Matematika Diskrit 1Poset dan Lattice
Dr. Ahmad Sabri
Universitas Gunadarma
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Himpunan terurut
Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan S dan memenuhiketiga sifat berikut ini:
Refleksif (untuk sebarang a ∈ S, berlaku (a, a) ∈ R);
Antisimetrik (jika (a, b), (b, a) ∈ R, maka a = b;
Transitif (jika (a, b), (b, c) ∈ R, maka (a, c) ∈ R;
mala R disebut sebagai sebuah pengurutan parsial, atau singkatnyarelasi urut. Dalam hal ini R dikatakan sebagai pengurutan parsialdari S.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Himpunan terurut parsial
Definisi
Sebuah himpunan terurut parsial (partially ordered set/POSET)adalah sebuah himpunan di mana elemen-elemennya terurutberdasarkan sebuah relasi urut.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Simbol relasi urut
• Relasi urut yang berlaku pada bilangan riil: ≤, <.• Simbol umum: - (dibaca: mendahului), ≺ (tepat mendahului).
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Relasi urut semu (quasi order)
Definisi
Misalkan ≺ adalah relasi pada himpunan S dengan dua sifatberikut:
Irefleksif (untuk sebarang a ∈ S, berlaku a 6≺ a).
Transitif.
Dalam hal ini, ≺ disebut sebagai relasi urut semu pada S.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Komparabilitas
Definisi
Misalkan a dan b adalah elemen pada poset S. Maka, a dan bdikatakan dapat dibandingkan (comparable) jika
a - b atau b - a.
Dalam hal lain, a dan b dikatakan tidak dapat dibandingkan(noncomparable), dan dinotasikan sebagai a||b.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Himpunan terurut total
Sebuah himpunan S dikatakan terurut total atau terurut linier(totally ordered/linearly ordered) jika sebarang dua elemen pada Sdapat dibandingkan. Dalam hal lain, dikatakan S terurut parsial.
Q1: Apakah subhimpunan dari himpunan terurut parsialdimungkinkan untuk terurut total?Q2: Apakah subhimpunan dari himpunan terurut totaldimungkinkan untuk terurut parsial?
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Himpunan terurut total
Sebuah himpunan S dikatakan terurut total atau terurut linier(totally ordered/linearly ordered) jika sebarang dua elemen pada Sdapat dibandingkan. Dalam hal lain, dikatakan S terurut parsial.
Q1: Apakah subhimpunan dari himpunan terurut parsialdimungkinkan untuk terurut total?Q2: Apakah subhimpunan dari himpunan terurut totaldimungkinkan untuk terurut parsial?
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Pengurutan himpunan hasil kali
Dua cara di antaranya:
Urutan hasil kali (product order): (a, b) - (a′, b′) jika a ≤ a′and b ≤ b′.Urutan leksikografis (urutan kamus/alfabetis): (a, b) ≺ (a′, b′)jika a < a atau jika a = a′ dan b < b′.
Aturan pengurutan ini dapat diperluas untuk n-tupel.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Pengurutan himpunan hasil kali
Dua cara di antaranya:
Urutan hasil kali (product order): (a, b) - (a′, b′) jika a ≤ a′and b ≤ b′.Urutan leksikografis (urutan kamus/alfabetis): (a, b) ≺ (a′, b′)jika a < a atau jika a = a′ dan b < b′.
Aturan pengurutan ini dapat diperluas untuk n-tupel.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Penutup Kleene
Definisi
Diberikan A himpunan alfabet terurut linier. A∗ disebut penutupKleene dari A, jika A∗ terdiri dari semua untai w pada A.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Relasi urut pada penutup Kleene
Relasi urut pada A∗:
Urutan leksikografis:
1 Jika λ =, maka λ < w untuk sebarang w tidak-kosong.2 Misalkan u = au′ dan v = bc′ adalah dua untai tidak-kosong,
di mana a, b ∈ A dan u′, v′ ∈ A∗. Maka u ≺ v jika a < b ataujika a = b namun u′ < v′.
