TAJUK 4 KAMIRAN
4.1 Sinopsis
Topik ini memberi pendedahan kepada pelajar tentang dua konsep kamiran iaitu kamiran
sebagai antiterbitan atau kamiran tak tentu dan kamiran sebagai hasil tambah
ketakterhinggaan yang dikenali sebagai kamiran tentu. Seterusnya pelajar akan dapat
memperlihatkan hubungan erat antara dua konsep tersebut dan beberapa teknik kamiran
yang biasa digunakan.
4.2 Hasil Pembelajaran
1. Menentukan kamiran tak tentu melalui antiterbitan.
2. Mengira kamiran tentu dengan menggunakan Teorem Asas Kalkulus.
3. Menentukan kamiran dengan pelbagai teknik
4.3 Kerangka Tajuk
KamiranKamiran
Aplikasi KamiranAplikasi KamiranKamiran tak tentu dan
Kamiran tentu
Kamiran tak tentu dan
Kamiran tentu
Konsep AntiterbitanKonsep Antiterbitan
4.4 Antiterbitan
Operasi untuk mencari suatu fungsi bila terbitannya diberi dinamakan antiterbitan. Ini
ditunjukkan dalam takrif berikut:
Proses pencarian bagi fungsi ini disebut antiterbitan.
Contoh:
1. Jelaskan,
2. Jika , tentukan antiterbitannya.
Penyelesaian :
1. Maka dan , iaitu adalah antiterbitan kepada
2. Diberi
Andaikata kita diberi suatu fungsi .
Sekiranya kita boleh dapatkan satu fungsi sehinggakan
=
Ringkasnya,
Latihan :
Tentukan fungsi antiterbitan bagi:
1. = 4x3 – 6x2 + 5x + 7
2. = + +
3. = − +
4.5 Kamiran Tak Tentu dan Kamiran Tentu
4.5.1 Kamiran Tak Tentu
Set kesemua antiterbitan fungsi disebut kamiran tak tentu. Kamiran tak tentu
disimbolkan denga notasi
Dan dibaca sebagai “kamiran (tak tentu) terhadap ”. Oleh itu sekiranya adalah
antiterbitan , maka kita peroleh takrif berikut:
Takrif kamiran tak tentu
bagi sebarang pemalar c, yang adalah antiterbitan
Jadual di bawah menunjukkan rumus kamiran fungsi piawai
Rumus fungsi piawai Rumus fungsi piawai dengan pemalar
Contoh:
Tentukan kamiran tak tentu bagi:
1.
2.
3.
4.
Penyelesaian:
, dimana
2.
3.
4.
Latihan :
Tentukan kamiran tak tentu berikut:
1. 7.
2. 8.
3. 9.
4. 10.
5. 11.
6. 12.
4.5.1.1 Hukum Asas Kamiran
Jika selanjar di dalam (a,b) dan adalah antiterbitan bagi fungsi dalam
(a,b), maka dengan menggunakan takrif antiterbitan kita perolehi hukum kamiran berikut:
1. adalah pemalar
2.
Hukum ini boleh dikembangkan untuk digunakan melebihi dua fungsi kamiran
Contoh :
Cari kamiran tak tentu bagi fungsi berikut:
1.
2.
3.
Penyelesaian :
1.
2.
3.
Latihan:
Cari kamiran tak tentu :
1. 7.
2. 8.
3. 9.
4. 10.
5. 11.
6.
4.5.1.2 Teknik Kamiran
Pengamiran suatu fungsi tidak semestinya boleh terus didapati daripada fungsi-fungsi
asas maka perlunya teknik-teknik berikut digunakan bagi menyelesaikan kamiran fungsi
tertentu.
(a) Kaedah Gantian
Kaedah ini menukarkan bentuk fungsi kepada bentuk piawai fungsi kamiran. Terdapat dua
jenis gantian yang boleh digunakan samada gantian ungkapan algebra atau gantian fungsi
trigonometri. Dengan menggantikan sebagai dan maka kita perolehi
Contoh:
Kamirkan fungsi berikut:
1.
