunos aspectos relacionados con estos datos. Esta obra es conside-rada como el punto de partida de la Estadística moderna.
En el siglo XIX, con la generalización del método científico para estu-diar todos los fenómenos de las ciencias naturales y sociales, los inves-tigadores aceptaron la necesidad de reducir la información a valoresnuméricos, para evitar la ambigüedad de las descripciones verbales.
En nuestros días, la Estadística tiene importancia para presentar,relacionar y analizar información de diversas áreas. El trabajo deun estadístico ya no consiste solo en reunir y tabular los datos, sinoen analizar e interpretar correctamente esa información, para in-ferir y predecir lo que podría ocurrir según ciertas tendencias y asíorientar mejor la toma de decisiones. Fuente: Archivo editorial
Glosario
quipu: cuerdas o varas de las quependían conjuntos de cuerdas dediferentes largos y colores, que seataban con nudos de formas e inter-valos diversos. Se empleaban tambiéncomo apoyo para contar historias.
1. Averigua en qué parte del libro “Números”, del Antiguo Testamento, se hace referencia a censos orecuentos estadísticos. ¿Qué semejanzas hay con los censos actuales?
2. Junto con un compañero o compañera, averigua sobre cuatro áreas distintas en las cuales se utilicela Estadística como herramienta de investigación. Justifica.
3. En tu vida diaria, ¿qué información de la que recibes involucra la Estadística?, ¿en qué situacionesla Estadística te puede servir para tomar decisiones?
4. ¿Por qué crees tú que la Estadística demoró tanto tiempo en desarrollarse?
Actividades
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 199
200 | Unidad 5
Población y muestra
Analicemos...
Gabriel y Valentina preparaban una disertación sobre la tenenciaresponsable de mascotas y decidieron realizar una encuesta atodos los alumnos y alumnas del colegio, preguntando: ¿tienesuna mascota en tu casa? y, después, ¿qué mascota tienes?, ¿quécuidados le brindas? Pero, luego, supieron que en el colegiohabía casi 2000 estudiantes, y reconocieron que se enfrentabana una tarea lenta y compleja. Entonces, Gabriel propuso encues-tar solo a 200 estudiantes.
En muchas ocasiones, para llevar a cabo un estudio se hacen en-cuestas, las cuales son dirigidas a unamuestra representativa de lapoblación. Una vez realizado el estudio, se asume que se obtendríanlos mismos resultados si se hubiese encuestado a todos los individuosde la población total. Es por ello que es muy importante que estamuestra debe ser de tal forma que represente a la población. Alhablar de representatividad de una muestra, lo que se quiere decires que se espera que este subgrupo sea una especie de copia pe-queña de la población total.
En la situación de Gabriel, la población corresponde a todos losalumnos y las alumnas del colegio. Luego, ¿qué ocurriría si Gabrielconsidera alguna de las siguientes muestras?:
• solo los alumnos de Quinto y Sexto Año Básico.• solo las alumnas de Tercero y Cuarto Año Medio.• solo los alumnos y las alumnas de Primer Año Básico.
• Si se demoraran, en promedio, dos minutos en realizar la en-cuesta, ¿a cuántos estudiantes podrían encuestar en una hora?
• Si cada uno destinara dos horas diarias a realizar la encuesta,¿alcanzarían a encuestar a todos los alumnos y alumnas delcolegio en una semana?, ¿por qué?
• La propuesta de Gabriel, ¿les permitirá obtener resultados si-milares que si los encuestaran efectivamente a todos? Justifica.
• ¿Cómo deberían elegir a los y las estudiantes para asegurarse deque el grupo escogido va a representar fielmente a los alumnosy alumnas del colegio? Explica.
Glosario
muestra: subconjunto o subgrupode la población.población: totalidad de los indivi-duos, objetos u observaciones queposeen al menos una característicaen común.
Veterinario atendiendo a una mascota.
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 200
En resumen
• Población corresponde a la totalidad de personas, eventos o cosas de las cuales se desea hacerun estudio, y que tienen una característica en común que se quiere medir.
• Una muestra es un subconjunto o subgrupo de la población. La representatividad de lamuestra no depende necesariamente de su tamaño, sino de la capacidad de reproducir a pequeña escala las características de la población.
Estadística I | 201
Un
idad
5Como puedes ver, en todos los casos anteriores, Gabriel estaría ex-cluyendo a una parte de la población, por lo que ninguna de estasmuestras es representativa. En cambio, si Gabriel encuesta solo aocho o nueve alumnos y alumnas al azar por cada curso, esta mues-tra sí representa a la población del estudio, ya que de esta maneraobtiene información de alumnos de distintas edades. Ahora, si lapoblación correspondiera a 2000 estudiantes, pero todos fueranalumnos de Cuarto Año Medio, quizás sería suficiente con en-cuestar a 100 estudiantes, ya que tienen características similares.Si los individuos que componen la población son muy distintosentre ellos, es necesario tomar una muestra de tamaño másgrande que en el caso de que los individuos que componen lapoblación sean similares.
1. Clasifica lo que representa cada proposición según los conceptos de Estadística, dado un estudioreferido a los hábitos de comida en Chile.
a. Todos los chilenos. c. La edad de las personas encuestadas.b. Las personas encuestadas. d. El sexo de las personas encuestadas.
2. Determina cuáles de las siguientes muestras son representativas. Justifica.
a. Se aplicó una encuesta durante la campaña para la elección de senadores de una región.El muestreo se realizó seleccionando 2000 personas al azar, a las cuales se las llamó porteléfono. Para la selección se usó la guía telefónica de la región.
b. En un hospital se hace una encuesta acerca de los hábitos alimenticios de los pacientes; paraello, cada médico debe encuestar a tres pacientes en una semana; la selección debe ser al azar.
c. En un club social y deportivo quieren saber qué deportes nuevos les interesan a sus asociados;para ello encuestaron a los asistentes a un bingo un día sábado.
Actividades
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 25-10-12 19:04 Página 201
202 | Unidad 5
1,62 1,72 1,81 1,72 1,70 1,83 1,80 1,88 1,68 1,75
1,80 1,86 1,70 1,84 1,82 1,83 1,81 1,77 1,73 1,75
1,73 1,77 1,62 1,83 1,80 1,72 1,71 1,85 1,80 1,69
1,82 1,69 1,75 1,81 1,64 1,76 1,70 1,80 1,75 1,84
1,81 1,80 1,72 1,80 1,72 1,88 1,75 1,79 1,82 1,79
1,72 1,67 1,70 1,75 1,72 1,77 1,72 1,73 1,83 1,76
1,83 1,77 1,72 1,77 1,75 1,84 1,83 1,79 1,82 1,76
1,71 1,76 1,74 1,88 1,64 1,80 1,72 1,75 1,79 1,77
Estudiantes de Cuarto Año Medio.
Ordenando la información
Analicemos...
Consideremos los siguientes datos, expresados en metros, corres-pondientes a las estaturas de ochenta estudiantes de Cuarto Añode Educación Media.
Para organizar datos muy numerosos, es usual agruparlos en claseso categorías. Al determinar cuántos datos pertenecen a cada clase,se puede establecer la frecuencia. Así, se construye una tabla dedatos llamada tabla de frecuencias.
En ocasiones, el agrupar los datos en intervalos para construir unatabla de frecuencias, nos puede ayudar para realizar un mejoranálisis de ellos. Observa.
Estatura mayor: 1,88 m; estatura menor: 1,62 m;rango: 1,88 – 1,62 = 0,26. Luego, el rango es de 26 cm.Se forman seis intervalos. Para calcular el tamaño de cada uno,podemos calcular 26 : 6 = 4,3333… , lo que nos indica que el tamañode cada intervalo puede ser 5 cm, o bien 0,05 m.
• ¿Cuántos alumnos y alumnas miden más de 1,60 m?, ¿cuántosde ellos miden más de 1,80 m?
• ¿Cómo organizarías estos datos para analizar mejor las estaturasde los y las estudiantes? Explica.
El rango está dado por la diferenciaentre el máximo y el mínimo valorde una variable.
Recuerda que...
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 202
Estadística I | 203
Un
idad
5
IntervaloFrecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Frecuencia relativa porcentual
[1,60, 1,65[ 4480
5%
[1,65, 1,70[ 4480
5%
[1,70, 1,75[ 202080
25%
[1,75, 1,80[ 222280
27,5%
[1,80, 1,85[ 242480
30%
[1,85, 1,90[ 6680
7,5%
Variable estadística: característica oatributo que se observa en cadauno de los individuos u objetos. Soncuantitativas, si se relacionan concaracterísticas numéricas, o cualita-tivas, si se relacionan con caracterís-ticas que representan una cualidad.
Recuerda que...
480 496 724 780 801 570 802 795
775 712 683 830 560 826 560 794
890 590 750 489 725 666 746 668
830 452 810 720 680 680 660 490
886 714 676 760 880 570 895 660
1. Los siguientes datos corresponden a la duración en horas, de uso continuo, de cuarenta dispositivoselectrónicos iguales, sometidos a un control de calidad.
Construye una tabla de distribución de frecuencias agrupadas que considere las columnas:intervalo, frecuencia absoluta, frecuencia relativa.
Actividades
En resumen
• La frecuencia absoluta de una clase es el número de datos que forma dicha clase, mientrasque la frecuencia relativa corresponde a la razón entre la frecuencia absoluta y el total dedatos, la cual también se puede expresar mediante el uso de porcentajes.
• Para construir una tabla de frecuencias para datos agrupados, se determina el tamaño decada intervalo, dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se deseaobtener. Se recomienda tomar como longitud de los intervalos un valor entero que seamayor o igual al cociente obtenido.
Se obtiene la siguiente tabla:A veces, por efecto de las aproxima-ciones, es posible que la suma de lasfrecuencias relativas porcentuales nosea exactamente 100%.
Pon atención
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 25-10-12 18:51 Página 203
• ¿Qué puedes concluir de la información presentada, en cada caso?• ¿Cómo se llaman los gráficos anteriores?, ¿cuáles son sus carac-
terísticas, en cada caso?• ¿Cuál de los gráficos anteriores te parece que representa mejor
la información?, ¿por qué?• ¿Existe alguna información o dato que se aprecie claramente en
uno de los gráficos, pero que sea imposible de deducir en elotro? Justifica.
Analicemos...
Los gráficos se utilizan para ilustrar y presentar un conjunto de datosrelacionados entre sí, de manera que se facilite su comprensión, com-paración y análisis. Según sus características y la cantidad de datos,conviene utilizar uno u otro gráfico. Por ejemplo, los gráficos circu-lares no se recomiendan cuando las variables tienen muchos valoresposibles, mientras que los histogramas no se recomiendan cuando lavariable es cualitativa, ya que se utiliza agrupando los datos en in-tervalos de valores.
En el caso de los gráficos presentados sobre la frecuencia de accidentesde tránsito, el histograma permite dimensionar la cantidad de acci-dentes según la hora en que ocurren y es más fácil interpretar el pasode las horas y reconocer, por ejemplo, que el atardecer es la hora enque se producen más accidentes. El gráfico circular, en cambio, es muyútil para analizar los datos cuando están asociados a porcentajes, perono permite cuantificar la frecuencia, a menos que se indique el totalde la población o de la muestra representada en el gráfico.
204 | Unidad 5
Análisis de gráficos
Observa los siguientes gráficos, que representan la frecuencia deaccidentes de tránsito, según la hora del día en que ocurren.
Fuente: Carabineros de Chile, Anuario estadístico de tránsito. Santiago, 2006, www.carabinerosdechile.cl
7000
6000
5000
4000
3000
2000
1000
0
00:00 a 01:59
04:00 a 05:59
06:00 a 07:59
08:00 a 09:59
10:00 a 11:59
12:00 a 13:59
14:00 a 15:59
16:00 a 17:59
18:00 a 19:59
20:00 a 21:59
22:00 a 23:59
02:00 a 03:59
00:00 a 01:5902:00 a 03:5904:00 a 05:5906:00 a 07:5908:00 a 09:5910:00 a 11:5912:00 a 13:5914:00 a 15:5916:00 a 17:5918:00 a 19:5920:00 a 21:5922:00 a 23:59
Horas
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 204
Gráfico de barras y pictogramas
Un gráfico de barras (gráfico 1) está compuesto por barras sepa-radas, donde la altura de cada barra es proporcional a la frecuencia.Es útil para comparar las frecuencias de los valores.
En un pictograma (gráfico 2), en lugar de las barras, se dibuja unafigura proporcional (por su tamaño, o bien por su cantidad) a lafrecuencia. Se puede analizar de manera similar a un gráfico debarras y permite asociar rápidamente los datos presentados en elpictograma con la o las variables, cuando se presentan dos o másvariables simultáneamente.
Por ejemplo, el informe anual de estadísticas agropecuarias, realizadopor el Instituto Nacional de Estadísticas (INE), arrojó informaciónrelacionada con la producción de trigo, por región, en el período2007-2008, que se muestra en el gráfico de barras (gráfico 1) y enel pictograma (gráfico 2).
Gráfico de dispersión
En la gráfica se observan datos de masa y estatura obtenidos de40 alumnos y 40 alumnas de Cuarto Año Medio. Se puede obser-
var que, en general, las mujeresson más bajas que sus com-pañeros y que la relación masa-estatura es más homogénea enel caso de los varones.
En resumen
Utilidad de diversos tipos de gráficos.
• Gráfico de barras: facilita la comparación entre las frecuencias de las variables.
• Pictograma: mediante figuras o diagramas representa los valores de una variable estadística.
• Gráfico circular: es útil cuando se necesita representar porcentajes.
• Histograma: sirve para expresar información sobre datos que están agrupados.
• Gráfico de dispersión: sirve para estudiar la homogeneidad o heterogeneidad de los datos.
Estadística I | 205
Unidad
5
1 000 000
2 000 000
3 000 000
4 000 000
5 000 000
6 000 000
0VI VII VIII IX X XIV Resto
delpaís
1 000 000
2 000 000
3 000 000
4 000 000
5 000 000
6 000 000
0VI VII VIII IX X XIV Resto
delpaís
1,9Estatura (m)
Masa (kg)
1,81,71,61,51,4
MujeresHombres0
102030405060708090
Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas(INE), “Informe anual de estadísticasagropecuarias”, Santiago, 2007.www.ine.cl
Gráfico 1
Gráfico 2
Producción (qqm)
Producción (qqm)
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 205
206 | Unidad 5
1. El gráfico muestra los resultados obtenidos en el censo de 2002 sobre el número de familias chilenassegún el tipo de hogar que constituyen.
a. Comenta con tus compañeros y compañeras los tipos de familias descritos en el gráfico.¿Cuál de ellos corresponde a tu familia?, ¿por qué?
b. ¿Cuál es la diferencia entre una familia extensa y una compuesta? Explica.c. En general, ¿hay más familias con hijos o sin hijos?d. Estima la proporción de familias chilenas monoparentales.e. ¿Qué conclusiones puedes obtener a partir del gráfico?
Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE), XVII Censo Nacional de Población y VI de Vivienda, Santiago, 2002.www.ine.cl
2. El siguiente gráfico nos presenta la información obtenida de 300 encuestados por la FundaciónFuturo (2008), acerca de la pregunta: ¿qué nota colocas a lo bueno en el deporte chileno?
a. ¿Cuál fue la categoría mejor evaluada?, ¿tú también la hubieras evaluado con esa nota?,¿por qué?
b. ¿Qué área del deporte tiene el mejor promedio: el tenis o el fútbol?c. ¿Qué puedes concluir?
Fuente: Fundación Futuro. Encuesta “Lo bueno, lo malo y lo feo del 2008”. Santiago, diciembre 2008. www.fundacionfuturo.cl.
Actividades
Nuclear monoparental sin hijos
Nuclear monoparental con hijos
Nuclear biparental con hijos
Nuclear biparental sin hijos
Extensa biparental
Extensa monoparental
Compuesta
Sin núcleo familiar
7 6,6 6,5 6,4 6,3 5,9
4,5
6
5
4
3
2
1Medalla de plata deFernando González
en Beijing
Natalia Ducó campeona del
mundo en bala anivel juvenil
Triunfo de la Selección Chilena de Fútbol frente a
Argentina
David Dubocampeón mundial
de kárate
Chile sede delMundial Femenino
de Fútbol
Retiro de MarceloSalas del fútbol
Número de familias chilenas según el tipo de hogar que constituyen
¿Qué nota colocas a lo bueno en el deporte chileno?Nota
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 206
Estadística I | 207
Unidad
53. Los siguientes gráficos piramidales muestran la distribución poblacional de Chile en tres añosdiferentes. Observa y, luego, responde las siguientes preguntas.
a. ¿Cuántos hombres aproximadamente comprende el intervalo [10, 24[ en cada uno de losaños mostrados en los gráficos?
b. ¿En qué año la población masculina comprendida en el intervalo [10, 24[ presentó unamayor diferencia por tramos de edad?
c. ¿Qué consecuencias geográficas podrían derivarse de la pirámide poblacional proyectadapara el año 2025?
4. El gráfico siguiente representa el consumo promedio de agua, en metros cúbicos, durante un mes,en una familia de cinco integrantes, según un estudio de Aguas Andinas:
a. ¿A qué crees que se deba el incremento del consumo de agua en verano?b. Divide cada uno de los valores dados en el gráfico por 5; luego, construye un gráfico circular
que muestre estos valores, en cada caso. ¿Qué resultados nos entregaeste gráfico?
c. Discute con tus compañeros y compañeras acerca de la escasez del agua y su mal uso.
d. ¿Qué medidas podrías tomarpara cuidar este recurso? Si todossiguieran estas medidas, ¿cuántoestimas que se ahorraría una familia de cinco integrantes cada mes? Comenta con tuscompañeros y compañeras.
Fuente: Grupo Aguas, www.aguasandinas.cl.
Consultado en febrero de 2010. Invierno
Edad (años)
Hombres MujeresMiles de personas Miles de personasMiles de personas
80 y más
0–4
500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 0100 100 200 300 400 500 600 700 800 800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200300 400500 600 700 800200300400500600700800
5–910–1415–1920–2425–2930–3435–3940–4445–4950–5455–5960–6465–6970–7475–79
1950 2000 2025
Fuente: Proyecciones de población INE-CELADE
Chile: Población estimada al 30 de junio
400
350
300
250
200
150
100
50
0Duchas
Metros cúbicos
Verano
Aseo en lavatorios
Descarga enWC
Comida ylavado de vajilla
Lavado general
Riego
Consumo promedio de agua en un mes
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 207
Glosario
moda: elemento que tiene la mayorfrecuencia en un conjunto de datos.
mediana: elemento de una serie orde-nada de valores crecientes de formaque la divide en dos partes iguales,superiores e inferiores a él.
208 | Unidad 5
Medidas de tendencia central
Susana se encuentra trabajando como voluntaria en el CampeonatoNacional de Natación. Su responsabilidad es llevar el registro de lostiempos realizados por las nadadoras en las distintas pruebas.
Luego de la primera prueba, 50 m libres damas, registró los siguien-tes resultados:
Susana está analizando los datos y los ordena de menor a mayor:
31, 35, 35, 35, 36, 39, 41, 44 y 46
Primero observa que el valor que más se repite es 35. Este valor esconocido como moda. La moda se denota por Mo.
Luego, observa que el dato que se encuentra justo en la mitad es36 s. Esto quiere decir que el 50% de las nadadoras se demoraron alo más 36 s en la prueba de 50 m libres; o, también, que el 50% de lasnadadoras se demoraron al menos 36 s en la prueba de 50 m libres.
Este valor es conocido como lamediana, pues corresponde al valorque divide en dos partes iguales a un conjunto de datos. A vecesno existe un valor tal que, por debajo de él, se encuentre exacta-mente el 50% de las observaciones; en este caso se debe tomar elprimer valor bajo el cual se encuentre, al menos, el 50% de las ob-servaciones. La mediana se denota por Md.
Camila 31 s Javiera 39 s Marisol 44 s
Florencia 35 s Isabel 41 s Viviana 46 s
Antonia 36 s Andrea 35 s María Paz 35 sNadadoras de 50 m libres.
Analicemos...
• ¿Qué nadadora ganó?, ¿cuál llegó última?, ¿qué nadadorallegó en la mitad, entre la primera y la última?, ¿cómo se puedeinterpretar esta información?
• En general, ¿cuánto demoran en recorrer los 50 m de la prueba?• ¿Hay algún tiempo de llegada que se repita?• ¿Cómo se pueden describir los resultados de esta prueba?, ¿qué
puedes concluir?• En general, ¿qué información es importante cuando se analiza
un conjunto de datos?
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 208
Glosario
marca de clase: valor representativode cada intervalo, que correspondea su punto medio y se calcula suman-do cada extremo del intervalo y di-vidiéndolo en dos.
Estadística I | 209
Media aritméticaLa media aritmética de n datos numéricos que expresan cantidadeses el cociente entre la suma de todos los datos y la frecuencia totalde ellos.
Es decir, x =
En el caso de las nadadoras,
x = = 38
O sea, en promedio, ellas demoraron 38 segundos en llegar a lameta. Observa que en este caso el promedio no coincide con nin-guno de los valores dados en la tabla.
Si los datos se encuentran ordenados por intervalos, también sepuede calcular su media aritmética, utilizando la marca de clasecomo representante del intervalo. Observa.
La siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias de lospuntajes obtenidos por cincuenta estudiantes en una prueba de Matemática.
31 + 35 + 35 + 35 + 36 + 39 + 41 + 44 + 469
x1 + x2 + x3 + x4 + … + xnn
Unidad
5
IntervaloFrecuencia absoluta ( fi)
Marca de clase (xi)
fi · xi
60-64 5 62 310
65-69 5 67 335
70-74 8 72 576
75-79 12 77 924
80-84 16 82 1312
85-89 4 87 348
Total 50 3805
La media aritmética de los valores está dada por el cociente entre
la suma de los valores fi · xi y el número total de observaciones,
esto es: x = = 76,1.380550
• Al realizar cálculos que involucrenvalores con unidades de mediciónasociadas, el resultado tambiéndebe tener la unidad de mediciónasociada correspondiente.
