PROCESAREA DIGITALĂ A SEMNALELOR ŞI A IMAGINII
Curs 3
Descrierea icircn timp a sistemelor discrete
Conf dr ing Carmen GERIGANUNIVERSITATEA TRANSILVANIA din BRAŞOV
20122013
Conţinut
bull Sisteme discrete icircn timp simple ndash exemplificarebull Clasificarea sistemelor discrete icircn timpbull Răspunsul unui sistem la impuls unitate şi la
treaptă unitatebull Caracterizarea icircn domeniul timp a sistemelor
liniare invariante icircn timp (LTI)
Descrierea icircn timp a sistemelor discrete
Funcţia unui sistem discret este de a procesa o secvenţă discretă furnizată la intrare pentru a genera o secvenţă discretă la ieşire
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
Sisteme discrete icircn timp simple
bull acumulatorulbull interpolatorul liniar
Dispozitivele prezentate ca operatori fundamentali
bullmultiplicatorbullsumatorbullcircuit de icircntacircrzierebullcircuit ridicătorcoboracirctor de frecvenţă
pot fi considerate sisteme discrete elementare
Alte sisteme discrete
Acumulatorul
n
l
n
l
x[n]]y[nx[n]x[l]x[l]y[n]1
1
Ieşirea y[n] la momentul n este suma dintre valoarea eşantionului de intrare la acel moment x [n] şi valoarea eşantionului precedent la ieşire y[n-1] (eşantion considerat la momentul n-1)
Eşantionul de la ieşire la momentul n-1 este suma tuturor eşantioanelor de la intrare icircncepacircnd de la -infin pacircnă la momentul n-1
Sistemul se numeşte acumulator pentru că acumulează toate intrările de la -infin la n
Interpolator liniar
Sistem folosit pentru a estima valoarea unor eşantioane plasate icircntre două eşantioane alăturate cunoscute
Primul pas icircn cadrul interpolării este trecerea secvenţei de intrare x [n] printr-un up-sampler (ridicător al frecvenţei de eşantionare)
Ieşirea acestui circuit este trecută unui alt circuit discret care va icircnlocui eşantioanele de valoare 0 (inserate prin operaţia de ridicare a frecvenţei de eşantionare) cu eşantioane de o valoare rezultată prin interpolarea liniară a eşantioanelor vecine eşantionului de valoare 0
Valoarea eşantionului astfel calculat se va afla pe linia ce uneşte valorile celor două eşantioane vecine considerate (interpolare de ordin 1)
Interpolator liniar
Circuit de interpolare de ordin 2
sampler-updin iesirea ][
1121
nx
][nx][nx[n]xy[n]
n
nnn
Circuit de interpolare de ordin 3
sampler-updin iesirea ][
123221
31
nx
][nx][nx][nx][nx[n]xy[n]
n
nnnnn
Secvenţă de eşantioane pentru un circuit de interpolare cu factor de ridicare a frecvenţei 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4
n
n
n
Iniţial
După up-sampler
După interpolare
Clasificarea sistemelor discrete icircn timp
bull Sisteme liniare bull Sisteme invariabile icircn timpbull Sisteme cauzalebull Sisteme stabilebull Sisteme pasive bull Sisteme fără pierderi
Clasificare pe baza relaţiei intrareieşire
Sisteme liniareIcircn cazul sistemelor liniare se poate aplica teorema superpoziţiei (Teorema
suprapunerii efectelor)
Dacă y1[n] şi y2[n] sunt răspunsurile sistemului la secvenţele de intrare x1[n] şi x2[n] Şi dacă sistemul este liniar atunci răspunsul sistemului la aplicarea la intrare a
secvenţei
x[n] =αx1[n] +βx2[n] va fi
y[n]= αy1[n] +βy2[n]
Teorema superpoziţiei este valabilă pentru orice constante α şi β şi pentru orice secvenţe de intrare x1[n] şi x2[n]
Teorema uşurează mult aflarea răspunsului unui sistem liniar la aplicarea la intrare a unei secvenţe complicate care poate fi descompusă icircntr-o sumă ponderată de secvenţe mai simple (cum ar fi secvenţe impuls unitate ponderate)
Sisteme liniare- Exemplu 1 -
Consideracircnd un sistem acumulator se pot calcula ieşirile y1[n] şi y2[n] pentru intrările x1[n] şi x2[n] astfel
[l]x[n]y
[l]x[n]y
n
l
n
l
22
11
Ieşirea y[n] rezultat al aplicării la intrare a secvenţei αx1[n] +βx2[n] este
[n]yβ[n]yα[l]xβ[l]xα[l]xβ[l]xαy[n]n
l
n
l
n
l212121
Sistemul discret considerat este un sistem liniar
Sisteme liniare- Exemplu 2 -
]x[n]x[n[n]xy[n] 112
Se consideră sistemul discret definit de relaţia
Ieşirile y1[n] şi y2[n] la aplicarea la intrare a secvenţelor x1[n] şi x2[n] sunt
][nx][nx[n]x[n]y
][nx][nx[n]x[n]y
11
11
22222
11211
Sisteme liniare- Exemplu 2 (continuare) -
][nx][nx][nx][nx[n]x[n]xβα
][nx][nx[n]xβ][nx][nx[n]xα
][nxβ][nxα][nxβ][nxα[n]xβ[n]xαy[n]
111121111
1111
222121
22222
11122
21212
21
Ieşirea y [n] datorată aplicării la intrare a secvenţei
αx1[n] +βx2[n] este
dar
y[n]][nx][nx[n]x β
][nx][nx[n]xα[n]yβ[n]yα
11
11
2222
112121
Sistemul din exemplul 2 nu este liniar
Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea
]n[nyy[n]
]n[nxx[n]
01
01
fi va
Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ
Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Conţinut
bull Sisteme discrete icircn timp simple ndash exemplificarebull Clasificarea sistemelor discrete icircn timpbull Răspunsul unui sistem la impuls unitate şi la
treaptă unitatebull Caracterizarea icircn domeniul timp a sistemelor
liniare invariante icircn timp (LTI)
Descrierea icircn timp a sistemelor discrete
Funcţia unui sistem discret este de a procesa o secvenţă discretă furnizată la intrare pentru a genera o secvenţă discretă la ieşire
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
Sisteme discrete icircn timp simple
bull acumulatorulbull interpolatorul liniar
Dispozitivele prezentate ca operatori fundamentali
bullmultiplicatorbullsumatorbullcircuit de icircntacircrzierebullcircuit ridicătorcoboracirctor de frecvenţă
pot fi considerate sisteme discrete elementare
Alte sisteme discrete
Acumulatorul
n
l
n
l
x[n]]y[nx[n]x[l]x[l]y[n]1
1
