12SINIF
MATEMATİKÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
DİZİLER
1
YAYIN KOORDİNATÖRÜOğuz GÜMÜŞ
EDİTÖRHazal ÖZNAR - Uğurcan AYDIN
DİZGİMuhammed KARATAŞ
SAYFA TASARIM - KAPAKF. Özgür OFLAZ
1. BASKIEylül 2018
İLETİŞİM
Ostim Mah. 1207 Sokak No: 3/C–D Ostim / Ankara
Tel: 0312 395 13 36Fax: 0312 394 10 04
twitter.com/yaricappfacebook.com/yaricapyayinlari
instagram.com/yaricapyayinlari
Bu kitabın her hakkı Yarıçap Yayınlarına aittir. 5846 ve 2936 sayılı Fikir ve
Sanat Eserleri Yasası’na göre Yarıçap Yayınlarının yazılı izni olmaksızın,
kitabın tamamı veya bir kısmı herhangi bir yöntemle basılamaz, yayınlanamaz,
bilgisayarda depolanamaz, çoğaltılamaz ve dağıtım yapılamaz.
Eğer bir gün sözlerim bilim ile ters düşerse, bilimi seçin...
M. Kemal Atatürk
SUNUSevgili Gençler,
Matematik ve geometri hem okul derslerinde hem de üniversiteye giriş sınavlarına hazırlıkta en önemli yere sahiptir.
Yarıçap Yayınları olarak eğitim - öğretim hayatınızda bu derslerle ilgili sorunlarınızı temelden çözebilmeniz için TAMAMI VİDEO ANLATIMLI
olan kitaplarımızı sizlere sunuyoruz.
Yarıçap Yayınları matematik ve geometri fasikülleri konuları en temelden kavramanızı ve öğrendiklerinizi pekiştirebilmenizi sağlamak
amacıyla birbirini bütünleyen “BİLGİ - BİRLİKTE ÇÖZELİM - SIRA SİZDE - ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM - KONU TESTİ” olmak üzere 5 bölümden oluşmaktadır.
® “BİLGİ” bölümünde kazanımlarla ilgili açıklayıcı ve öğretici bilgiler verilmiştir.
® “BİRLİKTE ÇÖZELİM” bölümleri “BİLGİ” ile ilişkilendirilmiş örneklerin bulunduğu alandır.
® “SIRA SİZDE” bölümlerinde konuyu kavramayı ve pekiştirmeyi sağlayacak sorular verilmiştir.
® “ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM” bölümünde çoktan seçmeli sorular aracılığıyla öğrendiklerinizin daha sağlam hâle getirilmesi amaçlanmıştır.
® “KONU TESTİ” bölümlerinde konuyla ilgili çoktan seçmeli sorular verilmiştir.
“Başlamak, başarmanın yarısıdır.” sloganıyla çıktığımz yolculukta sizlere başarılar dileriz.
Oğuz GÜMÜŞDevrim ÖZATA
Seçkin KARAASLAN
İÇİNDEKİLERBÖLÜM 1: ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR .........................................................5
Üstel Fonksiyon ...................................................................................................................6
Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 1.............................................................................................9
Logaritma Fonksiyonu .......................................................................................................11
Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 2...........................................................................................16
Logaritma Fonksiyonunun Özellikleri .................................................................................17
Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 3 ..........................................................................................24
Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 4...........................................................................................29
Üstel ve Logaritmik Denklemler Eşitsizlikler ......................................................................31
Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 5...........................................................................................41
Konu Testi 1, 2, 3...............................................................................................................43
BÖLÜM 2: DİZİLER ................................................................................................................50
Dizi Kavramı ......................................................................................................................50
Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 1...........................................................................................58
Toplam Sembolü................................................................................................................60
Aritmetik Dizi ......................................................................................................................61
Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 2...........................................................................................68
Geometrik Dizi ...................................................................................................................70
Öğrendiklerimizi Pekiştirelim 3...........................................................................................74
Konu Testi 1, 2...................................................................................................................75
Cevap Anahtarı ................................................................................................................79
1BÖLÜM
ÜSTEL VE LOGARİTMİK FONKSİYONLAR
YARI
ÇAP
YAYI
NLAR
I
6ÜSTEL VE LOGARITMIK FONKSIYONLAR
Üstel ve Logaritmik Fonksiyonlar
Üslü Sayılar (Hatırlatma)a, b Œ R ve m, n Œ Q olmak üzere, • a0 = 1 ( a ≠ 0) a1 = a 1n = 1
• aa b
aab1n
nn n
= =--
c cm m
• am · an = am + n an · bn = (a · b)n
• (am)n = am·n
•aa a
ba
ba
n
mm n
n
n n= =- c m
• (–1)2n = 1 (–1)2n + 1 = –1 (nŒZ)
• ( , )a a m n Z ve n 0≠nm mn !=
BİLGİ
BİRLİKTE ÇÖZELİM
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.1. 43·84
(22)3 · (23)4 = 26 · 212 = 218 dir.
