1
2 MATEMATIČKI OPIS
Ponašanje sustava i regulacijskih članova općenito se opisuje nelinearnim
diferencijalnim jednadžbama čije je rješavanje povezano s znatnim poteškoćama Na primjer
promjena visine tekućine u spremniku s utjecanjem qu i istjecanjem kroz ventil može se
opisati nelinearnom diferencijalnom jednadžbom
2v v u
dhA K A g h q
dt
gdje je A površina spremnika h razina tekućine Kv i Av konstanta i površina otvora ventila ρ
gustoća tekućine
U tom slučaju za male promjene ulazne veličine u okolišu radne točke moguće je
linearizirati diferencijalnu jednadžbu razvojem u Taylovov red po svim varijablama i
zanemarenjem članova višeg reda Na taj način dobivena je linearna diferencijalna jednadžba
s konstantnim koeficijentima
Čest je slučaj da je samo statička karakteristika nelinearna (sve derivacije su jednake
nuli) kao u gornjem primjeru U tom slučaju je moguće linearizaciju u radnoj točki izvršiti
nadomještanjem stvarne krivulje pravcem (tangentom) čiji je koeficijent derivacija u radnoj
točki a nagib se naziva dinamičko pojačanje Na primjer za radnu točku (0507)T
0 0
0 0
( ) 0
( ) (0507)
1 107
2 2 05d
T h q
q h T h q T
dqK
dh h
Na drugi način ukoliko je na raspolaganju graf nelinearnosti u odabranoj radnoj točki povuče
se tangenta te se odabere segment tangente za koju se očita prirast na ordinati za odgovarajući
prirast na apscisi
0507
07d
qK
h
2
Linearna jednadžba u okolišu (0507)T tada glasi
2 07v v u
dhA K A g h Q
dt
21 Laplaceova transformacija
Rješavanje diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima s diskontinuiranim
ulazima ili diferencijalnih jednadžbi višeg reda vrlo je teško i dugotrajno Jednako tako
uvrštavanje početnih uvjeta za određivanje konstanti integracije zahtjeva rješavanje sustava
algebarskih jednadžbi pri čemu je broj algebarskih jednadžbi jednak redu diferencijalne
jednadžbe Laplaceova transformacija primjenjuje se u različitim područjima znanosti fizika
elektrotehnika a naročito u teoriji regulacijskih sustava Laplaceova transformacija je
operatorska metoda rješavanja diferencijalnih jednadžbi
I Prednosti operatorske metode ndash Laplaceova transformacija
1) Automatski uključuje rubne i početne uvjete
2) Pri iznalaženju rješenja koristimo algebarski račun
3) Izračunavanje i rad je vrlo sistematiziran
4) Primjenom tablica transformacije smanjuje se rad i potrebno vrijeme
5) Diskontinuirani ulazi lako se uzimaju u obradu moguće je uzeti u obradu
diskontinuirane ulazne funkcije
6) Dobivaju se istovremeno prijelazno i stacionarno rješenje (homogeno i
partikularno - prisilno) rješenje diferencijalne jednadžbe
3
7) Dimenziono gledano [SI ndash sustav] Laplaceov transformat ima za jedan stupanj nižu
vremensku dimenziju od diferencijalne jednadžbe To znači da primjenom
L- transformacije operator ili varijabla laquosraquo ima dimenziju [s] = s-1 dok varijabla laquotraquo
ima dimenziju [t] = s
II Definicija Laplaceove transformacije
Direktna Laplaceova transformacija funkcije f(t) dana je jednadžbom
0
)s(Fdte)t(f)t(fL st
Ovdje simbol L[f(t)] je skraćeni oblik pisanja za Laplaceov integral čiji je razultat funkcija
F(s) Funkcija F ovisi o varijabli s Varijabla s jest kompleksni broj js
Uočimo interval integracije 0 lsaquo t lsaquo infin što znači da je vrijednost funkcije f(t) nebitna za
negativne vrijednosti
Ovdje se radi o osobitoj vrsti pridruživanja jednog skupa funkcija u drugi skup funkcija
a pritom se pridružuju i matematičke operacije koje se obavljaju nad funkcijama
Ovakvo pridruživanje naziva se linearnom integralnom transformacijom
4
Opći izraz za linearnu integralnu transformaciju jest
( ) ( ) ( )a
b
F s f t K s t dt
Funkcija K(st) = e-st jest funkcija dviju varijabli s i t a naziva se jezgrom transformacije
Neka je σ skup funkcija definiranih na intervalu (ab) Є R Funkcije f(t) Є O zovu se
ORIGINALI Nezavisna varijabla funkcije f neka bude vrijeme t
Integralna transformacija F(s) definirana je tako da su uvjeti i definicije odabrani tako
da za svaki f Є O sostoji neprazan podskup Pf skupa kompleksnih brojeva C tako da integral
konvergira za svaki s Є Pf
III Nužni uvjeti koje mora zadovoljavati funkcija f (t)
Osnovni zahtjevi da Laplaceov integral konvergira tj da ima konačnu vrijednost jesu
1) Funkcija f (t) mora biti po odsječcima neprekinuta i to tako da u konačnom
intervalu ima konačni broj broj prekida (diskontinuiteta) prve vrste što znači da mora
postojati lijevi limes 0 0
lim ( )t t
f t
i desni limes 0 0
( )limt t
f t
koji ne moraju biti jednaki
2) Funkcija f (t) mora biti jednaka nuli za t lsaquo 0 tj
0 za t 0( )
( ) za t 0f t
f t
3) Funkcija f (t) ne smije biti bržeg rasta od eksponencijalnog za bilo koji broj laquoaraquo što
znači da ne smije funkcija rasti brže od funkcije M eat
Primjer funkcija na koje se ne može priomjeniti L-transformacija
a) f ( t ) = 2te
b) f ( t ) =tcos
1
c) f ( t ) =tg ωt
IV Osnovni teoremi direktne Laplaceove transformacije
Teorem 1 Teorem linearnosti
Ako je A konstanta i neovisna o varijabli laquosraquo tada vrijedi
00
)s(FAdte)t(fAdte)t(fA)t(fAL
)s(FA)t(fAL)t(fAL
stst
5
Teorem 2 Teorem superpozicije
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )st st st
L f t f t L f t f t F s F s
L f t f t f t f t e dt f t e dt f t e dt F s F s
Teorem 3 Teorem pomaka u vremenskoj domeni
Ako postoji Laplaceov transformat F( s ) funkcije f( t ) i realni broj t0 tada za funkciju
0
0
0
0 za t t( )
( ) za t tf t t
f t
vrijedi
)s(Fe)tt(fLst
0
0
Pozitivni pomak u vremenskoj domeni znači množenje s faktorom st0e
u laquosraquo domeni Pomak
u gornjoj domeni protumačimo kao prigušenje u donjoj domeni
Teorem 4 Teorem o derivaciji slike
Ako je F(s) L - transformat originala f (t) tada vrijedi
)s(Fds
d)t(ftL
Množenje funkcije f (t) u vremenskoj domeni s vremenom t ima za nužnu posljedicu
derivaciju u odnosu na varijablu laquosraquo u donjem području
Ovaj teorem služi za jednostavnije dobivanje nekih L-transformata
n
n
s
)n(tL
11 ili
1
k
k
s
ktL
Pr
2 2
0 0
1 0 1 1( ) ( )s t st d
L t te dt t S t e dtds s s s
Pr tt eLds
d)et(L
22
11101
)s()s()
s(
ds
d
Pr 342
2220
)1()(
ss
s
sds
dttLtL
6
Teorem 5 Teorem pomaka u laquosraquo domeni
Ako postoji slika F(s) funkcije f(t) i broj α Є R ili α Є C tada vrijedi
( ) ( )tL e f t F s
Množenje funkcije f(t) s faktorom gušenja (kašnjenja) et u vremenskoj domeni
jednako je funkciji pomaka u laquosraquo domeni
Teorem 6 Teorem o preslikavanju derivacije u vremenskoj domeni
Ako postoji transformat F(s) funkcije f(t) i ako postoji transformacija prve derivacije
tada važi
)(f)s(Fsdt
)t(dfL
0
Oznaka )0( f je početna vrijednost funkcije u trenutku t = 0+ (vrijednost funkcije
kad 0 približava s desne strane)
Ld f t
dt
2
2
( )
2 ( ) (0) (0)s F s s f f
Teorem 7 Teorem o integriranju originala
Ako je funkcija F (s) transformat vremenske funkcije f (t) tada vrijedi
( ) (0 )
( ) (0 )F s f
L f t dt fs s
gdje je )0(f konstanta integracije ili početni uvjet ako se približavamo s desne
strane
Teorem 8 Teorem o konačnoj vrijednosti
Ako postoji Laplaceov transformat funkcije f (t) i dt
)t(df i ako postoji limes funkcije
f(t) kad trarrinfin tada vrijedi
lim f(t) = lim s F(s) trarrinfin srarr0
Teorem 9 Teorem o početnoj vrijednosti
Ako funkcija f (t) i njena derivacija zadovoljava uvjete postavljene za primjenu
Laplaceove transformacije i ako je F(s) Laplaceova transformacija funkcije f (t) te
ako i samo ako egzistira limes lim s F(s) tada vrijedi
lim f (t) = lim s F(s)
trarr0 srarrinfin
7
V Laplaceovi transformati standardnih pobudnih funkcija S( t ) δ (t) et sin ωt cos ωt
Pr Odredi Lndashtransformat jedinične step funkcije (odskočna) S(t)
u(t) = S(t)
0 za t lsaquo 0
( ) 1 za t 0
S t
0
00
1 1 1( ) 1 ( ) s t stu s S t e e e e
s s s
Ovo funkcija osigurava da svaka pomnožena s njom zadovoljava granice integrala
0 za t 0 f t
f t za t 0
Pr Odredi L ndash transformat step funkcije s amplitudom A
sAe)t(SAdte)t(SA)s(u
)t(SA)t(u
tsts 1
00
2 Impulsna funkcija (kao razlika odskočnih funkcija)
)ta(ulim)t(
)at(ua
)t(ua
)ta(u
a 0
11
u( t ) S( t )
8
0 00 0
1( ) lim lim
st
a a
stL t u t u t a e dtu a t e dta
= 00 0
0 0
1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim
0
ass t st as
aa a
eu t e dt u t a e dt e
a a s s a s
L Hospitalovo pravilo
10
0
s
s
s
eslim)t(L
sa
a
Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1
t
0 za t 0
t dt
Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)
0
00 0
( ) ( )
1
1 1( ) ( )|
sts t
s t
s t st
s t
udv uv udv
u t
u s t S t e dtdv e dt
v es
u s L t t e dt t e dtse s
0
0 2 2 2
0
1 1 1 1 1( ) 0 1| st
s t
te A e e A A
se s s s s s
Dio rješenja funkcija A (t) = 0
0( )
1|
s t
t
e e
jest neodređeni oblik
9
Primijenom L Hospitalovog pravila
st st s
2
t 1 1 1lim A t lim lim 0
e s e se
1( )
t t t
u s L ts
Granične vrijednosti
Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo
100
0
0 00
Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo
a) NEODREĐENI OBLICI 0
0 i
Ako je f (x) = )(
)(
x
x
pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji
sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je
lim 0 lim 0
lim lim
lim lim
x a x a
x a x a
x a x a
x i x ili
x i x tada je
xf x
x
U slučaju da lim )(
)(
x
x
predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak
ponovo primjenjuje
Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike
022
11101
ss
s
sds
d)s(F
ds
ddte)t(SttL ts
10
Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je
opisan izrazom tetu 2)( [V]
( 1)
0 0
( 1)
0
( 1)
0
0
( ) 2 2
12 (( 1) )
1
2
1
2 20 ( )
1 1
|
t s t s t
s t
s t
L u t e e dt e dt
e d s ts
es
es s
1
12
2
s)s(u
e)t(u t
Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj
(Laplaceovoj) domeni
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u (t) = Um middot sin ωt
00
dtetsinUdte)tsinU()s(u ts
m
ts
m
Iz tablica integrala dobiva se
2
0
2 2 2 2
sin sin cos( )
0 0 1
s teL t s t t
s
s
s s
22
s
UtsinUL mm
Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske
funkcije
cos sin cos sin
sin2
cos2
j t j t
j t j t
j t j t
e t j t e t j t
e et
j
e et
11
( ) ( )
0 0 0
1sin sin ( )
2 2
j t j ts t s t s j t s j te e
L t t e dt e dt e e dtj j
( ) ( )
0
2 2 2 2
1 1 1
2 ( )
1 1 1 1
2 ( ) ( ) 2
|s j t s j te ej s j s j
s j s j
j s j s j j s s
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u ( t ) = Um cos ωt
0 0
( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st
m mu s L u t S t U t e dt U t e dt
Iz tablica integrala dobiva se
2 2
0
2 2 2 2
2 2
cos ( cos sin( )
1 1( 1) 0
|s te
L t s t ts
ss s
s
s
Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko
je već poznata slika sinus funkcije
2 2 2 2
1 1cos sin
d sL t L t s
dt s s
2 2( ) m
su s U
s
22 Prijenosna funkcija
Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim
koeficijentima 1 1
1 1 0 1 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m m
n n m mn n m m
d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t
dt dt dt dt dt dt
Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije
Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2
3 2 1 0 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
12
Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent
tada se ona može prikazati na slijedeći način
3 2
3 02 1 1
3 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
Ili na drugi način 3 2
3 2
3 2 1 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx tT T T y t x t
dt dt dt dt
Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju
sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale
Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )
( )di t du t
RC i t Cdt dt
odnosno 1
( ) ( )( )
di t du tT i t C
dt dt
gdje je 1T RC 1
V AsT R C F s
A V
( ) ( )( )
L di t u ti t
R dt R odnosno
1
( ) ( )( )
di t u tT i t
dt R
gdje je 1
LT
R
1
VsL AT s
VR
A
Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji
ima vremensku dimenziju sekunde
Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja
ima oblik polinoma varijable s 3 23 2
3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s
Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred
zagrade
3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s
Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i
ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija
1 0
3 23 23 2 1
( ) ( )
( ) 1 ( )
sy s A sG s
x s T T T s B ss s
Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve
početne uvjete jednake nuli
Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)
13
Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku
0
11 1023
3 22 13 3 2 1
3 3 3
3 3 3
( )
1( )
A
B B B
ss sy s
G s kT Tx s T s s s s s s
ss sT T T
gdje su sAi korjeni
brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične
jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi
23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija
Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati
vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava
diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom
obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je
potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je
moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv
Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike
nepoznate funkcije y(s) koja glasi
1( ) ( )y t L G s x s
Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije
Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju
jednostavne slike
a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna
prijelazna funkcija i označava se sa g(t)
1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s
Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva
b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1
s naziva se prijelazna
funkcija i označava se sa h(t)
1 1( )h t L G s
s
14
231 Inverzna Laplaceova transformacija
Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih
jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi
Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije
1
1 1 0
111 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
a s a s a s aA sy s
B s s b s s bb
gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi
Obično je nm
Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne
varijable
1 1( ) ( )
2
c jst
c j
f t L y s y s e dsj
Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i
pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )
( )
A sy s
B s može se jednoznačno
rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja
1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s = 1 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m
n n
a s a s a A B C
s s s s s s s s s s s s
Pr
2 2 22 2
3 2 2
2
2
1 1 1
( 1) ( )6 1 6 1( )
( 1) ( 1)1 1
1
6
1
1 1 3 4
1 3 4( )
( 1) ( 1)
1 3 4( ) ( 1
( 1) ( 1)
A s B s s C s ss s s s A B CF s
s s s s ss s s s
s A B C s B C A
s s
A B C
B C
A A B C
F ss s s
f t L L Ls s s
3 4 )t te e
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