• Siempre es importante dar unarespuesta completa cuando estéshaciendo algún cálculo.
Pon atención
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 209
210 | Unidad 5
1. Pablo obtuvo las siguientes notas parciales en Matemática: 4,8; 2,5; 6,0; 3,9 y una quinta nota queno recuerda. Si su promedio fue 4,6, calcula la nota que falta.
2. Carlos y Alejandra obtuvieron el mismo promedio semestral de notas. ¿Significa que tuvieron lasmismas notas? Justifica numéricamente tu respuesta.
3. En una muestra de control se midieron 10 clavos de una bolsa, con los siguientes resultados: 5 de 2,00”; 3 de 1,99” y 2 de 2,05”. Calcula la longitud media de la muestra.
4. La siguiente tabla muestra los resultados de la prueba SIMCE (Sistema de Medición de la Calidadde la Educación), año 2008, de 4º Año Básico.
a. ¿Cuál es el valor de la media aritmética, la moda y la mediana, en cada área?b. ¿En qué área se obtuvieron mejores resultados? Justifica.c. ¿Qué región obtuvo el puntaje más bajo en cada área?, ¿coinciden estos puntajes con la
misma región?d. ¿Qué región obtuvo el mejor promedio al considerar las tres áreas?, ¿a qué crees que se
deba esto?
Fuente: Ministerio de Educación (Mineduc). Prueba SIMCE, 4º Año Educación Básica (2008), www.mineduc.cl, julio 2009.
Actividades
RegiónLenguaje y Comunicación
Educación Matemática
Comprensión del MedioSocial y Cultural
Arica y Parinacota 260 246 244
Tarapacá 253 240 241
Antofagasta 255 240 240
Atacama 250 236 239
Coquimbo 260 245 248
Valparaíso 258 245 248
Lib. Gral. Bernardo O’Higgins 258 243 248
Maule 260 246 249
Biobío 261 247 249
La Araucanía 257 238 243
Los Ríos 264 244 248
Los Lagos 263 245 247
Aysén del Gral. Carlos Ibáñez del Campo
265 249 253
Magallanes y Antártica Chilena 266 252 252
Región Metropolitana 263 252 255
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 210
Estadística I | 211
Unidad
55. Los datos de la tabla muestran las estaturas de 40 alumnos y alumnas. Calcula la media aritmética,la moda y la mediana de estos datos.
6. La siguiente tabla de frecuencias muestra la cantidad de colesterol total de un grupo de pacientescuya edad es de 50 a 60 años.
a. Calcula la media aritmética, la mediana y la moda del colesterol. ¿Qué puedes concluir?
b. Se considera un nivel deseable de colesterolbajo 200 mg/dl. ¿Cuántos de los pacientes se encuentran dentro de los niveles deseables?
c. Construye un histograma para comparar la frecuencia de cada intervalo. ¿Quépuedes concluir?
Colesterol total (mg/dl) Frecuencia
170-179 4
180-189 7
190-199 12
200-209 16
210-219 35
220-229 37
230-239 11
240-249 8
Estatura fi
1,50-1,54 3
1,55-1,59 6
1,60-1,64 9
1,65-1,69 10
1,70-1,74 7
1,75-1,79 5
En resumen
• Las medidas de tendencia central nos dan una idea acerca del comportamiento de losdatos a los que se refieren. Se puede decir que expresan el grado de centralización de losdatos que representan.
• La mediana de un conjunto de datos numéricos, ordenados en forma creciente o decreciente,es el dato que se encuentra al centro de dicha ordenación, o la media aritmética de los datoscentrales (en caso de que la muestra tenga un número de datos pares).
• La moda de un conjunto de datos es aquel que tiene la mayor frecuencia.
• La media aritmética de un conjunto de datos es el cociente entre la suma de todos los datos y la frecuencia total de ellos.
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 211
212 | Unidad 5
Herramientas tecnológicas
Las planillas de cálculo como Excel permiten ahorrar gran cantidad de tiempo, tanto para realizarestudios estadísticos como para graficar un conjunto de datos.
La siguiente tabla muestra las hectáreas afectadas en el período 2005-2006 por incendios forestales.Observa cómo se grafica utilizando una planilla de cálculo.
• Construye una tabla de valores, selecciónala y, luego, pulsa Asistente de gráficos.• Selecciona, presionando con el mouse, desde la celda A2 hasta la celda B14.• En la barra de menú selecciona Insertar y, luego, Gráfico (en el submenú).• Elige Tipo de gráfico, en este caso gráfico de barras.• Finaliza el gráfico en Terminar.• Para personalizar el gráfico, haz clic sobre él; por ejemplo, para cambiar los colores.
También, para poner nombre a los ejes y al gráfico, selecciona Título.
Utilizando los datos anteriores, desarrolla las siguientes actividades:
1. Ingresa la tabla anterior en una planilla de cálculo.
a. Realiza un pictograma y otro circular. ¿Qué ventaja tiene la utilización de cada tipo de gráfico?b. ¿En qué regiones se observa mayor cantidad de hectáreas afectadas por incendios forestales?,
¿a qué crees que se debe?c. Está comprobado que la mayor cantidad de incendios forestales es causada, directa o indirec-
tamente, por el ser humano. ¿Qué medidas tomarías para proteger nuestros bosques?
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 212
Estadística I | 213
Unidad
5
2. La siguiente tabla muestra la disponibilidad de agua (en miles de metros cúbicos) por personaen 1950 y en 2000.
a. Construye un gráfico de barras que permita comparar la disponibilidad deagua durante ambos períodos.
b. Calcula el porcentaje de descenso paracada lugar. Construye un gráfico circularque muestre la diferencia de disponibilidadde agua en el año 2000. ¿Qué puedesconcluir?, ¿a qué se debe la diferencia?
c. ¿Qué crees que sucederá con la disponi-bilidad de agua en cincuenta años más?
3. Uno de los problemas más complejos que debe abordar nuestra sociedad es la pobreza; un país quequiere surgir debe eliminar este problema. En la tabla se ven las quince comunas más pobres delpaís; en la mayoría de ellas vive población mayoritariamente mapuche, que no ha podido salir delcírculo de la pobreza.
a. ¿Qué gráfico representaría mejor la informacióndada en la tabla?, ¿por qué?
b. Construye un gráfico que muestre esta información.c. ¿Qué factores culturales crees tú que afectan al
pueblo mapuche y le impiden salir de la pobreza?,¿qué factores de nuestra sociedad impiden a los mapuches vivir como ellos desean?
d. Comenta con tus compañeros y compañeras quésoluciones ven al problema.
1950 2000
África 17,8 4,8
Asia 7,6 2,9
Europa 5,9 4,5
América del Norte 32,4 17,6
América Latina 72,1 22,8
Ex URSS 24,1 14,8
Oceanía 159,5 65,6
Fuente: Food and Agriculture, Organization of theUnited Nations (FAO), www.fao.org, consultado enfebrero de 2010.
Fuente: Ministerio de Planificación (Mideplan). Encuesta de Caracterización Socioeconómica (CASEN), Santiago, 2006,
www.mideplan.cl, consultado en febrero de 2010.
Comunas Más pobres (%)
Colchane 50,9
El Carmen 38,2
Los Álamos 37,9
Lebu 37,5
Tirúa 36,1
Alto Biobío 35,8
Galvarino 35,7
San Ignacio 35,6
Saavedra 35,1
Los Sauces 34,9
San Fabián 34,4
Ercilla 34,0
Curacautín 33,6
Ninhue 33,5
Collipulli 33,2
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 213
214 | Unidad 5
• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.
• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Qué es una variable?, ¿cuándo se dice que es cualitativa?
3. ¿Cuál es la diferencia entre un gráfico de barras y un pictograma?
4. ¿Cómo se organiza un conjunto de datos? Explica.
5. ¿Qué características tiene un gráfico circular?
6. ¿Cuál es la relación entre población y muestra? Justifica.
7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Organizando lo aprendido
ESTADÍSTICA
interpreta
MUESTRA POBLACIÓN
se pueden
mediante
se pueden aplicar
DATOS
VARIABLES
MEDIDAS DE TENDENCIA
CENTRAL
MEDIA
ARITMÉTICA
MEDIANA MODA
que se clasifican en
que provienende una
se puedense distinguen
en
y
y calcular su
representa a la
CUANTITATIVA
FRECUENCIA
ABSOLUTA
CUALITATIVA
tales como
DE BARRAS
CIRCULAR
HISTOGRAMA
DE DISPERSIÓN
PICTOGRAMA
tales como
ORGANIZAR REPRESENTAR
TABLAS
FRECUENCIA
RELATIVA
GRÁFICOS
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 214
Mi progreso
Unidad
5
1. Señala en cada caso si es más conveniente estudiar la población o una muestra.
a. La longitud de los tornillos que fabrica una máquina de manera ininterrumpida.b. La estatura de todos los visitantes extranjeros en un año en Chile.c. La masa de un grupo de cinco amigos.d. Los efectos de un nuevo medicamento en el ser humano.
2. En un jamboree, un grupo de scouts realizó una encuesta a jóvenes de otros grupos, obteniendo lasrespuestas que se detallan a continuación.
• ¿Qué edad tienes? 9, 15, 11, 16, 13, 14, 15, 16, 10, 14, 14, 9, 13, 15, 16, 17, 11, 12, 13, 15, 12, 13, 16, 14, 15
• ¿Cuántos días al año sales de campamento? 15, 25, 36, 32, 44, 35, 22, 31, 40, 29, 33, 31, 30, 28, 36, 24, 18, 31, 19, 24, 26, 23, 24, 30, 29
a. Organiza los datos en un tabla, en cada caso.b. Calcula la media, la mediana y la moda en cada una de las preguntas anteriores.
3. En un colegio se ha encuestado a sus 1200 alumnos. Se les preguntó si estaban a favor o no de colocarcasilleros en las salas de clases. Según los resultados que se observan en el siguiente gráfico circular,¿cuántas personas no están de acuerdo?
A. 40B. 120C. 480D. 600E. 720
• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.
¿Cómo voy?
Estadística I | 215
50% sí10% no contesta40% no
Uso de casilleros en las salas de clases
CRITERIO ÍTEM PÁGINAS DONDE SE TRABAJA
Determinar si corresponde estudiar la población o una muestra.
1 200 y 201
Ordenar y organizar la información. 2a 202 y 203
Calcular las medidas de tendencia central de unconjunto de datos.
2b 208 a 211
Analizar gráficos. 3 204 a 207
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 215
Cómo resolverlo
216 | Unidad 5
Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución delsiguiente problema.
El siguiente gráfico muestra la distribución de personas de 60 años omás, según estado civil en Chile. Determina el porcentaje correspon-diente a cada categoría y el ángulo central aproximado asociado.Luego, construye su gráfico circular.
Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE). www.ine.cl, julio 2005.
Solución
A partir de los datos del gráfico, se puede calcular la frecuencia relativade cada categoría y luego, para obtener el correspondiente por-centaje, se puede multiplicar por 100.
Luego de calcular los porcentajes de cada categoría, se puede deter-minar el ángulo central correspondiente en cada caso.
Sabemos que los 360º del círculo representan la frecuencia relativaporcentual acumulada, es decir, 100%; por lo tanto, cada 1% correspon-derá a 3,6º.
Para obtener el ángulo correspondiente, basta con multiplicar cadaporcentaje por 3,6.
CategoríaFrecuencia absoluta
Frecuencia relativa
Porcentaje (%)
Ángulo (grados)
Casado 684 590 0,524 52,4 188,64
Conviviente 40 872 0,031 3,1 11,16
Soltero 150 833 0,116 11,6 41,76
Viudo 364 120 0,279 27,9 100,44
Anulado o separado 65 142 0,05 5,0 18,00
Total 1 305 557 1,00 100,0 360,00
800 000684 590
Distribución de personas de 60 años omás, según estado civil en Chile
40 872150 833
364 120
65 142
700 000600 000500 000400 000300 000200 000100 000
0Casado
Casado
Conviviente
Conviviente
Soltero
Soltero
Viudo
Viudo
Anulado oseparado
Estadocivil
Personas
Anulado oseparado
La frecuencia relativa es el co-ciente, en cada caso, entre lafrecuencia absoluta de la cate-goría y el total de datos. Es unnúmero entre 0 y 1.
Recuerda que...
Distribución de personas de 60 años o más, según estado civil
en Chile.
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 216
Estadística I | 217
Un
idad
5Actividades
1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones:
a. El gráfico presentado a continuación, representa la distribución porcentual de defunciones enChile, por grupos de edad, en dos períodos: 1974-1975 y 2003-2004
• Compara la distribución por-centual de las defunciones enlos dos períodos señalados. ¿Qué puedes concluir?
• ¿A qué crees que se debanlas diferencias que se aprecianentre los períodos? Justifica.
• Construye un gráfico circu-lar, para cada uno de losperíodos, que representeesta información.
2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimientoanterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué?
3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedi-miento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?
a. Los histogramas siguientes representan el porcentaje de hogares monoparentales y biparentales, según la edad de los niños y niñas que viven en las familias, en cada caso.
• En el tramo de edad de 14 a 17 años, ¿la mayoríade los niños y niñas vive enhogares monoparentaleso biparentales? Justifica.
• ¿A qué crees que se debanlas diferencias que se aprecian entre los hogaresmonoparentales y biparentales? Justifica.
• ¿Qué otro gráfico podríasconstruir que representeesta información?
0 a 2años
3 a 5años
6 a 13años
14 a 17años
Porcentajes de defunciones
Hogares monoparentales,según edad de los niños y
niñas. Censo 2002
Hogares biparentales, segúnedad de los niños y niñas.
Censo 2002
Fuente: Censo 2002, www.ine.cl, consultado en febrero de 2007.
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
Tramos de edad
Porcentaje
14,0 14,316,1
19,2
70,0
0 a 2años
72,0
74,0
76,0
78,0
80,0
3 a 5años
6 a 13años
14 a 17años
Tramos de edad
Porcentaje
0Menoresde 1 año
10
20
30
40
50
Distribución porcentual de defunciones por grupos de edad
Grupo de edad1-4 5-14 15-24 25-44 45-59 60-74 75 años
o más
1974-1975 2003-2004
Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE), Adulto Mayor.
Vulnerabilidad al Riesgo de Muerte. 2002-2010. Febrero 2007.
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 25-10-12 18:57 Página 217
218 | Unidad 5
En terrenoEn terreno
Nueva canasta IPC
El Índice de Precios al Consumidor (IPC) es un i
ndicador social y económico de coyun-
tura, construido para medir los cambios experimentados a lo lar
go del tiempo del
nivel general de precios de bien
es y servicios de consumo que los hogare
s adquieren.
Habitualmente, se utiliza para determinar la inflación
(deflación) de un país.
Históricamente, cada 10 años se actualiza l
a canasta de bienes y servicios, l
os mode-
los metodológicos, conceptuales y o
perativos. En este sentido, se
migra de una
canasta de 8 grupos y 482 prod
uctos a una de 12 divisiones y 3
68 productos.
Entre los principales productos q
ue ingresan se encuentran el ron
, equipos de audio
y video portátil, impresión digital,
unidades de respaldos magnéticos (como el pen-
drive), máquinas de ejercicios, mantas eléctricas
, motocicletas, transporte urbano
multimodal, preservativos, educación
preescolar (kínder), entre otros
.
También hay productos que dejan d
e pertenecer a la canasta, debid
o a los cambios
en las pautas de consumo, o bien obsole
scencia tecnológica. Algunos eje
mplos son el
martini, casetes, rollos de foto, m
antención de ascensor, máquinas de cose
r, arriendo
de video, hechura de vestón. El
dividendo, la patente de autom
óvil y las contribu-
ciones se consideran inversione
s y transferencias, respectivamente; por lo tan
to, no
corresponden a gastos en consu
mo.
Fuente: Instituto Nacional de Est
adísticas (INE). “Enfoque estadíst
ico: Nuevo IPC”. Santiago, ener
o de 2009.
www.ine.cl
Ponderaciones de la canasta base
diciembre de 2008
DivisiónPonderación (%)
Alimentos y bebidas no alcohólicas
17,87253
Bebidas alcohólicas y tabaco
2,10142
Prendas de vestir y calzado
5,07003
Alojamiento, agua, electricidad, gas y ot
ros combustibles12,73319
Muebles, artículos para el hogar y
para la conservación
ordinaria del hogar
7,21683
Salud
5,52446
Transporte
18,73769
Comunicaciones
4,00767
Recreación y cultura
9,22545
Educación
6,19300
Restaurantes y hoteles
5,92649
Bienes y servicios diversos
5,39064
TOTAL
100,00000
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 218
Actividades
1. Determina, para cada división, al menos cinco ejemplos. 2. ¿Qué opinas respecto de los productos que ingresan a la canasta del IPC?, ¿cómo afectan el
presupuesto familiar, en general?3. ¿Qué opinas respecto de los productos que dejan de pertenecer a la canasta del IPC?, ¿por qué crees
que sucede esto?4. Considera los bienes y servicios que se consumen en tu casa. ¿Cuáles son los cuatro ítems que más
afectan al presupuesto de tu familia?, ¿cuáles son los tres que menos lo afectan? Explica.5. Diseña tu propia canasta de bienes y servicios, basado en el consumo de tu familia. Considera los
30 ítems más importantes.
Investiguemos...
Trabajen en un grupo de tres o cuatro personas y respondan:
1. Comparen la canasta de bienes y servicios que cada uno diseñó, según el consumo de su familia.¿Cuáles son sus semejanzas y diferencias? Expliquen.
2. Analicen las ponderaciones de la canasta de bienes y servicios. ¿Les parece que es adecuada? Justifiquen su respuesta.
3. Averigüen los valores del IPC de los últimos tres meses. ¿A qué productos corresponden las mayoresalzas y las mayores bajas?, ¿estos valores reflejan una tendencia? Expliquen.
4. Averigüen los valores del IPC de los mismos meses, pero del año pasado. ¿Son similares o distintos?,¿con qué hechos o situaciones se puede relacionar esto?, ¿qué pueden concluir?
5. Comenten con sus compañeros y compañeras qué efectos tiene un alza importante del IPC en el presupuesto familiar, ¿y en la economía nacional?
Evaluemos nuestro trabajo
• ¿Qué aprendieron acerca del IPC? Expliquen.• ¿Cuál de los resultados de la comparación entre las canastas que cada uno diseñó les llamó más la
atención?, ¿por qué?• Comparen sus conclusiones con las de sus demás compañeros y compañeras. ¿Obtuvieron ellos
algo distinto a lo que ustedes concluyeron?, ¿por qué?
Estadística I | 219
Unidad
5
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 219
220 | Unidad 5
Síntesis de la Unidad
A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye conellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican lasrelaciones que hay entre los conceptos.
A partir de lo trabajado en la Unidad, responde:
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Cuáles son las características que definen una muestra?
3. ¿Cuál es la diferencia entre frecuencia absoluta y frecuencia relativa? Explica.
4. Dados dos conjuntos de datos distintos que tienen la misma media aritmética, ¿se podría afirmar
que son iguales? Justifica.
5. Para una población en estudio, ¿cuántas posibles muestras se pueden escoger? Explica.
6. ¿Cuál es la ventaja de utilizar un gráfico circular en lugar de un histograma? Justifica.
¿Cuándo se usa uno u otro?
7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
ESTADÍSTICA
MUESTRA POBLACIÓN CLASE
GRÁFICO DE BARRAS
PICTOGRAMA
MEDIA ARITMÉTICA MEDIANA
VARIABLES
FRECUENCIA ABSOLUTA FRECUENCIA RELATIVA
INTERVALOS
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 220
Estadística I | 221
Evaluación
I. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tu respuesta.
1. Dada una población que se necesita estudiar, existe una única muestra representativa de ella.
2. Las variables pueden ser cuantitativas y cualitativas, simultáneamente.
3. En América no se desarrollaron conocimientos relacionados con la Estadística antes de la llegada
de los españoles.
4. Para representar porcentajes, es útil el gráfico de dispersión.
5. El histograma se utiliza para graficar datos que están agrupados.
6. La media aritmética y la mediana son siempre iguales.
7. Se puede calcular la media aritmética de un conjunto de datos, aunque los datos estén agrupados.
II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades.
1. En el año 2003, y también el 2008, el INE realizó un estudio, que arrojó los siguientes resulta-dos respecto a la pregunta: ¿Qué tan seguro se siente caminando solo en su barrio cuando yaestá oscuro?
a. Observa el gráfico de barras que muestra las diferencias entre los dos estudios. ¿A qué creesque se deba esta diferencia?
b. ¿Cómo interpretas el cambio de opinión de las personas que contestaron la encuesta?, ¿crees que fue un cambio radical en todos los casos?
c. La encuesta fue realizada cara a cara. ¿Cómo influye este hecho en los resultados de la encuesta? Discútelo con tus compañeros y compañeras.
d. ¿Qué medidas implementarías para mejorar los problemas relacionados con la seguridad?
Unidad
5
20032008
40
¿Qué tan seguro se siente caminando solo en su barrio cuando ya está oscuro?
35
30
25
20
15
10
5
0Muy seguro Medianamente
seguroUn pocoinseguro
Muy inseguro
Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE). “Quinta Encuesta Nacional de SeguridadCiudadana”. Santiago, mayo 2009.
