UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Numeričko proučavanje kvantnih gasovana niskim temperaturama∗
Ivana Vidanović
Laboratorija za primenu računara u nauciInstitut za fiziku Beograd
∗Finansijska podrška: Ministarstvo za prosvetu i nauku
(ON171017, NAD-BEC) i DAAD - German Academic and
Exchange Service (NAD-BEC)
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Sadržaj
Uvod
Boze-Ajnštajn kondenzacijaHladni kvantni gasovi
Termodinamika idealnog rotirajućeg Boze-Ajnštajn kondenzata
MotivacijaMetod - egzaktna dijagonalizacija evolucionog operatoraGlavni rezultati
Opis slabo interagujućeg Boze-Ajnštajn kondenzata
Aproksimacija srednjeg polja (Gros-Pitaevski jednačina)
Nelinearna dinamika Boze-Ajnštajn kondenzata
Kolektivne mode Boze-Ajnštajn kondenzataEksitacija moda modulacijom interakcijeNelinearni dinamički režim
Zaključak
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Kvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
Kvantna statistika
Osnove kvantne mehanike:Talasno-čestična priroda materije (Šredingerova jednačina)Nerazličivost čestica - bozoni/fermioni
λdB =√
2π~2β/Mβ = 1/kBTn - gustina čestica
Kvantna statistika dolazi do izražaja ako važi: λdB ∼ n−1/3
Fermi-Dirak raspodela n̄(E) = 1eβ(E−µ)+1
za fermione
Boze-Ajnštajn raspodela n̄(E) = 1eβ(E−µ)−1 za bozone
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Kvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
Boze-Ajnštajn kondenzacija (1)
Boze-Ajnštajn raspodela jeuvedena 1924. radikompletnog objašnjenjaPlankovog zakona zračenjacrnog tela
U velikom ansamblu N = N0 +∞∑n=1
1eβ(En−µ) − 1︸ ︷︷ ︸
termalni atomiT ↘⇒ µ↗, ali µ ≤ E0Kada T → 0, broj termalnih atoma dostiže zasićenje idolazi do makroskopske naseljenosti osnovnog stanja -Boze-Ajnštajn kondenzacija
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Kvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
Boze-Ajnštajn kondenzacija (2)
V (~r) =1
2M(ω2xx
2 + ω2yy2 + ω2zz
2)
E~n = ~»„nx +
1
2
«ωx +
„ny +
1
2
«ωy +
„nz +
1
2
«ωz
–Nth =
∞Xn=1
1
eβ(En−E0) − 1
Iz uslova Nth = N odredujemo temperaturu kondenzacije:
kBT0c =
~ω̄ζ
1/33
N1/3, ω̄ = (ωxωyωz)1/3
Za T < T 0c , pojavljuje se makroskopska naseljenost osnovnog stanja:
N0N
= 1−„T
T 0c
«3Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Kvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
Boze-Ajnštajn kondenzacija (3)
Razlikovanje kondenzovane inormalne faze:
ravnotežni profil gustinaekspanzija gasa pooslobadanju iz zamke
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
evap2.movMedia File (video/quicktime)
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Kvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
Eksperimentalna realizacija
Direktna eksperimentalna potvrda Boze-Ajnštajn kondenzacijeje ostvarena tek 1995. god. Za rezultat je dodeljena Nobelovanagrada za fiziku 2001 (Kornel, Viman & Keterle).
Atomi alkalnih metalaRb, Na, Li, K . . .T ∼ 1 nK, ρ ∼ 1014 cm−3(λdB ∼ n−1/3)Konfinirajući potencijal(odgovarajuće magnetno ilielektrično polje)V (~r) = 12Mω
2(ρ2 + λ2z2)
Lasersko hladenje, hladenje isparavanjemTehnike za karakterizaciju sistema
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Kvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
Današnji eksperimenti
Hladni bozonski atomi, hladni fermionski atomi, hladnimolekuliRazličiti spoljašnji potencijali: harmonijske zamke, optičkerešetke (periodični potencijali)Kratkodometna interakcija, dugodometna dipolarnainterakcijaVeoma kontrolabilni kvantni sistemi - moguće je podešavatigustinu čestica, dimenzionalnost, jačinu interakcijaMotivacija: proučavanje jako korelisanih faza materijeGlavni rezultati: direktno posmatranje superfluid - Motizolator prelaza (Habard model), BEC-BCS prelaz, ...
