DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
BAB IPENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Suatu variabel yang nilainya merupakan suatu bilangan yang ditentukan oleh terjadinya
hasil suatu percobaan disebut sebagai variabel random. Dalam sampel random semua unit dari
populasi mempunyai kesempatan yang sama untuk dijadikan sampel.
Variabel random terdiri dari distribusi diskrit dan distribusi kontinyu. Nilai-nilai distribusi
diskrit terdiri atas hasil-hasil perhitungan sederhana dari sejumlah unit.
Penyajian distribusi probabilitas dapat berbentuk tabel atau kurva probabilitas. Untuk suatu
variabel random diskrit, semua nilai yang dapat terjadi dari variabel random dapat di daftar
dalam suatu tabel dengan menyertakan probabilitas-probabilitasnya. Sedangkan untuk suatu
variabel random kontinyu, karena semua nilai pecahan yang dapat terjadu tidak dapat di daftar,
probabilitas-probabilitas ditentukan dengan fungsi matematis yang dinyatakan dengan suatu
fungsi kontinyu, atau kurva probabilitas.
Oleh karena itu, dalam praktikum kali ini percobaan yang dilakukan dapat dikaji
menggunakan distribusi probabilitas. Distribusi probabilitas yang digunakan kali ini adalah
distribusi probabilitas diskrit dan distribusi probabilitas kontinyu.
1.2 Batasan Praktikum
Adapun batasan-batasan yang digunakan selama pelaksanaan praktikum ini adalah :
1. Data yang diambil berupa data primer.
2. Tipe data yang digunakan adalah numeric.
3. Untuk hasil probabilitas berupa bilangan desimal menggunakan lima angka dibelakang
koma.
4. Aplikasi distribusi diskrit terbatas 3 macam yaitu, binomial, hipergeometrik dan poisson.
5. Aplikasi distribusi kontinyu terbatas 2 macam yaitu normal dan eksponensial.
1.3 Tujuan Praktikum
Tujuan dari pelaksanaan praktikum ini adalah:
1. Dapat memahami dan menguasai konsep distribusi probabilitas.
2. Dapat mengetahui macam-macam distribusi probabilitas.
3. Dapat membedakan konsep dari masing-masing distribusi.
4. Dapat mengaplikasikan konsep dari masing-masing distribusi probabilitas dalam
menyelesaikan suatu permasalahan.
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 41
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
1.4 ManfaatPraktikum
Manfaat yang diperoleh dari pelaksanaan praktikum ini adalah:
1. Praktikan mampu memahami dan menguasai konsep distribusi probabilitas.
2. Praktikan dapat mengetahui macam-macam distribusi probabilitas.
3. Praktikan mampu membedakan konsep dari masing-masing distribusi probabilitas.
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 42
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
BAB IITINJAUAN PUSTAKA
2.1 Definisi Probabilitas
Distribusi probabilitas merupakan nilai-nilai probabilitas yang dinyatakan untuk mewakili
semua nilai yang dapat terjadi dari suatu variabel random X, baik dengan suatu daftar (tabel)
maupun dengan fungsi matematis.
2.2 Distribusi Probabilitas Diskrit
Distribusi peluang diskrit adalah suatu tabel atau rumus yang mencantumkan semua
kemungkinan nilai suatu pengubah acak diskrit (ruang contoh diskrit mangandung jumlah titik
yang terhingga) dan juga peluangnya. Adapun macam-macam distribusi diskrit adalah sebagai
berikut :
2.2.1 Distribusi Binomial
Distribusi binomial adalah suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana
suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli.
Proses Bernoulli harus memenuhi persyaratan berikut:
1. Percobaan terdiri atas n-usaha yang berulang
2. Tiap-tiap usaha memberikan hasil yang dapat dikelompokan menjadi 2-kategori, sukses
atau gagal
3. Peluang kesuksesan dinyatakan dengan p, tidak berubah dari satu usaha ke usaha
berikutnya.
4. Tiap usaha bebas dengan usaha lainnya.
Rumus Distribusi Binomial
b ( x ;n ; p )=(nx) px qn− x x=1,2 ,…,n; (2-1)
Sumber: Hasan (2004 : 57)
Gambar 2.1 Distribusi BinomialSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
2.2.2 Distribusi Hipergeometrik
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 43
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
Distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek
yang dipilih tanpa pengembalian. Distribusi Hipergeometrik memiliki karakteristik sebagai
berikut:
1. Sebuah sampel random berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N item (populasi)
2. k dari N item dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan N – k diklasifikasikan sebagai gagal
Rumus Hipergeometrik:
h ( x ; N ;n ;k )=(kx )(N−k
n−x )(Nn )
(2-2)
Sumber: Murwani (2007 : 63)
Gambar 2.2 Distribusi HipergeometrikSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
2.2.3 Distribusi Geometrik
Berkaitan dengan percobaan Bernoulli, dimana terdapat n percobaan independen yang
memberikan hasil dalam dua kelompok (sukses dan gagal), variabel random geometric
mengukur jumlah percobaan sampai diperoleh sukses yang pertama kali. Fungsi distribusi
probabilitas geometrik:
P ( x )=pqx−1 (2-3)Sumber: Murwani (2007 : 71)
Dimana x = 1,2,3,..p dan q adalah parameter (probabilitas sukses dan gagal ). Rata- rata dan
variansi distribusi probabilitas geometric adalah :
μ= 1p
(2-4)
Sumber: Murwani (2007 : 71)
σ 2= q
p2 (2-5)
Sumber: Murwani (2007 : 71)
Gambar 2.3 Distribusi GeometrikSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
2.2.4 Distribusi Pascal ( Binomial Negatif)
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 44
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
Suatu distribusi binomial negatif dibentuk oleh suatu eksperimen yang memenuhi kondisi-
kondisi berikut:
a. Eksperimen terdiri dari serangkaian percobaan yang saling bebas
b. Setiap percobaan (trial) hanya dapat menghasilkan satu dari dua keluaran yang mungkin,
sukses atau gagal
c. Probabilitas sukses p, dan demikian pula probabilitas gagal q = 1 - p selalu konstan dalam
setiap percobaan (trial)
d. Eksperimen terus berlanjut (percobaan terus dilakukan) sampai sejumlah total k sukses
diperoleh, dimana k berupa bilangan bulat tertentu
e. Jadi pada suatu eksperimen binomial negatif, jumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah
percobaannya yang acak.
