Download pdf - Math Adabi 11 P1

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

1/92

WOUŽ bL× Æ√ ©ÎUIM® bF 5D Æœ `U .dJ« b³Ž Æ√ q³I bL× Æ√

ÊuHR*«

U?O{U?|d?«

ÍuU« ‰Ë_« nBKwbMH«Ë Í—U−²«Ë WO½U½ù« ÂuKF«

5DK WËœ

wUF« rOKF«Ë WOd« …—«“Ë

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

2/92

5DK WËœ w wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“Ë —dÂ≤∞∞∂Ø≤∞∞µ wÝ«—b« ÂUF« s Î«¡bÐ UNÝ—«b w Íu½U¦« ‰Ë_« nBK UO{U¹d« »U² f¹—bð

U????????O{U¹d« ÃUNM* wMÞu« o¹dH« —U??H« “UMNý jO³{ ”UO« Æœ åÎUIMò bF 5D Æœ

d??ÐUł U½UO WH?OKš wKŽ Æœ bLŠ qOKš wKŽ p???A qz«Ë q??³I bL× Ê«bLŠ bL× Æœ

UdÐ bz«— ∫Í—«œ≈ ·«d?ý≈

ÍËUL× ‰UL ∫WŽU³DK VÝu;« œ«bŽù« »u³Š rÝUÐ w½U√ ∫r?OL?Bð

w¹b« Í“u ÊUNLÝ« ∫bO????CMð ÍËUL× ‰UL ∫ ·öG« rOLBð

Z¼UM*« e?d hL(«uÐ√ dLŽÆœ ∫ ÍuÐdð ·«dý≈

WOMH« …dz«b«

ÂUF« ·«d?ýù« hL(« uÐ√ rOF½ Æœ ∫Z¼UM*« W?M' fOz—

5ÝU¹ Õö Æœ ∫Z¼UM*« ed ÂUŽ d¹b

W×IM*« WM« ¡«dŁ≈ o¹d

…bFÝ uÐ√ qOLł Æ√ ∫ÂUŽ ·«d?ý≈

œU¹“ uÐ√ s1√ Æ√ åÎUIMò …dŽUOÝ bLŠ√ Æ√ `U b× ÆœW½U³ý fO Æ√ wUF qOLł Æ√ `U U½— Æ√

W×IM*« WO³¹d−²« WF³D«

?¼ ±¥≥µØ Â ≤∞±¥Z¼UM*« edØwUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“u WþuH× l?³D« ‚uIŠ lOLł

WM¹b*« ed WNł s 5LO« vKŽ Ÿ—Uý ‰Ë√ ≠ b¼UF*« Ÿ—Uý ≠ ÊuOB*« wŠ ≠ Z¼UM*« ed5DK ≠ tK« Â«— ≠ ∑±π »Æ ’

´π∑∞≠≤≠≤π∂π≥∑∑ ∫fU ̈ ́ π∑∞≠≤≠≤π∂π≥µ∞ ∫ÊuHKð[email protected]

∫w½Ëd²Jô« b¹d³« ≠www.pcdc.edu.ps

∫WO½Ëd²Jô« W×HB«

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

3/92

r?|bI

UŠuLÞ oOI×² ªWOMODKH« WOuB)« wŽ«d¹ ÃUNM l{Ë …—Ëd{ wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“Ë √— WOMÞu« …œUO« ¡UM³ ÎU

Ò LN ÎUÝUÝ√ bF¹ wMODK ÃUNM ¡UMÐ Ê≈ Æ»uFA« 5Ð t½UJ cšQ¹ v²Š wMODKH« VFA«

W«b²*« W¹dA³« œ—«u*« WOLMð …«œ√Ë ¨w½U½≈ oŠu¼Ë ¨WOÞ«du1b«Ë rOI« aOÝd² ÎUÝUÝ√Ë wMODKH« VFAKÆ…—«“uK WOL)« WD)« ∆œU³ UN²Ý— w²«

…—«“u« wuð «c ªlL²−*« ·«b¼√ oI×²ð UNöš s w²« rOKF²K WOzd« WKOÝu« t½√ w ÃUNM*« WOL¼√ sLJðË ¨VUD«Ë rKF*« bOÐ vË_« …«œ_«Ë ¨rKF²K jOÝu« —bB*« t½_ ªÃUNM*« dUMŽ bŠ√ ¨wÝ—b*« »U²JUÐ WUš W¹UMŽ jzUÝu« s U¼dOžË ÍdÝ_« rKF²«Ë WOK;« WUI¦«Ë »uÝU(«Ë X½d²½ù« ∫rKF²« qzUÝË s ÁdOž v≈ WU{≈

Æ…bŽU*« V²J ¨wMODKH« Z¼UMLK UN²Dš s WÝœU« WKŠd*« oO³Dð Â©≤∞∞∂Ø≤∞∞µ® ÂUF« «c¼ …—«“u« d√ d¹uDð v≈ WU{ùUÐ ¨wMI²«Ë wMN*«Ë WO½U½ô« ÂuKF«Ë wLKF« tŽËdHÐ ©dAŽ ÍœU(« ® Íu½U¦« ‰Ë_« nB«

UNÐË ¨ÂœUI« ÂUF« w ©±≤®Íu½U¦« w½U¦« nB« ÃUNM V² UNF³²OÝË ¨©±∞≠±® WOÝUÝ_« WKŠd*« V² iFÐ ¨©±≤≠±® ·uHBK ÂUF« rOKF²K WOÝ—b*« V²J« lOLł œ«bŽ« XKL« b wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“Ë ÊuJð WO1uIð UÝ«—œ qLŽË w½Ëd²Jô« rOKF²«Ë UJ³A« ‰U− w WO²×²« WOM³« lOÝuð vKŽ ÎUOUŠ …—«“u« qLFðË WOŽu½ 5%Ë ÍuÐd²« d¹uD²« WK«u* ¨©ÎU¹œuLŽË ÎUOI√® YŠU³*« lOLł w ¨Àö¦« qŠ«d*« Z¼UM* tOKOK%Ë

ÆwMODKH« rOKF²« Î̈UÐU² ∞µ≥ »—UI¹ U¼œbŽË ¨Êü« v²Š dAŽ bŠ_« ·uHBK e$√ w²« rKF*« Wœ√Ë WOÝ—b*« V²J« bFðË ªwIDMË qNÝ »uKÝQÐ X{d Ô Ž UuKFË ·—UF s tOKŽ qL²Að U0 ¨rKF²«Ë rOKF²« WOKLŽ w WOÝUÝ√ …eO— VOUÝ√Ë WDA½_«Ë qzUÝu«Ë ¨f¹—b²« oz«dDÐ qB²ð ¨W×{«Ë «dýR sLC²ð ¨WŽuM² «d³š dOu²

ÆÁöŽ√ …—uc*« WOL)« WD)« ∆œU³ l Â¡ö²ðË ¨.uI²« ÊuuI¹ s¹c« ULKF*«Ë 5LKF*«Ë 5¹uÐd²« W—UA0 ÎUÒ ¹uMÝ U¼ƒ«dŁ ≈Ë UN×OIMðË V²J « WFł«d r²ðË Â¡ö²ð w ªd¹uD²«Ë q¹bF²K WKÐU WO³¹d& UF³Þ WFÐ«d« v« vË_« s UF³D« …—«“u« ÈdðË ¨UN¹—b²Ð —«bI0 œ«œeð wMODKH« wÝ—b*« »U²J« WLO Ê≈ Æ…UO(« «—UNË włuuMJ²«Ë wLKF« ÂbI²« w «dOG²« l s¹c« ¨WOÝ—b*« V²J« œ«bŽ≈ ‰U− w 5BB²*« s sJ2 œbŽ d³√ W—UA sË œuNł s tO ‰c³ð U Z¼UM*« ed UNÝ— WO−NM0 ¨WFł«d*« s WFÝ«u« UOKLF« ‰öš s ¨rOKF²« w ÎUÒ ¹d¼uł Î«dOOGð ÊuŁb×¹

ÆÁbOŠuð vKŽ qLF¹ Íc« sÞu« wdÞ w Ã«dšù«Ë n OQ²« wU− w ULEM*«Ë UÝR*« v≈ d¹bI²«Ë dJA« q¹e−Ð ÂbI²ð Ê√ ô≈ UNF¹ô wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“Ë Ê≈

ÆZ¼UM*« ŸËdA* wU*« UNLŽb ªUJO−KÐ WuJŠ WUÐË WI¹bB«Ë WOÐdF« ‰Ëb«Ë ¨WOËb«

s w¹—U²« wMÞu« qLF« «c¼ “U$≈ w X—Uý w²« ¨WOMÞu« W¹uÐd²« «¡UHJUÐ dH² …—«“u« Ê√ UL VŠ y q ̈ …eOL*« r¼œuN−Ð rN²—UA vKŽ r¼dJAðË ̈ WOÝ—b*« V²J« œ«bŽSÐ ÂuIð w²« ̈ W¹uÐd²« ÊU−K« ‰öš ¨qLF« Uý—uÐ 5—UA*«Ë ¨s¹—d;«Ë ¨5HR*«Ë ¨—«dù«Ë ¨Z¼UM*«edË ¨W¹—«“u« Z¼UM*« ÊU' qLAðË ¨tFu ÆoO³D²« ¡UMŁ√ Ê«bO*« s WOÝ—b*« V²J« ¡«dŁ≈ w 5—UA*«Ë ̈ 5FÐUD«Ë ̈ 5Fł«d*«Ë ̈ 5UÝd«Ë ̈ 5LLB*«Ë

wUF« rOKF²«Ë WOÐd²« …—«“Ë

Z¼UM*« e?d

WOLKF« YŠU³LK WUF« …—«œù«

Â ≤∞±∞ ÊU???O½

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

4/92

WbI

¨bFÐË 5*UF« »— tK bL(« UO{U¹d« »U² s ‰Ë_« ¡e'« W³KD« UMzUMÐ_Ë ULKF*«Ë 5LKF*« UMzöe ÂbI½ Ê√ U½d¹ Y×³* WbF*« WC¹dF« ◊uD)« oË wbMË Í—U&Ë WO½U½≈ ÂuKŽ ØÍu½U¦« ‰Ë_« nBK

Æ‰Ë_« wMODKH« ÃUNM*« WDš sL{ UO{U¹d« ¨‰UL²Šù«Ë ¡UBŠù«Ë ¨öK²*«Ë UOU²²*« ∫w¼ «bŠË ÀöŁ vKŽ ¡e'« «c¼ qL²ý« bI

ÆWOU*« UO{U¹d«Ë

tłuÐ WOU²²*« ÂuNH .bI² ◊U/_« UMb²Ý« ©öK²*«Ë UOU²²*«® vË_« …bŠu« wHÆWOÝbMN«Ë WOÐU(« öK²*«Ë UOU²²*« vKŽ eOd²« -Ë ÂUŽ

Í—UOF*« ·«d×½ù«Ë wÐU(« jÝuK WFł«d UMb ©‰UL²Šù«Ë ¡UBŠù«® WO½U¦« …bŠu« wË ◊ËdA*« ‰UL²Šù«Ë wFO³D« vM×M*«Ë W¹—UOF*« UöF« vKŽ eOd²« -Ë ̈ tMO½«uË ‰UL²Šù«Ë

ÆWze−²« W¹dE½Ë eOd²« -Ë WOD)« UM¹U³²*« WLE½_ WFł«d UMb ©WOU*« UO{U¹d«® W¦U¦« …bŠu« wË ÊË—bI¹ rNKF&Ë W³KD« WUIŁ s b¹eð WOKLŽ UIO³D² W¹œUF« UFb«Ë WOD)« W−d³« vKŽ

ÆUO{U¹dK WOHOþu« V½«u'« WO{U¹d« rO¼UH*« .bIð qONð vKŽ UMdŠ bI ¨—dI*« Èu²;« ÷dŽ WI¹dÞ YOŠ s U√ ◊U/_«Ë WO×O{u²« WK¦_UÐ ¡UH²ù«Ë ¨WIOb« WO{U¹d« 5¼«d³«Ë n¹—UF²« v≈ ¡u−K« ÂbŽË ‚ËdH«Ë Y×³LK …—dI*« hB(« œbŽ —U³²Žù« 5FÐ s¹cš¬ ¨qzU*«Ë s¹—UL²« s VÝUM*« œbF«Ë

ÆWOK³I²*« rNðUłUO²Š«Ë ¨W³KD« W¹œdH« lOLł s ULKFË 5LKFË ¨UdAË 5dA¨Ê«bO*« w ¡öe« qJ q¹e'« dJA« ÂbI½ w bIŽ w²« qLF« Wý—Ë w rN²—UA ‰öš s »U²J« ¡«dŁ≈ w «u—Uý s¹c«Ë UEU;«

»U²J« Èu²Ë W³KD« W×KB tO U* ö¹bF²«Ë UŠ«d²ô« .bIðË ¨tK« Â«dÐ Z¼UM*«ed oO³D²« l{u »U²J« l{Ë bFÐ UŠ«d²ô«Ë UEŠö*« s b¹e*« vIK²½ Ê√ UMdŠ vKŽ s¹bRÆtK« ¡Uý Ê≈ WOMODKH« UMÝ—«b w

oOu²« wË tK«Ë

ÊuHR*«

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

5/92

≤ öK²*«Ë UOU²²*«≥ ©UFÐU²²*«® UOU²²*« ± ≠ ±

∑ öK²*« ≤ ≠ ±π WOÐU(« UOU²²*« ≥ ≠ ±±≥ WOÐU(« WKK²*« ŸuL− ¥ ≠ ±±∑ WOÝbMN « UOU²²*« µ ≠ ±≤∞ WOÝbMN« WKK²*« ŸuL− ∂ ≠ ±≤≥ WUŽ s¹—U9

U???¹u??²;«

v ? Ë

_ « … b u

«

µ∑ WOU*« UO{U¹d«µ∏ s¹dOG²Ë dOG²0 vË_« Wł—b« s UM¹U³²*« ± ≠ ≥∂≥ WOD)« W−d³« ≠ WOKLŽ UIO³Dð ≤ ≠ ≥∑∞ UFb« ≥ ≠ ≥

W O U « … b u «

≤¥ ‰UL²Šù«Ë ¡UBŠù«

≤µ W¹—UOF*« WöF« ± ≠ ≤≥≤ ‰b²F*« wFO³D« vM×M*« ≤ ≠ ≤¥≤ tMO½«uË ‰UL²Šô« ÂuNH WFł«d ≥ ≠ ≤¥µ ◊ËdA*« ‰UL²Šô« ¥ ≠ ≤ ¥π Wze−²« W¹dE½ µ ≠ ≤µ≤ WKI²*« Àœ«u(« ∂ ≠ ≤µ∂ WUŽ s¹—U9

W U « … b u «

∏∞ WUŽ WFł«d∏≤ Í—UOF*« wFO³D« vM×M*« X% WŠU*« ©±® o×K∏≥ …bŠu« UNM q —«bI UFb WOK³I²*« WLOI« ©≤® o×K

∏¥ …bŠu« UNM q —«bI UFb WOU(« WLOI« ©≥® o×K∏µ WOLKF« W³ÝU(« Wü« Â«b²Ý« ©¥® o×K∏∂ lł«d*«

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

6/92

≤

±±b Šu «…b???Šu«

öK²*«Ë UOU²²*«

equen es

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

7/92

≥

∫q¦ œ«bŽ_« s ◊UL½√ ‰«uŠ_« s Ì dO¦ w UMNł«uðÆ Æ Æ ¨ ∏ ¨ ∂ ¨ ¥ ¨ ≤ √Æ Æ Æ ¨ ±µ ¨

±¥ ¨

±≥ ¨

±≤ »

Æ Æ Æ ¨ ∞,± ¨ ± ¨ ±∞ ¨ ±∞∞ ?łÆ Æ Æ¨ ∞ ¨ µ ¨ ±∞ ¨ ±µ œ

wH t WOÝUÝ√ WH b×« VOðdðË ¨Î «bŠ UNO œbŽ q wL½Ë ¨©WFÐU²²® WOU²² ◊UL½_« Ác¼ s Î ö wL½

w½U¦« b×« u¼ ¥ œbF« Ê√Ë ¨ ±Õ edUÐ t ed½Ë WOU²²L« w ‰Ë_« b×« u¼ ≤ œbF« Ê√ kŠö½ oÐU« ©√® ‰U¦L« Æ Æ Æ «cJ¼Ë ≤Õ edUÐ t ed½Ë UNOø©»® ‰U¦L« w ±¥ œbF« VOðdð U

ø©?ł® ‰U¦L« w ¥Õ WLO U œËb×« s bŠ Í√ WÐU²JÐ —«dL²Ýô« lOD²½ YO×Ð œËb×« tÐ VUF²ð Î UUš Î UDL½ Ë√ Î UI½ „UM¼ Ê√ kŠö½ UL

Æ Æ Æ «cJ¼Ë ±≤ u¼ ©√® ‰U¦L« w ∂Õ Ë ¨µ≠ u¼ ©œ® ‰U¦L« w µÕ Î ö¦L ¨…bŠ«u« WOU²²L« w ¡UA½

ø©?ł® ‰U¦L« w µÕ WLO Uø«–UL ø©»® ‰U¦L« w WOU²²L« œËbŠ bŠ√ ±±∞ œbF« q¼

∫ÂUŽ tłuÐÆWMOF …bŽU Ë√ jL½ oË œ«bŽ_« s VOðdð w¼ WOU²²L«

∫©±® ‰U¦

ÊuJ² Æ—UM¹œ ±∞∞ U¼—b W¹uMÝ …ËöŽ vDF¹ Ê√ vKŽ —UM¹œ ¥∞∞∞ Á—b ÍuMÝ Vð«dÐ qLFK nþu bUFð ¨¥≤∞∞ ¨ ¥±∞∞ ¨ ¥∞∞∞∫w¼ tKLŽ s vË_« X« «uM« w ÍuM« nþuL« Vð«— WOU²²

”œU« U¼bŠË ¨ ¥±∞∞ Ω w½U¦« b×«Ë ¨ ¥∞∞∞ Ω WOU²²L« w ‰Ë_« b×« Æ¥µ∞∞ ¨ ¥¥∞∞ ¨¥≥∞∞ Æ¥µ∞∞ Ω