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Kvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
U ovoj tezi ...
... razmatrana su dva specifična fizička režima ostvarenakorǐsćenjem hladnih bozonskih atoma:
Termodinamičke karakteristike rotirajućeg idealnogbozonskog gasa[Phys. Lett. A 374, 1539 (2010)]
Nelinearna dinamika Boze-Ajnštajn kondenzata izazvanaperiodičnom promenom jačine meduatomske interakcije[Phys. Rev. A 84, 013618 (2011)]
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Rotirajući kondenzat: Motivacija (1)
Rotacija je jedan od načina da u sistem neutralnih atomaunesemo efektivno magnetno polje
Ĥrot = Ĥ − ~Ω · ~̂L
=1
2M(p̂2x + p̂
2y + p̂
2z) +
1
2Mω2(x̂2 + ŷ2 + λ2z ẑ
2)− Ω~ez · (~̂r × ~̂p)
=1
2M(p̂x +MΩŷ)
2 +1
2M(p̂y −MΩx̂)2
+1
2M(ω2 − Ω2)(x̂2 + ŷ2) + 1
2Mp̂2z +
1
2Mλ2zω
2ẑ2
Za brzu rotaciju, Ω→ ω, ~B ≡ 2M~ΩMedutim, u zanimljivom graničnom slučaju, atomi vǐsenisu zarobljeni
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Rotirajući kondenzat: Motivacija (2)
Uvodenje dodatnog kvartičnog potencijala
VBEC =M
2(ω2 − Ω2)(x2 + y2) + M
2ω2zz
2 +κ
4(x2 + y2)2
Eksperiment:Phys. Rev. Lett. 92, 050403 (2004)
Oblik potencijala zavisi odη = Ω/ω i κ
-1
0
1
2
3
4
5
6
-20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20
ρ
η = 0η = 1η = 1.04
Kako promena spoljašnjeg konfinirajućeg potencijala utičena svojstva neinteragujućeg Boze-Ajnštajn kondenzata?
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Metod (1)
Odredivanje kondenzacione temperature:
N =∞∑n=1
1eβc(En−E0) − 1
Za egzaktan numerički odgovor, potrebno nam jepoznavanje čitavog energetskog spektraU tu svrhu smo razvili efikasan numerički metod -egzaktnu dijagonalizacija prostorno diskretizovanogevolucionog operatora[Phys. Rev. E 80, 066705 (2009), Phys. Rev. E 80, 066706 (2009)]
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Metod (2)
Šredingerova jednačina
Ĥ|ψ〉 = E|ψ〉 ⇐⇒ e−tĤ |ψ〉 = e−tE |ψ〉
Diskretizovan oblikNcut−1∑
m=−Ncut
Hnm〈m∆|ψ〉 = E(∆, L) 〈n∆|ψ〉
Ncut−1∑m=−Ncut
Anm(t) 〈m∆|ψ〉 = e−t E(∆,L,t) 〈n∆|ψ〉
Metod se oslanja na analitičke rezultate za amplitude prelaza zakratka vremena propagacije [Phys. Rev. Lett. 94, 180403 (2005)]
Diskretizaciona greška exp(−2π2t/∆2) pokazuje optimalnijeponašanje od standardne polinomijalne diskretizacione greške
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Metod (3)
Odstupanje numeričkevrednosti energije os-novnog stanja od egza-ktnog rezultata, zaanharmonijski potencijalV (x) = k2
2x2 + k4
24x4, u
funkciji diskretizacionogkoraka ∆. Korǐsćene vred-nosti parametara L = 6,k2 = 1, k4 = 48. 10-25
10-20
10-15
10-10
10-5
1
105
1010
1015
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
| E0(
∆, L
, t)
- E
0 |
∆
Ht = 0.005t = 0.01t = 0.02t = 0.03t = 0.04
10-4 10-3 10-2 10-1
0.3 0.2 0.1
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Rotirajući kondenzat: Fazni dijagram
Udeo kondenzovanih atoma N0/N u zavisnosti od temperature T zanerotirajući (η = 0) i rotirajući kondenzat (η = 1)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 20 40 60 80 100 120 140
N0
/ N
T [nK]
η=0, N=1·104
η=1, N=5·104
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Rotirajući kondenzat: Temperatura kondenzacije
Temperatura kondenzacije u funkciji frekvencije rotacije zakondenzate od N = 3 · 105 i N = 1 · 104 atoma 87Rb,sa kvartičnim anharmonicitetom zamke κ = κBEC.