Ieşirea y[n] la momentul n este suma dintre valoarea eşantionului de intrare la acel moment x [n] şi valoarea eşantionului precedent la ieşire y[n-1] (eşantion considerat la momentul n-1)
Eşantionul de la ieşire la momentul n-1 este suma tuturor eşantioanelor de la intrare icircncepacircnd de la -infin pacircnă la momentul n-1
Sistemul se numeşte acumulator pentru că acumulează toate intrările de la -infin la n
Interpolator liniar
Sistem folosit pentru a estima valoarea unor eşantioane plasate icircntre două eşantioane alăturate cunoscute
Primul pas icircn cadrul interpolării este trecerea secvenţei de intrare x [n] printr-un up-sampler (ridicător al frecvenţei de eşantionare)
Ieşirea acestui circuit este trecută unui alt circuit discret care va icircnlocui eşantioanele de valoare 0 (inserate prin operaţia de ridicare a frecvenţei de eşantionare) cu eşantioane de o valoare rezultată prin interpolarea liniară a eşantioanelor vecine eşantionului de valoare 0
Valoarea eşantionului astfel calculat se va afla pe linia ce uneşte valorile celor două eşantioane vecine considerate (interpolare de ordin 1)
Interpolator liniar
Circuit de interpolare de ordin 2
sampler-updin iesirea ][
1121
nx
][nx][nx[n]xy[n]
n
nnn
Circuit de interpolare de ordin 3
sampler-updin iesirea ][
123221
31
nx
][nx][nx][nx][nx[n]xy[n]
n
nnnnn
Secvenţă de eşantioane pentru un circuit de interpolare cu factor de ridicare a frecvenţei 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4
n
n
n
Iniţial
După up-sampler
După interpolare
Clasificarea sistemelor discrete icircn timp
bull Sisteme liniare bull Sisteme invariabile icircn timpbull Sisteme cauzalebull Sisteme stabilebull Sisteme pasive bull Sisteme fără pierderi
Clasificare pe baza relaţiei intrareieşire
Sisteme liniareIcircn cazul sistemelor liniare se poate aplica teorema superpoziţiei (Teorema
suprapunerii efectelor)
Dacă y1[n] şi y2[n] sunt răspunsurile sistemului la secvenţele de intrare x1[n] şi x2[n] Şi dacă sistemul este liniar atunci răspunsul sistemului la aplicarea la intrare a
secvenţei
x[n] =αx1[n] +βx2[n] va fi
y[n]= αy1[n] +βy2[n]
Teorema superpoziţiei este valabilă pentru orice constante α şi β şi pentru orice secvenţe de intrare x1[n] şi x2[n]
Teorema uşurează mult aflarea răspunsului unui sistem liniar la aplicarea la intrare a unei secvenţe complicate care poate fi descompusă icircntr-o sumă ponderată de secvenţe mai simple (cum ar fi secvenţe impuls unitate ponderate)
Sisteme liniare- Exemplu 1 -
Consideracircnd un sistem acumulator se pot calcula ieşirile y1[n] şi y2[n] pentru intrările x1[n] şi x2[n] astfel
[l]x[n]y
[l]x[n]y
n
l
n
l
22
11
Ieşirea y[n] rezultat al aplicării la intrare a secvenţei αx1[n] +βx2[n] este
[n]yβ[n]yα[l]xβ[l]xα[l]xβ[l]xαy[n]n
l
n
l
n
l212121
Sistemul discret considerat este un sistem liniar
Sisteme liniare- Exemplu 2 -
]x[n]x[n[n]xy[n] 112
Se consideră sistemul discret definit de relaţia
Ieşirile y1[n] şi y2[n] la aplicarea la intrare a secvenţelor x1[n] şi x2[n] sunt
][nx][nx[n]x[n]y
][nx][nx[n]x[n]y
11
11
22222
11211
Sisteme liniare- Exemplu 2 (continuare) -
][nx][nx][nx][nx[n]x[n]xβα
][nx][nx[n]xβ][nx][nx[n]xα
][nxβ][nxα][nxβ][nxα[n]xβ[n]xαy[n]
111121111
1111
222121
22222
11122
21212
21
Ieşirea y [n] datorată aplicării la intrare a secvenţei
αx1[n] +βx2[n] este
dar
y[n]][nx][nx[n]x β
][nx][nx[n]xα[n]yβ[n]yα
11
11
2222
112121
Sistemul din exemplul 2 nu este liniar
Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea
]n[nyy[n]
]n[nxx[n]
01
01
fi va
Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ
Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Descrierea icircn timp a sistemelor discrete
Funcţia unui sistem discret este de a procesa o secvenţă discretă furnizată la intrare pentru a genera o secvenţă discretă la ieşire
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
Sisteme discrete icircn timp simple
bull acumulatorulbull interpolatorul liniar
Dispozitivele prezentate ca operatori fundamentali
bullmultiplicatorbullsumatorbullcircuit de icircntacircrzierebullcircuit ridicătorcoboracirctor de frecvenţă
pot fi considerate sisteme discrete elementare
Alte sisteme discrete
Acumulatorul
n
l
n
l
x[n]]y[nx[n]x[l]x[l]y[n]1
1
Ieşirea y[n] la momentul n este suma dintre valoarea eşantionului de intrare la acel moment x [n] şi valoarea eşantionului precedent la ieşire y[n-1] (eşantion considerat la momentul n-1)
Eşantionul de la ieşire la momentul n-1 este suma tuturor eşantioanelor de la intrare icircncepacircnd de la -infin pacircnă la momentul n-1
Sistemul se numeşte acumulator pentru că acumulează toate intrările de la -infin la n
Interpolator liniar
Sistem folosit pentru a estima valoarea unor eşantioane plasate icircntre două eşantioane alăturate cunoscute
Primul pas icircn cadrul interpolării este trecerea secvenţei de intrare x [n] printr-un up-sampler (ridicător al frecvenţei de eşantionare)
Ieşirea acestui circuit este trecută unui alt circuit discret care va icircnlocui eşantioanele de valoare 0 (inserate prin operaţia de ridicare a frecvenţei de eşantionare) cu eşantioane de o valoare rezultată prin interpolarea liniară a eşantioanelor vecine eşantionului de valoare 0
Valoarea eşantionului astfel calculat se va afla pe linia ce uneşte valorile celor două eşantioane vecine considerate (interpolare de ordin 1)
Interpolator liniar
Circuit de interpolare de ordin 2
sampler-updin iesirea ][
1121
nx
][nx][nx[n]xy[n]
n
nnn
Circuit de interpolare de ordin 3
sampler-updin iesirea ][
123221
31
nx
][nx][nx][nx][nx[n]xy[n]
n
nnnnn
