Matematicki list 1985 XIX 6

7/30/2019 Matematicki list 1985 XIX 6

http://slidepdf.com/reader/full/matematicki-list-1985-xix-6 1/17

OBAVESTENJE PRETPLATNICIMA

1. Uredni5tvo poziva nastavnike i profesore matematike, kao i ostale dlangveda Salju svoje priloge za list: dlanke, odabranc zadatke, zadatke sa prijemnih ispitai matematidkih takmidcnja, razne zanimljivosti. PoZeljno je da svi rukopisi (osimudenidkih reSenja zadataka) budu pisani pisaiom ma5inom, s proredom. Rukopisise ne vradaju,

2, Matematiiki /ist namenj3n je svim uienicima IV-VIII raz. osnovne 5kole.List izlazi 6 puta u toku Skolske godine ito: 15. IX, l. XI, 15. XII, l. II, 15. IIIi 15. v.

3. Godi3nja pretplata (za svih 6 brojeva) iznosi 180 dinara. Narudiocima za viSe

od l0 kompleta odobravamo rabat (2O%, l5%, l0l), zavisno od roka do kojeg se

lsplati celokupna prctplata (1. XII, 1. III, 1. VI). Nikakvi drugi odbici ne uvaZavaju se.

NarudZbine se mogu vrSiti samo pismenim putem i Salju se samo neposrednona adresu lista. Novac za sve narudZbine se Salje na iiro-raCun Dru5tva matemati-iara SR Srbije, broj 60806-678-78700, Knez-Mihailova 35/IV, sa naznakom zaMatematiiki /is/. Pri tome obavezno treba navesti tainu adresu na koju list trebadostaviti i jasno naznaditi na Sta se narudZbina odnosno uplata odnosi.

NarudZbine na manje od l0 primeraka lista isporuduju se samo po izvr5enojpretplati. Ostale narodZbine treba da budu isplaiene najkasnije na 90 dana po pri-jemu prve isporudene po5iijke, a u svakom sludaju najkasnije do 31. V 1985. g.

Obaveitenja se mogu dobiti preko telefona br.0ll-638-263.4. Redakcija Matemariikog /rsta raspolaZe slcdeiim do sada iza5lim godi5tima

Matentatitkog listo: XlIl, XIV, XV, XVI, XVIIiXVIII, koji se prodaju po ceni od100 dinara po komplctu.

Scm togr se ol po;.:b;rih izdanja Matematiikog /ista mogu dobiti: Zbirka re-ienih zadataka sa matematitkih takmitenja uienika osnovne ikole (trete, dopunjcno iz-

danje) od V. Stoj rnovi6a i Zabavna matematika od D. Klepica po ceni od 160 dinarapo prirhcrku.

5. Mole sc poverioci Matematitkog lista da izmire sva zaostala dugovanja.

6. Sve priloge, prinredbe i narudZbine slati iskljuiivo na adresu:

Matematiiki list, Knez Mihailova 35iIV, p. p. 728, 11001 Beograd,

MATEMATICKI LISTZA UCENIKE OSNOVNE SKOLE

XIX

6

BEOGRAD1985.

SADRZAJ

l. A. Zolit: Aproksimacija realnih brojeva ....2. B. Derasimovii: Kako e mere uglovi

3. M. Dorii: Problem najkraieg puta . . .

4. Putovanje mladog matematidara

5. Izbor pitanj a i zadalaka za proveravanje stedenog znanja iz matematike . .

6. Zadaci sa republidkog takmidenja udenika osn. Skola SR Makedonije..7. Zadaci sa pokrajin kog takmidenja ud. osn. Skola SAP Vojvodine ....8. Re5enja konkursnih zadataka

9. Nagracleni i pohvaljeni reSavaoci konkursnih zadataka

161

t67169

173

175

180183

186

191



SAYEZ DRUSTAVA MATEMATIEARA, FIZICARA I ASTRONOMAJUGOSLAVIJE

MATEMATICKI LIST

zr ulenike osnovne Skole

God. XIX, broj 6 (1985)

Izlazi Sest puta godiSnje.

TZDAJI' DRUSTVo MATEMATIEARA SR SRBIJE.

Beograd, Knez Mihailova 35/IV, p. p. 728

Redakcioni odbor:

&la Okretii-Salzrti (Ljubljana), dr Zetjko Pauie (Zagreb),

Kosta Mijatovr'i (Sarajevo), Danilo Siepanovrd (Titograd),

mr Slobodanka Georgievska (Skopje), Velimir Sotirovit (Novi Sad),

Sinasi Korenica (Pri5tina), mr Vlodimir Stojanovit (Beograd)

Uredni5tvo:

Miroslav Zivkovit, mr Mirjano Mrmak, dr Adf Zolit,Brunka Derasimovi| (sekretar uredniStva), dr Ljubomir Auki6, Ilijo Mitrovit,

Stanila Petkovit

Glavni i odgovorni urednik: Platon Dimit

Sva prava umnoZavanja, preltampavanja i prevodenja zadriava

Dru5tvo matematidara SR Srbije.

Oslobodeno pladanja poreza na promet na osnovu resenja Republidkog sckrctadjataza kulturu SR Srbije br. 413-186-03 od 11. 1. 1973. godine

Dr Arif Zoli6 (Beograd)

APROKSIMACIJA REALNIH BROJEVA

0. U matematici (takotle i u mnogim druginr naukama) vrloEesti su zadaci slede6eg tipa: Neki zadati objekat O (na primjer:broj, funkciju, figuru, itd.) treba zamijeniti drugim objektima O'iste vrste (dakle: brojem, funkcijom, figurom itd.), ali tako da budu

ispunjeni slede6i uslovi:

1) objekat O' je r odredenom smislu bliza( objektu O,2) objekat O' je znatno jednostavniji od objekta O.

Zamjena objekta O objektom O' naziva se aproksimacija ilipribliZna zamjena. Rijed aproksimacija je latinskog porijekla-appro-ximatio : pribliZnost, approximare : pribliZavati se. Objekat O'nazivamo aproksimacija ili pribliZna vrijednost objekta O. U sva-kom konkretnom sludaju treba iz skupa objekata O koje aproksi-miramo izdvojiti podskup jednostavnijih objekta O' pomodu kojihaproksimiramo vode6i raduna o postavljenim uslovima. Posebno jevaZno definisati Sta znadi ,,biti blizak u odredenom smislu".

Aproksimaciju koristimo za zamjenu iracionalnih brojeva raci-onalnim ili zamjenu racionalnih brojeva jednostavnijim racionalnimbrojevima.

Primjer -1. Raiionalni broj, razlomak3!167t

aproksimirati691 357

jednostavnijim racionalnim brojem, razlonkom.Bududi da je 345 678:691 357 :0,4999992. . . , to umjesto

zadatog razlomka moZemo uzeti razlomak l. Dakle, razlomak2

#(objekat o) zamijenili smo razlomkom

Razlomci su vrlo bliski, ier ie !!!!-+:-0,0000008..., ali

L,natno

jednostavnijirazlomak.

] {oujetat o).

Je

Primjer 2, Iracionalni broj n:3,1415926535... aproksimi-rati racionalnim brojem.

l6l



Kao Sto je poznato, Arhimed je na5ao za broj n pribliZnu

vriiednost 4. tôruro. Arhimed je na5ao da je 3*.t.r ] .*"j'--r- ' 71 7

taj nadin imamo da je 3,140845.. .<n :3,141592. ..<3,142857 ...

odietedno iea- 3 ]9:o,oooz 4.t...>o,u*- rl: -0,001264...<0.7t 7

ralni broj g l! j, pribliZna vrijednost iracio-aZe se: racior- 7l -

-

nalnog broja n s manjkom-donja pribliZna vrijednost, a racio-I

nalni broj 3; je pribliZna vrijednost iracionalnog broja n s viS''t

kom-gornja pribliina vrijednost. Iako je I f tueoiiu pribliZna vri-71

jednost, 6e56e se koristi pribliZna vrijednost I ]. f"Aoostavnija je'7-

Primjer 3. Funkciju l/ x, x20, (dakle izradunavanje kv-adrat-

nog korijena) moiemo aproksimirati znatno jednostavnijom funkci-

iornf (x+l) (sl. l)'-2'Ove dvije funkcije su veoma bliske

za xe[0,8;1,5], 5to se na izvjestan nadin

,,vidi" i iz slede6e tabele.

lr{ll1lI /; I

o,ssl o,gsl tIt'osl t'tol t't+l t'tsl I'zzl

lt,.'* FFI' l',"1',"1;l',,'l',"1

Primjer 4. Figuru ,F moZemo aproksimirati figurom F' (sl. 2)

i na taj nadin izradunati pribliZno, na primjer, povr3inu povr5i kojaje ogranidena figurom F.

Uop5te, zadatak aproksimacije nije jednoznadno rjeSiv. Raditoga se, u svakom konkretnom sludaju, postavljaju dodatni uslovi'Zadatak aproksimacije u op5toj formi ne6emo ovdje rje5avati. Raz-

matra6emo aproksimaciju realnih brojeva.

t62

1. Posmatrajmo skup realnih bro-ieva R i postavimo sledeii zadatak: Za-dati realni broj rQR aproksimirati raci-onalnim brojem

LeQ (pez, c€nD.q

Ako nas interesuje ne toliko ve- Sl. 2lidina realnog broja r, koliko njegova

aritmeti6ka priroda, onda nam je valan poloZaj tog broja izmedu dvauzastopna cijela broja n i n+ l. Pomjeranjem realnog broja r po broj-noj osi za cijeli broj k ne menja se njegova aritmetidka priroda. Nai-me, brojevi r i r-lk, k€2, ne razlikuju se po svom poloZaju redomna odsjedcima fn, n+ l] i [n + k, n + k + l].

Primjer5. Brojevi'-t:t*l i Ismatraju se jednako

666sloZenim za rje5avanje zadatka aproksimacije. Isto tako brojevi

l/2:t,+ru2... i 0,4142... jed-nako su sloZeni za rje5avanje za-datka aproksimacije (sl. 3). Drugimrijedim4 op5tost ne bi bila sma-njena ako bismo posmatrali aprok-

maciju realnog broja r€[0, l] raci-

onalnim brojem P €[o,t].Napo-q

menirno da jednostavnost racionalnog broja !- zavisi od imenioca q.q '.

Posmatrajmo podskup go skupa racionalnih brojeva Q koji Eine

racionalni brojevi 4 s fiksiranim imeniocem q. Sada postavljeni zh-

datak moZemo fo#ulisati na drugi nadin: Zadatirealni broj r€R

aproksimirati racionalnim brojem LeQ".q

Rastojanje izmedu realnog broja r i racionalnog broja -4' .ie

'0,414 2 .. l,Ll t 2.