40
50
60
70
80
90
100
110
120
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Tc
[nK
]
η
κBEC, N=3·105
SC
10 15 20 25 30 35 40
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
κBEC, N=1·104
SC
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Rotirajući kondenzat: Raspodela atoma
Ravnotežna raspodela atoma za ne-rotirajući (η = 0), kritičnorotirajući (η = 1), i nadkritično rotirajući (η = 1.04) kondenzatsačinjen od N = 3 · 105 atoma 87Rb na temperaturi T = 30 nK
0 2·104 4·104 6·104 8·104 10·104
-4-2
0 2
4x -4
-2 0
2 4
y
0
4·104 4·104 6·104 8·104
10·104
n(x, y)
0
4·104
8·104
12·104
-8-4
0 4
8x -8
-4 0
4 8
y
0
4·104
8·104
12·104
n(x, y)
0
2500
5000
15 10
5 0
-5-10
-15
x
15 10
5 0
-5-10
-15y
0
1000
2000
3000
4000
5000
n(x, y)
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
MotivacijaMetodRezultati
Rotirajući kondenzat: Ekspanzija atomskog gasa
Širenje atomskog gasa po oslobadanju iz potencijalne zamke - slučajnadkritične rotacije η = 1.04
0
2500
5000TOF = 0 ms
15 10
5 0
-5-10
-15
x
15 10
5 0
-5-10
-15y
0
1000
2000
3000
4000
5000
n(x, y)
0
2500
5000TOF = 8 ms
15 10
5 0
-5-10
-15
x
15 10
5 0
-5-10
-15y
0
1000
2000
3000
4000
5000
n(x, y)
0
2500
5000TOF = 16 ms
15 10
5 0
-5-10
-15
x
15 10
5 0
-5-10
-15y
0
1000
2000
3000
4000
5000
n(x, y)
0
2500
5000TOF = 24 ms
15 10
5 0
-5-10
-15
x
15 10
5 0
-5-10
-15y
0
1000
2000
3000
4000
5000
n(x, y)
0
2500
5000TOF = 40 ms
15 10
5 0
-5-10
-15
x
15 10
5 0
-5-10
-15y
0
1000
2000
3000
4000
5000
n(x, y)
0
2500
5000TOF = 60 ms
15 10
5 0
-5-10
-15
x
15 10
5 0
-5-10
-15y
0
1000
2000
3000
4000
5000
n(x, y)
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Tip interakcijaTeorija srednjeg polja
Interakcije u kondenzatu
Kratkodometne van der Valsove interakcije atomaU sistemima retkih, hladnih gasova moguće je opisatiinterakciju jednim parametrom - dužinom rasejanja a(s-wave scattering length)
Vint(~r, ~r ′) = g × δ(~r − ~r ′), g = 4π~2a/M
Hamiltonijan sistema
Ĥ =
Zd~r
„−ψ̂†(~r) ~
2
2M∇2ψ̂(~r) + V (~r)ψ̂†(~r)ψ̂(~r) + g
2ψ̂†(~r)ψ̂†(~r)ψ̂(~r)ψ̂(~r)
«Tipičan broj atoma u eksperimentu N ∼ 104 − 106
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Tip interakcijaTeorija srednjeg polja
Teorija srednjeg polja
U neinteragujućem bozonskom sistemu, u kondenzovanojfazi, svi atomi su u istom stanjuOčekujemo da slabe interakcije ne menjaju sliku suštinskiUvodimo talasnu funkciju kondenzata 〈ψ̂(~r, t)〉 = ψ(~r, t)Za niske temperature i slabe interakcije, ψ(~r, t) je opisanaGros-Pitaevski jednačinom
i~∂ψ(~r, t)∂t
=[− ~
2
2M∆ + V (~r) + g|ψ(~r, t))|2
]ψ(~r, t)
V (~r) = 12Mω2(ρ2 + λ2z2) - harmonijski potencijal
g = 4π~2Na/M , N - broj atoma u kondenzatu
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Ekscitacije kondenzata (1)
Ekscitacije karakterǐsu fazu materije na veoma precizannačinBogoljubov je 1947. izveo ekscitacioni spektar homogenogsuperfluida - kolektivna fononska modaKolektivne ekscitacije hladnog atomskog oblaka:dipolna moda, dǐsuća moda, kvadrupolne mode
kvadrupolna kvadrupolna dǐsuća
moda (1) moda (2) moda
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Ekscitacije kondenzata (2)
Standardni eksperimentalni način pobudivanja kolektivnihmoda je modulacijom spoljašnje zamke