Sequences ©UFÐU²²*«® UOU²²*« ±≠±

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

8/92

¥

General Term ∫WOU²²LK ÂUF« b(« Í√ WdF lOD²½ YO×Ð WMOF …bŽU Ë√ jL½ oË œËb×« Ác¼ ÊuJð Í√ ÂUE²½UÐ WOU²²L« œËbŠ v«u²ð ¨ÂUŽ tłuÐ b×« Ë√ w½uM« b×« vL¹ ¨Vłu `O× œbŽ Ê YOŠ¨Ê t³Oðdð Íc« b×« Æb×« VOðdð ·dŽ «–≈ WOU²²L« w bŠ

Æ ÊÕ edUÐ t ed¹Ë WOU²²LK ÂUF«

±¥ Ω ∑ x ≤ u¼ lÐU« b×«Ë ¨ ∏ Ω¥ x ≤ u¼ lÐ«d« b×« ÊuJ¹ ÆÆÆ ¨ ∏ ¨ ∂ ̈ ¥ ¨ ≤∫WOU²²L« w ∫©≥® ‰U¦

ÆÊ≤ Ω ÊÕ u¼ ÂUF« b×« Ê√ Í√ÆÊ≤ Ω Ê x ≤ u¼ w½uM« b×«Ë

∫©≤® ‰U¦q¼ WdF W³KD« bŠ√ b¹d¹Ë ¨ ©d¹UM¹® w½U¦« Êu½U dNý s w½U¦« Â≤∞∞µ ÂUŽ w vË_« WFL−« Âu¹ o«Ë

ÂU¹_ WKÐUIL« dNA« ÂU¹√ VOðd²Ð VUD« ÂU ÆÎ UC¹√ WFLł Âu¹ tH½ dNA« s ÊËdAF«Ë sU¦« Âu¹ ÊuJ¹

∫wK¹ UL WFL−«

a¹—U²« Ê√ Z²M²ÝU ≥∞ ¨ ≤≥ ¨ ±∂ ̈ π ¨ ≤ ∫WOU²²L« œËbŠ s Î «bŠ sJ¹ r ≤∏ œbF« Ê√ VUD« błË ÆsOuOÐ WU« WFL−« o³¹ t½_ ¡UFÐ—√ Âu¹ o«u¹ UL½≈Ë ¨WFLł Âu¹ o«u¹ ô —ucL«

WFL−«vË_«WO½U¦«W¦U¦«WFÐ«d«WU«

ÂuO« a¹—Uð≤π±∂≤≥≥∞

≥ ´ Ê≤ Ω ÊÕ ÂUF« U¼bŠ w²« WOU²²L« V²√ ∫©µ® ‰U¦

ÂUF« b×« Êu½U w ÆÆÆ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ∫ Ê rO ÷uF½ ÆÆÆ ¨ ≥Õ ¨ ≤Õ ¨±Õ WOU²²L« œËbŠ vKŽ ‰uB×K∑ Ω ≥ ´ ≤ x ≤ Ω≤Õ µ Ω ≥ ´ ± x ≤ Ω±Õ

π Ω ≥ ´ ≥ x ≤ Ω≥Õ ÆÆÆÆ ¨ π ¨ ∑ ¨ µ ∫w¼ WOU²²L« ÊuJðË

ÆUNO sU¦« b×« V²« rŁ ÆÆÆ ¨ ±∂ ¨ π ¨ ¥ ¨ ± ∫WOU²²LK ÂUF« b×« V²√ ∫©¥® ‰U¦

ÆÆÆÆ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± œ«bŽ_« UFÐd sŽ …—U³Ž UN½√ kŠöð ¨WOU²²L« œËbŠ v« dEMUÐ∂¥ Ω ≤∏ Ω ∏Õ ÊuJ¹Ë ≤Ê Ω ÊÕ WOU²²LK ÂUF« b×« ÊuJO

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

9/92

µ

ÊÕ ≥ ´ ≤ Ω ±´ÊÕ ¨ ± Ω ±Õ ‰Ë_« U¼bŠ WOU²² ∫©∂® ‰U¦ÆtI³¹ Íc« b×UÐ bŠ Í√ WöŽ ULKJUÐ n √

ÆWOU²²L« s vË_« WFÐ—_« œËb×« V²√ »

ULKJUÐ ‰uIðË ¨…dýU³ t oÐU« b×«Ë bŠ q sOÐ WöF« `{uð ÊÕ ≥ ´ ≤ Ω ±´ÊÕ …bŽUI« √ Æ…dýU³ t oÐU« b×« ‰U¦√ WŁöŁ tO≈ Î UUC ≤ œbF« ÍËU¹ WOU²²L« w bŠ Í√ Ê≈

∫«cJ¼ ¥Õ ¨ ≥Õ ¨ ≤Õ ∫œËb×« b−½ ≥ ¨ ≤ ¨ ±∫rOIUÐ Ê i¹uFðË …bŽUI« Ác¼ oO³D²Ð » µ Ω ± x ≥ ´ ≤ Ω ±Õ ≥ ´ ≤ Ω ≤Õ ¨ ± Ω Ê UbMŽ

±∑ Ω µ x ≥ ´ ≤ Ω ≤Õ ≥ ´ ≤ Ω ≥Õ ¨ ≤ Ω Ê UbMŽ

µ≥ Ω±∑x

≥ ´ ≤ Ω ≥Õ ≥´≤ Ω ¥Õ ¨ ≥ Ω Ê UbMŽ

ÆÆÆ ¨ ©± ´ ≤∑® ¨ ©± ´ π® ¨ ©± ´ ≥® ∫WOU²²LK ÂUF« b×« V²√ ∫©∑® ‰U¦

∫Ê√ kŠö½

± ´ ±≥ Ω ± ´ ≥ Ω ±Õ ± ´ ≤≥ Ω ± ´ π Ω ≤Õ ± ´ ≥≥ Ω ± ´ ≤∑ Ω ≥Õ ÆÆÆ

Æ ± ´ Ê≥ Ω ÊÕ Ê–≈

∫WEŠö∫WOË_« œ«bŽ_« WOU²² w¼Ë …—uNAL« WOU²²L« q¦ WËdF …bŽUI lCð ô UOU²²L« iFÐ

ÆÆÆ ¨ ±± ¨ ∑ ¨ µ ¨ ≥ ¨ ≤

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

10/92

∂

©± ≠ ±® qzU?Ë s¹—U9

∫WOU²« UOU²²L« s vË_« WL« œËb×« V²√ ±

± ≠ Ê≥ Ω ÊÕ √

± ´ ≤Ê Ω ÊÕ » ≤©± ´ Ê® Ω ÊÕ ?ł

µ ´ Ê Õ Ω ±´ÊÕ ¨ ≥ Ω ±Õ œ

∫WOU²« UOU²²LK ÂUF« b×« V²√ ≤

ÆÆÆ ¨±µ ¨

±¥ ¨

±≥ ¨

±≤

√

ÆÆÆ ¨ ∂¥ ¨ ≤∑ ¨ ∏ ¨ ± » ÆÆÆ ¨ ∑ ¨ ∑ ¨ ∑ ¨ ∑ ?ł

ÆÆÆ ¨ ¥±¥ ¨≥

±≥ ¨≤

±≤ ¨±

±± œ

∫s Î ö błË√ Æ ≤Ê Ω Ê„ ÂUF« U¼bŠ Èdš√ WOU²²Ë ¨±µ ´ Ê≤ ΩÊÕ ÂUF« U¼bŠ WOU²² ≥

≥Õ

√

¥„ » øsO²OU²²L« w UNH½ WLOI« t Íc« b×« u¼ U ?ł

∫wU{≈ ◊UA½

ÆÆÆ ̈ πππ ̈ ππ ̈ π ∫WOU²²LK ÂUF« b×« V²√ ±

ÆWOU²« WŁö¦« œËb×« V²√ rŁ ÆÆÆ ¨ ∏ ̈ µ ¨ ≥ ̈ ≤ ¨ ± ̈ ± ∫ WOU²²L« w jLM« nA²« ≤

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

11/92

∑

±∞ x µ ´ ÆÆÆ ´ ≥ x µ ´ ≤ x µ ´ ± x µ ∫WKK²L« WÐU²J ed« Âb²Ý« ∫©±® ‰U¦

©±∞ ´ ÆÆÆ ´ ≥ ´ ≤ ´ ± ® x µ qJAUÐ WK²L« WÐU² sJL¹

— ±∞

±Ω— µ w¼ WKK²L« Ê√ Í√

— µ ±∞

±Ω—

∫UN WI«dL« WKK²L« ÊuJð ±≠ Ê≤ Ω ÊÕ ÂUF« U¼bŠ w²« µ± ¨ ÆÆÆ ¨ µ ¨ ≥ ¨ ± WOU²²L« Ë

Æ©±≠—≤®≤∂

±Ω— …—uB« vKŽ V²JðË µ±´ Æ Æ Æ Æ ´ µ ´ ≥ ´±

å¨ò …—Uýù« U¼œËbŠ sOÐ qBH¹Ë WMOF …bŽU Ë√ jL½ oË œ«bŽ_« s VOðdð w¼ WOU²²L« Ê√ o³Ý ULO UMdŽ

WOU²² ÆÆÆ ̈ ∏ ¨ µ ¨ ≤ ∫Î ö¦L WKK² vLð WOU²²L« ÊS å´ò lL−« …—UýSÐ å¨ ò …—Uý≈ UMb³²Ý« «–≈ sJË∫WKK²L« UNI«dð ÆÆÆ ¨ ∏± ¨ ≤∑ ¨ π ¨ ≥ WOU²²L«Ë ÆWKK² vL² ÆÆÆ ´ ∏ ´ µ ´ ≤ ∫ …—uB« U√ ÆÆÆ ´ ∏± ´ ≤∑ ´ π ´ ≥

ÆŸuL−L« e— vKŽ ‰b¹Ë ̈ ©UL−OÝ √dI¹Ë® ’U« ed« Â«b²Ý« sJL¹ …dB² …—uBÐ öK²L« WÐU²J ∫…—uB« vKŽ UN³²J½ ≥≤ ´ ±∂ ´ ∏ ´ ¥ ´ ≤ ∫WKK²L« Î ö¦L

—≤

µ Ω—

±Ω— Ωµ≤ ´ ¥≤ ´ ≥≤ ´ ≤≤ ´ ±≤

WLO dš¬ v≈ ± w¼Ë WLO ‰Ë√ s dOG²¹ — ”_« UMKFłË ŸuL−L« e— ÂU√ —≤ ÂUF« b×« UM³² UM½√ kŠôÆ…d q w ± …œU¹eÐ µ w¼Ë

ø©µ ´ —≤®¥

±Ω— ∫WKK²L« ŸuL− U ∫©≤® ‰U¦

ÂUF« b×« w ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± ∫— rO ÷uF½ ¨WKK²L« œËbŠ WÐU²J©µ ´ ¥ x ≤® ´ ©µ ´ ≥ x ≤ ®´ ©µ´ ≤ x ≤® ´ ©µ ´ ± x ≤® Ω WKK²L« „uJH

¥∞ Ω ±≥ ´ ±± ´ π ´ ∑ Ω WKK²L« ŸuL− ÊS tOKŽË

Series öK²*« ≤≠±

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

12/92

∏

∫WOU²« öK²L« s q „uJH błË√ ±

©± ´ —≤® µ±Ω— √

±„

≥

±Ω„ »

—©±≠®∂

±Ω— ?ł

∫WOU²« öK²L« sŽ dO³F²K ed« Âb²Ý« ≤

XÐUŁ Â ¨ Â±∞ ´ Æ Æ Æ ´ Â≥ ´ Â≤ ´ Â √ ≥

≤∞ ´ Æ Æ Æ ´≥≥ ´

≥≤ ´

≥± »

∏∞ ´ Æ Æ Æ ´ ≤¥ ´ ±∂ ´ ∏ ?ł

≤© —≥

±Ω— ® Ω≥—

≥

±Ω— Ê√ s oI×ð ≥

∫WOðü« öK²L« s q ŸuL− błË√ ¥

©≤— ´ —®¥

±Ω— √

∑∂

±Ω— »

©≤ ≠ ±® qzU?Ë s¹—U9

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

13/92

π

∫wK¹ ULO U¼dOž s WOÐU×« UOU²²L« e Ò O ∫©±® ‰U¦±

≤∞ ¨ Æ Æ Æ ¨±≥ ¨

±≤ ¨ ± ≤ Æ Æ Æ ¨ π¨ ∑ ¨ µ ¨ ≥ ±

≤Ê Ω ÊÕ ÂUF« U¼bŠ w²« WOU²²L« ¥ WOË_« œ«bŽ_« WOU²² ≥

≤ Ω XÐUŁ —«bI tIÐUÝ Ë bŠ q sOÐ ‚dH« Ê_ WOÐUŠ Æ Æ Æ ¨ π ¨ ∑ ¨ µ ¨ ≥ WOU²²L« ±

∫ Î ö¦L Î U²ÐUŁ fO tIÐUÝË bŠ q sOÐ ‚dH« Ê_ WOÐUŠ XO ±≤∞ ¨ Æ Æ Æ ¨ ±≥ ¨ ±≤ ¨ ± WOU²²L« ≤ ±∂ ≠ Ω

±≤ ≠

±≥ ULMOÐ ¨

±≤ ≠ Ω ± ≠

±≤

∫Î ö¦L Î U²ÐUŁ fO tIÐUÝË bŠ q sOÐ ‚dH« Ê_ WOÐUŠ XO ÆÆÆ ¨ ∑ ¨ µ ¨ ≥ ¨ ≤ ∫WOË_« œ«bŽ_« WOU²² ≥Æ ≤ Ω ≥ ≠ µ ULMOÐ¨ ± Ω ≤ ≠ ≥

µ Ω ¥ ≠ π ULMOÐ ¨≥ Ω ± ≠ ¥ Ê_ WOÐUŠ XO wN ÆÆÆ ¨ ±∂ ¨ π ¨ ¥ ¨ ± ∫ w¼ WOU²²L« ¥

Î «—UM¹œ ∑µ ¨ÁdH×¹ d² ‰Ë√ sŽ Î «—UM¹œ µ∞ Á—b Î UGK³ v{UI²¹ Ê√ vKŽ—U²√ ∂ UNILŽ Î «d¾Ð dH×¹ Ê√ ‰ËUI oHð«

Æ«cJ¼Ë Æ Æ Æ YU¦« d²L« sŽ —UM¹œ ±∞∞ ¨w½U¦« d²L« sŽÆtK d¾³« dHŠ tHKJ¹ rË ¨d¾³« s ”œU« d²L« dHŠ tHKJ¹ r WdF d¾³« VŠU b¹d¹ …œU¹“ u¼Ë tH½ oÐU« jLM« Î Ub² ÁdH×¹ d² q sŽ ‰ËUILK UNFbOÝ w²« …dł_« d¾³« VŠU V²

Æ±∑µ ¨ ±µ∞ ¨ ±≤µ ¨ ±∞∞ ¨ ∑µ ¨ µ∞ ∫WOU²²L« V²J ¨ Î «—UM¹œ ≤µ U¼—b WLE²M ∫w¼ UNK d¾³« dHŠ nOUJð Ê√Ë ¨Î «—UM¹œ ±∑µ tHKJ¹ ”œU« d²L« Ê√ d¾³« VŠU Z²M²Ý«

ÆÎ «—UM¹œ ∂∑µ Ω ±∑µ ´ ±µ∞ ´ ±≤µ ´ ±∞∞ ´ ∑µ ´ µ∞

oÐU« b×«Ë bŠ q sOÐ ‚dH« Ê_ WOÐUŠ WOU²² ±∑µ ¨ ±µ∞ ¨ ±≤µ ¨ ±∞∞ ¨ ∑µ ¨ µ∞ ∫WOU²²L« vLð Æ Æ Æ ¨ ±¥ ¨ ±∂ ¨ ±∏ ¨ ≤∞ ∫tH½ V³K WOÐUŠ UOU²²L Èdš√ WK¦√ Ác¼Ë Æ Î ULz«œ XÐUŁ —«bI …dýU³ t

Æ Æ Æ ¨ ± ≥¥ ¨ ±±¥ ¨

≥ ¥ ¨

±¥

∫n¹dFðÆÎ U²ÐUŁ Î «—«bI …dýU³ t oÐU« b×«Ë bŠ q sOÐ ‚dH« UNO ÊuJ¹ w²« WOU²²L« w¼ WOÐU×« WOU²²L«

Æ œ edUÐ Î …œUŽ t ed¹Ë ¨WOU²²L« ”UÝ√ XÐU¦« —«bIL« vL¹

Arithmetic Sequences WOÐU(« UOU²²*« ≥≠±

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

14/92

±∞

∫błË√ ÆÆÆ ¨ ±≥ ¨ ∑ ¨ ± ∫WOÐU×« WOU²²L« w ∫©≥® ‰U¦øWOU²²L« œËbŠ bŠ√ u¼ ±≤≥ œbF« q¼ ≤ ±∞Õ ±

∂ Ω ± ≠ ∑ Ω œ ”UÝ_« ¨ ± Ω √ ‰Ë_« b×«µµ Ω ∂ x π ´ ± Ω œπ ´ √ Ω

±∞

Õ ±

WÐU²JÐ oI×ð Æµ UNÝUÝ√Ë ≤ ‰Ë_« U¼bŠ w²« WOÐU×« WOU²²L« w ”œU« b×« błË√ ∫©≤® ‰U¦ÆWOU²²L« s vË_« W²« œËb×«

µ Ω œ ¨ ≤ Ω √ œ©± ≠ Ê® ´ √ Ω ÊÕ

µ x ©±≠∂® ´≤Ω∂Õ ≤∑ Ω µ x µ ´ ≤Ω ∂Õ

≤∑ ¨≤≤ ¨ ±∑ ¨ ±≤ ̈ ∑ ¨ ≤ w¼ WOU²²L« ∫oI×²«

ÆW×O× W−O²M« ¨≤∑ Ω ”œU« b×«

∫WOÐU(« WOU²²LK ÂUF« b(«∫wU²« jLM« kŠö½Ë ¥ UNÝUÝ√ w²« ≤∑ ¨ ≤≥ ¨ ±π ¨ ±µ ¨ ±± ¨ ∑ ¨ ≥ ∫WOÐU×« WOU²²L« cšQM