1

sl. 3

plf---1.

ql

q

Ako na brojnoj osi nanesemo racionalne brojeve skupa Qo,onda 6e realni broj r biti izmedu takva dva broja, dakle,

163



p_-J.r.-p,qq

ili de se poklapati sa jednim od njih, Sto nije interesantnodatak koji smo postavili. Za pribliZnu vrijednost realnoguzimamo onu vrijednost koja je bliZa broju r (sl. a)

'' ftLp-ll-

sr. 4

MoZe se desiti da je broj r srediste odsjedka [4, +1 U-L q cl

tom i samo tom sludaju zadatak ima dva rje5enja. Radi odredenosti,

po dogovoru uzmimo ,*L.q

Jasno je da za aproksimaciju zadatog realnog broja r moiemokoristiti razlomke s razliditim imeniocima, tj. izbor q je na nekinadin proizvoljan. Medutim, teZi se da aproksimacija bude jedno-

stavnija, dakle, s manjim4,

a u isto vrijeme i tadnija.

Primjer 6. Na sl. 5 prikazan je izbor aproksimacije broja25t

n*t, skupova Q, i Qr.

i, odigledno, A>0 ,^ L<, i A<0 ,u!->r. Apsolutna

aproksimacije jeq q

h: apsolutna gre5ka

gornja granica apsolutne gre5ke

Ii ona nije ve6a od -'-. Dakle, gornja granica apsolutne greSke je'2q-

Inr:rO.

Apsolutna gre5ka Ar jednaka je gornjoj granici apsolutne gre5ke

Ar tada i samo tada kada je r sredi5te odsjedakal+, tf,oÛ-

le kada i" ,:U-J. Medutim, ako je r blisko jednom od krajeva'2qtog odsjedka, onda je apsolutna grelka znatno manja od gornje gra-

nice apsolutne greike. Opravdano se postavlja pitanje kriterijumaizbora dobre aproksimacije. Prirodno je uzeti slededu velidinu

I pltr'--l:+:2lqr-Pl

2q

greSka

7A. 7A-

broja r

Pq

Pq

*:1,-!-lq

,* P

'q

P-rq

7.51 zfl-o 1

99? 5

L5

J+5s555

3A-51-7-E-7'77ii7++of

o Ir51

I

kao mjeru dobrog izbora aproksimacije. Odigledno je 0<&(l iaproksimacija je bolja ako je ft manje. VeliEina

-ll --"- h- 2lqr-pl

pokazuje koliko je puta apsolutna greSka manja od maksimalno

mogu6eapsolutne gre5ke,

tj.od gornje granice apsolutne gre5ke.

Odigledno je I (I< o i aproksimacija je bolja ako je l' vede.

Primjer 7. U slededoj tabeli date su apoksimacijebroia l/-2:: 1,4142135 . . . za razne vrijednosti 4.

sl. 5

2. Kod aproksimacije realnog

stvarna gre5ka

D

broja r radomkom .l-q

251 7

-=&997 7

nastaje

^p:r--,q

t64 165



PribliZna vrtjed Gornja gra-nica ap. q.

h:zlq,/ z--pl nost broja y'Z

Apsolutnagredke

I1:-

h

Epanra Depaoruonuh (6eorpa4)

KAKO CE MEPE YTJIOBI,I

ftojau yrna ylo.qr ce Beh y Hr4xnM pa3peAr.rMa ocHoBHe [rKoJre.

Ilpnu yrao roju 4o6raja cnoje Nt"re je npan yrao. OH ce Ae0lrHxruexao yrao Kojn je jeguax crou Hanope,rlHoM yfJry. vrronr oxy H

Oyz na ca. la cy uporl3BoJLHr{ HanopeAHl.r yrJIoBH, yrnoBr.r Oxy nOyz na cn. 16 cy HanopeAau je4xaru yrnoBr{.

Cn. Ia Ca, 16

Oryaa je npae yrao rloAecan Aa ce oA lbera noqHe ca Mepe-

IbeM yrJIoBa. flpra jeArlnnUa 3a Mepelbe yrnoBa xojy y.reHnx HayqH

je cweueu. Creneu ce Ae$nunure xao AeBeAecerl4 Aeo npaBor yrJla.

,{,arle 1":1

, rAc je d uepa npaBor yrJra.

PaAr.r npeqvtrnljer Meperba yBoAe ce H AeJIoBr.I creneHa. Csar[cTerreH .4eJrlr ce na 60 cTefleHfix MllHyra, a cBaKH MHHyr ua 6O

creneHl4x ceKyHAH, Tj. l':60', l':60".flpan yrao oA xora cMo rlourrrr ca MepebeM nua uepy 90o,

noJroBr{Ha npBor yrna luMa uepy 45" a onpyxeHr.r yrao - 180"rryH yrao 360', urg.

Ilocrojn jour jeana jegr.truua 3a Mepelbe yrnoBa roja ce ra-xofe ynogn noJla3ehr.I oA npaBor yrla. To je ipag, xojn ce AeOH-Hr{rrre Kao crorr{ .qeo npaBor yr.na. flpan yrao, AaxJIe, urHocn l0orpaAH, olpyxeHH yrao 200 rpaAr. cDaxu rpaA .4enn ce Ha 100

MuHyra lr cBaKr{ Ml.rHyr na 100 ceKyH.ug, rj. I rp:100" l':100".Mefyrnu, y o4peg6aua MefynapoAHor cncreMa uepa (SI)

HaBOAI,T Ce-a U y T3B. ,,BHIUOj MaTeMaTHUI,I" CTaTHO Ce ynOrpe6-

JbaBa-xao ocHoBHa Mepa 3a MepelLe yrJIoBa y paBHfi pagujan. Croraheuo ce oBAe 3aApxarv fi na onoj uepnoj jeAnnnqn.

V oapeA6ar*ra MelynapoAuor cncreMa Mepa paaujaH ce Ae-

$uuurue oBaKo: ,,Pagujau je yiao y pasHu usuefiy gaa uoryupeq-

I

2

3

5

9

1l

l2

l3

l6

t7

I_:1I3

-:1.54

- : 1.333333

L:t.o5

10

-:1.42857'

13

-:1.4444416

-: L454551lt7

-:t.416672

!3:r.rrool323

--:1.41176l624

-=1.411767

0,5

0,25

0,16667

0,1

0,07143

0,05556

0,04545

o,o4t67

0,03846

0,03125

0,02941

0,41421

0,08579

0,08088

o,ol42l

0,01436

0,03023

0,04033

0,00245

0,02960

0,02329

0,00245

0,82843

0,3431 5

0,48528

o,t42t4

0,20101

0,544t6

0,88730

0,05888

0,76955

0,745t7

0,08326

t,207tt

2,91421

2,06066

7,03556

4,97483

1,83770

2,12701

I 6,98485

t,29946

l,341 98

12,01086

t

Iz tabele se vidi da je od svih posmatranih aproksimacija brojal1

lt 2 najbolja --.

Zailacil. Broj /i aproksimirati razlomak iz kupa Qr.

2. Broj f/7 aproksimirati razlomkom iz skupa Oo '

22 333355

3. Uporediti aproksimacije broja rc razlomcima t' *' ll3.4. Naii najbolju aproksimaciju brojz y' 3 razlomcima iz skupa

Qq, q : l, 2' 3' 4' 5, 6, 1, 8'l7

5. Razlomak I aproksimirati razlomkom iz 'kupa Qt.l9

156

t02513

32650

t6'l





nje slede6eg geometrijskog zadatka, poznatog kao Heronov problem:

odrediti mesto tadke C na pravoj p tako da zbir s:AC-lCB bude

Sto manji.

Neka prava p predstavlja reku do koje konjanik treba da stigne

(sl. l). Konstrui5imo tadku l, simetriinu ta6ki A u odnosu na pra-

vu p. Dokazatemo da se traZena tadka nalazi na preseku prave Pi dtfii A$.

Izaberimo proizvoljnu tadku C, na pvavoj p(CffC). Tadke

AyCr i B obrazujutrougao, pa je ArBlArCr+CrB,, odnosno

(l) ArC+CB<ArCr+CtB.

Kako je- zbog simetridnog poloZaja taEke A, prema tadki ,4 u

odnosu na pravu p - AtC: AC i AtCt: ACt, to je, s obzirom na (l):

(2) AC)-CB<ACt+CtB,

5to je i trebalo dokazati.

Ovaj se problem moZe i proliriti tako Sto bi se zahtevalo da

se odrede na vedem broju pravih tadke A,B,C,D. .. tako da zbirAB+BC+CD+... bude sto manji.

A

DokaZimo da je za bilo koje druge dve tadke C, e Op,Cr*Ci Dr € oQ, DrlD putanja ACr+CrDr+ DP duZa od putanje ACDB.

Zaista, s obzirom na poloZaj tadaka B' i 8", je:

ACr+CrDr+ D$: ACr+CrDr+ DtB'>ACr+CtB' :

ACr+ CrB" >AB" : AC + CB" : AC +CB' : AC + CD + DB' ::AC+CD*D,B, 5to je i trebalo dokazati.

Pri dokazivanju smo se koristili osobinama osne simetrije idinjenicom da je duZ najkraie rastojanje izmedu dve tadke'

Zadatak 3. Neka se u unutrainios;ti oitrog ugla xoy nalazi

taika A. Naii taike BeOx i C€Oy takve da putanja AB+BC+CAbude moguie najkrata.

Re5enje. Neka su tadke B i C (sl. 3) preseci dubi A'A"redom sa Ox i Oy (A' je tadka simetridna tat:ki A u odnosu na

Ox, a A" je ta1ka simetridna taEkr A u odnosu na Oy).

Izaberimo proizvoljne tadke B, e Ox i qeoy(Bt*B,Ct*C).Tada je Ah + BCL*C.A: A'Br+ BtCr+CtA" >A'A" : A'B + BC *CA":AB+BC+CA.

To znaii da je putanja AB+BC+CA zaista najkra6a.

Zadatak 4. Izmedu mesta A i B nalaze dvo koula. Treba

kotutruisati pnt od A do B tako da mostovi budu lto krdi, a da uzto i dulina ukuprcg puta od A do B bude moguie naikrafa.

R e 3e nj e. Neka pra,ve m,n,p i q(mlln:pllg) predstavljaju obale

kanala (sl. a). Pre svega.treba imati u vidu da de most biti naj-

D'ri tVB,

sl. 2

Zadatak 2. Neka su A i B dve taike u tmutrainjostioitrog

uglo pOq. Na kracima Op i Oq odrediti taike C i D tako da zbir

s:AC*CD+DB bude yto manji.

Re3enje. Neka je ,B' tadka simetridna tadki B u odnosunaOq, a B" tadka simetridna tadki B' u odnosu naOp (sl..Z). Dokaza-

6emo da je traZena tadka C na p presek duli AB" i p i daje tadka

D na q presek duLi CB' i q.

170

st. 3 st. 4

111



1

kraii ako je normalan na obalama kanala' Zato iztriimo transla-

ciju tadaka A i B tako da su vektori lit , Eit normalni na oba-

lama odgovaraju6ih kanala, a duii AAL i BBt podudarne Sirinama

ovih kanala. Oznadimo presedne tadke duZi ALB. i obala kanala naslede6i nalin: ArBr)n:{Ar} i APLO?:{B}.

Konstrui5imo normale iz talaka A3 i B2 na obale odgovarajudih

kanala i uvedrmo sledede oznake: Az€m, A2A3Lm, B3e4,B2BtLq.Tada je najkra6i put izmedu A i B izlomljena linija AA,A3B2B3B,

dija je duiina: AA2+ A2A3+ ArBr+ BrBr+ B3B: AtAi+ A2A3+ AtBr+B2Bt+ B2B): ArBr+ A2A3-t' B2B3' DuZine A2A3 i 4rB, su konstantne(Sirine lian-ala), a ArB, je najkraie traZeno rastojanje.