Rezultat preuzet iz rada [Rev. Mod. Phys. 71, 463 (1999)]Frekvencije kolektivnih moda se mere sa tačnošću od 1%Teorijski, kolektivne mode se računaju polazeći odvremenski zavisne Gros-Pitaevski jednačineDobro slaganje eksperimenta i teorije u linearnom režimu
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Modulacija interakcije (1)
Novi način pobudivanja kolektivnih moda je demonstriranu nedavnom eksperimentalnom radu [Phys. Rev. A 81, 053627(2010)]
Razmatran je kondenzat 7Li uaksijalnoj zamci
Postignuta je vremenski zavisnamodulacija interakcijekorǐsćenjem Fešbah rezonance
Ekscitovane su kolektivne mode,ali u nelinearnom dinamičkomrežimu
300 µm
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Modulacija interakcije (2)
Dužina rasejanja atoma zavisi od spoljašnjeg magentnogpolja - Fešbah rezonanca
[Phys. Rev. Lett. 102, 090402 (2009)]
7Li : a(B) = aBG
„1 +
∆BB −B∞
«aBG = −24.5 a0, B∞ = 73.68 mT,∆B = 19.2 mT 55.0 60.0 65.0 70.010
-2
100
102
104
106
Magnetic Field (mT)
Sca
tterin
g Le
ngth
(a 0
)
54.0 54.2 54.4 54.6 54.8 55.0
-0.2
0.0
0.2
0.4
0.6
Modulacija dužine rasejanja magnetnim poljem
B(t) = Bav + δB cos Ωt, a(t) ' aav + δa cos Ωt
aav = a(Bav), δa = −aBG∆BδB
(Bav −B∞)2
Bav = 56.5 mT, δB = 1.4 mT, aav ∼ 3a0, δa ∼ 2a0Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Gausovska aproksimacija (1)
U cilju pojednostavljivanja računa i dobijanja analitičkoguvida u problem, aproksimiramo gustinu atoma gausijanomZa aksijalno simetričnu dinamku
ψG(ρ, z, t) = N (t) exp»−1
2
ρ2
uρ(t)2+ iρ2φρ(t)
–exp
»−1
2
z2
uz(t)2+ iz2φz(t)
–Varijacioni pristup - ekstremizacijom odgovarajućeg dejstvadolazimo do sistema običnih diferencijalnih jednačina kojeaproksimairaju Gros-Pitaevski jednačinu[Phys. Rev. Lett. 77, 5320 (1996)]
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Gausovska aproksimacija (2)
U bezdimenzionalnom obliku
üρ(t) + uρ(t)−1
uρ(t)3− p(t)u3ρ(t)uz(t)
= 0
üz(t) + λ2uz(t)−
1
uz(t)3− p(t)u2ρ(t)u2z(t)
= 0
p(t) =q
2πN a(t)
`H0⇒ p(t) = p+ q cos(Ωt)
15
20
25
30
35
0 200 400 600 800 1000 1200
Axi
al c
onde
nsat
e w
idth
t
variationalGP numerics
1
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
0 50 100 150 200 250
Rad
ial c
onde
nsat
e w
idth
t
variationalGP numerics
1
1.1
1.2
220 225 230 235 240
Eksperimentalni parametri: λz = 0.021, p = 15, q = 10, Ω = 0.05
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Linearni dinamički režim
Glavni rezultat dobijen Gausovskom aproksimacijom jeanalitički izraz za osnovne ekscitacije kondenzataPrimer - sferno-simetrični kondenzat
ü(t) + u(t)− 1u(t)3
− pu4(t)
= 0
Ravnotežna širinau0 =
1
u30+
p
u40
Frekvencija dǐsuće mode
u(t) = u0 + δu(t)⇒ δü+ ω20δu = 0
ω0 =
s1 +
3
u40+
4p
u50
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Nelinearni režim - motivacija
Naš cilj je opisivanje kolektivnih moda pobudenihharmonijskom modulacijom interakcije
p(t) ' p+ q cos Ωt
q - amplituda modulacije, Ω - frekvencija modulacijeOsnovna jednačina koja opisuje dinamiku je nelinearnaKada je Ω blizu neke svojstvene mode kondenzata,očekujemo rezonance - oscilacije velikih amplituda, kojepojačavaju nelinearne efekte
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Dinamika kondenzata
ü(t) + u(t)− 1u(t)3
− pu(t)4
− qu(t)4
cos Ωt = 0
p = 0.4, q = 0.1, u(0) = u0, u̇(0) = 0, ω0 = 2.06638 . . .