Distribusi Binomial Negatif, bila percobaan bebas berulang dapat menghasilkan sebuah
sukses dengan probabilitas p dan gagal dengan probabilitas q = 1 – p, maka distribusi
probabilitas dari variabel acak X, jumlah percobaan dimana sukses ke-k terjadi diberikan oleh:
b¿ ( x ;k , p )=(x−1k−1) pkqx−k , x=k , k+1 , k+2 ,…. (2-6)
Sumber: Murwani (2007 : 74)
Gambar 2.4 Distribusi PascalSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
2.2.5 Distribusi Multinomial
Distribusi probabilitas multinomial digunakan untuk penentuan probabilitas hasil yang
dikategorikan ke dalam lebih dari dua kelompok.
Fungsi distribusi probabilitas multinomial adalah sebagai berikut
P (x1 , x2,…, xk )= n !x1! x2!…xk !
p1x1 p2
x2… pkx k (2-7)
Sumber: Murwani (2007: 80)
Gambar 2.5 Distribusi MultinomialSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
2.2.6 Distribusi Poisson
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 45
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
Distribusi probabilitas Poisson bermanfaat dalam penentuan probabilitas dari sejumlah
kemunculan pada rentang waktu atau luas/volume tertentu.
Variabel random Poisson menghitung kemunculan pada interval waktu yang kontinyu.
P ( x )=α xe−α
x ! untuk x=1,2,3 ,…. (2-8)
Sumber: Murwani (2007 : 82)
Dimana :
= rata- rata distribusi (yang juga merupakan variansi) α à n.p
e = bilangan logaritmik natural ( e = 2.71828 )
Atau p ( x ; λt )= e− λt(λt )x
x !(2-9)
Sumber: Murwani (2007 : 82)
Gambar 2.6 Distribusi PoissonSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
Tabel 2.1 Macam-macam Distribusi Probabilitas DiskritNo. Jenis Distribusi Pengertian Contoh Kasus
1. Distribusi Binomial
suatu distribusi probabilitas yang dapat digunakan bilamana suatu proses sampling dapat diasumsikan sesuai dengan proses Bernoulli
Menentukan probabilitas bahwa terdapat 2 dari 4 kompenen yang ditest akan bertahan. Apabila probabilitas suatu alat tertentu akan tetap bertahan (tidak rusak) bila digetarkan adalah ¾.
2.Distribusi Hipergeometrik
distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek yang dipilih tanpa pengembalian
Mencari berapa peluang diperoleh 3 kartu hati, jika dari seperangkat kartu bridge diambil 5 kartu secara acak tanpa pemulihan.
3.Distribusi Geometrik
mengukur jumlah percobaan sampai diperoleh sukses yang pertama kali
Menghitung berapa probabilitas bahwa item ke 5 yang diawasi adalah yang pertama rusak. Jika pada suatu proses pembuatan alat tertentu diketahui bahwa setiap 100 item ada 1 yang rusak.
4. Distribusi Pascaljumlah suksesnya tertentu sedangkan jumlah percobaannya yang acak
Menentukan probabilitas bahwa kabel dapat bertahan pada saat dibebani V - 5dengan beban berlebih paling tidak 5 kali sebelum kabel tersebut diganti. Anggap suatu kabel terdiri dari beberapa kawat yang terususn secara independent. Kadang-kadang kabel tersebut dibebani dengan beban berlebih; pada saat itu probabilitas bahwa ada 1 kawat yang putus adalah 0.05. Asumsikan bahwa kegagalan 2 atau lebih kawat tidak sama. Kabel harus diganti bila 3 kawat sudah putus.
5. Distribusi Multinomial
digunakan untuk penentuan probabilitas hasil yang dikategorikan
Menghitung berapakah peluang mendapatkan jumlah 7 atau11 muncul duaan kali, sepasang bilangan yang sama
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 46
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
ke dalam lebih dari dua kelompok
satu kali, dan kombinasi lainnya 3 kali, apabila dua dadu dilantunkan 6 kali.