Zadatak 5. Izmedu ietiri zgrade, koje su rasporedene kao

temena konveksnog ietvorougla, treba iskopati bunar tako da zbir

odstojanja tog bunara od zgrada bude ito manii. Odrediti mesto bunara.

Re Se nj e. Re5enje ovog problema svodi se na nalaZenje tad-

ke u konveksnom detvorougltt ABCD diji je zbir odstojanja od temena

Za daci

1. Sa razliditih srana reke sa paralelnim obalama nalaze se mesta I i B.Konstruisati most PQ preko kanala, iako da duZina mosta bude najmanja i dapri tome put APQB bude takode najkraii.

2. lz jedne tatke M na hipotenuzi pravouglog trougla ,{8C konstruisanesu normale ttlp i tttQ na katete trougla. U kojem sludaju ce dui PQ' koiavezuje podnoZja P i Q te dve normale, biti najmanja?

3. Data je talka M na jednoj od stranica o5trouglog trougla ABC. Kon'

struisati najkra6iput

koji morapreii pokretna tadka O da bi, polav5i iz tadke

M, dodirnula i ostale dve stranice trougla i vratila se u tadku M.4. Putnik se nalazi u mestu /{ na oblli reke sa datom Sirinom i para-

lelnim obalama. Koji je najkaii put kojim putnik treb.a da pliva da bi doSao

do druge obale i vrltio se u tadku .B na prvoj obali? (Pretpostavlja se da jcbrzina broticarfa reke tako mala, da je ne treba uzimati u obzir.)

172

ITyTOBAbE MJIAAOT MATEMATITTIAPA*

Taro cy Ponuc l,r Maror pyqanfl, aan je BpeMe oAM.rrrlaJro,

a Ponuc je xereo Aa Ao yBeqe crr.rrHe y rpaA, na je oarpaxfio oAMaroxa Aa My Kaxe xojfi je rpehu 3aAarax.

- Taj je, uunr MH ce, rr oA oBora rexr.r - peqe Ha ro Ma-JIox. - EEo raro rnac[.

Iea,./tac&uKa KpeHylta cy ucwoepeueno, jegan ug uecttra Axote y

Eoilat, a gpylu us Eoilala y Axoty. Ifocrc 42 uunyfra oHu cy ce cperu.Cfruiaauu y Eoilat, ilpsu je KpeHyo uawpai u cmulao gpyioi ga catii u

52 uunyila dtocrre tbuxoeoi cycpe{fra. Ifowfiio je ceaxu og rtux cwu-

iao y Axoty, KpeHyo je rca Eoiiurty, u t&arco gane. fia tu he ce oxu

uKaga cpecwu y 4enilpy uexoi og HasegeHux uecwa?

- fla, ruTa ry nuje jaoro?-

3aru{Tao je na ro PoHnc.

-tlnxn Mr{ ce Aa Mlr xajrurue cMera IIITo ce ry roBopr{ o

BexoM nyry, a rteroBa Ayxr.IHa ruje Aara.

- Ha [ocraBJbeHo nr.rTarbe Moxe ce oAroBopr{Tr{ I{ KaAa ce

To He 3Ha - pexao je Ha ro Ponr.Ic, nocne rpaher pa3Mr{ruJbalba.

- U, KaKo rr{ cta6nje gnaur alre6py, noxarahy ru xajnpe KaKo

ce onaj 3aAarar( Moxe peurr,tTu apl{TMeruqrn. Vguu n[caJbxy, lta6erexr.

Kpehyhu ce jeAan ApyroM y cycper, o6a rnacHr.rKa nporrlJlacy saje4nuurra pacrojane oA Axone go Eonaaa n 42 v,nwyra. 3na-ru, oajegunq(fi oHr.r npena3c y Mr{Hyry ll42 pacrojama rcuely olaABa HaceJba. flpru je cycrnrao Apyror ua pacrojarcy nervrefy Axoael Eonala nocte 2 cara 14 34 wrunyra, rj. nocne 154 rvtnnyra.3Ha-sr{, y MnHyry oH ra je cycrn3ao 3a li 154 Ileror pacrojana. PalIrxa ngr"reby ll42 14 lll54 je al8l, npeua qeMy Apyrfi rrlacHuK

npena3r{ y uuwyry 21231 pacrojana neruefy Axone u Eolara, ar{enr ryr sa 115,5 MnHyra. flprn npela3x y MnHyry 1142-21231::1166 qenor rryra, a qeJrrr rryr 3a 66 vtuuyra.

Apyru rJracHr,rK he 6urs y Axonu yBeI( KaAa flporeKxe Hetra-

pan 6poj rryra no 115,5 r"runyra oA lbrlxoBor saje.qnurxor [oJIacKa.

Karo npnu rpona3n ryAa yBeK rlollrro [poreKxe napaH 6poj nyra

no 66 MI{Hyra oA lrr.IxoBor rIoJIacKa, oHI{ ce HIlI(a.qa nehe cpecrny qeHrpy Arole.

datog detvorougla najmanji.

Ma kakva bila tadka S u konveksnomdetvorouglu ABCD (sl. 4), bi6e: lS+ SC>-AC,

BS + SD>,- BD, tj. /4S+^SC+

BS+ SD>- AC +* BD (1er je duZ najkrade rastojanje izmedu

dve tadke). Prema tome, ovaj zbir 6e biti naj-manji ako tadka S pripada dijagonalama ACi .BD, odnosno ako je AC)BD:{S}. Taaa je

najmanji zbir: AS +.BS+CS+ DS: AC + BD. A sr.5 B

. Hacrasar qranKa rr3 rlpounor 6poja nlrcra.

173



A y Eonany ce Mory cpecrr{. flprn crnxe raMo yBer( KqAa

npofe HerapaH 6poj nyra no 66 Mr{Hyra, a Apyru norxro npofenapaH 6poj nyra no 115,5 t*lunyra oA rbnxoBor noracKa. Hajrvra-

lsn aajeAnuqKrr caApxanau 6pojera 66 n 231 je 462. 3alrcra, Ha

462 utHyra fiocre noqerxa r(peralba npBr,r he npohN xpor EonanqerBpru rryr, a Apyrn - Apyrfi uyr. Kacuuje he ce raKBIr cycperrrqoralaru cBaKUx 924 utuyra, a(o rJlacHr{ufi rpe rora He cycraxy.Jecu au pa:yueo?

-fla, ue 6aru cacBurr4 trorrrro cx 6pso roBopr{o, a Mopao

caM Aa sarurcyjerrr. Anu hy jour o cBeMy pa3MscnrrTn! - ogroaopuHa ro M{tJro a6yneHo Malox.

- Ho, MoxAa he rN JraKIxe 6nrn axo peruaBarbe noqneMo

ropucrehN ce r{IIaK anre6por'l - AoAaAe rla ro Poxxc, xenehu AaMy rroMorne. - BuAN, oEaKo.

O6erexxuo AyxnHy uyra rcrvrefy Axole u Eonana ca s, a

6p:une flplor .rr Apyror raxMrlqapa y MfiHyry ca vr u v".U - ca-

,qa ,qa .rpeHeceMo na jeanr anre6pe ono IuTo cMo peKil{, rj. Aas6np upe$eHr{x nyreBa gaajy r.nacnrltca 3a 42 *lcttuyta Ir3HocI{ s, a

Aa pa3Jrr.rxa nyreBa roje cy onn npeuulr sa 154 MrLHyra u3Hocl{

o[er .r. To he 6uts oBaxo::

42vr+42vr:s, l54rr- l54rr-5" rj. 4?(vr'+vr):3, 154(v-v):s.

A caAa je aaxo. I,Is ore gne jeguavune 4o6ajarrao:

,,+r,:{ I zv,:},+l;l r,--r4"

)=+ >+,,-",:*) r,,:*r- *r+) r:: #.

3nasu, rrpBlr rJracHrrr( rrpena3ri qeo uyr ra 66 uuuyra, a Apy-ru u, 231: 2: I 15.5 Mrruyra, , 3aruu cBe gd;be rerle oHilxo l(ao llrrocaM Tr{ reh pexao.

14 onn ce oHAa pacraAorue. Manor ce saxrim Pouxcy, arnpe{e Aa oBoM [pr{Jrr{xoM nrrar nehe xonrypncaT]r, xo Aa he najnpeorshs .qa joru KoA Hexor yqfi MareMarnxy, uoIIITo il ca:ll Erwr M

He 3ua AoboJbuo. A .q,a ce npercraEtba,.'uouohy ryfer exa*a -HC XEJII{. .

(Cao6oaxo .trpenprrraxrr x .qotryrLcxf, ,qenoln troje.Erlrrx ruragara x3 rrlt-reljMareuarrxa Ha .qocyrE" ol JI. M.Jlonoryrar,; Mocrna; l9tl.)

174

IZBOR PITANJA T ZADATA,KAZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

IV RAZREDVarijanta I

DELJENJE U SKUPU N.RAZLOMAK.POVRSINA I ZAPREMINA KVADRAI KOCKE1. Sta znadi broj a podeliti brojem 6?

2. Ako su A, B i C prirodni brojevi,i ako je A:B:C, Sta sve moZemosaznati: a) o broju,{ u odnosuna broj C; b) o broju B u odnosuna broj A2

3. Napi5i dva kolidnika koja se moguizvesti iz proizvoda P.M:N. Na-piSi vrednost tih kolidnika.

4. Sta se moZe zakljuditi o P i M, akose zna da je a) P:M--l;b) P:M:P;M:P:O?

5. Zyla:e da je broj S razlidit od nulei da je .S:S:S. Koliko je S?

6. Kako se zove broj kojim seizraLavadeo neke velidine?

?. Napi5i kao razlomak: a) jednu pe-

tinu od metra; b) tri detvrtine oddecimetra i izradunaj koliko je tomilimetra.

8. Cetvrtina neke duZi je 7 cm. Ko-lika je duZina cele duZi?

9. SloZeno telo jesastavljeno od tripodudarpa kva-dra (s!. 1) di-je su dimenzije18 cm, 15 cm i9 cm. Izradupajpovr5inu i zapre-minu ovog slo-Zenog tela, Sl. I

10. Napravi na vi5e nadina sloZeno telood detiri podudarne kocke ivice3 cm. Da Ii se razlikuju povr5ine izapremiie ovih tela?

Varijanta 2

SVOJSTVA DIJELJENJA. BROJEVNITZ,F.AZI. PLOSTINA PRAVOKUTNI.KA I KVADRATA

1. Kako se zove broj: a) kojim dijeli-

mo; b) kojim se dijeli; c) koji je re-zultat dijeljenja?

2. Ako su M, N i P prirodni brojevii ako je M:N:P, kakva veza po-stoji: a) izmedu i/iP u odnosu-naM; b) izmedu M i p u odnosu naN?

3. Koje svojstvo kolidnika poznaje5 uvezi sa: a) mnoZenjem; b) deijeqiemdjeljenika i djeljitelja istim priro-dnim brojem?