Dinamika zavisi od vrednosti Ω
1.02 1.04 1.06 1.08 1.1
1.12 1.14
0 5 10 15 20 25 30 35 40
u(t)
t
= 1, analytics = 1, numerics
0.6 0.8
1 1.2 1.4 1.6 1.8
2
0 5 10 15 20 25 30 35 40t
= 2, analytics = 2, numerics
0 1 2 3 4 5 6
0 50 100 150 200 250 300 350 400t
= 2.04, numerics
1.07
1.08
1.09
1.1
1.11
0 5 10 15 20
u(t)
t
= 4, analytics = 4, numerics
0 0.5
1 1.5
2 2.5
3 3.5
4 4.5
0 50 100 150 200 250 300 350t
= 4.1, numerics
1.08
1.09
0 5 10 15 20t
= 5, analytics = 5, numerics
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Ekscitacioni spektri (1)
Ekscitacione spektre dobijamo iz Furijeovog transformaširine u(t), p = 0.4, q = 0.1 and Ω = 2
10-610-510-410-310-210-1100101102103
-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40Frequency
= 2
10-210-1100101102
0.05 0.06 0.07 0.08Frequency
-
10-210-1100101102
1.9 2 2.1 2.2Frequency
10-410-2100102
4 4.05 4.1 4.15 4.2Frequency
2 +
2
10-310-210-1100101
6 6.05 6.1 6.15 6.2Frequency
3
2 + + 23
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Ekscitacioni spektri (2)
Frekvencija dǐsuće mode je značajno pomerena urezonantnoj oblasti
10-210-1100101
1.98 2.02 2.06 2.1Frequency
0
= 1
10-210-1100101102
1.98 2.02 2.06 2.1 2.14Frequency
0 = 2
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Analitički perturbativni pristup (1)
U linearnom režimu, nalazimo frekvenciju oscilacija ω0 okoravnotežne širine u0:
u0 −1
u30− pu40
= 0, ω0 =
s1 +
3
u40+
4p
u50
U cilju računanja kolektivne mode do vǐsih redova po q,najpre uvodimo smenu s = ωt:
ω2 ü(s) + u(s)− 1u(s)3
− pu(s)4
− qu(s)4
cosΩs
ω= 0
Koristimo perturbativne razvoje po amplitudi q:
u(s) = u0 + q u1(s) + q2 u2(s) + q
3 u3(s) + . . .
ω = ω0 + q ω1 + q2 ω2 + q
3 ω3 + . . .
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Analitički perturbativni pristup (2)
Perturbativni razvoj nam daje hijerarhijski sistem linearnihjednačina:
ω20 ü1(s) + ω20 u1(s) =
1
u40cos
Ωs
ω
ω20 ü2(s) + ω20 u2(s) = −2ω0 ω1 ü1(s)−
4
u50u1(s) cos
Ωs
ω+ αu1(s)
2
ω20 ü3(s) + ω20 u3(s) = −2ω0 ω2 ü1(s)− 2β u1(s)3 + 2αu1(s)u2(s)− ω21 ü1(s)
+10
u60u1(s)
2 cosΩs
ω− 4u50
u2(s) cosΩs
ω− 2ω0 ω1 ü2(s)
gde je α = 10p/u60 + 6/u50, β = 10p/u70 + 5/u60.
Pomeraje frekvencije, ω1 i ω2, odredujemo iz uslovaskraćivanja sekularnih članova - Poenkare-Lindštet metod
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Analitički perturbativni pristup (3)
Objašnjenje sekularnog člana
ẍ(t) + ω2x(t) + C cosωt = 0
x(t) = A cosωt+B sinωt− C2ωt sinωt︸ ︷︷ ︸
deo linearan po t
Radi regularnog ponašanja perturbativnog razvoja,namećemo skraćivanje sekularnog člana, podešavanjemvrednosti ω1 and ω2Drugi način razumevanja sekularnih članova
u(t) = A cosωt+A1t sinωt ≈ A cosωt cos ∆ωt+A1∆ω
sin ∆ωt sinωt
u(t) ≈ A cos[(ω −∆ω)t]⇒ ∆ω = A1/AFizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Rezultati (1)
Frekvencija pobudene dǐsuće mode zavisi od ΩRezultat u drugom redu perturbativne teorije
ω = ω0 + q2P(Ω)
(Ω2 − ω20)2 (Ω2 − 4ω20)+ . . .