6. Distribusi Poisson
bermanfaat dalam penentuan probabilitas dari sejumlah kemunculan pada rentang waktu atau luas/volume tertentu
Mencari probabilitas bahwa tidak ada badai hujan tahun depan, dengan berdasarkan data, badai hujan di suatu kota selama 20 tahun, menunjukkan bahwa rata-rata terdapat 4 kali badai hujan per tahun. Asumsikan kejadian badai hujan adalah proses Poisson.
2.3 Distribusi Kontinyu
Distribusi kontinyu merupakan salah satu macam distribusi probabilitas, yaitu model
matematik yang menghubungkan nilai variabel dengan probabilitas terjadinya nilai itu. Pada
distribusi peluang kontinyu, peubah acak kontinu mempunyai peluang nol pada semua titik x.
Karena itu tidak dapat disajikan dalam bentuk tabel, tetapi dengan sebuah rumus. Distribusi
probabilitas kontinyu terdiri atas beberapa macam yang akan dibahas pada sub bab dibawah ini.
2.3.1 Distribusi Normal/Gauss
Gambar 2.7 Kurva distribusi normal/gaussSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
Karakteristik Distribusi Normal
1. Kurva berbentuk genta (m= Md= Mo)
2. Kurva berbentuk simetris
3. Kurva normal berbentuk asimptotis
4. Kurva mencapai puncak pada saat X= m
5. Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri.
Fungsi dari Distribusi Normal adalah
N (X ; μ ,σ )= 1
√2π σ2e
−12 [ x−μ
σ ]2
(2-10)
Sumber: Hasan (2004 : 72)
2.3.2 Distribusi Uniform
Distribusi probabilitas yg paling sederhana adalah jikalau tiap nilai variabel random
memiliki probabilitas yg sama untuk terpilih.
a. Distribusi Uniform Diskrit
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 47
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
Jika variabel random X bisa memiliki nilai x1,x2, …, xk dan masing-masing bisa muncul
dengan probabilitas yg sama maka distribusi probabilitasnya diberikan oleh :
f(x;k)=1/k untuk x= x1,x2, …, xk (2-11)Sumber: Murwani (2007 : 94)
Notasi f(x;k) menyatakan nilai fungsi f tergantung pada k!
b. Distribusi Uniform Kontinyu
Jika variabel random X memiliki nilai (kontinyu) dengan kemungkinan kemunculan yang
sama maka dikatakan bahwa variabel random (kontinyu) x mengikuti distribusi uniform
dengan fungsi densitas probabilitas:
Gambar 2.8 Distribusi UniformSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
2.3.3 Distribusi Gamma
Distribusi Gamma adalah distribusi fungsi padat yang terkenal luas dalam bidang
matematika. Fungsi gamma didefinisikan oleh:
f ( x )= ❑(r )
(x )r I 1 e−x ; x≥0 (2-12)
Sumber: Murwani (2007 : 97)
Dimana:
f(x) = 0 ; untuk x yang lain.
r dan λ adalah parameter yang berupa bilangan riil dengan r > 0 dan λ > 0.
r biasanya disebut dengan parameter bentuk λ disebut parameter skala.
Fungsi Densitas Kumulatif:
f ( k )=p (0≤x ≤k )=0; k<0 (2-13)Sumber: Murwani (2007)
f ( k )=p (0≤x ≤k )=1−∑i=0
r−1 e−x (k )i
i !;k ≥0 (2-14)
Sumber: Murwani (2007)
Nilai probabilitas kumulatif dari Distribusi Gamma ini bisa dihitung dengan menggunakan
bantuan tabel Tabel Kumulatif Poisson dengan rata rata λk.
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 48
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
Gambar 2.9 Distribusi GammaSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
2.3.4 Distribusi Beta
Distribusi Beta merupakan distribusi yang memiliki batas atas dan batas bawah. Fungsi beta
didefinisikan dengan integral :
B (α , β )=∫−∞
∞
xα−1(1−X )β−1dx (2-15)
Sumber: Murwani (2007 : 107)
Gambar 2.10 Distribusi BetaSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
2.3.5 Distribusi Eksponensial
Pada saat a = 1, distribusi gamma mengambil suatu bentuk khusus yang dikenal sebagai
distribusi eksponensial. Distribusi eksponensial digunakan dalam teori keandalan dan waktu
tunggu atau teori antrian. Variabel random kontinu X memiliki sebuah distribusi eksponensial,
dengan parameter b, jika fungsi densitas (pdf)-nya diberikan oleh:
f ( x )={ 1
βαe
−xβ ,untuk x>0
0 lainya ya
(2-16)
di mana b > 0Sumber: Murwani (2007 : 101)
Gambar 2.11 Distribusi EksponensialSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
2.3.6 Distribusi Weilbull
Distribusi Weibull ini diperkenalkan oleh ahli fisikawan swedia Waloddi Weibull pada
tahun 1939. Distribusi Weibull sering digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dari
banyak sistem fisik. Parameter dalam distribusi memungkinkan fleksibilitas untuk memodelkan
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 49
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
sistem dengan jumlah kegagalan bertambah terhadap waktu, berkurang terhadap waktu, atau
tetap konstan terhadap waktu. Perubah acak kontinyu X terdistribusi Weibull dengan
parameter α dan β , jika fungsi padatnya berbentuk:
f ( x )={αβ x β−1 e−αxβ ;∧x>00 ;∧x yang lain
(2-17)
Dengan α > 0 dan β > 0Sumber: Murwani (2007 : 112)
Jika = 1 maka distribusi weibull menjadi distribusi eksponensial.β
Jika > 1 maka kurvanya mirip lonceng dan menyerupai kurva normal tetapi agak mencong.β
Gambar 2.12 Distribusi WeibullSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
2.3.7 Distribusi Lognormal
Variabel acak kontinyu X memiliki distribusi lognormal bila variabel acak Y = ln (X)
memiliki suatu distribusi normal dengan mean μ dan standar deviasi σ . Fungsi kerapatan X
yang terjadi adalah:
f ( x )={ 1√2πσx
e−[ln ( x )−μ]2
2σ2
;∧x≥0
0;∧x<0
(2-18)
Sumber: Murwani (2007 : 101)
Mean dan variansi dari distribusi lognormal masing-masing diberikan oleh
E (X )=eμ+σ2
dan Var (X )=e2μ+σ 2
(eσ2
−1) (2-19)Sumber: KetutBuda.2009.http://probabilitydistributioninrelia.com
Gambar 2.13 Distribusi LognormalSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
2.3.8 Distribusi Student (T)
Fungsi Densitas dari Distribusi t (Student) dinyatakan sebagai berikut:
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 50
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
f ( x )= K¿¿
(2-20)
Sumber: Murwani (2007 : 122)
Dimana:
v = (n – 1) : derajat bebas.
