Modèles stochastiques
Modèle de file d’attente
Systè
1. Structu
me de file
re de
d'att
base
ente
clients
servisPopulation file
d'attenteservice
clients
entrants
Population: La population constitue la source de clients potentiels. Elle est
caractérisée par son nombre d'élément (fini ou infini).
File d'attente: La file d'attente est caractérisée par le nombre maximum permis
de clients en attente (fini ou infini)
Clients: Les clients (issus de la population) se joignent au système avec un
taux moyen d'arrivée.
Service: Le service peut être assuré par un ou plusieurs serveurs. Le temps
qui s'écoule entre le début et la fin de service d'un client est dénoté
le temps de service suivant une distribution de probabilité. Donc le
taux de service est une autre caractéristique du système.
Systè
1. Structu
me de file
re de
d'att
base
ente
clients
servisPopulation file
d'attenteservice
clients
entrants
Le temps s'écoulant entre deux arrivées consécutives est distribué
exponentiellement
Le temps de service es
t aussi dis
Hypo
trib
ué expo
thè
nen
t iell
e
ses:
ment
Stratégie de: La stratégie de service réfère à l'ordre selon laquelle les clients
service sont servis: premier arrivé premier servi, au hasard, selon des
priorité, K
( )
Probabilité d'avoir clients dans le système au temps
Nombre de serveurs
Taux moyen d'arrivée (espérance mathématique
Terminologie et notation
du nombre d'arrivées
:
n
n
P t n t
s
λ
=
=
=
par unité de temps) de nouveaux clients dans le système lorsque clients
sont dans le système
Paramètre définissant la distribution exponentielle des arrivées lorsque
n
clients sont dans le système
1 Temps moyen entre les arrivées lorsque clients sont dans le système
Taux moyen de service d'un client lorsque clients sont dans le système
n
n
n
n
n
λ
µ
=
=
Paramètre définissant la distribution exponentielle du service d'un client
lorsque clients sont dans le système
1 Temps moyen de service d'un client lorsque clients sont dans le sys
n
n
nµ
= tème
Quand nous commençons à analyser un système de file d'attente, l'état de ce
dernier dépend beaucoup de l'état initial et du temps écoulé. Nous disons alors
que le système est e tn r s anitua sitotion ire, et son étude est alors très complexe.
C'est pourquoi dans la théorie des files d'attente, nous préférons faire l'étude une
fois que le système a atteint sa situation d' où les états du système sont
essentiellement indépenda
équil
ntes
ibre
de l'état initial et du temps déjà écoulé.
On suppose en quelque sorte que le système est en opération depuis un
très long moment.
( )
Probabilité qu'il y ait clients dans le système
Nombre moye
Notation et terminologie lorsque la situation d'équilibre tie
n espérance mathématique de client dans le système
Nombr
n
e
t:
moyen de
n
q
P n
L
L
=
=
= ( )client dans la file d'attente excluant ceux dans le service
Temps moyen dans le système
Temps moyen dans la file (excluant le temps de service)
Nombre de serveurs
q
W
W
s
=
=
=
( )
Alors
n
n
q n
n s
L nP
L n s P≥
=
= −
∑
∑
( )
De plus, définissons
taux moyen d'arrivée
Par les formules de Little
n n
n
q q
P
L W
L W
λ λ
λ
λ
=
=
=
∑
Donc, essentiellement il faut d'abord déterminer les
pour compléter l'étude d'une file d'attentenP