≥ Ω ±Õ ‰Ë_« b×«

¥x

©± ≠ ≤® ́ ≥ Ω ¥x

± ´ ≥ Ω ∑ Ω ≤Õ w½U¦« b×«¥ x ©± ≠ ≥® ́ ≥ Ω ¥ x ≤ ´ ≥ Ω±± Ω ≥Õ YU¦« b×«

Æ Æ Æ Æ

¥ x ©± ≠ ∑® ́ ≥ Ω ¥ x ∂ ´ ≥ Ω ≤∑ Ω ∑Õ lÐU« b×«

Æ”UÝô« x ©± ≠ b×« W³ð—® ´ ‰Ëô« b×« Ω bŠ q Ê√ kŠôÆ©p– s oI×ð® ‰Ë_« b×« vKŽ Î UC¹√ o³DM¹ «c¼Ë

œ≤ ´ √ Ω YU¦« b×« ¨ œ ´ √ Ω w½U¦« b×« ÊS œ UNÝUÝ√Ë √ u¼ WOÐUŠ WOU²²L ‰Ë_« b×« ÊU «–≈∫ÂUŽ tłuÐ œ©±≠ Ê® ´ √ Ω ÊÕ u¼ ©w½uM« b×«® ÂUF« b×« ÊuJ¹Ë ÆÆÆ«cJ¼Ë ¨ œπ ´ √ Ω dýUF« b×«Ë

œ©±≠Ê® ´ √ Ω ÊÕ u¼ œ UNÝUÝ√Ë √ ‰Ë_« U¼bŠ WOÐUŠ WOU²² W¹_ ÂUF« b×«

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

15/92

±±

œ©± ≠ Ê® ´ √ Ω ±≤≥ Ω ÊÕ ∫ÊuJO ÊÕ u¼ ±≤≥ t²LO Íc« b×« Ê√ ÷dH½ ≤ ∂ x ©± ≠ Ê® ´ ±Ω±≤≥

∂ x ©± ≠ Ê® Ω ±≤≤

± ≠ Ê Ω±≤≤

∂ ∂¥≥ Ω Ê Ê Ω± ´

±≤≤∂

Æ±≤≥ t²LO WOU²²L« œËbŠ s bŠ błu¹ ô t½S Î U³łu Î U×O× Î «œbŽ XO Ê WLO Ê√ ULÐË

Æ ¥∞ UNM dAŽ lÐ«d« b×«Ë ±π WOÐUŠ WOU²² œËbŠ s lÐU« b×« ÊU «–≈ ∫©¥® ‰U¦ÆUNO s¹dAF« b×« bł rŁ WOU²²L« V²√

∫UNMË œ©± ≠ Ê® ́ √ Ω ÊÕ u¼ WOÐU×« WOU²²LK ÂUF« b×«©±®ÆÆÆÆÆÆÆ œ∂ ´ √ Ω±π Ω ∑Õ ©≤®ÆÆÆÆÆÆÆ œ±≥ ´ √ Ω¥∞ Ω ±¥Õ

∫ÊuJO ÕdDUÐ ©≤® ̈ ©±® sO²œUFL« q×½∫sO²œUFL« ÈbŠ≈ w ≥ Ω œ WLO ÷uF½ Æ ≥ Ω œ œ∑ Ω ≤±

± Ω √ ≥ x ∂ ́ √ Ω±πÆ Æ Æ ¨ ±∞ ¨ ∑ ¨ ¥ ¨ ± ∫WOU²²L« Ê√ Í√

µ∏ Ω ≥ x ±π ´ ± Ω œ±π ´ √ Ω ≤∞Õ

Arithmetic Means ∫WOÐU(« ◊UÝË_«

Æs¹dšü« s¹b×K Î UOÐUŠ Î UDÝË ÊuJ¹ UNM jÝË_« b×« ÊS WOÐUŠ WOU²² s WOU²² œËbŠ WŁöŁ U½cš√ «–≈ ±≥ ¨ µ s¹—ËU−L« s¹œbFK wÐU×« jÝu« u¼ π œbF« Ê√ kŠö½ ±∑ ¨±≥ ̈ π ¨ µ ∫WOÐU×« WOU²²L« wH

Æ±∑ ¨ π t s¹—ËU−L« s¹œbFK wÐU×« jÝu« u¼±≥ œbF« Ê√ UL ±≥ ´ µ≤ Ω π Ê_∫ÂUŽ tłuÐ

» ¨ » ´ √≤ ¨ √ œ«b???????????Ž_« q???J???A???ðË» ´ √

≤ Ω j????Ýu????« «c?????¼ Êu???J???O??? » ¨ √ s??? ?¹œb??? ?F????« s???O???Ð w???ÐU??????Š j?????ÝË ‰U???????šœ≈ s??J??L??¹» ¨ √ s??O??Ð Ê” ÆÆÆ¨≥” ¨ ≤” ¨ ±” ∫œ«b???????Ž√ …b????Ž ‰U??????šœ« U??M??M??J??L??¹ t???½S??? s???¹œb???Ž » ¨ √ ÊU?? ?? «–≈Ë ÆW???O???ÐU??????Š W??O??U??²??²?? Ê” Æ̈ÆÆ ¨≤” ¨±” œ«b?????????Ž_« w???L??????½ ÆW???O???ÐU??????Š W??O??U??²??²?? » ¨Ê”ÆÆÆ̈ ≤” ¨±” ¨√ ∫W???−???ðU???M???« W?? ?O?? ?U???²?? ?²?? ?L???« q?? ?J?? ?A???ð Y?? ?O?? ?×?? ?ÐÆW?? ?O?? ?U?? ?²?? ?²?? ?L?? ?« w???? ? t???? ? s????¹—ËU????−????L????« s???¹œb???F???K??? Î U???O???ÐU??????Š Î U???? ?D???? ?ÝË Êu????J????¹ U???N???M??? Î ö?????? Ê_ ¨» ¨ √ s????¹œb????F????« s???O???Ð W???O???ÐU??????Š Î U??????ÞU??????ÝË√

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

16/92

±≤

Æ≤π ¨ ¥ s¹œbF« sOÐ WOÐUŠ ◊UÝË√ ¥ qšœ√ ∫©µ® ‰U¦

≤π¨ ¥” ¨ ≥” ¨ ≤” ¨ ±” ¨ ¥ ∫u×M« vKŽ WOU²²L« `³Bð ≤π ¨ ¥ sOÐ WOÐUŠ ◊UÝË√ ¥ ‰Ušœ« bMŽ

≤π Ω ∂Õ ¨ ¥ Ω √ ÊuJðË œµ ´ √ Ω ∂Õ œ x µ ´ ¥ Ω ≤π

µ Ω œ œµ Ω ≤µ≤¥ ¨ ±π ¨ ±¥ ¨ π w¼ ◊UÝË_« ÊuJðË ≤π ¨ ≤¥ ¨ ±π ¨ ±¥ ¨ π ¨ ¥ ∫WOÐU×« WOU²²L« `³Bð

øWOÐUŠ WOU²« UOU²²L« Í√ ±ÆÆÆÆ ¨ ¥ ¨ ∂ ¨ ∏ ¨ ±∞ ?ł ÆÆÆ ¨ µ≥ ¨

¥≥ ¨ ± ¨

≤≥ √

ÆÆÆ¨≥≠ ¨ ≥ ¨ ≥≠ ¨ ≥ œ ÆÆÆ ¨¥ ±µ ¨ ≥±¥ ¨≤

±≥ ¨ ±

±≤ »

ÆÆÆ ¨ ±≤ ¨ ±∞ ¨ ∏ WOÐU×« WOU²²L« w dýUF« b×« √ ∫błË√ ≤Æ©błË Ê≈® ÆÆÆ ¨ ±¥ ¨ π ¨ ¥ WOU²²L« w ±¥¥ t²LO Íc« b×« W³ð— » øÆÆÆ ¨ ±≠ ̈ ¥≠ ¨ ≥ ¨ ±∞ WOU²²L« œËbŠ sL{ lI¹ ¥∏≠ œbF« q¼ ?ł

Æ’ ¨ ” s q WLO b− WOÐUŠ WOU²² œËbŠ µ≠ ¨ ’ ¨ ” ¨ ¥ ∫X½U «–≈ ≥

Æ± ¨ ±∑ s¹œbF« sOÐ WOÐUŠ ◊UÝË√ ≥ qšœ√ ¥

∫błËQ WOÐUŠ WOU²² ≤≥ ¨ „≥ ¨ÆÆÆÆ ¨ „ ¨ µ ∫œ«bŽ_« X½u «–≈ µÆWOU²²L« Ác¼ œËbŠ œbŽ » Æ„ WLO √

W¹uMÝ …ËöŽ v{UI²¹ cš√Ë ¨—UM¹œ ≥∂∞∞ Á—b ÍuMÝ Vð«dÐ UdA« ÈbŠ≈ w tKLŽ nþu √bÐ ∂ø Î «—UM¹œ ¥∏∞∞ nþuLK ÍuM« Vð«d« `³B¹ WMÝ r bFÐ ÆÎ «—UM¹œ ∂∞ U¼—b W²ÐUŁ

©≥ ≠ ±® qzU?Ë s¹—U9

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

17/92

±≥

Æ±∞∞ ́ÆÆÆ ´≥´≤ ´± Í√ ±∞∞ v≈ ± s W×O×B« œ«bŽ_« lOLł «uFL−¹ Ê√ ÁcOöð s rKF VKÞ Â±∑∏∑ ÂUŽ w

ÁUDŽ√ ÊQÐ ©YU¦« nB« w „«c½¬ ÊUË® ”ËUł vŽb¹Ë cOö²« bŠ√ ÁQłU v²Š WKOK ozUœ ÈuÝ iLð rø»«u−« vKŽ XKBŠ nO Î UA¼bM rKFL« tQÝ Æµ∞µ∞ u¼Ë `O×B« »«u−«

∫wK¹ UL q×« ”ËUł V²∫«cJ¼ ”uJF qJAÐ tH½ ŸuL−L« V² rŁ ¨ ±∞∞ ´ Æ Æ Æ ´ ≥ ´ ≤ ´ ± Ω ?ł

± ´ Æ Æ Æ ´ π∏ ´ ππ ´ ±∞∞ Ω ?ł©±∞∞ œËb×« œbŽ® ±∞± ´ Æ Æ Æ´ ±∞± ´ ±∞± ´ ±∞± Ω ?ł≤ ∫lL−UÐ

±∞∞ x ±∞± Ω ?ł≤µ∞µ∞ Ω ©±∞±®µ∞ Ω ±∞∞≤ x ±∞± Ω ?ł

w ©UO{U¹d« w Î «—uNA Î ULUŽ bFÐ ULO `³√ Íc«® ”ËUł UNÐ VŠ w²« WI¹dD« Â«b²Ý« UMMJL¹∫ «cJ¼ Ê ?ł edUÐ t ed¹Ë WOÐUŠ WKK² œËbŠ s Ê ŸuL− œb×ð w²« …bŽUI« ‚UI²ý«

©UNO dOš_« b×« ∫‰® ‰ ´ Æ Æ Æ ´ ©œ≤ ´ √® ´ ©œ ´ √® ´ √ Ω Ê ?ł√ ´ Æ Æ Æ ´ ©œ≤≠ ‰® ´ ©œ ≠ ‰® ´ ‰ Ω Ê ?ł

©… Òd Ê® ©‰ ´ √® ´ Æ Æ Æ ´ ©‰ ´ √® ´ ©‰ ´ √® ´ ©‰ ´ √® Ω Ê ?ł≤ lL−UÐÊ x ©‰ ´ √® Ω Ê ?ł≤

©±® Æ Æ Æ Æ Æ Æ ©‰ ´ √® Ê≤ Ω Ê ?łœ©± ≠ Ê® ´ √ ΩÊÕ Ω‰ YOŠ Èdš√ WI¹dDÐ ©±® …bŽUI« WÐU² sJL¹Ë

©‰ ´ √® Ê≤ Ω Ê ?ł ∫ÊuJ¹ tOKŽËœ©± ≠ Ê® ́ √≤ Ê

≤ Ω œ©± ≠ Ê® ́ √ ́ √ Ê

≤ Ω

Ê

?ł

Sum of Arith.Series WOÐU(« WKK²*« ŸuL− ¥≠±

∫u¼ œ UNÝUÝ√Ë √ ‰Ë_« U¼bŠ WOÐUŠ WKK² œËbŠ s bŠ Ê ‰Ë√ ŸuL− ∫…bŽU©±® Æ Æ Æ Æ ©‰ ´ √ ® Ê≤ Ω Ê ?ł©≤® Æ Æ Æ Æ œ©± ≠ Ê® ́ √≤ Ê≤ Ω Ê ?ł Ë√

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

18/92

±¥

ÆÆÆ´±≥´∏´≥ ∫WKK²L« œËbŠ s Î «bŠ ≤∞ ‰Ë√ ŸuL− błË√ ∫©±® ‰U¦

µ Ω œ ¨ ≥ Ω √ ‰Ë_« U¼bŠ WOÐUŠ WKK² w¼ WKK²L«

œ©± ≠ Ê® ́ √≤ Ê≤ Ω Ê ?ł©πµ ´ ∂® ±∞ Ω ©µ x ±π ´ ≥ x ≤® ≤∞≤ Ω ≤∞ ?ł

±∞±∞ Ω ±∞± x±∞ Ω

¨vË_« WO½U¦« w Î Ub ±∂ WU lDI Î «dŠ Î UÞuIÝ Âb ±∂∞∞ ŸUHð—« s rł jIÝ ∫©≤® ‰U¦Æ«cJ¼Ë ÆÆÆW¦U¦« WO½U¦« w Î Ub ∏∞¨WO½U¦« WO½U¦« w Î Ub ¥∏

ÆWÝœU« WO½U¦« w r−« UNFDI¹ w²« WUL« ± ∫błË√ÆvË_« fL« w½«u¦« w WŽuDIL« UUL« ŸuL− ≤

ø÷—_« v≈ r−« qË v² ≥

UN Ê_ WOÐUŠ WOU²² Ác¼Ë ÆÆÆ ¨ ∏∞ ¨ ¥∏ ¨ ±∂ ∫w¼ WŽuDIL« UUL« WOU²²Æ≥≤ XÐU¦« ”UÝ_«

∂Õ Ω WÝœU« WO½U¦« w r−« UNFD w²« WUL« ± ÆÎ Ub±∑∂ Ω ±∂∞ ´ ±∂ Ω ≥≤ x µ ´ ±∂ Ω œµ ´ √ Ω∂Õ

µ ?ł Ω vË_« fL« w½«u¦« w WŽuDIL« UUL« ŸuL− ≤ œ©± ≠ Ê® ́ √≤ Ê≤ Ω Ê ?ł©≥≤ x ¥ ´ ±∂ x ≤® µ≤ Ω µ ?ł

ÆÂb ¥∞∞ Ω ±∂∞ x µ

≤ Ω ©±≤∏ ´ ≥≤® µ

≤ Ω

Æ ±∂∞∞ Ω se« «c¼ w WŽuDIL« UUL« ŸuL− ÊuJ² ¨WO½UŁ Ê bFÐ ÷—_« qË r−« Ê√ ÷dH½ ≥

±∂∞∞ Ω œ©± ≠ Ê® ́ √≤ Ê≤ ±∂∞∞ Ω Ê ?ł

±∂∞∞ Ω ©±≠Ê®±∂ ́ ±∂ Ê ±∂∞∞ Ω ≥≤x©± ≠ Ê® ´ ±∂ x ≤ Ê≤ Æ±∞ Ω Ê ±∞∞ Ω ≤Ê ±∂∞∞ Ω ≤Ê±∂

ÆtÞuIÝ sÌ Ê«uŁ ±∞ bFÐ ÷—_« v≈ r−« qË Í√

±∂

¥∏

∏∞

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

19/92

±µ

µµ≠ ÍËU¹ UNÐd{ qUŠË ±µ ÍËU¹ WOÐUŠ WOU²² qJAð œ«bŽ√ WŁöŁ ŸuL− ÊU «–≈ ∫©≥® ‰U¦Æœ«bŽ_« Ác¼ błË√

VOðd²« vKŽ œ≤ ´ √ ¨ œ ´ √ ¨ √ w¼ WŁö¦« œ«bŽ_« Ê√ ÷dH½±µ Ω ©œ≤ ́ √® ́ ©œ ́ √® ́ √ ±µ Ω UNFLł qUŠ±µ Ω œ≥ ´ √≥

©±® ÆÆÆÆÆÆÆ µ Ω œ ́ √ ∫Z²M¹ ≥ vKŽ WLIUÐË©≤® ÆÆÆÆÆÆÆ µµ≠ Ω ©œ≤ ́ √® ©œ ́ √® ©√® µµ≠ Ω UNÐd{ qUŠ

∫i¹uF²UÐ ©≤® ¨ ©±® sO²œUFL« q×½

œ ≠ µ Ω √ ÊuJ¹ ©±® sµµ≠ Ω ©œ ´ µ® ©µ® ©œ ≠ µ® ∫©≤® WœUFL« `³Bð±±≠ Ω ©œ ´ µ® ©œ ≠ µ® ∫Z²M¹ µ vKŽ WLIUÐË

±±≠ Ω ≤œ ≠ ≤µ∂ Ω œ UNMË ≥∂ Ω ≤œ

∂ ≠ µ Ω √ ÊS ∂ Ω œ UbMŽ

±± ¨ µ ¨ ±≠ w¼ WÐuKDL« œ«bŽ_« ÊuJðË ̈ ±≠ Ω √±≠ ¨ µ ¨ ±± w¼ WÐuKDL« œ«bŽ_« ÊuJðË ¨ ±± Ω ∂ ´ µ Ω √ ÊS ∂≠ Ω œ UbMŽq×K Èdš√ WI¹dÞ

√ Ω jÝË_« b×« Ê√ U½d³²Ž« «–≈ …dB² WI¹dDÐ ‰U¦L« qŠ sJL¹œ ´ √ ∫YU¦« b×«Ë ¨ œ ≠ √∫‰Ë_« b×« ÊuJO

±µ Ω ©œ ´ √® ´ ©√® ´ ©œ ≠ √® ÊuJO

µ Ω √ ±µ Ω √≥µµ≠ Ω ©œ ´ √® ©√® ©œ ≠ √® ÊuJ¹Ë©µ vKŽ WLIUÐ® µµ≠ Ω©œ ́ µ® ©µ® ©œ ≠ µ®