Secvenţă de eşantioane pentru un circuit de interpolare cu factor de ridicare a frecvenţei 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4
n
n
n
Iniţial
După up-sampler
După interpolare
Clasificarea sistemelor discrete icircn timp
bull Sisteme liniare bull Sisteme invariabile icircn timpbull Sisteme cauzalebull Sisteme stabilebull Sisteme pasive bull Sisteme fără pierderi
Clasificare pe baza relaţiei intrareieşire
Sisteme liniareIcircn cazul sistemelor liniare se poate aplica teorema superpoziţiei (Teorema
suprapunerii efectelor)
Dacă y1[n] şi y2[n] sunt răspunsurile sistemului la secvenţele de intrare x1[n] şi x2[n] Şi dacă sistemul este liniar atunci răspunsul sistemului la aplicarea la intrare a
secvenţei
x[n] =αx1[n] +βx2[n] va fi
y[n]= αy1[n] +βy2[n]
Teorema superpoziţiei este valabilă pentru orice constante α şi β şi pentru orice secvenţe de intrare x1[n] şi x2[n]
Teorema uşurează mult aflarea răspunsului unui sistem liniar la aplicarea la intrare a unei secvenţe complicate care poate fi descompusă icircntr-o sumă ponderată de secvenţe mai simple (cum ar fi secvenţe impuls unitate ponderate)
Sisteme liniare- Exemplu 1 -
Consideracircnd un sistem acumulator se pot calcula ieşirile y1[n] şi y2[n] pentru intrările x1[n] şi x2[n] astfel
[l]x[n]y
[l]x[n]y
n
l
n
l
22
11
Ieşirea y[n] rezultat al aplicării la intrare a secvenţei αx1[n] +βx2[n] este
[n]yβ[n]yα[l]xβ[l]xα[l]xβ[l]xαy[n]n
l
n
l
n
l212121
Sistemul discret considerat este un sistem liniar
Sisteme liniare- Exemplu 2 -
]x[n]x[n[n]xy[n] 112
Se consideră sistemul discret definit de relaţia
Ieşirile y1[n] şi y2[n] la aplicarea la intrare a secvenţelor x1[n] şi x2[n] sunt
][nx][nx[n]x[n]y
][nx][nx[n]x[n]y
11
11
22222
11211
Sisteme liniare- Exemplu 2 (continuare) -
][nx][nx][nx][nx[n]x[n]xβα
][nx][nx[n]xβ][nx][nx[n]xα
][nxβ][nxα][nxβ][nxα[n]xβ[n]xαy[n]
111121111
1111
222121
22222
11122
21212
21
Ieşirea y [n] datorată aplicării la intrare a secvenţei
αx1[n] +βx2[n] este
dar
y[n]][nx][nx[n]x β
][nx][nx[n]xα[n]yβ[n]yα
11
11
2222
112121
Sistemul din exemplul 2 nu este liniar
Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea
]n[nyy[n]
]n[nxx[n]
01
01
fi va
Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ
Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Sisteme discrete icircn timp simple
bull acumulatorulbull interpolatorul liniar
Dispozitivele prezentate ca operatori fundamentali
bullmultiplicatorbullsumatorbullcircuit de icircntacircrzierebullcircuit ridicătorcoboracirctor de frecvenţă
pot fi considerate sisteme discrete elementare
Alte sisteme discrete
Acumulatorul
n
l
n
l
x[n]]y[nx[n]x[l]x[l]y[n]1
1
Ieşirea y[n] la momentul n este suma dintre valoarea eşantionului de intrare la acel moment x [n] şi valoarea eşantionului precedent la ieşire y[n-1] (eşantion considerat la momentul n-1)
Eşantionul de la ieşire la momentul n-1 este suma tuturor eşantioanelor de la intrare icircncepacircnd de la -infin pacircnă la momentul n-1
Sistemul se numeşte acumulator pentru că acumulează toate intrările de la -infin la n
Interpolator liniar
Sistem folosit pentru a estima valoarea unor eşantioane plasate icircntre două eşantioane alăturate cunoscute
Primul pas icircn cadrul interpolării este trecerea secvenţei de intrare x [n] printr-un up-sampler (ridicător al frecvenţei de eşantionare)
Ieşirea acestui circuit este trecută unui alt circuit discret care va icircnlocui eşantioanele de valoare 0 (inserate prin operaţia de ridicare a frecvenţei de eşantionare) cu eşantioane de o valoare rezultată prin interpolarea liniară a eşantioanelor vecine eşantionului de valoare 0
Valoarea eşantionului astfel calculat se va afla pe linia ce uneşte valorile celor două eşantioane vecine considerate (interpolare de ordin 1)
Interpolator liniar
Circuit de interpolare de ordin 2
sampler-updin iesirea ][
1121
nx
][nx][nx[n]xy[n]
n
nnn
Circuit de interpolare de ordin 3
sampler-updin iesirea ][
123221
31
nx
][nx][nx][nx][nx[n]xy[n]
n
nnnnn
Secvenţă de eşantioane pentru un circuit de interpolare cu factor de ridicare a frecvenţei 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4
n
n
n
Iniţial
După up-sampler
După interpolare
Clasificarea sistemelor discrete icircn timp
bull Sisteme liniare bull Sisteme invariabile icircn timpbull Sisteme cauzalebull Sisteme stabilebull Sisteme pasive bull Sisteme fără pierderi
Clasificare pe baza relaţiei intrareieşire
Sisteme liniareIcircn cazul sistemelor liniare se poate aplica teorema superpoziţiei (Teorema
suprapunerii efectelor)
Dacă y1[n] şi y2[n] sunt răspunsurile sistemului la secvenţele de intrare x1[n] şi x2[n] Şi dacă sistemul este liniar atunci răspunsul sistemului la aplicarea la intrare a
secvenţei
x[n] =αx1[n] +βx2[n] va fi
y[n]= αy1[n] +βy2[n]
Teorema superpoziţiei este valabilă pentru orice constante α şi β şi pentru orice secvenţe de intrare x1[n] şi x2[n]
Teorema uşurează mult aflarea răspunsului unui sistem liniar la aplicarea la intrare a unei secvenţe complicate care poate fi descompusă icircntr-o sumă ponderată de secvenţe mai simple (cum ar fi secvenţe impuls unitate ponderate)
Sisteme liniare- Exemplu 1 -
Consideracircnd un sistem acumulator se pot calcula ieşirile y1[n] şi y2[n] pentru intrările x1[n] şi x2[n] astfel
[l]x[n]y
[l]x[n]y
n
l
n
l
22
11
Ieşirea y[n] rezultat al aplicării la intrare a secvenţei αx1[n] +βx2[n] este
[n]yβ[n]yα[l]xβ[l]xα[l]xβ[l]xαy[n]n
l
n
l
n
l212121
Sistemul discret considerat este un sistem liniar
Sisteme liniare- Exemplu 2 -
]x[n]x[n[n]xy[n] 112
Se consideră sistemul discret definit de relaţia
Ieşirile y1[n] şi y2[n] la aplicarea la intrare a secvenţelor x1[n] şi x2[n] sunt