2
Linearna jednadžba u okolišu (0507)T tada glasi
2 07v v u
dhA K A g h Q
dt
21 Laplaceova transformacija
Rješavanje diferencijalnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima s diskontinuiranim
ulazima ili diferencijalnih jednadžbi višeg reda vrlo je teško i dugotrajno Jednako tako
uvrštavanje početnih uvjeta za određivanje konstanti integracije zahtjeva rješavanje sustava
algebarskih jednadžbi pri čemu je broj algebarskih jednadžbi jednak redu diferencijalne
jednadžbe Laplaceova transformacija primjenjuje se u različitim područjima znanosti fizika
elektrotehnika a naročito u teoriji regulacijskih sustava Laplaceova transformacija je
operatorska metoda rješavanja diferencijalnih jednadžbi
I Prednosti operatorske metode ndash Laplaceova transformacija
1) Automatski uključuje rubne i početne uvjete
2) Pri iznalaženju rješenja koristimo algebarski račun
3) Izračunavanje i rad je vrlo sistematiziran
4) Primjenom tablica transformacije smanjuje se rad i potrebno vrijeme
5) Diskontinuirani ulazi lako se uzimaju u obradu moguće je uzeti u obradu
diskontinuirane ulazne funkcije
6) Dobivaju se istovremeno prijelazno i stacionarno rješenje (homogeno i
partikularno - prisilno) rješenje diferencijalne jednadžbe
3
7) Dimenziono gledano [SI ndash sustav] Laplaceov transformat ima za jedan stupanj nižu
vremensku dimenziju od diferencijalne jednadžbe To znači da primjenom
L- transformacije operator ili varijabla laquosraquo ima dimenziju [s] = s-1 dok varijabla laquotraquo
ima dimenziju [t] = s
II Definicija Laplaceove transformacije
Direktna Laplaceova transformacija funkcije f(t) dana je jednadžbom
0
)s(Fdte)t(f)t(fL st
Ovdje simbol L[f(t)] je skraćeni oblik pisanja za Laplaceov integral čiji je razultat funkcija
F(s) Funkcija F ovisi o varijabli s Varijabla s jest kompleksni broj js
Uočimo interval integracije 0 lsaquo t lsaquo infin što znači da je vrijednost funkcije f(t) nebitna za
negativne vrijednosti
Ovdje se radi o osobitoj vrsti pridruživanja jednog skupa funkcija u drugi skup funkcija
a pritom se pridružuju i matematičke operacije koje se obavljaju nad funkcijama
Ovakvo pridruživanje naziva se linearnom integralnom transformacijom
4
Opći izraz za linearnu integralnu transformaciju jest
( ) ( ) ( )a
b
F s f t K s t dt
Funkcija K(st) = e-st jest funkcija dviju varijabli s i t a naziva se jezgrom transformacije
Neka je σ skup funkcija definiranih na intervalu (ab) Є R Funkcije f(t) Є O zovu se
ORIGINALI Nezavisna varijabla funkcije f neka bude vrijeme t
Integralna transformacija F(s) definirana je tako da su uvjeti i definicije odabrani tako
da za svaki f Є O sostoji neprazan podskup Pf skupa kompleksnih brojeva C tako da integral
konvergira za svaki s Є Pf
III Nužni uvjeti koje mora zadovoljavati funkcija f (t)
Osnovni zahtjevi da Laplaceov integral konvergira tj da ima konačnu vrijednost jesu
1) Funkcija f (t) mora biti po odsječcima neprekinuta i to tako da u konačnom
intervalu ima konačni broj broj prekida (diskontinuiteta) prve vrste što znači da mora
postojati lijevi limes 0 0
lim ( )t t
f t
i desni limes 0 0
( )limt t
f t
koji ne moraju biti jednaki
2) Funkcija f (t) mora biti jednaka nuli za t lsaquo 0 tj
0 za t 0( )
( ) za t 0f t
f t
3) Funkcija f (t) ne smije biti bržeg rasta od eksponencijalnog za bilo koji broj laquoaraquo što
znači da ne smije funkcija rasti brže od funkcije M eat
Primjer funkcija na koje se ne može priomjeniti L-transformacija
a) f ( t ) = 2te
b) f ( t ) =tcos
1
c) f ( t ) =tg ωt
IV Osnovni teoremi direktne Laplaceove transformacije
Teorem 1 Teorem linearnosti
Ako je A konstanta i neovisna o varijabli laquosraquo tada vrijedi
00
)s(FAdte)t(fAdte)t(fA)t(fAL
)s(FA)t(fAL)t(fAL
stst
5
Teorem 2 Teorem superpozicije
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )st st st
L f t f t L f t f t F s F s
L f t f t f t f t e dt f t e dt f t e dt F s F s
Teorem 3 Teorem pomaka u vremenskoj domeni
Ako postoji Laplaceov transformat F( s ) funkcije f( t ) i realni broj t0 tada za funkciju
0
0
0
0 za t t( )
( ) za t tf t t
f t
vrijedi
)s(Fe)tt(fLst
0
0
Pozitivni pomak u vremenskoj domeni znači množenje s faktorom st0e
u laquosraquo domeni Pomak
u gornjoj domeni protumačimo kao prigušenje u donjoj domeni
Teorem 4 Teorem o derivaciji slike
Ako je F(s) L - transformat originala f (t) tada vrijedi
)s(Fds
d)t(ftL
Množenje funkcije f (t) u vremenskoj domeni s vremenom t ima za nužnu posljedicu
derivaciju u odnosu na varijablu laquosraquo u donjem području
Ovaj teorem služi za jednostavnije dobivanje nekih L-transformata
n
n
s
)n(tL
11 ili
1
k
k
s
ktL
Pr
2 2
0 0
1 0 1 1( ) ( )s t st d
L t te dt t S t e dtds s s s
Pr tt eLds
d)et(L
22
11101
)s()s()
s(
ds
d
Pr 342
2220
)1()(
ss
s
sds
dttLtL
6
Teorem 5 Teorem pomaka u laquosraquo domeni
Ako postoji slika F(s) funkcije f(t) i broj α Є R ili α Є C tada vrijedi
( ) ( )tL e f t F s
Množenje funkcije f(t) s faktorom gušenja (kašnjenja) et u vremenskoj domeni
jednako je funkciji pomaka u laquosraquo domeni
Teorem 6 Teorem o preslikavanju derivacije u vremenskoj domeni
Ako postoji transformat F(s) funkcije f(t) i ako postoji transformacija prve derivacije
tada važi
)(f)s(Fsdt
)t(dfL
0
Oznaka )0( f je početna vrijednost funkcije u trenutku t = 0+ (vrijednost funkcije
kad 0 približava s desne strane)
Ld f t
dt
2
2
( )
2 ( ) (0) (0)s F s s f f
Teorem 7 Teorem o integriranju originala
Ako je funkcija F (s) transformat vremenske funkcije f (t) tada vrijedi
( ) (0 )
( ) (0 )F s f
L f t dt fs s
gdje je )0(f konstanta integracije ili početni uvjet ako se približavamo s desne
strane
Teorem 8 Teorem o konačnoj vrijednosti
Ako postoji Laplaceov transformat funkcije f (t) i dt
)t(df i ako postoji limes funkcije
f(t) kad trarrinfin tada vrijedi
lim f(t) = lim s F(s) trarrinfin srarr0
Teorem 9 Teorem o početnoj vrijednosti
Ako funkcija f (t) i njena derivacija zadovoljava uvjete postavljene za primjenu
Laplaceove transformacije i ako je F(s) Laplaceova transformacija funkcije f (t) te
ako i samo ako egzistira limes lim s F(s) tada vrijedi
lim f (t) = lim s F(s)
trarr0 srarrinfin
7
V Laplaceovi transformati standardnih pobudnih funkcija S( t ) δ (t) et sin ωt cos ωt
Pr Odredi Lndashtransformat jedinične step funkcije (odskočna) S(t)
u(t) = S(t)
0 za t lsaquo 0
( ) 1 za t 0
S t
0
00
1 1 1( ) 1 ( ) s t stu s S t e e e e
s s s
Ovo funkcija osigurava da svaka pomnožena s njom zadovoljava granice integrala
0 za t 0 f t
f t za t 0
Pr Odredi L ndash transformat step funkcije s amplitudom A
sAe)t(SAdte)t(SA)s(u
)t(SA)t(u
tsts 1
00
2 Impulsna funkcija (kao razlika odskočnih funkcija)
)ta(ulim)t(
)at(ua
)t(ua
)ta(u
a 0
11
u( t ) S( t )
8
0 00 0
1( ) lim lim
st
a a
stL t u t u t a e dtu a t e dta
= 00 0
0 0
1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim
0
ass t st as
aa a
eu t e dt u t a e dt e
a a s s a s
L Hospitalovo pravilo
10
0
s
s
s
eslim)t(L
sa
a
Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1
t
0 za t 0
t dt
Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)
0
00 0
( ) ( )
1
1 1( ) ( )|
sts t
s t
s t st
s t
udv uv udv
u t
u s t S t e dtdv e dt
v es
u s L t t e dt t e dtse s
0
0 2 2 2
0
1 1 1 1 1( ) 0 1| st
s t
te A e e A A
se s s s s s
Dio rješenja funkcija A (t) = 0
0( )
1|
s t
t
e e
jest neodređeni oblik
9
Primijenom L Hospitalovog pravila
st st s
2
t 1 1 1lim A t lim lim 0
e s e se
1( )
t t t
u s L ts
Granične vrijednosti
Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo
100
0
0 00
Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo
a) NEODREĐENI OBLICI 0
0 i
Ako je f (x) = )(
)(
x
x
pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji
sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je
lim 0 lim 0
lim lim
lim lim
x a x a
x a x a
x a x a
x i x ili
x i x tada je
xf x
x
U slučaju da lim )(
)(
x
x
predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak
ponovo primjenjuje
Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike
022
11101
ss
s
sds
d)s(F
ds
ddte)t(SttL ts
10
Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je
opisan izrazom tetu 2)( [V]
( 1)
0 0
( 1)
0
( 1)
0
0
( ) 2 2
12 (( 1) )
1
2
1
2 20 ( )
1 1
|
t s t s t
s t
s t
L u t e e dt e dt
e d s ts
es
es s
1
12
2
s)s(u
e)t(u t
Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj
(Laplaceovoj) domeni
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u (t) = Um middot sin ωt
00
dtetsinUdte)tsinU()s(u ts
m
ts
m
Iz tablica integrala dobiva se
2
0
2 2 2 2
sin sin cos( )
0 0 1
s teL t s t t
s
s
s s
22
s
UtsinUL mm
Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske
funkcije
cos sin cos sin
sin2
cos2
j t j t
j t j t
j t j t
e t j t e t j t
e et
j
e et
11
( ) ( )
0 0 0
1sin sin ( )
2 2
j t j ts t s t s j t s j te e
L t t e dt e dt e e dtj j
( ) ( )
0
2 2 2 2
1 1 1
2 ( )
1 1 1 1
2 ( ) ( ) 2
|s j t s j te ej s j s j
s j s j
j s j s j j s s
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u ( t ) = Um cos ωt
0 0
( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st
m mu s L u t S t U t e dt U t e dt
Iz tablica integrala dobiva se
2 2
0
2 2 2 2
2 2
cos ( cos sin( )
1 1( 1) 0
|s te
L t s t ts
ss s
s
s
Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko
je već poznata slika sinus funkcije
2 2 2 2
1 1cos sin
d sL t L t s
dt s s
2 2( ) m
su s U
s
22 Prijenosna funkcija
Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim
koeficijentima 1 1
1 1 0 1 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m m
n n m mn n m m
d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t
dt dt dt dt dt dt
Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije
Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2
3 2 1 0 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
12
Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent
tada se ona može prikazati na slijedeći način
3 2
3 02 1 1
3 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
Ili na drugi način 3 2
3 2
3 2 1 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx tT T T y t x t
dt dt dt dt
Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju
sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale
Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )
( )di t du t
RC i t Cdt dt
odnosno 1
( ) ( )( )
di t du tT i t C
dt dt
gdje je 1T RC 1
V AsT R C F s
A V
( ) ( )( )
L di t u ti t
R dt R odnosno
1
( ) ( )( )
di t u tT i t
dt R
gdje je 1
LT
R
1
VsL AT s
VR
A
Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji
ima vremensku dimenziju sekunde
Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja
ima oblik polinoma varijable s 3 23 2
3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s
Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred
zagrade
3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s
Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i
ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija
1 0
3 23 23 2 1
( ) ( )
( ) 1 ( )
sy s A sG s
x s T T T s B ss s
Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve
početne uvjete jednake nuli
Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)
13
Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku
0
11 1023
3 22 13 3 2 1
3 3 3
3 3 3
( )
1( )
A
B B B
ss sy s
G s kT Tx s T s s s s s s
ss sT T T
gdje su sAi korjeni
brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične
jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi
23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija
Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati
vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava
diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom
obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je
potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je
moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv
Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike
nepoznate funkcije y(s) koja glasi
1( ) ( )y t L G s x s
Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije
Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju
jednostavne slike
a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna
prijelazna funkcija i označava se sa g(t)
1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s
Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva
b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1
s naziva se prijelazna
funkcija i označava se sa h(t)
1 1( )h t L G s
s
14
231 Inverzna Laplaceova transformacija
Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih
jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi
Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije
1
1 1 0
111 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
a s a s a s aA sy s
B s s b s s bb
gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi
Obično je nm
Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne
varijable
1 1( ) ( )
2
c jst
c j
f t L y s y s e dsj
Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i
pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )
( )
A sy s
B s može se jednoznačno
rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja
1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s = 1 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m
n n
a s a s a A B C
s s s s s s s s s s s s
Pr
2 2 22 2
3 2 2
2
2
1 1 1
( 1) ( )6 1 6 1( )
( 1) ( 1)1 1
1
6
1
1 1 3 4
1 3 4( )
( 1) ( 1)
1 3 4( ) ( 1
( 1) ( 1)
A s B s s C s ss s s s A B CF s
s s s s ss s s s
s A B C s B C A
s s
A B C
B C
A A B C
F ss s s
f t L L Ls s s
3 4 )t te e
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
3
7) Dimenziono gledano [SI ndash sustav] Laplaceov transformat ima za jedan stupanj nižu
vremensku dimenziju od diferencijalne jednadžbe To znači da primjenom
L- transformacije operator ili varijabla laquosraquo ima dimenziju [s] = s-1 dok varijabla laquotraquo
ima dimenziju [t] = s
II Definicija Laplaceove transformacije
Direktna Laplaceova transformacija funkcije f(t) dana je jednadžbom
0
)s(Fdte)t(f)t(fL st
Ovdje simbol L[f(t)] je skraćeni oblik pisanja za Laplaceov integral čiji je razultat funkcija
F(s) Funkcija F ovisi o varijabli s Varijabla s jest kompleksni broj js
Uočimo interval integracije 0 lsaquo t lsaquo infin što znači da je vrijednost funkcije f(t) nebitna za
negativne vrijednosti
Ovdje se radi o osobitoj vrsti pridruživanja jednog skupa funkcija u drugi skup funkcija
a pritom se pridružuju i matematičke operacije koje se obavljaju nad funkcijama
Ovakvo pridruživanje naziva se linearnom integralnom transformacijom
4
Opći izraz za linearnu integralnu transformaciju jest
( ) ( ) ( )a
b
F s f t K s t dt
Funkcija K(st) = e-st jest funkcija dviju varijabli s i t a naziva se jezgrom transformacije
Neka je σ skup funkcija definiranih na intervalu (ab) Є R Funkcije f(t) Є O zovu se
ORIGINALI Nezavisna varijabla funkcije f neka bude vrijeme t