±±≠ Ω ©œ ´ µ® ©œ ≠ µ®∂ Ω œ ̈ ≥∂ Ω≤œ ±±≠ Ω ≤œ ≠ ≤µ

ÆvË_« WI¹dD« w UL q×« qLJ½Ë

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

20/92

±∂

∫WOU²« WOÐU×« öK²L« ŸuL− błË√ ±

¥∞ ´ ÆÆÆ ´±∞´ ∑ ´ ¥ √ ©≤±≠® ´ ÆÆÆ ´ ±∑ ´ ±π ´ ≤± » ©± ´ —≤®

±∞

±Ω— ?ł

Æ∏∞ UNM Î «bŠ ≤∞ ‰Ë√ ŸuL−Ë ≤ UNÝUÝ√ w²« WOÐU×« WKK²L« w ‰Ë_« b×« błË√ ≤

Æ≤∞ UNŽuL− ÊuJO ≤≠ UNÝUÝ√Ë ±± ‰Ë_« U¼bŠ WOÐUŠ WKK² s Ácš√ V−¹ Î «bŠ r ≥Æ©øWQLK Î öŠ r®

Æ∑ vKŽ tLI« q³Ið w²«Ë ±∞∞ ¨ µ sOÐ …—uB×L« W×O×B« œ«bŽ_« ŸuL− błË√ ¥

Æœ«bŽ_« Ác¼ błË√ ≤∏ UNÐd{ qUŠË ±≤ ÍËU¹ WOÐUŠ WOU²² qJAð œ«bŽ√ WŁöŁ ŸuL− ÊU «–≈ µ

ÍuMÝ Vð«dÐ w½U¦«Ë —UM¹œ ∂∞∞∞ Á—b ©XÐUŁ® ŸuDI ÍuMÝ Vð«dÐ ‰Ë_« ∫Wdý w qLF« ÊUHþu √bÐ ∂ÆWOUð WMÝ q w —UM¹œ ±∞∞ Á—b XÐUŁ —«bILÐ œ«œe¹ËvË_« WM« w —UM¹œ ¥∏∞∞ mK³LÐ √b³¹

øÊU¹uM« sOHþuL« U³ð«— ÈËU²¹ WMÝ r bFÐ √ øw½U¦« nþuL« ÁU{UIð U ŸuL−L Î U¹ËU ‰Ë_« nþuL« ÁU{UIð U ŸuL− ÊuJ¹ WMÝ r bFÐ »

nB« w ÊU «–S ¨Î UH ≤∞ w W³ðd wÝ«dJ« s œbŽ UNO ”—«bL« ÈbŠ≈ w UŽUL²ł« WŽU ∑«cJ¼Ë ÆÆÆÎ UOÝd ±¥ YU¦« nB« wË ¨Î UOÝd ±≤ w½U¦« nB« wË wÝ«d ±∞ ‰Ë_«øWŽUI« ·uH s sU¦« nB« w …œułuL« wÝ«dJ« œbŽ U √

øWŽUI« w wÝ«dJ« ŸuL− U » ·uHB«Ë ¨sOLKFL«Ë ¡UÐü« fK− ¡UCŽ_ vË_« WŁö¦« ·uHB« w wÝ«dJ« XB Ò B Ô š «–≈ ?ł

øW³KD« œbŽ UL ¨WuGA WŽUI« bŽUI lOLł X½UË ¨W³KDK Èdš_«

©¥ ≠ ±® qzU?Ë s¹—U9

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

21/92

±∑

≥Â¥ ¨WO½U¦« WŽU« w ≥Â≤ ¨vË_« WŽU« w ¡UL« s ≥Â± Z¹dNB« w l{Ë Æ¡ULUÐ Z¹dN W¾³Fð œ«d¹

WOL wHFC Î W¹ËU WŽUÝ W¹√ w Z¹dNB« w l{uð w²« ¡UL« WOL ÊuJð YO×Ð ÆÆÆ«cJ¼Ë W¦U¦« WŽU« wÆUN WIÐU« WŽU« w l{uð w²« ¡UL« Æ Æ Æ ¨ ±∂ ¨ ∏ ¨ ¥ ¨ ≤ ¨ ± ∫u×M« vKŽ w¼ WŽUÝ q w Z¹dNB« w Ÿu{uL« ¡UL« UOL Ê√ kŠö½Î U²ÐUŁ fO sOOU²² s¹bŠ q sOÐ ‚dH« Ê_ WOÐUŠ WOU²² XO UN½√ b−½ WOU²²L« Ác¼ œËbŠ UMKQð «–≈Ë

Æ Æ Æ Æ Æ ¨ ≤ Ω ¥ õ ∏ ¨ ≤ Ω ≤ õ ¥ ¨ ≤ Ω ± õ ≤ ∫Ê√ kŠö½ sJËÆWOÝbM¼ WOU²² ¨UOU²²L« s ŸuM« «c¼ wL½ ¨W²ÐUŁ W³½ w¼ …dýU³ t oÐU« b×«Ë bŠ q sOÐ W³M« Ê√ Í√

∫WOÝbM¼ WOU²« UOU²²L« s q ÊuJð V³« fHMÆ Æ Æ ¨ ∏∞ ¨ ¥∞ ¨ ≤∞ ¨ ±∞Æ Æ Æ ¨ ≤µ∞ ¨ µ∞ ¨ ±∞ ¨ ≤

Æ Æ Æ ¨ ±∏ ¨±¥ ¨

±≤ ¨ ±

∫n¹dFðW³½ …dýU³ t oÐU« b×«Ë Ì bŠ q sOÐ W³M« UNO ÊuJ¹ w²« WOU²²L« w¼ WOÝbMN« WOU²²L«

Æ — edUÐ t ed¹Ë ¨WOÝbMN« WOU²²L« ”UÝ« vLð W²ÐU¦« W³M« ÆW²ÐUŁWOÝbMN« WOU²²LK ÂUF« b(«

∫wU²« ‰U¦L« ”—b½ UMŽœ WOÝbMN« WOU²²LK ÂUF« b×« …bŽU v≈ qu²KÆ W²ÐUŁ W³½ wN ≥ Ω ∂ õ ±∏ ̈ ≥ Ω ≤ õ ∂ Ê_ WOÝbM¼ WOU²² w¼ ÆÆÆ ¨ µ¥ ¨ ±∏ ¨ ∂ ¨ ≤ ∫WOU²²L«

≤ Ω ±Õ ‰Ë_« b×«±≥ x ≤ Ω ∂ Ω ≤Õ w½U¦« b×«

≤≥ x ≤ Ω π x ≤ Ω ±∏ Ω ≥Õ YU¦« b×«ÆÆÆ «cJ¼Ë ≥≥ x ≤ Ω ≤∑ x ≤ Ω µ¥ Ω¥Õ lÐ«d« b×«

jLM« fHMÐË Æ b×« VOðdð sŽ± —«bILÐ qI¹ ”√ v≈ Î UŽud ”UÝ_« x ‰Ë_« b×« Ω bŠ q Ê√ kŠô ±∂≤ Ω ¥≥ x ≤ Ω fU« b×« ÊuJ¹

∫ÂUŽ tłuÐ±≠Ê —√ Ω ÊÕ ∫u¼ WOÝbMN« WOU²²LK ÂUF« b×« ÊS — UNÝUÝ√Ë √ WOÝbM¼ WOU²² s ‰Ë_« b×« ÊU «–≈

Geometric Sequences WOÝbMN« UOU²²*« µ≠±

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

22/92

±∏

ÆUNO fU« b×« błË√ Æ ≤ UNÝUÝ√Ë ≥ ‰Ë_« U¼bŠ WOÝbM¼ WOU²² ∫©±® ‰U¦

±≠Ê —√ Ω ÊÕ ¨ ≤ Ω — ¨ ≥ Ω √

¥∏ Ω ±∂ x ≥ Ω ¥≤ x ≥ Ω µÕ

ø ÆÆÆÆÆ ¨¥µ ¨ ±µ ¨ µ ∫WOÝbMN« WOU²²L« œËbŠ s ±≤±µ t²LO Íc« b×« VOðdð U ∫©≤® ‰U¦

≥ Ω — ¨ µ Ω √ YOŠ ÊÕ u¼ ±≤±µ t²LO Íc« b×« Ê√ ÷dH½±≠Ê

— √ Ω ±≤±µ Ω ÊÕ

©µ vKŽ WLIUÐ® ±≠Ê≥ x µ Ω ±≤±µ±≠Ê≥ Ω ≤¥≥

©ø«–UL® µ Ω ± ≠ Ê ±≠Ê≥ Ω µ≥∂ Ω Ê

”œU« b×« u¼ ±≤±µ t²LO Íc« b×«

•±∞ ‰bFLÐ WMÝ q hIMð …—UO« WLO X½U «–S ¨—UM¹œ ∏∞∞∞ mK³LÐ …—UOÝ qł— Èd²ý« ∫©≥® ‰U¦ÆUN«b²Ý« s WU« WM« W¹UN½ w …—UO« WLO błË√ ÆUN WIÐU« WM« w UN²LO sŽ

Æ—UM¹œ ∑≤∞∞ Ω ∞,π x ∏∞∞∞ Ω π∞±∞∞ x ∏∞∞∞ vË_« WM« W¹UN½ w …—UO« sLŁ

Æ—UM¹œ ∂¥∏∞ Ω ∞,

πx

∑≤∞∞ Ω WO½U¦« tM« W¹UN½ w …—UO« sLŁ«cJ¼Ë Æ Æ Æ Æ Æ—UM¹œ µ∏≥≤ Ω ∞,π x ∂¥∏∞ Ω W¦U¦« tM« W¹UN½ w …—UO« sLŁWOÝbM¼ WOU²² w¼Ë ÆÆÆ ¨ µ∏≥≤ ¨ ∂¥∏∞ ¨ ∑≤∞∞ ∫w¼ WMÝ q W¹UN½ w …—UO« —UFÝ« WOU²² Ê√ Í√

Æ∑≤∞∞ Ω √ ‰Ë_« U¼bŠË ¨ ∞,π UNÝUÝ«

µÕ Ω WU« WM« W¹UN½ w …—UO« WLO

Æ—UM¹œ ¥∑≤≥,π≤ Ω ¥©∞,π® x ∑≤∞∞ ΩµÕ

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

23/92

±π

∫wK¹ ULO WOÝbMN« UOU²²L« e Ò O ±

Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ ¨ ≤µ ¨ π ¨ ¥ ¨ ± √ Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ ¨ ∞,∞∞± ¨ ∞,∞± ¨ ∞,± ¨ ± » µ ´ Ê∑ Ω ÊÕ ÂUF« U¼bŠ w²« WOU²²L« ?ł

Ê© ±≤ ® Ω ÊÕ ÂUF« U¼bŠ w²« WOU²²L« œ Æ¥∞ sŽ qIðË ± sŽ b¹eð w²« ≤ œbF« UHŽUC ?¼

∫ wK¹ U błË√ ¥Æ Æ Æ Æ Æ Æ Æ¨ π ¨ ≥ ¨ ± ∫WOÝbMN« WOU²²L« w ”œU« b×« √

≥¥≥ ¨ ” ¨ ±∑ ∫WOÝbMN« WOU²²L« w ” rO »

ÆWOU²²L« Ác¼ V²√ Æ≤µ∂ ”œU« U¼bŠË ¥ YU¦« U¼bŠ WOÝbM¼ WOU²² ≥

Æ ?ł ¨ √ s Ì q WLO błËQ ÆWOÝbM¼ WOU²² ∏± ¨ ?ł ̈ √ ¨ ≥ ∫X½U «–≈ ¥

©µ ≠ ±® qzU?Ë s¹—U9

∫wU{≈ ◊UA½

Æ ?ł ¨ » ¨ √ s q WLO błËQ ¨WOÝbM¼ WOU²² ¥∏∂ ¨ ?ł ¨ » ¨ √ ¨ ∂ ∫X½U «–≈

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

24/92

≤∞

Ê√Ë ≤ UNÝUÝ« WOÝbM¼ WOU²² w¼ ±≤∏ Æ Æ Æ Æ Æ¨ ±∂ ¨ ∏ ¨ ¥ ¨ ≤ ¨ ± ∫WOU²²L« Ê√ UMdŽ Ê√ o³Ý

UM½S WKK²L« œËbŠ ŸuL− WLO œU−¹≈ U½œ—√ «–≈ Æ±≤∏ ´ Æ Æ Æ ´ ∏ ´ ¥ ´ ≤ ´ ± w¼ UN WI«dL« WKK²L«∫wK¹ ULÐ ÂuI½ Ê√ sJL¹

©±® Æ Æ Æ ±≤∏ ´ ∂¥ ´ ≥≤ ´ ±∂ ´ ∏ ´ ¥ ´ ≤ ´ ± Ω ?ł lC½ ∫Z²M¹ ≤ œbF« w WœUFL« wdÞ »dCÐË

©≤® Æ Æ Æ ≤µ∂ ´ ±≤∏ ´ ∂¥ ´ ≥≤ ´ ±∂ ´ ∏ ´ ¥ ´ ≤ Ω ?ł≤≤µµ Ω ?ł ± ≠ ≤µ∂ Ω ?ł ≠ ?ł≤ ∫Z²M¹ sO²œUFL« ÕdDÐË

©±® Æ Æ Æ±≠Ê

—√

´

Æ Æ Æ ´ ≥

—√ ´ ≤

—√ ´ —√ ´ √ Ω Ê ?ł X½U «–≈ ∫ÂUŽ tłuÐ©≤® Æ Æ Æ Ê—√ ´ ±≠Ê—√ ´ Æ Æ Æ ´ ≥—√ ´ ≤—√ ´ —√ Ω Ê ?ł— ÊS∫Z²M¹ sO²œUFL« ÕdDÐ

√ ≠ Ê—√ Ω Ê ?ł ≠ Ê ?ł—©± ≠Ê—®√ Ω ©± ≠ —® Ê ?ł

± — YOŠ ©± ≠ Ê—®√±≠ — Ω Ê ?ł

∫…bŽU∫ u¼ — UNÝUÝ√Ë √ ‰Ë_« U¼bŠ WOÝbM¼ WKK² œËbŠ s Ê ‰Ë√ ŸuL−

± — YOŠ ©± ≠ Ê—®√±≠ — Ω Ê ?ł

∫`³Bð WOÝbMN« WKK²L« sJË ÁöŽ√ …—ucL« …bŽUI« oO³Dð lOD²½ ô UM½S ± Ω — X½U «–≈ t½√ kŠô©ø«–UL® √ Ê Ω √ ́ Æ Æ Æ Æ Æ ́ √ ́ √ ́ √

Æ Æ Æ ́ ±≤ ´ ∂ ´ ≥ ∫WOÝbMN« WKK²L« œËbŠ s vË_« W²« œËb×« ŸuL− błË√ ∫©±® ‰U¦Æ Æ

≤ Ω — ¨ ≥ Ω √©± ≠ Ê—®√

±≠ — Ω Ê ?ł

±∏π Ω ∂≥ x ≥ Ω ©± ≠ ∂¥®≥

±

Ω ©± ≠∂≤®≥

± ≠ ≤

Ω ∂ ?ł

Sum of Geo. Series WOÝbMN« WKK²*« ŸuL− ∂≠±

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

25/92

≤±

—µ¥

±Ω— błË√ ∫©≤® ‰U¦

¥µ ´ ≥µ ´ ≤µ ´ ±µ ∫w¼ WKK²L«

WOÝbM¼ WKK² WKK²L« —U³²ŽUÐ ŸuL−L« »UŠ sJL¹Ë ¨ ∑∏∞ Ω ∂≤µ ´ ±≤µ ´ ≤µ ´ µ ∫UN½√ Í√∑∏∞ Ω ±µ∂ x µ Ω ∂≤¥ x µ ¥ Ω

©± ≠¥µ®µ ± ≠ µ Ω ¥ ?ł ∫u¼ UNŽuL− ÊuJO µ UNÝUÝ«Ë µ ‰Ëô« U¼bŠ

s ≥rÝ± w U¹dO²J³« œbŽ ÊU «–U ÆWŽUÝ nB½ q sO²MŁ« …bŠ«u« `³B² U¹dO²J³« dŁUJ²ð ∫©≥® ‰U¦øÎ UŠU³ WFÝU²« WŽU« w U¼œbŽ `³B¹ r Æ Î UŠU³ WU« WŽU« w U¹dO²JÐ ±∞∞∞∞ VOK×«

±∞∞∞∞ Ω Î UŠU³ WU« WŽU« w U¹dO²J³« œbŽ≤∞∞∞∞ Ω Î UŠU³ nBM«Ë WU« WŽU« w U¹dO²J³« œbŽ

¥∞∞∞∞ Ω Î UŠU³ WÝœU« WŽU« w U¹dO²J³« œbŽÆÆÆÆ

≤ Ω — UNÝUÝ√Ë ¨ ±∞∞∞∞ Ω √ ‰Ë_« U¼bŠ WOÝbM¼ WOU²² Ác¼Ëπ ¨ ∏ ±≤ ¨ ∏ ¨ ∑ ±≤ ¨ ∑ ¨ ∂ ±≤ ¨ ∂ ¨ µ ±≤ ¨ µ ∫WM“_« dþUM² U¼œËbŠ œbŽ U√π Ω œËb×« œbŽ Ê√ Í√

± ≠ Ê— √ Ω π Õ u¼ lÝU²« b×« ÊuJO∏≤ x ±∞∞∞∞ Ω

≤µ∂ x ±∞∞∞∞ Ω

≤µ∂∞∞∞∞ Ω≤µ∂∞∞∞∞ Ω WFÝU²« WŽU« w U¹dO²J³« œbŽ

π ‰Ë√ ŸuL− fOË WOÝbMN« WOU²²L« w lÝU²« b×« WLO u¼ WFÝU²« WŽU« w U¹dO²J³« œbŽ Ê√ kŠô ÆWI«dL« WOÝbMN« WKK²L« s œËbŠ