][nx][nx[n]x[n]y
][nx][nx[n]x[n]y
11
11
22222
11211
Sisteme liniare- Exemplu 2 (continuare) -
][nx][nx][nx][nx[n]x[n]xβα
][nx][nx[n]xβ][nx][nx[n]xα
][nxβ][nxα][nxβ][nxα[n]xβ[n]xαy[n]
111121111
1111
222121
22222
11122
21212
21
Ieşirea y [n] datorată aplicării la intrare a secvenţei
αx1[n] +βx2[n] este
dar
y[n]][nx][nx[n]x β
][nx][nx[n]xα[n]yβ[n]yα
11
11
2222
112121
Sistemul din exemplul 2 nu este liniar
Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea
]n[nyy[n]
]n[nxx[n]
01
01
fi va
Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ
Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Acumulatorul
n
l
n
l
x[n]]y[nx[n]x[l]x[l]y[n]1
1
Ieşirea y[n] la momentul n este suma dintre valoarea eşantionului de intrare la acel moment x [n] şi valoarea eşantionului precedent la ieşire y[n-1] (eşantion considerat la momentul n-1)
Eşantionul de la ieşire la momentul n-1 este suma tuturor eşantioanelor de la intrare icircncepacircnd de la -infin pacircnă la momentul n-1
Sistemul se numeşte acumulator pentru că acumulează toate intrările de la -infin la n
Interpolator liniar
Sistem folosit pentru a estima valoarea unor eşantioane plasate icircntre două eşantioane alăturate cunoscute
Primul pas icircn cadrul interpolării este trecerea secvenţei de intrare x [n] printr-un up-sampler (ridicător al frecvenţei de eşantionare)
Ieşirea acestui circuit este trecută unui alt circuit discret care va icircnlocui eşantioanele de valoare 0 (inserate prin operaţia de ridicare a frecvenţei de eşantionare) cu eşantioane de o valoare rezultată prin interpolarea liniară a eşantioanelor vecine eşantionului de valoare 0
Valoarea eşantionului astfel calculat se va afla pe linia ce uneşte valorile celor două eşantioane vecine considerate (interpolare de ordin 1)
Interpolator liniar
Circuit de interpolare de ordin 2
sampler-updin iesirea ][
1121
nx
][nx][nx[n]xy[n]
n
nnn
Circuit de interpolare de ordin 3
sampler-updin iesirea ][
123221
31
nx
][nx][nx][nx][nx[n]xy[n]
n
nnnnn
Secvenţă de eşantioane pentru un circuit de interpolare cu factor de ridicare a frecvenţei 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4
n
n
n
Iniţial
După up-sampler
După interpolare
Clasificarea sistemelor discrete icircn timp
bull Sisteme liniare bull Sisteme invariabile icircn timpbull Sisteme cauzalebull Sisteme stabilebull Sisteme pasive bull Sisteme fără pierderi
Clasificare pe baza relaţiei intrareieşire
Sisteme liniareIcircn cazul sistemelor liniare se poate aplica teorema superpoziţiei (Teorema
suprapunerii efectelor)
Dacă y1[n] şi y2[n] sunt răspunsurile sistemului la secvenţele de intrare x1[n] şi x2[n] Şi dacă sistemul este liniar atunci răspunsul sistemului la aplicarea la intrare a
secvenţei
x[n] =αx1[n] +βx2[n] va fi
y[n]= αy1[n] +βy2[n]
Teorema superpoziţiei este valabilă pentru orice constante α şi β şi pentru orice secvenţe de intrare x1[n] şi x2[n]
Teorema uşurează mult aflarea răspunsului unui sistem liniar la aplicarea la intrare a unei secvenţe complicate care poate fi descompusă icircntr-o sumă ponderată de secvenţe mai simple (cum ar fi secvenţe impuls unitate ponderate)
Sisteme liniare- Exemplu 1 -
Consideracircnd un sistem acumulator se pot calcula ieşirile y1[n] şi y2[n] pentru intrările x1[n] şi x2[n] astfel
[l]x[n]y
[l]x[n]y
n
l
n
l
22
11
Ieşirea y[n] rezultat al aplicării la intrare a secvenţei αx1[n] +βx2[n] este
[n]yβ[n]yα[l]xβ[l]xα[l]xβ[l]xαy[n]n
l
n
l
n
l212121
Sistemul discret considerat este un sistem liniar
Sisteme liniare- Exemplu 2 -
]x[n]x[n[n]xy[n] 112
Se consideră sistemul discret definit de relaţia
Ieşirile y1[n] şi y2[n] la aplicarea la intrare a secvenţelor x1[n] şi x2[n] sunt
][nx][nx[n]x[n]y
][nx][nx[n]x[n]y
11
11
22222
11211
Sisteme liniare- Exemplu 2 (continuare) -
][nx][nx][nx][nx[n]x[n]xβα
][nx][nx[n]xβ][nx][nx[n]xα
][nxβ][nxα][nxβ][nxα[n]xβ[n]xαy[n]
111121111
1111
222121
22222
11122
21212
21
Ieşirea y [n] datorată aplicării la intrare a secvenţei
αx1[n] +βx2[n] este
dar
y[n]][nx][nx[n]x β
][nx][nx[n]xα[n]yβ[n]yα
11
11
2222
112121
Sistemul din exemplul 2 nu este liniar
Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea
]n[nyy[n]
]n[nxx[n]
01
01
fi va
Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ
Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Interpolator liniar
Sistem folosit pentru a estima valoarea unor eşantioane plasate icircntre două eşantioane alăturate cunoscute
Primul pas icircn cadrul interpolării este trecerea secvenţei de intrare x [n] printr-un up-sampler (ridicător al frecvenţei de eşantionare)
Ieşirea acestui circuit este trecută unui alt circuit discret care va icircnlocui eşantioanele de valoare 0 (inserate prin operaţia de ridicare a frecvenţei de eşantionare) cu eşantioane de o valoare rezultată prin interpolarea liniară a eşantioanelor vecine eşantionului de valoare 0
Valoarea eşantionului astfel calculat se va afla pe linia ce uneşte valorile celor două eşantioane vecine considerate (interpolare de ordin 1)
Interpolator liniar
Circuit de interpolare de ordin 2
sampler-updin iesirea ][
1121
nx
][nx][nx[n]xy[n]
n
nnn
Circuit de interpolare de ordin 3
sampler-updin iesirea ][
123221
31
nx
][nx][nx][nx][nx[n]xy[n]
n
nnnnn
Secvenţă de eşantioane pentru un circuit de interpolare cu factor de ridicare a frecvenţei 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4
n
n
n
Iniţial
După up-sampler
După interpolare
Clasificarea sistemelor discrete icircn timp
bull Sisteme liniare bull Sisteme invariabile icircn timpbull Sisteme cauzalebull Sisteme stabilebull Sisteme pasive bull Sisteme fără pierderi