Porcentaje
Grado deseguridad
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 221
222 | Unidad 5
1. De las siguientes afirmaciones, son correctas:
I. los chinos hacían censos desde hacemiles de años.
II. los incas utilizaban quipus para organi-zar la información.
III. La obra de Graunt es considerada elorigen de la Estadística.
A. Solo I B. I y IIIC. I y II D. II y IIIE. I, II y III.
2. En un análisis estadístico, el conjunto de todos los elementos que conforman el objeto de estudio se llama:
A. rango.B. marca de clase.C. muestra.D. población.E. datos.
3. La estatura de un grupo de personas, empleada para un estudio estadístico, es una variable:
I. cuantitativa.II. continua.III. discreta.
A. Solo IB. Solo IIC. Solo IIID. I y IIE. I y III
4. El tipo de muestra que es adecuado escogerpara un estudio estadístico, es:
A. una muy pequeña.B. una proporcional a la población.C. una representativa de la población.D. una igual a la población.E. según sea el caso.
5. La siguiente tabla de frecuencias muestra lascalificaciones de un examen de Matemática.¿Cuál es la proposición falsa?
A. Hay 6 estudiantes que tienen una calificación entre 6,0 y 6,9.
B. Hay 14 estudiantes que tienen una calificación mayor a 4,9.
C. El total de la muestra es de 40 estudiantes.D. Hay 13 estudiantes que obtuvieron
nota insuficiente.E. Hay 11 estudiantes que calificaron con
nota inferior a 7,0 y superior a 6,0.
III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso.
CalificacionesCantidad de estudiantes
7,0 3
6,0-6,9 6
5,0-5,9 5
4,0-4,9 13
3,0-3,9 10
2,0-2,9 3
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 222
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
Estadística I | 223
6. ¿En qué conjunto de datos coinciden la media,la mediana y la moda?
A. 3, 4, 5, 9, 10, 11B. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9C. 6, 3, 4, 6, 8, 9, 6D. 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5E. 1, 4, 5, 6, 7, 8, 9
7. El parámetro que coincide siempre con un dato es:
A. la media.B. la moda.C. la mediana.D. la desviación típica.E. Ninguna de las anteriores.
8. La tabla muestra las edades de los jóvenes deun grupo de una parroquia. Con respecto a lainformación de la tabla, es falso que:
A. el 25% tiene 15 años.B. la moda es 16 años.C. la media es alrededor de 15 años.D. el 35,7% tiene más de 16 años.E. la mediana es 16 años.
Dado el siguiente gráfico, contesta las preguntas9 y 10.
9. El gráfico corresponde a un:
A. gráfico circular.B. histograma.C. gráfico de barras.D. pictograma.E. gráfico de dispersión.
10. El gráfico anterior nos sirve para:
A. expresar información de datos agrupados.B. comparar frecuencias de los valores.C. representar porcentajes.D. estudiar la homogeneidad o heterogeneidad
de datos.E. representar variables cualitativas.
11. (Ensayo PSU, 2004). La distribución del númerode horas que duraron encendidas 200 ampo-lletas está dada en el gráfico siguiente. La du-ración promedio de una ampolleta en horas,aproximadamente, es:
A. 1B. 380C. 400D. 480E. 580
Unidad
5
Edad fi
14 6
15 8
16 12
17 6
Total 32
5
30
0
50
100Nº de ampolletas
40 50 60 70
101520
fi
200 400 600 800 horas
UNIDAD 5 (194-223)C _Maquetación 1 08-10-12 18:43 Página 223
Estadística II6
224|Unidad 6
Rango
Desviación media
Desviación estándar
Cuartiles, deciles y percentiles
Niveles de confianza
Muestras
Distribución normal
Calcular e interpretar medidas de dispersión.
Calcular e interpretar medidas de posición.
Conocer y trabajar con muestras,identificando niveles de
confianza y margen de errores.
Evaluar críticamente informaciónestadística extraída de
medios de comunicación.
Estimar intervalos de confianzapara la media de una población,a partir de una muestra dada.
TRABAJANDO CON: APRENDERÁS A:
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:26 Página 224
Estadística II | 225
Conversemos de...
Las medidas de tendencia central no siempre son suficientes para describir las características deuna población o de una muestra, porque no entregan información sobre la variedad de valoresposibles al interior de la muestra. Por este motivo, se calculan algunos valores que permiten compren-der la dispersión de los datos. Por otra parte, se hace necesario reconocer si un dato particular se iden-tifica con la media de la población, o corresponde a valores menores o mayores que la media.
1. Considerando que estos jóvenes tienen entre 17 y 18 años y que la que viste polera blancamide 1,80 m, ¿son altos para su edad?, ¿están dentro del promedio? Explica.
2. Asígnale un nombre a cada uno y, luego, ordénalos del más bajo al más alto. ¿Quiénes estánen el tercio inferior, considerando su estatura?
3. Si ahora tomamos en cuenta toda la población de jóvenes chilenos de 17 y 18 años, ¿ellossiguen perteneciendo a este tercio inferior? Justifica.
Latin
stoc
k
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:26 Página 225
226 | Unidad 6
¿Cuánto sabes?
1. Calcula los siguientes porcentajes.
a. 10% de 457 c. 99% de 1246 e. 18% de 310 000b. 25% de 398 d. 5,7% de 45 980 f. 60% de 94 327
2. Completa.
a. 281,49 representa el ____% de 853.
b. 38 000 representa el ____% de 95 000.
c. 13 891,5 representa el ____% de 18 522.
d. 2809,8 representa el ____% de 46 830.
e. 652 representa el ____% de 65 200.
3. En una empresa se ha entregado la planilla de sueldos correspondienteal mes de julio. Complétala para poder saber cuánto dinero recibe cadapersona al cobrar su sueldo.
4. Los siguientes datos corresponden al contenido de nicotina, enmiligramos, de doce cigarrillos:
1,09 1,74 1,58 2,1 1,64 1,79 1,37 1,75 1,92 2,03 1,47 1,72
a. Calcula la media del contenido de nicotina.
b. Calcula la mediana del contenido de nicotina.
Recuerda lo que aprendiste y resuelve en tu cuaderno.
NombreSueldo
(imponible)
Descuentos legales
Sueldo líquido
Fonasa o Isapre (7% delimponible)
AFP (13% del imponible)
Daniel $ 165 249
Carolina $ 237 860
Andrea $ 251 925
Sebastián $ 318 004
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:26 Página 226
5. La siguiente tabla de frecuencias nos muestra la cantidad de estu-diantes por curso en una escuela.
Determina si cada proposición es verdadera o falsa. Justifica tu decisión en cada caso.
a. La mediana es 42,5 alumnos, correspondiente al valor inter-medio entre 42 y 43.
b. La moda es 4, porque es el valor que más se repite. c. La media aritmética es aproximadamente 43; por lo tanto,
en promedio los cursos tienen 43 alumnos.
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.
Estadística II | 227
Un
idad
6
¿Qué debes recordar?
• Para calcular el a% de un número b cualquiera, se puede aplicar el siguiente procedimiento:
· b. O calcular x · b, donde x es la expresión decimal que representa el a%.
• Sean a, b dos números reales cualesquiera, para calcular a qué porcentaje corresponde a de b, se puede aplicar el siguiente procedimiento:
Si x es el porcentaje, entonces x = .
• Población: es un conjunto de personas, situaciones o cosas de las que se desea hacer un estudio y las cuales tienen una característica en común.
• Muestra: es un subconjunto cualquiera de la población.• Media aritmética: cociente entre la suma de todos los valores de un conjunto de datos y la
frecuencia total de estos.• Mediana: dato que ocupa el valor central de un conjunto de datos ordenados según su
magnitud (decreciente o creciente).• Moda: es el valor que presenta una mayor frecuencia en un conjunto de datos.
a · 100b
a100
Cantidad de estudiantes
40 41 42 43 44 45
Frecuencia 4 2 2 5 4 10
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 25-10-12 19:06 Página 227
228 | Unidad 6
Medidas de dispersión
Analicemos...
Cecilia, la directora de un colegio, debe inscribir a dos alumnas enla prueba de 400 metros planos de un campeonato de atletismo.Para decidir a quién enviar, mide y compara los tiempos, en segun-dos, obtenidos por las alumnas de la selección del colegio. Observa.
En la situación anterior, si Cecilia calcula la media aritmética de lostiempos de cada alumna, no puede tomar una decisión, ya quetodas tienen el mismo tiempo promedio.
Anteriormente, utilizamos el rango para indicar el tamaño de cadaintervalo en una tabla de frecuencias. En general, se calcula comola diferencia entre el mayor y el menor valor de la variable.Aunque no es muy significativo, el rango nos indica cuán dispersosse encuentran los datos entre los valores de los extremos. Observa.
Como el valor del rango de los tiempos de Andrea es menor queel de Isabel, se puede decir que sus tiempos son menos dispersos.Por lo tanto, sería más apta para participar en el campeonato. Peroel rango no es suficiente para que Cecilia tome una decisión.
La media aritmética de los tiempos de las alumnas es de 79,9. Alcalcular la diferencia de cada tiempo con respecto a la media arit-mética, se obtiene la desviación del tiempo con respecto a x. Ob-serva las desviaciones medias de cada uno de los tiempos en latabla siguiente.
• Basándose en estos datos, ¿cómo podría Cecilia tomar su decisión?• Calcula el promedio de los tiempos, para cada una. ¿A quién
escogerías tú?, ¿por qué?• Además del promedio, ¿qué otros elementos podrías considerar
de los datos anteriores que permitan tomar una decisión? Explica.
Glosario
desviación: diferencia entre la me-dida de una magnitud y el valor de referencia.
Carolina 83 79 81 79 80 81 80 79 80 77
Javiera 83 77 75 82 83 81 80 79 82 77
Isabel 79 78 81 81 85 79 86 79 77 74
Andrea 80 79 80 79 80 81 80 79 80 81
Carolina Javiera Isabel Andrea
Rango 6 8 12 2
Campeonato de atletismo.
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 228
Estadística II | 229
Unidad
6
Como puedes ver, la suma de las desviaciones medias en cada casoresulta 0, por lo que no es útil para resumir estos datos. En cambio,se pueden sumar los valores absolutos de la desviación, en cada caso,lo que nos indica cuán cercano o lejano está de la media aritmética.
La desviación absoluta de cada alumna corresponde a la suma delos valores absolutos de todas las desviaciones medias.
Como el valor de la desviación absoluta de Carolina y Andrea esmenor, entonces su rendimiento es más estable que el de Isabel yJaviera. Con esto, Cecilia ya podría tomar una decisión.
Continuando con el análisis de quién representará al colegio en elcampeonato, observa los valores siguientes, que son los cuadradosde cada desviación, en cada caso. La raíz cuadrada de la suma deestos valores, para cada alumna, es la desviación estándar.
Observa que los valores de la desviación estándar de los tiempos deCarolina y Andrea son los menores; entonces, podemos decir quesus tiempos están más cercanos a la media, y son menos dispersos.Por lo tanto, se confirma que son las más indicadas para represen-tar al colegio.
• La idea de desviación representael mayor o menor alejamiento deun dato con respecto a x.
• La desviación se puede calcularcon respecto a cualquier valor,no solo a la media aritmética.Esta puede ser positiva, cero o negativa.
Pon atención
• La desviación estándar es muy sen-sible a pequeñas variaciones quese producen respecto a la media.
• La desviación estándar s es unvalor de la misma naturaleza quelos datos con que se calcula. Si elvalor de s en un conjunto de tiem-pos es s = 1,8, el número 1,8 serefiere al tiempo, en segundos, eneste caso.
Pon atención
Carolina 3,1 –0,9 1,1 –0,9 0,1 1,1 0,1 –0,9 0,1 –2,9
Javiera 3,1 –2,9 –4,9 2,1 3,1 1,1 0,1 –0,9 2,1 –2,9
Isabel –0,9 –1,9 1,1 1,1 5,1 –0,9 6,1 –0,9 –2,9 –5,9
Andrea 0,1 –0,9 0,1 –0,9 0,1 1,1 0,1 0,1 –0,9 1,1
Carolina Javiera Isabel Andrea
Desviación absoluta 11,2 23,2 26,8 5,4
Carolina 9,61 0,81 1,21 0,81 0,01 1,21 0,01 0,81 0,01 8,41
Javiera 9,61 8,41 24,01 4,41 9,61 1,21 0,01 0,81 4,41 8,41
Isabel 0,81 3,61 1,21 1,21 26,01 0,81 37,21 0,81 8,41 34,81
Andrea 0,01 0,81 0,01 0,81 0,01 1,21 0,01 0,01 0,81 1,21
Glosario
desviación estándar: medida usadapara cuantificar la desviación de lasdistintas observaciones de un con-junto de datos respecto de su media.
Carolina Javiera Isabel Andrea
Desviación estándar 2,3927 4,2101 5,3596 1,1068
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 229
230 | Unidad 6
Desviación estándar para datos agrupados
Considera la siguiente tabla, que indica el tiempo de espera de lospacientes en un consultorio.
Observa cómo se puede calcular la media aritmética si los datosestán agrupados.
x = = = 30,87
Es decir, el tiempo de espera es, en promedio, de casi 31 minutos.
Para calcular la desviación estándar, se siguen estos pasos:1º Calcular la desviación entre la media aritmética y la marca de
clase, en cada caso.2º Elevar este resultado al cuadrado.3º Multiplicar cada valor por la frecuencia correspondiente.4º Sumar todos estos valores, y dividir este resultado por el total
de datos.5º Calcular la raíz cuadrada de este cociente.
Paso 4: = 193,9627
Es decir, la desviación estándar de los tiempos de espera es de aproximadamente 14 minutos.
Las medidas de dispersión como el rango, la desviación con res-pecto a la media y la desviación estándar, determinan cuán cer-canos o lejanos están los datos en relación a la media aritmética ytambién indican el grado de variabilidad de los datos, lo que nospermite realizar un análisis más completo.
10 086,058852
160552
6 · 7,5 + 21 · 22,5 + 15 · 37,5 + 10 · 52,56 + 21 + 15 + 10
La marca de clase representa losdatos pertenecientes a una clase. Secalcula como la media entre el valorinferior y el valor superior del inter-valo o clase.
Recuerda que...
Tiempo (minutos) Frecuencia Marca de clase
[0, 15[ 6 7,5
[15, 30[ 21 22,5
[30, 45[ 15 37,5
[45, 60] 10 52,5
Tiempo (minutos) Paso 1 Paso 2 Paso 3
[0, 15[ 30,87 – 7,5 = 23,37 546,1569 3276,9414
[15, 30[ 30,87 – 22,5 = 8,37 70,0569 1471,1949
[30, 45[ 30,87 – 37,5 = –6,63 43,9569 659,3535
[45, 60] 30,87 – 52,5 = –21,63 467,8569 4678,5690
Paso 5: = 13,9270193 96,
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 230
Estadística II | 231
Un
idad
6
1. El análisis de las notas de un curso señala que en ambos semestres el promedio en Matemática es 5,1.Además, la nota máxima es 7,0 y la mínima es 3,2. Sin embargo, los estudiantes tienen la sensaciónde que obtuvieron mejores resultados en un semestre que en otro.
Responde las siguientes preguntas:
a. ¿Cuál es el valor del rango en cada semestre?, ¿qué semestre presenta calificaciones másdispersas, en relación al promedio?
b. ¿Cuánto es el valor de la desviación media en cada semestre?c. Según la situación, ¿cómo interpretarías el valor de la desviación media? ¿Corrobora la
“sensación” de los estudiantes?
2. Agrupa las notas de la actividad anterior en intervalos, para cada semestre.
a. Calcula la desviación estándar de la distribución.b. Compara los valores obtenidos a partir de los datos concretos con los obtenidos a partir de
los datos agrupados. ¿Qué puedes concluir?
Actividades
En resumen
• La desviación de una variable x con respecto a la media aritmética x está dada por: d = x – x.
• La suma de las desviaciones de todos los datos con respecto a su media aritmética es cero.
• La desviación media es la media aritmética de las desviaciones absolutas respecto a la media.
• La desviación estándar expresa el grado de dispersión de los datos con respecto a la mediaaritmética. Se puede calcular de las siguientes formas:
• , para datos no agrupados.sx x x x x x x x
nn=
−( ) + −( ) + −( ) + + −( )12
22
32 2...
Primer semestre
7,0 6,9 6,5 5,8 5,6 5,6 5,7 5,6 5,4 5,25,4 5,2 4,8 4,8 4,3 4,3 4,5 4,3 4,1 4,14,1 4,1 3,2 7,0 6,8 6,3 5,2 4,8 3,2 3,2
Segundo semestre
7,0 6,1 5,7 5,4 5,3 5,3 5,3 5,3 5,2 5,25,2 5,1 5,0 5,0 5,0 4,7 5,0 4,9 4,1 4,64,7 4,5 3,2 6,4 6,0 5,5 5,0 5,0 4,5 3,2
• , para datos agrupados.
En este caso, xk corresponde a la respectiva marca de clase.
sf x x f x x f x x f xn=
−( ) + −( ) + −( ) + +1 12
2 22
3 32· · · ... · nn x
n−( )2
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 25-10-12 18:59 Página 231
232 | Unidad 6
El gráfico de dispersión se realizatrazando puntos en un plano coor-denado de acuerdo con los pares devalores observados para mostrar larelación entre dos variables.
Recuerda que...
Correlación
Analicemos...
Al analizar algunos gráficos de dispersión se puede advertir, porejemplo, si existe o no alguna asociación entre las variables. Observa.
Muchas veces se necesita analizar los valores de dos variables es-tadísticas distintas sobre una misma población, con el fin de de-terminar si existe alguna relación entre ellas; esto es, si los cambiosen una de ellas influyen en los valores de la otra. Si es así, se diceque hay correlación entre las variables.
En general, al observar un gráfico de dispersión, se puede apreciar silos puntos se agrupan cerca de alguna curva. Si esta curva es creciente,se dice que la correlación es positiva: al aumentar una variable, la otratiene también tendencia a aumentar. Si la curva es decreciente, la co-rrelación es negativa: al aumentar una variable, la otra tiene tenden-cia a disminuir. Si no existe relación, se dice que su correlación es nula.
Además de observarla en el gráfico, se puede medir la correlaciónusando el coeficiente de correlación lineal de Pearson r, que sepuede calcular mediante la expresión
donde sx es la desviación estándar de la variable x y sy es ladesviación estándar de la variable y.
• ¿En cuál o cuáles de los gráficos anteriores existe una asociaciónentre las variables?, ¿por qué?
• ¿Qué puedes concluir acerca de los datos representados en elgráfico III? Explica.
• ¿Cuál de los gráficos anteriores podría representar los datos demasa y estatura de un grupo de estudiantes?, ¿por qué?
• ¿Cuál de ellos podría representar la relación entre la edad deuna persona y los años que le quedan para jubilar? Justifica.
Gráfico I Gráfico II Gráfico III
Glosario
correlación: relación estadística entredos variables.
r
x y x y x yn
x y
s s
n n
x y=
⋅ + ⋅ + + ⋅− ⋅
⋅
1 1 2 2 ...
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 232
Estadística II | 233
Unidad
6El valor de r varía entre –1 y 1, de modo que: • r cercano a 1, indica correlación positiva.• r cercano a –1, indica correlación negativa.• r cercano a cero, indica correlación nula.
Por ejemplo, en el siguiente gráfico se observan datos demasa y estatura obtenidos de nueve alumnas de Cuarto AñoMedio. Se observa una correlación positiva entre las variables.De hecho, en este caso, la correlación para estos datos es 0,671.
1. En las siguientes situaciones, señala si la correlación debiera ser positiva, negativa o nula.
a. Cantidad de hijos de una familia y dinero gastado por esa familia en alimentación.b. Longitud de la mano y longitud del pie.c. Nivel de endeudamiento y la renta de una persona.d. Edad de una persona y cantidad de libros que ha leído.e. Número de trabajadores y tiempo de demora en realizar un trabajo.
2. Si el coeficiente de correlación de Pearson de dos variables es cero, ¿es correcto afirmar quelas variables no están relacionadas? Explica.
3. Al estudiar la relación entre la masa y la edad de los niños y niñas de un jardín infantil, se obtuvoque el coeficiente de correlación de Pearson era de 0,85. Por otra parte, en una casa de reposopara ancianos se hizo el mismo estudio, y se obtuvo como coeficiente de correlación 0,345. ¿Existe un grado de asociación entre la edad y la masa de una persona?, ¿por qué?, ¿qué puedesconcluir? Justifica.
Actividades
En resumen
• La correlación de dos variables corresponde al grado de asociación que existe entre ellas. La correlación puede ser:
• positiva: si están directamente relacionadas.• negativa: si se relacionan de manera inversa.• nula: si no existe relación entre ellas.
• La correlación se puede medir usando el coeficiente de correlación lineal de Pearson. Este coeficiente varía entre –1 y 1.
01,6 1,65
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Mas
a (kg)
Estatura (m)
1,7 1,75 1,8 1,85
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 233
234 | Unidad 6
Diagrama de tallo y hojas
Se registró la presión sistólica (en mmHg) de 40 pacientes y se ob-tuvieron los siguientes datos:
121, 143, 156, 162, 134, 122, 119, 136, 148, 160, 146, 154, 132, 116,
153, 121, 143, 154, 127, 118, 128, 120, 163, 156, 117, 128, 149, 135,
143, 167, 115, 163, 157, 138, 129, 143, 143, 129, 139, 122
Si observas los datos anteriores, podrás apreciar que los datos seencuentran entre 110 y 170, así como que varios de ellos estánentre 110 y 119, otros están entre 120 y 129, y así sucesivamente.Basados en esta idea, se puede construir un diagrama de tallo yhojas, que nos permite organizar los datos. Observa.
Se divide cada número en dos partes: un tallo, por ejemplo, en estecaso, 12 ó 14, y una hoja, tal como 2 ó 3. Por ejemplo, el primervalor, 121, se separa en 12 y 1. Luego, se escribe la hoja, 1, en la filacorrespondiente al tallo, 12.