Urutan short-lex: A∗ terlebih dahulu diurutkan menurutpanjangnya, kemudian secara leksikografis. Secara formal, jikau, v ∈ A∗, u 6= v, maka berlaku: u ≺ v jika |u| < |v| atau jika|u| = |v| dan u ≺ v.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Relasi urut pada penutup Kleene
Relasi urut pada A∗:
Urutan leksikografis:
1 Jika λ =, maka λ < w untuk sebarang w tidak-kosong.2 Misalkan u = au′ dan v = bc′ adalah dua untai tidak-kosong,
di mana a, b ∈ A dan u′, v′ ∈ A∗. Maka u ≺ v jika a < b ataujika a = b namun u′ < v′.
Urutan short-lex: A∗ terlebih dahulu diurutkan menurutpanjangnya, kemudian secara leksikografis. Secara formal, jikau, v ∈ A∗, u 6= v, maka berlaku: u ≺ v jika |u| < |v| atau jika|u| = |v| dan u ≺ v.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Pendahulu dan penerus terdekat
Definisi
Diberikan poset S dan a, b ∈ S di mana a < b. Jika tidak terdapatc ∈ sehingga a < c < b, maka, a dikatakan sebagai pendahuluterdekat (immediate predecessor) dari b, atau b adalah penerusterdekat (immediate successor) dari a, atau b adalah tutup dari a,dan dinotasikan sebagai a� b.
Relasi urut pada S terdefinisi jika kita mengetahui semua pasanganelemen a, b ∈ S di mana a� b.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Diagram Hasse
Diagram Hasse dari poset berhingga S adalah graf berarah dimana simpulnya adalah elemen dari S dan busurnyamenghubungkan simpul a dan b jika a� b.
Secara alternatif, diagram Hasse dapat digambarkan secaravertikal, di mana simpul a digambarkan di bawah simpul b jikaa < b, dan kedua simpul tersebut terhubung langsung oleh ruasgaris jika a� b.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Diagram Hasse
Diagram Hasse dari poset berhingga S adalah graf berarah dimana simpulnya adalah elemen dari S dan busurnyamenghubungkan simpul a dan b jika a� b.
Secara alternatif, diagram Hasse dapat digambarkan secaravertikal, di mana simpul a digambarkan di bawah simpul b jikaa < b, dan kedua simpul tersebut terhubung langsung oleh ruasgaris jika a� b.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Elemen maksimum dan minimum
Definisi
Diberikan poset S. Sebuah elemen a ∈ S disebut elemenminimum[maksimum] jika tidak ada elemen lain dengan urutan sebelum[sesudah] a.
Poset hingga memiliki elemen minimum dan maksimum.Sedangkan poset tak-hingga mungkin tidak memiliki elemenmaksimum, minimum, atau tidak keduanya.
Elemen minimum dan maksimum dimungkinkan lebih dari satu.Jika hanya terdapat satu elemen minimum [maksimum], makaelemen ini disebut juga elemen pertama [terakhir].
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Elemen maksimum dan minimum
Definisi
Diberikan poset S. Sebuah elemen a ∈ S disebut elemenminimum[maksimum] jika tidak ada elemen lain dengan urutan sebelum[sesudah] a.
Poset hingga memiliki elemen minimum dan maksimum.Sedangkan poset tak-hingga mungkin tidak memiliki elemenmaksimum, minimum, atau tidak keduanya.
Elemen minimum dan maksimum dimungkinkan lebih dari satu.Jika hanya terdapat satu elemen minimum [maksimum], makaelemen ini disebut juga elemen pertama [terakhir].
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Elemen maksimum dan minimum
Definisi
Diberikan poset S. Sebuah elemen a ∈ S disebut elemenminimum[maksimum] jika tidak ada elemen lain dengan urutan sebelum[sesudah] a.
Poset hingga memiliki elemen minimum dan maksimum.Sedangkan poset tak-hingga mungkin tidak memiliki elemenmaksimum, minimum, atau tidak keduanya.