2. ·3334
5
6-
-
-^^^hhh
. .tir33 3
33 35
4 6
55
10
-
-=-
-=
^ h
3. §·2 23
·2 2 2 231
21
65
56= =
4. (–1)7·(–16) · (–1)4
(–1) · (–1) · (1) = 1 dir.
5. 2–1 + 3–2
.dir21
91 11
18+ =
SIRA SİZDE - 1
Aşağıdaki işlemlerin sonuçlarını bulunuz.
1. 93·272
2. (–2)5·(–4)2
3. ·3
27 99
2 4
4. ·3 93
5. §33
3
6. (–1)4 + (–1)5 + (–1)6
YARI
ÇAP
YAYI
NLAR
I
7 ÜSTEL VE LOGARITMIK FONKSIYONLAR
SIRA SİZDE - 2
1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri üstel fonk-siyondur?a) ( )f x 2
3 x= c m
b) g(x) = 5–x
c) h(x) = (–2)x
d) k(x) = (–1)x
e) t(x) = 3·2x + 1
2. Aşağıdaki üstel fonksiyonlardan hangileri ar-tandır?a) f(x) = 4–x
b) ( )g x 32 x
= c m
c) h(x) = 3–x
d) k(x) = 3·5x
e) t(x) = 2·2x – 1
Üstel Fonksiyon • a Œ R+ – {1} olmak üzere
f : R → R+, f(x) = ax fonksiyonuna, tabanı a olan üstel fonksiyon denir. • Üstel fonksiyonda taban pozitif reel sayıdır ve 1
olamaz. • a > 1 ise fonksiyon artan, 0 < a < 1 ise fonksiyon
azalandır.
BİLGİ
BİRLİKTE ÇÖZELİM
1. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangileri üstel fonk-siyondur?
a) f(x) = 2x b) g(x) = 3–x
c) h(x) = (–4)x d) k(x) = 2x + 1
e) s(x) = 1x f) m(x) = –3x
f, g, k ve m birer üstel fonksiyondur. h(x) fonksiyonunda taban –4 ve s(x) fonksiyonunda taban 1 olduğu için üstel fonksiyon değillerdir.
2. Aşağıdaki üstel fonksiyonların artan ve azalan-lığını inceleyiniz.
a) f(x) = 3x b) g(x) = 2–x
c) ( )h x 43 x
= c m d) ( )k x 45 x
= c m
f(x) ve k(x) fonksiyonlarının tabanları 1’den büyük oldu-ğu için artan, g(x) ve h(x) fonksiyonlarının tabanları 1’den küçük olduğu için azalandır.
YARI
ÇAP
YAYI
NLAR
I
8ÜSTEL VE LOGARITMIK FONKSIYONLAR
SIRA SİZDE - 3
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.1. f(x) = 3x
2. f(x) = 2x – 1
3. f(x) = 21 – x
Üstel Fonksiyonun Grafiği • Üstel fonksiyonun tanım kümesi R dir. • Grafik çizerken x yerine bazı değerler konularak
tablo oluşturmak kolaylık sağlar.
BİLGİ
BİRLİKTE ÇÖZELİM
1. f: R → R+, f(x) = 2x
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x –2 –1 0 1 2f(x) 1/4 1/2 1 2 4
4
y
x
2
0 1 2
11/2
–1–2
2. f: R → R+, f(x) = 3–x
fonksiyonunun grafiğini çiziniz.
x –2 –1 0 1 2f(x) 9 3 1 1/3 1/9
9
y
x
3
1
101/3
–1–2
YARI
ÇAP
YAYI
NLAR
I
9
ÖĞRENDİKLERİMİZİ PEKİŞTİRELİM
ÜSTEL VE LOGARITMIK FONKSIYONLAR
1. 3–1 + 2–2 + (–1)4
işleminin sonucu kaçtır?A) 12
7 B) 211 C) 12
19 D) 21 E) 2
3
2. ·4 816
2x5 2
3 =
eşitsizliğini sağlayan x değeri aşağıdakilerden hangisidir?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
3. (–3)4·(–3)3·(–3)–6
işleminin sonucu kaçtır?