2.
Penyelesaian:
1. Gantikan , maka
Gantikan ke dalam
2. Gantikan , maka iaitu
Seterusnya gantikan
Latihan :
Dengan menggunakan kaedah gantian, tentukan nilai kamiran berikut:
1. 5.
2. 6.
3. 7.
4. 8.
(b) Kaedah Berperingkat
Sekiranya dan adalah fungsi yang terbezakan, maka pembezaan hasil darab
mengikut rumus ialah:
Dengan mengkamirkan kedua-dua belah persamaan, kite perolehi
iaitu
Oleh itu, rumus kamiran berperingkat ialah:
Contoh:
Kamirkan:
1.
2.
Penyelesaian :
1. Ambil
Maka
Oleh itu ;
2. Gantikan,
Ulangi kaedah ini untuk kamiran di sebelah kanan
Oleh itu ;
Latihan :
Dengan menggunakan kaedah berperingkat, dapatkan nilai kamiran berikut:
1.
2.
3.
4.
(c) Kaedah Pecahan Separa
Berikutnya, lihat kamiran berbentuk
Yang mana dan adalah fungsi polinomial, dan darjah kurang dari
Syarat:
Sekiranya darjah melebihi atau sama dengan , maka perlulah dibahagi dengan . Ini
bergantung sama ada boleh diungkapkan sebagai hasil darab linear dan kuadratik.
Jenis polinomial dan pecahansepara
Kes 1:
Kes 2 :
Kes 3 :
Contoh :
1. Tentukan , yang dan dalam bentuk pecahan separa dan
kemudian tentukan antiterbitannya
Penyelesaian:
Darabkan kedua-dua belah persamaan dengan kita peroleh
Bila ,
Bila
Bila
Oleh itu,
2. Tentukan nilai
Penyelesaian :
Bila
Bila
Untuk mendapatkan nilai andaikan lalu kita peroleh
Oleh itu ;
Sebab bila
Dan bila
Latihan:
Dengan menggunakan kaedah pecahan separa, dapatkan nilai kamiran berikut:
1. 3.
2. 4.
4.5.2 Kamiran Tentu
Pertimbangkan fungsi selanjar dalam selang maka kamiran dalam selang ini
disebut
kamiran tentu dan notasi yang digunakan ialah , jika had ini wujud
Teorem 4.1 (Teorem Asas Kalkulus)
Jika selanjar pada selang dan adalah antiterbitan bagi dalam selang
tertutup , maka
Nilai dikatakan kamiran dan nilai adalah kamiran.
Sifat-sifat Kamiran Tentu
Jika dan adalah selanjar pada selang
1. jika
2. jika
3. jika suatu pemalar
4. bagi sebarang pemalar
5.
6. Jika boleh dikamirkan dalam selang tertutup yang mengandungi dan ,
, jika
7. Teorem Nilai Min : Jika fungsi selanjar pada selang , maka wujud suatu nombor
dalam supaya
Contoh ;
Nilaikan
a) b)
Penyelesaian :
a)
b)
4.6 Aplikasi Kamiran
4.6.1 Luas Rantau
Jika selanjar dalam selang [a,b] dan pertimbangkan rantau R di bawah garis lengkung
. Lukis satu garis menerusi rantau di sebarang titik , yang menyambungkan
sempadan-sempadan bahagian atas dan bawah rantau. Garis ini di panggil keratan
rentas. Garis ini di gerakkan ke kanan dan ke kiri (atau dari atas ke bawah) iaitu dari
kedudukan terendah ke kedudukan tertinggi nilai (atau nilai ).
i) Jika , (graf berada di atas paksi –x) maka luas graf y = f(x) dari
kepada , di dalam kawasan dibendung oleh paksi ialah
Pertimbangkan satu keratan rentas yang selari dengan paksi-y. Luas keratan rentas ini
ialah di mana berada dalam selang – .
