Kamiran Persamaan-persamaan

Bab 22

Di akhir bab ini, anda sepatutnya:faham asas bagi teori Ekstrapolasi Richardson dan bagaimana ia digunakan ke atas algoritmaRomberg dan pembezaan secara berangkanyaDapat membezakan di antara formula Newton-Cotes dan kuadratur Gaussmengetahui mengapa kamiran Romberg dankuadratur Gauss mudah digunakan apabila persaman-persamaan dikamirkan berbanding pada taburan data atau data diskrit

Mengapa perlu pada kaedah lain?

Kamiran Romberg

Ekstrapolasi Richardson

Menggunakan 2 nilai anggaran kamiran untuk mengira anggaran ketiga yang lebih jituNilai anggaran dan ralat bagi hukum trapezoid berbilang-aplikasi adalah:

)()( hEhIInilai

sebenarkamiran

nilai anggaran bagi bagi aplikasi n-segmen

dengan saiz langkah h=(b-a)/n

ralat

Jika ada dua nilai anggaran menggunakan saiz langkah h1 dan h2,

)()()()( 2211 hEhIhEhI (22.1)

Jika ralat adalah seperti persamaan (21.31) iaitu:"

122 fhabE

"12

2 fhabE

Maka, nisbah antara 2 ralat adalah:

(22.2)

22

21

2

1

)()(

hh

hEhE

(22.3)

Masukkan dalam persamaan (22.1)

)()(dalamkekandimasukkaninianggaran

/1)()()(

nya,selesaikan

)()()()(

22

221

212

22

2

2

121

hEhII

hhhIhIhE

hEhIhhhEhI

menjadi:

)()(1/

1)( 12221

2 hIhIhh

hII(22.4)

Bagi kes di mana selang adalah separuh (h2=h1/2) persamaan di atas menjadi:

)()(12

1)( 1222 hIhIhII

atau

)(31)(

34

12 hIhII (22.5)

ContohDaripada bab 21, didapati fungsi

dari a = 0 dan b = 0.8 dengan keputusan

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf

Segmen h kamiran t%1 0.8 0.1728 89.52 0.4 1.0688 34.94 0.2 1.4848 9.5

PenyelesaianDengan menggunakan segmen 1 dan 2,

%)6.16(273067.0367467.1640533.1ralatdengan

367467.1)1728.0(31)0688.1(

34

ttE

I

%)0.1(017067.0623467.1640533.1ralatdengan

623467.1)0688.1(31)4848.1(

34

ttE

I

Dengan menggunakan segmen 2 dan 4,

Persamaan (22.4) menggabungkan 2 aplikasi hukum trapezoid dengan ralat O(h2) untuk mendapatkan nilai ketiga dengan ralat O(h4) .Oleh itu dengan menggabungkan 2 aplikasi O(h4), maka O(h6)

Im III151

1516

(22.6)

Dan 2 keputusan O(h6) boleh digabungkan untuk mendapat O(h8)

Im III631

6364

(22.7)

ContohDengan anggaran dua kamiran O(h4)daripada contoh sebelum ini, iaitu 1.367467 dan 1.623467 dapatkan kamiran bagi fungsi

dari a = 0 dan b = 0.8.

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf

Penyelesaian

Menggunakan persamaan (22.6),

bererti.nombor tujuh sehingga tepatyangjawapanmerupakanmanadi

640533.1

)367467.1(151)623467.1(

1516I

Algoritma Kamiran RombergPersamaan-persamaan (22.5), (22.6) dan (22.7) boleh diringkaskan menjadi:

144

11,1,1

1

, kkjkj

k

kj

III

(22.8)

Dengan ralat

%100,1

1,1

k

kka I

II(22.9)

Secara grafik,

Kuadratur Gauss

Hukumtrapezoid

KuadraturGauss

Terbitan formula 2 titik Gauss-Lengendre

Sebagaimana terbitan bagi hukum trapezoid*, kuadratur Gauss juga ditentukan dari:

dengan nilai c0 dan c1 adalah pemalar yang tidak diketahuiMaka, terdapat 4 nilai pemalar yang harus dicari dan perlu 4 keadaan untuk menyelesaikannya.

)()( 1100 xfcxfcI (22.12)

*sila rujuk bahagian 22.3.1

Terbitan formula 2 titik Gauss-Lengendre

Terbitan formula 2 titik Gauss-Lengendre

Sementara 2 keadaan lagi dengan andaian ia boleh dikamirkan oleh fungsi parabolik (y = x2) dan fungsi kubik (y = x3).Maka terdapat 4 persamaan yang harus diselesaikan iaitu:

0)()(

32)()(

0)()(

21)()(

1

1

31100

1

1

21100

1

11100

1

11100

dxxxfcxfc

dxxxfcxfc

xdxxfcxfc

dxxfcxfc (22.13)

(22.14)

(22.15)

(22.16)perhatikan bahawa had bagi

kamiran2 ini adalah dari 1 hingga -1

Keempat-empat persamaan ini boleh diselesaikan serentak, hasilnya:

...5773503.03

1

...5773503.03

11

0

0

10

x

x

cc

Masukkannya ke dalam persamaan (22.12),

31

31 ffI

(22.17)

dikenali sebagi formula Gauss-Lengendre dua

titikPerlu cari persamaan untuk mendapatkanformula yang umum supaya had kamiran adalah dari –1 dan 1 sahaja... hmmmm

Andaikan xd merupakan pemalar baru bagi nilai x yang asal, di mana:

Jika had bawah x adalah a, di mana nilai baru xd = -1, maka persamaan (22.18) boleh digantikan dengan:

Begitu juga dengan had atas, x = b, di mana nilai batu xd = 1 boleh digantikan dengan:

dxaax 10 (22.18)

)1(10 aaa (22.19)

)1(10 aab (22. 20)

Selesaikan persamaan (22.19) dan (22.20) :

2

dan2

1

0

aba

aba (22.21)

(22.22)

Masukkan persamaan (22.21) dan (22.22) ke dalam (22.18):

2)()( dxababx

(22.23)

Persamaan (22.23) boleh diterbitkan untuk mendapat:

ddxabdx2 (22.24)

ContohGunakan persamaan (22.17) untuk menganggarkan nilai kamiran bagi fungsi:

dari a = 0 dan b = 0.8.

5432 400900675200252.0)( xxxxxxf

Penyelesaian

Sebelum membuat sebarang kamiran, had kamiarn perlu ditukar kepada 1 hingga –1 dengan menggantikan a = 0 dan b= 0.8 pada persamaan (22.23):

Di mana hubungan terbitan persamaan ini:dxx 4.04.0

ddxdx 4.0

Penyelesaian

masukkan persamaan-persamaan baru ke dalam fungsi kamiran:

ddd

ddd

xxx

xxx

dxxxxxx

4.0)4.04.0(400)4.04.0(900

)4.04.0(675)4.04.0(200)4.04.0(252.0

400900675200252.0

54

1

1

32

8.0

0

5432

*bandingkan dengan hukum trapezoid, 1/3 dam 3/8 Simpson

Penyelesaiangunakan nilai xd sebagai dan hasilnya adalah 0.516741gunakan nilai xd sebagai dan hasilnya adalah 1.305837Masukkan ke dalam persamaan (22.17):

3/1

3/1

822578.1305837.1516741.0I

Nilaisebenar:1.640533

Ralat adalah –11.1%