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

26/92

≤≤

Æ Æ Æ ´ ¥ ´ ∏ ´ ±∂ ∫WOÝbMN« WKK²L« œËbŠ s œËbŠ ∂ ‰Ë√ ŸuL− błË√ ±

≤µµ Ω UNO vË_« WL« œËb×« ŸuL−Ë ≤ Ω UNÝUÝ« WOÝbM¼ WKK² ≤Æ‰Ë_« U¼bŠ błË√

ÆvË_« WL« U¼œËbŠ ŸuL− błË√ ∏± Ω fU« U¼bŠË π Ω YU¦« U¼bŠ WOÝbM¼ WKK² ≥ø©WQLK Î öŠ r®

w œ«œe¹ ÷—_« dFÝ ÊU «–S ÆÂ≤∞∞∞ WMÝ —UM¹œ ±∞∞ ∞∞∞ …dO³ WM¹b w ÷—√ r½Ëœ sLŁ ÊU ¥ øÂ≤∞±∞ WMÝ UNO ÷—_« r½Ëœ sLŁ UL ¨ Î U¹uMÝ •∏ —«bILÐ WM¹bL« pKð

bFÐ ÊUJ« œbŽ UL Î U¹uMÝ •≤ ‰bFLÐ œ«œe¹ œbF« «c¼ ÊU «–« ÆWL½ n√ ≤µ∞ WM¹b ÊUJÝ œbŽ µø«uMÝ ±∞

rJ ¨Î U¹uMÝ • ≥ —«bILÐ hUM²ð …—UO« WLO X½U «–« Æ—ôËœ n√ ±µ dFÐ …—UOÝ …bOÝ d²ý« ∂ø«uMÝ µ —Ëd bFÐ …—UO« WLO `³Bð

Æ± ¨ µ ¨ ≤µ ∫œ«bŽ_« p¹b √

ÆWOÝbM¼ WOU²² qJAð WIÐU« œ«bŽ_« Ê√ X³Ł« ±µ ̈ ≤µ s¹œbFK wÐU×« jÝu« u¼ ” ÊU «–≈ ≤Æ’ ¨ ” rO błËQ ± ¨ µ s¹œbFK wÐU×« jÝu« u¼ ’ ÊUË

ø ±’ ´ ≤µ” WLO U ≥ÆWIÐU« WK¾Ý_« sŽ Vł«Ë WOÝbM¼ WOU²² qJAð Èdš√ œ«bŽ√ ≥ d²š« »

©∂ ≠ ±® qzU?Ë s¹—U9

∫wU{≈ ◊UA½

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

27/92

≤≥

Æ ed« Â«b²ÝUÐ ©≤∞≥xµ®´ Æ Æ Æ Æ ´ ©≥≥xµ® ´ ©≤≥xµ® ´ ©≥xµ® ´ µ ∫ŸuL−L« V²√ ±

∫WOU²« öK²L« ŸuL− błË√ ≤—≥

µ

±Ω— ≤ ©± ≠ —≥®±∞

±Ω— ±π∑≤ ´ Æ Æ Æ Æ ´ ≥∂ ́ ±≤ ́ ¥ ¥ ±∂´ Æ Æ Æ ´ ≤µ∂ ́ µ±≤ ́ ±∞≤¥ ≥

ÆU¼œËbŠ ŸuL− VŠ« rŁ ” WLO błË√ Æ ”¨≥≥ ¨ Æ Æ Æ Æ ̈ ”≤ ¨ ∂≥ U¼œËbŠ WOÐUŠ WOU²² ≥

ÆÎ U³łu Î U¹œd Î «œbŽ µ∞ ‰Ë√ ŸuL− bL× VŠË ¨Î U³łu Î UOłË“ Î «œbŽ µ∞ ‰Ë√ ŸuL− dOLÝ VŠ ¥Æ p– `{Ë Æ µ∞ sOŽuL−L« sOÐ ‚dH« Ê√ «błu

± Ω œ ´ √ ÊU «–S ¨ œ UNÝUÝ√Ë √ ‰Ë_« U¼bŠ WOÐUŠ WOU²² µÆœ ¨ √ rO błË√ Æ ±µ∞Ω±∞ ?ł

W−ðUM« tOU²²L« X×³√ ¥ YU¦« b×« v≈ nO{√ «–≈Ë π UNŽuL− WOÐUŠ WOU²² ÊuJð œ«bŽ√ WŁöŁ ∂ÆWŁö¦« œ«bŽ_« błË√ ÆWOÝbM¼

∫WUŽ s¹—ULð

© ±

≤± ≠ ±

≤∞ ® ´ Æ Æ Æ Æ ´ © ±

¥ ≠ ±

≥ ® ´ © ±

≥ ≠ ±

≤ ® ´ © ±

≤ ≠ ±® ∫WKK²L« p¹b µ

øp– dOž Â√ WOÝbM¼ Â√ WOÐUŠ WKK²L« q¼ √ ÆU¼œËbŠ ŸuL− błË√ »

∫wU{≈ ◊UA½

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

28/92

≤¥

≤b Šu «…b???Šu«

‰UL²Šù«Ë ¡UBŠù«

2

3

4

6

5

8

7

9

2

3

4

5

6

7

8

9

2

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

29/92

≤µ

Standard Score (z-score) W¹—UOF*« WöF« ±≠≤

∫«œdHLK Í—UOFL« ·«d×½ù«Ë wÐU×« jÝu« błË√ ∫©±® ‰U¦

≤∞ ¨ ±∂ ¨ ±¥ ¨ ±≤ ¨ ∏

≤∞ ´ ±∂ ´ ±¥ ´ ±≤ ´ ∏µ Ω

—”Ê

±Ω— Ê Ω © ®wÐU×« jÝu«

±¥ Ω ∑∞µ Ω

∫wðüU Î ôËbł ¡vAM½ Í—UOFL« ·«d×½ô« œU−¹ù

Í—UOF*« ·«d×½ù«Ë wÐU(« jÝu« WFł«d ≠ bON9

Î UC¹√ XÝ—œË ¨wÐU×« jÝu« UNL¼√ s W¹edL« WŽeMK WHK² fO¹UI WOÝUÝ_« WKŠdL« w XÝ—œÆÍ—UOFL« ·«d×½ù« UNL¼√ s X²A²K WHK² fO¹UI

∫ÊS rOI« s WŽuL− Ê” ¨ÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ¨ ≤” ¨ ±” X½U «–SÊ” ´ ÆÆÆÆÆ ´ ≤” ´ ±”

Ê ΩrOI« ŸuL−

rOI« œbŽ Ω rOIK wÐU×« jÝu«

—”Ê

±Ω—

Ê Ω

wÐU×« UNDÝË sŽ rOI« U«d×½« UFÐd ŸuL− jÝu²L wFOÐd²« —c−« Ω rOIK Í—UOFL« ·«d×½ù«

≤© ≠ —” ® Ê

±Ω— Ê

Ω

©”® «œdHL«≠ —”≤© ≠ —”®∏∂≠≥∂

±≤≤≠¥±¥∞∞±∂≤¥≤∞∂≥∂

∏∞ ŸuL−L«

∏∞µ Ω

±∂ Ω

¥ Ω

≤© ≠ —” ® Ê

±Ω— Ê Ω

∞

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

30/92

≤∂

VUÞ qBŠ «–≈ Î ö¦L ¨sO²HK² sO²OzUBŠ≈ sO²ŽuL− s sOð–ušQ sO²LO sOÐ W½—UI ¡«dł≈ v≈Î «dO¦ ÃU²×½ ¨WOÐdF« WGK« ÊU×²« w ∏∞ WöF« vKŽ qBŠË ¨W¹eOK−½ô« WGK« ÊU×²« w ∑∞ WöF« vKŽ ·uHB« bŠ√ w

øqC√ VUD« qOB×ð Èu² ÊU sO¦×³L« Í√ wH Ác¼ sJ ¨d³√ UNO t²öŽ Ê_ qC√ WOÐdF« WGK« w VUD« qOB×ð Èu² Ê√ …dýU³L« WÐUłù« ÊuJð b ÆsOð—ucL« sO²öF« s q UNO≈ wL²Mð w²« UöF« WŽuL− ’«uš ‰uŠ UuKF W¹√ v≈ bM²ð ô WÐUłù«

vKŽ µ ¨∂∞ UL¼ W¹eOK−½ù« WGK« w »öD« UöF Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU×« jÝu« Ê√ UM{d «–S ̈VOðd²« vKŽ ±∞ ̈ ∑µ UL¼ WOÐdF« WGK« w »öD« UöF Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU×« jÝu« ÊUË ̈ VOðd²« nB« UöF wÐU×« jÝu« sŽ b¹eð ∑∞ w¼Ë W¹eOK−½ù« WGK« w VUD« WöŽ Ê√ b−½ WU×« Ác¼ w UM½S «–≈ wU²UÐË X²A²K ”UOI u¼ Í—UOFL« ·«d×½ô« Ê≈ ø…dOG Â√ …dO³ …œU¹e« Ác¼ q¼ ÆUöŽ ±∞ —«bILÐ

ÆsO¹—UOF sO«d×½« Í√ ≤ Ω µ õ ±∞ wMFð UöŽ ±∞ …œU¹e« ÊS ”UOIL« «c¼ UMb²Ý« Ác¼Ë UöŽ µ —«bILÐ nB« UöF wÐU×« jÝu« sŽ b¹eð ∏∞ w¼Ë WOÐdF« WGK« w VUD« WöŽ ULMOÐ

W³MUÐ VUD« lu Í√® VUD« Èu² Ê√ wMF¹ «c¼Ë ¨Í—UOF ·«d×½« nB½ Í√ ±≤ Ω ±∞ õ µ q¦Lð …œU¹e« vKŽ√ W¹eOK−½ù« WGK« w jÝu« ‚u tFu Ê_ ¨WOÐdF« WGK« w tM qC√ W¹eOK−½ù« WGK« w ©tH »öÞ wU³

ÆWOÐdF« WGK« w jÝu« ‚u tFu s U¼dOHð qł√ sË ¨U¼œdHLÐ vMF «– XO UöŽ ©ÂU« ® WOK_« UöF« Ê√ Èd½ ”UÝ_« «c¼vKŽË WdF s bÐô UNO≈ wL²Mð w²« WOzUBŠù« WŽuL−L« w Î UCHM Ë√ Î UOUŽ Èu² q¦Lð UN½√ YOŠ s UNOKŽ rJ×«Ë√

ÆW¹—UOFL« WöF« Ë√ WLOI« …dJ QA½ UM¼ sË ¨WŽuL−LK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU×« jÝu«

∫n¹dFðUN«d×½«Ë μ wÐU×« UNDÝË WOzUBŠ≈ WŽuL− w ©”® ÂU« WöFK WKÐUIL« ©Ÿ® W¹—UOFL« WöF« vDFðË ÆWŽuL−LK wÐU×« jÝu« sŽ ÂU« WöF« U¼bF³ð w²« W¹—UOFL« U«d×½ô« œbŽ w¼ Í—UOFL«

™ μ ≠ ” Ω Ÿ ∫ …bŽUIUÐ

W¹—UOF*« WöF« ÂuNH

∫«œdHLK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU×« jÝu« błË√Æ∑∞ ¨ ∂∞ ¨ µ∞ ¨ ¥∞ ¨ ≥∞ ¨ ≤∞ ¨ ±∞

V¹—bð

ÆWMOF« jÝË u¼ Ó ”ÆWMOF« lL²− u¼ μ

ÆWMOFK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU×« jÝuUÐ UN«b³²Ý« r²OÝ t½S ¨·ËdF dOž lL²−LK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU×« jÝu« Ê√ ULÐ

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

31/92

≤∑

∫W¹—UOFL« WöF« …—Uý« ± ·«d×½ô« «bŠuÐ μ wÐU×« jÝu«Ë ©”® ÂU« WöF« sOÐ ‚dH« q¦Lð ©Ÿ® W¹—UOFL« WöF« Ê√ YOŠ «–≈ W³UÝ ÊuJðË wÐU×« jÝu« s d³√ ÂU« WöF« X½U «–≈ W³łu ÊuJð ©Ÿ®W¹—UOFL« WöF« ÊS ¨Í—UOFL«

ÆwÐU×« jÝu« ÍËUð ÂU« WöF« X½U «–≈ Î «dH ÊuJðË ¨wÐU×« jÝu« s dG√ ÂU« WöF« X½U∫W¹—UOFL« UöFK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU×« jÝu« ≤

∫Ê√ U³Ł≈ sJL¹ t½S WKÐUI W¹—UOF UöŽ v≈ U Ì l¹“uð w ÂU« UöF« lOLł XuŠ «–≈©Î «dH Ω W¹—UOFL« UöF« lOLł ŸuL− Ê√ Î UC¹√ wMF¹ «c¼Ë® Î «dH Ω W¹—UOFL« UöF« lOL− wÐU×« jÝu« √

±Ω W¹—UOFL« UöF« lOL− Í—UOFL« ·«d×½ô« »∫sO²IOI×« sOðU¼ W× `{u¹ wU²« ‰U¦L«

±∞¨∑µ UL¼ π∞ ¨ ∏∞ ¨ ∑µ ¨ ∑∞ ¨ ∂∞∫UöFK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU×« jÝu« ∫©≥® ‰U¦ UL¼ …dþUML« W¹—UOFL« UöFK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU×« jÝu« Ê√ ` Ò {Ë ÆVOðd²« vKŽ

ÆVOðd²« vKŽ ±¨ ∞

Æ μ ≠ ” Ω Ÿ t¹—UOFL« WöF« YOŠ W¹—UOF UöŽ v≈ ÂU« UöF« ‰ Òu×½

¨±∞ ÍËU¹ Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë ∑∂ ÍËU¹ Î U³UÞ ¥∞ UöF wÐU×« jÝu« ÊU «–≈ ∫©≤® ‰U¦ø∂∂ ¨ π± sO²öF« s qJ …dþUML« W¹—UOFL« WöF« U

μ

≠ ” Ω Ÿ W¹—UOFL« WöF«±,µ Ω ±µ±∞ Ω

∑∂ ≠ π±±∞ Ω π± WöFK WKÐUIL« W¹—UOFL« WöF«

ÆÍ—UOF ·«d×½« ±,µ —«bILÐ nB« UöF wÐU×« jÝu« sŽ b¹eð π± WöF« Ê√ Í√

±≠ Ω ±∞≠±∞ Ω ∑∂ ≠∂∂±∞ Ω ∂∂ WöFK WKÐUIL« W¹—UOFL« WöF«

ÆbŠ«Ë Í—UOF ·«d×½« —«bILÐ nB« UöF wÐU×« jÝu« sŽ qIð ∂∂ WöF« Ê√ Í√

W¹—UOF*« UöF« hzUBš

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

32/92

≤∏

©Ÿ® W¹—UOFL« WöF«≠ Ÿ ≤ © ≠Ÿ®±,µ≠±,µ≠≤,≤µ∞,µ≠∞,µ≠∞,≤µ

∞∞∞∞,µ∞,µ∞,≤µ±,µ±,µ≤,≤µ

ŸuL−L«∞µ

∫wðüU Î ôËbł TAM½ W¹—UOFL« UöFK Í—UOFL« ·«d×½ô« œU−¹ùË

ÆwÐU×« UNDÝË sŽ UöF« U«d×½« UFÐd ŸuL− jÝu²L wFOÐd²« —c−« Ω Í—UOFL« ·«d×½ô«

± Ω ± Ωµ

µ Ω≤© ≠ Ÿ ®

Ê Ω

W¹—UOF*« UöF« WŽuL−U¼œbŽ Ω W¹—UOFL« UöFK wÐU×« jÝu«

dH Ω dHµ Ω±,µ ´ ∞,µ ´ ∞ ´ ∞,µ≠ ´ ±,µ≠

µ ΩŸ

Ê Ω

∫wðüU W−O²M« X½UJ W¹—UOF ©rO® UöŽ v≈ rO ©∂® s W½uJ WŽuL− w «œdH*« X = u Ô Š ∫©¥®‰U¦ø ?ł WLO U Æ ?ł ¨ ± ¨ ±[µ ¨ ∞ ¨ ±,µ≠ ¨ ∞,µ≠

dH Ωl¹“uð Í√ w W¹—UOF*« UöF« ŸuL−dH Ω ?ł ´ ± ´ ±[µ ´ ∞ ´ ©±,µ≠® ´ ©∞,µ≠® Ê–≈

dH Ω ?ł ´ ∞,µ∞,µ≠ Ω ?ł

∫p– s oI×ð Æ©Ÿ ®WKÐUIL« W¹—UOFL« WöF«Ë ©”® ÂU« WöF« sO³¹ wðü« ‰Ëb−«

”∂∞∑∞∑µ∏∞π∞Ÿ ±,µ≠∞,µ≠∞∞,µ±,µ

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

33/92

≤π

∏ Ω ≤ ´ ∂ Ω …b¹b−« ÂU« VUD« WöŽ √ ≤ Æ©WU{ô« fHMÐ dŁQ²¹ jÝu« Ê_ ® ∑ Ω≤ ´ µ Ω »öD« UöF b¹b−« wÐU×« jÝu«

ÆWU{ôUÐ dŁQ²¹ ô t½_ ±,µ tH½ u¼ »öD« UöF b¹b−« Í—UOFL« ·«d×½ô«≤

≥ Ω±∞

±µ Ω±

±,µ Ω∑ ≠ ∏±,µ Ω …b¹b−« W¹—UOFL« VUD« WöŽ

ÆWU{ùUÐ dŁQ²ð r …b¹b−« W¹—UOFL« WöF« Ê√ Í√

∂∞ Ω ±∞ x ∂ Ω …b¹b−« ÂU« VUD« WöŽ » Æ»dC« qUŽ fHMÐ dŁQ²¹ jÝu« Ê_ µ∞ Ω±∞xµ Ω ÂU« UöFK b¹b−« wÐU×« jÝu«

qUŽ fHMÐ dŁQ²¹ Í—UOFL« ·«d×½ô« Ê_ ±µ Ω±∞x ±,µ ÂU« UöFK b¹b−« Í—UOFL« ·«d×½ô«ÆVłuL« »dC«