2. Processus de naissance et de mort
Le temps s'écoulant entre deux arrivées consécutives est distribué
exponentiellement
Le temps de service es
t aussi dis
Hypo
trib
ué expo
thè
nen
t iell
e
ses:
ment
processus de naissance et de
Sous les hypothèse précédentes, une file d'attente peut être vu comme un
naissance arrivée du client
mort départ du client du systè
mor
me r
t:
ap è
↔
↔ s son service
Naissance Le temps s'écoulant entre deux naissances consécutives
Dans le processus
est di
de naissance et de mort:
stribué exponentielleme
Hyp. 1:
Hy
nt
p. 2:
↔
Mort Le temps s'écoulant entre deux morts consécutives
est aussi dist
Chaque transition à partir de l'état
ribué exponent
est de typHyp. 3 e
i
:
ell
eme
n
t
n
n
↔
→ ( ) ( ) ( ) ( )1 une seule naissance ou 1 une seule mortn n n+ → −
Diagramme de transition entre les état s
0 1 2 1n − 1n +nL0λ 1λ 2λ 2n
λ − 1nλ − n
λ
1nµ − n
µ 1nµ +3µ2µ1µ
Taux moyen de naissance lorsque personnes sont dans le système
Taux moyen de mort lorsque personnes sont dans le systèmen
n
n
n
λ
µ
=
=
L
Le processus de naissance et de mort peut être considéré comme une chaîne de
Markov en temps continu où les densités de transitions sont spécifiées à l'aide
des et .n n
λ µ
{ }0
0
MAIS les suivantes donne un système d'équations plus
facile à résoudre pour identifier les :
équations d'équilib
0, ,
re
1
j
M
j j i ij
ii j
M
j
j
q q j M
π
π π
π
=≠
=
= ∈
=
∑
∑
K
Interprétation intuitive:
: taux auquel le processus part de
puisque : probabilité (à l'équilibre) que le processus soit dans l'état
: taux de transition pour s
j j
j
j
q j
j
q
π
π
ortir de l'état étant donné que le
processus est dans l'état
: taux de passage de l'état à l'état
puisque : taux de transition de l'état à l'état
i ij
ij
j
j
q i j
q i
π
0
étant donné que le
processus est dans l'état
: taux de passage à l'état quelque soit l'état dans lequel se trouve
le processus
M
i ij
ii j
j
i
q j iπ=≠
∑
taux
Donc
de
il s'en
départ d
suit que
e = taux d'ar rivée àj j
Interprétation intuitive:
: taux auquel le processus part de
puisque : probabilité (à l'équilibre) que le processus soit dans l'état
: taux de transition pour s
j j
j
j
q j
j
q
π
π
ortir de l'état étant donné que le
processus est dans l'état
: taux de passage de l'état à l'état
puisque : taux de transition de l'état à l'état
i ij
ij
j
j
q i j
q i
π
0
étant donné que le
processus est dans l'état
: taux de passage à l'état quelque soit l'état dans lequel se trouve
le processus
M
i ij
ii j
j
i
q iπ=≠
∑
taux
Donc
de
il s'en
départ d
suit que
e = taux d'ar rivée àj j
Nous utilisons donc par la suite ces
É Q UA TION S DE BAL ANCE
ÉQUATIONS DE BA LANCE
{ }0
0
Équations d'équilibre
0, ,
1
M
j j i ij
ii j
M
j
j
q q j Mπ π
π
=≠
=
= ∈
=
∑
∑
K
0
Intensités de transiti n
.
oM
j ji
ij i
q q=≠
=∑
{ }
{ }
0 0 0
0 0
0
Remplaçons les valeurs des dans les équations d'équilibre:
0, ,
Donc les équations de balance deviennent
0, ,
1
j
M M M
j j i ij j ji i ij
i i ii j i j i j
M M
j ji i ij
i ii j i j
M
j
j
q
q q q q j M
q q j M
π π π π
π π
π
= = =≠ ≠ ≠
= =≠ ≠
=
= ⇔ = ∈
= ∈
=
∑ ∑ ∑
∑ ∑
∑
K
Ktaux de départ de = taux d'arrivée à j j
Diagramme de transition entre les état s
0 1 2 1n − 1n +nL0λ 1λ 2λ 2n
λ − 1nλ − n
λ
1nµ − n
µ 1nµ +3µ2µ1µ