Clasificare pe baza relaţiei intrareieşire
Sisteme liniareIcircn cazul sistemelor liniare se poate aplica teorema superpoziţiei (Teorema
suprapunerii efectelor)
Dacă y1[n] şi y2[n] sunt răspunsurile sistemului la secvenţele de intrare x1[n] şi x2[n] Şi dacă sistemul este liniar atunci răspunsul sistemului la aplicarea la intrare a
secvenţei
x[n] =αx1[n] +βx2[n] va fi
y[n]= αy1[n] +βy2[n]
Teorema superpoziţiei este valabilă pentru orice constante α şi β şi pentru orice secvenţe de intrare x1[n] şi x2[n]
Teorema uşurează mult aflarea răspunsului unui sistem liniar la aplicarea la intrare a unei secvenţe complicate care poate fi descompusă icircntr-o sumă ponderată de secvenţe mai simple (cum ar fi secvenţe impuls unitate ponderate)
Sisteme liniare- Exemplu 1 -
Consideracircnd un sistem acumulator se pot calcula ieşirile y1[n] şi y2[n] pentru intrările x1[n] şi x2[n] astfel
[l]x[n]y
[l]x[n]y
n
l
n
l
22
11
Ieşirea y[n] rezultat al aplicării la intrare a secvenţei αx1[n] +βx2[n] este
[n]yβ[n]yα[l]xβ[l]xα[l]xβ[l]xαy[n]n
l
n
l
n
l212121
Sistemul discret considerat este un sistem liniar
Sisteme liniare- Exemplu 2 -
]x[n]x[n[n]xy[n] 112
Se consideră sistemul discret definit de relaţia
Ieşirile y1[n] şi y2[n] la aplicarea la intrare a secvenţelor x1[n] şi x2[n] sunt
][nx][nx[n]x[n]y
][nx][nx[n]x[n]y
11
11
22222
11211
Sisteme liniare- Exemplu 2 (continuare) -
][nx][nx][nx][nx[n]x[n]xβα
][nx][nx[n]xβ][nx][nx[n]xα
][nxβ][nxα][nxβ][nxα[n]xβ[n]xαy[n]
111121111
1111
222121
22222
11122
21212
21
Ieşirea y [n] datorată aplicării la intrare a secvenţei
αx1[n] +βx2[n] este
dar
y[n]][nx][nx[n]x β
][nx][nx[n]xα[n]yβ[n]yα
11
11
2222
112121
Sistemul din exemplul 2 nu este liniar
Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea
]n[nyy[n]
]n[nxx[n]
01
01
fi va
Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ
Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Interpolator liniar
Circuit de interpolare de ordin 2
sampler-updin iesirea ][
1121
nx
][nx][nx[n]xy[n]
n
nnn
Circuit de interpolare de ordin 3
sampler-updin iesirea ][
123221
31
nx
][nx][nx][nx][nx[n]xy[n]
n
nnnnn
Secvenţă de eşantioane pentru un circuit de interpolare cu factor de ridicare a frecvenţei 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4
n
n
n
Iniţial
După up-sampler
După interpolare
Clasificarea sistemelor discrete icircn timp
bull Sisteme liniare bull Sisteme invariabile icircn timpbull Sisteme cauzalebull Sisteme stabilebull Sisteme pasive bull Sisteme fără pierderi
Clasificare pe baza relaţiei intrareieşire
Sisteme liniareIcircn cazul sistemelor liniare se poate aplica teorema superpoziţiei (Teorema
suprapunerii efectelor)
Dacă y1[n] şi y2[n] sunt răspunsurile sistemului la secvenţele de intrare x1[n] şi x2[n] Şi dacă sistemul este liniar atunci răspunsul sistemului la aplicarea la intrare a
secvenţei
x[n] =αx1[n] +βx2[n] va fi
y[n]= αy1[n] +βy2[n]
Teorema superpoziţiei este valabilă pentru orice constante α şi β şi pentru orice secvenţe de intrare x1[n] şi x2[n]
Teorema uşurează mult aflarea răspunsului unui sistem liniar la aplicarea la intrare a unei secvenţe complicate care poate fi descompusă icircntr-o sumă ponderată de secvenţe mai simple (cum ar fi secvenţe impuls unitate ponderate)
Sisteme liniare- Exemplu 1 -
Consideracircnd un sistem acumulator se pot calcula ieşirile y1[n] şi y2[n] pentru intrările x1[n] şi x2[n] astfel
[l]x[n]y
[l]x[n]y
n
l
n
l
22
11
Ieşirea y[n] rezultat al aplicării la intrare a secvenţei αx1[n] +βx2[n] este
[n]yβ[n]yα[l]xβ[l]xα[l]xβ[l]xαy[n]n
l
n
l
n
l212121
Sistemul discret considerat este un sistem liniar
Sisteme liniare- Exemplu 2 -
]x[n]x[n[n]xy[n] 112
Se consideră sistemul discret definit de relaţia
Ieşirile y1[n] şi y2[n] la aplicarea la intrare a secvenţelor x1[n] şi x2[n] sunt
][nx][nx[n]x[n]y
][nx][nx[n]x[n]y
11
11
22222
11211
Sisteme liniare- Exemplu 2 (continuare) -
][nx][nx][nx][nx[n]x[n]xβα
][nx][nx[n]xβ][nx][nx[n]xα
][nxβ][nxα][nxβ][nxα[n]xβ[n]xαy[n]
111121111
1111
222121
22222
11122
21212
21
Ieşirea y [n] datorată aplicării la intrare a secvenţei
αx1[n] +βx2[n] este
dar
y[n]][nx][nx[n]x β
][nx][nx[n]xα[n]yβ[n]yα
11
11
2222
112121
Sistemul din exemplul 2 nu este liniar
Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea
]n[nyy[n]
]n[nxx[n]
01
01
fi va
Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ
Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Secvenţă de eşantioane pentru un circuit de interpolare cu factor de ridicare a frecvenţei 4
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
0 1 2 3 4
n
n
n
Iniţial
După up-sampler
După interpolare
Clasificarea sistemelor discrete icircn timp
bull Sisteme liniare bull Sisteme invariabile icircn timpbull Sisteme cauzalebull Sisteme stabilebull Sisteme pasive bull Sisteme fără pierderi
Clasificare pe baza relaţiei intrareieşire
Sisteme liniareIcircn cazul sistemelor liniare se poate aplica teorema superpoziţiei (Teorema
suprapunerii efectelor)
Dacă y1[n] şi y2[n] sunt răspunsurile sistemului la secvenţele de intrare x1[n] şi x2[n] Şi dacă sistemul este liniar atunci răspunsul sistemului la aplicarea la intrare a
secvenţei
x[n] =αx1[n] +βx2[n] va fi
y[n]= αy1[n] +βy2[n]
Teorema superpoziţiei este valabilă pentru orice constante α şi β şi pentru orice secvenţe de intrare x1[n] şi x2[n]
Teorema uşurează mult aflarea răspunsului unui sistem liniar la aplicarea la intrare a unei secvenţe complicate care poate fi descompusă icircntr-o sumă ponderată de secvenţe mai simple (cum ar fi secvenţe impuls unitate ponderate)