11 5 6 7 8 912 0 1 1 2 2 7 8 8 9 913 2 4 5 6 8 914 3 3 3 3 3 6 8 915 3 4 4 6 6 716 0 2 3 3 7
Con el diagrama anterior podemos visualizar que, en este grupo,la mayoría de los pacientes registra una presión sanguínea quebordea los 130 mmHg. Además, es muy fácil determinar el menorvalor observado, 115, y el mayor, 167.
En resumen
• Otra forma de organizar la información es utilizando el diagrama de tallo y hojas, que nossirve para analizar la variabilidad de los datos, o bien para comparar dos grupos diferentes.
Analicemos...
• ¿En qué intervalo de valores se concentran los datos presenta-dos?, ¿para qué valores se presentan menos casos? Explica.
• ¿Crees que este conjunto de datos es poco variable o muy varia-ble?, ¿por qué?, ¿qué puedes concluir?
Glosario
diagrama de tallo y hojas: diagramaque permite resumir u ordenar unconjunto de datos, de modo deconocer intuitivamente la forma desu distribución. Se utiliza para estu-diar la dispersión de los valores deuna muestra.
En este caso, el tallo representa la cifra de las decenas, y las hojas,las unidades.
Pon atención
Médico tomando la presión sistólica.
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 234
Estadística II | 235
Unidad
6
1. Dibuja un diagrama de tallo y hojas para el siguiente conjunto de datos. Luego, responde.
a. ¿Cuál es la mediana de los datos?b. ¿Cuál es el rango de los datos?c. ¿Cómo es la dispersión de los datos?
2. A continuación se presentan los resultados de dos cursos en una prueba.
4ºA
4ºB
a. Construye un diagrama de tallo y hojas para cada curso.b. ¿Cuál de los dos cursos tuvo un rendimiento más homogéneo?, ¿por qué?
3. Los siguientes datos corresponden a la tasa bruta de natalidad y mortalidad infantil de algunospaíses de Latinoamérica.
a. Construye un diagrama de tallo y hojas para los datos anteriores.b. Se afirma que la tasa de mortalidad infantil correspondiente a países africanos es de
aproximadamente 180. ¿A qué crees que se debe la diferencia entre países latinoamericanosy africanos?
c. ¿A qué problemas puede conllevar la diferencia entre tasas de natalidad y mortalidad?
Actividades
50 28 25 68 62 57 58 3735 33 22 27 51 55 43 4037 39 34 43 27 32 49 7043 48 40 42 57 40 46 5345 50 60 41 53 45 48 53
3,2 3,5 4,9 5,0 3,1 4,1 2,9 2,8 3,8 4,55,8 3,9 3,6 4,2 4,6 1,9 2,8 2,9 3,3 3,94,6 4,4 3,8 3,6 4,5 4,1 4,1 4,3 4,3 4,2
3,5 2,9 1,3 1,7 3,6 5,6 2,8 5,2 5,3 4,15,1 4,3 5,3 3,2 2,8 2,6 5,5 5,4 4,8 4,95,4 4,2 4,4 4,3 1,6 2,9 4,1 3,9
Natalidad (niños nacidos vivos en un año, por cada 1000 habitantes):27 20 20 21 21 16 19 15 24 15 18 17
Mortalidad (número de muertes al año por cada 1000 habitantes, niños menores de cinco años):
21 57 20 22 20 19 28 14 29 9 16 22
Fuente: Organización Panamericana de la Salud. 2009. http://new.paho.org
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 235
236 | Unidad 6
Muestras al azar
Eduardo y Antonia llegaron al Parque Nacional Pan de Azúcar aestudiar la fauna del lugar. Para calcular la población total de unacolonia de pingüinos Humboldt que habita en el parque, siguieroneste procedimiento: durante cuatro días capturaron 120 pingüinos,a los cuales marcaron con una cinta. Una semana después, en diver-sos sitios del parque, capturaron 160 pingüinos, de los cuales 30 es-taban marcados.
• A partir de esta información, ¿cuál es la población total depingüinos? Explica.
• Si capturaran nuevamente 160 pingüinos, ¿obtendrían el mismoresultado?, ¿por qué?
• ¿Esta muestra es representativa? Justifica.
Analicemos...
En ocasiones, se necesita obtener el número de elementos quetiene una población. Para este fin, se toma una muestra, se marcay se devuelve a la población originaria. Luego, se toma una se-gunda muestra, y con los elementos marcados de esta muestra, seforma una razón con su total, entregando así un valor aproximadodel tamaño de la población.
En el caso presentado, el tamaño de la población de pingüinos se calcula:
= N = = 640
Es decir, 640 pingüinos habitan en el Parque Nacional Pan de Azúcar.
El cálculo anterior no es más que una estimación de la cantidad depoblación, ya que dependerá de lo representativa que sea la mues-tra escogida. La estimación en la práctica es muy difícil, por estarazón se toman varias muestras para mejorarla.
Para que la muestra sea representativa se deben considerar variosaspectos; uno de ellos es el tamaño de la muestra: mientras mayorsea su tamaño, mayor será su confiabilidad, pero a su vez más cos-toso será el estudio. Otro aspecto que se relaciona con el muestreo,es que todos los integrantes de la población tengan la misma proba-bilidad de ser seleccionados para conformar la muestra; por estemotivo, la selección debe ser al azar. En este caso se dice que lamuestra es una muestra aleatoria.
160 ·12030
120N
30160
Glosario
muestreo: forma de seleccionar a unindividuo de la población para unamuestra. Algunos tipos de muestreoson: aleatorio, sistemático, estratifi-cado, entre otros.
Una muestra representativa es unsubconjunto o subgrupo de lapoblación que tiene la capacidad dereproducir a pequeña escala las ca-racterísticas de la población.
Recuerda que...
Pingüinos de Humboldt.
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 236
Estadística II | 237
Unidad
6Si se desea conocer la media aritmética de una población, a partir delos datos de la muestra, se puede obtener un intervalo de confianza,de modo que se pueda asegurar que la media se encuentra den-tro del intervalo, con un nivel de confianza dado.
La media poblacional se encuentra en el siguiente intervalo de confianza:
,donde x–: media muestral.
k: coeficiente asociado al nivel de confianza.
s: desviación estándar de la muestra.n: número de elementos de la
muestra.
El margen de error depende del nivel de confianza y del tamaño
de la muestra, ya que el error corresponde a .
EjemploLos siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 personas deuna escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión).
Para determinar un intervalo de confianza para el puntaje prome-dio de la población, se puede remplazar en la expresión la mediamuestral, x– = 14,5, la desviación estándar muestral, s = 4,3, y elvalor de k = 1,96, que corresponde a un nivel de confianza de 95%.Luego, un intervalo de confianza aproximado es:
Es decir, el puntaje promedio de la población se encuentra entre13,2 y 15,8, con un nivel de confianza de un 95%.
E k sn
= ⋅
–
Glosario
intervalo de confianza: intervalo enel cual se encuentra el verdadero valordel parámetro que se está estimando,con una probabilidad determinada.nivel de confianza: es la probabilidadde que el intervalo calculado contengaal verdadero valor del parámetro.
2 5 6 8 8 9 9 10 11
11 11 13 13 14 14 14 14 14
14 15 15 16 16 16 16 16 16
16 16 17 17 17 18 18 18 19
19 19 19 19 19 19 19 20 20
Un parámetro es una característicanumérica de una población. Corres-ponde a una constante fija paracada estudio particular; por ejemplo,la media aritmética de la población.
Recuerda que...
El coeficiente k se obtiene de lasiguiente tabla:
Pon atención
Nivel de
confianza (%)Coeficiente k
68 0,99
75 1,15
80 1,28
90 1,64
95 1,96
96 2,05
97 2,17
98 2,32
99 2,58
x k sn
x k sn
− ⋅ + ⋅
,
14 5 1 96 4 345
14 5 1 96 4 345
13 2, , , , , , , , ,− ⋅ + ⋅
= 115 8,[ ]
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 237
238 | Unidad 6
En ocasiones, cuando se está planificando un estudio, los investi-gadores necesitan estimar el tamaño de la muestra que les entre-garía un nivel de confianza adecuado a sus requerimientos. Enestos casos, la expresión para el intervalo de confianza se puedeutilizar para estimar cuál sería el tamaño de la muestra necesariopara obtener un nivel de confianza dado. Observa.
El tamaño de la muestra se puede calcular de la siguiente forma:
donde k: nivel de confianzas: desviación estándar de la poblaciónE: margen de error
EjemploEn un colegio de 1600 alumnos y alumnas se está estudiando larelación entre la estatura de los niños y niñas al nacer y otras varia-bles. Se sabe que la desviación estándar de la población es de 1,5 cm.Se desea estimar la media con un 99% de confianza y con un errormáximo de 0,5 cm.
Entonces, se debe tomar una muestra de al menos 60 estudiantes.
1. Una marca de artículos deportivos está interesada en conocer el promedio de edad de sus clientes.Una muestra aleatoria de 25 clientes arrojó una edad promedio de 19 años, con una desviaciónestándar de 3 años. Determina el intervalo de confianza para la edad promedio de los clientes ysu amplitud, con un nivel de confianza de 95%.
2. Una muestra aleatoria de 81 televisores reportó que el intervalo de confianza para el tiempo promediode presentación de fallas técnicas (en años) fue de [2,113, 2,287]. Considerando que la desviaciónestándar es de 0,4 años, ¿cuál es el nivel de confianza de este intervalo?
Actividades
Glosario
tamaño de la muestra: correspondeal número mínimo de datos o sujetosque se necesitan para conformaruna muestra n que asegure un errorestándar menor que un valor deter-minado, fijado por el investigador,dada la población N.
x : media muestral.s: desviación estándar muestral.m: media poblacional.s: desviación estándar poblacional.
Pon atención
n kE
= ⋅
σ 2
n = ⋅
= ≈2 58 1 5
0 559 9076 60
2, ,
,,
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 238
Estadística II | 239
Unidad
6
En resumen
• La media poblacional se encuentra en el siguiente intervalo de confianza:
, donde x : media muestral.
k: coeficiente asociado al nivel de confianza.s: desviación estándar de la muestra.n: número de elementos de la muestra.
• El margen de error corresponde a .
, donde k: nivel de confianza.s: desviación estándar de la población.E: margen de error.
• Se puede estimar el tamaño de la población realizando dos muestras sucesivas y, luego, despejando N de la ecuación:
= , donde n1: tamaño de la primera muestra.n2: tamaño de la segunda muestra.m: número de individuos marcados en la segunda muestra.N: tamaño de la población.
n1N
mn2
n kE
= ⋅
σ 2
E k sn
= ⋅
x k sn
x k sn
− ⋅ + ⋅
,
3. Uno de los objetivos de un estudio acerca de los hábitos deportivos es conocer la proporción dejóvenes que corren diariamente durante dos o más horas.
a. Para realizar la estimación al 95% de confianza con un margen de error máximo de 0,01 yun desviación estándar de 0,5, ¿cuál es el tamaño necesario para la muestra?
b. ¿Qué ocurre con el tamaño muestral si se aumenta el nivel de confianza a un 99%, manteniendoel margen de error? Justifica tu respuesta.
c. ¿Qué sucede con la amplitud del intervalo en el caso anterior?, ¿por qué piensas queocurre esto?
4. Para estimar la cantidad de salmones en un lago se realizaron las siguientes acciones:
I. Se capturó una muestra al azar, se les marcó y fueron devueltos al agua.II. Poco tiempo después, se obtuvo una nueva muestra, se registró la proporción de salmones
marcados versus el total de especies de la muestra.
Si en el primer proceso se capturaron y marcaron 100 salmones, y posteriormente se capturaron80, de los cuales 20 están marcados, ¿cuántos salmones hay aproximadamente en el lago?
• El tamaño de la muestra se puede calcular de la siguiente forma:
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 239
240 | Unidad 6
Distribución normal
Matilda y Emiliano conjeturan acerca de cuáles son los resultadosposibles de la suma de los puntos obtenidos al lanzar tres dados.Matilda cree que es más probable que sumen 10 puntos o menos,mientras Emiliano piensa que es más probable que sumen 11 pun-tos o más.
Para comprobar sus conjeturas, decidieron lanzar 220 veces tresdados y, luego, anotar las sumas de sus puntos, en cada caso. Des-pués, organizaron los valores obtenidos en la siguiente tabla:
Como se puede observar en la tabla de la situación anterior, losvalores centrales, del 8 al 13 en este caso, presentan las mayoresfrecuencias, mientras que los valores extremos, 3, 4, 17 y 18, eneste caso, son los menos frecuentes. En general, si se repite unaexperiencia un gran número de veces, los resultados tienden aagruparse simétricamente en torno a un valor medio. Cuantas másveces se repita la experiencia, más se acercan los resultados a unacurva ideal correspondiente a una distribución normal. Al observarlas características de la curva, llamada campana de Gauss, se puedever que es simétrica con respecto a la media, tiene un vértice, y quesus dos extremos se extienden indefinidamente, acercándose a 0.
Analicemos...
• ¿Cuáles son los valores menos frecuentes?, ¿cuáles son los másfrecuentes?, ¿por qué crees que ocurre esto?
• Si decidieran lanzar los dados 100 veces más, ¿se mantendríaesta tendencia? Justifica.
• Según los datos, ¿se comprueba la conjetura de Matilda o la deEmiliano?, ¿por qué?
Suma 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18
Frecuencia 2 3 6 10 15 21 25 28 27 25 20 16 11 7 3 1
Glosario
distribución normal: una de las dis-tribuciones de probabilidad de varia-ble continua, cuyos parámetros sonm, la media aritmética, y s, la des-viación estándar. Se le llama normalporque es la que con más frecuen-cia aparece en fenómenos reales.Campana de Gauss:
m
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 240
Estadística II | 241
La distribución de probabilidad normal ocupa un lugar importanteen la Estadística, porque en general se ajusta a las distribuciones defrecuencia reales observadas en muchos fenómenos, incluyendocaracterísticas humanas (peso, estatura, CI, etc.) y resultados deprocesos físicos (dimensiones y rendimientos).
Cuando se conocen los valores de m y s de un conjunto de datos,mediante la distribución normal se puede estimar el porcentaje deindividuos asociados a un intervalo de valores. En el caso de losdatos obtenidos por Matilda y Emiliano, m = 10,5 y s = 3,0, sepuede decir que el 68,3% de los datos obtenidos se encuentra enel intervalo [m – s, m + s]; esto es, en [7,5, 13,5].
Del mismo modo, se puede decir que el 95,5% de los datosobtenidos se encuentra en el intervalo [m – 2s, m + 2s]; esto es, en[4,5, 16,5].
Y que el 99,7% de los datos obtenidos se encuentra en el inter-valo [m – 3s, m + 3s]; esto es, en [1,5, 19,5].
Si X es una variable que se distribuye N (m, s), utilizando un cambio
de variable, se define Z = ; se puede demostrar que ahora Z
distribuye N(0, 1).
La ventaja de la variable Z es que existen valores tabulados paraella (ver tabla de la página siguiente), de modo que se puedenhacer cálculos de probabilidades y tamaños de grupos depoblación usando correctamente la tabla, y luego realizando loscálculos correspondientes.
X – ms
Unidad
6Si una población tiene distribuciónnormal con media m y desviaciónestándar s, anotamos que ella dis-tribuye N(m, s).
Pon atención
m – 2s m + 2sm
m
95,5%
m – s m + sm
68,3%
m – 3s m + 3s
99,7%
z
P(Z < z)
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 241
242 | Unidad 6
EjemploEl resultado de una prueba de Cuarto Año Medio, tiene una dis-tribución N(5,3; 0,6). El total de estudiantes que rindió la prueba esde 150. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un estudiante alazar este haya obtenido al menos un 6,0?
Se necesita obtener P(X � 6,0), entonces se puede calcular P(X < 6,0),y luego restar a 1 el resultado para obtener la probabilidad pe-dida. La siguiente tabla contiene los valores de probabilidad aso-ciados a una distribución normal estándar; es decir, con m = 1 y s = 0.
Para utilizar la tabla se requiere aplicar el correspondiente cambio
de variable; en este caso, z = = = 1,16 � 1,2.
En la tabla, 1,2 corresponde a 0,8849. Es decir, P(X � 6,0) = 0,8849,
luego la probabilidad buscada es su complemento; esto es,
P(X � 6,0) = 1 – 0,8849 = 0,1151.
Por lo tanto, la probabilidad de obtener un alumno con nota igualo superior a 6,0 es 0,1151, o bien se puede decir que el 11,51% delos alumnos obtuvo una nota perteneciente a ese intervalo.
0,70,6
6,0 – 5,30,6
z P (Z < z) z P (Z < z) z P (Z < z) z P (Z < z) z P (Z < z) z P (Z <z)
–3,0 0,0013 –2,0 0,0228 –1,0 0,1587 0,0 0,5000 1,0 0,8413 2,0 0,9772
–2,9 0,0019 –1,9 0,0287 –0,9 0,1841 0,1 0,5398 1,1 0,8643 2,1 0,9821
–2,8 0,0026 –1,8 0,0359 –0,8 0,2119 0,2 0,5793 1,2 0,8849 2,2 0,9861
–2,7 0,0035 –1,7 0,0446 –0,7 0,2420 0,3 0,6179 1,3 0,9032 2,3 0,9893
–2,6 0,0047 –1,6 0,0548 –0,6 0,2743 0,4 0,6554 1,4 0,9192 2,4 0,9918
–2,5 0,0062 –1,5 0,0668 –0,5 0,3085 0,5 0,6915 1,5 0,9332 2,5 0,9938
–2,4 0,0082 –1,4 0,0808 –0,4 0,3446 0,6 0,7257 1,6 0,9452 2,6 0,9953
–2,3 0,0107 –1,3 0,0968 –0,3 0,3821 0,7 0,7580 1,7 0,9554 2,7 0,9965
–2,2 0,0139 –1,2 0,1151 –0,2 0,4207 0,8 0,7881 1,8 0,9641 2,8 0,9974
–2,1 0,0179 –1,1 0,1357 –0,1 0,4602 0,9 0,8159 1,9 0,9713 2,9 0,9981
Cuando se requieren valores ma-yores que un valor dado, para fa-cilitar el uso de la tabla, se buscasu complemento.
Pon atención
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 242
Estadística II | 243
Unidad
6
En resumen
• Una de las distribuciones probabilísticas de variables continuas es la distribución normal,cuya representación gráfica es conocida como la campana de Gauss.
• Si X es una variable que se distribuye N(m, s), se puede definir Z = , de modo que ahoraZ distribuye N(0, 1).
• La variable Z se puede utilizar para calcular probabilidades y tamaños de grupos de población a partir de los valores de la tabla.
X – ms
1. Determina en cuál o cuáles de los siguientes casos se podría tratar de una población con distribu-ción normal.
a. Sueldos que se pagan en una empresa.b. Edad a la que una persona muere.
2. Las estaturas de los recién nacidos en un hospital se distribuyen N (46, 2) en cm. Calcula la probabi-lidad de que:
a. un recién nacido mida menos de 44 cm.b. un recién nacido mida más de 50 cm.
3. De un colegio mixto egresaron 210 varones y 225 damas. Las edades de los varones se distribuyenN(18,8; 0,4), y las de las damas, N(18,2; 0,6).
a. ¿Cuántos varones tenían más de 18 años?b. ¿Cuántas damas tenían más de 17 años?c. Si se selecciona un alumno varón al azar, ¿cuál es la probabilidad de que tenga a lo menos
18,8 años?
4. Los tiempos, en segundos, realizados en las prácticas de atletismo del Colegio Cordillera se dis-tribuyen N(12,8, 0,8) y los tiempos del Colegio Entrelagos se distribuyen N(12,2, 1). Determina quéporcentaje de atletas:
a. del Colegio Cordillera demoraron más de 12,8 segundos.b. del Colegio Cordillera demoraron menos de 13,6 segundos.c. del Colegio Entrelagos demoraron más de 10,2 segundos.d. del Colegio Entrelagos demoraron menos de 13,2 segundos.
Actividades
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 243
244 | Unidad 6
• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.
• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Qué es el intervalo de confianza? Explica.
3. ¿Cuál es la diferencia entre una desviación y la desviación estándar?
4. ¿Cómo se calcula el tamaño de la población utilizando dos muestras sucesivas? Explica.
5. ¿Qué características tiene una correlación si r es cercano a 1?6. ¿Qué ventajas tiene el diagrama de tallo y hojas?
7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Organizando lo aprendido
DATOS ESTADÍSTICOS
se analizan mediante
DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS MUESTRA ALEATORIAMEDIDAS DE DISPERSIÓN
tales como
constituyen una
se puede calcular el
y el
se organizan en
si poseen dos o más
se puede estudiar su
VARIABLESRANGO
DESVIACIÓN
MEDIA
DESVIACIÓN
ESTÁNDAR
CORRELACIÓN
se estima
mediante el
bajo un
cuando tienen
su representación es
PARÁMETROTAMAÑO DE
LA POBLACIÓN
TAMAÑO DE
LA MUESTRA
INTERVALO DE CONFIANZA
NIVEL DE CONFIANZA
DISTRIBUCIÓN NORMAL
CAMPANA DE GAUSS
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 244
Estadística II | 245
Mi progreso
Unidad
6
1. En un ensayo de PSU los y las estudiantes omitieron la siguiente cantidad de preguntas:
6 - 0 - 7 - 15 - 2 - 5 - 36 - 18 - 9 - 3 - 2 - 0 - 1 - 4 - 4 - 6 - 7 - 5 - 8 - 10 - 9 - 0 - 3 - 0 - 2 - 0 - 8 - 9 -22 - 16 - 0 - 4 - 7 - 0 - 12 - 11 - 0 - 6 - 8 - 0 - 0 - 9
a. Calcula la media y la desviación estándar. ¿Qué valores distorsionan la media?, ¿por qué?b. Construye un diagrama de tallo y hojas. ¿En torno a qué valores se concentran los datos?,
¿qué puedes concluir?