Taux moyen de naissance lorsque personnes sont dans le système
Taux moyen de mort lorsque personnes sont dans le systèmen
n
n
n
λ
µ
=
=
L
Le processus de naissance et de mort peut être considéré comme une chaîne de
Markov en temps continu où les densités de transitions sont spécifiées à l'aide
des et .n nλ µ
Nous pouvons donc appliquer les équations de balance
probabilit
pour déte
és à l'équ
rm
il
iner le
ibre
s
.n
P
Diagramme de transition entre les état s
0 1 2 1n − 1n +nL0λ 1λ 2λ 2n
λ − 1nλ − n
λ
1nµ − n
µ 1nµ +3µ2µ1µ
L
Nous pouvons donc appliquer les équations de balance
probabilit
pour déte
és à l'équ
rm
il
iner le
ibre
s
.n
P
Équations de balance deviennent
0,1,2,
1
j ji i ij
i j i j
j
j
q q jπ π
π
≠ ≠
= =
=
∑ ∑
∑
K
Diagramme de transition entre les état s
0 1 2 1n − 1n +nL0λ 1λ 2λ 2n
λ − 1nλ − n
λ
1nµ − n
µ 1nµ +3µ2µ1µ
L
Équations de balance deviennent
0,1,2,
1
j ji i ij
i j i j
j
j
q q jπ π
π
≠ ≠
= =
=
∑ ∑
∑
K
( )
0 1 1
1 1 1 1
Pour 0
Pour 1, 2,
o
n n n n n n n
n
P P
n
P P P
λ µ
λ µ λ µ− − + +
=
=
=
+ = +
K
Diagramme de transition entre les état s
0 1 2 1n − 1n +nL0λ 1λ 2λ 2n
λ − 1nλ − n
λ
1nµ − n
µ 1nµ +3µ2µ1µ
L
( )
( )
( )
01 0
1
01 1 12 1 1 1 0 0 1 0
2 2 2 2 1
02 2 2 13 2 2 2 1 1 2 0
3 3 3 3 2 1
02 11 1 1 0
1 1 1 1 3 2 1
0
0
0
État
0
11
12
1n n n
n n n n n n n
n n n n
n
P P
P P P P P P
P P P P P P
n P P P P P P
λ
µ
λλ λ λµ λ
µ µ µ µ µ
λλ λ λ λµ λ
µ µ µ µ µ µ
λ λ λ λλ λµ λ
µ µ µ µ µ µ µ+ − −
+ + + +
=
= + − = =
= + − = =
= + − = =
1442443
1442443
M
K1442443
M
( )
0 1 1
1 1 1 1
Pour 0
Pour 1, 2,
o
n n n n n n n
n
P P
n
P P P
λ µ
λ µ λ µ− − + +
=
=
=
+ = +
K
( )1 1 11 1
1n
n n n n n n
n n
P P P Pλ
µ λµ µ
+ − −
+ +
⇔ = + −
1
00
1
Pour simplifier
1,2,
n
ii
n n
ii
P P nλ
µ
−
=
=
∏= =
∏
K
( )
( )
( )
01 0
1
01 1 12 1 1 1 0 0 1 0
2 2 2 2 1
02 2 2 13 2 2 2 1 1 2 0
3 3 3 3 2 1
02 11 1 1 0
1 1 1 1 3 2 1
0
0
0
État
0
11
12
1n n nn n n n n n n
n n n n
n
P P
P P P P P P
P P P P P P
n P P P P P P
λ
µ
λλ λ λµ λ
µ µ µ µ µ
λλ λ λ λµ λ
µ µ µ µ µ µ
λ λ λ λλ λµ λ
µ µ µ µ µ µ µ+ − −
+ + + +
=
= + − = =
= + − = =
= + − = =
1442443
1442443
M
K1442443
M
1
00
1
Pour simplifier
1, 2,
n
ii
n n
ii
P P nλ
µ
−
=
=
∏= =
∏
K
Équations de balance deviennent
0,1,2,
1
j ji i ij
i j i j
j
j
q q jπ π
π
≠ ≠
= =
=
∑ ∑
∑
K
0
1 1
0 00 0 0 0 1
1 1
1 1 0
1
1
Pour déterminer , nous utilisons
11 1
1
n n
i ii i
j n n nj n n
i i ii i i
n
ni
i
P
P P P P Pλ λ
µ µ λ
µ
− −
= =−
≥ ≥
= = =
≥
=
∏ ∏
= = + = + ⇔ = ∏ ∏ ∏
+∏
∑ ∑ ∑
∑
( )Considérons un modèle de file d'attente où les arrivées et les départs se produisent
comme dans un
3. F
proc
ile d'attente infinie avec un
essus de naissance et de mort
serveur 1
où
: / 1
/s M M=
i.e., indépendants du nombre de clients dans le systèmen
n
n
n
λ λ
µ µ
≡ ∀
≡ ∀
Diagramme de transition entre les état s
0 1 2 1n − 1n +nL
λ λ λ λ λ λ
µ µ µµµµL
0 1
00
1
1
Alors
1 1
1
Sous l'hypothèse que < (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service)
1, et la progression géométrique
n n
ii
n n
ni
i
n
n
Pλλµ
µ
λ µ
λ
µ
λ
µ
−∞
==
≥
=
= = ∏ +
∏
<
∑∑
0
1
1λ
µ
∞
=
=
−∑
1
00
1
0 1
0
1
1
1, 2,
1
1
n
ii
n n
ii
n
ii
n
ni
i
P P n
P
λ
µ
λ
µ
−
=
=
−
=
≥
=
∏= =
∏
=
∏+
∏∑
K
Notons que la condition 1
assure que le système pout atteindre
l'équilibre. Autrement le système
explose!!