K = konstanta yang besarnya tergantung dari v.
Fungsi Densitas Kumulatif dapat dilihat di tabel distribusi t.
Gambar 2.14 Distribusi Student (t)Sumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
2.3.9 Distribusi F
Distribusi F juga dikenal dengan sebutan distribusi F Snedecor atau distribusi Fisher-
Snedecor (setelah R.A. Fisher dan George W. Snedecor). Distribusi F seringkali digunakan dalam
pengujian statistika, antara lain analisis varians dan analisis regresi.
Fungsi Densitas dari Distribusi F dinyatakan sebagai berikut:
f ( x )=
1
x2(v1−2)
(1+v1
v2
x)v1+v2
(2-21)
Sumber: Murwani (2007 : 132)
Dimana:
f(x) = 0 ; untuk x yang lain.
v1 = derajad bebas sampel 1 = n1 – 1
v2 = derajad bebas sampel 2 = n1 – 2
K = konstanta yang besanya tergantung v1 dan v2
Fungsi Densitas Komulatif dapat dilihat di tabel distribusi F.
Gambar 2.15 Distribusi FSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
2.3.10 Distribusi Chi Kuadrat (x2)
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 51
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
Distribusi chi kuadrat banyak digunakan untuk pengujian statistik, seperti analisa variansi.
Distribusi chi kuadrat adalah sebuah kasus distribusi gamma dengan α= v2
dan β=2 dengan v
adalah derajat kebebasan. Variabel acak kontinyu X memiliki distribusi chi-Kuadrat, dengan
derajat kebebasan v, jika fungsi kerapatannya diberikan oleh:
f ( x )={ 1
2σ Γ ( υ2 )x
υ2−1
e−x
2
;∧x>0
0 ;∧lainnya
(2-22)
Sumber: Murwani (2007 : 126)
dimanaυ>0 . Mean dan variansi dari distribusi Chi-Kuadrat masing-masing diberikan oleh
μ=υ dan σ2=2υ .
Gambar 2.16 Distribusi Chi-SquareSumber: Edi. 2008. Distribusi Diskrit dan Kontinyu.ppt
Tabel 2.2 Macam-macam Distribusi KontinyuNo. Jenis Distribusi Pengertian Contoh Kasus
1.Distribusi Normal/Gauss
Salah satu distribusi teoritis dari variabel random kontinu.
Menghitung peluang kita mendapatkan seorang yang kadar kolesterolnya dari penelitian terhadap 150 orang laki-laki yang berumur 40–60 tahun didapatkan rata-rata kadar kolesterol (μ) mereka 215 mg % dan simpangan baku σ = 45 mg %.
2. Distribusi Uniform
Distribusi probabilitas yg paling sederhana adalah jikalau tiap nilai variabel random memiliki probabilitas yg sama untuk terpilih.
Sebuah ruang rapat di suatu perusahaan hanya bisa dipakai tak lebih dari 4 jam. Pemakaian ruang tersebut untuk rapat singkat maupun panjang sama seringnya. Bisa diasumsikan bahwa jika X menyatakan lamanya sebuah rapat di ruang tersebut, maka distribusinya uniform.
3. Distribusi GammaDistribusi fungsi padat yang terkenal luas dalam bidang matematika.
Menghitung probabilitas sebuah bantalan peluru dapat digunakan selama 60 ribu sampai 120 ribu jam dengan pembenan dinamik pada putaran kerja tersebut, apabila variabel acak kontinu X yang menyatakan ketahanan suatu bantalan peluru (dalam ribuan jam) yang diberi pembebanan dinamik pada suatu putaran kerja tertentu mengikuti suatu distribusi gamma dengan a = 8 dan b = 15.
4. Distribusi BetaMerupakan distribusi yang memiliki batas atas dan batas bawah
Menghitung persentase televisi merk tertentu yang terjual membutuhkan perbaikan dalam dua tahun pemakaiannya.