Maka luas di bawah graf adalah hasil tambah keratan rentas iaitu
Luas =
Luas keratan
ii) Jika , (graf berada di bawah paksi – ), maka luas bagi graf y = f(x) dari
kepada , di dalam kawasan dibendung oleh paksi ialah
Luas keratan rentas ialah
Maka luas di bawah graf ialah
Luas =
Keratan rentas
iii) Luas yang dibendung di antara dua graf fungsi dan ,
bagi nilai kepada ialah
Luas keratan rentas ialah
Maka luas kawasan terbendung pada rajah di atas ialah
Type equation here.
Kaedah yang sama boleh digunakan untuk keratan rentas yang selari dengan
paksi – dan diperolehi
=
Keratan rentas
Keratan rentas
Luas keratan rentas . Maka luas bagi kawasan yang terbendung dalam rajah di
atas ialah
Contoh:
Dapatkan luas rantau yang disempadani oleh graf dan seperti
pada rajah berikut
Penyelesaian:
Luas =
2
Contoh:
Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh graf , paksi- dan garis – garis x
= 2 dan x = 4 seperti pada rajah berikut :
Penyelesaian:
Kita akan dapat jawapan yang silap jika luas itu kita hitung kerana kamiran
itu memberikan luas aljabar bukannya luas sebenar. Luas sebenar ialah
Sebab dalam selang sebenar [2,3] garis y = 0 adalah lebih besar dari lengkung
y = x ( x – 3 ) manakala yang sebaliknya berlaku dalam selang [3,4]. Oleh itu, luas
sebenar ialah
Latihan:
1.Dapatkan luas rantau yang dibatasi oleh setiap graf pada rajah di bawah.
)
)
) )
f
2. Cari luas yang dibatasi oleh lengkung dan paksi –x.
3. Cari luas yang dibatasi oleg lengkung dan paksi dan garis .
4. Cari luas yang dibatasi oleh lengkung yang diberikan :
4.6.2 Isipadu Bongkah
Bab ini akan membincangkan bagaimana mendapatkan isi padu bongkah kisaran
apabila satu rantau dalam koordinat kartesan dikisarkan. Selain itu kita juga ingin
mencari isipadu satu bongkah yang keratan rentasnya tidak sekata (bukan
berbentuk silinder}. Hirisan bongkah yang berserenjang dengan paksinya (samada
paksi-x atau paksi-y) menjadi n keping hirisan dan isipadu bongkah adalah hasil
tambah hirisan ini. Hasil tambah Riemann seterusnya digunakan untuk
mendapatkan penghampiran tepat kepada isipadu bongkah.
(A) Isipadu Bongkah Hirisan
Contoh 1:
Tapak satu bongkah adalah satu bulatan dengan jejari 4 unit. Keratan rentas bongkah
berserenjang dengan paksi x memberntuk segi tiga sama dengan ketinggian 2 unit. Cari
isi padu bongkah tersebut.
Penyelesaian:
Luas hirisan segi tiga sama ialah
Maka
Gunakan kaedah kamiran gentian trigonometri kita perolehi
Perhatian :
Keratan rentas berserenjang dengan paksi - x
Isi padu =
Jika diberikan keratan rentas dengan paksi – y adalah satu segi tiga maka gunakan
rumus yang kedua iaitu:
Luas keratan rentas dimana .
Isipadu bongkah ialah
Jawapan yang diperoleh adalah berbeza kerana isipadu bongkah hirisan yang diberikan
dalam rajah yang pertama adalah berbeza dengan isipadu bongkah hirisan yang diberikan
olah rajah yang kedua.
CONTOH 2
Satu bongkah mempunyai tapak berbentuk bulatan dengan jejari 4 unit. Cari isipadu
bonglah tersebut jika keratan rentas yang berserenjang dengan diameter bulatan
membentuk segi tiga sama dengan sisinya berada atas tapak bongah tersebut.
PENYELESAIAN:
Luas keratan rentas ialah
Maka isipadu bongkah ialah
LATIHAN
1. Tapak sebuah bongkah berbentuk separuh bulatan berjejari 4 unit. Keratan rentas
berseranjang dengan diameter adalah merupakan segi tiga tepat bertapak sama.
Cari isipadu bongkah ini.