λ
µ<
0 1
01
1
1
Alors
1 1
1
Sous l'hypothèse que < (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service)
1, et la progression géométrique
n n
ii
n n
ni
i
n
n
Pλλµ
µ
λ µ
λ
µ
λ
µ
−∞
==
≥
=
= = ∏ +
∏
<
∑∑
1
1
1λ
µ
∞
=
=
−∑
0
Par conséquent,
11
1
1
Pλ
µλ
µ
= = −
−
1
00
1
0 1
0
1
1
1, 2,
1
1
n
ii
n n
ii
n
ii
n
ni
i
P P n
P
λ
µ
λ
µ
−
=
=
−
=
≥
=
∏= =
∏
=
∏+
∏∑
K
1
00 0
1
De plus
1
nn n
ii
n n
ii
P P Pλ λ λ λ
µ µ µµ
−
=
=
∏ = = = −
∏
0
Par conséquent,
11
1
1
Pλ
µλ
µ
= = −
−
( )
Il s'ensuit que
1 0,1,2,n
nP nρ ρ= − = K
Introduison la notion de facteur d'utilisation
représente en quelque sorte la proportion du temps que le serveur est occupé.
λρ
µ
ρ
=
( )
Il s'ensuit que
1 0,1,2,n
nP nρ ρ= − = K
( )
( ) ( ) ( )
( )
( )
0 0
1
0 0
0
a) Nombre moyen de clients dans
Calculons maintenant les caractéristiques de la fil
1
1 1
1
11
le systèm
e d'attente / /
e
1
1
n
n
n n
nn
n n
n
n
L nP n
dn
d
d
d
M M
d
d
ρ ρ
ρ ρ ρ ρ ρ ρρ
ρ ρ ρρ
ρ ρρ ρ
∞ ∞
= =
∞ ∞−
= =
∞
=
= = −
= − = −
= −
= −
−
∑ ∑
∑ ∑
∑
( )( )
2
11
1
1 1
ρ ρρ
λ
ρ λµλρ µ λµ
= −−
= = =− −−
( )
Il s'ensuit que
1 0,1,2,n
nP nρ ρ= − = K
( )
( )
( )
1
0 1
0
2
b) Nombre moyen de clients dans la file d'atte e
1
t
1
n
q n
n
n n
n n
L n P
nP P
L P
λ λ
µ λ µ
λ
µ µ λ
∞
=
∞ ∞
= =
= −
= −
= − −
= −−
=−
∑
∑ ∑
Lλ
µ λ=
−
( )
Il s'ensuit que
1 0,1,2,n
nP nρ ρ= − = K
0 0
c) Temps moyen pour un client dans le
1 1 puisque =
système
n n n
n n
L LW P P
λλ λ λ λ
λ λ µ λ λ µ λ
∞ ∞
= =
= = = = = = − −
∑ ∑
Lλ
µ λ=
− ( )
2
qL
λ
µ µ λ=
−
( ) ( )
2
d) Temps moyen pour un client dans la file d'
1
attente
q q
q
L LW
λ λ
λ λ µ µ λ λ µ µ λ= = = =
− −
Considérons un modèle de file d'attente où les arrivées et les départs se produisent
comme dans un proce
4. File d'attente infini
ssus de naissance et de m
e avec s ser
ort où
v
eurs :
/ /
n
M M s
λ ≡
( )
1
2
3
1
chaque serveur a un taux de service de ,
mais le taux de service depend du nombre 2 de clients dans le système; si le nombre est
3 inférieur à seul un sous
1s
n
n
s
s
s n s
λ
µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
µ µ
−
∀
≡
≡ ≡ ≡ −
≡ ∀ ≥
M
-ensemble de serveurs
egal au nombre de clients sont actifs; si le nombre
de clients est superieur ou égal a , les
serveurs sont actifs
s s
Diagramme de transition entre les état s
0 1 2 1n − 1n +nL
λ λ λ λ λ λ
sµ sµ sµ3µ2µµL
Notons que la condition 1
assure que le système pout atteindre
l'équilibre. Autrement le système
explose!!