5. Distribusi Pada saat a = 1, distribusi Bila seseorang tiba-tiba mendahului anda di
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 52
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
Eksponensial
gamma mengambil suatu bentuk khusus yang dikenal sebagai distribusi eksponensial.
suatu telepon umum, carilah peluangnya bahwa anda harus menunggu:
6. Distribusi Weilbull
Digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan dari banyak sistem fisik.
Menghitung data durasi seperti data interval kelahiran dan lamanya waktu hingga terjadinya kematian biasanya berkaitan dengan kelangsungan hidup (survival) suatu objek yang sedang diamati agar kesimpulan berdasarkan asumsi akan lebih tepat.
7.Distribusi Lognormal
Variabel acak kontinyu X memiliki distribusi lognormal bila variabel acak Y = ln (X) memiliki suatu distribusi normal
Representasi dari variabel acak yang logaritmanya mengikuti distribusi normal. Model untuk waktu untuk melaksanakan tugas manual seperti merakit, inspeksi, atau
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 53
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
Tabel 2.2 Macam-macam Distribusi Kontinyu (Lanjutan)No. Jenis Distribusi Pengertian Contoh Kasus
dengan mean μ dan standar deviasi σ .
perbaikan. Jika data berdistribusi lognormal, mean geometris deskriptor yang lebih baik dari mean. Semakin data dekat dengan distribusi lognormal, semakin dekat mean geometris ke median, karena mengekspresikan dengan log menghasilkan distribusi yang simetris.
8.Distribusi Student (T)
Fungsi Densitas dari Distribusi t (Student) dinyatakan sebagai berikut:
f ( x )= K¿¿
Menghitung nilai t agar probabilitas di αsebelah kanan = 0,05, apabila variabel αrandom T diketahui berdistribusi t dengan derajat kebebasan v = 10.
9. Distribusi F
Distribusi F seringkali digunakan dalam pengujian statistika, antara lain analisis varians dan analisis regresi.
Menghitung seberapa jauh pengaruh satu variabel bebas secara individual dalam menerangkan variasi variabel terikat yang bertujuan untuk menguji koefisien regresi secara individual.
10.Distribusi Chi Kuadrat (x2)
Sebuah kasus distribusi
gamma dengan α= v2
dan
β=2 dengan v adalah derajat kebebasan.
Mengitung nilai χ2α agar probabilitas di
sebelah kanan α = 0,05, apabila variabel random x2 diketahui berdistribusikhi kuadrat dengan derajat kebebasan v = ‐10.
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 54
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
BAB IIIMETODOLOGI PRAKTIKUM
3.1 Diagram Alir Praktikum3.1.1 Diagram Alir Praktikum Distribusi Hipergeometrik
Gambar 3.1 Diagram alir praktikum distribusi hipergeometrik
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 55
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
3.1.2 Diagram Alir Praktikum Distribusi Eksponensial
Gambar 3.2 Diagram alir praktikum distribusi eksponensial
3.2 Alat dan Bahan Praktikum
Alat dan bahan praktikum yang digunakan kali ini dibedakan menjadi 2, yaitu alat dan
bahan pada saat praktikum distribusi hipergeometrik dan distribusi eksponensial.
3.2.1 Distribusi Hipergeometrik
Alat dan bahan yang digunakan dalam praktikum distribusi hipergeometrik ini adalah :
1. 30 bola, 20 bola orange dan 10 bola kuning
2. Keranjang
3. Kain penutup keranjang
4. Bolpoin
5. Tabel pengamatan
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 56
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
3.2.2 Distribusi Eksponensial
Alat dan bahan yang digunakan dalam praktikum distribusi poison ini adalah :
1. 30 bola warna merah, kuning, biru, hijau dan ungu dengan proporsi yang sama
2. Keranjang
3. Kain penutup keranjang
4. Stopwatch
5. Bolpoin
6. Tabel pengamatan
3.3 Prosedur Praktikum
Pada praktikum kali ini, prosedur praktikum juga dibedakan menjadi 2 yaitu prosedur
praktikum distribusi poison dan distribusi eksponensial
3.3.1 Distribusi Hipergeometrik
Adapun prosedur praktikum distribusi hipergeometrik adalah :
1. Persiapkan alat dan bahan.
2. Ada 30 bola plastik, 20 bola orange dan 10 bola kuning. Ambil 4 bola dalam keranjang tanpa
pengembalian dengan 10 kali pengambilan
3. Pernyataan BENAR apabila bola “kuning” yang terambil.
4. Catat hasilnya dalam tabel pengamatan.
5. Analisis dan interpretasi data.
6. Kesimpulan dan saran.
7. Menyusun laporan
8. Selesai.
3.3.2 Distribusi Eksponensial
Adapun prosedur praktikum distribusi eksponensial adalah :
1. Persiapkan alat dan bahan.
2. Terdapat 30 bola plastik, diantaranya 6 bola warna merah,6 bola warna kuning,6 bola
warna biru,6 bola warna hijau dan 6 bola warna ungu.
