El presente material debe ser considerado únicamente como un complemento para el estudio y de ninguna manera sustituye al libro de texto.

MATEMÁTICAS IUNIDAD I

CONJUNTOS

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Conjunto: colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie, siempre y cuando estas ideas u objetos estén tan claros y definidos como para decidir si pertenecen o no al conjunto.

EjemplosLos Estados de la República MexicanaLos días de la semanaLas vocales del alfabeto.

Elementos: Las ideas u objetos que forman un conjunto.

Notación Generalmente usamos letras mayúsculas para denotar conjuntos y las minúsculas para sus elementos.

A podría ser el conjunto de días de la semana.

x podría ser lunes.

es un elemento de…no es un elemento de…

Para simbolizar que un elemento pertenece (o no) a un conjunto, usamos:

Así…

se lee x es elemento del conjunto A.

se lee m no es elemento del conjunto A.

Notación enumerativa: se puede denotar un conjunto anotando los elementos entre llaves…

{lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}

Notación por descripción: anotar entre llaves la condición para pertenecer al conjunto…

{días de la semana}

Observación: { } simboliza un conjunto.

Variable: letra usada para representar a cualquier elemento de un conjunto; ejemplo: x.

Una línea vertical como | se lee tal que.

La notación para construir conjuntos permite abreviar la representación de los mismos…V={ x | x sea una vocal}E={ x | x sea una de las estaciones del año}

Oración abierta: aquella en la que interviene una variable.

Conjunto de reemplazamiento: el que nos proporciona los elementos para reemplazar a la variable.

Conjunto de verdad: los elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oración sea verdadera.

Sea E={ x | x es una de las estaciones del año}y el conjunto de reemplazamiento para x el conjunto M:M={primavera, verano, otoño, invierno, lunes, abril, frío}Notación para construir conjuntos:

Conjunto de verdad:E={primavera, verano, otoño, invierno}

Cardinalidad: número de elementos contenidos en un conjunto. Se representa con la letra n, y luego la letra que simboliza al conjunto entre paréntesis.

V={a, e, i, o, u}n(V)=5

Un conjunto es finito cuando es posible determinar el número de elementos que lo conforma, aún cuando no sea fácil.Si no se cumple la condición anterior, el conjunto es infinito: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…}

Conjunto universal: totalidad de elementos considerados para determinada operación (equivale al conjunto de reemplazamiento).

Conjunto vacío: el que no contiene elementos. Su símbolo es .

Conjuntos equivalentes: los que tienen la misma cardinalidad. En ellos se puede establecer la correspondencia uno a uno (correspondencia biunívoca).

Sea C={verde, blanco, rojo} y F={5, 4, 3}, se puede establecer la correspondencia biunívoca:

{verde, blanco, rojo}

{5, 4, 3}

Conjuntos iguales: se dice que A y B son iguales cuando cada elemento de A pertenece a B, y cada elemento de B pertenece a A.

Subconjuntos: al conjunto R que está formado por elementos que también pertenecen al conjunto P, se le llama un subconjunto de P.

Si V={vocales del alfabeto} y A={todas las letras del alfabeto},

entonces , pero .

Subconjunto propio: siendo , pero A tiene además elementos que no pertenecen a V, se dice que V es un subconjunto propio de A (V está incluido en A y no tiene la misma cardinalidad).

Con lo cual se puede establecer que A>V

yn(A)>n(V).

Número naturales:N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…}

Conjunto de múltiplos de k:Si entonces M={k, 2k, 3k, 4k, 5k,…}

Conjunto de números primos:P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…}

Conjunto de números compuestos:C={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,…}

Se factoriza un número cuando se expresa como producto de sus factores.

Una factorización se considera completa cuando sólo tenemos factores primos.

2, 3, 4 y 6 son factores de 12.

2 x 2 x 3 es la factorización completa de 12.

5, 7, 8 y 9 no son factores de 12.

Unión: si reunimos los elementos de un conjunto A con los elementos de otro conjunto B, tendremos un tercer conjunto.La operación efectuada se llama unión.Los elementos del tercer conjunto pertenecerán al conjunto A o bien al conjunto B o bien a ambos.

P={1, 2, 3, 4} Q={3, 4, 5, 6, 7}

P Q ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Intersección: operación entre dos conjuntos para obtener un tercero cuyos elementos son los que simultáneamente pertenezcan a los conjuntos dados.

P={1, 2, 3, 4} Q={3, 4, 5, 6, 7}

P Q ={3, 4}

Disjuntos: dos conjuntos sin elementos en común. Su intersección es un conjunto vacío.

Complemento: conjunto formado por los elementos del conjunto universal que le faltan al conjunto dado.Para el conjunto S, se lee como S prima o complemento de S.

Complemento de S = S’

U={todas las letras del alfabeto}V={vocales del alfabeto}

V’={consonantes del alfabeto}Observación:

Gráfica de un conjunto (diagramas de Venn).

U

U

8

76

542

31

BA

9

El rectángulo indica el conjunto universal.Los círculos A y B muestran conjuntos disjuntos.

1, 2 y 3 son elementos de A;

10

4, 5, 6 y 7 son elementos de B;8, 9 y 10 no son de A ni de B, pero sí pertenecen al universo.

Gráfica: unión de conjuntos.V={i, o, w, a, e}M={a, e, b, d, g, c, f}

UV M

i c

g

d

b

e

a

w

o

f

El resultado es toda el área sombreada.

Gráfica: intersección de conjuntos.V={i, o, w, a, e}M={a, e, b, d, g, c, f}

UV M

i c

g

d

b

e

a

w

o

f

El resultado es el área con doble sombreado.

Gráfica: conjunto complemento.

US’

S

U

U

Gráfica: conjuntos disjuntos

Gráfica:

UA B

C

Gráfica:

UA B

C

Tomado de:

Matemáticas I, Libro de Texto, SEP, Autores: Mario Villegas Urquidi, Francisco René Zubieta.