Elemen minimum dan maksimum dimungkinkan lebih dari satu.Jika hanya terdapat satu elemen minimum [maksimum], makaelemen ini disebut juga elemen pertama [terakhir].
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Enumerasi konsisten
Definisi
Diberikan poset S. Enumerasi konsisten adalah sebuah fungsif : S → N di mana f(a) < f(b) untuk semua a, b ∈ S di manaa < b.
Teorema
Terdapat enumerasi konsisten untuk sebarang poset hingga S.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Enumerasi konsisten
Definisi
Diberikan poset S. Enumerasi konsisten adalah sebuah fungsif : S → N di mana f(a) < f(b) untuk semua a, b ∈ S di manaa < b.
Teorema
Terdapat enumerasi konsisten untuk sebarang poset hingga S.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Supremum
Definisi
Diberikan A subhimpunan dari poset S. Sebuah elemen M ∈ Sdisebut batas atas (upper bound) dari A jika untuk semua x ∈ Aberlaku x -M . Lebih lanjut, jika sebuah batas atas dari Amendahului batas atas A lainnya, maka batas atas ini disebutsupremum dari A, dan dinotasikan sebagai sup(A).
Istilah lain supremum: batas atas terkecil.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Infimum
Definisi
Diberikan A subhimpunan dari poset S. Sebuah elemen m ∈ Sdisebut batas bawah (lower bound) dari A jika untuk semua x ∈ Aberlaku m - x. Lebih lanjut, jika sebuah batas bawah dari Amendahului batas bawah A lainnya, maka batas bawah ini disebutinfimum dari A, dan dinotasikan sebagai inf(A).
Istilah lain infimum: batas atas terbesar.
Matematika Diskrit 1
Poset
Himpunan terurut parsial
Relasi-relasi urut yang isomorfis
Diberikan poset X dan Y . Sebuah fungsi injektif (satu-satu)f : X → Y disebut pemetaan keserupaan (similarity mapping) dariX ke Y jika f mempertahankan relasi urut, yaitu denganterpenuhinya dua kondisi berikut:
1 Jika a - a′ maka f(a) - f(a′).
2 Jika a||a′, maka f(a)||f(a′).
Matematika Diskrit 1
Latis
Latis (Lattice)
Definisi
Sebuah latis (kisi) L adalah sebuah poset di mana inf(a, b) dansup(a, b) ada untuk sebarang a, b ∈ L.
Dalam konteks latis, infimum disebut meet, dan supremum disebutjoin.
Matematika Diskrit 1
Latis
Pendefinisian latis secara aksioma
Diberikan L sebuah himpunan tidak kosong dan tertutup terhadapoperasi ∧ (meet) dan ∨ (join). Maka, L adalah sebuah latis jika,untuk (a, b, c ∈ L), ketiga aksioma berikut terpenuhi:
1 a ∧ b = b ∧ a, dan a ∨ b = b ∨ a (komutatif)
2 (a∧ b)∧ c = a∧ (b∧ c), dan (a∨ b)∨ c = a∨ (b∨ c) (asosiatif)
3 a ∧ (a ∨ b) = a dan a ∨ (a ∧ b) = a (absorpsi)
Jika latis L juga memenuhi aksioma hukum distributif
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) dan a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
maka L disebut latis distributif.
Matematika Diskrit 1
Latis
Pendefinisian latis secara aksioma
Diberikan L sebuah himpunan tidak kosong dan tertutup terhadapoperasi ∧ (meet) dan ∨ (join). Maka, L adalah sebuah latis jika,untuk (a, b, c ∈ L), ketiga aksioma berikut terpenuhi:
1 a ∧ b = b ∧ a, dan a ∨ b = b ∨ a (komutatif)
2 (a∧ b)∧ c = a∧ (b∧ c), dan (a∨ b)∨ c = a∨ (b∨ c) (asosiatif)
3 a ∧ (a ∨ b) = a dan a ∨ (a ∧ b) = a (absorpsi)
Jika latis L juga memenuhi aksioma hukum distributif
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) dan a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
maka L disebut latis distributif.