4. MoLe li nula biti: a) djeljenik idjeljitelj; b) samo djeljenik; c) ko-lidnik? Navedi primjere.

5. Zapi5i rijedima izraze: a) (18-6):6;b) (18-6)118:6.

6. Sastavi nekoliko mnogokutnika odosam 3edinidnih kvadrata. Izradunajnjihov opseg i ploStinu. Koliko razli-ditih pravokutnika moZe5 da sastavi5od istih kvadrata?

7. Nacrtataj pravokutnik diji je opseg24 cm, ako je duljina jedne stranicetri puta veCa od druge. Izradunajplo5tinu tog pravokutnika.

8. Nacrtaj kvadrat liji je opseg 16 cm,pa nacrtaj nekoliko pravokutnika ta-ko da je opseg svakog od njih jed-nak opsegu nacrtanog kvadrata. Izra-dunaj ploStine nacrtanih pravokut-nika.

9. Nacrtaj pravokutnik i duZinu kojaje jednaka zbiru stranica tog pravo-kutnika.

Zbog razlika u nastavnim planovima i programima nasih republika i pokrajina od navcdenihzadataka ne odgovaraju svi svima udenicima nasih fkola; ali medu njima svaki uaenik morc nadi onckoji mu odgovaraju.

t75



Varijanta I

KOLIEMK CELIH BROJEVA.CENTRALNA SIMETRIJA. UGAO

l. Kako se dele celi brojevi: a) istogznaka: b) razliditih znakova?

2. Napi5i dva cela broja dijije

ko-lilnik: a) -2; b) -l; c) 3; d) 0.

3. Koji znak mora imati broj a da

bi kolidnik a: -(3) bio: a) negati-van: b) pozitivan?

4. Ako su deljenik i delilac manji odnule, da li je i kolidnik manji odnule? Navedi Primer.

5. frmu je jednak kolidnik nule i makog prirodnog broja? Navedi Pri-mer.

6. Za3to se nulom ne moZe deliti?

7. Za{to se kaie da je kolidnik 0:0neodreden? PokaZi na Pimeru.

t. U paralelogramu ABCD (sl. l) je

ACaBD:tOl. Pronadi parove si-

metridnih talaka u odnosu na cen-tar simetrije O.

Ako je 4AOD--36", koliko su

Esr. I

9" Pronacli na sl. I duZi simetridneduZima AG, DF, AO i GH rt od-noin na centar O.

10. Pronatli u paralelogramu ABCDtrouglove simetridne trouglovima

LAEO, AACD i LABO u odnosuna centar simetrije O.

ll. Zapi5i skup paralelograma koji su

simetridni paralelogramima GOFD,.AEFD i ABHG u odnosu na tadku O.

4AOB i 4BOC?

176 177

Iz.BOR, PITANJA I ZADATAKAZA PROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

V RAZRED

IzBOR PITANJA I ZADATAKAZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VI RAZRED

Vari j anta 2

KOLICNIK RAZLOMAKA.OPLOS'E I VOLUMEN KVADRA

l. Cemu je jednak kolilnik dva raz-lomka i kako se on izraCunava?

2. Napi5i dva razlomka diji je kolilnik:Ia) _ib)l;c)2.

z3. Kako se razlomak dijeli prirodnim

brojem? Navedi primjer.4. Kako se prirodan brej dijeli raz-

lomkom? Navedi primjer.

5. MoZe li kolidnik dva broja biti ve-di od djeljenika? Navedi primjer.

6. MoZe li kolidnik dva broja bitivedi i od djeljenika i djeljitelja?Navedi primjer.

7. Zvjezdice zamjeni brojwima takoda se dobiju to€ne jednakosti:

+112 lr5a)

-:-:-:b)

-:-:-''5'3-s'-'7's 14'3l

E. Zna se da je A:--.-:2; a;;8:3.4Z

Koliko ie: a) A:,8; b) B:A?9. MoZe li nacrtana figula na sl.'l

da bude mreZa jedne kockc?

Varijanta I

RESAVANJE JEDNACINA I NEJED.NACINA V VEZI SA MNOZENJEMI DELJENJEM RAZLOMAKA. POVR.STNA PARALELOGRAMA, DELTO-IDA I TRAPEZA

l. &muje jednak

nepoznati Prvidi-

nilac, ako su prznati proizvod idrugi dinilac?

2. NapiSi proizvod urkome je nePoz-

nat jedan Cinilac, a drugi dinilac i' vrednost proizvoda su poznati. ReSi

tlobijenu jednadinu.

3. NapiSi kolidnik u kome su poznati

deljenik r vrednost kolifnika, a de-

litelj nepoznat. ReIi dobijenu jed-

naCinu.

4. NapiSi kolidnik u kome su Pozna-ti delitelj i vrednost koliCnika, a

deljenik je nepoznat. ReSi dobijenujednacinu.

5. Proveri da li svi pozitivni brojevipripadaju skupu reSenja nejednadine:

a) -5x*6<l; b) 5x*6>-l-6. DuZina jedne dijagonate romba je

l0cm, duiina njegove stranice 12

cm i duiina visine 5 cm. IzradunajduZinu- druge dijagonale.

7. Nacrtaj proizvoljan paralelogram

i drugu figuru iste PovrSine. Kojioblik moie da ima ta figura?

E. Upravougaonik sa stranicamacd lOcm i 24cm uPi3i deltoid stranice

8 cm, tako da mu dijagonala-osasimetrije-bude jednaka 24 cm. (Sva-

ko terne deltoida Pripada Po jed-

noj stranrci pravougaonika.) Koli-ka je povr5ina deltoida?

g.Utrapezu ABCD taEke EiFsusredi5ta paralelnih stranica' Akoje povrSina tr:arr;Ta ABCD jednaka

48 cm2, kolika je povrsina $^pe7aAFED'I

Varijanta 2

PLOSTTNA PARALELOGRAMA,TROKUTA, TRAPEZA I DELTOIDA

l. Konstruiraj trokut LBC ako je a-gcm, 1:fgo i D:5cm, pa konst-ruiraj pravokutnik dvostruko manjeplostine od plostine trokttta ABC.

2. Konstruiraj pravokutni trokut akoje zadana kateta a:4 cm i teZi5-nica tD:5,5 cm, zatim konstruirajjednakokradni trokut jednake plo-5tine.

3. Ako su poznate plo5tina jednako-kradnog trarr;za i duljine njegovihosnovica, moZe3 li da izraduna5duljinu njegove visine?

4. Ploltina jednog romba je l2cm2,a duljina jedne njegove dijagonaleje 6 cm. Konstruiraj taj romb ikonstruiraj pravokutnik dvostrukoveoe plo5tine.

5. Ako plostina trokuta /.AD (sl. l)iznosi 9 cm2 i ako je m ll AB, ko-

lika je plo5tina trokuta ,{xE?

sl. l sl. 2

6. Rastavi deltoid EFGII (sl. 2) na dvasukladna trokuta A i B, Pa odnjih sastavi paralelogram i nekon-veksan detverokut. Kakve su PloS-tine tih tetverokuta?

7. Rastavi jednakokraCni trokut nadva sukladna trokuta, pa od njihsastavi pravokutnik, romboid i del'toid.

.J

Fl. I

10. SloZeno tijelo je sastavljeno od pctkocaka (sl. 2) tako da je duljinabrida jedne kocke 3 cm. Izradunaj

oploije i volumen tog tijela.

.'l

Jst. r



IZBOR PITANJA I ZADATAKAZA PROVERAVANJE STEEENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VII RAZREDVarijanta I

JEDNAEINE I NEIEDNACINE. VA-LTAK, KUPA I LOPTA

1. Koje svojstvo proizvoda se kori.tipri reiavanju jednadine oblika

(axtb) (cx{d):O?

2. Koje svojstvo se koristi pri re5ava-nju nejednadine oblika:a) (ax+b) (cx*d)>O;b) (axlb) (cx*d)<02

3. ReSi jednadinu oblika:a) (3 r*6) (2 x-8):0;b) (5 x-10) (3 r+l):0.

4. Odredi skup re5enja nejednadine:

a) (xf l) (5 x-15)>0;b) (2 x+6) (r-2)<0.

5. Pravougli trougao dija je jedna ka-teta 5 cm, a hipotenuza 13 cm, ob-rie se prvo oko jedne katete, a za-tim oko druge. Izradunaj razlikupovr5ina i zapremina tako nastalihobrtnih tela.

5. Objasni kako se izradunava zapre-mina prave kupe ako je poznatapjena povr5ina i poluprednik osnove.(P:90 rr cm2, r:5 cm.)

7. Osni presek prave kupe je jednako-kraki trougao Eija je osnovica 12cm, a krak l0 cm, IzraCunaj omo-tad i zapreminu ove kupe.

8. OmotaC valjka je 225 r cmz, a vi-sina.je 9 cm. Izradunaj njegovu zap-femrnu.

9. Prednik jedne lopte je pet putaveii od poluprednika druge. IzraIu-naj odnos njihcvih povriina i za-premrna.

10. Lopta je upisana u vatjak diji jeprednik osnove 24 cm. Izradunljrazliku povr5ina i zapremina valjkaI lopte.

Vari j anta 2

OPSEG I PLOSTINA KRUGA

f. Koji je dio plo5tine kruga plo5tinakruZnog isjetka diji je pridruZenisredisnji kut: 180o, 90", tO. i 30o?

2. Izradunaj. d_ijametar kruga dija je

plo5tina jednaka razlici ploStiiadva.kruga Ciji su radijusi r,:19cm i rr:$sm.

3. Izradunaj radijus kruZnog isjedkaCrja je plo5tina 157m62, a pridru-ieni sredi5ffi kut ?2".

4. Iz pravokutnika Cije su stranicel0cm i 6cm izreZi krug najve&ploStine. Izradunaj plo5tinu pieos-talog dijela pravokutnika.

5. Dat je jednakokraCni pravokutnitrokut ABC (+C:90), diji je krakb:4cm. S centrima u todkama Ii .B opisani su lukovi kruZnica

ÊEI

i DE, gde je AH:BD:! O. ,rru-2

dunaj: a) DE+FH; b) ploitinu os-jendene plohe i opsjeg neosjendeneploStine na sl. l.

,fua.-IMp1 A

sl. l

ADBst. 2

6. Dat je jednakostranidan trokut ABCstrartfbe rz. Konstruiraj tri kruini-ce s centrima u vrhovima trokuta

i polumjerima !-. IzraEunaj:2a) duljine lukova ovih kruZnicakoji se nalaze u trokutu: b) ploS-tinu osjendene plohe na sl. 2.

178 179

. IZBOR PITANJA I ZADATAKA

ZAPROVERAVANJE STECENOG ZNANJA IZ MATEMATIKE

VIII RAZRED

Varijanta I

LINEARNA JEDNACINA SA JED-NOM NEPOZNATOM. SISTEM DVELINEARNE JEDNACINE SA DVENEPOZNATE.

SLICNOST MNOGOUGLOVA

l. NapiSi op3ti oblik linearne jedna-dine sa dve nepoalate.

2. Napi5i opSti oblik sistema dve li-nearne jednaline sa dve nepoznate.

3. Sta je re5enje lin€arne jednadine sadve nepoznate?

4. Sta je resenje sistema dve linearnejednadine sa dve nepoznate?

5. Napi5i finearnu jednadinu dija suneka reSenja prikazana tablicom:

r I I l2l3la ls I 61.../ I 6 tr11 I 16l2l l26l31 1...