Sisteme liniare- Exemplu 1 -
Consideracircnd un sistem acumulator se pot calcula ieşirile y1[n] şi y2[n] pentru intrările x1[n] şi x2[n] astfel
[l]x[n]y
[l]x[n]y
n
l
n
l
22
11
Ieşirea y[n] rezultat al aplicării la intrare a secvenţei αx1[n] +βx2[n] este
[n]yβ[n]yα[l]xβ[l]xα[l]xβ[l]xαy[n]n
l
n
l
n
l212121
Sistemul discret considerat este un sistem liniar
Sisteme liniare- Exemplu 2 -
]x[n]x[n[n]xy[n] 112
Se consideră sistemul discret definit de relaţia
Ieşirile y1[n] şi y2[n] la aplicarea la intrare a secvenţelor x1[n] şi x2[n] sunt
][nx][nx[n]x[n]y
][nx][nx[n]x[n]y
11
11
22222
11211
Sisteme liniare- Exemplu 2 (continuare) -
][nx][nx][nx][nx[n]x[n]xβα
][nx][nx[n]xβ][nx][nx[n]xα
][nxβ][nxα][nxβ][nxα[n]xβ[n]xαy[n]
111121111
1111
222121
22222
11122
21212
21
Ieşirea y [n] datorată aplicării la intrare a secvenţei
αx1[n] +βx2[n] este
dar
y[n]][nx][nx[n]x β
][nx][nx[n]xα[n]yβ[n]yα
11
11
2222
112121
Sistemul din exemplul 2 nu este liniar
Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea
]n[nyy[n]
]n[nxx[n]
01
01
fi va
Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ
Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Clasificarea sistemelor discrete icircn timp
bull Sisteme liniare bull Sisteme invariabile icircn timpbull Sisteme cauzalebull Sisteme stabilebull Sisteme pasive bull Sisteme fără pierderi
Clasificare pe baza relaţiei intrareieşire
Sisteme liniareIcircn cazul sistemelor liniare se poate aplica teorema superpoziţiei (Teorema
suprapunerii efectelor)
Dacă y1[n] şi y2[n] sunt răspunsurile sistemului la secvenţele de intrare x1[n] şi x2[n] Şi dacă sistemul este liniar atunci răspunsul sistemului la aplicarea la intrare a
secvenţei
x[n] =αx1[n] +βx2[n] va fi
y[n]= αy1[n] +βy2[n]
Teorema superpoziţiei este valabilă pentru orice constante α şi β şi pentru orice secvenţe de intrare x1[n] şi x2[n]
Teorema uşurează mult aflarea răspunsului unui sistem liniar la aplicarea la intrare a unei secvenţe complicate care poate fi descompusă icircntr-o sumă ponderată de secvenţe mai simple (cum ar fi secvenţe impuls unitate ponderate)
Sisteme liniare- Exemplu 1 -
Consideracircnd un sistem acumulator se pot calcula ieşirile y1[n] şi y2[n] pentru intrările x1[n] şi x2[n] astfel
[l]x[n]y
[l]x[n]y
n
l
n
l
22
11
Ieşirea y[n] rezultat al aplicării la intrare a secvenţei αx1[n] +βx2[n] este
[n]yβ[n]yα[l]xβ[l]xα[l]xβ[l]xαy[n]n
l
n
l
n
l212121
Sistemul discret considerat este un sistem liniar
Sisteme liniare- Exemplu 2 -
]x[n]x[n[n]xy[n] 112
Se consideră sistemul discret definit de relaţia
Ieşirile y1[n] şi y2[n] la aplicarea la intrare a secvenţelor x1[n] şi x2[n] sunt
][nx][nx[n]x[n]y
][nx][nx[n]x[n]y
11
11
22222
11211
Sisteme liniare- Exemplu 2 (continuare) -
][nx][nx][nx][nx[n]x[n]xβα
][nx][nx[n]xβ][nx][nx[n]xα
][nxβ][nxα][nxβ][nxα[n]xβ[n]xαy[n]
111121111
1111
222121
22222
11122
21212
21
Ieşirea y [n] datorată aplicării la intrare a secvenţei
αx1[n] +βx2[n] este
dar
y[n]][nx][nx[n]x β
][nx][nx[n]xα[n]yβ[n]yα
11
11
2222
112121
Sistemul din exemplul 2 nu este liniar
Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea
]n[nyy[n]
]n[nxx[n]
01
01
fi va
Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ
Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Sisteme liniareIcircn cazul sistemelor liniare se poate aplica teorema superpoziţiei (Teorema
suprapunerii efectelor)
Dacă y1[n] şi y2[n] sunt răspunsurile sistemului la secvenţele de intrare x1[n] şi x2[n] Şi dacă sistemul este liniar atunci răspunsul sistemului la aplicarea la intrare a
secvenţei
x[n] =αx1[n] +βx2[n] va fi
y[n]= αy1[n] +βy2[n]
Teorema superpoziţiei este valabilă pentru orice constante α şi β şi pentru orice secvenţe de intrare x1[n] şi x2[n]
Teorema uşurează mult aflarea răspunsului unui sistem liniar la aplicarea la intrare a unei secvenţe complicate care poate fi descompusă icircntr-o sumă ponderată de secvenţe mai simple (cum ar fi secvenţe impuls unitate ponderate)
Sisteme liniare- Exemplu 1 -
Consideracircnd un sistem acumulator se pot calcula ieşirile y1[n] şi y2[n] pentru intrările x1[n] şi x2[n] astfel
[l]x[n]y
[l]x[n]y
n
l
n
l
22
11
Ieşirea y[n] rezultat al aplicării la intrare a secvenţei αx1[n] +βx2[n] este
[n]yβ[n]yα[l]xβ[l]xα[l]xβ[l]xαy[n]n
l
n
l
n
l212121
Sistemul discret considerat este un sistem liniar
Sisteme liniare- Exemplu 2 -
]x[n]x[n[n]xy[n] 112
Se consideră sistemul discret definit de relaţia
Ieşirile y1[n] şi y2[n] la aplicarea la intrare a secvenţelor x1[n] şi x2[n] sunt
][nx][nx[n]x[n]y
][nx][nx[n]x[n]y
11
11
22222
11211
Sisteme liniare- Exemplu 2 (continuare) -
][nx][nx][nx][nx[n]x[n]xβα
][nx][nx[n]xβ][nx][nx[n]xα
][nxβ][nxα][nxβ][nxα[n]xβ[n]xαy[n]
111121111
1111
222121
22222
11122
21212
21
Ieşirea y [n] datorată aplicării la intrare a secvenţei
αx1[n] +βx2[n] este
dar
y[n]][nx][nx[n]x β
][nx][nx[n]xα[n]yβ[n]yα
11
11
2222
112121
Sistemul din exemplul 2 nu este liniar
Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea
]n[nyy[n]
]n[nxx[n]
01
01
fi va
Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ
Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Sisteme liniare- Exemplu 1 -
Consideracircnd un sistem acumulator se pot calcula ieşirile y1[n] şi y2[n] pentru intrările x1[n] şi x2[n] astfel
[l]x[n]y
[l]x[n]y
n
l
n
l
22
11
Ieşirea y[n] rezultat al aplicării la intrare a secvenţei αx1[n] +βx2[n] este
[n]yβ[n]yα[l]xβ[l]xα[l]xβ[l]xαy[n]n
l
n
l
n
l212121
Sistemul discret considerat este un sistem liniar
Sisteme liniare- Exemplu 2 -
]x[n]x[n[n]xy[n] 112
Se consideră sistemul discret definit de relaţia