ss
λρ
µ= <
Dénotons le facteur d'utilisation comme suit:
1.s
s
ρ
λρ
µ= <
Équations de balance deviennent
0,1,2,
1
j ji i ij
i j i j
j
j
q q jπ π
π
≠ ≠
= =
=
∑ ∑
∑
K
S'appuyant sur les équations
de balance, nous pouvons
déterminer les probabilités n
P
( )
1
01
00
0
si 1!1
! ! 1
si 1! !
n
n s
s
n n
n s
P n sn
P Pn s
P s ns n s
λ
µλ λ
µ µ
ρ λ
µ
−
−
=
≤ ≤ = + = − + ≤
−
∑
( )
0
2! 1
1
1
s
s
q
s
q
q
q
q q
P
Ls
LW
W W
L W W L
λρ
µ
ρ
λ
µ
λλ λ
µ µ
=
−
=
= +
= = + = +
s! sn−s
( )Considérons la situation où le système a une capacité finie ; i.e., si le nombre
de clients dans l
5. F
e sys
ile d'attente finie avec 1 s
tème est , alors il ne peu
erveur
t entrer dans le
1 : / 1/
sy
/s M M
K
K
K
=
stème et il est
perdu.
Nous avons donc un modèle de file d'attente où les arrivées et les départs se
produisent comme dans un processus de naissance et de mort où
si 1
0 n
n Kλλ
≤ −=
si
si
0 si 1n
n K
n K
n K
µµ
≥
≤=
≥ +
Diagramme de transition entre les état s
0 1 2 2K − K1K −L
λ λ λ λ λ λ
µ µ µµµµ
0 1
00
1
1
1
0
Alors
1 1
1
Sous l'hypothèse que < (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service)
1, alors
1
1
n nK
K ii
n n
ni
i
K
nK
n
Pλλµ
µ
λ µ
λ
µ
λ
µλ
µ λ
µ
−
==
=
=
+
=
= = ∏ +
∏
<
− =
−
∑∑
∑
1
00
1
0 1
0
1
1
1, ,
1
1
n
ii
n n
ii
n
K ii
n
ni
i
P P n K
P
λ
µ
λ
µ
−
=
=
−
=
=
=
∏= =
∏
=
∏+
∏∑
K
Notons que la condition 1
assure que le système pout atteindre
l'équilibre. Autrement le système
explose!!
λ
µ<
0 1 1
Par conséquent,
11
11
où
K KP
λ
µ ρ
ρλ
µ
λρ
µ
+ +
−
− = =−
−
=
0 1
00
1
1
1
0
Alors
1 1
1
Sous l'hypothèse que < (le taux d'arrivée est plus petit que le taux de service)
1, alors
1
1
n nK
K ii
n n
ni
i
K
nK
n
Pλλµ
µ
λ µ
λ
µ
λ
µλ
µ λ
µ
−
==
=
=
+
=
= = ∏ +
∏
<
− =
−
∑∑
∑
0 1 1
Par conséquent,
11
11
où
K KP
λ
µ ρ
ρλ
µ
λρ
µ
+ +
−
− = =−
−
=
1
00
1
0 1
0
1
1
1, ,
1
1
n
ii
n n
ii
n
ii
n
ni
i
P P n K
P
λ
µ
λ
µ
−
=
=
−
=
≥
=
∏= =
∏
=
∏+
∏∑
K
1
00 0 1
1
De plus, pour 1, ,
1
1
n
in ni
n n K
ii
n K
P P Pλ ρ
ρ ρρµ
−
=
+
=
=
∏ −= = =
−∏
K
( )
( ) ( )
1
10
01
Calculons maintenant les caractéristiques de la file d'attente /
1
1 1
1 1
/1 KK
n Kn
q
q n q
n
K LL nP W
LL n P L P W
M M
ρρ
ρ ρ λ
λ
+
+=
∞
=
+= = − =
− −
= − = − − =
∑
∑
1
Donc pour 0,1, ,
1
1n
n K
n K
Pρ
ρρ +
=
−=
−
K