A) –3 B) 31- C) 1 D) 3
1 E) 3
4. f: R → R f(x) = 2·3x–1 – 4
olduğuna göre, f(2) kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 7 D) 13 E) 14
5. Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi bir üstel fonksiyon değildir?A) f(x) = 31 – x
B) g(x) = 4–x
C) ( )h x 21 x
= c mD) s(x) = 1x – 1
E) f(x) = 2·3x + 1
6. Aşağıdaki üstel fonksiyonlardan hangisi artan-dır?
A) f(x) = 2x – 1 B) g(x) = 31 – x
C) ( )h x 41 x
= c m D) ( )s x 43 x 2
=-
c mE) f(x) = 2·31 – x
7. Aşağıda f(x), g(x) ve h(x) fonksiyonlarının grafikleri verilmiştir.
y f(x) = ax
g(x) = bx
h(x) = cx
x
1
0
Buna göre, a, b ve c sayılarının doğru sıralanışı aşağıdakilerden hangisdir?
A) a > b > c B) a > c > bD) b > a > c D) b > c > a
E) c > a > b
1
YARI
ÇAP
YAYI
NLAR
I
10ÜSTEL VE LOGARITMIK FONKSIYONLAR
12. y
y = f(x)
x
12
0
4
3
Grafiği verilen y = f(x) fonksiyonu aşağıdakiler-den hangisi olabilir?
A) f(x) = 2x B) f(x) = 2x – 1
C) f(x) = 2x + 1 D) f(x) = 2x + 1E) f(x) = 2x – 1
13. Aşağıda f(x), g(x) ve f(x) fonksiyonlarıyla ilgili verilen bilgilerden hangileri doğrudur?I. f(x) = 3x + 1 artandır.II. g(x) = 21 – x azalandır.
III. ( )h x 21 x
=-
c m azalandır.
A) Yalnız I B) Yalnız II C) I ve II
D) II ve III E) I, II ve III
8. ·4 816
6 3
4
işleminin sonucu aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) 64
9. 93
271
x
x 1=
-
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
A) –2 B) –1 C) 0 D) 1 E) 2
10. 5x·5x + 1·5x + 2 = 25x+ 4
denklemini sağlayan x değeri kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
11. f(x) = 3x – 1 + 2
olduğuna göre, f(3) değeri kaçtır?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
YARI
ÇAP
YAYI
NLAR
I
11 ÜSTEL VE LOGARITMIK FONKSIYONLAR
SIRA SİZDE - 4
Aşağıda verilen üstel eşitliklerdeki x değerlerini logaritma kullanarak ifade ediniz.
1. ax = b
2. 3x = 8
3. 5 = 7x
4. 3x – 1 = 2
5. 5x + 2 = 3
6. 5 7x2 =
7. 1-2 5x2 =
Logaritma Fonksiyonu - 13x = 9 eşitliğinde x = 2 olduğu kolayca görülebilir.
Ancak 3x = 5 eşitliğindeki x değerini bulmak için farklı bir fonksiyona ihtiyaç duyulmuştur. Bu fonksiyon f : R → R+, f(x) = ax üstel fonksiyonunun tersi olan logaritma fonksiyonudur.
• f(x) = ax ¡ f–1: R+ →R, f–1(x) = logax şeklinde gösterilir.
• y = ax ⇒ x = logay olur.
BİLGİ
BİRLİKTE ÇÖZELİM
Aşağıda verilen üstel ifadelerdeki x değerlerini logaritma kullanarak bulunuz.
1. 2x = 5
x = log25
2. 3x = 10
x = log310
3. ab = c
b = logac
4. 2x – 1 = 3
x – 1 = log23 ¡ x = log23 + 1
5. 3 6x2 =
¡log logx x2 6 2 63 3= =
YARI
ÇAP
YAYI
NLAR
I
12ÜSTEL VE LOGARITMIK FONKSIYONLAR
SIRA SİZDE - 5
Aşağıda verilen ifadelerdeki x değerlerini bulu-nuz.
1. log24 = x
2. log3 27 = x
3. log x5
15 =
4. log2(x + 1) = 3
5. log3(2x – 1) = 3
6. log2(3x – 1) = 5
Logaritma Fonksiyonu - 2a > 0, a ≠ 1 ve x > 0 olmak üzere
logax = b ¡ ab = x olur.
BİLGİ
BİRLİKTE ÇÖZELİM
Aşağıda verilen ifadelerdeki x değerlerini bulu-nuz.
1. log28 = x
2x = 8 ¡ x = 3 tür.