≤

≥ Ω±∞

±µ Ωµ∞ ≠ ∂∞

±µ Ω …b¹b−« W¹—UOFL« VUD« WöŽÆVłu œbFÐ »dCUÐ dŁQ²ð r W¹—UOFL« WöF« Ê√ Í√

ÆÂU« UöF« dOG²Ð W¹—UOFL« UöF« dŁQð ≥ÆWOK_« ÂU« UöF« s WöŽ qJ √ q¦ XÐUŁ —«bI nO{√ «–≈ W¹—UOFL« UöF« dŁQ²ð ô √

dOG²ðË ¨Vłu œbŽ » YOŠ » q¦ XÐUŁ —«bILÐ ÂUš WöŽ q XÐd{ «–≈ W¹—UOFL« UöF« dŁQ²ð ô »ÆVUÝ œbŽ » YOŠ » XÐUŁ —«bILÐ ÂUš WöŽ q XÐd{ «–≈ jI W¹—UOFL« WöF« …—Uý≈

ÍËU¹ Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë µ ÍËU¹ UöFK wÐU×« jÝu« ÊUJ tÐöD Î «—U³²š« rKF Èdł√ ∫©µ® ‰U¦Æ©±∞ ÍËUð WKUJ« WöF«® ±,µ

ø∂ —U³²šô« w t²öŽ X½U Íc« bLŠ√ VUDK W¹—UOFL« WöF« U ± ∫sO²Oðü« sO²U×« s Ì q w bLŠ_ W¹—UOFL« WöF« `³Bð r ≤

ønB« w VUÞ qJ sO²öŽ rKFL« ·U{√ «–≈ √ ø±∞ w VUÞ q WöŽ rKFL« »d{ «–≈ »

μ ≠ ” Ω Ÿ W¹—UOFL« WöF« ± ≤

≥ Ω±∞

±µ Ω±

±,µ Ω µ ≠ ∂±,µ

Ω

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

34/92

≥∞

∂∏ UöFK wÐU×« jÝu« ÊUJ ·uHB« bŠ√ w tÐöD Î «—U³²š« UO{U¹d« rKF Èdł√ ∫©∂®‰U¦Æ ∏∞ —U³²šô« w t²öŽ X½UË nB« »öÞ bŠ√ dOLÝ Æ ∏ Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë

øW¹—UOF*« dOLÝ WöŽ U √ øW¹—UOF*« t²öŽ `³Bð rË dOLÝ WöŽ `³Bð r ÆnB« w VUÞ qJ UöŽ µ rKF*« ·U{√ «–≈ »

μ ≠ ” Ω Ÿ √

±,µ Ω ±≤∏ Ω∂∏ ≠ ∏∞

∏ Ω W¹—UOFL« dOLÝ WöŽ

∏µ Ω µ ´ ∏∞ ∫WU{ù« bFÐ dOLÝ WöŽ `³Bð »

W¹—UOF*« dOLÝ WöŽ Ê–≈ tKÐUI*« W¹—UOF*« WöF« s dOG¹ ô ÂUš WöŽ qJ XÐUŁ —«bI WU{≈ Ê≈ YOŠËÆ±,µ Í√ tU{ô« q³ UNH½ w¼ WU{ù« bFÐ

ÆVOðd²« vKŽ ≥ ¨ ≤≠ ÊU²¹—UOF*« ÊU²öF« ULNKÐUIð ∏¥ ¨ ¥¥ ÊU²öF« X½U «–≈ ∫©∑®‰U¦øWOK_« UöF« l¹“u² Í—UOF*« ·«d×½ù«Ë wÐU(« jÝu« u¼ U

μ

≠ ” Ω Ÿ©±®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≤≠ Ω μ ≠ ¥¥ ∫ wœU³²« »dCUÐË μ ≠¥¥ Ω ≤≠ ∫ Ê–≈

μ ≠ ∏¥ Ω ≥©≤®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆ ≥ Ω μ ≠ ∏¥ ∫ wœU³²« »dCUÐË

∫·c(UÐ ©≤® ̈ ©±® 5²œUF*« q×½

≤≠ Ω

μ ≠ ¥¥≥ Ω μ ≠ ∏¥

ÕdDUÐ

µ≠ Ω ¥∞≠

∏ Ω ¥∞≠µ≠ Ω∂∞ Ω μ Ê√ Z²M¹ ©≤® ̈ ©±® 5²œUF*« ÈbŠ« w i¹uF²UÐË

∏ Ω Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë ∂∞ Ω wÐU(« jÝu« Ê–≈

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

35/92

≥±

Æ±∞ ÍËU¹ Í—UOFL« t«d×½«Ë µ∂ ÍËU¹ wÐU×« tDÝË Í—«dJð l¹“uð ±øWOðü« ÂU« ©UöF«® rOI« s

Ì qJ …dþUML« W¹—UOFL« ©UöF«® rOI« w¼ U

∑∞ ̈ µ∂ ̈ ¥∞ÆrÝ ±∞ ÍËU¹ UN Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë rÝ ±∂∏ ÍËU¹ ‰«uÞ_« s WŽuL−* wÐU(« jÝu« ≤

ø±[≤ W¹—UOF*« WLOI« tKÐUIð Íc« ‰uD« u¼ U

Æ±∞ ÍËU¹ UöFK Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë ∑∏ ÍËU¹ UöFK wÐU(« jÝu« ÊU ¨wzUNM« ¡UBŠù« ÊU×²« w ≥

øVOðd²« vKŽ ∂≤ ¨ π≥ 5²öF« vKŽ öBŠ 5³UD ÊU²¹—UOF*« ÊU²öF« UL¼ U ±øVOðd²« vKŽ±,¥ ¨ ∞,∂≠ 5²¹—UOF*« 5²öF« vKŽ öBŠ 5³UD ÂU)« ÊU²öF« UL¼ U ≤

∫wðü« ‰Ëb'« w w¼ UL YŠU³ WŁöŁ w VUÞ UöŽ X½U ¥

Y×³L«wÐU×« jÝu«Í—UOFL« ·«d×½ô«VUD« WöŽWOÐdF« WGK«∏≤∂∑∞UO{U¹d«∂¥±∞∂∏œUB²ô«∑∂∏∏∞

øWŁö¦« YŠU³L« w W¹—UOFL« VUD« UöŽ w¼ U ±øvKŽ_« u¼ tH »öD t³MUÐ VUD« qOB×ð Èu² ÊU WŁö¦« YŠU³L« Í√ w ≤

∫wðüU X½UJ W¹—UOF UöŽ v≈ WOzUBŠ≈ WŽuL− w œ«dH*« X ÒuŠ µø√ WLO UÆ √≥ ¨ √ ¨ ∞,µ≠ ¨ ∞ ¨ ± ¨ ±≠ ¨ ±,µ≠

± ¨ ∞,∏≠ ÊUðdþUM*« ÊU²¹—UOF*« UL¼U²öŽ X½UË ∏∏¨ ∑∞ UOłuuMJ²« ÊU×²« w 5³UÞ U²öŽ X½U «–≈ ∂ øÊU×²ô« w UöFK Í—UOF*« ·«d×½ô«Ë wÐU(« jÝu« u¼ U ÆVOðd²« vKŽ

©± ≠ ≤® qzU?Ë s¹—U9

ÆVOðd²« vKŽ π ¨ ∑≤ UL¼ rOI« s WŽuL−L Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU×« jÝu« ∑øµ¥ WLOIK WKÐUIL« W¹—UOFL« WöF« w¼ U ±

WöF« ’¨ q¹u×²« q³ ÂU« WöF« ” YOŠ ≤∞ ´ ” ± ≤ Ω ’ WöF« VŠ ÂU« rOI« X ÒuŠ ≤

øq¹u×²« «c¼ bFÐ µ¥ WLOIK W¹—UOFL« WöF« `³Bð r Æq¹u×²« bFÐ ÂU«

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

36/92

≥≤

vM×ML«Ë Í—«dJ²« lKCL«Ë Í—«dJ²« Ã—bL« UNM W¹—«dJ²« ‰Ë«b−« qO¦L² tHK² WO½UOÐ Î UdÞ Î UIÐUÝ XLKFð

ÆÍ—«dJ²«∫WOðü« ‰UJý_« UNL¼√ s WHK² Î ôUJý√ Í—«dJ²« vM×ML« c²¹Ë

Æl¹“u²« w …dO³J« rOI« u×½ Í√ vM×ML« s sL¹_« ·dD« w rOI« rEF UNO ed²ð w²« WU×« ©±® qJý q¦L¹

Æl¹“u²« w …dOGB« rOI« u×½ Í√ vM×ML« s d¹_« ·dD« w rOI« rEF UNO ed²ð w²« WU×« ©≥® qJý q¦L¹Ë jÝu« sŽ …bOF³« tdD²L« rOI« U√Ë l¹“u²« jÝË w rOI« rEF UNO ed²ð w²« WU×« q¦LO ©≤® qJý U√Æ…—œU½Ë WKOK ÊuJ² ÈdO«Ë vMLO« sO²N−« s

UOM×M UNM »d²Ið w²« WOł–uLM« …—uB« u¼Ë ‰b²FL« Ë√ wFO³D« vM×ML« vL¹ ©≤® qJý w vM×ML« Ê≈ «œdHL« œbŽ œ«œe¹ UbMŽ p–Ë ¡Uc« V½Ë UöF«Ë Ê«“Ë_«Ë ‰«uÞ_« q¦ WOKLF« …UO×« w UF¹“u²« s dO¦

ÆÎ «bł …dO³ …œU¹“ WUŠ q w UN²Ý«—bÐ ÂuI½ w²«

©±® qJý qŁUL² dOž Í—«dJð vM×M

©¡«u²ù« Vłu Ë√ sOLO« u×½ Ì u²K®

©≤® qJý qŁUL² vM×M

©‰b²F wFO³Þ®

©≥® qJý qŁUL² dOž Í—«dJð vM×M

©¡«u²ù« VUÝ Ë√ —UO« u×½ Ì u²K®

ÆÍ—«dJ²« v×M*UÐ Î UO½UOÐ ‰Ëb'« q¦ ÆwU²« ‰Ëb'« w WŽ“u hý n√ q² wðü« ‰Ëb'« q¦1 ∫©±®‰U¦

U¾H«±π≠±∞≤π≠≤∞≥π≠≥∞¥π≠¥∞µπ≠µ∞∂π≠∂∞∑π≠∑∞∏π≠∏∞ππ≠π∞±∞π≠±∞∞

—«dJ²«∂≤∏∏∏±∏∞≤¥∑≤∂∞±≥≥¥≤±±µ

Æ©rG »d_® hý ±∞∞∞ q² l¹“u² Í—«dJ²« ‰Ëb−«

Normal Curve ‰b²F*« wFO³D« vM×M*« ≤≠≤

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

37/92

≥≥

∫wFO³D« vM×M*« hzUBš

¨d«uL¹œ q¦ ¡ULKF« s dO¦ ÂU ¨vM×ML« «c¼ WOL¼_ t²Ý«—bÐ dAŽ lÝU²«Ë dAŽ sU¦« sO½dI« w ”ËUłË ¨”öÐôË ”ËUł w½UL_« rUF« v≈ ÈeF Ô ¹Ë t«uš s dO¦J« «uHA²«Ë ÈdðË vM×MLK WO{U¹d« WœUFL« v≈ ‰uu« © Â±∏µµ≠ ±∑∑∑® vM×ML« UNOKŽ ÂuÝd WO½UL« WKLŽ vKŽ ”ËUł rUF« …—uB« w

Æ t²œUFË wFO³D«

∫oÐU« ‰Ëb−« q¦L¹ wU²« Í—«dJ²« vM×ML«

∏¥,µ∑¥,µ∂¥,µµ¥,µ¥¥,µ≥¥,µ≤¥,µ±¥,µ ±∞¥,µπ¥,µ

≤∞∞

≤µ∞

±µ∞

±∞∞

µ∞

— « d J ² «

U¾H« e«d

∫vM×M*« ’«ušÆl¹“u²K wÐU×« jÝu« q¦Lð wI_« —u×L« l qŁUL²« —u× ¡UI²« WDI½Ë jI …bŠ«Ë WL t qŁUL² vM×M ±

«œdHL« Ác¼ qIð rŁ jÝu« w «œdHL« s dO³ œbŽ vKŽ Íu²×¹ uN ”d−« qJý t³A¹ qJý vM×MLK ≤ÆqŁUL² qJAÐË sO³½U−« vKŽ Î UO−¹—bð

s W¹UN½ ô U v≈ Î U¹dE½ Ê«b²L¹ vM×ML« wdÞ Ê√ Í√ ÁUFDI¹ Ê√ ÊËœ wI_« —u×L« s vM×ML« UdÞ »d²I¹ ≥

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

38/92

≥¥

ÆsO¼U−ðô« ö Î ö¦L l¹“u²K Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU×« jÝu« vKŽ p– nu²¹Ë tHK² Î ôUJý√ wFO³D« vM×ML« c²¹ ¥

∫sOOðü« sOKJA« kŠô

∫YO×Ð wFO³D« l¹“u²« qJý c²ð w²« «œdHL« Ÿ“u²ð µ

bŠ«Ë Í—UOF ·«d×½« sL{ lIð ©a≈ ÆÆÆ UöF« Ë√ q²J« Ë√ ‰«uÞ_« s Í√® ôU×« s •∂∏ w«uŠ √ bŠ«Ë Í—UOF ·«d×½« —«bILÐ l¹“u²K wÐU×« jÝu« sŽ qIð w²« WLOI« sOÐ lIð Í√ ¨jÝu« w³½Uł vKŽ

ÆbŠ«Ë Í—UOF ·«d×½« —«bILÐ l¹“u²K wÐU×« jÝu« sŽ b¹eð w²« WLOI« sOÐË sŽ qIð w²« WLOI« sOÐ lIð Í√ ¨jÝu« w³½Uł vKŽ sO¹—UOF sO«d×½« sL{ lIð ôU×« s •πµ w«uŠ » —«bILÐ l¹“u²K wÐU×« jÝu« sŽ b¹eð w²« WLOI« sOÐË sO¹—UOF sO«d×½« —«bILÐ l¹“u²K wÐU×« jÝu«

ÆsO¹—UOF sO«d×½«

wÐU×« jÝu« w ÊUHK²¹Ë tH½ Í—UOFL« ·«d×½ô« ULN ÊUOFO³Þ ÊUOM×M

∑∂ Ω ≤

μ

±≤ Ω ≤ µ≤ Ω

±

μ

±≤ Ω ±

µ≤ ±±≤±∞∞∏∏∑∂¥∞ ∂¥≤∏±∂

Í—UOFL« ·«d×½ô« w ÊUHK²¹Ë tH½ wÐU×« jÝu« ULN ÊUOFO³Þ ÊUOM×Mµ≤ ∏∏∑∂¥∞ ∂¥≤∏±∂

µ≤ Ω ≤μ ±≤ Ω ≤

µ≤ Ω ±

μ

∂ Ω ±

ÆwFO³D« l¹“u²K wÐU×« jÝu« vKŽ WôbK μ Xb²Ý«

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

39/92

≥µ

w²« WLOI« sOÐ lIð Í√ ¨jÝu« w³½Uł vKŽ W¹—UOF U«d×½« WŁöŁ sL{ lIð ôU×« s •ππ w«uŠË ?ł ≥ —«bILÐ l¹“u²K wÐU×« jÝu« sŽ b¹eð w²« WLOI« sOÐË ¨W¹—UOF U«d×½« ≥ —«bILÐ jÝu«sŽ qIð

ÆW¹—UOF U«d×½«

ÆWIÐU« VM« `{uð w²« WOðü« ‰UJý_« kŠô

W×H Î UIÐUÝ Ád– d Íc« hý ±∞∞∞ q² l¹“u² Í—«dJ²« ‰Ëb−« ©±® ‰U¦ v≈ …œuFUÐË wIO³Dð ‰U¦LË

∫ÊS rG±µ ÍËU¹ Í—UOFL« ·«d×½ù« Ê√Ë rG µ∑ ÍËU¹ l¹“u²K wÐU×« jÝu« ÊQÐÎ ULKŽË ≥≤ + μ ¨ - μ sOÐ …—uB× rNK² ÊuJð Î UBý ∂∏∞ w«uŠ Í√ ’Uý_« s Î U³¹dIð •∂∏ ©±®ÆrG ∑≤¨¥≤ 5½“u« 5Ð Í√ ±µ ́ µ∑ ̈ ±µ ≠µ∑ 5Ð Í√

≤´ μ ¨ ≤ ≠ μ sOÐ …—uB× rNK² ÊuJð Î UBý πµ∞ w«uŠ Í√ ’Uý_« s •µπ w«uŠ ©≤®ÆrG ∏∑¨≤∑ 5²K²J« 5Ð Í√ ±µ x ≤ ´ µ∑ ¨ ±µ x ≤ ≠ µ∑ 5Ð Í√

≥ ´ μ ¨ ≥ ≠ μ sOÐ …—uB× rNK² ÊuJð Î UBý ππ∞ w«uŠ Í√ ’Uý_« s •ππ w«uŠ ©≥®ÆrG ±∞≤¨±≤ 5²K²J« 5Ð Í√ ±µx ≥ ´ µ∑ ¨ ±µx ≥ ≠ µ∑ 5Ð Í√

Æ—uc*« ‰Ëb'« w …œ—«u« UODF*« l œ«bŽ_«Ë VM« Ác¼ o«uð Èb s oI×²« sJ1Ë

V¹—bð∫UNO dB×Mð w²« rOI« bł ¨µ Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë ̈ ∑∞ «b¼UALK wÐU×« jÝu« Ê√ błË ̈ wFO³Þ wzUBŠ« l¹“uð w

Æ«b¼UAL« s •ππ w«uŠ » Æ«b¼UAL« s •πµ w«uŠ » Æ«b¼UAL« s • ∂∏ √ ≠±ÆwÐU×« UDÝu« sŽ ∏≤ WöF« U¼bF³ð w²« U«d×½ô« œbŽ U ≠≤

+ μ ≠μ

•∂∏

wÐU(« jÝu«μ) ≤+μ ≤≠ μ

•πµ

wÐU(« jÝu«μ)

≥ +μ ≥ ≠μ

•ππ

wÐU(« jÝu«μ)