6. Re5enje jedne jednadine u sistemu

dve linearne jednadine sa dve ne-.'poznate prikazapa su u sablici izzadatka 5. Ako je druga jednadinatog sistema 2xl3y:)'7,Sta je re-Senje sistema?

7. l! trapezu ABCD je ABIICD i di-jagonale se seku u tadki O, Pro-nadi sliEne trouglove u trap€zu.

t KonstruiSi datqn kvadratu stranice

m:5 cm sliCan kvadrat s koefici-jentom slidnosti k:4:5 i odrediodnos njihovih povr5ilra.

9. Nacrtaj proizvorjan paralelogram,pa mu. konstrui5i slidan paralelo-gram s koeficijentom sliEnostik=l:2'

t0. Kons1ruiSj dva slidna pravilna 5e-stoqgla s kocficijentom slidnorti. k:2:3 ,i odrr:di odnos njihovih

potnlina ako je stranica prvog se-stougla a:3 crn.

Vari j anta 2

RASTAVLJANJE POLINOMA NAFAKTORE. VALJAK, STOZAC,KUGLA

l. Sta znaCi rastaviti polinom na fa-

ktore?2. Ako su faktori polinoma A (x\ po-

linomi: C(x) i D (x), demu je je-dnak polinom z{ (x)?

3. Kojem polinomu pripada rastav:a) (2y-t)(2y*3);4 2.3 z.(z-l) Q+t)?

4. Osni presjek valjka je kvadrat,a duljina njegove dijagonale je

7/2cm. Izradunaj oplo5je i vo-lumen oveg valjka,

5. Pravokutnik dija je dijagonalal0 crn, a jedna stranica I cm, ro.tira oko pravca koji je uporedans jednom njegovom stranicom. Izra-

tunaj P i lz nastalog rotacionogtijela.

6. Pla5t stoSca je 65 cm2, a radijusnjegove bdze je 5 cm. IzraCunajvolumen ovog sto5ca.

7. Razlika oplolja dvaju stoZaca sazajednidkom bazom je 84 rr cm2, anjihovc izvodnice su s-13 cm ip:2O cn. Izradunaj razliku njiho-vih volumena.

t. Osni presjek lsto5ca je jednako.stranidan trokut stranice l0 cm.U ovaj stoZac je upisana kugla.Izradunaj omjer volumena stoica ikqgle.

9. Upqredi volumene kugle, valjka isto5ca tako da su radijusi bazastolca i valjka jednaki radijusukugle, a visine stoka i valjka je-dnake dijametru kugle.



MATEMATI{qKA TAKMI{IIEbA

3MAIII4 CA PEnyE'IlrqKorTAKM}IIIEBA YqEHUKA

OCHOBHI{X IIIKOJIAcP MAKEAOHTTJE

trItM [rlTepBiurr{Ma ayTo6yct{ Te nnHr{jeca troJra3rre craufiqe rpehy y jegnaruu

je30.,4;Y"g"T"#ffSJTJJ!.#'i?(fl""ff ?"1-!ili"i"'i#Hl"iliry:iEecroyrao, Taxo Aa tro .qBa rerlexa nexe Ea Aaroj xarern n xltroTe'ry3f,' a

je4ro reue nexn ra apf.i i"tJi". Urpary*utr noapmntre crnx ,qo6ujexrx

agJroBa Aaror rpoyrna.

5' crpauuqa"" '!:#LtE:i; ?:Tr':x? Yi""*TXi'f"As t;

Tarrara D u E, TaKo Aa

trpaBe trapanor*a "" "tpdttq"uaA-B-1 AC, tcoie ce cery y rarIKE F' '{orasarr

ri j" t",i*" I rexnmrb rPoYrna DEF'VII PA3PEA

l.V jeaxoj rpyil{,

Ha raxM[rrer6y rr3 MareMllrnxe, 6rno je 20 ysexnxa.uA rbr( ca ruraBuM o{nMa rrMa 14 yteuurca, 15 uuajy qpgy xocy. l7-cv 6wrurextr oA 40xnaorpanra n 18 cy 6rnr srfir oa i-60im. foairro"'"iruniqenf,Ka xMa cBe qeruprt oco6nre?

2. Aro ce fie(oM ABou[OpeHoM lpojy aonr ure qnepa 5, n ro jegxou

Ill-o:erxl, a Apyrn rryr Ha rpajy,.ro6riayq sna parr4rlra '6poja.A*o otBener OpoJa oAy3MeMo varrn, aobujavo 252. Kojr je mj .UsoA;Of,eru 6poj?

3. Aqe, Baxe u Crojre cy 3apa{nnr eajegno 6 0OO .qlxapa, trprr s€Myje Aqe 3apaarro 4Ba nyra irrue xerb bane, a'ci.:"" :"-.&ff.'..-'iso

a"-Eapa Bntne nero Aqe n Baxe rajeaxo. flo xo;rxro-j" i""api s"pal"o

-c"u*r

oa rrux?

,- 4.,{arecyxpyx{rqe krnkrxojece Aoarpyjyy raqxr A, Jeana ta-JeArrrqra rarrreHra aoanpyje xpyxrrr{qe y ravraua B n C. .I[oxararn ga jeyrao BAC npav.

5, Oapeauru o'rrpe yrnoBe [paBoyrnor rpoyrra ABC(4C:}O.),aro

jeyrao uouely crMerpane npaBor yrna ,n iexnurne nrnnje ".tiir"""-'i j"a*^*t

-ryrror yrrta xojn o6paryjy ctrMerpane orrrrpnx yrroBa oBor rpoyrna.

VIII PA3PEA

1. Bosebu trapanenHo ca rpaAcroM ayro6ycrou anaujou rrMe[y ,qBa

ll1l-ip1:-_9grTrncraje nprrvreruo aa i ie-cyarnx 9 ruixyr"

"""',iuo,.

cBaKux 6 uunyra cycperao no je.qax ayro6yc i re nurnje. V *6j"r-"p"r""a-KIIM rrrrepBiuruua ayroE,ycr re runzje xpehy ca trora3rre crarurue? tAvro6vcr

2' Hera je ab nm6poj' Tana je i a5-@:252 wm ie 7-t-s-56:zsL

V upaou cny{ajy f,MaMo j..o*u*o.tt 5}O+ab-(l}ab+5):252' Oaar'qe je

6:il. C.nrqso, y ApyroM cryrajy ,qo6njal\ao la ie ab:83'

3. Hexa je Baxe 3apaAlro x AEHalta.' Ta'qa je Aue rapaAno 2 x awapa'

"ctoj"L llt+isol l"""'p"l- iu*o aoEujar'ro jesiaslrxv: .x*2 x*3x+180:

i6'006. Oi"rie je'x':g7i.Bane je rapanuo 970 arnapa, Aqe 1940 AtrHapa E

Crojre 3090 .uroraPa'

4. Hexa je I saje.qxuqKa rarrrelrrlra Aarf,x xpyxEEqa' IroByqeEa y raq(EA,u uexa oEa ceqe tari-gajenllrrq(y raHrerrry y rirxn ^s

(cr. 1). floaxato je

ai cy raxr"xrxe .uyxtr, noryrexe lr3 Ecr€rarrx",iil?t;r/tlll[iYt;t["toitoiu ie SA:iB, a taxole r S'{:SC' Crt

jeaxaxo yAaJbexe oA TarrKe ,S, na saro one-upruanajy ie$oj rpyxHEIIf, &'

ffi;ll; ffi** ayi BC. 36or rora je yrao BAC trpaB' xao yrao Ha'q trpequrKoM'

1. Hajruane 9 y'rexrra luopajy trMarx IUraBe orru E qpry-xocy' jep je

g a 6 -fo Jt or oinx' 9-uajr..ranl

ulecrop'rla,- 9-v^ -T:*I ^-:1.,19, 13I?X"y1' cv Textr oA 40 KunorpaMa'

xajvarre 4 cy r,affi oA-160 crn,ieo ie 9+17-20:6' Ol trocneArbe Ilrecropnqe rlaJMarbe 4 sy EruE uAx

i6 j; 6+ii-io:q' gair"^rbe oBa qerBopf,rra nrvrajy cre HaBele'e ocoo'Ee'

k,

Cr. I

E

Cl,2

Peurerse 3tAararct

VII PA3PEA

ca trora3te cranlrr4e? lAyro6ycr::*T:"t1"---":l-T1q" -lryI1

y jesxaruu pa3Marrr{Ma BpeMeHa g rienj"1

opino-ruxxo jegna*rv 6paunarvra; 6nqurnucra i" i"*-or" *p"n"''f"i"Jir"pr*6pgrnov,)

2. 3a roje qerre Bpeaxoc ra n je {il"u*ob"

ueo 6poj!n+z

t 3. {erupn paarr[Ka, aKo paAe saje4xo, 3aBpute [ocao 3a 9 nana. Ho onnI_njl.loqery Aa patre rcroBpeMero, rero cy noqrrbartr jeaar ea AX,yrrrM yJeAHaKrrM BpeMer{cMM r{HrepBanlMa. Taro cy 3aBpufl{nf, nocao xa,ua'je oprupaA[O rr€T nyra Ayxe oa rrocneaber. I4rpa.rynarr 3a xoJrnKo paxa je siap,uennocao. (flpernocraBrba ce Aa cBr{ paAurrtn page je.qxaro Opro.l

-'- --

180

5. Hexa je CE cvvapaJla trpaBor yrna rr CD xnuorery3ulra.-TeJrrru[ra

mnnja (cn. 2). flognaro je na je xtrtrorelry3lllla TexfiIulla JIEIItrJa JeAIIara

troJroBItEIt xnuoreHy3e u sdor tori cy rpoyrtroBn ACD n BCD je'qnaxoxparn'

1C

l8l



t82 183

na je 4ACD:a a 4BCD:p. Vrao nrrrlefy cxMerpara orurprrx yrnoBa je

4 AoB:t8l"-+-+: ts0"-"18: rso"-$:rr5o. rrpeva ycaoorua je,2 2 2

---2

'-- rtJ'vD''vr

IAarbe, {DCE: ..135o:27o. Orurpn yrnoBrr rpoyrna ABC cy d.:4lo+27":)-:72" a 9:45"_27.:19",

VIII PA3PEA

^ l. flpernocraaxuo .qa je 6uuur.ancra 3a[oqeo Boxny y MoMeHTy r€Aaje c rrurtr ra nuxxju 6uo_ayro6yc xojg je Kpexyo rrcroBpeMerro E Kperao c€y trcroM cuepy. Hexa je 6nqxr.rrrcra 54 MfiHyra Bo3r{o Ha jeaxy. cipaay, asarur"r 54 Mruyra y cyrporHol\{ cuepy (54:NZS (9, 6)). npeva yinony raaar_xa, 3a_54 Mnxyra K-peraria y jeaxoru o"repy, 6uquinrcry je o6r-mno 6 ayro-6yca. Y cleAehnx 54 uuuyra, Aox_ce apahao, cycpeo je 9 ayro6yca xoj" tce r(peran{ oa rrora3He cragr{qe. [axae, 3a 108 Mxgyra rrope.E 6rqlrrrtuCre jLnpoluno 15 ayro6yca rojr cy ce Kperann ca noJra3Ee craxuqei Bperrrercxu rurrei-

aarrn y xojnua ayrobycu xpehy ca norra3xe craauue"yr ry:T: I ! *n y-'15 5 5

'ra, tj. 7 M[Hyra u 12 cexyn4lr.