Ieşirile y1[n] şi y2[n] la aplicarea la intrare a secvenţelor x1[n] şi x2[n] sunt
][nx][nx[n]x[n]y
][nx][nx[n]x[n]y
11
11
22222
11211
Sisteme liniare- Exemplu 2 (continuare) -
][nx][nx][nx][nx[n]x[n]xβα
][nx][nx[n]xβ][nx][nx[n]xα
][nxβ][nxα][nxβ][nxα[n]xβ[n]xαy[n]
111121111
1111
222121
22222
11122
21212
21
Ieşirea y [n] datorată aplicării la intrare a secvenţei
αx1[n] +βx2[n] este
dar
y[n]][nx][nx[n]x β
][nx][nx[n]xα[n]yβ[n]yα
11
11
2222
112121
Sistemul din exemplul 2 nu este liniar
Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea
]n[nyy[n]
]n[nxx[n]
01
01
fi va
Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ
Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Sisteme liniare- Exemplu 2 -
]x[n]x[n[n]xy[n] 112
Se consideră sistemul discret definit de relaţia
Ieşirile y1[n] şi y2[n] la aplicarea la intrare a secvenţelor x1[n] şi x2[n] sunt
][nx][nx[n]x[n]y
][nx][nx[n]x[n]y
11
11
22222
11211
Sisteme liniare- Exemplu 2 (continuare) -
][nx][nx][nx][nx[n]x[n]xβα
][nx][nx[n]xβ][nx][nx[n]xα
][nxβ][nxα][nxβ][nxα[n]xβ[n]xαy[n]
111121111
1111
222121
22222
11122
21212
21
Ieşirea y [n] datorată aplicării la intrare a secvenţei
αx1[n] +βx2[n] este
dar
y[n]][nx][nx[n]x β
][nx][nx[n]xα[n]yβ[n]yα
11
11
2222
112121
Sistemul din exemplul 2 nu este liniar
Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea
]n[nyy[n]
]n[nxx[n]
01
01
fi va
Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ
Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Sisteme liniare- Exemplu 2 (continuare) -
][nx][nx][nx][nx[n]x[n]xβα
][nx][nx[n]xβ][nx][nx[n]xα
][nxβ][nxα][nxβ][nxα[n]xβ[n]xαy[n]
111121111
1111
222121
22222
11122
21212
21
Ieşirea y [n] datorată aplicării la intrare a secvenţei
αx1[n] +βx2[n] este
dar
y[n]][nx][nx[n]x β
][nx][nx[n]xα[n]yβ[n]yα
11
11
2222
112121
Sistemul din exemplul 2 nu este liniar
Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea
]n[nyy[n]
]n[nxx[n]
01
01
fi va
Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ
Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Sisteme invariabile icircn timpPentru un sistem invariabil icircn timp dacă y1[n] este răspunsul la x1[n] atunci răspunsul la intrarea
]n[nyy[n]
]n[nxx[n]
01
01
fi va
Unde n0 este un icircntreg pozitiv sau negativ
Invarianţa icircn timp este o condiţie impusă majorităţii filtrelor digitale
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Sisteme invariabile icircn timpLa un sistem invariant icircn timp la aplicarea la intrare a unei
secvenţe răspunsul sistemului va fi acelaşi indiferent de momentul cacircnd a fost aplicată secvenţa la intrare
Un sistem care este şi liniar şi invariant icircn timp este un ldquoSistem liniar invariant icircn timpldquo ndash notat LTI
LTI ndash Linear Time Invariant
Sistemele LTI pot fi descrise şi analizate matematic destul de uşor prin urmare pot fi şi proiectate destul de uşor
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Sisteme invariabile icircn timp- Exemplu -
]nx[n[n]xLLn
Lnx
[n]y 011
1 200
Circuitul up-sampler (ridicător de frecvenţă) NU este un sistem invariant icircn timp
Se poate observa că ieşirea y1[n] pentru o intrare x1[n] este
icircn rest
Se poate scrie
[n]y]ny[n
L Ln
Lnnx
]ny[n
10
0
0 200
icircn rest
Asemănător se poate arăta că nici circuitul down-sampler (coboracirctor de frecvenţă) NU este invariant icircn timp
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Sisteme cauzaleIcircn practică sistemelor li se mai impun două restricţii pe lacircngă liniaritate şi invarianţă icircn timp
bull cauzalitatea
bull stabilitatea
Icircn cazul unui sistem cauzal eşantionul de ieşire de la momentul n0 y[n0] depinde numai de valorile eşantioanelor la intrare x[n] la momente anterioare lui n0 sau cel mult n0 (nlen0) şi nu depinde de eşantioane de intrare x[n] ngtn0
Cu alte cuvinte icircntr-un sistem cauzal schimbările survenite la ieşire nu preced schimbările eşantioanelor la intrare
Definirea cauzalităţii ca mai sus poate fi aplicată doar sistemelor care au aceeaşi rată de eşantionare atacirct pentru secvenţa de intrare cacirct şi pentru secvenţa de ieşire
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Sisteme cauzale- Exemple -
n
l
x[n]x[l]y[n]
][nx][nx[n]xy[n] nnn 1121
Sistem cauzal
Sistem non-cauzal
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Sisteme stabile
Un sistem discret este stabil dacă şi numai dacă pentru orice intrare mărginită ieşirea este de asemena mărginită
nBny
Bnx
y
x
Dacă
atunci
Stabilitate de tip BIBO ndash Bounded Input Bounded Output
(intrarea este o secvenţă mărginită)
(ieşirea este de asemenea o secvenţă mărginită)
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Sisteme pasive şi sisteme fără pierderi
Un sistem discret este pasiv dacă pentru orice secvenţă de energie finită aplicată la intrare secvenţa de ieşire este de asemenea de energie finită cel mult energia intrării
22
nn
nxny
Dacă relaţia este satisfăcută la limită (egalitate) atunci se spune că sistemul este fără pierderi
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate
Răspunsul unui sistem la secvenţa δ[n] este numit răspuns la impuls unitate sau simplu răspuns la impuls
Răspunsul sistemului la secvenţa μ [n] este numit răspuns la treaptă unitate sau simplu răspuns la treaptă
Un sistem LTI este complet definit icircn timp prin răspunsul la impuls sau la treaptă unitate
Răspunsul la impuls este notat de obicei h [n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
x[n] y[n]SISTEM DISCRET
h[n]Secvenţă de intrare Secvenţă de ieşire
k
knxkhny
Relaţia intrare-ieşire-răspuns la impuls unitate
knhkxnyk