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

40/92

≥∂

∫Í—UOF*« wFO³D« vM×M*«

s×½ Íc« l¹“u²K Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë wÐU×« jÝuK Î UF³ð …œbF² Î ôUJý√ c²¹ wFO³D« vM×ML« Ê√ UMLKŽ «c¼ oOI×ð UMMJL¹Ë ¨tO »užd d√ u¼ WOFO³D« UF¹“u²« lOL− bŠu vM×M vKŽ ‰uB×« Ê√ pý ôË ¨ÁœbBÐ

w W¹—UOFL« UöFK wÐU×« jÝu« Ê√ –≈ ¨wFO³D« l¹“u²« w ÂU« rOI« s Î ôbÐ W¹—UOFL« ©rOI«® UöF« Â«b²ÝUÐ ·bN« ÆÍ—UOFL« wFO³D« vM×ML« ZðUM« wFO³D« vM×ML« vL¹Ë Î «bŠ«Ë ÍËU¹ Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë Î «dH ÍËU¹ wFO³Þ l¹“uð Í√

∫wðü« qJA« kŠô

∫Í—UOF*« wFO³D« vM×M*« X% WŠU*« ‰Ëbł

WŠUL« W³½ sO³ð WUš ‰Ë«bł ¡ULKF« l{Ë bË ¨±ÍËUð Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« X×ð WOKJ« WŠUL«ÆW¹—UOFL« UöF« s WMOF rOIÐ …œËb×L«Ë vM×ML« X×ð

bL²FMÝË lł«dL«Ë V²J« lOLł w …bŠ«Ë WGO c²ð ô ‰Ë«b−« Ác¼Ë jÝu« sOÐ …—uB×L« WŠUL« wDF Ô ¹ Íc«Ë »U²J« W¹UN½ w o×KL« ‰Ëb−«

w WKKEL« WŠUL« q¦ Í√ Vłu œbŽ Ÿ YOŠ Ÿ W¹—UOFL« WöF«Ë wÐU×« vM×ML« w qŁUL²« WH Âb²M W³U« Ÿ rOI U√¨—ËU−L« qJA«

ÆWœUI« WK¦_« w `C²OÝ UL

∞ ± ≤ ≥±≠≤≠≥≠

•∂∏

•πµ

•ππ

Ÿ ∞

W¹—UOFL« UöF« Í—UOFL« wFO³D« vM×ML«

rOI Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« X×ð WŠUL« sO³¹Ë —ucL« ‰Ëb−« s ¡eł WOU²« W×HB« vKŽ lDIL«Æ±,¥π ¨ ÆÆÆ¨ ∞,∞≥ ¨ ∞,∞≤ ¨ ∞,∞± ¨ ∞ Ω Ÿ

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

41/92

≥∑

π ∏ ∑ ∂ µ ¥ ≥ ≤ ± ∞ Ÿ ∞[∞≥µπ∞[∞∑µ¥∞[±±¥±∞[±µ±∑∞[±∏∑π

∞[∞≥±π∞[∞∑±¥∞[±±∞≥∞[±¥∏∞∞[±∏¥¥

∞[∞≤∑π∞[∞∂∑µ∞[±∞∂¥∞[±¥¥≥∞[±∏∞∏

∞[∞≤≥π∞[∞∂≥∂∞[±∞≤∂∞[±¥∞∂∞[±∑∑≤

∞[∞±ππ∞[∞µπ∂∞[∞π∏∑∞[±≥∂∏∞[±∑≥∂

∞[∞±∂∞∞[∞µµ∑∞[∞π¥∏∞[±≥≥±∞[±∑∞∞

∞[∞±≤∞∞[∞µ±∑∞[∞π±∞∞[±≤π≥∞[±∂∂¥

∞[∞∞∏∞∞[∞¥∑∏∞[∞∏∑±∞[±≤µµ∞[±∂≤∏

∞[∞∞¥∞∞[∞¥≥∏∞[∞∏≥≤∞[±≤±∑∞[±µπ±

∞[∞∞∞∞∞[∞≥π∏∞[∞∑π≥∞[±±∑π∞[±µµ¥

∞[∞∞[±∞[≤∞[≥∞[¥

∞[≤≤≤¥∞[≤µ¥π∞[≤∏µ≤∞[≥±≥≥∞[≥≥∏π

∞[≤±π∞∞[≤µ±∏∞[≤∏≤≥∞[≥±∞∂∞[≥≥∂µ

∞[≤±µ∑∞[≤¥∏∂∞[≤∑π¥∞[≥∞∑∏∞[≥≥¥∞

∞[≤±≤≥∞[≤¥µ¥∞[≤∑∂¥∞[≥∞µ±∞[≥≥±µ

∞[≤∞∏∏∞[≤¥≤≤∞[≤∑≥¥∞[≥∞≤≥∞[≥≤∏π

∞[≤∞µ¥∞[≤≥∏π∞[≤∑∞¥∞[≤ππ∂∞[≥≤∂¥

∞[≤∞±π∞[≤≥µ∑∞[≤∂∑≥∞[≤π∂∑∞[≥≤≥∏

∞[±π∏µ∞[≤≥≤¥∞[≤∂¥≤∞[≤π≥π∞[≥≤±≤

∞[±πµ∞∞[≤≤π±∞[≤∂±≤∞[≤π±∞∞[≥±∏∂

∞[±π±µ∞[≤≤µ∏∞[≤µ∏∞∞[≤∏∏±∞[≥±µπ

∞[µ∞[∂∞[∑∞[∏∞[π

∞[≥∂≤±∞[≥∏≥∞∞[¥∞±µ∞[¥±∑∑∞[¥≥±π

∞[≥µππ∞[≥∏±∞∞[≥ππ∑∞[¥±∂≤∞[¥≥∞∂

∞[≥µ∑∑∞[≥∑π∞∞[≥π∏∞∞[¥±¥∑∞[¥≤π≤

∞[≥µµ¥∞[≥∑∑∞∞[≥π∂≤∞[¥±≥±∞[¥≤∑π

∞[≥µ≥±∞[≥∑¥π∞[≥∑¥¥∞[¥±±µ

∞[¥≤∂µ

∞[≥µ∞∏∞[≥∑≤π∞[≥∑≤µ∞[¥∞ππ ∞[¥≤µ±

∞[≥¥∏µ∞[≥∑∞∏∞[≥π∞∑∞[¥∞∏≤ ∞[¥≤≥∂

∞[≥¥∂±∞[≥∂∏∂∞[≥∏∏∏∞[¥∞∂∂ ∞[¥≤≤≤

∞[≥¥≥∏∞[≥∂∂µ∞[≥∏∂π∞[¥∞¥π ∞[¥≤∞∑

∞[≥¥±≥∞[≥∂¥≥∞[≥∏¥π∞[¥∞≥≤ ∞[¥±π≤

±[∞±[±±[≤±[≥±[¥

W³łu*« Ÿ ¨ dH 5Ð Í—UOF*« wFO³D« vM×M*« X% WŠU*«

Ÿ ∞

Æ±,±µ Ω Ÿ ¨ ∞ Ω Ÿ sOÐ …—uB×L«Ë Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« X×ð WŠUL« błË√ ∫©±®‰U¦

µ œuLF«Ë ±,± Ω Ÿ nB« lÞUIð bMŽ l«u« œbF« v≈ dEMM ‰Ëb−« s …dýU³ WŠUL« √dI½∞,≥∑¥π œbF« b−M¨©∞,∞µ Í√®

∞,≥∑¥π w¼ WÐuKDL« WŠUL«

Æ±,≤ Ω Ÿ X×ð WF«u«Ë Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« X×ð WŠUL« błË√ ∫©≤®‰U¦

©∞ Ω Ÿ X×ð WŠUL«® ´ ©±,≤ Ω Ÿ ¨ ∞ Ω Ÿ sOÐ WŠUL«® Ω WÐuKDL« WŠUL«∞,µ ´ ∞,≥∏¥π Ω

∞,∏∏¥π Ω±,≤ Ω Ÿ ∞

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

42/92

≥∏

Æ∞,∑µ≠ Ω Ÿ X×ð WF«u«Ë Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« X×ð WŠUL« błË√ ∫©≥®‰U¦

∞,∑µ Ω Ÿ ‚u WŠUL« ÍËUð ∞,∑µ≠ Ω Ÿ X×ð WŠUL«

Æ—ËU−L« qJA« kŠô©∞,∑µ= Ÿ ¨ ∞ Ω Ÿ sOÐ WŠUL«® ≠ ∞,µ Ω ©∞,∑µ Ω Ÿ® ‚u WŠUL«∞,≤∑≥¥ ≠ ∞,µ Ω

∞,≤≤∂∂ Ω∞,≤≤∂∂ w¼ ©∞,∑µ≠ Ω Ÿ® X×ð WŠUL« Ê–≈

∞,∑µ∞∞,∑µ≠ Ÿ

ø∞,∂µ w¼ UN²×ð WF«u« Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« WŠU ÊuJð w²« Ÿ W¹—UOFL« WöF« w¼ U ∫©¥®‰U¦ Ÿ

ø Ω Ÿ ∞

sOÐ WŠUL« ÊuJðË ¨W³łu Ÿ Ê–≈ ∞,µ s d³√ ∞,∂µ WŠUL« Ê√ ULÐ ∞,±µ Ω ∞,µ ≠ ∞,∂µ w¼ W³łuL« Ÿ Ë ©∞ Ω Ÿ®

∞,±µ œbF« sŽ Y×³½Ë ‰Ëb−« w UŠUL« v≈ dEM½

∞,±µ±∑ ¨ ∞,±¥∏∞ s¹œbF« b−M tO≈ œbŽ »d√ Ë√ÁbMŽ ÊUFÞUI²¹ s¹c« œuLF«Ë nB« v≈ dEM½Ë u¼ Á—U²½ UM½S ∞,±µ œbF« v≈ »d√ ∞,±µ±∑ œbF« Ê√ ULÐË Æ∞,≥π Í√ ∞,∞π ´ ∞,≥ ∫ WÐuKDL« Ÿ ÊuJ² π œuLF«Ë ∞,≥ nB« b−M

ÆÎ U³¹dIð ∞,≥π w¼ ∞,∂µ UN²×ð WŠUL« ÊuJð w²« Ÿ WLO

∫błË√ ±∞ Ω Í—UOF ·«d×½«Ë ∂µ Ω wÐUŠ jÝuÐ wFO³D« l¹“u²« s W³¹d ÂUŽ ÊU×²« ZzU²½ X½U ∫©µ®‰U¦

Æ∂µ sŽ qIð UöŽ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KD« W³½ √ Æµ∞ sŽ qIð UöŽ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KD« W³½ » Æ∑∞ sŽ b¹eð UöŽ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KDK W¹u¾L« W³M« ?ł

∂µ jÝu«∞ Ω Ÿ

w¼ ∂µ sŽ qIð UöŽ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KD« W³½ √•µ∞ Í√ ¨ ∞ µ∞ ÍËUðË ¨qJA« w WKKEL« WŠUL«

Æ©WU« WU×« Ác¼ w ‰Ë«b−« ‰ULF²Ýô …—Ëd{ ô ®

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

43/92

≥π

µ∞ sŽ qIð UöŽ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KD« W³½ » WŠUL« Ác¼ œU−¹ôË qJA« w WKKEL« WŠUL« ÍËUð

ÆW¹—UOF WöŽ v≈ µ∞ ÂU« WöF« ‰u×½

±,µ≠ Ω ±µ ≠±∞ Ω ∂µ ≠ µ∞ ±∞ Ω μ ≠ ” ΩŸqŁUL²UÐ UN W¹ËUL« WŠUL« b−½ UM½S W³UÝ Ÿ YOŠË

∫qÐUIL« qJA« s©±,µ Ω Ÿ® ‚u WŠUL« Ω ©±,µ≠ Ω Ÿ® X×ð WŠUL«

©±,µ Ω Ÿ® Ó Ë jÝu« sOÐ WŠUL« ≠ ∞,µ Ω

∞,¥≥≥≤ ≠ ∞,µ Ω∞,∞∂∂∏ Ω•∂,∂∏ Í√ ¨ ∞,∞∂∂∏ w¼ µ∞ s q√ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KD« W³½ Ê√ Í√

∑∞ sŽ b¹eð UöŽ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KD« W³½ ?ł ÆqJA« w WKKEL« WŠUL« W³½ ÍËUð

∫W¹—UOF WöŽ v≈ ∑∞ ÂU« WöF« ‰u×½

∞,µ Ω µ±∞ Ω ∂µ ≠ ∑∞ ±∞ Ωμ

≠ ” Ω Ÿ

©∞,µΩŸ® Ë jÝu« sOÐ WŠUL« ≠ ∞,µ Ω WKKEL« WŠUL«∞,±π±µ ≠ ∞,µ Ω

∞,≥∞∏µ Ω∞,≥∞∏µ w¼ ∑∞ sŽ b¹eð UöŽ vKŽ «uKBŠ s¹c« W³KD« W³½ Ê√ Í√

•≥∞,∏µ Ω •±∞∞ x ∞,≥∞∏µ Ω W¹u¾L« W³M«

∂µ∞ Ω Ÿ

µ∞±,µ ≠

±,µ±,µ≠ ∞

∂µ

∞

∑∞

∞,µ

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

44/92

¥∞

ÍËU¹ q²JK Í—UOFL« ·«d×½ô«Ë rG∂µ ÍËU¹ hý ±∞∞∞ q²J wÐU×« jÝu« ∫©∂®‰U¦sOÐ rNK² lIð s¹c« ’Uý_« W³½ w¼ UL ¨wFO³D« l¹“u²« l³²ð q²J« X½U «–≈ ÆrG±∞

ø’Uý_« ¡ôR¼ œbŽ UË ørG∏µ ¨ rG∂µ

ÆqJA« w WKKEL« WŠUL« W³½ Ω rG∏µ ¨ rG∂µ sOÐ lIð rNK² s¹c« ’Uý_« W³½∫W¹—UOF WöŽ v≈ ∏µ ÂU« WLOI« ‰u×½

≤ Ω ≤∞±∞ Ω∂µ ≠ ∏µ

±∞ Ωμ ≠ ” Ω Ÿ

©»U²J« W¹UN½ w ‰Ëb−« s® ∞,¥∑∑≤ Ω WŠUL« W³½•¥∑,∑≤ Ω ∞,¥∑∑≤ Ω ’Uý_« W³½ Ê√ Í√

W³M« x wKJ« œbF« Ω ’Uý_« œbŽ∞,¥∑∑≤x ±∞∞∞ Ω

¥∑∑,≤ ΩÆ Î U³¹dIð Î UBý ¥∑∑ Ω

∂µ∞

∏µ≤

Í—UOF ·«d×½UÐ WŽUÝ ±≥∞∞ u¼ l½UBL« bŠ√ UN−²M¹ w²« WOzUÐdNJ« `OÐUBL« —ULŽ_ wÐU×« jÝu« ∫©∑®‰U¦¨ Î UOz«uAŽ ̀ OÐUBL« bŠ√ dO²š«ËÆwFO³D« l¹“u²« l³²ð —ULŽ_« Ác¼ X½U «–S ÆWŽUÝ≤∞∞ Á—«bI

øWŽUÝ ±∏∞∞ s ‰uÞ√ …bL Î U×U vI³¹ Ê√ ‰UL²Š« UL

ÆqJA« w WKKEL« WŠUL« W³½ Ω WŽUÝ±∏∞∞ sŽ b¹eð …bL Î U×U ÕU³BL« vI³¹ Ê√ ‰UL²Š«∫W¹—UOF WöŽ v« ±∏∞∞ œbF« ‰u×½

≤,µ Ω µ∞∞≤∞∞ Ω ±≥∞∞ ≠ ±∏∞∞ ≤∞∞ Ω μ ≠ ” ΩŸ

≤,µ Ω Ÿ Ó Ë jÝu« sOÐ WŠUL« ≠ ∞,µ Ω ©≤,µ Ω Ÿ® ‚u WŠUL«∞,¥π≥∏ ≠∞,µ Ω

∞,∞∞∂≤ Ω∞,∞∞∂≤ Ω »uKDL« ‰UL²Šô«

±∏∞∞

≤,µ

±≥∞∞

∞

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

45/92

¥±

Æ©»U²J« W¹UN½ w Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« X×ð WŠUL« ‰Ëbł Âb²Ý«®

∫WOðü« ôU×« s Ì q w Í—UOFL« wFO³D« vM×ML« X×ð WŠUL« błË√ ±©±,≤¥ Ω Ÿ® X×ð WF«u« √

©±,∞∑ Ω Ÿ® ‚u WF«u« » ©±,µ Ω Ÿ® Ó Ë ©≤≠ Ω Ÿ® sOÐ WF«u« ?ł

øWOðü« ôU×« s q w ©Ÿ ® W¹—UOFL« WöF« w¼ U ≤

∞,

∏µ w¼ Ÿ X×ð WŠUL« √ ∞,∞≤≤∏ w¼ Ÿ ‚u WŠUL« » ∞,∂ w¼ Ÿ ¨ Ÿ≠ sOÐ WŠUL« ?ł

Í—UOF ·«d×½«Ë rž≤∞∞ ÍËU¹ wÐUŠ jÝuÐ wFO³Þ qJAÐ Î U³¹dIð Ÿ“u²¹ e³ t−²M¹ Íc« e³« nOž— WK² ≥Ærž±∞ ÍËU¹

ørž≤±µ sŽ UN²K² qIðË lMBL« UN−²M¹ w²« WHž—_« W³½ U √

ørž±π∂ sŽ UN²K² qIðôË lMBL« UN−²M¹ w²« WHž—_« W³½ U »

∑≤ ÍËU¹ wÐUŠ jÝuÐ wFO³D« l¹“u²« Î U³¹dIð l³²ð UO{U¹d« —U³²š« w ·uHB« bŠ√ W³KÞ UöŽ X½U «–≈ ¥π Ω Í—UOF ·«d×½«Ë

øsO×łUM« W³KDK W¹u¾L« W³M« UL ∂∞Ω—U³²šô« w ÕU−M« WöŽ X½U «–≈ √ øπ∞ s d³√ t²öŽ ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« UL Î UOz«uAŽ W³KD« bŠ√ dO²š« «–≈ »

ø…ezUł ‰UMO VUÞ UNOKŽ qB×¹ WöŽ q√ UL W¹d¹bIð ez«uł W³KD« s •±∞ qC√ ¡UDŽ≈ —dIð «–≈ ?ł