Integralna transformacija F(s) definirana je tako da su uvjeti i definicije odabrani tako
da za svaki f Є O sostoji neprazan podskup Pf skupa kompleksnih brojeva C tako da integral
konvergira za svaki s Є Pf
III Nužni uvjeti koje mora zadovoljavati funkcija f (t)
Osnovni zahtjevi da Laplaceov integral konvergira tj da ima konačnu vrijednost jesu
1) Funkcija f (t) mora biti po odsječcima neprekinuta i to tako da u konačnom
intervalu ima konačni broj broj prekida (diskontinuiteta) prve vrste što znači da mora
postojati lijevi limes 0 0
lim ( )t t
f t
i desni limes 0 0
( )limt t
f t
koji ne moraju biti jednaki
2) Funkcija f (t) mora biti jednaka nuli za t lsaquo 0 tj
0 za t 0( )
( ) za t 0f t
f t
3) Funkcija f (t) ne smije biti bržeg rasta od eksponencijalnog za bilo koji broj laquoaraquo što
znači da ne smije funkcija rasti brže od funkcije M eat
Primjer funkcija na koje se ne može priomjeniti L-transformacija
a) f ( t ) = 2te
b) f ( t ) =tcos
1
c) f ( t ) =tg ωt
IV Osnovni teoremi direktne Laplaceove transformacije
Teorem 1 Teorem linearnosti
Ako je A konstanta i neovisna o varijabli laquosraquo tada vrijedi
00
)s(FAdte)t(fAdte)t(fA)t(fAL
)s(FA)t(fAL)t(fAL
stst
5
Teorem 2 Teorem superpozicije
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )st st st
L f t f t L f t f t F s F s
L f t f t f t f t e dt f t e dt f t e dt F s F s
Teorem 3 Teorem pomaka u vremenskoj domeni
Ako postoji Laplaceov transformat F( s ) funkcije f( t ) i realni broj t0 tada za funkciju
0
0
0
0 za t t( )
( ) za t tf t t
f t
vrijedi
)s(Fe)tt(fLst
0
0
Pozitivni pomak u vremenskoj domeni znači množenje s faktorom st0e
u laquosraquo domeni Pomak
u gornjoj domeni protumačimo kao prigušenje u donjoj domeni
Teorem 4 Teorem o derivaciji slike
Ako je F(s) L - transformat originala f (t) tada vrijedi
)s(Fds
d)t(ftL
Množenje funkcije f (t) u vremenskoj domeni s vremenom t ima za nužnu posljedicu
derivaciju u odnosu na varijablu laquosraquo u donjem području
Ovaj teorem služi za jednostavnije dobivanje nekih L-transformata
n
n
s
)n(tL
11 ili
1
k
k
s
ktL
Pr
2 2
0 0
1 0 1 1( ) ( )s t st d
L t te dt t S t e dtds s s s
Pr tt eLds
d)et(L
22
11101
)s()s()
s(
ds
d
Pr 342
2220
)1()(
ss
s
sds
dttLtL
6
Teorem 5 Teorem pomaka u laquosraquo domeni
Ako postoji slika F(s) funkcije f(t) i broj α Є R ili α Є C tada vrijedi
( ) ( )tL e f t F s
Množenje funkcije f(t) s faktorom gušenja (kašnjenja) et u vremenskoj domeni
jednako je funkciji pomaka u laquosraquo domeni
Teorem 6 Teorem o preslikavanju derivacije u vremenskoj domeni
Ako postoji transformat F(s) funkcije f(t) i ako postoji transformacija prve derivacije
tada važi
)(f)s(Fsdt
)t(dfL
0
Oznaka )0( f je početna vrijednost funkcije u trenutku t = 0+ (vrijednost funkcije
kad 0 približava s desne strane)
Ld f t
dt
2
2
( )
2 ( ) (0) (0)s F s s f f
Teorem 7 Teorem o integriranju originala
Ako je funkcija F (s) transformat vremenske funkcije f (t) tada vrijedi
( ) (0 )
( ) (0 )F s f
L f t dt fs s
gdje je )0(f konstanta integracije ili početni uvjet ako se približavamo s desne
strane
Teorem 8 Teorem o konačnoj vrijednosti
Ako postoji Laplaceov transformat funkcije f (t) i dt
)t(df i ako postoji limes funkcije
f(t) kad trarrinfin tada vrijedi
lim f(t) = lim s F(s) trarrinfin srarr0
Teorem 9 Teorem o početnoj vrijednosti
Ako funkcija f (t) i njena derivacija zadovoljava uvjete postavljene za primjenu
Laplaceove transformacije i ako je F(s) Laplaceova transformacija funkcije f (t) te
ako i samo ako egzistira limes lim s F(s) tada vrijedi
lim f (t) = lim s F(s)
trarr0 srarrinfin
7
V Laplaceovi transformati standardnih pobudnih funkcija S( t ) δ (t) et sin ωt cos ωt
Pr Odredi Lndashtransformat jedinične step funkcije (odskočna) S(t)
u(t) = S(t)
0 za t lsaquo 0
( ) 1 za t 0
S t
0
00
1 1 1( ) 1 ( ) s t stu s S t e e e e
s s s
Ovo funkcija osigurava da svaka pomnožena s njom zadovoljava granice integrala
0 za t 0 f t
f t za t 0
Pr Odredi L ndash transformat step funkcije s amplitudom A
sAe)t(SAdte)t(SA)s(u
)t(SA)t(u
tsts 1
00
2 Impulsna funkcija (kao razlika odskočnih funkcija)
)ta(ulim)t(
)at(ua
)t(ua
)ta(u
a 0
11
u( t ) S( t )
8
0 00 0
1( ) lim lim
st
a a
stL t u t u t a e dtu a t e dta
= 00 0
0 0
1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim
0
ass t st as
aa a
eu t e dt u t a e dt e
a a s s a s
L Hospitalovo pravilo
10
0
s
s
s
eslim)t(L
sa
a
Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1
t
0 za t 0
t dt
Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)
0
00 0
( ) ( )
1
1 1( ) ( )|
sts t
s t
s t st
s t
udv uv udv
u t
u s t S t e dtdv e dt
v es
u s L t t e dt t e dtse s
0
0 2 2 2
0
1 1 1 1 1( ) 0 1| st
s t
te A e e A A
se s s s s s
Dio rješenja funkcija A (t) = 0
0( )
1|
s t
t
e e
jest neodređeni oblik
9
Primijenom L Hospitalovog pravila
st st s
2
t 1 1 1lim A t lim lim 0
e s e se
1( )
t t t
u s L ts
Granične vrijednosti
Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo
100
0
0 00
Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo
a) NEODREĐENI OBLICI 0
0 i
Ako je f (x) = )(
)(
x
x
pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji
sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je
lim 0 lim 0
lim lim
lim lim
x a x a
x a x a
x a x a
x i x ili
x i x tada je
xf x
x
U slučaju da lim )(
)(
x
x
predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak
ponovo primjenjuje
Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike
022
11101
ss
s
sds
d)s(F
ds
ddte)t(SttL ts
10
Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je
opisan izrazom tetu 2)( [V]
( 1)
0 0
( 1)
0
( 1)
0
0
( ) 2 2
12 (( 1) )
1
2
1
2 20 ( )
1 1
|
t s t s t
s t
s t
L u t e e dt e dt
e d s ts
es
es s
1
12
2
s)s(u
e)t(u t
Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj
(Laplaceovoj) domeni
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u (t) = Um middot sin ωt
00
dtetsinUdte)tsinU()s(u ts
m
ts
m
Iz tablica integrala dobiva se
2
0
2 2 2 2
sin sin cos( )
0 0 1
s teL t s t t
s
s
s s
22
s
UtsinUL mm
Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske
funkcije
cos sin cos sin
sin2
cos2
j t j t
j t j t
j t j t
e t j t e t j t
e et
j
e et
11
( ) ( )
0 0 0
1sin sin ( )
2 2
j t j ts t s t s j t s j te e
L t t e dt e dt e e dtj j
( ) ( )
0
2 2 2 2
1 1 1
2 ( )
1 1 1 1
2 ( ) ( ) 2
|s j t s j te ej s j s j
s j s j
j s j s j j s s
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u ( t ) = Um cos ωt
0 0
( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st
m mu s L u t S t U t e dt U t e dt
Iz tablica integrala dobiva se
2 2
0
2 2 2 2
2 2
cos ( cos sin( )
1 1( 1) 0
|s te
L t s t ts
ss s
s
s
Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko
je već poznata slika sinus funkcije
2 2 2 2
1 1cos sin
d sL t L t s
dt s s
2 2( ) m
su s U
s
22 Prijenosna funkcija
Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim
koeficijentima 1 1
1 1 0 1 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m m
n n m mn n m m
d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t
dt dt dt dt dt dt
Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije
Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2
3 2 1 0 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
12
Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent
tada se ona može prikazati na slijedeći način
3 2
3 02 1 1
3 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
Ili na drugi način 3 2
3 2
3 2 1 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx tT T T y t x t
dt dt dt dt
Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju
sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale
Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )
( )di t du t
RC i t Cdt dt
odnosno 1
( ) ( )( )
di t du tT i t C
dt dt
gdje je 1T RC 1
V AsT R C F s
A V
( ) ( )( )
L di t u ti t
R dt R odnosno
1
( ) ( )( )
di t u tT i t
dt R
gdje je 1
LT
R
1
VsL AT s
VR
A
Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji
ima vremensku dimenziju sekunde
Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja
ima oblik polinoma varijable s 3 23 2
3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s
Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred
zagrade
3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s
Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i
ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija
1 0
3 23 23 2 1
( ) ( )
( ) 1 ( )
sy s A sG s
x s T T T s B ss s
Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve
početne uvjete jednake nuli
Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)
13
Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku
0
11 1023
3 22 13 3 2 1
3 3 3
3 3 3
( )
1( )
A
B B B
ss sy s
G s kT Tx s T s s s s s s
ss sT T T
gdje su sAi korjeni
brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične
jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi
23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija
Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati
vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava
diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom
obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je
potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je
moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv
Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike
nepoznate funkcije y(s) koja glasi
1( ) ( )y t L G s x s
Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije
Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju
jednostavne slike
a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna
prijelazna funkcija i označava se sa g(t)
1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s
Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva
b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1
s naziva se prijelazna
funkcija i označava se sa h(t)
1 1( )h t L G s
s
14
231 Inverzna Laplaceova transformacija
Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih
jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi
Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije
1
1 1 0
111 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
a s a s a s aA sy s
B s s b s s bb
gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi
Obično je nm
Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne
varijable
1 1( ) ( )
2
c jst
c j
f t L y s y s e dsj
Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i
pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )
( )
A sy s
B s može se jednoznačno
rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja
1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s = 1 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m
n n
a s a s a A B C
s s s s s s s s s s s s
Pr
2 2 22 2
3 2 2
2
2
1 1 1
( 1) ( )6 1 6 1( )
( 1) ( 1)1 1
1
6
1
1 1 3 4
1 3 4( )
( 1) ( 1)
1 3 4( ) ( 1
( 1) ( 1)
A s B s s C s ss s s s A B CF s
s s s s ss s s s
s A B C s B C A
s s
A B C
B C
A A B C
F ss s s
f t L L Ls s s
3 4 )t te e
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
4
Opći izraz za linearnu integralnu transformaciju jest
( ) ( ) ( )a
b
F s f t K s t dt
Funkcija K(st) = e-st jest funkcija dviju varijabli s i t a naziva se jezgrom transformacije
Neka je σ skup funkcija definiranih na intervalu (ab) Є R Funkcije f(t) Є O zovu se
ORIGINALI Nezavisna varijabla funkcije f neka bude vrijeme t
Integralna transformacija F(s) definirana je tako da su uvjeti i definicije odabrani tako
da za svaki f Є O sostoji neprazan podskup Pf skupa kompleksnih brojeva C tako da integral
konvergira za svaki s Є Pf
III Nužni uvjeti koje mora zadovoljavati funkcija f (t)
Osnovni zahtjevi da Laplaceov integral konvergira tj da ima konačnu vrijednost jesu
1) Funkcija f (t) mora biti po odsječcima neprekinuta i to tako da u konačnom
intervalu ima konačni broj broj prekida (diskontinuiteta) prve vrste što znači da mora
postojati lijevi limes 0 0
lim ( )t t
f t
i desni limes 0 0
( )limt t
f t
koji ne moraju biti jednaki
2) Funkcija f (t) mora biti jednaka nuli za t lsaquo 0 tj
0 za t 0( )
( ) za t 0f t
f t
3) Funkcija f (t) ne smije biti bržeg rasta od eksponencijalnog za bilo koji broj laquoaraquo što
znači da ne smije funkcija rasti brže od funkcije M eat
Primjer funkcija na koje se ne može priomjeniti L-transformacija
a) f ( t ) = 2te
b) f ( t ) =tcos
1
c) f ( t ) =tg ωt
IV Osnovni teoremi direktne Laplaceove transformacije
Teorem 1 Teorem linearnosti
Ako je A konstanta i neovisna o varijabli laquosraquo tada vrijedi
00
)s(FAdte)t(fAdte)t(fA)t(fAL
)s(FA)t(fAL)t(fAL
stst
5
Teorem 2 Teorem superpozicije
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )st st st
L f t f t L f t f t F s F s
L f t f t f t f t e dt f t e dt f t e dt F s F s
Teorem 3 Teorem pomaka u vremenskoj domeni
Ako postoji Laplaceov transformat F( s ) funkcije f( t ) i realni broj t0 tada za funkciju
0
0
0
0 za t t( )
( ) za t tf t t
f t
vrijedi
)s(Fe)tt(fLst
0
0
Pozitivni pomak u vremenskoj domeni znači množenje s faktorom st0e
u laquosraquo domeni Pomak
u gornjoj domeni protumačimo kao prigušenje u donjoj domeni
Teorem 4 Teorem o derivaciji slike
Ako je F(s) L - transformat originala f (t) tada vrijedi
)s(Fds
d)t(ftL
Množenje funkcije f (t) u vremenskoj domeni s vremenom t ima za nužnu posljedicu
derivaciju u odnosu na varijablu laquosraquo u donjem području
Ovaj teorem služi za jednostavnije dobivanje nekih L-transformata
n
n
s
)n(tL
11 ili
1
k
k
s
ktL
Pr
2 2
0 0
1 0 1 1( ) ( )s t st d
L t te dt t S t e dtds s s s
Pr tt eLds
d)et(L
22
11101
)s()s()
s(
ds
d
Pr 342
2220
)1()(
ss
s
sds
dttLtL
6
Teorem 5 Teorem pomaka u laquosraquo domeni
Ako postoji slika F(s) funkcije f(t) i broj α Є R ili α Є C tada vrijedi
( ) ( )tL e f t F s
Množenje funkcije f(t) s faktorom gušenja (kašnjenja) et u vremenskoj domeni
jednako je funkciji pomaka u laquosraquo domeni
Teorem 6 Teorem o preslikavanju derivacije u vremenskoj domeni
Ako postoji transformat F(s) funkcije f(t) i ako postoji transformacija prve derivacije
tada važi
)(f)s(Fsdt
)t(dfL
0
Oznaka )0( f je početna vrijednost funkcije u trenutku t = 0+ (vrijednost funkcije
kad 0 približava s desne strane)
Ld f t
dt
2
2
( )
2 ( ) (0) (0)s F s s f f
Teorem 7 Teorem o integriranju originala
Ako je funkcija F (s) transformat vremenske funkcije f (t) tada vrijedi
( ) (0 )
( ) (0 )F s f
L f t dt fs s
gdje je )0(f konstanta integracije ili početni uvjet ako se približavamo s desne
strane
Teorem 8 Teorem o konačnoj vrijednosti
Ako postoji Laplaceov transformat funkcije f (t) i dt
)t(df i ako postoji limes funkcije
f(t) kad trarrinfin tada vrijedi
lim f(t) = lim s F(s) trarrinfin srarr0
Teorem 9 Teorem o početnoj vrijednosti
Ako funkcija f (t) i njena derivacija zadovoljava uvjete postavljene za primjenu
Laplaceove transformacije i ako je F(s) Laplaceova transformacija funkcije f (t) te
ako i samo ako egzistira limes lim s F(s) tada vrijedi
lim f (t) = lim s F(s)
trarr0 srarrinfin
7