2
2.02
2.04
2.06
2.08
2.1
1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Freq
uenc
y
0analytical numerical
1.9 1.95
2 2.05 2.1
2.15 2.2
2.25 2.3
1 2 3 4 5 6
Freq
uenc
y
0analytical numerical
p = 0.4, q = 0.1 p = 1, q = 0.8
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Ekscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Rezultati (2)
Eksperimentalni parametri: p = 15, q = 10, λ = 0.021,ωQ0 = 2π × 8.2 Hz, ωB0 = 2π × 462 HzωB � ωQ, Ω ∈ (0, 3ωQ),velika amplitudamodulacijeJaka ekscitacijakvadrupolne modePrimetna ekscitacijadǐsuće modePomeraji u frekvencijikvadrupolne mode uslednelinearnih efekata od oko10%
0.03
0.032
0.034
0.036
0.038
0.04
0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12
Freq
uenc
y Q
Q0Q, (a)Q, (n)
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Zaključak (1)
Motivisani eksperimentalnim istraživanjem rotirajućih hladnihgasova, proučavali smo kako modifikacija spoljašnjeg potencijalautiče na svojstva Boze-Ajnštajn kondenzata
Ispitivali smo osobine faznog dijagrama i našli da temperaturakondenzacije opada sa porastom rotacione frekvencije
Izračunali smo profile gustina kondenzata i termalnog oblaka narazličitim temperaturama i simulirali širenje hladnog bozonskoggasa po oslobadanju iz potencijalne zamke
Za velike ugaone brzine rotacije, identifikovali smo nestandardnidinamički režim širenja atomskog oblaka po oslobadanju iz zamke
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Zaključak (2)
Inspirisani eksperimentalnim rezultatima, proučavali smonelinearnu dinamiku Boze-Ajnštajn kondenzata izazvanuharmonijskom modulacijom interakcije
U proučavanju smo koristili analitički perturbativni metod,numeričke simulacije zasnovane na Gausovskoj aproksimaciji, kaoi numeričke simulacije Gros-Pitaevski jednačine
Predstavili smo relevantne ekscitacione spektre, identifikovalismo i objasnili nelinearne karakteristike: sprezanje moda,prisustvo vǐsih harmonika i primetne pomeraje u frekvencijamakolektivnih moda
Predstavljeni rezultati su relevantni za buduće eksperimente ukojima će biti proučavan dinamički odgovor smeše hladnih atomana harmonijsku modulaciju interakcije
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodRotirajući kondenzat
Interakcije hladnih atomaNelinearna BEC dinamika
Zaključci
Radovi na kojima je bazirana teza
I. Vidanović, A. Balaž, H. Al-Jibbouri, and A. Pelster,Nonlinear Bose-Einstein-condensate Dynamics Induced by a HarmonicModulation of the s-wave Scattering Length,Phys. Rev. A 84, 013618 (2011)
A. Balaž, I. Vidanović, A. Bogojević, and A. Pelster,Ultra-fast converging path-integral approach for rotating idealBose-Einstein condensates,Phys. Lett. A 374, 1539 (2010)
I. Vidanović, A. Bogojević, A. Balaž, and A. Belić,Properties of Quantum Systems Via Diagonalization of TransitionAmplitudes. II. Systematic Improvements of Short-time Propagation,Phys. Rev. E 80, 066706 (2009)
I. Vidanović, A. Bogojević, and A. Belić,Properties of Quantum Systems Via Diagonalization of TransitionAmplitudes. I. Discretization Effects,Phys. Rev. E 80, 066705 (2009)
Fizički fakultet, Univerzitet u Beogradu 23. decembar 2011.Vidanović: Numeričko proučavanje kvantnih gasova na niskim temperaturama
UvodKvantna statistikaBoze-Ajnštajn kondenzacijaEksperimentiU ovoj tezi
Rotirajuci kondenzatMotivacijaMetodRezultati
Interakcije hladnih atomaTip interakcijaTeorija srednjeg polja
Nelinearna BEC dinamikaEkscitacije kondenzataModulacija interakcije - eksp.Modulacija interakcije - teorijaRezultati
Zakljucci