2. Tpancifopuucaheuo rarr{ pa3noMar:

n2 + I n2-4a5 @-2) (n+2) 5 5

,+2: ,+2 :,+, T;V:n-2-r-'

Ao6ujefln urpae urrrahe ueno6pojxy BpeArrocr caMo axo ce (rr+2)."ap*ny.s,mro je [cly]berro 3a ne{-|, -3, -1, 3}.

3: Hexa j€,nocao 3aBpr[ex 3a r^ AaHa, Taaa je rrpBrr paAno x Aasa,Epyirrr (x-y), rpehu (x-2y) ll qersprx (x-3 y) aaga. OH; cy yxyuno paAqnf,36 p-aar*rx naxa: _r + (r_- D t @ -2 y) +,(r- 3 y) : 4 y - 6 y :z e. Il'pei"ra y"noryx:5(x-3y), rj', 4x:15/. O,qas,qe ao6xjar',ro Aa je x:15 nana i y:a4dni.

4. ,{aro je BC:15 cm. Tpoyrao ABC je norroBrrra jegxaxocrpaun.rxor.

rpoyrna crpaxnrre AB:30 cm il roBprunHe p::. 130, /T:22y'3 cmr. Ha' 24--'- 2'--"'

ocnoBy roncrpyxqnje trrecroyrna MNPQRS (cr. 3), rr3rra3E aa je gp.Ar je.qna-

xocrpaxrqax Tpoyrao, a rpoyrao CQR je rrorroBrrra ror flcror jegxarocrpa-Irtrlruor rpoyrna. flperrla roMe, axo o3HaqlMo ca a Nt:x pe, lo6nheuo jegua.

4'

xocr: a+a+-:15 cm, oAaKJle je a:6 cm. OsraqflMo ca Pb Pr, P, peqOMzroBprrrrfHe rpoyrna BPN, CQR x rrecroyrnr MNpeRS. Ca,qa nepasynajMo:_ I .,r I 9Pr:Ta2 V3:9Y3, zarnu P":TPr:T{T a rr:6.pr:STVT. Ilpcocraar

Aeo rpoyflra, qxja ce rroBprrll{Ha raxo$e rpaxr, lrsuepnheuo rloMohy Pr, Prn Pr:

225 ,- 9 ,-P,:P-Pr-Pz-P,:+VT -e lt -;V{:+s liTcm'.

MN

Cr. 3 Cn.4

5. Hera je ravxa M npecex npaBux AF u. DE (cn. 4)' ,{oxaxrrrao ,qa je

tyx FM rextrIuHa nuHuja rBoyrra DEF.; Kaxo je AC, napatenna ca_Efl rocy rpoyuonn EFM tr CAM cxfldnsu. IIo lioucrpyxqujr je r{ rpoyrao DEF cltrn-

ular ipbyuy ABC n y oArocy na ABC rrMa rpl{ nyra nehe crpaHuqe. 36or

.1rora je CM: ^ EM, ulro 3uaur 4a je rarxa M cpeauune Ayx[ DE. 360r

J

Tora je FM rexuruna runxja rpoyrna DEF. Vls cnilqHocrlt rpopnoBa MEF

s. McA.qarbe u3na3u aa je Ir AM::MF, opaxne I{3rla3r4 ya je ratra A5

cp€Anrurerpoyrna DEF, nrra ce rl TBpAI{no. (Texnurre AeJrrr rexullrHy natnjy

y pagvepr 2: l.)

HANOMEHA

36or se,qocrarxa npocropa y oBoM 6pojy MJI pe3ynrar[ r(otrKypca 3a Ha'rpaArm 3aAarax 90 n 91 6nhe odhBrberlrr y rapeA[oM Spojy .rucrar am nt'rpaAe Aodxrrnqnua Snhe AocraBJbe[e neh nocae [3JIacKa oror 6poja ancra.

3AAAIII{ CA NOKPAJIIHCAOT TAKMI,ITIEILAYTIEHHKA OCHOBHHX IIIKOJIA CAN BOJBOAIIHE

VII PA3PEA

l. ,Il,orararn aa je s6up rprpoAnux 6pojena o4 I ,4o I 000 lerur ca 143,

2. Ear je nerxuolrl R (a\:at 43 oz-t.a) Pacranrlrr R (a) na fipocre qnuiloue.

6) ,{,oxararr aa je R (a) aeruro ca 48, axo je a npnpo,ualr Heuapan



3. Hexa je S nanpaeax noacxyn npnpo,qrtrx 6pojera. V JxS aerfnrn.caxa je peraquja rR na cnegehn navun:

(x,,) R (x r, !)(t xfy, :xr.ry.

,{oxararx Aa je R penaqr.rja exrunalenquje.

. 4. KoJlrKo cy yAarbelra reMerra B u D og 4ujaronaae ,{C npasoraoHtraABCD, axo je A8:16 cm n BC--12 cm?

5. Ilocroju nrr Tpoyrao urje rucuue urr,rajy gyxune 1,2 n 3?

" vrrl PA3PEA

- -1. Hanncaru Hajrehr.r r naj*rarru trp[poaau 6poj vnju je nponrron {x-tlmpa jeanar 5040.

2. V 6r6luorequ je 6nno xpura Ea cpncroxpBarcKoM, naalapcxov zcJroBaqxoM jesnxy. Krrnra Ha cprcxoxpBarcKoM je 6rno 401otyrynrbr6pojarslura cBe rpx Bpcre. Bpoj xnura rra Mabapcr(oM je:uxy ogxocx ce npeMa

Fpojy xrura Ha crroBar* I 3:oM je3ury *"o

T,T,IIpu qeMy je xrilrra xa cJrO-

BaqKoM je:rxy 6n.rro ga 480 roruaAa Blrrrre oA Krblra na ua[apcxolr jesrxy.Konuxo je xnura oA cBaxe npcre 6uao y 6u6nuorequ? '

3. Ilrparynaru BpeAuocr r{3pa3a:

2. a) R(a):a2 (a+3)-(a+3):(a*3) (a2-l):(al3) (a-l) (a*l).6) Axo je a xenapax rpnpoAax 6poj, raga ey (q-l\ 1a+l) 4 (a+-{)

Tpn y3acronHa napna 6poja, na rx MoxeM-o o3Haqnrr 9"?!r,? @1t;-l 2(k+2).Tiai ao6njaMo: R (a):2k'2(k+t)'2 (&+2):8 k (k+t)(k+2). Caaa cv k,(t{tl) H k-+2) rpn y3acrorrHa-npilpoaHa 6poja, na je,qau oA rrxx r"ropa 6nrrierrna ca'2 t i"ait iuropa 6nrr a-erbnB ca 3. 36or rora je k (k+l) (k+2):6m,rz€N. flperr,ra rove: P(a):8'6m:48m, ruto ce n rBpauno.

3. Tpe6a Aoxa3arrr Aa je penaquja Ri pedneKcusHa, cwefrpuqua ufupaatuiluena.

(l) R je pefiaexcueua pe.naquja, jep je xa ocrroBy oco6una ouepaqnja xa

cryny lpnpoAnux bpojera x+y:x+y,3a cBaxo r, y€'s' Ero o3uaqaBa Aa

je (x, y) R (x, y).(2) Penaquja je cunefrpuuna, jep no Ae$nHnqtrjn Eaxn:

(x, y) R(x,, /,) <- x+yt:xt+y e xt+y:x+h 4') (xt, y,) R (x, y)'

(3) Peaaquja je tupaazuiluana, jep ro:xn:.

(x, y) R (x,, ./,)A (xr, yr) R(xr, y.) e x+yt:xt+y Axt+yz:x2+yy

Ca6npanernr aBe nocneAbe jeAxaxocrn,qo6ujarvrb:

x ! !, * x1 I ! z: 16, ! y I x 2* y | <> x + y2: x2+.v (+ (x' y) R (x z' y).

A:

4. flognar je o6urr,r nejeaxaxocrpafirdquor rpoyrna 2 ^9. Axo rraA Haj-MarLoM crpagarloM oBor rpoyrna Koxcrpyn[reMo jegnaxocrpaHuqax Tpoyrao,beros o6rrlr je sa 5 Marbr oA o6nva Aaror rpoyrna. Alr, axo jeanaiocrpa-HIryaH Tpoyrao xoHcrpynueMo r{aA uajaehov crpagnrloM, neror o6nu je n 6aehx og o6ur'la aaror rBoyrra. Koje spelHocrrt Moxe uvarn o6tu 2

î?

^S._fuo ce rnrrla xoqxe noseha sa 2 cm, rleHa ce noBprrrfifia noBeha 3a96 cm2. Koarxa je narqa xorlre?

Peurera 3aAtrara

vrr PA3PEA

1. Moxelro. HanrcaTrr oBaro:

I +2+3 + . . . +998 +999* 1000:(l +1000)+ (2 +999)+(3+99S)+ . . .+

(+500+501) : t00l + 1001 + 1001 + . . . + 1001 :500. t00l ::500.7. I r .13 :500.7. 143,

jep je l00t:7,11.13:7.143. Onasae ce Bsau Aa je naru :6np 4enrr ca 143.

184

4. Ilpanoyrnu rpoynroBl'r ABC u AC_DDcy noAyAapHu (cr. 1), ra i9 fu:-hp., -ll'.z

rpoyrra ABC l,lzpatynavloi AC2:ABz+BC2:

-256+144:400, na je AC:20. llr uorprru-ue rpoyrna ABC lo6niawo: 2P:AB'BC:

-AC.hn,oAaxre je 16'12:2O 13 n xoHoexo

192ha:5:9,6cm:ho.

5. flpernocraBrMo aa nocrqjn rpoyrao

'r[je cy crpaHl{ue AyxtrHa a, b rt c, a orro-sapajyhe snctrxe ha:|, hb:2 n h":3. 7uO^

C.n.

3cie P---'2 ! *":l nu:!ch", a o*es*e :" i:o:#

2 2' oArrocHo a:2 b:3 c,--l- -- -2

aatra cy crpannrle rpoyrna: o, i , i. MeXyronn' 3HaMo Aa 36up ABe crpaur{-

2Ja a 5a

qe rpoyrna Mopa 6nrn rehl oa rpehe crpaHul{e' na' xaKo jez+T:T'

saxryryjeuo Aa oBaxaB Tpoyrao He nocrojrl.