V Laplaceovi transformati standardnih pobudnih funkcija S( t ) δ (t) et sin ωt cos ωt
Pr Odredi Lndashtransformat jedinične step funkcije (odskočna) S(t)
u(t) = S(t)
0 za t lsaquo 0
( ) 1 za t 0
S t
0
00
1 1 1( ) 1 ( ) s t stu s S t e e e e
s s s
Ovo funkcija osigurava da svaka pomnožena s njom zadovoljava granice integrala
0 za t 0 f t
f t za t 0
Pr Odredi L ndash transformat step funkcije s amplitudom A
sAe)t(SAdte)t(SA)s(u
)t(SA)t(u
tsts 1
00
2 Impulsna funkcija (kao razlika odskočnih funkcija)
)ta(ulim)t(
)at(ua
)t(ua
)ta(u
a 0
11
u( t ) S( t )
8
0 00 0
1( ) lim lim
st
a a
stL t u t u t a e dtu a t e dta
= 00 0
0 0
1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim
0
ass t st as
aa a
eu t e dt u t a e dt e
a a s s a s
L Hospitalovo pravilo
10
0
s
s
s
eslim)t(L
sa
a
Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1
t
0 za t 0
t dt
Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)
0
00 0
( ) ( )
1
1 1( ) ( )|
sts t
s t
s t st
s t
udv uv udv
u t
u s t S t e dtdv e dt
v es
u s L t t e dt t e dtse s
0
0 2 2 2
0
1 1 1 1 1( ) 0 1| st
s t
te A e e A A
se s s s s s
Dio rješenja funkcija A (t) = 0
0( )
1|
s t
t
e e
jest neodređeni oblik
9
Primijenom L Hospitalovog pravila
st st s
2
t 1 1 1lim A t lim lim 0
e s e se
1( )
t t t
u s L ts
Granične vrijednosti
Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo
100
0
0 00
Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo
a) NEODREĐENI OBLICI 0
0 i
Ako je f (x) = )(
)(
x
x
pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji
sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je
lim 0 lim 0
lim lim
lim lim
x a x a
x a x a
x a x a
x i x ili
x i x tada je
xf x
x
U slučaju da lim )(
)(
x
x
predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak
ponovo primjenjuje
Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike
022
11101
ss
s
sds
d)s(F
ds
ddte)t(SttL ts
10
Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je
opisan izrazom tetu 2)( [V]
( 1)
0 0
( 1)
0
( 1)
0
0
( ) 2 2
12 (( 1) )
1
2
1
2 20 ( )
1 1
|
t s t s t
s t
s t
L u t e e dt e dt
e d s ts
es
es s
1
12
2
s)s(u
e)t(u t
Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj
(Laplaceovoj) domeni
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u (t) = Um middot sin ωt
00
dtetsinUdte)tsinU()s(u ts
m
ts
m
Iz tablica integrala dobiva se
2
0
2 2 2 2
sin sin cos( )
0 0 1
s teL t s t t
s
s
s s
22
s
UtsinUL mm
Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske
funkcije
cos sin cos sin
sin2
cos2
j t j t
j t j t
j t j t
e t j t e t j t
e et
j
e et
11
( ) ( )
0 0 0
1sin sin ( )
2 2
j t j ts t s t s j t s j te e
L t t e dt e dt e e dtj j
( ) ( )
0
2 2 2 2
1 1 1
2 ( )
1 1 1 1
2 ( ) ( ) 2
|s j t s j te ej s j s j
s j s j
j s j s j j s s
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u ( t ) = Um cos ωt
0 0
( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st
m mu s L u t S t U t e dt U t e dt
Iz tablica integrala dobiva se
2 2
0
2 2 2 2
2 2
cos ( cos sin( )
1 1( 1) 0
|s te
L t s t ts
ss s
s
s
Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko
je već poznata slika sinus funkcije
2 2 2 2
1 1cos sin
d sL t L t s
dt s s
2 2( ) m
su s U
s
22 Prijenosna funkcija
Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim
koeficijentima 1 1
1 1 0 1 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m m
n n m mn n m m
d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t
dt dt dt dt dt dt
Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije
Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2
3 2 1 0 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
12
Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent
tada se ona može prikazati na slijedeći način
3 2
3 02 1 1
3 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
Ili na drugi način 3 2
3 2
3 2 1 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx tT T T y t x t
dt dt dt dt
Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju
sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale
Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )
( )di t du t
RC i t Cdt dt
odnosno 1
( ) ( )( )
di t du tT i t C
dt dt
gdje je 1T RC 1
V AsT R C F s
A V
( ) ( )( )
L di t u ti t
R dt R odnosno
1
( ) ( )( )
di t u tT i t
dt R
gdje je 1
LT
R
1
VsL AT s
VR
A
Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji
ima vremensku dimenziju sekunde
Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja
ima oblik polinoma varijable s 3 23 2
3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s
Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred
zagrade
3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s
Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i
ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija
1 0
3 23 23 2 1
( ) ( )
( ) 1 ( )
sy s A sG s
x s T T T s B ss s
Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve
početne uvjete jednake nuli
Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)
13
Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku
0
11 1023
3 22 13 3 2 1
3 3 3
3 3 3
( )
1( )
A
B B B
ss sy s
G s kT Tx s T s s s s s s
ss sT T T
gdje su sAi korjeni
brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične
jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi
23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija
Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati
vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava
diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom
obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je
potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je
moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv
Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike
nepoznate funkcije y(s) koja glasi
1( ) ( )y t L G s x s
Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije
Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju
jednostavne slike
a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna
prijelazna funkcija i označava se sa g(t)
1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s
Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva
b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1
s naziva se prijelazna
funkcija i označava se sa h(t)
1 1( )h t L G s
s
14
231 Inverzna Laplaceova transformacija
Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih
jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi
Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije
1
1 1 0
111 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
a s a s a s aA sy s
B s s b s s bb
gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi
Obično je nm
Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne
varijable
1 1( ) ( )
2
c jst
c j
f t L y s y s e dsj
Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i
pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )
( )
A sy s
B s može se jednoznačno
rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja
1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s = 1 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m
n n
a s a s a A B C
s s s s s s s s s s s s
Pr
2 2 22 2
3 2 2
2
2
1 1 1
( 1) ( )6 1 6 1( )
( 1) ( 1)1 1
1
6
1
1 1 3 4
1 3 4( )
( 1) ( 1)
1 3 4( ) ( 1
( 1) ( 1)
A s B s s C s ss s s s A B CF s
s s s s ss s s s
s A B C s B C A
s s
A B C
B C
A A B C
F ss s s
f t L L Ls s s
3 4 )t te e
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
5
Teorem 2 Teorem superpozicije
1 2 1 2 1 2
1 2 1 2 1 2 1 2
0 0 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( )st st st
L f t f t L f t f t F s F s
L f t f t f t f t e dt f t e dt f t e dt F s F s
Teorem 3 Teorem pomaka u vremenskoj domeni
Ako postoji Laplaceov transformat F( s ) funkcije f( t ) i realni broj t0 tada za funkciju
0
0
0
0 za t t( )
( ) za t tf t t
f t
vrijedi
)s(Fe)tt(fLst
0
0
Pozitivni pomak u vremenskoj domeni znači množenje s faktorom st0e
u laquosraquo domeni Pomak
u gornjoj domeni protumačimo kao prigušenje u donjoj domeni
Teorem 4 Teorem o derivaciji slike
Ako je F(s) L - transformat originala f (t) tada vrijedi
)s(Fds
d)t(ftL
Množenje funkcije f (t) u vremenskoj domeni s vremenom t ima za nužnu posljedicu
derivaciju u odnosu na varijablu laquosraquo u donjem području
Ovaj teorem služi za jednostavnije dobivanje nekih L-transformata
n
n
s
)n(tL
11 ili
1
k
k
s
ktL
Pr
2 2
0 0
1 0 1 1( ) ( )s t st d
L t te dt t S t e dtds s s s
Pr tt eLds
d)et(L
22
11101
)s()s()
s(
ds
d
Pr 342
2220
)1()(
ss
s
sds
dttLtL
6
Teorem 5 Teorem pomaka u laquosraquo domeni
Ako postoji slika F(s) funkcije f(t) i broj α Є R ili α Є C tada vrijedi
( ) ( )tL e f t F s
Množenje funkcije f(t) s faktorom gušenja (kašnjenja) et u vremenskoj domeni
jednako je funkciji pomaka u laquosraquo domeni
Teorem 6 Teorem o preslikavanju derivacije u vremenskoj domeni
Ako postoji transformat F(s) funkcije f(t) i ako postoji transformacija prve derivacije
tada važi
)(f)s(Fsdt
)t(dfL
0
Oznaka )0( f je početna vrijednost funkcije u trenutku t = 0+ (vrijednost funkcije
kad 0 približava s desne strane)
Ld f t
dt
2
2
( )
2 ( ) (0) (0)s F s s f f
Teorem 7 Teorem o integriranju originala
Ako je funkcija F (s) transformat vremenske funkcije f (t) tada vrijedi
( ) (0 )
( ) (0 )F s f
L f t dt fs s
gdje je )0(f konstanta integracije ili početni uvjet ako se približavamo s desne
strane
Teorem 8 Teorem o konačnoj vrijednosti
Ako postoji Laplaceov transformat funkcije f (t) i dt
)t(df i ako postoji limes funkcije
f(t) kad trarrinfin tada vrijedi
lim f(t) = lim s F(s) trarrinfin srarr0
Teorem 9 Teorem o početnoj vrijednosti
Ako funkcija f (t) i njena derivacija zadovoljava uvjete postavljene za primjenu
Laplaceove transformacije i ako je F(s) Laplaceova transformacija funkcije f (t) te
ako i samo ako egzistira limes lim s F(s) tada vrijedi
lim f (t) = lim s F(s)
trarr0 srarrinfin
7
V Laplaceovi transformati standardnih pobudnih funkcija S( t ) δ (t) et sin ωt cos ωt
Pr Odredi Lndashtransformat jedinične step funkcije (odskočna) S(t)
u(t) = S(t)
0 za t lsaquo 0
( ) 1 za t 0
S t
0
00
1 1 1( ) 1 ( ) s t stu s S t e e e e
s s s
Ovo funkcija osigurava da svaka pomnožena s njom zadovoljava granice integrala
0 za t 0 f t
f t za t 0
Pr Odredi L ndash transformat step funkcije s amplitudom A
sAe)t(SAdte)t(SA)s(u
)t(SA)t(u
tsts 1
00
2 Impulsna funkcija (kao razlika odskočnih funkcija)
)ta(ulim)t(
)at(ua
)t(ua
)ta(u
a 0
11
u( t ) S( t )
8
0 00 0
1( ) lim lim
st
a a
stL t u t u t a e dtu a t e dta
= 00 0
0 0
1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim
0
ass t st as
aa a
eu t e dt u t a e dt e
a a s s a s
L Hospitalovo pravilo
10
0
s
s
s
eslim)t(L
sa
a
Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1
t
0 za t 0
t dt
Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)
0
00 0
( ) ( )
1
1 1( ) ( )|
sts t
s t
s t st
s t
udv uv udv
u t
u s t S t e dtdv e dt
v es
u s L t t e dt t e dtse s
0
0 2 2 2
0
1 1 1 1 1( ) 0 1| st
s t
te A e e A A
se s s s s s
Dio rješenja funkcija A (t) = 0
0( )
1|
s t
t
e e
jest neodređeni oblik
9
Primijenom L Hospitalovog pravila
st st s
2
t 1 1 1lim A t lim lim 0
e s e se
1( )
t t t
u s L ts
Granične vrijednosti
Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo
100
0
0 00
Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo
a) NEODREĐENI OBLICI 0
0 i
Ako je f (x) = )(
)(
x
x
pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji
sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je
lim 0 lim 0
lim lim
lim lim
x a x a
x a x a
x a x a
x i x ili
x i x tada je
xf x
x
U slučaju da lim )(
)(
x
x
predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak
ponovo primjenjuje
Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike
022
11101
ss
s
sds
d)s(F
ds
ddte)t(SttL ts
10
Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je
opisan izrazom tetu 2)( [V]
( 1)
0 0
( 1)
0
( 1)
0
0
( ) 2 2
12 (( 1) )
1
2
1
2 20 ( )
1 1
|
t s t s t
s t
s t
L u t e e dt e dt
e d s ts
es
es s
1
12
2
s)s(u
e)t(u t
Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj
(Laplaceovoj) domeni
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u (t) = Um middot sin ωt
00
dtetsinUdte)tsinU()s(u ts
m
ts
m
Iz tablica integrala dobiva se
2
0
2 2 2 2
sin sin cos( )
0 0 1
s teL t s t t
s
s
s s
22
s
UtsinUL mm
Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske
funkcije
cos sin cos sin
sin2
cos2
j t j t
j t j t
j t j t
e t j t e t j t
e et
j
e et
11
( ) ( )
0 0 0
1sin sin ( )
2 2
j t j ts t s t s j t s j te e
L t t e dt e dt e e dtj j
( ) ( )
0
2 2 2 2
1 1 1
2 ( )
1 1 1 1
2 ( ) ( ) 2
|s j t s j te ej s j s j
s j s j
j s j s j j s s
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u ( t ) = Um cos ωt
0 0
( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st
m mu s L u t S t U t e dt U t e dt
Iz tablica integrala dobiva se
2 2
0
2 2 2 2
2 2
cos ( cos sin( )
1 1( 1) 0
|s te
L t s t ts
ss s
s
s
Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko
je već poznata slika sinus funkcije
2 2 2 2
1 1cos sin
d sL t L t s
dt s s
2 2( ) m
su s U
s
22 Prijenosna funkcija
Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim
koeficijentima 1 1
1 1 0 1 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m m
n n m mn n m m
d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t
dt dt dt dt dt dt
Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije
Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2
3 2 1 0 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
12
Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent
tada se ona može prikazati na slijedeći način
3 2
3 02 1 1
3 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
Ili na drugi način 3 2
3 2
3 2 1 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx tT T T y t x t
dt dt dt dt
Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju
sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale
Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )
( )di t du t
RC i t Cdt dt
odnosno 1
( ) ( )( )
di t du tT i t C
dt dt
gdje je 1T RC 1
V AsT R C F s
A V
( ) ( )( )
L di t u ti t
R dt R odnosno
1
( ) ( )( )
di t u tT i t
dt R
gdje je 1
LT
R
1
VsL AT s
VR
A
Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji
ima vremensku dimenziju sekunde
Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja
ima oblik polinoma varijable s 3 23 2
3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s
Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred
zagrade
3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s
Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i
ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija
1 0
3 23 23 2 1
( ) ( )
( ) 1 ( )
sy s A sG s
x s T T T s B ss s
Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve
početne uvjete jednake nuli
Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)
13
Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku
0
11 1023
3 22 13 3 2 1
3 3 3
3 3 3
( )
1( )