ÆrÝ±∞ Í—UOF ·«d×½«Ë rÝ±∂µ ÍËU¹ wÐUŠ jÝuÐ wFO³D« l¹“u²« l³²ð W³KD« s WŽuL− ‰«uÞ√ X½U «–≈ µørÝ±∏∞ ¨rÝ±µ∞ sOÐ rN«uÞ√ dB×Mð Íc« W³KD« W³½ U √

øVUÞµ∞∞∞ u¼ t³KDK wKJ« ŸuL−L« ÊU «–≈ W³KD« ¡ôR¼ œbŽ U » øt²×ð W³KD« s •∏≤,≥∏ lI¹ Í c« ‰uD« u¼ U ?ł

©≤ ≠ ≤® qzU?Ë s¹—U9

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

46/92

¥≤

tMO½«uË ‰UL²Šô« ÂuNH ∫WFł«d ≥≠≤Æ WOz«uAF« »—U−²« vL¹ U Î UÝUÝ√ ôUL²Šô« W¹dE½ ‰ËUM²ð

WŽuL− b¹b×ð lOD²½ UMMJË ¨UNz«dł≈ q³ UN²−O²½ b¹b×ð lOD²½ ô w²« WÐd−²« w¼ ∫WOz«uAF« WÐd−²« WOzeł WŽuL− q vLðË ̈ © ® WÐd−²K wMOF« ⁄«dH« WŽuL−L« Ác¼ vLð ÆWÐd−²K WMJLL« ZzU²M« lOLł

Æ©Õ ® Î UŁœUŠ wMOF« ⁄«dH« s sOOF² Æ©Õ ®‰ ÀœU×« ‰UL²Š« vL¹Ë ÀœU×« «c¼ ŸuË Wd Ë√ WO½UJ≈ sŽ d³F¹ œbŽ ÀœUŠ qJÐ j³ðd¹ÀœU×« ŸuË «d œbŽ sOÐ W³M« Í√ ¨ÀœU×K w³M« —«dJ²« vL¹ U v≈ Î UOKLŽ ¡u−K« sJL¹ ¨‰UL²Šô« «c¼ —«dJ²« tM »d²I¹ Íc« œbF« vL¹Ë ÆÀœU×K w³¹d−²« ‰UL²Šô« vŽb¹ U «c¼Ë WÐd−²« ¡«dł≈ «d œbŽË

ÆÀœU×« ‰UL²Š« vL¹ Î «bł …dO³ …œU¹“ WÐd−²« ¡«dł≈ «d …œU¹“ bMŽ ÀœU×K w³¹d−²« ‰UL²Šô« Ë√ w³M« ⁄«dH« wL½ UM½S ¨Ÿuu« w UNH½ WdH« wMOF« ⁄«dH« dUMŽ lOL− UNO ÊuJ¹ w²« WU« WU×« w

ÀœU×« dUMŽ œbŽ dUMŽ œbŽ

Ω ©Õ ®‰ Î U¹dE½ Î ôUL²Š« czbMŽ ÀœU×K sOF½Ë Î ULE²M Î UOMOŽ Î Už«d wMOF«

∫ôUL²Šô« 5½«u

©∞ Ω © ®‰

® ∞ Ω qO×²L« ÀœU×« ‰UL²Š« ±

©± Ω © ®‰® ± Ω bRL« ÀœU×« ‰UL²Š« ≤©± ©Õ ®‰ ∞® ± ¨ ∞ sOÐ dB×M¹ Õ ÀœUŠ Í√ ‰UL²Š« ≥

w½U¦« ‰UL²Š« ´ ‰Ë_« ‰UL²Š« Ω sOKBHM sOŁœUŠ œU×ð« ‰UL²Š« ¥ ©≤Õ ®‰ ´ ©±Õ ®‰ Ω ©≤Õ ±Õ ®‰ ÊS Ω ≤Õ ±Õ ÊU «–≈ t½√ Í√

ÆsOŁœU×« lÞUIð ‰UL²Š« ≠ w½U¦« ‰UL²Š« ´ ‰Ë_« ‰UL²Š« ΩsOŁœUŠ Í√ œU×ð« ‰UL²Š« µ©≤Õ ±Õ ®‰ ≠ ©≤Õ ®‰ ´ ©±Õ ®‰ Ω ©≤Õ ±Õ ®‰ Ê√ Í√

± Ω ÀœU×« p– WLL² ‰UL²Š« ´ ÀœUŠ ‰UL²Š« ∂± Ω ©Õ ®‰ ´ ©Õ ®‰ Ê√ Í√

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

47/92

¥≥

ŸuL−L«≤≥¥µ∂∑∏π±∞±±±≤

—«dJ²«∞µ∏∑µ∑∂≤∂¥∞

ÆsO¹uKF« sONłu« vKŽ s¹œbF« ŸuL− WEŠöË sOLE²M œd½ Íd−Š ¡UI≈ s WÐd−ð ÊuJ²ð ∫©±® ‰U¦∫WOðü« ZzU²M« q−ÝË …d µ∞ WÐd−²« —«dJ²Ð VUÞ ÂU

ø© ∂ Ω ŸuL− vKŽ ‰uB×« ® ÀœU× w³¹d−²« ‰UL²Šô« U ± ø© ∂ Ω ŸuL− vKŽ ‰uB×« ® ÀœU× ÍdEM« ‰UL²Šô« U ≤

©∂® ŸuL−L« vKŽ ‰uB×« «d œbŽWÐd−²« ¡«dł« «d œbŽ Ω ÀœU×K w³M« —«dJ²« Ω w³¹d−²« ‰UL²Šô« ±

∞,± Ω µµ∞ Ω Õ dUMŽ œbŽ dUMŽ œbŽ Ω ÍdEM« ‰UL²Šô« ≤

{©±¨ µ® ¨ ©≤ ¨ ¥® ¨ ©≥ ¨ ≥® ¨ ©¥ ¨ ≤® ¨ ©µ ¨ ±® } Ω Õ{©∂ ¨ ∂® ¨ÆÆÆÆÆ ¨ ©≤ ̈ ±® ¨ ©± ¨ ±® } Ω

∞,±≥π Ω µ≥∂ Ω ©Õ ®‰

«dL« s Î «bł Î «dO³ Î «œbŽ WÐd−²« X¹dł√uË ÍdEM« ‰UL²Šô«Ë w³¹d−²« ‰UL²Šô« w²LO sOÐ ‚dH« kŠô ÆÍdEM« ‰UL²Šô« s w³¹d−²« ‰UL²Šô« »d²ô

Æ¥∞ v≈ ± s ÂU—_« qL×ð WUDÐ ¥∞ tÐ ‚ËbM s Î UOz«uAŽ …bŠ«Ë WUDÐ X³×Ý ∫©≤® ‰U¦∫WÐu×L« WUD³« vKŽ œbF« ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« U

øÎ UOłË“ Î «œbŽ ±

øµ vKŽ WLI« q³I¹ Î «œbŽ ≤

øµ vKŽ WLI« q³I¹ Ë√ Î UOłË“ Î «œbŽ ≥

{¥∞ ¨ ÆÆÆÆÆ ¨ ≤ ¨ ± } ΩÆwłË“ œbŽ vKŽ ‰uB×« ÀœUŠ ∫ ±Õ sJO

Æµ vKŽ WLI« q³I¹ œbŽ vKŽ ‰uB×« ÀœUŠ ∫ ≤Õ

≤∞ dUMF« œbŽË {¥∞ ¨ÆÆÆÆÆ ¨ ∂ ¨ ¥ ¨ ≤ } Ω ±Õ

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

48/92

¥¥

∏ dUMF« œbŽË {¥∞ ¨ ÆÆÆ ¨ ±µ ¨ ±∞ ¨ µ} Ω ≤Õ ±≤ Ω

≤∞¥∞ Ω

Õ dUMŽ œbŽ dUMŽ œbŽ Ω ©±

Õ ®‰

±µ Ω ∏¥∞ Ω Õ dUMŽ œbŽ dUMŽ œbŽ Ω ©≤Õ®‰

©≤Õ ±Õ ®‰ ≠ ©≤Õ®‰ ´ ©±Õ®‰ Ω ©≤Õ ±Õ ®‰

©≤Õ ±Õ ®‰ ≠ ±µ ´ ±

≤ Ω±

±∞ Ω¥

¥∞ Ω ©≤Õ ±Õ ®‰ ∫ Ê–≈ {¥∞ ¨ ≥∞ ¨ ≤∞ ¨ ±∞ } Ω ≤Õ ±Õ sJ

∂±∞ Ω ±±∞ ≠ ±µ ´ ±≤ Ω ©≤Õ ±Õ ®‰

©≥ ≠ ≤® qzU?Ë s¹—U9

ÆÊ«d¼UE« Ê«œbF« kŠuË Èdš_« ¡«—Ë …bŠ«u« ÊUðd X³×Ý Æ≥ ¨ ≤ ¨ ± WLdË WKŁUL² «d ≥ tÐ fO ±ÆŸUł—ù« l V×« ÊU «–≈ √ ∫WÐd−²K wMOF« ⁄«dH« u¼ U

ÆWO½UO³« …d−AUÐ sF²Ý« ÆŸUł—≈ ÊËœ V×« ÊU «–≈ » Æ…d¼UE« WŁö¦« tłË_« XEŠuË WLE²M œuI½ lD ≥ XOI√ ≤

ÆWÐd−²K wMOF« ⁄«dH« V²√ √ ∫UNM q ‰UL²Š« VŠ« rŁ WOðü« Àœ«u×« V²√ »

Æq_« vKŽ …bŠ«Ë …—u vKŽ ‰uB×« ÀœUŠ ∫ ±ÕÆUÐU² ≥ Ë√ —u ≥ vKŽ ‰uB×« ÀœUŠ ∫ ≤Õ

Æd¦_« vKŽ sO²ÐU² vKŽ ‰uB×« ÀœUŠ ∫ ≥Õ

∞[≥ Ω ©≤Õ ±Õ ®‰ ¨ ∞,∑ Ω ©≤Õ®‰ ¨ ∞,µ Ω ©±Õ ®‰ YO×Ð sOŁœUŠ ≤Õ ¨ ±Õ ÊU «–≈ ≥Æ©≤Õ ±Õ ®‰ √ ∫błË√Æ©≤Õ ±Õ ®‰ »

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

49/92

¥µ

b ≤Õ dš¬ Î UŁœUŠ ÊQÐ Î ULKŽ Ë√ ◊dAÐ ±Õ sOF ÀœUŠ ŸuË ‰UL²Š« u¼Ë ◊ËdAL« ‰UL²Šô« Î UIÐUÝ XdFð∫«cJ¼ · ] dF Ô ¹Ë ©≤Õ Ø ±Õ®‰ edUÐ ‰UL²Šô« «cN ed¹ ÆlË

∫ÊU «–≈ ¨d¼UE« œbF« WEŠöË ¨…bŠ«Ë …d rE²M œd½ d−Š ¡UI≈ WÐd−ð w ∫©±®‰U¦

¥ sŽ qI¹ œbŽ —uNþ ÀœUŠ ∫±ÕwłË“ œbŽ —uNþ ÀœUŠ ∫≤Õ©≤ÕØ±Õ®‰ ∫ błËQ

∂ ¨ µ ¨ ¥ ¨ ≥ ¨ ≤ ¨ ± Ω≥¨ ≤ ¨ ± Ω ±Õ

∂¨ ¥ ¨ ≤ Ω ≤Õ© ≤Õ ±Õ ®‰©≤Õ®‰ Ω©≤ÕØ±Õ®‰

±

∂ Ω ©≤Õ ±Õ ® ‰ Ê–≈ ≤ Ω ≤Õ ±Õ sJ±

≤ Ω≥

∂ Ω≤Õ dUMŽ œbŽ

dUMŽ œbŽ Ω ©≤Õ® ‰±

≥ Ω≤

± x

±

∂ Ω±

≤ õ±

∂ Ω ©≤ÕØ±Õ® ‰ Ê√ Í√s ÊuJL«Ë ≤Õ Ê√ UMLKŽ «–≈ ±Õ ÀËb× …bŠ«Ë Wd „UM¼ Ê√ YOŠ WuNÐ q×« W× WEŠö pMJL¹

±≥ Ω ©≤ÕØ±Õ® ‰ Ê√ Í√ W¹ËU² ’d ÀöŁ sOÐ s …bŠ«Ë Wd „UM¼ Ê√ Í√ oI×ð b dUMŽ WŁöŁ

±Õ ≤Õ ¥x

∂x ≤x≥x

±xµx

∫n¹dFð∞ Ω ©≤Õ ®‰ ¨

©≤Õ ±Õ®‰©≤Õ®‰

Ω ©≤Õ Ø±Õ® ‰

Conditional Probability ◊ËdA*« ‰UL²Šù« ¥≠≤

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

50/92

¥∂

±

≥ Ω ©≤ÕØ±Õ®‰ ULMOÐ¨±

≤ Ω ©±Õ® ‰ Ê√ b−½ oÐU« ‰U¦L« wH ©≤ÕØ±Õ®‰ ¨ ©±Õ® ‰ sOÐ ‚d „UM¼ ± ≤Õ ŸuuÐ UMLKŽ ÊS wFO³Þ d√ «c¼Ë ©±Õ® ‰ WLO s dOž lË b ≤Õ ÊQÐ WOU{ ù« UuKFL« Ê√ Í√

Æ fOË ≤Õ u¼ b¹bł hKI wMOŽ ¡UC v≈ Î UÐuM ±Õ ŸuË ‰UL²Š« qF−¹ ◊ËdAL« ‰UL²Šô« Êu½UI Èdš√ WGO oO³Dð UMMJL¹ ≠oÐU« ‰U¦L« w UL≠ rE²ML« ‰UL²Šô« ôUŠ w ≤∫wU²U w¼Ë

© ≤Õ ±Õ ®dUMŽ œbŽ ©≤Õ®dUMŽ œbŽ Ω©≤ÕØ±Õ®‰

±

≥ Ω© ≤Õ ±Õ ®dUMŽ œbŽ

©≤Õ®dUMŽ œbŽ Ω ©≤ÕØ±Õ®‰ ¨ oÐU« ‰U¦L« wH

ÆrE²ML« ‰UL²Šô« ôUŠ w UNULF²Ý« l−A¹Ë WDOÐ WGO w¼Ë

œbF« ÊuJ¹ Ê√ ‰UL²Š« u¼ U ¨s¹d¼UE« s¹œbF« WEŠöË …bŠ«Ë …d sOLE²M œd½ Íd−Š w— WÐd−ð w ∫©≤®‰U¦øπ Ω s¹d¼UE« s¹œbF« ŸuL− ÊQÐ Î ULKŽ ≥ Ω sONłu« bŠ√ vKŽ d¼UE«

π s¹œbF« ŸuL− ÀœUŠ∫ ≤Õ ¨sONłu« bŠ√ vKŽ ≥ œbF« —uNþ ÀœUŠ ∫±Õ sJO∫Ê–≈ rE²M ‰UL²Šô« ¡UC© ≤Õ ±Õ ®dUMŽ œbŽ

©≤Õ®dUMŽ œbŽ Ω ©≤Õ Ø ±Õ®‰

©≥ ¨ ∂® ¨ ©¥ ¨ µ® ¨ ©µ ¨ ¥® ¨©∂ ̈ ≥® Ω ≤Õ sJsONłu« bŠ√ vKŽ ≥ vKŽ ‰uB×« ÀœUŠ ∫ ≤Õ ±Õ

π Ω s¹œbF« ŸuL−Ë©≥ ¨ ∂® ¨ ©∂ ¨ ≥ ® Ω

±

≤ Ω≤

¥ Ω ©≤Õ Ø ±Õ®‰

oI×²¹ ±Õ ÀœU×U ¡UMŽ ÊËœ q×« W× WEŠö pMJL¹ËsOÐ s ÊU²d „UMN ¨oI×ð b ≤Õ Ê√ UM²dF bFÐ ©≥ ̈ ∂® ̈ ©∂ ̈ ≥ ® ∫sO²−O²M« vKŽ ‰uB×« bMŽ

±

≤ Ω≤

¥ Í√ W¹ËU² ’d ¥

x

±≤

≥¥µ∂

± ≤ ≥ ¥ µ ∂

x x x x

x

x

x

x

±Õ

‰Ë_« œdM« d−Š

w ½ U ¦ « œ d M « d − Š

∫ U?EŠö

≤Õ x

x

8/18/2019 Math Adabi 11 P1

51/92

¥∑

∫◊ËdA*« ‰UL²Šö »dC« …bŽU

©±®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ© ≤Õ ±Õ ®‰

©≤Õ®‰ Ω ©≤ÕØ±Õ®‰ ∫Ê√ rKF½

©≤®ÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆÆ © ±Õ ≤Õ ®‰©±Õ®‰ Ω ©±ÕØ≤Õ®‰

∫ÊuJ¹ © ±Õ ≤Õ ®‰ Ω © ≤Õ ±Õ ®‰ Ê√ WEŠöË ©≤® ¨ ©±® sO²œUFL« w wœU³²« »dC« WOKLŽ ¡«dłSÐ

©≤ÕØ±Õ®‰ x ©≤Õ®‰ Ω © ≤Õ ±Õ ®‰©±ÕØ≤Õ®‰ x ©±Õ®‰ Ω

Æ‰Ë_« ŸuË ◊dAÐ dšü« ŸuË ‰UL²Š«x

UL¼bŠ√ ŸuË ‰UL²Š« ÍËU¹ Î UF sOŁœUŠ ŸuË ‰UL²Š« Ê√ Í√

ÆŸUł—≈ ÊËœ Î UOz«uAŽ w«u²« vKŽ ÊUðd X³×Ý Æ¡UCOÐ …d ±≤ ¨¡«œuÝ «d ∏ UNÐ W³OIŠ ∫©≥® ‰U¦øs¹Ë«œuÝ ÊUðdJ« ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« U

Æ¡«œuÝ vË_« …dJ« ÀœUŠ∫ ±Õ sJOÆ¡«œuÝ WO½U¦« …dJ« ÀœUŠ ∫ ≤Õ©≤Õ ±Õ®‰ Ωs¹Ë«œuÝ ÊUðdJ« ÊuJð Ê√ ‰UL²Š« Ê–≈

©±ÕØ≤Õ ®‰ x ©±Õ® ‰ Ω∑

±π x ∏

≤∞ Ωµ∂

≥∏∞ Ω

¡UCOÐ±±

±π

¡«œuÝ

¡«œuÝ