2. En una empresa trabajan cuatro obreros. La antigüedad y el número de productos defectuosos elaboradospor ellos durante el último año viene dado por:
a. Representa gráficamente los datos. Razona si losdatos expresan correlación positiva o negativa.
b. Calcula el coeficiente de correlación.
3. Se ha calculado que el tiempo de espera en la fila de un banco tiene una distribución N (18, 6), en minutos.Calcula la probabilidad que tiene una persona de esperar entre 10 y 20 minutos en la fila.
4. Para estimar la cantidad de años de escolaridad de la población mayor de 30 años de una comuna, sedecide tomar una muestra de 500 personas. Se sabe que la desviación estándar de la población es 3 añosy la media de la muestra es 8 años. ¿Cuál es el error porcentual con un 95% de confianza?
A. 0,26%B. 0,03%C. 3,25%D. 26%E. Ninguna de las anteriores.
• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.
¿Cómo voy?
CRITERIO ÍTEM PÁGINAS DONDE SE TRABAJA
Calcular medidas de dispersión. 1 a 228 a 231
Calcular la correlación entre dos variables. 2 232 y 233
Construir e interpretar un diagrama de tallo y hojas. 1 b 234 y 235
Estimar el error, dado el intervalo de confianza. 4 236 a 239
Calcular la probabilidad, dada la distribución normal. 3 240 a 243
Antigüedad 3 2 4 1
Productos defectuosos 4 3 3 4
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 245
246 | Unidad 6
Medidas de posición
Los siguientes datos corresponden a las estaturas, en metros, delos alumnos y alumnas de Cuarto Año Medio de un colegio.
1,56 - 1,74 - 1,68 - 1,52 - 1,48 - 1,54 - 1,60 - 1,55 - 1,49 - 1,5 - 1,56 -1,53 - 1,72 - 1,66 - 1,53 - 1,62 - 1,59 - 1,63 - 1,68 - 1,73 - 1,72 - 1,75- 1,86 - 1,69 -1,63 - 1,79 - 1,81 - 1,83 - 1,69 - 1,75 - 1,68 - 1,83 - 1,73- 1,77 - 1,78 - 1,77
• Ordena todos los valores de menor a mayor. ¿Cuál es la mediana?• ¿Qué porcentaje de jóvenes de este curso mide menos de 1,72?,
¿cómo lo calculaste?• Con los datos ordenados, si se separa el grupo en cuatro partes
iguales, ¿hasta qué estatura corresponde cada grupo? Justifica.
Analicemos...
Anteriormente aprendiste que la mediana de un conjunto de datosordenados, de acuerdo a su magnitud, los separa en dos mitades.Ahora estudiaremos otras medidas de posición, que dividen a unconjunto de datos numéricos en cierta cantidad de partes iguales.
En el ejemplo de la estatura de los y las estudiantes, luego de or-denarlos de menor a mayor, se observa que la mediana corres-ponde a 1,68. Es decir, al menos la mitad de los estudiantes miden1,68 m o menos.
Al revisar los datos, ordenados de menor a mayor, el valor 1,71tiene el lugar 22 de un total de 36, que corresponde aproximada-mente al 60% de los estudiantes de este curso, por lo que repre-senta al 60º percentil. Los percentiles hacen referencia al lugar queocupa un dato cuando estos están ordenados de menor a mayor.
Se define como el k-ésimo percentil de un conjunto de datos al valortal que al menos k% (con k entre 0 y 100) de los datos observadosestá en o por debajo de ese valor y cuando al menos (100 – k)% estáen o sobre ese valor. Se denota por Pk.
Además de los percentiles, otras medidas de posición son los cuartiles,que separan todos los datos ordenados en cuatro grupos iguales,y la misma mediana, que, ya que se ubica en la posición central deun conjunto de datos ordenados, puede interpretarse como el se-gundo cuartil y el 50º percentil. De la misma forma, también seutilizan como medida de posición los quintiles, que separan losdatos en cinco grupos iguales, los deciles, que los separan en diezgrupos iguales, etcétera.
Glosario
percentil: valor que divide un con-junto ordenado de datos numéricos,de forma que un porcentaje de talesdatos sea inferior a dicho valor. Así,un individuo en el percentil 80 estápor encima del 80% del grupo alque pertenece.cuartil: cualquiera de los percentiles25, 50 ó 75, que corresponden al primer, segundo y tercer cuartil, respectivamente.
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 246
Estadística II | 247
Unidad
6Ahora, ¿qué pasa cuando los datos están agrupados?Tal como se calcula la mediana para datos agrupados, con un pro-cedimiento similar se puede calcular el percentil Pk para datosagrupados. Observa.
Lk: menor valor de la clase donde se encuentra el k-ésimo percentil.n: número de observaciones.Nk: frecuencia acumulada de la clase que precede a la clase del
k-ésimo percentil.nk: frecuencia absoluta de la clase del k-ésimo percentil.C: amplitud de la clase del k-ésimo percentil.
EjemploDada la siguiente distribución de frecuencias de 212 puntajesobtenidos en la PSU, determina el percentil 45.
El 45% de los 212 datos agrupados en esta tabla es 95,4; es decir,si contáramos con todos los datos ordenados uno a uno, el percentil45 correspondería a 95º dato de la lista. Se revisa la tabla, en lacolumna de la frecuencia acumulada, para determinar en qué clasese encuentra este dato. En este caso, está en la clase [600, 650[.Con esta información se pueden completar los datos de la expre-sión algebraica. Observa.
El resultado nos indica que el 45% de los estudiantes obtuvo pun-tajes menores o iguales a 615,9.
Cuando hay pocas observacionespuede ocurrir que un valor repre-senta a más de un percentil por ladefinición de percentil.
Pon atención
El k-ésimo percentil de un conjuntode datos es un valor tal que al menosk% de las observaciones está en opor debajo de ese valor.
Recuerda que...
Puntaje Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada
[400, 450[ 10 10
[450, 500[ 9 19
[500, 550[ 20 39
[550, 600[ 31 70
[600, 650[ 80 150
[650, 700[ 42 192
[700, 750[ 10 202
[750, 800[ 10 212
P Lk
nN
nCk k
k
k= +
� �� ·� � –�
� ·�100
P45 60045
212100
70
8050= +
=� �� � ·�
�–�
�� ·� � �� ,615 9
La fórmula para encontrar un deter-minado percentil para datos agru-pados se puede generalizar paraencontrar cuartiles y deciles, solovaría el cálculo de Nk.
Pon atención
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 247
248 | Unidad 6
EjemploLos siguientes datos corresponden a la masa (en kg) de 24 mujeresde 17 años.
44 48 48 48 48 50 50 51 52 52 54 5454 55 55 55 55 57 57 57 57 58 60 61
Al analizar estos datos podemos obtener lo siguiente:
Visualizaremos todos los elementos anteriores mediante el siguientediagrama de cajas.
Observa que en el gráfico, losextremos del rectángulo indi-can los cuartiles Q1 y Q3, mien-tras que la línea que divide aeste horizontalmente indicala mediana (Q2).
Las líneas que sobresalen delrectángulo indican el valormínimo y máximo de la dis-tribución, y el signo + indica lamedia aritmética.
Observa que Q1 = 50 indica que el 25% pesó menos o igual que50 kilogramos; Q2, que el 50% pesó menos o igual que 54 kilogramos,y Q3, que el 75% pesó menos de 57 kilogramos o igual.
En un gráfico de cajas se puedenexpresar los datos de manera verti-cal u horizontal.
Pon atención
Tamañomuestra
Mediana Cuartiles Valor mínimo
Valor máximo
Rango
24 54
Q1= 50
Q2= 54
Q3= 57
44 61 17
Glosario
diagrama de cajas: representacióngráfica de los datos que permiteanalizar conjuntamente una seriede medidas numéricas, tales comoel mínimo, el máximo, la mediana ylos cuartiles.
4040
Mujeres de 17 años
Masa (kg)
44
50
54
57
6160
Q3
Q2
Q1
70
1. A partir de los datos dados en el ejemplo de la página anterior:
a. Calcula P30.
b. Calcula Q3.
c. ¿Qué información nos entregan los valores de P30y Q
3?
d. ¿Qué porcentaje de los 212 alumnos obtuvo resultados entre 620 y 680 puntos?
Actividades
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 25-10-12 19:01 Página 248
Estadística II | 249
Unidad
62. Dada la siguiente tabla de distribución de frecuencias, que muestra los puntajes obtenidos por 50 alumnos en un test (se consideran valores enteros), calcula:
a. P3
b. P90
c. Q1
d. Q3
e. Interpreta los resultados obtenidos.
3. La siguiente tabla de frecuencias resume la información del precio, en pesos, de la gasolina automotrizcada mes entre julio de 2003 y julio de 2008:
a. Calcula la media, la moda y la mediana.b. Calcula Q
1y Q
3.
c. ¿Sobre qué precio estuvo la gasolina el 60% de los meses entre julio de 2003 y julio de 2008?d. ¿Qué porcentaje de los meses estuvo la gasolina bajo los 530 pesos?
En resumen
• Los percentiles se conocen como medidas de posición y hacen referencia al lugar que ocupaun dato cuando todos estos están ordenados de menor a mayor.
• Puede ocurrir que un mismo valor represente más de un percentil, esto ocurre generalmentepara un número pequeño de observaciones.
• Los cuartiles son un caso particular de los percentiles y reciben este nombre porque dividen unconjunto de datos en cuatro partes iguales. Otros casos particulares son los quintiles y los deciles.
• La fórmula de cálculo para percentiles, cuando se tienen datos agrupados, es:
• El diagrama de cajas consiste en un gráfico que muestra simultáneamente diferentes carac-terísticas de un conjunto de datos, tales como: mediana, rango, cuartiles, valores extremos,etc. Este diagrama presenta los tres cuartiles (y los valores mínimos y máximos) alineadossobre una caja horizontal o verticalmente.
P Lk
nN
nCk k
k
k= +
� �� ·� � –�
� ·�100
Intervalo [60, 64] [65, 69] [70, 74] [75, 79] [80, 84] [85, 89]
Frecuencia absoluta 5 5 8 12 16 4
Frecuencia acumulada 5 10 18 30 46 50
Precio [400, 450[ [450, 500[ [500, 550[ [550, 600[ [600, 650[ [650, 700[
fi 5 7 10 12 7 9
Fuente: Comisión Nacional de Energía (http://www.cne.cl/cnewww/opencms/06_Estadisticas/energia/Hidrocarburos.html)
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250 | Unidad 6
Herramientas tecnológicas
Utilizando una planilla de cálculo como Excel y las funciones: mediana, cuartil y percentil,puedes usar esta herramienta para calcular estas medidas.
Como ejemplo, utilizaremos los datos de las estaturas (en metros) de los y las estudiantes de Cuarto AñoMedio de un colegio (página 246).
• Copia estos datos en la columna A de la planilla.• Para calcular la mediana, en C1 escribe =MEDIANA(A1:A30), y después presiona enter y obten-
drás el resultado. En B1 puedes escribir Mediana, para identificar cada resultado.• Para calcular Q
1, en B2 escribe Cuartil 1 y en C2 escribe =CUARTIL(A1:A30;1), donde el 1 final
indica que estás calculando el primer cuartil. Luego, presiona enter y obtendrás el resultado.• Para calcular Q
3, en B3 escribe Cuartil 3 y en C3 escribe =CUARTIL(A1:A30;3), y el 3 indica que
estás calculando el tercer cuartil. Luego, presiona enter y obtendrás el resultado.• Para calcular (por ejemplo) el percentil 70; P
70, en B4 escribe Percentil 70 y en C4 escribe
=PERCENTIL(A1:A30;0,7). Debes notar que el programa toma como parámetro un númeroentre 0 y 1, que corresponde al percentil a calcular dividido por 100. Luego, presiona enter y obtendrás el resultado.
La siguiente imagen muestra todos los datos calculados.
1. Calcula, de la misma manera, los percentiles 30, 60 y 90.2. Repite este ejercicio con los datos de la presión sanguínea sistólica (página 237). Es decir, calcula
la mediana, primer y tercer cuartiles, y algunos percentiles. 3. Inventa datos que cumplan con las condiciones descritas y observa por ti mismo lo que ocurre.
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Estadística II | 251
Unidad
6
Aplicaciones de la Estadística
El siguiente gráfico entrega información acerca del estado de saludde adultos mayores, respecto a la variable peso.
Fuente: Estado Nutricional del Adulto Mayor en control. DEIS. Ministerio de Salud,
(diciembre 2006), deis.minsal.cl/salidas06/pobl_dic/adulto_mayor1206.asp.
Los estudios estadísticos, realizados por el Ministerio de Salud, rela-cionados con el estado nutricional de las personas, tienen comouno de sus objetivos el “supervisar la situación alimentario-nutri-cional de la población chilena, detectando grupos en riesgo desufrir alguna forma de malnutrición, y normar la implementaciónde acciones y programas orientados a prevenir el daño en dichosgrupos y en la población general” (Fuente: www.minsal.cl).
De la población estudiada, observamos que en toda la Región Metro-politana, la cantidad de población con sobrepeso y obesidad superaen demasía a la población con peso normal, siendo el rango de bajopeso el que considera la menor porción de población adulto mayor.
Analicemos...
• ¿En qué sector el estado nutricional del adulto mayor es mejor?,¿por qué?
• Observando el gráfico, ¿la población que tiene sobrepeso uobesidad, juntos, es mayor o menor que la de peso normal?
• ¿Qué problema afecta a mayor cantidad de personas: el bajopeso o la obesidad? Justifica. ¿Qué puedes concluir?
Estado nutricional del adulto mayor en control, diciembre 2006
5000
0
10 000
15 000
20 000
25 000
Metropolitano norte
Metropolitano occidente
Metropolitano central
Metropolitano oriente
Metropolitano sur
Metropolitano sur-oriente
Bajo pesoPeso normal
Cantidad
de pe
rson
as
Servicios de salud
SobrepesoObesidad
Enfermera registrando el peso de unadulto mayor.
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Así como en el ámbito de la Salud, la Estadística también se aplicaen otros campos de estudio, tales como la Economía, Biología, Cien-cias Sociales, etcétera.
252 | Unidad 6
1. El IPC se calcula sobre la base de un promedio ponderado, de modo que cada rubro tiene distintaimportancia de acuerdo con los consumos de la población.
a. Observa la tabla y determina cuál es el rubro que tiene mayor importancia.b. ¿Por qué crees tú que el rubro alojamiento, agua, electricidad, gas y otros combustibles es el
que más subió?c. ¿Por qué piensas que el rubro prendas de vestir y calzado bajó más?
Fuente: IPC por División (niveles, variaciones e incidencias) www.ine.cl, junio 2011.
Actividades
IPC junio 2011. Variaciones e incidencias
Divisiones Variación 12 meses (%) Incidencia a 12 meses
Alimentos y bebidas no alcohólicas 7,5 1,415
Bebidas alcohólicas y tabaco 8,7 0,190
Prendas de vestir y calzado –14,3 –0,621
Alojamiento, agua, electricidad, gas y otros combustibles 9,0 1,185
Muebles, artículos para el hogar y para la conservacióncorriente del hogar
0,9 0,070
Salud 1,5 0,082
Transporte 5,1 1,021
Comunicaciones –2,9 –0,127
Recreación y cultura –7,0 –0,491
Educación 5,6 0,347
Restaurantes y hoteles 5,6 0,255
Bienes y servicios diversos 1,7 0,111
En resumen
• La Estadística permite analizar tendencias a partir de un conjunto de datos y, luego, tomarmejores decisiones en variados ámbitos, porque permite presentar, relacionar y analizar la información mediante la utilización de tablas y gráficos, y de descriptores como las medidasde tendencia central y de posición, entre otros.
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 252
Estadística II | 253
Unidad
62. Observa el siguiente gráfico respecto del número de matrimonios, según la edad de los contrayentes.
Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas (INE), Estadísticas vitales, Informe anual 2006.
a. ¿Qué conclusiones se obtienen con respecto a las edades en que se casan las personas?b. ¿Cómo es la distribución de las edades en que se casa la gente?, ¿por qué?
3. La siguiente tabla muestra el número de desocupados, correspondiente a los meses de julio, agostoy septiembre de 2009, según el Boletín Informativo del Instituto Nacional de Estadísticas.
a. Construye el gráfico que represente mejor estos datos.
b. ¿A qué crees que se debe la diferencia entre la canti-dad de desocupados decada actividad?
c. ¿Crees que estos valores son similares al número de desocupados en los mismosmeses, pero de este año?, ¿por qué? Comenta con tuscompañeros y compañerascuáles creen que fueron lasdiferencias y qué situaciones las explican.
ActividadDesocupados
(miles de personas)
Agricultura, caza, pesca 65,08
Minas y canteras 6,13
Industria manufacturera 87,55
Electricidad, gas y agua 3,35
Construcción 109,17
Transporte, almacenaje y comunicaciones 128,45
Comercio 66,60
Servicios financieros 71,32
Servicios comunales, sociales, personales 105,31
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254 | Unidad 6
• En el siguiente mapa conceptual se muestran los conceptos tratados en las páginas anteriores.
• Utilizando los contenidos aprendidos hasta aquí y, apoyándote en el esquema anterior, responde en tu cuaderno.
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿Qué representa un percentil?
3. ¿Qué tipos de preguntas se pueden responder con los percentiles?
4. ¿Por qué los cuartiles reciben este nombre?
5. ¿En qué casos puede ocurrir que Q1 = Q2 = Q3? Ejemplifica con datos.
6. ¿Qué valores se ilustran en el diagrama de cajas? Explica.
7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
Organizando lo aprendido
MEDIDAS DE POSICIÓN
como los cuya
es un
REPRESENTACIÓN GRÁFICA
DIAGRAMA DE CAJAS
PERCENTILES
CUARTILES QUINTILES DECILES
sus casos particulares son
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Estadística II | 255
Mi progreso
Unidad
6
1. Los datos que se muestran a continuación corresponden al tiempo, en minutos, que demoran los estudiantes de un Cuarto Año Medio en contestar un ensayo de PSU de Matemática.
125 - 138 - 150 - 98 - 111 - 125 - 131 - 143 - 104 - 103 - 116 - 125 - 146 - 143 - 103 - 88 - 71 - 127 -
134 - 109 - 96 - 140 - 137 - 136 - 146 - 150 - 103 - 106 - 112 - 116 - 109 - 106 - 136 - 96 - 98 - 79 -
134 - 116 - 106 - 96 - 126 - 116 - 120 - 124 - 87 - 106 - 145 - 116 - 127 - 79 - 74 - 133 - 129 - 134
a. Calcula la mediana y los cuartiles Q1y Q
3.
2. Las edades de 40 personas de una familia son:
10 - 13 - 14 - 17 - 17 - 23 - 23 - 23 - 24 - 26 - 27 - 27 - 29 - 30 - 31 - 31 - 35 - 36 - 36 - 37 - 37 - 39 -41 - 42 - 44 - 46 - 48 - 54 - 54 - 60 - 61 - 61 - 61 - 70 - 70 - 71 - 73 - 77 - 81 - 83
a. Representa las edades en un diagrama de cajas. Interpreta los resultados obtenidos.b. Si los datos situados en posición impar pertenecen a mujeres y los situados en posición par a
hombres, obtén sus respectivos diagramas de cajas contrastando los resultados.
3. El siguiente diagrama presenta las edades de un club de adultos mayores. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
A. La media aritmética de estos datos es 75.B. El rango de los datos es 26.C. La mayoría de los integrantes de este grupo
es menor de 77 años.D. En este grupo no hay personas mayores de
90 años.E. Ninguna de las anteriores.
• Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. Si tuviste respuestas incorrectas,marca en la tabla el criterio correspondiente y revisa las páginas indicadas. Luego, identifica el errory corrígelas.
¿Cómo voy?
CRITERIO ÍTEMS PÁGINAS DONDE SE TRABAJA
Calcular medidas de posición para datos no agrupados.
1 246 a 249
Construir e interpretar un diagrama de cajas. 2 y 3 246 a 249
60
Edad
Años
63
6870
75
77
81
89
80
90
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Cómo resolverlo
256 | Unidad 6
Observa, paso a paso, las estrategias utilizadas en la resolución delsiguiente problema.
En un estudio, en un tramo específico de la carretera, se registró lavelocidad de los automóviles un día entre las 11 y las 12 de la mañana.Las velocidades (en km/h) se ordenaron en la siguiente tabla:
a. Calcula la mediana.b. Calcula Q1.
Interpreta, en cada caso, los valores obtenidos en el contexto de los datos.
Solución
a. Para calcular la mediana, se observa en la tabla que la clase [60, 75[implica que la frecuencia acumulada es de, al menos, la mitad delos datos. Por tanto, se tiene:
es decir, la mitad de los automóviles pasa, a lo más, a 68,75 km/h.
b. Para obtener el primer cuartil, se debe determinar, según la tabla,cuál es la clase que implica frecuencia acumulada de, al menos,12 datos. Esta clase es [60, 75[. Por lo tanto, se toma como valorde p = 0,25 y se tiene:
Es decir, la cuarta parte de los automóviles circulan, a lo más, a 61,25 km/h.
Mi fi Fi
[30, 45[ 37,5 3 3
[45, 60[ 52,5 7 10
[60, 75[ 67,5 24 34
[75, 90[ 82,5 11 45
[90, 105[ 97,5 3 48
Md LN
ncMd
Md
Md= +
−⋅ = + − ⋅ =
2460 24 10
2415 68 75,
Q Lp N
ncp
p
p1
4860 12 10
2415 61 25= +
⋅ −⋅ = + − ⋅ =� ,
Carretera en la Región de Valparaíso.
