MATEMTICAS DISCRETAS

Ing. Elizabeth Daz Orea

1.1 Sistemas numricos (Binario, Octal, Decimal, Hexadecimal)

Los sistemas numricos son muy importantes en computacin, aqu veremos los sistemas en base 2, 8 y 16 que son las que ms se utilizan en computacin; por supuesto con la relacin entre la base 10 que es la que utilizamos los seres humanos.

Un sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas que se utilizan para representar los nmeros.

Sistema Numrico de Base 10

Los sistemas numricos estn compuestos por smbolos y por las normas utilizadas para interpretar estos smbolos. El sistema numrico que se usa ms a menudo es el sistema numrico decimal, o de Base 10. El sistema numrico de Base 10 usa diez smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Estos smbolos se pueden combinar para representar todos los valores numricos posibles.

Ejemplo:

2134 = 2134

Hay un 4 en la posicin correspondiente a las unidades, un 3 en la posicin de las decenas, un 1 en la posicin de las centenas y un 2 en la posicin de los miles. Este ejemplo parece obvio cuando se usa el sistema numrico decimal. Es importante saber exactamente cmo funciona el sistema decimal, ya que este conocimiento permite entender los otros dos sistemas numricos, el sistema numrico de Base 2 y el sistema numrico hexadecimal de Base 16. Estos sistemas usan los mismos mtodos que el sistema decimal.

Sistema Numrico de Base 2

Los computadores reconocen y procesan datos utilizando el sistema numrico binario, o de Base 2. El sistema numrico binario usa slo dos smbolos, 0 y 1 (ENCENDIDO/APAGADO ), en lugar de los diez smbolos que se utilizan en el sistema numrico decimal.

Ejemplo:

101102 = 22

Sistema Numrico de Base 8

El inconveniente de la codificacin binaria es que la representacin de algunos nmeros resulta muy larga. Por este motivo se utilizan otros sistemas de numeracin que resulten ms cmodos de escribir: el sistema octal y el sistema hexadecimal. Afortunadamente, resulta muy fcil convertir un nmero binario a octal o a hexadecimal.

En el sistema octal, usa ocho dgitos diferentes: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Ejemplo:

El nmero octal 2738 = 149610

Sistema Numrico de Base 16 (Hexadecimal)

El sistema hexadecimal usa diecisis smbolos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E y F. Se utilizan los caracteres A, B, C, D, E y F representando las cantidades decimales 10, 11, 12, 13, 14 y 15 respectivamente, porque no hay dgitos mayores que 9 en el sistema decimal.

Ejemplo:

El nmero hexadecimal 1A3F16 = 671910

1.2 Conversiones entre sistemas numricos.

Explicacin en el grupo

1.3 Operaciones bsicas (Suma, Resta, Multiplicacin, Divisin)

La Unidad Aritmtico Lgica, en la CPU del procesador, es capaz de realizar operaciones aritmticas, con datos numricos expresados en el sistema binario. Naturalmente, esas operaciones incluyen la adicin, la sustraccin, el producto y la divisin. Las operaciones se hacen del mismo modo que en el sistema decimal, pero debido a la sencillez del sistema de numeracin, pueden hacerse algunas simplificaciones que facilitan mucho la realizacin de las operaciones.

Suma en binario

Para aprender a sumar, con cinco o seis aos de edad, tuviste que memorizar las 100 combinaciones posibles que pueden darse al sumar dos dgitos decimales. La tabla de sumar, en binario, es mucho ms sencilla que en decimal. Slo hay que recordar cuatro combinaciones posibles:

+ 0 1

0 0 1

1 1 10

La suma en binario de 1+1

En decimal

En binario

1 1

+1

2

=

+1

10

Si en una suma de dos nmeros binarios tenemos dos unidades (10 en binario)pondremos 0 y nos

llevamos 1.

Si tenemos tres unidades (11 en binario) pondremos 1 y nos llevamos 1.

Hagamos un sencillo ejemplo de suma:

La suma en binario de 1+1+1

En decimal

En binario

1 1

1 1

+1

3

=

+1

11

1

0

1

0

1

+

1

1

1

0

1

1 1

0

0

1

0

Las sumas 0 + 0, 0 + 1 y 1 + 0 son evidentes:

0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1

Pero la suma de 1+1, que sabemos que es 2 en el sistema decimal, debe escribirse en binario con dos cifras (10) y, por tanto 1+1 es 0 y se arrastra una unidad, que se suma a la posicin siguiente a la izquierda. Veamos algunos ejemplos:

010 + 101 = 111 210 + 510 = 710 001101 + 100101 = 110010 1310 + 3710 = 5010 1011011 + 1011010 = 10110101 9110 + 9010 = 18110 110111011 + 100111011 = 1011110110 44310 + 31510 = 75810 Ejercicio 1:

Realiza las siguientes sumas de nmeros binarios: 111011 + 110 111110111 + 111001 10111 + 11011 + 10111

Resta de nmeros binarios

El algoritmo de la resta en sistema binario es el mismo que en el sistema decimal. Pero conviene repasar la operacin de restar en decimal para comprender la operacin binaria, que es ms sencilla. Los trminos que intervienen en la resta se llaman minuendo, sustraendo y diferencia. Las restas bsicas 0 - 0, 1 - 0 y 1 - 1 son evidentes: 0 - 0 = 0 1 - 0 = 1 1 - 1 = 0 0 - 1 = 1 (se transforma en 10 - 1 = 1) (en sistema decimal equivale a 2 - 1 = 1)

La resta 0 - 1 se resuelve, igual que en el sistema decimal, tomando una unidad prestada de la posicin siguiente: 0 - 1 = 1 y me llevo 1, lo que equivale a decir en el sistema decimal, 2 - 1 = 1.