2. Tapak sebuah bongkah dibatasi oleh lengkung dan . Jika keratan
rentas berserenjang dengan paksi y membentuk segi empat sama, cari isipadu
bongkah ini.
3. Tapak sebuah bongkah yang berbentuk bulatan . Setiap keratan
rentasnya berbentuk segi tiga sama. Cari isi padu bongkah ini.
(B) ISIPADU KISARAN
Katakan selanjar dalam selang [ a, b ] dan positif. Jika kawasan R dikisarkan di
sebarang garis maka satu bongkah akan terjana. Jika R dikisarkan pada paksi x (atau
garis yang selari dengan paksi x ), isipadu kisarannya boleh ditentukan dengan cara
berikut:
Pertimbangkan satu segi empat tepat dalam rantau yang diberikan. Jika ialah sebarang
nombor dalam subselang maka kita perolehi satu segi empat yang lebarnya ialah
dan panjangnya .
Apabila segi empat tepat ini dikisarkan pada paksi – x maka terbentuk satu cakera
membulat dengan jejari dan tebalnya . Hasil tambah semua isipadu cakera ini
adalah
Apabila maka
Isipadu
Garis di mana rantau dikisar dinamakan paksi kisaran.
(i) KAEDAH CAKERA
(a) Paksi –x sebagai paksi kisaran
Isipadu cakera
Isipadu =
CONTOH 3
Rantau yang dibatasi oleh , paksi x dan paksi y dikisarkan pada paksi x di
antara x =0 hingga x = 2. Dapatkan isipadu bongkah yang terhasil.
PENYELESAIAN:
jejari
CONTOH 4
Dapatkan isipadu pepejal yang terjana apabila dikisarkan pada
paksi –x.
PENYELESAIAN:
(b) Paksi –y sebagai paksi kisaran
Cara yang sama jika rantau R dikisar pada paksi-y maka satu pepejal akan diperolehi.
Isipadu
Isipadu cakera
jejari
Maka isipadu rantau yang dikisarkan pada paksi y adalah
Isipadu
CONTOH 5
Dapatkan isipadu pepejal yang diperolehi apabila rantau yang terbendung oleh lengkung
dikisarkan pada paksi-y.
PENYELESAIAN:
Isipadu
(ii) KAEDAH WASHER (CAKERA BERLUBANG)
Pertimbangkan dua fungsi dan selanjar dalam selang [a, b]. Jika rantau R yang
dibatasi oleh dan dan (seperti rajah di bawah) dikisar pada paksi x atau
garis selari dengan paksi x maka kita perolehi satu pepejal berbentuk cakera lubang.
R – jejari luar , r – jejari dalam
Isipadu cakera berlubang ini ialah .
Iaitu isipadu cakera besar yang ditolakkan dengan isipadu cakera yang kecil. Maka
isipadu pepejal kisaran adalah
CONTOH 6
Rantau di antara garis dan lengkung diputar pada garis . Dapatkan
isipadu pepejal yang terhasil.
PENYELESAIAN:
Isipadu keratan rentas
Maka
CONOTH 7
Cari isipadu bongkah jika kawasan yang dibendung oleh dan pada
paksi x sekeliling garis .
Isipadu kisaran
CONTOH 8
Cari Isipadu bongkah terjana apabila rantau yang dibatasi dan
dikisarkan pada paksi y.
PENYELESAIAN:
Selesaikan persamaan untuk mendapatkan titik persilangan di antara graf terlebih dahulu
Maka titik persilanga ialah (1, -1) dan (4, 2)
(iii) KAEDAH PETALA SILINDER
Katakan selanjar pada selang [a, b] dan bagi semua x dalam selang. Rantau R
lihat rajah dibawah yang dibatasi oleh lengkung , paksi –x, garis tegak dan
dikisarkan pada suatu garis, maka satu bongkah akan terjana. Bongkah ini
berbentuk silinder membulat berlubang ( silinder tipis atau petala)
(a) Isipadu melibatkan satu lengkung
Pertimbangkan rantau R yang dibatsai lengkung seperti rajah dibawah dikisarkan
pada paksi y. Diketahui isipadu hirisan satu silinder yang terbentuk mempunyai jejari
dalam r dan jejari luar R dan tinggi h ialah
Isipadu =
Perhatikan: adalah tinggi silinder terbentuk dan jejari petala silinder ialah yang
diperolehi dari jarak keratan rentas dari paksi kisaran.