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Estadística II | 257
Unidad
6Actividades
1. Aplica el procedimiento aprendido para resolver las siguientes situaciones:
a. Los datos de la tabla corresponden a la cantidad de té, en kilogramos, importada por un dis-tribuidor de este producto durante el año 2009.
• Calcula la media, la mediana y el primer cuartil.• ¿Bajo qué valor se encuentra el 40% de las importaciones?• ¿Sobre qué valor se encuentra el 90% de las importaciones?• ¿Qué puedes concluir?
2. Busca un procedimiento distinto para resolver los problemas anteriores. Respecto del procedimientoanterior, ¿cuál es más simple?, ¿por qué?
3. Resuelve los siguientes problemas utilizando el procedimiento aprendido u otro. Compara el procedi-miento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?, ¿por qué?
a. La siguiente tabla de distribución de frecuencias agrupa las marcas, expresadas en metros,obtenidas por un grupo de estudiantes en el lanzamiento del disco.
• ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo marcas en el intervalo [39, 40[?• ¿Qué porcentaje de ellos obtuvo una marca igual o superior a los 40 m?• ¿Qué puedes concluir?
Cantidad (kg) [200, 280[ [280, 360[ [360, 440[ [440, 520[ [520, 600[
fi 20 10 15 20 13
Intervalo (m) fi
[34, 35[ 12
[35, 36[ 15
[36, 37[ 18
[37, 38[ 30
[38, 39[ 28
[39, 40[ 20
[40, 41[ 17
[41, 42[ 6
[42, 43[ 4
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 257
258 | Unidad 6
En terrenoEn terreno
Estudio de mercado
Cuando se realiza una expedici
ón o se pasan las vacaciones en
un campamento, el
saco de dormir es un elemento
fundamental, ya que la calidad
del sueño influye de
manera importante en el rend
imiento y las energías que se ti
enen durante el día;
por lo tanto, en este tipo de act
ividades, desde el humor hasta
el éxito en una salida
pueden verse afectados por un
a o muchas malas noches.
Entre los aspectos que se debe
n considerar en el momento d
e elegir un saco de
dormir, se encuentran sus dime
nsiones. Es importante tener u
n poco de libertad
en los movimientos dentro del s
aco, ya que resultados de invest
igaciones recientes
demuestran que alrededor de
l 70% de la capacidad térmica es pr
oducida por la
capa aislante, y cerca del 30% por el espacio i
nterior del saco, que contiene n
uestro
aire caliente. En este sentido,
es importante que el saco no s
ea ni muy ancho ni
muy estrecho, o perderá una gr
an parte de sus propiedades. La
forma de la capucha,
por otro lado, es algo esencial;
los sacos de verano pueden ten
er una capucha muy
amplia, pero si se duerme por
debajo de 0 ºC es conveniente
escoger un saco con
capucha totalmente preformad
a.
En una fábrica de sacos de dorm
ir, los vendedores le comentan
al gerente que fre-
cuentemente sus clientes les sol
icitan sacos con medidas especi
ales. Él mismo es una
persona muy alta. Su estatura
está por sobre el percentil 90
de la estatura de la
población, y por eso requiere d
e un saco de dormir especial, a
su medida. Ha pen-
sado que si él tiene este inconve
niente, a otras personas también
les puede suceder.
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Actividades
1. Planifica un estudio de mercado que permita determinar si fabricar sacos de dormir a la medida seríarentable para esta fábrica. ¿Qué información necesitas obtener?
2. Diseña una encuesta para recabar información. ¿Cuáles serían las preguntas contenidas en esta encuesta?3. Averigua si ya existen empresas que fabriquen sacos de dormir a la medida.
Investiguemos...
1. Forma un equipo con dos compañeros o compañeras más. Analicen las planificaciones ideadas porcada uno y, a partir de esto, diseñen un estudio de mercado acerca de sacos de dormir de medidasespeciales. Consideren que un estudio de mercado consiste en una investigación para, en este caso:
a. Averiguar si para los posibles consumidores la idea de un saco de dormir a la medida tendríaaceptación o no.
b. Investigar si ya existe alguna empresa que fabrique sacos de dormir a la medida.c. El gerente está pensando fabricar 80 sacos de dormir, inicialmente, pero necesita determinar los
tamaños y las cantidades necesarias de cada uno.
2. Realicen una encuesta a, al menos, 100 personas, para desarrollar el estudio de mercado. Decidan pre-viamente qué datos necesitan saber y qué preguntas van a incluir en la encuesta.
a. Averigüen cuánto margen debe tener un saco de dormir en relación con la altura de la persona quelo usará.
b. Averigüen cuántos sacos de dormir se venden en un año en Chile. Con este dato, estimen cuán-tos sacos de dormir especiales se podrían vender.
c. Elaboren un resumen, que incluya los datos obtenidos y sus correspondientes gráficos, en el quepresenten sus conclusiones.
Evaluemos nuestro trabajo
• ¿El estudio realizado les permitió determinar si los sacos de dormir a la medida tienen aceptaciónentre los consumidores?
• ¿Lograron determinar los tamaños necesarios y la cantidad de sacos de dormir que se deben hacerde cada tamaño?
• Comparen sus resultados con los de sus compañeros y compañeras. ¿Presentaron algo distinto, quetu grupo no consideró?, ¿qué pueden concluir?
Estadística II | 259
Unidad
6
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260 | Unidad 6
Síntesis de la Unidad
A continuación, se presentan los conceptos fundamentales trabajados en la Unidad. Construye conellos un mapa conceptual, en tu cuaderno. No olvides agregar las palabras de enlace que indican lasrelaciones que hay entre los conceptos.
A partir de lo trabajado en la Unidad, responde:
1. ¿Crees que faltó un concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.
2. ¿A qué se refieren las medidas de posición?
3. ¿Cuál es la diferencia entre desviación media y desviación estándar? Explica.
4. Dadas dos muestras distintas, ¿es posible que se obtengan valores distintos, aunque se trate de
la misma población? Justifica.
5. La asociación entre dos variables, ¿cómo se puede describir? Explica.
6. ¿Existe alguna ventaja de utilizar cuartiles en lugar de percentiles?, ¿por qué?
7. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos tratados en las páginas anteriores?, ¿cuál?
Compártela con tu curso e intenten aclararla en conjunto.
DATOS
DESVIACIÓN MEDIA RANGO
INTERVALO DE CONFIANZA
DIAGRAMA DE TALLO Y HOJAS DIAGRAMA DE CAJAS
MEDIDAS DE DISPERSIÓN MUESTRA
MEDIDAS DE POSICIÓN
DESVIACIÓN ESTÁNDAR ERROR PORCENTUAL
CORRELACIÓN
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Estadística II | 261
Evaluación
I. Determina si las expresiones siguientes son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.
1. Se conoce como marca de clase al punto medio de cada clase.
2. El número de cesáreas comparado con número de partos normales no tiene correlación.
3. La mediana representa un valor tal que, al menos, el 60% de las observaciones se encuentren
bajo él.
4. Encontrar el valor tal que, al menos, el 70% de las observaciones que estén bajo él sea equiva-
lente a encontrar P70.
5. La correlación entre la edad de una persona y la cantidad de veces que ha salido de vacaciones
en su vida es positiva.
II. Aplica lo que aprendiste en la Unidad para desarrollar las siguientes actividades.
1. La avícola El Pollo Volador, preocupada por los recientes reclamos respecto del peso de los pollos,decidió estudiar la distribución de los pesos de 1000 de ellos, obteniendo los siguientes resultados:
A la avícola le interesa dividir los pollos en cuatro categorías, asignando la categoría D al percentil20, la categoría C al percentil 50, la categoría B al percentil 80, y el grupo restante en la categoría A. ¿Cuáles son los límites de peso para cada categoría?
2. Un fabricante asegura que el contenido promedio de nicotina de sus cigarrillos es de 2 mg. Paraverificar esto se realizó un estudio con una muestra aleatoria de 45 cigarrillos, obteniéndose unpromedio de 3 mg de nicotina. Se sabe que el contenido de nicotina de un cigarrillo sigue unadistribución normal con desviación estándar de 0,5 mg.
a. Obtén e interpreta un intervalo con un 95% de confianza para el verdadero promedio.b. Obtén el intervalo con un 80% de confianza para la media.c. ¿Qué puedes concluir en relación con lo que dice el fabricante?
Unidad
6
Peso (g) fi
[960, 980[ 60
[980, 1000[ 160
[1000, 1020[ 280
[1020, 1040[ 260
[1040, 1060[ 160
[1060, 1080[ 80
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 261
262 | Unidad 6
1. Las edades de los jóvenes de un grupo musical son 15, 14, 13, 15, 14 y 13 años. Entonces, es falso que:
I. la media es 14 años.II. la mediana es 15 años.III. la desviación estándar es un año.
A. Solo IB. Solo II C. Solo IIID. I y IIE. II y III
2. Las notas de Claudia en Física son: 3,5; 4,2;5,3; 2,8; 5,6 y 5,6. Con respecto a estasituación, es verdadero que:
I. su media es 4,5.II. la moda es un 5,6.III. si Claudia obtiene en un trabajo un
6,5 y lo remplaza por su peor nota, su media ahora es un 5,1.
A. Solo I B. Solo IIC. II y IIID. I y IIE. I, II y III.
3. En un zoológico desean saber cuántosloros hay. Escogen una muestra de 50 y losmarcan; al día siguiente, toman una mues-tra de 40 y observan que 5 de ellos estánmarcados. El total aproximado de loros delzoológico es:
A. 100 B. 400C. 350D. 250E. 200
4. En la selección de vóleibol de un colegio A, la me-dia de las estaturas es 183 cm y la desviaciónestándar 3,5 cm. En otro colegio B, la media es174 cm y la desviación estándar es 5 cm. Entonces:
I. los seleccionados de B tienen una estaturamás pareja que en A.
II. los seleccionados más altos están en A.III. los seleccionados más bajos están en B.
A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. I y IIE. II y III
5. Con respecto al coeficiente de correlación dePearson, es verdadero que:
I. cuando su valor es cercano a 1, hay correlación positiva.
II. cuando su valor es cercano a 0,5, la correlación es nula.
III. cuando su valor es 0, la correlación es negativa.
A. Solo I B. Solo II C. Solo III D. II y IIIE. I, II y III.
6. En un colegio de 4000 alumnos y alumnas, las notas en Matemática se distribuyen N(5,2; 0,6). ¿Alrededor de cuántos estudiantes tienen promedio sobre 6,0?
A. 0,9032 B. 10% C. 500D. 0,0968E. 390
III. Resuelve los siguientes ejercicios y selecciona la alternativa correcta en cada caso.
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Estadística II | 263
7. Cecilia, en su preparación para la PSU de Len-guaje, realizó 10 ensayos y su tiempo prome-dio fue de una hora y media. Ella sabe que sudesviación típica es de 20 minutos. Si seasume un nivel de confianza del 95%, el errormáximo en tiempo, el día que rinda la prueba,será aproximadamente:
A. 0,14 minutos.B. 12 minutos.C. 13 minutos.D. 3,92 minutos.E. Ninguna de las anteriores.
8. Un consultorio realizó un estudio para deter-minar la masa de la población femenina de sucomuna, obteniendo una distribución N(62, 5).¿Alrededor de qué porcentaje de la cantidad demujeres de la comuna tienen una masa entre57 y 62 kilogramos?
A. 99% B. 68% C. 24%D. 95% E. 34%
9. En la selección de personal para un museo dehistoria, se realizará una prueba de conocimien-tos básicos de Historia de Chile. Se sabe que lospuntajes distribuyen N(132, 18) y tan solo el 10%de los puntajes más altos será seleccionado.Aproximadamente, ¿desde qué puntaje se acep-tará a los candidatos?
A. 109B. 155C. 190D. No se puede determinar.E. Ninguna de las anteriores.
10. Se desea saber las preferencias musicales dela juventud chilena, y para ello se decide haceruna encuesta. ¿Cuál de los siguientes procedi-mientos asegura una muestra representativa?
A. Se encuesta a 100 jóvenes en el centro delas principales ciudades.
B. Se encuesta a 2000 jóvenes a la salida delos liceos, de acuerdo a la cantidad dealumnos de cada liceo.
C. Se consigue en el registro civil una lista detodos los jóvenes del país y se seleccionan2500 al azar.
D. Se pide a los jóvenes que den su opiniónen una radio de alcance nacional.
E. Se invita a los jóvenes a participar en sus co-munas habilitando formularios y buzones.
11. La vida media de una pila (en horas) tiene unadistribución N(150, 50). ¿Cuál es la probabilidad(en porcentaje) de que dure menos de 50 horas?
A. 2% B. 16% C. 68%D. 4% E. 32%
12. Si el P70 = 86, eso significa que:
A. al menos el 40% de las observacionesestá bajo ese valor.
B. al menos el 70% de las observacionesestá bajo ese valor.
C. al menos el 30% de las observacionesestá sobre ese valor.
D. A y BE. B y C
Unidad
6
Verifica en el solucionario del Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.
UNIDAD 6 (224-263)C _Maquetación 1 08-10-12 18:27 Página 263
Página 14
1. a. f.
b. g.
c. h.
d. i.
e.
2. a. Para x = –1 o x = 1b. La función está definida para todo x.c. Para x � 1d. La función está definida para todo x.e. La función está definida para todo x.f. Para x = –1g. Para x = –1h. Para x = –5i. Para x < aj. Para x � b2
3. a. Creciente en: ]–�, –5[, decreciente en: ]–5, �[.b. Decreciente en: [–4, �[.
c. Decreciente en: ]–�, 10[, creciente en: ]10, �[.d. Decreciente en: ]–�, 3[, creciente en: ]3, �[.
4. a. f (x) = 21x – x2
b. Después de 11 unidades.c. El ingreso máximo es 110 y ocurre cuando se
producen diez u once productos.
Página 15
5.
Página 17
1. a. No es función. b. Es función. c. Es función.
2. a. f (1) = 1, f (2) = 1, f (3) = 2, f (4) = 3, f (5) = 5, f (6) = 8
b. Dom( f ) = IN
3. a. Dom( f ) = IR – {1}, rec( f ) = IR – {1}b. Dom( f ) = IR, rec( f ) = ]0, 1]c. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+
0
d. Dom( f ) = IR – ]–1, 1], rec( f ) = IR+0– {1}
Página 19
1. Solamente la función a tiene inversa.
2. a. f –1(x ) = x + d. p–1(x ) =
c. h–1(x ) = x – f. g–1(x ) = 25x2 + 5
a. Dom( f –1) = IR – {1}b. Rec( f –1) = IR – {3}
1
2
1 – x2
x253
103
264 | Matemática 4º Medio
Solucionario
f (x) < 0 f (x) = 0 f (x) > 0
]–�, 0[ � ]3, �[ Nunca ]0, 3[
] , [1010 – y 10 10 ]–�,– [� ] ,�[10 10
Nunca 5 ]–�, 5[ � ]5, �[
]–�, –0,5[ � ]0,5, �[ –0,5 y 0,5 ]–0,5, 0,5[
Nunca –7 ]–7, �[
Nunca 11 ]–�, 11[
Función potencia y logarítmica1
b. g–1(x ) = (x – 3)2 + 4 e. q–1(x ) = – 47
x7
3. f –1(x ) = 3x – 1x – 1
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 264
Página 22
1.
a. Ambas son parábolas que se abren hacia arribay tienen el vértice en el origen. Se diferencianen que f (x) se abre más que g(x).
b. Ambas son parábolas que se abren hacia arribay tienen la misma abertura. Se diferencian enque una está trasladada con respecto a la otra.
c. Pregunta abierta.
2.
a. La forma de la gráfica es similar, pero una escreciente y la otra es decreciente.
b. Ambas son decrecientes, pero una estátrasladada con respecto a la otra.
c. Pregunta abierta.
Página 25
1. a. d.
b. e.
c. f.
2. a. c.
b. d.
3. Pregunta abierta.
4. a. Por ejemplo, f1(x) = –3(x – 2)3 y f
2(x) = –3x3 + 1
b. Por ejemplo, g1(x) = 5(x + 3)4 y g
2(x) = 5x4 – 2
c. Por ejemplo, h1(x) = –5(x – 4)5 y h
2(x) = –5x4 + 2
Página 27
1. a. Dom( f ) = IR, rec( f ) = [2, �[b. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IRc. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+
0
2. a. p–1(x ) =
c. r –1(x ) =
3. a. Falso, solo sucede si a > 0.b. Falso, solo si n es impar.c. Falso, solo si n es par y a > 0.d. Verdadero.
4. D
3 – 4xx + 1
7x + 55
Solu
cion
ario
Solucionario | 265
Sol
uci
onar
io
b. q–1(x ) = x2 – 16x2
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 265
266 | Matemática 4º Medio
Solucionario
Página 31
1. a. f. 0 k.
b. 7 g. 4 l. –1
c. 4 h. –2 m.
e. 9 j. 2 o.
2. a. x = 64 c. x = 0,027
b. x = d. x = 15 625 000
Página 33
1. a. 6 e. 1 i. 3
c. 2 g. k. –7
d. 0 h. 0 l. –2
2. a. log25 � 2,32 c. log
79 � 1,13
b. log67 � 1,09 d. log
611 � 1,34
3. a. 9 c. 14 e. –1b. 3 d. 1,5 f. 22
Página 35
1. a. 3A + 3B + 2C c. (A + B)
b. A + 2B + C d. –A – B – C
2. a. logm e. logb 72
c. logp g. logb
3. a. logb (x – 11) + logb (x + 2)
b. (logb 4 + 6 logb x + 2 logb (5x – 2))
c. 2 logb (x + y) + 2 logb (x2 – xy + y2)
d. 2 logp a + 4 logp b + 5 logp c – 2 logp d
Página 37
1. a. Indicación: aplica logb a ambos lados de la igualdad.
b. Indicación: primero aplica la propiedad del logaritmo de un cociente.
2. a. Verdadero c. Verdaderob. Falso d. Falso
3. Indicación: aplica la propiedad de cambio de basepara cada uno de los logaritmos de la igualdad.
Página 39
1. a. 7 b. 9 c. 5 d.
2. a. 3 b. 10 c. 1 d. 0
3. a. 2 logb p + 3 logb q + logb r – 4 logb s
4. a. loga c. logb
b. logb (x + 3)(x – 3)3 d. logb 3
4510
5. a. Falso. b. Verdadero.
6. C, pues el 1 no puede ser base de un logaritmo.
Página 43
1. a. 2 c. –3 e. 20b. 4 d. –6 f. 22
2. a. Se traslada 4 unidades hacia arriba.b. Se traslada 5 unidades hacia la derecha.c. Se traslada 1 unidad hacia la izquierda y se
refleja respecto del eje X.
3. a.
Dom( f ) = IR+, dom( f1) = IR+, ambas funciones
intersecan al eje X en el punto (1, 0) y uno de los gráficos es la reflexión respecto al eje X del otro gráfico.
8 3
x + 2y – z(x – y + 4z)3
5db3c3
1 2
11 3
aecd
acb2d3
x + y + z(x – y – z)4
3 2
7 4
16 9
4 3
2 3
3 4
5 2
d. 3 i. 5 n. 2 5
b. f. 7 j. 25 3
b. logb (x4 – 1) f. logb
ca6
d. logp h. logbx + 3(x – 2)4
acb
b. (logb (p + q) + logb (p – q))1 3
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 266
Solucionario | 267
b.
Dom(m) = ]4, �[, dom(m1) = ]4, �[, ambas
funciones intersecan al eje X en el punto (5,0),uno de los gráficos es la reflexión respecto al eje Xdel otro gráfico.
Página 48
1. a. 7 c. 5 e. 10 000 g. 2
b. d. 6 f. 10 h.
Página 49
2. a. No tiene solución. d. x =
b. x = 1 e. x = 4
c. x = f. x = 3
3. a. Ninguna se cumple.b. Se cumple solo para x = 5.c. Ninguna se cumple.d. Ninguna se cumple.e. Se cumple solo para x = 100.
4. a. x = 2000 g. x =
d. x = –10 � j. x = 4
e. x = 11 k. x = 10
f. x = 5 l. x = 100, x =
Página 50
1. a. 3,16 · 10–3 d. 3,16 · 10–7
b. 1,26 · 10–3 e. 1 · 10–10
c. 1 · 10–3
2. a. 3,98 · 10 –3
Página 51
3. Desde 1,58 · 10–4 a 1,58 · 10–3 aproximadamente.
4. a. 1,12 · 1026 ergios.b. 355 veces más fuerte.c. Pregunta abierta.
5. a. Aumenta en 3 dB.b. Pregunta abierta.c. 150 dBd. No, corresponde a 153 dB.
6.
Página 53
1. a. 7 unidades hacia abajo.b. 2 unidades hacia la izquierda.c. Una unidad hacia la derecha y reflexión con
respecto al eje X.d. No hay traslación, solamente hay cambio en la
forma de la gráfica.
2. a. x = 42 c. x = –
b. x = 9 d. x = 6
3. 6,31 · 10–3 W/m2 aproximadamente.
4. E
Página 55
1. a. 199 m c. 1002 mb. 20 m d. 7,92 m
1 6
197
1010
11 26512
� �+
11 3
1 52
� �+
19 5
1 6
Solu
cion
ario
Fuente Intensidad Decibeles
10–10 20
10–5 70
10–3,5 85
100 120
10 130
104 160
10–1,9 101
c. x = i. x = 6165
b. x = h. x = 3, x = 1,54 7
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 267
268 | Matemática 4º Medio
Solucionario
3. a. 0,5 km aproximadamente. 0,005 km aproximadamente.14,68 aproximadamente.
b. 41,86 %Dentro de 7,7 meses aproximadamenteDentro de 28,8 meses aproximadamente.