3. Catat waktu yang dibutuhkan dalam 1 replikasi terambil bola warna ungu.
4. Lakukan sebanyak 35 replikasi
5. Analisis dan interpretasi data.
6. Kesimpulan dan saran.
7. Menyusun laporan
8. Selesai.
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 57
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
BAB IVHASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Pengumpulan Data
4.1.1 Distribusi Hipergeometrik
Pada praktikum kali ini , praktikan melakukan pengumpulan data primer untuk distribusi
hipergeometrik dari jumlah bola kuning yang terambil dengan pengambilan 4 bola sekaligus
setiap replikasinyadan replikasnya sebanyak 10 kali pada saat praktikum. Berikut merupakan
hasil dari pengumpulan data yang diperoleh :
Tabel 4.1 Pengamatan Distribusi HipergeometrikReplikasi 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10TALLY (x) || |||| || || || || ||| || ||| ||
Dimana x = Jumlah bola kuning yang terampil (|)
4.1.2 Distribusi Eksponensial
Pada praktikum kali ini, praktikan melakukan pengumpulan data primer untuk distribusi
eksponensial dari pengambilan bola ungu sebanyak 35 kali dimana dalam pengambilannya
waktu yang dibutuhkan dalam pengambilan hingga diperoleh boleh ungu dicatat pada saat
praktikum. Berikut merupakan hasil dari pengumpulan data yang diperoleh :
Tabel 4.2 Pengamatan Distribusi EksponensialX( bola ungu) t t X (bola
ungu) t t
1 1,17 19 106,74 3.12 9,9 8.73 20 109,81 2.423 29,57 19.67 21 111,22 3.074 32,87 3.3 22 115,05 1.415 40,56 7.69 23 116,78 3.836 52,77 12.21 24 118,79 1.737 59,9 7.13 25 120,96 2.018 61,84 1.94 26 131,78 2.179 63,48 1.64 27 133,98 10.8210 65,71 2.23 28 138,81 2.211 67,17 1.46 29 140,84 4.8312 68,99 1.82 30 143,9 2.0313 76,8 7.81 31 148,88 3.0614 82,11 5.31 32 151,61 4.9815 83,74 1.63 33 157,33 2.7316 85,88 2.14 34 159,15 5.7217 101,22 15.34 35 163,8 1.8218 104,32 1.17
4.2 Pengolahan Data
4.2.1 Distribusi Hipergeometrik
Data distribusi hipergeometrik yang diambil pada praktikum ini berupa pengambilan 4 bola
sekaligus dan kejadian yang dianggap sukses bila bola kuning yang terambil. Pengambilannya
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 58
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
diulang sebanyak sepuluh kali dan hasil pengambilan data terdapat pada tabel 4.1. Selanjutnya
data yang sudah diambil akan diolah dengan analisa SPSS dan manual.
4.2.1.1 Pengoahan SPSS
Langkah-langkah untuk pengujian hasil probabilitas dari 4 bola yang terambil adalah
sebagai berikut:
Berikut ini merupakan pengolahan data dengan menggunakan SPSS :1. Mengaktifkan Variabel View
2. Mengisikan x dan PDF pada kolom Name
3. Mengisi kolom Decimal dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada PDF
4. Mengisikan kedua kolom Measure dengan Scale
5. Aktifkan Data View
6. Isikan nilai x = 0, 1, 2, 3, 4 dengan formulasi Pdf.hyper (x, N, n, k)
7. Pada Menu Bar klik Transform >> Compute Variable
Gambar 4.1 Langkah-langkah Pengujian Distribusi Hipergeometrik8. Klik OK
9. Hasilnya adalah sebagai berikut :
10. Berikut rekapan hasil dari peluang 0 bola kuning terambil sampai 4 bola kuning
terambil:
Tabel 4.3 Rekapan Hasil HipergeometrikX PDF(x,N,n,k) Hasil0 Pdf.hyper (0,30,4,10) 0.17679
1 Pdf.hyper (1,30,4,10) 0.41598
2 Pdf.hyper (2,30,4,10) 0.31199
3 Pdf.hyper (3,30,4,10) 0.08758
4 Pdf.hyper (4,30,4,10) 0.00766
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 59
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
4.2.1.2 Pengolahan Manual
Tabel 4.4 Perhitungan Peluang Empiris dan TeoritisX tally Fi fk empiris teoritis0 0 0 0 0 0.1767931 0 0 0 0 0.4159822 ||||||| 7 7 0.7 0.3119873 || 2 9 0.2 0.0875754 | 1 10 0.1 0.007663
Jumlah 10 10 1 1
Berikut ini adalah contoh perhitungan manual:
1. Contoh perhitungan manual frekuensi empiris :
X = 2 ; fi
total fk = 7
10 = 0,7
2. Contoh perhitungan manual frekuensi teoritis :
x = 0 : f x(0;30,10,0) =(10) (30−010−0) / (30
10) = 0,176793
4.2.1.3 Grafik Perbandingan Data Empiris dan Data Teoritis
Berikut ini adalah grafik perbandingan data empiris dengan data teoritis pada distribusi
hipergeometrik:
1 2 3 4 50
0.10.20.30.40.50.60.70.8
Grafik Perbandingan Data Empiris dan Data Teoritis
empiristeoritis
Nilai X
Prob
abili
tas
Gambar 4.2 Grafik perbandingan data empiris dan data teoritis
Berdasarkan grafik diatas maka dapat dilihat bahwa pada perhitungan empiris dan teoritis
distribusi hipergeometri terdapat perbedaan yang signifikan antara data empiris dan teoritis.