VIII PA3PEA

l. Pacr'asrlto 6poj 5040 Ha npocre rlrguoqe: 5MO:2'2'2'2'3'3'5'7' On

oErx gsHnnaqa Moxe ce na'fiHsrx HajMalse 5 qnoapa: 2, 5] 7, E -n 9' Haj'rraarbu 6poj ce aoonja r(aA ce llrlfiy rlpBo Malse' na oxAa nehe qnope' Taro

Ao6EjaMo najuanrl 6Poj: 25 789.

lo

h;

185



Hajrehr 6poj xojz 3aAoBorbaBa Tpaxexe ycnoBe ne nocrojr, jep ce c

Aecue crpaxe Moxe ,qofirrcrrBarlr Heolpaurrex 6poj jeluunqa: 75332222111 ...2. O:naqrvo ca h, m u s 6poj Krsura Ea cp[c-r(oxpBarcxou, uafapcrolr

13 IE cnoBatrKoM jeoury. Ta.qa je s:rz*480 'v mis:;i;, rj. m:(m1480):-'

335 3

:.:-. OAaBAe je m:60O..{aEe je s:600*480:1080 u, xonaqEo h:0,4(h+)

+600+1080). Pemerre oBe jeAxaqrrue je i:l120. y 6r6lnoreqll je 6nnoI 120 xrsura Ea cpncroxpBarcKoM jeraxy, 600 ua va$apcrou n I 080 xactoBaqKoM.

3. Csn ca6rpur y bpojuouy cy AeJbuBtr ca t. 2. 4, a y uuennoqy ca l.3. 9. Kaaa rajeaxnvrce vffHr{oqe fi3ByqeMo trpeA 3arpaAy u cKparuMo pa3noMaK,

.uo6nheuo:

A:1.2. 4 (t +23 +3r+. . . +1003)

931, Koturo KoupKa, uau4e (6pugal 4 cm, tape6a cmaauau ieguy yt gpyiy,

ga 6u ce go6uo xeagap uospuuve (ilaowtuuna) 352 cm2?

Knanap rnja noapurnxa ugnoin 352cm2 Moxe ce Ao6lrn axo ce xajrvrare

5 KoIIaKa, quje cy uBflqe 5 cm, trocraBe jenxa .ao ,qpyre oHal(o xao mro, je roupegcra"rexo *ri ctt.2. Iserore.cy ,4lueu:rje 20x4x4. A ttloxe ce Ao6nrrr E

aio ce 6 TaKBtrx KoIIaKa rlocraBe ogaro.Kao uto je ro npeAcraBJbexo sa cl' 3.

Iserose cy Anlvrexrnje raAa l2x4x8.

cn.Z cn' 3

Pittcuua fauiuh, yr. IV p. OIII ,,P. flarnhennh", Eajnna Earura

932. Kaga'ce Ksagap, uriai":ueuqa (6pug) 24cm, frogeru na 4 iegnaxageaa, go6ujy ci 4 xou4e' Konuxa ie ioepwuaa (utowwana)froi xaagpa?

Kra.qap xbjn ce il,roxe rlg,(errrru na 4 jeanaxe xolrxe' a 'rnja je jeaua

ABflua 24 cm, Moxe 6nru o6nnxa. Kal(aB ce BIiAII xa cn 4' trJIu Ka(aB ce BuAn

Ea cn. 5. y npBoM caytajy $eroBa je noapunua P:36'18:648 cm nlni:SlO,l8:10368cm (nper"ra roMe xoja je oa rrerbux rrBltqa 24cm) a y

ApyrcM cnyuajy je P:144 U6:21O4 cm urlr 576'16=4216cm.

ffin, 4 cl. 5

Tana Kpcutuh. yq. IV p. OIII P. flasroarlh", flporynre

B) ja yiexuxe Y u YI Pa3Pega

933. Ha yp.eheny gnopuwwa pagurto je yxyilno 300 yvenuxa u'uo:

frpau

fryfr cau yuenu4u IV a V pazpega, yxyrino 120; spyiu Eyfr-cau

yqeHu4u \ u VI

iLipiir, yxyaai tts; ape'ni'aia' i"u vrruu,lo-fl u'vtt paspesa, vxvfruo 95;

1.2.4 8

I '3.9 27.3.9 (l +23+3r+ ;.. +1q03)

4. Hexa je a<b<c. Tana je o6uu rvraper je.qnaxocrpaullqHor Tpoyua:

3a:25-5, a o6uv seher: 3 c:25*6. OAagae t" o:"it

" ":t"r*u.2 S-l

Kaxo je 2S:a+b+c, to je b:29-a-c:---t-. CrpauruIe rpoyrna Mo-

2 S-5 2 S-lpajy ga.qogoraBarr.r ycJroB: a*b>c, a o.qaBAe [3Jra3rr ,ua je:

-+--f

t2 S+6

> ^ . Peuranajyhn no 2S .uo6ujauot 2 S>12. To je rpaxenu ycasa.5

5. Axo ce r{Bnqa 4 KoqKe uos€ha ca 2 cm, rloBprul{Ha HoBe l(oqxe 6[he:6(a+2)2. I4s Aaror ycrroBa 3a rroBprrtngy: 6(a+2)2:6a2+96 rc6niar'a6 je.q-

EaquHy: 24a+24:96, oAaKJre je a:3 cm. Tpaxera rrBnrla KoIIKe je a:3 cm.

pErrrErbA KoHKyPcH4L3-4A+q4$ e30-e!. -__.

930. Ha ctt. I na4putana je uefra za iabane na I i ( ;./;j^\"

}I3 MATEMATI,IIIKOT ;TUiTh XTX, T ./TA-'

A) 3a yvenuxe IV u v pazpeg" /,,'E-I xaqputaua je ueaia za iaharce na / ;' / '"7-s-.1 '30. Ha cn, I na4paana je uefra za iabane na / i / ":\\

xojoi cy o3*aqeHu aoenu xiiie oceija cfrpem4 ilolofrxou y i I t . '9 /ogioaapajyfte fiome. Koja ilorba '+tetue tupe6a ga iloiogu \. \ \ '

-,/npera4 u ca KoruKo xuua4a ga 6u s6up (cyua) ocao- \ \\ \-----ljenux iloena 6uo 100? \,.'-'.--.-

i( c)))\\:_7ena je nyra, a caaru ia6irpax (upu6pojnirx), ognooro cx' I

6poj noexa 3aBprrlaBa ce qu$polt (exauenrorvr) 6, IrITo 3uaqrlga je

norpebnoI'IMarR

5 noroAara y roJba uere. Ca 5 noroaara r"roryhe je ocrojurN 100 noena y Aaa

cnyraja: rrpB[-aKo ce noroAn 4 nyra uone xoje AoHocIt 16 noena u jeAannyr

flocregrra qrSpa (:Halraenxa) s6upa (cyve) no-

no:re xoja Aonocfi 36 uoena; Apyr[-aKo ce floroAfi 2 nyta nore xoje'qoHocrr

26 noeHa u 3 nyra uore xoje aoHoclr 16 uoeua.

Aaexcangap Mutoweeuh, y'r. IV p. OIII ,,20 oxro6ap" Seorpa,u

186 187



qenopnu fryfr ceu l,qewut4t VII u VIII paspega, yrcyfrno 130 yqequKa, Kotuxo jeyqewka 6hM us csaKoi pa3pega?

Axo cabepeMo cBe aare bpojese yrreulKa xoju cy ytrecrBoBar[ rropa3peAr{Ma, o}raKo xaKo je aaro y 3aAarxy, aoEr.rjevo 460, a sra ce ga je lrrruKore yrlecrBoearo 300 yqefinra, rra ce raKo Aobuja Bt,ruraK oA 160 yrrex[Ka.To je raro urro cy yqeHlrun V, VI u VII patpeaa pavyxaru no,qaa nyra. floruroje peqgno Aa je n3 VwVIpatpeAa yvecraoaaro li5 yxexnra, npouiutatataje!!__YII pa3peAa yqecrBoBano 45 y.rexrra. Aarbe ce naro trparyiaBa Aa je n3VIII patpeta yqecrBoBaro 85 yvenura, nz VI 5O yqeHu(a, vs V 65 u is IVpa3peAa 55 yreunra.

Curcuja Voruh, yu. V p. OIII ,,X. 3penaxuu.,, Eora

fuxu MN u PQ cy cpeAlbe ruxnje rpoyr-no&a BHC u ABC, IIa cy 360r rora o6e napanenxbr jeAnaKe rroJroBnnrr Fyxia BC, CneAn Aa cy MNn PQ napanenHe r{ jeaHare MeDy co6oM u qerBo-

poyrao MNPQ je naparenorpaM (cn. 6). OclrruTora je gyx NP cpeAba nnxuja rpoyrna AHC,naje PIV napareJrrra ca AH, a caMrrM rIrM je PIYEopManua na BC. Karo je MN napatenaa cL BC,ro je PiI FopManHa lrna MN, na je {MNP:90'E napanenorpau MNPQ je nparoyraoxrx.

Kafrapwa Eu<otajeeuh; yr. VIp.

OItr

cl. 6

,,17. oxro6ap", Caetogapcro

B

_ 934. Kayuory-gytrcuve (gymune) 2,5m ilpoaatu Kpos tuyrrcJ, gyctcune 700mdpsunou og 36kmlh. Kotuxo uponeKHe epeneia og nitoeoi'ymcii go *eioaoiusrtacKa ut wyneaa?

Taj xaurox, npolarehr xpo3 Tynen, npona3r{ l0 m sa jeany ceryn4y.Yaamr ayrouo6rua- y ryxen rorrrrre Kaaa rrpeArsa crpaHa ayroirooiua ibe

-v

rynea. Ayrouo6ua je traruao H3 Tyuena (aAa My ragrra- crpana :aza$e nt rytrena.36or rora Ha Ayrfl{Hy ryHena AoAajeMo Ayxnny ayrornio6n.na, na cq

'"peMe

o6parynaa-a_ na 702,5 m. 04 ynacra ayrouo6lna y rygen Ao rleroBor [3JracKanpoft 70,25 cexyx.qr.

Batoa Votoeuh, yc. V p. OIII ,,Kapabop[e.., Tonona

C) fu yuenuxe VI u yII patpega

- 935: Aro cy a, b,_c u d 6uao xoju ilpupogna 6pojeau, gorcazautu ga jefipou.zeog (upogyxu) (a-b\(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d) genie ca 12, ige jea>b>c>d.

Ocrarax Aererba ca 3 6nno xojer o,u trerlrprr Aara 6poja uoxe 6nrn 0,I ana 2, rrrro 3rra{tr aa 6ap ABa oA rbr{x MopaJy rMarrr nirn ocrarar. Hexicy ro, Ha rrpr{Mep, 6pojern ! n b. Taaa je patnrra (a-b) ler.;nna ca 3, na je rAartt nporrBoA Aerxs ca 3.

V noue.uy trapnocrrr Moryhe je aa cy 4ra 6poja nap:aa n ABa Herrapna,r.tra \a -cy.6ap

rpu 6poja xcre trapxocrn (rj. cBa rpr{ uapna rrrr cBa rpf,Eetrapxa). A1o.c11 ara 6po-ja fiapHa, pe[xMo a u b, a .qpyra

-,[BaHenapxa, raAa

cy pa3rrKe (9-Q tr (c-d) ne:r,rr.se ca 2, a Hasr rpor3ioa je Aerus ia l. exoC-y Oap Tpr{ bpoJa r{cTe rrapHocrrr, peq[Mo a, b u. c, oHAa cy pa3n[re (a_b) u(a-c) Aernse ca 2, na je nonono Har[ npo[3Bot .qerrls ca 4.'

-V csaxoM ctryuajy Aarr{ rpot{3BoA je Aersus ca 3 r ca 4, na je aerxcu ca 12.