Página 59
I. 1. Falso 7. Falso2. Verdadero 8. Falso3. Falso 9. Falso4. Verdadero 10. Falso5. Falso 11. Falso6. Verdadero
II. 1. a. log d. logb (a3 + 1)
c. log f. logb
2. a. Dom( f ) = ]1, �[ c. Dom( f ) = �b. Dom( f ) = ]–�, 102[ � ] 103, �[d. Dom( f ) = ]–10, 10[
3. x1· x
2= 9
4. x = 2
Página 60
III. 1. C 3. A 5. C 7. A2. B 4. A 6. B
Página 61
8. A 10. E 12. B 14. E9. C 11. E 13. C
Página 64
1. a. Dom f = IR – {–1, 1}, rec f = IR –]–2, 0[
b. Dom g = IR – {–2, 2}, rec g = IRc. Dom h = IR–, rec h = IR–
d. Dom i = ]–�, –4] � [4, �[, rec i = [4, �[
b. f (x) = x2 –1, dom f = IR; rec f = ]–�, –1]
c. f (x) = | x |, dom f = IR; rec f = [0, �[
d. f (x) = + , dom f = ]–3, �[; rec f = [ , �[3. a. c.
b. d.
Página 65
4. a. x = d. x = 12 o x = –7
b. x = –1 e. x = –3c. x = 3 f. x = –4 �
Página 68
1. a. Creciente d. Crecienteb. Decreciente e. Crecientec. Decreciente f. Creciente
2. a. f (x) = 6x d. f (x) = 7x g. f (x) =
c. f (x) = 8x f. f (x) = 5x i. f (x) = 2x
1 2
12
x
10
3 2
1 2
x � �+ 3
a + 2a2
abab10
13 13
1013
b. 1 e. logba2 – ab + b2
a + b
Función exponencial2
2. a. f (x) = x + 1, dom f = IR; rec f = IR1 2
b. f (x) = e. f (x) = 2x h. f (x) = (0,4)x15
x
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 268
Solucionario | 269
3.
a. f (x1) � 1,7, g (x
1) � 0,86
b. f (x2) � 2,4, g (x
2) � 0,79
c. f (x3) � 0,1, g (x
3) � 2
4. a. Correcta b. Correcta
5. a.
Dom f = IR, rec f = IR+, creciente, (0, 1).
b.
Dom f = IR, rec f = IR+, decreciente, (0, 1).
c.
Dom f = IR, rec f = [1, �[, decreciente en: ]–�, 0[, creciente en: ]0, �[, (0, 1).
d.
Dom f = IR, rec f = IR+, creciente, (0, 2).
e.
Dom f = IR, rec f = [–9, �[, creciente, (0, 0).
f.
Dom f = IR, rec f = IR, creciente, (0, 0).
6.
a. Esta función también tiene la incógnita en el exponente pero su gráfica es diferente a la delas demás funciones exponenciales. No es unafunción creciente ni decreciente.
b. Es una función constante.
Página 69
7.
a. Para ambas funciones: Dom = IR, rec = IR+
b. f es creciente y g es decreciente.c. Ambas gráficas son simétricas entre sí.
Solu
cion
ario
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 269
270 | Matemática 4º Medio
Solucionario
Página 73
1. a. y –1 = log2x e. y –1 = 6x
b. y –1 = log3x f. y –1 = 9x
c. y –1 = log x g. y –1 =
2. y –1 = log4x
3. a.
b. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+, intersección eje Y: (0, 1), no interseca con eje X, creciente. Dom( g ) = IR+, rec( g ) = IR, no interseca con ejeY, intersección eje X: (1, 0), creciente.
c. Las gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Luego, las funciones son inversas.
Página 75
1. a. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+, eje Y: (0, e), no interseca al eje X, creciente.
b. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR–, eje Y: (0, –e), no interseca al eje X, decreciente.
c. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+, eje Y: (0, 1), no interseca al eje X, creciente.
d. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+, eje Y: (0, 1), no interseca al eje X, decreciente.
2. a. ex ln a = eln(ax), y como eln y = y, se cumple que ex ln a = ax.
b. Aplicando la propiedad de cambio de base, con base e, y porque loge x = ln x.
3.
a. Para f (x ): eje X: (1, 0), no interseca al eje Y.Para g (x ): eje Y: (0, 1), no interseca al eje X.
b. Para f (x ): dom f = IR+, rec f = IR. Para g(x ): dom f = IR, rec f = IR+.
c. Las funciones son simétricas con respecto a larecta y = x.
Página 77
1. a. Dom f = IR, rec f = IR+, eje Y: (0, 1).b. Dom f = IR, rec f = IR+, eje Y: (0, 1).c. Dom f = IR, rec f = IR+, eje Y: (0, 1).
2. a. y –1 = log5x c. y –1 = ex
b. y –1 = 8x
4. a. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+, creciente.b. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+, decreciente.c. Dom( f ) = IR, rec( f ) = IR+, decreciente.
5. E
Página 79
1. a. x = – c. x = –
b. No tiene solución en los reales.
3 10
1 4
3 4
1 2
25
x
5 4
d. y –1 = log x h. y –1 = 34
x
157
3. a. f (x ) = 9x b. f (x ) = e3x c. f (x ) = e–x3
2. a. x = 16,68 f. x =
b. x = 2,15 g. x = 0,70
c. x = 12,09 h. x = 0,79
d. x = 0,28 i. x = o x = –
e. x = 2,22
1 2
5 2
3 log b + 4 log a2 log b – 3 log a
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 270
Solucionario | 271
Página 81
1. a. x = ln (0,5) d. x = 0 o x =
b. x = ln (5) e. x = 0
c. x = 0 o x = –3 f. x = ln (2)
2. a. Aproximadamente 16 horas.b. Cada 8 horas aproximadamente.
Página 83
1. a. 1,5% anual. c. 73,24 años. b. 16 912 453 peces.
2. 2709 mosquitos; 223 524 mosquitos; 499 972 mosquitos.
3. a. 750 alumnos. c. A 1500 alumnos.b. 1343 alumnos.
Página 85
1. a. x (P) = ln
b. Dom P: IR+0. No se consideran los reales nega-
tivos en el dominio de la función pues no tiene sentido hablar de años negativos. Rec P: ]0, 500]
c. Aproximadamente 445,683 mg.d. En 54 040 años aproximadamente.e. En 6027 años.
2. a. P(t ) = 300e–0,004951t, con t medido en días y P(t ) medido en mg.
b. Aproximadamente 8,081 mg.c. 140 días.
3. a. 10 mg. c. 25 días. b. Después de 58 días.
Página 87
1. 9,54 % aproximadamente.
2. a. $ 83 855 b. Después de 10 años.
3. a. 17 716 848 personas. c. En el 2032.b. En 44 años.
5. a. 600 bacterias.b. 73% aproximadamente.c. 3124 bacterias.d. Después de 5,85 horas aproximadamente.
6. Después de 34 749 años aproximadamente.
7. a. 100 personas. c. 18 días.b. 1777 personas.
Página 89
1. a. x = 8,42 aproximadamente.b. x = –0,13 aproximadamente.
c. x =
e. x = –2,26 aproximadamente.
f. x = – 1 o x = 1,67 aproximadamente.
2. 6,84 años aproximadamente.
3. a. 6962 metros. b. 396 milibares.
4. B
Página 91
1. a. 57 ºC b. 4,4 minutos. c. 26,5 minutos.
3. a. 58 infectados. 6 infectados. 3 días.b. $ 3 025 714. Después de 9,76 años. 5,776 %.
Página 95
I. 1. Falso 4. Falso 7. Verdadero2. Falso 5. Falso3. Falso 6. Falso
log c – log a
3 log a – log c
4 3
P500
–1 0,000115
Solu
cion
ario
4. P(t ) = 55 000 000 · , con t medido
en años. En 40 años más la población será de
136 177 974 personas.
112
1005� � �+
t
1 31 3
d. x = 0,25 log p + log q0,75 log q – 2 log p
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 271
272 | Matemática 4º Medio
Solucionario
II. 1. a. f ( t ) = 75 · 1,16t
b. 101 y 158 individuos, respectivamente.c. 15,9 años aproximadamente.
2. k =
3. a. 1,678 g aproximadamente.b. Después de 3 minutos.
4. a. $ 6358 dólares b. 6 años.
Página 96
III. 1. C 3. A 5. B 7. B2. D 4. D 6. A 8. B
Página 97
9. C 12. D 15. B10. C 13. B11. E 14. B
Página 100
1. a. I o III b. IV c. (–4,3)
2. Se verifica comprobando que AB = CD y BC = AD,y además que las pendientes de los lados opuestoscoinciden.
3. Por ejemplo, A = (1, 1), B = (1, –1), C = (–1, –1), D = (–1, 1).
4. a. c.
b. d.
5. a. Contraejemplo: 2 es impar, 3 es impar, su producto es 6, y 6 es par.
b. Contraejemplo: 3 es un numero natural, sucuadrado es 9, y 9 es impar.
c. Contraejemplo: y ambas son fracciones,
Página 101
6. a. (14, –14) c. Infinitas soluciones.b. No tiene solución.
Página 103
1. a. Iguales. c. Distintos.b. Dos son opuestos y uno distinto.
2. a. Por ejemplo, ACÆ
y FDÆ
. b. Por ejemplo, AE
Æy ECÆ
. c. Por ejemplo, FC
Æy EDÆ
.
3. a. ABÆ
y AEÆ
, ACÆ
y ADÆ
.b. ABÆ
y AFÆ
.
Página 105
1. a. y 0, respectivamente.
b. Pregunta abierta.
Página 107
1. a. 5 c. 15 e. 1
b. d. f. 4
2. vÆ= �4, 4 �, | v
Æ| = 4
3. a. �8, –1� c. �0, –13� e. �6, 9�
b. �–5, –1� d. �–2, –3� f. �7, 4�
4. a. 17,69 b. �–13, 12�
Página 109
1. a. (4, –2); (3, 0); (0, –2); (3, –3)
313
2
193
5 2
3 2
1 128
Vectores3
su producto es , y > 1.15 4
15 4
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 272
Solucionario | 273
2. TÆ= �1, –2�, T
Æ–1 = �–1, 2�
3. a. TÆ�–2, –3� c. T
�6, 7�
b. TÆ�3, –4� d. T
�0, 4�
Página 111
1. a. d.
b. e.
c.
2. a. �0, –12� c. �14, –3�
b. �–14, 31� d. �17, –16�
3. a. Es un vector ponderado, aumentando su magnitud.
b. Es el mismo vector.c. Es un vector ponderado, disminuyendo su
magnitud.d. Es el vector 0.e. Cambia el sentido del vector.f. Es un vector ponderado, aumentando su
magnitud, pero con sentido opuesto.
Página 114
1. a. A’(–3, 3); B’(–6, 6); C’(–10, –1); D’(–4, –3)b. A’(4,5, –4,5); B’(9, –9); C’(15, 1,5); D’(6, 4,5)
2. a. b
Página 117
1. a. FCÆ
b. FBÆ
c. ACÆ
d. AFÆ
2. a. �11, –16 � b. �–2, –3 � c. �13, 0� d. 13
3. a. A’(1, 3); B’(4, 3); C’(4, 6)b. A’’(–8, –4); B’’(–14, –4); C’’(–14, –10)
4. B
Página 119
1. a. 30,3 b. 0 c. 0,42 d. –30
2. a. || a || = 3,6, || b || = 5,09, | a · b | = 17. b. || a || = 8,06, || b || = 3,16, | a · b | = 21.c. || a || = 2, || b || = 8,2, | a · b | = 16.d. || a || = 0,83, || b || = 3,6, | a · b | = 1.e. Los vectores deben ser paralelos.
3. a. a · b aumenta proporcional al aumento de a.b. a · b aumenta proporcional al aumento de a y b.c. El producto punto es siempre 0.d. a · b es igual al producto entre || a || y || b ||.
Página 122
1. �x, y � = �4 + 8l, –2 – 8l�
2. �x, y � = �1 + 3l, 1 + 3l�
3. Punto medio = (–1, 1).
4. Por ejemplo, (5, 10), (9, 18), (13, 26).
5. E
6. Por ejemplo, �x, y � = �3, 4� + l�1, –4 �.
Página 125
1. 2x – y = 0
2. 3x + 2y – 11 = 0
3. Por ejemplo, �x, y � = �–3, 2� + l�1, 3�.
4. Solo el punto (0, 11) pertenece a la recta.
5. a. Por ejemplo, �x, y � = �1, 3� + l�3, 4�.b. Por ejemplo, �x, y � = �2, 1� + l�5, 2�.
6. Son paralelas, ya que tienen la misma pendiente.
Solu
cion
ario
A� B�
B�
C� D�
A B
CD
C �D�
A
C D
E
B
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 273
274 | Matemática 4º Medio
Solucionario
7. a. Por ejemplo, �x, y � = �2, 1� + l�1, 2�. b. Por ejemplo, �x, y � = �2, 1� + l�2, –1�.
8. a. Por ejemplo, �x, y � = �2, –1� + l�1, 1�. b. Por ejemplo, �x, y � = �2, –1� + l�3, 2�.
Página 129
1. a. 6i^ + 3j^, b = 2i^– 2j^, c = –2i^– 3j^, d = –i^+ 4j^
2. a. – i^ + 2j^+ 3k^ c. –4i^+ 2k^
b. –3i – j^ d. 5j^– 6k^
3. a. EAÆ
b. GCÆ
c. EHÆ
d. ABÆ
4. a. �10, 5, –5� d. �0, 0, 0�
b. �2, 2, –10� e. �–6, –39, 48�
c. �–20, 2, –6 � f. �48, 0, 48�
5. Pregunta abierta.
Página 131
1. a. 8 b. –2 c. –19
2. a. 6 b. –
3. a. Por ejemplo, �x, y � = �2, 1� + l�–2, 6�
y (–2, 13); (–4, 19); (–6, 25).b. Por ejemplo, �x, y � = �–1, 4� + l�3, 8 � y (5, 20);
(8, 28); (11, 36).c. Por ejemplo, �x, y � = �0, 5� + l�4, –7� y (8, –9);
(12, –16); (16, –23).
4. a. Por ejemplo, �x, y � = �1, –2� + l�2, 4�. b. Por ejemplo, �x, y � = �–1, 1� + l�4, 3�.
5. C
Página 133
1. �x, y, z� = �12, –5, 7� + l�–12, 11, –10�
2. a. No son colineales.b. No son colineales.c. Son colineales �x, y, z� = l�0, 1, 2�.d. No son colineales.
Página 135
1. Pregunta abierta.
2. a. F c. V e. Vb. F d. F f. V
3. Pregunta abierta.
Página 139
1. P: �x, y, z� = �2, –2, 1� + l�1, 0, –1� + m�–2, 3, –2�
2. Vectores directores (2, 2, 0) y (0, 0, 1), el punto (0, 0, 0) pertenece al plano.
3. P1: x = 0, P
2: y = 0, P
3: z = 0, P
4: x = 5, P
5:
y = 5, P6: z = 5.
P1: �x, y, z� = �0, 0, 0� + l�0, 1, 0� + m�0, 0, 1�
P2: �x, y, z� = �0, 0, 0� + l�1, 0, 0� + m�0, 0, 1�
P3: �x, y, z� = �0, 0, 0� + l�1, 0, 0� + m�0, 1, 0�
P4: �x, y, z� = �5, 0, 0� + l�0, 1, 0� + m�0, 0, 1�
P5: �x, y, z� = �0, 5, 0� + l�1, 0, 0� + m�0, 0, 1�
P3: �x, y, z� = �0, 0, 5� + l�1, 0, 0� + m�0, 1, 0�
l1: �x, y, z� = �0, 0, 0� + l�1, 0, 0�
l2: �x, y, z� = �0, 0, 0� + l�0, 1, 0�
l3: �x, y, z� = �0, 0, 0� + l�0, 0, 1�
l4: �x, y, z� = �5, 0, 0� + l�0, 1, 0�
l5: �x, y, z�= �5, 0, 0� + l�0, 0, 1�
l6: �x, y, z� = �0, 5, 0� + l�1, 0, 0�
l7: �x, y, z� = �0, 5, 0� + l�0, 0, 1�
l8: �x, y, z� = �0, 0, 5� + l�1, 0, 0�
l9: �x, y, z� = �0, 0, 5� + l�0, 1, 0�
l10: �x, y, z� = �5, 5, 5� + l�1, 0, 0�
l11: �x, y, z� = �5, 5, 5� + l�0, 1, 0�
l12: �x, y, z� = �5, 5, 5� + l�0, 0, 1�
4. No.
5. 6.
y – 3z = 0.
7. Pregunta abierta.
Página 141
1. Pregunta abierta.2. Pregunta abierta.
2 3
1 3
Z Z
YYX X
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 274
Solucionario | 275
Página 147
1. a. No son colineales.b. Son colineales. Por ejemplo,
�x, y, z� = �–1, –1, –1� + l�0, 1, 2�.c. No son colineales.d. Son colineales. Por ejemplo,
�x, y, z� = �1, 2, 1� + l�3, 3, 3�.
2. Es paralelo al eje Y.
3. 9x + y – 23z = –34
4. a. Planos secantes: Por ejemplo, L1:
�x, y, z� = �0, 4, 8� + l�2, –3, –5�.b. Planos secantes: Por ejemplo, L
2:
�x, y, z� = �0, – , � + l�–30, 15, –15�.
c. Planos secantes: Por ejemplo, L3:
�x, y, z� = �0, – , – � + l�1, –1, –1�.
d. Planos secantes: Por ejemplo, L4:
�x, y, z� = �0, 1, 0� + l�–1, 0, 1�.
5. C
Página 149
1. a. C = (9, 8)Por ejemplo, L
1: �x, y� = �2, 1� + l�7, 7�,
L2: �x, y� = �6, 4� + l�–1, 1�.
El punto de intersección es ,
Son perpendiculares, ya que �7, 7� · �–1, 1� = 0.Calculando las distancias, d(A, B) = d(B, C) =d(C, D) = d(D, A) = 5. Por lo tanto, es un rombo.
3. a. No son colineales.No son colineales.Sí son colineales. Por ejemplo,L: �x, y, z� = �0, 2, 1� + l�0, –4, –2�.Sí son colineales. Por ejemplo, L: �x, y, z� = �1, 2, 3� + l�1, 1, 1�.
b. AB = �9, 6� es paralelo a CD = �–3, –2�: En cambio, BC = �–3, 1� y DA = �–3, –5�
no son paralelos. Luego, es un trapecio.c. AB = �5, 3� CD = �2, –2�. Como AB · CD = 4� 0,
las rectas no son perpendiculares.
d. Por ejemplo, L: �x, y, z� = �3, 0, –4� + l�1, 3, –2�.e. Distancia: , desplazamiento: �–7, –5, –3�.
Página 153
Evaluación
I. 1. Falso 5. Falso2. Falso 6. Falso3. Verdadero 7. Verdadero4. Verdadero 8. Verdadero
II. 1. Son secantes.2.
3. a. ABÆ
= �–5, 2�, | ABÆ
| =
c. ABÆ
= �–3, 1�, | ABÆ
| =
4. a. Perpendicular al plano del pizarrón.b. Hacia fuera.c. 60d. 60 unidades cuadradas.
5. a. x = 6 c. No tiene solución.b. x = 0
Página 154
1. D 3. C 5. A2. A 4. D 6. E
Página 155
7. E 10. C 13. D8. C 11. B9. C 12. E
10
29
85
9 2
11 2
12 10
1 10
19 14
15 14
Solu
cion
ario
b. ABÆ
= �–5, –5�, | ABÆ
| = 5 2
d. ABÆ
= �–3, 1�, | ABÆ
| = 10
CD
B� A�
C� D�
A B
B�
D� CD
A�A B
D�C�
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 275
276 | Matemática 4º Medio
Solucionario
Página 158
1. a. 451 cm e. 0,00000079 m2
b. 360 000 m f. 50 m2
c. 93,5 dm2 g. 0,000005606 m3
d. 840 000 cm2 h. 4 000 900 m3
2. a. Perímetro: 5 cm, área: 1,725 cm2.b. Perímetro: 12 cm, área: 10,38 cm2.c. Perímetro: 16 cm, área: 19,28 cm2.d. Perímetro: 40 cm, área: 123,2 cm2. e. Perímetro: 72 cm, área: 403,2 cm2.
3. a. 52 987,5 dm2 c. 102 600 cm2
b. 2,17 m2
4. 16 cm2
5. 36p m2
6. L = r
7. 128 cm2
Página 159
8. 39,19 cm2
9. 1 : 2
Página 161
1. El volumen aumenta ocho veces, su área aumentacuatro veces.
2. V1: V
2= 1 : 4
3. Indicación: El plano divide la base del prisma endos triángulos congruentes, y se conserva la alturadel paralelepípedo.
4. k3.
Página 163
1. a. b.
2. a. c.
b. d.
Página 165
1. 646,3 cm2
2. 812,14 cm2
3. 8,426 cm.
4. 13,76 m2
5. Arista de la base: 5 cm, altura 10 cm.
6. a. 141,5 cm2 c. 547,06 cm2.b. 192 cm2 d. 157,85 cm2.
7. 240 m2
8. 40,87 cm2
9. 0,8 litros.
Página 166
1. a. Un cubo. c. 96 unidades cuadradas.b. 64 unidades cúbicas.
Página 169
1. 1728 cm3
2. 259,8 cm3
3. 93,53 cm3, 36 cm3
4. 1536 m3
5. 4 m
2
4 Áreas y volúmenes
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 276
Solucionario | 277
Solu
cion
ario
6. 467,14 cm2
7. 28,3 cm2
8. Mayor área: Poniendo todos los cubitos ordenadosuno al lado del otro (1 x 1 x 64), menor área: formando el cubo de arista 4 cm.