2. log39 = x
3x = 9 ¡ x = 2 dir.
3. log x41
2 =
.x dir2 41 2¡x = =-
4. log3§3 = x
3x = §3 ¡ 3x = ¡ .x dir3 21
21
=
5. log3(2x – 1) = 2
2x – 1 = 32 ¡ 2x – 1 = 9 ¡ x = 5 dir.
YARI
ÇAP
YAYI
NLAR
I
13 ÜSTEL VE LOGARITMIK FONKSIYONLAR
SIRA SİZDE - 6
Aşağıda verilen fonksiyonların en geniş tanım kümelerini bulunuz.
1. f(x) = log3(x + 2)
2. f(x) = log(7 – x)(x – 1)
3. f(x) = log3 (x2 – x – 12)
4. f(x) = log4 (9 – x2)
Logaritma Fonksiyonunun Tanım Kümesif : R+ →R
f(x) = logax
fonksiyonunda a > 0, a ≠ 1 ve x > 0 dır.
BİLGİ
BİRLİKTE ÇÖZELİM
Aşağıdaki fonksiyonların en geniş tanım küme-lerini bulunuz.
1. f(x) = log3 (x – 5)
x – 5 > 0 ¡ x > 5En geniş T. K = (5, ∞) dır.
2. f(x) = log(7 – x)(x – 2)
x – 2 > 0 ¡ x > 27 – x > 0 ¡ 7 > x7 – x ≠ 1 ¡ x ≠ 6 olmalıdır.En geniş T. K = (2, 7) – {6} olur.
3. f(x) = log2(x2 – 2x – 8)
x2 – 2x – 8 > 0 ¡ (x – 4)(x + 2) > 0x
x
–4
+2
işaret tablosu yapılırsa
–� +�x –2 4
f(x) +–+
En geniş T.K. = (–∞, –2) » (4, ∞) olur.
YARI
ÇAP
YAYI
NLAR
I
14ÜSTEL VE LOGARITMIK FONKSIYONLAR
SIRA SİZDE - 7
Aşağıda verilen fonksiyonların terslerini bulu-nuz.
1. f(x) = 3x
2. f(x) = 5x – 1
3. f(x) = 2·3x
4. f(x) = log2x
5. f(x) = log3(x + 4)
Bir Fonksiyonun TersiHerhangi bir fonksiyonun tersi bulunurken aşağıdaki adımlar uygulanır.
1. Fonksiyon y ye eşitlenir.
2. x yalnız bırakılır.
3. y yerine x, x yerine y yazılır.
Örneğin
f(x) = 2x – 1 fonksiyonun tersi bulunurken,
• y = 2x – 1 eşitliğinde x yalnız bırakılır.
•y
x21+= ifadesinde y yerine, x yazılarak fonksi-
yonun tersi bulunmuş olur.
• ( )f x x211 =+-
Üstel ve logaritma fonksiyonlarının tersi bulunurken logaritma tanımından faydalanılır.f(x) = 2x ⇒ y = 2x
⇒ x = log2y ⇒ y = log2x ⇒ f(x) = 2x ğ f–1(x) = log2x olur.
BİLGİ
BİRLİKTE ÇÖZELİM
Aşağıda verilen fonksiyonların terslerini bulu-nuz.
1. f(x) = 2x – 1
x = 2y – 1 ¡ y – 1 = log2x ¡ y = log2x + 1f–1(x) = log2x + 1 bulunur.
2. f(x) = log2(3x – 1)
x = log2(3y – 1) ¡ 3y – 1 = 2x
¡ ( )y f x32 1
32 1x x
1=+
=+-
YARI
ÇAP
YAYI
NLAR
I
15 ÜSTEL VE LOGARITMIK FONKSIYONLAR
SIRA SİZDE - 8
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.
1. f(x) = log3x
2. ( ) logf x x21=
3. f(x) = log2x + 1
Logaritma Fonksiyonunun GrafiğiBir fonksiyonun grafiği ile tersininin grafiği y = x doğrusuna göre simetriktir.
y f(x) = ax
f–1(x) = logax
x0
y = x
• f(x) = logax
fonksiyonunda 0 < a < 1 ise fonksiyon azalan ve a > 1 ise fonksiyon artandır.
BİLGİ
BİRLİKTE ÇÖZELİM
Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini çiziniz.1. f(x) = log2 x
y
x
2
1
1–1
2 4
f(x)
0
x1 –1
011224
2 12
f(x)
2. ( ) logf x x31=
y
x
1
1
–1
30
x1 1
01
–13
313
f(x)