Matematika Diskrit 1
Latis
Pendefinisian latis secara aksioma
Diberikan L sebuah himpunan tidak kosong dan tertutup terhadapoperasi ∧ (meet) dan ∨ (join). Maka, L adalah sebuah latis jika,untuk (a, b, c ∈ L), ketiga aksioma berikut terpenuhi:
1 a ∧ b = b ∧ a, dan a ∨ b = b ∨ a (komutatif)
2 (a∧ b)∧ c = a∧ (b∧ c), dan (a∨ b)∨ c = a∨ (b∨ c) (asosiatif)
3 a ∧ (a ∨ b) = a dan a ∨ (a ∧ b) = a (absorpsi)
Jika latis L juga memenuhi aksioma hukum distributif
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) dan a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
maka L disebut latis distributif.
Matematika Diskrit 1
Latis
Pendefinisian latis secara aksioma
Diberikan L sebuah himpunan tidak kosong dan tertutup terhadapoperasi ∧ (meet) dan ∨ (join). Maka, L adalah sebuah latis jika,untuk (a, b, c ∈ L), ketiga aksioma berikut terpenuhi:
1 a ∧ b = b ∧ a, dan a ∨ b = b ∨ a (komutatif)
2 (a∧ b)∧ c = a∧ (b∧ c), dan (a∨ b)∨ c = a∨ (b∨ c) (asosiatif)
3 a ∧ (a ∨ b) = a dan a ∨ (a ∧ b) = a (absorpsi)
Jika latis L juga memenuhi aksioma hukum distributif
a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) dan a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
maka L disebut latis distributif.
Matematika Diskrit 1
Latis
Relasi urut pada latis
Diberikan latis L, urut parsial pada L didefinisikan sebagai:
a - b jika a ∧ b = a
analog dengana - b jika a ∨ b = b
Matematika Diskrit 1
Latis
Sublatis
Definisi
Misalkan M adalah subhimpunan tidak kosong dari latis L. Maka,M adalah sublatis dari L jika M adalah latis.
Definisi
Dua latis L dan L′ dikatakan isomorfis jika terdapat korespondensisatu-satu f : L→ L′ sedemikian sehingga
f(a ∧ b) = f(a) ∧ f(b) dan f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b)
untuk sebarang a, b ∈ L.
Matematika Diskrit 1
Latis
Sublatis
Definisi
Misalkan M adalah subhimpunan tidak kosong dari latis L. Maka,M adalah sublatis dari L jika M adalah latis.
Definisi
Dua latis L dan L′ dikatakan isomorfis jika terdapat korespondensisatu-satu f : L→ L′ sedemikian sehingga
f(a ∧ b) = f(a) ∧ f(b) dan f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b)
untuk sebarang a, b ∈ L.
Matematika Diskrit 1
Latis
Komplemen
Definisi
Diberikan L latis berbatas dengan batas bawah 0 dan batas atas I,dan a ∈ L. Sebuah elemen x ∈ L dikatakan komplemen dari a jika
a ∨ x = I dan a ∧ x = 0.
Teorema
Diberikan L latis distributif berbatas. Komplemen dari setiapelemen di L , jika ada, adalah unik.
Matematika Diskrit 1
Latis
Komplemen
Definisi
Diberikan L latis berbatas dengan batas bawah 0 dan batas atas I,dan a ∈ L. Sebuah elemen x ∈ L dikatakan komplemen dari a jika
a ∨ x = I dan a ∧ x = 0.
Teorema
Diberikan L latis distributif berbatas. Komplemen dari setiapelemen di L , jika ada, adalah unik.
Matematika Diskrit 1
Latis
Latis komplemen
Sebuah latis L dikatakan memiliki komplemen jika L berbatas dansetiap elemen di L memiliki komplemen