Isipadu =
Cara yang sama jika rantau R bagi dikisarkan pada paksi-y, isipadu yang
terjana ialah .
CONTOH 9
Rantau yang di batasi garis dan dikisarkan pada paksi – y .
Dapatkan isipadu yang terjana.
PENYELESAIAN:
Perhatikan sekiranya keratan rentas selari dengan paksi x diambil kaedah cakera
berlubang perlu digunakan :
Isipadu
Isipadu =
Perhatikan :
Bagi soalan ini kaedah cakera lebih mudah perkiraannya kerana hanya melibatkan satu
kamiran mudah sahaja.
(a) Isipadu melibatkan dua lengkung
Jika R dikisarkan pada paksi y (atau garis lain yang selari dengan paksi kisaran), isipadu kisaran
ini ialah
CONTOH 10
Cari isipadu bongkah jika kawasan yang dibendung oleh dan
dikisarkan sekeliling paksi y.
PENYELESAIAN:
Isipadu kisaran ialah
Perhatikan:
Kaedah cakera berlubang juga boleh digunakan jika keratan rentas selari dengan paksi x
diambil :
CONTOH 11
Kawasan yang terbatas di antara lengkung dan dikisarkan pada
paksi y. Dapatkan isipadu pepejal yang terjana.
Cari titik persilangan dua graf ini dahulu:
Maka titik persilangan ialah (0,0) dan (-2,4).
Gunakan keratan rentas selari dengan paksi – y. Kaedah petala silinder digunakan :
Isipadu
Perhatikan:
Kamiran menggunakan keratan rentas selari dengan paksi – x lebih sukar jika digunakan.
Kenapa?
Latihan
1. Tentukan nilai kamiran tertentu
a) b)
2. Lakar dan dapatkan luas rantau yang disempadani lengkung dan garis berikut:
a) dan paksi-x
b) dan paksi –x
3. Lakarkan dan dapatkan luas rantau di antara lengkung dan garis berikut.
a) dan b) dan
4. Cari isipadu bongkah terjana apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung yang
dinyatakan dikisar pada paksi x.
a) dan
b) dan
c) dan
d) dan
e) dan
f) dan paksi – x
5. Cari isipadu terjana apabila rantau yang dibatasi oleh parabola dan
dikisarkan sekitar paksi – y.
6. Cari isipadu pepejal yang diterima jika rantau yang dibatasi oleh ,
paksi-x, dan dikisarkan pada garis
7 Dapatkan isipadu pepejal jika rantau yang terbatas oleh lengkung, paksi-x dan
paksi-y dikisarkan pada paksi-x.
8 Dapatkan isipadu pepejal jika rantau yang terbatas pada rajah dalam soalan (7
(a) , 7 (b)) dikisarkan
(a) Paksi – y
(b) Garis x = 2
(c) Garis y = 3
9 Cari isipadu pepejal yang terjana apabila rantau yang dibatasi oleh lengkung
dan dikisarkan sekitar paksi – x.
10 Cari isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dan
dikisarkan sekitar paksi –x.
11 Lakarkan rantau yang dibatasi oleh lengkung dan
Dapatkan
a) Luas rantau diantara lengkung
b) Isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dikisar sekitar paksi – x.
c) Isipadu pepejal yang terjana apabila rantau dikisarkan sekitar garis
12 Gunakan kaedah petala silinder untuk mendapatkan isipadu yang terjana
apabila rantau yang dibatasi oleh dan paksi – x, paksi – y dikisarkan
pada garis .
13 Cari isipadu bongkah yang terjana apabila rantau dibatasi oleh lengkung
dan garis dan paksi – x dikisarkan pada garis berikut :
a)
b)
c)