A
B B B
ss sy s
G s kT Tx s T s s s s s s
ss sT T T
gdje su sAi korjeni
brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične
jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi
23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija
Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati
vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava
diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom
obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je
potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je
moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv
Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike
nepoznate funkcije y(s) koja glasi
1( ) ( )y t L G s x s
Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije
Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju
jednostavne slike
a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna
prijelazna funkcija i označava se sa g(t)
1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s
Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva
b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1
s naziva se prijelazna
funkcija i označava se sa h(t)
1 1( )h t L G s
s
14
231 Inverzna Laplaceova transformacija
Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih
jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi
Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije
1
1 1 0
111 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
a s a s a s aA sy s
B s s b s s bb
gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi
Obično je nm
Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne
varijable
1 1( ) ( )
2
c jst
c j
f t L y s y s e dsj
Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i
pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )
( )
A sy s
B s može se jednoznačno
rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja
1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s = 1 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m
n n
a s a s a A B C
s s s s s s s s s s s s
Pr
2 2 22 2
3 2 2
2
2
1 1 1
( 1) ( )6 1 6 1( )
( 1) ( 1)1 1
1
6
1
1 1 3 4
1 3 4( )
( 1) ( 1)
1 3 4( ) ( 1
( 1) ( 1)
A s B s s C s ss s s s A B CF s
s s s s ss s s s
s A B C s B C A
s s
A B C
B C
A A B C
F ss s s
f t L L Ls s s
3 4 )t te e
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
6
Teorem 5 Teorem pomaka u laquosraquo domeni
Ako postoji slika F(s) funkcije f(t) i broj α Є R ili α Є C tada vrijedi
( ) ( )tL e f t F s
Množenje funkcije f(t) s faktorom gušenja (kašnjenja) et u vremenskoj domeni
jednako je funkciji pomaka u laquosraquo domeni
Teorem 6 Teorem o preslikavanju derivacije u vremenskoj domeni
Ako postoji transformat F(s) funkcije f(t) i ako postoji transformacija prve derivacije
tada važi
)(f)s(Fsdt
)t(dfL
0
Oznaka )0( f je početna vrijednost funkcije u trenutku t = 0+ (vrijednost funkcije
kad 0 približava s desne strane)
Ld f t
dt
2
2
( )
2 ( ) (0) (0)s F s s f f
Teorem 7 Teorem o integriranju originala
Ako je funkcija F (s) transformat vremenske funkcije f (t) tada vrijedi
( ) (0 )
( ) (0 )F s f
L f t dt fs s
gdje je )0(f konstanta integracije ili početni uvjet ako se približavamo s desne
strane
Teorem 8 Teorem o konačnoj vrijednosti
Ako postoji Laplaceov transformat funkcije f (t) i dt
)t(df i ako postoji limes funkcije
f(t) kad trarrinfin tada vrijedi
lim f(t) = lim s F(s) trarrinfin srarr0
Teorem 9 Teorem o početnoj vrijednosti
Ako funkcija f (t) i njena derivacija zadovoljava uvjete postavljene za primjenu
Laplaceove transformacije i ako je F(s) Laplaceova transformacija funkcije f (t) te
ako i samo ako egzistira limes lim s F(s) tada vrijedi
lim f (t) = lim s F(s)
trarr0 srarrinfin
7
V Laplaceovi transformati standardnih pobudnih funkcija S( t ) δ (t) et sin ωt cos ωt
Pr Odredi Lndashtransformat jedinične step funkcije (odskočna) S(t)
u(t) = S(t)
0 za t lsaquo 0
( ) 1 za t 0
S t
0
00
1 1 1( ) 1 ( ) s t stu s S t e e e e
s s s
Ovo funkcija osigurava da svaka pomnožena s njom zadovoljava granice integrala
0 za t 0 f t
f t za t 0
Pr Odredi L ndash transformat step funkcije s amplitudom A
sAe)t(SAdte)t(SA)s(u
)t(SA)t(u
tsts 1
00
2 Impulsna funkcija (kao razlika odskočnih funkcija)
)ta(ulim)t(
)at(ua
)t(ua
)ta(u
a 0
11
u( t ) S( t )
8
0 00 0
1( ) lim lim
st
a a
stL t u t u t a e dtu a t e dta
= 00 0
0 0
1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim
0
ass t st as
aa a
eu t e dt u t a e dt e
a a s s a s
L Hospitalovo pravilo
10
0
s
s
s
eslim)t(L
sa
a
Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1
t
0 za t 0
t dt
Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)
0
00 0
( ) ( )
1
1 1( ) ( )|
sts t
s t
s t st
s t
udv uv udv
u t
u s t S t e dtdv e dt
v es
u s L t t e dt t e dtse s
0
0 2 2 2
0
1 1 1 1 1( ) 0 1| st
s t
te A e e A A
se s s s s s
Dio rješenja funkcija A (t) = 0
0( )
1|
s t
t
e e
jest neodređeni oblik
9
Primijenom L Hospitalovog pravila
st st s
2
t 1 1 1lim A t lim lim 0
e s e se
1( )
t t t
u s L ts
Granične vrijednosti
Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo
100
0
0 00
Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo
a) NEODREĐENI OBLICI 0
0 i
Ako je f (x) = )(
)(
x
x
pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji
sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je
lim 0 lim 0
lim lim
lim lim
x a x a
x a x a
x a x a
x i x ili
x i x tada je
xf x
x
U slučaju da lim )(
)(
x
x
predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak
ponovo primjenjuje
Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike
022
11101
ss
s
sds
d)s(F
ds
ddte)t(SttL ts
10
Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je
opisan izrazom tetu 2)( [V]
( 1)
0 0
( 1)
0
( 1)
0
0
( ) 2 2
12 (( 1) )
1
2
1
2 20 ( )
1 1
|
t s t s t
s t
s t
L u t e e dt e dt
e d s ts
es
es s
1
12
2
s)s(u
e)t(u t
Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj
(Laplaceovoj) domeni
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u (t) = Um middot sin ωt
00
dtetsinUdte)tsinU()s(u ts
m
ts
m
Iz tablica integrala dobiva se
2
0
2 2 2 2
sin sin cos( )
0 0 1
s teL t s t t
s
s
s s
22
s
UtsinUL mm
Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske
funkcije
cos sin cos sin
sin2
cos2
j t j t
j t j t
j t j t
e t j t e t j t
e et
j
e et
11
( ) ( )
0 0 0
1sin sin ( )
2 2
j t j ts t s t s j t s j te e
L t t e dt e dt e e dtj j
( ) ( )
0
2 2 2 2
1 1 1
2 ( )
1 1 1 1
2 ( ) ( ) 2
|s j t s j te ej s j s j
s j s j
j s j s j j s s
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u ( t ) = Um cos ωt
0 0
( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st
m mu s L u t S t U t e dt U t e dt
Iz tablica integrala dobiva se
2 2
0
2 2 2 2
2 2
cos ( cos sin( )
1 1( 1) 0
|s te
L t s t ts
ss s
s
s
Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko
je već poznata slika sinus funkcije
2 2 2 2
1 1cos sin
d sL t L t s
dt s s
2 2( ) m
su s U
s
22 Prijenosna funkcija
Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim
koeficijentima 1 1
1 1 0 1 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m m
n n m mn n m m
d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t
dt dt dt dt dt dt
Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije
Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2
3 2 1 0 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
12
Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent
tada se ona može prikazati na slijedeći način
3 2
3 02 1 1
3 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
Ili na drugi način 3 2
3 2
3 2 1 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx tT T T y t x t
dt dt dt dt
Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju
sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale
Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )
( )di t du t
RC i t Cdt dt
odnosno 1
( ) ( )( )
di t du tT i t C
dt dt
gdje je 1T RC 1
V AsT R C F s
A V
( ) ( )( )
L di t u ti t
R dt R odnosno
1
( ) ( )( )
di t u tT i t
dt R
gdje je 1
LT
R
1
VsL AT s
VR
A
Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji
ima vremensku dimenziju sekunde
Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja
ima oblik polinoma varijable s 3 23 2
3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s
Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred
zagrade
3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s
Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i
ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija
1 0
3 23 23 2 1
( ) ( )
( ) 1 ( )
sy s A sG s
x s T T T s B ss s
Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve
početne uvjete jednake nuli
Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)
13
Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku
0
11 1023
3 22 13 3 2 1
3 3 3
3 3 3
( )
1( )
A
B B B
ss sy s
G s kT Tx s T s s s s s s
ss sT T T
gdje su sAi korjeni
brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične
jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi
23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija
Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati
vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava
diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom
obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je
potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je
moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv
Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike
nepoznate funkcije y(s) koja glasi
1( ) ( )y t L G s x s
Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije
Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju
jednostavne slike
a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna
prijelazna funkcija i označava se sa g(t)
1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s
Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva
b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1
s naziva se prijelazna
funkcija i označava se sa h(t)
1 1( )h t L G s
s
14
231 Inverzna Laplaceova transformacija
Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih
jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi
Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije
1
1 1 0
111 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
a s a s a s aA sy s
B s s b s s bb
gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi
Obično je nm
Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne
varijable
1 1( ) ( )
2
c jst
c j
f t L y s y s e dsj
Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i
pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )
( )
A sy s
B s može se jednoznačno
rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja
1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s = 1 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m
n n
a s a s a A B C
s s s s s s s s s s s s
Pr
2 2 22 2
3 2 2
2
2
1 1 1
( 1) ( )6 1 6 1( )
( 1) ( 1)1 1
1
6
1
1 1 3 4
1 3 4( )
( 1) ( 1)
1 3 4( ) ( 1
( 1) ( 1)
A s B s s C s ss s s s A B CF s
s s s s ss s s s
s A B C s B C A
s s
A B C
B C
A A B C
F ss s s
f t L L Ls s s
3 4 )t te e
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
7
V Laplaceovi transformati standardnih pobudnih funkcija S( t ) δ (t) et sin ωt cos ωt
Pr Odredi Lndashtransformat jedinične step funkcije (odskočna) S(t)
u(t) = S(t)
0 za t lsaquo 0
( ) 1 za t 0
S t
0
00
1 1 1( ) 1 ( ) s t stu s S t e e e e
s s s
Ovo funkcija osigurava da svaka pomnožena s njom zadovoljava granice integrala
0 za t 0 f t
f t za t 0
Pr Odredi L ndash transformat step funkcije s amplitudom A
sAe)t(SAdte)t(SA)s(u
)t(SA)t(u
tsts 1
00
2 Impulsna funkcija (kao razlika odskočnih funkcija)
)ta(ulim)t(
)at(ua
)t(ua
)ta(u
a 0
11
u( t ) S( t )
8
0 00 0
1( ) lim lim
st
a a
stL t u t u t a e dtu a t e dta
= 00 0
0 0
1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim
0
ass t st as
aa a
eu t e dt u t a e dt e
a a s s a s
L Hospitalovo pravilo
10
0
s
s
s
eslim)t(L
sa
a
Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1
t
0 za t 0
t dt
Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)
0
00 0
( ) ( )
1
1 1( ) ( )|
sts t
s t
s t st
s t
udv uv udv
u t
u s t S t e dtdv e dt
v es
u s L t t e dt t e dtse s
0
0 2 2 2
0
1 1 1 1 1( ) 0 1| st
s t
te A e e A A
se s s s s s
Dio rješenja funkcija A (t) = 0
0( )
1|
s t
t
e e
jest neodređeni oblik
9
Primijenom L Hospitalovog pravila
st st s
2
t 1 1 1lim A t lim lim 0
e s e se
1( )
t t t
u s L ts
Granične vrijednosti
Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo
100
0
0 00
Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo
a) NEODREĐENI OBLICI 0
0 i
Ako je f (x) = )(
)(
x
x
pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji
sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je
lim 0 lim 0
lim lim
lim lim
x a x a
x a x a
x a x a
x i x ili
x i x tada je
xf x
x
U slučaju da lim )(
)(
x
x
predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak
ponovo primjenjuje
Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike
022
11101
ss
s
sds
d)s(F
ds
ddte)t(SttL ts
10
Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je
opisan izrazom tetu 2)( [V]
( 1)
0 0
( 1)
0
( 1)
0
0
( ) 2 2
12 (( 1) )
1
2
1
2 20 ( )
1 1
|
t s t s t
s t
s t
L u t e e dt e dt
e d s ts
es
es s
1
12
2
s)s(u
e)t(u t
Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj
(Laplaceovoj) domeni
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u (t) = Um middot sin ωt
00
dtetsinUdte)tsinU()s(u ts
m
ts
m
Iz tablica integrala dobiva se
2
0
2 2 2 2
sin sin cos( )
0 0 1
s teL t s t t
s
s
s s
22
s
UtsinUL mm
Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske
funkcije
cos sin cos sin
sin2
cos2
j t j t
j t j t
j t j t
e t j t e t j t
e et
j
e et
11
( ) ( )
0 0 0
1sin sin ( )
2 2
j t j ts t s t s j t s j te e
L t t e dt e dt e e dtj j
( ) ( )
0
2 2 2 2
1 1 1
2 ( )
1 1 1 1
2 ( ) ( ) 2
|s j t s j te ej s j s j
s j s j
j s j s j j s s
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u ( t ) = Um cos ωt
0 0
( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st
m mu s L u t S t U t e dt U t e dt
Iz tablica integrala dobiva se
2 2
0
2 2 2 2
2 2
cos ( cos sin( )
1 1( 1) 0
|s te
L t s t ts
ss s
s
s
Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko
je već poznata slika sinus funkcije
2 2 2 2
1 1cos sin
d sL t L t s
dt s s
2 2( ) m
su s U
s
22 Prijenosna funkcija
Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim
koeficijentima 1 1
1 1 0 1 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m m
n n m mn n m m
d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t
dt dt dt dt dt dt
Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije
Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2
3 2 1 0 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
12
Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent
tada se ona može prikazati na slijedeći način
3 2
3 02 1 1