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 1 -
321 4321 nδαnδαnδαnδαnh
Răspunsul la impuls icircn acest caz este de lungime finită şi se notează
4321 nh
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 2 -
Răspunsul la impuls al unui circuit acumulator
nlnhn
l
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Răspunsul la impuls unitate şi la treaptă unitate- Exemplu 3 -
1121
nnnnh
Răspunsul la impuls al unui interpolator de ordin 2 este
sau
50 1 50nh
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
xBnx
SBkhBknxkhknxkhny xk
xkk
Un sistem LTI este stabil dacă şi numai dacă răspunsul la impuls h[n] este sumabil
x[n] secvenţa la intrare secvenţă reală şi mărginită
marginită secventă o este nyBnyS y
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 1 -
nnh n
Fie un sistem cauzal LTI cu răspunsul la impuls
Pentru acest sistem
S
nSn
n
n
n
1 Dacă
11
0
Icircn aceste condiţii sistemul definit de răspunsul la impuls dat este sistem stabil BIBO
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Condiţia de stabilitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
- Exemplu 2 -
Fie sistemul LTI caracterizat prin răspunsul la impuls
rest 0 21 NnN
nhn
h[n] are un număr finit de elemente diferite de zero rarr h[n] este sumabil independent de valoarea parametrului α (atacircta timp cacirct α este finit)
Sistemul este stabil BIBO
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls
Un sistem LTI este cauzal dacă şi numai dacă este icircndeplinită condiţia h[k]=0 pentru klt0
Fie x1[n] şi x2[n] două secvenţe de intrare
x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Dacă avem un sistem LTI răspunsul acestuia pentru n=n0
002
1
020202
001
1
010101
kkk
kkk
knxkhknxkhknxkhny
knxkhknxkhknxkhny
Un sistem este cauzal dacă y1[n0] este egal cu y2[n0]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Condiţia de cauzalitate icircn perspectiva răspunsului la impuls (continuare)
0
020
01kk
knxkhknxkh
Deorece x1[n] = x2[n] pentru nlen0
Deoarece y1[n] = y2[n] pentru ca sistemul să fie cauzal
1
02
1
01kk
knxkhknxkh
Deoarece x1[n] ne x2[n] pentru ngtn0
Sumele pot fi egale doar dacă sunt egale cu 0 rezultă condiţia pentru h[k]=0 pentru klt0
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Caracterizarea icircn timp a sistemelor LTI
Un sistem LTI este constituit prin interconectarea de blocuri elementare pentru a analiza icircn timp un astfel de sistem trebuie să se găsească o relaţie icircntre ieşirea şi intrarea sistemului
bull Relaţia intrare-ieşirebull Scheme de interconectare
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Relaţia intrare-ieşire
O consecinţă imediată a proprietăţilor de liniaritate şi invarianţă icircn timp a sistemelor LTI ndash acestea sunt complet definite de răspunsul la impuls Cunoscacircnd răspunsul la impuls se poate calcula răspunsul sistemului la o intrare arbitrară
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Relaţia intrare-ieşire
675042151250 nhnhnhnhnhny
Fie h[n] răspunsul sistemului la impuls (răspunsul la δ [n])Se doreşte determinarea răspunsului la intrarea x [n]
Deoarece sistemul este LTI răspunsul la
δ [n-1] va fi h [n-1]
δ [n-4] va fi h [n-4]
Răspunsul y[n] la aplicarea secvenţei x[n] la intrare va fi
675042151250 nnnnnnx
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Relaţia intrare-ieşire
knδkxnxk
knhkxnyk
khknxnyk
O secvenţă arbitrară x [n] poate fi reprezentată ca o sumă ponderată de impulsuri unitate icircntacircrziatedevansate de forma
Unde x [k] reprezintă valoarea eşantionului de ordin k al secvenţei x [n]
Răspunsul unui sistem LTI la intrarea x [n] va fi
sau
Se poate demonstra printr-o schimbare de variabilă
Sumele din ecuaţii se numesc sume de convoluţie
Suma de convoluţie se exprimă compact nhnxny
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Suma de convoluţie- proprietăţi -
nxnxnxnx 1221
nxnxnxnxnxnx 321321
1 Comutativitatea
2 Asociativitatea
3 Distributivitatea
nxnxnxnxnxnxnx 3121321
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Suma de convoluţie- interpretare -
knhkxnyk
Suma de convoluţie poate fi interpretată astfel
bull se inversează secvenţa h [k] obţinacircnd h [-k]
bull se deplasează secvenţa h [-k] cu n eşantione la dreapta dacă ngt0 sau la stacircnga dacă nlt0 obţinacircndu-se h [n-k]
bull se formează secvenţa produs vk= x [k] h [n-k]
bull se icircnsumează toate eşantioanele vk rezultacircnd secvenţa produs de convoluţie y [n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Produs de convoluţie- reprezentare schematică -
Xh[-k] y[n]
x[k]
zn Σk
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Produs de convoluţie- Exemplu -
Observaţie Dacă atacirct secvenţa de intrare cacirct şi răspunsul la impuls sunt secvenţe finite atunci răspunsul sistemului la secvenţa de intrare va fi de lungime finită
k
k
-2
1
-1
3
1
2
-1
x[k]
h[k]
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Scheme simple de interconectare
bull Conectarea icircn cascadăbull Conectarea icircn paralel
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Conectarea icircn cascadăDacă ieşirea unui sistem este conectată la intrarea unui următor sistem rarr sistemele sunt conectate icircn cascadă
equiv
equiv
h1[n] h2[n] h2[n] h1[n]
h1[n] h2[n]x
Ordinea de cascadare nu are importanţă icircn rezultatul final
h1[n] h2[n]=δ[n]xDacă h2[n] este inversul lui h1[n]Dacă răspunsul la impuls este δ[n] atunci pentru intrarea x[n] răspunsul la ieşire este tot x[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]
Conectarea icircn paralel
+
h1[n]
h2[n]
equiv h1[n] + h2[n]