Perbedaan yang signifikan ini dikarenakan sampel yang digunakan adalah tidak mewakili
populasi. Jika sampel ditambah, dan dapat mewakili populasi, maka tidak akan ada perbedaan
yang signifikan antara data empiris dengan data teoritis. Dan hasil pada data empiris dan teoritis
akan sama.
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 60
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
Sedangkan pada pengolahan data menggunakan SPSS, hasilnya sama dengan pengolahan
data teoritis. Hal ini dikarenakan pengolahan data dengan SPSS sudah akurat dan sampel yuang
ada sudah mewakili populasi.
4.2.2 Distribusi Eksponensial
Data distribusi eksponensial yang diambil pada praktikum ini berupa pengambilan bola
ungu sebanyak 35 kali sekaligus dimana dalam pengambilannya waktu yang dibutuhkan dalam
pengambilan hingga diperoleh boleh ungu dicatat pada saat praktikumhasil pengambilan data
terdapat pada tabel 4.2. Selanjutnya data yang sudah diambil akan diolah dengan analisa SPSS
dan manual.
4.2.2.1 Pengolahan SPSS
Langkah-langkah untuk pengujian hasil probabilitas 4 bola yang diambil, diantaranya
rentang waktu yang dibutuhkan adalah antara 8.31 detik sampai 10.7 detik, sebagai berikut:
Berikut ini merupakan pengolahan data dengan menggunakan SPSS :1. Mengaktifkan Variabel View
2. Mengisikan x dan CDF pada kolom Name
3. Mengisi kolom Decimal dengan 0 (nol) pada x dan 5 (lima) pada CDF
4. Mengisikan kedua kolom Measure dengan Scale
5. Aktifkan Data View
6. Isikan nilai x = dengan formulasi Cdf.exp (λ,batas kelas)
7. Pada Menu Bar klik Transform >> Compute Variable
8. Klik OK
9. Hitung dengan cara yang sama untuk nilai x lain secara satu persatu, karena SPSS tidak
dapat mengolah nilai probabilitas secara keseluruhan, berikut rekapan hasil dari kelas
dengan interval 1.41-4.42 sampai 19.53-22.54 :
Tabel 4.5 Rekapan Hasil Perhitungan CDF Interval Lamda ( ) CDF Hasil1.41-4.42 0,172217 CDF.EXP(4.42,0.172217) - CDF.EXP(1.41,0.172217) 0.317304.43-7.44 0,172217 CDF.EXP(7.44,0.172217) - CDF.EXP(4.43,0.172217) 0.18862
7.45-10.46 0,172217 CDF.EXP(10.46,0.172217) - CDF.EXP(7.45,0.172217) 0.1121310.47-13.48 0,172217 CDF.EXP(13.48,0.172217) - CDF.EXP(10.47,0.172217) 0.0666613.49-16.5 0,172217 CDF.EXP(16.5,0.172217) - CDF.EXP(13.49,0.172217) 0.03963
16.51-19.52 0,172217 CDF.EXP(19.52,0.172217) - CDF.EXP(16.51,0.172217) 0.0235619.53-22.54 0,172217 CDF.EXP(22.54,0.172217) - CDF.EXP(19.53,0.172217) 0.01400
4.2.2.2 Pengolahan Manual
Berikut ini adalah hasil pengolahan manual dalam distribusi eksponensial:
1. Range
Range = data terbesar – data terkecil = 19,67– 1,41= 18,26
2. Banyaknya kelas (k)
Banyak data (n) = 34
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 61
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
Jumlah kelas (k) = 1 + 3,322 Log n
= 1 + 3,322 Log 34
= 1 + 5,087 = 6,087 ≈ 7 kelas
3. Panjang interval kelas
Panjang interval kelas = Range
k=18,26
6,087=¿3,02
4. Distribusi Frekuensi
Tabel 4.6 Data Distribusi Eksponensial
Interval fi xi Fixiempiri
steoriti
s1.41-4.42 21 2,685 56,385 0,618 0,3174.43-7.44 6 5,74 34,44 0,176 0,189
7.45-10.46 3 8,765 26,295 0,088 0,11210.47-13.48 2 11,805 23,61 0,059 0,067
13.49-16.5 1 14,845 14,845 0,029 0,04016.51-19.52 0 17,885 0 0 0,02419.53-22.54 1 41,85 41,85 0,029 0,014
Jumlah 34103,57
5197,42
5 1Berikut ini adalah cara perhitungan teoritis dengan menggunakan Microsoft Excel.