Esa unidad prestada debe devolverse, sumndola, a la posicin siguiente del sustraendo. Veamos algunos ejemplos:

Ejercicio

1 1 0 0 1 0 0 1 arriba - 0 1 0 0 0 0 1 1 abajo ------------------------ 1 0

1 1 0 0 1 0 0 1 - 0 1 0 0 0 0 1 1 ------------------------ 1 1 0

1 1 0 0 1 0 0 1 - 0 1 0 0 0 0 1 1 ------------------------ 0 1 1 0

Ejercicios

111 101 = 010 710 510 = 210

10001 01010 = 00111 1710 1010 = 710

11011001 10101011 = 00101110 21710 17110 = 4610

111101001 101101101 = 001111100 48910 36510 = 12410

Multiplicacin binaria La multiplicacin en binario es ms fcil que en cualquier otro sistema de numeracin. Como los factores de la multiplicacin slo pueden ser CEROS o UNOS, el producto slo puede ser CERO o UNO. En otras palabras, las tablas de multiplicar del cero y del uno son muy fciles de aprender:

x 0 1

0 0 0

1 0 1

Para comprobar que el resultado es correcto, convertimos los factores y el resultado al sistema decimal:

3349 * 13 = 43537

correcto!

Ejercicios

1010101010101 X 1010 1101010101010010

1101101 X 110 1010001110

0111011011011011 X 1111 1101111011011010101

0111011010101 X 1101 1100000011010001

01101111 X 1011 10011000101

011101100101 X 10101 1001101101001001

1 2

3 4

5 6

Ejercicios

10110101000101 x 1011

10100001111011 x 10011

Divisin binaria

Igual que en el producto, la divisin es muy fcil de realizar, porque no son posibles en el cociente otras cifras que UNOS y CEROS.

Consideremos el siguiente ejemplo, 42 : 6 = 7, en binario:

Se intenta dividir el dividendo por el divisor, empezando por tomar en ambos el mismo nmero de cifras (100 entre 110, en el ejemplo). Si no puede dividirse, se intenta la divisin tomando un dgito ms (1001 entre 100).

Si la divisin es posible, entonces, el divisor slo podr estar contenido una vez en el dividendo, es decir, la primera cifra del cociente es un UNO. En ese caso, el resultado de multiplicar el divisor por 1 es el propio divisor. Restamos las cifras del dividendo del divisor y bajamos la cifra siguiente.

El procedimiento de divisin contina del mismo modo que en el sistema decimal.

Ejercicios

Haz las siguientes divisiones binarias. Al terminar, comprueba los resultados haciendo las divisiones en el sistema decimal:

10110101000101 : 1011

10100001111011 : 10011

1.4 Algoritmos de Booth para la multiplicacin y divisin en binario.

El algoritmo de Booth es un mtodo rpido y sencillo para obtener el producto de dos nmeros binarios con signo en notacin complemento a dos.

Debemos saber que un nmero binario est formado por bits de ceros y unos, y que se puede traducir a decimal fcilmente de la siguiente forma:

Sabiendo que la posicin de cada bit es 2^n (elevado a n) y partimos de n=0 de derecha a izquierda, slo queda realizar la suma total de multiplicar por dicho bit, en este caso:

(02^7+12^6+02^5+12^4+02^3+12^2+12^1+02^0 = 86).

Tambin debemos saber que el complemento a uno de un nmero binario es cambiar sus ceros por unos, y sus unos por ceros (complementar): (010010 -> ca1:101101) y que el complemento a dos de un nmero binario es el resultado de sumar 1 al complemento a uno de dicho nmero binario:

Realizar una suma con dos nmeros binarios es tarea fcil, pero la multiplicacin resulta algo ms complicada. Con el algoritmo de Booth, resulta mucho ms sencillo de implementar. Partimos del ejemplo de la multiplicacin 62=12:

Como se puede ver en la imagen superior, partiendo de los nmeros binarios de la multiplicacin 62 (multiplicando y multiplicador) creamos tres nuevos nmeros binarios del doble de tamao (16 en el ejemplo): A, S y P.

Partiendo del nmero P (producto) comenzamos a comparar los ltimos 2 bits de la derecha, siguiendo los casos base del recuadro:

Se realizar esta comparacin 8 veces en este ejemplo (nmero de bits de los operandos) y al final de cada comparacin, realizamos un desplazamiento de un bit hacia la derecha, manteniendo el ltimo bit de la izquierda, y descartando el ltimo bit del lado contrario. Si hacemos una traza paso a paso nos quedaran los siguientes resultados:

Finalmente obtenemos el nmero en binario resultante (12 en este ejemplo), descartando el bit extra que hemos aadido al principio del procedimiento y que se encuentra en el extremo a la derecha.

1.5 Aplicacin de los sistemas

numricos en la computacin.

Tarea investigar el cdigo ASCII y traerlo en la libreta

Bibliografa

http://matematicasparacomputadora.weebly.com/14-algoritmos-de-booth-para-la-multiplicacioacuten-y-divisioacuten-en-binario.html

http://platea.pntic.mec.es/~lgonzale/tic/binarios/aritmetica.html

https://sites.google.com/site/matematicasdiscretasevz/1-1-sistemas-numericos-binario-octal-decimal-hexadecimal

http://www.reypastor.org/departamentos/dinf/enalam/hardware/binario/index.html