9. 117 unidades cúbicas.
10. No, se debe conocer la altura.
Página 171
1. a. 42 cm3, 14 cm3
b. 288 cm3, 96 cm3
2. a. V: 1568 cm3, A: 896 cm2
b. V: 103,25 cm3, A: 159,2 cm2
c. V: 32,2 cm3, A: 98,9 cm2
Página 173
1. V: 1920 cm3, A: 1014,12 cm2
2. 400 cm3
3. 6,928 cm
4. a. b.
5. D
Página 175
1. a. b.
2. a. b.
3. Cilindros, esferas, conos.
Página 177
1. 350p cm2 de aluminio.
2. (r + g) : (4r + 2g)
3. a. 4 cm. b. 2 cm.
Página 178
1. a. 8 cm b. 160p cm3
2. Se duplica el volumen.
3. Se cuadriplica el volumen.
Página 181
1. 525p cm2
2. 56 viajes.
3. a. 12 cm b. 892p cm3
Página 183
1. V: 288p cm3, A: 144p cm2
2. Sí, solo cuando el radio sea igual a la altura delcilindro y del cono.
3. V: 36p cm3, A: 36p cm2
Página 185
1.
2. Radio: 6 cm, Volumen: 4523,9 cm3
3. La esfera tiene mayor volumen.
4. a. 20 cm b. 28 cm c. 31,04 cm
5. 282,7 cm2
6. E
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 277
278 | Matemática 4º Medio
Solucionario
Página 187
1. 826,6 cm3
3. a. 2211,85 cm3
b. 1224,31 cm2
c. A: 66p cm2, V: 72p cm3
d. 1054,5 cm3, 0,0015045 m3, 1202,4 m2
e. 10,9 m3
Página 191
I. 1. F, es la proyección de frente.
2. F, es el triple.
3. V
4. F, deben tener la misma altura y además tenerigual área en sus secciones planas realizadas auna misma altura.
5. V
6. F, considera todas las caras de la figura geométrica.
II. 1. a.
b. 144p cm3.c. Sería mayor el sólido anterior, ya que el
volumen del otro es 96p cm3.d. Un lado debe ser el doble del otro.
2. a. 32p cm2
b. 104p cm2
c. 208p cm3
3. 49,23 veces.
4. a. El volumen es menor que el anterior.b. No, ya que el envase final contiene
menos jugo.
5. 125 cajas.
Página 192
1. E 3. B 5. D2. B 4. C 6. E
Pagina 193
7. E 10. A 13.E8. E 11. D9. C 12. B
Página 196
1. a. b. c. 1
2.
3. a. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9b. –2, –1, 0, 1, 2c. Conjunto vacío.d. –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
4. a. Por ejemplo, ]–1, 1[. c. Por ejemplo, ]–25, –1].b. Por ejemplo, [5, �[. d. Por ejemplo, ]–4, 0].
Página 197
5.
7 8
4 5
6
4
Estadística I5
Porcentaje (%) Fracción Fracción irreducible Expresión decimal
7575100
34
0,75
6262100
3150
0,62
22100
150
0,02
33,333,3100
13
0,3333…
9090100
910
0,9
Frecuencia acumulada
3 890 126
6 371 641
9 999 556
12 035 980
13 898 859
15 116 435
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 278
Solucionario | 279
Solu
cion
ario
6. a. 4,57 c. 63,35 e. 234,12b. 8,78 d. 0,99 f. 1,00
Página 199
1. Pregunta abierta.
2. Pregunta abierta.
3. Pregunta abierta.
4. Pregunta abierta.
Página 201
1. a. Población. c. Variable cuantitativa.b. Muestra. d. Variable cualitativa.
2. a. Representativa.b. Representativa.c. No es representativa.
Página 203
1. Si se consideran cinco intervalos, la tabla es:
Página 206
1. a. Pregunta abierta.b. Familia extensa: Está integrada por una pareja
con o sin hijos, y por otros miembros como sus parientes consanguíneos, ascendentes, descendentes, y/o colaterales, recoge variasgeneraciones.Familia compuesta: Cuando a la familia nuclear o extensa se integran otros parientes que nopertenecen al mismo tronco de descendencia
generacional. Se pueden considerar otros casosaunque no existan vínculos consanguíneos yparentesco entre ellos.
c. Hay más familias con hijos. d. Aproximadamente, la cuarta parte de las
familias chilenas son monoparentales.e. Pregunta abierta.
2. a. Medalla de plata Fernando González.b. Tenis.c. Pregunta abierta.
Página 207
3. a. Año 1950: 900 000, año 2000: 2 000 000, año 2025: 2 100 000.b. En el año 2000.c. Pregunta abierta.
4. a. Al riego, principalmente, y también a más duchas por efectos del calor.
b. Pregunta abierta.c. Pregunta abierta.d. Pregunta abierta.
Página 210
1. 5,8
2. No necesariamente tuvieron las mismas notas.
3. 2,007 pulgadas.
4. a.
b. En Lenguaje y Comunicación, ya que todas lasmedidas de tendencia central son más altas quelos demás sectores.
c. En los tres sectores, Región de Atacama.d. Región Metropolitana y Región de Magallanes y
Antártica Chilena.
Intervalo F. absoluta F. relativa
[452, 542[ 5540
[542, 632[ 5540
[632, 722[ 111140
[722, 812[ 121240
[812, 902[ 7740 Lenguaje y
ComunicaciónEducaciónMatemática
Comprensión del Medio
Social y Cultural
Media aritmética
259,5 244,5 246,9
Moda 260 245 248Mediana 260 245 248
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 279
280 | Matemática 4º Medio
Solucionario
Página 211
5. Media aritmética: 1,65 cm; moda: 1,67 cm; mediana: 1,67 cm.
6. a. Media aritmética: 214,96 mg/dl,moda: 225 mg/dl; mediana: 217,5 mg/dl
b. 23 pacientes.c. La mayoría de los pacientes está en el intervalo
220-229.
Página 215
1. a. Muestra. c. Población.b. Muestra. d. Muestra.
2. a.
b.
3. C
Página 217
1. • En 2003-2004 existe una mayor mortandad de adultos de 75 años o más que en el período del1974-1975, mientras que en este último inter-valo hay un mayor porcentaje de muertes de niños menores de 1 año.
• Pregunta abierta.
•
3. a. MonoparentalesPregunta abierta.Pregunta abierta.
Página 221
I. 1. F, existe más de una muestra representativa.
2. F, nunca.
3. F, los incas sí desarrollaron elementos relacionados con la Estadística.
4. F, es útil el gráfico circular.
5. V
6. F, no necesariamente.
7. V
II. 1. Pregunta abierta.
Página 222
III. 1. D 4. C2. E 5. E3. D
Edad 9 10 11 12 13 14 15 16 17
Frecuencia 2 1 2 2 4 4 5 4 1
Días [15, 20[ [20, 25[ [25, 30[ [30, 35[ [35, 40[ [40, 45[
Frecuencia 3 5 5 7 3 2
Edades Días
Media aritmética 13,5 28,6
Moda 15 24 y 31
Mediana 14 29
1974-1975
Menores de 1 año1-45-1415-2425-4445-5960-7475 años o más
Menores de 1 año1-45-1415-2425-4445-5960-7475 años o más
2003-2004
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 280
Solucionario | 281
Página 223
III. 6. C 9. B7. B 10. A8. D 11. D
Página 226
1. a. 45,7 d. 2620,86b. 99,5 e. 55 800c. 1233,54 f. 56 596,2
2. a. 33% c. 75% e. 1%b. 40% d. 6%
3.
4. a. 1,68. b. 1,73.
5. a. F, la mediana es 44. c. Vb. F, la moda es 45.
Página 231
1. a. Primer semestre: 3,8; segundo semestre: 3,8. El primer semestre.
b. Primer semestre: 1,10; segundo semestre: 0,764.c. Pregunta abierta.
2. a. Primer semestre: 0,91; segundo semestre: 0,761.b. Pregunta abierta.
Página 233
1. a. Positiva d. Positivab. Positiva e. Negativac. Negativa
2. Verdadero
3. Depende del rango de edad que se considere. En los niños y niñas, la correlación entre edad y masaes más alta que en la población de adultos mayores.
Página 235
1. 2 2 5 7 7 83 2 3 4 5 7 7 94 0 0 0 1 2 3 3 3 5 5 6 8 8 95 0 0 1 3 3 3 5 7 7 86 0 2 87 0
a. 44 b. 48 c. Muy dispersa.
2. a. 4º A1 92 8 8 9 93 1 2 3 5 6 6 8 8 9 94 1 1 1 2 2 3 3 4 5 5 6 6 95 0 84º B1 3 6 72 6 8 8 9 93 2 5 6 94 1 1 2 3 3 4 8 95 1 2 3 3 4 4 5 6
b. El 4º Año Medio A.
3. a. Natalidad1 5 5 6 7 8 92 0 0 1 1 4 7Mortalidad0 91 4 6 92 0 0 1 2 2 8 95 7
b. Pregunta abierta.c. A problemas relacionados con la sobrepoblación,
o bien, con el envejecimiento de la población.
Página 238
1. [17,82, 20,18], su amplitud es 2,36.
Solu
cion
ario
Estadística II6
Fonasa o Isapre
AFPSueldo líquido
Daniel 11 567 21 482 132 200
Carolina 16 650 30 922 190 288
Andrea 17 635 32 750 201 540
Sebastián 22 260 41 341 254 403
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 281
282 | Matemática 4º Medio
Solucionario
2. 95%
Página 239
3. a. n = 9604 personas.b. El tamaño muestral aumenta, pues para lograr
una mayor confianza se debe tomar una mues-tra de mayor tamaño.
c. La amplitud es mayor.
4. 400 salmones.
Página 243
1. a. No es distribución normal.b. Sí es distribución normal.
2. a. 0,1587 b. 0,0228
3. a. 205 b. 220 c. 0,5
4. a. 50% c. 97,75%b. 84,15% d. 84,15%
Página 245
1. a. Media aritmética: 6,5; desviación estándar: 7. Los valores que distorsionan la media son 15, 16, 18, 22, 36.
b. 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 2 2 3 3 4 44 5 5 6 6 6 7 7 7 8 8 8 9 9 9 9
1 0 1 2 5 6 82 23 6
Se concentran entre los valores menores que 10.
2. a.
b. –0,45
3. 54%
4. E
Página 248
1. a. P30= 590
b. Q3= 661
c. Nos indica que el 30% y el 75% de los estudiantes obtuvo puntajes menores o iguales a 589,67 y 660,71, respectivamente.
d. 35%
Página 249
2. a. 61,2 d. 81,875b. 83,75 e. Pregunta abierta.c. 71,25
3. a. Media: 561; moda: 575; mediana: 562,5.b. Q
1= 502,5, Q
3= 625
c. Sobre $ 583.d. 36%
Página 252
1. a. Alojamiento, agua, electricidad, gas y otros combustibles.
b. Pregunta abierta.c. Pregunta abierta.
Página 253
2. a. La mayor cantidad de personas contraen matrimonio entre los 20 y los 30 años.
b. Es parecida a una distribución normal.
3. a.
1
0 1
2
3
4
5
2 3 4 5
20
40
60
80
100
120
140
Cantidad de desocupados por actividad. Julio, agosto y septiembre de 2009.
0
Agricultura,
caza, pesca
Mineras
y canteras
Industria
manufacturera
Electricid
ad,
gas y agua
Constru
cción
Transporte, almacenaje
y comunica
ciones
Comercio
Servicios
financie
ros
Servicios com
u-nales socia
les
Productos defectuosos
Antigüedad (años)
Desocupados (m
iles de personas)
Actividad
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 282
Solucionario | 283
b. Pregunta abierta.c. Pregunta abierta.
Página 255
1. a. Mediana: 116, Q1= 103,25, Q
3= 134.
2. a.
El dato mínimo es alrededor de 10 años, el máximo83. La mediana es en torno a 37 años y podemosver que la distancia entre el mínimo y el primercuartil es similar a la distancia entre el tercer cuartil y el máximo.
b.Se puede ver que el promedio de edad es más altoen los hombres, además de que hay hombres másviejos que mujeres.
3. C
Página 257
1. a. I. Media: 395,89; mediana: 408, Q1= 278
II. 366,4III. 552
3. a. I. 13,3%II. 18%
Página 261
I. 1. V
2. F
3. F, el 50% de las observaciones se encuentran bajo él.
4. V
5. V
II. 1. Categoría D: entre 960 y 997,5; categoría C: entre 997,5 y 1020; categoría B: entre 1020 y 1045; categoría A: mayores que 1045.
2. a. [2,85; 3,15]b. [2,9; 3,09]c. El fabricante esta equivocado ya que, según
el estudio, el verdadero promedio es de 3 mg.
Página 262
III. 1. E 4. E2. E 5. A3. B 6. E
Página 263
7. B 10. C8. E 11. A9. B 12. E
Solu
cion
ario
Años
20
40
60
8083
37
26,75
10
60,25
20
Mujeres Hombres
40
60
8083
60,25
55,75
36,5
26,7526,25
1013
38
Años
SOLUCIONARIO(264-283)_Maquetación 1 08-10-12 18:28 Página 283
AAbscisas, 101Alturas,- de un cilindro, 176, 182- de un cono, 182- de un prisma, 168- de una pirámide, 170Alzado, 163Ángulo diedro, 140Apotema, 159Área, 160, 167- basal de un poliedro, 164- de un cilindro, 176- de un círculo, 159, 176- de un cono, 177- de una esfera, 182- de una pirámide, 164- de un prisma, 164- de un sector circular, 177- de un tronco de cono, 177Arco de circunferencia, - longitud de, 177Argumento de un logaritmo, 30, 46Asintótica, curva, 67Asociatividad, 105, 110
BBase,- de un cilindro, 176, 182- de una pirámide, 170- de un prisma, 168- de un cono, 182- de un logaritmo, 30
CCambio de base, (ver Logaritmo)Campana de Gauss, 240Capacidad, 160Caras- de un poliedro, 164- basal de una pirámide, 170- basales de un prisma, 164- lateral de una pirámide, 170
- laterales de un prisma, 164Cavalieri, Principio de, 167, 170,180, 182Centro de homotecia, 113Cilindro, 166, 175- área de un, 176- volumen de un, 178Círculo, 166Coeficiente - de correlación de Pearson, 232- de nivel de confianza k, 237Colinealidad, de puntos, 120Confianza,- nivel de, 237 - intervalos de, 237Conmutatividad, 105Cono, 175- área de un, 176Coordenadas cartesianas de unvector, 107Coplanarios, 135Correlación, 232Crecimiento exponencial, 82Cuadrante, 21, 101Cuartil, 246, 248Cuerpos de revolución, 174Cuerpos generados- por traslación, 166- por rotación, 174, 180Cuerpo geométrico, 162, 166, 174- inscrito, 186Cúspide de una pirámide, 170
DDecil, 246Decrecimiento exponencial, 84Desplazamiento, 104, 118Desviación, 228- absoluta, 229- estándar, 229, 241- estándar muestral, 238- estándar para datos agrupados,230- estándar poblacional, 238
- media, 228, 231Diagrama- de tallo y hojas, 234- de cajas, 248Dirección de un vector, 102Dispersión, gráfico de, 232Distribución normal, 240- tabla de, 242Distributividad, 110, 128Dominio, 17 - de la función exponencial, 66, 72- de la función exponencial natural, 75- de la función logarítmica, 40, 72- de la función potencia, 22
Ee, 74, Ecuación, - exponencial,78, 86- logarítmica, 46, 50- vectorial del plano en el espacio, 136- cartesiana del plano en el espacio, 136- vectorial de la recta en el espacio, 132- vectorial de la recta en el plano,120, 123- cartesiana de la recta en elplano, 123Ejes coordenados, 127Elemento neutro, 105, 110Elemento inverso, 105Error, margen de, 238Escalar, 110Esfera, 175- volumen de una, 182- área de una, 182Estadística, 198, 241, 252 Exponencial- crecimiento, 82- decrecimiento, 84
284 | Matemática 4º Medio
Índice temático
ÍNDICE TEM(284-288)_Maquetación 1 08-10-12 18:29 Página 284
- ecuación, 78, 80- función, 66Exponente, 30, 78
FFrecuencia, 197, 202- absoluta, 203- acumulada, 197- relativa, 203, 216- tabla de, 202, 227Fuerza, 118Función, 15, 16, - creciente, 15, 21, 41, 65, 67- decreciente, 15, 21, 41, 65, 67- dominio, 17, 41, 65- exponencial, 66, 72- inversa, 18, 72- logarítmica, 40, 72- logarítmica natural, 75- polinomial, 24- potencia, 20- recorrido, 17, 41, 65- potencia de exponente impar, 20- potencia de exponente par, 20- gráfica de, 20, 24
GGeneratriz, 166- de un cilindro, 176- de un cono, 176Gráfica- de una función, 24, 25, 65- de la función exponencial, 66,83, 85- de la función exponencial natural, 75- de la función logarítmica, 41,42, 43- de la función potencia, 22Gráfico- circular, 205- de barras, 205- de dispersión, 205
HHistograma, 205Homotecia, 112- centro, 113- composición, 113- razón, 113Homotético(a), 113
IImagen, bajo una transformación,108, 112Interés, compuesto, 74, 86Intervalo, 197, 203, 209- abierto, 197- cerrado, 197- de confianza, 237- semiabierto, 197
LLitro, 160Logaritmo, 28, 78, 86- cambio de base de, 33- de la base, 32- de un cociente, 34- de un producto, 34- de una potencia, 34- de una raíz, 34- de la unidad, 32- natural, 80, 82
MMagnitud de un vector (módulode un vector), 102Marca de clase, 209, 230Margen de error, 238Media - aritmética, 209, 211, 227, 248- poblacional, 237, 241- muestral, 237Mediana, 208, 211, 227, 246, 248Medidas de dispersión, 228Medidas de posición, 246Medidas de tendencia central,208, 211
Metro cúbico, 161Moda, 208, 211, 227Módulo de un vector, 102, 106Muestra, 200, 227- aleatoria, 236- representativa, 200, 236- tamaño de la, 238Muestreo, 236
NNewton, Ley de enfriamiento de, 80Nivel de confianza, 237Número e, 74
OOrigen de coordenadas, 101
PParalelepípedo, 166, 168Paralelogramos, 166Parámetro, 122, 237Pendiente de una recta, 124Percentil, 246- para datos agrupados, 247Perfil, 163Perímetro de un círculo, 159Pictograma, 205Pirámides, volumen de, 170 Plano(s), 134- cartesiano, 101, 106- coincidentes, 140, 144- intersección de, 142- paralelos, 140, 144- secantes, 140, 144Planta, 163Población, 200, 227- tamaño de, 236, 239Poliedro, 164Polígonos, 159, 166- circunscritos a una circunferencia,159- inscritos en una circunferencia,159
Índ
ice
te
má
tico
Índice temático | 285
Índ
ice
te
má
tico
ÍNDICE TEM(284-288)_Maquetación 1 08-10-12 18:29 Página 285
286 | Matemática 4º Medio
Índice temático
Porcentaje, 226Principio de Cavalieri, 167, 170,180, 182Prisma, 166- oblicuo, 168Producto- cruz, 126, 128- punto, 118- de un vector por un escalar, 110Propiedad absorbente del cero, 110- asociativa (ver Asociatividad)- conmutativa (ver Conmutativi-dad)- distributiva (ver Distributividad), Proyecciones en el plano, 162Punto medio de un segmento,121, 148Puntos- colineales, 132, 134- coplanarios, 135
QQuintil, 246
RRadián, 159Rango, 202, 248Razón- de homotecia, 113Recorrido de una función, 17Recorrido, 17, 41, 65- de la función exponencial, 66- de la función logarítmica, 40- de la función potencia, 22Rectas, - alabeadas, 135- contenida en un plano, 134, 142- paralelas, 124- paralela al plano, 142- perpendiculares, 124- secantes, 135Red- de un cilindro, 176
- de un poliedro, 164- de un cono, 176- de un tronco de cono, 176Reflexión, 101Regla de la mano derecha, 127Representación geométrica- del producto cruz de dos vec-tores, 126- de vectores, 102Rotación, 101- cuerpos generados por, 174
SSecantes, rectas, 135Sección plana, 167Sector circular, 176Semiplano, 140Sentido de un vector, 102Sistemas de ecuaciones, - representación gráfica de, 143- con infinitas soluciones, 143- lineales, 101Superficie, 160
TTeorema- de Euclides, 37- de Pitágoras, 106, 182Torque, 126Trabajo mecánico, 118Transformaciones en el plano- isométricas, 101- composición de, 109Traslación, 101- composición de, 109- cuerpos generados por, 166- de figuras planas, 108- de la gráfica de una función, 24, 25- inversa, 109Trayectoria, 104Tronco- de cono, 174
UUnidades de medida, 159- de volumen, 161
VVariable(s)- aleatoria- continua, 243- cualitativa, 203- cuantitativa, 203- estadística, 203Vector(es), 102- adición de, 104- dirección de un, 102- director, 120, 125, 136- distintos, 103- forma analítica de, 107, 119- igualdad de, 103- módulo, 102, 106- opuestos, 103- paralelos, 132- perpendiculares, 126, 132- ponderado, 111, 120- posición, 107, 120, 137- sentido, 102- sustracción de, 105- unitarios, 127Vértice- de una curva, 21- de un poliedro, 164- de una pirámide, 170Vida media, 84Volumen, 160, 167- de un cilindro, 178- de un cono, 180- de un prisma, 168- de un tronco de cono, 180- de una esfera, 182- de una pirámide, 170
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Bib
lio
gra
fía
Bibliografía
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