Gambar 4.3 Cara perhitungan teoritis menggunakan Microsoft Excel
Contoh perhitungannya:
x=∑ f i x i
∑ f i =
197,42534
=¿5,8066176
λ= 1x= 1
5,8066176=¿0,172217
Cara menghitung data empiris:Fi . Xi
∑ fi . xi
Untuk kelas = 1; 56,385
197,425=0,618
Tabel 4.7 Perhitungan Teoritis Distribusi EksponensialNo Probabilitas No Probabilitas1 P = (1 – e - kλ
2) – (1 – e - kλ1)
P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 4,42) – (1 – 2.71828 -
0,172217x1.41)
5 P = (1 – e - kλ2) – (1 – e - kλ
1)P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 16,5) – (1 – 2.71828 -
0,172217 x 13,49)
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 62
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
P = 0,532894-0,215592=0,317302 P = 0,941667 - 0,902041= 0,039625
2
P = (1 – e - kλ2) – (1 – e - kλ
1)P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 7,44) – (1 – 2.71828 -
0,172217 x 4,43)P = 0,722323 - 0,533698= 0,188625
6
P = (1 – e - kλ2) – (1 – e - kλ
1)P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 19,52) – (1 – 2.71828 -
0,172217 x 16,51)P = 0,941767 - 0,965323= 0,023556
3
P = (1 – e - kλ2) – (1 – e - kλ
1)P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 10,46) – (1 – 2.71828 -
0,172217 x 7,45)P = 0,834931 - 0,722801= 0,11213
7
P = (1 – e - kλ2) – (1 – e - kλ
1)P = (1 – 2.71828 0,172217 x 22,54) – (1 – 2.71828
0,172217 x 19,53)P = 0,979368 - 0,965383= 0,014003
4
P = (1 – e - kλ2) – (1 – e - kλ
1)P = (1 – 2.71828 -0,172217 x 13,48) – (1 – 2.71828 -
0,172217 x 10,47)P = 0,901872 - 0,835215= 0,066657
Gambar 4.4 Rekapan hasil perhitungan pada SPSS
4.2.2.3 Grafik Perbandingan Data Empiris dan Data Teoritis
1.41-4.42 4.43-7.44 7.45-10.46 10.47-13.48 13.49-16.5 16.51-19.52 19.53-22.540.0000.1000.2000.3000.4000.5000.6000.700
Grafik Perbandingan Hasil Perhitungan Empiris dan Teoritis
EmpirisTeoritis
Interval
Has
il Pe
rhitu
ngan
Gambar 4.5 Grafik perbandingan hasil perhitungan empiris dan teoritis
Pada grafik diatas terlihat antara perhitungan empiris dan teoritis hasil pengolahan data
hasilnya hampir sama. namun pada interval pertama ada sedikit perbedaan pada hasil
perhitungan empiris dan teoritis. hal ini dikarenakan sampel yang digunakan sudah mewakili
populasi maka tidak ada perbedaan yang signifikan antara data empiris dengan data teoritis.
Sedangkan pada pengolahan data menggunakan SPSS, hasilnya sama dengan pengolahan
data teoritis. Hal ini dikarenakan pengolahan data dengan SPSS sudah akurat dan sampel yang
ada sudah mewakili populasi.
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 63
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 64
DISTRIBUSI PROBABILITAS MODUL III
BAB VPENUTUP
5.1 Kesimpulan
Kesimpulan yang dapat kita peroleh dari praktikum modul 3 ini adalah sebagai berikut:
1. Distribusi Hipergeometrik adalah banyaknya sukses dalam sampel random berukuran n
yang diambil dari populasi N (di mana di dalam N terkandung k sukses dan N- k gagal).
Dalam pengolahan data distribusi hipergeometrik pada perhitungan empiris dan teoritis
terdapat perbedaan yang signifikan antara data empiris dan teoritis. Perbedaan yang
signifikan ini dikarenakan sampel yang digunakan adalah tidak mewakili populasi. Jika
sampel ditambah, dan dapat mewakili populasi, maka tidak akan ada perbedaan yang
signifikan antara data empiris dengan data teoritis. Dan hasil pada data empiris dan teoritis
akan sama. Sedangkan pada pengolahan data menggunakan SPSS, hasilnya sama dengan
pengolahan data teoritis. Hal ini dikarenakan pengolahan data dengan SPSS sudah akurat
dan sampel yuang ada sudah mewakili populasi. Peluang terambilnya 0 bola kuning
0.176793, peluang terambilnya 1 bola kuning 0.415982, peluang terambilnya 2 bola kuning
0.31199, peluang terambilnya 3 bola kuning 0.087575 dan peluang terambilnya 4 bola
kuning 0.007663.
2. Distribusi Eksponensial adalah salah satu kasus khusus dari distribusi gamma. Dalam teori
probabilitas dan statistik, distribusi eksponensial (distribusi eksponensial negatif alias)
adalah keluarga dari distribusi probabilitas kontinu. Ini menggambarkan waktu antara
peristiwa dalam proses Poisson, yaitu proses di mana peristiwa terjadi terus menerus dan
mandiri pada tingkat rata-rata konstan. Ini adalah analog kontinu dari distribusi geometrik.
Dalam pengolahan data distribusi eksponensial perhitungan empiris dan teoritis hasil
pengolahan data hasilnya hampir sama. namun pada interval pertama ada sedikit
perbedaan pada hasil perhitungan empiris dan teoritis, hal ini dikarenakan sampel yang
digunakan sudah mewakili populasi maka tidak ada perbedaan yang signifikan antara data
empiris dengan data teoritis. Sedangkan pada pengolahan data menggunakan SPSS, hasilnya
sama dengan pengolahan data teoritis. Hal ini dikarenakan pengolahan data dengan SPSS
sudah akurat dan sampel yang ada sudah mewakili populasi.
2.1 Saran
Saran yang dapat diberikan untuk praktikum modul 3 adalah:
1. Diharapkan lebih akurat dalam mencari data agar tidak terjadi kesalahan data.
2. Diharapkan praktikan lebih teliti dalam perhitungan empiris dan teoritis agar tidak terjadi
perbedaan data yang signifikan.
LABORATORIUM STATISTIK & REKAYASA KUALITAS 65