Paguau llletnuh, yr. VI p. OIU ,,8. paguyelnh.., H. Eeorpag

__ _ 936.- Qwtupoyiaa npoyiao (uurbachoKyfunu frpoxyut) ABC una opfro4ennap

\.__Tayye M,.!,! u I cy pegot cpeguuna gyctci (ioaoeuwwa gytiu*) nH,CH, AC u AB. floxazahu ga je wweopoyiao (uemee)oxyiz) MNp[ Apaeoytaouux(frpaeoxywaax),

188

e37. Eo,,ila",,*'l*Ii";:: ::-'-:;';:::," uua naiu6 npeua6auog 30". Iftpauyuafru Aoopwuty (oiltouje) u safrpertuvy (eoayueu) iupartuge, @<o

Je gyxuna (gynuna) 6ovue ueu4e 4cm,Hcra cy ocHoBHa r 6oqga rBnrla rrrrpaMa,.e g u s (c.tt. 7),E Hexa je R noaynpeqn[r Kpyra ormcafior oro ocnoBe trrr-paM[.qe, a H trena BI{crrHa. Karo je xarn6 6oqxe sgrqc

trpcMa oclroBr 30o, ro i" n:r.E, crreAr R:211 n

IH:T.t,caeAt H:2..{a.re, xa ocHoBy llnraropxnc teo-

pcMc je li)':^,-11)', * j" o:e.' - \21 \21'VcncA rora ie h:/7, P:9, V i+l/T>, v:e/ l.

A Cn.l B Cr.8Jbyfluua lfnuh, yr.. VII p. ,,Itrapcrrr oApeA" ItrTptrm

93t. Hexa le gafra Qynxrgia f (x)---24 x+m, ige x€R. Axo Je l(4)-0,,tatqtfranu hafiux {ynxrgje u utpauynafru fioEuuty (frnowfruay) 6uiw xolyoipanuuaaajy KoopguHafrt e oce.u &ai ipa$ux.

Kaxo je f(4):0, ro je 0:-24.4+m, ycneA {era je m:96, f(x)---24(x-4). Karo je f(O):96 r xaxo ce 3a /(.r):0,uo6rja x:4, to je rpa0srIare Oyrrxrlrje lpaBa rrpeAcraaJberra na cn. 8. Vcne.q rora je rtnxega troBpurnga

4.96P::_:192.

2Epauuctae Bacumeeuh, yc. VU p, ,,C. Koracenxh", EeorpaA

B (0,96 )

189



E) 3a yuenuxe VIII pazpega

939. floxazawu ga c6anu frpupogan 6poj, uuja je 4uSp:a (suauenxa) jegunu4a5 u xoju je xaagpafr nexoi gpyiol ilpupognoi 6poja, xa uecfry cdonuHa ttopa uilafrut1u6py xoja fipegcfraema uapaa 6poj.

ooaj 6poj je rBaApar 6poja xojn ce rarofe 3aBprrraBa rlr6poM 5, na ceucrr Moxe Hanr{carr{ y BnAy: (10a*5)'z:100a2+t00a+25:100a(a+ l)+25.flpousrog l0oa(a+ 1):aaprrara ce ca ABe Eyne, rra ce Harrr 6poj oaupuraraca25; flpouaroa a(a+l) oapebyje rpehy rur[py 3AeeHa oBor 6poja. Kaxo je oronpon3Bo,q oA ABa y3acrorrHa rrpt{po.qEa 6poja, o.q rojux je jeAalr yser uaparr, Toje u npor:r6q a(a+ l) yaex napafi, a ro 3Haqr Aa je rl qu$pa croruna caMor

6poja napan 6poj. Btagan Byuxoeuh, yv. VIII p. Oil ,,P. Byxuheruh.., HrE

940. Kywoeu (ylrcau) frpafi$a ogvoce ce xao 4:5:1:2, a neioaa xpahaocHoqurla jegaaxa je neloeou xpaheu xpaxy. Ilspasu oficei (oduu) u ilrownuHyfrpailaa y fynxtluju xpahe ocuoeu4e.

Ilpeua AaroM oArrocy xyreBnAaror rparre3a (cr. 9) lt3rroce no peAy60o, 30o, 150' u 120'. Hera je y rorvrTparr€y CD:AD:b. Aro ce xoHcrpyu-me CD ll AD, rapa je rpoyrao ABCtrpaBoyurr{ rpoyrao, na je BE:2CP::2 AD:2 b. Kpax BC nwa pyx:awy by'T .

Jpolruoau AED u CDE cy jeanaxocr-paEtqHR, na je o6uu rpane3a 0:(5 6++b/r, a noBptrrl{Ha P:b'zVT. Cr. 9

Cuao Huxottui, yy. VIII p..OUI ,,A. Illaurrh", Bajcxa

F) 3a yuenuxe ceux pa3pega

941. Hexo unta 7 srawHuKa u s*a ga cy 5 og ,bux jegaaxo fueuKu, a gacy 2 uato .neJtca og mux u uejycoduo jeguaxa. Kaxo on iloxe ca wwo tjtarbeyfropefiueana aa ilepaeujaaa 6et taeioaa ga ogaoju taa g6a Marto Aexa slanHuKaog ocdaaux?

O6e[exuu og.rtarrrrxe ca A, B, C, D, E, F, G. Hajupe rpeSa crasnru na je.qan'rac repa:uja 3 6urto xoja rnarxuxa (Hnp, A, B, C), a Ha Apyru rac 6rno xojappyra 3 oA rrpeocrarra 4 gnarnuxa (snp. D, E, F1. Taaa ce Moxe aoroABT&creAehe: a) A-tB*C: D+E+F. V osoM cryyajy rpe6a ynope.qmr jom rexrEe2 6uto xoja snarnnxa najnpe ca jeAnor, rra orrAa ca Apyror raca, flocre qera

he ce uohr oApeaurn xojn cy 3narur{qfi Texu oA ocraJrxx. Taro he ce qerooApebnBarle r{3Bprrnrru rra ocuoBy 3 ynope$urarra. 6) A*B+C+D+E+F. yorsrvr cnyyajy Ha racy xoju nperexe HaJra3e ce jegax nln o6a rexa glarssxa.3aro caA rpe6a ynorpe6urn asa 6uno xoja 3narnrrKa ca oBor raca, rra, axo

!Y jeAuarl, yropeaura jour n jeaan oA lbrrx ca oHuM rpehnv, ga 6r ce yr-BpAurro Aa rtn ra aBa 3Jrarlruxa npeAcrannajy rJrr{ He npegcraa;rajy ABa rexa3narunxa; aro sficy jeararur, onAa rexrl oA rsrlx rpe6a ynopearru ca rpehuuoA rbux, Aa 614 ce BlAeJro Aa ln je raj, nnn je uarnur G Apyra oA Tex[x3JI THUKA.

Eaaua Konutpa, yr. VI p, OIII ,,A. Illanrnh", Bajcxa

r90

492, Mapxo, Janxo u Epaxxo, page y ucwort ilpegyoehy' Og nux ie iegaa

xnuioaoha, gpylu ilaia4uonep, a ifrpehu aKeBunep.

Axeuzufrep, xoiu nuie orrcelbeil, najauctcu ie og ceux ttux, Mapxo, xoiu ieIawoe zeE, auwu ie og ilaiaqtoHePa.

Vutre ce xoju og wux 6aeu?

Kaxo cy Mapx6 n Janxo oxerleHr (Mapro je vyx Janxose xhepu), ar'at3rrret je Bpixro. Ceu tora Mapro xnje uaraquoHep' uglrrTq je runru oA

Maraqgorrepa, a oTyA cnegyje Aa je lraraqnoxep Jaxxo 11 Aa je Mapro KIbIrro-

rcDa.Cpehxo Byioauh, yq. V p, OIII ,,M. lllaroBuh", CryAeEntra

NAGRADENI I POHVAIJENI RESAVAOCI KOI\KURSMH ZADATAKA{ts-942 lz ML XIX, l-5

I NAGRADU OD I2OO DINARA DOBILI SU:

IV raz,red. Vesna Alekslievska, OS >F. JahiC Spanac<<, Bijeljinsko Suho,Polje:

V ."-ia.-Sirtlf Co-ri6,"oS, o2. ztenjanin<<, liota; sre&o Vuiovid oS >M'

Ivanovii<<, Studenica.VI razred. Radman Selmid, OS >8.- Radidevi6<<, N. Beograd.

VII raaed. Branislav Vasiliievid, OS >S. Kova&vid<, Boograd.

vrn ra uo. Jasmina Miirc":'tie, bS ottt. Po.ovid<<, KiuSevic; Rastko Sehid,

OS uS.'RaO-idet:&., nmlrad; DaliborTulinski, OS >Mladost<<, Jak5i6; Vladan VuI-

lrovid, OS >R. Vuk.Cevii<<, Nis.

II NAGRADU OD 9OO DINARA DOBILI SU:

IV razred. Katarina ni6, OS >e. Milosavljeviid<, Pecka; Slavica Savi6, OS )F.

JahiC Spanac<, Bijeljinsko Suho Polje.----V io"i. i'oiio notttnit, oS >u' Kosovac<<, Sabac; Miloi Mito5evid, oS

>V. Ribnikar<, Beograd; Mil,a Sremtevid, OS >Karatlorda<, Topola; Tatjans Ste-

fanovid, oS >M. Kosovac<<, Sabac. -VI razred. zorao .lli'tpie, <iS ol. K. Lazarevii<, Sabac; Dorde ElCid, OS

>B. Radidevii(, Beograd; Katarina Nikolaievid, os r!1. okto^nar<<, svetozar_evo; Na-

ffs;'S;fi;;;il 6Siix"i"aordle<, ropolai preorae viloti6, 9l-ozs-' maj<<,-Kru

Vir mzred. Sladana Jankovid.- OS >B. Miljkovii<, NiS; Zorica LazaN DluJduurrlr ve ,,r\srosv

VII razred. Sladana Jankovid' OS >B.

OS ))N. Jelidi6<, Sabac; Dragana Stojkovic Ol

'ti6, OS >25. maj<<, Krupanj.ii<, NiS; Zoricra l,azarcvid,rsovac<<. Sabac,. Gtieie<., Sabac; Dragana Stgikovic OS >M. Koso.Yacl, Sabag'

-Vfff oo.a. SiniSa from6, OS DV. KaradZii<, MaC. Pridinovid; Snelana To-

varovi6, OS )M. Kosovac<<, Sabac.

III NAGRADU OD 600 DINARA DOBILI SU:

IV razred.Isiilora Banjeglav, OS >I. Gunduli6<, N. Beograd; Miroslava Jor-

dovi6, OS nA. buroviio, T. Uiiqg; Gordana Mikid, OS >F. Jahi6 Spanac.<<, fijelgnstpSuftipolj"; Dragan NeEovi4 OS 11V. $aradZii<,Kladovo;Svetlana Pecorid' OS >4.

ourovicd 'i. Uz'ice; vesna i'eicid, oS >F. Jahii Spanac<, Bijeljinsko Suho Po'je;

Mitja Podgorelac, OS >Spomenik NOB<, Cerkno.

l9l

Documents

Matematicki list 1985 XIX 6