3 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
Ili na drugi način 3 2
3 2
3 2 1 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx tT T T y t x t
dt dt dt dt
Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju
sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale
Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )
( )di t du t
RC i t Cdt dt
odnosno 1
( ) ( )( )
di t du tT i t C
dt dt
gdje je 1T RC 1
V AsT R C F s
A V
( ) ( )( )
L di t u ti t
R dt R odnosno
1
( ) ( )( )
di t u tT i t
dt R
gdje je 1
LT
R
1
VsL AT s
VR
A
Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji
ima vremensku dimenziju sekunde
Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja
ima oblik polinoma varijable s 3 23 2
3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s
Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred
zagrade
3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s
Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i
ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija
1 0
3 23 23 2 1
( ) ( )
( ) 1 ( )
sy s A sG s
x s T T T s B ss s
Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve
početne uvjete jednake nuli
Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)
13
Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku
0
11 1023
3 22 13 3 2 1
3 3 3
3 3 3
( )
1( )
A
B B B
ss sy s
G s kT Tx s T s s s s s s
ss sT T T
gdje su sAi korjeni
brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične
jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi
23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija
Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati
vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava
diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom
obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je
potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je
moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv
Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike
nepoznate funkcije y(s) koja glasi
1( ) ( )y t L G s x s
Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije
Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju
jednostavne slike
a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna
prijelazna funkcija i označava se sa g(t)
1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s
Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva
b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1
s naziva se prijelazna
funkcija i označava se sa h(t)
1 1( )h t L G s
s
14
231 Inverzna Laplaceova transformacija
Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih
jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi
Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije
1
1 1 0
111 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
a s a s a s aA sy s
B s s b s s bb
gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi
Obično je nm
Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne
varijable
1 1( ) ( )
2
c jst
c j
f t L y s y s e dsj
Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i
pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )
( )
A sy s
B s može se jednoznačno
rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja
1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s = 1 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m
n n
a s a s a A B C
s s s s s s s s s s s s
Pr
2 2 22 2
3 2 2
2
2
1 1 1
( 1) ( )6 1 6 1( )
( 1) ( 1)1 1
1
6
1
1 1 3 4
1 3 4( )
( 1) ( 1)
1 3 4( ) ( 1
( 1) ( 1)
A s B s s C s ss s s s A B CF s
s s s s ss s s s
s A B C s B C A
s s
A B C
B C
A A B C
F ss s s
f t L L Ls s s
3 4 )t te e
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
8
0 00 0
1( ) lim lim
st
a a
stL t u t u t a e dtu a t e dta
= 00 0
0 0
1 1 1 1 1 1 0lim ( ) ( ) lim lim
0
ass t st as
aa a
eu t e dt u t a e dt e
a a s s a s
L Hospitalovo pravilo
10
0
s
s
s
eslim)t(L
sa
a
Definicija za t 0 i to tako da je ( ) 1
t
0 za t 0
t dt
Pr Odredi L ndash transformat funkcije napona u(t) = t S(t)
0
00 0
( ) ( )
1
1 1( ) ( )|
sts t
s t
s t st
s t
udv uv udv
u t
u s t S t e dtdv e dt
v es
u s L t t e dt t e dtse s
0
0 2 2 2
0
1 1 1 1 1( ) 0 1| st
s t
te A e e A A
se s s s s s
Dio rješenja funkcija A (t) = 0
0( )
1|
s t
t
e e
jest neodređeni oblik
9
Primijenom L Hospitalovog pravila
st st s
2
t 1 1 1lim A t lim lim 0
e s e se
1( )
t t t
u s L ts
Granične vrijednosti
Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo
100
0
0 00
Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo
a) NEODREĐENI OBLICI 0
0 i
Ako je f (x) = )(
)(
x
x
pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji
sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je
lim 0 lim 0
lim lim
lim lim
x a x a
x a x a
x a x a
x i x ili
x i x tada je
xf x
x
U slučaju da lim )(
)(
x
x
predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak
ponovo primjenjuje
Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike
022
11101
ss
s
sds
d)s(F
ds
ddte)t(SttL ts
10
Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je
opisan izrazom tetu 2)( [V]
( 1)
0 0
( 1)
0
( 1)
0
0
( ) 2 2
12 (( 1) )
1
2
1
2 20 ( )
1 1
|
t s t s t
s t
s t
L u t e e dt e dt
e d s ts
es
es s
1
12
2
s)s(u
e)t(u t
Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj
(Laplaceovoj) domeni
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u (t) = Um middot sin ωt
00
dtetsinUdte)tsinU()s(u ts
m
ts
m
Iz tablica integrala dobiva se
2
0
2 2 2 2
sin sin cos( )
0 0 1
s teL t s t t
s
s
s s
22
s
UtsinUL mm
Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske
funkcije
cos sin cos sin
sin2
cos2
j t j t
j t j t
j t j t
e t j t e t j t
e et
j
e et
11
( ) ( )
0 0 0
1sin sin ( )
2 2
j t j ts t s t s j t s j te e
L t t e dt e dt e e dtj j
( ) ( )
0
2 2 2 2
1 1 1
2 ( )
1 1 1 1
2 ( ) ( ) 2
|s j t s j te ej s j s j
s j s j
j s j s j j s s
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u ( t ) = Um cos ωt
0 0
( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st
m mu s L u t S t U t e dt U t e dt
Iz tablica integrala dobiva se
2 2
0
2 2 2 2
2 2
cos ( cos sin( )
1 1( 1) 0
|s te
L t s t ts
ss s
s
s
Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko
je već poznata slika sinus funkcije
2 2 2 2
1 1cos sin
d sL t L t s
dt s s
2 2( ) m
su s U
s
22 Prijenosna funkcija
Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim
koeficijentima 1 1
1 1 0 1 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m m
n n m mn n m m
d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t
dt dt dt dt dt dt
Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije
Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2
3 2 1 0 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
12
Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent
tada se ona može prikazati na slijedeći način
3 2
3 02 1 1
3 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
Ili na drugi način 3 2
3 2
3 2 1 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx tT T T y t x t
dt dt dt dt
Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju
sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale
Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )
( )di t du t
RC i t Cdt dt
odnosno 1
( ) ( )( )
di t du tT i t C
dt dt
gdje je 1T RC 1
V AsT R C F s
A V
( ) ( )( )
L di t u ti t
R dt R odnosno
1
( ) ( )( )
di t u tT i t
dt R
gdje je 1
LT
R
1
VsL AT s
VR
A
Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji
ima vremensku dimenziju sekunde
Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja
ima oblik polinoma varijable s 3 23 2
3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s
Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred
zagrade
3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s
Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i
ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija
1 0
3 23 23 2 1
( ) ( )
( ) 1 ( )
sy s A sG s
x s T T T s B ss s
Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve
početne uvjete jednake nuli
Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)
13
Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku
0
11 1023
3 22 13 3 2 1
3 3 3
3 3 3
( )
1( )
A
B B B
ss sy s
G s kT Tx s T s s s s s s
ss sT T T
gdje su sAi korjeni
brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične
jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi
23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija
Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati
vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava
diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom
obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je
potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je
moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv
Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike
nepoznate funkcije y(s) koja glasi
1( ) ( )y t L G s x s
Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije
Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju
jednostavne slike
a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna
prijelazna funkcija i označava se sa g(t)
1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s
Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva
b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1
s naziva se prijelazna
funkcija i označava se sa h(t)
1 1( )h t L G s
s
14
231 Inverzna Laplaceova transformacija
Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih
jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi
Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije
1
1 1 0
111 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
a s a s a s aA sy s
B s s b s s bb
gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi
Obično je nm
Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne
varijable
1 1( ) ( )
2
c jst
c j
f t L y s y s e dsj
Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i
pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )
( )
A sy s
B s može se jednoznačno
rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja
1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s = 1 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m
n n
a s a s a A B C
s s s s s s s s s s s s
Pr
2 2 22 2
3 2 2
2
2
1 1 1
( 1) ( )6 1 6 1( )
( 1) ( 1)1 1
1
6
1
1 1 3 4
1 3 4( )
( 1) ( 1)
1 3 4( ) ( 1
( 1) ( 1)
A s B s s C s ss s s s A B CF s
s s s s ss s s s
s A B C s B C A
s s
A B C
B C
A A B C
F ss s s
f t L L Ls s s
3 4 )t te e
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
9
Primijenom L Hospitalovog pravila
st st s
2
t 1 1 1lim A t lim lim 0
e s e se
1( )
t t t
u s L ts
Granične vrijednosti
Pravilo U slučajevima koji se svode na laquoneodređene oblikeraquo
100
0
0 00
Primijenjuje se L Hospitalovo pravilo
a) NEODREĐENI OBLICI 0
0 i
Ako je f (x) = )(
)(
x
x
pri čemu su funkcije )(x i )(x definirane u intervalu koji
sadrži točku a i u tom intervalu imaju konačne derivacije [ψ (x) ne 0] i ako je
lim 0 lim 0
lim lim
lim lim
x a x a
x a x a
x a x a
x i x ili
x i x tada je
xf x
x
U slučaju da lim )(
)(
x
x
predstavlja ponovo neodređeni oblik tada se postupak
ponovo primjenjuje
Jednostavnije je primjeniti teorem o deriviranju slike
022
11101
ss
s
sds
d)s(F
ds
ddte)t(SttL ts
10
Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je
opisan izrazom tetu 2)( [V]
( 1)
0 0
( 1)
0
( 1)
0
0
( ) 2 2
12 (( 1) )
1
2
1
2 20 ( )
1 1
|
t s t s t
s t
s t
L u t e e dt e dt
e d s ts
es
es s
1
12
2
s)s(u
e)t(u t
Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj
(Laplaceovoj) domeni
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u (t) = Um middot sin ωt
00
dtetsinUdte)tsinU()s(u ts
m
ts
m
Iz tablica integrala dobiva se
2
0
2 2 2 2
sin sin cos( )
0 0 1
s teL t s t t
s
s
s s
22
s
UtsinUL mm
Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske
funkcije
cos sin cos sin
sin2
cos2
j t j t
j t j t
j t j t
e t j t e t j t
e et
j
e et
11
( ) ( )
0 0 0
1sin sin ( )
2 2
j t j ts t s t s j t s j te e
L t t e dt e dt e e dtj j
( ) ( )
0
2 2 2 2
1 1 1
2 ( )
1 1 1 1
2 ( ) ( ) 2
|s j t s j te ej s j s j
s j s j
j s j s j j s s
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u ( t ) = Um cos ωt
0 0
( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st
m mu s L u t S t U t e dt U t e dt
Iz tablica integrala dobiva se
2 2
0
2 2 2 2
2 2
cos ( cos sin( )
1 1( 1) 0
|s te
L t s t ts
ss s
s
s
Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko
je već poznata slika sinus funkcije
2 2 2 2
1 1cos sin
d sL t L t s
dt s s
2 2( ) m
su s U
s
22 Prijenosna funkcija
Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim
koeficijentima 1 1
1 1 0 1 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m m
n n m mn n m m
d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t
dt dt dt dt dt dt
Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije
Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2
3 2 1 0 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
12
Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent
tada se ona može prikazati na slijedeći način
3 2
3 02 1 1
3 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
Ili na drugi način 3 2
3 2
3 2 1 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx tT T T y t x t
dt dt dt dt
Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju
sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale
Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )
( )di t du t
RC i t Cdt dt
odnosno 1
( ) ( )( )
di t du tT i t C
dt dt
gdje je 1T RC 1
V AsT R C F s
A V
( ) ( )( )
L di t u ti t
R dt R odnosno
1
( ) ( )( )
di t u tT i t
dt R
gdje je 1
LT
R
1
VsL AT s
VR
A
Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji
ima vremensku dimenziju sekunde
Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja
ima oblik polinoma varijable s 3 23 2
3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s
Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred
zagrade
3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s
Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i
ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija
1 0
3 23 23 2 1
( ) ( )
( ) 1 ( )
sy s A sG s
x s T T T s B ss s
Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve
početne uvjete jednake nuli
Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)
13
Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku
0
11 1023
3 22 13 3 2 1
3 3 3
3 3 3
( )
1( )
A
B B B
ss sy s
G s kT Tx s T s s s s s s
ss sT T T
gdje su sAi korjeni
brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične
jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi
23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija
Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati
vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava
diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom
obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je
potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je
moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv
Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike
nepoznate funkcije y(s) koja glasi
1( ) ( )y t L G s x s
Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije
Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju
jednostavne slike
a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna
prijelazna funkcija i označava se sa g(t)
1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s
Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva
b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1
s naziva se prijelazna
funkcija i označava se sa h(t)
1 1( )h t L G s
s
14
231 Inverzna Laplaceova transformacija
Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih
jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi
Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije
1
1 1 0
111 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
a s a s a s aA sy s
B s s b s s bb
gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi
Obično je nm
Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne
varijable
1 1( ) ( )
2
c jst
c j
f t L y s y s e dsj
Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i
pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )
( )
A sy s
B s može se jednoznačno
rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja
1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s = 1 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m
n n
a s a s a A B C
s s s s s s s s s s s s
Pr
2 2 22 2
3 2 2
2
2
1 1 1
( 1) ( )6 1 6 1( )
( 1) ( 1)1 1
1
6
1
1 1 3 4
1 3 4( )
( 1) ( 1)
1 3 4( ) ( 1
( 1) ( 1)
A s B s s C s ss s s s A B CF s
s s s s ss s s s
s A B C s B C A
s s
A B C
B C
A A B C
F ss s s
f t L L Ls s s
3 4 )t te e
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
10
Pr Odredi Laplaceovu transformaciju [L ndash transformat] funkcije napona koji je
opisan izrazom tetu 2)( [V]
( 1)
0 0
( 1)
0
( 1)
0
0
( ) 2 2
12 (( 1) )
1
2
1
2 20 ( )
1 1
|
t s t s t
s t
s t
L u t e e dt e dt
e d s ts
es
es s
1
12
2
s)s(u
e)t(u t
Primjedba Prigušenje u vremenskom (realnom području) - funkcija e-t daje pomak u donjoj
(Laplaceovoj) domeni
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u (t) = Um middot sin ωt
00
dtetsinUdte)tsinU()s(u ts
m
ts
m
Iz tablica integrala dobiva se
2
0
2 2 2 2
sin sin cos( )
0 0 1
s teL t s t t
s
s
s s
22
s
UtsinUL mm
Ovaj zadatak se jednostavnije rješava primjenom Eulerovih formula za trigonometrijske
funkcije
cos sin cos sin
sin2
cos2
j t j t
j t j t
j t j t
e t j t e t j t
e et
j
e et
11
( ) ( )
0 0 0
1sin sin ( )
2 2
j t j ts t s t s j t s j te e
L t t e dt e dt e e dtj j
( ) ( )
0
2 2 2 2
1 1 1
2 ( )
1 1 1 1
2 ( ) ( ) 2
|s j t s j te ej s j s j
s j s j
j s j s j j s s
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u ( t ) = Um cos ωt
0 0
( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st
m mu s L u t S t U t e dt U t e dt
Iz tablica integrala dobiva se
2 2
0
2 2 2 2
2 2
cos ( cos sin( )
1 1( 1) 0
|s te
L t s t ts
ss s
s
s
Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko
je već poznata slika sinus funkcije
2 2 2 2
1 1cos sin
d sL t L t s
dt s s
2 2( ) m
su s U
s
22 Prijenosna funkcija
Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim
koeficijentima 1 1
1 1 0 1 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m m
n n m mn n m m
d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t
dt dt dt dt dt dt
Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije
Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2
3 2 1 0 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
12
Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent
tada se ona može prikazati na slijedeći način
3 2
3 02 1 1
3 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
Ili na drugi način 3 2
3 2
3 2 1 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx tT T T y t x t
dt dt dt dt
Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju
sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale
Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )
( )di t du t
RC i t Cdt dt
odnosno 1
( ) ( )( )
di t du tT i t C
dt dt
gdje je 1T RC 1
V AsT R C F s
A V
( ) ( )( )
L di t u ti t
R dt R odnosno
1
( ) ( )( )
di t u tT i t
dt R
gdje je 1
LT
R
1
VsL AT s
VR
A
Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji
ima vremensku dimenziju sekunde
Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja
ima oblik polinoma varijable s 3 23 2
3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s
Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred
zagrade
3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s
Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i
ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija
1 0
3 23 23 2 1
( ) ( )
( ) 1 ( )
sy s A sG s
x s T T T s B ss s
Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve
početne uvjete jednake nuli
Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)
13
Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku
0
11 1023
3 22 13 3 2 1
3 3 3
3 3 3
( )
1( )
A
B B B
ss sy s
G s kT Tx s T s s s s s s
ss sT T T
gdje su sAi korjeni
brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične
jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi
23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija
Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati
vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava
diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom
obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je
potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je
moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv
Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike
nepoznate funkcije y(s) koja glasi
1( ) ( )y t L G s x s
Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije
Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju
jednostavne slike
a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna
prijelazna funkcija i označava se sa g(t)
1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s
Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva
b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1
s naziva se prijelazna
funkcija i označava se sa h(t)
1 1( )h t L G s
s
14
231 Inverzna Laplaceova transformacija
Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih
jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi
Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije
1
1 1 0
111 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
a s a s a s aA sy s
B s s b s s bb
gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi
Obično je nm
Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne
varijable
1 1( ) ( )
2
c jst
c j
f t L y s y s e dsj
Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i
pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )
( )
A sy s
B s može se jednoznačno
rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja
1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s = 1 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m
n n
a s a s a A B C
s s s s s s s s s s s s
Pr
2 2 22 2
3 2 2
2
2
1 1 1
( 1) ( )6 1 6 1( )
( 1) ( 1)1 1
1
6
1
1 1 3 4
1 3 4( )
( 1) ( 1)
1 3 4( ) ( 1
( 1) ( 1)
A s B s s C s ss s s s A B CF s
s s s s ss s s s
s A B C s B C A
s s
A B C
B C
A A B C
F ss s s
f t L L Ls s s
3 4 )t te e
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
11
( ) ( )
0 0 0
1sin sin ( )
2 2
j t j ts t s t s j t s j te e
L t t e dt e dt e e dtj j
( ) ( )
0
2 2 2 2
1 1 1
2 ( )
1 1 1 1
2 ( ) ( ) 2
|s j t s j te ej s j s j
s j s j
j s j s j j s s
Pr Odredi Lndashtransformat funkcije napona oblika
u ( t ) = Um cos ωt
0 0
( ) ( ) ( ) ( cos ) cos( )s t st
m mu s L u t S t U t e dt U t e dt
Iz tablica integrala dobiva se
2 2
0
2 2 2 2
2 2
cos ( cos sin( )
1 1( 1) 0
|s te
L t s t ts
ss s
s
s
Jednostavnije se dolazi do rezultata korištenjem teorema o preslikavanju derivacije ukoliko
je već poznata slika sinus funkcije
2 2 2 2
1 1cos sin
d sL t L t s
dt s s
2 2( ) m
su s U
s
22 Prijenosna funkcija
Ponašanje linearnog sustava općenito opisuje linearna diferencijalna jednadžba s konstantnim
koeficijentima 1 1
1 1 0 1 1 01 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
n n m m
n n m mn n m m
d y t d y t dy t d x t d x t dx ty t x t
dt dt dt dt dt dt
Red diferencijalne jednadžbe određen je brojem skladišta energije
Sustav s tri skladišta energije opisan je diferencijalnom jednadžbom trećeg reda 3 2
3 2 1 0 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
12
Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent
tada se ona može prikazati na slijedeći način
3 2
3 02 1 1
3 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
Ili na drugi način 3 2
3 2
3 2 1 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx tT T T y t x t
dt dt dt dt
Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju
sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale
Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )
( )di t du t
RC i t Cdt dt
odnosno 1
( ) ( )( )
di t du tT i t C
dt dt
gdje je 1T RC 1
V AsT R C F s
A V
( ) ( )( )
L di t u ti t
R dt R odnosno
1
( ) ( )( )
di t u tT i t
dt R
gdje je 1
LT
R
1
VsL AT s
VR
A
Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji
ima vremensku dimenziju sekunde
Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja
ima oblik polinoma varijable s 3 23 2
3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s
Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred
zagrade
3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s
Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i
ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija
1 0
3 23 23 2 1
( ) ( )
( ) 1 ( )
sy s A sG s
x s T T T s B ss s
Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve
početne uvjete jednake nuli
Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)
13
Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku
0
11 1023
3 22 13 3 2 1
3 3 3
3 3 3
( )
1( )
A
B B B
ss sy s
G s kT Tx s T s s s s s s
ss sT T T
gdje su sAi korjeni
brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične
jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi
23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija
Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati
vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava
diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom
obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je
potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je
moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv
Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike
nepoznate funkcije y(s) koja glasi
1( ) ( )y t L G s x s
Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije
Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju
jednostavne slike
a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna
prijelazna funkcija i označava se sa g(t)
1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s
Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva
b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1
s naziva se prijelazna
funkcija i označava se sa h(t)
1 1( )h t L G s
s
14
231 Inverzna Laplaceova transformacija
Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih
jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi
Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije
1
1 1 0
111 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
a s a s a s aA sy s
B s s b s s bb
gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi
Obično je nm
Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne
varijable
1 1( ) ( )
2
c jst
c j
f t L y s y s e dsj
Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i
pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )
( )
A sy s
B s može se jednoznačno
rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja
1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s = 1 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m
n n
a s a s a A B C
s s s s s s s s s s s s
Pr
2 2 22 2
3 2 2
2
2
1 1 1
( 1) ( )6 1 6 1( )
( 1) ( 1)1 1
1
6
1
1 1 3 4
1 3 4( )
( 1) ( 1)
1 3 4( ) ( 1
( 1) ( 1)
A s B s s C s ss s s s A B CF s
s s s s ss s s s
s A B C s B C A
s s
A B C
B C
A A B C
F ss s s
f t L L Ls s s
3 4 )t te e
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
12
Ukoliko se jednadžba svede na oblik da je uz nepoznatu funkciju y(t) jedinični koeficijent
tada se ona može prikazati na slijedeći način
3 2
3 02 1 1
3 2
0 0 0 0 0
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx ty t x t
dt dt dt dt
Ili na drugi način 3 2
3 2
3 2 1 1 03 2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )
d y t d y t dy t dx tT T T y t x t
dt dt dt dt
Novouvedeni koeficijenti nazivaju se vremenske konstante jer moraju imati dimenziju
sekunda da bi lijeva i desna strana diferencijalne jednadžbe dimenzijski odgovarale
Na primjer za serijski RC krug i RL krug vrijede slijedeće jednadžbe ( ) ( )
( )di t du t
RC i t Cdt dt
odnosno 1
( ) ( )( )
di t du tT i t C
dt dt
gdje je 1T RC 1
V AsT R C F s
A V
( ) ( )( )
L di t u ti t
R dt R odnosno
1
( ) ( )( )
di t u tT i t
dt R
gdje je 1
LT
R
1
VsL AT s
VR
A
Zaključak Vremenske konstante su produkt ili kvocjent različitih fizikalnih parametara koji
ima vremensku dimenziju sekunde
Primjenom Laplaceove transformacije na diferencijalnu jednadžbu dobije se njena slika koja
ima oblik polinoma varijable s 3 23 2
3 2 1 1 0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )T y s T y s T s y s y s s x s x ss s
Budući da su slike u algebarskom području moguće je zajedničke faktore staviti ispred
zagrade
3 23 23 2 1 1 0( ) 1 ( )y s T T T s x s ss s
Uvede li se nova funkcija kompleksne varijable js kao omjer transformata izlazne i
ulazne funkcije sustava dobiva se prijenosna funkcija
1 0
3 23 23 2 1
( ) ( )
( ) 1 ( )
sy s A sG s
x s T T T s B ss s
Definicija Prijenosna funkcija je omjer L-transformata izlazne i ulazne funkcije uz sve
početne uvjete jednake nuli
Prijenosna funkcija je racionalna funkcija (ima oblik razlomka) dvaju polinoma A(s) i B(s)
13
Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku
0
11 1023
3 22 13 3 2 1
3 3 3
3 3 3
( )
1( )
A
B B B
ss sy s
G s kT Tx s T s s s s s s
ss sT T T
gdje su sAi korjeni
brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične
jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi
23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija
Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati
vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava
diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom
obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je
potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je
moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv
Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike
nepoznate funkcije y(s) koja glasi
1( ) ( )y t L G s x s
Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije
Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju
jednostavne slike
a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna
prijelazna funkcija i označava se sa g(t)
1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s
Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva
b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1
s naziva se prijelazna
funkcija i označava se sa h(t)
1 1( )h t L G s
s
14
231 Inverzna Laplaceova transformacija
Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih
jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi
Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije
1
1 1 0
111 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
a s a s a s aA sy s
B s s b s s bb
gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi
Obično je nm
Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne
varijable
1 1( ) ( )
2
c jst
c j
f t L y s y s e dsj
Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i
pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )
( )
A sy s
B s može se jednoznačno
rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja
1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s = 1 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m
n n
a s a s a A B C
s s s s s s s s s s s s
Pr
2 2 22 2
3 2 2
2
2
1 1 1
( 1) ( )6 1 6 1( )
( 1) ( 1)1 1
1
6
1
1 1 3 4
1 3 4( )
( 1) ( 1)
1 3 4( ) ( 1
( 1) ( 1)
A s B s s C s ss s s s A B CF s
s s s s ss s s s
s A B C s B C A
s s
A B C
B C
A A B C
F ss s s
f t L L Ls s s
3 4 )t te e
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
13
Za analizu sustava prikladno je polinome A(s) i B(s) prikazati u faktoriziranom obliku
0
11 1023
3 22 13 3 2 1
3 3 3
3 3 3
( )
1( )
A
B B B
ss sy s
G s kT Tx s T s s s s s s
ss sT T T
gdje su sAi korjeni
brojnika dobiveni iz A(s) = 0 i nazivaju se nule sustava a sBj korjeni karakteristične
jednadžbe B(s) = 0 i nazivaju se polovi
23 Vremenski odziv i prijelazna funkcija
Za zaključivanje o ponašanju sustava i njegovoj kvaliteti nužno je poznavati
vremenski odziv y(t) na poznatu pobudnu veličinu x(t) U stvarnosti sustav rješava
diferencijalnu jednadžbu (ponaša se kao analogno računalo) čije se rješenje u grafičkom
obliku može vidjeti na mjernom članu pomoću osciloskopa ili oscilografa S obzirom da je
potrebno poznavati prijenosne funkcije i odziv prije puštanja sustava u pogon odziv je
moguće dobiti simuliranjem sustava u Matlabu ili odrediti analitički i grafički odziv
Analitički odziv y(t) dobiva se primjenom inverzne Laplaceove transformacije slike
nepoznate funkcije y(s) koja glasi
1( ) ( )y t L G s x s
Definicija Prijenosna funkcija je složeni operator koji djeluje na sliku pobudne funkcije
Često se zbog jednostavnijeg računanja koriste jednostavne pobudne funkcije koje imaju
jednostavne slike
a) Odziv na impulsnu funkciju δ(t) čija je slika 1( ) ( ) 1y s L t naziva se impulsna
prijelazna funkcija i označava se sa g(t)
1( ) 1g t L G s Odavde slijedi ( )L g t G s
Definicija Prijenosna funkcija odgovara L-transformatu impulsnog odziva
b) Odziv na skokovitu promjenu jediničnog iznosa S(t) čija je slika 1
s naziva se prijelazna
funkcija i označava se sa h(t)
1 1( )h t L G s
s
14
231 Inverzna Laplaceova transformacija
Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih
jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi
Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije
1
1 1 0
111 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
a s a s a s aA sy s
B s s b s s bb
gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi
Obično je nm
Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne
varijable
1 1( ) ( )
2
c jst
c j
f t L y s y s e dsj
Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i
pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )
( )
A sy s
B s može se jednoznačno
rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja
1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s = 1 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m
n n
a s a s a A B C
s s s s s s s s s s s s
Pr
2 2 22 2
3 2 2
2
2
1 1 1
( 1) ( )6 1 6 1( )
( 1) ( 1)1 1
1
6
1
1 1 3 4
1 3 4( )
( 1) ( 1)
1 3 4( ) ( 1
( 1) ( 1)
A s B s s C s ss s s s A B CF s
s s s s ss s s s
s A B C s B C A
s s
A B C
B C
A A B C
F ss s s
f t L L Ls s s
3 4 )t te e
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
14
231 Inverzna Laplaceova transformacija
Problem rješavanja diferencijalnih jednadžbi prenesen je iz domene diferencijalnih
jednadžbi u kompleksno područje i sveden na rješavanje algebarskih jednadžbi
Slika nepoznate veličine y(s) općenito se dobije u obliku racionalne funkcije
1
1 1 0
111 0
( )( )
( )
m m
m m
n n
n
a s a s a s aA sy s
B s s b s s bb
gdje su an a0 i bn-1 b0 realne konstante a m i n realni pozitivni cijeli brojevi
Obično je nm
Pretvorba funkcije ( )y s u vremensku funkciju f(t) određena je integralom kompleksne
varijable
1 1( ) ( )
2
c jst
c j
f t L y s y s e dsj
Međutim jednostavije je funkciju y(s) rastaviti na sumu parcijalnih razlomaka i
pomoću tablica prebaciti u gornje područje Polinom ( )
( )
A sy s
B s može se jednoznačno
rastaviti u sumu parcijalnih razlomaka pri čemu su moguća četiri slučaja
1 Nazivnik B(s) je takav da jednadžba B(s) = 0 ima samo realne jednostruke korjene
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s = 1 0
1 2 1 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m
n n
a s a s a A B C
s s s s s s s s s s s s
Pr
2 2 22 2
3 2 2
2
2
1 1 1
( 1) ( )6 1 6 1( )
( 1) ( 1)1 1
1
6
1
1 1 3 4
1 3 4( )
( 1) ( 1)
1 3 4( ) ( 1
( 1) ( 1)
A s B s s C s ss s s s A B CF s
s s s s ss s s s
s A B C s B C A
s s
A B C
B C
A A B C
F ss s s
f t L L Ls s s
3 4 )t te e
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
15
2 Korjeni nazivnika su realni ali među njima ima višestrukih
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )( )
( )
A sy s
B s =
1 0 1 2 1 2
2 2
1 2 1 1 1 2 2 2
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
m
m k l
k l k l
a s a s a A BA A B B
s s s s s s s s s s s s s s s s
Pr
31 1 2
3 2 3 2 3
1 1 1 1 2
2 3
1 1 1 1 2( )
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
1 1 1 2( ) ( 1 )
( 1) ( 1) ( 1)
t t t
BA B BsF s
s s s s s s s s s s
f t L L L L e t e t es s s s
3 Među korjenima nazivnika ima jednostrukih kompleksnih korjena
Rastavljanje se vrši na slijedeći način
( )
( )
A s
B s= 1
1 1
1 0 1 2
2 2 2
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
mkm
k k
Aa s a s a A A D s E
s s s c s d s s s s s s s c s d
= 1
1
1 2
2 2
1 1 1
( ) ( )
k
k
AA A Ds E
s s s s s s s c s d
Pr 2
2 2
3 2
( 1)( 1) 1 1
s A Ds E
s s s s s s
2
3 2 2
3 2 1 2 3( )
2 2 1 1 1
s sF s
s s s s s s
4 Među korjenima ima višestrukih kompleksnih korijena
1 0
2
1
( )
( ) ( ) ( )
m
m
k l
a s a s aA s
B s s s s c s d
= 1
1
A
s s+ 2
2
1( )
A
s s+ +
1( )
k
k
A
s s + 1 1 2 2
2 2 2 2
( ) ( )
l l
l
D s ED s E D s E
s c s d s c s d s c s d
Pr 2
2 2
5 4 16
( 3)( 1) 3
s s A
s s s s
1 1
2 1
D s E
s s
2 2
2 2( 1)
D s E
s s
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
16
Pr Odredi vremensku promjenu struje za električki krug prema slici uz L=5 H R=10Ω i
napon izvora 15 V
Odredi početnu i konačnu vrijednost struje primjenom teorema početne i konačne vrijednosti
( )
( )
1( ) ( ) ( )
diu t L i R
dt
diU S t L i R
dt
U L s i s R i s i s R L ss
1
( ) (0 ) ( ) struja u trenutku t 0 ima iznos 0 pa slijedi
1( )
1 1( )
1
1 1( )
1
U L s i s i R i ss
Ui s
s R L s
Ui s
LR ss
R
i s Is T s
gdje je 5
05 10
LT s
R vremenska konstanta
VsL AT s
VR
A
Slika struje koju treba vratiti u gornje(vremensko) područje glasi
1 1
( )1
Ui s
R s T s
Postupak U nazivniku su dva korjena koji su realni jednostruki(JEDNO SKLADIŠTE ENERGIJE)
t=0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
17
1 2
1 1 1 1 1 1( )
11
U U U A Bi s
R s T s R T s R T s s s ss
T
s1 i s2 su realni brojevi tj brojevi iz skupa R (s1s2 Є R)
2 1
1 2
1 2
( )1 1
1 ( )( )
10
A B s As BsU
R s T s s s s s
s sT
Treba odrediti koeficijente A i B
10 ( ) 0 1
A B A BT
A T B T
1 2
05
1 1 1 1 1 1 1( )
1 11
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
tt
T
U U U A B U T Ti s
R s T s R T s R T s s s s R T ss s
T T
U
R ss
T
Ui t e e
R
0 05 1 15 2 25 3 35 40
05
1
15
t(s)
i(t)
A
T
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
18
Pr Odredi odziv (vremensku promjenu) napona kondenzatora C nakon zatvaranja kontakta S
ako je R=10 kΩ C=10 μF i U=15 V uz ispražnjen kondenzator
1
1
01 1( )
1( )
1 1
U S t i t R i t dtC
i s iUi s R i s R
s C s s sC
U U Ci s
s s RCR
sC
01
1 1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( )
1 1
1 1
1
( ) (1 ) 15 (1 )
c
c
tt t
T Tc
UCU s i s U
sC s RC sC s RC s
U s U Us RCs s T s
U
T ss
T
U t U U e U e e
0 01 02 03 04 05 06 07 080
5
10
15
t(s)
uc(t)
V
T
U
t=0
U
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
19
Pr Odredi vremenski odziv RC člana prema slici uz R1= 16 kΩ R2= 8 kΩ C= 5 μF a
ulazni napon u1= 15 S(t) V
1 1
1 1
1 21 2
1 1 1 12 1 1
1 2 1 2 2
1 1 2 1 2
1 11 1 1 12
2 2
1515 ( )
( )1 ( ) 1
1 11( )
( ) 1 ( ) 1 1
008 ( ) 048
1
1
u t S t u ss
u s u s sCi s
R R sCR R
sC
u s sC s R C U sTu t R u s
R R sC sC R R sC s sT
T R C s T R R C s
sU sT U T
u t L Ls sT s T
2 1 1
11 1 11
2
2 2
1 11 1 1 2 11 1 1
2 2 1 2
2 2
1 1
1
1 1
1
1 11 1
1 1
t t t t
T T T
sT T T
U LT s
s sT T
T T T T TU L L U U
T s T T Ts s
T T
e e e
2
008 0482 15 1 0167
T
t t
u t
e
e e
u1(t) u2(t)
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
20
0 05 1 15 2 25 30
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
t(s)
u2(t
)
V
Pr Odredi vremensku ovisnost izlaznog signala RC člana prema slici uz R= 100 kΩ
C= 1 μF a ulazni napon ima oblik
a) 1 15 ( ) ( 06)u t S t S t V
b) 1 15 ( ) ( 06)u t t S t S t V
a) 06
1 1
15 1515 ( ) ( 06) su t S t S t u s e
s s
u1(t) u2(t)
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
21
1 061 12 1
06 06 061 1 1 1 1 12
1 1( )
1 1 1
1 1 1 1( )
1 1 11( )
01
s
s s s
u s U Uu s i s R R s CR u s s RC e
s RC sRC s sR
s C
U U U U U Uu s sT e T e e
s T s s s s s sT s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema
01 012 1 1( ) ( ) ( 06) 15 ( ) 15 ( 06)
t tt t
T T
o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
5
10
15
u1(t
)
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 14-18
-15-12-9-6
-3036
9121518
t(s)
u1(t
)
V
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
22
b)
06
1 1 2 2
15 1515 ( ) ( 06) su t t S t S t u s e
s s
06 061 1 1 12 1 2 2
012 1 1
( ) ( )1 1 11
01
( ) 1 ( ) 1 ( 06) 15 1
s s
tt t
T T
U U U UsT su s u s e e
s T s ss s s s s
T T T
T RC s Iz tablica i primjenom teorema o pomaku slijedi
u t U e S t U e S t e
01( ) 15 1 ( 06)
t
S t e S t
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
u1(t
)
V
0 01 02 03 04 05 06 07 08 09 1 11 12 13 140
02
04
06
08
1
12
14
16
t(s)
u2(t
)
V
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
23
Pr Za serijski RLC krug srema slici odredite vremensku ovisnost napona na otporniku
zavojnici i konenzatoru nakon zatvaranja kontakta S
R=100 Ω
L=1 H
C=100 microF
24 V
S
U1(t)
i(t)
R
sL
24 V
S
U1(s)
i(s)1
sC
11 2
11
RCsLCs
sUCs
CsLsR
sUsi
Brojnici će se kod određivanja napona mijenjati a nazivnik je uvijek isti jer se radi o istoj
strukturi (istom RLC krugu)
a) Napon na otporniku
LCL
Rss
sURCs
LCs
U
RCsLCs
sURCsRsiU R 1
1
1 2
11
2
1
U tablicama se može pronaći izraz koji oblikom odgovara gornjem izrazu (relacija 15)
22
1
2
11
2
1
211nn
Rss
s
L
R
s
U
LCL
Rss
sUs
L
R
s
U
RCsLCs
sURCsRsiU
4
6
2 10101001
11
LCn
1
1002
L
Rn
n=100 rads 502
100
n
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
24
Iz tablica L-transformacije izraz (15) daje
UR(t) =
)tsin(e n
t
n
n 2
21
1
1
1
10024
= 24 middot 100 middot 05100 2
2
1sin(100 1 05 )
100 1 05
te t
=24 middot 1154 e-50t middot sin ( 866 t) = 277 e-50t sin (866 t)
b) Napon na zavojnici može se dobiti na dva načina
b1) UL(s) = U1 (s) 1 2
1( )
1 1
sLsL U s
s LC sRCR sL
sC sC
= 2
11 12 2 2
2 11 2 n n
U s LC s sU U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
= U1 s F (s)
UL (t) = U1
dt
ƒ(t))(d
F(s) = 4222 10100502
1
2
1
sssLCs nn
Iz tablica izraz 15
ƒ(t) = )tsin(e n
t
n
n
2
21
1
1
= )tsin(e
t
750100750100
1 50
UL(t) = )tsin(edt
d
t
6868660100
24 50
= 686)686cos(686sin508660100
24 5050
tete tt
= 8660100
24
)sin(costsintcose t 906865068668650
= 8660100
24
)686sin(50 te t
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
25
Koristeći relacije za zbrajanje dvije sinusoide iste frekvencije
1 2 2 2
2 2
1 2 1 2 2 1
2 2
1 1 2 2
1 1 2 2
sin( ) sin( ) sin( )
2 cos( )
866 50 749956 2500 10000 100
sin sin 866sin 90 50sin 0 866 173
cos cos 866cos90 50cos0 50
A t A t A t
A A A A A
A
A Atg arctg
A A
rješenja su kut
50
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 )
3
t
L
ovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
u t e t
b2) Na drugi način rješenje se dobije upotrebom relacije (iz tablica relacija - 16)
2 21
2 2
2 2 2
2
2
( )sin( )
( )
(1 )
0
1 1arccos arccos
1
at
n
n
s z z aL e t
s a z a
arctgz a
a
z
Ovdjevrijedemeđusobnevezeciklometrijskih funkcija
xarctgx x arctg
xx
2
11 12 2 2
2 11 2L
n n
U s LC s sU s U U
Rs s LC sRC s ss s
L LC
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
26
Nadopunjavanjem na puni kvadrat da se dobije oblik kakav se može naći u tablicama slijedi
2 2 22
1 2 2
2 2 2 2 22
1 2 2
21
2
50
2 2
( ) (1 )( ) sin( 1 )
(1 )
sin( 1 )(1 )
sin( 1 )1
24sin(866 )
3075
1 1
n
n
n
tn nL n
n
tn n nn
n
t
n
t
n
n
U t U e t
U e t
Ue t
e t
arctg arctg arctg
50 50
075 0866
05 05
173
2 0
3 3
2( ) 277 sin(866 ) 277 cos(866
3
t t
L
arctg
arctg
rješenja su kutovi i Odabire seonaj kut koji u trenutku t dajenapon izvora
jer zavojnica nedopušta protjecanje struje
U t e t e t
)6
c) Napon na kondenzatoru
1 1 2
1 1 2 22
2 1
2 2
1 1 1( ) ( )
1 1
1 1 1 1( ) ( )
1 2
1( )
2
c
n n
c n
n n
U U s U ssC s LC sRC
R sLsC
U s U sRLC LC s s
s sL LC
Uu s
s s s
Iz relacije (17) dobiva se
1
2 2 2
2
1 1 1 1 L sin( )
2
1
arccos
nt
dn nn n d
d n
e ts s s
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0
27
2 2
c 1 2
22
12 2
2 50
12
1 1( ) sin( 1
1 sin( 1 )1
1 11 sin( 1 ) 24 1 sin(866 )
0751
arccos05 3
3
n
n
n
t
n n
n n d
tn
n
n
t t
n
U t U e t
U e t
U e t e t
Odabire se jer je z
50
0 0
( ) 24[1 116 sin(866 )]3
c
t
c
a taj kut zadovoljenou t V
U t e t
Grafički odzivi su prikazani na slijedećoj slici
0 002 004 006 008 01 012 014 016-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
t(s)
Naponi U
RU
LU
c
V
UR
UL
Uc
Uz 50 u odzivu napona kondenzatora uočava se blago nadvišenje (17)
Napon UR(t) je između napona UC(t) i UL(t) tako da njihova suma u svakom trenutku iznosi
24 V Taj napon predstavlja sliku struje koja u početnom trenutku ima iznos 0 te u
stacionarnom stanju nakon završene prijelazne pojave iznosi 0